TEMA 9

ÎMPRUMUTURI CU OBLIGAŢIUNI OBIECTIVE

Definirea conceptelor despre împrumuturile cu obligaţiuni Proprietăţile rambursării la paritate Proprietăţile rambursării peste paritate

CONŢINUT

9.1 Definiţii şi notaţii 9.2 Rambursarea la paritate 9.3 Rambursarea peste paritate 9.4 Concepte cheie

MODULUL 5 – OBLIGAŢIUNI ŞI ACŢIUNI

9.1 DEFINIŢII ŞI NOTAŢII

Operaţiunile financiare de împrumuturi cu obligaţiuni se referă la împrumuturile realizate de agenţi economici sau de către stat, denumite împrumuturi obligatare sau cu obligaţiuni, de obicei pe termen mediu sau lung, prin care beneficiarul (sau emitentul) împrumutului emite documente sau titluri de valoare, denumite obligaţiuni, care reprezintă titluri de creanţă ale datoriei respective. Aceste obligaţiuni sunt cumpărate de către subscriptori, care devin posesorii acestora, cu toate drepturile de creanţă aferente.

Pentru operaţiunile financiare de împrumuturi cu obligaţiuni, considerăm următoarele notaţii: • V0 – valoarea nominală totală a împrumutului sau capitalul total pe care îl

primesc subscritorii obligaţiunilor, la care se adaugă dobânzile corerspun-zătoare;

• V – valoarea nominală a unei obligaţiuni, care reprezintă o cotă parte din valoare nominală totală a împrumutului V0;

• C0 – valoarea totală de emisiune a împrumutului (sau preţul total sau capitalul total) pe care o primeşte emitentul sau pe care o plătesc subscriptorii;

• C – valoarea de emisiune (sau preţul) unei obligaţiuni, care reprezintă o cotă parte din valoare totală de emisiune C0;

• W0 – valoarea totală de rambursare a împrumutului sau capitalul total pe care îl rambursează emitentul şi îl primesc subscriptorii, exceptând dobânzile;

• W – valoarea de rambursare (sau preţul) unei obligaţiuni, care reprezintă o cotă parte din valoare totală de rambursare W0;

• N – numărul total al obligaţiunilor emise sau puse în circulaţie; • n – numărul de ani sau durata împrumutului; • Nk – numărul obligaţiunilor amortizate în anul k, nk ≤≤1 ; • i – rata de dobândă anuală unitară nominală a împrumutului; • kQ – amortismentul sau partea din datorie care se plăteşte în anul k,

nk ≤≤1 ; • kd – dobânda anuală care se plăteşte în anul k, nk ≤≤1 ;

• kS – anuitatea sau rata plătită care se plăteşte în anul k, nk ≤≤1 .

TEMA 9 – ÎMPRUMUTURI CU OBLIGAŢIUNI

Definiţia 9.1 Se spune că un împrumut cu obligaţiuni cu valoarea nominală V şi valoarea de emisiune C este emis: (a) sub paritate sau sub pari, dacă C < V; (b) la paritate sau pari, dacă C = V; (c) peste paritate sau supra pari, dacă C > V. Definiţia 9.2 Se spune că un împrumut cu obligaţiuni cu valoarea nominală V şi valoarea de rambursare W este rambursat: (a) sub paritate sau sub pari, dacă W < V; (b) la paritate sau pari, dacă W = V; (c) peste paritate sau supra pari, dacă W > V.

În practică, nu există emisiuni de obligaţiuni supra pari (C > V) şi respectiv nu există rambursări supra pari (W > V). Cea mai uzuală strategie de emisiune a obligaţiunilor este WVC ≤≤ .

Rambursarea unui împrumut cu obligaţiuni se desfăşoară în mod similar rambursării unui împrumut de tip bancar (cu amortismente, dobânzii şi rate), ţinând cont însă de particularităţile specifice operaţiunii cu obligaţiuni.

9.2 RAMBURSAREA LA PARITATE

Considerăm un împrumut cu N obligaţiuni, fiecare cu o valoare nominală V, cu o valoare de emisiune C şi o valoare de rambursare W. Pentru rambursarea la paritate avem W = V.

Definiţia 9.3 Se spune că rambursarea sau amortizare unui împrumut cu obligaţiuni este anuală dacă: (1) plăţile se fac anual, anticipat sau posticipat; (2) sumele (anuităţile) amortizate sunt egale sau nu de la un an la altul; (3) durata de amortizare este un anumit număr de ani bine precizat; (4) plăţile au început imediat ce s-a emis împrumutul sau cu o întârziere de

câţiva ani; (5) rata de dobândă ale obligaţiunii sunt egale sau nu de la un an la altul.

Să specificăm acum proprietăţile şi relaţiile de calcul pe care le vom utiliza pentru operaţiile de împrumuturi cu obligaţiuni rambursate la paritate.

MODULUL 5 – OBLIGAŢIUNI ŞI ACŢIUNI

Propoziţia 9.1 Dacă rambursarea (amortizarea) unui împrumut cu obligaţiuni se efectuează în condiţiile Definiţiei 9.3 prin anuităţi posticipate, cu dobândă posticipată, cu procentul nominal unic ip ⋅=100 , la paritate (al pari) şi cu: (a) anuităţi (rate) egale SSk = , nk ≤≤1 , atunci pentru orice an k avem următoarele elemente ale rambursării: • amortismentul anual:

( )( ) 111 1

0−+

+⋅⋅=

−

n

k

k iiiVQ ; (9.1)

• rata anuală:

( )( ) 11

10

−++

⋅⋅== n

n

k iiiVSS ; (9.2)

• dobânda anuală:

( ) ( )( ) 11

11 1

0−++−+

⋅⋅=−

n

kn

k iiiiVd ; (9.3)

• datoria rambursată după k ani: ( )( ) 11

110

−+−+

⋅= n

k

k iiVR ; (9.4)

• datoria rămasă după k ani: ( ) ( )

( ) 1111

0−++−+

⋅= n

kn

k iiiVV ; (9.5)

• numărul de obligaţiuni amortizate anual:

( )( ) 11

1 1

−++

⋅⋅=−

n

k

k iiiNN ; (9.6)

(b) amortismente egale QQk = , nk ≤≤1 , atunci pentru orice an k avem următoarele elemente ale rambursării: • amortismentul anual:

n

VQQk0== ; (9.7)

• rata anuală:

( )n

iknVSk11

0+⋅+−

⋅= ; (9.8)

TEMA 9 – ÎMPRUMUTURI CU OBLIGAŢIUNI

• dobânda anuală:

( )nkniVdk

10

+−⋅⋅= ; (9.9)

• datoria rambursată după k ani:

nkVRk ⋅= 0 ; (9.10)

• datoria rămasă după k ani:

( )n

knVVk−

⋅= 0 ; (9.11)

• numărul de obligaţiuni amortizate anual:

nNNk = . (9.12)

Să notăm cu )( kRN numărul de obligaţiuni rambursate sau ieşite din

circulaţie după k ani de plată şi cu )( kVN numărul de obligaţiuni rămase de rambursat sau aflate în circulaţie după k ani de rambursare.

Propoziţia 9.2 (a) În cazul rambursării cu anuităţi egale numărul de obligaţiuni rambursate, respectiv de rambursat sunt date de relaţiile:

( )( ) 11

11)(−+−+

⋅= n

k

k iiNRN ; (9.13)

( ) ( )( ) 11

11)(−++−+

⋅= n

kn

k iiiNVN . (9.14)

(b) În cazul rambursării cu amortismente egale numărul de obligaţiuni rambursate, respectiv de rambursat sunt date de relaţiile:

nkNRN k ⋅=)( ; (9.15)

nknNVN k

−⋅=)( . (9.16)

Să observăm faptul că numărul de obligaţiuni amortizate anual trebuie să

fie întreg. Rotunjirea valorilor Nk poate avea ca efect o mici variaţii în valoarea elementelor calculate pe baza relaţiilor anterioare.

MODULUL 5 – OBLIGAŢIUNI ŞI ACŢIUNI

9.3 RAMBURSAREA PESTE PARITATE

Considerăm un împrumut cu N obligaţiuni, fiecare cu o valoare nominală V, cu o valoare de emisiune C şi o valoare de rambursare W. Pentru rambursarea peste paritate sau supra pari avem W > V.

Pentru rambursarea peste paritate (supra pari) introducem notaţia:

WVir ⋅= , (9.17)

unde r este denumit coeficientul de paritate a rambursării sau rata nominală a dobânzii nominale modificate.

Să analizăm acum proprietăţile şi relaţiile de calcul pe care le vom utiliza pentru operaţiile de împrumuturi cu obligaţiuni rambursate peste paritate, similare cu cele pentru rambursarea la paritate, în care vom înlocui rata de dobândă i cu tata modificată r şi V cu W.

Propoziţia 9.3 Dacă rambursarea (amortizarea) unui împrumut cu obligaţiuni se efectuează în condiţiile Definiţiei 9.3 prin anuităţi posticipate, cu dobândă posticipată, cu procentul nominal unic ip ⋅=100 , cu rata modificată r, peste paritate (supra pari) şi cu: (a) anuităţi (rate) egale SSk = , nk ≤≤1 , atunci pentru orice an k avem următoarele elemente ale rambursării: • amortismentul anual:

( )( ) 11

1 1

0−+

+⋅⋅=

−

n

k

krrrWQ ; (9.18)

• rata anuală:

( )( ) 11

10

−+

+⋅⋅== n

n

kr

rrWSS ; (9.19)

• dobânda anuală:

( ) ( )( ) 11

11 1

0−+

+−+⋅⋅=

−

n

kn

kr

rrrWd ; (9.20)

• datoria rambursată: ( )( ) 11

110

−−

−−⋅= n

k

krrWR ; (9.21)

TEMA 9 – ÎMPRUMUTURI CU OBLIGAŢIUNI

• datoria rămasă: ( ) ( )

( ) 1111

0−+

+−+⋅= n

kn

kr

rrWV ; (9.22)

• numărul de obligaţiuni amortizate anual:

( )( ) 11

1 1

−+

+⋅⋅=

−

n

k

krrrNN ; (9.23)

(b) amortismente egale QQk = , nk ≤≤1 , atunci pentru orice an k avem următoarele elemente ale rambursării: • amortismentul anual:

n

WQQk

0== ; (9.24)

• rata anuală:

( )n

rknWSk11

0+⋅+−

⋅= ; (9.25)

• dobânda anuală:

( )nknrWdk

10

+−⋅⋅= ; (9.26)

• datoria rambursată:

nkWRk ⋅= 0 ; (9.27)

• datoria rămasă:

( )n

knWVk−

⋅= 0 ; (9.28)

• numărul de obligaţiuni amortizate anual:

nNNk = . (9.29)

Dacă vom considera rambursarea la paritate, pentru care VW = , atunci

avem ir = , iar relaţiile de calcul din Propoziţiile 9.1 şi 9.3 vor coincide. De asemenea, proprietăţile din Propoziţia 9.2 referitoare la numărul de

obligaţiuni rambursate, respectiv de rambursat pentru rambursarea la paritate sunt aplicabile şi pentru rambursarea peste paritate, cu înlocuirile corespunzătoare, respectiv i prin r, V prin W şi WrVi ⋅=⋅ .

MODULUL 5 – OBLIGAŢIUNI ŞI ACŢIUNI

9.4 CONCEPTE CHEIE

Obligaţiuni Subscriptori Împrumuturi cu obligaţiuni Valoare nominală a unei obligaţiuni Valoare de emisiune a unei obligaţiuni Valoare de rambursare a unei obligaţiuni Rambursare la paritate (al pari) Rambursare peste paritate (supra pari)