TEMA III

Să se determine eforturile în peretele cilindric al unui rezervor de apă din beton armat, produse de încărcarea cu presiunea hidrostatică a apei din rezervor, cunoscându-se următoarele:

Diametrul interior al rezervorului

d i=2 × ai=9+0,9 ×n [ m ]

Înălţimea peretelui

l=3,60+0,18× n [ m ]

Grosimea peretelui pt:

n=1 sau2δ=15 cm

n=3 sau 4 δ=16 cm

n=5 sau6 δ=17 cm

n=7 sau 8 δ=18 cm

n=9 sau10 δ=19 cm

Peretele este încastrat la bază în radier şi articulat la baza superioară în acoperiş.

Se vor plasa diagramele de eforturi pe înalţimea peretelui.

d i=2 × ai=9+0,9 ×3=11,7 [ m ]

l=3,60+0,18× 3=4,14 [ m ]

1. Stabilirea elementelor geometrice şi a schemei statice şi de încărcări

a=a i+δ2=5,85+ 0.16

2=5,93

a i=d i

2=5,85

d=2× a=11,86

pw=γ F × pw ,k

pw=valoareade calcula persiunii hidrostatice a apei

γ F=coeficientul parţial de siguranţă

γ F=1,5

pw , k=valoarecarac teristică a presiunii hidrostatice aapei

pw , k=γ w ×l

1

γ w=greutatea specifică a apei

γ w=10 KN /m3

Pw , k=10 × 4,14=41,4 KN /m2

Pw=1,5 × 41,4=62,1 KN /m2

Stabilirea tipului de placă cilindrică Dacă k ×l ≤ 5 cilindrul este scurt ( influenţa modului de rezemare de la cele

două capete ale peretelui cilindric se manifestă pe intreaga înălţime l a acestuia- peretelui )

Dacă k ×l>5 cilindrul este lung (influenţa rezemării de la cele două capete nu se transmite)

OBSERVATIE!

Relaţiile de calcul ale eforturilor sunt diferite pentru cele două plăci cilindrice.

k- coeficientul de amortizare

k=4√3 (1−μ2 )√a× δ

μ−coeficientullui Poisson

μ=0,167 ( pentru b . a . )

k=1

k ×l=1,34 × 4,14=5,58

k ×l>5 cilindrul este lung

Schema statică de încărcare

2

2. Calculul eforturilor secţionale

Încărcarea cu presiunea hidrostatică a apei este o încărcare simetrică. Eforturile secţionale care apar când plăcile cilindrice acţionate de încărcări simetrice sunt următoarele:

M x moment încovoietor longitudinal (pe direcţia axei x)

N xefort axial longitudinal (acţionează pe o direcţie paralelă cu axa peretelui)

Q x forţă tăietoare longitudinală

Nφefort axial inelar

M φmoment încovoietor inelar

Observaţie! Prin încărcarea cu presiunea hidrostatică a apei N x=0

2.1 Stabilirea secţiunilor de calcul ale eforturilor secţionale. La stabilirea secţiunilor de calcul de pe înălţimea l a peretelui cilindric se va ţine seama de:

-obţinerea valorilor extreme (maxime sau minime) a fiecărui efort secţional -trasarea prin puncte, cât mai precisă a variaţiei fiecărui efort pe înălţimea peretelui pentru a se putea face la dimensionarea armăturilor variaţia cantitaţii de armătură pe înălţime.

Diagramele eforturilor secţionale se vor trasa prin puncte după ce se calculează valoarea fiecărui efort în secţiunile de calcul alese.

Se observă că două eforturi secţionale ( N x şi M x ) acţionează în sens longitudinal ; două

eforturi secţionale ( Nφ şi M φ) acţionează pe direcţie inelară (solicită fibre tg. la cercurile

peretelui), iar forţa tăietoare Clx acţionează pe direcţie radială.În general asupra unui perete cilindric a unui rezervor de apă acţioneazămai multe

încărcări: -presiunea hidrostatică a apei-greutatea proprie a peretelui

3

-încărcarea provenită din acoperişul rezervorului-încărcarea datorată variaţiei de temperatură -încărcarea din împingerea activă a pământului de umplutură (când rezervorul este

îngropat). Din monograme (se mai numesc abace) rezultă poziţia secţiunilor în care eforturile din

acţiunea sarcinii triunghiulare iau valori particulare (valori maxime, minime sau nule) astfel: -secţiunea M x=max−sec ţ iuneade î ncastrare de labaz ă

-secţiunea M x=0−secţiuneade abscisă X0

-secţiunea M x=m∈−secţiuneade abscisă X1

-secţiunea Nφ=0−¿ secţiunea de la bază

-secţiunea Nφ=max−¿¿secţiunea de abscisă X2

Unde x0=k0× l

x1=k1 ×l

x2=k 2×l

k 0 , k1 , k2 se determină cu ajutorul abacelor pe baza produsului k ×l(în abace λ × l ) şi

raportul δt

unde t=δ=¿ δt=1

x0=k0× lk 0=0,01=¿ x0=0.41 [m ] x1=k1 ×l k1=0,24=¿x1=0,99 [m ] x2=k 2×l k2=0,37=¿ x2=1,53 [ m ]

Se vor alege ca secţiuni de calcul şi alte secţiuni situate spre partea superioară a peretelui, împărţind în 3 părţi egale distanţa rămasă de la ultima secţiune rezultată pe baza monogramei şi până la partea superioară a peretelui. Ultima secţiune caracteristică se va considera secţiunea cu x=l

4

Având în vedere structura relaţiilor de calcul ale eforturilor se stabilesc: -coordonatele adimensionale ξ şi ξ '

ξ=xl

; ξ '= x 'l

-coordonatele adimensionale ξ şi ξ '

ξ=k× x=φ ×l ξ '=ξ ' (k ×l )

Secţiunea 0

ξ= xl

0

ξ '= x 'l

=1

x '=l−x=l=4,14

ξ=ξ (k ×l )=0

ξ '=ξ (k ×l )=0

5

Secţiunea 1

ξ=xl=0,41

4,14=0,09

x=x0

ξ '= x '

l=3,73

4,14=0,9

x '=l−x0=3,73

ξ=ξ (k ×l )=0,09× 5,58=0,5

ξ '=ξ' (k ×l )=0,5× 5,58=2,79

Secţiunea 2

ξ= xl=0,99

4,14=0,23

ξ '= x '

l=3,15

4,14=0,76

x '=4,14−0,99=3,15

ξ=ξ (k ×l )=0,23×5,58=1,18

ξ '=ξ ' (k ×l )=1,28× 5,58=7,14

Secţiunea 3

ξ= xl=1,53

4,14=0,36

ξ '= x '

l=2,61

4,14=0,63

x '=4,14−1,53=2,61

ξ=ξ (k ×l )=0,36×5,58=2

6

ξ '=ξ (k ×l )=2× 5,58=11,16

Secţiunea 4

ξ= xl= 2,4

4,14=0,57

ξ '= x '

l=1,74

4,14=0,42

x '=4,14−2,4=1,74

ξ=ξ (k ×l )=0,57×5,58=3,18

ξ '=ξ (k ×l )=3,18 ×5,58=17,74

Secţiunea 5

ξ= xl=3,72

4,14=0,89

ξ '= x '

l= 0,42

4,14=0,10

x '=4,14−3,72=0,42

ξ=ξ (k ×l )=0,89× 5,58=4,96

ξ '=ξ (k ×l )=4,96 ×5,58=27,67

Secţiunea 6

ξ= xl=4,14

4,14=1

ξ '= x '

l=0

x '=4,14−4,14=07

ξ=ξ (k ×l )=1× 5,58=5,58

ξ '=ξ (k ×l )=5,58× 5,58=31,13

2.2 Schema statică a peretelui rezervorului ne arată că este vorba despre un sistem static nedeterminat. Rezolvarea peretelui respectiv, determinarea eforturilor şi a deformaţiilor se poate face fie prin metoda forţelor fie prin cea a deplasărilor.

2.3 Determinarea eforturilor

Eforturile secţionale şi deplasările în peretele cilindric al rezervorului rezultă din însumarea valorilor lor determinate pe sist. De bază din următoarele încărcări :

-încărcarea cu sarcina radială variabilă triunghiular pe înălţime provenită din presiunea hidrostatică a apei din bazin

-încărcarea cu reacţiunile forţa radială şi momentul încovoietor radial aplicate la cele două capete ale peretelui datorate legăturilor peretelui cu radierul la bază şi cu planşeul de acoperiş la partea superioară.Sistemul de bază (SB) este reprezentat de peretele cilindric considerat fără rigiditate la închidere şi având toate deplasările permise (deplasări radiale w şi rotiri x atât la bază cât şi la partea superioară).

8

Expresiile generale cu care se calculează eforturile şi deplasările sunt formulele :

E x=Ex0+E X

R +EXM+EX

R'+ EXM'

Δx=Δx0+ ΔX

R+ ΔXM+Δ X

R'+Δ XM '

E x , Δx−¿efortul respectiv, deplasarea(w sau x )în secţiunea x

E x0 , Δx

0−¿efortul respectiv, deplasarea în secţiunea x determinatăpe sist de bază din

încărcarea cu presiunea hidrostatică a apei

EXR ,Δ X

R −¿efortul respectiv, deplasarea în secţiunea x determinatăpe sist de bază din

încărcarea cu forţa radială R aplicată la bază

EXM , ΔX

M−¿ efortul respectiv, deplasarea în secţiunea x determinatăpe sist de bază din

încărcarea cu momentul încovoietor aplicat la bază

EXR' , Δ X

R '−¿ efortul respectiv, deplasarea în secţiunea x determinatăpe sist de bază din

încărcarea cu secţiunea radială aplicată la partea superioară

EXM ' , Δ X

M '−¿ efortul respectiv, deplasarea în secţiunea x determinatăpe sist de bază din

încărcarea cu momentul încovoietor şi aplicat la partea superioară.

2.3.1 Eforturi şi deplasări pe sist. De bază din încărcarea cu presiunea hidrostatică a apei

9

Eforturile şi deplasările pe sist.de bază se determină în teoria electricitaţii pe teoriei stării de membrană a plăcilor curbe subţiri. Se face o ipoteză care ne spune că din

cauza plăcii subţiri rigiditatea este nulă rezultând astfel QX0 =0 , M X

0 =0, în toria stării de

membrană în placa cilindrică a peretelui se produc numai eforturi inelare N l0 , iar N X

0 =0 ,

deoarece nu avem forţe exterioare verticale , presiunea hidrostatică a apei acţionând pe o direcţie radială.

Eforturi

N x0=0

M x0=0

Q x0=0

M φ0=0

Nφ0=

Pw

l× x ' ¿>

Pw ×a

l( l× x )

Obs.!

M φ=μ× M x

10

Deplasări

W x0=

pw ×a2

E× δ × l× x '=

pw ×a2

E ×δ ×l× (l−x )

χ x0=

−pw × a2

E × δ ×l

Eforturi şi deplasări pe sist. de bază din încărcarea cu secţiunile (forţa radială şi momentul încovoietor radial) de la cele două capete ale peretelui. Reacţiunile se nasc pe direcţiile deplasărilor împiedicate astfel:

-în secţiunea de la bază R , M ≠ 0 -în secțiunea de la partea superioară M’=0

R’≠0 Dar în general se observă că pentru încărcarea cu presiune hidrostatică a apei R’=0 (deoarece x’=0)

Valorile reacţiunilor rezultă din condiţia ca deplasările pe sist.de bază produse de încărcarea dată în sectiunea de la bază să fie egale şi dse sens contrar cu deplasările produse de cele două reacţiuni R şi M.

Eforturi şi deplasări pe sist.de bază din încărcarea cu forţă radială din secţiunea de la bază.

Eforturi

NφR=2 R × K ×aψ1 (k × x )

M XR =−R

K×ψ2 (k × x )

11

Q xR=−R ×ψ 4 (k× x )

Unde: ψ1 (k× x )=e−kx ×cos (kx )

ψ2 (k × x )=e−kx ×sin ( kx )

ψ4 (k × x )=e−kx (coskx+sin kx )Deplasări

w XR = R

2 k × k3×ψ1 (k × x )

χ xR= −R

2 k ×k 2×ψ3 (k× x )

ψ3 (kx )=e−kx (cos kx+sin kx )

k= E ×δ 3

12 (1−μ2 )

Eforturi şi deplasări pe sist.de bază din încărcarea cu momentul încovoietor radial M din secţiunea de bază.

12

EFORTURI

NφM=2×√3 (1−μ2 ) × M

δ×ψ4 ( kx )

M xM=M × ψ3 (kx )

Q xM=−2× M ×k ×ψ2 (kx )

DEPLASĂRI

W xM= −M

2 K × k2×ψ 4 (kx )

χ xM= M

K × kψ1 (kx )

2.4 Determinarea reacţiunilor R şi M

Determinarea nec.static nedeterminat R şi M se face prin scrierea sist.de ec.de condiţii în secţiunea de la bază(încastrare) în care x=0 şi w0=0 , X 0=0

Adică : w0=0

χ0=0 ¿>¿ w0=w00+w0

R+w0M=0

χ0= χ00+ χ0

R+ χ0M=0

Se rezolvă sist. şi se obţin valorile pt M şi K. Apoi se calculează şi secţ.de calcul alese eforturile E0 , ERşi EM, ultimele 2 eforturi rezultând prin înlocuire în relaţiile de mai sus ale eforturilor R şi M cu valorile multiple.

w00=

pw ×a2

E ×δ × l(l−x )=

pw ×a2

E × δ=61,1 ×5,932

E× 0,16=13428,59

E

w0R= R

2 k × k3×ψ1 × ( kx )

ψ1 (kx )=e−kx ×cos (kx )=1

13

K= E ×δ 3

12 ×(1−μ2)= E ×0,163

12¿¿

w0R= R

2 × 0,00035× E ×1,343=593,72 × R

E

w0M= −M

2k × k2×ψ4 (kx )=−795,59× M

E

ψ4 (kx )=e−kx× ¿

593,79 RE

−795,59 ME

=−13428,59E

χ00=

−pw × a2

E × δ ×l= −62,1 ×5,932

E ×−0,16× 4,14=−3296,70 R

E

χoR= −R

2 k ×k 2×ψ3 (kx )= −R

2× 0,00035 ×1,342=−795,59 R

E

χ0M= M

K × k× ψ1 ( kx )= M

0,00035× 1,34=2132,19 M

E

−795,59 RE

+ 2132,19 ME

=3296,70E

{593,72 RE

−795,59 ME

=−13428,59E

/¿E

−795,59 RE

+ 2132,19 ME

=3296,70E

/¿E

{593,72 R−795,59 M=−13428,59/¿795,59−795,59 R+2132,19 M=3296,70/¿593,72

{ 472357,6948 R−632963,4481 M =−10683651,92−4723557,6948 R+1265923,847 M=1957316,724

¿ +632960,3989 M=−8726335,196

M=−8726335,196632960,3989

=−13,78

M=−13,78

472357,69 R−632963,44 × (−13,78 )=−10683651,92

472357,69 R+8722236,315=−10683651,92

472357,69 R=−10683651,92−8722236,315

14

R=−19405888,12472357,69

R=−41,08

ψ1

ψ1 (kx )=e−kx ×cos (kx )

Secț. 0 ψ1 (kx )=1

Secț. 1 ψ1 (kx )=0,58

Secț. 2 ψ1 (kx )=0,26

Secț. 3 ψ1 (kx )=0,12

Secț. 4 ψ1 (kx )=0,040

Secț. 5 ψ1 (kx )=0,012

Secț. 6 ψ1 (kx )=0,0039

ψ2

ψ2 (kx )=e−kx ×sin (kx )

Secț. 0 ψ2 (kx )=0

Secț. 1 ψ2 (kx )=0,0061

Secț. 2 ψ2 (kx )=0,0061

15

Secț. 3 ψ2 (kx )=0,0046

Secț. 4 ψ2 (kx )=0,0022

Secț. 5 ψ2 (kx )=0,00095

Secț. 6 ψ2 (kx )=0,00037

ψ3

ψ3 (kx )=e−kx ×(cos kx+sin kx)

Secț. 0 ψ3 (kx )=1

Secț. 1 ψ3 (kx )=0,58

Secț. 2 ψ3 (kx )=0,27

Secț. 3 ψ3 (kx )=0,13

Secț. 4 ψ3 (kx )=0,042

Secț. 5 ψ3 (kx )=0,013

Secț. 6 ψ3 (kx )=0,0042

ψ4

ψ4 (kx )=e−kx×(coskx−sin kx)

Secț. 0 ψ4 (kx )=1

Secț. 1 ψ4 (kx )=0,25

Secț. 2 ψ4 (kx )=0,16

Secț. 3 ψ4 (kx )=0,12

Secț. 4 ψ4 (kx )=0,038

Secț. 5 ψ4 (kx )=0,011

Secț. 6 ψ4 (kx )=0,0035

Eforturi

NφR=2 R × K ×aψ1 (k × x )

M XR =−R

K×ψ2 (k × x )

16

Q xR=−R ×ψ 4 (k× x )

NφR=2 R × K ×aψ1 (k × x )

Secț. 0 NφR=652,85

Secț. 1 NφR=378,65

Secț. 2 NφR=169,74

Secț. 3 NφR=78,34

Secț. 4 NφR=26,11

Secț. 5 NφR=7,83

Secț. 6 NφR=2,5

M XR =−R

K×ψ2 (k × x )

Secț. 0 M XR =0

Secț. 1 M XR =0,18

Secț. 2 M XR =0,18

Secț. 3 M XR =0,14

Secț. 4 M XR =0,06

Secț. 5 M XR =0,02

Secț. 6 M XR =0,01

Q xR=−R ×ψ 4 (k× x )

Secț. 0 Q xR=1

17

Secț. 1 Q xR=10,27

Secț. 2 Q xR=6,27

Secț. 3 Q xR=4,92

Secț. 4 Q xR=1,56

Secț. 5 Q xR=0,45

Secț. 6 Q xR=0,14

Eforturi

NφM=2 ×√3 (1−μ2 ) × M

δ×ψ4 ( kx )

M xM=M × ψ3 (kx )

Q xM=−2× M ×k ×ψ2 (kx )

NφM=2×√3 (1−μ2 ) × M

δ×ψ4 ( kx )

Secț. 0 NφM=−293,68

Secț. 1 NφM=−73,42

Secț. 2 NφM=−46,98

Secț. 3 NφM=−35,24

Secț. 4 NφM=−11,15

Secț. 5 NφM=−3,23

Secț. 6 NφM=−1,02

M xM=M × ψ3 (kx )

Secț. 0 M XM=0

Secț. 1 M XM=0,22

18

Secț. 2 M XM=0,22

Secț. 3 M XM=0,16

Secț. 4 M XM=0,08

Secț. 5 M XM=0,03

Secț. 6 M XM=0,01

Q xM=−2× M ×k ×ψ2 (kx )

Secț. 0 Q xM=−13,78

Secț. 1 Q xM=−7,99

Secț. 2 Q xM=−3,72

Secț. 3 Q xM=−1,79

Secț. 4 Q xM=−0,57

Secț. 5 Q xM=−0,17

Secț. 6 Q xM=−0,05

19