9

Tema 2. Şiruri şi serii numerice. Aplicaţii

Modul I. Şiruri numerice convergente în R. Serii numerice convergente

Vom studia noţiunea fundamentală de “limită a unui şir numeric”, folosind rezultatele cunoscute din liceu (fără demonstraţii) şi unele completări importante. Definiţia 1.

1. Se numeste şir de numere reale orice funcţie f : N →R cu f(n) notat xn ∈ R, unde n este rangul sau locul termenului în şir şi xn este termenul general al şirului; notăm şirul prin (xn).

2. Pentru orice şir strict crescător spre (+∞) de numere naturale: n0<n1<...<nk<... şirul

1k

notat

n kx y= k∈ N se numeşte subşir al şirului (xn). 3. Nu se confundă şirul (xn) care este o funcţie, cu mulţimea termenilor

săi {x0, x1, ..., xn, ...} ⊂ R; pentru un subşir avem: {0 1, ,...,

kn n nx x x , ...} ⊂

{ x0, x1, ..., xn, ...}⊂ R. Un şir (xn) se numeşte şir constant dacă xn= x0, ∀ n ≥ 0. Un şir (xn) se numeşte şir periodic dacă există k∈ N a.î. xn+k = xn, ∀ n∈ N (⇔ f(n+k) = f(n), ∀ n∈ N).

4. Un şir (xn) se numeşte şir staţionar dacă există n0 cu n0∈ N a.î. xn= xn0, ∀ n ≥ n0 (⇔ f(n) = f(n0)), ∀ n ≥ n0.

Exemple

1. xn=( )

n1 n− , n≥1 are elementele –1,

21 ,

31− ,

41 ,...

2. 0 1 2 3 4, , , , , 53 , 5n

x x x x x nx

n<

= ≥ are elemente: x0, x1, x2, x3, x4, 3, 3, ..., 3, ...

este un şir staţionar (are n0 = 5, deci xn=3 pentru ∀ n ≥ 5). 3. (xn) dat prin: 1, 0, 2, 3, 1, 0, 2, 3, ... este şir periodic. 4. xn = a∈ R, ∀ n ∈ N este şir constant.

5. xn=( )

21

21 n−+ cu elementele: 0, 1, 0, 1, ... este un şir periodic.

6. xn= n21 , ∀ n ≥ 0 are subşirul 2 1

12kn kx += cu mulţimea elementelor

⊂

+KKKK ,

21,,

21,

21,

21,1,

21,,

21,

21,

21

n321n253

deci (yk)k≥0 =(knx ) k≥0=

0k1k22

1≥

+

.

10

Definiţia 2. 1. Un şir de numere reale (xn) este şir mărginit în R dacă mulţimea termenilor

{xn | n ∈ N}⊂ R este o mulţime mărginită în R, adică există un interval mărginit I ⊂ R a. î. xn∈ I, ∀ n ∈ N.

2. Şirul (xn) este mărginit în R, dacă şi numai dacă există a > 0 a. î. |xn| ≤ a, ∀ n ∈ N ⇔ xn∈ [-a, a] ∀ n ∈ N.

Exemple

1. xn=( )

n1 n− este mărginit în R: |xn|≤1, ∀ n∈ N*.

2. xn=(-1)n este mărginit în R: |xn| ≤ 1, ∀ n∈ N. 3. xn = n (n∈ N) este şir nemărginit în R; pentru ∀ a∈ ∗

+R foarte mare, există n∈ N a. î. n = xn > a (după axioma lui Arhimede).

4. xn= -n2 (n ∈ N) este un şir nemărginit în R; pentru ∀ a > 0, a∈ R suficient de mare există un termen xn astfel încât: |xn|>a.

5. I. Şirul periodic: 0, 1, 2, 0, 1, 2, ... este şir mărginit în R deoarece există I = (-1, 3) mărginit a. î. xn ∈ I, ∀ n ∈ N. II. Şirul constant: a, a, ..., a, ... (a∈ R) este mărginit în R III. Şirul staţionar xn =

0nx , ∀ n ≥ n0 este mărginit în R;

există a = max{|x0|, |x1|, |x2|, ...,| 0nx |} a. î. |xn| ≤ a, ∀ n∈ N.

Definiţia 3 1. Un şir (xn) se numeşte şir crescător dacă: xn ≤ xn+1, ∀ n∈ N şi şir strict

crescător dacă: xn< xn+1, ∀ n∈ N. 2. Un şir (xn) se numeşte şir descrescător dacă: xn ≥ xn+1, ∀ n∈ N şi şir strict

descrescător dacă: xn > xn+1, ∀ n∈ N. 3. Un şir (xn) se numeşte şir monoton dacă este: fie crescător, fie descrescător,

fie strict crescător, fie strict descrescător. Observaţii 1. Se poate testa monotonia unui şir prin două procedee:

1. se precizează semnul diferenţei (xn+1 - xn) pentru n∈ N. 2. se compară cu 1, în cazul xn ≠ 0 şi de semn constant, raportul 1n

n

xx

+ , n∈ N.

2. Exemple 1. xn= n2, n∈ N este şir strict crescător. 2. xn= - n, n∈ N este şir strict descrescător.

3. xn= n1n + =

n11+ este strict descrescător (xn+1- xn= ( ) 0

1nn1 <+

− )

4. xn=2, ∀ n ∈ N un şir constant este simultan crescător şi descrescător

5. xn=( )n

1n n−+ nu este monoton (xn+1- xn=( )( )

( )1nn11n2 1n

+−+ +

are semn variabil

după n par şi n impar).

11

Vom considera următoarele clase de şiruri de numere reale: şiruri convergente în R, şiruri divergente, şiruri Cauchy (fundamentale) şi şiruri cu limită (în R ). Definiţia 4. 1. Fie xn ∈ R, ∀ n∈ N. un element x0∈ R este limita şirului (xn), dacă şi numai

dacă avem: (1) ∀ V∈ V (x0), ∃ nv ∈ N a. î. xn∈ V pentru ∀ n > nv şi notăm xn →x0.

Şirul (xn) care satisface (1) se numeşte şir cu limită (în R ). 2. Şirul (xn) este şir convergent în R, prin definiţie dacă: (I) ∃ lim nn

x→∞

= =x0, (II)

x0 ∈ R. 3. Dacă nu există ∃ lim nn

x→∞

sau ∃ lim nnx

→∞ = - ∞ sau ∃ lim nn

x→∞

= +∞, prin definiţie,

(xn) este şir divergent. 4. Şirul (xn) se numeşte şir fundamental sau şir Cauchy, dacă şi numai dacă,

satisface condiţia Cauchy: (2) {∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N a. Î., ∀ n ≥ nε şi ∀ p ≥ 1, p ∈ N ⇒ |xn+p - - xn| < ε}.

Observaţii: 1. Un şir cu limită, deci ∃ lim nn

x→∞

= x0, poate fi un şir convergent dacă x0∈ R sau

şir divergent dacă x0 = - ∞ sau x0 = + ∞. 2. Şirurile de numere reale (xn) şi (yn) cu proprietatea:

(3) ∃ n0 ∈ N a. î. xn = yn, ∀ n ≥ n0 au aceeaşi limită, deci xn → x0 ⇔ yn →x0 sau au aceeaşi natură: sunt simultan convergente sau divergente şi în plus ∄ lim nn

x→∞

⇔ ∄ lim nny

→∞.

3. Proprietatea din (3) arată că se pot suprima sau adăuga un număr finit de termeni ai şirului (xn) sau la (xn), fără a influenţa natura şirului: fie (xn) convergent, fie (xn) divergent, fie (xn) şir cu limită, fie (xn) şir fundamental.

4. Proprietatea de monotonie a unui şir, după (3), poate avea loc suprimând un număr finit de termeni care nu sunt în relaţia de monotonie respectivă.

5. Definiţia limitei unui şir se exprimă, echivalent, astfel: “Un şir de numere reale (xn) are limita x0 ∈ R , dacă în afara oricărei vecinătăţi a elementului x0 rămân eventual, cel mult un număr finit de termeni ai şirului (xn)”.

6. Orice şir staţionar, xn=0nx , ∀ n ≥ n0, n0 ∈ N este un şir convergent şi

0

R

n nx x→ .

Un şir constant xn = x0, ∀ n ≥ 1 este un şir convergent şi 0

R

nx x→ . Un şir periodic, ∃ k∈ N a. î. xn+k = xn, ∀ n ∈ N este un şir divergent. 7. Exemple:

(1) xn = 1 1Rn

n+ → ⇔ ∀ V ∈ V (1), există V’ = (1 - ε, 1 + ε) ⊂ V cu ε > 0

arbitrat şi convenabil ales, atunci ∃ nv∈ N a. î. ∀ n ≥ nv ⇒ xn∈ V ⊂ V’ ⇔ 1- ε < 1n

n+ < 1 + ε ⇒ xn – 1 = = 1n

n+ - 1 < ε ⇒ 1

n< ε şi după

12

axioma lui Arhimede există nv notat= nε a. î. nv > 1

ε ⇒ nε = [ 1

ε] + 1 ⇒

lim nnx

→∞ = 1.

(2) xn = n şirul numerelor naturale este divergent şi anume, nu există x0 ∈ R a. î., lim xn = x0 . Fie V∈ V (x0) cu V = (x0 - 1

2, x0 + 1

2 ) şi în afara lui

V se află un singur număr natural dacă x0 > 12

şi nici un număr natural

dacă x0 ≤ 12

deci în afara lui V se găsesc o infinitate de termeni ai

şirului xn = n, n ≥ 0 ⇒ x0 nu este limita lui xn şi în general, lim xn ∉ R. (3) Şirul xn = 2

1n

cu n ≥ 1 este şir Cauchy (fundamental) ⇔ ∀ ε > 0, ∃ nε

∈ N a î, ∀ n ≥ nε şi ∀ p ≥ 1 ⇒ |xn+p - xn| = | 21

( )n p+ - 2

1n

| = 21n

-

21

( )n p+ ≤ 2

1n

- 1( )n n p+

≤ 1 1 1(1 )n n n

− < < ε ∀ p ≥ 1 şi ∀ n ≥ nε = [ 1ε

] + 1.

(4) Şirul xn = sin3

nπ , n ≥1 nu are limită în R. Avem |xn| ≤ 1, ∀ n ≥ 0 şi dacă

există x0 ∈ R a. î. lim nnx

→∞ = x0 atunci |x0| ≤ 1. Fie ε0 = 3

2, ∃ n0 ∈ N a. î.

xn ∈ V ∈ V (x0) cu V = (x0 - 32

, x0 + 32

) ⇔ x0 - 32

< xn < x0 + 32

,

∀ n ≥ n0. Dacă n∈ N cu n = 6n0 ±1 şi xn ∈ V ⇔ x0 - 32

<

0(6 1)sin3

n π± < x0 + 32

⇔ x0 - 32

< ± 32

< x0 + 32

⇔ |± 32

- x0| <

32

şi atunci avem: 3 = | 32

- (- 32

)| = |( 32

- x0) – ( - 32

- x0)| ≤

≤ | 32

- x0| + | x0 + 32

| < 3 , ceea ce este absurd, deci nu există x0∈ R

a. î. lim nnx

→∞ = x0 .

Teorema 1. (Teorema de caracterizare pentru şiruri cu limită). Fie (xn) un şir de numere reale şi un element x0 ∈ R , atunci au loc

afirmaţiile: i) lim nn

x→∞

= x0 , x0∈ R ⇔ (4) ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N a. î. ∀ n ≥ nε ⇒ d(xn, x0)

= | xn - x0| < ε. ii) lim nn

x→∞

= + ∞ ⇔ (5) ∀ a∈ *+R , ∃ na ∈ N a. î. ∀ n ≥ na ⇒ xn> a.

iii) lim nnx

→∞ = - ∞ ⇔ (6) ∀ a∈ *

-R (a < 0), ∃ na ∈ N a. î. ∀ n ≥ na ⇒ xn< a. Demonstraţia teoremei este în Manualul de Matematică pentru clasa a

XI-a în partea “Elemente de analiză matematică”.

13

Observaţii: 1. Condiţia (4) din teorema 1 se poate interpreta astfel: termenii şirului

(xn): x0, x1, ..., xn, ... sunt aproximaţii succesive ale numărului x0 şi se poate considera x0 ≅ xn, ∀ n ≥ nε cu o eroare absolută En = |xn – x0| < ε care tinde la zero în R.

2. Condiţia (4) este echivalentă cu: lim xn = x0 ∈ R ⇔ 0lim ( , )nnd x x

→∞ =

0lim | |nnx x

→∞− = 0.

3. Afirmaţia din (4) în multe manuale universitare este numită “definiţia limitei cu ε şi nε” ([11]), deorece (4) este echivalentă cu (1) din definiţia 4 în care vecinătăţile lui x0 sunt intervale simetrice (∀ V∈ V (x0), V = ( x0 - ε, x0 + ε) cu ∀ ε >0).

Teorema 2 (Proprietăţi ale şirurilor convergente) Fie (xn) un şir convergent in R atunci au loc afirmaţiile: (i) Orice şir convergent în R are limită unică. (ii) Prin adăugarea sau suprimarea unui număr finit de termeni la un şir

convergent, acesta rămâne convergent cu aceeaşi limită. (iii) Orice subşir al unui şir convergent este un şir convergent cu aceeaşi

limită. (iv) Dacă (xn) este convergent în R, atunci (xn) este şir mărginit

(condiţie necesară). (v) Dacă (xn) este convergent în R, atunci (xn) este şir Cauchy (condiţie

necesară). Demonstraţie:

(i) Fie lim xn = x0 şi lim xn = y0 cu x0 ≠ y0, atunci după proprietatea Hausdorff există V ∈ V (x0) şi W ∈ V (y0) cu V ∩ W = ∅ . Cum d(x0, y0) = α >0,

luăm V = (x0 - 3α , x0 + 3

α ), W = (y0 - 3α , y0 + 3

α ) şi V ∩W=∅ . În afara lui

V cad o infinitate de termeni xn∈ W şi la fel în afara lui W cad o infinitate de termeni xn∈ V, deci x0 ≠ y0 este o presupunere falsă şi avem x0 = y0 = =lim xn.

(ii) Este o consecinţă directă din (3). (iii) Fie lim xn = x0 şi ∀ yk =

knx un subşir al lui (xn), după (4) avem: ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N a. î. ∀ n ≥ nε ⇒ | xn- x0| < ε. Fie kε ∈ N cel mai mic număr natural cu proprietatea: kn

ε≥ nε, atunci ∀ k ≥ kε ⇒ nk ≥ kn

ε ≥ nε şi | knx

- x0| < ε ⇒ ∃ limknk

x→∞

= x0.

(iv) Fie x0 = lim xn şi după (4) alegând ε = 1, ∃ n0 ∈ N a. î. ∀ n ≥ n0 ⇒ |xn - x0| < 1 ⇒ |xn| = | xn - x0 + x0| ≤ |xn – x0| + |x0| < 1 + |x0|, ∀ n ≥ n0. Notăm M = max{|x1|, |x2|, ... | 0nx |, 1 + |x0|} şi avem |xn| ≤ M, ∀ n∈ N ⇒ (xn) mărginit.

14

(v) Fie x0 = lim xn şi considerăm (4) cu 2ε , atunci: | xn + p- xn| = | xn + p – x0 + x0

- xn| ≤ | xn + p- x0| + | x0 - xn| < 2ε +

2ε = ε

(2)⇒ (xn) este şir Cauchy, ∀ p ≥ 1 şi

∀ n ≥ nε. Observaţii:

1. Dacă pentru (xn)∈ R, există lim nnx

→∞ ∈ R acesta este unică.

2. Elementele x0∈ R pentru care există subşiruri ale lui (xn) a. î. x0 = = limknk

x→∞

se

numesc puncte limită ale şirului (xn) şi mulţimea acestor puncte limită este notată cu L(xn). Dacă (xn) este convergent în R, atunci L(xn) = {x0} cu x0 = lim xn.

3. Dacă un şir conţine subşiruri care au limită, nu rezultă în mod obligatoriu că şirul are limită. Dacă (xn) conţine două subşiruri care au limite diferite atunci (xn) este şir divergent.

4. Reciproca afirmaţiei (iii) nu este în general adevărată. Dacă toate subşirurile lui (xn) sunt convergente cu aceeaşi limită, atunci şirul (xn) este şir convergent.

5. Reciproca afirmaţiei (iv) nu este în general adevărată. Există şiruri mărginite care nu sunt convergente. Exemple:

1. xn=(-1)n cu |xn|≤1 şir mărginit şi divergent deoarece limk→∞

x2k=1 şi limk→∞

x2k + 1= - 1.

2. Şirul periodic (xn) dat prin: 0, 1, 2, 0, 1, 2, ... este un şir mărginit, xn∈ [- 12

, 3],

∀ n∈ N şi divergent. Teorema 3 (Lema lui Cesaro) Orice şir mărginit cu elemente din R conţine cel puţin un subşir convergent. Demonstraţia în bibliografie ([6], [13], [16]). Teorema 4. (Teorema Weierstrass sau teorema de convergenţă a şirurilor monotone) Orice şir monoton crescător şi mărginit superior, (xn) ∈ R este şir convergent şi are limita egală cu sup{xn | n∈ N}. Orice şir monoton descrescător şi mărginit inferior, (xn) ∈ R este şir convergent şi are limita egală cu inf{xn | n∈ N}. Demonstraţie. Fie xn∈ R crescător şi mărginit superior, deci: xn ≤ xn + 1, ∀ n∈ N şi există sup{xn| n∈ N} = α ∈ R. Avem α = sup{xn| n∈ N} ⇔ I) xn ≤ α, ∀ n∈ N (α este majorant); II) ∀ ε >0, ∃ nε ∈ N a. î. nx

ε> α - ε (α este cel mai mic majorant).

Pentru ∀ ε > 0, fie nε∈ N din (II) şi pentru ∀ n ≥ nε, avem: α - ε < nxε ≤ xn ≤ α<

α + ε ⇔ α - ε < xn < α + ε (∀ n≥ nε) ⇔ (4) ∀ε >0, ∃ nε∈ N a. î. ∀ n ≥ nε ⇒ | xn - α| < ε ⇒ ∃ α = lim xn ∈ R şi deci xn este şir convergent.

15

Teorema 4. (Proprietăţi ale şirurilor Cauchy) Fie (xn) un şir fundamental din R, atnci au loc următoarele afirmaţii: (i) xn este şir mărginit în R; (ii) Dacă (xn) conţine un subşir (

knx ) convergent în R cu limknk

x→∞

= x0, atunci xn

este convergent şi lim nnx

→∞ = x0.

Demonstraţie. (i) Fie ε = 1 în definiţia 4 şi din (2) rezultă că există n1 ∈ N a. î. | xn- 1nx | ≤ 1, ∀ n ≥ n1, atunci avem: |xn| = | xn - 1nx +

1nx | ≤ | xn - 1nx | + |1nx |

≤ 1 + |1nx |, ∀ n ≥ n1. Notăm M = max{|x1|, |x2|, ..., | 1nx |, 1 + |

1nx |} şi avem: |xn| ≤ M, ∀ n∈ N ⇒ (xn) este şir mărginit în R. (ii) Fie (

knx ) subşir al lui (xn) cu 1 (4)

0limk

Teorema

nkx x

−

→∞= ⇔ (4’) {∀ε , ∃ kε ∈ N a. î. ∀ k ≥

kε ⇒ |knx - x0| < 2

ε } şi cum (xn) este şir fundamental, ∀ε > 0, ∃ nε′ ∈ N a. î. n ≥ nε

avem: | knx - xn| <

2ε (deorece nk > n, ∀ k ∈ N). pentru ε > 0, ∃ nε ∈ N cu nε =

max {kε, nε′ } a. î. pentru ∀ n ≥ nε ⇒ | xn - x0| = | xn - knx +

knx - x0| ≤ | xn - knx | +

| knx - x0| < 2

ε + 2ε = ε ⇒ (xn) este convergent cu lim nn

x→∞

= x0.

Teorema 5. (teorema lui Cauchy pentru carcaterizarea şirurilor convergente în R)

Fie (xn) un şir de elemente din R. Şirul (xn) este convergent dacă şi numai dacă, xn este şir Cauchy (fundamental).

Demonstraţie. Necesitatea. (xn) convergent în R ⇒ (xn) şir Cauchy după afirmaţia (iv) din teorema 2.

Suficienţa. (xn) şi Cauchy ⇒ (xn) şir convergent în R. Dacă (xn) şir Cauchy după afirmaţia (i) din teorema 4 avem (xn) şir mărginit. După lema lui Cesaro (teorema 3) (xn) şir mărginit în R conţine cel puţin un subşir (

knx ) convergent în R şi fie 0lim

knkx x

→∞= . După proprietatea (ii) tin teorema 4 şirul (xn)

ete convergent şi lim nnx

→∞= x0.

Observaţii. 1. Dacă (xn) din R satisface condiţia Cauchy (2) din definiţia 4, atunci

(xn) este şir Cauchy şi după teorema 3 (xn) este şir convergent în R. 2. Testul Cauchy din (2) precizează natura şirului (xn): convergent în R,

dar nu dă informaţii asupra limitei lui (xn). 3. Mulţimea şirurilor Cauchy din R, după teorema 5, coincide cu

mulţimea şirurilor convergente în R. Teorema 6 (Proprietăţi algebrice şi relative la relaţia de ordine ale şirurilor convergente în R) Fie (xn) şi (yn) şiruri convergente în R cu lim nn

x→∞

= x0 şi lim nny

→∞= y0, atunci au

loc afirmaţiile:

16

(P1) Şirul (|xn|) convergent în R cu lim | |nnx

→∞ = |x0|. Reciproca nu este în general

adevărată. (P2) Şirul (xn ± yn) este convergent în R cu lim

n→∞xn ± yn = x0 ± y0.

(P3) Şirul (xn ⋅ yn) este convrgent în R cu limn→∞

xn ⋅ yn = x0 ⋅ y0.

(P4) Dacă yn ≠ 0, n ≥ 1 şi y0 ≠ 0, şirul ( n

n

xy

) este convergent în R cu limn→∞

n

n

xy

= 0

0

xy

.

(P5) Dacă xn ≤ yn, n∈ N, atunci x0 ≤ y0. (P6) Dacă lim

n→∞xn = lim

n→∞ yn = x0 şi avem xn ≤ zn ≤ yn, n ≥ 1, atunci (zn) este

convergent în R şi limn→∞

zn = x0.

(P7) Dacă există αn R→ 0 a. î. | zn - z0| ≤αn, ∀ n≥ 1 atunci (zn) este convergent şi

limn→∞

zn = z0. Demonstraţiile acestor proprietăţi sunt cele din Manualul de Matematică pentru clasa a XI –a, partea intitulată “Elemente de analiză matematică”. Observaţii. 1. Dacă (xn) este şir mărginit şi (yn) este convergent cu lim

n→∞yn = 0, atunci (xn yn)

este convergent şi limn→∞

xn yn = 0.

2. Dacă (xn) este convergent cu limn→∞

xn = x0, atunci ∀ α ∈ R* şirul (αxn) este

convergent cu limn→∞

αxn = αx0.

3. Dacă (xn ) şi (yn) sunt şiruri convergente, atunci pentru ∀ α, β∈ R* şirul (αxn

+ βyn) este convergent şi limn→∞

αxn +βyn = limn→∞

αxn + limn→∞

βyn. 4. Mulţimea şirurilor de numere reale convergente în R are structura algebrică

de spaţiu liniar real. 5. Mulţimea şirurilor de numere cu limită în R , cu anumite restricţii impuse de

convenţiile din definiţia lui R are proprietatea de R – liniaritate. lim(αxn) = α lim xn ; ∀ α ∈ R* (omogenitate) lim (xn + yn) = lim xn + lim yn (aditivitate) ⇒ lim (αxn + βyn) = α lim xn + β lim yn; ∀ α, β ∈ R*. 6. Din proprietăţile de: existenţa a limitei, convergenţă, divergenţă, monotonie,

şir Cauchy, şirurile numerice se clasifică astfel: I. Şiruri care au limita în R sau în R Exemple: 1) xn = 1 + (-1)n, n≥ 1 ; ∄lim xn în R. 2) xn = 3n, n ≥ 1; ∃ lim xn = + ∞∈ R . 3) xn =sin n

nπ , n≥ 1 ; ∄lim xn în R.

4) xn = - 2n, n ≥ 1; ∃ lim xn = - ∞∈ R .

5) xn =23 ( 1)n n

n+ − , n≥ 1 ; ∄lim xn în R şi nici în R .

17

II. Şiruri convergente în R. Exemple: 1) xn = 1 – 3 – n

R→1. 2) xn = 1 sin

3n

nπ

R→0, n ≥ 1.

III. Şiruri divergente Exemple: 1) xn = 2 + (-1)n; (∄lim xn). 2) xn = an (a > 1); (limxn =+∞∈ R ). 3) xn = - n; (lim xn = + ∞ ∈ R ). IV. Şiruri mărginite Exemple: 1) xn = (-1)n , n ≥ 1 (|xn| ≤ 1); 2) xn =

1n

, n ≥ 1, (0 < xn ≤ 1);

3) xn = 22 1

n

n + (0 < xn< 1); 4) xn = sin n (|xn| ≤ 1)

V. Şiruri nemărginite

Exemple: 1) xn = 2n , n ≥ 1; 2) xn =53

n

, n ≥ 1; 3) xn =2

1n

n + (n ≥ 1);

4) xn = - n3 (n ≥ 1) (strict crescător) VI. Şiruri monotone Exemple: 1) xn = 1

n, n ≥ 1, (strict descrescător); 2) xn = n2 (n ≥ 1), (strict

crescător); 3) xn = 12n

− (strict descrescător); 4) xn = 2

2 4n

n + (n ≥ 1) (strict

crescător); VII. Şiruri care nu sunt monotone

Exemple: 1) xn =( )1 n

n− , n ≥ 1 ; 2) xn = (-1)n , n ≥ 1; 3) xn =sin n (n ≥1);

VIII. Şiruri Cauchy

Exemple: 1) xn = 2

1n

, n ≥ 1; 2) xn =1!n , n ≥ 1; 3) xn =

0

1!

n

k k=∑ ;4) xn= = 2

1

cosn

k

kxk=

∑

(x∈ (0, 2π)). 7. În concluzie indicăm următoarea schemă care ilustrează relaţiile dintre clasele de şiruri de mai sus:

(xn) nemărginit şi divergent; ∄lim xn în R si lim xn ∈ R

xn mărginit şi divergent

xn convergent ⇔ xn fundamentalxn monoton

18

Limite extreme pentru şiruri numerice, definite prin:

(8)[ ] [ ]

[ ] [ ]

lim lim lim inf{ | } sup inf ;

lim lim lim sup{ | } inf sup ;

def

n n k kn ndef

n n k kn n

x x k n x k n

x x k n x k n

α α

β β

→∞ →∞

→∞ →∞

= = = ≥ = ≥ = = = ≥ = ≥

cu α = lim nx limita inferioară a lui (xn) şi β = lim nx limita superioara a lui (xn) se vor studia după bibliografie ([13], [16]). Avem:

(9) ( )( )

lim lim

marginit este convergent lim lim lim R

, : lim lim

n n

def

n n n n

n n n

x x

x x x x

a L x avem x a x

≤ ⇔ = = ∈∀ ∈ ≤ ≤

Exemple:

1) xn =0 4

sin 1 4 12

1 4 1

n kn n k

n k

π=

= − = − = +

⇒ L(xn) = {-1, 0 1} şi lim nx =-1, lim nx = 1.

2) xn =( )( )

2 1

2

lim 0 lim 011 lim 1 lim 13

n k

n kn

n n par x xnx xn impar

+

= = + ⇒

= =

⇒ L(xn) = {-1, 0 1} şi lim nx =-1,

lim nx = 1.

3) xn =( )222 1

1nn

−+

cu lim nx = - ∞, lim nx = + ∞.

Şiruri numerice remarcabile 1) xn = (1 + 1

n )n, n ≥ 1 este strict crescător şi majorat: xn<xn + 1, ∀ n≥2 şi 2≤xn< 3,

∀ n∈ N ⇒ ∃ lim xn = e cu 2 < e < 3 (Manualul de Matematică pentru clasa a XI-a capitolul “Şiruri de numere reale”).

2) yn = (1 + 1n

)n + 1, n ≥ 1. Folosind inegalitatea Bernoulli: (1 + t)n > 1 + nt, ∀ t

∈ (-1, ∞) – {0} şi ∀ n∈ N deducem că: ( )

( )( )

( )

121 1 1

2 21

21

22

11 2 2 1 1 1: 11 1 2 2 2 2

2 11 11 10,2 2 2

descrescator N

si marginit inferior

nn n n

n

n

n nn

n

ny n n n n ny n n n n n n n n n

y yn nn n yy nn n n n n

++ + +

+

+

++ + + + + = ⋅ = ⋅ = + ⋅ > + + + + + +

>+ + + + > + ⋅ = > ⇒ ⇒ > ∀ ∈+ + + convergentny⇒

Avem: 0 < yn - xn= (1 + 1n

)n ⋅ 1n

≤ nyn

≤ 1yn

unde 1 0Ry

n→ , deci (xn) şi (yn) şiruri

convergente au limitele egale lim xn= e şi lim yn= =lim(1+ 1n

)n+1 =e cu (10) xn =

19

(1 + 1n

)n < e < yn = (1 + 1n

)n+1, ∀ n∈ N*. Prin logaritmare din (10) deducem: n ln

(1 + 1n

)n < 1<(n + 1)ln(1 + 1n

) ⇒ (11) 11n +

< ln(n+1) – ln n < 1n

, ∀ n ≥ 1.

3) xn = 1 + 12

+ ... + 1n

- ln n, n ≥1. Folosind inegalităţile din (11), avem:

(11’) ( )1 1 1

1 1ln 1 ln1

n n n

k k kk k

k k= = =

< + − < +∑ ∑ ∑

(11”) ( )1 1

1 1ln 11

n n

k k

nk k= =

< + <+∑ ∑ , ∀ n≥1 şi atunci xn+1 - xn =

11n +

- ln(n+1) + ln n <

0 ⇒ (xn) este descrescător.

Pentru ∀ n ≥ 1, avem: 0 < ln(n+1) - ln n < 1

1n

k k=∑ - ln n = xn < x1 = 1 ⇒ (xn)

mărginit. Şirul (xn) descrescător şi mărginit este convergent cu lim xn = c – constanta lui Euler şi 0 < c < 1. (c = 0, 5772166490). Consecinţe:

I. 1 11 .....2lim 1

lnn

nn→∞

+ + += . Avem:

1 11 ..... ln2 1 1 1

ln ln

Rn

n xnn n

+ + + −+ = + → .

II. 1 1 1lim ... ln1 2n

pn n pn→∞

+ + + = + +

, ∀ p ≥ 2. Avem:

1 1 1 1 1 1 1... 1 ... ln 1 ... ln ln ln ln1 2 2 2

R

pn npn n p x x p pn n pn np np

+ + + = + + + − − + + + − + = − + → + + .

III. xn = ( ) ( )2

2 21 2 ...

! !

n nn n nn n

+ + + ⋅< = yn, ∀ n ≥ 1. Şirul yn este descrescător:

( )( ) ( )

2 111

2 2

1 1 1: 1 1, 30!1 !

descrescatormarginit inferior

nnn nn

nn

y yny n e nyy n n nnn

+++ <+ = = + < < ∀ ≥ ⇒ ⇒ > +

(yn) convergent şi lim yn = a. avem yn+1 =

1n

(1 + 1n

)n yn ⇒ a = 0 ⋅e ⋅ a = 0.

Din 0 < xn< yn ⇒ 0 ≤ lim xn ≤ lim yn = 0 ⇒ lim xn= 0 (după criteriul cleştelui). Serii de numere reale convergente

Conceptul de “serie numerică” este o generalizare naturală a noţiunii de “suma finită de numere reale” la o mulţime de numere reale care sunt termenii unui şir din R. În teoria seriilor numerice se va preciza în ce condiţii unui şir numeric an ∈ R, n∈ N i se poate asocia un număr real numit “sumă şi va fi cadrul natural pentru studiul unor probleme “de aproximare” folosind tehnicile moderne de calcul. Definiţia 1.

Fie an∈ R, n∈ N un şir numeric şi „şirul sumelor parţiale” corespunzător

0 10

n

n k nk

S a a a a=

= = + + +∑ K cu 1 1n n nS S a , n+ += + ∀ ∈ N

20

1] Se numeşte serie numerică de termen general an şi cu şirul de sume parţiale (Sn) perechea de şiruri:

(1) ((an)n≥0; (Sn)n≥0) notată 0

nn

a∞

=∑ sau n

na

∈∑

Nsau a0+a1+...+an+...

2] O serie numerică 0

nn

a∞

=∑ se numeşte serie convergentă cu suma S

def

⇔ (Sn) este

convergent şi lim Sn=S∈ R. Se notează 0

nn

a∞

=∑ (C) şi suma S prin acelaşi simbol:

0n

n

S a∞

=

=∑ .

O serie numerică 0

nn

a∞

=∑ care nu este convergentă se numeşte serie divergentă,

notată 0

nn

a∞

=∑ (D) (

def

⇔ (Sn) este şir divergent din R). Seriile divergente nu au sumă.

3] Natura unei serii numerice este: fie serie convergentă, fie serie divergentă. Observaţii: 1. În studiul seriilor numerice, rol principal, conform def. 1, joacă şirul sumelor parţiale. Din acest motiv se poate afirma că “Teoria seriilor numerice” este o combinaţie între teoria sumelor finite din R şi teoria şirurilor numerice. 2. Nu este corect a defini o serie numerică sau suma sa ca fiind “o sumă infinită”, deoarece în R se lucrează numai cu sume finite. Seriile numerice nu au, în general, proprietăţile sumelor finite, ca: comutativitate, asociativitate etc.

3. Dacă într-o serie numerică 0

nn

a∞

=∑ se renunţă sau se adaugă un număr finit de

termeni, seria nou obţinută 0

nn

b∞

=∑ are aceeaşi natură cu suma dată

0n

na

∞

=∑ .

4. Principalele probleme din studiul seriilor numerice sunt: precizarea naturii unei serii convergentă sau divergentă şi evaluarea exactă sau aproximativă a sumei. Exemple:

1o ( )1

11n n

∞

+∑ cu ( ) 1

1 1 1 1 111 1 1

n

n na , n Sn n n n k k

= = − ∀ ≥ ⇒ = − = + + + ∑

( )1

1 11 11 1nlim S S

n n n

∞

= − ⇒ ∃ = = ⇒+ +∑ (C) cu S=1.

2o 1

11n n

∞

+ −∑ cu 1 1 11na n n , n

n n= = − − ≥ ⇒

+ −

( )1

1n nS k k S n∞

= − − ⇒ =∑

şir divergent (lim Sn= + ∞) 1

11n n

∞

⇒+ +∑ (D).

21

3o 0

1n nq q ... q ...∞

= + + + +∑ cu q∈ R* seria geometrică

1

0

1 11

1 1

nn

kn

k

q qS q q

n q

+

=

− ≠= = − + =

∑

1 11

1nx

; qq

lim S ; q→∞

<−

= ∞ ≥

∃ 1; q

⇒ ≤ −

Sn converge pentru

|q|<1 cu 1lim1nS S

q= =

−şi Sn divergent pentru |q|≥1

0

nq∞

⇒∑ (C) pentru |q|<1

cu 11

Sq

=−

şi 0

nq∞

∑ (D) pentru |q|≥1.

4o ( ) ( )0

1 1 1 1 1 1 Nn

n nna ,n− = − + − + ⇒ = − ∈∑ K

şi ( ) ( )0

0 2 11

1 2

nk

n n

; n pS S

; n p= +

= − = ⇒ =∑ şir divergent ( )

01

nn⇒ −∑ (D).

Observaţii: 1. În exemplele (1o) şi (2o) s-a reprezentat termenul general an=bn-bn-1 (n≥1; b0=0) şi apoi s-a calculat Sn. 2. Se poate construi o serie convergentă cu suma dată S considerînd un şir

convergent (bn) cu lim nnb S

→∞= şi reprezentănd pentru 1

0 01 0n n n

n

a b ba pe

n ; b

∞−= −

≥ =∑ , deci

Sn = bn. Seria cu termenul general an=bn-bn-1 se numeşte serie telescopică. Teorema 1: (Condiţia necesară de convergenţă)

Dacă 0

na∞

∑ este convergentă, atunci lim 0nna

→∞=

Demonstraţie:

0

n

na∑ (C) 0

ndef

n kS a⇔ =∑ convergent şi 1 1lim Rn n n nS S S S a+ += ∈ ⇒ = +

1 1 1 1lim lim lim lim lim 0n n n n nS S a S S a a+ + + +⇒ = + ⇒ = + ⇒ = . Observaţii

1. Dacă ∄ lim an sau lim an≠0, atunci 0

na∞

∑ este serie divergentă (condiţie

suficientă sau criteriu de divergenţă). 2. Mulţimea seriilor numerice convergente este strict inclusă în mulţimea seriilor

0

cu lim 0n

n nna a

→∞=∑ .

22

3. Exemplul (2o) 1

1 1cu şi1 1na

n n n n

∞

=+ − + −

∑

1lim lim 01na

n n= =

+ −, dar

1

11n n

∞

+ −∑ (D) explică faptul că existenţa

lim an=0 este numai condiţie necesară pentru convergenţă. Teorema 2 (Proprietăţi generale ale seriilor convergente)

Dacă 0

na∞

∑ (C) cu suma S şi 0

nb∞

∑ (C) cu suma T, atunci au loc afirmaţiile:

(i) pentru ∀λ∈ R* seria 0

na∞

λ∑ cu suma λS

(ii) seria ( )0

n na b∞

+∑ (C) suma S±T

Demonstraţie (i) 0 0

n n

n k k nk

a a S=

σ = λ = λ = λ∑ ∑ şi lim nS S∃ = ⇒

0

lim n nS a∞

∃ σ = λ ⇒ λ∑ (C).

(ii) Fie ( )0 0 0

n n n

n k k n n n nk k k

V a b a b S T= = =

= ± = ± = ±∑ ∑ ∑ şi cum există lim Sn=S, lim

Tn=T ⇒ ∃ lim Vn=S±T⇒ ( )0

n na b∞

±∑ (C).

Observaţie Din relaţia (i) σn=λSn rezultă că ( )0

0na∞

λ λ ≠∑ şi 0

na∞

∑ au aceeaşi

natură, adică sunt simultan fie convergente fie divergente. Teorema 3 (Criteriul general al lui Cauchy pentru serii)

Seria 0

na∞

∑ este convergentă, dacă şi numai dacă, satisface condiţia lui Cauchy:

( )1 2

0, a.î. şi 12

N

n n n p

n n n p

a a aε ε

+ + +

∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥ ⇒⇒ + + + < ε K

Demonstraţie 0

na∞

∑ (C) ( )def

nS⇔ convergent în R ⇔ (Sn) şir fundamental

def

0, a.î. ş.i. 1N n p nn n n p S Sε ε +⇔ ∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥ ⇒ − < ε

deci 10 0 1

n p n pn

k k k n n pk k k n

a a a a a+ +

+ += = = +

− = = + < ε ⇔∑ ∑ ∑ K (2)

Exemple 1o 1

1 1cu nan n

∞

=∑ seria armonică ⇒

23

21 1 1 1 1 1

1 2 2 2n nS S n nn n n n n

− = + + + > = ∀ ≥+ + +

K ⇒ (Sn) nu este şir

fundamental şi 212n nS S> + ⇒ (Sn) divergent ⇒

1

1n

∞

∑ (D) seria armonică este

divergentă. (Dacă s-ar presupune (Sn) convergent cu lim Sn=S∈ R, avem din

21 1 102 2 2n nS S S S> + ⇒ ≥ + ⇒ ≥ absurd).

2o2 2 2

1 1

1 1 1cu , 1şin

n na n Sn n k

∞

= ≥ = ⇒∑ ∑

( )21 1 1

1

1 1 1 1 1 1 11 1

n p n p n p

n p nk n k n k n

p

S Sk k k k k n n p n

+ + +

+= + = + = +

∀ ≥

− = < = − = − < < ε − − + ∑ ∑ ∑

1 1n nε ∀ ≥ = + ε

⇒ (Sn) este şir fundamental ⇒ 21

1n

∞

∑ (C)

Avem ( )21 2 2

1 1 1 1 11 1 2 21 1

n n n

nSk k k k k n

= < + = + − = − < − − ∑ ∑ ∑ ⇒ lim

Sn=S≤2.

3o ( ) ( )1 1

1

1 1cu , 1

n n

na nn n

+ +∞ − −= ≥∑ seria armonică alternantă

Avem: ( ) ( )

11

1

1 1 2 1 11 12 3 4

nn

n n

+∞+−

= − + − + + − +∑ K K

Şirul ( ) 1

1

1 kn

nk

Sk

+

=

−=∑ să dovedim că este şir Cauchy. Fie

( ) ( ) ( )1 1 1

1 1 1

1 1 1k k kn p n pn

n p nk k k n

S Sk k k

+ + ++ +

+= = = +

− − −− = − = =∑ ∑ ∑

( ) ( ) 12

1

11 1 1 1 1 1 111 2 3 1 1 1

pn

p

pn n n n p n n p n n

−+

∀ ≥

− = − − + + + ≤ + + < ≤ < ε + + + + + + + +

K K

pentru 1 1n nε − ε∀ ≥ = + ε

⇒ (Sn) şir fundamental ⇒ (Sn) convergent ⇒

( ) 1

1

1 n

n

+∞ −∑ (C).

24

4o ( )( ) ( )( )1

7 3 7 3 1 1 1cu 2 31 3 1 3 1 3

n

nn na

n n n n n n n n n+ += = + −

+ + + + + +∑ ⇒

1

1 1 1 7 1 2 3 72 3 cu lim1 3 2 1 2 3 2

n

n nnk

S Sk k k n n n →∞=

= + − = − − − = ⇒ + + + + + ∑

( )( )1

7 31 3n

n n n

∞ ++ +∑ (C) cu 7

2S = .

5o

( ) ( )( )1 1

1ln cu ln 1 ln , 1şi ln 1 lnn

n nk

n a n n n S k kn

∞

=

+ = + − ≥ = + − =

∑ ∑

( )ln 1 lim nnn S

→∞= + ⇒ = +∞ ⇒ (Sn) divergent

1

1ln nN

∞ + ⇒

∑ (D).

Modulul 2. Criterii de convergenţă pentru serii numerice, operaţii algebrice cu serii convergente şi calculul sumei unei serii convergente. Criterii de convergenţă pentru serii numerice.

Vom clasifica din acest punct de vedere seriile: 0

na∞

∑ : serii 0

na∞

∑ cu termeni

oarecare (conţin o infinitate de termeni negativi şi o infinitate de termeni

negativi) şi serii 0

na∞

∑ cu termeni pozitivi. (an≥0, ∀ n∈ N).

Teorema 4. (Criteriul Abel-Dirichlet).Fie seria 0

na∞

∑ cu termeni oarecare şi

şirul sumelor parţiale 0

n kk

S a∞

=

=∑ mărginit în R. Dacă (αn) este un şir de numere

reale descrescător şi cu lim αn=0, atunci seria 0

n na∞

α∑ este convergentă.

Demonstraţia se bazează pe ipoteze şi aplicarea teoremei lui Cauchy seriei

0n na

∞

α∑ (teorema 3). (Bibliografie [11], [13], [16]).

Consecinţa 1 Dacă seria 0

na∞

∑ este convergentă şi (αn) este un şir monoton şi

mărginit, atunci suma 0

n na∞

α∑ este convergentă.

Demonstraţia rezultă direct din criteriul Abel-Dirichlet.

25

Teorema 5. (Criteriul lui Leibniz) Dacă şirul (αn) cu termeni pozitivi este descrescător şi cu lim 0nn→∞

α = , atunci

seria alternată ( )0

1 nn

∞

− α∑ este convergentă.

Demonstraţie. Se aplică criteriul Abel-Dirichlet cu an=(-1)n şi seria ( )0

1n

n−∑

are 0

1; 20 ; 2 1

n

n k

n kS a

n k=

= = = +∑ un şir mărginit (|Sn|≤1, ∀ n≥0) şi (αn) satisface

condiţia din teorema 4, deci seria alternată ( )0

1 nn

∞

− α∑ este convergentă.

Exemple: 1o ( )1

cos , 0,2nx xn

∞

∈ π∑ ; luăm cosna nx= şi 1 0n nα = . Avem

1cos cos cos

n

nn

S kx x nx=

= = + + =∑ K

( )( )

1sin cos 12 2

sin sin2 2

n

n xnx

S M xx x

+

= ⇒ ≤ = în fiecare

( )0, 2x ∈ π fixat.4

1

cosT nxn

∞

⇒∑ (C).

2o 21

sin nxn

∞

∑ a.î. ( )0, 2x ∈ π ; luăm sinna nx= şi 2

1 0n nα = atunci

( )

1

1sin sin

2 2sin sin sinsin

2

n

nk

n xnx

S xk x nxx=

+

= = + + =∑ K iar 1

sin2

nSx

≤ pentru

fiecare ( )0, 2x ∈ π fixat.4

21

sinT nxn

∞

⇒∑ (C)

3o ( ) 1

11

1

nn n

n

∞+ − +

∑ este o serie alternată cu 11 11

n

n n

nn

n

α = = + +

şi αn= este şir descrescător cu ( ).5 1

1

1lim 0 11

nT nnn

nl n

∞+

→∞

α = ≠ ⇒ − + ∑ (D).

4o ( )

0

1 1 1 112 1 3 5 7

n

n

∞ −= − + − +

+∑ K cu ( ).5

0

11 02 1 2 1

nT

n n n

∞ −α = ⇒

+ +∑ (C).

26

5o 1

nqn

∞

α∑ cu α∈ R şi luăm 1,nn na q

nα= α = cu proprietăţile: (αn) şir descrescător

şi cu 1lim 0nα = pentru α>0 ⇔ (αn) este convergent în R şi monoton ⇒ (αn)

mărginit şi monoton.

Seria geometrică 1

nq∞

∑ este convergentă pentru |q|<1. După consecinţa1, seria

1

nqn

∞

α∑ este convergentă pentru α>0 şi |q|<1.

Definiţia 2

1] Seria 0

na∞

∑ se numeşte serie absolut convergentă, notată ( )0

na AC∞

∑ , dacă

şi numai dacă, seria modulelor 0

na∞

∑ este convergentă.

2] Seria 0

na∞

∑ se numeşte serie semiconvergentă sau simplu convergentă,

notată ( )0

na SC∞

∑ , dacă şi numai dacă, 0

na∞

∑ este convergentă şi nu este absolut

convergentă 0

def

na∞

⇔∑ (C) şi 0

na∞

∑ (D).

Teorema 6

Orice serie 0

na∞

∑ absolut convergentă este serie convergentă.

Demonstraţie 0

na∞

∑ (C) ( )

.3

21

0, a.î şi 1NT

n n p

n n n p

a aε ε

+ +

∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥⇔ ⇒ + + < ε K⇒

10, a.î şi 1N n n pn n n p a aε ε + +∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥ ⇒ + + ≤K .3

1 20

T

n n n p na a a a∞

+ + +≤ + + + < ε⇒∑K este convergentă.

Observaţii

1. După teorema 6, absoluta convergenţă a seriei 0

na∞

∑ implică convergenţa

seriei. Reciproca nu este în general adevărată, deoarece 0

na∞

∑ (C) nu implică

totdeauna că 0

na∞

∑ este convergentă.

27

2. Exemple 1o ( ) 1

1

1 1 1 112 3 4

n

n

+∞ −= − + − +∑ K seria armonică alternată

( ) 1

1

1 n

n

+∞ −∑ (C) după criteriul Leibniz (teorema 5), avem 1 0n n

α = , dar nu este

absolut convergentă ( ) 1

1 1

1 1n

n n

+∞ ∞−=∑ ∑ este divergentă

( ) ( )1

1

1 n

SCn

+∞ −⇒∑ .

2o ( ) ( )2

1

1 n

ACn

∞ −∑ deoarece

( )2 2

1 1

1 1n

n n

∞ ∞−=∑ ∑ (C) ((Sn) este şir Cauchy din R).

3o ( )

1

1 n

n n

∞ −∑ cu

( )1

11 şi lim 1 0n

n nn nnn n

∞

→∞

−α = α = ≠ ⇒∑ (D)

4o 2 2

1sin 1cu sin 1nn a n

∞

π + = π +∑ şi sub această formă nu există

2lim limsin 1nn na n

→∞ →∞= π + . Vom scrie an sub o formă echivalentă:

( ) ( )2 2 2sin 1 sin 1 cos sin 1na n n n n n n n = π + = π + − + π = π π + − +

( ) ( )2 2sin cos 1 cos sin 1n n n n n n + π π + − = π π + − =

( )2

1 sin1

n

n n

π= −+ +

( )2

1 cu sin1

nn n na

n n

π⇒ = − α α =

+ +şir descrescător cu

lim αn=0 (⇒lim an=0) şi după criteriul Leibniz

( )2

21 1

sin 1 1 sin1

nnn n

∞ ∞ ππ + = −+ +

∑ ∑ (SC)

5o ( ) ( ) ( )

1

1 1 1 1 11cun n n

n n n

n na b c

n n n n

∞ + − + − −= = + = +∑ unde

1 1

1nb

n

∞ ∞

=∑ ∑ (D) (seria armonică) şi ( )

1 1

1 n

ncn

∞ ∞ −=∑ ∑ (SC)

1na

∞

⇒∑ (D)( )

1

1 1 n nn

∞ + −⇒∑ (D).

Observaţii 1. Criteriul general al lui Cauchy (teorema 3), criteriul Abel-Dirichlet (teorema 4), consecinţa 1 şi criteriul Leibniz (teorema 5) sunt teste de convergenţă pentru serii numerice cu termeni oarecare şi precizează simpla convergenţă.

28

2. Pentru 0

na∞

∑ serie cu termeni oarecare se va considera 0

na∞

∑ unde

0, Nna n≥ ∀ ∈ este o serie cu termeni pozitivi.

3. Dacă 0

na∞

∑ are 0,na n≥ ∀ ∈ N (serie cu termeni pozitivi), atunci n na a= şi în

acest caz convergenţa seriei 0

na∞

∑ coincide cu convergenţa absolută.

4. Vom preciza teste de convergenţă pentru 0

na∞

∑ cu 0,na n≥ ∀ ∈ N .

Criterii de convergenţă pentru serii numerice cu termeni pozitivi

Fie 0

na∞

∑ cu 0,na n≥ ∀ ∈ N , atunci 0

0n

n kk

S a=

= ≥∑ şi

1 1 1 , Nn n n n nS S a S S n+ + += + ⇒ ≥ ∀ ∈ ⇒ şirul sumelor parţiale este monoton crescător şi putem preciza natura sa folosind teorema lui Weierstrass. Teorema 1 (Teorema de caracterizare pentru serii convergente)

O serie numerică cu termeni pozitivi, ( )0

0n na a∞

≥∑ , este convergentă, dacă şi

numai dacă, şirul sumelor parţiale (Sn) este mărginit superior (sau (Sn) este majorat în R).

Demonstraţie Fie 0

na∞

∑ (C) ( ) convergent

mărginitcrescăctor

defn

nn

SS

S

⇒ ⇒

Fie (Sn) mărginit superior şi cum (Sn) strict crescător ⇒ (Sn) convergent

0

def

na∞

⇒∑ (C).

Exemplu ( )( )0

11 2n n n

∞

+ +∑ cu ( )( )1

11 2

n

nk

Sk k k=

= =+ +∑

( )( )1

101 1 1 1 1 1 1 14

2 1 2 2 4 2 1 2 1

nn

nk

SS

k k k n n n=

< < = − + = − ⇒ ⇒ + + + + ∀ ≥∑ mărginit

.1

1

T

na∞

⇒∑ (C).

Teorema 2 (Criteriul de comparaţie de specia a I-a cu inegalităţi)

Fie 0

na∞

∑ cu 0na ≥ şi 0

nb∞

∑ cu 0nb ≥ . Dacă avem:

(1) , Nn na b n≤ ∀ ∈ atunci au loc afirmaţiile:

29

1] 0

nb∞

∑ (C) ⇒ 0

na∞

∑ (C) 2] 0

na∞

∑ (D) ⇒ 0

nb∞

∑ (D)

Demonstraţie Din (1) deducem că: 0 0

N

n n

n k n kk k

S a T b

n= =

= ≤ =∀ ∈

∑ ∑ (1’)

1] Fie 0

n

nb∑ (C) convergent crescător

n

n

TT

⇒ ⇒

mărginit superior, N

n

n n

TS T n

⇒ ≤ ∀ ∈

mărginit superior crescător

n

n

SS

⇒

( )nS⇒ convergent

0

def

na∞

⇒∑ (C)

2] Fie

0na

∞

∑ (D)( ) divergent

crescăctor

defn

n

S

S

⇒

⇒nemărginit superior

,n

n n

SS T n

⇒ ≤ ∈ N

( )( )

nemărginit superior

crescătorn

n

T

T

⇒

( )0

divergent def

n nT b∞

⇒ ⇒∑ (D)

Exemple

1o 0

13n a

∞

+∑ cu

( )

.2

0

0

1 13 30

1C 13

n

n nn T

n

n

a baa a

b q

∞

∞

= < = + > ⇒ ⇒ = <

∑∑

(C)

2o 1

1n

∞

∑ cu ( )

( ).2

1 1

1 1

1 11 D

1 D

n n T

n

n

b ann b

nan

∞ ∞

∞ ∞

= > = ⇒ = =

∑ ∑∑ ∑

Teorema 3 (Criteriul de convergenţă de specia a II-a cu inegalităţi)

Fie 0

na∞

∑ cu 0na > şi 0

nb∞

∑ cu 0nb > . Dacă avem:

(2) 1 1 , Nn n

n n

a bn

a b+ +≤ ∀ ∈ , atunci au loc afirmaţiile:

1o] 0

nb∞

∑ (C) ⇒ 0

na∞

∑ (C) 2o] 0

na∞

∑ (D) ⇒ 0

nb∞

∑ (D)

Demonstraţie Din (2) pentru n=0,1,...,n-1 avem:

30

1 1

0 001 2 1 2

0 1 1 0 1 1 0 0 0

1 1

n n n nn n

n nn n

n n

a ba b

a b a b aa a b ba b

a a a b b b a b ba b

a b

− −

− −

≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ≤

KKK K K (1’’)

Dar seriile 0

nb∞

∑ şi 0

0 0

0na

bb

∞ λ λ = >

∑ au aceeaşi natură şi din (1’’) folosind

teorema 2, rezultă adevarate afirmaţiile 1o] şi 2o].

Exemplu 1 !

n

n

ne n

∞

∑ cu ( )

( )

1

1 1:

! 1 ! !

nn nn

n n n nn

nan nae n a e n e n

+

+ += ⇒ = ⇒

+1

11n

n

n

a na e

+

+ ⇒ = .

Avem: ( )1

1

1 1 11 11 1 1 11 11 N

n nn nee

n n n nn n

++

< < ∗ + < < + ⇒ + + ∀ ≥ ∀ ≥

şi înlocuind

în:

( )

( )1

1 .31

1

1 1

1 111 1 11

1111!

1

n

nn n

n nTn n

n

n

a bnn na n e n b n Dn e nn

b Dn

++ ∞

+

∞ ∞

+ + = + > = = = + ⇒+

=

∑

∑ ∑

Teorema 4 (Criteriul de comparaţie de specia a I-a cu limită)

Fie 0

na∞

∑ cu 0na > şi 0

nb∞

∑ cu 0nb > . Dacă există limita

(3) lim , Rn

nn

al l

b→∞= ∈ , atunci au loc afirmaţiile:

1] pentru 0 l< < ∞, seriile 0

na∞

∑ şi 0

nb∞

∑ au aceeaşi natură

2] pentru l = 0 şi 0

nb∞

∑ (C) ⇒ 0

na∞

∑ (C)

3] pentru l = ∞ şi 0

nb∞

∑ (D) ⇒ 0

na∞

∑ (D)

Demonstraţia în bibliografie ([13]; [16]).

31

Exemple: 1o 1

1 1sinn n

∞

∑ cu 1 1sinnan n

= şi considerând 2

1nb

n= cu 2

1

1n

∞

∑ (C)

avem: .4

1

1sinlim lim 1

1T

nnn n

n

a n ab

n

∞

→∞ →∞= = ⇒∑ (C).

Observaţie: se putea folosi şi teorema 2: ( )

( )2

12

1

1 1 1 1 1sin

1

n

n

an n n n n a C

Cn

∞

∞

= ≤ = ⇒

∑∑

2o 21

5 12 1

nn

∞ ++∑ cu 2

222

1 15 55 1 1112 1 22

n

nn n nan nn

nn

+ + + = = =+ ++

şi avem:

( )

( )

.4

1

1 1

5lim lim1 2

1

Tn n

nn nn

n

a aa D

bn

b Dn

∞

→∞ →∞

∞ ∞

= = ⇒

=

∑

∑ ∑

3o 2

1ln n

∞

∑ cu 1 , 2lnna n

n= ≥ şi luând 1

nbn

= cu 1

1n

∞

∑ (D) , avem:

( ).4

2

11lnlim lim lim

1 ln ln

Tn

n n nn

a nn Db n n

n

∞

→∞ →∞ →∞= = = ∞⇒∑

4o 2

1lnn n

∞

∑ cu 1 , 2lnn n

a nn

= ≥ şi luând 1nb

n= cu

1

1n

∞

∑ (D) , avem:

( ).4

2

1 11 1lim lim lim lim 0

1 lnln lnln

Tn

n nn n n nn

b n n Da nn nn

n

∞

→∞ →∞ →∞ →∞= = = = ⇒∑ .

Consecinţa 1

Fie 0

na∞

∑ şi 0

nb∞

∑ serii numerice cu termeni oarecare. Dacă avem:

, Nn na b n≤ ∈ şi ( )1

nb AC∞

∑ atunci ( )1

na AC∞

∑ .

Demonstraţia este imediată din teorema 2.

32

Consecinţa 2. Fie 0

na∞

∑ cu 0na > . Dacă există qcu 0 < q < 1 şi respectiv q ≥ 1

astfel încât 1 , Nn

n

aq n

a+ ≤ ∈ , respectiv 1 , Nn

n

aq n

a+ ≥ ∈ , atunci seria

0na

∞

∑ (C),

respectiv 0

na∞

∑ (D).

Demonstraţia este directă din teorema 3. Teorema 5 (Criteriul de condensare al lui Cauchy)

Fie 0

na∞

∑ cu 0na > . Dacă (an) este un şir descrescător, atunci seriile 0

na∞

∑ şi

20

2 nn a

∞

∑ au aceeaşi natură.

Demonstraţia în bibliografie ([10]; [11]; [13]; [16];).

Exemple 1o 1

1 cu Rn

∞

α α ∈∑ seria armonică generalizată

I Pentru 0α ≤ , avem 1

1lim 0nan

∞

α≠ ⇒∑ (D).

II Pentru 0α > se aplică criteriul de condensare al lui Cauchy:

( ) 121 1 1 1

1 1222

n

nn n

na q

∞ ∞ ∞ ∞

α α− = = =

∑ ∑ ∑ ∑ cu 1

112

q α−< =

1. Dacă 1 21 1

10 1 1 22

nn nq q a

∞ ∞

α−< = < ⇒ α > ⇒ =∑ ∑ (C)⇒1

1n

∞

α∑ (C)

2. Dacă ( ) ( )1 21 1 1

1 11 12

nn nq q q a D D

n

∞ ∞ ∞

α− α= ≥ ⇔ α ≤ ⇒ = ⇒∑ ∑ ∑

Seria armonică generalizată ( )1

1 Cn

∞

α∑ pentru α>1 şi ( )1

1 Dn

∞

α∑ pentru 1α ≤ .

2o

( ) ( ) ( )11 1

2 1 11 1 1

1 1şi 2 21 ln 1 2 1 ln 2

nn n

n na

n n+

∞ ∞ ∞+ +

+ += =

+ + +∑ ∑ ∑

( )( )1

111 1

1 2 1ln 2 ln 21 2 1

n

nnb

n

+∞ ∞

++= =

+ +∑ ∑

şi cerem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

.4 .511

21 1 1 1

1 1lim 1şi 21 1 ln 1

1

n

T Tnn

nn

bb D a D D

n n nn

+

∞ ∞ ∞ ∞++

→∞= = ⇒ ⇒

+ ++

∑ ∑ ∑ ∑

33

Consecinţa 3

Fie 0

na∞

∑ cu 0na ≥ , atunci au loc afirmaţiile:

(i) Dacă există α > 1 a.î. lim nnn a lα

→∞= finit, atunci

0na

∞

∑ (C).

(ii) Dacă există α ≤ 1 a.î. lim nnn a lα

→∞= nenul, atunci

0na

∞

∑ (D).

Demonstraţia este imediată aplicând teorema 4 cu 1 1

1nb

n

∞ ∞

α=∑ ∑ care este

convergentă pentru α > 1 şi divergentă pentru α ≤ 1. Teorema 6 (Criteriul raportului al lui D’Alembert)

Fie 0

na∞

∑ cu 0na > , dacă există limita:

(4) ( )1lim Rn

nn

aa

+

→∞= λ λ ∈ atunci avem:

I pentru 0

1 ( )nl a C∞

< ⇒∑ II pentru ( )0

1 nl a D∞

> ⇒∑

III Pentru l = 1 nu putem preciza natura seriei cu acest criteriu.

Demonstraţie Relaţia (4) ⇔ (4’) 1

0, a.î.N

n

n

n n na

l la

ε ε

+

∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥⇒ − ε < < + ε

I Pentru l < 1 alegem ε > 0 a.î. 0 1q l< = + ε < şi din (4’) avem: 1

1 1n

n nn

n n

a bqqa q b

++ +< = = cu ( ) ( )

.3

1 1 1

Tn

n nb q C a C∞ ∞ ∞

= ⇒∑ ∑ ∑

II Pentru l > 1 alegem ε > 0 a.î. 1q l= − ε > şi din (4’) avem: 1

1 1n

n nn

n n

a bqqa q b

++ +> = = cu ( ) ( )

.3

1 1 1

Tn

n nb q D a D∞ ∞ ∞

= ⇒∑ ∑ ∑

Consecinţa 4

Fie 0

na∞

∑ o serie cu termeni oarecare. Dacă există limita:

(4*) ( )1lim Rn

nn

aa

+

→∞= λ λ ∈ atunci avem:

I pentru ( )1

1 na AC∞

λ < ⇒∑

34

II pentru ( )1

1 na D∞

λ > ⇒∑ .

Exemple 1o 0

1!n

∞

∑ cu ( )11 ! 1, 0

! 1 ! 1n

nn

a na nn a n n

+= ≥ ⇒ = =+ +

şi

( )1

0

1lim 0 1!

n

nn

al C

a n

∞+

→∞= = < ⇒∑

2o 1 !

nnn

∞

∑ cu ( )

( )

1

1 1 ! 1, 1! ! 1 !

n nnn

nn

nan n na nn a n n n n

+

+ + + = ≥ ⇒ = = ⇒ +

( )1

1

1lim lim 1 1!

n nn

n nn

a ne Da n n

∞+

→∞ →∞

⇒ = + = > ⇒

∑

3o ( )1

12

n

n

n∞

−∑ cu ( ) 11

1 21 , 12 2

nn n

n n nn

an na na n

++

+= − ≥ ⇒ = ⇒

( ) ( )1

1

1 1lim lim 1 12 2 2

nnnn n

n

a n n ACa n

∞+

→∞ →∞

+⇒ = = = λ < ⇒ −∑

Teorema 7 (Criteriul rădăcinii al lui Cauchy)

Fie 0

na∞

∑ cu 0na ≥ , daca există limita:

(5) ( )lim Rnnn

a→∞

= λ λ ∈ atunci avem:

I) pentru ( )1

1 na C∞

λ < ⇒∑ II) pentru ( )1

1 na D∞

λ > ⇒∑

III) pentru λ = 1 nu putem preciza natura seriei cu acest criteriu.

Demonstraţie Relaţia (5) ⇔ (5’)0, a.î. N

nn

n n n

l a lε ε∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥

⇒ − ε < < + ε

I) Pentru λ < 1 alegem ε > 0 a.î. q = l + ε <1 şi din (5’) avem:

( ) ( ).2

11

nn T

nn nn

a qa q l a C

q C

∞∞

<< = + ε ⇔ ⇒

∑∑

II) Pentru λ > 1 alegem ε > 0 a.î. q = l - ε >1 şi din (5’) avem:

( ) ( ).2

11

1

nn T

nn nn

a qa q a D

q D

∞∞

>> > ⇔ ⇒

∑∑

Consecinţa 5

Fie 0

na∞

∑ o serie numerică cu termeni oarecare. Dacă există limita:

35

(5*) ( )lim Rnnn

a→∞

= λ λ ∈ atunci avem:

I) pentru ( )1

1 na AC∞

λ < ⇒∑ II) pentru ( )1

1 na D∞

λ > ⇒∑

Exemple 1o 1 2n

nα∞

∑ cu α ≥ 0 şi .7

0, 1 lim2

Tn

n nn n

na n aα

→∞= > ∀ ≥ ⇒ =

( ) ( )1

1lim 1 cu 02 2 2

n n

nn

n Cα∞

→∞

α= = λ = < ⇒ α ≥∑ .

2o ( )

2

1

1

11

n

n

n

n

∞ −

+

∑ cu ( ) ( )

2 2

1 1lim

1 11 1

n n

nn n nn

n na

n n

→∞

− −= ⇒ = + +

( ) ( )2

1

1lim 1 11 11 1

nn

n nn

n n ACe

n n

∞

→∞= = = λ < ⇒ −

+ +

∑

3o ( )1

0 cu , 1şi 0n n

na aa a n an n

∞

≥ = ≥ ≥∑ .

I Pentru a = 0 ⇒ an = 0 ( )1

naC

n

∞

⇒∑

II Pentru a > 0 .7

lim limT

nn nnn n

aa a

n→∞ →∞⇒ = = = λ

1. Dacă ( ) [ )1

1 pentru 0,1naa C a

n

∞

λ = < ⇒ ∈∑

2. Dacă ( ) ( )1 1

1 nn

aa D a D

n

∞ ∞

λ = > ⇒ ⇒∑ ∑

3. Dacă ( ) ( ) [ )1 1

1 11 şi pentru 1,n na a D a D an n

∞ ∞

λ = = ⇒ = ∈ ∞∑ ∑deci

Teorema 8 (Criteriul Raabe-Duhamel)

Fie 0

na∞

∑ cu 0na > . Dacă există limita:

(6) ( )1

lim 1 Rn

nn

an

a→∞+

− = µ µ ∈

atunci avem:

1o pentru ( )1

1 na C∞

µ > ⇒∑ 2o pentru ( )1

1 na D∞

µ < ⇒∑

3o pentru 1µ = nu putem preciza natura seriei cu acest criteriu.

36

Demonstraţia în bibliografie ([11]; [13]; [17];) Consecinţa 6

Fie 0

na∞

∑ o serie numerică cu termeni oarecare. Dacă există limita:

(6*) ( )1

lim 1 Rn

nn

an

a→∞+

− = µ µ ∈

atunci avem:

1o pentru ( )1

1 na AC∞

µ > ⇒∑ 2o pentru ( )1

1 na D∞

µ < ⇒∑

Teorema 9 (Criteriul lui Gauss)

Fie 0

na∞

∑ cu 0na > . Dacă raportul 1

n

n

aa +

se reprezintă sub forma:

(7) 11

, ; 0;cu

şir mărginit în n n

nn

a xxa n n +α

+

λ µ ∈ α >µ= λ + +

RR

atunci avem:

1o Pentru ( )0

1 na C∞

λ > ⇒∑ 2o Pentru ( )0

1 na D∞

λ < ⇒∑

3o Pentru ( )0

1şi 1 na C∞

λ = µ > ⇒∑

4o Pentru ( )0

1şi 1 na D∞

λ = µ ≤ ⇒∑

Demonstraţie 1o şi 2o aplicând criteriul raportului (teorema 6) avem din (7) 1

1

1lim limn n

n nn n

a al

a a+

→∞ →∞+

= λ ⇒ = =λ

şi pentru 1 1 1l = < ⇔ λ > ⇒λ

( )0

na C∞

⇒∑ , iar pentru ( )1

1 1 1 nl a D∞

= > ⇔ λ < ⇒λ ∑ .

Dacă 1 1 1l = = ⇔ λ =λ

, aplicăm criteriul Raabe-Duhamel

(teorema 8)1

lim 1 limn n

n nn

a xn

a nα→∞ →∞+

⇒ − = µ + =µ⇒

Pentru ( )0

1şi 1 na C∞

λ = µ > ⇒∑ , iar pentru ( )0

1şi 1 na D∞

λ = µ < ⇒∑ .

Cazul 1λ = µ = se rezolvă prin criteriul lui Bertrand ([13]). Observaţii 1. Criteriul rădăcinii este mai tare decât criteriul raportului deoarece dacă există

1lim n

nn

aa

+

→∞λ = , atunci există şi lim n

nn

→∞= λ . Reciproca nu este în general adevărată.

37

Exemple 1.0

1 ; 23cu1 ; 2 15

n

n n

n

n ka a

n k

∞ == = +

∑ există ( )1

1lim 13

nn nn

a a C∞

→∞= < ⇒∑ ; în

acest caz criteriul raportului:

2 12

22 1

2 12 1

22

5lim lim 131

5lim lim 0 11

2

kk

kk kk

kk

kkk

k

aa

aa

−

→∞ →∞+

++

→∞→∞

= = +∞ >

= = <

şi nu se poate

preciza natura seriei cu acest criteriu. 2. Dacă în criteriul raportului şi în criteriul rădăcinii avem λ = 1, se aplică criteriul Raabe-Duhamel. 3. Dacă în criteriul Raabe-Duhamel avem µ = 1 se aplică criteriul lui Gauss.

Exemple 1o ( ) ( ) ( )1

! 01

n aa a n

∞

>+ +∑

L, avem 1 1lim lim 1

1n

n nn

a na n a

+

→∞ →∞

+λ = = =+ +

.

Calculăm 1

1lim 1 lim 11

n

n nn

a n an n aa n→∞ →∞

+

+ + µ = − = − = ⇒ +

( )

( )

( )

1

1

1

1 Pentru 1

2 Pentru 1

1 13 Pentru 11 1

on

on

on

a a C

a a D

a a Dn n

∞

∞

∞

µ = > ⇒

⇒ µ = < ⇒

µ = = ⇒ = ⇒ + +

∑

∑

∑

2o ( )( )1

2 1 !!2 2 !!

nn

∞ −+∑ cu

( )( )

( )( )

.52 1 !! 1 3 5 2 12 2 !! 2 4 6 2 2 2

T

n

n na

n n n− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= = ⇒+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

K

K

1

1

2 1 2 4 3lim lim 1; lim 1 lim 1 12 4 2 1 2

n n

n n n nn n

a an nn na n a n

+

→∞ →∞ →∞ →∞+

+ + λ = = = µ = − = − = > + +

( ).7

1

T

na C∞

⇒∑ .

3o 1 1 11

2

na

n

∞

+ + +∑

K

cu 1 1şi 11 1 212

n n

n nn

a aa SS n

n

= = = + + ++ + +

K

K

divergent cu ( )1

1lim nnS D

n

∞

→∞

= +∞ ⇔

∑

38

.61 1

1

lim lim lim1

1

Tn n n n n

n n nn n n

n

a a S a Sa

a S a Sn

+ +

→∞ →∞ →∞+

λ = = = = ⇒+

+

I Dacă ( )1

1 na a C∞

λ = < ⇒∑ II Dacă ( )1

1 na a D∞

λ = > ⇒∑

III Dacă .8

1

11 lim 1T

nn n

n n

aa a n

S a→∞+

λ = = ⇒ = ⇒µ = − =

( )1

111lim 1 lim 0 1

1

n

nn nn n

S nnn a DS n S

∞

→∞ →∞

+ + − = ⋅ = < ⇒ +

∑

4o ( ) ( )

1

1 11 cu

!R Z

a a a na

n

∞ + − ++ ∈ −∑

L, avem ( ) ( )

0

1

11 1

!n n

aa a a n

an≥

= + − +

=

L

1lim lim 11

n

n nn

a n aa n

+

→∞ →∞

−λ = = =

+ cu

;;

0; ;

n a n an a a n n a

n a

− >− = − < =

1

1lim 1 lim 1n

n nn

a nn na n a→∞ →∞

+

+µ = − = − = −

( )11lim 1 lim 1n n

n ann an a n a→∞ →∞

++ = − = = + − −

I Dacă ( )1

1 1 0 1 na a a AC∞

µ = + > ⇔ > ⇒ +∑

II Dacă µ = a + 1 = 1 ⇒a = 0 ∉ R – Z.

III Dacă ( )1

1 1 0 1 na a a D∞

µ = + < ⇔ < ⇒ +∑ şi -a > 0 avem:

( )( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 11 1 1 1

!n n

n

a a n an

∞ ∞− − − ++ − = + − α∑ ∑

Lunde

( )( ) ( )1 10

!n

a a n an

− − − +α = >

L şi aplicăm criteriul lui Leibniz:

1 1 1 1 11

n

n

n a n a n a an

+α −= ≤ ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ ⇔ ≥ −α +

Pentru ( )1,0a ∈ − şirul αn este descrescător şi cum αn > 0,

( ) ( )1

lim 0 1 1N nn nn SC

∞

∀ ∈ ⇒ ∃ α = ⇒ + − α∑ .

39

Pentru 1 21 1!n

nan

⋅ ⋅= − ⇒ α = =K şi ( ) ( )1

lim 0 1 1 nn n D

∞

α ≠ ⇒ + − α∑

Pentru ( ]1 , 1a a≤ − ⇔ ∈ −∞ − avem ( ) ( )1

lim 0 1 1 nn n D

∞

α ≠ ⇒ + − α∑ .

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

1

1 1 1 11

! 1 1

0, 0, 0

n nn n

∞ α α + α + − β β+ β + −+

γ γ + γ + −

α > β > γ >

∑L L

L

( )( )( )( )

1 1şi lim 11

n n

nn n

n na aa n n a

+ +

→∞

+ α + β= = λ =

+ + γ Aplicăm criteriul lui Gauss (teorema 9):

( )( )( )( )

( )( )

2

21

1 1n

n

n n n naa n n n n+

+ + γ + γ + + γ= = ⇒

+ α +β + α +β + αβ

( )2

1

11n n

n

a xa n n+

γ + − α + β= + +

cu

( )( )( )

( )( )( )( )( )

3

2

1; 1; 1

1

1

n

nx

n n n

nn n n

λ = α = µ = γ + − α + β γ − αβ − α + β γ + − α −β = + + α + β αβ γ + − α −β+ + α + β

xn converge în R ⇒ xn şir mărginit.

3o ( ) ( )1

1şi 1 1 1şi 1 na C∞

λ = µ = γ + − α + β > ⇔ λ = γ > α + β⇒ +∑

4o ( ) ( )1

1şi 1 1 1şi 1 na D∞

λ = µ = γ + − α + β ≤ ⇔ λ = γ ≤ α + β⇒ +∑ .

6o ( ) ( )ln ln

3

1 1culn ln ln ln

nn nn

an n

∞

=

=

∑ şir descrescător şi după criteriul de

condensare al lui Cauchy (teorema 5), avem:

( ) ( )2 ln 23 3 3

1 12 2ln 2 ln ln 2ln ln 2

n nn n

nn n na

n n

∞ ∞ ∞

= = =

= = =+

∑ ∑ ∑

( )1

3 3

1 2 1 1 şi limln 2 ln ln 2 ln 2

nn

n nn n n

bb

n n b

∞ ∞+

→∞= =

= = λ = =+∑ ∑

( )( ) ( )

1

3

ln ln 22 1lim 2 11 ln ln 2 2

n

nnn n

n nb D

n n

+ ∞

→∞ =

+= = > ⇒ ⇒

+ + ∑

seria hipergeometrică

5o

40

( ) ( )23 32 n

nn

n na D a D

∞ ∞

= =

⇒ ⇒∑ ∑ .

7o ( ).7

1

1 12 lim lim2 2

n Tn

nan ana a an n

∞ + + > ⇒λ = = = + + ∑

I ( )1

1 na a C∞

λ = < ⇒∑ II ( )1

1 na a D∞

λ = > ⇒∑

III ( )1

1 11 şi lim 02

n

n n nna a a a Dn e

∞+ λ = = ⇒ = = ≠ ⇒ + ∑

8o ( ) ( ) ( )2 21

1 1 1

2 sin 2 sin1 cu

1 1R

n nn nn

n

x xx a

n n

∞ ∞ ∞+− ∈ ⇒ =

+ +∑ ∑ ∑

( )1 2 21lim lim sin 2 2sin2

n

n nn

a nl x xa n

+

→∞ →∞

+= = ⋅ =+

I Pentru 2 22sin 1 1 2sin cos 2 0x x xλ = < ⇔ − = > ⇔

( ) ( )1 1

;4 4 n nx k k a C a AC

∞ ∞π π ⇔ ∈ π − π + ⇒ ⇒

∑ ∑

II Pentru 2 22sin 1 1 2sin cos 2 0x x xλ = > ⇔ − = < ⇔

( )1

3; şi lim 0 lim 04 4 n n nx k k a D a a

∞π π ⇔ ∈ π + π + ⇒ ≠ ⇒ ≠ ⇒

∑

( )1

na D∞

⇒∑

III Pentru ( ) ( ) 12

1

12sin 1

4 1

n

n nx k x a an

+ ∞−π= π ± λ = = ⇒ = ⇒+ ∑

( ) ( )1

1

111

n SCn

∞+= −

+∑ după criteriul Leibniz.

Operaţii algebrice cu serii numerice convergente

S-a demonstrat afirmaţia:

Dacă ( )0

na C∞

∑ cu suma S şi ( )0

nb C∞

∑ cu suma T, atunci

(i) ( )( )0

Rna C∞

∗λ λ ∈∑ cu suma Sλ

(ii) ( )( )0

n na b C∞

±∑ cu suma S ± T.

41

Afirmaţia (i) 0 0

n n

n k n kk k

a S a= =

σ = λ = λ = λ

∑ ∑ arată că pentru R∗∀λ ∈

seriile0 0

şin na a∞ ∞

λ∑ ∑ cu aceeaşi natură.

Reciproca afirmaţiei (ii) nu este în general adevărată.

Exemplu ( ) ( ) ( )1

01 1n n C

∞+ − + − ∑ avem 0, Nna n= ∀ ∈ şi seriile termenului

( ) ( )0 0

1 nna D

∞ ∞

− =∑ ∑ (Sn divergentă) şi ( ) ( )1

0 01 n

nb D∞ ∞

+− =∑ ∑ (Sn divergentă).

Definiţia 3 1] Fie ( ) ( )0 0

şiR Rn nn na b

≥ ≥⊂ ⊂ două şiruri numerice oarecare.

Se numeşte convoluţie sau produs convolutiv al celor două şiruri (an) şi (bn), şirul numeric (cn) definit prin:

( ) 0 0 0 1 0 1 1 00

8 , , , ,n

n k n kk

c a b c a b a b c a b −=

= = + =∑K K

2] Se numeşte serie produs după Cauchy al seriilor 0 0

şin na b∞ ∞

∑ ∑

seria 0

nc∞

∑ notată: 0 0 0

n n nc a b∞ ∞ ∞ =

∑ ∑ ∑ .

Observaţii

1. Dacă ( )0

na C∞

∑ şi ( )0

nb C∞

∑ , în general, seria produs Cauchy nu este totdeauna

convergentă.

2. Exemple ( ) ( )

1

1

1

n

Cn

∞ −

+∑ după criteriul Leibnitz şi avem pentru

( ) ( ) ( )0 0

1 1 11 1 1

n k n kn n

n n n k n kk k

a b c a bn k n k

−

−= =

− − −= = ⇒ = = =

+ + − +∑ ∑

( )( )( )0

1

1 1

nn

k k n k=

−=

+ − +∑ .

Avem: ( )( ) ( )( )2

2

1 11 1 12 1 1

12

nn k kn k k n

− + + ≤ + ⇔ ≥ − + + +

şi atunci

( )0

2 122 2

n

nk

nc

n n=

+> =

+ +∑ cu ( ) ( ) ( )

0

2 1lim 2 0

2 n

nD a

n

∞ += ≠ ⇒

+∑

42

( ) ( )lim 00 0

lim 0 şin

n n ncc D c c D

∞ ∞

≠⇒ ⇒ ≠∑ ∑

3o În consecinţă, pentru convergenţa seriei produs Cauchy se impune condiţia ca cel puţin una dintre cele două serii sa fie o serie absolut convergentă. Teorema 10 (Teorema Mertens-Cauchy)

Dacă seriile ( )0

na C∞

∑ şi ( )0

nb C∞

∑ sunt absolut convergente cu suma S şi

respectiv T, atunci seria produs Cauchy 0

nc∞

∑ este absolut convergentă cu suma

ST. Demonstraţia în bibliografie ([13]; [16]).

Exemple 1o Seria 2

11na a a

∞

= + + +∑ L este absolut convergentă pentru 1a <

cu suma 11

Sa

=−

şi divergentă pentru 1a ≥ (seria geometrică q = a).

Seria produs Cauchy:

( )2 1

0 0

1 2 3 cu 1,1nn na b a a na a

∞ ∞− = + + + + + ∈ −

∑ ∑ K K este convergentă cu

suma ( )2

11 a−

.

2o Seria ( )0

n

n Cx

∞

∑ cu suma ( )2 pentru 11

xS xx

= >−

; notăm 1 ax

= şi

( )1 2

1 1 11 1, iar 1 2 3

nn n

n

nx a na a na a a ax

∞ ∞−> ⇔ < = = = + + + =∑ ∑ ∑ K

( )2

11

aa

=−

după 1o.

Calculul aproximativ al sumei unei serii convergente.

Fie ( )0

na C∞

∑ cu suma S, unde 0

lim ,Rn

n n kn kS S S a

→∞ =

= ∈ = ∑ . Pentru calculul sumei

S avem două cazuri: I Calculăm lim , Rnn

S S S→∞

= ∈ dacă Sn are o exprimare care permite să se

calculeze direct limita sa: lim nnS S

→∞= .

II Aproximăm RS ∈ printr-o sumă parţială cu NnS n ∈ convenabil ales; nS S≅ şi evaluăm eroarea absolută n nE S S= − respectând cerinţele problemei date.

43

Teorema 11 (Calculul aproximativ al sumei pentru ( )n0

a C∑∞

≥n cu a 0 )

Fie ( )0

na C∞

∑ cu ( )sau 0,R NnS a n∈ ≥ ∀ ∈ . Dacă există 0 Nn ∈ şi există

( )0,1q ∈ astfel încât:

( ) 109 ,n

n

aq n n

a+ ≤ ∀ ≥ atunci avem: ( )10

1n n nqE S S a

q= − ≤

−

Demonstraţie Din (9) avem: ( )'1 09 ,n na q a n n+ ≤ ∀ ≥ şi obţinem

( )21 2

11n n n n n n nS S a a E S S a q q a q

q+ +− = + + ⇒ = − ≤ + + =−

K K

tocmai (10). Teorema 12 (Aproximarea sumei unei serii alternante convergentă)

Fie seria alternantă ( ) 1

11 n

n

∞+− α∑ cu αn un şir monoton descrescător şi

lim 0nn→∞α = , atunci avem: ( ) 111 n n nE S S += − ≤ α

Demonstraţia pentru teorema 11 şi teorema 12 în bibliografie ([14]; [16]).

Exemple 1o ( )31

2 1!

n Cn n

∞ +∑ 1lim 0 1n

n

aa

+ = λ = <

cu suma S şi să calculăm S cu o

aproximaţie de 310−ε = . Avem:

( )

( ) ( )

31

4

2 3 121 2 1

n

n

n naa nn n

+ += ≤

++ + pentru ( )0

14 şi 0,16

n n q≥ = ∃ = ∈ a.î.

13

11 1 2 1 6, 4

12 6 1 ! 16

nn n n

n

a q nn E S S aa n q n n

+ +≤ ≤ ≥ ⇒ = − ≤ = =+ − −

3 3

2 1 1 1 pentru 5! 5 10

n nn n

+= < ≥ , deci 5

5 3 3 31

2 1 1 13,362 3,362 3,362! 10 10n

nS S Sn n=

+≅ = = ⇒ − < < +∑

44

2o ( )

( )( )4 4 4

0

1 1 113 52 1

n

Cn

∞ −= − +

+∑ L cu suma S şi să calculăm S cu o aproximaţie

de 410−ε = . Avem ( )4

12 1

nn

α =+

şi alegem 1n ≥ minim a.î.

( )( )4 4

1 44 4

1 1 1 2 3 1010 102 3

n nn

+α < ⇔ ≤ ⇔ + ≥+

pentru n = 4 şi

( )( )

4

4 4 4 40

1 1 10,98883 0,98883 0,9888310 102 1

n

n

S S Sn=

−≅ = = ⇔ − < < +

+∑ 3o

( )0

1!

Cn

∞

∑ cu suma S = e şi calculăm S cu o aproximaţie 710−ε = . Avem:

1 1( 1)! ( 2)!n nS S e Sn n

− = − = + + =+ +

L

1 1 1 1 1 111( 1)! 2 ( 2)( 3) ( 1)! !1

1n n n n n n n

n

= + + + = = ⇒ + + + + + −

+

L

7

1 1! 10n nE S S

n n⇒ = − ≤ < pentru

10

0 100

110 2,718083!n

n n S e Sn=

≥ = ⇒ = ≅ = = ⇔∑ K

7 7

1 12,718083 2,71808310 10

S e− < = < +K K

4o ( )0

( 1)!(3 1)

n

Cn n

∞ −+∑ cu suma S şi calculăm S cu o aproximaţie de 310−ε = .

( )1 31 1 3

1 1 ( 1)! 3 1 10( 1)!(3 1) 10

nn n n nE S S n

n+

+ += − ≤ α = < ⇔ + + >+ +

pentru

0 31 1 13 1 0,7904004

1!4 2!10 3!28n n S S≥ = ⇒ ≅ = − + − = ⇔

3 3

1 10,7904004 0,7904004 0,790400410 10

S S⇔ − < < + ⇒ ≅ K

5o 11

1 ( )3n C

n

∞

−⋅∑ cu suma S şi calculăm S cu o aproximaţie de 310−ε = . Avem:

45

1 2

1 301 3

6

6 1 3 31

1 1 1 1 1 11( 1)3 ( 2)3 1 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 2( 1)3 10 pentru şi11 3 1 3 2 1013

1 1 11,21608 1,216083 10 10

n n n n n

nn n

nn

E S Sn n n

n n nn n

S S Sn

+

−−

−=

= − = + + < + + + = + + +

= < ⇔ + > ≥+ +−

≅ = = − < < +⋅∑

L L

6o 0

( 1) ( )!

n

Cn

∞ −∑ cu suma S şi calculăm S cu o aproximaţie de 310−ε = .

Avem ( ) 31 3

1 1 1 ! 10( 1)! 10n n nE S S nn+= − ≤ α = < ⇔ + >

+ pentru

6

0 60

3 3

( 1)6, deci 0,3666!

1 1 10,3666 0,3666 0,366610 10

n

nn n S S

n

S Se

=

−≥ = ≅ = == ⇔

= − < < + ⇒ = =

∑ K

K K K

7o 1

1 ( )2n C

n

∞

∑ cu suma S şi calculăm S cu o aproximaţie de 310−ε = .

Avem:

( ) ( ) ( )1 2 1 2

301 3

7

7 3 31

1 1 1 1 111 2 2 2 1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 2 ( 1) 10 pentru 711 2 1 2 1012

1 1 10,69224 0,69224 0,692242 10 10

n n n n n

nn n

nn

E S Sn n n

n n nn n

S S Sn

+ + +

+

=

= − = + + < + + + = + + +

= = < ⇔ + > ≥ = ⇒+ +−

≅ = = ⇔ − < < +∑

L L

8o 0

( 1) ( )!(2 1)

n

Cn n

∞ −+∑ cu suma S şi calculăm S cu o aproximaţie de 310−ε = .

Avem:

03

4

4 3 30

1 1 pentru 5!(2 1) 10

( 1) 1 10,7475 0,7475 0,7475!(2 1) 10 10

n n n

n

n

E S S n nn n

S S Sn n=

= − ≤ α = < ≥ = ⇔+

−≅ = = ⇔ − < < ++∑

9o 1

2 ( )( 1)!

n

Cn

∞

+∑ cu suma S şi calculăm S cu o aproximaţie de 310−ε = . Avem:

46

10

1

1 2 2

13

03 1

9

91

2 1 pentru 42 3

1 1 2 1 1 213 3 ( 1)! 3 ( 1)!13

2 1 ( 1)! 10 pentru 9( 1)! 10 2

2( 1)!

nn n n

n

n n

n n n

n

n n

n

aq n n E S S S S

a n

a a an n

nE n nn

S Sn

+

−

+ +

−

−

= < = ≥ = ⇒ = − = − =+

+ + < + + = = ⇒ + + −

+< < ⇔ > ∀ ≥ = ⇒+

≅ =+∑

L L