Tema 6Şiruri şi serii de funcţii. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii

Modulul 6.1 - Şiruri şi serii de funcţii. Serii de puteri

Şirurile şi seriile de funcţii reale sunt o generalizare naturală a şirurilor şi seriilor de numere reale, care permit studiul riguros al modului de definire a unor funcţii elementare. Clasa seriilor de puteri, caz particular de serii de funcţii, permite o extindere naturală a noţiunii de funcţie polinomială. Definiţia 6.1 Se numeşte şir de funcţii reale definite pe A R, orice funcţie 1] fn : A R, nN, xA fn (x)R, nN şi elementele şirului: fn F(A, R), nN, unde F(A, R) = {f | f:AR} şi se va nota (fn ) sau fn cu nN.2] Şirului (fn ) dat prin 1] îi asociem şirul de sume parţiale:

(2) şi nN; Sn : A R, nN. Perechea de şiruri de funcţii

reale definite pe A: se numeşte serie de funcţii reale de

termen general fn şi cu şirul sumelor parţiale Sn, notată prin: (3)

sau sau

Exemple.

(3) definesc seria de funcţii

(4) care definesc

seria de funcţii: .

Definiţia 6.2Fie fn : AR R un şi de funcţii reale şi f : A R.1] Şirul de funcţii (fn ) converge punctual (simplu) la funcţia f pe A, dacă şi numai dacă, în fiecare x0 A avem: , notat sau

pentru fiecare x A, .

2] Şirul de funcţii (fn ) converge uniform la funcţia f pe A, dacă şi numai dacă, avem: (4) >0, nN independent de x A a. î. n n | fn (x) – f (x)| < ,

xA notat sau xA.

143

3] Şirul de funcţii (fn ) este şir uniform Cauchy sau şir uniform fundamental pe A, dacă şi numai dacă, avem: (5) >0, nN independent de x A a.î. n n şi p1 | fn+p (x) – fn (x)| < , xA. Observaţii.1. Din definiţia 2, cazul este caracterizat prin inegalităţi astfel: (6) xA, >0, n(x)N a. î. n n | fn (x) – f (x)| < .2. Convergenţa punctuală este caracterizată prin faptul că în fiecare x0 A, avem şirul numeric fn (x0) convergent cu limita f (x0) R.3. Convergenţa uniformă, are o interpretare geometrică în desenul alăturat: >0 fixat trasăm graficele funcţiilor: f, f - , f + şi atunci există nN a. î. graficul funcţiei fn (x) cu n n este situat între graficul lui f - şi al lui f + .

Exemple.

1. cu f(x)= 0, x R.

2. cu f(x)= x2, x R.

3. cu .

Definiţia 6.3

Fie fn : A R un şir, şirul de sume parţiale şi seria de funcţii

.

1] Seria de funcţii este simplu convergentă sau punctual convergentă pe

A cu suma S, dacă şi numai dacă, cu S:AR; notăm

.

144

y

xo

fn

f+

f-

f

A

2] Seria de funcţii este uniform convergentă pe A cu suma S, dacă şi

numai dacă, ; notăm .

3] Seria de funcţii este absolut convergentă pe A, dacă şi numai dacă,

seria modulelor este convergentă în xA.

Observaţii.1. Convergenţa punctuală şi respectiv convergenţa uniformă a unei serii de funcţii reale, revine la a studia tipul de convergenţă al şirului de sume parţiale în sensul definiţiei 2.2. Din acest motiv, în studiul convergenţei unei serii de funcţii reale, se vor folosi teoremele şi criteriile relative la convergenţa şirurilor de funcţii reale. Exemple.

1.

şi cu . Seria de funcţii

.

2.

, ,

.

3. , avem:

, şi

.

4. Dacă f : A R şi fn : A R, nN sunt funcţii mărginite pe A, definim norma supremum sau norma uniformă a lui f, respectiv fn cu nN prin: (7)

şi distanţa indusă de normă: (8)

care verifică axiomele de definiţie ale normei:(N1) ||f || 0, f F (A, R) şi || f || =0 f (x) 0, xA;(N2) || f || =| | || f ||, pentru R, f F (A, R);

145

(N3) || f + g || = || f || + || g ||; f, g F (A, R)şi respectiv axiomele de definiţie ale distanţei:(D1) d(f, g) 0, f, g F (A, R) şi d(f, g) = 0 f (x) g(x), xA;(D2) d(f, g) = d( g, f ), f, g F (A, R);(D3) d(f, g) d(f, h) + d( h, g ), f, g, h F (A, R). Teorema 6.1Fie f , fn : A R, nN. Dacă , atunci . Reciproca, în general, nu este adevărată. Demonstraţia este directă din (4), definiţia 6.2, care implică (6).◄ Teorema 6.2Fie f , fn : A R, nN, următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(i) ; (ii) ; (iii) (fn) este uniform Cauchy pe A.

Demosntraţie. (i)(ii) Ipoteza >0, nN a. î. n n |

fn (x) – f (x)| < , xA >0, nN a. î. n n

.

(i)(iii) Din ipoteza >0 fixat, nN a. î. n n | fn (x) – f

(x)| < , | fn+p (x) – fn (x)| | fn+p (x) – f (x)| + | f(x) – fn (x)|< < + , n n,

p 1 şi xA (fn ) este şir uniform Cauchy pe A.(iii) (i) Dacă (fn ) este şir uniform Cauchy pe A xA fixat, şirul numeric (fn (x)) este şir Cauchy de numere reale şi deci convergent în R, notăm

pentru xA fixat, deci . Notăm m = n+ p şi din (5) avem | fn (x) – fm (x)| <, n, m n şi xA; trecem la limită | fn (x) – fm

(x)|=| fn (x) – f (x)| , xA şi n n

.◄ Observaţii.1. Echivalenţa (i)(iii) este Teorema lui Cauchy pentru şiruri de funcţii reale: “ (fn ) este uniform convergent pe A, dacă şi numai dacă, (fn ) este şir uniform Cauchy pe A”.2. Din definiţia 3 – cazul (2) deducem Teorema lui Cauchy pentru serii de

funcţii reale: “Seria de funcţii este uniform convergentă pe A dacă şi

numai dacă, (Sn) este şir uniform Cauchy (9)>0, nN independent de x a. î. n n şi pN | Sn+p (x) –Sn (x)| = | fn+1 (x) + ...+ fn+p (x)| < , xA.” Teorema 6.3Fie f , g, fn : A R, nN atunci au loc următoarele afirmaţii:(I) dacă există n cu a. î. | fn (x) – f (x)| n, xA şi nN.

146

(II) dacă şi | fn (x) – f (x)| |gn(x)|, xA şi nN. Demonstraţie. (I) Din >0, nN a. î. n n |n |= n

< şi cum | fn (x) – f (x)| n <, xA .(II) Din >0, nN independent de x a. î. n n |gn - 0 |= | gn (x)| < , xA şi atunci | fn (x) – f (x)| | gn (x)| <, xA şi n n

.◄ Observaţii.1. Condiţia (I) din teorema 3 este criteriul majorării prin şiruri numerice (n).2. Condiţia (II) din teorema 3 este criteriul majorării prin şiruri de funcţii uniform convergente la 0 pe A. Consecinta 6.1

Dacă seria de funcţii este uniform convergentă pe A, atunci şi

este uniform convergentă pe A.

Demonstraţia este imediată prin aplicarea afirmaţiei din (9) seriei

.◄ Teorema 6.4 (Criteriul lui Weierstrass)

Fie fn : A R, nN şi seria de funcţii . Dacă există o serie numerică

cu termeni pozitivi convergentă astfel încât |fn (x) | an, xA şi n

N, atunci seria de funcţii este absolut şi uniform convergentă pe A.

Demonstraţie. Folosind ipotezele, avem: >0, nN (independent de x) a. î. n n şi p 1| fn+1 (x)+...+ fn+p (x)| | fn+1 (x)| + ...+ | fn+p (x)| an+1

+ ...+ an+p < , xA şi după (9) şi consecinta 1, seria este absolut şi

uniform convergentă pe A. ◄ Exemple.

1. şi cum

cu ( fn) nu este uniform

convergent.

2. şi cum | fn (x) – f (x)|= =

.

147

3. . Avem: | fn (x) – f

(x)|= .

4. cu

uniform şi absolut convergentă pe R.

5. , seria de funcţii: are

şi:

.Avem:

şi

;

deci .

6.

uniform şi absolut convergentă pe R.

7.

şi seria de funcţii este punctual

convergentă pe [0, 1].Vom demonstra unele “proprietăţi de permanenţă (transfer)” de la

termenii unui şir de funcţii reale la funcţia limită, ca: mărginire, trecere la limită, continuitate, derivabilitate, integrabilitate. Convergenţa uniformă a unui şir de funcţii reale este o condiţie suficientă pentru valabilitatea proprietăţilor de permanenţă (transfer). Teorema 6.5Fie fn : A R şi f : A R.(p1) Dacă şi fn sunt funcţii mărginite pe A, atunci f este mărginită pe A şi avem:

(11) .

(p2) Dacă , x0 A’ R şi există şirul yn atunci (yn) este convergent în R şi avem:

148

(12) .

(p3) Dacă şi fn sunt funcţii continue pe A, atunci f este continuă pe A.(p4) Dacă A = I R interval nedegenerat şi fn sunt funcţii derivabile cu

atunci există f : I R a. î. şi f este derivabilă pe I cu f’ = g, deci:

(13) .

(p5) Dacă fn : [a, b] R sunt funcţii integrabile sau chiar continue şi atunci f este integrabilă pe [a, b] şi avem:

(14) .

Demonstraţie. (p1) Din pentru =1, n1N a. î. | fn (x) - f(x)| 1, x A şi n n1

unde:

şi evident are loc (11).

(p2) Fie > 0 fixat şi f : A R a. î. (fn) este şir uniform Cauchy pe A şi >0, există nN a. î. n,m n | fn (x) – fm (x)| , xA | yn

– ym | = | fn (x) – fm (x)| , n,m n (yn) este şir numeric Cauchy (yn)

convergent în R şi notăm y = yn. Avem: | y – f (x)| | y - yn | + | yn - fn (x)| + |

fn (x) - f (x)| + + = , n n = max{ n1(), n2()} şi xA y=

f(x) şi avem (12) .

(p3) Dacă x0 A A’ atunci avem: fn (x) = fn (x0) (din continuitatea lui fn pe

A) şi deci f(x0) = fn (x0) =

şi f este continuă în x0 A A’. Dacă x0 A este

punct izolat, atunci f este continuă în x0 .(p4) Demonstraţia în bibliografie ([7], [11], [13]).(p5) Dacă fn continuu pe [a, b] şi , atunci f este continuă şi există:

. Pentru a dovedi (14), fie

n n există

.◄

Teorema 6.6

149

Fie fn : A R, Sn : A R cu şi .

(P1) Dacă şi fn sunt mărginite pe A, atunci S este mărginită pe A (fn

mărginite şi uniform convergentă).

(P2) Dacă x0A’R şi există iar este uniform

convergentă cu suma S, atunci seria numerică este convergentă şi

are suma , deci avem:

(15) = .

(P3) Dacă fn : A R sunt funcţii continue şi este uniform convergentă pe A

cu suma S: A R, atunci S este funcţie continuă pe A.(P4) Fie I R interval mărginit şi nedegenerat, fn : A R funcţii derivabile pe I.

Dacă este convergentă cu suma f şi seria derivatelor este uniform

convergentă cu suma g pe I, atunci f este derivabilă pe I şi avem:

(16) .

(P5) Dacă fn : [a, b] R sunt integrabile sau chiar continue pe [a, b] şi seria de

funcţii este uniform convergentă cu suma S: [a, b] R atunci S este

integrabilă şi avem:

(17) .

Demonstraţia pentru (P1) – (P5) rezultă din definiţia 3 şi proprietăţile (p1) –

(p6) din teorema 5 aplicate şirului de funcţii

.◄ Exemple.

1. , avem , dar este

şir divergent.

2. şi

.

3. şi avem:

150

cu

4. pentru >1

absolut şi uniform convergentă pe R pentru >1. Cum

sunt continue

. Avem fn C1(R) cu şi

cu pentru >2 absolut şi uniform convergentă pe R cu

şi >2.◄

Serii de puteriSeriile de puteri reprezintă o generalizare naturală a funcţiilor polinomiale

şi în acelaşi timp, o clasă particulară de serii de funcţii. Din acest motiv seriile de puteri posedă toate proprietăţile seriilor de funcţii reale şi alte proprietăţi speciale care le leagă de funcţiile polinomiale, ca: continuitate, integrabilitate, derivabilitate şi sunt funcţii de clasă C pe mulţimea lor de uniformă

convergenţă. O serie de puteri (serie întregă) este o serie de funcţii cu

termenii . Şirul numeric (an) se numeşte şirul de coeficienţi ai seriei de puteri şi notăm:

(1) .

Observaţii

1. O serie este unic determinată de şirul coeficienţilor săi .

2. Orice serie de puteri este convergentă în x0 = 0 cu suma egală cu a0.3. Pentru x0 R fixat, se pot considera serii de puteri de forma generală:

. Toate rezultatele teoretice pentru serii de puteri sunt

valabile şi în cazul general .

4. Vom preciza structura mulţimii de convergenţă a unei serii de puteri şi proprietăţile seriilor de puteri uniform convergente.

151

Teorema 6.7 (Lema lui Abel sau Teorema a I-a a lui Abel).

Fie seria de puteri şi x0, x1 R* atunci au loc afirmaţiile:

(i) Dacă seria numerică este convergentă, atunci seria de puteri

este absolut convergentă în xR cu proprietatea: (1) | x | < < | x0 | ( x (- | x0 |, | x0 |)).

(ii) Dacă seria numerică este divergentă, atunci seria de puteri

este divergentă în xR cu proprietatea: (2) | x |> | x1 | ( x (- , - | x1 | ) (| x1 |, + )).

(iii) Dacă seria numerică este convergentă, atunci pentru R

cu ) 0< < | x0 | seria de puteri este uniform şi absolut convergentă pe compactul [-, ] (- | x0 |, | x0 |).

Demonstraţie (i) Dacă convergentă

convergent în R şir mărginit în R, deci există M > 0 a. î. de

unde avem: (3) . Fie xR cu proprietatea (1) |x|<|x0| şi

considerăm seria modulelor care verifică condiţiile:

convergentă în xR cu

proprietatea (1) este absolut convergentă în xR cu proprietatea (1),

deci pe intervalul (- | x0 |, | x0 |).(ii) Fie xR cu proprietatea (2) şi presupunem prin reducere la absurd că există

x0 R*cu | x0 |> | x1 | a. î. convergentă. După cazul (i) din | x1 | < | x0 |

rezultă că seria este absolut convergentă, ceea ce contrazice ipoteza (ii)

pentru x R cu proprietatea (2) seria este divergentă.

(iii) Pentru x [-, ] (- | x0 |, | x0 |), avem:

152

convergentă absolut şi

uniform convergentă pe [-, ].◄ Observaţii.1. Analizând afirmaţiile din teorema 1 (Lema lui Abel) găsim următoarele cazuri:

I. convergentă numai în x= 0 şi divergentă xR.

Exemplu. în x=0 are suma S=1 şi xR* fixat

este divergentă.

II. este absolut convergentă pe R.

Exemplu. pentru aplicăm criteriul

raportului: este

convergentă pe R este absolut convergentă pe R.

III. Există un element r[0,] a. î.

1. seria este absolut convergentă pentru xR cu |x| < r ( x(-r,

r));

2. seria este divergentă pentru xR cu |x| > r ( x (-, -r)

(r, +));

3. pentru |x| = r se va preciza natura seriilor numerice şi .

Exemple.

1) , există x0 = -1 a. î. convergentă este absolut convergentă

în x cu proprietatea: |x| < |-1| = 1 x(-1,1) şi cum convergentă iar

divergentă, avem mulţimea de convergenţă [-1, 1) pentru .

2) , există x0 = +1 a. î. convergentă este absolut

convergentă în x cu proprietatea: |x| < 1 x(-1, 1) şi cum x= -1 avem

153

= divergentă şi convergentă în x=1, atunci mulţimea de

convergenţă a seriei este (-1, 1].

3) , există x0 = +1 şi = - 1 a. î. convergentă şi

convergentă este absolut convergentă pe [-1, 1] (|x| |x0| = = 1).

2. Teorema 6.7 (Lema lui Abel) afirmă existenţa lui r[0,] din cazul III analizat mai sus.

Definiţia 6.4 Fie seria de puteri cu .

1] Elementul r[0,] definit prin: (4) r=sup {|x| | xR şi convergentă}

se numeşte raza de convergenţă a seriei de puteri , iar intervalul (-r, r) R se

numeşte intervalul (disc) de convergenţă al seriei de puteri .

2] Mulţimea de convergenţă sau domeniul de convergenţă al seriei notat DC are

interiorul, notat dat prin mulţimea:

(5) .

3] Funcţia f : DC R se numeşte suma seriei pe puteri, notată

.

Teorema 6.8

Fie seria de puteri cu raza de convergenţă r atunci au loc afirmaţiile:

1) este absolut convergentă în xR cu | x |< r ( x(-r, r)) .

2) seria este divergentă pentru xR cu |x| > r ( x(-, -r) (r,

+));

3) este absolut şi uniform convergentă pe orice compact [-, ] (-r, r)

unde 0< <r. Demonstraţie. 1) Fie xR fixat cu | x | <r şi după (4) există a. î. | x | < <r

şi seria este convergentă, deci este convergentă este

absolut convergentă în xR cu | x | <r.

154

(2) Fie xR fixat cu | x | >r. Dacă avem | x | < <, din (4) rezultă că seria

este divergentă (teorema 1) deci este divergentă cu

şi este divergentă în | x | >r.

3) Afirmaţia coincide cu (iii) din teorema 6.7 (Lema lui Abel).◄ Consecinţa 6.2

Fie seria de puteri cu raza de convergenţă r şi mulţimea de convergenţă

DC, atunci avem:I. Dacă r = 0 DC ={0}; II. Dacă r = DC =R;III. Dacă 0 < r < (-r, r) DC [-r, r]. Demonstratia este directă din teorema 6.7, definiţia 6.4 şi teorema 6.8.◄ Obsrevaţii.

1. Pentru x = r şi x = -r seriile numerice şi pot să fie fie

convergente, fie divergente.

2. Mulţimea de convergentă a seriei de puteri este de forma: DC = =

(-r, r); DC = {r} = (-r, r]; DC = {-r} = [-r, r); DC = {-r, r} =

[-r, r].3. Vom indica metode de calcul pentru raza de convergenţă r. Teorema 6.9

Fie seria de puteri cu raza de convergenţă r.

1] Dacă există , atunci avem:

(6) ;

2] Dacă există , atunci avem:

(6’) .

155

Demonstraţie. Pentru xR, seriei i se poate aplica criteriul

rădăcinei: sau criteriul raportului:

şi avem:

I. pentru l< 1 sau convergenţă; II. pentru l > 1 sau

divergenţă, şi folosind convenţiile: rezultă (6) şi (6’). ◄

Exemple.

1) cu şi

este absolut convergentă pe (-1,1).

Pentru x=1 (c).

Pentru x=-1 (c) DC = [-1, 1].

2) cu şi este absolut

convergentă pe .

Pentru x = (c).

Pentru x = (c) DC = .

Modulul 6.2 - Proprietăţi ale seriilor de puteri. Serii Taylor.

Fie seria de puteri cu raza de convergenţă r şi suma f: (-r,r)R cu

0 < r < şi notăm f(x) = , x(-r, r). După lema lui Abel (teorema 6.7 –

(iii)) pentru R cu 0<< r, seria de funcţii este uniform şi absolut convergentă pe compactul [-, ] (-r, r); termenii seriei funcţiile

sunt: continue, derivabile şi integrabile, atunci după teoremele de permanenţă (transfer) funcţia sumă f are aceleaşi proprietăţi pe [-, ].

156

Teorema 6.10 (Proprietăţi ale seriilor de puteri)

Fie cu raza de convergenţă r (0 < r < ) şi suma f, atunci au loc

proprietăţile:(p1) (Teorema a doua a lui Abel) Funcţia f este continuă pe [-, ] (-r, r).

Dacă seria numerică (respectiv ) este convergentă, atunci f

este continuă în x = r (respectiv x = -r).

(p2) Seria derivatelor are aceeaşi rază de convergenţă r şi avem: (7)

.

(p3) Seria integralelor are aceeaşi rază de convergenţă r şi avem: (8)

, [0,x] (-r, r).

(p4) Funcţia f este indefinit derivabilă pe [-, ] (-r, r) cu:

(9) .

(10) .

Demonstraţie. (p1) Pentru x0 [-, ] (-r, r) funcţia f este continuă,

deoarece este uniform convergentă şi sunt funcţii continue

f continuă în x0 (-r, r), deci f continuă pe (-r,r). Dacă este convergentă

atunci seria de puteri este uniform convergentă pe compactul [0, r] şi f

este continuă pe [0, r], deci şi în x= r ( ).

(p2) Pentru calculăm raza de convergenţă:

şi relaţia (7) rezultă din faptul că o serie de

funcţii uniform convergentă se poate deriva termen cu termen şi funcţia sumă este derivabilă pe [-, ] (-r, r).

(p3) Pentru calculăm raza de convergenţă

157

şi relaţia (8) rezultă din proprietatea: o

serie de funcţii uniform convergentă se poate integra termen cu termen şi suma sa este funcţie integrabilă.

(p4) Pentru [-, ] (-r, r) seria de funcţii este uniform convergentă pe

[-, ] şi seria derivatelor este uniform convergentă pe acelaşi

compact, deci i se poate aplica proprietatea (p2) avem:

. Prin inducţie se arată că are loc

formula (9) pentru k1, kN, din care rezultă (10).◄ Observaţii.

1. Orice serie de puteri cu raza de convergenţă r şi mulţimea de

convergenţa DC este uniform convergentă pe un compact [, ] DC; pe [, ] sunt valabile proprietăţile de continuitate, derivabilitate şi integrabilitate pentru suma sa f cu f: DC R.

2. Din (p4) rezultă că ; convergenţa seriilor numerice şi

nu implică în general derivabilitatea funcţiei f în punctele x= -r

şi x= r.3. Teorema a II a lui Abel (proprietatea (p1)) ne permite să calculăm suma

unor serii numerice folosind continuitatea lui f în punctele x= -r şi x= r

(există , ).

4. O serie de puteri cu raza de convergenţă r, va fi derivată termen cu

termen (conform proprietăţii (p2)) pe (-r, r) şi coeficienţii an sunt determinaţi, după (10), prin derivatele ale sumei sale f.

5. Dacă seria are raza de convergenţă r şi suma f, din (10) rezultă că

avem: (11) x(-r, r).

Teorema 6.11 (Operaţii alegebrice cu serii de puteri).

Fie date seriile de puteri şi cu razele de convergenţă r1 şi r2,

funcţiile sumă f şi g, atunci au loc afirmaţiile:1) Dacă r1 = r2 = r şi f(x) = g(x), x(-r, r), atunci an = bn , nN.

158

2) Seriile de puteri şi (R*) au aceeaşi rază de convergenţă

r1 şi funcţia f este suma seriei de puteri pe (-r1, r1).

3) Seria de puteri are raza de convergenţă rmin{r1,r2} şi suma f

+ g, pe (-r, r).

4) Seria de puteri produs după Cauchy cu :

(12) are raza de convergenţă r

min{r1,r2} şi suma f g, pe (-r, r). Demonstraţie. 1) Dacă f = g pe (-r, r) din (10) avem:

.

2) Demonstratia este directă din relaţiile şi

deoarece şi .

3) Fie r0 = min{r1,r2}. Dacă | x | < r1 şi | x | < r2, deci şi sunt

absolut convergente în x cu proprietatea | x | < r0 şi este, de

asemenea convergentă în aceste puncte x; raza de convergenţă r a seriei de

puteri este r < r0 şi ( - r0, r0) (-r, r), adică r0 r ; evident suma

seriei este funcţia f + g, pe (-r, r).4) Fie r0 = min{r1,r2} şi xR fixat cu | x | < r0 atunci | x | < r1 şi | x | < r2 seriile

şi sunt absolut convergente în aceste puncte x; după teorema lui

Mertens pentru serii numerice (xR fixat), produsul după Cauchy cu cn

dată prin (12) este o serie absolut convergentă; avem ( - r0, r0) (-r, r), deci r0

r şi vom nota: = .◄

Observaţii.1. Relaţia r min{r1,r2} din 3) şi 4) poate fi strictă.

Exemplu. şi cu r1 =r2= 0 are seria sumă

cu r = ; în acest caz r = > min{r1,r2} = 0.

159

2. Dacă seriile şi au razele de convergenţă r1 r2 notăm cu r =

min{r1,r2}. Presupunem r1 < r2 atunci pentru x R cu proprietatea r1 < | x | <r2,

seria este divergentă ( este divergentă şi este

convergentă). Pentru raza de convergenţă r a seriei avem r r1 şi

cum r1 < r2 r= r1= = min{r1,r2} (-r, r) = ( - r1, r1) ( - r2, r2).3. Se poate considera produsul după Cauchy:

.

4. Pentru seria de puteri cu raza de convergenţă r şi suma f : (-r,r)R are

loc relaţia: (11) x(-r, r).

Serii Taylor

Vom extinde reprezentarea (11) x(-r, r) şi

la cazul general cu IR interval nedegenerat şi 0 I ( x =0 punct interior lui I). Definiţia 6.5Fie IR interval, 0I şi f: I R cu . Se numeşte serie Taylor asociată funcţiei f în jurul punctului x=0, seria de puteri:

(13) .

Studiul seriilor Taylor asociate funcţiilor de clasă C pe un interval din R care are punct interior x=0, ridică două probleme esenţiale:I. Seria (13) este convergentă în punctele xI cu x0, adică raza de convergenţă r0 cu r(0, ] ?II. Seria (13) are ca sumă chiar funcţia generatoare f pe intervalul de convergenţă (-r, r) ? Exemple. 1) , iar deci

. Deci DC = R şi seria Taylor asociată lui

converge în xR; vom dovedi că suma acestei serii Taylor este .

160

2) este derivabilă pe [-1, 0] cu , x[-1, 0] şi

nN. Funcţia f admite şi să dovedim că f este derivabilă în x = 0.

Avem ; cum , există . Pentru

x(0,1], f este derivabilă ca o compunere de funcţii reale derivabile şi f este derivabilă pe [-1, 1]; în acelaşi mod se arată că şi avem

iar seria Taylor asociată lui f în x=0 este de forma:

cu suma S(x)=0. Funcţia f nu este suma seriei Taylor

asociată în jurul lui x=0, deoarece f nu este identic egală cu zero pe [-1, 1]. Teorema 6.12 (de reprezentare a funcţiilor de clasă C prin serii Taylor)Fie IR un interval nedegenerat, x=0 punct interior lui I şi cu f: I R. Dacă există M >0 a. î. (14) , xI şi nN atunci seria Taylor (13) este uniform convergentă pe I cu suma f, adică:

(15) .

Demonstraţie. În ipoteza teoremei 6.12, seria (15) are şirul sumelor parţiale

şi după formulele MacLaurin, avem: (16)

unde

cu între 0 şi x ( = x, 0< < 1). Pentru x(-a, a) | x |

< a, avem: unde şirul bn

este convergent: (bn >0, nN şi bn descrescător)

şi atunci are loc egalitatea (15). Aplicaţii.

I. Seria binomialăFie R şi seria de puteri:

(17) numită seria binomială cu

raza de convergenţă seria (17) este absolut convergentă pe (-

1, 1) şi notăm suma sa cu f: (-1, 1)R:

(17)’

Prin derivare din (17) avem:

161

de unde prin înmulţirea cu x

( x0), se obţine:

Adunând ultimele două egalităţi, avem:

unde:

şi deci . Cum f(x)0,

x(-1,1) şi f(x) > 0, avem: ,x(-1,1)

, x(-1,1) şi f(0) = 1 = c f(x) = (1 + x), x(-1,1). Seria binomială (17) are suma f(x)=(1 + x), deci:

(17)” şi R.

Formula (17)” este o generalizare a formulei binomului lui Newton (1 + x) cu N şi din acest motiv seria (17) se numeşte serie binomială.

II. Cazuri particulare ale seriei binomiale

1. = -1 (1) , x(-1,1).

2. În seria (1). trecem x = -x pe (-1, 1) şi obţinem:

(2) , x(-1,1).

3. Fie [0, x] (-1, 1) şi integrăm termen cu termen seria (1), avem:

(3) , x(-1,1).

La fel pe [0, x] (-1, 1) şi integrăm termen cu termen seria (2), avem:

(4) , x(-1,1).

4. Adunând membru cu membru seriile (3) şi (4) pe (-1,1), găsim:

(5) , x(-1,1).

5. În seria (3) trecem x x2 pe (-1, 1) şi avem:

(6) , x(-1,1).

6. În seria (1) trecem x x2 pe (-1, 1) şi avem:

162

(7) x(-1,1).

Pentru [0, x] (-1, 1) integrăm termen cu termen seria (7) şi obţinem:

(8) x(-1,1).

7. Pentru = din (17)”, avem:

(9)

8. Pentru = - din (17)”, avem:

(10)

9. În seria (10) trecem pe x - x2 cu x(-1, 1) şi obţinem:

(11)

10. Pentru [0, x] (-1, 1) integrăm termen cu termen seria (11) şi obţinem:

(12) x(-1,1).

11. Din teorema a II-a a lui Abel, avem:

(13) care permite să se calculeze cu o aproximaţie

precizată numărul .III. Calculul numeric al logaritmilor naturali

Avem (3) ,x(-1,1). Fie a un

număr pozitiv necunoscut şi să calculăm ln(a+1) (cu a+1 >0), dar: şi pentru a>1 din (3) se obţine:

(14) care este o serie încet

convergentă, mai ales dacă a este un număr mic. Vom folosi seria (5)

, x(-1,1) şi în acest scop

notăm: şi obţinem dezvoltarea:

(15) care este o serie rapid

convergentă. Pentru a=1, din (15) avem:

163

şi folosind metodele de calcul aproximativ al sumei

unei serii numerice cu termeni pozitivi convergentă, se poate calcula ln 2 cu un numar precizat de zecimale exacte.

IV. Dezvoltarea în serie Taylor a unor funcţii elementare1. cu xR şi . Pentru a >0, avem: , x(-a, a) R şi cum raza de

convergenţă r= , are loc egalitatea . Pentru x = 1

şi se poate calcula numărul e cu un număr precizat de

zecimale exacte.

2. f(x)= sin x, xR cu

cu :

, deci avem:

(17) , xR.

3. f(x)= cos x, xR cu

cu :

, deci avem:

(18) , xR.

4. f(x)= arctg x, xR . Notăm y = arctg x x = tg y şi avem:

. Prin metoda inducţiei se arată că,

avem: pentru ; are loc şi

relaţia . Pentru x = 0

şi se obţine:

(19) , xR unde:

164

. Pentru fiecare xR, fixat, şirul este

descrescător şi mărginit inferior de zero deci şi avem:

(20) cu raza r= 1 seria (20) este uniform

convergentă pe [-, ] (- r, r).

165