Tanasescu Book

7/21/2019 Tanasescu Book

http://slidepdf.com/reader/full/tanasescu-book 1/195

f , i \

C{J

Prefa{5 r, . . . . .

{ lap. I SISTEI{E DE PROIECTIE

i. l Sistemr-rl entral de proiecfe1.2 Sisternulparale l de proiccl ic1.3 Tran-sformiri geometrice .

I .3.1 Transformarea rin cmologie1.3.2 Aplica{ii ale transfornriir i i r in onrolo-

gie p i af n itatcl. '1 Generalit i l i asupra sistemelor spcciale de

nr^ io^i i6

1.5 Problcme propuse

Cap. l PUNCTUL

2.1 Sistemulde proieclic dublu ortogonal Monge

2.1 1 Plane de proiec{ ic. L in ia de pdmilt .Diedre. Sistemul de proiecfie Monge

2.1 2 Planebisectoare2.1 3 Epur5

3.L3 Purrctcpe drcaptiidetcrminaten anu-mite condif i i date

Pozi{ i i le caracterist ice le dreptci3.2.1 Dreaptaorizon{al i3.2.2 Dreapta rontalii3,2.3 Drcapta fronto-orizontal: l

3 .2.4 Dreapta vert icala3.2.5 Dreapta de capdt3.2.6 Dreaptaconf nuiii i t r planelcbisectoare3.2.7 Dreapta de profilPozi{ia rclativi dintre doul clrepte

3

l9

l9202l

2 l

2"1

2525

27

27

272728

4l

azAq

43

434:l434r l44444445

4748

4849505l5 l

hz

52

(c,

53

D+

565656o(]56

6060606405

3.2

3.3

,1.3

3.3.1 Drepte parale le3.3.2 Drepte concurentc

2B

29

303l32

32.1{+

34

34

36

{

I

\

ri

9.1 4, ) l<

2.1r i

2.1.7numencePunctele ituate n serniolaneleisec- Cap. V. PLANUI,

Epura punctulu idi"ia-.riii.l."'a"r.iiotiu..' aui.'u.Depbrtarea. ot aEpura punctuluidat prin coordonatc

l ) .3 .3 Apl icat i i3 .3.4 Abl icat i i lc tor t 'n tc irng lr i l r lu ircpt :

1:erpct td ict t l r rrcc dlcptcor izontalc at t

fronta e3.3.5 Pcrperrd icLr lara,c u r lreaptaoarccar(r3.3.0 Pcr' fcrrt lculara 6t-,murra

'dcruadreptc

datc n pozi i i caracterisiice3.3.7 Adevdraia utrgimea rtnui segment3.3.8 Proiect iaparale ldqi centra l i a dreptei3.3.9 Apl ica{ i i

3..4 Problcnre propuse

4.1 Ileprezentarealatrului4.1 ' .1 Urmele lanulu i. Punct gi drcaptd on-

{inute ir . rplan4.1.3 Dreptclc mDortat t tc lc platru lu i

4.1,3 Pozit i i lc caiactcr i" t iccalc plant t lu i i l traport cu planelede proiecl ie4.2 Dreptegi p lane parale lc

4.2. i Dre 'apta arale lr i cu planul4.2.2 Plan parale lcrro drcrptd4.2.3 Plan parale lcu un plan . \ . . . .4.2.4 Pian paralcl cu t loul drcptc arbi lrare

loare . , .2.1.8 Alfabetul descr ipt iv f 'prn. tu lu i . . .

2 2. Al treilea plan de proiec{ie

2.2.1 Al t re i lea plan de proiect ie. Planul

lateral. Triedre2.2.2 Simetria in raport cu axele triedrului2.2.3 Simetr ia n rai lort cu p lanelcde pro-

iec e2.2.4 Simetria in rapori cu plauele bisec-

toare .2.2.5 Exemplc .2 .6 Apl ica l i i

1.3 Probleme propuse

.- .p . l l l . DREAPTA IN SISTEMUL DII

PROTECTTE1ONGE

-' 1 Dreapta3.1.1 Reprezentare.ro icc l i i .Urme3.1.2 Impir t i readreptein regiuni . uncte

caracteristicee o dreaptd

ln tcrsec{i ide plane-1.3.1Plane date prin urme4.3.2 Plane date prin alte elementegconte'

tr ce4.3.3 Ut i l izareaplanulu i b iscctor oica plan

auxi l iarIntersec{iidintre dreptegi plalie

4.4.1 Mctoda planelorproiectante4,4.2 Metorla ploiec iei paralele4.4.3 Metoda proiecfci centrale

37

37 ,{.1t2n



7,61zGl

l7, I6I I8I I9I I9I I

9I I

?I It t lt t lztlz t II I II I I

nzI

,61

IOI8686

86

"o',;;,0* roplnJ'1nr1*.,,iy]_"{;j13ff, n,1nue1dc oJrqrnur,",*r.,rilltllJ3inn#.

".oluelralordaueldur. rd 'runr iras i .R

:: : ; : r ri'1"1"1:,jrliiii":l'i1;t. . . : [nrpaErapocg.a.S

. . .rnqnr",.,ll]|ffi6.9.9rnrpaer la l .o l ; i - - " .

-n8o.r.rpa11odrur:r o1a5 a.ru;uaZo.rdjf.5.g

-*"n,,'"o,rr;,; ',.,,;".;r;"r:JrtAlT; ;raursr.rda.reluaza.rdai. i. i

e leuo8eluad ptwet i i . i . "*c.ref,oJeoprrue;rd raun ea:eluaiardjx= .i. i

' .rola.rpar1odearelua-zajdi[ 3.g

arf raro. rdp lauuld lp nunnt Jolu;edyuln:p.p. .rJrutaJtse n1nue1d-tialoge e.s

99_1;ue1drp lnun ,a ,u1n" , i loai "J

BEUniBs rt r aJl .spnlnubld"er ia louAI .e.9: : : : : 'JllHilf,,?il,1,j,?'ii'i"Ji is: t1 ' t l l : .1t_p; )ut ldJtse;1dojper lelog g1.g.9' '? lep (,S'g)V nxr l eldu; . rpo ezcl - ' " -

: . . . t : l l l .RS JUJ1aj1seo1do:p'ur flo1i 6.g.Sro lulLupd p Dlul l nr uf , r le jud

Fulo?pes l l ruJ 1a11ser ldo;p,e '1i 'a1o6 .g.9

"o'o,.,,;,;,, i,,,;,'ur,,;-:lt"','j:j:-3, ' ln :p. S l rut .1,11su.1, r1dj . rp-r , t19l "q.g.gcp clcueld rp ,nu,, .,.,JlJlJ:J:t ' ln:p.F: l t -){J a11se;1,to.rpzi[ 'e1oU9.c.s. : : . . i"{'.,pu5rJnl,#.,i;,'jJ5i?,{s

-llu: rJu orlsBr'';ijyl,$?l'jlg b s

:"111) '" :l r talrsenJnirunci11ajo-gI s.g: . . .

rn lnlcunda luor; Jp ei le jop ;; ;

: . . . :"1"t. ' ". '1l l ,rrLrf ei leio[ ;;drar felo:

EpoloWg. g: : : : . . .": : : ."'".13:X;y"qorde1]-qilp

n:p B punuornrnlnupu"Oin61.1.90uBIdr,nFl1aune aurr ;aui l i r rq, \apfi i . ig ueld n e1 rundun

:..'_:_ rvd9r"o 'f ,"i,ili ' l ', ',$''t

ln JteJcJBore;d rnun EJJBru. lo lsuBJnt,r.a' . -^ , r ]d un n:1rrod r iroro. rdp eruoi " ' ' ,

-rJo nEs lec11raa reld a

ir."l:j:F,n*';1#"';i","r"Ti1#i3,'33toearpz1 rund ne1 pefueisifri i A

.oruorr'";"r;";,,',""" ""rr,5,t,""tt::tj: ; ;_ _^. - lgder op pldeoip ne^:Fle)l lrol uJ otrdrlp eunea.leru;o1iue;1g.l.g

. .^_. ' .^ . ' ,. B1eluor jnes 91e]-uozt . to J JldJJp Jun BJJeuJlolsuul t ' . r .c'. .^_. '- 1dy.rpo n.rluod,ar| : , tro.rd-apdi

.::;i:.' : '1,Til#'.,l"'

",".",jf: j,Tj I rs

::li ::l:1:":r,:Ji,r,loT""ifi*H'.is-JJrol0 Jp IEJtJIJA rald ap DJJBqul tqJq r. r.c' ' or l rarordp. ro;aun1d:eq,ur i1 j * 'epi l j#r .s

' a le ln8a:-r ruaslorpr l lod 6.1.grolnA rnl r l r r lpt rU . i t l iu i tnC

t.t .S

B8

L8

L898

98

98

98

98vtt

t8

n888s8(' d

7,8

68I8I8

6L6L6L6L6L

BL

8L

LL

LL

9L

ql

9L

TLIL89L9LS99999999

99

I I I

60 180rz0I

601

', ' rlflrpatnq 1.tsUqsrlo4 trInf ' t le3

. . (jji.iliyll g:lqo,q uff6 s.2

. .IdNIHDNN

IS VlNvJSrc ac swglaoud .trA .dB:)

(afuelsrp) asndord aurajtju-r65.2

01. ' .1 otualgord l . /

esndo:d ruratqord A. gnlpJl ldV I ' l .g

Jnrrr) I C)

' Intuat .rA-'dP:)^\

L6

L696

9696YO

?6

tot6t, o

g6

z6I6

I60606

6868

68

: asndo:d aualq-o:4 9. g1u3ued rp lol t l l l 1n:nf u1 BarJJpqBXt.c,c. ( lqder

ap r{ JreJ

" ' - --. i l j : j) .

-" 1."?gro.rd:o1aue1d J:j lequg 11.e.qalrBl0 lndlJ taun B aurrJeueie. rprrapv i .6.6 ruerd enoDar lurp Inlq?tn

"6g 9

:nld.ul 1sp1<iecip"r1u,pniqar, i j ; ;

^-.. '_,__'alualncuoJ lda:p gnop i.r1ujsurJ0nJ.rnlnrqFune our.r^rur la:Errabv /.c.calcJerBo ldrJp Fnop a.r lurpeluets la ;. 6

. . . . l.tnlu.rfYrl.d'n.agili l.ecre[;; s

:aj'1rpjr.ur.rcte1rrnun'"r"Jiflj,ld'.s.sprn;rJo nrluad r-ra1e;rr;rrrs,X:tj .c.c

.. . '^^ au.r ,:nrr .rdep eyd h- i;-u . l tsn l lsuald . rn l r l oun ola leqe>r.c.c rl]:zo0op) crq8unldo:pnlnrq8rrnr-rjplnddd tnlnuBlde alerr l ia, r Juln rrJJ l-BqBr,urr ,Bzl l l lnrr fcoroldop leluoir . roInUBI(t d alBJaJBoeld rrrunej. raleqaN r.c.c' ( lualBqel ea.rerrprg) r.raleqe.l-epollWS S

' : : ' I I" , , - , " ,0; , , i l l iu: :u,cturrqord

ts

:?9TI , l?.Sarfe lo. rL lurp 1u. r lenlqr3/1.g.9Jla lBred^Brrr^ap

s ueldfnopu; r t ; fb$ gi i iuBJdln;rJ raune cri . rr. rgrulBJqlapv r.r, .c

_.

' arr : lauoa8 t r i jLrr i la' " -a l lP urrd l tu lJoprnlnueJd rielo y1.g.g

(a,,rrdr:rsJp raJlcuJoaF lcpoyary)Y A dVWdOJSNVUT

,3Q;""';il'[[,;Y','i{,'$

?'To?l'Jt'dm\",^^-r -r \ . ; . - /

: : : . : : :l,r."Tr.,r:-"i]i"i.jli[r;;g'a

:l{t.T.-il"l- run*o. r.,"ri'oi:l:r iecr , ldy2'9.7

I PltaoJa.I o 'c'*cueldgnop :d eln. rrpr i ;df : j

" ; ; ;d i ;

unl0Jrprr-l.rp.)rrlnlrl er rn.rt,uoi i.6.ii r f . .9_..1-ureIrrr

u.rd.rottalOeug t.q. i

.'ut,lHii3,5lii'Ji',fihi',1',''o,*1,* : : floPJJp o dd uJetnf , tDuod . rr l

" r, l " r, ) i'^ . i . ildprrp r, od uLbprril ju.rt l. rot j 'ldrn., . , i . i . I

: : : tt1:i lp_o d reJn:1p.u;orade1f,i s.i

j,';1;ii.';r;J,;;5ilfjj"*.u,rd

6s'uplo t r i l Jd urulnlplrJd. rar ie ldea:q

l .g. ,a;elnrrpuad;od uald r$-oldaiq 9. p

prraoJadq.g.t

9a. lQ I '9 ' t



l l l

1 ll t II t2

ll2l l4l l l

l l4

l r5

l r5il 6il 8l l9I21122t22

t24t .l.{

Metoda trarrsformdriiplanului de sec-

t iune n Plau ProicctantMetoda Proicc{ ie iParal( ' lcMetoda ProiccI ic iccntralc

Ii;i;;; iiiungitiurilor omologice (con-

fj;il'li"3."'f.ftffilr n.',p."i,it.',iool edre

tnt.r. Ic"t ' ia=Jintrcrdrcapta; i trn-po.lcdru '---g.q- . i - ' ' r . i " t . . . t iadir r t rco dreaptd.Ei) . r lsma

s. i . i in i . t ' . . i ia dint '"o dreapt i ; i o piramtoa

8.4.3 lctoda.planclor proicctantc

Dcsfbquratc c Pol ledrc8.5.1 DesligurataPrlsmel

S.S.ZOesfdsurata iramidei '8.5.3 APl icaf i i .

Intersec i i de Policdrei'.d. - tn't"t . . . ia dintre doud prismc : . .18.6. i i " i . t i . . i i , d nt t t o pr ismd5i o.p, i tamda

8.6.3 Intcrsecl iadint rc dot taptramtcc

t t 6.4 Aol ical i i .

8.6.i i it.tpi*iur.u .dcscriptvl . Polidtcl,I: " -t i . rnaida epurc lorpr iv i r rd ntcrsccl t lcc

Poliedrei.7 Ploblcmc propusc

ta\\

- r r i . x.\upnarrTE coNlcE l c l l - lNDRICl ll , i \sgf"r",,tare. Planc tangcnic'Normalc1i

lankcnte omuneg. i ' i - r i "pt . r . r t tare,ontur parcnt ' , ' Ib. t .z plin" tangente use ntr-un punct.pe" ' -

iupi i iu td au pr int r 'unpunctcxter iorg. r .e ' l ' rne

-tangentdparale lc 'cu di rect ic

L l .4 $i:i.'6gentecart fac u'ptanut'oiizun-

ta l un ungl r i at ' , i

9.1.5 Tangcntc$i plan" tal lgenlecomul lc a" ' "

Aoriiupraie 'econice i cil indrice '

9.1.6 Plane t lngente paralelea douasupra-

Iete coniceSi cil indrtct '

9.1 7 Normalacomund a doudst lpralc lc ol l t -

ce s i c i l indr ice9.1.8 Con supl imentar nui con dat

: I Sectiuni plane n suprafelele onice 9i cil i t t '

9.4.2 Desf i iqurata i l indrului vmt ical 9i a" '-

;i i";i; l i i i rrontal

'L .+. r ic . fa;uratacotr t t l t r i i rculardrcpt

1ia

cot tului i rcularobl ic 163

9.5 Irrtersccliasuprale{elorcouicc tr i ci l ir ldrice 16 5

9.5.1 ntcrseci iadint rc c loi c i l indr i ' ' ' : 16 5

s. ; . i i ; i ; ; ; ; ; i io ai ' i [ ' " r loua onur i. , ,- ,- . . 167

e.;.5;;;;;;;;ii" i"ii' u'iiu".ei,"".il'lt9:: 1689.5.4 Irrtcrsccf ia dintrc o supralala ct)nlL'a dt r

ci l indr ic i i o ' tuplu i ' i te ol icdralS. -" 169

s.s. f i iamirr l n i in i tc n in icrsccl iaupralc lc-

lor conice r ci l indr ice 171

9.6 Problemc ropuse17 3

8.3.4

8.3.58.3.68.3.7

8.3.8

124

125l1) c,

126

8.4

t27128128128t29129129

130131| ?,t

1 e.)

134.r .135

.135

14 4145

147

E.6

2

B

BBt{

)lt515t6

t6l797

Cap. X. SUPRAFETELE DE ROTAl ' lE

l0. l Suplafe{ele e rotaf ie gcnerale

l0. l . l Ccneral i tht i ' Rclrezenlarc

10.1.2 Dcterminarca l l l l i mcr ldlan

10.1.3 Punct de suPrafa{ i , ' - , . 'io. i.+ Plan tangerit utr-un punct pe su-

nrr a 5

t74

t74174174175

t7 6prafatd

10.1.5 Plan tar-rgcntter or .

10. I 6 Plan tangcnt

cil ndr ci l

printr-un Puttct cx -

paralel ctr o direclic

dat i10.1.7 iTri tung.nt paralelcu urr 'pl,anda t

prin urmdsau-prindou5 dreptecon-cutcnte

10.1.8 i . . i i i i " i p lane n srrprafe{elee ro-

tat el( t .1.9 Ini t r : tc1ia dir r t rc o sr lpral .a la

ioi i t ie 'Ei o suPraia dconica

t7 7

178

179

18 0147147

147

'd ;

sa u

t4710.2

148

149

149

150l5 l

18le8ie80ll

02

tr2r08t09

SIcra10.2.1

10.2.2

10.2.310.2.4r0.2.510.2.0

dat Prin urme

10.2.7 FTrn"iing.nt paralel cu o direcJic

datd10.2.8 Uiun tang"r- 't pcrpendicular pe o

dreaPtddati i

10.2.9 pjrt i irng"nt dus printr-o dreaptd

Det ini{ ie.. Reprczentare Dcttrmt-

, lareaunul paralel .^.

i l i i^ . t p" sJprafata.Plantr l tangcrrt

intr-utr-Punit Pe suPrafa{a .Sect iunepr int r -un plan proicctantScci iunopr int r -unpJan arccarc

i^i i i .". f i , dintrc o'drcaptd9i o slera

Planul iangent paralcl cu un plall

datd.ptut-t ans. lt t la s[erb carc facc un -

nit lrr l Uri. cu p atrelcdcproiccl e

Sfera circunrscrisbunui tctracdru

Sieii tnsc. ise ntr-un -tetraedruFl"ti iing."t comur la doud sferc'

dus pr in ' i r -un Punct extcr ior sa u

nara16l u o direct icdata

iniersectia dintre doud -sferelntersecl iadint re t rc i s lerc

ij iun t ide.nt comun a trei sicrcdatc

b.tfeEuiEt"u aprox ma.tvd a sferei

noi i . i t l i . Consirucl i ide slere

180181

tBl

18 2

183183ld D

187

187r ice9.2.1 Teorema1ui Dandelin

9.2.2 Teorema ocarului6. i . i Con. t . rc{ ia sec iuni lor . l ipt ice

9.2.4Construc{iasecliunilor hlpcr.nollcc

9.2.5Construc{ iasect iuni lor paraDol lceg.i.o fuf. toOu ransiormdrii plhnului de scc-

iune ln Plan Proiectant9.2.7 beterminarea secfiunilor Pfane prln

conf igural ia.Desargues. ' : ' , . . , . .

9.2.6Sec i Inea' larrd. in i l indru pr in melooa

cl ametri loi conj rgat

9.2.9 Sec iunea rt t iparalc ldl t contr lc l rcular

obl ic ' . ' , :i r i tcrscCl iadint re o drcaptd 5i o suprataia

i ' - -conic i sau ci l ndr ic i

'-r.3.1n{ersecfa dir ltre o dreaptb qi un co n

b.5. i i; i ; r ; ; i ia dintre o dreaptd Ei un ci -

l indru .

O*. lasuio] ie supra[elelor oniceqi

cil indricc- ' . { .1 Tcorcma ui OI v icr

l t | i '

t52153_t ,J

lD o

158

t8 8

188

190190191

159

160

160160

t6l161l6l

t0.2.10

10.2.1I10.2.1210.2.13

10.2.1410.2.1510.2.16r0.2.1710.2.18

10.3 ProblemePropuse

19 2ts3193t9419 4196197

19 9aI

10.4Torul



886 t',288AGL(t

886aqG

ueISEI8AIt8

t9 a

I9 609a096gictrit89a896894LgZg9G

99C

p9G

86eqaffiG89Azgaz9z196t9zI9 G

T9G

.. .^eJrrput lrc

glBploJl lDprBJsI .g.g l

. - . ' . e ;eproJr la ' r ie j{.a leJaua8 qnln$ afale. ldnq r.c.cr' . le l lpdla lrJnr qnrnt a la ierdni ; a. ; ;

rElnrq;unrr llaJrJ r qn.rnS leje:cJni ; . ; ; ;. qnrn$5talir.,o,i{

: : : :. . ru lrrp1rnd11 a1ly 6.p.gi

.at] :r l{?a.r.rr. ,PrlJaJs eaJlJA

' e) luoJ Borl lE

;";, ; ;^;,;;*;,;, , '' prorrc

..' Rcrrpur,,'j"u'#:E,rLq'a'sl

: rs.p.rorla.ul.n,lulp;lf:,?",t#J'z.tl- ocJlg.arnqu snrplrr lr rr .egzior i1g t .Z. t , I

: : r:Y'1?',i;i3;3"i'[i,fi:l':3Tt8ileprorr;aalalajeltJng

lJJ.lJa ounlsJaAul l:d eleru;o1sue.r1 .l.gl

: : : .^:'rjrlD.'l'T1nw;f,H3i i:ii: : : : : : . rarrJo1zunsppjfoi.i.si

i::j:-,,'r'ruiffi+fiili,,,,n?rtd1.'{

1 1nq;:1s1ppln.rp,iuibj at Z.EI

lr9'l,l 1-:.ru1r'p r:sl,rl alioo,, r.r,un. (pldea.rp

: .n,j,ipo{df#il"j

0r.z.zr

j': ,';,'"i,l"18,r:i:i,1i,"f*l$::igl: : : : : : . I'rlo?'j'o,;iillill:izzi,Llgl-:

Ipl**a eareuru:.raloqeriloq

-JaqlrJ tunriJas ap tJndr' '"' " '=:"'""H''lii;1t5]ropoqnr'z"zI

e pseo:n8rrea.ieurii.rolaq,iio"". lp .u: tg n-.r iuy:d.pj11o11ninunljJ"f

s.G.6r

:rid1. :d.lr.u1d n_.r1u1.,ntun1J;"j ?.6.a1ap.I$ 1c.t1u.

".p oyl.,t rr1r,l.,,nlirT{ t.6.61-e;dnsad lruncl rnun ee

,i""ll.,Hil,i$.G,6r1rlng . 'oreluaza:dcy.jr ipl le.rauag

I.a.GI. . : . frytl o.ncelf loJ

1,ryprb-1oql"tr"ii.ar

: : . : . . " t". ' r?l ' ' . i i iHi igi2l' a1u1Fr.rolalalerrrnsro',llli1?ro,,r.l.lr.J,.r,

' aJYlDrU lagvuanstrx .dPf,

rez9'tr

\tz

C'8t Oga

646, ' t l8'81 d66

lt66

LAGi2 ,f,oo

66 6

062v(,6

t l l6

6IZ

6tG

6ra6tz

8r?,

L?7,

lr6

9t a

'rr3 a'rahcvudnts orriflot',o,i0,,

. - l lpl ter.r.Di i ; i'FJr lpur lrr ea) l Ig

rq pJoloqe;ed

1epueld un nc 1a1e.ledua8uel upld 6. t .61' ' JOrJalxo

lualuPl ueld g.t.zI

o n" lolrrrd'r"*", ,iJtO. ntr,rl$

L'''61

vu b

z' t rvb 6

L''va 6

L6 6

I'CI

'( ,

zzz

LIA9IA t6

I IZI l0

I16

]lletor.o.P

' l;nrrl8un

yn.

ls .pld:orp

i ailusf'ri.,nr.iiirlir .r.zr; - ' . . .^._^ . . . ' , runrfros p aq.rn i . " '

:._llirnt lrund un_.r1ugiu'oairej'aJpJorsoue;d un-:1urrdjunllraiaru.rnirr:d

.....^sr rpu rrJlererdns" ,r3j1fl"";fJtrlqord

aI-1q p.1o1oqu:edn arlulp Llfcjsriful y1.p..61' . . . r l l? l9 jappfugerdr is 'os ' r r loq ja, i, ' " ,

i: :Ti:i:'i#,:l':il;il,xti,"iuti rzt

,_- _ollelo: op pJoloqrad;q

:B-arp_o-llulp e1f as.ra1Lrl

:: :i -t{':,p,i,;dllj'r'r',1',.",#iulr ar t'

'"il'1";iiorlurrrqordI r l

:o1af1e.rdns'itrri:51rii,.6.1' . 9 ' . "1 r fer r ldy I . t : t i \rs cluelsrp p ruralqordl . l l

nrorit nYoo$ll *'?Xo ,: . : : : . : . : : : .^"1{9.rduralqo.r4e.s;er as;.1ur , nrro1,r"rr.i"':iij?;li .c,^r. . : . : : : : . ' . b.:r i4g9*f 's '6i

I l l u tJac I.9.01

]uJdupl prue14 gie lz.rdnsod

1;un6g.r.0 l

. l i ro lJop rSyc,rru p auerdulr( t lo i ur lrrn l iccg c:e lu jzo.rdeg

Z.b.0I

y.l.vcvudnsvl'Z

9nz

,vz

tra

gn6

ov7,

ou660G

80G906904906,06c06

80 6(' tJ 6

l0z

I06

006

00a

66 1

661

ll: l 1*'.* ,T,,l3i;,f,:llnin r

iLriili{i{r:"'il'r":3i:};ii""",$vat-'"*i,','i*itllj_,i'l;'l;,ff,ri: : :: : 'r";iJii[i?fi'ili+.o'"i j.r"o un-.,,u,'runl

qi;Ju''dn'tv o ol

: : : :l'l :"';iJrJ'1'"iJ';hj1lili?;Eti

: : : : : : : : : : j,,,'ilJ|iffJ??,"n1"$,.,1r'lnrrrcuorun 1sgzuld;"'.,ifl,[:opproloqradnlnarl lnp rfrairaiulbl .6.ZI

. : : : : :'1"1?i,3i,r"+.Tiry;?,r,

. . . . : . . .T,r:,{:"y,yil,""iii oij"i'"?l]:iig,.il'J,',fi['',5,",::i+:i: :

.1ru:rjr?eJttn-.r1ur.rdunrfrogii 0i' ( lUPlJJrOJd)

1P1t? ?.u1t,J.,n-:1u1id.unt-f-ros.r.0r

f?gr:.rl -:1u.1:d.-".0rr*r, Xl* 9.r.ol

1"ll-1'.d;i?,?iL'J"j;o,3ilf0",t".TLt'.,

gsrolur g1e1-Erons r le irprsuof, n:o1

arfrur lo6I . ' .01



F

263263263263

267

267

267

27327 4

27 4274

275276

97727727 727 7

278

279280

cap.

t6. l

r6.2

l lBIBIp

82B3B3tl3B4trl8

l{0

143

its

144

245

t{6

246I

fl47

217

21E

e{9

:'n

25 1

2:al25 12512522522532Fn?iaz2.8

2-a4

255

2ffi2572:82582582i3zi8260260261261

13.7

cap.

t4. It4.2

13.6.2Apl ical i i : . . . . . . . . ' .13.6.3 Siarael icoidalaonca

Rampe licoidale13.7.' l Aplicaii i

xrv. SUPRAF'ETEONOIZI

Can.XVI I . SUPRAFETE ANAL,SERPENTI ..NUL, COLOANA BAROCA, $URUBULSt . GILLES

17.1Serpentinul17.2Coloana aroolbana barocd

292

292293293

293294

295

295295295

296to7

297w7297298298298299

290299300

30030030030130230230230330330330330 4

304306

308

30 8308308308

Conoiduldrept

14.2.1 Reprezentare.irectoareaurbd steplahdsaustrimbd.PunctPesuPra-Iala

14.2.2 Sebt iuni lanc n conoiduldreptpr in

olaneoaralele u directoarea reapta

14.2.3 Sectiuircapland in conoidul drept

prir it r-un plarr paralel cu planulcercului director

14.2.4 Sec{iuniplane n conoiduldrept, r it t

Plane de caPdt care intersecteazadirectoalea ilreaPtd

14.2.5 Secfuni plane n tonoidul drept prin

DIanevert lcale14.2.6 interseclia dintrc o drt 'aptd 9i rrrr

conoid14.2.7 Intersecf ia dintre un conoid drept

si o suorafatd i l ndricd14.2.8 i: lanui tarigcnt conoidultr i drept

intr-un Punct PesuPrafa{d' : .'t4.9.9 Planul fangentconoiduluiparalclct r

o direct ie datd14.2.10Conoidul Pli ickerI4.2. l l Intersect iadinire o dreaptd Ei un

conoid Pliicl<er14.2.12Conoidul Viviani14.2.13Sec iuni plane tn conoidul \ / iviani

Aplicat ie14,2.14Conoidul de bolt i .14.2.15Desfiqurareaaproximativd a ullui

conoid

14.3 Couoidul oblic

14.3.1 Reprezetrtare'url-ct esuprafa{i i14.3.2 Secliunea u un plalt oarecarc ' .

14.3.3 Conoidul t - rbl ic c ircutnscr is unt : isfere

14.3.4 Secfiuneaplanii ?n conoidul oblic

circirtnscis'unei sferc. Aplicaf ie .14.3.5 Conoidul Kijper14.3.6 Secfiuni plarie it conoidul Kiiper.

Aplicaf ie14.3.7 Literseblia dintre un conoid oblic

gi un con oblic .14.4 $eduri conoizi

Cap. XV. SUPRAFETE clLINDRolz l

l5. l Def nif i . Reprezentare15.2 Apl icat ie15.3 Secl iuni plane in c i l indroiz i15.4 Desidsuraiea oroximativl a unui cil indroid15.5 Inters'ecfa dintre un cil indroid ;i un cil indru

Generalit i l

XVI . SUPRAFETELE RRIERE.VOUS-SURE $I BIAIS-PASSF

Suprafa{a rridre-voussure '

Suprafata ia s-pass6.

17.3$urubul t . Gi l les17.4 nterseciia intreo supralatt i analqi o st t-

nra lat2 i i l indr ic l17.5 ntersect iaint re ouisuprafe lcat ta l

Cap.XVI I I . PROIECTIA OTATA

l8. l Punctul .DreaPta. lanul18.1.1General i t i t r i .unctu l18.1.2Dreapta. istanfa intredoui puncte

18. I .3Planul : . .18.1.4 pl icaf i i

267

269

269

270

27rq7 9

q7t)

97 '

18.2Problemede incidcntd18.2.1 ntersect ia ir lt re doui plane :18.2.2 ntersec ia intre o dreaptd ,i un plan

18.2.3Sectiune land ntr-un poliedru .

18.2.4Sectiune land ln co n18.2.5Scci iunc-pland n sferd18.2.6 ntersec{ia intre o dreapti ,si o sfer: i

18.2.7 ntersecf ia dirrtre o dreapti i 9i rtrt

hioerboloid18.2.8Apl icat i i .Problenr ided starr lci unghiur i :18.3.1Dreaptaperpcndicularb c t tn plat t18.3.2Ungl i iu l

'd int rcdorrddrcplc : ..

18.3.3Pciperrr i icularaomunda douii drepte

I8.3.4 Apl icat i i .Umbrele'inprbiect ia otatd .

ig.a.t Umtria la soarea unui paralelogram

18.4.2Umbra la soarca unui pol iedru

18.4.3Umbra la luminarc a ultui pol icdru

r8.3

I r.4

280 w. 2

281281

284 19.3284286286286286

I t r .5 Strprafc lele opogral ice18.5.1Gctrcral i t i l i18.5.2Apl icat i i .

lB.0 Constlucii i de Platforme '

18.6.1APl ica i i 1. . .5I8.7 I)rO[lcmc propuse

-=q. : \cfu' .XrX.$COPERtSUtt tre.J\dl i tat i

19.1l Def ni t i i19.1.2Planul.acoperi;ului i elevaf i le '19. .3 Clasif carea acoperigurilor

Determinarea muchiilor de intersecfie ale

acoocr isur i lor u fele Planel9. i . l Metodaplanelordenivel . Versanl ide

pante egale

19.2.2besfdsurareaacoperigurilorDiferite rezolvdri dc acoperiquri . ' ,'19.3. Acoperisuricu versantidepanteegale

19.3.2Acoileri$uridcnivelaie u versanlide

pante egaleI9.3.3 hcoperiqirri cu versanf de pante dife-

r tc19.3.4Rezolvdride acoperiluridilerite pen-

tru acelagi lan .19.3.5AcoperiSir i- are

',bat"intr-unul sa u

mai 'muitc corpur ide c lddire19.3.6 Acoperiguri terase sau cu scurgerr

interioare

309

309

310310310

313

314

314

316

319

I

289

289

290



?,gt

zgt

I98

t888e8

88e

e8s

aee

ap.alaueld d8t

t88

098

099

6r8

6?tLntLv7'Ll t

0gs0tr

6At

6Ztb6u

86t

8a g

/zp.Lzt

-,;.;"; ".,r0',itri*1.,":';;";{i:f;

t'e'oaEJoJslas

:d. .,"Jnlq?uy9.1p.:.:qY;jl,H l

6'e'06

uurc[ t tn rp glrurF:Pru'P1l6atnes

pldrlur 'rarJ;siuras errdo:d Elqun 8'9'04r ' . ' . ' . ' . .- . In lnlol pl .quln L'9 '06' ' dr1 $elare p nrpulpr un oo alel

-rrozro-otubrtc1o:eolelau'rFJ I nlnlp-urrlr orBatei.rr id S r-rdo.tdlclqun 9'9 06

erbuor l5as r1ord ap cr lJpul l lJ l luos

iiput jr i e pibl:nd ti at.rdo:d rqun 9 9'06:

"errrpull lr turaseSluad cluaruala

;otsajealalqun tt a.>t. tput ltrsueoloc

lnini ad'cr tpur l lc nlnlelrdeoe:qurn i 9 '04: ' '

' uoJ eP lqJunll oP

Brxro]ul tnlnlaltdeoe et.rdo:d rqiuf l 8'9'06f allr

-odo)sap )llpull r luas la6 u?rqun Z'9'0^?a

elr.radoju f, l jpnll lclruasaitu e.tqrun I '9'06

'oxaAUO)nes o^Bcuof, lo j

-e:dnsurfuor alEJF:nlrallqJEap.Jololucualo^- ^

olirq*n i5 arfelo: ap rolafale'rdns larqrln 9'06

Ltt' plord ap IapErrB larqull

l l . t .96gl11 o1i1uo:1 olcpef,re lolqun 8l'9'02

Abi 'srr lpul l rJ laueolor

1nsn1 d clerpar lod af ,eqeelqun Zl '9 'OZ'cbc : tcPefel B IBluolJuelo

un ed ateprosnutseStu:olaloJqlr ln II '9'04

c#c $r:adore'uir 'adt lezar nun olalqun 0l '9 '06;; ;

"$t.radore d .lo;aururnlolalqun 6 9'04

2;E' srradoce d-lnlnsoo9pr_1*Q 8'9'04

i ; ; leurquor nes l1oro3P

'1pder p tode:ednr roprersclsrqur;] / '9'0er*c PlsuoFl lo0ounl l

- rcsnr rdl t1s d rnpi ia lrdeJ la 'rqun 9'9 '04AcF auetd cl l te:dns aP cl lu ldJPtu

:oloSrrra1a ri inlnuolleq olerqull 9'9'06

occ alPluozl lo jnl l jo lorp rrrrs o od gderep rolderperqlrr1l , '9'06

c. ) f1l r lo) ol lJc l lp nJ JlBluozlJolnl lJ

-ord ap at:asb ad ralecllral erqun 8'9 04g€g ltulzunJojo

3t t lJ I lp nf, c lBJl l lJA rrnl l lo:d cP

aiies'ci ad rrle.yrozrro'oluorJ . lqutn A'9'0Age€ ltulzunJ

-ord r l l lo1lp l l ) J le i t loz l lo l ln l lJ-o:d ap cr. laio ad lolt?JllJrA loJqu.n I '9'06

gts , qrnl

-rollqlu ep roll l lBioP.3:o1a1uauro1olarqurn 9 04

9tl8 JIJpull lJ rnqluBl un ao etrez-o$eatt:alsturas lodno oull BJquIl 8 t '04

98t Fr?'r'- lq l l?Rt l lu inlJp cl lJol lp o nJ JJooEJri; 'ro:e1s piulrnd t6 al;do.rd rqun L'1'0( '

gsu ( 's s) v 9l ' l l rorJDUll l Bl l l tu l l l op lolazPJ el lJJl lp:r.ri i lr t Rtuiintl ' s airdo:durqLufl 9'f 0a

t[€ ourn urrd ePuEldI tn-J l l t l Bnl ls elEp?zelJp JJJJ l lun

;r1e t lroto:d .rp clctteldad alr lqutf l f i '07'

?le 1da;p nES' l lqo

Jetnf,JlJ oJ l t lu l l o le at f rc to ' td p a1

-cireld'ed 1u1;ndt rtrdo.td lorqLun V'y'07'

1u1 11'1*r.n'.rrlnr"rp,'jrri"iJlxHirl' 06

cra1e1n.r1edcLustrd n

6)olBI

-nFa.r .ra1e1nr1edeptulu. ltdBlqrun Z'n'02'

_ ' 'a lBcl l

-JoA lauo8exaq ust ld laun sJqtun .l '7'06' ' CSt oP P1tral1P) ;e;1

-rqrBarlf ,oJlp nr 1:oder J olarqun lnasurl' '066.96 u:nF13

urp cr:laruoa81n-1nd:oc arfrolo.rdeprp ctrlaruoaF n1nd.roratfcotoldap

lejuozr:o1nue1d d g1e1.rndrqun 0t '8 '04arlcatord ao

I98I98

aff

,CC

zse

6ZE

arlJarord apalaueld d111o:dp nln)rar lolqufl 6'804

"''' allr;Iord ap olaueld d 1uo.t1

?p.

n.tt. :nlu. nf

.rnlnf,r3r

ala4run 8 g'06

ueld un ad (pplruurrd 6 ausr.rd)

:*:r:n "l .nr:Y':u:"Y" li*o,H,t'ta7'

n.rperod

od

1 : ' ollcelo:d aP olaueldod ratdo:nale ti tnlnlcund olarquqaldo:p a1e S tnlnlcun rnlntrruno .larqLull

(aJPuJutnI l) l]ulturl l

op elel lortnd gsln5^o el Jola;qIxn lnosEJJ

' Purtunl ap rolazer et ioo: t6 g 1'66

';

elaP:e1d aP alJulldq1e1:nd."lqy'1 16.

.1rdo:da;lliln

6'l'04

- l1 l El nPs ejsos ul Plquo 'Pulunl

;p' eieg 'clor5 'lolc.rquln lt lrsr?lI I l '04gZS t lRir lBrauaD

-exor1 1eofl tust:d aun a1a a1e1.rnd

-o1ne rS c1e1:nd t r :do:d clarqul- l C'S06

,rio'"r-rr,,,nnr,.'rr"o:ti:r;ts:a1e1n:-1ed-nun .rlB rl l ralold aP

alai reld od rlplJnd .)JBosBI slalqun

al lcaloJo aP alau?lo oo IP l-uozr:o eedo rq8rrnlda.rp nun Plqul l

' at l rato:d ap rlou

:n i :d. 1nr:,:o.lrl' . :"

""rr'JJ.YJlaueld od nes etfreto:d eP alaueldod ialdarp e1u S rnlnlcund a1a:quq

' (e:eos El)"9V

el lolarqun

' atfcaro:d aP lBluozllo1nue1d d rr lqo nrpulJ lr lnun E'81

-e1.rnd6o1:do.rdr leulunl el Plqu.-1 I 6 '06' acsv orBJareo

nrpaEJlalun op allrolold ap alauElo

cd a1e1:nd orBulurnl EI alorqun 'Z 0Z' " eunluoJ BZBq

nf, lBrrlro^ padrdrlale:ed-un

ed g1

-ezc'Se-utet

n8a.r .reiei .r1ed pt uertrJUn r

'gia1. rnd1S b;.rdo.rd :qu1

' e1eu1"ro,^tleuoEexoq ustrdlr rn P gielrnd rS er . rdold e:qul61

' vAlrdlufslo v'ff"\, --awo?DNLuo-l l l tEwll nlonrs\xXrfou3.\ J

' l r lsJr lc lv z 'g '61t fel t lerrLtca 1 9 61

' rJr lqns ql l l ) l rBId t lnt t ra0or 9 61

' ; rs t t t lo l t l u lJ lqt ' ld h'61

96 S

('()L

lo L

IZI

6t t

lnun alarqufl 9'8 04arrlqo oleuoF

t ' t '07,

€'8'06

z' t '02

I '8 '04lnasBrl 8'04

F: '06

(J6U6



-

20.6.11Umbrcle niqei s fcr ice

20.6.12Umbra ni;ei sfer-icerc prrrf l seclio-nate

20.6.13Umbrele unor t l i ;e semic i l i r tdr iccmiirginite de diferi ic suprale{c dcrotaf e

20.6.14Umbrele t iSclor ier icc ombinatc udifer i te detal i i de arhi tectur i

20.6.15Umbrelcpropr i i . prr r tatc i aut rrpt t r -tatc ale combinaf i lor de supr ir f t ' lcde rotal ic s tudiatc ir t accstcapitc l

Cap. XXI. PERSPECTIVA LIBERA PE TA-BLOU VERTICAL

21.1 Pcrspcct ivele ibere ale prrnctul i r i , dreptei

5i ale planului

2l . l . l E lementele is temLr lui crspcct iv eproiec e

2l. l .2 Perspect ivaibcrb a punctului21.1.3 Al fabetul perspect iv l punct t t l t r i21.1.4 Perspectivaiberi a dreptei21.1.5 Pozi\ ia relat irrd dintre

'douidrepte

in. perspectivd.Perspcctivadrcptc-Ior paralele

21.1.6 Per ipect iva dreptelorconcurcnte ia dreotelor necorlcurente

21.1.7 Perspectivele dreptelor orizontalepr inc ipalc (dc capit )

2l . .B Ferspdct ivelc dreir tc ior or izot t ta lcindreptate spre pozit ia observato-rulul

21. .9 Perspectivele dreptelor orizontalecare- facunghiul i le 45'cu tabloulintr-un senssau altul

2l . l . l0 Perspect ivelc reptc loror izot t ta le udircc l ic arbi t rard

2l .1. l l Perspect ivele dreptelor or izot r talcegal nclirratepe drepteorizontale rl

direc{ie arbitrari gipe

bazaxx. a

tabloulu2l .1.12 Perspecl iveicreptc lor r izontalc a-

ralelecu tabloul2l . l . l3 Perspect ivele reptelor rontale21.1.14Perspect iveledreptelor de pozi{ ie

oafecare2l. l . l5 Elementele erspect ivearactcr is t icc

ale olanulu21.1.16Conci i t ia a o dreaptd d ie cont inut i

de un'plan in perspectivi21 1 17 Determinarea elementclor pcrspec-

t ive caracterist iceale unul plan

definit prin perspectivelca douadrepte concurentesau paralcle .

21.1.18Perspect iva nei or izontale a pla-nulul . . ,

21.1.19Perspect iva nei f rontalea planului21.1.20Planul vert ical i l r perspect ivb2l . l .21 Planul de plof i l in pcrspect iv i

21 1 22 Planul dc capit irr pcrspeciivd

?l .1.23 Planul de nivel in perspect iva

2I .1 24 Planul frontal in perspectivi

2 l . l .27 Perspcrt iva dreptei de intcrseci icd ntie dor.r iplat ie concurenlc 3/ I

2 l . l .2E Perspecl iva dreptei de intersccl i<:dint rc un plan radial qi un plalr dt :capiit 37 2

:1.1.29 Pcrspect iva dreptei de in iersect icc l int reuu plan vert ical i ur- r lan dccaoiit 372

1 . L3l l Perspccl ivaplarreor parr lc lc 3722l. l .31 Condi{ ia de paralel ism dint rc tr

dreaptdgi un plan n perspectivi 3722l . l .32 Intersec{ iadint rc o dreapt i i ;i un

plan oarecare n perspectir '5 i7 221.1.33 ntersec{ iadint re o drcapt : i ; i t ln

plan vert ical irr perspectiv?i21.1.34 ntersec{ iadint re o dreaptd gi t trtp lan palalel cu bazaxx a tabloului

:1.1.35 Irr tersccl ia i i t t le o drcapl i 9i tt nplan in pcrspccl ivh,olosint l a plat rau.r i l iarun plan de capit

Div iz iuni perspect ive

21 2.1 Div iz iunea perspect iveiunui seg-ment de drcapt: idin planul orizott talin pdr{i egale

2l .2,2 Div iz iunea pcrspect ivei utur i scg-rnent de dreaptd din spa{i u n pIr{ i

cgale2l .2.3 Diviziunea perspectivei unui seg-ment vert ical sau lrontal in pdr{iegalc

2l .2.4 Div iz iunea perspect iveiunui scg-ment de dreaptl din planul orizotrtalin pirf i propor{ionale n raport cuanum-ite ungimi date

21 2.5 Diviziunea perspectivei unui seg-ment de dreapt i d in spa{ iu n part iproport ionale n raport cu anumitelungimi date

: l t .2.b Div iz iunea ar iei perspcct iveiunt t idreptunghi ver t ical sau or izontalirrtr-unanumit numdr de pirt i egale

21 2.7 Diviziunea ariei perspectiveiunuidrcptunghi oarecare ntr-un anumitIrumir de figii egale

Drcpte concurente n puncte de fugd inaccesi-'

bile oc tabloir

2l .g. l Metoda riunghiuri lor asel.nenea

21 3.2 Metoda ortocentrului

il52

353

35 3

'J ]J

357

't (o

360360 ,t . ),JO I

362

363

363

373J/ua

)t )

374

374

37 1

J/ O

J/ i l

376

377377378

378

364

364

305

.JtID

366

oo /2t .3

JOI

368

37837 8

368

36:l369369 21.43093703706/l)

o/ I

2l .3.3

21.3.421.3.5

2 3.6

Metoda celor trei secante oncure'nte

Metoda transversalelorgladateMetoda reJelelor perspective egu-latoare

radial in perspectivh

paralel cu bazaxx a tablou-

Metoda linii lor proport ionale

Misurarea perspectivelor segmentclor dcdreaptd situate i n planul orizontalsau irr spaliu gi construct ia i mlsrt-

' r i i toarcaunghiuri lor dintre drepte inperspectivi

21 4.1 Mdsurarea perspectivelor segmente-lor de dreaptdprincipale (de capdt)

21 4.2 .Nldsurarea egmentelor de dreaptdfrontale orizontale

37 8

379l . l .25 Planul

2l .1.26 Planullui J/ I

-t t



zl

90t

90t

esndord ualqord g"16 968

'tt8

-,.1* r,,.r*;r'";";"; r,roJ'?ttl3i

-rro ilqJnu Iaun B^tlJadsJad BI appulcald ',a1ep '61 r runrsuarulpopcr leust rd tunlol Inun el l l tadsra6 L'g ' lZ

' enllcods:ad g e11e er'PI?ar Pun :atrEp unlsuourp ap rB l-ntq8unlda:pueld lnun errrpadsra4 g'g'16

' Plep ajuJareo BlBluozlJoalqrnu op qnr lnun ellpads:e4 g'g'16

' PlBp Pl8luoztro Prnl'BI ap Iscllrol tn1n1e:1pd,rg1cedsra.1'g ' lZ' '^elPparBrarBoPlBluozlJo PJnl'elap 1e:1gduuJd nun errrlcadsre6g'g'16

' PlEp PIPluozIro-PlEl-uor] atqrnul ap qnr Inun BA trraosrad 7,'9'lz

€68

868

86e

668

988

988

'88

?88

88ezgt

?0t

t0?7,0v

zCIv

IO?

I0 h

00?

668

860

/68

/6€

/68

968

968

' aylerFolo; pdnp .npplrlaun Inlnrolrolulz pll lcedsrad erf-n1t1sar)rfrnrlsuocap6 elfuctldy G'L'lG

arierFolo;opdnp :rppp laun e Bll lcadsrade1f-n1t1so.r)lrrnrlsuoca51 elfecgldy l'L'16

' gll lcadsradutfnlt lseY' l losoprPo P

-a1tpn.l luad anllcadsradrrndrla1lr

11icn4suo31e1nc rrod

L'16 ?69

s6t

-oJe Inun e p,rrpadsrad urfcnrlsuo3

':

'891'IA

ernF11 3 elef-rqcs arelnrqEunlda:p arusrrd op rn1-nlqussue toarpadsrad etfcnrlsuo3

eraqlJ rorrtlcads:ad lapolaurpulz l l l ln 291'16ern811 1p nlnuo.rodlourlradoc leallcedsrad erfcnrlsuo3

a.raql1 a,rglcadsr_adolapolau puJzrI ln 19I '16 PrnE Iug yeuoEol.ro lulrraza;dar FJBrs apInlnllplop lalr lcedsred erfcnrlsuo3

' aJoqrl ralrlcadsrad a1opo1-oulpulzrl lt rn $ Ugl'16urn311 galep

ololucualo Pl ap puruJodRJef,s pl"t:"1'1'l 'ltt:':'l'l .eticnr1suo3 ' araqlI

lallpads.rad olapolau puJz llln

S 0gl'Ia ernErl ug alup olaluauolae1 ap pururod prers ap rnlnrlelep.loladuer ra,rrlcadsrad prlf,n.rlsuoS

' 1t;ordap tA a1e1-uozuootreldurp olBtuJoJ galdclln: rl leJs lJrrn t ,r,rr lcodslad rlf ,nllsuoJ

' eleluor; tS a1e1^uozlro uuldutp oleruroJ 1a1dar1c

rJBJs oun rallpadsrad ugfcn:1suo3rr ap gfel o0g So0gap e1t;nlqFunncaleurlrul uls alerolpJ 1ofa3a pu1y13

I I II I I alrunlsuaurpnJ cJleuslro

1,1o.nIn:rn.orrpradsrod

."1t"r1;X:?nes gFuarlul fuelsrp p lcund'unputsolo l 'areogcldr led nr o1e. r1gdosau loun roirllrads:ad rfrnrlsuo3

snparnesg8eorluJpfuel*p op lcund un pursolo1oplru-errd oun 1r,r11oads.radrfcn-r1suo3

.ooJ J ,6 alelcund

rS yu alectlrerr,arqcntu aylcadsrad: atruaualo alaJBolPruJn uJJsounJ'qnJ nun ralrrlcodsradrfcn:1suo3' aledrcurrd ldarp $O gfuulslpap lnlcundpuJzll l ln gp1'16 :n811utp asqvnlnrqFunlde.rp^,r11ceds:a6

PJnSetu 3p JOIOIJUnOBaJBZ

-r1r1nr:d a1ept '$ 'a runrsuarutp

ln.clleyslrg n1ollnln.*n11cadsra4alEJ0lEI:o1afa1 r :aleqer Epolau.urrd cler-r lJa^ lqrnu laun p^rlJa0srao l ap

pugcald -olspJ" 'fl 'a tuntsuaulp apallerusrrd unloA lnun e,r11radsra6

gl?p PlBluozrro BlsJuorJBrnl

1er1pd eld lnun e,rr1:radsra4 'g ' lA[ op lBrlPo uelo lnun P^rlraosred' alBrnlJal lq le olr r lB lop

1$ o1a1uorue1a':o;afa;e. rdns 'rolerpaS o1a1uorue1a':o;afa;erdns-r1odoue1d o11:n8111ea:er1od''aue1do1q.rn3111e a:aq111a,r11codsra4

'06"'l asnpar ErnsRILrp ap) pFnl ap alrund

ap Is Fl-uelsrp ap) REnlap alrund'lprl lro^no1qe1 d a:aqrl ralr lcads:ada1e tlaria1e rferrldy

p,ulcads-:adug a:elncrpuod;ado:d1car ueJdgl ' l ' la

' nlleds ulp aJPJeJBopldearpo ed nes sluozlJo1nuu1d1peldeo:p o ad p:elnrrpuad.red1-rundrin-.r1urpsnp ref arp u,t11radsra6l't ' I6

' ueld un edorelnrtpuad-rad

' ' uEld un oo

r:elnrtpuadrodaldo.rp .,rrlrads:a6lr'16. '' ea,rpads:adgrrraleqer polary lV'l?,' IBIUOZIJO InUPIO

r$ ueld lrn oJlrrp ynlqFun rS ueld' IBluozrJo nuslr rnlu8un tS uer

lnon e PluBoorBts Btu eor ap elul 'I zl 'r ' lzZBg leluozlro 1nue1d o 1epg gqFun

un aJBI arec raldo.rp ult lredsra6 II '?'16

87,',9'le

a6 '9 ' t6

t7, '9 ' tz

0z's '17,

6t '9 ' A

8l '9 ' ta

Lt '9 ' ta

9t '9 ' ta

91',9't?,

?t '9 ' tz

8t '9 ' ta

zt '9 '16

I I '9 ' la

0t '9 ' ta

6'g' , tA

9'ra

9'tz

668

t68

96e

088

08e

a88I8 €

I88

t8 8

loarp It lFunrnun rolrrnlei alarlpads.radod Fl-Ep

iu'u,0,.,0;,;";surrd;'li'lffih r'r'16' rnlnolqEl EzEgnc r$ olalered alderp ep locrrsel unnr trBpg rqFun un ) EJ aJ luluozfro1nue1dutp -rolaldarpo1o,t11cadsra6'yrc

' lnlnolqel e xx ezvgnr lBp trl8un un rBJ aJ lBluozuo1nue1dutp :o1a1de:polerglcads:o61nue1d rp .rolalderpa1orr11oads.re6'V'la

rdaro tt tBun' . . ' . . . ' jOaip rgBun

1rq-re^rijdeaipa[ :o1

n'n' Iz

t 'b ' Ia

orurFunl p luoru8asnun eerucrldy L'V'l?,Ieluozrro nue1d1alenlrsq8un 1u t

-nue un JBI arBJnes eJBlnJlpuaoJao:rordlrar .ro1a1da:p a1'arrr lradsra4 'b ' lZ

op' orqr*o' .,rri,,i,r'tuiilti#

uI alenlls orPrllqrB Ploearp ap rol

08e ' alrJRJSajl Jola)Barez ll ln rjo r:otyo.tln: :ol.lll:t9tjnq

BarErnsEW't'ta' alepsJ;

IJEJSall Jola)Barez lr ln rrd nrfedsJgrs all Jola)Barezrll lnurrd nlfedsuJ olenlls erErllqrP Floearp ap lol

-iluaurFb's rota,ritredsrad earerirspry(r l t ' ' :' FrnsPuoProlal

-JUnosalszrlr ln nJ lBl_uozrronuEJq

u alenls arProlPoFlqPoJpap lolal-uauFas role,rllcadsrad Botelnsew

96S

8'9 ' tZ



22.1 Generalit i i t i

arh tecturi

t ive

22.2.5Construclia erspectiveirontaleaunui interior

22.1. General i t i fasupra leger i i .punctul r r i

t lcvederc i asttpra ondili lor n carese realizeazii buni PersPect ivd

22,1.2Alegerea unctului e vederen con-st ru i I ia. ferspectvei unui p lan, .arunui olumsaua unui ansambluc

Cao.XXI I . PERSPECTIVAEPENDENTA E.TABT.OU ERTICAL

22.5.3Construc[iarin metoda unctului e408 vedere i a unrtipt tnct e t lgi a per-,no spcctivci olumului c arhitecturd l'ruo clrei plan 9i elevafie int date in

figura22.3122.5.4Perspectivanui gardde ziddriccu

408 doui porti saua unei ntri iri .22.5.5Perspectivaolfuluiunui nterior'22.5.6Perspectivaneiconstrucli i e ormd

rotundd409 22.5,7Perspectivelenuiansambltt rhitec-

tural22.6 letodaPf (a punctului rincipal9i a urtui

punctde fugd)22.6,1Prezentarea etodeiPF . ..

410 22.6.2Constructia erspeetiveinui volumprismatic prin metoda punctului

/ r^ pr incipali a unuipunct le ugdrrr t r 22.7Mctoda'PD^a r inctu lu i iincipal i unui, | | Punctde distanfi){ | I 22.7.1

PrezentareametodeiPD ,

^t t22.7.2Const rucl iaerspect iveinter ioru lu i

? r din eoura 2.4222.8 Metodacooidonatelorectangulare

22.8.1Metodacoordonatelorectangulare4ll 22.8.2Construclia rin metoda ooidonate-4ll lor rectangulareperspectiveidii i-

ciului reprezentatn ligura22.44

412 22.8.3Corstrucfa .prin metoda,coordonate-lor rectangulareperspectiveinsam-blului de volumearhitecturalee-{r ' } prezentaten figura22.45

- 22.8.4 onstructia rin mett.rdaoordonate-4l :J lor rectangdlare pcrspect iveie

volume rhitecturaleeprezentaten413 I igura22.46 . . . . . . .

22.9MetodaFM (a punctuluide fugd al unei413 directi idominante i a punctuluide

mhsuriperrtru ceasti irccfie).413 22.9.1Prezentdrea etodeiFM .

22.9.2Construc{iaerspectiveinui volumdearhitecturdrinmetoda M .

22.9.13onstructiaperspectiveivolumelorunui teatru rcprezentaten figu-ra 22.49

22.9.4CorrstrucliaerspectiveinsamblLiluide volumearhitecturaleepreze'ntatein figura22.50

22.9.5Construcliaerspectiveinsarnbluluide volumearhitecturaleeDrezcntateiu i igura22.51

22.9. t i onst ruc{ iaerspect ivcinsanrblu lu iarh i tecturalin f igura22.52

22.10Metoda roiectiei eproii l a 45'a punctu-lui de vedere

29.10.1 rezentarea etodei rroiectci dcprof i l a 45 'a punctuiu i c 'vedere

22.10.2Constructiaperspectivei nui vo-lum prismatic .

22. I Metoda entrului centrelor)uxiliarneutrude proiecfie

22.ll. l Prezentareaetodeientrului uxi-liar neutru de proiecfie

419

42(l420

421

421

422422

IIIIIII

II,,lI

iI

22.1,3 Determinarea crspeciivei nui punctsituat in spa{iucunoscind erspectivaproiect iei orizontale a punctului gi

ldevdrata mirime a cotei fa{d de pla'

nul orizontal. Scara in5lf milor

22.1.4Clasil icarea perspectivelorclupd di-reclia principali i a Privir i i-{---

22.2 Me odaFF (a celor doudpunctede fttgl) ._t-

22.2.1 PrezentarcametodeiF./tr.

22.2.2 Consttuclia prirr metoda celor dottiipuncte de fugi a perspectivei tnrt ivolum Prismatic

22.2.3 Observa{ie

22.2.4 Un mod de amplif icarea unei perspec-

423423423

424424424

42i\

427

427Aq a

428

42722.2.6Construcf ia erspectivci c coll a unui

interior cu o masd otundi

22.2.7Construcf iaperspectivei nui ansam-

blu de volunte-'i-_

22.3 Metoda D (acelordcu6puncte edistantii)?-

22.3.1 Prezentareametodei DD ' .

22.3.2Constnrclia perspcctiveiunui vo. ltrnrpr ismat i i p i in-metoda celor dotra

punctede distanli22,4 MetodaO P (a punctului de vedere i a punc-

tului Pr inc iPal)22.4.1 Prezentareametodei C} P22.4.2Construc iapcrspcct ivei nt r i volum

pr ismat ic pr in r i retodaptrnct r r l t r i evedcrc i a' ptrnctuluiprincipal .

22.4.3 Persoeit iva- entrall irontali a untt iansainblude volumc Prismat ice

22.4.4 Perspcct iva entral i f rontal i a ut t t t iintef ior cu arcadecil indrice frontale

22.4.5 Perspectiva entrali laterald a unuipod'de Proi i l

22.4.6 Persnectivade colt a unui interiorprin'metr:daO P combinatdqi cu un

ilunct de fugi arbitrar

22.5 Mctoda QF (a punctului de vederc9i a unuipunci de fugd)

22.5.1 Prezentarea netodeiQf .

92.5,2Construclia perspectivei nui voltrmpr ismat ic pr in metoda prrnctuluidcvedere9i a unui Punct de fugi .

22.11.2 onstructia erspectiveinui vo-lum prismatic rin metoda entru-

418 lui auxil iarneutrude proiectie

4t5

41 5415

415

416

417

417

418

4184lB

429

429

425

431

431

431

432

432

432

433

13



997

COtT

vgv

s9f

t9?

?,gv

zgv

z9v

I9t

, r" , ,* , , ,o,0n, '"" ' . it^ ' i i ; t i3 ,"T' t ' tG

fu lu ied 'apelu11 r lo leredno1qe1 n

od a1e.rn1ca11ql?tunlol ap nlgul€:

-uu inun E Fluopuarsape^llcodsrad 9'l'rG' ' . luJuEd 3P elutl nr lal

-uiedno1qu1 n ad p:npeltqru ap, nl

-orr rnun'e gluopuacsap ,r11cedsre4', l 'vG' lulrugd aP stull nJ laluruo

nolqel un cd r:n lra l tqrt"p ,*o l . . - . . --o.n nun. .p.tu..p.ur:.::^11?tl;itg

v't'16

op nolqel un ad 9:n1ca1lql3 P,tuni-or tririn B PluopuocsopE^llrodsrod t'l'Va

lgder ep nolqPlun od Hlnlrcpqlu Jp

uin1o,,,nuneelucpuaJse.r^jtul;roXg ' 't a

ap nolqel un od tnlnpund e P.1uaP-ri"csair'nesluopuoparsBrrrpadsla6 l' 1'y6

' l laqll rA glucPuodaP polop

NO"IAVI gd \JAII)EdSUUd'AIXX

cueld rr c: lBnl ls Jlatutsru3ale8o o1

-r:n'crr.r ole,rt l lads:ad etfrnllsuo3 ll 'z'E('' ]Pp lPrlPdun-rluJ s J]suJ

rntnJrrJ enrl tods:oddP FIEJ 91BP5uirf ;gu1 EI enlrs nl lruelp lsyt""? _ _ ^_

oJrlpul l lJ l luos IopeJlB BAl lJaosjad

'" "

':' a1a1e' redo,rlu aP

ap tbjrrozr:oJlaJ Inun urrt lrads

"' ' ( r t io ut 'n tduoxo aP)oteFa 1

:D tel rtozt :o J laJ Inun uA ]Jadslad 0l '6'CA

" "(t , iou1 'nlduexo ap) oleFa 1|:pd

JD JPtunl l l l tUnusl ln-Jlu

luJl l lJAr. rarru-rusnun ta, l t l lads:ad ea:ezl i rtq

FlEp gleluorJ Frn l

:nt.l

]nllq,l.u:-jiu.lslrrsul. I1rrr3

-rrozt :o t t tueld u alBnl ls cJl l luaf ,uoJ

:o1 :nuj ; :olo, l r cadsrad sr Jnl lsuol'

"aluFo rl lqd eP JPunu un-l l l l l

JIJJ lnurr t , :nt l lodsrod. BJJezlA ( l' ]edEJ op ,uP[o

un-r lu lenl ls InlnJloJ EAI lcadslod

' +PP (So'gV) luluozl lo rulorl

-u lp op IsJl l la^ InlnJJsJ eAI lJaosJsd

1ep qo vTuozl lo nllauelpop IpluozlJo lnlnJJaJ BAl lJodsJad

FlEp olPJolBO

Fluluozrro Prnlsl op InlsrlEd tr J

slJ)sul lPluozl lo Inln)Joc uAI lJaosJad

HleP glBluorl grnlPl rp lnlBrlEo ul

s r)sut.[sluoz .ro.:'n.tr:t n"t.J]::lf

1ep 1ei1pd

oJrJpul l lJ l tuos lopEJJP Bl\

ed o:opal ap rnlnlrund tt

9q F

t9v

t9t

ce b

?,91

z9v

l9 t

l9h

l9v

0gt

6t t

6t t

6Vl,

LvvLl V

oJUJSJUO

rlrads:44

alBluorJt t '6 '86

6t ( Lb

esndo.rd utalqord

t ' tz

'de'J

t '86

L'A'86

9'6'86

9'6' t6

p6t ,6

t'z t7'

6( jbo

I '6 ' t6upolaw z' t6

t l 6L6

g'6 ' t6

r t ' f f iupolaw 'ta

t { '46

09i'69r'

69f

69 169f

' orapal op ludrculrcl1nuu1d 1,1n:1

-uecnr RlenllsaJaJSoun BAlltadsJad 6'6't?'

lnli i luozrio e1ur1ad 1un1ts

lnrluas pul^B oloJs oun e^llcad.srod86'6'qq

91Vp7ze: op olJls taun u,rrlrods'tad ('6' t4ioli,r:asqoa:ds eFu11s I op Jp qrsrp

os oJpJBtBluorl g$no nJluod lllzod

:o1;'1rra11iru girlrcds.rad l lnlpnls tJ6'ZE( '' alef,olso ecllJaA

uelr l un-r1u1 lsnl ls ler l l lJA tsn JUn

urrprt l rsap B E^rlradsrad l In lp l ls 96 4 ' t 'AueluuuleaFnun ln lnJedeJ

rtraprqrsap1e g.,r,1ireds.redI Lnlpnls ftZ'Z eGl'ed' riun' e-ieoiezundso.Iorldarl 9lnr rS arnqrulsnJpulllr nr af, l lpulllJ

cl?plorl[o IIEJS lJun BAI]rodslod a 4 f fi' leluozrrooluo{ [nl]

-,)ruPIp UJABs olspJ^ .)p lB0lJul lo

1nue1d 1 Inrlual nr +enllsslrp-ulllrirruai uoJluq Inun u,a.t1radsra64'6 tA' oJIJIUaJUOJllJpulllJlurasauap

:nr: .roynote

.oIer1uor

.o :^1"1,';.t::ig |G'z' F:6

ea,rlcads.IadulJsounc 91ep PzB.r p

lpdur ap.nrpulrr. lnun .r^.1l:a:;;T 06'6' z

gfunlsrpop lrund un pt l lso lo l . 'JrrE

ap dr1 Sulace d elnut lst ts qder rp

acr.rpulilcriuesfloq raun e.lt lcads:e4 l'6' ta

-","o"r*ou,*ior,r.irr.it'iiifJlun ad rhlnria.) B

grrqlIu,rr1oads.ra6l'a ea

' ' fe . r lPd eld od o11Sa1;qrnurrr rr f loq ra.nr lr ' :ds.radrfrn:1suo3 l '6 ' ta. . ': '. :

6t e6 e:nF11 1p e,rrlcads

-.rad 1 llloq ap ratfcas;a1utnlpnJS9l'6' ta

8l '€6u:ndrJ

1i lD r. , rr l rcds: . rd l l JJlJpl l t l lJ

-rL ics r i ;oq ep lJl lJJ\1.) lu l l l lp l l lS 9l 'ZtZ' t?AllJadslJd ul Jrl lPuJllJ

-ru-rs rf loq unop ol l t l I e t fcosrelu lVl 'Z ' tZ

u11-r1uJslrJsul lnlnJJor er,r11ledsra4

lBl t lozl l () l rrueld u1 alPnl ls

lol r l l l )rJJ . ro1c, r r1Jdslod et nr1suo3

;r;'r:;.rJ n",irnruu"."t:l?t'5[i-rrairiepunlolapotrauut.td luluczl:o

l"y,o ,,.enr .n ncrar

;il$i,:.r,#

o ,s ,n"rnrusr nrrcrorotln'Yt1*t*"

"',

esndo:doualqold

" ' ; al t lcads:cd

rotciBrtoplooJ IJpoIJUI BsleluJZJjd l ' r l '46'

e.nt l radsrad rololsuoplooJ upolrW

' ' oleJarBo IBJI I IaA'

nolqul un od ra.nt l rads:ad u atfcn:1-<

_u6r.op.rqrsorlaunrs."1,,eollt.;g,t'aa

nolqBl un ad te.r' t leads.todeticnrls

-utir .-,p Illrsallaunrg lnl Epolal{ l 'El'66

. : . . . : . . : : .rq:s:rHJilr'tpotrrw

89t

89 h

tct

6nv8VV

Lvv

Llv

L9V

L9 t

rci

99 F

99V

99 '

9St

f9 f

98 ?cct

)b t,

ltv

tEl,ts t

ad o:opal ap Inlnl rut- ld I IJaleqBJ

upolJtu ut . td u: t t l lal t t lJe ap run I

-, , rr rnun ta,rt l radslcd et l ln;1sUo3

C'e I7

tt ?

- ( )A Inun IaAII etlrnr lsuo3 'ZI 'aa

' : no1qe1 d arapsl aP lnln l-cu d 1a1uqu:.aP:l:nj":*t1:1ii1cd cropc,r op rnlnlcund IllsluqBJ

vt 'z ' tzBpolcI,{



2,t. I 8 Perspcctiva nui vcilutnpc un tal,r louinclirrat oarecare,aportul de ampli-I icarc i in<l doi

24.1 9 Apl ical i iProbleme propuse

XX\T. REFLEXI I PE SUPRAFI ] I .LEOGLINDA

Metoda normalelorprelungite 47 4

25.1.1 Ref lex ia (ogl indirea) punctului , avert icalei ,a or izontalei aua drepteioarecare e oglinda orizontali 474

25.1 2 Rellexiaunei vert icale ntr-un bazin

Crp. XXVI . CONSTRUCTIAi \ lBRILOR lNPERSPECTIVAENTRALA

2fl. l Corrst lucliaumirclor irr pcrspcct iv: ia soare 485

26.1.1 Pozi{ i i le soarelui r r corrst ruct iatrn-

blelor in perspectivi. Umbra punc-tului ; i a vcr t icaleipe planulor izon-tal 48ir

26.1 2 , '\nomalii le e pot survcni n stuciiultumbrelorn perspectivir i interprr. '-tareasau rezolvarcaor 48 6

26.1.3 Umbra or izontalc ipe nlanul or izon-lal . ' . : 487

26.1 1 Umbra drcptei oarecarepe planulorizontal 487

26.1.5 UmbrapunctLr lu i;i a ver t icalei eunplan vcrt ical 48 8

26.1.6 Umbra pc un plan vert ical a uneiorizontaleprralcle cu acestplarr . 41 826.17 Umbra pe un plan vert ical a unci

orizontale oarecare 4i82i i . l .8 Umbra unei dreote oarccarcDe un

plan vort ic:r l 48 926.1.9 Umbra pc un plan oarccare pl lnc-

tului , a ver t icalei ;i a or izontaleiparalele u acestplan 48 9

26. 10 Umbra or izontalei oarccarcpc unDlan oarecarc 48 9

26. l . l l iJmbra dreptei oarccarc e un planoarecare 490

20.112 UmbraunuicadrLr atmlatervert icalpe o placaplanaol ieea arccarc i pcplalul or izontal 491

26.1.13 Jmbraunui volurndc arhi tcctur i peplanrrl orizontal 49 1

2{ i . .14 Umbra unui zrnsamblt r c corpur igeometrice e planul orizontal 492

26.1.15Determinarea ipunctuluiperspcct ivSs in funct ie de alegerea aladelorunui volum de arhitectrrr i n lurniniisau in umbri proprie 49 2

:0.1.16 Umbra unui volum de arhi tectur i

oe planul orizonlal razcler c lrrr l iniavihd direct ia frontala 4.,2

26.1.17Determinareabipunciului pcrspec-t iv Ss astfel rrcit unshi ul dintre razade lurnina; i umbra vert icaleisi f iccuprins ntre 45oqi 35"16' 49 3

26.1.18Punctelede fugzi edusepentru ra-zele de luminii. Reducerea Dllnc-tului S. Reducerea unctului s. 490

26.1.19Umbra la soarea unui gard f rontal 497

26.1.20Umbra la soare unuigard vcrt ical

48 5

24.2

Cup.

25.

2r .2

26.1.6

25.1.7

47 1

467468473

476

* / t )

cu apa25.1.3 Refexia

h tectura

25.1 4 Apl ica{ i i25. .5 Rcf exia punctrr lu igi a vcr t icalei ,roglinda vert icald perpendic'ulari etablou

Reilexia unui interior 1n oglindavert icald oarccare

in 'apd'a'rnri n l i , . . i " or-475

Ref lexiapunctului q i a ver t icalc i noglinda virt icald paralelS u tablorrlRef lex ia unei lSmpi ver t icale inoglinda vcrt icala perpendiculari petablou

25.1 8 Re lexia unei ldmni ver t icale inogl indavcrt icr lb pdral t lact r tablot r l

25.1 9 Rel lex iapunct i r lu igi a vort icalei noglinda vert icali oarecarc

25.1 10 Ref lex ia unei vert icale in douioglinzi vcrt icale oarecare t 'rpcndi-cutare

25.1.1 Ref le. r ia r- rnctului;i a vert icalei noglinda dr' clpit ( inclinat i i gi per-pendicrr lara c tal- i lou)

2lr . l 12 Rof lex ia rrr rui volr tm rrr isnrr t ic l togl inda de capit ( inc l inata si per-pendiculari pe tablou)

25.1.13Rei lex ia unei l impi vcr t icale inoglinda de capdt (inclinat i i ;i pcr-pendiculari pe tablou)

25.114 Ref lex ia urrbi l impi ' ver t icalc inogl i r rda rrc l i r rath :Llddc rrr t prr t ' t t 'f rontal al incaper i i

2 l ; .1,15Ogl indirea ln-ogl inda

vert icala aelementelor irr f gura25.31

25.1.16Ogl indirea in ogl inc la ver t ical i abiroului din f gura 25.:\2

25.1 17 Oglindirca verf icalei ,4c in oglindaplani oarecarcQaQ.r,

Metodasimetriculr-r i unctului de vedere

25.2.1 Ref lex iavert icalei n ogl inda vcr t i -calSoarecare rin rnetoda imetricu-lu i punctului 'de

vedere n raportcu ogl inda25.2.2 Reflexia punctului Ei a vert icalei

pr in metoda s imetr icului punctuluide vedere n oglinda vert icaldoare-care

I letodaogl nd a

25.3.1

: r .3 simetr icului planului in raport cu

ia a

479

479

479

48 f

4u0

481

481

481

482

482483

483

Be

B

Bn

i l

E

D2

62

497497

497

4t8

61

165

F6

483

48 4

48448, 1

oarecare26.l.2l Construclia mbrelor a soarcpentnrun ansamblu e c l id ir i

26.1 22 Umbra unui volum prismatic dearhitecturi asezatortogonal pe unplan oarecare e linie de iLrgddatdS situat in spa{iul real .

26.1 23 Umbra unui volum prismatic dearhitecturi asezat ortogonal pe unplan oarecare e linie de fugi datS;S si tuat in spa{ iul v ir tual.1 Problemc propuse

15



coc

a99

699I99

8r98r9

Ll9919

:r;";; iru,'lrrror.,t'"J;rllit ae'8daslIqO slJlotuouoxe

ll.rgluazarderu.ldnse ;f9111uraua9'€'86gr11qop1o1ured)cr.rleu:ouoxeareluozardad'86

gCIUACSS Af , IUCNI ' I I ]IUNO1SVI gd VAI I f ,gdSUl Id ' I IAXX 'OE:)

esndord_auelqord ?'96EAllcoos

a.rqurnutfcnrlsuo3 g'96

9I

acrrlauroaFluouelg '16

uJ PlBlcullerfcn;1suo3 '6'9600I'96urnFuad plelrlJelfonrlsuo3 L'7,'92

66'96ernF

rola$1u

arfcaro:dap

i l9

bl9

il 9

i l9

609

609

/n q

t09

099

899

899

LV9

9'9

I t9

86 "

9t9

t[9

e89

6gJIt 9

reJrl lal tnuetd. od JI l loulouoxB ln l

lnuntdeliutrors ec:eleqer1:dpleu

:oqoljo.rrlaruouox:."J,Xir?;:ir*

BrJlourouoxu g .rolacl:peric nolqEJ' pluuoEolroElJlJtr louoxBJ alEp

-rou1e lcfalu:dt tsSprt rput l lJEaJl lS

tt,"i-,-"1":".'i",:,'ji[#:r'l"y:u:*:ur.'l'r1'u

":mp"'*:trJ"y:u:*:

u1 1lzorl.f" lY.lgi$-oFo1.to ll latuouoxE 1 aut8eurt xe

cp rolaualstsB EAllralaulfrnrlsuo3gyeuoFol.to lJloulouoxu uI

aurFeurl axe ap Jolalrlalsls BllJnlls

-uo) u ert;e:F ri arlll?ruoletx lielsggJIll3lrrozl F_lBu-o3o1.ro JlllotxotloxB Eolrluoza:do5 9'6'Ba

prlr laulp PIEuod-olro s)IJlaluolloxE'Ealeli lazoJdau 9'6'86

PoIJlouozluB9_[Bu-oFolro EJIJlauouoxBuateluozoJoa5 t'Z'86

o1euo8o1;oac1:1.-aluouoxe r-rpluozardir ap a1:ndr1 -e?EZ'

: . : lrE:S.'?ro.rnpa.r p. fuo1c11eo16 6 96

" ;. ?

-ououoxs nlnlqFunrrl 11f91o1:do:6'G.'82

. . :':.':F:t:u'l,t.Y":":n:':t"';lX:I-auouoxe 11:pluozorda: 'rdnse lfglt lu;auo9

I€g V]IUISWONOXV (VAdYI- \sZf l ldau) vnt t f , asdga' l l lAXX

vt 'z '86

t l '7 ' '86

6l 'z '84

t t '6 '86

0t'6'8,6

6',6 6

B' ,A'86

L66b

-:od u1 :olorqurnuod 5 ro 1

919 lollolxa-rB Eullunl El lolaJqurn

nt9-I tr ulp lnlolralu nl l

-lllB Eulultll el rolarqlull

Gt9

t09

etle

609

609

. l ulp Ituolralul nrluad g1e1c1i11:e

:ul..nt. :1 . :ot:rlYn.ulfcn:]sttoJF 9 6 96

-rJ ulp lnlolralul nr luod FlElr l l l l le

:ul*] t t . :1. lolor.qYn.etfcn;1suo3 S'7, 'c7,

nr ol0Jlnulr ull lrrdsrad n.rlued glBlr lJ

-r lr8 uururnlul rolorqurnEIlf ,nrlsuoS V'&'96aslo^lp aJuq nes

oueld rrpld 'ournlo n:1ued91etr11-rlre Bulunl eI tolarqlunelfcn;1suo3 E'6'9( '

aJerarBo lBullcul Jol-o1da.rp1e t :o1a1e1uozlJo'JolalBJt l-ra^JIEulElr l j l lJEPulunl ul olJJq,un 7, ' l ' ,C4

' alaleJso loaJpap lnr JSel Inun ale r* rnlnlcundale glelr l] r lrB Bulunl BI olorqurn l'6'96' ' JolJolxa J nBs ollalutuI FIBlJll l lJB u

-rtuulel glr lcads:ad I roloJqunelfcn:1suo36'96

I89IS9

: : . . : ;,.0,^',0,i,"lJ?ll,y'z'L?'

rniln eJrezllr lnnr EJlJaJs^t lraoslad n'z'L6' JIJTJSlES rJpul l l r n l l lo lqui B

are.rnrspap.op

a^ lBrulxorr1r",:Bi,t;lgz lts

op aulntol roun u elurn6p1sap rllp-ul rr eir lccds.rrd S 1et11.r;r o lqPl

ed"

e,rr lradsrod ollu arle;eduro3 A 6 LZ

F.Inl)o1ll l . tBp urnloA nu ne gierntglsapgJIrpuIIrr BAllradsrod l'6'LG

' alernlrolr ru aun o^ tS 1; u1og6'26

ri : tr1;peue .)le oluos EJ .alr lqun n'l '9?'' 'J l r atErps lodal lPlol

op 'cct :prrr l rcJJluoJaloJeldns l lJ

-c1p n:luad glEJluJ.) rrt ircdsrod 1

rolr r ( l tur l ot f rnr lsuor r lu l l lBr l lqV 9C'l '9499.96 z:n811

ulp e,rtllads:od nrluad . Pteluor}oricortp o EI rolarqun sllrnrlsuo] 9€'l '9u

9q'9i u:nF1iu1Pull lcodsradu oreos sI rolorqrun ulfcn; isuo3 tt ' l '96' ?urunl op IalBrBd nln_lnrlcsEJlB

11fco:rpollrajlp nr podu.t "lJ lBtu

-ezar loltlRcs JoloJqun EllrnJlsuo-) 8t 1 96

lBurpul lnlat lu:ednJ Jll?JSBAIIJOd:^lodtl lolorqun utlct lr lsuo36t 'l '96' orlJpult lJauEolo) aun lnsnJa0

a.ru.1nlEunldolp..':'., :?Ji,'jfli? | ' I'eaa.rrp1lFunldojp.:',:u.:*L;;l#t 0€''ea

od.e;rluurs1tI. :l .rogo:Xffiffilrll

66''ea

- lt lorp (a61u)raprqcsapoun. rq-tun8A'l '94" : ilued grnFuls o-r1ug31.radore

no 1$6or nc tt fcnrlsuoc oun.Brqufl L6'l '94

: : : :s1.'o.o9c9

"j:.1 r."y"erqrun a'r'sd

l r r feds u1 lEr l l rs S ' : t l laddre'r inid o:elnrrlFunrr]urBrnI eun erquf-l 96 1 94

lso-ll r r leds u1 lBt l l ts S ' iS lrot lore tn .rt l

i re lnrq8unr. r lourernl loun Brqurn 16' l '94

a'82

I '84

'dr: ',

t '17,sndo:d auolqold

€09

t09ss/7eqzc

sa9

,69

ta9

$9169

049

06s

plerniplsap uJIJpullJ en1cadsrodug oarpadsrad olalsltoploor upolaw

alBiuozt 0 oldo.tP-1

un

e glu.rnfglstpgtl 'Ipullrr B^11)idsrod' aJSJAIPO Alqajp laul l

e g1e:n*91sapurl lpul l l re. t l1. r. rds:a6

' l' ' ' ' : - r l rJc-l3oo.r ' r ls '?Al lJJds-Jrd

aJlJOJScAt lJJds. t . l t l t ; , r1ucut . -t11

oJlrpurl lJ aAt l )OdSlJo AIalucujJlg

9' t '16

g' ,1 '17,.3

, ' l '16E' I 'LA7, ' I ' ,L6t ' t '16

roc

I09

009

6ri'66?

6t96t98t9

66t



28.3.3 Legitura dintre axonometriaoblicit

gi lpura de geometrie descriPtivh

Monge

28.3.4 Determinarea nitd{i i imaginepe odirectie oarecare

28.3.5 Rabaiereaplanelor in axonometria

oblici28.3.6 Problemede pozil ie in perspectiva

cavalieri frontali28.3.7 Probleme metrice ln perspectiva

cavalierd rontald28.3.8 Probleme de perpendicular i tate. n

axonometriaoblica 9i in pcrspectlva

cavalieri frontald28.3.9 Sec{ iuni plane in supraie{ele i l in-

dr icesi conice n axonometr la Dl lca

28.3.10Tabloir l reprezentir i lor de bol{ i cuaplicat i i in arhitecturi in axonome-

t i ia paraleli oblicd

28.4 Reprczentareaaxonometricd centralil--Zb.q.t GeneralitS{i asupra reprezentdri i

axonometricecentrale28.4.2 Qeprezentarea xonometrici centrald

frontald28.4.3 Reprezentarea xonometricb entrald

veft cald28.4.4 Qeprez.entareaxonometrichcentralh

generala

28.4.5 Translalia tr iedrului tr idreptunghicin axonometria entralS

28.4.6 Rest i tu l iaunui paralel ip iped rept-

unghic n axonometria entlalA ene-

ralS28.4.7 Trecereade la perspectivape un ta-

blou inclinat la reprezentarea xono-

metricdortogonali 9i reciproc ' -'28.4.8 Sistemele xonometrice e proteclte

cu axc curbe

Clasil icarea enerali a axonometri i leUnele aplicaTiide rcprezentdri xonometrice

ortogondleui i l izate ' in pregdt i rea i i tor i lorstudenti arhitect i28.6.1

Aplicat i i in carese dau f ie rcprezen-

t i r i lc dublu sau r ip lu ortogonale le

obiectelor ie axon6meiri i lor or

28.6,2Apl icat i i in carese dau descr ier i le

o6iectelor i se cer at it epureleMonge

cit si imasinilc or axonometrice rto-gon'r1e zomctricc sau att izometrice

impreund cu anumite secfiuni fie in

repiezentirile ortogonale ie 1n axo-

nometrie:18.6.3 plica{i i ir l caresc cere d seconstru-

iascd n cit mai multe variante posi-bile (din cauza absenleiproiecf i i lor

oe olanele aterale)perspectivelexo -

iroriretr ice rtogona[e zbmetrice.al e

arisambluri lorde corpuri geometrice

reprezentate dublu brtogonal prinprbiect i iteorizontale9i vert icale di n

i igur i le 28.184

Cao.XXIX. CONSTRUCTIA MBRELOR N.PERSPECTIVAAXONOMETRICA

JO O

bb d

569

b/u

i- ^a/ J

ot l

lJ /d

585

585

586

SUtt

588

590

590

590

592DgZ

593

633

633633634

l l

15

tr

b

[8

n0

EIrp

n2

53

29.

29.2

Generalit i{ i

617

ol ,

617617618619

619

619619

619620

621

622

623

It

I

I

I

E

Construcfa umbrelor a o sursdpunctuali.delumini in perspectivaaxonometrlcaobllcasau ortogonald corpuri geometrice): .

29.2.1 Umbra punctului gi a dreptei29.2.2 lJmbrele pldcilor llane opace29.2.3 Umbrele Poliedrelor

29.3 Construcliaumbrelor a soare n perspectivaaxonometricd blicd sau ortogonald corpurigeometrice)29.3.t Umbra punctului 9i a dreptei vert i-

ca e

29.3.2 Umbra dreptei oarecare29.3.3 Umbrele piAcilor plane opace29.3.4 Umbra cercului29.3.5 Umbrele propr i i 9 i purtateale pol ie-

drelor gi suPrafetelor

29.3.6 Umbrele proprii 9i^aulopurtate al epol iedrelorqi suprafetelor .' . .

29.3.7 Jmbrele nsambluri lor ecorpurigeo-

metrice

29.4 Construct iaumbrelor a soare n perspectivaaxonometricdoblicd sau ortogonaldpentru

volume si detali i de arhitecturi29.4.1 Limbreleunei case cu acoperig in

Patru Pante29.4.2 Umbrele volumelor de arhitecturd in

perspectiva cavalierh orizontali29.4.3 Jm6ra unei arcade cil indrice29.4.4 Umbra unui capitel paralel ip ipedic

pe un sti lp de sect iunedreptunghiu-lara . .

29.4.5 Umbra unui capitel prismatic pe fu-sul unei coloane il indrice

29.4.6 Umbra nisei29.4.7 Umbrele ih axonometrieale scdrilor29.4.8 Umbrele consolelor e o fatadd fron-

LAIA . .

29.4.9 Umbrele cornigelorpe diferite plane

vert icaleale fatadelor

62 5

625

625627

627

628628628

629

63063293 2g.5 Probleme ropuse

CAP.XXX. PERSPECTIVASUPRAFETELOR.TOPOGRAF'ICE

30. Ccneralit if asupra erspectiv-elorentrale.;axonometricel'ediferiielor ormede relief

593 30.1.1Perspectivaneicoline

30.1.2Perspectivanui-plan-topograf

c .

30.1.3Perslectiva avalierdrontalddime'trici pentru drumul 9i formelederelief l in figura30.4

30.1.4Construclia erspectiveitnuiansam-blu (cl5diri

9iforme e relief)uti l i-

zind' metodacarelajelorperspective

635

636

636

639607 30.2 Problemepropuse

l'{ - Probleme ropuse 607 LUCRARI CONSULTATE

t7



,7

Copi lolul I

srsTEMEEPROIECIIE

r.1. rsrEMULENTRALEPROIECTIE/^

Se considerdn spa{iul tridimensionalun plart

oarecareH, numit a-lgg-dgJgHgzentare sarl de

proiecttie, i un punc{-f) nesifg4t n planul H,iruriiit'centrqde proiectie. ie $lansamblul aumult imeapunciCloispafului, cu excepliaacel6ra ilu-aten pfanul parilel cu planul Hdus pr in punct ul Q. A-f i ind un punct oarecarcal so'atiuliri .dreaptaQA intersecteazl lanulHlnti-uh punct a] numit proiecfia

-central[

pe p lanul H d in centrul O a punctu lu iA d inipat iu t S ( f ig . l . l ) . -Dreapta oAse numeqtedieapt[ prbiectantfl. In general, considerindo

iis'uiabarec-are-atpafiului S, ii va corespundein"planul H o figurd f care va fi formatd dinproiecliile centrale ale tuturor punctelor

figurii F.

Se numeqte roiecfe ceUtral[ operatiaprin care=eobf ne figura f din figura F, centrul de_,pro-

i -r rt-

. (, , . i , . , i.

t ,-

i, l ieclie fi ind f), iar planul de reprezentareH. iAnsamblul acestor oud elemente centrul deproieclie O Ei planul de reprezentareH -formea2? n sistemcentraldeproiecfie.Sepoate

'

spunede asenenea I operaliasau dgeaa princare'se face sI-i corespundd ricdrui punct Adin spafiul S un punct a in planul H este oaplicafiea rnullimii S pe planul H qi se scriesimbolic a: S-+H. Sub aceasti form5, acestsistem central de proieclie rcalizeazdo cores-pondenli univocfl ntre spa]iul tridimensionalS; i spaful dubludimensionalareesteplanul H.Inti-adevir, L

-r reprezintl proieciiile cen-

trale pentru orice punct situat pe dreaptaproiectantd OR. Variind pozilia centrului ,Q

Ei a planului H, se poate obline, proiectindcentral figura F pe planul H, o infinitate defiguri f, dar diferite de figura F in multe pri-vinle. De exemplu, proiectind un triunghiechilateral F, se poate obline un triunghioarecare, proiectind un cerc, se poateobfineun cerc,o el ipsi, o parabold, i chiar o hiper-bold etc.

Agadar,multe din propr iet i l i le f igur i i F nu

, trec la proiec{iaei. De asemenea, u lte dintreI mdrimile legatede figurd se vor schimbaprinproiecJie.De exemplu, proiectind un segmentde dreaptd de lungime l, se poate obfine un

, , segment cdrui lungimepoate i oricit de mare' sau de mic5, proiectind un triunghi de arie

dati, se poate ob{ine un alt triunghi de ariemai mare sau mai micd decit a triunghiuluidat. Pe de altd parte, lgurile au anqmitepro-prietdli care se conservdqi ele la proiecfii.

r-

19



6' t 'arc

g

-Faserfcarotd nrluad r$ g.,trasuoc s arqut sw. ::=: * : (ouru) (g1,11y)crpusru wv

0z

'ue1dno1qe1rnun olelJund rS S Isuorsuaurprrl lnlnrfedsalalcund eJlul FJolrunrq giuapuodsaroc 1o ;-1sealialrqels arer 'arf:raro:d p nrpads'1edn1-nualsrs Ie Jr+oroallnluarilepunlarnlrlsuorarI-celordap IBJluer nuelsrs '.rtrleelordnlnrfedsu glue.r3alura1;ed o luIS r$ allnu$rqo acrrl-euoaFelrrnFr; $ ec 1o-r$u1ececeoflrur;ur e1ap ole+ueualopArlJarord lrleuioaFu1 '1rur;ure1 ueld un nr lelelduroc lnrieds J arycatotd

nlinds :trrurjul BI gldearp o nr iulaldruoc1nue1d arycatotd n1d lllulJul e1 lcund unnr plulalduoc uldearp pa4carctdpgdaarya1{aw-nu es 'rgrdo.rdutaluauala olsaJepulJnpoJiul

' l rutJrrrEI

1nue1d$ tur lut e1 eldea:p +IulJule1 nlcundluJs aJBJ 'tou aluaurala nc elelelduroc elsauu pr rna 1nnlfeds olaluaualaearu nru' leJlsv'}{ut$l-€T'-op "JolJiuaituolae'pnrltarotd ur:1-auroaF-ug'?a:tsotof

sof€-

lpmroJsrruJlelseJeB

ppzpodur.n;sTm6id-i 'Bat-XIX lE Inlnlores Balelgun[ BnopBuI erqepluapuadapulul ldnsrpo-Jlul euJoJsueJlas aJBJ aaycalotdnt4awoa7BaJeaJJ l ' ta1:lauoaF Jolaluat ' r rBpunJrdnseJolrJplecrac a;erniugsep 3-ptrBpopal-XIX IErnlnloJas lB apErapalerurJd I snpuoJRB lJnl-ralrqJBe1e rS tacrsur8 lrfplrsacap en;1rago.rd

llunq E-el arec ed 'acularuoaF ollrnFlJ ol Balelcads {p1at:dord laun a:elaJralop carqoBJ'1e1ozy

lalacuod

(eget-OSZ1) unqgI$

(0ggl-96/l) saFDLtJfeuorluau IJ od '(/9gl-gg/l)ppJuod ep pJejp ul 'arec er1u1p '1:laruoa8Jolnu urfuale spJ]B B :o1r:nFrl alB aArlcar-o:d oytfplatrdo:dnlnrpnlsBuelqord'co:d1carr$ alua:ncuoc lde.rp nop uI plzJluar erfcarordurrd gurtolsuerlas aleluredalda.rppnoq 'rnlnl-nrrrseJalp o+uelcarord laiderp e-r1ugsulrdnc:o 1-rn1lAun rb1 nsnu s .r,iiilruoOa;.pipoOiri ap

rerunu priidop

WB WN. -:

Vg VN

rug ruuaJEolBAInrprEld:

*

:* :

(quuu) : (SNWV) alcund n:1ud

lrodu:

'nr ieds

ulp gV luauFas un al.redurgy lcund un arBJu; nldruJs lnlJodur ririurure lJ lod eleuoFol.lonusarrlqo a1e1e:edarfcaro.rdlluelrBAUr rlul6l

uriearord.rluadiur{uaur,nu.r'JrnnJtl3[:i3rfplarrdo:d ellnur Flsrxa 1e:auaF l 'UV Fluetr-calo-td ldearp ad 1en1rs ound acr:o nrluedaleuoFoi:ones ecllqo a1a1e:ed prfcarord rclers plurza:dal D : J Inlsund '11 a;eluaza:darap leuorsuoulrp lqnp lnrfeds rS 5 leuorsuaur-lprrl Inlnrfeds elalcund ar1ul gro,rgunp{uap-uodsaroro Io+ yzee lear arfcero.ldep laleredInuelsls zpr lsaJB u; r$ 'alicago.rd p laluredtuelslsun Bz?arrrJoJ t{ areluazatdarap 1nue1dr* ar{raro.rdap y erica.lrp a}uauola gnop* ar{raro.rdap y erica.lrp aluauola

FnopllJaroJu aP

vErlJaJlp alualuala

Pnop+saJB nlquesuv 'H areluaza;dar p 1nue1dI 'V pullJ JolaluplJarord rlcarlp 'g ernFrl

JolsaJB nlquesuv 'H aJEJBI 'BI 'V purrJ Jolalueparordericarlp 'g ernFrlutp 1 e:nFr1 uriqo asaJBJ r-rderferado leuoF-ogo nus prllqo ulalurud arfregordalSaurnuag'g ttrn8l; :o1a1cundoJnlnl a1eeleuoFolronB Sacrlqoa1a1e;edlrrfcaro:d lp glurxJoJJEAoJBJ1ernFrlo g 1nuu1dgapundsatocI S lnriedsur pJ aJBcaJBo:nFr1 aun lerauaF 1 .g

lnrfedsul py rnlnlcund e g 1nue1d d pluubFol.ro lelurqdugfca;o.rdlsa e

'11a:elueza;dar p

1nue1dd

g:elncrpuad:ad lsa y elica-rrpRcBO (6't 'Fll)S lnr feds ulp V rnlnpund E I{ 1nuu1d dprllqo uleluredegiralordre iSaunuag .e

lcundun-rtrul H 1nuuld pzeolrosralur V lnleundur:d psnp y erira;rp nc glaleted uidea:p ,S

rnlnrledsIBareJarBolcund un pullJV.g

lnrledsulp V aJpraJeo,rfcarrp o nJ alaleJed a1eo1luls aluelJeroJdalazuJ zvr +sece I '+rulJurBI lBnlIS pund un i; erfcarordap lniluar er g

i lI)llodd 30 ltlyuvd 'lnwslstse'[

JoleJ IB f,tuoruJeuulngodur nus 1ry;oduJlqoisaalBJtruoJarfJaro.tdIB JrlsrJalceJeJluelJuAurqB un 'uauaruaseO.J'FArlJaJordluiar:dord oalsa aJeourlocU E ap irnFr; launrolalirihd ea1e1-eudo.rd aJBurJn n6 'eldearp o ad BouaurasBap gspF oAes r lrnFlg 1eq,u ,ur,u a1e:1uaralttfoaro:d 'elduetp o ad csaseF s g rr.rn31;

ole g 'N ' I I 'V alalcundgrep 'nlduraxa .rdg'1fuu;.lCAriiSOuntas rurrJpru$ rrirolo:dalsoJv

U:f;



at laSINI

diniu lu ipr inIr -unbl ic iu l Srl araec ia

ui Arre Fpra Ib l icei i F.orto-f d in

:^-, la l

e.'itorie ; iistememul;pon-i r id i -r l deta giorialeoiec-ietdfec{ ia

e sauIu inI d inma- ,trS

nentuluipeplanulH. Deasenenea'iraportul

;';;i;;;;;fe coliniare ementine a nvariant

ri"-in" ii"i"irii" paraleld. roiectia paraleld

itun.iotita ,loui drepteparalele ot in doud;;; ; i ; paralele,ar'dreptele oncurentein

;;;ii; {ini ttui.tttormateot in doui drepte

. 'oniut.nt".Sistemul aralel e proiectie on-

;tiff;--ildamentul tboretic al .sistemului' e

proiecfiedublu ortogonalMonge'

I .3. TRANSFORMARIEOMETRICE'I ' I ' '

I .3.I . TRANSFORMAREARIN OMOLOGIE

lo Omoloqia land. Omologia lanb este o

itun.ioit?t" punctuald efinitede un.centru

;;;;t;ii;-d, d" o ax[ deomologieA qi de un

"ir*iii.?ttr, prin careunui punc^tarecare

.f ofunriri det'erminate o qi A ii corespunde

un'punctM1, astfel ncit

- ounctele , M, M1sintcol iniarc:

- irpbtt"tanarmonicOMmM1)

^)"

ut-idem

.rt"-lni"i.."iiu dintre' dreptele A ;i o M

['"1ut,?portur anarmonical omologieieste

i:-i, '"iuncipunctele ;i Mr sintconjugate

armonicn rapoitcu Q Eim, iqr.omologiaste

rr*oni.e. nu^.a ). : l, punctele.M 9i M1

:oincid. ar omologiaespectivi steo trans-

:;;;;; iJentl"e.P"unctell xei A a omologiei

,;;i";;";i; clubleale omologiei, a dealtlel

=i ' . . t i t i" io al onrologiei ' reapta are ne;te

a;;;';;"t; * ;i N ile planului nlersecteazdrreaota areune$Ieransformatele1qi N1ale

r,.;i; pu".t" piin omologia,f),ntr-ulPunctl . ruutpbaxaA a onrologGif ig ' 1'3) 'omolo-

.. ,-pf lna

transforntd dreaptb ot, intr-o

-..rpie. b omologie landeste^completeter-: '" i ta Au"dse dlu: 'centrul o al omologiei '

."u-i-;i

o pereche e puncte orespunzltoare

I ' ig. 1. 4

M.M, col iniare u O. Transforniarear in omo-

i" i ' i . 'p"r t" i i ext insdasupra igur i lor plane.; i

ip?t i r i " . Doua f igur i F qi F1 s int .omologice

; i i l . i c ind existf o ornologie are ransformd

una t l in t re f gur i in ceala l tS.-- ' r ^

F f"oi.*.le iui Desarguesn ptSn'l'. C?n44tp

,rrccroira i suficientaca douu trrunguurtABC'

A'-B'C' sa f e'ornologiceste aperechile edrepte

tdC, ntCtli (CA,CrAl), (AB, ArBr) sci,,se.rfier-

iect'ezeii ' i , 'ei uncte , g, t coliniare f g' I '4)'

l l. Conditia ecesard i sufcientd' a doualriun-

phiuri AbC, A1B1C1 d fie omologiceest.e a"dreptele

AA1, BBr, CC1 d fie concurenle''lgura

r"tiiil-a'd iri't ti utigttui Ie ABc, ArB cr i mpeu

ta-.,

at"ptele caie unescvirfurile cor-espunz6-

toaresi .,i ,*u ;i centrul de ornologieornteaza

" .""ril"i"ii"-ab l0 drepteil0 puncte, stfel

i";it ii;car6dreaptdreiepiin ciie reipuncte, i prin f iecarepunct trec cite trei drepte

ii iei i .+1.Aceasthigurd-seume;te onligura'

| i" ' r" i- 'Desargues.n figura l '5 s-a aplicat

o

Fig. 1.3

_--/

Fig. 1. 6

2I



qB I Ftc

'aJBO+EzundseJoJlcundap aqJaJad rS alBlrurl? ap

VBXBuelsBounr

PJPp FlEururJalep lso purJB0JBruJoJSuBJl'PlsuotolJoalsa Bal?ilurjBnBs purJpBrFoloruo'y exe ed prelnrrpuadrodalsa ryy alelrurJBap erfcorp prBC '(/'l 'Fg) tV l$ V anolgzund-saJoralalcund e1iaun ao eldea.lpap plrur1apetrsaelullu ;e ap u;frerrq '(1rullur u1 1en1rs)nJrdo.ldrulcund un else rarFoloruoIB O lnJluec:et 'erJdoldplduarp o elsa rarFoJouro V

"xBJBcuJ prtFolouroaJpruJoJSuBJl alsa Butlu

ulFolotug 'U InJluar nf, lroder u1 arJtrarr-IS o elsa Bllalouo 'I - : Y nJluad 'IlsJoAUl

) 1 ru1uad JBr elcoJrpolsotrsoBrloloruo

srJalouo0 < nJlued 'Y : --Vi-rv(J

'0

Y

eluelsuocalsa 15_nrlua) EI rV IS y .rolalound:olafuelsrp1n1:odeg(g' t .Fg) (pttug pluelsrpe1) nJrdo.ld rund un alsa ralFolourole 15 Injl-uer rBI 'LllulJul e1 e1enils)a;rdo"ldurl lduatpo alsa rarFoloruoB V p,xuaJBJuI grrSoloruoeJerrrJoJsueJlo alsa elloloruo .pulJe ulF-oloruo Suglaloulo rqasoapa:e1ncr1:edprFol-oruoaJlurg 'pJnFUBlspere d r t pfuaprna J

ESnd J oleods_anFJesagrfernFrJuof3OgVrnl-n:a1e1nt1edrFolouro ud aruu.rb;sue:1-r$eaacd



o si.logiacare

" iarryriueste

DTES.

ia det f ,mld.dacarcde

30 Teoremeleui Desarguesn spaliu: l. ' Dacci

irtiiit, cdreunesc irfirite otnoloage.aledouri

tr i i ,r intur i ABC;1 Ari lrcr si luatc n.doudplane'iiiriflip

ii'i,iiit ciniuiente in acetaei unct {L

;ii;."ft; tJ i i.s, b) atunci laturile corespondente';i;,;i;;-aiia- triuitshiuri sint concurenten trei

otmctecolineared, 9, ^( situate pe dreapta tle'intersecfieh' a PlanelorP ;l P1 '

11.Dacd aturileomoloagele riuttghiuril'tr AB C

;i ArB;et t; tuate ln doid plane oaiecare,.P ;{ Pt

:e intersecteazape dreap'ta de interseclie L a'itoill"oi,--"ii-iici'

drepte'le. are unesc uirfurile'rurriiorauntu ale triunghiuriLor sinl cottcurente

:n arcLagi unct Q'-loOmografie.Perspectivitate'DacI punctul o

.e consiclerd a un centru de proiec{ie' intre

-""Gi"-""tordoud figuri ABC qi A1B1C1 -a

.trUlii i-oiit aceastdo"pera{ie corespottdentI

aiunivoci valabi ld nu numai pentru, aceste

:iJur i c i pentru or ice puhct sau-dreapta on-

,;it; l; in 6.r. aora pian'eP i Pt' qgfg:ponden{aj intre planeleP 9i Pt astfel stabi l i ta. e mat

-"i"-tt[ ' . i 'p.itp".i initute iar dreapia. .le nter-

.* ' i ; ;A i ini i" ' "" t" doudplanese mai nu^me;te, i ; ; d;perspectiv i tatei ig ' l 'B' b i l '9) sau

.:cul geometrical punctelorunite' O corespon-

- .nta' tui largi decit perspectiv i tatea. con-

:,i i;;. i-"tpof;u.n1a omograti{ tqu .colineaJia'

.-t;;;t i;r t buncteie nui plan P1sint.proiectate

- .ntr-unnou centrude proiec{ ie )1 tar prolec-

.:ntelese secfioneazau un alt plan ,P2'ntre

. ln"t"f" plani i lu i in i ia l P ;i puncteleplanu--

- i P ' se'stabi leste corespondenldiuntvoca

..t ie l" incit unui 'punct A €P ii-corespunde n- ri.i Ar ep, qi uir-idrepte eP ii corespunde

o dreapti De€ Pr ;i reciproc'Altfel-sp-1ts.,

coresDondentaau irantlointarea rnograficd

,;ilr[";;;t'ptr* esteclefinitd o:DacI unui

; ; ; ; i din rrt imut lan i corespunden singur

ounctn al 'doi lealan; i reciproc:2":dacarel

5" i j . i . ' .J i"* t "- .br. tp'nd l i t rei puncte ol i -

; ; ; ; ; ' . i"3;' -

, t ; . t bi iaportula patru puncte

;; l i ;r '* . t t . .grt cubiraportulransforttratelor

ioi. poue planeomograiite u uu al trei iea

;i;": ;T";oeiut i.* i i l t reele' In cazul rcpte-

i;;,'ttr;i'f";;?t;; omografici , or,esteech.i-

valentd u doui proiec i i entraledaca u au

un punctunit).

13.2.APLICATI I LE TRANSFORII {ARl lRINOl lo-

i-ciciE'$r"n"niri i ini}' l ; 'S;dd centrul e om^ologie'

i*l"i.-,i'it"i"gi. A tl perecheae puncteomoloage ' a"

ba sedetermiie ransformitad' prin aceastii"*ijifntogIi"pto r.,u p,':**.ll.ii,

f0,,i, ?,i1,l#' ; ;,Lurde Q, b, b' sint col t

i i i ' lri" i l iur' i, i' situatp" i ' ae omologie.'

" 'urrt lrt?,u* a'= I t cstepurr i tu luni t al drcptcr re;

i t l i i ia" f l . t u ; . ia ver i l icare et r t r t t -c( .drcbuie a

.;i i. .e ii i '-cJineare ar ac qi l ' . ' fg intersecteazdn

r,,'i.t,il' ;+,:lt"q:"i:JJ,,.,f,l'i"o},,l,rulii' ,'1,

iezolvat aceeagl_roole. l ls i tuat pe axa'de omologic J

KaAde2' Se consideri triunglriul abc concurent cu

al

on-rologie. aci a' .tt" o"iofngul lui a in raport cu centrul

i.""t"[gt.

(){ r sa se construiascd mologul a'b'c'

I r ig.1.10

I r ig . 1.9() t



,,',il,'.n.,l?,i.,n,"ir,r=.1"'*il=ili:it""ii:d:di5i#;:,.Tli", t4'o ''pLL,

iq'X'liii,,li',iloi,',"#?'r

:;rareoap ruauraseq.(91

r lirj y "1nJ,uifni ,*" o. r

?6

erfcarrpIosnp la le lereddaler i l rs1u1s,eS,qala l rund'o lu l rurJu p pJp ad alunl rs, ; :1 , , r f _i

, , [=f, = alo.lrund 3uzuelces;.1ur,

"urgr_ioloron;rrn1"1'(lt ' t 'Fg)

,ep also alelrulJeop erfcariq : nlnuu,-ola1u.rudnJluaJelsae nlnJJ ^ nuJJp t pu;p6ruerio;-e;u.rudnlsaoelE u J? InlpuJoJsueJlFJsetulsuores

"SV a1ellulluapexu J6arqe;nrue.rioJe;u.rud.repJsuof,So,

alcla.rpp sanFresa6rie:nBrguooolsa/.1 ,,r;?li:r'rj;-BupruasERlnurlqoe:ndg .y alelrurje p exeaclalpnlls

oJuaurlo)-/{ {, , [ = [ , , : r alelrund JpzpelJosle]uras our;e-FoJoruolunlB.I .alelrurJeap erfca:rp J r lSq ur.ld snp 1a1a1e:eddelenlrs J oA,r rS,q elalcung

'olplrurJa p elfrarrp alsa ,Eu eldeat6 .tqu;nJngq8-un Jl_l? lle lnleurJoJsueJlulruJelaps pS .," ." nu;g"

alcundap uaqcarad;$ y o1ullugunp"*"

pr.p;ruoJeS .og.(gt't .8lJ)a8eoleue1u1s lrlcnrlsuor ralnrrlrpd lnzecnrluad V ad olenlrs,I = , l , , t = I , ,1_ I elalcunOgBl3asrolurol esa8eogoruolrrnlp-I (at.t Ell) 6 1nr1un,

31.r-tjf :ld_tJ "oalBnlrs

; :o,r aBeolourototrund'V ,t5 lnzEl lS odua:aplsuot suS .1up1n;n;q un;.r1e

9l t 'Flc

8t ' t 8rc

: j. : l l t t 9dltd alsa,uu oleltulJe p urfra"rrp leuoFolroF-ulJnBarsuroJsuarlul .qu: ,u'u i 1u1ii ^liulrsounr'elBl ulIEop uxs ezuafrasrilug.ruraiqri zadil lnunlu luuoiol.rou;;u inluiu.rogsueil rselnriruoJ-nipg .q

;t?J,',:L&11,;F'",.1t1#ili#l;l';f*dTf*iif$

at ' t 'Etc

rFlE



|reaziiluri Ie

dal

dtate,af ind

nrlard

E€CeFnele

hter-:= S'

l'J

1-i" "-...-

l .4,GENERALITATISUPFA ISTEMELORSPECIALEEPROIECTIE

Descoperireanui lnsemnainumdr de sisteme e proiec{iea condus a simplif icdri esen{ialen rezolvarea numitorcategorii de probleme.Dealtfel -un rol de seamd ininviorareamuncii st i int if ice in multe domenii ca meca-nic5, cli imie, f izici, tehnici minieri, construcfi, arhitec-turi etc., continui s5-l ioacenecesitatea e rezoivareproblemelor prin metode geometricegralice. in aceastddirec{ieeste cunoscut aptul ci in ult imul t imp au nceputsd prezinte un interes deosebit n rezolvareaproblemelorpri ir metode geometricegraf ice reprezentdri le igurilorspafiale in sistemeleaxiale sau centrale de proiec{ieprecum gi in sistemele Monge derivate, simplificate sau

generalizate. Evident, valoarea metodei geometrice de-pinde de aptul cit de comod e ezolvi diferitele roblemecu aiutorul ei. Se noate remarca de asemenea d fiecaredin listemele existente de proiec{ie este comod pentrurezolvarea nui anumit grup de problemeqi cd acestesisteme e proiec{ie u numai cd au dat rezultatedirecteln domenii le mai sus amint ite, dar au constituit inacelagi imp qi metodenoi de rezolvarea multor problemegeometrice. Binein{eles existd o legdturd strinsi intref iecare sistem de proiec{ie nou imaginat gi epura sacorespunzdtoare e care principiul teoret ic se apliceefectiv in rezolvarea problemelor oractice. Au fost ima-

ginate nsd 9i sisteme-de roiec{iei a de exemplu,unelesisteme de proiec{ie multi-axiale in care materializareaprincipiilor teoretice n epuracorespunzdtoaregi aqteaptiinci rezolvarea.Numeroase iscipline, n special ehnice,folosesc n mod curent diferite sisteme geometrice deproiec{ie. n ult imi instan{dse poateapreiia ci majori-tatea crea{ii lor umane rezultd succesivdin insu;irea,transformarea, utilizarea sociali, tehnico-economicS,mediului inconjurdtor.Acest mediu nou creat de om gisocietate ste o cucerire.o ordonare.o combinarenoudde spaliu, materie gi t imp prirr intermediul unei proiec-t ir i deci prin ut i l izareaunui anumit sistemde proiec{ie.Proiectareaeste deci concret izarea ehnicd, gt i in{if ic

determinatda unei crea{ii, ea nsdqiqt i int if ic fundamen-tatd. In baza acestoracumuldri carit i tat ive, analit ice,de specializare, roiectareancepe otugicalitat iv printr-ointui{ ie, viziune de ansamblu spa{iald, materiald,r inet ici, a obiectului cerut, in cadrul condif i i lor locale,inomentane. ate. Estevorba deci de o sintezi creatoare, ie orme spaliale,de necesitdt i unc{ionalegi condiJii de:ealizarepe care numai geometriao poate conforma nsra{iu qi totodatb concret iza n studii le pe reprezentdri le:ehnice laneca magini ale aplicir i i sistemelor eproiec-1e decvate.Mai departe,prin determinir i g i aproxima{ii

: j icesive, in baza egilor specii icedar gi de armonizare,

.e ajunge a proiectul tehnic respectiv,necesarn vede-:;a realizdri i, deci a construc{i iplane,care urmeresc u:t, : :r ic formal, ci lnteles, insigi rela{i i1e din spa{iu.-:"; :darnu se poateconcepe proiectaren nici utr dome-":: f ir i cunoa;terea el pu{in a principii lor generale le, . :einelor de proiect iecare se t t i l izeazd ln ramura res-

-. : : ir-a precum gi in cele nrudite cu aceasta.Aga cu m,-. amint it mai sus progresulcontinuu a1 gtiin{ei gi: :--- ici i a dus a aparit ia muit iplelor sisteme e proiecf ie: i: . se ut i l izeazhastdzi n celemai diferiteqi nea;teptater:r: :-t : i i . Spre deosebire e trecut, cind dubla proiecf ie

-r: .-: :rald constituia sistemul de proiec{ie ut i l izat in

majoritateacazurilor, proiectarea in zilele noaStre rede rezolvat o primd problemdce i se pune inainte detoate: care este sistemul de proiect iecel mai adecvatpentru uti l izare in cazul considerat aspect,mdsurltori,

detali i etc.). Pract ica a ardtatcd nu poate i l imitatd laun mod de reprezcntare nic. O privire retrospectivdaratdci tehnicagi arta au fost n toate impurile profundtributaresistemelor e proiecliecareau evoluatodatdcuinmul{irea gi adincirea cunogtin{eloromenegtiasuprarratur i i ; i societbt i i .Agadar,cunoagtereaemeinica acaracterist ici lorsistemelor de proiec{ie, a suportuluigeometricpe careaceste istemede proiecliese sprij inidonst i tu ie 'o cer infd sine qua non'pentr t t act iv i t i teagt i in{ i f ic i a proiect i r i i bunur i lor mafer iale.Dupd anu'mite criteri i e pot incercadiferite grupir i sistematicesistemelorde proiec{ie. n cele ce urmeazdeste-prezcn-tatd o asemenealasif icare sistemelor e proiecf ieavitrdmai mult un rol informativ asupra creali i lor in acestdomeniu.

1'. Sisternulde .proiec{ieMonge gi sistemelede proiec{ieMonge derivate: Sistemul de proieclie Monge aplicatstudiului descript iv al geometri i lorneeuclidiene;Siste-mul de proiect ie Monge modif cat (Mart in, Pernot);Epurele dfine 9i epureleafine cir spa{iu de transport;Sistemele e proiec{ ieMorrge impl i f icate.

2o Sistemele de proiecfie care generalizeazi sistemulMonge: Sistemul-de proiec{ie imaginat de Gh. A.Nicli i lor; Sistemulde pioiec{iecu diedrul nul; Sistemul

bicentral de proiec{i6 cu

'doud

plane fundamentaleparalele; Sistemulbiceniral de proiec{iecu doud planefundamentale arecare.

3o Sistemele e proiecfle ale geometrieicotate: Geometriacotat i propriu-zisd; Sistemul de proiect ie vectorialimaginatde Feodorov;Sistemulciclograf icde proiec{ie;Sistemulde proiec{ie maginat de A. Capelloni;Sistemulaf in de proiecjie.

4' Sistemeleaxonometricede proiecfie: Sistemeleaxono'metrice de proiect ie cu axe rect i l ini i; Sistemele axo-nometrice cu axe curbe; Sistemul de proiec{ie prinproiecf i suplimentare.

5o Sistemele xialede proiect ie:Sistemulaxial-helicoid lde proiec{ie; Sistemul axial - paraboloid l-r iperbolicde proiec{ ie; Sistemul plan-axial de proiecf ie; Siste-mul'biaxial de proiec{ie;Sistemul riaxial de proiec{ie.

6o Sistemele centrale de proiecfie: Sistemul perspectivde proiec{ ie e ablouplan vert icalsau ncl inat ; Sistemulperspectiv anoramic au oloramicde proiec{ie;Sistemulde proiecf ie al perspectiveiNewtoniene; Sistemul deproiec{ieal paraurmelor;Sistemulstereograf ic e proiec-

{ie ; Sistemul bicentral de proiec{iecu centre ixe sattmobi le.

1.5. ROBLEMEROPUSE"-

1o Sd se aratece devine aportul anarmonic : (ABCD),daci se permutd in toate modurile posibile (in numdrde 24) oidinea celor patru puncte. Numdrul r f i ind dat,sd se exprime cele gase alori dist incte pe care e poatelua ast le l

.--, 1

;J

25



'8XE ll t BlolBJE0 nBS BX E

ad alelnJlpuad.ladaldorp roun e8eolouroerseaseFos esaluapuodsa:orelrund enop luls

rW rS 1ry req .r.X Bx Bod 1en1rs Inrlrral r$ *y er8oloruo p exp Fp oS

"01'bdur rnynlq8unt.rl

ln8olou.lo^eJsBrnrlsrrors Fs .sx:1, p orSolouro p 1odun nr 1.Iodat r

tu rnlnlcrrnd lnEolou,ro lsa Iru eeeg .bdrulnlqFrrnr:1nr

r?lu)Jnrrror*y orFolouro p exe rbdruInlqFunr; lFp oS

"6'rsnsr.rJ

rny apunclssror $1 arf;osralurap joI prlruird pl punlSq raldo:pu q ptrle-r8oruo leur:olsuell FJseJsRBs ?s llr?l

-Inlar IB rrlerFouo InlpuroJsuprl lnun lrrJsy r$ y preg

'O t I pllull IntrJund16q eldea:p ,g1n:luar pp aS oB

'(a:Baullof,luls un a:pf,areo leund ra.t1 rer o.r lurp)

alrund n.:1ede aya8eoloruo-npulJsoun) atrBpC auBldtJnErJ aun etr;e:Fouro g e.rn811 rsplnJlsuoJas FS o/

'qnop allBlola)ap rluolurp FlBzr^rp lso1a1du.rorJaJBlnJlBdlnun p BlpuoEBtp leJJtJE.) J ls l r ) as pS

og',q ad ,ut nes lnFolouroFrselnllsrtoJ s Fs 6 pldualpad u

,lsppu J .,9 ls o alaldarp ad .rr lrrdso.r S8olou]o

alrun(l ap rqJarad arl (,r .r)IS (,q ,0 .(,u .u) aggog

. ^'p8aal a[ or FrtrBr8oruo r]e1ar Jseelrqelss psrs JJtJ?ldoulounrztArp lep_ 1a1da:pd nr;rsapalcundalsaJe r olerp os f5

.3W15

ry alolrund uI alup a1a1da.rpFzaalf ,asralururrd psnp FrerlrqreBluaros :j xri jcunilun r( uq r* tg alda.rp nop ueld un-JlrrgBJoprsuor S o'

.'aJeautlorlugsa8eolouro zBJenop all?l

- rol) r a lp.ct l r rsrr lur op c1. r1lrnd runl ts . ( ,OO eir teaipjpunruoJ dp,oloruoezeJ ne 1$ tuoru:eue1:ode: lelare ne',6,1n1rundlr lp

r l lB lal3r . rei glnlrund r irpasn alaurr :d

'rJsaJpnl lpd al lJ ap JloJtJSBJFnoppJEp r als lB asRS g

0s::CV rr f lpuoc lsarB Jpr alprB sFS.Z/ t __ry:qyapun - : (ACSV)EiluollrrPaunrzrarp;aprsuorg .6



turlEte

ED.lu i -dDh.i

mt a

im

rs{e

I P.'Enle

" t_

27

2.r.1.PLANE DE PROIECTIE. INIA DEPAMINT. DIEDRE.SISTEMULDE PROIEC-

TIE MONGE. econsiderdn modarbitrarceledoud lane erpendiculare;i V carese umescplanede pioi6cfiegi pentru a le

-deosebie

presupune-cdeste lariulorizontal eproiecfe,iarV^este lanulveiticaldeproiecliefig. 2.1).Dreaptad-e nterseclieOX dintre aceste oudplan6de proiecfie stenumitX n -geometriadescriptivdinie'depflmint.Aceste oudplane:erpendiculare int nelimitateqi pot ocupao pbzilieoarecaren spa{iu, n careplanul H

5a nu'f ie neapdrat rlzontal au V vert ical 'rile doua lan6 eproiectie piV dividspaful::l patru regiuninumitediedre.De asemenea,

Copi tolul l l

PUNCTUT I

2.] slsrEMut DE PROIECTIEUBTUORTOGONAT ONGE

celedoui planede proieclie ; i. V s.edividi." ipto. it i pbtru semipllne,prin l inia de

oaniint *, cire pot f i notatc i numiteastfel:'n"- ntunulori jontal anteri6riHp planul

or' izonialosteriori . - planulvert ical upe-

;i;;; t; - planul veiticai inferior' Diedrul

".t"'iottort fe semiplaneleu i V.-'-DiedrulI

. t i" l"t"*t de semiplanele. si Hp' Diedrul

I i i este ormatde s'emiplanelen;i Vi ' Die'

a;f IV lite formatde'semiplanele, i H. 'Acestsistemdublu ortogonal e-p]gfte"49*pfgiectie

asoCi-afu"proieCfiaaialelnortogqna.lq-ioi'*itii iiite*uT'o.- 'ioi"iti;vton3".'ifei'bentrii mai'liiulte claiitate,'Sd prcsupunea

;i; ;"1 oiizontalH estcparalel u planulori-

ionlufui i ie planul eri icalV este aralel u

t l irect iairului 'cuplumb'Diedruleste egiu-

n., ,lin spafiuunde rebuiesi se situeze noUi.*rloi di:asupralanului rizontalEi astfel

incit . privindpfanuivert icalde proieclie' .d

.'uO-a'ifitinga'sa iterax a liniei de-pimint^Ei

i; ,lt;;pi; t? lit.tu o a liniei de pdmint' In

viitor, lit.tu o seconsiderdaorigine .abscise'i;;; t"ntut pozitivde a o-spre--1,dici de a

dreaotapre tin[a.Diedrele qi Ill sintnumite

diedie puse. a fet diedrelel qi lV'

2.1.2.PLANEBISECTOARE.e numegte.pri-mul olanbisector lanulbisector l diedrelori i r ir f i is.2.2\.Se nume;teal doileaplan

irisector'pianulbisector

al diedrelor l Ei lV'

Uneori de considerd emiplanele isectoare,

l l , I l l ; i lV.

2.1.3. PURA. acd nuldinplanele 9 p19ie9'

tie H sauV se otegte u 90on jurul liniei de

:t

Fig. 2.1



9'6 'FtC

.4/'i't; /

i/

o1:;l-uppdap 'uslrsqu :lriJs aJBc a1esa1een;1d;rmapel"uopJooJ arl alar ap PlEulruJalap lse erndaad (,e 'e) rnlnlcundtq u\12o4 'V rnlnlcundalp a1euo8o1:o rfcaro.rdpnop aloJ (,u 'u)Vu1rd nes (,e 'e) ur:d eauaruesep el ou JoA aS'(,u 'u) lnlcundlq g-rnda 1 apundsa:or gntfedsulp V rnlnlcund pc lroasapB unds ag 'lernda

Ie nlqnp rnlnueld lalcund $ nl ntfeds lalcundarlul pro^lun;q piuepuodseroo IeJlsB 1$a1rqu1sag 'arfcarordap aueld gnop alar ad .Lrleadser'a1es 1e u 1i u aleuoFolro ricaro:dFnop elaJulrd glulzerderes nrieds ulp V a:era:eo cundun 'aFuoyl arfcaro:dap leuoFolro nlqnp Inu-alsrsuJ 'repe$y 'VIOC 'VAUVIUydAO 'VSIC'ssv':r^rldrucseo'IarvNoouoof,9'r'6

'aculeruoaF truauela olelrJaJlp

eareluaza:dar .leqFurls u B ap lndocsuI 'FulJalrpoJ Spldn.ra-r1ullull utrd p:ndaed ezeaserles oulpJo ap llull olsaJe 'leolqo ag '1aderep elull nESaulpJo ep etull alSaunu as oJpJ

'xo ad prelncrpuad.ledlSeaoce d uuneaplolulg.rndeu1 :epeie eien lrs truJs e r$ u lrfcaro:d

_ pnop ale3 ',e uud leurnu elou JoA as ri ,u 13," InleJep'alrrfcarord .r1ui rfcurlsrp ceJ s nu

leraua8 uI '(9'6 '3rg) ;n1n1cundrnda Blrunu'pue1du:nB1;nlqnp lnuuld u; 1aj1se uriqo ag

'*uu

eldua.rp d ,e u1au:e1*e n es rSxB

InJlue)nc nrfedsuI JJaJap cJu un alJJsep,g nlcund'atlcato.ld p H IEluozuo1nue1d lsadpunde:dnsas ps +IeuI lajlse 'lBlFJe Insuasug arlcaro:dap A luJrlJa.,r nue1d l?qEr as PrBC '1ultugdop BIUIIad a:elncrpuad:ad1a11seu1s

u,uISxuB

aldarp enop ala3 'xo lupupd ap erurl ad nrfedsulp V tnlnlcund e gluuoFol.ro rlcaro:d purrlpJ xB

InlJund e:aprsuoraleod aS ',BVu 1nue1drS xo luyuRd ep Brurl arlurp ariJas:a1ur p

lnlcund *s alC xo lugrupd p Brurlalsaa;ec n r$

BE

g arfr_aro:d p aueld enop Joial e arfoas.ta1ur

ap eldea:p ad ;elncrpuad.lad lsa ;Vu 1nue1d'aJerurnulJd 'A 1nue1d d ,uy e:elncrpuad:adeut{uoe aJaJeoep1 1nue1d d :elncrpuad:adalsa, a 'Bauauase q 'ue1d lsate ad gJelnJrp-u_ed:adu eldeerpaurfuocecoJeoapg

1nue1dad relncrpuad.ladatrsa ,?V? InueId

:,,ruJJd

1u1ul1erdns" :a1$e1rr s-p

n;1uad luaJJeunpUJABJeolezundsa:ocFJnupJalrluud a1err1:a,talrrlcarord zve+ou ser{uanuof, rJd .A

ISH al l-calord ep aueld Bnop elac ad ,l,rlcadsa.t

1cundInlsore a1ea1euo8o1:oprfcarord,u l$ e ar3 16

'1 nrparpuI lenlrs '(g'a '39) nrfedsurp aref,areolcund un V atd ' tn ' InICNnd Vdndg.' t ' t 'Z

'A IBJTIJaAnuelo alsaog 1nue1d nlFqBJB-sgr 'sJalur nes H 1nue1dalsad n .frllrBld inlpqer. B-s Br 1a;1se undseS 'oJal"quJ'IaJrqo p ai$aunu as erfcalordapaueydpnop alar undz:dnsas eJBcur:d u;fu1oX'suasoJIJouJ pielriurleu e.lndapraprsuoe s l *

$'Z '8ti xo trultupd p Bturl JEopEzeasvrl s rc'(g'a Fg) rnluor ap lull u1.rd rndapzBoJperulsnu 'Jacrqo q 'prndeop BaJrrunuaplruod aree'uesapnFurs n adaleuasapIaJisBedearfcalordap al eueld urp oJeJarJ d eleuasapap:nFrg'nlqnp uuld un aurfqo es rS arfca,ro:d p ueld

llelplal alsad aunde:dnses IJunlB,xo

lugrugd

9'6 '8tC

ya 'Ew

,h" oH

--"

dH'c,

e'a Frc W

rUz'6'alt

n,/ot2ee1,'lnaold-,uat



.1JL

: i

-d

inte

Lt s

1cs€e,cuI.

t? .

'a lauaId

lX '

deSC

rteEd

ts-te-unri nr le,S€[" r:

ta.d inl' l.

r inaie

trterta-

rea gi cota. Abscisapunctului. .este mdsura

seqmentu lu iOa* cu sensulpoz l t lv ' a les pr ln

convcnl iein totdeauna dc Ia dreapta sprs

stinga (invers ca in geometria analiticd)(tig."Z.O).Depirtarea punctului este mdsura

segmentului Ai' : aa*, care mdsoari deci

diStaniapunctuluiA iatd r le planul vert icalV

tle proiec{ ie.Sensulpozit iv al depdrt lr i lor se

aleeepr in conven{ ie-pe pur i, de la l in ia de

oafi int in ios. Depdrthr i locorespundrdonate-

ior din geometriaanalitic5'

tot in sens nvers'

Punctele" u departar i pozit ive in diedrele

; i IV. Cota puirctului estesegmentulAa:

: i 'a , : a '?x, care mlsoaradis tanfapunctu-

lu i A fata de planul or izontalH de proiec{ ie '

Sensulpozitiv al cotelorse alegeprin conv-enfiep.

"pu*,de a l in ia de pdmint n sus, a fe l ca

in g'eometr ia nal i t icd.Puncteleau cote pozi-

t ivEin diedrele Ei I l . Dupi sensul oordonate-

lor descr ipt ive ecitegte e e-purd ozi{ iapunc-

tului in s iaf iu in raportcu planele e proiec{ ie '

2 . I .6 . EPURA PUNCTULUIDAT PRIN COOR-

DONATENUMERICE.S[ seconstruiasci pureleounctelor (2,4,3) ; 8(6, -2, 4) ; C(8, 4, -3)

ii n fq. 2,' - .51; in ce regiunea spafiului se

ldsesc? econsiderdiniade pdmint ox' pe care

. tixeare originea abscise-lorn- punctul O

si un i ta tea d; mlsurd (f ig. 2.7) 'Punctul'A(2,

4,3) are oatecoordonateleozitive' Aceste

cobidonate int abscisa - 2, depirtarea (or-

tlonata)v : 4 si cota z : 3. Sensulpozitiv al

absciseioi 'esteie a or igineaO a absciselorpre

stinga, iar sensur i le ozit ive ale-depdrt lr i lor

;i cotelorsint pe epurd, espectivde la linia de

pdmint in jos ,si n sus. Pentru a construiepura

functului A se mdsoar lpe l inia de pdmint. x

doui unitd{ i de lungime (valoarea. bsclsel

x :2) , de a or igine pre t inga9i-se b{ ine * 'Pe perpendicularausd a l inia de pd.mint, t t

punitui a* se mdsoard e la linia de pdmint injos patru unit l t i de lungime valoarea epart l-

i i i i : 4) qi se ob{ ine proiec{ iaor izontalda.Mdsur ind'pe ceeaEi'erp'endicujardgu.l in ie e

orcl ine aloarea oteiz : 3 unitat i de lungime

de a linia de plmint in sus,seob{ ineproiec{ ia

vert icalda' . Astfel, punctul A (a* a, a') din

spa{iu este reprezenfat n epurd de bipunctul( i , a ') , adicd le proiecl i i le aleortogonale ; ia ' ' pe'cele oudpiane ectangularee proiecfie,

or i iontal i vert ical. n acelagi ods9determina

epurelepirnctelor B, C ;i D, {inind seamade

v'alor i le 's ide sensur i le oordonateloror. S-aardtat cd spafiul geometr ic ste alcdtuit din

cele oatru diehre clarese formeazi intre cele

doul 'olane rectangularee proiecl ie, r izontal

s i ver i ical ( f ig. 2.8) . Sensui i ledepdrt ir i lor ; ii le cotelor 'ounctelbr i tuate in acestepatru

diedresint urmitoarele:

f lrnul vestito/superim/vst2lonuiorlzonlo/ ooster/or h

|qdildil --

{'{e.t

i Y'k)Yril i

8)i d

b,(6)

"3)

0epo'rto1,t' *

P/anu/ orizonlql anterior (Ho/Plonulvertico/ infe/'io? ( t/,')

In cazulnostru, epart i{ ia unctelor , B, Cgi D pe diedre steurmdtoarea:

f f i l . l " llo iearur r I t t I

rrrI

IYI

l#l.*l+_l+l_-_l.;l

Fig. 2.8

Fig. 2.7

J

29



0t

tt l

i i idA #gd ,E O

giiop alaf, 'pltllzod Blor JBI 'F^llBEeu pulllBaJBlJgdape1ocnc FIPsaBaJeljrgdap91n1osqeaJeolBAI 'aJBPcsp olseslq BIdBallop B-ep aJuI lBnlrs alsa (,q '$g lnlcund '3^IlESaupu JalaqurB lul lu9d ap_BIUII p FlPl aluelslPlqra

luIS ,J rs J alalJund prep PclpPBloJ nJ PIBSeBeJslipdop rB EcBp oiraslquBld Bal 3rl IB-opIar uI lBnlrsolsa (,c 'o)3 1n1cun6Gl'e :erzit t 'a 'Fl l) a,r t l tzoduls oloqule cep i lu i tupdap plur l op plpl oluelstplq)a uls ,E r$ u altt f-ca1o-rdJBp Jap e1ol nc pleFeua:eltpdepar e

FrBp olrasrqueld lnurrrduI lenlISalsa ,u 'u)ylnlJund 'oJpelpnllud ;o1acelu al"olf,eslqalauuldu1 n;lredser el?nlls 'O l$ C ,g 'y rola;rundernda prsugn4suo? s pS 'gUVOIO1ISIS g'IAN

'v'rdrwgsNI :rlvnus s'lar3Nnd'L'l'6

0t'6 Eri

o'a Ftc

'EelropIB InJpelpuI al?nlIS uls ela 'an111zod

olalor r$ a.'rtleFau ll:glrpdep ne n lS g elal

-)und 'Ballarl Ie Inrpalp uJ lBnlls alsa Ia 'a^ll

-eFaueloc r$ 11cea.relrgdap g1e re C Inlrund'nJparplnurtrdul olenlts IaJlsE UII I a,tt l tzod

alalor 15al l :glrpdopnB O IS Valalrund 'a^r l

-aadsaro1a1cund laloJ rS a1ug1:pdap JBosgutas JolaslcsgelB aJBXtJp alalcunduJ olBJIplJaulproap oltrur l d '(01'z '3H): l lSo alalcundnrluad aarln&au$C l$ g alalcundhrlued aaqnodalaslJsqe zvax\ os xo ,x lugugd ap Elull ad' ( ' ' t - 'g- )a $ Q, 'z 'g-)o ' (g- 'a- ' ' ) f ,'(t '8- 'a) g '(9 '8 '0) V :af,lJeurnu elaluu-opJoof,u1.rdalup alrund elaJ?olpuJn prnda ugezarn8l;as ps 'nlduaxa llu un ?3 'elnu BloJ

r$ 1gcea-relrgdap

g1uuI^B 'lulupd ep etutl

ed 1en1rs lsa O Inlrund 'g,l,t1rzod lsa g : qus ua:e1;pdop BI '(0 == ,q) FInu BtroraJE euaJaJeoapatlcatordap JoIJatruBeluozlJo1nue1duI lenlrs alsa rS (O -q) FInu ESlcsqB reg lnirund '(O'a 3g) pir t l tzodelso t: ,8 ESBlor rBI '(o - e) PInu BorelJpdapare alareoap'arfcarordap royrednsB_rlFaA nue1d I. e.nlIsalsa V lnlrund ;alrund olsor? plulza.ld ;ig1;r-u1nr1lrude (6 '0 'fb lS (0 ,'g '0)g '(' '0 'z)V;o1a1rund elarnda tuncu

Rcsuln4suoJes

ES

8t'6 ttc

z 'z 8tg



A-lrain

lulrcaec-del i ;eelneaintele

ln

arerea)ua

(rrt)

a

?a'(z- )

I

punctuluistudiul pe epur l al tuturor pozif i i lorcaracter ist icein numlr de l7) pe care e poateocupa n punct n raportcu planele eproiecl ie

Eicu planelebisectoare. [ seciteasc[din epuraal[turatfl ( fig. 2,15)pozifiile punctelor n spafiufafi de planele de proiecfie 9i fatfl de planelebisectoare.

lo Punctul A(a, a') este situat pe l inia depamint (ambeleproiecfi i coincid pe l inia depdmint, cota gi deplr tarea i ind nule) .

20 Punctul B(b, b') estesituat in planul orizon-tal anterior (proiec{ia erticald b' segdseqte e

l inia de pamint, deci cota estenul5, iar depir-tarea este pozit iv i) .

30 Punctul C(c,c') este situat in cliedrul ntti,sub primul plan bisector depirtareac estemaimare decit cota c' , ambele f i ind pozit ive).

40 PunctulD(d, d') este i tuat n diedrul nt i i ,in pr imul plan bisector departarea estepozi-tivi gi esteegalacu cota d', care de asemeneaeste pozit ivd).

50 Punctul E(e,e') esiesituat n diedrul nt i i ,

deasupra r imului plan bisector depdrtareaeste mai micd decit cota e' , ambele i i indpozit ive).

60 PunctulF(f, t ' ) este i tuat n planulvert icalsuper ior proiec{ ia r izontal l estepe l inia deplmint, decidepi ir tarea stenul i , iar cotaestepozit iv i) .

70 Punctul G(g,g') estesituat in diedrul doi,deasupraplanului bisector doi (cota g' este

pozitivi gi este mai mare n valoare absolutldecit departareag, care este negativi).

80 Punctul I( i , i ' ) este situat in diedrul doi,in planul bisector oi (ambele roiecfi icoinciddeasuprainiei r le plmint) .

l lxft(81 , ,4(4" Yt(il. . o

i l ir :

t toc'(,) 5 bo 2)

iot b.s)"b'(.5)

Fig. 2, l4

proiec{ i i q i b ' coincid n epur i deasuprainieide pimint. Punctul D(d, d') estesituai in celde-alpatruleaplan bisectordacdare, n valoareabsolutS,depdrtarea galScu cota, depdrtareafi ind pozit iv i , iar cota negativ5.Cele doudproiecfi id ; i d ' coincid n epurdsub l in ia depdmint. Se poate consideraproblema gi subaceasti formd: se dau punctele: A(3, 2, Z),B(5, y, -3) qi C(8,-y, -2), situate toate inplanele bisectoare.S[ se determine valoriledep[rtlrilor y Ei ale coteiz qi sI se construiasc[epuraacestorpuncte.Punctul A este cotr{inutde pr imul p lan bisectordaci are cota z:2.El poate f i conl inut ; i de bisectorulpatru,pentrucotaz :-2, PunctulB poate i confnutde bisectorul patru pentru depirtarea y : 3

si de bisectorul rei pentru depiirtarea _---3.

PunctulC esteconfinut de planul bisector re i:entru deplrtarea y : -2(y - 2) Ei debise^c-rorul patru pentru depdrtarea -y : 2, In

ligura 2.14 s-a construit epura corespunzltoare: r i melor pos ib i l i tS{i .

r "1 .8. ALFABETUL DESCRIPTIVAL PUNC-TLlLUl.Se nfelege r in alfabetuldescr ipt iv l

o '9' qkli

^tI

?' ' i ?l ' . . ,?Ji 9tI i i t . i ' i i i'leo

i I I i . , i i , , ,?6' i i i +si ?Ji i I en ._-1, Lr, Ld, (, ,& Li, i,, it, il, i/, i*,in, p, g, n^ s, t

i | | | | , | | r'

i I i o" 1 6t ' i i i lq i fs '

i i Lr L,, i i -" i " ,i wu-tui i i l l t , itl

i r" '' ir, i bg' &g

Lt tp'Fig' 2 ' l5 i ' t -

12'-.-"_=_--

31



'g Inlcund nrluad iq t$ ^q-uI l$ 'y^1n1cundn;trued '7e $

ne uJ ltlcadsar 'zo ',{o-alaxe

prnde ui JSaull+ul tfcato-tda+soce t.td asnplulurpd ap BIuII el elelelered'Ul 'a 'Ft l) g t iy .rolalcund1E,q ' ,e elBJI1JaASq '" eluluozlJoalrtfcatord llul IEUI salnrlsuoJ g 'a;fre1o;d p

-rolaueydu nrpelp lnrulrd u elunlls '(l '9 'g)g'(b 'Z' t)V rolalcund lu , ,q 1$_,,u le le l " l ,e l l l i-ragordRJsuln4suolas gg 'co:dtra: tt g:nda u1(,,8 ' E 'e) nicundr:1 pundsa:ori nr ieds tp yrnlnlJund ,,? 16 B 'B olesa1e leuoFol:o- tt frat-o;d ra:1alar ut.td leluaza:da:elsa ntfeds utp

V Inlrund 'n1dr.r i eld tnlsare lalcund S nlnt i-uds alalcund er1u1gf,o^lunlq pfuepuodsaroc

1o11su16a11qelsS n1d;4uuld un alsaaticatordap IEreleI tnlnuuld earelueza.rdarS autiuora:er ernda o ';epeiy 'atfeato.td p Ie+uozlJo1nue1d c pplculorgsec uyugdap aIUII1n:n[u1rodu:a1$a1ors aJBJ nlqnp uuld un aur iqoas tS'allcaro:d ap IBJIIJaA nue1d o aptcutocguld'cr:laruouoFrJl+oaJIp uos ul 'zo 1n1nxentnIuI lBralel 1nue1d 15a1or s 'Iactqo ap '.laJlsv

'FplcuroJ ps erfe:ado pll_uInue -r1uud asnpeolJ FS nlnJpalJl alB auBlo IaJl aial Bc JBSaJaualse u;nda e1 pBunfe es BS eJ nJ]uad 'aseS

rnlnrparr l Irap 'g:V*Z Inlnrpalr l auti .redeunrleFauFSrJsqe o rop InJpaIputp pund un'nldruaxaaq n.r1ed nld '1n1n:palpE IaJ a+saoulpJoep Jol InJFunu ret 'antluFau lastJsqu EaJparJl :1edalaurrlln 'alrlIzod alastcsqu ug.te

'e.rpatp :1ed ala o nJ BpunJUoJs arpat:1n:1edalarulrd '(gt'a '3g) erpeJrl dou; Iploi uI pI^Ip

as aJpelp nrled elar '- s1;v BSIJSqB UnEap-lolul eJBOJBJ aricarordap IBJaIEI nlnueldeoJrrnpoJlul ulJd 'Al sJolII ulro IaJIqo apezealou s BJaIBInueld '(,,punces " a16a1trs)

luef,JB lqnp puJAE JBolPZundsaJoJcllu BJatrIIut:d grrpe ',.,? urJd Iaclqo op pzeolouas ueld

z8

lsacuad y rnlnlcund uricaro:6 p;o.rdep 1nuu1dnes aricarordap 1u.ra1u1nuuqd lunu '- lulur

-pd ap urur l ed rS reap pnop a11e1a1ecd:elncrpuadradaticaro.rd p ueld Balre.I l B un

FJnpoJluIes ps a1$atnu$tqos Allour +sace tq'lelcarord InlnlJalqo EiuJoJ 1$errt:d J BaoJuJa1rfg1r.re1ncr1:ed1eo1nr lsaFnsp 1$ alduoe ap

luarJrJnsEuneaplolurBpaJ nu IBcrlJaA S IBI-uozlJo laueldad rolalcarqo uleuoFolJo lqnpea;eluazardeX'AUOAIUI IVUgIV'I ' InNVTd'aricsroudao NV'rd a'il:rur -w 't '6'G

lf lSi loud 3clNyld vt ' i l3uI1Y'z'e

'(unrleFaualsa oJBc ,s Bloc +Iceppl-nlosqzaJBolBAI pJnu rerualsa Sp,ir,tlrzodlsaearelrgdap)n;1ed .tolcasrq nlnueld z;dnszap'nr1ed nJpaIp I lenlrsalsa ,s 's)51n1cun421

'(1u1updap Brur l qns prrurorrrf atord elaquu) n.r1ed rolcaslq 1nue1duI

'n:1ed nJpeIp j +enlrs lsa ,r ':)y 1n1cun6 g1'(e,trluFeu lsa aJeJ ,b uloc ilJap RlnJ

-osquaJBolEA J gJrril re{rra+sa i e,trlrzodalseb ua-ru1:gdap).tiudrolrasrq 1nue1d ns 'n:1ed

Inrpelp uI +Bnlrsalsa (,b 'b)O Inlrund ogl'(e.trluFaualsa ,d elor

:er 'e1nualseEaJBlJtsdapcep iulurpd op Brur lad alsa d pleluoztroerfcarord) orreJur Bcllrel1nue1duI lunlrs elsa (,d 'd)d Inlrund otl

IBur-o-rd. IEJ l

-esB apalso ru

' ( ,u eloc +lrop elnlosqeeruolel uI pJruralsa u earel:pdap er 'enrleFau ugs rrfcaralaqure) olmsrq uuld ea11a:1IB-ap ar qns

Inrpalpul trenlrs lse ,u 'u)11 n1cun4 g1'(grrrluFau lseBauour

oJeJ ,uJ BlocnJ gleFaalsa r5g,tr leFauea.re1:pdap)aJl Jolrasrq1nue1d g 'ra:1

Inrpalp uI lBnlIS else (,ur'ur)1,11nlcund o6 l'(,1elor llrop FlnlosqeoJBolpA l oJeu rBu alsa

1ea;e1;edap BI 'oArluFau

lugsrricaro:d elaq

-iue) rolcastquuld BolraJ+IE-ap nleJ erdnseap' ia:1 1n:patp J trBnlrs lsa(,; '1)1 1ntroun611

'(e,rtleFau lse { BaJBI-;pdap ret p1nualsa BtroJJap truirupd p ururlad alsa ,{ ulecr}Jol urfrarord) or:e1sod utruoz-r'ro1nue1d J lpnlrs alsa (,1 '4)) 1n1cun6 61

'(p,rrleFeu lsoaJBc [ ea:e1-rpdap lcep plnlosqeeJBolpA I pJrrr rurr elser$ g.r,ilizod lsa ,I eloc) rop ro]resrq1nue1d ns

'rop lnrparpLrI ]Bnlrsalsa ( ,[ ' [)1 1n1oun6 6

9t 'a '8 tc



inniLA

ea:t.SC

ele[€'

lreinelu,ivAluist ef ie

d i.

inr ic,

: ie ,rpoirnulcare

dei t ie lspa-u lApro-:u1ui

a' )oiec-| 4) ,nelor: l i i lelor Armint:purderLtrurl B.

Fig. 2.17

Fig.2.18

:-- .c i i i le punctelor de abscisi nuld (a' al)h.. bl) pe planul lateral de proiectie sint

:- -ai proiec{ i i le " qi b" cdutate.Pentru a,: : :nute, se rabate planul lateral anter ior

r : =:ror Was peste planul vert ical super ior ,

,L--- :d axul oy in pozi l ia oyl ca prelungirer ,.- ie plmint in t imp ce axul oz rdmine ixi - .18). Astfel a, se roteEte n 3r1, Ei

; ,r . =.a idicatd n ar, la oz nti lneEte aralela

iir i i .: 1a ox in a". Analog pentru b". Si sesnmsfiruiascdroiecfiile laterale a" $i b" alenrrurirTelor(2, -3, 5) Ei B(5, -4, 2), situatern ledrul al d oilea al planelor de proiecfie.

r , , , ,r - i iu iesc proiec{ i i le r izontale i vert icale

r ,r :- : : telor A qi B Ei se determindunctele

,1n,,r - ; i (b ' bi) ( f ig. 2.19).Ambele puncte, iu , , .

' -c ierminate au depir tdr i le ay ;i by' ,r r i i r [ , . ." if i ind deasuprainiei de plmint) , iarli l. ' = a, ii bj sint pozitive. Acestepuncteseiiriril'rL--:aZ pe planul lateral superiorposterior,Nrlrrinir'----';ior diedrului dOi. Astfel se aduceanr ' r, : : o1rgi ser idic i in au, paralela a oz,

riiririi'r,....:"estein a" paralela a'aL dusi la ox.I i ' t r , - . . la tera ld b" se determin: ianalog.

Si se construiascfl roiecfiile aterale&" gi ['rale punctelorA(2, -3, -5) gi B(4, -4, -3),situate n diedrul al treilea al planelorde proiec-

fie. PuncteleA qi B au proiecliile laterale a"

Ei b" situatepe planul lateral poster ior nfe-rior, corespunzdlor iedrului trei (fig. 2.20).

Seconstruiesc roiec{iileorizontalegi verticaleale acestor unctegi se determinS_prin aralele

la ox punctele (ay; al) $i(b'

bl),situate gi

ele in diedrul al treilea. Pentru a se obtineproiecl i i le ateraleale acestor uncte, e aducea in ar, ;i se coboarddin ar, paralela la oz,

care intilneste in a" paralela a'a', la ox.Analogpentruproiecl ia ateraldb".

Si seconstruiascl n sfirqit proiecfiile ateralea"gi b" ale punctelorA(2, 5, -3) Ei B(4, 2, -4),situate in diedrul al patrulea al planelor deproiecfie.Se determindproiec{iile orizontalegi

vert icaleale punctelorA qi B gi pr in paraleleduse pr in aceste roiecl i i la l in ia de pimintse obf n punctele (ur, a|) Ei (b' b: )

z

\

ls.o '

1'$'--*

' '-+'.: i ;f' . , i i\ | 'h'

i

Fig. 2.20



II

rrl.W Inlrund nJ-arulaurs alalcund q r$ 3 r$a;iregord p aueld pnop aiar ip pinl f 1n1c"un'Onc acrrlerurse1e1.rund

-g lS V alJ .eJpolreslqeleuuld nJ nus arfralordap auigd p:nopalar u;p

"jn]1 Jnc godur u1(z ,fr, x)qi rn;nlrund jolac;.r1

-aurgs ;grfragorduguralep spS .gUVOIS:ISIS

I]ANV'Idnc luodvu NI VturgwtS .7.6,6,r

vt

'1do-1nrpa1r1I :lunlrsa1$espFs 16zo luxu nJ?roduruI W rnlnlrund lnlr r leurs aJSJ'(g_ g

-b-)J, lnlrund 11Sr;;s l .g Inrpaul uI lEnltsslsa is Ao nJ JJodBJ i w rnlnlrund InJrJlaujrs: i :9 € 'c- ' t- )g lntrund' ' r t i r rJ l i"rpe,.r1 rgJtrsJsp.ds s xo n,t ; lode; ir l W rnln+Jundlntl :1-auls aJSa g ,g , f )V

lnlcund-, ir i l rv.Err lauts

Fraprsuoras aJBr nc 1;ode; uJ InxE ap piBJasndoa1a;papl l3 rsgsgF-aso rS

^o

,io ixdlaJl oloJ nr. lroder_uJ nl aJrJlJuirs lalcunj' (ZA'Z 81;-)r : lauoaF rnlni leOdie 1jr1 nrpar:1u lBnlJSalsa (9- ,g- ,?)W

1n1ruri6io

iS fri

'xo ln1n.lpa1Jllaxu nr lrodej ut W-;n;n1'rundelmrrpruls tru1s.3 13-g ,y pnllln nrpl OI"

;nlnrqFunrrl aJufee;o.rdrsulnrlsrioras.pS .(S_'g- '?)W lnlcund preplsuoroS .lnTnUOAIdI

ST XV nf, IdOdvU NI VtuJ,swts6:6.6

urfcerordurfqos eJ .I ron,urn6t?5jf?i:l-vted ,,e ug e16eu1g1uJJec tzo e1 elalered ^e

urp, FJpoqoa s ri.t^" uJ de al$alores ,aluapac

-a:d elrmzeo u1 rS er 1bgel"nried rnlnrparp:glEzundsaror, 'JorraJurorrafue 1e"ra1r i1 ' lnueibao Ezer lJarord rs al.rund alsarv .( ta.a.FU)

6a'a Et J

a1$aspFs s,f a_)t,;iy,liJi*"li3p'i"H:lj;T.^1_""1i:

ptiBas (g ,t- ,a)B Inlrund

.p^n

::ltl-.u,I^rFplgc acorBoapn:1ed

Inrparrlu:].:t-tjq 1t

(g- 'h 'z):{ Intrund 'ar}mro:dapouelc orl aJaJ J 1ro_derg ,r,11cadsa-l6 lnlcunilnr arlrlerrrrsletrrundO ISg ,V elC .(ga.a Fll)

111_.y+nulrd . uI trBnlrs (s?

,a)-itntn]-Juno oJ.rrlcaroJdsarnrtrsuocg .eriralo.rdep

Iurelul1$1ur;pa,r 1u1uozJ.loeljuu;A'nr lroduryl

nl.etr4etuls alelcund

f,spln4suor s Bs1q 't 'g)4 nlrundp.raplsuocg .atlcatOUa ah r"r rNv'rdn3 IuOdVu NI VIUIAWTS

r6.6

16'a Fl c

?(s-)o

n'tildII

I

I

I

a

I



ELE5) *'in

hralunc-edrueculanerc;ieEga-l inseSte

IELE,

iime-NArerneleecuec iell in

;anort cu celedoua planebisectoare. unctele

A' +i E au coordonatele A(t Y, - z) , iE(x, -y, z) gi s-a ardiat c[ se gdsesc-respectiv

in triediele patru 9i doi dacdpunctul-M(x,^Y )teste situat in triddrul inti i lf ig. 2.24). Punc-

iele C si D au. coordonateleC(x, z, Y) 9iDtx .-2. -v) . Cu alte cuvinte, in simetr ia

;ai i depr i-niul

plan bisector,deplr tdi i le se

-chimbd n cote ;i reciproc.trSimetri.aaJ2i e a l

- loi lea plan bisector este'eci jval.entacu o

.imetl ie fa{5 de pr imul plan bisector, rmatd

.1eo simetr ie n rapolt-cu l inia de plmint .

- : .5. EXEMPLE. 1" Si se determineproiec{i i le punc-

iului M (m, m') s imetr ic cu punctul N (- l : . "5) fa{ i ,deprimul p)an bidector.Se consinriesc- roiec.{i i le.purrcttr-

:N f 'g. 5). El este i tuat n r l icdrulal doi lea f ig ' 2 '25;

- lo) . 'Deoarecen simetr ia ala de pr imul plan biscctor

-.-. ir t lr i le se transformd n cirte 5i reciproc,punctul M,: avea coordonateleM (5, 3) qi se va afla situat in

.drul palru. .Pe epurdse obl i r r proicc{ i i lcaeestrr i ur 'c t '' . -dm.-n

slm -n'

- Sd se determine cum proiec{ i i le unctuluiM (rn' nr ' )

r lnretr ic cu punctul N (2, 5) fafh de planul bisector

: i r ru. Punclul N (2, - 5) este si l r rat in diedrul patrt t

.1. 2.27 2.28). Simetr i iu l sdu t l l - in raport .cu-planul

, 'tctor patru ie ob{ine considerindo simetrie Mr falt l::

-r isectorulnt i i , urmati de o simetriea acestuipunct

--:siormat, fa{5 de l in ia de plmint . Se ob{ ine ast le l

Ml ( *5, 2) 9i apoi i l l (5' --2) ' Cu alte ctrvinte,.pentru

a se obi i r repunctul M se schimbd olul 9i semnele elor

doul cdordohate depdrtarea i cota) ale punctului N.

2.2.6. APLICATtt. lo Si se construiasc[proiecf ia

a"b"c' ', peplahul ateralde prolecf ie, a unul tr iunghiABC, cunirscindproiectiile sale orl2ontal6 9i verticali.

Se corrsiderd unctul A (a, a') situat pe linia de pdmint,

B (b. b') conlinut in planul bisector doi Ei punctul

C tc, 'c ' i s i tua' t in plar . iu l ateral al pr imului t r iedru'

Proiec{ia aterali a"b"c" a tr iunghiului este ardtat ii t r cpura dir r f igura 2.29.

2' Si seconstrulasci epura punctului M, cunoscindcota I

a nunctului si distantelep ii D ale acestuipunct faf i de

axi ox Ei planul later'al i proiec{ie'Ult ima condit ie^din

entrn {abilegte bscisam* -- I a punctulrr iM (f ig' 2'30)'

Paralelag' la l in ia de pimint , dusi la distanla ' int i l -

negte n m" gi mi'cercul cle azi p descris pe planul

lateral cu centrul in O. Problemacomportddoui solu{i i '

M (m, m') gi M, (m' m'r), care se oblin construind

puncteleale ciror proiec{i i laterale sint m" ;i mi' ;i

sat is facul t ima condi l ie.

3' SI se construiasci epura punctului M situat in diedrul

trei, cunoscindproiecfia sa verllcali m' qi raportul I:

:= I 1.apo.tut dintre cota gi deplrtarea punctului)ls.2

ut i l izeazl planul lateral de proiec{ie ;i sc construiegte

^at/f l

Yi l tv

I

?

i^nqtY'. t rr

iI

I

, t_

"

0

tI

?

in'hJ)I&rot

f ig . 2.25

Au

a

-nt-^t/-? l

- . .= tl t l 't

-- r+)-n/l)

. _ . r , )1

lN6,{)i

i

Tl i r I9O

Fig. 2.28 Fig. 2.30



apRlpjrundntrsar'r' g 16 alaluelsrpzsl'liJjl-;I eloJ puJcsoun)N rnlnlJund e:ndoersprn: lsuoJ s RS g

- esla1au1u1 ,'norn-,fJ"i.,.;l.

J: '"',1;^prilp'r1il}- r lor rer ,ar f raro:dap lBralel1nue1d

din, i t i , t j ,n un nle

aler f,BV rnlnrq8unr:1 lrrfraro.rd rsern: lsirolas pS o,

?p?unldor]alarurpor'rorJ I lnuJiuocrr^ "tl1l3'3jjaleJ ,gV rn;nrqFun1.lllrr|.raro.rd

^ersernjlsuors qS^cplf,uror ;rundenop olar Je re:1uoru,rnupa1rlraio-i[' ,d

-.br* d - ,b ruane :ej n-rluad,b .n;

6 rS'i,b 'Oy]epund pnop z'nrfeds u; erlrzod urur.ral-apd pS

"a(l * 'g '3)g lnlcund pFiBj rnynlrundInrrrlaruls *U

. r -

'ru 116:1ys1 i

-y l : .9?._ '^ut1:ndaperu.aurfqoS xoBl , ruuud gsnp

u1liylug^Prie.o aldilp uriras:a1urrp pllnzrr t] i l eler

:ttil ll:".I9r-q roc alIBlar lsParBilJrra^ ,,eo''e1dei,'spa0 JSrsBdsalBralBIrlraro:dolBrolBnrfuds'irrpldlcuniI

aalBol ' ( lg '6 .Ft0 it

7I IJUJ IoJlsB ' , ,4 erl raro:d

(,

I

I8"AFtc

- lJsqBE. eaurFrro p E|BIy lnlnlr r rnd:+uJruBd p erul [ 0p FiB] y rnlnlrund

ap I?Jr lro^ 1nue1d p qlel y rnlnlcund

ep lBluozrro1nue1d p gieg

aururalapas pS .( t_ ,g _

v rnlnl)und InJrJlaurs_ w: olelJund JlnlraloJd

'A)V lnlrund errptsuoJ S ol

: Jolas

lnrrrtrauls DInJl r laiuls * d

: arlJalojd

lnrl r laul ls - N: arlJalold

rsndoud wil80ud's'e



Tf l INC

:a de

1 de

mint ;rbsci

runcte=p"

inc id.I carerne de

I carer cele-b sec-

c l ta Ir la de

Copitolul l l l

DREAPTAN StsrrmutDEPRolEcIlEMONGE

3.I. DREAPTA

1.1.1.REPREZENTARE.ROIECTII. RME'

Reprezentareaescriptivadreptei oate.fi .9or

,ttltute dacdse consideraeprezentdrilees-

-, iot iu*pentrudoudpuncte rbitrare (a,a')

. . 'B(b,b' ) ale ei l f ig. 3.1) 'Dacd se.unesc:',intIi, linie proiecfiii-erizontale ;i b ale

:unctelor,s" 6b1in"'ab d, proiecfia rizon-

turea areptei. i fel, a'b' ,= d' este roiecfia

tert icalI a dreptei. nomod"analog"se,oale

,init*i Eipioibcfialaterdll d" a,dreptei' n

:.". tui, dre'apta ain spa{iu ste eterminatil . i" Jri, i . . t i i ' le ale gi ' , cuexcep{. iaazului

-: : .daceste'doudroiec{i i int ambqlg grPel;

:-culare e inia depdmint.Proiecii i le ;i 9..-,- i i 'aldse eepure rbitrar.Oricdrei erechi:= proilct i i ' d, ' d') i i corespundein mod

:ni toc 6 dreaptdn spa{iu; i reciproc' u:.:r..tut.u .ond'i1i.i ca unui punct dat in

::-iectia orizontald e d sb-i coresp^unddtt

:-rt ' t in proiec ia 'ert icalS9..d" In, epura

- : f igura-3.2 u este espectatdceastaon-

r: . t s ' ideaceearoiect i i le; i d 'nu pot epre-

-=-. , i .o lreaptS' tnpi f iu.Punctelee inter-

sectieale unei dreptecu planelede proiec{ ie

."- nrt.* urmele' dreptei. Pot fi deosebite

,i*.i""iizontal[,

veriicalI qi lateralI ale

;;;pGi Aceste urme sint de fap-t.punctele

drebtei care au respectivcota, depdriarea au

abscisa ule. De obicei se noteazdaceste rm e

p;i" 'L ip;"tele (h, h') , (v, v ') ; i (w, w') '

lo S[ se construiascfl rmeleverticale9i orizon-

tale ale dreptelor definite de punctele:

a) M(9,2, 2); N(5,4, l ) ;i

b) M(4, , 2) ; N(9,3, -4) ' '

c) M(9, -6, -3) ; N(4, -2, 3) ;

d) M(9,3,5) ; N(4, ' -2) '

Pentru a determinaurma orizontald (h, h') a

un. i &.0t . t f ie ' 3 .3; 3.4; 3 '5 : 3'6) ' seprelun-

i i . t . l i6 i ." t- ia 'vert icald m'n' pin[ cind int i l -

f i . I i . i in iu de pbmint. Se noteazlacestpunct '

de'resuld,"u

i t ' . Perpendicularaau l in ia de

"ta i tE-a" tepr in h ' la l in ia de pamint da h

la intersec{ i i cu proiec{ ia or izontala.mn a

,ri"pi"i."p,it"tut

(h, h')este urma orizontali

rt',

t,Fig. 3.2Fig. 3.1

Fig. 3.3.

37



9'8 3tc 8 'Ekl

B'8 8lc

/ '8 ' t tc

Iold0JpJoleurJn \rzod aFalecS .aliralord

lP_ tauuld I""ellerl 1u nrp-alp l11un1ls'le

Myrn allu; suudnrlnluaruFasJeerur(,p ,p)Aelderpgaun frqrsg$ lndapJsuJnrlsuof,, pS o?

.nun r i rop. - , taJl a la-Jpatp lecl

: l l : y],Innrc(01'g6'_t rr1).rbr:ictnsr.rr l:,r,rInueloed rupnlo raldalp (,n. , r ; eietr1.r , : . r

:yr: j:l ':o1:a1sod+uazr.rorueyd d'relcia.rpE (,q 'q) giBJuozrJouJn EZEOXTI5 .al iraro.ld

ap- olauuld I""ellop

yu lntparf u1"1en1ls' ra

:11T1" 1|"9sul.rdnr;nlu,aruFasr? eruf, ,p ,p)O

eldaJp aunuigqrs r$e.lnde"JsernJlsuor

di gS"g

.:jl:g:r'jl..lp- leqrrisldearc.C:i"l', :"qiolJacns lBJt lJoA,1nue1dad le ldarp e (, t , iy

:l^":]liieiu;n

,1Sorretruuleluozr"ronuelo oc,iI:] ^tjl Y

(rq 't1)pppazyroBurrna8eiueg .ari

:?i]g1dp o1auu1dt3 nJperp_lnrul.rttl lenfs ,ia

:liyl" allu1 ulrdnr;nlueruFasrea.rur ,p',p)AeldaJpaunuirqrs $elnda JsernrlsuoJl ps"a

-r1ra,lifraro:dr u,1r"rrr1uTY,'ltft;F : ;f ;psnp eurpJoap pnrr- I .A nJ talrqo ap ,1ound

lsacBRzealou s rS lupupd ep Brurl a1iau131ugpLIJr FuJd_ alde:p- B urrr plr4uoir.io rirfrartirci

al$oFunya-rds alda.rp oun b'(,n in) e1u",1ra.r,BrrJn BururJolap nJlued .N.W raldarp e

to FH



Epteneledec-pteiicaliriorrtru,

tcptenelerde ' ) a

rma

anulstr5-

]eptehele 'rdeeptei

F ig.3.10

:,ousdpozitiei din primul diedru' AEadar' se

.; l i i ' ;";; irontuta (n,n') peplanul.orizontal:oster iorsi urma ver i icald v, v ') a-dreptelpe

:lanul vert ical nfer ior f ig . 3'1t;. J. '12) 'Jreap-

:a s trhbate iedrele atru, t re i ; i dot '

.; U t;;iliiuiusce'"pura 9i schifa unei drepte.

Drd.d') carearesegmentul uprins.intre rmete

;:-:ii,l"i i" ai"utui al patrulea al planelor de

rroi"cti". Pozitia utmefotdreptei se.prezinti

: rus boz i t ie i lor d in diedrul doi ' Urma or t-

-;iilri" tri, t'j-..-it.ge .pe.planul orizonralanter ior , ' iar ima vert icald v, v ') a drepteise

alese eplanulvert icdl nfer ior f g . 3 ' 3 ; 3'14)prdaota's irdbatediedrele rei, patru 9i unu'

6o Sd se construiascflurmele pe cele trei plane

de proiectie (orizontal, vertical 9i lateral) ale

dreptelordefinite de Punctele:

a) M(6, l , 4) ; N(3,3, 1);

b) M(7,3, 1); N(4, , 3) ;

c) M(9, 1,5); N( l1,2,7) '

Asupra construcfieiurmelor orizontale (h, h' )

s i vert icale (v, v ') ale acestordrepte'nu se

in.i . ie. p*ntr l tonstruc{ ia r tnclor aleralew"

,i.-u""ttot drepte, edetermind -unctelew,-w')

in "ui" l&.te'drepte intilnescplgn{ lateral deoroiectie ( f is .3 . i5 ; 3'16; 3.17) .Se constru-

i .*- rb"i i r6 iect i i le w" pe planul . la tera lde

proiccl ieale acestor uncte w, w') ' Se con-

itruiesc, de asemenei,9i proiec iile laterale

rt;t;i. areptelor.Ca veriiicare, urmele w"

trebuie- I f ie 'conl inutede proiecti i le aterale

ale dreptelor respective.Asifei, se considerl

." .roft i f din f igdra 3'17' Proiec{ iaor izontaia

n* rit.pt.i inti ineqteoy (oz) u w, iar proiecti.a

"LitiJt'";m;a drebteiniilneqtez ov)n w"Punctul (w, w') ar6 ati t cota cit ; i departarea

n.gutiu.. 'e ioiecl ia sa n w" pe planul lateral

Fig. 3.1i

Fi61. .13

Fig. 3. l4Fig.3.12

39

I

I



IIr

81.8.8lc

t -z-|*--r+n_I ,/'I p---_{

iII /

Iue,Y/{'"

| -::xrT,,Hg;3:"uu1d,1a1de;pr' ,p sparrr

| :liif'iry'*T"'*''*""'"Tl1?jqnillil'"iI :rcr"i'.1, ;1i:iffl,ilijlJ#ffi;Tn

I i,jffi.ii".,1",{ir;i'1i}:*rjkijii#I *ii#,'f,"ffii.j#;?$frlidffiI *sf,gffi1ftlffi,",,".#r:;Tj{"$I f:jl:T -a1s srnda 1,-baju'uip';-i;r;p,ragsv

|*iil:rl-1nuffighq$t##d;*rt11ffi-r'#rr*flfi',*',,,fi'dfi{i,l'[ii:i,t'i.f "l',?#il',ilt*;

-{1i"j'':',"Jl:*"il::'t';Hfgfl ;io a1de.pals$?

:t _"_,$,,iui'"Ji'rrjnlrunauls ar?r s gldua.rp^,jr.pr:n'rinq{rp",erpeJpor elureaspsrs( o jl]_n_ln," ,"jy'lilicundepluuuJelap;aloa"ri'e1arul,iprir; nJ;".u#i".u,",.,

"" i33f ?,:L'",?:""I'"'.n'a1nden suor

*,# rg'" i&y:$l-"'"1','&,J' 'LlTi"Jj

zt 's '31.1

gt 'c 3rg

ilri**:"'l''H:J"*l.i'.ki'i,'$:fj ff',i

#r::'j:il:,i.ut"iriiii1,'^,,r,*,i,ru'n-llxiI"-:'113't'3i$liH"V:;i;ollgi6"'t,,m.,"Jifi,""1ff;"i,"ru,,ilf,:F

gt g 8t.t



EIUNIAPTA

regiuniedrelore le deBctoareei.

pinaterate cere sintpte cu

J i i led 'inia de

{v, v ' )fel im-cupr ins a seg-rrmelortute de- punctgle treldiedrulu apar-

siderat.rte die-nunctulF;r

-prrmul

iectii aj

^',lnlnl a

, s lme-roiecliadine serprimu-

lepdrta-obf neeaptdiprorec-

rtilnesc.

J

t

Punctul (p, p') apar l ine planului bisectoral

diedrului 'doi,deoarecere depdrtareaegativdqi cota pozit ivd,ambele i ind egale n valoare

absolutd.

2" S[ se construiasc[urmeledrepteideterminatede puncteleA(a, a') qi B(b, b'). SA se aratece

diedrestrlbat aceastl dreapt[ Ei si se giseascd'

ounctele de intersectie'ale acestei drepte cu

olanelebisectoare. imele dreptei sint (h, h')j i (v. v ') ( f e. 3.19) . Dreapta int i lne; te inpunctul (a, oc7) lanul bisector l diedrului al

ireilea. Pentru determinareaacestui punct se

considerdntersec{iaa dintre proiectia orizon-

ta15d si s imetr ica { a proieCtiei er t icaled'

ia th de 'ox.Secoboar id in a o l in ie de ordine;ise'obtine ' pe d'. De asemenea,reapta nti l -

: ieqte' n punctul (p, B') planul bisector al

,l iddrului i l patrulea. Acejt punct se-ob,tin-e

luind interseciiacelor doud proiec{ii d 9i d'

a le drepte i .

f Se consider[ punctele P(p,p') $i Q(q, q')t

unde o dreaptdD intersecteazdespectivprimql.

pi al patrulia plan bisector.S[ se construiasc['

epuradreptei.Unind proiec{ i i leor izontale p

: : r q) s i p io iect i i le er t ica le p'cu q ' ) , seob ir r:roiecti i ' ie 9i d' aledreptei f ig. 3.20) 'Cunos-

cind proiecfi i le reptei,urmeleei sedetermind

cu u;ur intd.

3. I .3 , PUNCTE PE DREAPTA DETERMI-

NATE IN ANUMITE CONDITIIDATE.

10 Si se determinepe dreaptaD(d, d') un punct

de cot[ c sau de dep[rtare I date. Paraleladusi

la d is tanta fatd de l in ia de pdmint nt i lne; teproiec{ ia 'vert icald ' a dreptei n a ' , de unde

coborindo linie de ordineseoblinea pe proiec-

tia orizontalb a drepteiD (fig' 3.21).Punctul

A{a. a') areastfel ofac datd.Analog,paralela

dusd1a'distan{a fa I de inia de pdmint nt i l -

nesteoroiectia orizontaldd in b, de unde ridi-

c ir iAci inie 'de ordineseobtineb'pe proiecfia

verticald d' a rlreptei D. Punciul B(b,b') ar e

departarea dati.

20 S[ se considerepe dreapta D(d, d') proiec'

ti i le ounctelor entrucaresunladintredepirtareqi coie este egal[ cu o lungime cunoscut[ l'

baralelad, ciusi prin s ia proiecliaorizontaldd

a dreptei D, aitfel incii sv-

l, inti lne;teproiectia vei t ica ld d 'a dreptei D in m'

i t ig. a.zz1.Rezultam peproiec{ ia r izontald '

Fu"nctulM1m,m') esteo solg{ iea problemei 'A l t i solut ie N(n, n') a problemeise obfine

Fig. 3.21

Fig. 3.19

Fig. 3.20 Fig.3.22

4l



Inupld-nr FIEluorJ.. arBJ l-a;gr*ad j lnrqFug

TIBJaiBf" prurn ri glv.qu'zltaqEurn rBrunuIBJalBf"-prurn rS gpluO2irosgru:n rerunueaa.eleodpleluorJ ldearp .foz nc g1e1e:edo elsealBluorJalderpB ,,p plprolelel{raror6

z?

-e:ed eldeaJpaisa Iellu ep eldea:p npspleluoz

-tro Eldea:q 'yTVINOZIU6 VIdVaUC .t .A.e'e1darp. lsef,s uJp erurelJ l;1d1.rcsap zelpnlsas gs J$ Erseeullep_esg .1r;ordap

-eldeajp(F

la:eolcasgqalaueld uI glnurfuoc eldear (j11gdec p uldea.rpa tp1ecr1.ra,rldea.lp p :'p1e,i-uozrro-oluorJ ldearp (c lgJuiuot; eldea;p (q

'1eundun BI ecnpaJa.- EleluozrJoes elfcero"ld cunlu g$ ,glecrlrairo-Jlxl pruJoJsuErlseldeerppug) xoT,p rnJnzBJEIldeJxanJ ' lBJlrqJpeseolE ; aluod leida:pp

/p .BIErrlrel e;fca1o.l4 areppdap r$eaacene raldeJpelapund e1eo1 ra:ebap 1ugu:pdapBrurlnJ eleye:ed lsaaldarp relseJe p g1a1uoz

-r :o elfcalord (96.9 Fr;) ar icaro.rdp ieulra,rlnuelonJ. leIBJBdldBarp trseluorJap nBS lp]-uo.rJEloEarc .v'IvINouJ

VIdVaUO.A.7,.9.

' ra1da.rpe p pletruozr:oerfraro-rd $ lugrupd af erurlartrulsuudnr py lJ ,arurreulpleJpnape 1 erndaad lr ir r 11 ieodarfcarotd p lBr l irp^ 1nue1d rplpluoztro eJeJ1-a:er d r lnrqFup

.Blpralp1

EuJn ts p[eJr]JaABuJn reurnu BoAB aleodEleluozrJo ldea-rp .rfox nc g1a1e.redauaruaseap ols_a leluozrJo elda.rpB FIBJaIBJrlcaro.l4'trcund un eI ecnpeJ as plBJrlJaAes eilcai-oJd rf,unle. S '1gder ap pldue:p o-:1u1eru.lo;-susJleseldearppugc xo1p lnlnzpJeridecxa c're.t1rqre seelp 1 ieod ralda:pp p BleluozrroBrlcaroJd plor rSuaece e raldarp alelcundo1Botr oeJBoaplururud ap elurl nc p1a1e:edeJsa eloaJp relseJe, ,p FIBf,rlranerfcaror4"( t6 'S 'FII)alfcarord p Isluozrro nuu1dr BIal

igpluozrto eldea:p (e :aurnue S 5cr1iuayly+uozlJo ts+osaJpB :aurnuB Is .OCTISIJaIJSJBJ

lll lzod ?llnu IBru ednm eleod pldeerp olllzod gllnu reu_ednm eleod pldeerp o'arfcarotdap aueld loJl alal nr 1.lode; JI

t3rdSdq3tY 3ftrstd3rfvuv3 3li l I lzod

9a'8 8td

.,".,--"*,"..*"**

1a1fce1udrlres:a1usiliirDer*ord;-trlf,S(,ru 'ru)q1nlcund r$ cap

,g/gnc lefa arejrfd5prs- Flor oJlurp-IniJodpl nB ( ,p ,g) eldearp

" ap ayalcund aleol ,,aleuorijodb.rd

alueu-Fasa1e1u;ed ldarp 6 ad gururalap eluarnouoc3loalp ep lncrJsE]Un eJeJBoOC,r{ Bl 3 purun'g uldeerpeulfqo eS .p uI ru lnl'cund ernpg es.8

s ; Inlnl:ooBr lnrolrurnu l]c l lPilun larl nr

IBFa uiu ey ag-'(96'gFU),B

xuInlualuFase1oc

1;c) ele8e rirgd rcurc ug ai.ledurg s r$ ,p ad,". Freplsuor- S .g/9 ell ps us eangpdap 1$ulore4qlp 1ry;oder lrul leJlsp

,(,ur ,ur)W rirlnlcund

e1;;fra;o.rd,p 'p)Ouldue.lp-eduruudlapr pS og('olredep rerrrBepol eA esunJ 'rop JolJasrq1nue1d c a1a1e:edolaldarplnzvt ut eltqtsod alsa'nu zuralqo:6) Iu

"u :: xg,gaceJPoep

-

,uxu

+xuu

I$ : ,ru*ru

+-J- urur :+uapr^E tp e1a1e"red1$au111u1lugrugdap Brur l_ap ipJ p lalfralordn tu,q eci:1aulsaJeJuJ 'ru lnlcund urp aurproap i;rurJpulcnp

t6'0 '8tJ

1.lode; rJI



arizonlalde proiectiepoate i citit pe epurii tt

adevdratdmlr ime, f i i i rd cuprins ntre l in ia depimint g i proiecl iavert ical i id ' a dreptei .

3.2.3, DREAPTA FRONTO-ORIZONTALA.Dreapta ronto-or izontal i stedreaptaparalcla

cu l in ia de pdnt int , deci r l reaptap-aralel i n

acclasi imp-at i t

cu planul or izontalci t 9 i cuplanui l ert icalde proiec ie f ig ' 3.26).Proiec-

i ia or izontaled Ei proiect iavert ical i rd ' ale

drentei ronto-or izontaleint ambele aralele u

l in ia de pdmint ox. Froiecl ia ateraldd" a

dreptei fronto-orizontale ste eduszi aun punc.t

; i ionlr-rntlatl u urma laterall w" a drep.tei,

d"oar".e fronto-orizontalasteperpendicularaeplanul lateralde proiecl ie.

3.2.4.DREAPTA ERTICALA.Dreapta ert icalaesteo dreapti frontalS,perpendicularae planul

orizontalde proiec{ie f g. 3'27). Proi_ec ia ri-

zontald d a dreptei este uti punct eonfundatcu

urmaorizontald a dreptei'Proiecfa verticalad'

a vertlcalei este o perpendiculardpe linia

de pimint. Proiec{ ia ateralSd" a vert icalei

este oparaleli la zoY.

3.2.5.DREAPTADE CAPAT.Dreapta ecapdt

este o dreaptl orizontal|, perpendiculara pe

planul vertiial de proiectie fig. 3.28)' Proiec'

iia verticalSd' a dleptei esteun punct confun-

r lat cu urma vert icalav ' a dreptei .Proiect ia

orizontaldd a dreptei de capdt esteo perpell

diculard pe linia de pdmint. Proiec{ia aterald

d" a dreirtei de capit esteo paralelzi a xoy1.

3.2.6,DRNAPTA CONTINUTA N PLANELEBISECTOARE.Se poate def in i o astfe l de

drr:apt i u ajutorula doudpuncte uatearbi trarpe clreapt5. -a ardtatci un punct A-si tuat n

fr imul pian bisector re proiec{ i i le ale^a i 1:simetr icen raportcu inia de plmint. Intruci t

un al t punct B(b, b ') con{inut n primul plan

bisectof ebucuri de aceeaqi roprietate, ezultdcd o dreapti confinutl in primul plan bisector

are proiec{iiiesaled ;i d' simetrice n raport cu

linia clepdmint Ei concurenten acelaqipunct

pe l in ia de pdmint (f ig. 3.29).Proiec{ ia ate-

ralAd" a acestei repteestebisectoarea nghiu-

luiy1oz.Printr-un rationament r-ralogededuce

cI o dreapti conlinut[ in al doilea plan bisector

are proiecfii le sale d qi d' confundate,deci

d = d', cleoareceoui puncteoarecare (a, a' )

; i B(b,b ') si tuate n planul bisector oi-patru

au proiec{ i i le onfundate f ig. 3 '30).Proiecf ia

laterald d" a acestei drepte este bisectoarea

unglr iu lLt i ox.

3.2.7.DREAPTA DE pROFlL. Dreapta de

prof i l estedreapta aralel l cu planul ateraldefroiec{ ie.Proiec{ i i le ; i d ' a le acestei repte

l i ind perpencl icularee inia de pdmint, ezul td

ci o dreapt i de prof i l estedef in l t i numai daci

se cunosi proiei l i i le dublu ortogonale-pentrudoud puncie oarecai'e le ei (carepot Ii chiar

urrnel6dreptei) . ntruci t studiul descript ival

acestei refte de profil prezintaanumite parti-

cular i t i t i , 'este u{i l si t ie ext ins, aprofundind

rJ l

s teat e, t ie

:ar,ns -)ro-tct .de

iaiaI t l ld

la ld'np' r 'l i re

la

r0n-mulor i -in ialau

a

Pl artr-oise

teor\'ea:ala.anul

Fig. 3.?9I;ig. 3.26

Fig. 3.27 Fig. 3.28

1tt)



??

Iu alJurld snop u slueJnJuor AtlJedseJell ?s

aunu l6?leruep Jol alrllcelord pJ elsenliuAi u1eluernruor all ps aldarppnop"r

pluelrlJns;$p.lus-erau srlrpuoc .aINAUnCNOC

AIdAUO.6.t.8

i? lql lcrJorda1a1uredr{eds 1 uli V 163loarp nop rpc alalvdvdeldeuo .t.8.t

;rord;1ar ;S alelurud eg ps a;ira;o.rdgp eueld;ar1ed aurnu 1$e;atpep Jol aiuiralord er else

llluos u1 a;e1e.rcdrl us elda.lp uop"f,

plueltJJns s pJesef,eu

" l puoJ,Baerpaqr .nrieds uI elel

-e:ede1g s 1r1o:d p alalda.rpb ql91 a1j1er '"d' lal lSelaceep alufcaro.rdea^E +od

-eieuo8

lo]lo

nlqnp er icaro.rdl arErI lJorqap

alaidarpplnnar plspere e1 ep arfdmxa celi .(fe.g .Fg)rordlre; $ a1a;u.rud.eRs aruny_1pp1uap ro lalrgfJe;ord r alsenlfedsug a1alu;bifdilps aiOarfRnop eler pr pluelrlJns luriub5

-uIlf?Jrtb-tJaiu

si1l-prJ-o-tareul-rnurrd 'iep lnue1d ad y r$ qalalured :o1a1de:p lrricaro.rc-euieol 1u s a-rec'9. ISp alelErBd llrasJaiut p olda:penopudnpelJraror0gp lnuEtd ap elel3asrelurluJS alal-BrBo uuJd xop el-sarv a1a1e;ed

1u;sar{oaro:dap InuBId ad slaideJp ezealcarord :er eueldpnopaler :rolprurnInlatr j i rpalop:o$n11 leodl0eJ. seJv, 'a1a1eredauJuase p JulsaJBJaJBouBJdul ad (e;eca;eoalelered nes) aleuoFol:o

el lcaro:d ^p,ebu1J. rrdpsnpEIalEJBd.lerf lr ad

^uI elsauMu1ne e_l r u1.ldpsnpBJaIBJBduau

-eruese CI (tg't 'FtJ),q r$ ,u ur:d'a'snp e;er1

-rqJBBeuauase p,a1a1a1e;ed

t' r$ ug rrlradsa.r?:91ll1r1J Is

"ayrrfrarord-ud asnparerlrqre

elelered.Rnop- 1a3 .1eundlllg_areB ,ru plpf,

-lpan uriraro;d auruuelapes pS .p1dua.rpp;sfjre

9d "pW lrund rnun u ru pluiuoziro uricibrd 13

(,Q," ,qe)1;lord ep ulduarp p.loprsribr

aS;A

,. ^ .nl jltluozrro er{cerord l ep puJrald a1ep

lUoJd ap raidaJp E ,L pleJrlJa]\errJn ouru

_,r_",1rps ps Baleilyrqrsod^gp(,u ,u)N

lcund j1 e

'3lgI8 'e

ttdtuoYnocsurNtct^trvllu vlltzod E'e

IaruaJoal BalnlJr^ UI . , \ ,8

t8'8 'FIC

Irylg

rSelacuFoleuepou uI .elrjpPs

,q,u dJ" qu- - :

_:+

tut& hn wu

ap lalda.rp.e q eleluozl.ro rurn pulur

:+t'_ei'Lru j:d'r;i"il;".;";l;",fi;'F;ifrad lioqoo'arec ,c pp ,..u,f

"i ;"'u;j;-;1nyur"ji.Ii

llnII

i

.(ae.eFt3)

,u,H rS ,g,w ,qurallr lralordS

^s -:srlpqJ (,11^ly)U_rerarpo1n15und.,_"p1du,i""4

"i io ,ur FlElnFJ -Jelotr t p eleuPJd d rnlnluaur8as1eatate_recialr r lreroldu1 rSpzea.r lseds nr iedsu; luaiuFe,un ailBdujJ lcund un aJBcur nldurrs 1n1.lodey,n

,t^s,, - I,,,a1epaldarp Ie 11jo:d i, '1nur1fuJ '.r g1l9ro ap

JerelBI rnlnueld earileqerulp^,loderrolul es leralel 1nue1d'd alnul lqoIaJ lsp /A lS, ,q elrr r rn .( tg .g.F l f )

ter t i . ra .rrs

: ly : r t ro.ar lcarord

rp aueld ' fndp. l1arit*.:.L,tl j

-pu1cgugd ,alep

nJord ap ialdarpE ar lraloJd

. ap leraleJ 1nue1d ad'. . .q . ,e

erirero.rd elsa8unla.rd j .irirrulsuor qi(Jjrnlrnl?l,ellnu rBru.uIB^lozaraieoda5 .(,q q)g

ts(,ellly gtalrundp

"leururalepfa iiric iijbjoap eldarp eunelaurnprsugnilsuors F6"

or

'1r ;o:dap eldea.rpBI aJEulJaJeJ ualqord alelidnurrd' ruirareo



Yd)t/ ,/

, , //

o

Fig. 3.34

Pielorlan

l'e'f;ai_

,de

Fa-il:e

le$ali

I r ig. 3.35

i trui

l i m' situatepe a{eeagiinie de ordineperpen-dicular i pe ox. intr -adevir , dacl proiecfi i leorizontale gi 3 se ntersecteazdn m (fig. 3.35),dacdproiec{ i i le ert icaled' qi } ' se intersec-ieazdinm' ; i dacdpunctelem ;i m' s int s i tuatene aceea;i inie de ordine, ele determi naunounctM din spafu careapar l ine 'u, identmbe-ior drepte D ;i A, deoarece re proiec{ i i lesituate respectivpe proiec{ i i1e monime aledreptelor .[Fac xcepfie e 1a aceasticondi] iede concurenlddreptele de profil pentru careirebuie ntr-adevdr a treia proiectie au alteni j loace de determinare cohdi{ ieide concu-.enfa.iDreptele eparalele i neconcurente int:reptdle ale ciror proiecti i nu satisfacnici:ondi{ ia cle paralel ism qi nic i condi{ ia de:oncuren I. Acestea sint drepte oarecareiig. 3.36). Se consideriacum-dreptele (d, d' )

5i A (8, D') concurententr-un punct situat inafard din cadrul'epurei. [ severifice dacd celedouI drepte sint intr-adevflr concurente. Fie:cud drepte arbitrare (ab,a'b') gi (ce, c 'e ') ,

rare se spr i j ind pe dreptele D Ei A date: ig . 3.37).Pentru ca drepteieD qi A sd fie

:oncurente stenecesar i suficient ca clrept ele

':bitrare (ab, a'b') Ei (ce,c'e') sdse ntersecteze.e _sdie paralele.Pentruca dreptele ab,a'b')s: {ce,c'e') sd se ntersectezerebuie ca proiec-: : i le m qi m's I f ie s i tuatepe aceeaEiin ie de,:dine. ln acestcaz, aceste oud drepteconcu-:.nte determini un olan in care sint continute

-.

dreptele qi A, careau f iecare u acesiplan

4: 'r {

Fig.3.37

:ite.2.puncte omune.Fiind coplanare, repteleD gi A sint concurente au pafalele.

3.3.3. APLICATI|. l ' Se considerdpunctul M (m, m,) 9idreaptaD(d, d') ; s i se ducd pr in punctul m o dreapte:A (8, 8') paraleli cu dreaptaD;Al (81, S;) concurenU. u dreapta D;

A, (8g, 8s) neparaleli qi neconcurenti cu dreapta D.--

Pr in proiec{ i i le m gi m' ale punctului M se ducparalelele gi 8 ' , respect ivcu pioiec{ i i le d 9i d ' a ledreptei D. Dreptele D ;i A astfel determinatb,avindproiecf i i le cLr

-acelagiirume paralele, sint paralele

( f ie.3.38).

Se-alege

un punct arbi i rar A (a, a ') pe dreaptaD (d, d') . Unind a cu m ; i a ' cu m' se ob{ ineo dreaf t iAr (81, 8i), concurerrt i n punctul A cu dreapta D,deoarece ond drepte sint concurentedaci proiec{i i lepunctelor rezultate din intersec{ii le proiec{i i ior lor deacelagi umese glsescsituate pe aceeagiinie de ordine.- Se aleg la int implare proiec{i i le 8o li Se. Nici una

dintre cele doudcondi{i i de mai sus (de paralelismgi deconcuren 5) ef i ind verif icate,dreaptaAs estencparaleliq i ncconcurentau dreaptaD.

2o Prin punctulA (a, a') sd seduc[ o orizontali D (d, d' )caresd ntersecteze reaptaoarecare,A (8, 8'). Paralelad'la l inia ox dusd prin a' reprezint i proieciia vert icald aorizontalei D (f ig. 3.39). Ea int i lnegte n b' proiec ia

4

Fig.3.39ig. 3.36 Fig. 3.38

45



r1uL1yaolenrrs,* ,i F., lt;E#f fi:3'':,i#i::j

_j3iy-

. psnes (tr7

ll)

alelered r1'esrnqel1aurnulya^r.g q;o1 a111|eegordrrpe a1ua.rn-rrio.rirei aialeredlus_l t1s ( ,e,q eq) $ , r ,u_, ru)1a1da. rpr arnqaj l ' ,a1aJ:: ] -"d. :

elep 1r;o:d paldo:pgnopalir pceg a1jlur'udlu s_'elJreMllordepcuugdounpu;u;fredu1,e,r ' ,5r)rS(,q,D qe)

1g3ordp aldelpgnopgcupgisuouncj.l'as5 .1

-:jg,npyldrnrp t ,lv lnptrnd 1:d snp,lf?oftJ", i-: l: l

?ytlyjrlaparer.1rund.ea1ropealia .in1n-urelAojai

:r*1._t.g3r1re01n:1ed1e.(,r . r)

c lnti lrnct(et.e 8it i

gy_:]yp 0ldarp,JBs14 nlnlrundlnrolnfu ir i[,r,q,e,u.r'f,qstu) llJolord ap lnuerFolalered lSarnrlsrrolg

n"lq9q19d s.ar'r..ralap:n r:d16 rr.r;Ti:Ii[it ;,:?-^"._ll l_11?drrdeleunuralap-1e11delse (,p :p)

o Ftnr: l : t_ulgt l 'O, ' , ,q, ,Y nr ula lered, ,P t lnp as, ,ur ur :4_ qL-8_J) or lcorord, )pIprr lBl nueid d lep raldarpiTIn ln l rundolu , , j , ,E rS, , ruol r r faro:<Jscrnr isdoJS *

:lTiyqnopuI uporord leod g .pt"p(,q,8 qu)

1;;o.rdtp-Elduerp.r ,gJalurud.elsr$ ,ru ,uiry-inlrund"upAlrarl arEJ (,p ,p)

O ;e1da.lplglirbgorduJur.lSljpsgS"9

f?rapsuorsoJ rororpor', "r.ii*Jlfn":t t:ii:|1,i':E

snI , rauriqoas ,aurpjoop BrrllI u]Jrpil rS rr p11nza1onrg larirarord rf;as:a1rrr-l ,pnc p1a1e.redqurrd

,g r$p nrPlellYd rrg.ulrclg arnl)as r$"ror.rolsoduluozr.ronue1dt l t ;q "q) Fleluozlro rull a8alu sy uldea:p .r1ua4

111_-. l l l ) ro r r ]UrlBrr l ra^1nue1drd (,a , r ) e1err1-rJA Bluln rS JorJoluu leluozlJo 1nrru1rl ' , d (.u ,u )

Ll _l-lortrourn € asq eldearp l1uo6 o1a1u.red'oixnii

l- I:ln_tp :l,i l_lll_.1".d ?qBRs nqa:1 d.,r-iyi1eredpur1V s g ol r ldorp rody .JulJnal lugsur. ldnc-16pr. rpcrppqleFS rnqarl uldee:p er ,aurrna.r1ugrri.,<inJ:1ditlljlt_l --E ]-1Es

lnqorlg eldea.lp:ru.n,:o.sqoS' llt l,i i ,t

.?ryJpatpltqpJls.gs uldeorput . t1t;$1f,i-bla.rparppl"q9rl lps.g eldea;pl rut . lo l lsp, ' , ( ,V-. t r , l' lS ' f ,p ,p lq

aloyu.rcdldup pnopr eyrijaiir.rd 5i.e1r'r4iuorli fs "s

:l r:l:q ",q.,91gprs .aralruncr,uft:Siiii ;i",t/"$._1^1:Tll* (,q 'O B .rrrr lrqru rund 11enn iS I eYluoz- lro

ld lenl ls ( ,n ,u) .VrBi l lq iel . runi l r i l r oFal i oS .alrp

(,1 J) {l?luo.r3 ad $ ,F ,3)g pluluozlro odarirtrrEssuirrur ,(/p ,p)

C aldorpleun aprfrelo.rd-au;u.ra1ei"asl?S ?

:tllcargu,p dIaurfqos.",or ':i,?,i:t;'liJiJl1"i{

p. lr l l l , lr_rsrrlul I J Fp xo uJe urid esnpelj ie:e,t:Ail lbuy

1/d,u, 'dB) u s t r lB luozrroalr r | . roro:d '11r l i1a11sei l al

d_aut lqoas , urp aurproop erur i-pu; ioqq'. (bl .C 1SU)

,d uj ,p EzealJasrrlul JBr.,?

ur:d'xo ui e1e1ii 'ad 11i, iir3 ::Ig-^T -q-

eldualn ad bugfridsas ss a.r'ui .plutuorlo s.pleluozlJo . l)und lsotu u;:d eJnp es ug .ge:og.ra1xo(,u '?) V lnlrund $ (,p ,p) q eldeajp pji ;siror a5

"gO ta.lBluozrlo p Elpluozr.ro rfraro.rdrul+qo rs ,g

i e elni ;arold puluh ;g ad'q

or i i lqo as/q urp aurproop orur l o pulroqo3. iJ ldJ:p u , plbrr i ro, l

rf '8 '3 : l

6t 't '8 iI

0f ,8 '8 lC

I t ' t 8 tc



Fig. 3.44

Fi o 3.46 Fig 3.17

rat

ECede

r i :

l ' Si se recunoascii acii doul dreplede prof i l (ab, a'tr ')g i (ce,c'e'), situate n acelagi lan de prof i l, sint paralele.Pr in punctul arbi t rar M (m, m') din spa{ iu se ducei.aralela (mn, m'n') la dreapta de prof i l (ab,a'b ')1iig. 3.46). Dacd dreapta (ce,c'e') este paraleli cut lreaptade prof i l (ab, a'b') ea va ii paraleli Ei cu dreapta

de prol i l (mn, m'n') , Deci se vcr i f ica daci drepteledenrof i l (ce,c 'e i) gi (mn, m'n') , s i tuate n planede proi i tci iferite, sint paralele. Pentru aceastase constmiescdreptele cn,c 'n ') gi 1em,e'm') gi se ver i f c i i dacapro-iec i i le or se nt i lnesc rr doud punctes gi s ' , s i tuate pedceea$iinie de ordine. ln cazul epurei din f igura 3.46,rele doui drepte de prof i l considerate int paralele.

:i Sd se cercetezedaci dreapta de profil (hv, h'n'),d_atiprin urme, intersecteazi dreapta oarecareD (d, d'),i l : cele doud drepte sd se intersecteze ste necesar i. '; i icient ca ele sii apar{inh aceluiagiplan. Aceasta deint implS atr-rnci ind dreptc. lehh, ;i v 'vi (care unesc

. espectivurmele lor de acelaqi nume) se int i lnesc lr r

"cela; i punct pe l in ia de pdmint . In epura aldturat l. i ig. 3.47)cele 'douddreptehu s int concuiente.

l0' S{ se recunoasci daci dreapta de profil (ab, a'b')intilnegte dreapta oarecafe D (d, d') dati. Proiec{iile de-..ela; i nume ale acestordoud' drepte se intersecteazl' . purrctele gi s ' , s i tuatepe aceeagiin ie de ordine,da r- . :nctul S (s, s ') , care npar{ ine dreptei D (d, d') , nu

l f r r { ine, in general , gi dreptei de prof i l (ab, a'b ') ,:(ntru a verif ica daci cele doui dreote sint sau nu. ,ncurerrte,se aleg doui puncte oarecareM (m, m' ),: N (n, n'), situate peldreapta (d, d'), gi seduc dreptele

tl uiB).iu-d"[ce

Fig. 3,48

(ma, nr 'a ') ;i (nb, n'b ') ( i ig. 3.43).Daci i dreptele ma ,m'a') Ei (nb,n'b') sirrt concurente ntr-un punc | (i, i ')sau dacd ele sint paralele, atu-nci i drepteleD (d, d' )gi (ab, a'b') sint Concurente. n caz cbntrar, acestedoud drepte nu se int i lnesc.

3.3.4.APLTCAT|TLE TEOREMETNCHTU-

LUI DREPT: ERPENDICULAREEDREPTEORIZONTALE AU FRONTALE. in punctulA(a, a') dat si se duci o perpendiculari:

lo pe o orizontaliG(g,g') dat[;

2o pe o frontali F(f, f') datI.

Acestedoui constructii int douii consecinleale eoremeinghiului repi, are fost demon-stratd in invi{dmintul mediu. Pentru ca ununghidreptsdseproiectezertogonaln adeudratd

lc,AB

ra -ta -to-

r ' )in tra-itU

4iEr-u i

Fig. 3 {5

47



8V

z9 t 'FIC

I ( i c 'FrJ

6t 8 'FIC

:ill:l:jgap 'ral'rnu'rdo o,.i 'rnrf"::1Jr - lJaroJdJd , ,S .BJBJnJlpuad. redurp pu3rnp

::^1q9 ": e-tec (,9 'g)y ;r1o.rd p ildbe.rp oelse BunruocBrBtnJrpuadraj(,p ,p)d' eJEJer?opldue.lpo r$ lugiupo ep elull eJlutp euntuoJga.relncgpuadradllliea;o.rd rsirn.4iuor as p5 o1ASIISIUSISVUVf,

Il iIZOd NI EIVC AJdAd(

yrg. :lllaS

..'q ulduerped u.relnclpuad:adj.t,,Bt11{l""or.(,s 'g)V Rldea.rp iruiid lsaru1r9_R?Lp_esS

.te roJralxe ;" ,n)V;nlrund

Is (,p.p)61 ldBerp

-pJepr-suorS .AliVqH+AYJdV:IUO lrd vuv'rn)roNadus;

.^r - - -'(og'eF11)1e'npr"r",j:Y;';.}}

-Jeo B g .ple+uozlro rfcarordpuru.rralbp nt} ]un oJBc,ru aulfqoas

i, lT,g ai ,u u,p pu;cnq'a;elnrlpuad:ad.1u1s ldeip pnop olai'nin ",1

F1q ?Jer l tra^

111ice1o.rdlpp.,( , i ,3; j_p1u1uo.r ;oad prBlnrrpuad:ad lsa (,g' ,g)V ;ib;;p O o6

'(Ol 'g .FU) elelnRr rarelnrrpuad.radB

/ppleJl l :a.r

elfraro.ldRp ,B n) t iun aruc.lY.l_"^.. iSeul lqo

as F.fp arnpasp utb ,taJlsv'e:elncrpuad:ad

lugsalda:p pnoproler '"1bH iS| ll,nl_uorpo

lrricarordgcep ,F',F)D Fleluozrroo ad Erelnrrpuadrad lsa (,-pir lq pJOBJri,O"t

u1 nun n p7ndr r,', f :': ':;;:o,:i r',:;ti

a1nuo8oTto1tr/carotdpmp ,1datp,7rr'rr17u, uo

::j:ol::r]11also eiuaroo] raisace ecbrdrcag'uDId pro nc p1ayondaU ps 1n1ny1Eun7rnrcl

ulp Dun nc luatcrtnsapa ,unjd ui ad aturtptu

iYnoav yNnwof,uv'rnctoNgiualg.e.e

i yi^ r.:rpurxerapii.9H"i[;.,,[,*i'illerelncrpuedredBurrolelsa

a.rrjc_ lbV In l

l:lryqunyl, erurfpugrerl

V.goV

rnt;'r;Funirif l : ] ,y :yiw rnr+uarolro;. sau1j1u1'r,gg'i{i'CD lurlllpulpnopelsarv .(,8,e Fu,teletuoztrol?1y{_yr: lnrlpuad.radcnp'as-glnlrund' tp tSl(1f j-", ' I-:J"YfeluorJd rCCe;elnJrpuadrad9 1n1-JUno uud eJnp os BlsBaJB Jlued .g lS g :o1

illJjjl -e;uolgzundsorort u11puJ sai .rlsuor

p::.r:,1."i ,'Jqy lnrq8unr-r1a1fsenuiiqo e-g[119^t_{ J)

,p p)O ldearp r (,1 l)grs ,A g)d

Plalrund g trlladsaralusrncu<j5(,1,; ;iq ni\iuo:; rS (,F,u ,Fu) uletruoztro

,n:riiV

inicuh,i

os's Fl g



Fig.3.5{ I i ig.3.55

AE.

I

t6,e:ie

-te

- :e

Fig.3.53

20 Se considerX ronto-orizoritala )(d, d') sidreapta carecare Jr) , 3 '1. S[ s. i dctermineproiecfi i leperpentl icularei 'comuneelor douldrepteda.te. eoarecei'orrto-orizontala (d, d' )esteperpendicularae planul ater l l de proiec-{ ie , perpencl icularaonlune l in tre dr t t l te leDsi A e-ste dreerptaaralel i i u planul r teral c le

pro iecf ie , dic iro dreapti de pro l i l i f ig . 3.53).Ea se ob{ ine 'ucindcl in proiectia ate}alad"a dreptei D perpendiculaia "a"pe proiecfalaterald 8" a drepteiA. Proiec{ i i l -ei izontal l

-.iverticali ale perpenficularei comune sint

:espectiv b ; i a 'b ' . ; ' I \ , . , ,

30 Si se construiasei;proiecfifle erpendiculareic.o{run-g. (g, g') di,ntre dreptele D(d, d') gif(b-, 8') paralelec,u, celagiplan de proiecfie.F ie drepiel€,:.D(dr 'a)i A(8, 3') ( f ig. 3.54).

Planul or izontal 'de proiecl ie este un plan:,aralelcu cele doud diepte, ar perpendiculara:cmunI esteperpendicul'ari " ui,"r i plan, deci

-steo vert icala.Proiecfiasa or izontal l g este

situatl in punctul de int i ln ire al proiecti i lor: izontale gi 8. Proiec{ ia a vert i ia ld g ' este

&'b' , care mdsoar i totodatd cea mai scurt ir, ,stanlddintreceledouddrepte r izontale ate.=' Si se construiasciproiecfiile peipen{iculareiiomune dintre doud drepte frontale. Perpen--.:ulara comunddintre cele doul drepte fion-:.-e F(f, f ' ) 'g i F1 fr , f i l estedreaptade capdtab,a'b') Care eproiecteazl e planul vert ical: . proiecfie n punctul a'b. ' de intersecfie l: :- ,rec{ i i lor er t icale ' gi f{ ( f ig. 3.55).

" Sd. e determinedistanla I dintre doui drepteD d. d') gi A(8, 8') paralele u linia de pimint.* .. :an{a I dintre celefdoud'frprr to-or izontalee-,: ar I peperpendicularaor comuni,care ste

clreapta e prol i l (ab,a'b ') ( f ig.3.56).Aceastldistan{i se obtine in adevdratl rndrime uindsegmentulcare une;te proiec{iile laterale d"$i 8" ale celor doud dreptedate.

3.3.7. ADEVARATA LUNGIMEA UNUI SEG-MENT. Se consideri segmentulde dreapti alecdrui extremititi sint punctele A(a, a') giB(b,b'). Sd se determinedevdrata uirgime 'a

acestui segment qi unghiurile cr pi p pe careacest segment e face cu cele doui plane deproiecfie.Segtiecd un segment e dreaptdesteipotenuzaunui triunghi dreptunghiccare areca atur i a1e r-rglr iuluirept catetele) roiec{ iasegmentului gi diferenta dintre proiectanteleextremitat i lor a l t , .Ast fe l ,proiecfia r izonta laa segmentului se va consideracu diferen{acotelorextrernit i r f i lor ale, ar proiec{ ia ert i-cala a segmentuluise coisideri cu diferen{a

deplr tar i lor extremit l t i lor sa1e. ceste r iun-ghiur i c lreptunghicebbl sau a'b'a1 se ob ini.mediat, le putind f i ata;ateuneiasau alteiadjntre cele doud proiecfii ale segmentuluida t(fig. 3.57). Evideirt: ab, : a1b' : l. Totodatdrezultd valorile unghiuriior d gi B pe care seg-mentul AB le face cu planul orizontal ;i cuplanul vert ical de proiec ie.Ca apl icafie, seconsideri triunghiui ale cirui virfuri sintpuncteleA(a, a')', B(b,b') gi C(c, c'); s[ se

Fig.3.56

49



PJtseV urfcarlp

[ryJnlnluauFosllralord alsaouour

i

I

I

'8tC09'r

09

31"^l:li,|yoletuozlroteurrnur s l$ ,I IS

:.1

_111._gsrlalalered,u ,,u$g ,. rirrd"ainf

::.,t-tt::Y._ijly-aqtrp rnlnluaurF_as1e'p1$rlJ lRl lue_r lxa'er lca:rpBlseare dnp :1u1uozr.ro

llgld adalgJcaro.rd;1 i uarcrinsr.jtt,i;jiJBleluorJnc-- lalered- uig ' jielueicaror6ol

;Pl".p-,S 'g)y arura.ruogfrargp pdnp lalup

tl- t){ el?luorJ;aunqfra.rlpgi'np , a 1iiod'ai;a;aue;d,ad,{,u,ut-,uu)' luaiirFl.inun' l l" er lqoe1a;e.lud;r;fra;orduluralep spS IIIdAUO

VyrvUrNgsS rnryUva rl5aidfii's ee

ii]:.*1-l"rlrnl'r rBu ;un1,.r".,u^ip3"i,lil?,t ,f::l.q:]p,1rn1qFunu1o1sac.e1'eC, ld El

:: l :11'1Y1lod'(8s'8'Fr3) .r lcadseiroir:np3,r

l?l i lor slaluoreJrp1t ;n1n;q8unr.r1ro1rrn1e11ealBluozllo1rrl: . 'aro:dlugs 1bler' :o.rpc'e1e'uruSdrl 'utq;D r-rqFunlda:p1r:niqFunlrl1'nluorlro:jl33jgj9 d csarrulsuoc"es'.lqairriili-inrsec?rollJnlsl ele ;ur;Fun1alalerpnipujugiu.ratrep

og'e Elg

P1i":9.,H11-:ylurJelepsRs as'oreluenereur

I:."- t _fqy:r_sa,qoia: ' s earu'ah;:A ;"r/9'8 'Flc

PJIsBV BJlJaJlpa8ale err as .-eulrriJoA aJpJ

lf*il9^"j9

u3 leraueFI 'lep

;p41nlnluaur8as

rJEarfcaro:dp aueld'.?irdp'';i"oi ,',i 9u9rul^^.:ty".::t1qo_

laleredalrilra'.iro iqo .gtos'e'sg)'biucrlia,ra l;i;b;i;i";':'l;r:ilUl t I IJelOD 3s I i rnrnrrlari lSrc r ' , r-. , , , , - i . . .1 ---_,l1p .: f _n1uburFbs' 'pl

".il.i

ur,j

P:,r^.*'-'.^:ll:*t-';ifi;"il';i;ii,?#':;,;,i;; .i?:L. rlqllyqi''^(,ss)v eiJ,iiq;;,Iir5;Ji?:9-F"llsuoras (,9 s)Vgreri;qreriearrpI plsrxa alBluoJJ rarfcarrp 1nro1"'Li; jra .A

'(Oq'eEU)g e-lfmrgpctnpleluozrro nueld d elalereil

lnluaudas

a1a1e.red

rolsaJB

no/g?pdapolaateJ 0



r l iaMN

aoriec-trecr inl60).r$ iale

nelet fe l:ele

iec-

fi i le centrale ale unui segment (mn, m'n'),pe planele de proiecfie, centrul de proiecfiefi ind (o, <o').Toate proiectantele rec in acest

cazprin centrul de proieclie (r, ,o'). Se con-

siderl numai proieitantele segmentului MN

$i sedeterminl urmele or orizontale i verticale( f ig. 3.61). Se ob{ in proiecfi i lecentralemsns

li mrindpe cele doui plane de proiecfie alesegmentului at.

3.3.9.APLICATII." Si segiseasci roiecfii lerizonitalei G (g,g') caredeterminintre trontalele (d,d'r9i A (8, 8') un segmente unglme unoscutd.Secon-sideri proiecf iaa pe I gi se descrie rcul de cercde razi Icare nt i lne$te proiec{iad in b

9ic (f ig. 3.62). Rezultd

or izontala(ab, a'b ') , paralel i cu or izontalacdutat i G.

Pr in a'se duce paralelaa'm' la d ' , iar pr in m'se duce

paralelam'U, la ' l in ia de plnr int . Rezult r : r gi b, ast fel

incit mb, este paralel cu ab. O_rizontalamb, gi m'bi)

estedreapta cdutatd C (9, g'). In mod analogse gisegtesoluf ia corespunzbtoare roiect iei c. Dacd lungimea Iestemai micd decit distanla dintre proiec{i i leorizontaled gi 8 ale celor doui lrontale datc, problenra u are tr icio soluf ie.

' Se consideri orlzontalele D (d, d') Ei ,\ (8, 8') li

dreaptaoarecareE (e, e'). Si se determinesegmentulABcrre se sprljlnl pe dreptele D qi A gi al cirui mijloc Mestesltuat pe dreapta E. Se construiesc n epuri orizott-

Fig. 3.62

Fig. 3.63

talele D 9i A 9i dreapta oarecareE datd (f ig. 3.63).Proiecf ia vert icald e' int i lnegte in o. ' gi B' proiect i i levert icale d' gi 8' ale celor doui orizontaleD pi A. Di nmijlocul m' al segmentului a'B' se coboardo l inie deordine gi se ob{ine proiect iam pe proiect iaorizontalde.Purrctr i l M (rn, nr ') astfel determirrat aparline drepteiE (e, e'). Se construiegte egmentul cu mijiocul ln'm,carese sprij ini in a ;i b pe cele doui proiec{i iorizontaleale orizontalelorD ti A. Ridicind linii le de ordine din a

gi b se obtin a' ;i b'. Cu aceasta egmentulAB (ab, a'b')cste determinat.

3.4.PROELEMEFOPUSE

1". SI se derncinstrezed proiecf i i leunui punct din spa{iupe planul orizontal 9i pe planul r19rt icl l de proiecf ieseagazzi e o aceeaqi erpendiculari a l inia de pdmint,cind se rabate planul vert ical pe planul orizontal. Sd

se demonstreze e ciproca acestei teoreme.2' Si se construiasc:i o orizontali care sd irnpartd seg-mentul cuprins ntre urmele unei drepte ntr-un raportdat .

3" Pe o dreapt i D (d, d') dai i pr in proiec{ i i leei sd seconstruiascdpunctul M (m, m') pentru care diferen{adintre cot l gi depirtare sd f ie o lungime dati l .

4o Se consideri pr-rnctele (a, a') gi B (b, b'). Sd seducri prin acestepunc[e doui drepte paralele D (d, d' )

;i A (8, 8'), qt i ind ci dreapta care unegte urmele lororizontale are o direct ie cunoscuti S,

51



7' r , '9r tuy 15

rt 'Elc

zg

:.y."j-::-u.o,BS rJ3j^:l:qarl ,d sd orurn tserv

:l:Llutqaie

,dp1ecl1-rai

.ru]n1i6 qlv+uoztro, EuJnaurlqos . |n nJ ,n 16 q nr-q ir l lun _

oBJro^r$a1 1ozron,.,rY'itufl::il$t:Ltf:

' ( ,9 ,g)V eldeerp1$ ,u ,e)y,1n1rund*l(,8 'g)v l$ (,p ,p)q eluerneuor laldarp_

(,s 'g)V l$ (,p 'p)g a1a1e.rudlaldarp

liil^.q,Y:ld :{note

d l$d etorurnUrrn,nrjnTJl:ri::{.: q' #ffi|,#;J,'"rt i'$.ii,,iiij:ril,t" "'i,l1,";,":rHr,,il11"Jel"nlls, er; ps 1a1da.rpger,,rn r aisa uuld ;nunXiitj:,g" 3spldea;p ricpluesr;1n,1$'pr"rrrru:. l gj,ot 'repzSy

rnlnuelclaiaui. in'ad"a1entrisLlliT:-Ui lliraio,rdop Jlaueldelcasre+urAuPId,un-4uJ

lryyJluoqLp ;q'areoS.,nolO'narI

:',i,Ti'ito i"Bl5js=f3,1";'lH::; rS 1rund. n,j jerur1"r'nu-l l l l inf

, . i1 ,nld-uaxa p . JrB uinr .gurruralep

l_orpro1e1u"iu-a1a lrricaro;d rrd- y; ,aurin'ulro irl-,i,1iouc-sap^llulJapr aleod.lnueld d',9 rd' ' ,*d"uird

1ip,.1t* "lou,ronas z,{xo-gnftrlar.rj1.exes

y.:1.1.:lylprfras.ra;u1pajaj;uh4'f r rblji

: l lret?rd. p aieue;dS ueld'arlutp- , ' ib"rrn1u,?l_::4 lS ,d 'd elaldarpueJd rnun

iin .,orn

:Tnu_1*_nsNV'rd

I. rnNifiriocravauots rJNnd .tntnNvrd nr'sl[]iri'"'.r.r.7

IntnNv'ldSUVrNtztudlur.7

")1fiNV'td

Al tntoldpf ,

reaptd concurentdcu dreapta A) gi se pro- i punctul A(a,



:edeazd nalog fig. .a).- +" ' i -

In epura din figura 4.5 au fost deter'minateurmele..P i P. ale planului definit de punctulAra,-a')Ei de dreaita D(d,d') , ale cirei urmeI sint cuprinpe n cadrul epurei.S-a dus prin

q') o.or izontal i (gu,g'v ') Ei ofrontald(hf, r_'i'),ambgle oncur-enticu reap-ta.D(d, d') . Urmele P ;i P' ale planului trbcprin.urmele

h gi v' ale acestorcirepteqi siniparalelc espectivcu proiecfiaor izontaldgva or izontaleiqi cu proiecl iavert ical irh,f ' -afrontalei

4.1.2.DREPTELENULUI.Dreptele

IMPORTAIqTELE PLA.sint

I

- o orizontal[ G(g,g') a planului gi unpunct A(a, a') ,

- o frontali F (f, f') a planului gi unpunct B(b, b') qi s[ se traseze iniile de cia maimare pant[ ale acestorplane.

.se,considerd orizontala Gr(gr,gi), clusdprirrpunciul A, paraleldcu dreaptaG (fig. 4.6) .Urmelev'

; iv i unite

dau urma vert icald''

a planului, iar urma P trece prin P* ;i esteparalelacu proiecfi i leor izontaleig ; i gr .\ Ol lnie de cea mai marepantd (1, ' ) a pianuluifa fdde planulor izontal e proi i i l ie 'este reaptaconl inutd n plan ; i perpendicular i e toateor izontalele$lanului,^d6ci $i 'pe u.ma p.

Proieclia_sa rizontal:i esteperpendiculara eu1m.a . Proiecliasa verticald I' rezultd mpu-nind condilia ca aceastd reaptdsd fie conti-

nutl in planul P. Analog, in figura 4.T s- atrasal llpia de cea mai mare panld 1lr, li) aplanului- fald de planul vert i ia l ae proieci ie,adicd dreapta conlinutd in plan qi bare esteperpendicular ipe toate frontalele planulr i i .

l ^ A Ar rg. t, a

Fig. 4.5

1?

izontaielemare ?nti raooi'

SA-zp$aj-sarr,crse determine urmele P qi P' ale unui plan,

Fig. 4.3

Fig. 4. 6

7g



I I 'T 'EIC

ro trulr.uPdp ralutl eJdnsBap Jndaad arEdB

'3tg8' '

FleluozrJo s EuJn 'elrldFeu atelrpdapo ater luo:g1nue1d )BO '(JI ' t S0[ ' f

.Frg)a:e1rgdp rSBaaJBe rnlnueldalalcundaluol araJeoapro nJ g,1a1e:ed lsa eJec ,J

Vle+noaJoBs;urn-u;rd'-r'eopluizardars i

,Q n'd.,ii .nrtnyordap IErtlre^ 1nuu1d r 1a1e:ednue1d lsa

fluorJ InuBId .l"luorl Inupld .xo lugruedap u l qns p:ndaad arede,;1 Flert lJal BSErutnBArledeueloJ o eJB lellu ep 1nueld preq

l l I ' t ls 0l ' t 'd lJ) eloc tseaarene rnlnueld

lalcund aleotr aJareoap,xo nJ glalered alsa

feJ ',H FIpcllJal ps BruJn qrd eop glurza:dart Ia Rrnd0u1 '-olfcalord p leluozrro 1nue1dP IalErBo nupl_d lsa le^ru ep InuBld

.la^ u

P Inueld 'aueld elseJpnc lalered nes .11ne sInrolrastq ad :elncrpuad:aduuld I (xo urrd

DaJlar-Bc es)_xolupupd ap elurl nc lelpJfd ueld * :1pdec p ueld - I 1ecr1ra,reld -

lgord ap ueld - : Ieluori nes +uorJ p ueld -

fuluozlro.nes-a l tu op ueld - : lujs ecr lsrJ

fleerec ll lzod alserBu1 rnlnueld aJt-nunuac

freolcasrq lauelded nes arfcarordep a;aue1dI JelnJrpued:ad es lalered alse 1nue1d re p 1de; e1 Fralar as yllizod alsaJy .af$afOUa

p e'reNv'rd c ruodvu NI rn,rnNv.rd

nv eclrsruarSvuvclrrlrzod'8'r 't

'(O'f 'FU) ,g ad p.relnctpuadradlsa 16,,r ugrdaleJl ,d FIBJItrJaAuJJn zeJ BalropIB nJlued

'(g' l 'Fl l) ,A elecl lral Burrnurrd acarl aJeJ ,6 t$ x4 gllnza5 'g BleluozrJourfcarord ad g:elnctpued:edalsa r$ IeluozrJo1nue1d p ptrelelued a:eru IBrueal ap rerurle

q BruJnulrd aca:1 nlnueld e d p1p+uozrJoluJn.e;fre;ordep l?r Ue^ nus l?luozlJo

:1nuu1d p plBI (,9 'g)V gluud eruur ruru"ef,

ep

9-d I:-deJ?y]n-I pulwJapp uDld

DAj ap nru17 :VIJreJoeJ,

0t ' r '8tc

ss s u l u;.rd ;u ;aurruJelep s Ps '/

i ALEPlanulde profil. Planul de profil esteplanulparalelcu planul lateral de proiecfie.Toate

(sau care trece prin ox). Acest plan este per-pendicular eplanul ateraldeproiecfe. Planul



.E DEfaptul

ular pe

Itoare.anacte-zonlal;

prof i l ;

lan pa-e trecelorul Inul der lel cu

ie lsel ' , careunctele4.1 l ) .

gativ i ,b l in iafrontalproiec-I Urmalu oXr

a5i de-frontalnald Fint ox.

punctelelanului u aceeaEibscisi. n epuri,el se reprezintiprin urmele aleP qi P', care

sint in prelungire i perpendicularen P* pel inia depdmint f ig.4. l0qi 4. l l ) . Planulver-tical. Planulverticalesteplanulperpendicularpe planul orizontal de proieclie.Urma saverticaldP' este n epuri perpendiculardeox(f ig.4.12 i 4.13).Unghiul mlsoard eepurdunghiulplan al diedrului, ormatde pianulvert icalPP' cu planul vert icalde proiec{ie.Planulde capdt.Planul de capit esteplanulperpendiculare planulvert icalde proieclie.

In epur5, rma aorizontaliQeste erpendicu-lari pe ox (f ig. a.129i 4.13).UnghiulB m5-soard eepurd nghiul lanal diedrului,ormatdeplanuldecapdtQQ' cu planulorizontal eproieclie.Planulparalel u linia depimint ox

paralel u l inia de pdmintox are urmele alePqi P' para le le u ox ( f ig . . la q i 4.15) .Dacd

acestplan trecepr in l inia de pdmint, urmelesaleorizontaldR qi verticald R' seconfunddpelinia de pimint ox. Pe planul ateralde proiec-

f ie se citescdirect valor i le unghiur i lordiedrecuprinse ntre aceste lanegi planelede proiec-

{ ie, urmdrindpozi{ i i le urmelor ateraleP" giR". Planul perpendicularpe primul planbisector. Acest plan are urmele sale P qi P's imetr ice n raport cu l inia de pdmint ox(f ig. a. l6) . Se vor justi f ica mai t i rz iu aceste

proprietdfi. Planul perpendicular e al doileaplanbisector. cestplan areurmelesale Q qi Q'confundate, eci Q

-Q' ( f ig, 4.16).Planele

paralelecu planelebisectoare. n plan paralelcu primul plan bisector are urmele sale con-fundatedupi o paraleld a l inia de pdmint ox,deci P - P' ( f ig. 4.17).Un plan paralelcu aldoi lea plan bisectorare urmelesale Q ii Q'paralelecu linia de pdmint ox ;i simetrice nraport cu ea (f ig. 4.18).

P. P'

F ig. 1.12

Fig. 4.15

Fig.4.13

' - ,- o

Fig. 4 16 Fig. 4. 7

4'

0

Fig. 4.14 F-io 4 l8

55



I6't '8l i l

99

'(:9 'n) V ., nlrund urrcl asnp "rolaldarp ol-aruJn lpournrrSelare p elnf5ero.rciutraclsajqlr l i rn ql l_qoas rnIlueJd a1e ,d tS r Jr"ur_rn

1g-ls,durl pnoprrf, u*urrlop,'li i jt lJ'rtl:'? lun '+uJrupd p errrr lod .re-r1rq:Ls.:10'*d

In+":I:tld-.FieurrurolrpouIaJlsBo1.sa :er 'larualq

-oJct ar lnloso ernlr lsuo) g i;1darpa1,i, ,r id.1-elouJn.urrd irtlraclsa-rrr] ,a f a Surrn n:p;.ale rJap y eldearp.eur iuor 'alec ueld err_r6

(oal_ltpv ra1tlo:p Jarurn,n 16 -egg(,p .p)q

ft:q_,:jq:?lpyt (,s s)v 'e131eied-a5npesl*::lv lllcund ur,r4 Rlep(,p p)s eldeerp oI-1-"j9_1_t." rs (,e 'e)y lnlruird rlrdara"r1muuld lnun el" ,d lS 6 elaurrn runJeeuluJalepasps yJdveu0o nc'rstvuvdNVld 6,6.f

.4.1mre1duJ rur l lqta pspr lpalsaelduarpt::r:"..I

_.l j l_:to:q oleltu JU o' a1 upe Bruarq

:?r,q'BlBln€r

.( ,p,p)O uldea:p alsa'( , .g g)y

: l : : :r.L.: i ,n

,")vlnnundurjdsinpe.'plerea

^16I:?^:l{ ld1lngeroJEunu $elaraep1au:n:..-^"ttIti: _".tgr?Fs ,n 1sq aru.rna:era1e)r:p.- 'g_l:yBIdI plnuyJuorrerarBo;dearp99,.{]Y i9 :q 1nue1dselnuriuo:ldda:pnri ] : l : j " l : lJ,

pr arnqrr l 4 1nue1d; gl i leredelJ ps O BldBarpBJ .euJn u1.rd'1epa ir'uiO n

:l_jtilrj"l,"_f" s. ,u ,e)Vinlcrin'o,,rd

"r"r13rlt'(,p 'p)q ;a1da;palgliralo.ldeuluralep es

RS rnNv'rdcy'ra-rv['va-vrav:iuar.6.n

P: l l ] r ' I l lqo as ln lnu_Bld.a le ,d IS d alerrr f )

i:ei,t^jli'2 -1s,n;Hnq)

apralniuo-rioar'$i 19 1", ep Burural€pl_s"_dnye_td(,s s)i,:19: r r_l ,11_.- l 9 nrnd,( ln lq ' , rnrr t j

"+oi j r 'pn?:1.^"'-_'Y:y3',ug,a'Gp:v.3g) (,p p)op];,Ttlll-l?-F. ] _ujud(,n,r{:nr{) lileaJpinpasll"^'YIVJnl?uldr{d

uu;d;$u;arpr alunlrsru

^ :9 f fL l:,-(,p p)q-e1da.rp

nopnr yapired:ft ,.- ,::P)V nlrundu;.rd carlerue

rnyriuelO,13:9.is_df"-rn eururalepsps :IuViUgUvErrd:ruoYnOO c ]A'rvuva rvia r ai ,'aJele.led unu r6elace p Jol aJaur:n r: dlijl.i _ j..F]_".gzp;a:- snr edsus_-aa1.red autY,li_':i:yrl__*rrd.'9..' p1a1e.redpleluozr:ofrurl9ror+pun d *4pllnzeg,6 nj'pialered[*jfrr]r"l:yrn arnp s,Aulrj:o eJfjuor,rola]sereB.FIBrlra^nr,rn..,n elg-.( iarf Fll)

P.--t"::r|_ p, p1a1e.red(,p p)o*ilEllor,roPtlP n .(,u p)V 1n1cund.1r4 .'arurn'uirO

iepP]:+,:.tj-11 atuJudlsa S,'n-,n)Vnlrufio ,rh

Pl.1t^".,.".1ry;nuuJd

lu,d ;$4 elerujn ulurelepPS,PSNV:rdNn n3 lAryUvd NVld .S.6.? 3]3lVsVd r'.tvld $ tldt$c -2.7

S't "I trece

4,3. . INTER$ECTIIEPLANE i ] i ,: - ' / , ,. . : i . '



lut qI duce

LlaeesteileP;urma; pla,epuraI

pPrEP'a lei este, o ]t

\ a')reap-ducenptadoudrivi).nindf l]le-

a').

4.3..I" .PLANE'DATE RIN URME. PCNITUb-te.qhrinareareptei de intersec{iedintre doudplaneestenecesar dse ina seama e faptul citrei plane neparaleledoud cite doud'. e inter-sectelzf i intotdeauna:int i-un' punct. ' ' rPr inurmare, n problemele e ntersecfie intre doudplane seivof iutroduceplane auxiliare, care ngeneral se'aleg plane de nivel sau frontalepentru Simplificareaopera{iilor grafice. Dacdplanelesint date pr in urme,'planeleauxi l iaresint cl,riarplanul orizontal ;i .cel vertical deprolecl le.

Astfel, ' i[ se determine.;oroi€cfii lereptei deintersecfie dintre dou[ plane oarecareP gi Qdate prin urme. La intersecfia urmelor orizon-tale P gi Q se gdsegte rma orizontald h adreptei.D(d,d')' de intersecfe dintre cele doudplane. In punctul comun urmelor VerticaleP'$i Q' se obtine urma verticalSv' a dreptei deintersecfe D(d, d') ' , f ig 4.23) Pr in l in l le deordine rezulti h,' Ei v pe linia,,,de pimint:

Unind proiecfiile de acelaginume h gi v, seob{ine proiec}ia orizontala d a dreptei deinterseclieD. Analog,h' ;i v' deterrirind roiec- ia vert ical l d 'a drepteide ntersec{ ie dinireplaneleP gi Q, Oricarear f i pozi{ i i leurmelorplanelor care. se intersecteazd, roblema serezolvi intotdeauna asa cum am ardtat inacestcaz general. n epurele'din figurile 4.24li 4.25 s.a intersectatplanul -oarecare P' cuun plan de nivel H' gi cu un plan frontal R.

S-au oblinut ca drepte de intersec{ ie r izon-tala d, d' Ei respectiv rontala f, f ' . in epuradin figura 4.26 s.a intersectatun plan verticalPP' cu un plan de nivel Q' . In epura din

Fig. ,4.2T

Fig. a.29i

figura 4.27-s-gglsit qrizonlala S, g{,de'inter-secfiedintre doua plane care au urmeleor i-zontaleP,si Q paralele., ln puradin figura4.28s-a nterseetat n ptran ertical PP' cu un plande capat Q Q'. Dr^eaptade intersectie este(d = P, 4' : Q?.,,1nepuraldin f igur i le 4.29

;i 4.30 s-a rezolvAt n dgui feluri intersecliadintre doud plane ale cdror 0ime de nume

57

I : ig.4.24 Fig. 4.25

I i ig.4.26

Irig. 4.23



88'? FH

ae alg:

Ic'? 'EIc

-e1dnop laa$6 1nue1dr"p,Tlr'jrr1rXl:

ap,;,o1a1da:plfcas;a1u1tp pllnzarlcund sacy Fdlp d 1nuu1d FzgalrasralurU lnupld

'U SD, 4 aueld arlu arfcasJolutp (,ur ru)W 'Ub:erareoJetltxnu1nue1drg'1ela1e11nue1dal1l_l1-ttlT Pulruralap -s t8'? ern8r;uip e:ndJ F::illll:.€s

BlsBerBrluad a1da.rp-ialsaie1[

:i't :jllj'uI'lUoJdop olsa.ElPltnzarrfcas:e1urruno.Jnduls n auluralepos ps 1ua;c;gnslsE

ap BldeeJOJolcasrq,ue1due;rop 1e u1 ad

^(:?..1)g-,r_ftuozrJo_oluorJlsa ueld nop,1rrri

elaquB arulnclpuadt3{ ueld Fnop etrasrelur arlulp *11;1131yiap eliej.rq ;xolugrgh ip

l_t-t99,t rnFslsp:lnq3 I,'a1epueld nbf :i:lt:t:tlttu_l.i1a1ir.red9urfinop'tcasraprlar. eJlutp ollrasraluJap (,p ,p)g ralda:p 1L rte-s 19.7ejn8lt ritp e:nda ui ."ru" arrprrt nnnlar erfurp

'rlrasratrrJ-1p_4.,llq ;a1da:pL L"--: q.l "ilry llq ernda i:i1 ".";til;l';1*j"1.{ :.Ylg..:"ltgpE-un'ur1q61s"(1uo.i1ip etacd:lilp eriSasiilurp rjo""rp suiru:a1ap:f.^yi.P1llll11lnl9 In u; ,s 1a1r1u?, "r -9.-= 9, y punardrirsarej ,1,'"l;y, in-nuelo rltzodpulqu qrs alepaueldgnopelal -rund ug alua-rnruor^lurs V i6 q'l:nlaj.,i

::11 P,3.llT:i_111ip.- p-:p]g^_1a1da:p^auilredunopalsacy_oe-r 419'ep,5u,o,ei "ioa.,FlY" _(, ' ' tu)W Inlrund lJnzarlBluozrronop Pnopo-ler lprerluociirnu' jp lrr lciro.rOiJcuj

:?l:."-T:.l.lj":{"_111_l.o'Ftpluoz;'ioaisc leir l3J.t:.:_:9-ny'rd .Rrpnrls,s.s)v"1oerJ[-i{?lif.l_t_lprarBrerl11:l1j:]1p_.,9 a,r1u 4 1nue1dJplenlrs,'pp)q loeio:pupreprsuorrPIlrxnB Pldun';arlda,l lrpYc ugalua:ncuoir B) Ballop

1y ngluSi:f1E1n'gcilmrri lb"p#j:^:1--?.q_T-rolPole-'O r$ 4 aueldpnop tlg:?q-Fit-*r1epV1T'a'a1e1rund'.(,u,itVrni

lelrasraturs-sZ€,'f rnFrl 1p :n{au1 .bl's -rundug r:tjl1l

*-r::i,{,'SSiV'iS

t^p1dj<i,d-11"po1aue1d.3t1c1111ui,l .njn)O,elejuo-z1iolaleluoigrodnp ulcadsa.r"jueloFnop tsaa'l'oluorJco'11lda:pgnop oliica 1eagc'asraiulpzealcasrilur,g 1a,r1up arejareb"{a'-;;Pp (,ru .')W lnlcund.u'd .(

l^ lrltt^lil^:l ..1-0...*

]a.rf:._

lep ueld nop tar rlurp rfmsdearpFdnpo lnueJdsl,n,q ",rr$eldearp -rafur p-rnio"rp1e rundun .prrurorr'Jluo,

reap-" i de

Planul auxi l iar de nivel H' a determinat nf ecare din plriele date cite o orizontald



nnto-ateP

ectatsintr i iaralelefstorcare

intre

; ianu-I p lan

lr n')

b celep s-aupbele

l" de|5ii , inlnctul

f ; i R.lor deI pla-

Fig. 4.34

4.3.2.PLANEDATE PRIN ALTE ELEI}IENTECEOMETRICE.[ sedetermineroiecfiife rep-tel de intersecfie intre doudplanedate iecareprin cite doui drepte aralele.Celedoui planeauxiliare H' Ei Hi intersecteazdiecaredinplanele atedupd iteo orizontaldf ig.4,35).PuncteleM(m,m') qi Mr(mr, mi) rezultatedin intersecfiaacestororizontaledeterminlproiecfiile repteiG(9,g') de ntersecfieintreplanele ate. n epura in f igura .36 -agdsit

dreapta e ntersectieintredoui plane efinitefiecare rin linia deceamaimare antdL 9i L'fald de planul orizontal e proiectie.

(fig. 4.36). Acesteorizontale, iind paralelecuurmeleplanelordate, pr in cele doud ini i de

cea mai mare pantd, vor face unghiuri dreptecu proiec{ i i leor izontale espective le l ini i lorde cea mai mare pantd qi vor trece prin punc-tele (a, a') qi (b, b') , unde ini i le de cea maimare pantl intersecteazi,planul auxiliar denivel.

-Dinintersectiaacestordoui orizontale

rezulti punctul M(m, m'), care aparfine drep'tei G(g,g') de nterseclie intre celedoudplanedate.Analog, r in var iat iaplanuluidenivelH' ,in Hi, seobfine un al doileapunct M1(m1,mi)

al dreptei G(g, g')-de intersectiedintre celedoul blane date. ln sfirEit,si se determineintersettia dintre doud pllci plane date prinproiecfiile lor gi si se studiezevizibil itateaacestei ntersecfii n raport cu planelede proiec'

fie. Se consideri placa triunghiulari ABC__9i

irlaca patrulaterdplanI

MNPQ (fig. 4.37)'Planul-auxi l iarde hivel H' determinl n celedoud plane ale pldcilor orizontalele care seinti lnesc n punctul (p, p') . Analog,planul de

nivel tl i conduce la determinareapunctu-lui (n, q'). Proiecfiile dreptei de intersectiedintr'e planele celor doud- pldci sint astfel

59

-:\:y



:lsiti 'BlsareIrleJuI .e1dea;pur.ldsnp leder: l lnueldneslerr|;en nue1dcrperaldarpalel1u_pJralordlaueld rp Inun 6 rerJrxne eid,:B:€d.glEs eraue8I .(0t.? .Fu)q uiduarp ridiTq ,q rerll.qrB u;d rn _tS l"p lnuu;derlulpV allrasrelurieplduerp d1en11s"e1sa1nuu1diirq l€lderp 1u ilfcesralu ep y inleunri Buneap-loluJ pJ prlrJrJB JvJ

-nraaloalp eureas urf

::, I,s e.la*caulsaueldun rSpldea:p arlurper+Joslaltrr.p nJnlJund a:euru;raiap_r1ua6'_aINVIS II0UdU0.IENV'IdVOOIaW

t.f,.?

88' t ' 'Elc

3\ lv ' ld S ldtdc 3ulNto

' ' - -

i l lSSSdgrNtt 'f,

'..( ,J,s

,.rs)1ag1se-lsa aueld gnop

alar oJlulp arfcaslalul p eldeai6 .,n,r l, iad ,J-.yJ Jlplr as arer 'r ug rsaulllu as ,rrl rS

S olr fl relOjd.( ,e) . ,aL|

S lp ,rp)r( alua:nruorelaloarpep 1ulJep1epueld ealropIEpulrapts

ly_?"-(,n,tJnzt)

eldea.rp dnp 1ef u'e1d 'a1rop1e3lI] . . :b-11 e1d'eauauaserC

.( ;g,.g ')Vei 'dparpTSFSUIdnp 1ep ueJd lnur" id a lB] ,O lnueldy

-eldearp u1:d snp ,p lgdel rp ynueld

Fraplsuoras ,a1e1ngcraliia.rpIB (,r ,.i;y'arirSs

:t11r,"q^lly ?d_u.1lo1 aprnlaoea:euiru"1a:l"T:.q :q:"1:_8"9 ler€rlurparfcas;a1urpj:1.1tjp-l_"_^lt_1n9,l lls,a.,.s's)g lf es;airriir1t:1. i: i 11 -'.^ '.r.) $.d,n ,6nyalalderir:.Tli]r^._.s_lj_rolrastge1d.o11op1earelalep

:,":r:-,plgfelac cap (,r .u) J61,r . ' -; (;d ,d)' \ ,n 'n).a1a1rundl JolJasrqeldeapoplesaul;1:_YI1-q.rpts99yoe._t'ElJ)',u',ujp'lnpunauI alrrarnruoJ(lg ,rg)rV ri ff

,rp;i[ alaldarp

,ap lrurJapalSaueld EalroplB, Br ( ,ru,ru)Wlnlcundug aluarnruor(,d

- t)V :rS--,t,p?)A

3.L..rd"jf..I ll 1ll'pe1'n'ib'1i'i'i, , '.iiipii ,iuulouallop g-apar ?aueuasup ru;1lxnu'ueidur pulzlllln laluernruoralda.rp nof"algrurjC:j:l^tjJ iliYjlip 'auu1dnopa.4urp sirasralurpraloeJp ;uicalord unf,"aulurolapai qs .erha'e

l11lFr"Lurnpuor n1ea.iezrlrlngsugiro jlfnrrr

lq _n_rylil*nelda.rp nop eop infoi1ur ne-s:.i,J"t:"^T^:J

lsuorrerlrxneueld'ec

roicasrquBlo

-BalropB-op nlal rrrRzrlr lnlnfeluely

-"-Y.111lg.p__"t.rarlx p arlcas;a1urp eldeo.rp

y^1:.., ,lnlnp?rund Beltop1e aisa'_ (,1 t) if l tyn,d . alfcasratrurorpr e ,(,e,L"' , . i)rs (,d,n ,do) e1e1da.rpdnp :olj lsiq uerd:,nljo.q,f:,"lBllBp aleueld rop (,3 e;i6'1,.r,,r ;' (,0 '0) '(,o' :) alalrund g olcas'rqelh ialroII:.."_t-","1J_tyl

o rs rV 'q ,y jldai$ nrieo Ji"j

^:-TIdpnopelarerlurp rlcas;aluJ'apildarp1i

lrund un elsaW lnlcund ]urpr^E ('ggI

.EUl(,_t iy)tg IrunO rselace 1 J1'eoJ l"riarnouo,

^ ig,_,s] 'Vgo, 'rp)ros (,s s)V ,(,p,p)o

?lalderpp lr1radse.r

rerarJirur$p'auei,i liri3-l-..r..19rolceslquuldua[op 1u_-apar ur;rxnuuulo uf, pulzlllln ,(,ru u)W

lrund- SeleJi ;ily.iliri_r^_"1derp

nop. l;r u;rd ererajl51;u;5aj:::t9, ry.9p rlurp ariras.ra;urp 1e1iia.rp:j;ji

-le o.rd uruJelep spS .UVI-IIX'VNVTd Vf,roouorcasr€n-rnNvrd,vadV2iriihT,,i

?9--l:ry"trsalfces.relur,trlprrrrqlrnt"fifil8re:a1e1n:1edceldaleq-prfsi i i i i i {run,ri eca14"(, , l, ri)eaun od uridr'asird,'uip t1,il,,;;j

cg't, Fl.I

. \IJ

: . \d\

t1d ,t

i i1, .1



-;{.\o'*(9

"fe(1ta-r l in ire o- drcnqti .ST ln,plCi l necesit iintotdcaunarci opera i idesti ipt ive,l i a- iTume

i ducereaplanului proiectantpr in dreapt5;+ ffectuarea ntersecfieidintre pl3nul dat qip lanul pro iectant ;

+ efectuarea ntersectiei dintre dreapta ini-

{ ia la ; i dreaptade intersec{ ieezul ta ia .

S[ se determine astlel proiecfile punctu-lui M (m, m') de intersecfiedintre o dreaptioarecareD (d, d') gi un plan P dat prin urme.Se ducepr in dreapiaD (d, d') planul auxi l iar

ele ap[t QQ', care ntersecteazi lanul P dupldreapta (hv, h'v ') ( f ig .4,41) , La intersecl iaacestei drepte cu dreapta D (d, d') rezultlpunctul M (m, m') in caredreaptaD inti lnegteplanul P, Analog, se poate considera a planauxi l iar un plan vert ical, dus pr in dreaptaD (d, d'). Este util si fie considerate itevaap icaf i

F Si se determine proiecfiile punctuluiM (m, n') de intersecfiedintre o dreapti verti-

call (saude caplt] qi'un plan P dat prin urme.Planulvertical qg{, dlis.prinverticalaD (d, d' )paralel u urma'or izoptald: 'alanuluiP, inter-iecteazd planul P dupl oi izontala (8, 8')riig. 4.42). Aceasti orizontal_dntilnegte verti-cala dati in puncttr l m (fi : d, m') ciutat.

r.ie+f,fi

Analog,planulde capatQQ' , duspr in dreaptade caplt D (d, d') paralel u urma vert icald- :F'

{ planului P, intersecteazd lanul P dupifrontala ( 8, 8') (fig. 4.43). Aceastd frontaldint i lneste dreapta de capat datl in punctulM (m, m' = d') c iu ta i .

20 Si se determine roiecliilepunctului I ( i, i l)de ntersecfie intre o dreaptdD (d, d'), paralel[cu linia de plmint,, ;i un plan P, definit prinlinia de cea mai mare panti A (8, 8') fafl deplanulorizontaldeproiecfie.Planul de nivirl H'

dus pr in dreaptaD (d, d') este ntersectat edreaptaA (8, 8') in punctulA (a, a') , peundetrece orizontala G (g, g') de intersecfiedintreceledoudplane: planul H' gi planul P, definitpr in l inia sa de cea mai mare pantd fafd deplanul or izontalde proiec{ ie f ik. 4.44). 'Pro-ieclia g esteperpendiculardn a pe I Ei inti l-negteproieclia orizontaldd in i, care seridiciin i 'pe d ' . ' ."

: :_:* : 1.., ,

30 Si se determine prqiecjiile punctului

M (r, I') de intersecfie dintre o dreaptEoafqcare D (d, d') gi -un plan ce trece prinlinia de plmint pi punctul A.(a, a'). Planulde capdt QQ', dus prin dreapta D. (d, d'),intersecteazd lanul dat dupd dreapta (r,

"')fig. 4.45). Aceastd dreaptd intilneEte dreap-

tFig. {4s

i

61

z9



:-,0_O alaurrnleulurralop e-sg ,6p.p ernFlg1l_q-.rnda u1 .g.rndaad' 1epa.r' ii.' rerfcas

-ra1u ;p.1

; qtzt,r In pll.Sjrrri,y

"rrio- alEq prls?g"y-:".t-9_arurur, ,n,*rtr) i'aunl.roOlOhrplspacu lp au;fareg .rcpldgnop rb1ecieuelit:jlyjt :.fn:r,"ryl,ai .sb1?taip1i'frn'rripu,*jly_rl 1fcagr9ru1.

"[.sa1?r'r1prli*l"rj'pi,rli' ' '''-" ,a\

.-.l.|l_t njtt(,d.'d) S r, ,o;'aleiSrind-iilcJada,

. ,

nlil i ririi,Y*'F$:;,"$v,rd;*lr.l;j'&d':""'?,.iii{rtTen- l,t'i'$iJi#x,.1:.T_'T,Tl$(,I,d,ud)-iproi:i'aj;;r"n;,"; e1a;de.rp.apl;u 1epe1o.in'i$ f)p 'pto'..,r,ljlllE

' r.'_or1;r;1)a.Nw's sv,;i;i6il,r; ::::g^I11"*p -iriuspsfcasreiulp ,ur u) w:1.t*gr.'p;1.;sir.qNfi,lfffiildJiil;LliJ::::noy*t"._':i,'il"5ipl,l,,ii,';i:Lq,il;la.llJ9l,ia1g 'a;fra;o-ro--abjjuLlo ;jlff;l ;n;nlrund als;fealojdu1ur.r5lnp s FS o9u lllsesrelu tltt".:,,r:i:I[qlrti cza;pri1ss

.,p--:9,_,.u,Ipqpi, ,r'"rr" ,, "JltioIi;;'3p,[ttii::,gif,"ili,li::l,f':ll*":]iri**lin"J,',",$fi,#t',yi;,'.,$:1];

.(e1ec11ra,rerfcarordgr-r

Ll cllorclFu T:1lep_a.s:(,t .,q) lqdei p niArJi'[

ifiJ:$liif{;r":lilt",i*;t;t'm"r,l,,"x#q[[i,"{ii,t.{J.,9:,,il,i"Jxt";lj;",1rui,{',"#ii:',1,":,1i""x'i1lT;i',;,'#H,j:'i['iill[T5'?,l"ili1^:ii":jBlJ',f'3kigrii*",i,::,*i1'jrv'i'vlrrg ecrl:ir,

'r"i"i,i:illlifi,tJlJi;:;",",r#fit{ft",",f

i[Pl.Barp JrdarnD 1;rjy-rrigniqrun; -1-lnure1o

;drilil'pld:nr? o,errulp ,u, ;,u)1iy gfras.ralug1$au1l1ur'p p)o u;c;i1l +" ;r (,;.':) ry illffijild a1;sira;o.rduluralap sesofllnrnlrund

aJ;rfea;o.rd rirur.ralap"J -ps.s ' '""'nii',r.-

j)_a^tlcasrelurp eldeerpFururral

ru*:",::1 y?,,,,g # Hiil:,}j: ffi :l1;'itl;LJ,XJ,li fi:iii ##'oeJp llrasrarur1o_,(Zr

'Fri) 0" tlld .g ;i'iul,ira^rip

e;u 1 _1iu"'rari-"r nue1orgrzualcasraluliaie:e-d-.tr9-njpnop'a1iri:r:l t(,g tg)^l^Bdbcap gldearp i 1nue1oJpurur('q 'q)g rs ('s 'u)yr -roldlcirnd,iio1niu,nj -i5jap ric , ,.r rn,pundelocprsnp ,H

re^rulBUrurrelep(.i ' .) a;fras-ri1ir;peianaiponp ap .rerlrxneJ.nurld zeazriqns .aueltrgnop;e1e:edlda: udon,^1:lo?.ln,a lnur,d.u:j:t aiarailir;p9il=:j.ltlii p i,i..e)

e1oeo:paurlqoJeSr ' lur,p 'p)q eldear i r

fu si rp, f6-11noee" 'nr1u54' . i * , ,u)ry lnl runduJ ,p ,p)o e}

I

IIItIi

|le;-sec-palele

hinatd

RR' aleplanelor l i ici lor recumi dreaptaorde ntersectiehv,h'v'). Alt exemplu itei at



1,. ') ,

Ftpaza(]rep-lel e

guluihreltelaptahn seh"up-DinI din

F,E,ldouE

'gi sdEin$ci lehtrul 'n ' )

planeihtinbter-htrehstdA8CIter-idin

ls i

'

Fig. 4.50

63

in f igura4.49, .8o Prin punctul A (a, a') dat, s[ se ducfl o{reqnt{ G (CrCl) care sI intilneasc[ drepteleP (q,d') Si A ( D, 8') nesituaten ace'lagilan.SedeterminlpunctulM (m, m') de ntbrsectiedintredreaptaA (8,8') ; i planul format ded-reaptadmasd (d,d') gi depunctulA (a,a' )(fig. 4.50).DreaptaO (9, g') careunegte cestpunctM cu punctulA este olu{ia roblemei.Pentru ceasta,educeprin punctulA (a,a')paralelaDr(dr, di) la dreaptaD (d,d') gi seuti l izeazi . lanul roiectant ' dusprindreap.

-ta A (8. E'), care intersecteazdlanul celordoul drepteparalele upadreapta bc,b'c' == 8'

- Q'). Rezultdm la intersecfiaintrebc: $i. .0,are e idicd n m' pe 8'. Uninda cum qi

a' cu m' se obfinproiecfi i le repteiG (g,g')cdutate.Ca verif icare, roiecfi i le gi s' alepunctuluiS trebuiesa se glseascd e aceeagil inie de ordine.9o S[ sedetermine goiecfiilerepteiG (g,g'),care ntilneqte

reptele ecoplanare(d,

d')gi

A (8, 8') gi esteparaleli cu o a treia dreapt6E (e,e'). Prindreapta (d,d') seduce n planP paralelcu a treia .dreapti E (e,e') pi sedeterminipunctulN (n, n'), ln careacest laneste ntersectat e dreaptaA(8,8' ) . Pr inpunctulN (n,n') se duceo paraleliG (9,g')la a treia dreapti E (e,e'), care constituiesolu{iaproblemeif ig.4.51).Pentruaceasta,prin punctulM (m,m') de pe dreaptaD seduceparalelaE1(e1, j) la dreaptaE (e,e')

.s iplanul acestordoul drepte concurente steintersectat e planul de capit Q' dus prindreaptaA (8, 8'), dupd dreaptade proiecfieorizontallq, care ntilneqte in n. Rezultin'gi proiecfiile dreptei cdutate G (9,g'). Caverif icare,roiecfi i le qi l ' alepunctului de

tJ .,'-:Fig. 4,49.

': j

b)

lotetseclio oldeilopn' plqnc triuaihiulorc

7 P^':n athrntboiia't", planuluiverlibotdi

t9

'ty__nllcedsar O ala1de.rplrd X 16 a1ue1



:i :"$11ld.e sc11qglaleredeyiralo"rdungeJ n ellnza.r rn1nue1de d gleluozro'uuuhJtj::::]::rold asd rntnuptd lplcund ieolarfenlrs

, l$ ,6-roro:dalaueld np )s l.l6 rirlnueld-a)awin zeaz

-ll[ln es nu BlsBorE r]uad .y ri q'a1ua;f,cuocalda:p pnop roler 1e 4=1.nLie1a

9-rulfrnrr.1u,

ilV :,t::d::r : -'q.ai.,1c5:ponu";i,u,uiniI( lP

'tu)_Wtaloundurur-1a1apS (ad .Fli iV rs q alrrJrnruoJ 1a1da-rpp liulur:aiapd 1nue1drrelale:edlda'nu-'ryg ri l dplOJrpulp Bun lrlu gr aundnsa:d g. .a1ip'r iCe.ri

lil:d i '1 "rsueutllu Bs e,nJ tla 'a) aioajrlSun "a1;;ira1o.rduruua;ap s BS .irera.lso

lj .,'S 'v. ls (lp 'rp) o e1e;da.rp5a;uarnruor

11Sg/ V_ s (,p 'P)O alelderpRraplsuof,So0 I.

'(,F ,E)g eldua.rpl$ eueldgnop orrSrEllcrsJelulE eldea:p o 1a1e:edeld'unaJnoasv Blderrp lrd .g eldea.rpr laterbd erbun arnpas g eldealp lrd :1ag11r.S epacoid

:1":9-:9.""1pLop alurrlsteacri '5d1en1,,11qs alnqarlC s D alaldatpar1u1p i'ua.rncuo5

plseaJBIJJ ocaJpoaq arf-oelord

"btetuuzrto

lly.tl^._ed Jalda:.p,glecJpurrf5ard.rdOhpF:ttqoplelerpd lfcelo:d 1ulza,rdal4 eldia.rg:11?,1.^FQ 1n1nue1d.alaluluorJn'c' jaJe.ret:JtlTrl,"lrlqo,elelerud aluelcaroid r FaleasIs (,P p)q eldearp d ap'(,ur ur)

W rerlrqrell1lg un praplsubcag' .jle1e.rudrarioaro.rdppolau puJzlll1n .aur1nu;.rd ;up j 'lnriulo

T:1111*ip--:ql ulduarporer'

us,(," ,n)vltllyld a1;1fca;ordu[urel?pes'9i' reJtsyS J.,l^t:p^jxg_ytlatpredu ui"rd upnp'f a&

aurfqo s,player'ed,,ricaloicjl'ppuiuJn.UA^-PI_t?lt*nur;n rg.'a1eod:er) pldearp

^]P^,ry:{tJqrepund lnunB rru pralereil,tJl,1"{:j^, d,l$'u s u1 o_7;ourun u :d^u nea

fl.ll- 9:n :pplelered

erfcapr6.orfoaro.rd

p. Iqluozlro ilue1dd q laldoiiie-tp rjiard:eJllilqld

-ed J$ 1n1nue1d-6 piuluoi,r?r'"i*rn

' ].",ji::t.la1_o1'd'lsna 1n-uelir, .s- nfonrp-a11cas1alqjpV lnirund pl5lerudiricarorit

:::3_",q'(.sS,'3;1) d :rnlnuri lolaJelioi j r]lnl^t^l-l,-E8) q ulfcerrp repisuo'c'eili8a:1.,.:lyl,. alllferado iepofolpu1"1g11'Orurc_11.._.yltS p+dea.ip arlurpar1'rairalrirpeua.lqord

, ?iuljnsn nr u,rlozar'iod1ig11eapzu1sa+--e+|eep1d,

1$

_^er

_p1+1e.redi.g, rya'ralvuvd fiItlcitroudvoorsw",.vv.v rs r v u vu r.Ir4r, lrJtudd vuo.Lcw

.3V. V

l r t ' ' r '/

31Jii^s,t't9,:uo'l3l,,l?Hi$"f,'#,U$: ;V_

\nradser.S q..ro1etrdaiple n,jrjrrnlirt .| (,u 'u) N Is (.u ,.)tV ilal jund

"1$jun:nrr"f .L) ?e1lyaiq rg ad

u'u p.reoqbr", "rn,-

1J-_igalsaulJlugtetl Jer ,,e l$ ,J nep el_ IgluuV 'Ip aO ,* ul pJlitr os orur ,urtp a1$au131rrg;-u.re1q r$ frril;q is,n inglry

as'a 8lc

I9' f '31g

lncgi. f l t ,



g'),decuS-

stdalpefiade0t-l ia

caredreaptaD intilnegte planul P. Frontala

cirei urmd orizontald,este ocdd proiec{iile

a

a: i a';le punctului cdutat.

+.+-6. METODA PROTnCTTETCENTRALE.

-lceasti metodd se aseaminl cu metodaproiec-iiei paralele, arederivl de fapt dintr-o proiec-tie centraldal clrei centru de proiec{ie ., .' )c:te la oo (infinit). Dacdse considerdun centrude proiectie(., . ') situat pentru ugurinfd peurmaverticald P' a planului (fig. 4.55),atuncipunctul A de intersecfie dreptei D cu planulste proiectat central in at pe urma orizontal5a planului ;i pe proiecfia entrali dr a drepteiDpe planul orizontal de proiecfie. Proiecfia cen-tnaldd1a drepteiDtrece prin urma orizontaldha drepteigi prin proiectiacentralda unui punctflarecareal dreptei D, care poate fi sau urmaryerticali v' sau punctul de la infinit aldreptei D. Reveninddin proiecfiacentrald,seronelte81 cu {d gi rezultd a pe d, proiec}iaori-rcrntalSa punctului de intersecliecdutat. Si se*termine proiecfiile punctului A (a, a') in care*rapta D (d, d') intilnegte planul P dat prinrnre, utilizind metoda proiecfiei centrale. Seoilegeca centru de proiectie punctul (., .'),

situat in planul vertical pe urma verticald P'a planului (fig. 4.56). Punctele planului decigi punctul A (a, a') vor fi astfel proiectatecentralpe urma orizontali P a planului.Pentruaceasta.se uce. aralela <ok, o'k') la dreaptaD (d, d') Eiseobfinea la intersec{ia rmei Pcudreaptakh. Unind o( u o se obf n proiec{iileagi a' ale punctuluiA.

4.5.DREPTEt PLANEpERpENDtCtJtARE

4.5.1.DREAPTAPERPENDTCULARAE UNPLAN.TEOREMADE PERPENDICULARITA-TE: o dreaptl un plan are

pe planul P (fig.nit de verticalele

65

Fig. 4.56

tTIItt . (,-11) ;n1n;;r^ tp^(,RlR) rlqf,nu raun

g{ prrlrsouf,c q8rinlo'arpl4'nrpurl

99



[i li:: nun

ffl lr3lor0?rsErnrlsuor

spf.SlHgNnldguo

lur nuo:rur nNn ilcn-tisrrrbJ-;t;i[ l i ,^T l]T) lqi raldarp lrrirero:d r:d gleuru\

E1 :J3p:"i',1*'i/,J;"'iJ5330'"iofi."'#

fr9ln .n, c aulfqoes a:er ,(,L, tI

'pi lcuriO

F ,_p g)q uldearp p etrasreluleisi ,j4 uelcl

P?Y._ 09,tEl) (,p p)o ptep loeajp-ioi1

f1lJ11di.d.,641nue1d,ur ,ru)qi lnPrindur.rciPnpos (,1 J)J rrleluorJ1n:o1n[e1 .rarotJPlxe ,tu 'ur)W lrund,un-J+.urpsnp ,(,p p)Opeq ptduarRo ad (,s ,s

) y e.rdlnriiiuad.rad

f"i 3uj 3"_lo-rdrsusn4iuors gs yrdVaUo

I ga vuv'rntroNsd\:rdrdvsua,8.9.r

I ,il&,|

.* '' |t

r f i l

ir,,,q t *,,r

"*o.,?i{,i',.'#,$?i ?,T',tj:$

ao ArlJJdsJJ cJBJnJIpuad.led Jesa;'aurin pug,re',d4 1nue16g ry riolBrpd4 lejuozl.iorurn cnpas a;eculrd , '4 pllnzag 1u1npirnlnueld/d plpJrlJa,t BurJnalsa ,p ad ,n uJ psnp'BJBJnJrp

;Tq1iq/^ Flernre^-erii:njeRi_i 1 ru1 .11r,

j,: ::)'y rILlTd ur:d. snp_a ieo ,,iinro1,r,r,( ,9 'g) V vpluozlro-(69.t .Fg)

leingc rnlnueld

:_fj.",lTrl"rdredldeJilo 5o rlnirs'(,1njvr:l]Ylj-:19 Ftyp ,p p)q plduajpad'rulnrJp-uecJed;sa13 ,y ,n)y lnlrundulrd ararl arur

gnlnuzJdlp ,d tSa lt:y1 au.;uraiepspS :VI-dvauoo ad uv"InJIqN:IdUaarivra 7,.g.,

-npr (,p ,p).O la.leyncrpuad.rad,al,,lrnlorOr1"/q'J

as rnlnueld laruJn d .,r, l1cadsjj".e'urnS euIp alerelnrrpued;adulrnp [rJ]sy (SE.l .SU)

iir i i : ldaleounu r$n1a:ep1i<iiaurn'nj, i l leripdd nBS) laurrn darelnorpuad.redr; qs' i i1daii,

elrr icalo:d c_;epe*eBsaJeuisauetO'un

ed

qr:]x"lpyaqrad r; gseldea.rp3 ."ruri uJ"rdupd^- :y"ldadp;e;nrrpuad;adlsJ;S (,u ,e)y 1n1-f,uno-urrd reJlarpr (,p,p)q ;blOarp'ai;1i-rap.ldoururelep spS ,,;fr,pfS a-1-.p rane

li _ ? :q:.,

_.1san uJru ijo1 ei' eJ 15'1u1' nu. p1-eJr+JaArlJeroJd:1uade1e:lsuourai

1a11selsaBrrraroalD lnueldugplnugluo-cldeJ:ii alsa"j:: .:p_ l"_ ug:rro ire o:d ed r3'preth"rpu'ed-reo rJBABa ,D

1nue1dd p:elnclpuadiad'a1sad ylvluoztroBrrrrn n3 .ue1d

lsare uJ p+null

-uoogldee.rp rrroed plelnojpujdrad isj'un1ciun ad grelncrpuad.radldee.rp'p, pra i,1SJg'd.ylvluozlJo errrJn elsJ oJBJ ,aue1d

rolsere eelirasralur p eldea:pad 1Seynelpu"OiSO1r ,D IBcrlra 1nue1depeSy g

iuli'oz1tonurilded rs lgr 4 1nue1dd 1;piwlnjrfuadlaOlse i$



:orneihtrrte-hrceicu-FSt

l inFulFtuFr-

perpendicularaAC pe planul$P. PrinSAC seconstruieqte lanul Q perpendicular e dreap-ta AB, conlinutd in planul f.

In cazul problemeidate, se duceplanul P prinurma h p-erpendiculare dt ( f ig. 4.61).Rezul-ti P,, iare unit cu v' di urma verticali P' .

Din i ' se duceproiecfiadi perpendicularaeurma verticali P' gi astfel dreaptaDr (du di)estedeierminatS.Prin dreapta Dr (dr, dil seduce planul QQ'perpendicular pe dreaptaD (d, d'). DreaptaG (g, g{ de ntersecfe dintreplaneleP g i Q estea treia muchiea tr iedruluic iutat.

4.5.5.PLAN PERPENDICULARPE DOUAPLANE. Si se determine urmele R gi R' aleplanului care trece prin punctul A (a, a') $ieste perpendicularpe planele P +iQ date prinurme. Planul R este atunci perpendicularpedreapta D (d, d') de interseclie a planelor P

;i Q (fig. 4.62). Fie punctul A (a, a') pe fron-tala ( f, f ' ) a vi i torului plan R, a cdrui urmaorizontald.R trece prin urma orizontal5 K a

frontalei qi este perpendiculardpe proiecliaorizontalaa drepteiD. Rezultd R* , de undeseduce urma verticald R' perpendiculardpeproieclia verticald d' a dreptei D. Se poateprocedaEialtfel ,gi anune: din punctulA (a, a' ):e duc perpendicularele (d, d') Ei A (8, 8')respectiv 9 planeleP ;i Q (f ig. a.ff i ) . Pl anuldeterminatde drepteleD ;i A este planul R

Fis. , .of- l

clutat, perpendicular e celedoudplane dateP

ii Q. Urmeleplanului R se obfin unind respec-

tiv urmelede acelagi ume ale dreptelorD gi A.4.5.6. PERPENDICULARA OMUNAA DOUADREPTE. S[ se construiasclproiecfiile perpen-dicularei comune

-G (g, g') dintre drepteleD (d, d') qi A (8, 3') . Se poate determina:

- direclia perpendicularei comune;

- perpendiculara comund ea tnsd;i (pozitia 'perpendicularei omune).

Pentru a determina direc{ia perpendicularei

comunese duce planul PP' perpendicularpedreapta D qi planul QQ' perpendicular edreapta A (fig. 4.64). Dreapta de intersecfie(u,

"')dintre acestedoud plane dd direcfia

perpendiculareiomune intre celedouddrepte.Pentru a determina pozil,ia perpendiculareicomunese duceprin dreaptaD (d, d') un plan

RR' paralelcu dreapta u, r ' ) . Pentru aceasta,

{'Fq 4.63

Tlril '

o,

plr as elur s u p Rleluoztro erfrarord alSaulglur ue

'.(,e,u,Iee)

89

de1 palsa s1 Bs



,"rsuJ dfudrP qnop ellJ UlJdp orlresrelurop ;alda.rpllrf

:: ' j j"^ :i l l?t"rd ldeirpeonp ep-ue1o

l ,p 'p) O uldea.rp r:d s-niv ^ :' r- r

'.-t','"'1ji;li 'ij#iii;$if,i5'".'?J'Hii h:1?3p

'J+Eu eldJ JBJrlral r$ luluozrro gz-ealcar6idiec

ll"r,:r^..:".?l{.dg--.{.9 11i.nopare xin,.u, 1d

-n,

' i,i?"sd; " ;i"i," ',rillHrffiXi, 3:,1S"::r r r : . ._" rJ ' \t _ _/ rt l r r tvsrrs uJ u+udJuJuuJ

"8) 'V ls (,9 'g) y a1e1da:paplruuop lso eldeolroprBI '(,uI 'tu) p lnlrund u3 alua:nruor (rp .rp) IO

,Y,'y]S,,:l.lgp. _utrd tultgp alsa ueld rnrurrd(,p p)c a;a1do:ptrd

._llyJtgp1." uuid'1n',i,r6r l) le^ u.epouuld nui .rolairdid'ereurrnr, ', , rr 'o1,. ,,ljf l":?-.j-',l 1.y1.1g3riuue1 ,i,,"r'[1

n'nill11L..:yldp"1' u o

", inli"r"i p' iiJr pi,;risrelurop ;alda.rpll;fmrordeuiu.relapi pl .i

r'Jner'luozr:onluaur;agpn, u,i"rrrSltii;i.,l?YPI psnp s_ur.rd elayered .eaueuase

aq .g nc erlcaslul BIs eurfqo sp er erole-red, ugroiuJr'n[.1r1"g,luaurFas ,p ,p)( drfja:rppdnp leluozriofn"u,li,iot,pplcrjriia.iift;";i,ftfiillH"Jr1ruEi

99'r 8t J

99 'FIC

;"t l:" -Pt:].::.:d-e;foa1o.rdlnluaur;es rS-s uI

deu:n elSauJrrur

s,ni t,J 'F;t?# #1"',ffii,i lyf :d.[:,T ;-uozlroFrurn ruRr_BJnueld upuralap qiS y- e1a1de.rg

_oeldlarp et (lp 'rp) rq e1e1e.radlcund saceurrd ernp

i l . . lS, S '8) y eldearped-1en11r.,ul ', f-q'r"r1,qle1:11-dun FrraplsuorS rgs..l .drl) ol?p oluornruorauSIBJAJPo elalde.In ( o .o l

"r.",;";,riffi":, ,%Flilfrp"&o,".,i"0,;"l,t,o",EH['1 plupaur;Eunl p gfdeorpgf juaru';esln lr.enrpa n. pg(,s 'g) v ts (,p ,p)

6 a.rirejuo"1.1onrp' i"fi.u,ii

n5"5

;'#li,'"",ii',"-i'lli;l'tlv:'{i?i firlri;E''illi'J,?l'l#i'jiJ#i y;-ri#Fiiil',li' jr#f 'i.?tiHillse rauelqord u alin r<

:Let_( :l' , ' l 1 ;[H'.$ti_oE,,rqii,,;; ;fllup gnln;qFunl.rrlfinrrI,rbp l"rrp'u"p1'rF" jrn";sg 1nlrundu;.rd rariardj ,r'uuld uri ;ui,u.iait;r-ii.t,prg5..,lrund 11u n ;6 (,r , rJ

?_fs(,q ,OS ,(,e ,u)

V ilelrundp ultap nJqauri;.r1ip suo'r'es' .iiivjlia{ls:i

^-- _^ _(,p 'p).q eldea_rpd 1en1rspnnpn\-ug'"

3il,i"u?i.1;:Lt"').t1 cundrpetuI'prop

*,'ir,'1yl, "'d'5-r:H.,"JlB,?)",o.it ,i3Inlnlrund el l l fcalo.rd ate51;l . lan

n3 lp1"1np,

lynyor u:ulncrpuad.redlsJ'1.o .i ,ili"5rip l .._{ inlcuno u- rd_

, Fsnp,,d',a)ri nlblnrn6' t. '.) qr lnlcundry (,S i yy eloeirpnr'a1$ei-[J]uI s :ereldee.l9(,r,t i . cq)'arfrJsra]ulep11de3;rdnp nrgnllp'irr:A;il 1njiffi1nuu1o:l j"lp.l,"fa ueldlsereBr g,r-reiqo'ag..i,"'" ;Il..J:p,'?),e1a1da.rpp lBruroJnse'id

blSa,i

-lill&41",*JY,ldiy?^p':ti"\,{',.,)rn}n",;"n,0' io";,';f ge,,",i"o/,1",{i'J,:$

ffi

incit punctul A este situat in mij locul segmentuluidreptei A cuprins intre urme.

5" Se consideri punctele A (a, a') gi B (b, b') qi dreaptaD (d, d'). Si se determineun punct C (c, c') pe dreaptaD



dati care sd se giseasci la egald distanfd de punctele A

gi B. Toate punctele egal depdrtate de punctele A qi Bsint situate in planul mediator al punctelor A qi B(f ig. 4.69). Se va construi planul P mediator al puncte-lor A Ei B. Pentru aceasta e duce orizontala (g, g') prinM (m, m') mij locul segmentuluiAB luind gJab. Prinurma verticald k' a acestei orizontale trece urma ver-t icald P' a planului, f i ind perpendiculard e a'b'. RezultdP* gi urma orizofltal5 P perpendiculard pe ab. Cu aju-

torul planului proiectant QQ' dus prin dreapta D (d ,d') se determini proiecf i i le punctului C (c, c') undedreapta D intersecteazd lanul mediator P. PunctulC(c,-c') astfeldeterminat dspundeproblemei date.

6" Prin punctul M (m, m') ale cirul proiecfil sint con-fundate, si se duci o dreapti G (g, g') care si intilneascddreapta D (d, d') situati in planul vertical de proiecfiegl dreaptaA (8, 8') situat[ in planul orizontal deproiecfie.

Paralela Al (81, Sjl dusd prin punctul M (m, m') la

dreapta A (8, 8') determindplanul PP', care este nter-sectaide dreaptaD (d, di) ln punctul S (s, s') (f ig. 4.70).n s' pe d', Punctul S (s, s'

secf iedintre celedoudplaneln s' pe d'. Punctul S (s, s') apart ine d

. Analog, planul de capdt Q'ine dreptei de inier-

dusprin dreaptaq (81, 8i) taie al doilea plan dat dupd

insdqidreapta A, li taie primul plan dat dupb dreapta

(bbl, b'bi). Proiec{iaorizontali bb, lnt i lneqte proiec ia

orizontalit8, in r carese idicd in r' pe Ai. astiet dreapta

de intersecliedintre cele doud plane date este sr' s'r ') .

4o Se consideri planul P dat prin urme 9i o dreaptiD (d, d'). S[ se determineplanul Q care treceprindreap-

ta D qi care se intersecteaid cu planul P dupi o dreaptiA (S, S') al cirei segment uprins ntre urme este mpirfitde dreaptaD in doui pdrf i egale. Fie A (a, a') punctulin caredreaptaD (d, d') intersecteazdlanulP ( i ig ' 4.68).Paralelaor in a' la l in ia de pdmlnt dd s'pe urma vert i -cald P'. 5e atege v' situat

'totpe urma P' astfel ncit

s'v' : P* s'. Pinctul (v, v') astfbl determinatesteurma

verticald a dreptei A (8, 8') cdutate. Se observdcd intr iunghiui P* vth' dreaptaa's' este inie mij locie, astfel

Fig. 4.69

Fig. 4.67

Fig. 4.70

-

69

I

II

I ll^ _d,:_|'Qrc)laleluozrrogdnp.aJlcadsar ueld pnopI

alsareBzeollaslalu3ln1n1cundior e1snp .,g p,rrirq::i

OL

tL ' , 'Etd



I li"i "'ii: .i' o,l'?,".":5)6"'i.?"11:al" ,:I IIIg{gappldearp nopE-ap ar ap li' (,li'i'tnjrrina ni,I llul]ap1nue1dSueld sac'arlurp-ilcaij5luraf raloarir;

elgllraro:dtner s s (,q, qil ' ist,b,l ,ui;'e1j1o'ejpoi

I ll1ry.pe€uaruasepelp arec eld ,1,q,e';qe)'ir1o:iai ,

I :ld:3ip^..8_1slnlcundp ilulJo'pnu,iio irlriiieua;irI 9, t l aS (?l,t Erg) r fedsrJ prpqre-r r)[ '1;rundirr

liG:r]':,,i'"uii9:;}y?,i:i,rfg?13,";td'";,"0,31;I ln_uytg,z|.tve p.rp| 1;3ojd5 iru_1rtjseioru

u alenlsI l,:,?

,ar)tt (,9,p qu);r1ordp-a1agi:p'erjup

"ri""6ra1iii| "R t,tu u) 14 nlnPund 1r;fie;<i.rdrirrur'a15ps pS.01

I

.(In,rs r,ru)

16 :o1a1darp1uI

aunu tselaf,s3p alaurn irrlcadsal putun cseseS s aurn

IInlPr. olP 'd +BlnBr 1nue1d ulur.ralap rir,ru ,r,rul) ri

I(lf

.I]..9_.i:i.It"9?-a1a1da.rqJ +uorj p'1nua1d: rsI ; { 19{lu p nuEId.r 6.1n1nue1d1i l frasre1i . r rlpalp} lnzarI 1:l^'{l

PleluorJts (,9 'a) eleluoiiio urrci rlcio as orerI l lr0rlp 'O rnlnueld olarrrne1ea,rjpadsii 'elrrfca.rrp

Inp pl r l arnp as (,u, ru) ry ln lcundug th, ru ' , rnru,

Ierelncrpuadred(€/ t

.Fll) rV 16 alalered lderp nop

J "l: i : lieurroJ.O .lnueJd

d (jn,ru rnur; e:elncrpuetl

I :,. i i^9]ipas '(,,p p)O slup eldaa.r-pd ap (,ur ru)q1

I aref,orBoJr1:undurq .b gn;nuu;d' laurjn'ezti l ln eJ

PIPJ(:S "S)-'V tS (,9 'S)y a1e1u.rudldarp nopur.rd

I lyt,-q ;nue1d d .ru;nrlpuad.redlsar$ (,p ,p)q ulduarp

Iaulluor a:er n;nueld ;e,4 ;66 olaru.rir,ili"r'"i,ri, sps

"b

I :ll:.':^.l:i (,q,yqe)eldea.rq(,s.,s)y rrr:d,il:t;ilI l .n-rt l r1n.n1nue1dn.rolnteJlnuilqb't lq ,ct

a InlrundI : r

( ,s 'g) .y eldeorp p l ru l l luJ 'a iso" ,44" i i t r i sar1.i

' , \A_1. ,iJ) rp p)q eldea. rpd. epr. r rucd. raJ,44 1nue1d' 1, _ 'p l c ldea:p.adp (,u ,e)y ' ln i iLrnd , r i ' , r , ,p ,s'c_-uldtrrpr uu;d1$e1ar'.urg,alsoru'.ajer,S .i)

f ql.jnrriiplle o od grrrfr.rdssoreJl$

(,p .p)

Opl;i,

ildiarp o srt

lle o od gug[;rds sorerl$ .(,p

,pl

Oplbi,p-1'Oriaip

si teruynrrpuad;adldarpaunairrijjro-io -rrilnlsrJorispS og

8/ t 8lc' ( ,p .p)

O pleln?J elduarpeururrr l rD

1,,y,^Il.IruIlr_yl,l r.eunardurl:er ,u .u;'pininlrilnbalnlraroJq glJnzoreldo.rpgnop .rolsajeer|.r5sjalur rq.

r- l_^: i] t .s-. trO,c' r) elalda:p' dn .ro1;asi url. i u.r,oplB pzealJasrrturauBrdenop rlrr. ,r.uq 1,J

e.yis q,,r, . , ,r. ,1,(,d .d) .1,r ,n) 'a1a1;irndug',rr1'rodsj.r' iOrlpnjraOdrrr aD

1::. : .Llt_._t: ,rrerrolrrsrq ue;d ualrop 1e so1o1 lebd es

rpt l rxnBueld pJ.1,y lrund r$e1ara'uj lu j :nruoo'a1da:p

l_"1^?11,

ulrd arecer;.a1ep iuald pn6pu urfras:a1ur5^1::i i:.J:,T.9.111| s ls_f.'B'y'el.rirnci :1ed'a1are

W nlruno ulun . ( lZ. t .Fr1)rauaJqo. rdr ln los lsa 'auaJdpnop,olsare1lulp lfcas-rarulp cp.p) q eldea:q a1ep

]ll:.r.d..:,p-.?t:lg_rrprp oref,rrJ r ua;d

uria1jo 9u uroiap ,q ' ,ulw Inlrundrt .s ee)a :(w,gz,,a'sti i teaoi:9q)s,

q :0.rs8) .:0I'6r ,ss'1111-:pifiadilu"a11ifi1dy'(, o, ,'il)_ s,(,.9, ,qn) I Jo.rd p-e| gdi.rp rseeu11u ' se.rer(,p .p)

o pfduorpo"rnp

os ps (,is .ur)1i ynpriiia utrd ol ,

'ou- plo.ap orurJ Seao_cud alenlrs

: j{-Y:.?l.iqpll_V_.Jdu"rp.1{au111ir1"eldaa:p re)urN-rninlrundal?,.uls u apriraro.rdo.ieoip;a,ru3 ig alelnprrr ldup alu,E rt F olr r l raroj . . lsarrr lo 'g i 'W

l$-S".1"1run4



Fig.reta).,)I

n

r l

ert

t

(ce,c'e'). Acesteorizontale se ntilnesc ln punctul (p, tr-)careaparf inedreptei pi, t-r ' i ')de ntersec{ie inire planele

deterrir inhte e bunctul I cu cele doud drepte de prof i l(ab,a'b') gi (ce,-c'e') n punctul chutat M (m' m').

11oSi se determineproiect i l le punctului M (m' m') deintersec.fie intre o areaptf de proiil (ab, a'b') qi un plan P

detinit drin drepteleD (d, d') si A (8, 8'), concurenten

ounctul' l ( i . i ') , fdrd a ut i l iza'planril ateralde proiec{ie'

Flanul P inters'ecteazdlanul de prof i l al dreptei ab' a'b')

dupd dreapta de proii l (ce,c'6') (t ig. a.75). Pentru a

defermina roiect i i lepunctului M (m' m') comunacestordoud drepte de'prof i l , se considerdca plan auxi l iarplanul deiinit de functul I qi de dreapta ab, a'b- ')dat i,

i lan care estede'asemenea'definit 6 dreptele ia, i 'a')

si ( ib, i 'b ' ) si se cautd proiect i i ledrepteide intersect ie

i int re u..st 'p lansi plairul P 'dat . Un plan auxi l iar de

nivel H' dus'la iota punctului C intersecteazd.acestedoui plane respectiv hupd orizontalele (aB, a'9') li(ce.c'e') care of izontalesb int i lnesc n punctul (p' t t ') 'ic apariine dreptei (pi, p'i ') de intersecf iedintre cele

doui piane. Dieapta' (pi ' p'l ') int i lneqte dreapta de

prof i l '(ab,a'b') ln punctul M (m' m') cdutat.

12" Si se detetmine proiecfiile dreptei D (4 d') care

treceorin punctul M (m, m') si intilne$tedrepteleoarecare

de proli l ( iU, a'n') Ei 1cg,c' '; date, fdrd a uti l iza planul

lat iral dd pioieciie. Pinctul M (m, m') 9i dreapta deprof i l (ab, L'b') determina planul P ale cirui urme se

iui.r. ine cu usurint i considerinddreptele (ma, m'a')

si (mb. m'b') (f i 's. 4.76). Prin proiect iecil indricd oblicd

ie bot sdsi prdi. it i i te punctului I ( i ' l ') de intersect ie

dreptei"de'proii l ' (cg,c'g') cu planul P. Proiec{i i le

dreotei D (d, d') ciutate sint determinatede prolecllt le

M (m, m') 'q i I (1, ' ) .

4.5.8. EPURAAFINA A PLANULUI. IO CATAC-

terul afin al epurei planului. Fie planul PP'

si dreaptaA de interiectiea acestuiplan cu al

doileaplan

bisector fig. 4.77)' DreaptaA este

determinatd de P* 5i-de

punctul K = I(' in

careo dreaptdarbitrard (hv, h'v') ? planului

intersecteazi l doileaplan bisector.Se observd

cI planul dat poate i 'perfect determinat. r in

dreipta A, carese alegeca axd de afinitate, qi

de perecheade punct6 cores-pondente.qi a' ,in care linia dd ordine aa' este direclia de

afinitate. Astfel, un punct oarecarem' m' al

olanului Doate fi diterminat de proiecfiile'ra, r'a', uirde = r' estearbitrar pe A. Faptul

ci punctul M aparline fntr-adevdr.p.lanului

noate i verificat m6diat prin orizontalamv1,

m'vi. In felul acesta, oate construcliile pe

Fig. 4.76

Fig. 4.75

71

lpdBr pnDs)Buua^rreldn,.rDrliqrunlhueJdl,to^tI {ate d.siep alurlgrldurrd'ri-i.iJ,prno,uJ rol InpUUUI ez_BelJosraluras elda;pe1s",qry_



1..:ltl"_'8 yllfcnrlsiro?_..,ir, ru'1u1,ip" i1rn.llyj.:p Jnlcund s pteliiul

"ioul.,ii'ni"piun1

l:1:11.I-lte s.,I,s 1ieiia'aue1Orioplor",lr_esrelurpeldear6 :":l jl, n"^,",fi Ji'rut1da;perfrasJalur r-t

.( u ,p)v rn^r,nrr',i' jr l l l :y-nd Ja11seullqci;(,e'u)v n15uho'gd';;;i';"',td.i#ill;1un-:iur.rdueld riop ;."'prn.1"-Jrr,#ftS

^n^1j11ryUulJBp pxBrtnrpr ..rerlrqre

ue1d,i'# ;:.,j'o,lJo,;l,t"1p-l,J,t_l1,s;eund urrd '(ts.t .Fg.)(,e',ej7

I;il;ht';[-^ll^o-uldeerp I ue1dunrspio'earp;;i" ;t"-:j?lyl rluad (oe.t FU)',,i,n= lo ldo""j:lt-l1l: 1nueldul3nqlidriri'xa

np'{.siin s:l?i* j.{:l,"od pruaJqordseaecy,u,ui'iu,:".jf^-:u-"ld pnop j1ac nr1u1p"

J,jjJrniu,f19t9lp

cBllnzar,u= u jnjiunduI;i;; juorpurrJ lplrurJeiralexy'.rir,, lnlrlno

qry16 ;t-::l_.;ijril.6- ;;'np"1"puBldFnop ler r rreapis:e.1u1rin E'6 1""11re^ erJlxnenuerc Gtv :aryl1-,]nd o

"r,,s^a191u e gR.:or'b1ei--po Jln'p;;r;"p;3;: l i i tq 'q rV) r$ ,u,u vl

" ' l i .u i i l un ,sldperp arlufpe;ieaue_;uJ;i'a.uirigff .r",bllresralutrn;nuu;du pui;i rirnoilJ liin"irov .a

l.?uu'pur$u= 1.:.,riifj'iit'-i?f',.j:j$ |lc3s1aiul. rfi ,ru .rr

Jnlcundp1\nza,t

JBr0 ./u/y ,By grirrrqrn ldg.rp-1nj, ini"1ou;rnposBlsBa)B:iuJ6 1";o"i[J"ip'pft",1r.nerfcaro:dcsease8r s ,fsz7'.s11j'1,.ut:e;1n1cund s y exe ao

qulg"ei-rln jrruiljlutJap

ii::lg.ylp e1 arp'airn'ep Fdi;;; ;6' I r r"",o,or'nurluorIerc

Tr,{dn 'rrA"i;;Hil;fij;uBl0 nune Euue rnde cigi.rr"-r_i-.jlrgrupop rslurreaieilp1n

"p^.1,iiJ$.i

li;rt.prnu.ol c8't

at'v '8ts

ez '8tg



cit-

dePtaltide

]ial ')[ulFnF.

Fig. 4.81

problemi a inteisecfieidintre o dreapti qiroDlema a lnlersecllel olnlre o dreapta sl unplan poate fi rezolvatd intr-un mod gi ma ii

caresd conlind dreaptaD dati (fig. 4.82).Axa

de afinitate a acestuiplan vertical este Q, iardreaptade intersectie 8, 8') dintre cele doudplanepoate i determinatd u ajutorul punctu-lui b, b'. DrepteleD gi A se intersecteaz|npunctul fi, h', care este astfel intersectiadreptei D cu planul. De asemenea, ceastd

Fig. 4.84

Revenind din proiecfa paraleld fdcutd se

gbtine f,, fi ' . In epura din figura 4.84 s- afolosit aceeagi onstrucfiepentru-determinareaadevlrateimir imi l6 a distanfeidintre punctulS (s,s ') gi planul (A;a, a') .

4.6.PROBLEMEROPUSE:. ' . i . . .{.

lo Se considerd rmele P gi P' ale unui plan. Se ia pe

urma orizontald un punct A qi pe urma vert icali unpunct B. Si se giseascd roiect i i lecentrului de greutateal t r iunghiului APx B.

2" Si se determineproiecl i i le punciului de intersec{ iedint re o dreapt i D (d, d') gi un plan def ini t pr in douddrepte concurente,gt i ind ci urmele acestordrepte nusint cuprinse in cadiul epurei.3" Un.plan estedefinit prin puncteleA (a, a'), B (b, b' )

.gi.C (c, c'). Sd se detelmine proiec{i i le puhctului deintersectie dintre acest plan qi

-odreapti D 1d,d'; care

Fig. 4.83

elegant folosind o proiec{ie pe planul bisec-:or II- IV paralel i cu planul dat ( f ig. 4.83).

Fie,de exemplu, , f ' d irecl ia frontalelorpla-:ului, careseobfine?ntotdeaunaeepuraafind,iucind asa.J-aa'in . Punctulunit u = u' = ll0atrdreptei D impreundcu proieclia paralelSkna unui punct arbitrar al dreptei definescproiec-::a paralsld d6 a dreptei pe planul bisectoril- iV. In acest cuz,' punitul' de intersectie:intre dreapta i plan esteproiectatn mq.

?3

rololdarptP aJtt icarord c purrr$ ( ,otoldarp r:d ainiiian' l ;,8Jv-i:^('p"

:Pl.g ololdarpur:d airui;ap auej,i prioj,:ri,irHr ep ralda.rp Jrrfra'roid'urruialap ;jl;

LrrvervJu dqlurd+dp as PS oz g

VL

szealcaro.rdsrqaun,rtl'Jo#t3ir;:,"f$[r,t'J?f?i



JBlnJt

ln?l{d,-r p sE rlsuoJ uro.,l$"joot'.,8f j,'"tlrlI lllil'^q-'.qlg,n s (,e s)v' rs

(,p"'p)a-.,1.,n.,rur.popeldun rs {

",s)"V' i6 , ipi6".rl#r"1e1da:pi:d suilap'iu'e1irn ^,11rpl6uirH"";_ 'arfcaro.rdap aJeuerdtsarDo arpf rrr. .r * *: , .1"--3-r,yl

e1 (,q,e^,qu)113o:dsldza;p'oiecd'frs

;irr;*a,lii:.YJ;ial,u$llJl*tX:?'3"T;::","":i:t,^.^j$.1_"ls;e1nr11redn3..1nl,1,.,g

. Il Rr-?.yrn :iu1'sur.rdh' .p lnli,io-is;i ;r;,.1#Jord rrer a1eq pldej.rp pjsdrn.rlbuoj*.l,"ust"i,

fii,l.i #l;rTtl; 'A' .;lft;'iliridlap eld nun l' ,4 r$'4'51aui.rn-."tufij;;-5r"#ji;

ErugaJlrraulslursalas 1dr.r.,n';roiiisrqio"i.,,l,roRlnrprradrad lsa4 rield un ucuo .., ; ; ; . l : i '^*.^^

_t^"jg^ll?ls'lugurpdp-prurr iNJ

;lltl9 T_Xyf pralern-."ss.es:*:i"qii";H#:l';U'^lfigli*,'l;t1'1,,-"X"*:1i

"1" :11 l lySsalderpap llulJap eJd nun"alarurn",ffi1".p.".;.;i";;i

i.t1^u_J_nrfdsugsur:dn'nrn,qru,ltJlf""orl:{i"t',f1 BarPotrraslqlJ

:, :l,i:3. :l:eare-tricrirpn11i",t'",'1tu:;;"?,1"j',jji

' ]"lf ,3Yjg'lnf""',s^'

g,: " lg'it"i.ui "o

nruluarnruoc,p

,p)-q,joinlp pliir#j:|"J|

"r;Tjl:r,_lyrj,$y. s-.?g

:ja1 ar :er ;gy r_ 1"ni3iff'.tEili?'iJ',?T,i,',,f1'11'"t ]:i:ii'# J,f,1 y"'*liil.:{...ry, +';i;'iY',iii o*;i,:*tff'rii,s,''ir-,f,"*iiq"{[:iivriJah'$

t t runaprfraroJd rsernj;su;, ; i t i:

1nue1d r p1a1e.redlsa 'ellcalord ap leluo-zlroiq8ur nninli^ FJ'i,v,K#t

"l.j,f,i,if K j.:;:- ; rnlnueld urctuozlro,eurrnd prelnirpuadredls at"L1ifi'ij:i,x#,?ft'"jg,llun{,{:l*illi?ilH

t*11iriil{,i{i,rr' ''?'J:"il""},x1?piii3;';t#i;,ifi$.re1n;ruad.radlsaelduJirjo.9r-o?rii.L""*3; '. RS"8

(q eqdea.lprp) rn1n1u,'Q ls a alaueld rtutsulrdnr

rsa,;eur,i(,' i-'

i;,rHi;;..tt]Tg,i,:,3,yoi;idlqarprauralrrfraro:d":lTj.l.p ; 6-il,.n "\ioalepo s d alauelds (,e ,u)y inirund.p-,i[-,*o3,."g.21

{;i:rori':,i'"ilu13""'(5:,;f},Y,;''Ji,'#.iji'"J:'Tr3ti

dr*rl,1l,{1"y,'i :j:ir:ifi'ilii;ii,,,furf,fjliq BlpJrlre^ es elfcarord uruiraleil 'n; ' ' ; ; ",H"jH,'.,iu'ru:a"";jil . lBi:rp;i,,",,fi,"j{ii

.u,.liii:;'eH,,l,,,;{i{ftli,+mttjiI,:.,: :y-r, :.,,i1,:i":jtd

"ffi ff;f ;igl,;"#;i1",:,,3lli.'Boui"it,,";,1,11:l*r"S",t,:*["J;$3f

:ho,'ix,.ffit0"'i3,.x'#3i,:i::{":{::"_",q,,,1,fiTflti

fi?"."fi"?J",'.TJJ;".iii,i'Ji"gr'*i,**s;#*i.aur:n urrd ea

fi:'ii,'1,: rulihtr,F#,fu;E::i:";1;';il; $"sl ,"'$i?,, fi :m*';ll,:;,:iidljl:i,$il," i$,?i'9fi1:ii,i-.,(;i0..?,,y,,';T'_{$rn;nueldI" (,"^.::)_yPund.nun

"iriraroro sig,5ri''.',li.l^"'?'?,,lli,',1it***1;l,,Uii'{lill;l

{, ,lly ,$:il'L";'t i, 1 ,.',i:, ""'i"J,l,1f;ur;ap ueld nuna1e',j s"i5ruln

"ug;;;l#:, FS 9

lr.r-"_,",prado:o, .ul,j1,,.:,,:1l]ii,,,i,?o

'r,J,,"",0."]lalered(,p p)fu jldalp_e111fcer*oriftirlllfi , u, .n

-deo.rpr:d "rr'lll}T$,.i?,Ellrll r laleredlsesv ul1-u.r11ui:ar'anr'";id;;;"1;",',1::,,,",Y"ili::ir.$:1fli::r.:iiJ;#'J''tl fu]iTg l;iJ,Ur*;i;,,f,T""i}

f s,g nl"rl lrn,r l loarord

[r.5)r.iJu,*i',3'HJ;'1#\Yii,ilU;,'r*?,?'ll,?::J"J; leluozrrorlmro.rd,(,p.p)q pldea;p*pjJplu;r'3i

.82"82

fr1:a.rrfraro.rdore;"lu.y^llg_9lo*n"fnf;tS,l;j;uoJ rrBlnrlpued.radpilrJ,ojup-r.rinrJiu"r,r[

ps, .za: .alale,redardorpg.n9pFdnpuelO1sa;"eoH'':'lJ;,ii:Bil Ly,i,iii ffi tlTJ:i*H'&TiJ;:'*'r;d,f';,rluli:]il,If{ri,'"1::,:.,,ug,,.,.,n? iii:ig itit:ltlii'#'?ilJu,oi?T:;:1,,';:;g*iss"i:;l*

Er"rury4iiri*4"il,::','"',1;y;,#litl#Fdtit j'd*]*ilil','xl iriilit'l;rls ' i1J,l,i i"#0""i,3,l %,ilHi,fgr- iifilij., $'lj"':fI t,,i16'ili?,1'ffi',,{ili}jp u.', n u'ot#"'n,,y#"J'jt

^e-ll ralord t; n4'pnnu,ili''"ic'iip','q"a,l'.:f,t9r

UflT,Tr,rtt: orlraroJd EJ JB ,,j,v gleluozrronrlr"roqrnOTlrt:l}

definesc nul din plane coincid cu proiec{i i le de numecontrarale dreptelorcaredefinesc eli lalt plan.

I

t

42" Sd segiiseascd nghiul diedru a cuprind intre planulde prol i l Q Si planul P perpendicular e pr imul planbisector.

43 Se considerd rmeleP gi P' ale unui plan gi o dreaptdplan. se

38" Si se determine o dreaptd de prof i l paralelSal doilea olan bisector. care sd se sorii inedrepteleD (d, d') A (8, '8 ') date.

cupe



oarecare (d, d') continutd n acest Sd determineproiec{iaacesteidrepte pe planul lateral de proiec{iegisi se giseasci distanta de la origine la aceastd reapti.

44' Printr-un punct M (m, m') sd se ccnstruiasci un

plan P paralel cu al doi lea plan bisectorgi apoi sd se

construiascd roiec{i i ledrepteide intersecJie intre acest

plan $i un plan Q care treceprin linia de pdmint gi face

cu planul vert ical de proiec{ieun unghi diedru de 30'.

Ei39" Sd se ducd prin punctul M (m, rn') o dreaptd dcmh z

prof i l astfel incit -'mv3

40oSi se ducd prin putrctul M (m, m') o dreapti deprof i l, astfel ncit raportul dinire depdrtarea rmei saleorizontale i cota urmei sale vert icalesi f ie dat.

41" Sd se determineunghiul a cuprins intre o dreaptioarecare (d, d') gi un plan de prof i l Q dat prin urme.

un e:a e

=44 O

. : rei

- an:1C: I A

, ie ld

.: : t ia:ar e

Ds i.ele

. 'rnlnlrund e ple)rlrol urfraro.rd-I rnlnlcund earelrpdep_

9L

aleueldurp Inunad relnclpuedradugurgrepplf_tl plspere r 1:odei ij greJncllrebrlrzob,4



:Bqrrjrr{Jss" 'rnlnlcund e eleluoztro erfcarord _

:aru'rreÛrrrrFr,rr*jll"l"o"?ff1:i,t_:?rt-1,rytq".,uJr p^resqoS.(Iu ru= u)JoAallJeroJd p euuld op nou inualsls ur

,t:tlll_yiqe1ealeuoFotrotqnp' 1 lciro_rj

o pdnco rel ueldun ad grnF1l-elseareze l-c,a1o:ds€sJBsoJeuasepei_se7ifi g elauelda _r,tln8lJ

.raunayu_leuoFolriin1t1hpe1ri1

-f,eoJd ulne,aurJqo;do1a1ragp ear-eilbza:'ii

ilI3ltoudlo uoltNv]d iluy€wtHfsvoorsw .r.9

'rrJelBqBJ poleu _

ierfcarordp olaueld,r-';ll;ili i3l3H

f:9l3?tg?rBcalJpalnrar1 ilpuTJ'.;ffij"HiJoJrrlceroJd eJEruJoJSuBJlp nes ar-ecr;rporu:p^îf9l?r,'arrldrnsap raularuoe8le apolau

",1*lV _'li$ors leJlleapeeê- e-r$hu _ a1 f-rzodap rSeJrJlauJrualqord luBseJalureruJolal BoJeAJozaJllqJsodrur duo:dealsa a;et

ep FJpj p,uldr.rcsaperrl'aruoaFu1 d;az4lnolepolew .eru-lrpruFlerplapp uJ leltsp atcarojd

JoAasarer ad ,elfraro:dep atar ieidi i lp nur inr

:lll:jil ?lt_p.:ue1d1nF J.lsacbsripi

"r3es.yl]unpelse'aue1d:nF1;darrrlauoaFfj irr js-uor olenlraJa rJ BSInzer elsr pulf .aiJelalar

1".]iogr,ur aleunglearerf zodu lb"aurFpru l

-BJpAapBI alBJaprsuorluJs rnFr;nes rnirl alrui-nue plep rBrunullJep ejenlJala-rt od'nu aJpf,Illrnrlsuor ,a1epeluaruala d acirlj"rubaFrfcnrls

-:.?:^^31:1ll ln, u 3s rBsacau asepB lsa arr:1-aruoedollrndroc e pueld eereluaz-erdai.r1ua6

to lulrupdep eru11 nougdnp g li.iiiuf,in.:yil"j "i

eserpr11 1ec11rareid 1euh un1

(-u +ultugoop orurJBnouBdnp g 1nue1d crasjaluJBAes erpr 11

lecrlral ueid j1e uh un1pld-"..,11Bluozlroiuilripu;:1spJii.q :rllj

1lll?l_d,.p ueld pAH Inruelsrs'g ,2 ,e)'i,,Inlrund e pleuoFolro lqnp eeriliiazardaixsuoc s 'If,Nnd Nn nulNed ell,3aloudIV)IIUIIA

NV'Id IOVAUVSWIHCS_;i'.9'

a1 uruoe 1rn;y; fu :nsn1";*T,""r:r#tJ:y9-yi.uaO .€ualqordap punu a.reruin_.riu3

l l l- lp:pcr;11durs-6rfcerdrdâpo1.ur1J,,rpq

1q?:.:I91t_ry'luereûr ulurprricaio:d'rp

-j^ljl?t?rOp

ueJdep areqrurqcs_r'ecar;1I:tl,tl.yl.ll1t1ol

npol.u relsorelnfeluri,ryry9"I

eruelQo.rd-a.rfrartrarpllozar'ei,nO,u'r1.1-9]_dp aueldep Upqutqcs p inrpurnriaplsuoJ os lerauaF u1 .arfcarord-

ap aueldIaqqe p nes ernun ealequrqrs ,lrpjntardru3lnp 'e:esacau rJ eA BlspeJBnJluJd .etsace

nj

l:j11-y"_t_dr nes rrrr8l;tluBtd rlciro:d ap

1t3.-no-l,salB lj pslrpi'rir8rsipr'LA':"uuth

ndrJ reun B lurJpru -ralerplapb

'i;aral$eounr

"::li1elsaouelqo.rd

laun rrrpllozar'Insrnrnlouaxaap .laJlsv A nesg erfraroid p

uo'ilrlfltoudv(elrldpcsep au;euoe6 alepolayy)

rdvwuoJsNvuro toortwA Inlo l ldDJ

5.I.2. SEHIII,IBAREAE PLAN ORIZONTALDE PROIECTIEPENTRU UN PUNCT. nschim.bareae planorizontal eproiecfiedminlnvanante:



u, inreri

* depdrtarea unctului- proieclia verticald a punctului.

Se schimbi:

- cota punctului;- proiectia orizontald, punctului.

Astfel, fie A (a, a') reprezentarea ublu orto-gonali a unui punct (fig. 5.3). Pe linia deordine coboritd din proibc{ia verticald a' = a,i.,perpendicularipe noua inie de pdmlnt o1X1e€

mdsoarddepdrtarea punctului dat Ei rezultdnoua proieclieorizontalda1 a punctului A.

5. I .3 . SCHIMBAREA DE PLAN VERTICALsAu oRrzoNTAL E PROTECTTEENTRUDREAPTA. ie dreapta (d,d') determinatdde punctele A (a, a') gi B (b, b'). Se considerdnoua inie depaminto1x1 i seefectueazdchim-barea de plan vertical de proiecfie pentrufiecare din punctele A ;i n. Rezirtta-ai binoua proiecfe verticald a segmentului da t

(fig. 5.a). Analog, afd de noua inie de pdmintorx2 poate fi efectuatd o schimbare de planorizontal de proieclie pentru fiecare din punc-

p lanralel

_dupaor

derif ie

rte.cd,

unaim-i le

r.id s z)*t

\ /

Fie n epurdnoua iniet{5mint o1x1 fig. 5.2).Se duce din proiectia ofizontald a = ar o liniede ordine perpendiculardpe noua linie deplmint o1x1gi se ia cota punctului pe aceastdlinie de ordine. Rezultl ai, noua proiecfieverticald a punctului dat. Intotdeauira oculpe epuri al proiecliei vertical ai depinde deielul in care a fost rotit planul V, ca si secon-funde cu planul orizontal, Astfel, noua proiec-tie verticald ai trebuie sI ocupe n raport culiterele o1x1aceeaEi ispozifie relativ-i pe careo ocupd'Vdcllea roi€tlie a' in raport. cu lite-rele o, x. Un observatorsituat in a' cite5teoxde a stinga a dreapta.Acestobservator lasatapoi n ai va trebui sd citeascd 1x, tot de lastinga la dreapta.Problema aceasta mbracddoud aspecte: sau se |ixeazd ai

9irczultd

sensulorxl sau se fixeazd sensul orxl gi rczultd,pozifia ai. Dacd se efectueazd ceeagi onstruc-iie ca a punctului A pentru toate puncteleuneifiguri, se va obfine noua proiecfieverticall at:gurii in noul sistemde plane de proiecfie.Dacd intr-o epuri nu este trasati linia depntomint,e poate ua arbitrar o linie de pdmintperpendiculard e linii le de rapel ale epurei.

ln

DEterdrlui: ieatectaX1.

A'f ide

77

BL

*-0,9 atg



.*;( )',1t"

',

9c.l-U9n-l (lp 'tp] rq BleluorJ BrrrroJsuerltp ] axao pulnt) exEp-

lujur'pd"ap^

eruil apr; erfralordap lBluozrro nlriiield'eerequirqcs

lry lS 'a1fca1o:d. p.eld ap e.rlqrurqcd ho po_'(s;galii tlp .'oyq BI4""rJ-a'i,p?l oeq_BldBeJpFruroJsuerlxto i-ulrugdep erurlpfe_grfcalo.rdp-1ecr1ia.r,elh5p areq,urilrg:qurap)Rlprlpe uu âpRs ,p ,p)q p;duarp

prnp" es pS .(,q ,q)g ;$ (,u ,u)V

ep pllullep pldea.lp o (,p ,p)O alj

;YgYJ-.9-oYJdVaU(Invs Y'IvIIJUSAi aldlruo IiINnvauvwuoJsNvdtg.t'g

, : l fcaro:d

ap_lerr lra^

1nue1dg Ie+darp nrqFun elurza:dar r* leluozr:o1d nouâdaulJptl plBJRAopBg pziel;alo.rd

^0n]llug '(Z'S 'Fg) erfcaro.rd p aueld ap

p plerllra^ erfcaro.rdc glalered i6oluguipd p

lu l_B19lr ,puJn1'ar fcaro:dp leluoziro1nue1b:.F _l_nld"r,pntqFun elurze:da; lS lecrpa,rBld Inou ad aurlrpr{ plerpêpeuJ pzedloJjord

i : " lnrq8uS (g'g 3ll) arfmro:dap eueldap ualsrs lnou-uI BleluorJ ldeerpuJ Fleu-Jojsuer.l reldarpe glerrira,,r rfebro.rdnou,'|p eulfqo s peleluozuo rfcarojd 5p1a1e:ed'x,oJUIrrrFop arurlBnoupuln-I .a;ira1o.ldapaue;dgnop laf,- r.nllradsararel ei (,b ,p)

Aeldea;perecad l J$ a1;.rn;qFunuir:fiu plur

-BAepB eulurelapagRS(pluluozpro)

p1uluo.rgPu êpps. ,q '0 g lS (,e ,u)y alalcund ;.ldRlup. ,p ,p)q uldearpllrut iegsu

,e;iea;drdep (1u1uozpo)'1urg1re,relo dp-'";uquiiq"soF3€I sFs 'y'rvrNouJnvs y'rvJNozruoNI erdiruo aNnveuvwuoJsNvur7.r'9

'(g'g '3g) lep rnlntuaur8as vrcrn^roarirarord unou ,6q8eelSasgF s r$ g

^r'Syaiel

:l:tt ]l"T^-lJ lreluozlro gtrdearp 1 pldiu.rogsue.r1q raldi:i' i eli{uoiiji ;ii;;jb-";;",i'p aul+qo as et fcato:d plsBeJBuud rprrn ,o.-h_:91q"

edeyfaalordpni"e uila .ru,ipnu,

8 9.lFrg

g q . ' Fr J

plarlDcul in iedd'

Dn (dr, di). Artalog o schimbarede plan ori-zontal urmatd de o schimbarede planverticaltransformd o dreaptd oarecare D (d, d') indreaptdde capdt Da(ds,di) (fie. 5.9).

5.1.6.TRANSFORMAREA NEI DR EPTE INdr,ns-



FRONTO-ORIZONTALA.mbele proiecti i a ledreptei trebuie sd devind paralelecu linia depimint ( f ig. 5.10).Schimbareaeplanvert ical-de proiec{ie a}d de linia de pdmint o1x1 rans-formd dreapta D (d, d') in frontala Dr(dr, di),care la rindul ei este transformatd n fronto-orizontala Ds'(du,di) prin schimbareaplanu-lui orizontal de proiectie fa{d de linia depdmint o2x,.

5.1.7. DrS-TANTADE LA UN PUNCT LA ODREAPTA. Si se determineprintr-o schimbarede plan vertical de proiecfie distanfa dintrepunctul M (m, m') gi dreapta AB (ab, a'b')(fig. 5.11).Se aceo schimbare e plan verticaldeproieclie uind o1x1 araleli cu ab qi se rans-formi dreapta AB intr-o frontalS- Conform eo-remei unghiului drept, se duce apoi perpen:dicularami pi pe nouaproieclie verticalF' aibi

gi se obfin proiecliile (mp, m'p') ale segmen-tului MP, caremdsoaridistanJade a punctul Mla dreapta AB. Printr-o schimbare de planorizontal de proiecfie rezultd mrps, adevlratamirime a segmentuluiMP, deci distanfa realade la punct la dreaptl

5.1.8.DTSTANTADTNTRE DOUA DREPTEPARALELE. S[ se determine fi adevlratd m6-rime distanfa p cuprinsfl ntre drepteleparaleleD (d, d') gi A (8, 8'), uti l izind metodaschim-birii planelor de proiecfie (fig. 5:12). Se aduc

tem

9seplan

cu

INAr.

[ddedatdOaume ati,'di),

cala

celedoud drepteparalele d devini perpendicu-larepe acela;iplan de proiecJie. entru aceastase aleg segmenteleAB gi CE respectiv pe celedouddrepte D gi A'qi se efectueazd schimbarede plan vertical de proiectie, urmatd de o

schimbare e plan orizontal de proiecfie, rans-formind dreptele in frontale, iar apoi inverticale. Adevdrata mlrime a distanfeip semdsoard ntre proiectiile orizontale ale celor

doud vert icale: p : unn: br{ .

5.I.9. SCHIMBAREA DE PLAN VERTICALSAU ORIZONTAL DE PROIECTIE PENTRUUN PLAN. Fie planul PP*P' reprezentatprin

OBi I t'c-' Fr,r



I 't"'

II

rurn BnoN.(,1 _ J, lr l) Inlcundpl ernpuor

1l ) Inlcundnrlue<i rleiroio pjlnluir,rouulol:?j-: rjt i,trs'(er's'3tJ),a.lb3ifan-iur.rnsI'orlllrlo

ap"lul

e:1uipri#sriiur"t

.lJ.;p.dt ^d Inlcund uerd__u_nrlued arfcaro.ldp:l::3119ueld,apei.requrlqcs1 .ariraro:d

ap:1.1o1-o_I

nue1 nr apun1 or er.gr' c rl-inr,lrnnlo

Inlnoue sndo un:eoafpq*qr, r" lt"['r;rt#i#, l";fi ,:;LL:.^: ] i,ulur_d p'erurJ noued rxroiisuasf.ulUls_esrBCId l$ a =- 14r; -ror ouninurrnr

"ddlsol nE rnrr

nlnuuld rd Fi"jilTlt"-",1r"r"'ulitrtt;H'J"t

uj Fp l l nr l lun aJel ,r*dlnlrund alSasefis

:T,f:119..: d_ letuozrro-.ur'rriS'*6-;j;ui;BrlcosJalur-I .Q_Ir _:. ) lnlcundpJarnpuorau (, , )

lnlcundn.rluad"ericjlordtri errlrely:ll r_q

".reqrrrLIrS gn11qb1_d'"

-p'p1"r,1r"n

:yji "^i:y_Bururaleps_r$xro1u1rir-.pdperurJ

EnouadalBas ,(ll.g .FlJ)_Fr_ndj I puJrerJ

ep orrrurrrices;a1ur"r #;""p';;: l;iffigas lcund rnlsarsv y gluiuozrroilc5ri,rd .(lBl

:y:".1i. y-"_iq1n_ a-requirqcss eajeppOainesjIfr.tl:^ yul9

"pEoJBqrurqcs.

lrl eloj lzeirlspdl?-.rY." . rnlnueld1e lJund'uri a13a JIpE

"-:4 s I '6 aueld 1a.r1-:b1acearicjs.ralur punruoJlnlcundelsa I =_, = 1"1n1cun6.41nue1d6 xrolugurpd p

? _"]l I9, orluJperfcasrelul lge *dIaJlsEol'd Inueldnc uluqd ap agu1iilce.rilrir'ni.n 4

t1n1Edna

:nferr;ruruei1e:rjolgruin'nerec

.t,ll-_:EalcundBnop ler puruneulfqoas ep

lllly_"I-q Ia f tecltral prxrn'enou[e plresqo

lS__' lect l rarue1d ou,un rA alg .(et :g St i)19 arlcarord p aueldap inurjfsrs'13 ruJn

\g u,,'3lg

, i fi

P1 a planulu ise obf ne unind i1urma vert icald Pi = P'. Daci

. :1I I

.f & i -' i l t a

or izontal iP*r, iar

schimbd sensul o1x1schimbd a mai susqi

t f ig . 5.17).

pe l inia de pdmint, sepozitiaurmei orizontaleP1

ctlSC



i;;l

Observare:Si se facfl o schimbare de plan

vertical de proiecfie pentru un plan, ale c[ruiurme P qi P' nu intilnesc in cadrul epureinouaIinie de pdmint o1x1,gtiind ci nici cele douilinii de plmint nu se ntilnesc in cadrul epurei.

Fie bl i l noui i l in ie de pdmint ( l ie. 5.18).Pentru a determinanoua urml verticald Pi aplanuluise au arbitrarpenoua inie de pdmintproiecl i i le r izontale ; i b a doudpuncte ituate

De viitoarea urmd verticald Pi. Util izindorizontaleleD (d, d') $i A (8, 8') se oblin pro-iectii leverticale a' Ei b' ale celor doud punctein vechiul sistem de plane de proieclie. Avind:stfel cotele celor doud puncte, pot fi aEezatere liniile deordine idicatedin a qi b faf?ideo1x1

li se obtin ai qi bi,care determindnoua urmd", 'er t icald i c lutatd.

;. I . IO. TRANSFORMAREA UNUI PLAN

OARECARE IN PLAN VERTICAL SAU DECAPAT. Prin metoda schimbdrii planelor deproiecliese poate aduceplanul oarecareP da trrin urme sd deyind veriical (de capat) qiistfel sedetermind'in devbidtdm4rimeunghiu-rile oc;i p pe caf6'le faceplanul P fespectiycuiele doudplane de proieclie. Pentruaceasta e

"iectueazdschimbare de plan orizontal de

:roiec{ie, luind linia de pdmint o1x1perpen-, l iculard pe urma vert icald P' ( f ig. 5.19).

RezultdpuncteleP*, a intersectia intre o1x1i

-rma P' qi i ' la intersecl iaini i lor de plmint.

Linia de ordine fafd de ox coboriti din i'determini i pe P. Segmentul i ' se aqazdpe

linia de ordine fafd de orxl coboritd din i' girezultd t, al doileapunct care mpreundcu Px1

determindurma orizontali Pt a planului ver-tical P1Pi. Totodatl se ob{ine in adevlratdmdrime unghiul diedru ocpe care planul P ilface cu planul vertical de proiecfie. Analogluind noua inie de pdmint olx1perpendiculardpe urma orizontall. a planului P se obJineplanul de capdtPtPi cu ajutorul unei schimbdride plan vertical de proieclie fig. 5.20.1Rezultd

de asemenea nghiul diedru p pe careplanul Pil face cu planul orizontal de proiecfie.

5.1. i l . DTSTANTA E LA UN PUNCTLA UNPLAN. Si se determine, printr-o schimbaredeplan vertical de proiecfie, distanfadintre punc-tul A (a, a') qi planulP datprin urme(fig. 5.21).

Se transformdplanul P in plan de capdt, uindlinia de pimint orxr perpendiculardpe nouaurmd orizontali P a planului. Noua proiecfie

verticald a punctului A este ai, iar perpen-,diculara ai si pe noua urml verticald Pi aplanului de capdt mdsoarldistanla de la punc,tu l A la planul dat .

Fi o

lanalalSC

Fig. .5.26 .:

Fig

81

l l l l l tu ,n9,a1y1i re1ordulJsounr1rJo. rdep gldea:poad ap (,q ,q)g rnlnlcund rlrrlcaro.rd'-eulu.r.ra1afs ps

"B_lli"_19p

uayd ur,rap s au:n_urrd1ap6ereca:eo1nue1dBrnpu s es erltaro.rd

p aueldap a_riqu.rrqrs-rlulrd o/ry ;n l rund S1u;rugdp prut Iap

z8

IJ Iq Brelnrrpuedrad (Iq ,Iq) rg Jnlrund uIBturoJSuBJlsv BldEa.rpdop (,q )-g arecareo

lrund un

.(I"

ap 16

*d

ep pltutJappultJ Id FI-BJrlraA SBurrn).trFdutp u_BIdn_rlui -lnutiri



9 P Inun oP FlBI lalered nes:e1nr i(,u 'u; y lnlrund 16 1u3u.rpdp eiurj

puad.redf url-ap ps(,? 'B) v Inl

- , ( ty, , - )l*t l l-:p_ Ie,tdn s(,q,u qu) Uord peldaoJp:1urf i lra's-ralur p(,1 l) I rnlnlcund Frfoaro:dururialapr FS S"i'- 9ld.9pptdearp utâpps (,p .p)

o eldea:pBJnpe s ps .orlrarordap ueld ap erequiiqc6'o-r1ur.r6

"g

l*r1-1y-l "l:p(,q,e.'qe)aldarpq1r"d,iJ;ir%:?#l$

un-rluJ lep,(,ur ,ur)

1i lnlrund urep ezalajiar as pS o,

,.alloalo:d ep alaueyd

p[rro]SuBr] as r$ arfeerordap lprriref' uBidop erequrqrs o arBJeS .V Bldeaip'ncyelerddg.li::1" E-uly.r"l?p,'vsq araldarc(,9 s) vu]oeerp eI fl_g,e ) rV eJeJerudlcund lsacsrllrd

1rnpas, S (," ,e) y lnlcund

,nlduiaxaap'O pldBarp d rBrllqJBpund un aFale sBlseacBnrluad '(t6'9 'dlJ)el"p elderp.Rnopler ad asnpeunuroJ lem1nt;puedrada1;lira;2rd euluuelepal

.RS'e1ua.tncuorau

13 a1a;e;udau ,S,g)

VJS_(,p p) q a;a1da.rpl/.stiVCgUVO iiagUqYnoQ yNnwocuvlncroNirdusdrr.I.9

nr FIalBrBdx6o ugnl _elfrelord

"O ,"rjg;j3YYI9p

a"rB"qylqrsalredapBrI] rBJ s nlnrqS-unrJl B oJoq.BarrrueurElBJFAapespFB nJlua.I' lpdec ap rnlnueld

_B lur l l ral uru:n ad eler i- r?JoplBlol ' tnlnrqFunr:1 lq lr l" FIBrr lraâlloeloJd nouaullqoas S ur ad e;alnorpuad:ad

rx'o pt as BlsBaJB Jluad .lpdBc ep purlopps Fleluozrr Flseace JnpBerec ,arfcelordaIeJIlraAueld ap Borqqurrr{rsrBJes 16 n1n1qF-un1rl Inlnuelde (,,rnp 'ur) ulelriozrro isarn.rls

:1??nr IaJtsV

.arfraro;dep ueld ep a.requirqjs

pnou o pulz llln ,1ep rnJnrqFunrrlp arrJIJErrIB+ErpAapBodeêururalep leod s r$ +pde'c

ep

:^n19,u--,u1, lFu r:1 rniseoelnue1 'eui ogruerl

.l:o_q as orlcaro:d ep _Jerllra^ rie;d ep a-req

;y-it::,?rlYlra

(zz's Bg) ,e r)c'r6 ,q 0

d. tn,__u) luIS FnJrI^ rnrpr alp lniqFurir:'i'nlduaxa p pueJd.p.rnFl;o arg gNV.IdiUnOfg

I:INn V SW|UVW VrVdyAirov--dil.9

i:""03"X;:",'.?i,:,;:ot:;'K1,:0.;'yjl-il,rtl3i["',l:":g.^r **^ _ -l i lca1o:d

ap a1aue.1drp lnun ad e:alnrrpuad-ro0 nes u1a1er.adurôp ps (, .q,e qe) plo:d ap-elifea:pBJnpBas ps orfcelo.rdap oueld ep aiuquiiqcs oi:1ur.r4 o6

?.p_.Ely_r_y,n'(,p,p)ot',; ol$ '

*"ji , o').,or,i,'rtJ'$

upluozrro) pJrlrrûald ap areqturrlJs azanlcbla sps"I

Isndoudwl]goud 'z'9n'.

.alepy l$ q aldarppnop olar

"u"lgo,rlerelnrlpuad.r,ad1e (,u,u ,uui) aliri

;r .elold rlqo;iSfo eldea.rp lsauillugpu3rqujd

4.4 iI Ia nr latered)l?tq lnluaurFas.yeloeaipecl araunlB ps putrPc I l}rlq

,rrrq) plBluorJalsa BO arfraro.rd p eueid

e'prualsis lnuu u1

V jS O rolalda.lp B Flrnuror erelncrpuad:aJeuldunl BlBrBAapBg alsa 16 ad Iq urp psnp

ta.g 8rc

4. a, a') de pe aceastddreaptd si unghiul c( pe care.r.-. :otal facecu planul orizontal de proiec{ie.

I Si se deternrinen adcvii 'atam:ir ime unghiul diedru a: , : : ins int re doui planeF gi Q a ciror dreaptdde inter-

: i : estc dreapta dc pioi i l (hv, l r 'v ' ) .

. Fiind date doui drepte concuretrte, I se efectueze

25" Se corrsiderd rmele F qi P' ale unui pian. Rotimacestplan, in julul urmei sile orizontale,de un unghidiedru a, in sens direct. Plintr-o schimbare de pianvert icalfc proiec{ie, i sc determine ouaurnt i vert ltalda nlarr f lu i .



f1

lul)roeIF.ifer-i

FcaF')F'n

l,nS1

I

rca

. : i imbarede plane de proiec{ieastfel incit noile lo r- . .+e1i ivert i.ale sI { ic pir r le le ( - : ruccnlurrdate) .

Si se determir-ren adevlrat ir mdrirne unghiul a::ns inire o dreaptJ D (d, d') 9i un plan paralel ci-t

. : de pdmint , t lat prin urncle sale P gi F'.

- Un plan paralelcu l inia de pdniint arr:urmelesalePF' corrfurrdate. n punct ,A (a, a') areceledoudproiec-. . le saleconfundatei s i tuaie pe urmeleplanului . Sd

'ietermine in ader,dratbmilirne distanta 8 de la

, - - : i la plan.

l . Se consideri planul F dat prin urme. 5i se efectuezer :-:r imbarede plan vert ical de proiec{ie,astfel ncit in:, .-1 sistemurrneleplanului sd f ie confundate.

-:" Jrin nretodaschimbiri i planelor de proiec{iesi se:: , :a planul oarecareP, dat pr in urme, sd devinlr { :endicular pe l in ia de plmint .

I Sd se efectueze scli imbare de plan de proiec{ie,,, , ; i inctt un plan P, dat prin urme, si devind perpen-. - .ar pc unul din r roi leplanebiscctoare.

; 'S i dd proiect ia or izontal i a unui unghi drept 9i- , :=: { ia vert ical i a uneia din latur i . S i se determine

r- . . : , t ia vert icall a celeilalte laturi, cu ajutorul unei' , . ,nbir i de plan de ploieci ie.-

Sa se determineprc iec{ i i le punctului de intersecl ic.. : : .e dreaptade prof i l (ab, a'b ') gi un plan t ie l in i t der : : ie le D (d, d') gi A (8, 8') concurentepe l in ia de..n.1; lt .

Si se determineproiec{i i le punctului de intersecf ie, i r ' . :e dreapta de prof i l (ab,a'b ') g i un plan del in i t. -. dreptele D (d, d')

"siA (8, 8') ale cdror ploiecli i

L,r: -rtalecoincid.I Sd se determineproiec{i i le punctului de intersecf ie

:Lrr : - ,ereaptade prof i l (ab,a'b ') qi un plan def ini t de

, :x : :e leD (d, d') ; i A (8, 8') a le c lror proiec{ i ide lumer : : :a i coincid.

11' J: in metodaschimbdrii planelor de proiec{ie,si se."-: . p lanul oarecare , dat pr in urme, sd devini para-- . - I i rL iade plmint .

- S. se determine, u ajutorul unei sqhimb5ride pianl' ' : - .-. iect ie, roiec{i i le perpendicularei omune dintrelr L- diepte de prof i l (ab, a'b') gi (ce,c'e').

" : : n metoda schimbdrii plarrelorde proiec{iesd se,ur := rlanul oarecare , dat prin urme, sd devirrd lanulm,:".-:a1 e proiecl ie al noului s is tem de plane de

l l i l i r : , - : le .

- consideri segmentul ale cdrui extremiii{ i sint. .-.eA (a; a') Ei E (b, b'). SAseefectueze schimbarer . : vert ical de proiec{ie,astfel ncit noua proiec{ie

:. . i a acestuisegmentsi f ie egald cu dublul coiei

:- ' . metodaschimbi i r i i p lanelorde proiec{ ie, d se-,. '- l i vechiul si stera de plane perpendiculare e

5.3.METODAROTATIEI

S-a ardtat ci in metodaschimbirii planelordeproiectrie na dintre proiectiile figurii rimineinvariant:i cind se schimbdunul din olaneledeproieclie. Dar se pot modificaambeli proiecliiale unei figuri, astfel incit sI se aducd unele

elemente le figurii sd devind paralelecu unuldin planele de proiectie. Spre deosebiredeprima, evident,aceasta steo metodd oui carese numeqtemetoda ota{ iei. n cele mai multecazutisevor folosiaxede rota{ieperpendicularesalr paralele cu planele de proieclie gi se valine seamade urmdtoareleprincipii :- Cind un punct se rote$te n jurul unei axeel descrieun cerc al cdrui centru estepe axagi a clrui razeesteegalecu distanfapunctului

la axd.- Cind o figurl nedeformabild e"rotegte njurul uneiaxe,deplasdrile nghiulare le uturorpuncteloracestei iguri sint egale$i lungimeadrumului parcursde fiecaredin acestepuncteeste proporfionaldcu distanfa sa la axa.- Proiecliaunei figuri pe un plan perpendicu-lar peaxade otafiese ote$ten iurul picioruluiaxei fara sa-gi chimbe orma.Acesto r incipi ipermit de a deduce mediat cum trebuiesd-seefectueze otatia punctului, a dreptei sau aplanului in jurul unei axe verticale sau degap5_t. -e1q gum,i"lotafie-de nivel rota{ia injurul unei axevertlCale, ebareceotelepuncte-16r fotite rdmin invariante. Rotafia in jurulunei axe de capit se va numi iotuii" de fiont,deoarecedepdrtdrile punctelor rotite rdmininvariante. Dacdaxa di: rotalie ocupl o pozitieoarecare n spaf u, ea poS.e fi adusa prinschimbdr i de'plane de proiecl ie sd devinivert icaldsaude capit.

5 .3. I . ROT'ATIADE NIVEL A PUNCTULUI.Si se roteasc[ punctul A (a, a'), in jurul uneiaxe v,erticale o, co'), de un unghi cunoscutcr(fig. 5.24).Axa de rotalie (., . ') f i ind verti-cald, otaJia unctuluiA in spafiuseefectueazeintr-un plan perpendicular e axd, deci ntr-unplan de nivel [ I ' , s i tuat la cota punctului A.

-uti,;1 . . ,

l t i l :

fllr l -'

t)

I

,,i i

I ur

tLilli

= pr i t r t r -un al l . s is tem,Je pl; r re perpendic 'r lare

83

v8

.Iuu rnlnluauFas a:eolerpaurdarfelo:op roxe1e.'lnrorcrO Frnin

",

L. rBSoJau

a-lse_Ilqlsoa.9_ll .r,eureiqord C .O reldarptu) eJrii5aro.rdlp eop



t,-lt:i::d-FzeoJresraruru n's_$"*"t"1t'&.:Sr1_{;_,p:Fi;t;;;;'";i;";;;#:i,:]}l:_

p.T,,ip Inrrar runr gdnp ,nirn icru nns

.^_ll l lgtgnop. 1:oduror

.euralqordriaiorl:X::l:"9.^P9T , Y.r"ua81'1,p

n"'nir,;:"_1.19

prnp

o lujrusdap.erul1ii uinlrrnoT,,n-1,"^..Y"1u.1,I :up, pidsar'',Jn'nl r,1r"n"liily".lg_l1g"n,.:n_,'sn";rnr;;,;j;",jii;-ralord rp el'rrprr

"-ltpj?,peltiyil ad.o reJBl

:T1li9 "p Fletuozrroricarojd'uilir$-ruulpzeelJasJalul JBJcJoJ un ai.rcsap r',i.o urnj

ll ,;9.,:Jg""jl,^^:9.3nur.n...pi srulraJ+se lntrcundal6alor aS'.(,p ,pi g "gf,i1uor,ro

o_d 1nue1dg gugurrapp 'gn1h1iun?iiio",1l-lp_,_ e^ruap nueJ_a_aurin'ulrdup inuuloJezenlls sps ru yagsu(,or i")

iri",y"nlaxu nrnf u (," 'u)V- nlruni prrJ"loi n, pg',{13,?,319)aum u;.rd ep 4 ;nueyd$ Jnlrunot:"^.1]ar,trrlvraun-Errut'gziinris'assTIINI I:IJISV InlnIcNnJ N-I$J6[..;.d;

1i|j|9:^3r.:r :(I", s1e1-uezeJoal;_e1eoda1eplaueJqord lrrlrpuoc l'y1n1ntrcundRlrloreilyio4.iBuflcjloiii

"u,fqds elep roiderpe p R1pluozrrorJ.cerorOO' Ste,

nJ eulpJo op alulJ 1$eeace d .,p BJpJt lJeAerlraro.rdIe uI ei6iu1g1u; ljierl'O n1rnn"y'x-o1u;rupd p BIUIIeJ- lelered arrrsopEA1: j.1,"_11jt-1_s ulfcelo;d

.,y

1n1n1cund1e,uu:Pnj1"l9l

uI 'PlPp(,p 'p) s ulduarped azanlss

es Ps ryf,u IeJlsu ,(,y.,n)y lnlcuhd urseeloJ::.3.9-Je_a.g

3u) ,p''p) i;1d'uaips1," nfyJ:l"yld_l{ 'yrdviruqo ed szsriirsgsys v3 "raJJSVnlnrcNnd-vrfvrbt .e.s.g'y yn1n1_cund,r

lnrq8un p g1r1o:eflyzod 1ugz:ljfj^ Ji. --,te)

eJ fcaror4' 1ii' '?uroj preJr+ral

BllreJord lp pllroqor ourpro p eluii rb' urelsrulJlur sxo lugrugd pErurlef plalei'eOedpzeoseldaps e Bleluozr.rolfcaioj.I'.lnrsounc,0 rnlnrqdunolezundse:oo

u,u cra-cp

1nc.re::.,:.,::.n^t_,nr rrrsopag .iuir.rpruplirg,rape

lj : l:31:j9_ap rBrltral 1nue1do qidatrjeroio

?: i.l:lllyn_'V lnrnlrundeaiel.rpdapJlunlrs'J luorJep ye1d. n-rluJFzeonlralai niirjos iry _lllnlrund elfelor 'z'ej lsar'e rf 'fqirg:-SI;i), lnJsounJ qFunun ep ,(,to or)

ipdilc" p explaun lnrnf u (," ,e)y- lnj5undprjualo.ras pg.IN'INISNNd

V INOUJ AO VIJVIOU .6.8'9

'yj:l"l*r.g_1 '1 qn;UFunp Flrlorvtlrzodplurz::j_11^(iY'ru_)111|calordJuo+rtor"eleluozr.ro

JallralordB aurproep eruil 1u ug elibulglugIs xo Julrupd9p elul1 d1

1eie:edo'-",rrr.p

f.jry:lt1_1u1fra1or6liasounc,c rnlniq8uh

JolpzundseJoJruu c:ac ap lncre air5s"pas:: :rya nO .aurrprrrplerpnJpe ;'arfcjrordap utruozrronue1ddgzeaicaro.rdj,o frilq8un

ga'9 8t g

: 3.5. ROTATIADE NIVEL A DREPTEI.Si seroteasc[ dreapta D (d, d'), in jurul unei axeverticale (., .') de un unghi cunoscut q.

. ig .5.28) . Se vor rot i doui puncte ale

i:eptei D. Pentru aceasta e duceperpendicu-ira oa pe d gi cu raza coa e descriearcul de

care rdmine propriul siu rotit (fig. 5.29)(punctul de intersecliedintre dreaptd i axd).

5.3.6. ROTATIADREPTEIASTFEL NCIT SADEVINAPARALELACU UNULDIN PLANELE

DE . PROIECTIE. Fie D (d, d') dreapta Ei(., ,o') axade rotalie caresealege erticaldsau



L INCITA (a,a' )g. 5.27).rul axeiitueze n{ H' dus'rrul P onctul ArD.Cusecteazdr orizon-t proiec-oiecli i lercfia cuprin a'axei deJi i , una,aza 6arpteiD,iec iad

r:rc ao1 corespunzltorunghiului a cunoscut.langenta n a1 a acestarc de cercesteproiectia::izontall,rotitd d1 a dreptei D. Proiec{iaa',i : terminatd pr in iniersec{ ia intre d' gi l in ia:: ordine din a, descrieo paraleld la ox Ei:ti lnegte in ai l inia de ordine ridicatd in ar .

lentru a f ixa proiec{ iavert ical i ' rot i ta di a::eptei D, se mai roteEtepunctul B (b, b').:e

remarcd aptulcd un observatorcarepriveEte

:-n <o spre a vede in stinga sa proiecfia b.lna lna nr i rr in r l c f l ra q

-qnocl nhcorrre inr r l in , . ,. ( l JPIt 41t dLEoL vuotl vqlvr ulll a

vadd tot in stinga sa proiectia:rtite bl. Dacdaxa de rotalie inti lnegtedreapta:atd, este suficient sd se roteascdun singur::nci al dreptei,deoarecexistaun alt punct

Fig. 5.28

de cap5t. S[ se roteascl dreaptaD (d, d') astfelincit s[ devinfl paraleli cu unul din planeledeproiecfie. O rotalie de nivel a dreptei D otransformd ntr-o dreap td rontald, dacd se varoti proiecfia orizonlalS d a dreptei D astfelincit sd devind paraleldcu linia de pdmint ox(fig. 5.30). O rotafie de front a dreptei D otransformd ntr-o dreapti orizontald, dacd se

va roti proiecfiaverticalSd' a drepteiD astfelincit sd devind paraleldcu linia de pimint ox( f ig . 5.31).

Fig. 5.30

Fig. 5.31ig. 5.29

B5

q9'c '3rr



jn+rund 'g BldBeJp ud s]t i l , ,Dt-rluel_- ,alo.rc l

i l_13- l . ltrJZl lr ln,dd 1nur1ds { .p ,prO rr la,r :p

: j ] , , l ip0r ir rsrr iui op ; rnlni: i rnd r l? ( , . t )

alr r icaro.ic iI i l l r l ralu ELir lr rJJ];pS.d 1n,iv1'Our azonllsos ps llJu traJjs?(,p ,p;

6 eldeajpplsur+or os FS .(g€.9 .Bl1) rnlnuel i l r l_r i l r .rn,d. ls d at l t i tr ider ip ( ,p ' tr jC r l . i . i l i tg i l

ryr,ud vff NVld Nn-lrTN AZlnils :rsvs.LItNtrruJJSVA.[.drUflrlvrou .ur

r ,

czapasralui:: 36 ralctarp" i,iJ"BoltJt;,l;:i

: , l . l j t9d ai lse zerzr iard16 Iq ;tq) ig uJ qEirnl : : l : l t

nr r is ' r i ( j ' r s ( ,q 'q) g 1nlr t t i tdiB|V ula+sJlo; s rV

I ,nJ lur r t [r - l tg.Iup

In lntu. lu ] la .

9a],BolB porud (,r,r )

ar1e1o: p BlBrr lra- \exe e JS l?s JESaJau-J lqJ

. ( ,8 ,E)V l i r J t iE lol

f t ia11fz.s ts. ' t * ; ty l rr i :urrd )"] rJr. r tldJl .ep.Jrr . '? IS ,p ed . lu e? xo ul ,1 ,urrd e;a1u.re.1

' . ( ,e'e)y 1n;rundur .r , lpru 'a i ]ps ]lrur la j i :e , :q l G eldea:p l ia;o-r s q,g ' ,g"r 'B ldear [ ' ;dt, ,v ' ,ut.V.rer lrqrE,lrundn al . { . (g t :g ,Fr .y tplep

l __(/,I Pxll BldPsrp f, ezelrssrelui sps l ru,"jlu:^,' :p .e_)-0

trduarp f,sgalor s RS.YIVC

l: l s-lv YXIJYrdvaUq azarlasfsrhir

vs .r.I3N{Adrsv ra.[.dauorlv*ott.ot g-;

lalclorp eJN MlVdYS IIsNI

IJArUop er leio"r zellsale ul .XO

30 VtNt"r 3 Yls-rvdvd vhitAsO'rEJrSV[3rdau0 vlivrog .ee.q

l g:i ".ppldea:pperlrzod, 'o'l'r?,;5),:3

9rnpe f* ,,rr) olerr.+ronxa

ralininrnf

'u1

a^luap a1ie1o1 'rodr7(ee.g Sll) (Ip ,tp) ri

: li l1?lr,:^-Fldg'rp.p eJlvntt' l"'(,pp)il-BloB3Jp )npB (,$ ,,,r )lpdel .,p r .txB n:nT'u]

]uorJop er lelo: eurr :d o .ro1e.i iy ( fp ' ,ap) , i

:]:, i1l:^"l l-turq-ep- r|1zod'i '{ i" ErsluorJ

plrlea:p eJnpu (ln ,rro)lgder ap

-;xrilaun

i lrnl- JI_uorJap ariep_r .1oclg(6tg :3tJ)

1It . ]g)_'qr,Jpluo.rllctua:p p-oiJirSo i

1:t_'pl_O"uldBdrP Jrnpp (,c, ' .(D) a;err1.ran

IJXB-_lnJn .J IJ^ tLrJp arf ;o . l l iLu.r { . l 'O.p]

-dBr.rp,p 'p) ( r tc .StiSAIOUd3C a.I3NV-Id

NrGrnNn d vuvtnsroNsdusarutnacYs IINI racls? raraaUoli.?ioil"zes

tt I 'FI:{

'apalef,r lJaAcrirato:d a1u r|-rzoclnop $ p alzi-uoztra.1a1ica1o.rd9le Ill lzod gnop glsrxa ara:-l-?98

_ll+ni_"'ji.ngoinrrpBiepeuiaiqb:d1e:

^1t1Y,ul,(yp"p)o eleluozrro-o1uo:i 'p1dej:p

. f u t l tzodur- tq e1du.:_:pJnpa 'c l , i r ) '+pOnl,

: .q^ l l- : lnrnf r11 Jp,,rp)q i1e1i io.r ;a{OJiplLIorJ l) er .|e1o.rrody (pgg .Ftt) ( f tr , tp) ' rG

:_l:1-1"rJldee:p peilrzod r (,p p)ij e;dn.r

arnptr (/ro o) a{Bti}JaA axu 1n"iniu1-(,p ,p) qt r

r-- r

68 9 3l.l

aduceta l i

frontei de

f ia de

gene-deoa-



zon-led6.

SA8, g')astfel8, g')

a' )d ')

a').ped

ln

axa)ar ate$telaEii l iaeze

SARINiP'scain

f i i leintre

ultul

Fig. 5.37

Fig.5.36

I ( i , i ' ) este comun dreptei D Ei planului Fsi rdmine propriul siu rotit dacd se alegeaxavert ical l de rotaJie ., . ' ) sd reacl pr in el.

Estenecesar d se determine n al doilea punct,comun intre dreapta D Ei planul P. P-entru

aceasta e rotegteurma orizontald h a d_r.epteipind cind se aqazi n-ii1 pe urma orizontd"l5aplanului P. Segmentul lor determindproiec{iaorizontald rotita dr a .dreptei D. Proiecfiar,'erticaldotitd di a drepteiD estedetermin-atade hi i ' . Ca ver i f icare,urma vert icald,"vi adreptei otite D1 (dr, di) trebuie sd seglieascdi€ urma vert icald P' a planului dat . Dupdndrirnea azei de rotalie oh, problemaadmiteJouXsolufi i , una sau nici una.

;.3.11. ROTATTADE NrVEL A PLANULUI.Si se roteascflplanul P dat prin urm.e, .r_1"iu_t d"uneiaxe verticale c.i, r'), de un unghi cunoscuta,f g. 5.37). Se considerd perpendicularaoa:e urma orizontalda olanulu i P si cu raza <na:e descrie arcul rle 'cerc ?ar iorespunzdt or:nghiului o(cunoscut.Tangenta n a1 la acestaic de cerc eprezintdpozitia rotiti P1a urmei:r izontale . Punctul I ( i , i ' ) undeaxa (., . ' )::tersecteaziplanul dat rdmine n rota{ie pro-:i iul sdu rotit. Se rote;fe de asemenea ri-:,:ntala D 1d,d') corespunzdtoare unctuluiI r i, i ') , p cind ocupd pozitia D/ (d1,di).

-:ma verticald vi a orizontalei rotite Dli--,preuni cu P1* determind urma verticald::i it i Pi a planului dat. Rezolvarea roblemei.. simplifica dacd axa de rotatie (or,co') se

I r ig. 5.38

alege chiar in planul vertical de proiectie( f ig. 5.38).

5.3.12.ROTATIA PLANULUI ASTFEL INCITSA AJUNGA PERPENDICULARPE UNULDIN PLAI{ELE DE PROIECTIE. Sd se roteascd

rnai intii planul P dat prin urme, astfel incitsi devinl plan de cap[t sau plan vertical. Seefectueazipentru aceasta rotafie de nivel aplanului P in jurul axei vert icale (o, co') ,astfel incit pozilia rotitl P1 a urmei orizontalea planului P sd f ie perpendicularde l inia depdmint f ig . 5.39).RezultaP1,.Punctul r ( i , ' )

undeaxa (., .') intersecteazdlanul dat r imi-ne in rotalie propriul sdu rotit. OrizontalaD (d, d') corespunzdtoare unctului I devinedupd rota{ie dreapta de capdt Dl (dr, di).Punctele Pr" Ei di : vi determind urma

verticald rotitd Pi a planului dat, cale astfeleste transformat in plan de capdt. In modanalog, ota{ia d'e ront a planului P in jurulaxei de capdt (<o, o')aduceplanul P in pozifiaPlPrxPi, de plan Praiectant fatd de planul

tI,

,

87

'Et,l

t

T

It '9 'Frc



NNVI

}PSdap Bno

Pnop,JsdPulld Prs€NIO' I I.IAJIII

zr '9

c Inueld aJnpP

IAATIJp Purud '

relord ap alemldJu Ie$se 'euJn

RS ArISArOUd:ro

lNNVld VITVc'rarvuvdYNrANr1

rou

-uoc (,p 'p) q eldea:p Braprsuor {lulurpdop Erur lnr glalered d,eltr lrzod-adnro ii

'p) q eldea:p prap,rsuorS .(lf.g .FIJ)

g ld plttorprprrlra^ urnorarlL"f ?'#"i$I^ pleJllra^ eu.rn l$ (Ip,rp) rO Flllor es erf zo d

auriqo as d lnueJdnr elepo (,p ,p) q eldearp

pul loU '( ,1 ' ) 1 lnlrund u1 ( ,c.r ,ar j ar fz loiap BXBnr^BluoJnf,uorS 4 1nue1d g glnurf

xfrJ/.0

ol c

\\A,

o2t I

F_'/

\;d

BJOJl

I JE I

I 'epPsJas

ln lIn'l

roo asSAJJNS

) lnunrd 1upA'IANoYs8t '8 'S

nun

lPpTANYS' t '9

eodIISA:

ptrlrd

elecAAIS

utpu J

IOAA CI '8

d BlEluozrro ur:n lgcuj agisu riilnuelde laniuap ar ielo: o pzBanlce;ees rS ( ,ro,co)-elecl l lanol leloJ cp EXBo 'n1dur_axa.tds aFa1eas ,elf

-cero.ld.epBJalBJnueJdad .lelncrpued:adcali'lugurgdep e.lullnc_1a1e:ed uinepps 6 lnrielilEf, nrlurd '(Ol'g 'Fg) erlcaro.rdap lelianrc

lca

nint,oiec-taf eederldPmint

mai in t i i p lanul de capat (PrPi) , iar apoiplanulde nivel Pi ( f ig. t .+21.In mod analbg,pr in doud otati i succesive,r ima de front, ara douadenivel, sepoateaduce lanuloarecaresi devind

maiinti i planul

vertical(Pr,

Pj),iar apoi planul de front P, ( f ig. 5.a3).

pRtN



con-tdet indr{ineli viPia

ntT'L.A.n lPlcutaf io.nt:nna

5.3.14.ROTATTAPLANULUTDEF|NITALTE ELEIVTENTEGEOMETRICE. S[ se ro-teasci, de exemplu, planut P dat prin drepteleconcurente (d, d') Ei A (8, 8'), in jurul uneiaxe verticale cunoscute <o,<o'),astfel incit s[devinl plan de caplt. Se va rezolva problematard utilizarea urmelor planului P (fig. 5. a).Este suficient sd se roteascddoud drepte aleplanuluidat sauo dreaptd i un punct. Planulde nivel H' determind n olanul dat orizon-tala G (g, g'), carese rotegt^eind cind devinedreaptade capatGr (€r, gi). Cu ajutorul planu-lui vert ical auxi l iar Q dus pr in axa (p,.roi)sedetermini proiecl i i le punctului I ( i , i ' ) deintersecfiea axei de rota{ie cu planul celordoud drepte concurente " ' taie (o' in i ' ) .Intruci i punctul | ( i , i ' ) rdmine propr iul sduroti t , el determind, mpreunacu dreapta de

capit G1 (€r, gi) , pozi l ia roti td in planul decapdt a planului dat P. Urmele Pr, Pi alenoului plan pot f i deterrninate u u;ur inf i .Urma vert icald Pi este datd de dreapta ceunegte'cu gi. RezultdP1* i apoi P, perpen-

dicular i pe l inia de pimint.

5.3.15.ADEVARATA MARIME A IJNEI FI-GURI PLANE. Se consideri puncteleA (A,a.'),B (b, b') qi C (c, 9'). Sd se determineadevdiata

mirime a triufighiului ABC, utilizind metoda

rotafiei (fig. 5.a5). Se duce axa verticald derotaf e (., <u') pr in punctul A (a, a') g i seroteEte rizontala g, g') a planului triunghiuluiastlel ncit s i devinddreaptd e capdt gr,gi) .Punctele.B Ei C se rotesc in B, (b1,bi) Ei9t (St, 9i) , proiec{ i i le or vert icale bi Ei ci

f i ind col iniare cu a' . Planul tr iunghiului adevenitastfelplan de capdt.O a doua otatie,dc dataaceasta e front, n jurul axeide capdt(r,:1, r j) ,dusd ot prin punctul A, aduceplairulde capat al tr iunghiului in plan... .r le ivel,proiecfiavcrt icalaa tr iunghiulLr iz[ i ind'c ib l .Adevirata nar i re tr iungh- iulAat este brcn.

5.3. 6. ROTATIAA DOUA PI(rVE SA DEVINAPARALELE. ln acestcaz se fonsideri planeleneparalele l i Q date pr in 'urme ( i ig . b.46).5e va rot i mai int i i p lanul Q in jurul axei

B9

mm1lil Miulilll'@'r'ri

is,r lcund Bl elnpr lnx' tsl p I eluulslpalieounc.a"13f_

*. j lp o,FqrsFs rnlnuelde ?leluozlroBrurnBJ i( V rnl- ino rrJrd,prerrles pr

1nue1d1o: ruolnd ps

ljruJ IaJisB.) ' ( ' ) 0t le loj ap.JeJr lJaAe ui l aurulalap as ES Jt lJn-:, ,1 pp

,61nue1d$ (,e .u) y lnlcrrnct roprsuor g

"9 6'plpp arfra:rp o ps ralda:p e eleluozrro

06

:1, '{:?1pBt(,ruru)y lnlcund"rr;(':i.".;qil,.l'J?J$l t r lJ0loJd 'rarlulo.r Epolaru ur:d ,aunu.Ialai es qg

"21r;o. rd p ueld r6elarel j ?]gr l l r ,

a lda. rpgnop e:1urp ar)55s.ralurp inynlrLnOal i l iJatord 'rar le lo. r Bpolau ur:d ,auru; ja1ap'es

eg .9

',,,,,,,,,,,,,,111lllll[r&r iilflillltlrq|il0r



, FqlB..;raro-rder ,y

lnlJtrndur:d erearl gs ,q e;duJ.rp urlo:Jul- , lJJ lsc

,,(, ,+,,q).

lpJ l}JJAxB Lln JulrulJ. lJp s uSp 'p) e BldBrrplS (,8 ,e) y pr l r r rnd prrprsrror S 016

- s-e1 n us. n ,rn,lp,ji,t#1,1,#J:r .l?"?J"fi""1; r I l lJ. tnJuoJ, , to . ro)leJI lJaA xB Lln oulu. lalcp as u5

.p'p) O aidcc.rp rl (,u ,u) y 1r; ;und p.rJprsrio. , g"9 6Id elBJrlJaA Bluln Bs pnou aurut

-J. }Jpas eg '.1 "1nquor" lo Jles lJulrn ; t r. rnIur, ]nJsuunJiEun un i l r . rurrn rrr;d jup ' .ua1dun

'a1$i1orog .3 6

,:grn razonlrs.ass rruJ",,rn o-tl:]l#il'J?irfili-Lro alurn ynrnf u1 (,e ,u)

V lnlrund prieaidLas pS"1 6aur:n ur:d 1ep

,4 uald un nr eJcle:ed

::11:.p : l rJut lar lsB. .vrnlnxe 1n:n[ut (,p ,p)q aldea:prrS?alor spS (,S ,g) y leluozr-ro p un piapisui, ag .9 6

'RlBp (,p ,p)q gldea:po nr ;a1e;ud urôpES

-t-._lt -a1l1uy 1n1nxunrnt rn iau;:n ui.rd 1ep4'J,,ueid

:rspalotas RS(,9 .g) y leluozr:oxe uLie:apisuor g _5 1

. 1Bp,9 ,n)

V ln lrundru: r l greal l

u, ^:. ,^1,. t1^-t] ] t t 'V II t lnxE 1n.rnf r ';u.ur ur:d 1ep ,j lnuei'd?f,sualotsRS(,9 ,g) y yuluozr-roe un e;aprsLiorg -g 1.aru:nur. rdiep.4 ireyci n_r lr l t zanJts

l : . . - . , l l ruJ l3l ls ts v rnlnxe 1n:nl r i l ( ,? .p) y '1n1rui id,"Jsealoi sRS

(,9 ,d,)V lEluozrroxe urr 'u. lopisuo,g ^1 1

,- . _,R1lpaldeo:pad Jzrnlrsrs BSV rnlnxe Jn:n[ ur

i_rtpullor, lrrr l ,1qrnJnlrund ulor 1;;1suirrur.r;1rp s eg1g- 1uno rnun s u plEluozuo Drircro:d 'ts i,S

.VlV

i?Juozr- to e ul l ,(,p,p)C uldeajp b.raprsurr ' E o1

.ar l raro-rdop leluuzrJo nuul i i rr.ri._l^t_:, ]1ln.p

EstrrJlr l oi1se',qrn nxu'1n:Litu1',6 lirLruld

lt :"-t l?j_1:,pg aru:n ur:d 1ep .4 rnlnueld'u'9yi1rc,zr:ou nJ IJlpjBd (,9 ,g)V le.+Ltoztroe un p-iapl,-uo.,g _g 1.9+Bp

O alt lea"rp;d eln. r ipuad.rat li, ,9.. '. , ]I lB luo; r :o r lc lo. r p xe un puuapr iuoJ,elurr ; : j . rBUIAap slJrul laJisp ,p ,pt

O elCea_rpjs'ea1o: RS"r l

:^.n_11" t trI3uJ.laJis' ,xB rnlsar' 1n.rnf rg ,*rttf"ft;;Brsealor s pS (,9 ,S)V lu?uozuo nxe'e.rapriumeg .g i

::^+-r'.1,i{r." .rnlnxBn.rnrr "-l;'lli'i,"T',iT,'ii,ti8rseoloras pS .(,9 ,g) y leluozrro nxe'p:ai,r iuoi"g .6 1

::ll^.1 :lrui r3Jisa.Vn1nxenrnf (,p p)ff'Jft"#.i;Jseolor s RS(,€ ,g) y lelrrozr:o nxb g.ropiiuir aS ol l

- , ._-, -_Vtnlnxe lnrni uJ ')cluJsounJ qFunun ne 1ep

g^:^ l i un r les. ( ,p 'p) c uldua:p o .( ,u i?) y lrund'uirJseolor0s pS (,9 ,g) y leluozrio nxe e.ralr iuor"g .g 1

o r rururFdpurrJr",,"1'J':"#3"j":J,X,i3,;',135:jli rr lJJturd .rJl lclotL.polJru ur:d .ouru_i lo1cp , eq 6

lllojdap. trda:pnop".,,u,oJi,ntr"ilrJi"jlf.i0t",]Jl l l lJr ror , t ' rar le lc . r Bpolc iu ur"rd . , :uru_r ialap,, e5 g

. ,'J l r leradeur, lapES JBl l l ra^ o1 alr r i larorc[11tur

l r1tse (,S 'S) V t6 ( ,p ,p) ( a1a;do:p rsej loL Js gS o9

.a1a1e:ed ulAap es JIe) t i laA Jol elJrxJnl lJUt

lJ ] lsp 'Juun ur:d olep ,Dl i d . r1rue1d.u;saarb,

:.Ua U

FS,ruJaJlsearrr.rnur.rdep. ;,i',l9il"tid:f"rryf:B

Rurâps

irul aJls',p p)

a nlonrrpluqor'.xr,Xl,Etfit;;- ', lnJsolrnJ q8un un op ,(,c,r ar)

lederep xe rniln 1n;n[u1 ,(,e ,e)V lnilrnd urseSlo:ai pS

"t

mruil]]rflm|IMlimr

mmiltwthMul,milill

wlnfiltW

ftlllillgilI

ll$illlr

ftiiitlt

rulm,'dlllllli

lllll]I

rsndoudwtlsoudf'9

-pAUrrB+BrBB-sunrtJ'Wf jjl,"[iilji"",,J

i l:olaue1d trrFqurr{rs rapo}au

uiieoildeptreraJaJdarJ-FSII ln 31se ipJaueFuJ .JoJBoJBA-191:1,1]lu"d yielor nopEeuauas?p rar orl-JaroJo p auBldap r. lpqui l lJS nop BlrsaJau JpJelaualqord 'ar lcarord ap ueld ap aiequr lqrs onJ pluale^Jr lJJalsJ erfe lo: o er eul l le aleodJS ' tJr lEloJ Bpolau uud r$ olBAIOZJJ iuau;aserp rJ lod el lJ3roJdap upJd ep rJBqurrqJs eunInJolnf? nr alBÎozar +soJnB arBJ'a1erira1qor6'3rl.3FrOUdaCINV-rd.ro vauvswtHf,s

rSar.l,vrouturNro fruarvnlllca.Lt-t.s

. ,SgJnlnuEld plr lorvt l tzod

:]llt.ld9l Is ,dd .tnu.etd: 1a1e.ructlsa 6a6

]i 9 d'60 Bli ' rod dnco i rSesulanr laie;e?zeaseldapes_t6 eiu:n .?:Oe4nod gdnco $

1d j glale1edurâp r gugd ,nlnl ln:nf u1

flnl^lq_elsalor s rD Eurn tallsv:,6jlnrield

nJ IalBJeo eur lep puJJ puld ,V ralBluozrJo

iljnluI IOrD 1nue.1dl$elorab j(,n ,,r) uI

gletrlra^BrurnarB s ][r[ 1nue1di; plenlrs

als€ {BleluoztJoBauauiasep .(, i ,g)V'1exr;;ti{:-"jo ',tb rS4 :olaueide ir{r5s'raiul p ,tnl:Yot_ryo

r RIalErBd,S ,S)V pldparp arfejoi

ap BX?-Enop

E ec a8ale aS .pJpluozrJoo olsa

?l l t9narpo pdnpEzBolrasralurs ,a1a1e:'edaleluozlJo laruJn UJABrOrD

IS dd alaueld

_tnl

"O^ ln1n1cundalun urra $-i lerrlrolIar.urn9-10ptttorefirzod llnzaU4 eur:nnr

P.l9l:r?.J0 Fur^3p S .Brxrn11eu;a;}se(er|

-rarord p lprrlral 1nue1dlp) (,o ,'or)iierr1.re,,r

- "0- .S, i e roteasci i rcptc lc . (d, d ') qi A (8, A') i r r r r r r r lun.urax, or izontal C (C,S') , ast fel inc i t proiect i j l i loronzontalesi dcvini naralc lc .27oSii se roteascd lanele qijurul unuiax or izor i ta l (0, 5, ) ,

orizontale d deviniiparaiele.

Q, date prif l urme, inastfel incit urmele lor

2So.Sc.consider il icptc leD kl, d ') qi A (8, D,)concrrrcrr tcpe lrnr ; rdc pinr i r r t ; i s i t r ratc ri p lanrr lor izontal .SI sc



roteasci.dreaptaz\ in jurul dre-pteiD, astfel incit s. i

oevrrla.dreaptd de prof i l. Si se construiasci urmele

pranulul,care rcce pr in drcapta D gi pr in dreapla A

conslderatdn aceast inoud pozi{ ie.29' Se consideri fronlala F (t , f ,) gi punctul A (a, a, )

: l1 l l i?. .acestc i l r pte.^Si i ,c otc is i i ptanrr lA in ' jur i r i

2ccsterrol l ta le,ast fol nc i t sd sc s i tue.zen pr imul 'p lanb secor ..?0"Sc _con.s ir ler . ; iru lc l r r lA (a, a, ) din planul or izorr la loe proicc l ie. Sd se elcctueze semirotal iea acestrr i1r lpc^t -n

jr r rul r rnrr iax de rolal ic oarecareA (9, g, ) .Jr Ja se rotcasci i purrc lr r lM (m, m,), dc un urrolr i I

: ,1t1.: : : t ,_injrrrrr l, rnci drepte )arecare (d, d,) c6rr-

sroerata a ax de rotal ic . I ; ig.5, , l i :

32o-Se onsiderd unetele{ (a, a,-),B (b, b') 9i C (c, c,).

;l r.n it -ilii,r?,11i,,,;,o',',.,., s el nc pioieci c I6r

5.5.METODA PABATERi lRtDtCAREARABATERil)

cA["E A pt_ANU[,UI.REGUT_A

rr i l r jNGFftu-

LUI DREPTUNGT{tCDE pOZtTtE)( f is .5.47).

fl "",rabati pc planul orizorrirl rlc p.,roieclie

planul oarecarep, dat pr in urmelc sale'p$i P'. Se poateproceda ri c loui i elur l :lo Se alege a axi i de rabater.crr i)aor izolttal i la planuluiP. Trebuie i se urai abati iu l l punctoarecare in p.lan.Pentruu$ur i l t t : i :seoni ic ler i ipunctul (v: v ') s i tuat pe lr fn la vt i r t ic ; r l i i , i rp lanulut .Acest punct dcscr ic, i tr rab;r tcr t:rp lanulu lP, un arc de cercsitr rat r tr - ir r r larrpe,rpendicu- lare axa de rabatere leasa. )cci,

11?31.t: . , ; a punctului (v, v,) se afla peperpendlcl l lara to dus:rdin pro i r . t . { i : rr i t tnr_

lu l i u,a punctuluipe axa de rabaterc . purrc-t t t l vn rezul t l din intersectia crpt,r r t i icularcivcd tt arculde cercde raz\ pxu, t lr i . cu centrulin P*, deoarece n rabaterc <l i : . ; l : l{ r r p*V,rdnr ineconstanta f ig . S.a8).Rabatcreapj aurmei vert icalea planului p se o'bJine nint jP* cu v6.

20 Planul perpendicularus pe axa de rabaterepr . in punctul (v, v ') determin i in spaf iu untr iunghi dreptunghic, le cirui cat,: te i i r t vv,

$i v<o, unghiul drept f i ind in v (f ig. 5.48).lpotenuzan spaf iua acestui r iungir ieste rv,giconst i tu ieaza e abatere punct ' -uluiv, v,) .Acest r iunghi dreptunglr ico i i t i r r jurr i l catc-tql <,t.v 9 a$terne n adevaratu rrr i l r ir rc poplanul or izonta l ,ducincl n v o oaralcl i i

ia

axa P de rabatere i luincipe aceait i iparalel icota punctului.Rezult i vvi =- v 'v, ia i uninclvl cu c0se obtine ipotenuza r iunghiului sau

lletoda rabaterii este un caz particular alretodei rota{ iei-gi redreptscop ransformarcarnul. ptan asi lel incit sd clevini continut sauparalel u unul din planele e proiecfid. .todu:abater i iconsti astfel ntr_o btatie 'a planuluiin j.urul unei axe orizontalesau irontdle, care.oatef i chiar unadintre.urmele lanuiu i . rpt

.1jab,1te^re,,e un.plan de nivel, oiiceligura n.:tuata intr-un plan oarccare se proieiteazi' :rzontatr lupi o f igur l F, egal i cu fisura F.:e spune d F1este abatereaigur i i F. Dacir e:cate construi xact in rabatere igura F1, se:o,ate obfine reprezentarea ublu "ortogonall- guros.exacti f igur i i F pr in operafia nversd-.carcnl, nunr i td r idicarea abater i i . pentru:eterminareaabateriiunei figuri estesuficienl,' se qtie sd se construiasc5 abatereaunui

__ t_o,argcarel figurii. De fapt se subinfelege:- n rabaterea nui punct sau a unei drepte. :a tereaplanulu i deTin i tde punct gi de axa

:: . rabatere (saLrde drcaptl qi d6 axa de- r jatere) .

_j I ITABATEREANUIPLANOARECAREPl..l_L4ryuLRtzoNTALE nnoincllE.f t -TILIZAREA ABATERIIURMEi ViNTI-

al



' -q*

- Proiecfia r izontala put t t l r r l t r ti .prot t ' t t ; t

.u iXbatr ta se gisasc tt iott lc ' r r t t t t ;ri tr iattrpc

aceeasi erpendiculardusl la axa t le rabaterc '

- -Oii t int i punctului dbatut la axa de raba-

tereeste htoideaunapotenuzar iunghiLr lui epozit ie.I- i junctele situate pe axa de rabateresint



propr i i le or rdbdtuteL habater i le dreptelor paralelc cu ;r \a de

rabaiere int si ele'paralele t l axa de rabatere'

- intre f igurar ib i tu t i E i pro iec l ia . r izonialr r

a f igui i i pE planul p9 cares-a. acut rahatercaa fisui i i pE planul pe cares-a fzicut abaterea

;" i ;Tt ; ie ta l ie de ?r f in i ta te 'Axa t lc al ir r i tatc

razade rabatere'Cu centrul n cose descrieuiiut 4., cercde razd ov1 car€. ntersecteazdin * n.ip.ndiculara <o. 6uneEte * cu v6 $ir" 6Utin. P6, rabaterea rmei vert icaleaplanului dat. TriunghiulvvltD se mrmeqte'triunghiuLde pozilie saude rabatere) l punc'

tului (v, v ' ) .

Regulariunghiului epozife (rabatere):entruirn-rt"i.u un-uipunctse duce'intotdeaunain

nioiectia rizontildv a punctului perpendicu'i'ara i o paraleldpe axa de rabatere' er -

oenAifuturde ntersicteazdu axaderabaterefn ., centrul e abatere. eparalelSe.mdsoardintoiA"uunuotapunctului ' fafd e planulpe

.ui".u fhce abateiea. eobfine 1,deci ezultd

iriunshilt de pozitie rabatere)covr-, cdrui

ipoteiuze ovlste'razi de rabatere.edescrie

arculde cerccu centrulo 9l razac0v1; ar€vzlin["tt..iu perpendiculara,,r n doui puncte 6,

J;;-ili6 siu de alta a axei.Aceste.uncte

.int duiu doud rabateriale punctului consi'

,f.iut.-.q...tuqi

triunghi de lozif ie poate f

.onti.uit penituorice- unctA al orizontalei," p"lr";irl tu, .. construieqteriunghiul de

r,"iiti" pentruun punct oar6careonfinut n'planul

PP'.

Observare.Din cele de mai sus rezulti

IT.liff't; efectua rabatereste eaprratnecesardsecunoascdlementulare e abate'

;;a; irbut"t. qi planulpe careseefectueazdrabaterea.- Rabaterea nui punct se face ntotdeauna

." ;j;t;*i construciieiriunghiuluide pozifie

(rabatere).

92

esteaxa cle abatere,ar punctelc orcspottt l t ' t r tc

caredetermind ransformarea[inirs i t t t prolec-i iu or i iontu lSEi rabaterea ur tc t t t lu i .cot ts i t l t ' ra t '

Aceastdpropr ietate stc loartc ut t l l t l l i s l l l -

pl i f icarea pera l i i lorgraficep( ' cnrrra'

- Toate puncteleplanLr lui i t t ta te t t pr i t t rL t l

diedru uoi uu. , rabater i le or pe p l i i t tu l or i-

zonta l s i tuate in unglr iul io t ' t t t r r t ,l t ' t l r l l la

or izonta l l P a planul t r iqi r lc r r i l l l r t t ' r 'ea1 a

urmei vert icalea Planului :

- Unghiu l dinco al tr iunglr iul tr idc

este intotdeaunaunghiul plat l tare.

unghiul diedru cupr ins inlre p lant t t

rab-ate i planulor izontaldc proiecfe '

5 .5.2. RABATEREA UNEI FIGURI

SITUATE INTR-UNPLAN DAT PRIN

Fie o lanul PP'Ei t r iunghiu l (abc,

confi i rut n acestplan (f ig..5 '49) 'Cu

unui punctoarecarev, v ') de Peurma

l5 P' ; p lanulu ise abate ccast i it rn t ; t

poz i { ic

rrreisoaracare se

PLANI:URME.a 'b 'c ' )

ajutorulvert ica-in Pirpe

Fig. 5 49

ltt/

$tI,

planu.l,o,rizontaleproiecfie,uirrd rma ri-zontaldP ca axdde rabatere. e abat otortatigi orizontalelelanului are recprin punctele(?,a')

li^(9,

.g')pe care

se obfin-rabaterile 6Ei. 6.ducindin a gi c l ini i ledeordine erpen-diculare e..ax-a..deabatere . Rabater'eaoapunctului

lb,. .b')se poatedetermina ot aqa

i1

para le l l a l i r iade pirn int . l ) r r r inr l otapurrc-tului M in r t pe 5, se ob{ in m'. Ca i i t f icdeterminatl i"r r ighiulle ozitr i , l prrr rctulLr i,

treDule a segiseasci i ,r , cnr lr l r le ralratcr t.Pentru aceasb e qtie ci i ton l trcbrr iesi i f icegal cu <omorcaaira ,Ja ralrrti'ru'. )ct'i, <,r cglsegtepe mdiatoarea pt'



sa.u rin afinitate.Triunghiul 6bsc6eprezintdadevirirtamirime a triinghiulul

-corisiderat.

q._5.9,_4tplcARFAABATERTTENTRUFIGURA PLANA. Se consider{acelaqi xemptu$r sepresupuned in planul pp, dat 'pr in urmetrebuiesituat un tr iunghi echi lateral 'deatur5

datd; se cer proiecfi i ledublu ortogonale lbacestuiitriunghi.Pentruaceasta e alate urmavert icald a planului pe planul or izontal deproleclte qi se construiegten rabatere triun.ghiul echi lateral sbncn. rmdrindoperafiaderabaterp n sens invers,.se dedui imediatproiecfi le abcqi a'b 'c ' ale tr iunghiuluicdutat.pnn ab gi c6 se duc rabaterile orizontaleloracestor puncte care se intorc din rabatere.Pentru punctul (b, b') se uti l izeazl to t trans-

formareiaf inr i .

'

1.-5.T.- -ETERMINAREA UNUI PLAN PRINRIDICAREA RABATERII. $ se determineurme.le .giP' ale unui-plan unoscind roiecfiilepunctuluiM.(., m') din plan gi rabatireamnaacestui punct pe planul orlzorital de proiecfie.Astfel,

, f ie m $i q' .proiecfi i le punctului M,gr m0 aDatereacestui unctpe planulorizontalde proiecfie ( f ig.. .b.S0). nind . f .u . qiducind o perpendiculari

ln m pe msm, seobf ne.,proiecfa or izontald 8 a or iz"ontalei

lJLt i- lcare trece prin punctul M. proiecfia

vert lcalab' 'qi urmavert ical i (v, v,) ale acesteidrepte rezultd imediat ducind pr in m, o

idit .r tr i r r r i j l tx.r r lal.segmentulumeml ;i pe cl.eapta uni.para-lela dusA a $ pr in coeste rnraor izorr tal ira planului (ord a serv i t .c rax i i r le rabarcret:RezultdF* ce{ 'enit cu v' (h urrn:r rer t ical ir 'a planului c. jutat.

5.5.5.;RABAiEREA E Ult PLAN DE NtvEL.DISTANTA ,F] A UN PUISTLA O DREAPTA.In ge4eral,i problemelencart 'sealege rr l tr ;ror izontalda unui plan ra axa , lc r l l r l icr ,: ,operal i i le rdice arese ecasupr.rrlernentelord in problemr epagesclecele'r r rai nu l tcor icadrulep*lrelpe eb parte, ar pede alta partese ntrpdue lerafi le graficemaipu{ in tecesare,oaca se ia a plan de rabatere urr .nlan r lcnivel (sau dr f iont) . Efectrr ir r r labati ,rc l I )cy1 l. la-n.devel, .se err lucci r r { ior- 'oi l rprrrr r ' -tu. lui a f l_deplanul pe carese'fabe abarerea,tr iunghiuldr-pozit ie ' ' ra ezultamai mic s i inans.amblu_torte perafi i legraficevor f i 'nrairestrinse.Ca axd de iabate*re n acest caz sealege or izontala e intersecl ie. ntre planulcare se_abateqi planul r je ' l r ivel pe care seIace rabaterea. r iunghiul de rrozit iese con-struieqte. raci a fel

(cuexcep{ ihcotei) ,

iartoate celelatepropr ieta{ iale rabater i i r imirrlnvariante.S[ se determinedistantade la unPfncl la o dreaptlprin rabatere. e un plan denivel. Fi.e [ ( rn,m') punctul tJair; i A'(g, ) ,)o.dreapteorrecare at l ( f ig. S.5l) . Se rabateplanul determinat e punitul M ; i t l rcaptaApeun p landenivelH' ,

-dusla cotapunctu iu iM.

Dtuqplu-A ( t, 8 ') intersecteazdlanul cle ni-vel H' in punctulA (a, a') , care mpreunl cupunctul M (rn,m') determind ol izontala deintersecti.eD (d, d') dintre cele tloul plane,orizontaldcarese a ca axd

de rlbatere.punc-

te le A qi r l t r l rnin propr i i le or r ibi tute, f i indpe axa de rabatere.Se rabate de asemeneapunctul oarecareB (b, b') cle pe tlreapta A.Construind n b tr iunghiul r le pozi{ iebb1<o lpunctului B, seohfine abatercrbu, pe planulde nivel H',, I punctului B, 1 i cu aceastarezultd.Se,abatefea repteiA pe acelaEi landenivel. Seduce?n abaiere, l i i r pLrnctulm =-: tng, perpendiculara e 8s si se obf ne ne,

93

D (d, d') $i A (8, 5 ' ; . Sepoatcproceclai rfe lur i :

1oFie M (m, m') punctLr lk 'coircrrrcn{ i ii c t : lordoul drepte (f ig. 5.53).Se corrstruieqterrnaor izonta l i P a planultr i iornir t r l t ' cclo <lorr j it l repte ottcuretttci scalt 'gc rr rx;r lc :r lr ;r { r ' r ' t ' .

ciot t i i



Sc fornteaz i in l t t t r i t tug l r i t rl l t ' r t rz . i l i t i ; r lr r r r i , ' 'tu lu i M, r luciud n rr tglar ' . i r l t ' l r r1 ipt ' r -pt ' r r t l i t ' l r l r l r rla axa de rabatcre. c l r i t t ' ; r l; r r ' i ; r , , l ; r t t ' r r i . ,a punctului M faf i i c lep l r r t tLrl) ( ' c ir r ( ' , , ' , r t ' r 'rabatereafa lddeplanulol izorr t;r l ) ; i ezrr l t i in, .Perpendicularain m inti l r tcste xade r;rbutclt :in

co, centrul derabaterc.

Ctr razatoffrr

sodescr iearcul r le cerc carc ir r i i lnestc per l)cu-diculara mo in m6, rabatcr :r l rurrctLrui &1.Urmele11= hn Si k : k1ytl t : l r lptr : lorD ;i A,f i ind pe axa P de rabaterc ' , i i r r r ir rpropl i i lclor r ibdtute. Unind fl ls cLl rcestc y.rurrcteeobf in rabater i ledx qi 3, 1r . 'p lattul 'or izor i talde proiecl ie, ale drepteior concurt 'nte late.Intre rabater i le egi 3u c nrrsoar irt i ar lcvi ir r t l imdr imeunghiul a format r le ccle t lorr ir l rc l ; t t ,Dqi A.

20 Planul de nive l H' t i t ' tcrrr r ir tan plant t lcelordoul drepte ot tc t t r r , ' t r tcr izonta la . , . ' ) ,obf nutl cu ajutorul puuctc ' lofA 1a,a') ; iB (b, b') , in carecelc t lot i i i r l t ' t , l r tc:olrcurt ' l r t t :intersecteazi lanul dc nir , 'c l i ig. l- r .54). e ir raceasti orizontald e, r') ca irxri rlc rlbat crt' ; ise rabate punctu l M (m, rn ' ) l) ( ' p lnrrrr l r lcnivel H'. Pentruaceasta t:constrLr i t : , , tcn rn,ca mai s us, tr iunghiLr t lc 1,rrz i{ i t l l , i t t ic t t t -

lu i M, avindgr i j i ca .si i e r t ct. , i r ttutt , nr 'c 'faJ i de planul de n ive l FI ' . ( l t t r i r l i r ( l ( ' i - i t l ) i r -

tere om1 se obl ine rabir ir . ' r r .r lt , , , ( ' i l r , . r i r i t i ic l l os = a qi bu = b da I'air l t t l r l t : d , ,s i ), 1:e

i

fr

Fig. 5.51 F ig. 5.52

care se intoarce din rabatere n n qi apoi inn'. Segmentulmene ste ln adevdratdmirimedistanfa de la punct la dreapti . Proiec{ i i le(mri, m'n') reprezintd perpendiculara dusldin punctulM pe dreaptaA.

5.5.6.,DTSTANTADTNTRE DOUA DREPTEPARALELE. Sdsegiseasci n adevtrratflnflrimedistartfa d cuprinsd intre dou[ dropte paraleleA (8,,8') 9l At (8r, 8i) dateprin proiecfille or.

Se rabateplanul celor doui drepteparalele eun plan de nivel H' ( f ig. 5.52).Se alegecaaxi cle abatere r izontala ., . ' ) , care ezult idin intersecfa planului de nivel H' cu planr-r l

celor doua drepte paralele.Punctele A .qi Brespectiv e pe dreptele gi At rdminpropr i i lelor rdbitute, fiind pe axa de rabatere pe caredealtfelo qi determind).Se rabatede asemeneapunctul oarecareM (m, m') de pe dreapta A.

Construind n m triunghiul de pozijie mmrolal punctului M, se obf ne rabatereamn, aacestgipunct, pe planul de nivel H' qi cuaceasta8s, rabaterea reptei A. Paraleladnsiprin b : bo la 8n determirid' tn, rabaterea

drepteiA1 pe acelagi lan de nivel [ I ' . Distan-

fa d crrpr insi ntre celedouddrepteparaleleAqi A1 se misoar l in adevirat i mlr ime, intrerabaterile 80 qi 8ro ale dreptelor paralele

considerate.

S.S.z.a6EvARATA MARIIVIEA UNOHIUI-I-JICUPRINS TNTRE DOUA DREPTE CONCU.RENTE. Si se detennine n adevlirati mirinreunghiul cr cuprins intre douf, drepte concurente

94

Fig. 5.51



Fig. b.bS

: lanul cle nivel H' ale dreptelorconcurentedate, gi cu aceastaunghiul ci .

5.5.8.UNCHTULDTNTREO DREAPTAgI UNPLAN. S[ se giseasci in adevtrratflmhrimeunghiul d-pe care l face dreaptaA (8, D,) cuplanulP dat prin urme (fig. b.55;.pentru aceas-

r,a,dintr.un. pu^ngt arecareM (m, m,) de pedreapta A(8, 8') se duce o perpendiculai irm.a,. 'a') pe planul dat. prin r'abaterea unc-t.uluiM (rn,m') pe un plan de nivel H,, sedeterminl, n adcvi irat i mir ime, unshiul cu-pr ins ntre perpendicularausl qi dr iapta A.

Unghiul omplementar": +

- B este, nadevi jrat i mir ime, unghiul c lutat.

5.5.9.UNCHIULDINTREDOUAPLANE.Si SCdeterminen adevtrratimdrime unghiul diedruacuprins ntre doudplaneP qi e dateprin urme.)q poateEi n acest az sAse procedezen douiieluri

io Din punctl l M (m, m') oarecaret in spatiu

: . dy..normalele eceledoul plane f ig. 5.56).Se determinl in

-adeviratdmirime uishiul ?

cuprins ntre celedoul normale,prin ralatereapunctului M (m, m') pe un plan oarecare enivel H'. Unghiul

ceutat a dintre cele doulplane ateP Si Q seobtine n adeviratdmdrimeluindsuplementulnghiuluip gisi t mai nainte.2o Prin punctul.oarecare (m, m') situat ped.reapta (8, 8') de intersecfie

'planelor 'p

sj .Q *. du-ce n_plan RR' perpendicular eI (8, 8') ( f ig . 5.57). Pentru

ac6astase ia 'o

tronta laa planulu i R gi se duce m'hf 1 8, .Rezul tdhi ; i apoi h1 la in tersecf iain ie i deord inedin hi cu para le la usddin m la l in ia

de- imint . Pr in urma or izontal?i1 trcceurnr iror izontalS planului R, urmii peipendicLr lar i ipe proiecfia or izontalS 8. (Trasareaurnrr , ivert icaleR'nu estenecesara.) e r lcternr inaproiecfi i le r izontalema s i mb ale r lrcptelor leintersecfe-dintre lanulR cu fiecare l i i rplanele

? l j ,q . Unghiul-acupr ins ntre aceste'c lreptede intersecfie steunghiul cautat ; i se obl inein adevirat i mir i me pr in rabatereapunc-tu lu i .M (m,

m') peplanuior izorr lal lerroibcl ie,luind ca axI de rabatereurma or izor i talr ip lanulu iR.

Observare:n cazulult imei var iantese poatedetermina u ugur infdplanul bisec.tor l t l ie-dru lu i p lanelorP qi Q date. Ast l l . l , Lrrr Lrnctoarecaree pebisectoareanglr iulLr i ( i r tJci lreipro iec l i i. se giscsc irner l i i r t) . r r r r1,1- t.1111;1.udreaptaA de ntersectie in trecc l t t i r iLr l lane.determin i r lanul b isector ir r r tr r t

Fig. 5.56

Fig.5.57

95

5.5. I0. ADEVARATAMARIME A UNEIFIGURT LANE.Si se determine,e exemplu,adeviratamirime a unui riunghiABCdatprin

oroiecti i le ale abc si a'b'c' (f ig.5.58).Seiabate planul tr iunghiuluipe un-plan dc

nivelH' , c lus r inpunctul (b' b:) .Latura Cintersecteazllanulde nivel H' ln punctul



M (m,m'). Se-alegea axi de rabatererizon-tala (e = bm, e' = b'm'),obfinutd in inter-sect ia lanuluide nivel H' "cuplanul r iun-shil lui ' ABC. Proiec{i i le = bn 9i m = ntniamin oropri i le or r5bItute, i ind situatepe

a*n

"

de iabatere. erabatepunctulA (a,a')

oenlanul le ivelH'. Construindn a triunglt iulhe'pozi{ie l punctuluiA, .seobfine.raza Je

rabitere<,rar,are conducea.ae,-rabatereacolanulde nivela punctului . Rezultd st feli lrcntelcir l l irt t t teriaoi a1ym6.€oarecettncttt lC s6pascstee aturaAC, rebuie a rabatereasa c,,"sl

se glseascd e rabaterea repteiAC(care ste ,,mo1i pe iniadeordine usldin cDeaxaderabatere' ceastiobservaJiecutegteie a rabateqi punctulC cu ajutorulunui

tr iunghide po2it ie. eobfineastfel e planulde nivel H'-adevdrata irimeanbqcetriun-ghiului dat ABC.

5.5.11.RABATEREA LANELqRPROIEC-rArurE OERTICALE l DE CAPAT). e poatesdsiadevlratamlrimea unui triunghiABC'I ituat intr-unplan proiectantafi de planulorizontal, rin rabaterealanulL-riroiectant eceledoudblanede proiectie' stfel, ie punc-

tele A(a, 'a'), B (b;b')

$iC (c,c'). virfuri le

triunghiului chrui roiecfierizontaldbc ste

l r ig. 5 51l

to ta l deformat i ii asez-ati t)c l l l laor izot t ta l i t)

a p lanulu iver t ica l PP' ( f ig . 5.1-r9) .labatereapl inu lu i proiectant vert ical) PP'pe planul

vert ical de proiectiese rct l t tcerle lapt la o

rotaf e de nive l n jurul axci vert icale e.carel

const i tu ieurnta vcr t ica l i i P ' . Pro i t 'c { i i le - ir i -zontalea, b, c se rotest i t t tr - t tn settssatl i t t

ce lSla l t , indc ind sc a l ternpe in ia de pi i n in t .

Pro iecf i i le or vert ic:r le lescr i t tn rotaf ia .de

nivel paralele a l in ia t lc p i i r r t i r t t .RczLt l t i rl tsbecs, 'adeviratanr ir imca tr i t t r tgh i t - r lu iat .

Rabaterea celu ias i lanvert icalPP' pt l planul

or izontalde proiec{ ie c iacc rr jurul axt i de

rabatere e careo cot ls t i t t t ic rr t la r iz-clnt lr l ip lanului P. Ducind o perpetldicrr lar i in P* PeP. se obt ineP[, rabaterea rmei vert icaleP' .

;-'

Fig. 5.58

96

Razele le rabaterc le punctelor , B 5i C s intt 'galc cu t 'otclc prrrrctc ' lorespcci ive.Luirr r lrceste ote pc l i r r i i le leordi4e id icatc n a, tr; i .c fa{ i dc axa de rabatere urma ;, seob{ i ir

rabaterjlc an,b0 ;i cn, pe pianul o{i'zontal rle:prorecIie, lc pLrrrctclorespective,5i cu acea.steradcvi lrata rnar ime flxbncp tr iunghiului dat.

i l l lgdairalogpoate.fir 'Uirrun pianAi capar

r i t l ic* , r r l ] (b , b ' ) . l ) t ' I tsl i l r l l t t ; r, ' , ,1c l t r l ; r

fo losl rea t r : r r rs[orrn l i r i ia I i l rc i r racesl e l .

; r r -olr l r 'nr t ' r l t '

5.6.PROBTEMEROPUSE

lo j i i seefectuezcalr2{g1s, e pl ; lnul pr .



pe ccle loudplanede proiecfe (f i-g.b.60).

q q,l? ,RABATEREAN JURUL rNrEr rPAMINT;Sdse determine roiecliilei.iugonu"lui ABCDEF situat inti-un irlan p ):aretrece.prininia depimint, cunosiind roiecJiilepunctului

{

(.,

f') (centrulhexagonuluit

Eig"l"]"._fg.,orizontali.virfului A @,' ar)( I rg. .bl) . Se considerdinia de pimint ciaxade rabaterei.se abate unctulM (m,m,)r,] ,mu,. e.ptanul orizontalde prorecfe, cur lutorul tr iunghiuluide pozif ie i l<Dll l1.n a seuuceparatela i perpendicularaati c ieaxa deraDatere. aralela us: ipr in o1 fafd clecom, lda1 pe paralcladusi i pr ir i a la i ini ; d;-pamint.Rezult l f ls rabatereavir fului A pe olanulor izontaldc proiecfie. e construiegte,n'raba-tere, hexagonul jbnq1d11exf6nscris n celcul derazAmnaS i .se idicl apoi din rabatere, inlnd:egml de diagonale i de paralel ismul 'l intrelatur i le opuse.Spre exempiu, abaterea e se

ur iZorr t ; r lre re.f ic a unui plarr P determir i r t 'dt , t r r , . lu l M 1m,m .1 ide_odreaptdde prof l def r r i t , i p i in l , r re c lc A 1a, r ' . ;$i B (b, b/).2oSd se determineproiec{ i i le nl l f i rn i lor urrui t r iunghi

' f f i€eare definit prin proiecfi le prrrrctclorA (a, a-'),tO, b') ri C (c, c ') .ff Se consideri puncteleA (a, a') gi B (b, lr ') exterioare

ghnului P dat pr in urme. Si se deternr i r rc roicct i i let r iunghiului chi iateral BC, ; t i ind oi v i r fu l C oste i iLr ; r tln planul P.4oSd se t letermine ng| iu l d iedrrra c irpr iqs r;trs r lL;rr: : iphrreP ti .Q ale ciror i r rmc se nt i l r r rsc '1n ir . t - l i rs il r r r r r tde pe I inia de pbmint .5" Se considerd l reapta D (d, d') : , i pt r r rc t t ' l t : (a, a ')giB (b, b') , Si sedetcrminerr at l t ivr i r ; r i : rr r ; i r i rncrrr l l r i r r id lc(k l l or ct rpr i r rs r t t lc pl i r tx : lc l t , l r . r ' r r r i r r ; r t i ' r lcl r . t . ; r1r{r rgi f iecare i i r rprrr rct t ' lcr ; r rc .6o l l :anLr l es icdcf in i t de l i r r ia r lc pr i rnir i t i ( l r ' l )unful

{ (a ' a ') s i tLrat r r d iedrrr l lo i . Srrsr i l r t , r r r r ' i r r t ,r io i t r ' l i ; rdrepteide i l r tersec{ ic i r r t rc : rcc. , l ' l ; r r r i r r r r r l ; r r r (l

def in i t pr in urmasa or izontal i ig i p l i r r r r r rgl t i r r li i t . , l i r rzp.c are- . ace cu plat r r r lor izonlr r l l t ' yr roi , r ' l i l7" Sr i se dctcrmirrc urnrc lc P 1i I ' i i r l t : r r r r r r i r l l r r ,cunoscind roiec{ ia l izontal i ia a urrr r i iu ic IA r l i r rp lan,rabatereana acestui unctpe planrr lo i izol t i r i t lc 1rr :oicc-{ ie. ,s i nghiuldiedru z cupr ins ntre ir larr r i p lr i r r r r i _r j -zontal de proiect ie.8" Sdsegbseasci 'urmaert ical : ' i ' i r r r r r r r i l i rn rr i r r :sr . int lurma sa or izontal i P gi rabater i lca, i i b,, 1 ' : l r l r r rulor izontalde proiec{ ie doui puncteA qi 13 l t l i lerr r r l r i i ,s i luate in acela; i p lan de prof i l .9" 'Sd sc const iu i isch proiec{ i i le rrnrr i l , r i l r r t Al}CD

ctnosci t tdproiecf i i leext rerni t : i { i lor (a, a ) i O1c,c ')a,e ut teiadin diagorr i r lc i St i i r r r l ' ; r r l r r r l r l i : r " . '11.1.111. 'v i r l t r r i cstc corr l inrr tdc o drc ir l ' l : i D1t l , r l 1 , l , r r ; r , l i r rp lar t t r lvcr t ic ; i l r le proicc l i t ' .l0o Se consir ierd r imrr r izont i r l i i ) r r l r r r r i in l : r r r .Si i sr 'detc lmine urma vcrt icala P' :r I r l ; r r r r r lLr ir . l l , i r rcr laCeasta i i se ConfUt t t lou ral , ; i l { r ' ; r ; r l ' , , | r . l ,L i i l i l lor izontalde proiec{ ie.l l " Sr ' isc t l t tc i i pr i r t r l rcapt t r ) 1r l , l ) l l r l r r r r , r , , l l , ' ii r ic i t dreapta D's i i f i rc i i

- t r r rglr i r r r it r. , ;r1.,r r . l r ' ( l , , i i : r

t t : r t lc ) qi P' alc I ' l ; rnrr l r r i .l2 'Si se cotrst rui isc lr r roiec l i i lc r r r r i i r r i r r ;1 lr ir ' l r i

lateral ABC de Iat rr rui at i i , s i l r r : i l i r i l r - r r r r r r l l i r r t . t . l tpoudplane r isectoarc,; t i ind c; i v i r f r r lA (1, a' ] sr gir : ;ost \ lpe l in ia de pimint , iar lat r r ra AIJ i : : ; I r ' ) r ' r) ( r ( l i lu l r i { i rpe i i r ia de ndmint .i3 ' SAse cor is t r r r iascl iro iec l i i lc r r r i r r i r r r r lg lr ic l r i l ; r t r ' -ra l c te at rr rdcunoscrr t i i s i t r r i r l i r r t l r r r g; l r r r rl r r t 1rrrrurmelesale P si P' .l4 'Si se gdseascd devi i ralamirr i l r i , - ,r r i r r r r i r i r rnlr l r iABCsi l r rat nt r ' - t tn lan proicctanl ; r r i lc I ' l iunr lv{ ' r i \ ' i r lde proiec{ ie,pr in rabatcrea larr t r l r r i ) r ' ( , i r l ' { : rntr r ; r -1, .doud pianede proiec{ ie.i ig. 5.61

'-r t

iq;l

.. .;i

ri

iI1

r4j;s*



' *

fi

M

#Ft;.,f-t$#:{d*

T:ii* ''x''t

###IE:

Copi tolui Vi

CERCUT

6.'I.CERCUL

Pentru constructia eprezenteriidublu orto-gorrale unui cerc oarecafe stenecesar d sereaminteascl rmitoarea eoremi,asupra ro-

iecfiei ortogonale unui cerc,de carese vafirleseaman toateconstructiileeepuri.

tEORnmA: Proiecliaortogonald unri ,rrcpeun plan Q nclinat alddeplanulP al cerculuiesteo elipsdcareare ca axd mareproiecliadia-melrului cerculuiparalelcu dreaptaD de inler-seClieplanelorPgi Q,:ar caaxdnilcd,proiecliadiitmetruluicerculuidirijat dupd linia tle ceamai mareppntd a planului P in raport cuplanul Q. In general,pentru cercul situat

intr-unplanoarecare,econstruiescroibcfiiledublu ortogonalele-sale, e obicei,printr-oriflicare e rabatere.n celece urmeazi evo rtrata cltevaexemple e constructii le proiec-

f l lor unui cerc,fndiferite ondit i idate.

6.rl 1. ApLICATII. l ' Si se construlasciaxele ellpselordrrptrcare se prolecteaztr n cerc sltuat intr-un plan P datprln urme, ut l l lzind rabaterea planulul cercului, peplanul orlzontal de prolect le.Fie (<,r, r ') ccntrul ccrculuigi oro rabaterea sB pe planul orizontal de proieclie

(f ig. 6. ). Axele proiecf iei slnt ab 9i ce. Ele se r-rbf inr id ic ind din rabatere iametrulor lzontalRubo l celculr r i

gi; diametrul coeo perpendicularpe el, deci diametrul

dir i jat dupd I inia de ceamai mare pantda planului fa lSde flanul'orizontal de proiec ie. r i extreniitdli le c gi'eale axei mici a elipsei tangenta este orizontali. Axelcproiec{ ie iver t icale int 1 'e ' $ i a '0 ' . Ele seob{ in r id ic lnddin rabatere diametrul frontal yoeo al cercului qi dia-

metrul cr69n erpendicularpe el, deci diametrul dir i jat

dupd l in ia de cea mai mare pantd a planului |a ld dc

9B

Fig. 6. I

planul vert ical dc ploiet : t ie. I rr r r l rr: rrr i t t i { i lc z. ' ; , i i : i ' rr i t :

a, rei t t t ic i a el ipsci i t t pt 'oi rt i i : r vt ' t i r : ,1: t 1; t r i t l ( ' r l l ; r 's l ( '

f ronta I .

2" Fl ind date planul , r:crr l t 'ul 1l razi t t , rrr i cerc, s. i seconstruiasci t poiecl i i lc : tccsl t t i ct ' rc 1; i s; r sc t lcl t t t t t i t le

langentele la cerc in putrctcl t ' t "et rr i t t 'c: tbi l t . r ' , , , t t r ' i , l t t ; iplanul cercului ca f i rtd dt ' f rr i t dc r 'et t t t t t l 1r, , , ' , ' ) 1i r ' lu

orizontala C (g, g') (f ig. t i .2). So rrr l r: t t t ' i t ' t t t iLrl i t i < 'r,

pe planrrl de nivel H' : r l ot ' i : rot t t l r l t ' iC (t ' : i t ( ' \ r ' i r l ( 'gt 'ci l

axi de Iabatere) ;i se cr-rt tsl t t t ic; te t ' tct t l t l t ' l : tz; t t i i t t r i ct t

centrul c ' ro.Pet t t rt t ; t t 'ot tst t rt i l r t rr iucl i i le ( t i( l t l i l i : ,c l rtol -( '

din rabaterc ptrnctclerentarcal , i le, at l ic; r pi rt t . t lc ( ' (rct l l t l i

in care tangenta este orizol i tal i i , l lc, rr lal r sl rt t t le proi i l '

Tangenta este orizontal i i i t t pt r l tct r l i : t l , : ' r ' r l i i l l i1. \ i l l i i :at l

,ti;

',iti



minimi. Jn rabatere,acestepuncte sint co gi eo 9i el ese idic l din rabateren c pi e ast fel :purrctul cu

-or izon-

tala ribltut i c0r0, iar e este sinret i ic cu c fafd de or.Tangenta,esterontal i in puncteJe e depir taremaxitnlsau minimi. Rabater i leai 'cstorprrncte int o, , $i go $ic le se r id ic i din rabatcrc n (a, ct ' ) ti (p, p ') . ' Iarrgerr ta( vt , .v ' t ' ) : i r r t r - r rnyrrutctoarecare t , ' t ' ) ai ccrcLr lr l iseol ; t ine idic ir rddir r abatereangenta u.s i n rabaterca, ,a punctului .

3' Sd se construiasci axele ellpselor duptr care se proiec-

teazdun cerc situat intr-un plan dat piln urme,'f trr i auli l lza .rabaterea lanulul ceicului. Se consideri planulcercului ,def init de centrul (.o, <u') si de orizbntatac (C,g') (f ie. 6.3). Axa mare a pioibct iei orizontaleeste.pfoiecliaorizontaid ab a diametrulr l i orizontal gise ob{ ine ulnd ab: 2R pe paraleladusi pr in <u a j.Axa micd a proiec{ieiorizontale este proiect ia orizon-tal i cd a diametrului cerculuidir i jat dupd l ih ia de ce amai mare pant i a planului cerculr i i atd 'de planul or i -zontal de proiecf ie.Se efectueazd schimbaiede planvert ical rJe proiecf ie, uind orxrJ_g prin o gi uui :

''-v'L'' . Se agazi .idl

': 2R pe <,,uigi revenind clinschiml-r r reae plan i : jcut i rezt r l t i c f i d, cxt rcmit l l i lcaxcr mlc l ln c l t rc tangenta a cerc esteor izontald.Ax anrarea proiecf id iver t icalcesie proiecf iavert ical i m,n,a diamctrului rontalal cercului iseobi ine uind nr ,n, -

?.R pu fronta. la (of , o ' f ' ) . Axa ir ic i a proiecl ie iver t icrr le steproiecl iavcr t ical i s ' t 'a diametruiuicercu-ir r i d ir i jat dup; i I in ia de cca mai mare pantda Dlanuluicercului ald de planul vert ical de proieciie.Seefbctueazdo schimbare e plan c.rr izorrtale proiec{ie, uind orx, I f

.Fig. 6.4

prit t ar ' , g i r ' rn =' kr ' . Sc rsr l , i rs,t . : l t t J , l . . , " r . ;ireverr i r rd in scl inrbarcade plarrur l i i t ; i t r ; t li icr r ta e; , rui l r rs' $ i t ' , text remitS{ i leaxei mic i in prr i ior . . i iner . l ical : .1ncare tangenta a cerc cste I l . r , r r l ; r l ; i .4",Si se constnr_?srd roiecf i i le unui ccrc al t : , i irrr i la neste. aralel

cu linia de pimint ;i t receprinlr u drelpt l iD (q, q'l dati. Se cunoagte prtiiecf a u.izont:tli ,,, l

:qntrrr lu. l i. egt lecI cercuiest i tangerrt lrcpteiD (r1, ,) .Fie P qi P'urmelc p. larrLr lLr ia lal t i crr l i r i ia t lc pi i r r r i r r tdt ls pr in dreaptaD (d, d') , ; i d, , . r r l r : r1cr{ ,i1( . ( ,5, toil l ( - l ) t r lpeplanulor izont .al e proiec{ ie 1i11.;.4). ( .ent rr r l or,c,,)se. rabaten aro, ar ccrcul de razi l , , , , turr r r l tnt r l rc i r t r id,este rabaterea ercului cILrtat. ( l r t i r c t , i r l i r iLr irerct r l r r i. ] t"- o]. , g i se determini dLtc ir rd r i r i ou pur, r le l l r o,v,pina la intersec{ ia u par.alelal ux t l r l : , pr r , , , , h: ; r . l t

- --1--

rnar i a. leproiec{ i i lor int aB $i e'0 ' , iar axele nic i s in(ye gi y 'e ' gi seobf in proiect inc i ia inet rul ronto-or izorr talal cerculr r ig i diarnetruldir i jat dupi l in ia dc cea nraimare p.antd planului P. PLrnctul 1, 1 ') poatc i r id icatoln rauatcrc,spre exemplu, cu aiutorrr l f rorr to_or izorr-ta lei . (g1,g'y ') , iar prrni tu l (e, e ') -se constrr r icgtc r i r rs met e.5" SA se construlasctr-rolectllle cerculul tangent a douidreple oncurenlc l de asemenqaanpentDlanutulorizon-tal de prolec^fe. Fie.D (d, .d') gi .A (S, A') ele doLridrepteconcurerr te punctulM.(m, m') (f g. 6.S).Se alegeurnra



l3or izontald P a planului celor dou-ddrcpte ca"axi dcrabatere9i se rabate M ln mo pe planui.or izontal deproiecfie.Se nscrie n triunghiul hkmocerculcu centrul o0gi se ridici din rabatere acest cerc. Centrul cerculuigste. <1, '). . .A{eJe proiecf ei.orizontale sint ab gi ru .Pro'eclia. ert icali se.determinicu ugurinld, { inind contcd axa ei mare este

e'g ':

2R.6o Si se construiasci protecfllle cerculul demzl. R dati,tangent,. la doui, drepte.concurente. : ie D (d, d,) gia (o, o ,. cete ooua crepte concurente in punctrr lM (m, m') ( f ig. 6.6). Se abatepunctulM in rnnpt i p lanuiorizontal de proiecliegi se obtine <ooa intersec{ia ara-lelelor duse la distanfa R fatd de dn gi 80. Se descriecercul cu centrul ln oro li se r idici din ribatere acestcerc. Centrul cercului se ridicd din rabatere n (c,.r,o, )cu.ajutorul frontalei (<,rfor 'f ') . Axele proiecliei orizon'-ta le.s int ab gi.ce, punctelede tangenl i cu dieptelesint(f . t ' )

9 i(q, u ') , i i r punctele q' i

z 's int pro'pr i i le orrAbetut -e. roiec l ia vert icald a cercrr lu is l . rbl inc.uu$urInla.

7" Si_se_construlasctrrolecf ia orizontald a cercului derazA

_l( dati,.tangent la doud drepte concurenteD gi Aale ctrror proiecfli de nume contrar coincid. Drepteie D9i A sint concurenten punctul M (m, m,) si defermindplanul cu urmele rr prelungirepp' (f ig. 6.2). Se efec_

100

r rg. b.b

tueazi rabaterea unctului M in mo pe planul orizonlal

de proiecf ie i se determind entruloo ribdtut al cercului,

consider ind aralelelea distanfaR fat i de rabateri le n

gi 80. Proiecliaorizontalda cerculuise obfine reveninddjn rabatere.Axele proiecf iei orizontale sint ab: 2R$r ce.

8o Si se construlascd prolecfllle cerculul care ,treceprintr-un punct A (a, a') este tangent in punctul

f ia or izontaldestec 'e ' pi reprczint i ipr ,ec i ia rr - izorr talr ia diametrtr lui orizontal cne,,al ccrcur. Ar:r r lt i , ' ir rrel ipsei n 'proiecf iaor izont : r l i i s tc rnn ircprczint ; ipro-

iec{ ia or izontalda diametrului nrnr , arceicr . r l r r ii i i iatdupi. l in ia de.cea.mai mare par i t l a lanului lafd deplanul or izontal de proiecf ie. S-a lut mrn, paralelcu kb, $i de asemeneagal cu diametrulcnenl^cerculrr i.Analog se determini axele proiecl ic i vet icalc.



ElB (b, b') la o dreaptl confinutd de al dolleaplan bisector.Fie A (a, a') punctul 9i D{d, d ') dreaptacon{ inut i lnal doilea plan bisector f ig. 6.8). Se efectueazio raba-t6rea drepteiD pe planul de nivel H' dus Ia cota punc-tului A. Cu tr iunghiul de pozif iebkb, al punctului B

seobfine rabatereadoa dreptei. Seconstruiegten rabatere

cercul cu centrul ln oo care trece prin punctul a = a0 lieste angent dreptei do. Punctul <oo e ridici din rabaterein tocu ajutorul drepteiapu.Axa marea elipsei n proiec-

Fig. 6. 8

6.2.PROBLEMEROPUSE

l " .S5.seconstruiascd rolecf i i leunui cer al c i i ru i plan

estede capit d indu-segi :aza cercului .2 ' . Un cer i esteconl inut de un plan panlel crr in ia depdmint. Si se determine punciele cercrlui ': : rre sints i tuate la o distanfd I datd fa{ i dc l in ir r le plmint .

3' Sedd un punct al unui cercgi o dreaptiperpendiculardpeplanulsdugi t rec indpr in entrul sdu. Sj sec; rnst ruias-cd proiec{ i i leaccstuicerc.

4o Si se construiascd roiec{i i le ercultr i lc razi 'r at i Rtangent la doud drepte concurentedcfinite astfel: odreapt i D (d, d') este onf inut i de al doi lcapl ; i r b iscctor ,iar cealal t l dreapt i A (8,8') estc s i t r rai i i r r pr i rnrr lp lan bisector .Proiecl i i levert i ra lcalc cclor Lrrr i i l rcptc

s lnt confurrdated' = 8') .5" Sd se construiasc5proiecI i i l t , r .crcul l i c ; r rc t rcccpr int r -un punct A (a, a') g i est r : arrgcrr l ; r , , r l reapt i iD (d, d') int r -un punct B (b, b') de pei l lnapl : r .Apl ical ienumeric i : A (65, 17,2g), iar dreapiaD es[. dcf in i t i depuncteleB (25, 12,9) qi C (39,20, 2S).G" Un cerc esteconlinirt de un plan de pr,of i lQ. Sd sedetermine unctele ercului aresints i tLratea o distan{ icunoscuti I fa{i de un plan P dat prirr urme.7' Se dd planul P gi punctul A (a, 'a ') s i t r rat in ace: , tplan. Sd se construiasci proiec{i i lecerrLrlrr i are trcr:cprin punctul A gi este augentambelor rnrealc acestui

nlan.iJ" Un cerc esteconfinut de planul vert ical de proiecf ic.Sd se determinepuncteleaceitui cerc aresint i i tuate lao distanfdcunoscuti I fald de un ;rlanP dat prin urme.



Copitolul Vl lPROBLEMEEDTSTANIAl UNGH|URI

7.I .PROBLEA4E

In acestcapi to l de apl icaf i i vor f ic i tdvaproblernela.sicee distanfd i

ut i l iz ind metodelede transformareI i lor .

PRbBLEMA l. SeconsideriorizontalaD (d, d' )Ei punctul M (ln, m') de pe linia de pimint.Sd.se determineproiecfiile punctelorA (a, a')gi B (b, b') situate pe dreapta D, asttel incittr iunghiul AMB s[ f e echi lateral.Se poaterezolvaaceastl problemd n doui felur i i1oPr in punctulM (m,,rn') se duceplanul PP'perpendicular e dreaptaor izontaldD (d, d')qi segisescproiecfi i le unctului ( i , i ) in careorizontala D intilneqte planul P (fig. 7.1).Prlntr-o rotafie in jurul aiei verticale (-co, r'),se obfine adevdrata ungime m'i i a segmen-

tu l t r i (n t i , t t ' i ' ) , { .r t( , i , t l i 1 ,r ( , tr r .r i trr t r ; rtr iutrghiulr r i c l t i la tcHl ; i i r l ; r i . , ' j t r. r ) t r : l li r ' : ) lcpe planul vert ical r lr : l ) i -oi{ .r ( - ' t iclr r r r rglir r lec l r i Ia teraI 'A, , l lnrr r le' ;r ratrrnir r ' i r r r r . ,r rc: ir r i lt l rcaptaAul lnperpcnr icrr lalr i1r ' ru ' i i ; i r i rcptc

la 30" d in m' , de opar l i . . i r lc ir ta , fa I l i r lcnr ' ' i i .Av inr l la turaAl lo rr r i tr i r ( l r i r r l r r ic lr i l r r -tera l in adcvirat i i l t i l i r l r ' , r . : rolr l i r rc po clproiec{ ia r izontalSb a latui i i AB, t l rc irptaDf i ind or izonta la.Rir ic ir r r i i r r i i t ic r r l r l inc , c-zultd pe d'proiecfi i l r vcr I i t :a l rn 's i b ' .20 Se rabateplanul r ir r r rc li r r l r i Ie plarr ir l lcn ive l H' care con{ irc or izoniala I} (c l , r - l) ,or izonlald are e a ci axa lc alralcrei ig. 7.2) .Punctu lM (m, nr ') scrabatcn rn11.c corrstru-iegte r iungir iulechi ldcrzi ll r11ab,err tr t i aresecunoagte ungi rea ir i i f i rni i r r rsr ,r .?cvcrr iucld in rabatere,sc ob t r pro i r .c l i i lc punctc lorA (a, a') gi B (b, b') . :

PROBLEMA 2. SI se dctr -nr ir reprniecfi lepunctuluiM (nr,nr ' ) , crrr roscindistanfele ale

rezolvateunghi l r i ,

a proiec-

diH'

Fig.7.1

'" --"

tn t

Fie A (a, a') punctu ldat ; i D (d, d ' ) , . ) , (d , ,di )ce ledoui drepte orrcurenterr rurrclr r l (s, s ')( f ig . 7.q. Direcfi le urrnelor ,planrr lui P sc:

obl in determinind r izontala eb,e'b') qi fron-tala (ec,e'c ') , care rezult i i d in . intcr"ec{ iaplanului P respectiv u planul dc nivcl l l ' p icu planul de front F. Din punctul A (a, a' )se duceperpendiculara (8,.8 ') pe planul P,



l . p 9i 8 respectivafil de planelede proiccfiegifafl de planul [t dat prin urme. Cu ajutoruluneischinrbar i e platrvcr t ical de proiecfie econstruiegtelanul Q paralel cu planul P qisituat a distanJa fafl de planulP ( f ig .7.3) .Planulde nivel H'dus la cota I g i p lanul deiront F dus la depiirtareap se intersecteazd

dupd fronto-or izontalaG (g,,g') care inter-secteazdlanul Q in punctul.M (m, m') .

PROBLEMA 3. S[ se determine, in adevirat[mlrime, {istanfa I de la punctut A (a, a') laplanul P dat prin dneptele oncurenteD (d, d')gi D1 (d1,di), firi a utiliza urmeleplanului P.

luind 8l-eb qi 8'J-e'c ' . Cu ajutorul planuluiproiectant Q dus prin dreapta A se giisescproiecl i i lepunctului I ( i , i ' ) , pic iorul perpen-dicularei A. Pr intr-o rotaf ie de nivel a punc-tu lu i I ( i , i ) ' in jurul axei vert icale l e rotaf ie

(co, r ' )duse r in punctulA, seob{ ine clevi iratanr l r ime t : a ' i i a distan{eic2 iutatc .

F 'ROBI,EMA . Sir sc dctcrrnir rc rroiccl i i l r 'dreptei G (g, g') care interlrclt:rrzirdrcplt:lt:D (d, d') gi A (8, 3') datc ai sr : gi isc;tc a odistanfi cunoscuti faf l dc un plan I) dat pr ir rurme.Fie D (d, d') Ei A (8, 3') cclc lo,ul l rcpteoarecare ate gi PP'plalr r r l r lat pr ir r unnL)( f ig . 7.5) .Se construieEtclanul R paralclcuplanulP la distanfa unosctr tr ifa{ i i leplarrLr l .

Pentru aceasta, econsiderii troruralri arccilrcS (s,s ') la p lanul P qi f ie | ( i , i ' ) putrc tu l t rcarenormala nti lnegte lanul F. Se pot obtineastfel eveninddintr-o rotatie de nivel a nor-male iproiecfi le a ; i a ' ale purrctulr r i s i tr ratla d is tanfa pe normala ia{a dt : L ( l)ctt l rLtsi npl i f icarea purei s-a consir lcrat l -s iarr ladoar intr -un sens.) Or izontala nunctrr i tr i

t

Fig. 7.3

Fig. 7.4 Fie. 7. 5

103

f;^(:,,u,|), araleld u planul p are urma ver.tcala K, K') ne unde'trccer,* u"ri i .rra n,lf l l , lylr i R dds aratel,"urnnufe. roiecli i le0reptet autateG &

I-Ci yl"nii',)j1*'Jli.t[pt,i' l'nrersecteaz.il.resp_ectiiilanul- . p.ntr,

"Uti_: l : : ,pul . telorM si N s.au . i i l lzr i " ' i loncl"prorcctantce = d $i ei = g, .""-"" r '



f.T3J*iT'1,"1'f,i* determineroiecfiire

a; - ffii;", #"ipoo,,ngfliTir,'[E:

[.'if.,f,.,n^^5el+i_d:' ]L 'b t?,o,) qi

Itil,qil,;ii ll ,L,? "

o""ffi,il :;te proiec{ ie0uind,,',4'J*1,U;J;';tj'"'1iS, ,lflt'1t"",il'",;,,?*

(8r ,8i ) , , .s i tuata, . l ig5' in"" i , r

pian .r t i .ut

i"g,i,$:,,J:f;ii ,,,f#" "fl:.,Ti;3:t._.,r.Dr. dr,, i).,Eecu na upoi"o

.chi rn aeepranorizontale.proiecfie'irr i i j" i ini,,r"

pamintosx perpendtculardpe gi), se trans-lonni f rontala Ar (gr, gi i i *n, ' i r"ert icat ,Ae 8 , Di), iar,.:1rlir' our..r.u nriO,, Oi )

,1?lt"l.: dreaptioarecare a dr,di). Ducind

:|]jd; :i.i;:ffi0#lin,ilf,"[,x,::l::.li:ilr,Ar_ l dreapta arecaren (perpen_drcutarausi i indo orizontali l .nerie,] in,if n:flli:,biiil:

d.e. rane e proiecfiedcute, eDltn proiecfi le nm : g qi n' ,m, g, a leperpendiculareicomune iir t ." . . l . 'oora ?."pt.

i D l i A date. l ii :l:,:,:,,;oj;i.,,':,'.';:i. ;rl;;i;lll:,1',i";r:11,t'": i*it';;X1.,:lJ.f;u,,fl'T; ;ifTi1sr,Tt:nrx,i:i fi ['r'ry1-tllj:

ftil4i'\t;il ;i,;l;,,

i,l,ii;rjlir;,fijtd]dtir),ii'u,ft"li,?iri:l,rli;il,lfl:,',r*,'rt'3l ;#l*;ii,t:l*iii:ii,?;ilili, ,.,il,,,l i,1,:,i,F,;iliiil ,gj,xl;ilii$,,i];i,r,it,t"lil<o..co' ) .cuprinsclr i i r r i r i ; i , ; ; , , , i ' , , , r i )c. r , r , ,

i.liti-';i",f,'',f,li'l;fii:;il*ll;l;:,,1,;drepteleoarecareD

ffi#liT#:;r',:*:irq:1:i:ir:,isiri* ,p,i*: i:fiii .}'lx,,ti,,*:itTf;:i"tft* &t:' illnfilfft'j

i

I

j

,

I

Fis.7. 0

c l reapta a' unghiulIA

- pi , t ,r r rpl1111q11{111

i l_S, iu lu1at p. intre' reapta zrut ; r tai l , larrul

vertrcat e proiecfie f ig . 7.9) . pr ir i a, se r luceo dreaptd 'bi, caresi faci icu dreaptaaa, l tn-glr iul (+ -oc), corrrplcrrrcrr tr r lr r rglr ir r l r r ila tz

dintre.dreaptacziutatzi; i p larrrr lor iz<y.tIalc



Fig. 7.8 .

(nnr,n' in ') reprezi l l tA roiecfi le perpendicula-rer cornltne usl intre cele doui a-refteD qi Adate.

PROBLEMA O. Sn se . determine proiecfiiledreptei

,iD Jd.rd') care-trece

prinlr-irn punct

t (u, 1'l gi face unghiul a cu planul orizontal$r unghiut

f .u.planul vertical de proiecfie.5e conslderd.problem.aezolvatd (fig: 7.g).'Oro.tatie.de nivel in .ju.rul punctul'uiA (a',a, )

aducedreapta-ab, a'b,y in'pozi{ia de frontali(ab1,.a'bj) ,qii in adevdra_ti 'ml i ime nghiulacuprins ntre drcaptdqi planul orizontaiiAna.log,_o otaf e dc front n jurul dreptei rlecapat

l5a ,qr,'.".unctul A. a, a') aduce dreapta

(ab,,-a'b') ,n poz,i.l ia_tJerizontald (abn,aib,;

qi da in adevdratl mir ime.ungh.iut 'p upr iniintre dreaptd qi planul orizonial. Se obierveci proiecfiile abs : a'bl, deoareceeprezintd

fl1.:,r,:1q. or.izontall,espectiv-pefiontatri)rungtmea aceluia$i segment AB. pentru arezotva problema datd se procedeazd stfel:yrtn a se duce o dreaptd abo, caie sd faci cu

pro iccf ie . econsir lerde rccstt,rJrr .ptccc l t ,as ilungimi.arbitrare ab, .- -o,6,. pn,l f . f r - - ' , f

^r ir in a . la l in ia de pimint in t i lnes le iu in , j , ,ordine cobor itz i in 'bi in b, . Se fonstruieste

: : tT, lde azi.abl.cu entrul i i ra l i sc lucpr in 'bn

;r b. i .para le lc la l i r r ia r le pi ir r r int. hst fc l ,paralela rm dusapr in bs a ox' int i l r r r ,stccrculln .puncte le gi c , d in care, id ic i r rd ' l in ia legr91n., e.obfn f ' l i . ' pe paralcla lr rs i i r i r rb ito t la ox. Punctele (b, b') .sauC 1c,c ') aparf ir rdrepte i .D (d, d ' ) , iare

,' trccc

pr ' i r rpurrctul

A (a, a') Ei satis iace roblemadat. i .

Discuf ie : I . Daci ni gt+,

paralela brm

nu int i lneqte erculEiproblenia ste mposibi ld.

I I . Dacd a * ga+,problerrra adrnitepatru

solufi i-g. i

eobfin clrepteleab,a,b,) , (ac,a,c,)(af, a'f') qi (ae, a'e,'), dcoar"." r,rrJi"la b.,lrrta te cercul n doul puncteb s i c , ' iar par ir lc ladu.s i

.pr in f2, sinretr icrr lr r i h, f ;r ' { ;r1 , , 'a , ir i r .cercul n alte doui i puncte .r i t , . t .c l t , pir lr r rdreptes lnt doLr . i i te doul i in 'pl ;111r,cr t icalcsaude capit.

I I I ' Dac i a*F

* '

f ,p.ubl.r r ra t l rn i tc

kruasolufi i g i aceste ouddrepte int situate ntr-unptande profi l ( f ig. T.I0) : In acest az,paralelabsm(sau ea dusl prin fs) este angente a cercqt punctele gi c (respectiv Si e) e confundi.

Fie.7.9Fie.7.10

105



Fig.7.1

Problemapropusi poate fi rezol"ti qi astfel5e cons.iderdunctul v, v,) arbitr din planulvert ical.de.proiecfe gi se duce oiecfa v 'h1sub.unghiula fa f l ; de ox ,( f ig . i i l ) . Se con-.11xieltede asemeReaegmentul,, f i r : v 'hr ,care face cu segmentul ,h, unr iuI g. pei-pend_icularaobor itddin h, pe rr , di a, iararcuf de cerc de raz| v 'a-dd h pe linia r lepimint. Linia de ordinecobor it ;r i in ' int i l -

neqte.inh arcul de cerc de razivhl. UrmeleQ, tt ' ) l i (v,

- v ') definescdrer ' ta D (d, d' )c iutat i , care face. stfel unghiua cu ptanuior iz.ontalEi unghiul p cu [lan. vcrt ical r leproiecfe.

P.ROBLEMA . Si se determine ;mete gi p'ale- nui plan care receprintr-unm/nct (a, a')gi faceunghiula cu planut orizonal i unghiul Bcu planul vert ical de proiectiePr in punctulA (a, a') se duce dreaptan'(d d') , care face

unglr iul {+-n). . , planul r izontal i un-t2 l

SIr iuli i

- pJ cu planut er{cal leproiec{ ie

(fig. 7.,12).Pianul cdutat pP' trece prinpunctulA qi esteperpendicrlare dreapti D.Problema e redudestfcl ra cea precedenti.Discufe: Vor fi afiteapiane cit'edrepteDpot fi construiten condjt i i le loblemei-date.Ca dreaptaD sI existe r'ebuiea:

+-"* l -P<-Lsau d+g)-n2 2 '- ' -g

-- - - - ' r ' '2

I . Dacia* p(| , probiemaste mposibi l l'2

IL Dacda * g,+.,

problemadmitepatru

solufii,.deoarecexisti patru drepteD, clecipatru planeP.

106

I I. Dacii a --l 0

7. l : )

i r o b c t r a ; i l t t t i t ' r ot tz i2

soluf i ; i cele dr-rua rcpte D sinI r lrepte 1eprofi l . Cele doud plane P c{r c( iresplrnd intparalele u l in ia de pi i nir r t . t t epur ;r l i i t r t ra t i ise consider i i t ta t l i t t t r i r :c l t 'p i t t t - t t o l r r l i i dcla cazul IL Sc r l t tctr l i r t u .scgnt l t t l t t l br ,

f ic ind unghiul Pfcorrrnlcr ,, t ' t t tar

crr;

-p) . ,

dreapta aa' , iar r l in a ' sc < lucr 'scgt t t t : t t tu la 'br : abs, fz ic indunglr iLra"cu t lreaptr t a ' .Rezultdb1, apoi b qi b' . DreaptaD cstt: lcter-minaiSde proiccfi i lc atr .a 'b ' ) . Pr in punctLr lA(a, a ') seduceo or izot t tala v j i tc , rL t lu i lan Pperpendicular c t ireaptaD ;i . \c irs( ' l tcurntavert icald (k, k ') :r acrstci ;r ' iz ,onltr 1rcuttt lctrece urma ver t ica l i iP ' . Rezul t i i P, , f i urnra

or izontal ia planultr i i lut;r tP. Sc porr tc t 'zolv;, tqi alt fel aceast: i prol) lcrrra. )r ' i r r l .r toccdculut i l izat n a douapartca problt ' r r r r . ' ir r t 'ccr lc t t t t : ,se constr tt ieqt olr t ' i rplr r (d, r l ' ; , t ' r r r r ' : tct 'ct tplancledc proiccfc Ltr tgl i i trl t ' t 'o t t ty r l t ' t t tc t t t r t t t :

(+-o.) u'{ ;- :r l

, f iq . 7 l i l . sc cr - r t t . i t lc rd

I r ig 7 l3



in punct arbitrar M (m, m') pe dreaptaD qi: ir ajutorul rontalei1mk, n' ,k ' ;perpendicular ic aceastl i reaptir e duceplanul pp' perpen-icular pe dreair taD (d,

d') . Acesta steunul, in planelc c iutate.

PROBLEMA . Si se nscrie ntre urmelep gi p,ale.unui lan, un segmentab,a'b') de ungiineJatI,.caresd-facd u planul orizontaldeproiecfieunghiul a dat. Se-alege un punct arbit iar

\ l (m, nr ') in planul P gi cu ajutorul frontaleimk,.m'k ') se determini o dreaptd hv, h,v ')-:nfinut5 in planul P Ei care ac6unghiul a cu- ianul or izontal de proiecl ie ( f ig.1 .t+1. Se

=iectueazl rabaterea acest6i r'eo-temoreuni,- r planulP pe planul or izontaldb proidcfieEi.: construieqten rabatere aralela b6 a hv6-e lungime dati . Reveninddin rabatere. e: : i ine s€gmentu lab a'b') c iu tat .

PROBLEMA9. Se consideri planul dat prinurmegidreaptaD (d, d') confinuti in acest lan.5"a e determine rmele R i i R' ale planului:;re trece prin dreaptaD gi face cu planul p;:lghiul

diedru cunoscuta. Urma orizontali a: enulu i Q dus in punctul A (a, a,) de pe-'apta D perpenr l icular e dreapta D, pr in

,- :a or izontal ik a frontaleiF (f, f ) (confinutd: r lanul Q) int i lneste n m urma orizontal l a

- a::ului.P f ig .7.15).Dreapta m este roiecfia- :._:cntala drepteide intersecfie intre pla--=.:

.P.Ei-Q. Se-rabate lanul Q .ute coni ine: --.ctul A pe pla.nulorizontal de proiecf6 gir ' i :5ltne Eem, abaterea reptei de intersecfie

Fig. 7. l5

dintre planeleP q i e. Se r lucedre,aptz l6n1care lace CU t6fftunglr iul r l cr lrLr rnr i is,:r r l ., .Urnraor izonta ldR a plalrulr r i i i r r tat s tcobI i_nut l pr in unireapunitelorh Ei n. I lczu l ta R*,care uni t cu v'c letcrnr inr i r rnna vcr t ica i l icdutat i R' . Problemamai r .ornlror t irr r t . ;rosolu{ ie ,

care se ob{ inc ducirr t ls ir r ir r rglr ir r lcea dc-a dotta drcaptac(}rt.r r r t ,r r l ;rr r ir , , l r r r rpunctul ao.

PROBLEMA 0.Seconsidcr i i l rcaptahv, h,v ,)s i tuatd ntr-un plan de proti l . Si i ' r ;c luci ipr ir iaceasti dreaptl un plan ale clrui unne sAformeze

.in spafiu, intre ele, un unghi a dat.19 go1;id9rd problema rezolvata 1i ig. Z.t6;.

f ie nnj p lanul cc trccepr in t i r .ca l ' t , ,i " prnti l

Fu, l t 'y ' )

gi cupr inde htre rrrne rrrrglr i i r l .se rabate planul P pe planul dc prof i l e,lar apolse rabatcplanul e pe pianrr l r izontal

Fig. 7. ( i

107

fi$$54#$tTh'*#$trhilij i-r,iii*qt;lffd.o:';u:';l:'=t'::#ftj:li;:r#i*.1'i*':i*,i,''i,:;;i,:',;il;j.+H,,,h;,d,fu;,iil,l,:',,":rii{*:::'',,.

12"Se consider i rnrra,si n urrctr;, ,, ,,ill";;ll-,i,,,:i,l',,'

,llli,.l,.l..,l,'j*:fj"';i:fi1'::;liii,,i.

;:ll;t,:;,jjlili:

tt

i,.,.,'.;',fi.J:TJi,'Ji,j'i;l;llt,I";,;1,1,l ;,';;' ' ','i',,,",,,n,.inl4o Sd se detcrmino rr ar icr , ; i r ; r t ; ir r ; i r i r r rcl is larr lc lcg,

:*' ;iH:T:,:1ff:jl"'trc

'rrrtcttr A o'u)r i "r '

ID- Sa se construiasciproicc l i i lc r r r r r r i r i r rnglr i snscel



}5g.f},H.:#ru1r*n'ffi finiiiin,giili,]z2

'R.BLEME

RopusEdisronfe)

i[,,jil#lii:{ffi,Trl,sril;ii:,i*nl-U.1,,?l*',"',?';'il1'ffTiilii:Ti,i,T,fi';,,n',.unru;il$,;[,fli:{,lriil,i:,1',_,.1,,,,.i,|,

fifiuffi i*+i*Ef**ffiilfi'';i;

ffi* r]i#ft'f-:'S:'iti{#:r+ft'trifi'f

llj#i*+},,ilxr,,i:,l,1i,r

f*i;iqli,,i.:itirri :rqnui,anix;l:[ii; fril,;:t ili;;''i;':llli''{'; : ;';iiiil]'lli'1l ;ll:;lll

i[i'fii'i*djiT:'hft:ikiftilir,r{tururu;ru*iii ,*ii:ii,';,iii,ri,ilir.,rnr:''r,rrr"n*il;ffi;,ii{iriir,rm:[fffi51,_;iit1i,i:i,tlii,,l;:,;**reapta , este araleldLi reaptaaii iura.iut

[j$"::'::i#;:u:6?i:,liffT;;,;..;;niru],iqti6f14rf;;ii,,li-t_j?l, ) .atd,cunosclno rstanlete $i p res^eiticariil i'lil;.dreapta;;;.;,['x ;, si'1,",,Ii;i;1t?6*-,*i"Ut:A I;,;i:,i,. ,,,, r,, Sae

lll,fflni:ru,:.fr:ijdfii**t:iliilii,f*'fri*=allili,ir:'r1r,;'1,,,' i;,;;;,r,.:;r*#trl*:'?,i,i,**-.#f,.,L:;i*fi[i*,*n*:ffilili'ii,,i{,iil*'i:lll:,t,i'ffii#;-1.-,##:-i,"f,l;ftulffiti:*Iiilii$"i''li,,;,;:" } ' j : i l t , . i l , ,u,|," ':oaibd

ccea$irneii- ' l .. ia'.::-: ,,tt lon3'l i , . l , i iL,ir;:,,rr,, ' ir ir; ' i , , 'r i . i ,,r; .,, i , , ,.r,r,,

ilt'fi"fl6+ifi'f;1,1rli,tifi[**{*-i-l-f i;j";"ji;,;;il*i,,iiii:',riri:;ri:r,,,r::r,:rr,i,],tr"ti,[i$:::T:]::"'l:Tj::n;:'5i;ili:iffr:irl:ifffirii:iliii'ji,,,,l,,,'

',,,,,ia*ii,,'1,r,.m.r.n.i-ai;;i;i;filla

egmenturuiuprinsntre;:lgtiT;il;+*-i*t*l;ii1X1,j]iill

,il,1:ili,',lJIl' Se onsiderdreaota-D.(d,,d,).alecireiurmerrlurr.]

.?;rfl#"1*h*lT"i;,]1}',,j,1lX'd,fltli':.1tiflf,.';,?TT"",,*nl,,?Jfi1iiilij.,'f\iiift,ll,ilii,l{,,,^;108

iiJi"#"Hrj;i1"1':"rlir'iec1iiiet o' ';i icste

^sirant,.-,,n,,,,,;i/l:ii,,i,li,i"li"," ',,"i't,ti; l

iJ' ;i ;lli;:',?i1";f '; ll',''ll",rr c n'n s r ' r I.a'c'

rutiilff iii t' n ii,,ll*,,t,,,1liiS,il,:1,;t::*:ii:,gi: ltJi,:,'i;;l;,i,,,a i,J1.^,,.),|,.', ;TreaptaD, concurerrfr c

ilt'g;,t:i"i',ffi#ii1i ,',i.1i'r';;;;cxr" t'

ili.'tr"ti{

i ti* ::fliil . i",ri"''l:i'l: ;Ht9" Se considerd urrct r r l ,A a, a,) ; i r i rc ; rptaD (d, d, )

i,r,:ii:$tii:;ilil',;l;ll,ll";l;

ir ,,;1;;i:,;iiurent i crr dreaptaD rrs i

l,uoti;n;;';' ';i;;'i' ' i;,:llli',{; : ;';iiiill'lli1l ;ll:;lll:

28" Si isc dele 'rminema vcrt ical i p, a unuiplan naralelctt i r r ia lc pi i rn ir r t ur)sc in( lr r r r rar izontal i r a r , iarr r r lu i;i r l is tar l l ; r r rpr i r rsa

'r t rc l i r r ia t le n, {nr ints i n iarr .29" si sc dctcrrninc rrma ver l icai t p' a ' urrui plarrcunoscirr.drnla sa ornontali iprgi distanta b cLrpiitrsl

int re plan gi un purrcdat A (a, 'a, )30" Si se determine rr , rele gi P, aie planul i i idus pr indreapta f rontald F (f ' :) la distan{ i iunoscutdg ia{ ir le un prrr rctA (a, a') tqt .3 i" . Sa sc dclc, rminc rorc l i i lc urreidrepteG (g, g, ) caresa. t rcarapr l l t f -u l l prrncA (a, a') , cunoscind istanlelesale ele,mai curte a dorddrepte'D i A date,dreapt i Dfi ind ar

10"Si sc demuns{rcz,c: ' i ,d; r r . i i .r l r l r r r r : ir lrrr, r si l ) 'i t lc t t t t t t i p lan [ i r<: icc l i rc . r r i r r i ; r l , '1r : r r r r i r r lr r r i r r r , l r ide^, i5"0l iut tc i turghir r l r r r r r t , lo lrr .J , , r '1 i r rs l t ' i l r ' ( io .I l " SI sc deternt i r re roicc l i i lo r l rc l r lc i l ) (d, t l ' ) , i . ; r r t ,l - rect , l r in urrctulA (a, a ') , i r r l i l r r< '1t t 'ol r t ' ; r1r1: r- \ (8, 8 ')

datd; i face unghiLrr i le gale1^rr ele t loLi i i l r lanc tl cprolec e.

12"Sr iseducdpr in r l reaptaD (d, t l ' t ' , , r 1,1, , r , , ; i . t i t . lr r , ti r rmaP a planului sa faci i c t r drc; r1r t ; r t r r rglr iu l l l r t z .13"SI se determit re proicc i i lc or iz .orr t : r l t , i (g, g ') ,c .upr insdn planul or izontal c leproiec{ ic , arc int i l r r t 'y icdreaptadat i D (d, d') , sub rr r rurrglr i .



-vert icald,A drelptahe capnt.

32" S5..se. eterrnineproecti i le unei drepte O (g, g'),parateta la o dircclie ctnoscu.t iE (e, e.), cunosclnddistanlelesale cele mai stur tc a doud Cr 'e. ; te gi Adate,

-dreaptaD. f i ind vert i ta l i i , ar A dreapt 'b e capdt .

33" Si .sr: e ermineproiecfie v: r t icale , qi 'E 'aledrepte-

lor D gi A, cunoscind roiecir i le r izontble si g 'aleacestordrepte qi proiec{i i le19,g') ale perpendiculareicomune,dusd intre cele dold-dripte.34oSe cunosc:dreapta D (d d'), proiect iaorizontalda dreptei.A, lungimea a .reipendir:ulareior comunegipttnctulA (a, a'), undeperlrendicularaomuni int i lnestedreapta D. Sd se dctermir teproiect iavert iceld g, 'adrcptei A qi proiecl i i lcperpindicularc iomune,

7.3.PROBLEMEROPU{iEwshiuri}

lo.Si se drrc i in planrr lor izoni .al e, l ro iec{ ie r in urmaorizonlali a urreidrepte dgarecare l (d, d,) b dreaptb4 (8, 8') carc si facdcu dreaptaD rn'unshi cr , at . '2" Fiint l. t lata reaptaoarecare (d, d,), sds"ecnstruiascitrrmclcP gi P 'alc plarrr r lu icareiecenr lnaccastd reantd; i . face trnghiuldiedrrrcrdat cu planu vert ical e, duspr in dreaotaD.3o Sd se'construiascdproiecl i i le unl i t r iunshi echi-lateral .ABCsituat in pr imul pkin b'sector , t i ina cavir fLr lA (a: a') estepe l in ia d'epdmint, ar l i tura Abl,?ce^-unnghi de.3o" .cu plarul orizontalde proiec{ie.

{" Sa se determinc in adevdrat i merime uhghiul acuprins intre orizontala .G-(g,g') gi planul dis prini l t . .A. pdmint gi punctLr l { "(o, -a, ) . 'r" 5a sc construiasci ocul geometrical puncteloregaldepdrta.te e planeleconcurdnte gi e i i de punctEleA (a, a') ti B-(b,b').' , ' .Sd. e ducd pr in dreaptaD (d, d') a le r i rei proiec{ i i. 'orncid n plan P avind urme,e onfundate. d e deter-' - r i r rer l reaptaD (d, d ') , ast fc l jnc i t unshiul a. De carc. l. ' rntaazirr_oiecl i i lercptc i cu urmeleplanului ,s i a ibd- valoaredat i .- Sd se determineproiec{iavert icalda, a unui punct A:r tuat i r r t r -Un plan, cunoscind roiect ia . : r rmaor izon-' ,1d,P a.plarrul i r i;i r r r rghir r l icdru cr , ' , r : rpr insnt :c plan' . p lanrr lver t ical t le r l roiec l ic .:' Se considerir.lreapta A iS, S') care intsisecteazi n: : .ctrr l.A a, a') p lar iu lP dat pr i r i rrrrnc. dsedetermine:- : iec l i i le unei diepte D (d, d') , conl inut i in planul p,

"- . : int , i lncgte reapta A in prrnctulA sutr rn unghi- , lscut cr _. 5i :S delermine proiecl i i le or izontalei G (g, g' )-. . :- rnlr tnel tesub unghiur i egaledrepteleD {d, d') 9i- l , d ') date.

14oSeconsiderd lanul P care recepr in l i r r iaclcpi in intgi punctul B (b, b') . Sd se determincproiec{ i i lc<lrcptc i

P (q, d') carc recepr in punctul dirt A (a, a' j , rs tc para-lel i cu planul P ; i - face-unghiLr l crr i l i r " . i iu i in ic i r lepimint .

l5 'Sd se determineurmele P pi P' : i le unrr i p larrc lr rc :t rece pr in punctul A (a, a') , estc perpendicLr lar eplanul Q dat pr in urme gi face unghir i l r f ie i l rua ctr rrrral t p lan R, dat de asemcnelpr i r r r r l l r rc .

I6o Se considerd unctul A (a, a') qi v lr t ic i i la D (d, d') .Si se duci pr in f r rnctul A <, dr t ' r r l i l , r 14. A'; t ' ; r r t , i ifacd cu planul vert ical dc proigc{ ieun Lingi l ic l r t a ; iast fc l nc i t ceam:r iscrrr t : i is t : r r r { i il i r r t l t ' t l rc l i l t ' l t ' l ) ; i .\sd aibi o l r "rngime.17" Sd segiseascdn adevirat i n. i r intc r inghiuldiedlr rct tpr ins ' int redoud planeP gi Q, t latc pr i r r I in i lc lor t leceamai marepant i fa{a de planul or- izorr tale proicc{ ie

18" S: i se dctermine prr , ie i l i i le t i r t 'pt t ' i D 1d, 'd ') , r ret recepr in punctulA (a, a') gi faccerr 'P. l ; r r r r r lr izurr t . r l cproiecf iegi cu l in ia de pimint r r r rglr i r r r i lcatc a. ; ; i p.19"Se considerd reaptaD (d, d') conct l ront : i' r r i r r i r r lepdmit t t : Sd se determineurrnclcP; i l r ' l r l t , t r r r r r i p l ; r r r ,ast fc l nc i t dreaptaD (d, d') s j i f i t ' l i iscr . to; r l r ' :rl rg lr i r r -lu i crcupr ins n .spal i r r

i r r t re 'r rnrc lcl) .s i " l r le 1r l ; r r i r r l r r i

caula .20oSe consider iplanul ( ,are( ' : r rc I )xP' ; l i r t l r f i r l l rnno.

Si sedLrcdn planulP pr in prrnct r r l * o drcapt i D (d, d' )caresi facdcu l in ia dc pdmirrtun Lrrrglr i at a. .2l 'Sd se determine rmeleP gi P' ale planLr luibisector

al diedrului def in i t de drerrpta D (d; d') ;i pLrrr , . : te leA (a, a') 9i B (b, b') .22."Se consideri punctul M (m, m') gi dreaptade proli l(ab, a' ') . Si st i determinb proiecii i te unci orcpre

I (d, d ') .care trecepr in punctr i l M (m, nr ') g i int i l rLel tedreaptade prol i l sub un unghi o. dar.23oSe considerddreapta d1a, a' ; ;i p lanele P ;i Qdatepr in urme.Sd se d-etermit ice r l rcapi" D rrrr r rnctAechidistant aJd dc cclc r lorr : r l ; rnt . t l ; r i t'24' SI se determit reproicc l i i ie rr r r r i r l r r '1r l r D (d, d')ca:e t rece pr in punctul A (a, a') , face rnglr i r r l lat a cuplanul or izontalde proiec{ ie i estesi tuata a o distan{ i icunoscut i fa ld de l in ia de pir r int .25" Se dau ur i rele vert icalc i t ' fi Q' ; r r lot r : i1r l : r r rciunghiul diedrt r a cupr ins int le plarrc.S:r st , t l r t t , r ' r r r r r r rt t tmele or or izorr talc 'Pi Q, st i i r r t jcr i ; rc t ' r , lcrrrrrt .sitrtoaral e.26" Sd se determine prr- r iec l i i le l rcptei D (d, d') c i r ret rece pr in punctul A (a, a') c( ,nl i inr t i r r plairul b isectorI I ' . - V, int i lnegte i l reapIa .\ (3, , \ ' ) y i i ; r tc unglr iufegalecu cele doui i p larrc r le l) r ( ) i ( 'c1iL ' .27" Pr in puncteleA (a, a') si B (b, b') : i r sr drrcaclor i lp lane perpendiculare 9i Q ast f r l i r r i c l reapta ( ) r de

i09

lntersecf ie l niba direc{ia ".rtd (d, d') gi si tnt l lneascil inla de pdnnint,28oSi se'artteci planul birectorP al primului diedrugi un plan vert, icaiQ lnct inat cu 46"'fafd de planulvert ical ac i lt re eleun ungh'de 60o.

29oSc conslderddreapta fioltald F (f, f'). Si se ducdprin urma el orizontald dioaptd D (d, d') care sd facduttghit t ldat acil frordalapi a$fel lncit .segmentul nter-ceptat de celedoud plane de proiecf iepe dreaptaD sdaibdolungineldl t 'n.30" Se considerd'planul oaralelcu linia de pimint giodreaptd de prdf i l hv, h'i ') din acestplan. Si sc duchprit t at 'east i lroayt ide prcf i l un plan Q carcs; i f irci cu

35" Si si detcrnri rrc rrrrrclc P -si l ) ' alc plart t t iLt i c:

t rcce pri rr <l reapta D (d, d'); i i rrrt 'ct t un pl i rt t < l t : prcr

unghiul dicdru a.

36'Sd se detcrminc t t rrncic P; i P' alc rtnrri plan ci '

face cu planul orizorrtal r lc proicc{ ic t rrt t r l tgl r i cle 4{

cutroscind Droicct i ; r vrrr l icrr l i i l' ;t t t t t t : i f rort tale Fproier{ ia vcrt ical i i a ' i r t t t t t t i l r t rt tct A it r ' ; i r t t i t l t l l l i i r t i

este dubl i " r Ial i i t lc t lcpi i l t i rrt ' ; r i tol rt i r lc i t l r t l r : .

37" Si se cletcrrni t te t t rnrcl t 'P:r i l ' ' ; r lc t t t t t t i Jrl ; t t tc;

face unghirr l a ct t l i r t i r i ( l r [ )r i r l l int ;i Lrrr l lhi rr l l iedrt t

cu plantrl orizot t { ; r l t l t ' 1rr , i r ' ,1 t ' .

38" SI se detci rt t i r ic t t rt t ' t l r ' l ) .i l ) ' ; r l . t t t t t t i 1; l rtn ':



planul P urrglr iu i iedru dat u.31" Se considcrd dreptele concurente D (d, d') gi

Dl (dt , dt). S/r b: detcrrnine roiecl i i le put rctc lor 'echi-

distante fald de drepteleD si Dr, .situatepe o dreapti

A(8, 8') care nu trece prin punctrr l de intersccliealprirnelor rloud grepte.

32o Si se deterrdne urmele F gi P' ale unui plan caretrece prin dreapta D (d, d') 9i face unghiul diednl a cuplanul orizuntal (vert ical) de proieelie.33" Sd se dete"ririne n adevdrati mdrlme unghiul cr pecare-l face r',ueel de-al doiten plan bisbctor o dreapti Dale cdrei praiectii d gi d' cinl egal nclinate faNdde liniade phmint.

34"'Sd se d,rterrnine rrnle P gi P' ale planului caretrece prin 1tunctul A 6, &'1, este perpendicular peplanul Q dat ilrin urnre gi face unghiul diedru cr cuplanul veitichl de proiecfle.

fat :e ct t pl ; t t t t t l orizot t l ; r l r l , 1r, , i ic i i , ' l l t t t . l l t i t l l r l iorl l t '

gisegi isc,rtc l:t ri r l ist l rt t f ; r I f ; r i ; r ,1, ' t t t t l t t t t r, A t i r, a') tl

39" tJrmclc orizot t l ; t l t ' ; r r l () i l ; r l l i t i l ( ' l ' r i (l i ; r , i rrt t '< l

t t t t t tuglr i dc 40 . l )rr ' ; rp1;r1) ((1, l ' ) i lc i rt tetst ' t ic : r rt 'c:

dorri plarrc f i t r 'c i t t s; r; t { i rt t t t t l l l r i t t t i r l t ' ( i , t rr ' ( ' l l l r l l lole (

zontale alc f iu ' i i l rr i : r r l i t t r ' t ' l t ' t lot l . r i l r l : t t t t : .Si i : ;c i t ratcungl t iul diedrt r cc trpt ls i t t t ro t 'c l t ' t lot t i plarlc cstc dr c

40" Si se determine in. acle l i rat i r nrhl i tne Lrn.ghirr l iedr'

cuprins intre doui i planc P ;i Q, cere trec pri r l l inia

painint qi respect iv 'prin ptri rcteie A (a, a') ;i B (b' I

41" Sd se determine t t r lna vert icalS l ' ' zt Ll l rui pl

cunoscind urma orizot t t l t lS P a planului 9i rrnghir '

diedru a cuprins in. t re ar:est pian gi plauul orizontal

proiecte.

42oSi se determineuflghiLrla cuprins in spa{iu lr

urmeleP gi P'ale Lrnt r i lan, ct tnoscind lrglr iur i lcp'

pe careaceste rme le fac rcspect iv tt l in ia rJep: i rn



Copi tolul Vlt l

POLIEDRE

8.'I.GENERATITATI

3-1.1..DEFINrTrr .ELATi lLE Ur EULER.-n

pottedru steun.corp_geometricdrginitde efeplane.Acesteefe. lJnepot ii poiigianecuun aflumit umir de aturi.Laturi ie destor:ol igoane lcituiescmuchii lepoliearutui-qi:ez.ulti in intersecfa a doui fefi aldturate ie:oi iedrului . a imultemuchi i leunuipol iedru:,nt i concurententr-unpunctnumidvirf al: l l iedrului, careeste otodati punctcomunf TJry gcl puf n trei fef ale' potiedrului.r-oiledrete ot li convexesau Concave. olie_irele couvexe int acelepoliedrecarenu pot fi:ct ionate^.de lanele ropr i i lor or fete. pol ie_::erepot ll de asemeneaegulate auneregulate.j:liedre-le

regulate sau poliedrele platoniene au:=:ete ormate din pol igoane egulatecu un:::..a;i numlr de laiuril iar toa-teunshir.il":.:ire.gi poliedre int egale ntre ele. poiiearele'rgutate se inscriu intr-o sfer6 gi sint circum-

scriseuneisfere c ace.la;i entru. n spafiLrltr idimensionalxist i cini i i-n;; iai"cinci po-l iedre.regulate,i anume,-t" iru.J*i-frrr iru *r.trtunghiuri chilateralegale), exaedrulaLr

ill"l_l r': .tete a .ra1eEale),.tu"o.uro1,tIet.er iunghiur i echi laterale gale), odecaedrul

{l?f:tSpentagoane.gsale)

9i

i.osauJ.ui-qzo,r"

f l : ].Tr:e_hilr i ,chilaJeratccatc)-ce*i ,,1,tesIe. Jn rezul tat izvor i t r l i r r t . t , l t . lou: r cort , t r rcale lui Euler :

l. Dacd se diaide un poligorr (. ()t tu?.yirr r, turunumil yjt ltqr dc poligoatrc, ' t l tut t , i srurtt i l irr/t,,ltttn:lrlt,l felelt [r(tl gttttrc ,r'si I u , t i, r. t raepa;e$tccu o tttt i lalc nturtttrrrl l t t l t t r . i l , , t , , l , , tf *v: l+1.

Il .,ry

orice. oliedr-u9t)naex, trnt t t irt lrt, ntu)t(t -

rul lelelor gi cel al uirfuri lt tr c.sle,gtt lcu tt t t rnurtr lmuchiilo-rmdrit cu doi, deci n ll y-_ ni -1 ,.In felul

-acesta,nu pot exista rrai rnutt a.

cinci_pol iedre convexecare si aiba acelasinumdr Kr de latur i pentrLr efe s i ; ; ; i ; ; ;

8.1

0enumireooo/t?dru/uiegu/ot

Po/iqonu/redu/otfdtd

ilumriru/ deNololieere

r. F Vmuch/t

| Telraednu2 Cub(hexoodru)3 Octoednu :i.,4 Dodecaednu r

5 /cosaednu

tniunghipo'lnottniunghipentagontnrunght

46I

/2ZU

4Bt)

20.t2

6t2to

,1U

.70

T:4nC:6r,i0:B 6o: /26I -206

Itig

l l l

/btnoedi,u/ /rurcltrottubocto

srJru/t /A t//

A/V

AV

h,iok ontaq ans/ ( co.sc'

decoedri/1

0c oe dru/ trurtc/t c'(po/iednu/ l{e/virt)Jcosoednul runchiot

tVuntcirtt/ c/e

4f ' ; + 4n Btfo +,96 /+

/2 i +208 32

BFu t-OQ /4

206 " 126 32+ 't4

30

2400

60

369A36

nr

c,0D,Ic,0

Oenumireo po/redru/trsenireEu/ot(qrhimedion)



AVlA y//

a [[t)A/X

A.{AXlA XIIA XIt

]ubu/ lrunchiet0c'decaedru/r?omltcuboctodnu/ e'

,?ombicosdadecoednu/

d'u oc a edru,/ runclt blcosdadecae&u/ runCubu/ tesit

A.

/odecoeo?u rcslt

mt@To/&@,mFig. 8.2

i iurndr Ko d. mtchi i pentru tonte unghiur i lepol iedre. Caracter ist ic i le ol iedt 'elor egulate

sint prezentaten tabloui din f igura 8.1.

8.1.2.POLIEDRELE EM[-RHGULATE. ol ie '

tlreleseni-rcgulule sau potietlrele ui Arhimede

sint poliedreconvexe,avind ca fe{e poligoane

regulate ifer i te (acelaEiip de polig 'ranei ind

bgite) qi unghiur i le pol iedr ice gale ira a f i

tegulate.Pol iedrele emi-regulateu toate mu-

chiile egale.Ele pot fi inscrisentr-o sferl dar

nu poL fi c ircumscr ise nei sfere de acelaqi

centiu Dupd Arhimede exist l 13 pol iedre

scnr i- regulate. nragini le pc' l iedrelor semi-

tegulati pot f i obfinutecu uqur inf l pornindde

la- i nragini ledeja construiteale pol iedrelor

regulate respectiveasupra clrora sc executi

operafuni legeontetr iceecesar{ lanu';nite iv i-

z iun i a le rnLrChi i lor ,e f in i rea ir lului pol iedru-

lu i , e tc .) l)upi i nurnir rul o ta l t lc fe ie ccle l3pol icdr i ' ; t ' t t t i - rcgtt lr t teot f i orr lonatc st[c l

d, 14, 26, :12, :18,2 gi 92 dc fe le.Pr , t t t ru rcci-

zarea i sit t tet izareadei or sint p.rezetttatcrt

abIou din f gur lrB.2caracter ist ic ic 'pol et lrcr lor

semi-regulate.

1.12

8.2.REPREZENTAREAOLIEDREI.OR

In general , pcnt rr t r t 'prczt ' t l1 ; t r t ' ; tr t t t t i corp

geometr ic pe <-r pt t ra t t ' t :b t t i t l ) r fst l i l . t ls l l t l l los-

duta def in i f ia geornet r ic i tn acest t t i corp. In

aceste ont l f t ;ccol st . r tt 's l l ) ' ( i ' ( 't c I t r Lt t ' t - r t '

v i r fur i lor dupi carc sc L l l lc : rcacc' : ; teput rcte

cloud ci te doui , drrpr l t lc I i r l i f ia geort tet r icaa

pol iecl ru lu i, ob{ in indt r- t ' ; rst f t ' ll r ro ict ' {i lc t t r tu-

ior muchi i lor . 'Pr i r t pro icctarci r Lt t rL l l lo l ic t l rupe un plat t , unele di l r t rc t t t t rc l t i i for l l tc i tz l t t l l'pol igol i

care i t tc l t i t l ( ' l ) r ( ) i ( ' ( - ' l i i l ct i t r t r i r r't ' lor-

ia l tJ nr t rc l r i i . Acest pol igort cst t ' I l t r r r r i l conlur

aparental pol iedrrr lLr lSc, l t rosebcst :ot t t t r rLt r i le

abarente oizontal , vert ical s i t t t la tcra l pct t t rut

uh ool iecl ru lat . Accste cot t t r t r t t r i rpart ' t t t t :pot

avea di fc l ' i te for t t l , - ' , l t r t ' s int [ t r l lc{ i l t lL 'pozi l i i r

re lat iv l d int r t r pol ict l r r r s i l r l l r t r t r l lc t r ro ict ' l ie '

Pent ru obf nerei l t t t t i l t '1 l t t ;zet t t l t t : l r t ' r l ; r faci r

imagine este t t t i l s i r se sf t t t l iezt 1rc '1. r t t r i i r l ' i t l

l ini i ' cont inue lnt tc l t i i l t ' r ' ; rzLr l t ' t l t ' pol ict l r t r l t t i ,sr l t rc lct tscl r i t ' t 'l t ' t ' i ' l t ' i t t 'opt ' t i l t' t ; r t t ' s t ' 1 t ' l l -

scaz- l i r t l i l r i i i r r t l ' t ' t ' t t l r t r 'St ' I i t r ' t " r is l l t l l t i' t l l l

s tudiu de viz ib i l i t l t t : l r ( ' ( ' l ) t l l . ' r r l t t t tc l i l t r t '

v iz ib i le saLt t t r r iz i l r i l t ' l l i r 1r ' ' r l i ri l ' t l (( ) l l \ ' \ ' i l r

r l rept cort tur apl r t ' i - ' t t1, ' l r l l r t t ' ' l t ' t l ' pr t ' i ' : ' ' l

66 Bn12ft62s6 .ttlB4 * 65 26126 +30F4r295 62

6E +8G+/24 26/2 f/0 t20Gt30F4 626n +32fJ 38

12F, +eg6 92

24602/t

60

4B'1202460

a048

/20

/z/80

60t50

nr

Ut U

D,I

c,0D,IcD

ll

fl

:1tflGlF

I

-l,teeerre--9o.rt1'e-49.

-Corrt-urulSparenteste n::ratecazurllevl-zl.Q '.ecise tiaseazd-cullinie:lina. Dacddou[ muchii necoplanareu pro-

:..llli. doncurententr-unpunCt in interiorul..;i;"I"i'apaient, doaruna dintre ele va fi

- ' , i luita.m.uttt i i te are pleacd oate.dintr-un. i.i ptoi."tat n interioiulconturului parent-. . . i . lu toateviz ibi lesau toate nviz ibi le '

- . s i i rs i t , entru tudiul iz ibi l i ta{ i i e ompar.a

- t i l . ' .uriepdrt ir i le diferitelor uncte' stfel,

- i oroiectiarizontaldste izibi lpunctul are



8.3io

arecota mai mare, ar in proiecfa verticali este

vizibil punctul care are depirtarea mai mare.

Cea mai simpldqi mai rapidd reprezentarearesi facd maginea unui poliedrusau ansambluride pol iedrJpoate f i obfinutd pr in uti l izareametbdelorde transformare proiecliilor, decipr in schimbarea planelor de proiecl ie, pr in

iotatie sauprin rabatere. cest apt este lustrat

in epurele in f igura8.3; 8.4; 8.5; 8.6 ; i 8 .7.

Fig. 8.5

113

NTT



plBJJlJeA rlJrroJd .ezsqelsJf,u nJnusld 3l B

,d. s d.eleuJn s e.tBslezeq"

f,qB

"tsluozlJo"llraloJd '1 us uarulilpu pulssounJeldeJperul-nlqFunlrl eurslJd aun ayiriiefoJdRJsBtnJlsuoJes PS 'Iewstud vauvlNazsudau .8.6.8

' tpy eldue-lp .rour)lgzvJap InlnJreurlcasralury^lpPllpzar I 16C:o1a1cund IH : lu Blor re r'oqs.l$op\l gzyr ep rrer ep :o1;ioJe1ear{casralur

-ap .p

Jnlrund purreprsuoJ urfqo as (,p ,p)OI InInJJJAe rpp ptroJ BJ grr:asq6 eg

'oern:]

-ual op,lnJJaJuJ srJJSur e0p0J0q0efnuoFeluad

arJceroJdp Iel.uozrJo nue1dad e.laleqerug

ll:a'trulsuoros rSoqoesefu; aFaleaS .(6.8 .FU)

allraloro ep luluozlro ;nuu1d ad gluza$u eliaeJuJ nr BVS plurelul uful pu f,sounJ aluJnie.raleuoFuluadappuerJd aun illifealord eosuln4s-uoresRSylvNOOVrNedvotwvuld '6.6.8'cordrra; rS-,ur alecrlre,r rarfralord pundsa:oceJec 6tu rs rur oleluozl:orrfcalordpnoppl1zaJBlsere Inl-alyl .rq rS qu ad ap l$ rr lrlrjdsary_ Lq_o

":I'c I.s ?oulp eulpro ep glpul puJroqo3

^?_gqnlnJ ad eII 'gVS BlsJ ad a1; plenirs rJe1e3o,tu,s alse plBJrlJer\ rfrarord reJpJE WSBloparpBJBAJosqoS .ur BleluozrJo serfmroidaurrxralap as FS

.1n1nrpar1odeiegerdns ad

lBnlrs Jund rnun B.BIBJTIJaArfcaro:d,ru el l'.gleluozlroelfcalord ug plrqrzin jlsa 'eq

:e r.'BIeJrlJeAerfcalotduJ pJrqrzrleise ,u,s BrLIrnW'a1ua;edu,JolJrnJnluoJInrouelur u iolr rqcnruoJlr lJoroJds uncard ,lnJnrpal lod

e1eelua;ede

UnJnluoJ nop.aleJ rfqoas rrurl ur:d elcund?]r9?u

ulun '(e'g .Fli).ro1 Jnfrarordrrdelep'f, s g. 'V 'S arprlrqre pund n:1qdp-reprsuoa

1s 'ylvgvudnsia rcNnd.suvceuvo

aorwvurdaNnvsuvlNirzeud:rut'6'8

a1-a1_oirdecr Bopa^. A as unr ;3*":3|,:J-aIlod^elpaJtJleuouoxB olrJPluazorda; c FlJeJlpg:n1gFa1r5 91r1rqa1sj-ejeod lsare1,i1"11

/ 8 .Ftc

iect i i lerrente.t ica ld,rntald.situat

erminetreaptapoate

r SBC.: obfinacesta

i, care



ciproc.

e con-gonale

E Careoiectieruiegteoiec{ ieb cen-lrfuluidr de

gi sbs,I td d ina Kd1.

SA senghiu-oiecfia

'$ i P'r t ical i

Fig. E. l0 t]ro

i a bazei rezulla imediat considerind-eleplanuluiduse r in a, b;i c ( f ig.8.10).; i i ind dreaptd,muchiileei vor fi perpen-

I--t pe planul P. Cele doui proiecfii al e:,r nuchii vor fi perpendiculareleusedin:=-eA, B gi C respectiv eurmeleplanului.

a-x l+: *^^ I-^

,,..^ J:-+-^ ^^^^+.,

:::-eA, b 9l U fespectlV eurmeleplanululi-- a a;eza ndlfimea I pe una dintre acesteT se. onsiderd lanul vertical Q'care se

u egale, cunoscind ungimea I a acestorri, centrul (<o, or') al bazei

9idreapta

""*:--"-eazd,cu planul P dupd dreapta a cireis: pe planul orizontal estehas. Se ridicd

-::iculara n an pe has gi se obline a1n,.c rltoarcedin rabatere n punctul (a1,ai )ii:rLr,r;ineazei superioarea prismei. Cu;r- iele doui cont ururiaparente leprismei

':r*olet determinate.

+ REPREZENTAREANEI PIRAMIDEC6'ONALE.S[ se construiascl proiecfiilepiiramidehexagonalecu toate muchiile

as gi bs dau a Ei b pe I iar cs se ridicd din raba-tere n c pedreaptay.. (estul punctelor ezultdpr in simetr ie.Vir ful S (s,s ') al piramidei seob{ine aqezind ndl{imea sico ssbepe per-pendicularaof, <o' f ) r idicatd n (or,o')

-pe

planul bazeipiramidei.

8.2.5. REPREZENTAREACELOR CINCI PO -LIEDRE REGULATE.TETRAEDRUL. o S[ seconstruiasci proiecfiile unui tetraedru regulatcunoscindmuchia sa gi urmele planului in careestecuprinsi una din fefe. Fie F ;i P' urmeleplanului ;i A, B EiC virfurile bazei etraedruluiregulatde mucl i ie dati ( f ig. 8.12).Proiec{ i i leabc ;i a'b'c' ale bazei tetraedrului se deducimediat ridicind rabaterea sb6ca. iciorul ie al

inil imii tetraedrului se intoarce de asemeneaugor din rabatere n i gi i'. Pentru a aEezavir ful S pe perpendicularausadin ( i , i ' ) peplanul P, se consideraplanul vertical Q dusprin aceasti perpendiculard. cest plan Q seintersecteazdu planul P dupd dreaptaa clreirabaterepe planul orizontalestehil. Se agaziin51 imea ssq e perpendicularan i l pehi1 ;1

i , care poartl una din muchiile acestei

in rabatereagbgcadicd doui laturi

-. :jutorul punctelorM Si K sedetermindhr'=: d-0 dreptei A pe planul de nivel H'rn'- - -entrul ( . , . ' ) ( f ig. B.1l) . Se con-

n,m:. iramidei, care permit revenind di nr'-: :: se obf nd intreagaproiec{ieorizon-L ; : l :ea lda hexagonului BCDEF stfe l :

115

. . in l l l1 l -uots ' (g[ 'B:Fr t )D ralB]uozrro

_Ft . , l , r :y_ap-,1nue1dd ( ,q qtg' rhl ruhoalpqeJ as r$ a:o1i;qer

:il: 'I?'"''J".'r"i"r3l"E'"0"',J'

3'?3L""1,u, Sj:ll^ iy" dadujul' r"lnniii'j ltu,p" l;li" ;J$i'Ufijd:r'"Tlf

.tl "rd ,tjd_arer1':ec'f-abio'rt"i";,.^rs,l_, g 1l-,nL"t

v' 5rrij"'"-'u"rf;:3esor lnsn) nvsrnuqivxgn g:fs

;:r?:.1:9.p_arglBrnspisapr ol"jl,J13

st g Ftg



1,,,"",'3:::"1iJ;iiii;Y'''Jl;;ffi;r l t iP l l l lq lsod ejdnse' ' ': - ;1""- v 'u 'rJLrJdP

n;BJra.r , srprrne^1 ^ .-.1:-Yntn:d lelnFar rn 1r la] B aleuo8ol.lo i,lo la ledt rurrd ru .1."

-r.;"; "ff;uloll3"o

ttrpluaze:dar1e

n ,n +t.A ^, r ,hQ,_

glsJSUJas g ., gl .g

r Is q ,0 vl.g e;r.rn;r;ip'";i.;;j. .;t"[' ( ,1 t) S yJ atlelor

i,lr,yolu,.":j:" 1sp11ni5g'ui1o',ralnJrnJuojJ Bl?'.,',;' l;'""',?jj,i,i::ijd,: u.Te,:-".-:lr" u,rJerlraroJd CgV raief lnuej[' , { . ' { ) uJ FlBJlpu (.u.y .uyl p, rprnlrnrrarr_lj_,u,)t1u41 eieinJrpujo

: ad gZeS'e jS - -rt ' - ' " " ' l l 6Jblr 'J lpud0

I prrr r r t ror 'InJnJpoBJlol B o{os :

l-,'11iiJ:3i.yl'flnpb si:d"rs;)i' rrfio't'.,13i"nt;:','""*i,liii,,ui"^'i,l."l'j,,".1,i;:t:t:i.ylqi-5r*i,,iil;i3:i3i"y.: sstu-luoz;;6r6aloiis ;;;;;;"l13l y-".i.,p:':ynsouncdvi

"ili"*;4el lnunaprfraroid'grseln4ibl"rJ

iJ";aralBq'r rparr'olur

t}?r(,lrr

f,?,l}'lt

./ 'r

4,' ,grs. j t tg

/nrPeprldJ

\4_V\ , / t \ / \ , /\ / t \ / \ /r

V

il.J

t

t

t,*,}

:



arehie ie plrf€ C1

trca I

F ig. 8.16

r' i l i i l Iiere fafa abncsds cubului care, se ridicd

ILL:LTabatere cu ajutorul punctului s in (abcd,

,rrur'h'd'). Pentru"a g5si un punct Ar (at' .1i)irLrrr.;ei AlBlCtDl, sec6nsiderdrontala (af, a' i ')rrl :e duce pefpendiculara p, p') pe

-planul

u,te'ABCD. Se roteqte aceastdperpendiculararu ::nctul N (n, n') in (an1,a'ni)

-9ise a;azd

ilmr-:roiectia erticald a acestei drepte seg-

lnrm:ula'a,2egalcu muchiacubului. Revenind

lu,noia ie reiultd ai apoi a1. P-rinparalelism*t -=:ermindestulmuchii lorcubului '

P 5e se construiascfl proiecfiile unui cublilMrriirscindungimea I a muchiei qi gtiind cd

me din diagonaleeste verticall Ei pleac[ dinpurmrtul (a, a') situat in planul orizontal de

111mrr'rliliecfie.iea's' : I lungimeamuchieicubuluiLLiriiilln'rre considerd a;ezat ctl patru dln

nnuriui'i paralelecu planul vertical de proie,c{ie

'flf lrq. z;. Se determind diagonala ?'n'a

rilr:mr-,rionstruind mai inti i tr iunghiul drept-Lrumm-.isoscel 's 'm' si apoi tr iunghiul drept-ll l luru:,";'m'n'unde m'n' : a's' : l. Se aqazdrirrumrn:AiagonalSvertical 9i rezultd punctul11ffiE. g'). Conturul aparent al. proiec{iei

' ,tm:.":5lee ob{ine construind dreptunghiul

F ig.8.18

a'c 'g 'e 'egalcu dublul ar iei r iunghiuluidrept;

ungfiic a'in'n'. Conturul aparent.al proiectieioriZontale este hexagonul regulat bcdhefcucentrul in a.

30 Pe epuradin figura 8.lB este dcutd recerea

de la r6prezentarea ublu ortogonaldbanald a

cubului-la

reprezentareaa axonometricl' zo -

metricd prin doui schimbdrisuccesive e plan

vertical^

Ei orizontal de proieclie, qlegin{unghiurilede 45o;i 35opentru respectiveleinii

de pdmint otxl gi orxr.

4o in epura din iigura 8.19 sint recapitulatein dublh proiectiebrtogonald principalele di-

mensiuni-necesare

construcfiilor proiecliilor

cubului in funclie de lungimea a a muchiei

sale.Figura8.20prezintd i fer i tele osibi l i td l i

de desfdsurare le unui cub.

117

a6'88rcBII,

f:_-fggJgvW1u1n8a.r.rpeulrognune1uasndolrnJrt^ nopluls (,ufrl tt ls'(,p'i,u)- 1r1"1"una'(,u,

u.uru)

plduaipp ,iid;ilr", ripfi io,"s 6g rnnlc-und",", ""' lt;: :l,r"Sjgr:";',_apiilnlnueid,qtj lor:if::Frffi ifi'ilifrjyr:B9;"l.l urp Brauneaiileq?I F,fir;;j; ar'r0qbul

lErolpltqrentAl?yiru+,g"i*'iu n| 1nuu1o0 eralpqpr l -a1$amrlbrioj',i,

.quinlng,qrnrrnrqdunrrl



luJs rnlnipa,elco"lnlnir"JJ.rronq

^:l:p -:i'. ;s ynlhipeilui-;r,tjli;, ric"' 1et": lsa_ ntntertrpdrnier' (ra:b': i i [) '" l lr 'oro

:l-.1.?lj9^ nue1d1.qg-aplnlq;unprrJpr'HilBUodprprJrug alls€.'bdiui i i lnrlgd {"Basar}sp uI Inrluarnr .agicago.rg"pJ;J;ilrflnungor o08ap qFunn

,:l:l_g,n"i,Aiip' ""p elt"lelarurppun p ,arirelord-epln1iioriro"rlnu"lct lunrls ,e u)o i:Jjl^ ,pinJffii-bieJoau;p

urp?un rper?rurnjai-"rfi"ilil;,,ir,iy;11rr;o.lducsuln;lsuor sps ol.,InuoiIVJ3O ./.6.g

1 oa g 'Flg

-1-l

rT-n rt--lrlt E l+tr -r+FLJ LJ

lnrPe pxaH

n-rr.trE -ff -4

ot 'g 'Elg

W,q- l--

t. i i ; xr r i; xr

iA '' j--;-

I - t t ti

- ' -l

't ' : - F. i= l

',:;ijt,j.

rl

\n/ r ry,dru/

#*#/\nYffi8.25

J1'r

ryLff1al ld cJLtr cBard (-u aucvdr dLd r urrSr l rc rrrrr l

--WnentuluiMN. Construcfia cestuipdtrat

Me ii executati cu u;urinti in rabaterea

a (ark, co'k') planul mediator PP' al**egment fi$. 8.22). Acest plan P sec-i octaedrul dupd un pdtrat a cdruild esteegaldcu adevirata ungimemn1

iui P pe planul orizontal de proiecfie,;ind cd (., ,') se rabate n <oe i cd asbn

: frontald) este paralel i cu urma rdbd-Pi. Intorcind

'dinrabatere punctele

hn co$i dnse obtin celepatru virfuri cdutater impreundcu punctele M'Ei N determind

mryiet roiecli i le octaedrului.Puncteleb6 gi

r4

\i'' r

ia ,

't

{.?

4Fig

#4



m intorc din rabaterecu ajutorul dreptei oc<o,e sedetermind u dreaptaBb.Punctul cs se

rc din rabateredirect sauprin

simetriede punctul a. Proiecfiile verticale al e

. puncte se obJin util izind orizontaleielve.

3o in epurele din figurile 8.23 gi 8.24 sint

recapitulate n dubld proiectieortogonald rin-cipaleledimensiuninecesareonstrucfiilorpro-iecfiilor octaedrului regulat in functie celungimeaa a.muchiei ale. Figura8.25prezintddiferitele posibil itd{i de desfdgurare le unuioctaedru egulat.

8.2.8. DODECAEDRUL.1" Dodecaedrulegulatestepoliedrul,csnvexmlrginit de 12 fefe penla-goane egulateegale fig, 8.26). Pentru ob{ine-iea unei astfel de reprezentdridublu ortogonale

a dodecaedrului stenecesardecapitulareaunorproprietd{i ale pentagoanelorgi decagoaneloriegulate. Astfel- pe figura 8.27 rezultd dinasemdnareariunfhiurilor [ABD - IBFA --AAGO

cd s6:(d-sr) :d:sr sau

Fig. 8.24 Fig. 8.2S

119

OGI

:*9 q-t ?rnl"lpuI^Blu]uozlronueld d1an1rs?- -9: ]_yn8a: lnuo8elueribele' s raJlsvol 'lrd eJ elelnlrderer oloc ep erfcunylelir8n':

In-lnrpaerapop pluuo8olro ntqnp'piridrrc

-sep BaJpluazarda:J url:elur ejec'aleiuaruelaaleztleue +uJS66.9 ernFr; ulp erniie u1 o6

::1y_:-{i"rlaBuosop"

p,F;;i:Tt:r?,

";: i?,?:gil:}T{:],tf - l"q pclpe fep.r RzeI n_r1'uad(96'8 dlJ) lgu^rHS snpaplodsns eru pblrrf-:]3.U,66'8 8t C



11q1y9:e+uadlurioFeiptsa'p,rnlnribd,:1ti*_:_i3:11_lninsrgczBr lsad iors'

FrniBrep rnlnuodpcep Bs ts p:n1e1ap rnlnuo;le1u'ad

srrcsrunJJrJlnlncJalBzeJ lseJ il ielei olsareuJ

86'8 8t c

'Gl l * i lzA' lL * :o td7:r+ors

(r_ti/)f : o:0 : adb - dJZ + 6J ial -ap

- zdb

Gl- i lz l- l r * :n,

lap-ar9:u.r1o[s: fs

7-(l -_sl)

f: ot. tg : uJ orsr+

ols

-a:ernFr;ieaerej "i.:,',1i,"t":;';:#,;ir#rT,qg lnluauFes eprlrp g lnlcund p,

"unO,ag)

z-'(I -/) p

:"n. apunp0

:ap

esp+ ?s

tz'g 'EIt

€ii

Fig.3.30 Fig. 8.31

fiind rabaterea ui l0 se deduce10 deci cota

10-10 r. Figur i le 8.30 gi 8.31 reprezint i

respectivo vedereperspectivd--dodecaedrului

regulatgi una din posi6il itdli le de desfdqurare.

8.2.9. ICOSAEDRUL. o cosaedrul egulateste

poliedrulconvexmlrginit de 20 fefe riunghiuriechi lateralegale f ig . 8.32EiB'33).Din fiecare

virf pleacdJinci triunghiuri echilaterale gaie

"rt"ul.Atuiesco p rami-dd entagonal

-regultd,

Pentru reprezentarea ublu ortogonalda ico-

saedrului regulat se observdcd in cazul unei

diagonale verticale cele doud pentagoaneoincide cu 2 dacd se roteqte pentagonrll

3-4-12-11-10n jurul laturei (muchiei) 3'4 '



iu alte cuvinte punciele 10, 16 ;i 4 se-gdsesc

.ituate pe o perpendicularda muchia2-3' La

:elpunitele 10,-20, 2 se gisescsituate pe o

:eroendicular la muchia3-4.Procedindnvers:oale fi oblinut punctul 10 din intersecfia

lreotelor a-1'6 i Z-ZO.n rest celelaltepuncte

;ie'proiectieioiizontalea dodecaedruluiegulat

,.rr i lte cu uqurin{d.Astfel 9 rezultd din inter-

i :ct ia dreptelor 9-2 i l6-3. Pentrudeterntina'

. .r ' 'otoi"Jt i i to i vert ibalede tipul 10' sau 9'

,e t ine seama ie de valor i le r, s10,2p deter---rina[e rafic ie sededuce fectiv,cu triunghiul

re oozilieprin ridicarea abaterii, cota respec-

.,t i u 'punctului rdbdtut. Cu al te cuvinte 4

&

Fig. E.33

: l opusa i ind

doudplane

zontal

ryonulbazei

I incitpoate Pig.8.32

12l



98',83t c

.eJBJeJBoauBId UrJd nus aluBlcaroJd

".y:.. ld,Uda:pa11odg' ua1d,"n,iJ; '; ;;,;-uor ol eg .ue1dun rSpldeirp'o

"j'1uiprf5ds

r con-plane

INTE.ntr-unIaterital deimea8.37).: planatagidupd



aPvSrdinehi i lorI SeC-

Ppe

i.

Jiuniittuatlrcfie,ls i P 't or i-Ernutiecf aHrata, pr inontal

[ iuni itr-unl l i ai t \ pef.3e).

Pie.'8.4O) \

de planul lateral de proi- ic"1ie,ecfiunea parepe flanul lateral de proiec{ie otal deformati

i i i r ternutS pe urma P" a planului dupdsegm'entul"A"T". Revenind n proiecfiaori-zoitald qi verticald se obline secliunea (apy,

o.'9'T) cdutatd. Determinareaacesteisecfiuni

poat6'fi efectuatd i fdrd utilizarea planuluiiateral de proieclie,observind I toatepunctele

sectiunii au acelaqi raport intre cotd Eidepdrtare.

5o S[ se construiasc[ secfiunea pland intr-oprismi patrulateri oblic[, clubazaABCD situatlin planul orizontalde proieclie,printr-un plan P

pig.;'b.eo :

\*_

Froiec{ia orizontalva secfiunii este apy8, iaredevdratamirime aogoToSosecfiunii se poate,'c1ineprintr-o rabaterea planului proiectant:r unul din planele e proiecl ie.

4o Si se construiascdsecfiunea plan[ intr-o

piramidi triunghiulari oblicd SABC, cu bazain planul orizontalde proiecfie, printr-un plan Fcare trece prin linia de p[mint gi punctult i {m, m') . Fie s"a"b"c" proiecfia ateralda:iramidei Ei P" urma laterald a planuiuitcant, care se determini unind o cu m"i:g. 8. a0). Planul secant iind proiectant afd o,r

123

J r' :' zt'81dr J, . '

Y:a/

bzl

'|u?lregoJduldu aungfrasp1n1nuuldJrpurjo;-suuJl poleu pulzrlrln ,eurrnugrd up eruJeruo4 uuld un-4u;rd ,alicagordap luluoziro1nuu1duuplruu.lldo-rlu Ruuld uaungires cie ru1suocESPS INVICAIOUd NV'Id NI :INNITCAS OrnlnNv'rdruywuoJsNVur(IOraw'.r.8

'(,9 , ' ,d,o 'g dP) Ialise truJslyunlfrasalrrfcalor4 g_t.

lnluaru8as uif-ar s11Olalal s d rojeuBId u6qer lcasJalur_urp3o1euy'6n 1n1uau;deseopaurie.las eueld Bnop oJaJ



IU elolcund pc pruBas ulf as 1$,(,i,b ,Xfj

'v rarqJnru vleluouJo et|Je

'pr lqopralu;n4ed urslrd -rlug ueldeeunliresprssln4suoras

RS

.eNntjf,gs

EO'InNV.Id

nf,uolaial rarlcasuarNrcbrsw--s .e.

'alnlgqgr :o1 alrrrdo.ldlugs u rS

n-ty

er{cesralur lCI .qu nc playeredeisa'r$

/H elsoulllul_gBJqJnut JBJuJ ,(,1 ,l)

lnlcunduud eca:1 (lE ,tF) Bleluozlro plstidry i11F tg;ele+uoztrogV 1aial 1nue1d J rur ,(,F ,8) e;e1-uozrro4 1nue1dI FpaJBJl,H Iarr lu p ru.r lrq.reInueIo elsasoloJ l ,eue1dpnop olar aJlurpar lrasralulap raldeJp1e u lrund Balrop IBun aulfqo B nrtruad..gVlaleJ nlnueldt6 a tnt-.nuelo ntuoJlJund un alsaaJBJ tq eurfqoes'4 eru:n nc eriras:a1ur 1 pugdqu purFlnlar4'gV lel-al u elellozrro Burn urp eunrf.lod 6Flulzaroar qE yqluozr.ro uriralo:6 .(Sl.S .FU)

plep pJr lqog:e1e1nt1edruslrdOCSValg .aun;i-f,esap 1nuu1d r raursl:drolaiatr ro;lgiiasralu;epoletupulzlllln ,arurnuJ;d up eJeJareo4 uu;dun-4u;rd 'erioarord p luluozlJo nueydqeieqnt

, .,*__nl

gt B,FIC

tu alolJuno c pruBasull as IS,(,y,d ,Xd)

ralEluozrrolnrolnfe . ,(,d,fr)lnlcund,ailcerord

ep^lB^1rczrJonue1dd ,0dul a+BqBJs nunrfeesp^lB^luozrJoInupldad .uduI a+BqBJs ,rrunrfees

r.:,t:p,tr.9,u,t{F.T e}Brp^apu aujfqo E nrtuad

'O,'L) IS ,d ,d) alalcundgunuralJp sFoleuy'V rarqJnrue Urcluoztloerlcarotd l5 .rrua.lrurnV JalqJnule pleluoztro.erlcarotd S q a.llurppr+rasralul_ulnl ,( ,n ,o) pl lnzag .( ,n,q ,,rq)r lJasralur . u1nl , ( ,n_,n) pl lnzaU .( ,n ,q,nq)

Blo?aJp onpd InuBIdalBl V Btqrnru ud snploEarp onpd,1nue1d lel V Brqrnur lrd snpIFoBJ_ep nue1deJlsV (al.S 'Fl l) eunlfces p 'Fll) eunr{cesp1nue1dezeapas.rajrireruirjd- e diqcnru'arerarJarBr uI aletrrund pulrrrralapas .JlunJfraseetulJpru?luJB^epB osuasp8s ps gS eungioesapInueIdnr.gausJ.rdolllqrnur rollgftasrelul

"poleulu z llln'euunulrd lpp erurarpo4 ueldun_iluJrd'aflraloJd ep luluozlro lnuu;d uI ezegnt ,ucryqopruln qdun 4 prus;.ld o-rluI pueld eeunlfr isPf,suln4suor spS..ANnIl,leS gO 'InNV,Id nC

uolrrHcnwaricesu:rlNrqoraw a.8'8' ,g ) , ,d,, tS f,rciugs unr icas 1e r f aro.rdnopollEIalaf, //d.BrrJJned .p1nu:a1SeS pleur.rogapIelol , ,1 , ,9 d,, eaun.l faseurf o-es' iSr lceror iap IBralel 1nue1{ap plBJluelcerord pulrg rieldlsaJv '( l? 'g 'drJ) lueJas nlnueld v t td Eurrnrs rausrrcl

9 plBreleI ur f arord elSern;1suoces aJeJad arlcaro.rd p lBJalBI1nue1d auouaspap lBzrlrln lJ aleod .lupugd ep elull nc ;alurud



Fig. 8.45

b-un

rtodasec-

datdfintFtAB.

rzrP,lanu-.erunec{ie

unuttzo{t-ntalapr in

eH'

lmaI o9.fe{eiiuni i

r jtUI$i semidlEinanPrans-fant'

Fie. B.44i

- '\,,,"

Printr-o schimbare e plan vertical de proiec{ie

se ransformd lanul P-in planul de capdtPlPi'luind o1x1perpendiculari n P*r Pe urma P

(fis. 8.44). Noul contur aparent vertical al

pi iamidei este siciaibi, observindcd S.'S' :: SiS*r. SecJiunea vlulgi in piramidd ctr

planul de capdt PlPi este t9tal-deformatd.gi

isternutd 0e urma verticald Pi. Rezultd cele-

t i t te oro i 'ec t i i a le sect iun i i apv qi o '9 'y ' '

Ca vei i i icare, cotele punctelor rebuie sa f ie

egale n celedoudsistehede planede proieclie'

-----,.**8.3.5. METODA PROIEC,NEIPARALE:LE. A"-

se construiascflsecliunea planl intr-o prismf,

pentagonalfl blic[,'cu

baza n planul orizontal

de prdiecfie, printr-un plan P oarecaredat prin

u.m", rititizinA metoda proiecfei.-paralele'

Fie ABCDE prisma pentagonald bl ic i data

,f is. 8.45).Se alegeba direcfie a proiec{ iei

:aialeledirectia rontalelor lanului P. Proiec-

: ia paralela upb aceastd i iec{ iea muchieiA

le olanul orizontal de proiectieesteams ;i seubl ineproiectind n punct oarecare (m' m')

' l le 'pe ceastdmuchie.Evident' punctuiA este

rrobriul sau proiectat.Punctul (o, o') in care

=uihia A intf lneste lanulP (ca dealtfel oate

:unctele sectiuni i) este proiectat pe urma',r izontal i t

P a'planuluin ao, a ntersectia intre

am, 9i P. Farcurgindcalea nvers5, se ob{ine

(a, q.'\ si celelaltepuncte ale sectiunii, consi-

derind'frontalele

planului P ale cdror urme

orizontalesint asbsescoi do. Pentru piramidd,

se construieste ioiectia paralela n condi i i lede mai susale vtr fului pi iamidei. Se consider i

si un alt exemplu. Astiel, fie octaedrul egulat

ivind o diagonali MN vertical[ 9i muchia AB

dat[. Sn sJ construiasci secfiunea flcut[ in

acestoctaedruprintr-un plan P care trece-prin

centrul sflu gi-printr-o

dreaptl 9 (g' g') a"te'

Se construies'c ai inti i proiec{iileoctaedrului

r leterminind n prealabi l-cota onl f ig..8 '46) '

UrmeleP si P' ale planului secantse obfin du -

cind orin ientrul (<o,') al octaedruluiparalelaG1 a'dreaptaG. P'entru onstrucfiasec{iunii se

utilizeazd^metod proi ec{ ei para ele dupi d rec-

tia frontalelor pianului P. Fie masbscsd0n6proiecJiaparaleld, dupd aceas-td.irec{ ie,. a

bctaedruluipe planulor izonlal

de proiectie '

Punctelese"fiunii proiectate-paralel e.urmaP

a olanului's int eogovoaoSo0o.evenind din

proiectiaparaleldpe frontaleleplanului P se

bnti t bunitele sec{ luni ipe muchii lecorespun-

z|ioare ale octaedrului.8.3.6. METODA PROIECTIEICENTRALE.S[

se construiascl secfiuneaplan[ tlrtr-o prigry[

triunghiular[ oblici, cu baza ABC situatlin

planu-lorizontal de proiecfie, printr-un plan P

but".ut. dat prin urme, utilizind metodaproiec-

fiei centrale. Se alege centrul de proieclie

125

9718r'8 8t c



'd pruJn ed oe u--rn1nue1d"4;?"{?,1,""Jy.d3i:T':iiJiiil:ytuls (d lnueJd s14uoz1roi";i;;;;b aJac drBflrxn' :orau'rd, p irc'o19z,rh;;;;5alaurnsnJd 1 ."

thlcuno s.r";; : ; ; :1",;r. i1nue1o

:i":j"iiJJli#"?xiiji:ru':i:*,;'.ffil#?lsBeJBulrd asnp ,

flt:p:i'i,u"ir;::I'ff"f??:tgo't3t,S#i:il3?l??X,."":tlT:Pl-nsGre B1s)'1,ooi:.t p'':.'d':-1:Pi.l.{":r:l5i"ffii, ;;ap;u.rur;d1n;r1nr.rri

ili:t_"j fx=1sl i"Brtlxnetr.::jg o purzrltil .aurrn,ilro"i"t Trnr"rnod uuld un-rluJrd

i?gys Rrtrio irilniqaunplp;ruu.r;d-.r1u1u_$' nr,in i]".-frlninrl.uo,

t.,x1,J",3?_H,X1*l tHl lI??lappuer ldIn lnIJrAB

1tl'ri , ';'i'ur,:.;J,.i,, I;,1,:i'iilii:i,i]:,At'rl;,,n#'j:t',\;'1,,,;olrlt{rnu te luiiu'r oi ." ,;,X^5:fl_I '

*":rg ;ril;"',iil;0,#ljillj"o H:,"tj3i",'i:"3iil,l?|,'J

,Id1a' 'ir'';il'';"i;"'ir,ui i,ii# ,;i, l.,1,"j',ig";,"*.1iJ,?

,d t '

lp.. l lnlsnulI luJ,o,,o) lnFund r:drarusrrdlrrrJrnrut esnri-r ,,. i- ' ; :^::_lr, ' "y. a r"r#r,,'''*1;,*:-J,,";r",T{.";Ul'":ffj$J ro^ trunrfcas larcund tiV.: -:Elil"tt'nttnunloB,d FJecrl:arurjn'on"fr,ln",",jiir,i,bu,

gye 'Flg

lnc l t

ttraleal delanult i i lor

h, bo) sec-ecl iar idei.

DLO.ii semid[nP

,:Tn- ?6 cu o rezultd a, a' j la intersec{ ia urrrnr , i t- 'SA. Analog pentru celelalte doudltt l ru,- - - ,r iunghiur i leabc gi agy alcdtuiescrnri,ilr,rr'-iajie Desarguesde drepte gi puncte in,riiiirlr 'ri:i:.u urma p. pentru prismi se poatealegeIir ,:.aDti auxiliard

oparalela

oarecare_ i o ' ' ) a muchi i lepr ismei.

'r l l : PROBLEMEDE SECTIUNIPLANE SPE-ffi '41[-EN POLIEDRE. o Seconsideripiramidapmm,,r:ulateriarecareSABCD situati cu baza infimrumrulrizontal de proiecfie. Sd se determineummrcle gi P' ale planului care secfioneazl;iln*i-i:e iramidd dupl un paralelogram.Planul

intersecliilor fefeior cu pianui de secliuneseobline 8 unind n cu o(qi B unind cu in cu ,r .In sfirgit,unind u cu p se obf ne y. Proiec{iilesecl iuni i lnt paralelogramelepy8 gi n'g 'y '8 ' .

2" Se considerflpiramida patrulater[ SABCDcu

baza un trapez situat[ in planul orizontal deproiecfie. Si se determineurmele P Ei P' aleplanului caresecfioneaziaceastipiramidfl dupiun paralelogram.Ca ;i in problemaprecedenti,planul P trebuie sd fie paralel cu planul 0format din dreptele de intersec{ieale feteloropuse ale piramidei luate doui cite doub(fig. 8.50). FefeleSAB ;i SCDse intersecteazd



nptiridei.h ') ,este

rcl ier i lorastdnh.epel lus,liaresintdP.rP.

lF ---- ie sd f ie paralelcu planul Q format delll: '* ' : -: de intersectie a fetelor opuse aleu -r , - jei patrulatere uate doui c i te douiI r : J9). Dreapta de interseclie a fefelor$#*S' i SCD este (sh,s'h'), iar dreapta de;:Tt.:n.I ie felelorSAD gi SBCeste sk,s 'k ') .,ttlt i i .r*:r=oui drepteconcurenten virful S (s, s' )iuru ::nidei determini planul QQ' , unde Qitti lf lfrur::cu k, iar Q'trece prin urma (v, v') anfl"r;r:.,r .aleiirfului S. Se alege un plan PP'iif inir,]:ir :: cuplanul QQ' gi sesec ioneazairamidar ir i : i t p lan. Pr in planul de capit RR' dusiirrllllr:i :i,ichia SA se obfine punctul (a, a'), inrruur*uchia SA intersecteazi planul P (h1v1:r" -:rte SA n a). Aplicind maidepartemetoda

dupd dreapta sk,s 'k ') , ale cirei proiec{ i ipotsi nu fie figurate,deoarece stenecesari

numaiurma orizontali (k, k') a acestei repte,pe undeseduceurma Q paralelS u or izontalaG (g, g') .Aceastd rizontalaG reprezinta nterseclia efe-lor SAD ;i SBC.Se consideriun plan P paralelcu planul Q gi se obline punctul (n, o'), n caremuchia SA intersecteazi planul P. Pentruaceasta e util izeazi planul vertical RR' du sprin muchiaSA. Proiec{iav'h' inti lnegte n cr'pe s'a' . Unind m cu o(, ezult i p, iar paralelelela P prin a;i

Bdau respectiv

$iy, astfel ncit

81 trebuiesd treaci prin n. Celedoudproiec{iiale . secliunii sint paralelogrameleagyS gio '9 'Y '8 ' .

Fig, 8.49 Fig. 8.50

t27

87,TII

il

ilIII

I

I



g.,tlgftl-:,ejpo erlutp gfrasrelu;p o;elrund

i r:L",rdulurelep

Tps

.yorwvurib rsrdvauo sliiNra,i5r"JfJf,iflul3:tr-ryr.l1"1 (,s .s) u1a1e-rI i 9".,:p t).S,:i gl_.1d'p irq, 1,*o;un

y.]:.S..:t1arncuoo1a1da:C(tg.g .Frg)raursrrdalJ lqcnu BI ( ,9 'g) V uJalered

erndAs arr2ap as aJBJ

-qurle rnda ursotol€ur]Jgolorseaere.let,,no^,(,s s)s a19a;iraJo.rdp elubz;.r"'il;;leil;;;

l:]F . ylPU urpelnda 1' pru'sr:dIi (lp',* : nr"lBnlls 'g-tqv rrllqo prifnlnrlno rusJ.rdqdee:p a-liurperjcesralur D ererrrrnrt r".,3",If -

o Is (,p 'p) q pldeerp il iu,,i ' i . j.r"r,,, an ,^,^r:19^*jp_:r1,"_ry,nlicn"elufp;;.i;;"'; Virr'"i-"o s ,poto.^u.rg:::f_A'rj;'p.il#;;Jdrfr?i:;yJ^t-,11?,u u)N l: (,q''.u)r{ n1n1r,fJ'ii -lYld

a1;;icalo.rd_ayiuuelairr.pd-.vwsruao lS9'19'".,pseulltulta gI:1 l,iiuoJ'r'o;i-ar,l;Jdvauoo aurNrqvlfiisuaJfri-

r;:d

*#:ifli'?*':'ff?t":i:.l#,:.,,'ffi51tps^

"

;;1""#t"i,".,*.Jil#:o,f,1tt:,,J pulun autiqo as d slBluoz.tto', i l t rn

rh,D1 h r purunurfqos Fl'luozrown *"i

,lt,;t.,"0"J,.yi,:j''i l J:?,,fl?,,*rtl,Jrl,"*jreursrrcr

atrrqrnu c1a1e:edeldunpui,,:a1apild';;; i-;; l plni, ; j i ; l ; , .1np,rn'oas3,c ;ir:'*,,"r?i:,i:,ir'"i1il3"JTy,i;gT;*i*i

r*:i*5jgt:$-fl1'i1# {:'"j,ii.l:iH":;:Llyytd rp nun-rlul iel-o cefonl,iejirusuo3lylg^,ni1-1d_.l prerliqreariizodo'pdnrolirp.ll^".q

rypseleleru xo ni'ia1e:edlgdec

ap 'leorFan) ratda:p a1e.e1ue1c'arbrdliueldl"^r..y:?l Flreaqa:e111xneiiulli6 :1nlf.,1oo

l:,irJo,.,:8,

:li i il'^'_rrgluep a lcuio

.p

1 po o,t,31u"9+r,'{_i:*q"'"_p_iq}[a;i,:';;l':]fJ""#l;l;hi&13+*##m:+#t"t* . yr1ieq*.*s+*:*yij"se-s.:,,__Et:++tj|l9_sAp*r

e 1xn e ue'id

*l*3i#1ft.qf.i:iH*F#H,ftfiF"?",;**nuolnodNn s

YrdYluo lulNrovllcrsusiNil.e

ag'g 8lc

:_ . l l l ' _._-

8.5.1.DESFA$URITA pRrsMEr. s[ se desfd-Foareo prism[ triunghiulard ABCATBTC,ituat[

cubaza n planulorizontalde proieCfie. rintr-osctrimbare e plan vertical de proiecliese aducepr isma n pozif ie rontalS,afa cum init ial seconsider ldatzi n f igura8.55.Muchii lepr ismeif i ind frontale, e proiecteaz| e planul vert icalde proiec{ie n adevlrata mliinie. Se constru-ie ; tesecfuneanormald o y , a'g 'y ') in pr ismapr in_planul de capat PP', perpendicular emuchii le r ismei.Adevlratamir ime a sec{ iuni i

sa se trpdsausdsesuprapunS.or fiin special desfiquratele risrnelorpiramidelor.

studiategi ale

a

IA



normaleeste ocgpsye;i se obfine printr-o raba-

terea secfiuni ipe planulor izontal e proiecfie.Segmentele opo,Foyo$i yoaodau totodatd inadevdratdmarime15{ imile efelor ateralealepr ismei.Sd se desfaqoare r isma pe planulirontal duspr in muchiaCC1. ransfofmata rindesflqurare sectiunii normale n prismd con-form unei teoreme unoscute steseqmentul edreaptd TrPrdryr ,unde yrgr: yoFo, grcrr

:..90"p 9i o(ryr o(oTo.Pe perpendiculareleildlcate in yr, dr gi 9r pe acest segment se

a;azade o parte gi de cealaltdpor{ iuni ledinmuchii cuprinse ntre sec{iune;i- baz.e. stfel,

Fis.i8 t---1.

-lit t - /

l r ismei,urind htd drep-eceaueaptaDne sintdreapta$.52 -a

r afind.

DAPTAriecfile(d, d')

lo

F

ri, ,piramidd riunghiular[ oblicl SABC,situatl

:.",ubaza n planul orizontal de proiecfie. Sell :.= un punct oarecare E (", ef), pe dreaptam ,i l d ') ; i seducedreaptaA (8, 8') pr in acestrrr .- ,- tgi pr in vir ful S (s,s ') al piramideit ; 3.53).Planul P determinat e aceste ouirLr:r€ cor-lcurente gi A sec{ioneazi iramidarr :r tr iunghiul s I 2, s ' l ' 2 ' ' ) ,ale i iui latur i$ n .i S 2 intersecteaz| ,reaptaD in punctele14 . .n,m') ; i N 1n,n') .

i 1 J. METODA PLANELOR PROIECTANTE.$" sedetermineproiecfiilepunctelorde intersec-'r* dintre o dreapti gi o plramidi patrulaterlr,mlicd, u baza situat[ intr-un plan oarecare.

f - D (d, d') dreapta 9i SABCts f ig . 8.5a).- - - -ul de capdt P' dus pr in dreaptaD sec{ io-r tr : : : i r pirarnida dupd patrulaterul ("9y8,. i : '1 '3 ')ale cirui latur i intersecteazdreaotal i d, d') in puncteleM (*, m') $i N (n, n') .

s -q DESFA$T.iRATEf; POLTEDFE

4. esfdgura n poliedru nseamnd aduce oate,r ::c le ol iedrului I f ie continutentr-unacelagi:

' :r , f i r i ca aceste efe sau por l iuni io fefe

129

"1

i^

.. 89'8,-nlJ

08I



la lFlulza:dar rer aJl:nrq8unrr l l rspF1a;;sur ldunl nr rsernr lsuor g .(19.9 Frg)el[e1o.rI luexeap 'epolauluJp pun pufz1111nrnlnrpqel alu rrq3nr[ eseSo1atapurrFunlarrlrJgrrrryAapB J IJIUJ BrueururJalap oAes BlsBeJEIad 'f,gvs eJef,eJeonJpauJlel lnun u1u;nsap tllnJe pJsurnJlsrxrxl,s RS

.rJnrqFunrriap

' r ii'. zs#ar'I

t*'Yd'

rrlJnJlsuoJ p.aunlsaJJns-Jlurpaunduocas rep-lure:rd e1e.rn6g;sapc glrasqo'ag .alfcarord.'ei

Iu+uozlro nuuyd uI arrrrretup1e:ga.apuJ plepalsa rapruprrd e rqu BIBC O 16

,salarluacnc

a_slJcsapJ r$ ,u,s ezrr ap crac ap :b1a'c:eel f-resJolur Jy eulfqoas ,11$r11su1

j,s1n;1uac c

'rJ,s ezeJ ap ,l :al op InJJBnJ erfces;a1ur1J pp oJeJ ,tq e.zvt p crec ap lncJBelJJSap sg uJ

InJluornc ,1ody .,u

uI lnJlueJ nJ srJcsapqe ezeJap JJaJap InJrBg uga1sau111ug.rec |q,-syzeJ ep JJaJ0p InJJBarJJSap s ,s uI lnJluecnJ 'BeJBJnsFJSapadaJuJ s aJsJnJ VS larqJnurI9_ uorJ qp InuBId ad.ep.rruerld rriolglsap g

_ 11,_r_,,r?.)rlcadsa; IS (Iq,s itqs) eleji,oigap

etlrzoduJ JS ISgS elrrqJnur salorag ;erur:pur

Flerg^epB uI glu_palse ,BlpluorJ pulll ,VSB qrnw' rep ur rrd roJ qrnru .rorn1h1

e1iru 8un'i

:ylrPt PlPrq^apBl oulrurolep sFs pseJau ls aEprrrprrd-ernSe;sepnr luod .(gS.g FIJ)

CSVSlaplurErrde plelubrg erqenilr ,r i, j ,es)"ySol c

:1Y9lIep llqrnur utp uu_n ;6 eriearo.rde[

llryltro 1nue1dg psulrdnc s i;zu{ pugnu'?_qvq r qop.rulnrFun;.r1pFuur;d'ajeoipl

"sep sps 'IeGrwvuldvlvunsvgsgo .a.g.e

u;ern$p;sep.,lseace5f"ti:l?x

"nil'i;H-AIaJnJluod [aJ E.I , e,n:ryi.p nt

^r,e)n:yr$

III

+"1io



:etraedrului.Se ob{ine S'CnBsAsCe,esflgurata;,-:prafeleiaterale a tetraedrului pe planul de::onf F, la care se atlaugd fala niAoCo.Tn*:urele din f igur i le 8.58 gi 8.59 am electuat::nstrucfii le plntru desfdgurata nui trunchi:-' piramiddpatrulaterl rezultatdin seclionarea:-ramidei SABCEcu un plan oarecare at prin

- :meleP gi P'.

a.5.3.APLICATII. 10 Se considerfio prisml

natrulater[ oblici ABCDAIB'C1D1,situatd cuhua in planul orizontal de proiecfie. S[ se

'determinee supralafa acesteiprisme, traseul

iel mai scurt care, tlind de doui ori fiecaremruchientermediar[a suprafefeiaterale,une$terirful A albazei inferioarecu virful Alalbazeimperioare.Se efectueazd schimbarede plan

vertical de proiecfie, prinprisma oarecaren prismlprin proiecfia orizontali(fig. 8.60). Se determindaogoyoloa unei sectiuni

care se transformdfrontald,, uind o1x1

a muchiei AA radevirata mdrime

normale n pr isma

nm desli-l. Pentruadevdratirle etrae-

exemplu,lungimilentd felele

e8r

'ag,gUd nap o:rlulperfrasralur 1 .aprure_ud-q.nop oIJJ lrJnJlna1$aunrer etdea;p l:dIS r lJJnu urJdJnp.eseJBrJrxneJaueldaprur-Brr0Bnop-er lurp

r iJasralur j

, [aJ]sV rrqrnrublsoJeur:d a_ru1lgxnuuu;d pcnp-eses :esacauelsa nrpar,lod+lBIplacnJ n.lparlod rnrln .lo;-rrqJnrrr rlJasJalur Jlued'alellnzal erfcastalurap.elalound un e r$ nrpar lod h nc (Sirrqrnru)pldearp.o ro allnu IBurap BlJesrelur rigglsuorupallod Fnoporllrrpelicasralur piujseul .axal-uoJ uJSerparlodEnop elal mep xeAUoJ lsounIUoJprios lsoJB ri unuror prlos a1$aunuasBzpaJJasJelursaJBJ :parlodBnop oleJBunruoJ

r 'n[ffitfr

It]s

iII

**ilfr

$ail

t



i1] 1oI tqrnu alr l f rar lp t .V Sq g1a1e:ed

i$"il"J,,,"Jjj"1ll, j":;::l't'_nyl:*:::1" ds u+seareJlu,adcordrcat16eusr.rdiltllc ]1sau111uiru^s;:dlaunB.e qonir :erer;?JuI ele lJund al rsg8alnqaJt . ( r ,q ip .Frr)arrun-J-u.r

ld+Junoalrspd arnqeJJ .(gg.g .Frg)aluprlqoareInrqFunr.rlursr:d nop"6ilWi"S gV1 'a;ira.;o.rd p tetuozqo

inu'e1o"'irj;lji"r"

t^.1::: ezeq rorPr ele ,ir11qo e,urirro

,j'Jiil^"jt::{tt"r prsu;n.rlsuors psYNOO IUINICVIiCASUAINI I '96

_unuas ,al le latacad e

r ' ^ ;

rrro ,A r^. . . . j .^_- ^ lzeaJpBJUJ eJ aJBJ BaJeJB

i :,t- '.,_:I ri 51auu1ri"rl,lt t";d" ;fi i;;:{y: ::I:Tl:pzeauoricadre"*are',pr"nn

1lff rrrue.'Jul'i1"u,iiouffi1ffi"sn1n:Jl3ll,T:jid,l:ryI1{,d'raruspdiliq,;*'rj*eiare.reo

"1l'd"r;"pt,#T;;";";ii#;#

";ipf aple_redllrpil'u ur.rd'np Ji'l:n,r,*nn-

ff :l;r;* '? :,1': ll":,:;ili: il;; 5r"

rnnuo;r od ol rnr'I r pl q zr i,l[t"t'Jt:

nnzararfcasralur,p. o1a1cundffitTlefey i rrqrnrurlurp'ariras

ur ap Jolalrund e i,tr lra;a n"rnu,'ri'e1ap

ri a1r1nr'rrrxn*o1eue1d51lH,',1rj:J#"L:arunue $ adela nr led elroduoJ erpa

;1*t^: Il:::j:ly ?' 1 :auab iJ*'iiun r,r

Batrred a.:1So1p uo8ryodllelpler r-er

ia-ter1ur

op uoFllod Inun €llurnu .arirali i lul ap aqru;r1snBS eueld aueoFrlodpnop e efuelirxe' urjOpJVZIJapEre^Jlsa erepun4pduaFep eliras;a1u1'aradn.ruaF ap alsa pr aunds ei eiirosralurop qurlrtrsnes ueld uoFrlod ;n8urs iin_;1uir<ieleztJelleJvcalsa erfcas;a1uruceq .eJfres.leluJap uoFr;odlrunu

,qtiJrls nesueld-uoFijod nirrisJJlsBUBp_rrutllJdol lun arfces:a1urp apundalsarv'rordrca: i nrpar lod1[BIrnlar

'e1i1a;csau

- lJ luJnrper lod nun alrrqcnu e.rec 1'aiaicundBUrrxJatrepEurrrBasur:parlodEnopBlJesJalurV

sUCHt]odc trlf,Jsu3rNt 9'8

'lillEl rrrtTlur)ulur,b,u,ru,?rurruburuu)rn1-n€sBJll l iraloJdriqoes raprrue-rrdalrrqcnurad glerniggsapd ap alcund

alsabeiiufiroO

:1un.+'tNS W'b ,N_ylinzar,taiel pulpj jord

_a1]BdaqBW.g,S ad e-relncrpriadiiOju urppyJ_.npp1e:nsplsapd ry aririqo S.(a9.'BFIr)Ie,S ueurrFu4lnp raptrue.rr'd1e'-i1e.ra1u1

:lt t lr_lyBr .put^rrsqoleplurBrtde p1e.ra1ei

plBJeJdns^r lnJJSUoJ

Jo pnop ap gteo$ggsapg

^Tj^plpaurreluJprolul lqrnur-arrirail.ronopap

elseulrlu s V Inlrundulp prealde;ur eruluJu.rolutq lelugaluiragord ururjjlap'osg .a1iri1o;cep l?luozlJonue1d , ezeqn) plunlls ,'JBVSRlel,nFe.rrelngq8unlrlpruiurd|rapiiuor

"5 "6= :g71rs, 0sQJl?,'9rl$,i',rJoo:i'A;'e Lggvgztu)luJsrrururnesbii-iniiJ5riiliic'ar-ord, 'a^rlJadsa:o111qcnulalern$pgsapj___oiyl."Js:yll"J rrer .+plnpJrntnasprl -a:drn6lgsap

y]il_y1r-roJsuBrl uriqoas ry r$ y a1a15unilplernspJsep

.ed pulun .(tO.a At1) tOOBlqr

-.lurnr puldacu;rausud e e1erj1e1i1i;gerdris4llncasuorra qnapap ereo$ejsaps'1671e1uorJ

*.j"'l-olll,tr_i,ru1n1 1ca:p' '"p]"rr-';jBrB0rrqrnuur:drnp-agEai6xire

{fie10

paralele

1ar ln

rplans-Leu diree::la dusir ipi) . Se

planeleambele

i anume) numescde poli-

;1 le $l a

de nier-

r , .-pr isnre.Planeleauxi l iarePr, P, ; i P, ce-- i i ut i l izate vor f i paralele

cupianui e

* =i determinat.Planele imi t i s int-P1;ipr .

: ,. 1l P1 dus prin muchia A seclioneai|'prii-r, l lNQ. dupa drepteleparalelecu muchii le

' , :- . :ei pr isme,careau urmeleor izontale n 1

2. Aceste drepte intilnesc nuchia A inr --:tele de intersecJie ar, ai) gi (az, ai).: ' ::; iunea aLazt ia; din muchiaA estecuprin-; . : inter iorulpr ismeiMNQ. In modanalog e1.,=:;ninduncielenr,n{)li i;r, illl i" &i"- - : : ia N intersecteazar ismaABC. n sf irgit ,r - - : , ia M intersecteazd e asemenea r isma4 sC n punctele (rn5,nri) gi (m6,mi). Mu-

.e M qi B sint in acest caz concurente.ir

A8 C a 4 6 4 d 3

HNq t m n 2 m /lntersecfo tl tt MA nj m5 dt

Vr bilitale

AA C

,^lNQ

Proiectie oriz

<

-r 0

A8 C

,i

I tltQt-=--lProiecfle

vert

Fis.8.64



rezultate

rnului de

PRISME.re doubI situatercfie.Fiene oblice

le n carel cealaltaalegeunrcecite o,lor celor

- : : i i le C ; i Q nu iau parte la intersec{ ie,

- i i r i afaraplanelor inr i t i P, gi pr.iillservare. lanul P, dus prin muchia N mai'- . ' . ' .oneazArisna Ml\Q dupd o dreapti careir=: rrlra orizontall a intersec ie intre urmap,

,;tura mq. S-anotat acest unctcu o l in iu{d." .;r€fi€o puncte trebuie luate intotdeauna n:: - . ,derarcmai alescind se urmiresteunirea- --- telor rezultatedin intersecfie.

-r';..u punctelor. Pentru unirea puncterorse1,' . , : t i l iza

ifer i temetode, areprei int l f iecare,,r : z caz a caz,avantajele; i dezavantajeleor.l letodamobilului.SepresupuneI un nrobi l

r r:',irge poligonul stririrb de intersec{iedi n,r .,u Ei _cdel este proiectat intotrtreauna e": .e .celor doul pol iedre, pr in proiectante. ' , c le cu nruclr i i lepr ismelorsair care trc t '

' -- . r ' i r fur i le piramidelor. n acestcaz, cele

' - : proiecti i a le mobilului trebuie sa f e- :te_pe urma aceluiagiplan auxi l iar . De

r lr r ,plu, se presupune d mobi lu l estesituat;-r.nctulas. El se proiecteazd espectivpe

: -= in a gi in 2, ambele ro iect i i i ind peurma:i r -:-ilui. r. Dacd mobilul parcurge atura arn,:,i .pa{iu, proiecfile sale parcurg pe baze

"rt,,,; ectiv segmentelea-3 gi 2-n. Deci se:: , i . . pune problema nvers ; i se spuneaga:: i l : : proiecti i le mobilului pe baze sint a-Br i : :spectiv 2-n atunci mobilul in spatiu,irtrr:lrge atura azns a poligonului de inter-

tttr{:-e. ai departe ralionamentul se desfd-riir,,r--.nalog,avind gri i ca sdschimbesensurilelrq licurgerea bazelor ind se ntilnescplanele

l- : i . Pornirea raJionamentului e f ice clelrnri---de, din doud puncte care se corespuncl,l i i i ::8.:du-secelasisensde parcurgere e celel i ,r - ,baze.Pe epirr i ( f ig. 8. fu) , ir ] ionrhentut

pentru unirea punctelorpoate i urmdrit pr inobservareanicilor siige{icare ndica sensuldeparcllrgere.Astfel pe baza abc se urmirescpunctele:a, 4, b , 4, a, 3, 5, 3, a iar pe bazamnq se urrndrescpunctele c^aree corespund:l , - , f f i , n,2n n, f f i , - , 1. In general e obiq-nuiegte sd se includi in tabloul urmitor( f ig. 8.64),at i t studiulpentruunireapunctelorpr in metodamobiluluic i t .s i tudiuldevizibi l i -tate a latur i lor pol igonului de intersec{ ie.IntersecJia steo rupere.Pol igonulstr imb deintersecfie ste ontinuu. n proiec{ ia ert icaldsint viz ibi le latur i le ar-m[; ni-ai-ni gim'r-ai, iar in proieclia orizontali mu-nr-az.

II. Metodadiagramelordesliqunatelor onven-

fionale ale celor dou[ poliedrepermite de ase-urenea rapidi unire a punctelor i un studiuinteresant l v iz ibi i i t i r { i i pol igorrului e inter-secfie ( f ig. 8.65 qi 8.66).Pe acestediagramese constnrie;ie e fapt - schematic intersec-

f ia cclordoui poi iedre, unindu-sen evidenfdpunctelen caremuchii le nui pol iedru nti lnescceldlalt pol iedru gi reciprocsau punctele ncare se intilnesc muchiile celor doua ooliedre(deexemplu,M Ei B). Pentruunireapunctelor

Itertho/

F ig. 8.60

m

n

q

cbdc c' b' o' c'

Fig. 8.65

133



'?]de€rpBlsBaf,B_i;d ca;1 elBzr lr ln arBIIrxneEaueld a1eo1 (Op.g Frg) (,rt ;rt)' ulvluozrrotrruJ.n JE rauslrd ellrqJnur e1 rapriue.trd

1e

Ll '.) S 1n1rglur:d psnp elaJe:ri4'.i1ira1orOp

Fluozlro.lnuuld u elun1lselezeqpugnue.rpar;ollrlaqtuu 'JgVS prllqo R-luyn;qFun;11prruu.ld

: , s NW Rrllqo preln;qFun;r1 rus;.ld arlurpf,llrssJaluJ rsprnrlsuor es ps .votwvuld

onS wsrda aurNto lbasuJi'ivl6.e.8

'g lplacJeJ l lcalordurarfcasralur p rnynuo8r lod'e'FIIqlz l^ pjn1e1nep uellnurs.elrqrzr l o1a{a; r}cas:e1uleunuBf,erueas ulf as ri (lrqrzrlirr-r r$ pqrilrr-ir ncpue;Ferp.adprlpul asaiec)ajp'erloci'pnopolarrolalrJ l l lFl l l tqtz ^ lntpl ls l l lu l r31uarpJ asar lrasrelur p rnlnuoFllodolr ;n1elI l lp l l l lq lz lÎl lpnls nrluad 'f,V S Vg elel unop pure.derpeo elEqpJls naseJl lsaJB aceJBoap qur nJ su

'Fpl ld ap run 1odas nN 'arpar lod'pnopJolacEFl,eg ellJ reunu plBqpJlses,,elpod rue:Ferp

:9, Elnt"lap IaJlsB^ rrac .NW

Is 3y :o1afa;BrlJasJelul tp e;a1Seu r ,euetrrec ,etfcasralugap rnlnuoFr lod pJnleI o pc Brueas'eulfai

wnop rerarlul - a-repunrlpd",l;:$:iii eleluaza'da: elsa Bg.B ernFlguip urnOd

rtl 'a.rpallodFnoprolal elfcas.ralurilrp

a1e1-irza.r olalrund 1epiuaua;rudup iripliunruorrylqul lrunuap 1Jâ1eodolqBllsacy -aicund

l:lylelar n:1uad Fo_1euyeunruocVb fS WO

:.i1i{ "qerareoepIs nJ.pun ernqejf ur rcaq"lrparlodEnop oJale1e faSSealacudaleque

nzllnurs eoseasp8s Es lrnleI-relsore

lilpl-;'naJtrxa J JBSeJaulsa ,aJperlodpnop JoJaJ,q:pJ allr ad aF;autarfcas:a1ui p rninuoFllodtjJnl, ararBoac .wo

ls. v3,gy :o1afa; alr|

--1u ': lnlcund IBI,yC

ISNW,1,96rolefag ui i

"lg^n*_*

lnlcund.nldruaxa aq irpagioit

gnop

/9 8 'Elc

,tu 3u 9s1 94 941 9g

tD-iu 9s Sg

zn Ja tg qA tt,

9ut- Eu tu

e -zr, ZD Zp Zp

9ut-1, rD ,p

'1uAt A l

Ât 7 Al 1 )t ^ AI A

Dl/ ///./ HD gr

y-]??9tuala;.(nr1ed es) a:1e erfirasialurrpy3lsyu e1 alfcasralur p rnlnuoFijod1ri(1rg,r1trruno rerarJFi BruEoslllull .(29.9 FrJ)gur.lolu:1eqns esnd r; eleod elsee5e polJry111

b ai l ,r n l t5r-_

nasierae cei i :

I apz: '

r apar-Ia iu i :

b fa i .f ren: -nultz: :l ieCrr

rc g-.

le ia i r iablouIrezu€. t:

8.70

,,, inrtm'-:rele orizontale ale acestor plane sintffi,,rtim"''=:genten proiecfa k. Pentru unireariluum::=iore poate utiliza metodadiagramelorttLiltt l lT,r,l::rateloronvenfionale ale celor doud

Fig. Fig. 8.73 Fig. 8.74



ata Idcu=

rA$rsecfia

- t i 0mbelemntal

[s,s'urne

di l t r" i

aFia

llrrrrrririir*.:if ig. 8.70 ;i 8.71). Intersecii a este oLIE:.

' I i I : INTERSECTIADINTRE DOUA PIRA-ffi$mE. i se construiascdntersecfiadintre douiffum,nrmideriunghiulare oblice, ale clror bazeltilm(situate ambele in planul orizontal depmnrnrec{ie.ie SABCgi VMNL celedoudpiramidel inru::- iulare bl ice daie (f ig. 8.72). Dreapta

piramide are urma orizontald (k, k'). Planeleauxi l iarecarepot f i ut i l izate rec pr in aceastddreaptS, ar ufmele lor orizontalesint conver-gente n punctul k. Diagramelepentru unireapunctelor i studiul v iz ibi l i tdt i i latur i lor pol i-g.olulq.i e ntersec{ie int urmitoar^elefig. 8.73Ei 8.74): Intersec{ie steo rupere. n efu}a di nfjeura8.75se eprezintd int6rsecfie _ pdtrun-dere intre cele doud piramide.

8.6.4. APLICATII. lo In epuradin figura 8.76s-a construit intersecfiadintre o prism[patrula-terfl verticald MNPR; situatd cu baza n planuloriz_ontal e proiecfie, gi o prismi triunghiulariABC, ale cirei muchii sint fronto-orizontaleEia cdrei bazi esteconfinuti de un plan de profii.

r,',-*\.- J\

( r ig.a.zsIu**".rSV (sv, s'v') care uneEtevirfurile celor doul

135

olil8

I

-IrlB/

IIItl -

'l,JaA ;A

elDl.// ?./z.tA

p/J2e9,relul



F;: "i:ii;:w ,(tsnlii

oeBFr;)

lareolpurnI I - : _ l "', ,'tR'''",l" ,i ,,:'i' :ji'.if;[*u?

*,,u]?11-1,1#,,I "

iLTr-''"'"i6'" '7' ' I

b.:rr;, q;*:xiltif:Ti"#iil Br re^ nes)1 der,,l-.j_ql,l*l

" "Jrun-1i or,1,1PJ

cs EIsBJJB nJlLt ;

[f- yg, 1 ,1 "'i$qliJi'',t#t",',ji,i'#*l

il,1;'#1l,:l;f,X;:',,#:'J;lr"'"'#ysrelurgrnrlsuor _s 1,.g rnFgi ,i,n.,ntijl1 .6

IaJJsp rruarlrorj_n_,*r"ilrn.r.,,,,(tr,fl,ounfl'Jnln-l lqoru

.Epolaur rrlde' ; , o3ro la'1adn;

:.^:]_1"-,lfcas:a1u1

.^-\u e.{U)' u"-rno}Eurnalse t r l lJrsJJJUl

1n1pn1int " lu. l tJ ' ,uurnr lo, "Clr, lriil,i'.;t"i:Jil {,I,: :r^ri::r:{'.' ,u.',\,,'"quorJ peueld :urpxne uJ1,l , ,uri, i l , ] ' "u-r-_-

. , . r. . f lE-S

z-35-68- 9t- 3

+- 67- 9t- 24-57-8

vertkql

Fig.8.80

0rizonts/

8.81

: :atrundere a tetraedruluiVMNR prin tetra-r :.ul SABC.Arubele ol igoanede r itrare i de,i l re) sint plane.



i" Si se construiascd. ntersecfia dintre unkttraedru arecareSABCgi un octaedruEMNPRF:n- 'e re unul din planele diagonaleorizontal.:. determini.punctele n care iecaremuchiea- ,.r i pol iedru, nti lnegte cel i la l t pol iediu'9i ,- ' . . ' - -^^ / l : - o oor-,- i l r -r r. 'r

- :proc (f ig.-8.82).Planul vert ical cu urrnazontald fm secfiffidzh telr'affirul diipd"iril'"'l':zbna fm,i "it ffieazeeli:tffi"i a pe-"fffl

: : ih iu l ( l 2 3, l ' 2 ' 3 ') . Dreapta ' B'- nt i l -r . :Ehiu l l2 3, l ' 2 ' 3 ') . Dreapta ' B ' ' in - : rrrur \r-

u, | 4 o

- - r te f p ' in * ' , iar ' 2 ', iar '2 ' int i lne; teot p' in p' .

ntersec-tBC 9i.Iiecareqelzi.laltse potr t icale)p1anu1

rcneazat23,muchie

rr , Pi) .i sint:ia este

- anul vertical cu urma orizontald,sc seg:

', -neazd, ctaedrul dupd patrulaterul (4 S 6 T,{ 5' .6 ' 7 ' ) . Dreapta ' S ' ' in t i lneEte ,c , n 7, ,, :5 ' 7 ' in t i lnestbot s 'c ' in D '.p ianulver t ica ' l

:"i urma orizontald sb secfioneazd ctaedruir-pa patrulaterul (8 I I0 11, 8 ' g ' l0 ' l l ' ) .

DreaptaB' 10 ' in t i lnegte 'b ' in e ' , iar g' l l ,int i lnegte ot s 'b ' in e' . Planul vert ical cuurmaor izontala n secfioneazietraedrul upi

Fig. 8,83

137

-\

'31.1

t.g

n

iI

il

itil.f

BEI

LJ- tr,L'

,,

Lf trtLp- (

(r ILp- t t / tT / t7 /td

€l- tt 7/ inrt/- t? L? t?

L?

J- z ? 73t? _ ,J t"t

$lj

,d_ I J J Jd

U t.tv

t€)z- s) tl



. i ._rg_^_r

^i: ii ,nsl

:::"Y','i"i'i13'ii:1t1#iip ^l i{ lp rnlnuo;rlode1e

f1eci1:an'Ji1rn1or6rr;apqrzrlelrrnl'-I .oracjnrri aiia n,ijJ*iluj

,o tL | .r . d/11 :,3 ,16 - ,rb lJ

,E : .D:1ulsel f ras:a lu l uID elprrnTrT , . . . , , - , . ^-

t- r:i:i";fiF;i51,?3f J il3i$,'1,i,1;"Jrqrnr.u JpJarl JBJ r alelcuddiuuriri:a1ap e- g.lgp-g ul .,b1pru.rn'1nbiqn1;iliill;od eslrrl asrelulnpnls

"t:_"_d'.i"l*jijo

"jluoan;p:l"llld ltp Inuna.re .ru[ jfar,rwEJi,ri"rlrots^Og-V_rlqo prelnrq8uhrrlft,:d-

"qulprrl-rosrelulrnrlsuor _s,g.g .rn81; ip

"_iJ'u1 .7

' ,?-'b I IJ ,U,| : Trt I -; ' J nc Ud : ri

'1-' 11 ,1,I :.n. I -:-- 6 nc ud .L

'Y- ,Yl ," , . IT ,F ,,8 rr ,q: ldt9-,b I lJ ,e,J : ,d .OI- a nl f l _ .ll tV ,tr ,drJ : ,71 ,91- ,rg nf ,g :

' rd

,g*,+l l , " , { : } . , l l_ , ' , . , ( t

" i

: ln,8-,L nJ ,a,d : p ..6 - D nr D, -

, ;

-rago.rdJ 'r ,,d,l.ol.^Ttl' ?p4uozltofl

::l:::lli;rp,;Ji.

1i'i';#ili'il f ,11,;.1:.1lorg_uJrqz^ .l lln ur .er"o ib-ai.5 ,1cas-ralul (es'gFrr) ?lpyjri 1no1qn1-iJr"r1r1nas.-1aJfc_as:a1urlnrpnls nrluod .1 u; uu ei$au-l{11_sl;gl pt 0 u1_.rdlsduyliui-g;slBl- : : . lg_ 8 , Lt,s ,sJ_18_l{ e 'e 1 1nrj+n1ru1

::i_.F9"p lnrpaerlal,p.ze-auollcii,'11'1"n,u

"pY:lq_,"uI u,I S i 1{ -r,i 'alSariigti-', 'st,zt')i'1ig"^* j;l,l^lsl'yl ,t:'"1sJuj;ii1y1

t/ sla'txtx Ip

7/, a ,

ll A

7

2N/4l ) ,1, , 7l t Al )

^l ^ l ^ ^ l^ / t 11 , l t r Al AuaJ yJs dA/J AlUf ua udJ dNJ lIHJ VA 2g SV

,7 e 'ba-iq(,ii' ini",, T,,ii' ",tii:H#fu,Tl

f ia 12'lreaptaPlanulpa pa-Dreap-I i+ti l-

fieise

Inter-oiecfiarsectieproiec-

fiersec-IBC 9iplanelesec{iei

:^".t1.^dyl-,IIdyp,l,,rn^poligon,..riin care sei : l iTq r'. ' ,sri ' . '2', ' .QieqpTa,2, nti lnegteLtrr_rs rz il I z ureapTa Imuchia 'c ' in a. ' , iar l ' ,2, i int i lnucnla c tn a. ' , ar 1"2,, int i lnestemuchiae 'c ' in p ' . PIanulvert ical u urmaor izonta l ibdrizontaldbdseclioneazioctaedrul II duul I I dupd un poligon din

Ei 1"3 ' . Dreapta '3 ' in t i l -arese ref ne I 'S' s i I ' ,8 ,arese re l lne l 'B 'q i l ' ,8 , . Dreapta ,B, in t i l_ne;te muchia 'b' in y ' , iar 1,,8, ' int i lnesie otar 1"3' int i lneEte otf,b" n S;.--prunrru.lti"rr' ;r;;';i;h;iimp sec{ ioneazdctaedrul dupa un poligondln care se ref ne f 4, t i e,4,. Dreani { ,4,in ._ are se ref ine f 4, qi e,i e '4 ' . Dreapta '4'rrr Ldrc 5c rel t l te l zl 5l e 4. ureaDta l '4 'in t i lne; te muchiam's ' in e, . iar e,4, in t i l_negtem'r ' in g' Planulde nivel H, sec ioneazioctaedrul

{upd un pdtrat din care se refinel-5 Ei -6. Dieapta -S inti lnestemuchia cin pr,,ar l-6 inti lnegtemuchiacd in v. planulde nivel Hi. 'sectioneazd ctaedrul dupd un



8.85).nuchiedru Eie s in t :

r_g't_gl

-D'.-'-6'

-D' -6 ' , .

r i le inmb de- ui ,': .

l

gltr{, dhf carese refine 8-9 ;i Z-tD. Dreap-fi-8-9-intilnegte-inuchia mn in O,*iaF z-iointi lnegte muchia mq in o,. pentru studiulintersec{iei se util izeaz| tabloul urmltor

,/(tjq,

.QAZ). intersecfa este o rupere. Laturile

- ^

yi '^ ibi le in proicc{ ievert icald aie pol igonulu il \ s t r imb .de intersecf ie in t g,_yr ,_} , :_ 0,_

. r -y'-s' , iar in proieclie orizonlaldv-p-g-pl.

f'*'utui

i o"siseconstruiasci.inrerr..fr"l;;;:t*[

* 5dseconstruiascidecfi{intreour [1],-,t151ffi",*":1[fld*""r1t"o?l"?,i[ns:iiffdreABC.DE$i 9MN.PaR,-.pI" u ambele iriungttiui;4 qAnc, u'.a.ui'nureeste onfinutlirtm rn plan diagonll^"1t.::,ll:t..se d9 *e;.,1,r{1"a." uripiun P dat prin urme.paralelaa (0, B,)llitrr;;ls n care iecaremuchie uaul^po1 e[1f u ru[tiii" prismeidusi prin viriul S (s,s, )#_-.i.irx'ft'j.pfil?q.T:i$,rffitf'.:;lifiil,:;iisxfii#ff::,r.J,TJlirftffi,;l'[v- el cu urlna orizontard,?c\secfioneaziiig.s.se).-ui*"1"n; ii:"i; ,l t, ,) arepra-

Frqf iar*lv

cNn tnq sqf 5PN sNn .BC acof0A fA8 tBc vo UA

/A/rl t vl v v v t l( tl r t l , ,1,vlv vl v t,vl t v l i t ' lv I tv t ' l t .l (

a u 4-c

tt plJ-y

. rT r *o

d 6 o 6- pe € € e-tr

v (f? f-rt

u rt tt t- {t , , ,- 6

0 a0 -d

d6 6*x

Fig. 8.87

139

07I

06'BFr i 68'8 EtC

eursr:dJSaulIluIg IS V alrrqcnu eJBruI alelrund '( t0 'A 'Fg) ap aueld rptlrxne

/plLo z./r0



- r lqo asplsere

InleJuI ' ,H lalru ap Inupldedrr'tqoeu1 3gy lnrqFunl:1aleqer as 'BleurJoJop;p Intrsap elsa ev,luozlJo atfralotd ptrspaf,B

-f,)JBoaCalBJUoJJauslrd lazequ )qv.ulurytoz

-t:o utfcato:dep e ro.tau lsa elJund a11ey:o1ec:r .rBUrruJalspJluad' lErpour pl lnza.r9lEJr lJaA esnpozBq ?nop olaralauuld d a;er lrxne lo1au

luorJ 1u1saleu?ld 'O lpdul ap lnuu1dap plnu;iuof, elsoVzuq erpl.u CgV pldearpRleluorl pru;n;qFunr.llpusgrd o 13 arfuarordap l?luozlro lnuu;d ugplunlrs ezvg n":NWCJA gluuoFuluad lerllrc^pusgrdo eJlutp0liobuatrug f,sernJlsuof,s pS ol ,

'aJeclnr elsa erloas:a1u1'06'g IS 69'g a1r-rnFrJl alep 1u1s arfras:a1urInlpnisnr luadalaue:Ferq ppolau arr . lo rr ldealeod as :o1e1cund eJtun Jluad .8g r$ ry trugs

gl lrxr l aleueld @zeq nop olacalaueldor lurparlras.la1ur p eldearp alsa a:eo) 4 uurn edalunlrs '0c ISOur 0u 0ualalounduJ es-npullJas-.ralurele 'l I3 { elalcund ur aluaF;a.tuoJ+u1srola:par lod lrrqJnuuud ti pldza:pelseare ud

.- ; T *'*S* ."rrg.J r,;...ar6\ -"':..{.s--s,{,--bh

:i,-l$T1ti,p_roiectiile.erticaie le dreptelor

oupa care planeleauxiliare secfioneazd rirmufrontald.

_Di agrama pln_try rtu,iiri-i

ni.rsec eiesteurmitoarea (fig.-g.g2).

Bo.S[_se onstruiascdntersecfiadintre o prismi

patrulateri verticatd 9i.o pirhmidn putiuiut.rXlambelepoliedre avind' bazll" situut -in-ptanul

."jirg:jll,tproiecfie..aza rismei itecuprinse

rn Inrenorut bazei piramidei. Fie SABCDpiramida;i^MNpft risma fig.S.9:j.pinctelet1,o )1.(p, ) , (y, f ' ) ; i (8, 8' ) n caremuclr i i lepiramidei ntiln6sc'b1'elerisin.i r.ruiia i,n._diat. Pentru determinarei unctetor'in

"rr.trchii le_prismeinti lnesc"1et"piia_iA"i r"utilizeazh.planeleerticale l, s2, rdii'r+ arr"



--) lo,)

prin acestemuchiisi prin virf i i-p' i ia'midei.L.r",tJu,1.tf9lunct6te.'e_-interiecti.irr, r,l,v, v ), (zt , c ' )Si (p, .p' ) .Unireapuncteloi; i, tudiul

-vizibi l i fat i i ihfersec{iei- 'p; i facedirect. ntersecfia'steo pbtrundere. '

i:\

141

uJn ale 6{ $ I{ piuaF;a,tuoc p alalcund

D IS d'a15ue1il

RzuolJesrelutapturu;td

,p' :o1ac-a1B'I i$ S al lrnlr l^ a1tauna-rec

Iea.rq (gg1'g Ftl) O IS d rolauBldB al lJas

lul ep uldea:p (,n,q 'nq) atC atuJnulJoalup

i6'6 'a1auu1dap-rrilradsar

elnuliuoc luls ez"1

elq '{s nc alelered ulsid - r4 a1e1uoz1:o

eiiiu,rn rBI i,{ u1 eluaFra.tuoe1u1saueldI- t - a

5ln'uwet is ciivs aruln;q8un1r1plure.rlde4ulp ulirosralu; EJsuln4suores RS ol I

'Ip-g -e-l.-

rl-r eleiuozuo etfcato:d u1 :e1 l9-I" . ,S

luarufjt'alIqIzrAu;.' p1nr11ra.tfca1o-rd-u1rdnr o alsa alfeas.ra+uI(66'B lS 86'B dli)

grurnuls rarlcas:a1urnlpnlsn;1ued lau



ace a1e alectl ia,t alaluJn 'eJEII IXnBalaueldr+ caJl ea utrd t$ e1e1uoz1.to e+sePldeerp

grsndcy(zO'g Ftl)'e1{calordep IecItrral nue1d[l

"D-ula1$eu1g1ularustrd lllqrnulBI aplq

iilo'ie i,s's)g-ini: ^ ulrd pdnp 1a1e-re6a;f

-ralordep utrlpe^ nuu;dep91nu1|u_orlsePzuqprlc u 'itigv gtnluoz;iopialuln4udqruslrdo 1shrfre;o.rdep luluozlro 1nuu1d l Elunlls elsa

66'8 'BIJ

lez J./a/f

86'8 Ft C

,s ,l

gzBq lerpr ? 'NWOJ:I5 pluuoFeluadppluur;d

o erlulp u;irasrelug Pr$ln4suor es FS o0l

o olsarfcasralulnui;'ilfSTlriiity[,Hi-euJn 1u1s arfcasJelulnlpnls nrlued alaure;F

-BIC[ ,,1 a rt q eleleund u1 aluaF:a,tuoc_u1sa1e:aie1-$ aleluozrro Jol alauJn rel 'p1dea:pelsBeJB trd ea.t1 +tsoloJ JoAaJEJeJBIIIxnB

r laupld '( tO'gL'3t l), ,mip1e;a1e1IIIrn eI q PIEI

-uozlro ErIrJn JBeprilitrd$gnop Jolar a1e 16S alIrnJrIA e1$eune:ec uldeerq _'e;foelordep

1uludz;rb * luraleJalauuldap rllradsar alnulfuor

iuls azuq roraf, elu ONWI lS Cgvsf,ep;tuur;d?nop e4ulp u;fresrelul ?f,suln4suof,es PS o6

teluoz r096'8 3rC

lPlu0zlr0



Fig. 8.100oiecfe,

, a c[rei ?roiec-al plra-r (k; k' )Aceasti

ec toatel acestolnele lorDiagra-

Etoareiefuper€

Jmentel*t. a-p-

be douirle c6ra:Pgi Qde inte:-Dreap:,ror do;,li Qi , " | iurmel;n

; ; ,-=-or uxi l iarepe P gi Q. Totodai i urmele: i- :_or auxi l iare Ri pe planelep Ei e s int::t ,--:ente n punctele 8r, 8s, 8, Ei Dasituater ' ,1,: :eapta v. Planele imitd sint R1 fi Rs.lr l .r - - l Rr nu este uti l . Diagramele^entrum:L:1 intersecfiei int urmltoarele f ig. '8.101r, ' ;. 8.102). Intersec{ia este o pdt}undererr:I[::i iaie.

l2o Sd se construiasci intersectia dintre douiprisme_riunghiulare oblice Emf,t gi ABC alecdror

baze sint situate respectivpe planele pgi Q date prin urme. Proiectia oriiontali adreptei de intersecfie intre celedoud olane p

$i ,Q este_hv f ig . 8.103).Se considerd unctularbitrar. (s, sl) prin carese ducecite o pars-

le. lna direcfi i le muchii lorcelor doud pr isme.

Planul RR' astfel determinateste parllel cumuchiileambelorprismegi se intersecteazi uplanele

f ; i 0 dupadreptele lecdrorproiec{ i iorizontale int h1v1,sihrv2.planeleauxiliare l,carevor f i ut i l izate sint paralele u planul R,iar urmele1or pe planelep

;i e sinl paralelecu direcli i le hrvr, h2, vs ;i concurente npr-rnctele 1, 82, ,)ugi 8nsituate pe dreaptahv .ulagramete pentru studiul intersectiei s intur ,matoarelef ig. 8.10a 9i B.l0b). lntersecl iaesteo pitrunderedublu tangen{ iala.

Itenlica/

Fig. 8.102

tr'2,'J'

143

vvl

90i 'B 8tc t0t '8 8tJ

lellllaA lepoz ,ro

l

j

tI

Ifl

fiIIil

{III

3unr:1-pdnp

eprure.rrd uzeauorfras alEJ ,tWWnur ulrd snp lpJrl lol rnlnueld Jn:o1nfen3 .lgVS

Jdtu,rs p lrurJap leuotsuaurptrl lnrfeds,sns reur

plsuoJ IBuorsueu'trpullolnrfeds u1,BzBalcasralur

9114116nuu1d :er pdnp eldee:p 1"g1rn1r" a:er ,r1111y

0qlnu ad alPnlrs Se:arurloc1u1s lcund ra:1alSate r 1 613r1,q14nue.1dJ unruoJlcund un,arecel3 e y35 rS3ggIYS 3[auBld BJ rJrB ap Fllnzou

.1cund un-.r1u zealmsralur s_'lEuorsuourrprl lr feds I6plnlaruulf :ede numr aloueld runrsuaullp rled nc nlfeds un-;1ug pr arlS

'NrNrwrd lnxoldrurs p .nldrrraxaop .trEururalaprJaJ 'lBuorsuaurpr:1 rleds 1[e un-lluJ alun]rs luJS

t lnpundurluore:erNdrNrd SWdrwrdalauBldC6VS,u,?, i ,autaalr

Is ap lBurruJeap,IBuotsuaurprJJnrfeds rs\e1

Jsu_aturplr lnrfeds ug asur.rdnrlugs 5 lnlrund ur p,rrfrpuor .(SOt.g .t l l)

uJ lenllsalsa ,I4lnlcund n;1uad .Ior:a1xa INIWNW

d 'Bauauoseo(I .CSVSlnxaldurrs ap lBururalap

-un^dsaroroleurFr:o a1r:n8r; pJpp .aluuorsuaurrpe;1a1

IrnFlJJaunalaluaprJul

-. leroua8

1 .elurzardarelelduocur

rurEBun elsareur | :edB aJEr rolaueld olp 16:o1e1da:p



arpJ alrrqrnru otrsarB Idruocur oJlsuou rrurBeur ezeq rdoqes rS runrsuorurp

:zd nr nrfeds rnun lnxaldrulsdOgVS alC 'I I ,VWpllln

alqJnu elseare reruJol pursolog :parlod Bnop alaJrrp erfras:a1u Jnrlsuor eleod ag .o1 r$ u1 luJs ptrrurolaueld oJp alpluozrlo alatuln .arfrastaluruI FII In

nu orqrnu ulseaJs ,u1e:auoFBpolorupdn6 .uprru

alaluoprrul ' leuorsuaulrpr lodnlnr tedsa1earuelqo:de:rraunu. ep_'elaldurotul .rndo d .1e:auaFuI .olellozor rJlod orlrzod_opelauralqo:d 1de;

lnlsace pil:oiec .p1a1d

-uloJul sur;elul o olso o8uolg a.rndalaUn e (p1ecl1:eir)gluluozrrouylrelo:d 'prrr : lodrurq'elaldruot ur8erul1u1sa8uolge1a:ndg'olpuotsuaurprlodoJaluoruole1e ur8eurrEJ rBurnu :ep 'elayduoc alp:aprsuol ri 1od alaldruor-ur alruldBlur_'urqnla^la3C'N ap pleilo^zap ,aleJduroc

-ur nBs olalduror :olrurFerur rr:oa1 udnq .AUO:II 'IOd

3(I rljc:tsxsrNtqNt^ruduo'taund:r v-rvNo"rsN:rwranodAt.rdrus:rc SdvJ:ruduarNr'9'9'B

+:id gzealras:alur u r611ryerqrnu.r reJ ut (SOt.g FlluuBId.o ls grusltdo orlutp erftes:a1ur rc .Isuolsualu'lrrJl nrlBds tSBIaJe n-Jlu3 asur.IdnrluIS nu aJeolyz

s0 8 'Bu

Rro,e-

I t lrury,' l 'g'), se pot determina mediat punctele u, u');ililltrtrr 5i (w, w'), irt r:are muchia Mitl, inters6ctcaiimeriL"lr: ivlanele elelol Sl\8, SBCEi SCA, Prirr aceastdlrullmsr:ie,pura Monge considerath devine completd gii imr: ine o intersec{ie e t ip pdtrundere ntre celedoudtttrr lr[p::e.stfel, unind u cu r rezult{ a1g' iar unind uutm :: ob{ine arpn. P^uncteler gi y9 se ob{in unind vven-"iv cu p, gi Qr. In cazul unei intersec{ii de tip ru-ttturml:,

afionamentul este acelagi, ;i punctele v:

ps,w = .1 devin puncte ale intersect iei f ig. 8.107). Inurlrrr.-ziee vede cum poate i redusb ntersecliadintrenur' : loud poliedre la determinareapunctelor (u, u'),lltlttq I si (w, w'), in care o muchie a unui poliedru -rrllrmi';::.abilleasi - intersecteazd planele fetelor ce-ll lLLul:poliedru. In acestecazuri, unirea punctelor re -,lrtirtirf:i:ein intersec{iese face fdri dificultate gi firb pro-ilMn*:speclale.

r&7" ROBLEMEROPUSE



r f iu t r id i-r piramid,leazd pira-

ie nu esierlanelor i-cfla dintrenuchie ne-

u cu patru

incompleie

be pornesc

imensionalea, planu.uat in ace.' simplexu,punctulP,

l, ce poatt

/t11N1N.S"

tlanelecar.ie intersec-rnele SAB.ml PrMrPlfllpe muchi;ul PrMrPll

considera:siinplexu-

rin. muchiitr iunghii,

' :onsiderdurmele P 9i P' ale unui plarr de capitt t t tr.r:eesteagezat n cub de muchie I dat i. Sd se deter-nt tu. r*roiec{ i i le cubului .,:lll '; .e construiascdoctaedrul regulat ciruia i se cunoscutr r. : : :i dreaptape careestesituat i una din diagonale.l i l i l ' : se construiasciiproiecf i i le unui cub, cunoscindil(, ,q',1alaB gi gt i ind cd planul vert ical dus prin aceastzi, t l t ts-.ald este un platr de simetrie al cubului.*l it considerdproiec{i i le orizontale ale celor patru

Lru:::[ ale unui tetraedruABCD gi trei plane conlinitdlru,, :*: i ivcele trei virfuri A, B Si C. Sd se determineil i lrrr;1-- ', vert icald a tetraedrului, si i ind cd rnuchia CDr$ifrrrr ipendiculard pe muchia AB.

iliill se construiasci proiec{iile unui tetraedru SABC,.:rur: : iunghic in virful S, cunoscindproiec i i l e punc-r* L A, B gi C. Sd se sec{ioneze cest tetraedru prirti lrr -. 'ned'ator al punctelor A qi C. Sir se detcrminc] l i l f i :: : r a mdrirne a sec] i i lni i.

l1i r .onsiderddreapta (ab, a'b') gi punctul C (c, c'),riLriliirrl:.--icit riunghiul ABC si fie echilateral. Si se con-ttr-.LL.. lractaedrul egulat care are fe{ele ateraleegaleurL i:3i tr iunghi gi sd se sec{ioneze ctaedrul printr-unli l lr lr ir.rpendicular pe al doilea bisector,dus prin cen-.rn:-[[ ieedrului.I' i; .r construiasci proiec{iile unei prisme hexagonaler&nrfr:i de inil{ime l, cunoscind plarrul (perpendicularrttrLi .:,:ilea plan bisector), centrul gi unul din virfurilerlrilurirr A se giseasci punctele de intersec{ie dintre

lli:r,;. Prismd gi fronto-orizontala dusd prin centrul

{lll'-l: --rnosc un virf gi dreapta care poarti una dinlrll,,.tuq:r--:ielenui cub. Sd se construiascd proiectiileLriluLLir;ri-;;i sd se sec{ionezeacest cub prilti-un flanllurun,s-: iculare primul plan bisector,dus prin centrulrunlLiLr..-i. Sd se giseasci adevdrata mirime a sec{iunii.llllll '* ::nsideri un plan P perpendicular pe planul ver-:;llfi.iirL: proiec{ie si care face unghiul de 45' cu planulilmill &r:::1.n cerc situat ln acestplan este angent ceiorl if lr i lrr ir-: :re ale planului qi centrul sdu are cota l,

Fig.8.106

Fig.8.107

45



?rpilpdap tsBaorpSglor lseaarB e (,^ '^) A lS (,s ,s)S

llpnlr lAorBralB sariJaroldap Ieluozlro nuBIdul alBnlrsmls oN-W Is CSV azeq rotg) alp orrlqo arBlntqSunulryluPlld Bnop arlurp erlJasralutuJsErnllsuoJ s RS og l

( 'raplurBrfdnqa azuld alaqruB e:aprsuor e5) 'lnlnrpaplro In.tluoril$sa JJJA oral IB aJEJaJEo :e1e1n:1udupruurrd o 16firrluozrJo teuo8elp olaueld ulp Inun oJB aJBJ lBInFalmrrrpoelcon aJlurp pllcosJalur etserntlsuor as gS .61

' nlnralBlnrlBd roJaleuo8?lpm arfcas;a1urap ynlrund ulld aJotl grleluozrro erfcar

-o. ld arer B Bleluozlro-o1uo.r1d aleza$elugs apruurrdmnop olal a1u ; rS S olunJrIA 'orlJotold ap leluozlrollxuslouI lPn]rs Jo]elnJlpdun Runruo)ezeg eJ nE arEJ;lDrruBrrdFnop aJlurp erlJasJatruJf,sBlnJlsuoJs ps .l l

'a:parlod Enop rolar .u1e:nSg;sep6a.rparlod nop lolorunr[or lnlnpryos alrrfcaro.rd9JSE nJlsuo) s.BS 'rnlnq-nJ B Blarl l la,r eleuo8erplrrap olpu Jpru Jo pnop apalsa auJrl[euJ aler B 'atre1n8a: prure:1d aun uzvq olso

rnlnqnJ e eleluozrroetlJarord alfraro:ddp lpluozrlo Inu-EId ul lenlrs Ir j^ un rSgyucrl:a aleuoFslpulp ?un arearEc .l elnf,sounJ orqJnru ap qnJ un pJoplsuoJaS o0l

.yg nr qleFaalsa lnF ^ y lp.ql l toqo; ut rur i lgul nps ncolf ru, r i y5ao rEInrrpuooJa0 BJd un-t lu l ld 3gy5 eleJnnarpptru-Brd uI auuld lrrrnt lJasali l irarord aurulelap as pS (t

d Euln rS c:or c:1urp lJpluoJ apInlrund Olsav InFIA er purr13 Jraf,

lsoru u sllrsuJcB VIEraleltqra nlnlqFunr:1alrrfrerord etsBrnJlsuoJ s FS (A'Jrol rnlsaJpeye rrioaro:d Enop aJaJecseaseB s FS (l

ud piramicrrt in plar. :rl celor do:la. czireipr: .ntersec{ie l

un octaednle orizontadli virf es;e-

pinze a, *

ra piramii :MNQ sir- l

Eror virfu:-i depiltare rolul lX

E CONTCE r CTLTNDR|CE

MEPREZENTARE.LANETANGENTE.pr in punctulA, sint tangentele t ;i ht1, duse



Th0RMALE9t TANGENTE OMUNE

i MEPREZENTARE.ONTURPARENT.- - . td conicdde ordinul doi are ca vir f

' lliltttirl :r::arecare din spatiu, iar ca directoarer i . Deoarece r ice con de ordinul doi

I -ou5 direc{ i i de sec{ iunicirculare, e:,ege pentru aceasti suprafatd intot-

i i -n cerc adirectoare. roiec{ i i le ir fului,ltt l l*.lrbei directoaresint suficiente oentnrrufll l l l l ::areaescriptivl a un ui con de ordinulriilit,rira. Se numesc contururi aparente ale

Ln egiuni le in planele e proiec ie imi-dt rireptegi curbe, n interiorul cdrorase

:.za toate punctele suprafefei.Se deo-;nntururile aparente orizonlal, vertical

l l ihm*::i.a fel ca ;i in cazul poliedrelor.

":ementeimin valabi leqi pentru epre-

:: suprafelelorci l indr ice, consider ind::nului aruncat a inf ini t . Dacd se con-:roiecfia orizontall, m a unui pul-lct

:e suprafa{a nui con sau ci l indru, vor- :de doud proiecti ivert icalem' gi mi ,:e doudgeneratoareistinctegi reciproc.

J PLANE TANGENTEDUSE INTR-UNPE SUPRAFATA AU PRINTR.UN

EXTERIOR. rinpunctulA (a,a') dat,ffi dilci un plan tangent la un con definit

r,iu-ful iu S (s, s') Ei prin directoareasa,,uurc uprins n planul orizontal de proiec{ie.

ftim.') urma orizontald a dreptei SAI l t . Urmeleor izontalcP gi P1 ale celor:.ane tangenteconului, care pot fi duse

la directoare in ounctulh. Pentruurmei vert icale

-P'se uti l izeazh

(aV,a"k').

construcliaor izontala

9. ' I ,3. PLANE TANGENTEPARALELE CU ODIR€CTIE DATA. Sl se construiasclplaneletangente a un con, a clrui directoareesteuncerc situat in planul orizontal de proiecfie,paralelecu o direcfie A (8, 8') dat[. Se con-

siderd paralelaAr (8r, 8'1) dusi pr in vir fulS (s,s ') al conului la direcl ia A (8, 8' )( f ig. 9.2) . Urmeleor izontaleP1qi Pe ale celordoul plane tangente se ob{in construind ht,

Fre(el

747

.d

i , q 'g)^a,lJ S rnlnJpul lr_)olaJBolBlauaF. l .BI IF 'rE) D BIalBrBd,e ,e')y lnlcuncljtsarnJtrsuo3aS :xo nc r lnrqFun FteJ ps,l

IaJlsEuo) rnlsor' r" ;i;l;;rj ;l;l;1; j J l lu tp eun (,4,u , )LB)alJ .ar icaroid a1l- ro 1nue1d.nr" inrq i iun b1 a.,eoleraucbiJB s lJund IsJJB r InJJIA Jp _rut 1dalp

:ir lnuoc^e1$arnJlsuoJs S ,u u; y:er irqre: un eFale aS '(g 6 FII) ar lr j ro:d

'ap

,ro Inupld uJ^trpl:lils J3J un alsa aleol: rn.rr re 15

(,F ,F)3 er ioa"lpnc a1a1n:er l

;-zolereuaFnJpJ lB InJplrr lrJ .raplsuorg

B}I

.}aual$ lara aluaFuul ueJclnop

:iiiii ,ii5i.iJiffi1[,'J1;',i',"J,';i'j

:t j t i i?rl l nr ;e1e.redd inuElj LrriuLaiaps s( ,? 'E)V rer lrqre l t r rnd un aFele 5 (t 6.FI j )

lTI" j ly] l l : _:o1a;no1e:auoFrf a. i lp { ,.a ,Ft '9

: lJ 'nrpur lrJ nr lLrJd.,r tt t ,n purun eu1iq6

B,\as Id t?ierrga Eiur f l .ry 'raidarpB (,r l ' , r l )

r?lBl lrozrJoLUJn rrpaJBolJarrp J asnp q,l iS

t ; . r ; .FI ,Jr nrpelp gqfiun un a;iee;o.rdap luluozl.ri

nlRteJ

us eJsJ ,n.lpurJgr

un ug luaFuulun utnou sJSElnJlsuoJ s ?S .arinlos o



-?s BUn pnop ,raJtr n:1eda1 upe aleod,DJd aJBolJaJtp

RnopJola l osnp 111oda:e. rt --, raloluaFilel luJS eluaFuel auelc[ rolsare: 'EJLro_zrJoJI0uJn . lJnLroJ

J?l lop . lo lsaf ,u- '

lLraduBi nuBldalsJ l l? lnBJ ua8ur l InrrBId-r r lnrqFun aJBJ,p,s apun , ( ,e,s ius; a1s:ar lsal ls alE alBluoJJ lareolEJauaF.r lulprr lJoroJd p IBluozrJo nueld r r lnrr l8un

-:o1e:aua8nJFJ le r$ (,s ,s)

S JjJx sela;e, :Jp JB.[nJJrJTnrro] JaprsuoJaq .rnJnuoJ

.{ /s s)S BJilJrrasn_ol) l . .J ( t6

.ErJ)Jr i-1 ap leluozr. ionue1d r1ler i i r r . ' . l , ior' r i 1r :, ;rJBJJEo:lJaJlpr aundnsa.rdg l?p r nrperpun alfralo.ld p luluozlro1nue1drr qrr;rus'uoJ un u1 ;uaFuu; uu;d un ptsulnllsuol. IVO

ITTONN N ]VINOZIUO'INNV'Id]VJ AUVS AIN3CNVI ANV"Id }

I 6

6 6 ''31:1

n;

rD

,o

:.- \, l '6 dir l \

Kl

I : i9 .9.7



I

I

tI

I

FAC)AT. Si : . i q acestei. repte. Cele doua plane

con,ie un

cuprinse_^respectiv-n celedoui'plane de proiec-f ie . Fie S (s,s ') v ir lul conului f ie . 9.6i.

planul

tangent a ci l indru {qs pl in punctu l A (a, a,)are urmeleP si p' . planul tairgent a con.clui

. f . ynctll'A,(a,u'j gi" ,ii'"i.

'bEi a'.

r angentacautata cste. reaptade inter .sec j ie(og,

.'9'.) d $g.9. eJecloua plane p ;i aj Sa*"'corisfder*'-uyftTliiidt'ij'obt'fq"-a:cefii '.curb.adirrec_toare este un cerc situat in planul orizontal

de proiec{ ie.Un alt c i l inclruare generatoareleparalele u o direcl ieA t D, D,) . a"rdirectoareasa esteLlncerc I cu centrul in (co,<,1,), ituattot in planulor izontal e proiecfe. 'Sd s;

deter-mine aza R a acestuiceri f , astfel incit sa sepoati-duce n plan tangent omun a celedouisuprate{ei l indr icedate.planul tangentcomunt19.bu1ea_ie paralel cl generatoarElembilorcr l lndr i ( l ig 9.7) . Se alegeun punct arbitrar/y l m, m ) $l seconstruiestelanul pp, paralelcu generatoarelernbi lorci l indr i . Fie T urmao1.izontald planului tangent ci l indrului cudlrectoarea . Ca problema si f e posibi latrebuie adirectoarea si f e angenta rmeiT.Rezulti R : cob.

9. 6= PLANE TANGENTE PARALELE LAPp11AUnRAFETEoNrcE ruflr,,rnnlce.l" 5a se ducd a doul suprafefe ilindrice doul

plane angente aralele. e presupunea direc_toarele elordoi c i l indr i s ir i t s i tuate n p lanulor izontalde proiec{ ie i ig . g.g) . Trebuiesa seconstrurascaite un plan tangent iecirui c i l in-dru, paralelcu genefatoarelelelui lal t i l indru.Fie RR' plqlgf paralel cu direc{ i i1"g.n..u-toarelor atrrbi lor ci i indr i . Se obtin planeletangente aralele p, l i ee,.

:- -=P si Q duse a conpr in aceastd r iaoier r :" ield cu G, fac unghiul a cu planulr.l de proiecfe. plfnele tung",it"

-i ,

-- cdutate_sint. lanele angen-terpi,QtQi.11 qQ;,

'paralelerFrp*.1tu' -*

= P qi Q. Se obsen'd zrplanuluipp': .a con i corespundoui planeparalele:= la c i l indru. Problemaadmitb patruDaci h estepe ccrculd.e azaak, existd

- : - r t i i . Dacah este nter ior acestui erc,

I de p''r

r dre;:ratoar;

ce-ituir l rc;

;entccoqtae*e co:

'Probr

a sau

lhu ratOarrhrui i

n:lc i ri a lelor iz

lel car ieste

:a nu admitenic i o solut ie.

5 TANGENTE$I PLANE TANGENTECO.tr LA DOUASUPRAFETEONTCEr

DRICE.Printr-unpunct A (u, ui\ $ ;;

I qlgeltd comuni la o suprafaficoniciangentacomund la o suprafati conicicilindricd, avind curbele lordirectoare

or\

Fig. 9.6

r49'

]|-o8uBluPJd lsec^e J_(,p = ,l,s

,p = ls)p:^1lr_n?rugleraua8p E nr plaieied nlnubclJ€rlpeJd ylryAuel 'aleluozrrolugsarec]-ulllr ,le (,F ,F) elereo+BrauaFc 1'a1e.led-"-l_TFuul. 1nue1dJlul rpru alsartiifiuo,,l:11_pt ldea"Ip

lsoolep afale.rdnsnopFu-n_rlor:elncrpuadrad iseacy .areoi

1p.nop olsare punruorerelncipuedrad

f.::. ISJ"yluor ep.alerBoleJeua8uiru_ra1ap

.II.l 6-;lJ) afa;e.rdnsnoprolar .rilcadiar

uel- alaleJedaueld Bnop JSatnJlsuoJq

fwtp IPrllJe^ ;nuu;d u lsnlts

.(,o ,())) ep rJef, un uerpolreJlp nf, piuozfi6

llc SuoJ InlseJ? unruoJgaluru.rouin ieuluJalap

9s pS 'arfcaro.rdap Jeluoziio

Tl le]rlts(,1

'l) nrlual ap 1n3_racisa-l

llifc e r$ (,s ,s)5. 1n;rg.t r lnrior)-es

09r

n f{"{:i:.d. J-r._"1 eldee.rquor llelnler IB :l-l.l.lilr* uI InirJ^-nrpFunfe s lsciig egisersnsuJIo nr lelprpd_yg"nrurrdpltodsue.rlg(91 0{)e}se rnuorpnop oyaj all:hp;n-e}saun

:jl"^.1?1q"jq_

vv.+uozrno,''ur11(o1o'au)

erlJaroJdp EluozrJo^1nue1dg lenlrs' iuJsJeol-?erlporProlB rnuoJ nop olerapjnli1,r1,11j

ls- ,. ,s)S etC an1u1,ud.a;ubFuui'rfiiAftoi;erruor afalerdnspnoppl lrSrjls,rg prnp jr gs .g.rnlnrpur lr f ,

luaFuelpippoloi

:l:.?-.isg_rnufrdJ ileirio'.tin uJ ,6,alnuBId oqBalSaln:1suorg .1h1n:pu111r

alEe:eoleraua8lsaf,B r 1a1e:edrirlirudcluaFuil

,66 1nue1dtrsa1n.r1suors1$,lninjp1rtlr'n1"rno1

::l1"rl_

n.t, ,q,._, s) e1a :'eO'lcuriO'iiire ur:O:-t l l_15, '(6'6 FIJ)t: l l , rrr 1njr3n ,s r)s-diJa;elu.rudlueFuuluu



'actu(INr.IICIs ACTNOf,IeJYnoqY'IVNnwoorvwuorvz'io

N oa'rele:luecnJ JolaJeolJoJrpsnp r3 1od::d- ruor

or ro1a1eFrie1 Inrprunu p'" p,i .i.pI9s_nrprrrng piur;nin nc punuralap 'sel supJdFnop oJeJ lBalecrlJe,,rlarurn-" :+ i " "y

€i lup ruldJ alB alBJr lJeAA[euJn

: l__.u l ) IS (,q,s- ,qs) , t r lcadser Jurs i ;nudc

'

rlocBIa1e1er?dfrieFurilueta n"opi;;;" 111:111 ,"p atarBolBrauagb4 166 1bJ1se1i. -"j:"g

"_ta;u-eeu'e 9n"o ."o ii ;t ; ; ;; i

;d.pnopcjriru1 r pi;prd;;o u; ;s prtuof, giulurdrisb

^"ipJip il-,gs .a

\-{

I

;>.{

k

\)

I In rabatere, pe planul orizonl"al e proiectie,aceastd eneratoare conului suplimentarestessmperpendiculardes6l. Punctul m, m') este

Fig.9.12



It se deun prma orizoual le or i

naleleact dir:rceletm, t'9tasoluf;

ne Pstuo gi

lconsl

direcin plnei l inde

tangr9.1t).isedige

ndutata.It lai l indru|rectoaleconrgent.

i l i le:.:nrindrontala (sa,s'a') ;i se duce tan-qmria ' paraleld u s 'a ' 1adirectoareai l indru-ill,utRezultd (b, b') Ei generatoarea e contact.L ;. 8 ') a planului angent aci l indru,paralelru. :lanul tangent la con. Sd se construiascd

inlrJ:"t perpendiculara comund dintre genera-lm-r--elee contact D Qi A. Direc{ia sa estep,e-endiculard e unul din planele tangente,i i lnri ld5, pe planul (sat, 'a ' t ' ) . Seducdin (s,s ' )pm;endicularele n ;i s'n' respectiv pe ori-;mnlalap $i pe frontala s'a' ale acestui plannmr-.,{ent.ntersectind planul (snt,s'n't') culurterta A (8, 8') (cu ajutorul planului dem -- iH'care di 1, 2) , seobfinepunctul k, k ') .Wn--alelaa SN dusd prin acest punct este

iihr" 'r ') Ei reprezinti proiecliile normalei co-,nmu::edutate.Ca verifibare, ;i r' trebuie sit i j* i tuate pe aceea;i inie de ordine.

$ , 8. CON SUPLIMENTARUNUI CON DAT.F Se consideri conul cu virful S (s, s') gi amirui directoareesteun cerc cu centrul (., ,' )dhuat in planul orizontal de proiecfie. Si seumr"rstruiasclrin puncte urma orizontal[ airmnului siu suplimentar. Se presupune cd,,rrriulS (s, s') al conului dat este situat pe

pl :" lui vert ical de proiecl ie ( f ig. 9.12). Fieur* s'a') una dintre generatoarele onului in

'ur.:ulcdreiaseconstruieEte lanul PP' tangentri,fion. Generatoareaorespunzdtoare conuluirzuriimentar ste perpendiculard e acestplanlmnr.genta con ;i se proiecteazdorizontal pelur-ade cea mai marepantd sl a acestuiplan.

un punct al urmei orizontalea conului supli-nentar. Locul geometrical punctelor (m, m' )este o conicd. Proiec{ia orizontall a tangenteiin m la aceasti conicdeste mt perpendiculardpe sa .

2o Cunoscind na din proiecfiile unui punct ceapar{ine conului suplimentar unui con dat, sdse determinecealalti proiecfiea punctului qi sIse construiascl urmele P qi P' ale planuluitangent, n acest unct.Fie S (s, s') virful unuicon a cdrui directoareeste un cerc cu centrul( . , . ' ) , s i tuat n planul or izonialde proiectie(fig. 9.13). Fie de asemenea proiec{iaorizon-tal i a unui punctce apar{ ine onuluisupl imen-tar conului dat . Generatoareaonului supl i-

,1-*

;"r\

Fig.9.1I

15 1

z9T

.pJoqJedftlo else aunrlJas

eqJn) 'truelsuoJ-

rJW _ JW naq .e:a1s

)rre El lcund rsplareu1p esn-p iue5ue| errCW rW :jW --- ,W :paua{uaspC'luPlsuor: r3 : Qfl uv

.ln1"r3? s'aunrfras

_ap aqrnr irlnuulills .{ ug nrlc-adse; luaFuetr ro tS o irrtur"

:pl3{:,'F:.y}9lererJ 1 uocusnr.rcsujg*:g^;F,rl?,uI9]',"tniudp.n raI t;; ;;:""1: i iF,:l l

rSaunrfoas p pqrnr ed'ap a:eca:eolJUnd U/ aIJ 'uo) t l t t : rrrnnrrr l rrr rrr, -, {^

'F11).unlicas p raqrnc nlnueldg u1e1 rSuoc uJ BsTJJSuJInJluaf,n ?-rarivu ur 6srrJsul (, lnJlual nJ Blals

suoJoS .uoJ u acl;oqerednunliees ;nz{;

W alC .uo) u ar1;oqrad;qgunJfras;nzu3

llt.lj 1r,,orJarunricasnrn, 4u(3J,iJji]ap rsBaarv psdr la :ape$y



ernqarJ 'tnlnuor e yzuld prnFrilso'otSeu

9i { i '8 i l

o elsaJ Bqrnr

zar ,X rcr row+ ri 'iSJo*H

ct seJaoerp snp1unru"fl1"Jff'1ffi1. CW .- CW :rBCl

. y:rOJ:rgg:rVV

_, lBeilauase eg.1cund

1se:uur:d psnpnu,of, aJeole.iaua8f,f, li J eqrnr ad areri;eo

,11 un W elC '(1ue1suor)x : tgg : rVVr ":11 \+uE+)uurJ,, : 'BB : rv v

, :y:r. l"_.a9, 'aunrirasp laqrnr rnlnueld:tt ?p s

a1;ed ap) J rS u1-nrlcJdiariua8

i1,^*.5 l:p yor uJnrlcsul"s

(4.0 :aij)- ld u d+sd ,r EqJnJ 3J OZaJISUOIIIApas

;Tly,i,:l"r-:-"_t^,1un r rntnuor e:euorfcasrrd -]f'ullq.oqrnrJ orc nJpurlrrg$uorui ar;1orIa::l^ :"itli: FzeJ'apprnluot a\na.ratnoTntaua7y::op a,qnp ?ps 4ru /s p a1nat.il-ririibtauatsnoppdnp 'arDur7nwr atooTnlauaE nop' paiip Tnuoc?1_y::l?r tu ntnuor1ntt1aud irp^ ui1$i iplnuap nc 1a1o.md nun1duitc pdnp ,p1oqntnT

::t 3J. t1d, t7 'psdr.1a ga uoc in'4'ug in77 unnJ plonlrata naunllc-agBruoroa]ejseare 1a11se1s,-e1nu:og

leod reur ag .uocb1^jua7unTnTaun nc ya1n,nd lsanns^tti1nuoelv'azu1dalaqwn'jltlyroc y pzutdptn7up o ain lljij aunrlcasu ^,

Jllotd wnc pdnp ,ploqwnd;bs' ploqiianl'psdtp a6a uoc unrlu 'uo1d un ,r^p1rr7ru1uy:ur:t:,t9 ultopuec111_eiiro;oa1zeafuU*p:asFS Nr.ra(Nvorn,r vweuos.(:"ilff]

tf,tucNtlt3 ts l3tNof,lullJvudns N tNy.ld trlnifcls .z.o

p_rrrurrrlap1od s ueFuel,n1an1rr3l'ji:*:tllg :.t:yig..l1sadp.relnupuad.rad1."uu,

"pun_ ,1,- 'uru)BleluozrJop r$rnlnude (,1,s 1s,)

1jl.?1y,ri1.?_p

leuluralap' 1se ,rii',ur)y]: l :rTg._"jrplrrauldns nlnuoriuaFdll nuptd

1."^l:I"]?unde. ,ur qlBrrlrarerlraroriaLiii::l??, ,. ecl.ur, (ea:eo1.e.rau.l8.;:einrrpuad:aj::.-".1^:,t^]rinfy"lnue1d,u.l,s uis;aig .xo: lu3luEdp srurrnr elaJe.red,E,i 16 r j lFs apun'(,8-s ,Es)olsa'uu1clnlsace ulelu_oztJoouoJEJlttoFuul eldun ad grelnrrpuad:oduspft1uozr;oerirero.rd;e pund iseib ur:,t p.n['-j;i":;;

./t / \ \

/ r l \- -__ .{ \ \_

\*#+\I \J t, ^

/ t 't.------3;

(,

p'*.16lrl

Fie sa : sar b'ai : s 'b ' tg e, unde a esteungft iulgeuerator 1conului.Se clucparalelelea'c ' qi ad la l in ia de plmint. Fie de alemenea:ad =:.a'c ' .- c 'E' cotgp, unde p este unghiuldiedru dintre planeleP qi H'. Pr in impdlt ire

rezul i i i :

A1

L)ar:s'b' : c'8', deci If : -lg-g-ad cotgB

Prin urmare, locul geornetric al

sa _ s'b' tg a

ad c'8 ' cotg g

este o elipsd care are unul ciin

: constant.

punctuluifocare n s,

iar ca directoaredreaota 8.

NSTRUCTTAECTTUNILORLIPTI-se construiascfl sectiuneelipticlbn circular drept, a cirui directoarecirui directoare' M punctr:l curent de rre aceastiicurbii.



ebuies:l el ipsaere tan-de al ta t

servd cin punc:rconului

; i puncr

:demon-

ci l indru

punctu-genera-

g.9.16tenele rFqiF lBn'd c,,i

4LEgd: r

rrba di

msideriangenrel . 9 .17r

t[ in planul orizontal de proiecfie,giestesituatd n planul".;rat totodata pe generatoarea CM. Din

sal i t l { i le AA1 .: BBr : PQ :- MN ..=MC..==.MF : constant,se re{ine MN : MF. Curba:t: sec{iune steo oaraboli.-_\$ J.tltEoREMAFocARULUI.i se demon-'ffiorema focarului : P oiecla seclun p ane:,i t.: -unon pe un plan peipendicular pe axa

;.ttului are ca focar proieclia airfului conului'w acest lan. Se considerd onul circular drent:'- i ' ir ful S (s, s'), careestesec{ionat.de lanulne apdtPP'( f ig. 9.18).Fie A (a, a') un punctr-rent al secliunii, care se obfine intersectind:: planul P generatoarea arecare sq,s'q') a::,.,nului. reaptade intersecfie intre planul p;r olanul de nivel H' dus pr in vir ful-conului*r :e A.(8, 8') , Se rote;tepunctul A in pozif ia{r ralai)s i tuatd n planulde ront al v ir fului 'S.

sd se determinetangenta intr-un punct curent(k, k') al curbeide secfiune.Fie S (s, s') virfulconului f ig . 9.19).Sealege a plan de sec{ iuneplanul de capdt PP', care ntilnegte o singurdpinzda conului. Sec{iunea steo elipsd,a cdreiproiecjieverticali estesegmentul r'p' aEternutpe

urma verticall P'. Axele proiec{iei orizon-talesint ap;i yD.Centrul ec{ iuni i ste unctul(m, m') mij loculsegmentuluio-p, 'p ') .Axa 3rezult i din intersectia repteide capdt ce seproiecteazivertical in m' cu paralelul conuluide raz| sc obtinut pr in planul de nivel H' dus

Fig. 9. la Fig. 9.19

153

' ' - -_-_ _*t'

v9l

mrloldruse alrrfrerrp nep 8s rS Is eunrfcasi lp aleJBolBJauoDrnlnuoJ IE (,s ,s)

S InjJllmlrd snp ,64 1nue1d c lalered

, ,OOlgdeo

ap lnueydnJ InuoJ uzeauorfres s acrloldrulse

-uoprfca.rrp aJBulrrlJalap riued .gVInlnl

-uauFasncolfmr 1(,ru u) lnpund alsa runrfcasInrlua3 aunrfcas p 1nue1(l J rnlnuor ole TuoJJep JoleJeole.lauaFrfcasJatrurrp ellnzer nunrf-:aSele (,q ,q) r$ (,e ,u) alrrnjrl1 .(aa'O Fg )

lnlnuoJe1eazuld alaque gzeauol|cas:ec edecap 1nue1d dd IS lnlnuor 1n1r1,t ,s

,s)S al.{

"a1fra;o.rd p leluozqo lnuu;d u pl"nlls elsea'r?olrallplaJpru lderp ulnr.l f, uor lllhqut ptlloq-rad;qaunlif,eso prsulnrlsuores p{.1 }91n16q1-u3dtH o'rrNnrlsesrlsnu*dd{$g/

'Lfrogaisapleluozrro,ir .Bro ugaunrfcas p roqJnJE e1qtz;' l BJnr.ueU(,e,s ,as)

tareoleraua8 I uor e1



1nFun1 luaFuel 1nue1dri 6 luecas1nue1d Jlurp arfrasrelur p eldea.lpalsaeunlfcas p raqJnJ e ( ,e 'a) 1ua:nc cundun-JluJ ,.,r1.'rr{) eluaFuel 'rl,fragr esdllaalsaf unrl3as glaluozlJo rfcaro:6 rn1nue1d ,dgl-BrrlJeA ru.tnad p1nure16e$ pleur.lo;aplelolalsarrunrfcas glelrlJa,terfcaror6 rnlnuo) el eJsJrlJeA$ leluozr:o 1ua:ede ntruoJ p elaJeol

.e-rauaF unrfcasep 1nue1dnJ BzBalJesJalurS'( tA'O FtJ) nlnueld iaurn ,d ISd alg .aun;irai

ap leqJnJ Iu luaJnf, lcund un-4u1 uluaFuul J$pdec ap ue;d un-4uJrd uor lsere ut uaunrfcasauruJalepes gg .aJira;o.ldap leluozrro;nuu1dug

lunlls f,Jer un elsaeruolraJlplnrpr B g$ ,s p51

lnlrund u InJrI^ nr cllqo uor un praplsuor€\SLl

elsa FIpJtlJan rfcalo:dug aunrfcas p i"qrn""llqlzll ernurBU eunrlcas p 1nue1d f, rnlnuor

alB luoJJ ep alareolp.leueF uglcasralur rfqoas r$ ( , 'd) IS (,, ' r ) lugs rnlnuot lp lpsrtrJalluoJBdB nJnluo3od elBnlrs llunllJes alelJUnd' lnuoJ nJ (,n,r 'nr) rele+uozrJo lfcasralulu1p ul iqo es rrunr icasB rJrru raxe ele ( ,n n)r$ (,r l 'rl) ayrieirua"rlxg axe lalsaJe1e (,co co)

1nm1[rrulsa runrftasInr lua3 lnlnuocalu ( ,p,s'ps) IS (,c,s 'rs) alateole:auaFnJ (,"Iq 'orq)ralda:p elf as:a1u1ulp g11zer oxe ralseoeele ( ,S 'g) t t ( ,1 ' / .) alr fulr ruer lxg arfraro:dapleluoz1ro nue1dp Fiej 6 lnlnuzld e elueda'teurreu BaJep Brur lgdnp glefr :rpalsa rrunl icasaruu BXV (OZ'OFg) Inlnuor B glerr lra.\BXB

_ap (,o 'o) lnpund uI lrull lul alseeJpJaunrfrasap rnlnueld alarrirn ,d lS d arg .a1ite;o.rdapleluozrJo1nuu1d plun1tselseaJuolf,eJlplnJpJu '1derp JelncJtJ uof, un-4u 'eJeJeJuo trzlf\un nJ pclldrla eeunriras

"rsurnJlsuof,as Ff"6J

u uorer lua'uel ,"r;];tlJ'T"J;ils.flep 1nue1derl-ulp (,{, q ,{q) erfrastelur alsalaqrnJ1epund lserBul 1 eluoBuel 'aunrfcas peq:nr ad ap luarnr pund un (,4 ,>l)arg .141uud

IZ '6 8tC



Fig.9.22Ii ig. 9.23

rnlnecapatrei des"21).3nera.r t icali ester t lca-i iun i irtf -unl estet P; itoarei: t iune

IPER-hiper-*oareecf e.q l denulu i: SCC.

or dentru l

lmen-: t i lorul dt

nrin

le d.tot ice

: :utate.Asimptdtele p ; i mv ale curbeicle *-, lJ 's') virful conului i PP' planulde

-:c{iunesint paralelel'e1a aceste ,li;;.ti; :::li' i:

(fig' 9'24)'cu ajutorul rontalei sk '

. : imptotice useprin centrulm,

m') ; i ' ; ;-

s'k')

-se

construieEtelanul Q' paralelcu

..'.rnii.Alte puncteale sec{iunii in proi..ii, t?::1-,f'^:are treceprin virful conuluiEi sec-

::i{"_;r"-'-'ar-":fi-i,g,-rJ5- * -,'-:* "E;:',qf;,1,,'"#',$1 1,,*,.iT1,t""11'*dl"l'::f SX econstruiasc[roiecfiaorizontald

"t{t]gl )1. .".tiunii. pllnJ. langent"T1 i Tr'la con

secfiunihiperbolice,.obfinutentr-un :o" 9 ]l_: i; lu;ili acestor eneratiare e- hieriecteazda cdruidirectoaresteun cercsituat "

lli::t ;; pir;;ip arpt uJitnptot"teecjiunii, l.cdr.or'rrizontate.proiecg.ie.fi:I $r^P' rmele ]_T,l; pil.f

';;;,;?;;ti'.rt. i.nirul iec{iunii.

: i de sec{ iune f ig . 9.23). Planul Q paralel r - - - - - '

- ; planul P dus pr in vir ful S (s,s ') al conului /, r. i innacz\

^.nrri. l rrni oot lo. r i . rr. " le sa si sb. , / 1, .;cfioneazdconul dupd generatoarelea ;i sb ,

:are reprezintddirecfi i le asimptoticeale sec-.. :ni i . Asimptotacorespunzdtoareirectiei sa='te ntersecfia intre pianul secantP Ei planul:.:rgentaa la con n lungul acestei eneratoare.?aralelele usedin o($ i I la directi i leasimp-:,, : ice int asimptotele ectiuni i i e le se nter-..cteazd n centrui coal sec{iunii.Douir puncte. e curbeide secfiune int I gi 2. Alte puncteal e,tct iuni i seobfin ut i l iz ind planeauxi l iare, are

--ec. eexempiu, r in dreapta sk,s 'k ') . Astfel,

: ,aneleauxi l iaredusepr in aceastidreaptd i::in generatoarele , n gi r dau punctelep.,-.. .. Segmentulp,ep, ste paralel cu ks. La fel.;riru v6v gi pnp.Virfurile secliunii se obfin.:tersectind isectoareanghiuluiaorp u conul.

:'' Si se construiasc[ o secfiune hiperbolic[,ntr-un con oblic, a cirui curb[ directoareesteun cerc situat in planul orizontal de proiecfie. F-io 9.24

155

99I

uI uoc el lueFuBluEId rnun B ?lBluozuoBrrrjnI alC .uor

lsaf,Eul RllloqeJud ounliras o ur-suln4suof, spg .e;fra;ordap luluozlJo1nue1d1lunlls f,Jecun else eJuopaJlplnJpt B ,(,s ,s)

S ji*

p1ru1{ ul Inlr ^.P*?l"lgo lnuor p.raprsuoi g"6

i_.

-%*{ (uruor ' un'u,rltl'ntffiS;fmf;--:alsa_aunrfrasp loqrnr F (,t) , t ' j ln icund'uj . iP,JuedueJ' 'gISg1u1s11un1|casaIPa}JundnlIv.rH

lalru cp 1nue1d J tnlnuoJea;euolfras ui llnuflqg us gzEr ap 1n1a1eredr (,8 ifl)

I,F,iec :ap ralda.rp ricas.r_a1urlp FlJnza'lrunrlras a1 e',r s r . elaif ,und'rd Sd luJS nlnuore1el lgo.rdapaIaJBo1e:aua3ada1en1rsa1a1cundrci,1., i ,n1

alsa lrunlfras InJTJArn1nue1de ,4 f1e5r1ra,t

EruJn eo FlnlrrlSB elsa FlBJrlJeAarftaro"rdlerpr

e ploqe:ed9 ?ls eaunrfcag (ga.O Fu)

lnlnuoJ e- (,q,s ,qs)_1uor1 ap

-eareolerauii8



nr lalered ,{d lgdec ap yirueld eirnrfcasep uBlo EJ_ dalBe5 .auntfras ep taqJnf, Eluornf, lcund un-4u; e1uafluz1 rsu5spFas ps S'ariragord p luluozrro1nuu1dg 1un1rielsaer"ol-leJlp lrrpr u ,1da;p-J"lnJJrf,uor uq;:llu EJlloq-u.rudaunlicaso prsi:lnrlsuoJes

rrunrfrasnloundlsa rfeds g aloqe:edTJll4 rnrnlro,r1e ua:ede"r"":Tij*rT;1r"$rjlrrt#;'(,e,s'us) a"reolerauaFlrrlraroril r a1a1e-rad"l"u"apl11ln.rr1u1rfqo s nlnuor1e1ue;edetaxEnr aloqe;eduIS Jlunr{castrrlcllolg

I;;;;;;J;,i:}Bn}tsetatrund,y}s aur,r,c,, Xu1uaFue1eld sare

::.J31"j"1..a.-:"iil?".p ;fii;;i

-,p..r, ,r,saunrrcasparar'orerauaD

lT".t:"::'K,,o.,'jrl13ifd,:,-:lr--,:.:^$::1l::i".dl;';:' i,1".,n0

a .A.s pun)r ur'tuoz,lo

arfces:e1u1peldearpcglaleredBSs Bareol 'vUvd Uo'ItNntlces vricnUhl'ldcT

;:1ii,'i.."f,ii:l,T'#:Ti1"""t:?,:1y::y:J:"i:-*-r *-*'"*"*--:Jiln'rm;;i,*'

i: 'iga'oFg)1,f,sui;'.r,oi"u,iu.s"l;ffiiij#'Ji"?,Ij15,Ffl,"",iij..lliT/_lj"j#U"ii;

_Jalaas . InuoJ Ezpe]JasJo+ul,J,o pyB p]sBaJB, -.^ ls, ,L(, , ver uJ IeJrlJeA-pzealcarord as aJEJ r$ 6 lnrreld ug

FlanlrseldearpaJBJuJ alepund nEs'..r , ,exBelseare^adtelnclpuad:ad lsaaunrlrasap eqinc

e1eluaFuetrJpi uJ alalcund1Lr ls 'a1urr1ia,r ' rar1-JatoJctle ,y tS,3 aIIJnJJIA,u,or/ntrnlnrq8unBeJpolJesrqisa runlicesE alpJ +Ja,larfoaro:dFSJaAsupJlxv^B gS,tur BXB saulJllrg:er as rSJs alaJpotreJauaF.ullqoS 'lnlnuor JB S lnjrI,\urJo rs pxe urJd /rrn BrrrJn p Jpr ltxne1nue1dalnp as arfoas;a1ur lsBoJB nrlsu6c p nJluad'lnuoJ FzBalJasJalul xB plsBaaE J IeluozrJ0EzBalJatoJdse-JpJs

4 1nue1dI plBnlrseldea.rp

aJBJ r alalcundnes .urouJrnlnrqBun a:eolroslqalsaaJeJ psra,,lsuer1xe ad p:elnrrpuod:ad liJaunllJesu1 eluaFuelarer uI alalcund luJs alp-:l

;uo1u.oar lcaro.rd.a1e16 a1rrn1.r11(,d ,d) ' ls

\, 'o) lu ls . r runr lJas JBalcund FnoC.a3r lo l

-oulrsealrr lcaJlpnr _a1a1eredu3s ,u,o ,urolrs ( ,u,o.tuor) alolr lurse JolsaJBaprfraro:6

. i intre planele T qi planul perpendicular egcticratoart:a A, tlus prin virful S (s, s'). Scpoate deternr inaacest plan. Ir ie a planullertical dusprin generatoareaA, carese abatepe planul orizontal de proiecfie. S se rabatein fu. Perpendiculara idicati in ss pe asgintilnegte in m urma Q. Urma orizontald aplanului perpendicular e generatoarea A esteperpendiculara h ridicatd n m pesm. Dreaptade intersecfie sh,s 'h ') dintre

acestplan' s i

planulT d5'direc{ iaangentei autate.Ri Ooite'aolan tangent T1 dus prin aceasti dreapti dageneratoarea e contact (sb,s'b'), pe care seaf ldsituatvir ful (",

" ' )al parabolei.-Elezultd

ducindparalelako la hs. Alte puncteale sec-i iun i i pot f i obf inute ducind plane auxi l iareprin generatoarea A. Astfei rezulti e. Punctulsec{ iuni i i tuat pe conturulaparent ert icala lconuluieste (y, y ') .30 SA se construiascd o secfiune parabolicd

Iu i . Seconstruiegterontalaacestui lan a caruiproiec{ ic cr t ical i iestek's ' . RczLr lt ik pe e siproicc{ iaor izorr talrs pt 'paralt. la la ox dusr ipr in k. Fie PP' planul de sec{ iune aralelcuplanul QQ' . El secl ioncazA onuI dupi oparabolS, eoarecesteparalelcu gcncratoareade contact (sa,s 'a ') a planului tangent ee'.

Virful proiec{ieiorizontaleestepunctul in caretangenta a curbdesteperpendiculara e proiec-{.iaorizontalda generatoarei A cu careplanulde- ec{ iune steparalel.Axa proiec{ iei r izon-tale este paralelScu proiecfia or izontald ageneratoareiSA. Se duce prin s dreapta so ,con inuti in planul Q ; i perpendicular l e sa.Din o se duc tangenteleoa gi ob ;i se ntersec-teazi-generatoarea b cu planul P. (Seobfinevir lul 0 al proiecfiei or izontale, unde

s-a

considerat 0 paraleldcu os).Virful proieclieiverticaieestepunctul in care angenta a cuibiieste perpendiculal i pe proiecl ia vert icald a



intr-un con oblic, a c6rui directoare este uncerc situat in planul orizontal de proiecfie.Fie s' proiecfia vert icala a vir fuluf conuluir f ig. 9.27).Sealege n plan Qe' tangent onu-

generatoarei A cu careplanui de secfiune st eparalel. . e ducepr in s' perpendiculara'r ' peurma P',"con{ inuid n plandl e, Qidin Lrrmase rluc tangentele ta ;i rc. Planul tangent

Canullnt.relea') .

rni ilra-Et ie

xn"

, /.\

IIil .

757

"t' 1

f: ' D g6'6

89I

utJd lBp d eJBJeJeouBld un-JluJJd uol lsef," ut

::.-yllir1.eulrureleps g .e;iea1'o:dap fi1uorf6tnyl3 u enlls rerun alse ruolrarlf;ir.rpc 16

,^.t) S ;nlcund uI

Inlrl^nr uof, uri praprsuoc

ASOI S:INOUVSSOVIiVUNCIJNO] NIUd AN-v'rduolrNnrlsassuvNrwusJgii-.z.a.o

Lr,p^:llr_14ued oJeuy,;9n :,,n g'" ";ur'j]

*; '^ ,dFl

:jl:il:19 ap aueld'ap'",',51s,,

i,oi, r;"';j, : r ----1" " t ' orrvy vldJ uJ

ll_un] r?.toJelcund laior ,a.iecr;ua.ti3 .ju,p.ro

Jp ul l uUd BUnzet erp: r l r ra, r rzr i r : ' rn ' .1 rD,."l l]Tll,ulrd Fllnzer e1ecr1.ra,r.rirJro.rd.rer

'drgre/'rcd lsa l1un1fgp_:i luluozliontira,orj



-l_ar Jn-tllr..rrurrn ed p1nura16ei ,aricaro.ld

:?-. l l" lg _"p ualsrs lnou uI .elerurolap1e1o1aredBuor uJ eaunrfrag lels,ta1sa"nlnuoc

I? IBJTIJaAua;ede nluoJ1nou

.lur tys'alsarnlnuoJ rnlnJrl^ q Flerjtr.reAlfcalo:denoN .,dFIBcTUaAur:n ad ap (,ru ,ur)

W lnltuncl^i*zua"z

-ff ln as1S.t la_ui Trxro u,."r -ulrurre nr luad: : _Bq,-6

FtO}ara lpder ap 1nuu1dJ ,dd 1nun1fpruJoJsueJ] JBJ ,arfraro:d

ap lerrtJa-,r- ejd

9P :]gqrrqrs o acBJ q .erfraro.rdap' eluozrro

l l i t lqut ]Bnl ls.r rerun alsaes ea:do1ia:rprer

_'- :.'tlg lnlcund alsarnlnuor InJTIA1'uu1ia;otri

uplc u aunrloas ep 1n1nue;d ;rpur.roEsuu.rlBpoletu uIZ llln .alecaleo

d uu;dun_l1ug.rdeJ1qouof, un-4ul pue;d ueungirasaugrulelap s p5'INVIf,sloUd NV'Id NI :rNntltgS qg-flfr\

-nNv'rdUuvwuoJSNVUroor3fuJt6j.,d r$ n lugsalcundal$

'rnlnuoJ,ale1ua:edenluocap alareolerauaFd InuBlo.nJ puJlJaslalur l lqo as lualedel l ] .1luot

€d r lBnlrs lunrfras lr lrund .alerr lr r l

P l t9 " r l ln lrJ^ ' ,1 .p] lnzrU.,s , , nr eierr l .ran

:l l l . t_"-r jr11u1a1e:er llsa ri ( , j ,e) uud oro:1

: jBrqld?erpo udnp6 lnuu;d'nr uzealrarretrur

as (,) ,s 'Js) raruolu.tauoF1nFun1 J rnlnuo)



| ,)'l t

deuni ir i ier.dru

LA-

,SE, S' )

rnulme aprin

proiecf:e. Si se determine sectiunea n acestcilindrri printr-un plan oarecareP dat prin urme.

mnnresteun cerc situat in planul orizontal de diametri perpendicularin cerc.Astfel,planul R

Fig'9'29 Se utilileazh de- asemenea"oniigu.uiiu

1ui

Desargues,legind a dreaptir uxfliarapara-mne.Pentru onstruc iaec{iuniieva uti l iz" l: ] : lg' .F, ' ) dusl,1a generatoarelei l indiului

,w:r,.:guraliaui Desarg'ue-sfig. g.ig).O ai"upia 1,1]g.30). ceastd aralel.i re.urmarizontala

u. '-=ire'clusarin i irtui S(s, s') al conjlul l ^-lJ i int i lne;te n,.(o,o') planul P. Ser,i: irrrTrz rizbntalir ft, t;t' El- nturcucteaza91:i99t',

planele auxiliare care .trec Prir r. .uldesec{iune in'punciul ' (o, ' ). Planelc.1;e3st1

.relPl.ui prin-generatoarele, C, B

ur .: iaredus prin aceist iareapi;ru uirnete t,?;,P"|?itcf l i leurbei esecliune int (aiB8,rir:orizontale:convergenten urma h. D; i_1, ^-?,) ' .^_Ramurile

izibi le in cele rlouiilmr-lrr1€2,reptelee ttersecfedintre tanut proiec{i i int indicate e epurS'r, i :estelane.uxil iarerec oateprin'punctulf f iecTluNEA pLANAINcILtNDRU RIN

'r : '1. Astfel, urma orizontald- a .planului^gff iR ntRmEfRILOR ONJUGATT.'Se;;:r,r"t-iar..du.s_rll.generatoareaA gi dreapta sideriun cilindruoblic,a cirui-direitoare stelr,tL'l,iardsf, s'hl) este.haag, iar &od"ll"

un cercsituat n planuiorizontal eproieciie,lr: ,dt i? orizontald .drepteid_entersecliecu centrul <o, o,) '(f ig..Bt).Fi* pp,; i ;"; f i ;ir[r: : ie cestplan.; i .planul P..Proiec{iu uf secfiune. i se'aite?mine'el ipia"' i l f i ; ;' : tr-e;te n a proiec{iaa_.

-Rezult i'pe s'a' . prin_ oi diametri onjugafi

" j}gi p,,v i 's[ i .

+rrri :-oge determinl.ceielalteuncte le sec- fvident, centrul . , ct) t 'secilunii 'segise;te"t-" i .ducind^planeleuxi l iare,prin. enera- 1a ntersec{iaint ieplanul le'sec iunel, i",

uru,rt ieF, D, q,.F qi c. In punctele.(. ,' l^ i d, d' a, suprafelei-i i indrice.laneleR'; i aur" -'), angentelea. curba de sectiune int duse rin d4aguprafgleiiiinaiicevor recdioni'r,ut-, : ,rtalegi paralele u urma P. Pentru supraiafail indricd ipa.i ie a"udgeneratoare,rl lurt=:minarea

-punctului.de.ntersecfieo, o') pe caresevor situaextremitd{i leiametri lor'r : t i l izat planulde nivel H'.

. . qqn:fgati, acdurmeleR gi o'vo.-i i p"rpen_:llt5t consideri n cilindruoblic,a cirui direc- diculare,adicl dacd ele'voi constitui do i

159

1

09I

"ariJaroJdp [BluozrJo nuBIdad es ea:eolJaJrpm lezaSe 1derpJelnJJrc oc un r$ ( ,q,u'qu)

Jr;o:dap pldearp o arlurp arfaes.lalur p rolal-:und elrrfcalo;d unce euruJolapas ps 'lollsv-relncrlrud eJun rSeraprsuoc leodeg 'alelnpJericasralulap (,d 'd) lS (,o 'r) elelcund ug [email protected] reolerauaFlsaJv (,6,s '6s)r$il1.1,s1s) alaJeoleJaua8dnp Inuoc pzpauorlcaserpr d 1nua1dsourJapV lS O a1a1da.rq(,I '>l)e1saRIB+LrozrJorurn rarpJB 'V : SW uldua:p

'ilJnpas lS g eldee.rpad (,ru 'ru) W Jurlrqreprundun eFaleag '(ge'O Fg) q ralda-rp plu]{rozrJo ur;n ( ,q 'q) r$ rnlnuoJ nJJJA,s 's)SntC 'aJiragord ap luluozlro 1nuu1du lunllsila'L un elsa eJBolf,allp lnJP3 u f,llqo uo3 un

pl c6t6

$ (,p 'p) O plduerp equlp agfcas.relulp rolel'f

/,-und a1;;iregordu;urelepas pS 'NOO- I|0.JL /'



t ,P,tr l ',Q,u : a(,uour)

: :epeiy

" ,p , lU ',QrU ,e, tU. lu iJ PJIpB;+: #

J1?O

' ,e ,U. ,u,J : a( ,urou) leJlsy

'JJaJun elsa ntfeds ulp otu .rolalcund1e,;lrlauroaFIncolpJaIBJB sFS orualsa ,ur 'ru) Wrrlnlcund paralequU 'J luorJ ap 1nuu1dad;rJJ lsaJe alBqBJaS '(,uJ 'ur) W lnpund 1a r$arrfuocaJBJ ,e,f,nJleuBrpap lncJac dnplnuocq,zeauorfceslcund lsace ur:d snp ,H lalru ap[]ueld 'aunlfcesFlsBeJB d 1en1rseund rnun{ qletl}Jol erftaro.rd,ur elC ',p,q alsa runrfcasep laJlse aun B FIBJTIJOArfraror6 'e1a1ered-:1ue unrfcas llunu 'a:e1nr.l1tunrfcas ol uIry:rrurJalopllulJap 1a;1se4 lnueydnr a1a1e:edlrder ap elaueld ar icalord p IEluoztJo nuu1dT) rnlnLroJB luoJJ op (,u,s 'us) es:uo1u:auaFfi'r leruJoJ nrqFun olsa D 1nr Fun 'rnlnuoJ

vrdvauoo lrurNrq rlf,ssderv:pE (,q,s 'qs) trLroJJp BaJr?oltsJauaFr zclnrqFun ( ,q,s 'gs/

lLroJJap BsJr?oltsJauadJ 7cInrilDun

Y3lU0Nll lf,RVS a)EJ rer. ',66 pdec p 1nuu1draplsuorS

Y3|NO3 ytVlVUanSO lS^ qg,p,:illiJnrrar

uISBereolrarrpr erllalouo

yrdvaudIdrNia rlf,rsuilNie.o5l.il'i,;,"'#"p","1".1X"',it;;:,l,iilrllnlll';.I"

il#i;'lxfi,","?"11.,",,i"",?if""3ir,,,rj;'efulrn$nr npaps unlfcas"p.fjl:y h'""1r$fii""*:r*4.ffi"$ffi;ril l,At;

$TfJ"F'i",if",'##,,i/';,";1il;":"Jolil'J'Jil *f-ilinlvuvdriNvanniisEi::'ajo

'1feFn[uoc JloruBrpop rolal o{ Balu)tlJal altricero-rdi uncatd 'rr r$ rl alaloundFqluralap as Foluuy 'q IS 3 urp alareole;auaFad d ti ro up 3rn" 'rqc eleluozl.loatfcalordep eldea.rppdnp

d 1aue1d r lzualrasralu os{}\s:o ;'""t.I

mat detulLr i ule capat' terminani anti-stfel deticald a

Planul

Iioneazacon ine

est cercrnctuluinmetr icrc.

Irig.e.3li l**\\ L*--"-lL9.3.2JNTERSECT|ADTNTREO DREAPTAtil*:rr-unprocerleuunoscut e afll urma ori- Tfl3fi clLlNDRU.Sd se determine.proiecfiilenr;rr:alah; h') a drepteide profil (ab,a'b') punctelor.dentersecfie.dintredreaptlD (d,d' )



,PTA

REAPTAle punc-

ld, d') 9i

un cerc: ie. Fi tr orizon-In punc:se duct

tala esttrl P care

fs l , s ' l '

: dreaptartersecli'e

nticular .le punc-ile profi.gezat c:.noiec ie

rl. g.g+).Se considerd e asemenear*i gi,un cilindru,a clru i directoare steun cerc*rur'::ntald'(k,') a drepteiD (d,d'), dushprin sitult, i l planul orizontal de proiecfie..,e

"r:;iconului i prin'punctd

A(a, a'). Pla- considerd,.e asemenea n punct arbitrar

::rLP, deternihai de^drepteleconcurente nA T'.t'l

PS dreaptaD, prin care se ducen ab,u;U;j, ...iioneazh onul dupi genera- paralell"f (I,. 8').la generatoareleilindruluii ir,r. : . iest, l i t '1 gi 1sZ, '2').Seobfinpinctele lf iSt

VS ) Planul P formatdin dreptele

u .::teisecfieo,'") i p,'p'). :;r.o,.,:J;T:rr,ir;1,#r3',X"?i,,,u.",liJrlT'il:tersecl ie o, o') qi (8, p') cdutate.DacI urmaorizontall P nu intilnegtedirectoarea ilindru-Iui, dreaptaD nu intersecteazacest i l indru.

9.4.DESFA9URATELEUPRAFETELORcoNtcE gt ctLtNDRlcE

; \\

9.4.1. TEOREMALUI OLMER. Sd se demon-streze teerema lui Olivier: Transformataprindesfdgurarea secliunii oblinute cu un planinlr-un con (cilindru) prezintd inflexiuni tnpunctele n care planul tangent la can (cilindru)esteperpendicularpe planul secant. Fie o su-prafafd conicd oarecare, u virful in punctulS, in care se nscrieo pirarniddSQ1M1A1B1N1,ale clrei laturi Q1M1,M1Ar, ArBr, BrN, sint

in f in i t mic i ( f ig . 9.36) .Sepoateas imi laplanultangent conului cu planul felei SA'B, ;i f ieP- planul de secl iuneperpendicular e falaSArBr. Secfunea obf r iuti in piramidir iuacest plan este inia fr inta QMABN. Deoarece

161

^:F l lnzaJ,u,{ ,9 InrqFunrJ}

/g/{ = A ord 'Rprosl lurs a}se aunr lcass / -r "_ " .f vur l r+Jo i

p reqJnJ 3 aJBJnsBJSap rJd BIBTUJoISuBJlE.\epe-rlu; razerlsuouaps

FS

p1 qf epuriJ alsa Flernsp;sap 1 eluaFuelaunrxallui apnq.un-J lu l Al loru, lSelareJluad . t l l :

IWun '0rll a1s9 rrl ,r))

lnlrund u1 auniires ap,I"_nt ,g,p:

0 ulsr { :A

:rue^B I: f , nr luad nes

0 uls U.t t l : f

: IJOP'0ulsU:su: ,u,{

: JB C

=,{,g nes14 luBlsuoc #

z9l

l-r-u:]+ FInr11ra.rrfcerordgerur.rpurFlsrp^opBT

ullqo as alBrrlro^ ullJ rnJnrpurlrrlarBollY_liu"p

'le uJ pslrrsul pleuoFoicoFIEcrire^

:ur:Ird

nr Inrpurlrr IrrursBleod 5 (og.o.Fu)

IBJTIJaAnlntpurJrJ le leluoztJo uarede 1nrn1:Y3:

nt, Ppunjuor os rrunl iras e vpluozrro

:j l : ." i : : l j " l' /d PIBJltr rn urn ad 1nu:b16e,1,r

lnlualdJS alsa rrunrfrasE Blprr l .re,,ri lcaioj6'Fplosnulso alseeunrff,es p raipni n ,ruihspls"y^ j9_EY-yr:I:yuitr a1u.resps r$ aunriciJ iraqJnJp

\,n,r/) aJBJeJBolrund un_4uj ;a1uaF

-uu1 ulern$"Isap Rrsuln4suor as pS .aiiialoro

:l Jyluozlro nue;d g$aunricasap fnuzio ailu1sulronf,nrputllJ ep InrqJunrl aruo$p5saps pg'ar lrarordap leluozrro 1nue1d g' i i ;n j ls crarLrnolsa aJeolJeJrpqJnJ nJpJe ,1da:prelnc"rrJ nJpur lrJ n pzeouorfras,dd lgdecJp ueldUO ''IVINOUJ ,IV)iI



1a1uaFue1le.lnSplseq ,d,q -_: 0SO 0€lg ,i ' ,8'- oov ,, i ,e' l 'o,rC ij" l trv

' (or 'o.Blr) .\ l lO Inl roua.IpalrlJoJuorog

15 flul aunrxalJt ap alcund

F1Ap aJB 3.1s3 o1o6o710S0"Bptoi

uls^alsa

aunrfcas.ap raqJnJ uleru.lojsuerl ' re rbnIgOVNOX3plduarpef lnluaur8adlso rn1

I IrJ raJBol)elrp are;nSelsapr:d plrurJol

0t'6 'F .{

bY

6t'6 3tc

OI IN'INUONIII,CV IS-u:rA ntnuoNrlrf, rvunsvjsgaz I o'aunualtut ap Tcund u?t jJrll

pyutz,ud nu rtuntins o aiotisnisap uud olnw)o'sy,,,,,,,,,,,,,,,u1Tuncas1nun7d ad qtfuiupuadt)d a$;lnlnuocayatooTotauadtp oun pJoC[ :erienrasqg

'(Sg'O Fll) g = V uI aunrxolJur p lrund urrp_+tll,zardrB) BqJtJaJlpJopurl ONgV{,Wluuo8- t loo BJU.IJFitrur l uf .(19.6 Ftt )

V ralda.rp

:1] :.p ls,alrBd rp 0N1io6rLr llpqBr s N ls wnl?ll"ng 'gVS laieJ 1nue1d d epnire:rdfju :nS

-RJSepeznvr ptrsearpulg . ,d> d i . 'n {n

ylqzar 'a:elnrrpLrad.rad1u3s VS IS 4 Jlaur ld

Bt'6 FI C

Fio Q 4l



ci l indru-IAQBMC,ste sinu-te de in-u i Ol iv ier

--r DBola curba

fpj, unde'un puncl

este I 81,ftr-adevbrurbei der '8 ' . Din

, 'k 'n ' .

Fig. 9.42

.liP t consideri un cilindru, a cirui curbd,Minreiitoareesteun cercsituat in planul orizontalW proiecfie

gi ale cirui generatoare int fron-illhufr"n se desfiqoaleacest cilindru. Se con-+'Ltr : i

.planl l de-capit pp' perpendicular e@m*:atoare le i l ind iu lu i ( f ia . '9 .41). Acestuulfrtu-i in cilindru o sec{iune noimali, a:ii-^-: miri me adevlratii cogo7o0 se ob inepun'r::-o_rabateree planul orizontal de pro-Itlr 'i--. TransformataIr in desfigurare acesteittltNlr l- :niormale este seglneniul de dreaptlryrrl*h-*d-oaofig. 9.42). ntrucit adevdrateleun-

'tWl, ale generatoarelor

ilindrului sint cu -ittltt lntltr lr is:'-re,i ind frontale, se ob{ine transformatapmmresfagurare directoareicilindrului care

cular drept cu virful in punctul S (s, s') duplo elipsl. S[ se desfigoareconul gi s[ se construiasci transformata prin desfigurarea sec-tjunii eliptice.Se consiclerl eneratoarele ,B,C,D,E,F,M gi N, care se intersecteazd uplanul P (f ig. 9.43).SecJiunealipt icdob{ inutd?re pro iecf i i le (apyDegpr,v,'g 'T'3 'e 'g 'p 'v ') .Adev-drateleungimi' ale segmentblor ilprinJepe generatoarentre virful conului gi planulde secliune rezultA prin rotirea gener'atoarelorin pozilia frontald (sa,s'a'). Pentrudesflsurarese asimileaza onul cu piramida octogonaliinscrisd n el gi se procedeazda in cazul poli-edrelor. Se considerddesflgurarea onului peplanul tangent la con in lungul generatoareiSA (f ig. 9.44).Transformata r in desfd;urareseci iuni iel ipt iceestepsveDscr,oeoyopogo.n punc-tele as ;i ps, tangentele int perpendiculare egeneratoareleespective. unctelede inflexiuneale transformatei rin desfigurare s$i prosintsituate pe generatoareleSR gi SRr. Acestegeneratoare e oblin ducind planele tangenteQ $i Qr la con pr in dreapta sk,s 'k ') , perpen-

iliililttltlgre inflexiuni in punctele B si D. Astfell fr i i , ' t* ,

, .e 'T' , Aas: a'a'$i DDo Bbo d,8,.:: I ' . De asemenea:D:JB: i8o: j8 , , . Des-:frlflfuu,nrLr"raangentei in punctul {u, u/)'

'curent

rrr r i '_:reide secfune esteTM.lflilF::tru desfdqurarea nui cilindru oarecare:w :rr:l:tueazd schimbare e plan vertical (sautumn';:r :al)

e proiecfiegi se- educe roblemarll l l l tt i::= tratata in acestexemolu.

:_ DESFA$URATA ONULUT TRCULARPT $t A coNULUr CTRCULAR BLTC.

Fig. 9.43

lllPHanul'de capit PP' secfioneareonutcir-

i63

r'9I

gt'6 Frc



milmlrudlffillrir,itl]liillllllflxrlriffi1

,,jfrlli,rillllllllllllllffillU

r.mrTJuri,,ii]llrwltWlill|l

'w;ilr)wurulI|m

._---mmmil

m

['

9t '6 '8li l

i1 :ulflllilillllllllll

[[]. illi]llI|lllllllllllilllri

'[llTrWl]lllllili,

;;,,Jlllflllllllllill1illlll .]

illffii l;rilrlLrllilllllllills,

mi ;'lilililillilllu

m :lr:illxjfililllllllf

L iiiiliillllillllllll

I1[; ;]t,iililulLlilll

rt tr iii ii]lliilllll

'."itii]Ilr,,,,,iiiifi11llllllllI

: trjimiillilllllllllillllllfii

iliilil,,,Ii||lllLllll

(:'\\i\ r \ \ l r ,

N4,/

'1eu1 psr:rsu1 prurerrd J InuoJplrJlr rxrsvSrnlnJrJ^E uor]ap InuelouJal-npur loJaJBolEJ-auaF olsare aie rurr8unlalo1e.rplaperiqo ag'( ,r r ,g,a,d,d \,) ' ,d, i ,o 'r rg dt '1l 'dr ln)1u1s unli- rasop rasdr la lr r irero-r6(gt 'O Fl l) N I$ O'A',{'g '"I O'U 1,11'ylereolerauaFunrfcas p 1nue1dnJ pzeatrJasralurS '4 lpduc ep uuld un-l1uJ.rduoJ u alunlJele llunriras u arutn$u;sepulrduletuJolsu"JlursuespFas ps ;6 uor lsare areo$

-gtrsap s u5 'alirarord ap luluozuo 1nuu1d 1lenlls f,JeJun elso eJpolJeJtpnJpJu (,s 's)Slnlcund u lnIJ ^ nr rllqo lnuoJ RJeplsuof,S 06

'ul = NI Jpun '^Ialsa(,rr,1 ,r1) alueFuel. lerntugsag'(tam1g nynluuoal u-roluoc) trrrecas nuuld ad ateyncrp

t't ti '8t,I

f rg

.r' tlll lffilffi

-?]LrozrJo1nue1dd (,r) d) rnlnlrund araluqr.r

--:1ut.td utiqo as orlularuriEnr lBJplapVau.tlJ

-?uI eJ BAJasuoJs (,1,21,u lzlur) rnlnrqFuntrlaare.lniplsepl BJ BAJasqoS 'aluaFuul alsereiturnSp;sap 1$arn;1suorasaunrloasap raqrnJ'e

luaJnJ lcund un-Jlu1 (,d,1 rl1) uluaFuelrulraprsuoJ '(gl'O 'Fg) aunriras ap rasdrlai a:e;nielsap urrd BlBurJoJs^LrBJ]$ pllnzaJ?tepoloJ 'WS raruolu:auaFlnFuni uI rnlnuor:uaFuel nue1dd rnlnuorule.rnSelsepurfqoos

il I,1il1.-llliilll'rillllr

firnllr .,,,,iiflillillllll

I lrtl;*. rillllllll

tangenilotodati,;urare ersiderindrrent alsflquratafiqurarear ca ma-rpr intr-cor izontal

l i: oroicc{ie.Se poaie lua t pe desfdqurataari:;rsecJia celor de cerc de raze p.ntEi mt cu

:srirele respectiv n prEi M.

s5.TNTERSECIIAUPRAFETELORONTCE9r CTHNDRtCE

- :ersecfia uprafe{elor onicegi ci l indr ice ser"r:eazdeaceleaEi lemente u cares-austudiat;:ersecfiapoliedrelor,cu singura deosebirer .xuir i i pol igoanelor e baza ale pol iedrelort.rir curbele directoare ale suprafefelor es-:ertirre. n plus apar in aceststudiu problemet<ate

de determinarea umdrului ;i a naturii- r :ur i lor inf ini te carese pot ir r i in intersecl ia',;:rafefelorconice i cilindrice. Se vor expune-:rar ci l .eva ipur i de intersecfi mai deose-

o 9 c e - 707 b tt 2

0tizon{o/ n-i

F'ig. 9.48 \4 a

E

t

n

11

l ' J , , o,g,c,e ' _ /0 1'b ' 4 'Z'



I ' :e. dind pentru fiecare exemplu in parte1:-rra,modul de unire a punctelor ,precum;i' i . ;d iu l v iz ib i l i ta t i i in tersec j ie i .

J.i I. ] INTERSECTIAINTREDOICILINDRI." Si se construiascd. ntersecfia intre doi

:i it indri obliciale cXror curbe directoaresint.funrdcercuri situate in planul orizontal de

moiecfie. Cu ajutorul punciului S (s, s') serctermind planul P paralel cu generatoareler :bi lor ci l indr i ( f ig. 9.a7). Planeleauxi l iareF carevor f i ut i l izate s int paralele u planulD Planele imit i s int P1 $i Pz. Diagramele ' l/ertfto/

Fig. 9.49

pentru sludiul intersectiei sint urntitoarele

( f ig. 9.48 ;i 9.49). Intersec{ ia ste o rupere.Ramuri le viz ibi le in proiecl ia or izontal l a1ecurbei strimbe de intersecliesint Tr-er-pr---vr-Fr-p1, iar in proiec{ i a vert icala

'-0i--pi-Pi qi c '-0 '-p '-a| I i r punctele ituatepe generatoarele e contur aparent,proiec{iilecurbei de ilterseclie sint tangenteacestorge -rteratoare. n proiectia vertical5, in a' curbade interseitie prezintl un punct de intoarcere,deoareceeledouageneratoaree conturaparent

vertical A 9i N sint concurente.Tangenta nacestpunct la c#ba de intersec{ie stedreaptlde capit. Pentqu studiul interseciieise poate

gr l ica ;i metoda nobi lului ( f ig. 9.50).

,"'2o'Sd se construiiscl intersec{iadintre un ci -1 lindru circular'riertical qi un cilindru circular

frontal, axele celor doul suprafele nefiind

165

7m',i

&r*t' ,*

rilll

'i$" lllll'qlr rr

il

alBnlJs lelrunduI 'aJadnJ alsaBrlJasroJul'FlJ)



I il{iriritliltil]n]llllt||illlllill

ILlffiJ]lrTlllllllllllilfinDll

F T t rdlllrl iiiiltlliliililillllilllll

J0[, r ]trllllill|[Ill'

ffilrnilil .,lilllllllllllfiimllrl

q{m,iliqillll0nffir

ry illlllllilllp$

r@lllllflfilltllflUmr'

;,

rJrJ nJpulllr. un ls lmlile^ JBInf,JJs Jp_ru.I,".un eJlulp stiJJsJelut"Js?rnJlsuoJ

s F$."i

6 ur lqoes nlnlrqou Epoleupultr ldVrJSounJelepoleu ulp Eun nJ nes lcaJrprJoJd lBod3sarlJJSJelUlp JolsJcund atrun:uad tJ r$ rg lugspltul l alauEld (ag.OFU)I IUOJJ OUBId IUIS IEZJUIN NB.S EIBJ EJEII

BprJuroJsl lruJ laJlseleluor j tnlnJpur lrJ3Jpol

-JaJrpJB lBdpr ap InuEldeiSoloragjaier l lxne

alausloep eleurulralepluls arpJ lBluorJrnlnrp-ur lrJ rolorBolBJouaFlB JIpJr lJaAalrr fcaior i taJBserauluJ: ' lBluorJ_ nrpur l lr nr ( iua;nc"IEIIIxnp rEId n elsr 6J apun) U l5 6"rg

r*alPJr lJeAleJeoJpJaueFlras;a1ur nJluad lBrp-orurRllnzal nrplr r lr r +lptp. larseulJlulIBluorJrnlnJpur l lJ elB IBJr l le^ rs IB]uozrJouoJBd;lJrluor.ep alarEolu:ouaF.rerug ]e r$ ,e

,r), ,) ,' Id 'rd ' In ' ,n aiapun6 'truoJlop a.ler lrxneauuld Ezr1ln ro^ oS .(tg

O FU) aluernruof,

rB aIauEd'eluluozlJo-oluoJle e$ole.lauaF r

?leluozrJo rfraro-r4,H Iolru ap 1nue1d c

rrruFrpJ urlqo s rarlrasralurl:lji3.|',l5: :un 'alaundalBlalar ,nr iuad oleuy .,g

lS ZraJeolJat.rpnlnueld er lelor ulp aJJeoluJ

rJrBap, S It uJ p) lplJ as ,nlduaxo ap ,r /:lund 'hol pzBl ap inJJaJ alsa ra:eo1'tarrp

Z,l,/o J(7

(r'/./r

a''/.tr

CtSta'l ,td

t t ' ) )3

u- /1ce/pJ./ /,/t?./ ./^

p/J2ecJeJu/

u"D./pL/.t//r

,ffi

rtneratoarele e contur aparent vertical,r r ia vert ical| a curbei de irr tersectie.:lgentl acestor generatoare

i; l . INTERSECTTATNTRE OUA Ctir r lURl." 'SI se construiasci intersectia dintre doud*sfiuri ale cfiror virfuri sint situate in planul

pro-este

th tersectio

vizi6i/itote



urizontal de proiecfie gi ale clror directoares,intdoui cercuri confinute respectivde planele'r"erticaleEi Q. Fie S (s, s') Ei T (t, t') virfuriie:: ,or doudconur i ( f ig. 9.54).Planeleauxi l iare:;re vor fi utilizate trec prin dreapta ST.'- - inele

acestor planeauxi l iare

pe planeleF:i Q sint convergenlen puncteleK;i Kr Ei::ncurente pe dreapta de intersecl iedintre:.anele P si Q. Pentru trasareaacestorurme

Fig. 9.55

se rabat planeleP ;i Q pe planul or izontaldeproiec ie.Tabloul studiului ntersec{ iei at demetodamobilului este urmdtorul ( f ig. 9.55).Intersecfia stco pitrunderea conului S pr in

ul T.

2opd se construiascd ntersecfia dintre douiissfiuri circulare drepte egale, cu axele con-

kr

\4

curente, agezate espectiv pe planele orizontal

gi lateral de proiecfie.Fie S (s, s') Ei T (t, t ')v ir fur i lecelordoua onur i i (hw, h'w') dreaptacare uneEte ceste ir fur i ( l ig. 9.56). UrmeleorizontalS gi laterali ale acestei drepte sinth ; i w". Toate urmele or izontale i lateraleale planelor uxi l iaredusepr in aceastd reaptasint convergenten acestepuncte. Proiecliile&' , 9 ' 8 ' ; i g ' rezuitd imediat. Intersecj iase conpune conform teoremeiMonge din cele

douaelipseale cdrorplanesint de capdt i seproiecteazd er t ica l dupl segmentele '9 'gi8'<p'.Cele doud puncte comune acestordouieiipse care se proiecteazdvertical in t' seobl in cu planul imi t i PP". Puncte le ,2 ,3 i 4situate pe coirturul aparent orizontal se oblincu planul QQ".

167

,yt:.f"Il?B FrEtlua;u'lrdurs"rffi":i;$_:J.:"..ylliasralut ]rarrp ace; 1odas' rariris

-=lu^.IJ l_ l qtzt nrpnls $ Jolalcund ".uup'1"?,s'Bs)alBluoJJareole.lauaFrcr$ l, ur iS

1

ni"?l,tr:y.".?.1:_s ,o uI

.

,3 raieolerbues";i.F ,^ HJ Rluaduel also alfcas:aiur ap req.rirc

BS.631:l

89r

B pJ?JIUaA. r foaror4 .rnJnuocB eJBolJeJJp

::l,it:._'.I.-l: uqr$141aiebtre;auaF.rrtr$ t uIp.t-1.dy-11?lsaarfcas.ralut

9p loqrnr e Rle+uoz:Ijo _:t-tllgrd'a:eo1pz-undiarbc'la.reoid_rdue8a: ?JPlllozlro tl".:l?jq uJp a1e1c'unduJctp

^lj :-"lp.p et ptpl l?^ eifcoroij_erfaasrelur

:l,.ltlr-lr e p9tuazlroeilcaror:b ri,ur:eiap::.llTIl{Pqltc nxp

-1{ylg n"rpuedredjse xrs

:p:l]- "tl"."ro-rdp.1ec11;erreldap .i,iq*1q",

l:lluljg'(og'oEu)trep nlnuoilnir;n ,', ,ljs

ojd-^.lnlnuoJIu p,luozlro;nlriul1o uaAuujt:11931ro"lmr f,n1lylui un ic'ariciror,i"p "iuozgo1nuu1dd olrerlp;nc.rirni lrizesug_rhocun erlulpu;iresralufosurn.4suori

:-,i1:.]lresratureg.oU)*"ru*iTffilll1q_qo,u-Bpolarug l"F rerlSasialulnln1pn1,lX: . {q: {

'd rs d tyJS'^r i lu i l r15ub; i ' .12e.6

^o.{l_ njn *neaJauedaleoicjrl irr"' T,,r,i"fiialdarp p1eci1.ra.r.rurn ,{ )



:1"1.1qi|9 i,rtj:^.lT_lltr.' InJrr^ :-jl q"ls

.a4ra;o)oe'flY:ltj:^

gSleluozg.rolauuld ;'i;lreisar"1"n1Jsil;a"uxf'.iltf"i,1i,mHljdm

J€lu PJsBln4suo, I

rs Nof, Nn auJf

I

:I

,

orizontaleale fronto-orizontalelor arese oblinpr in sectionareai l indrului cu planele e niv 'el.tJnireapunctelorse face fira 'c l i f icultate. In-unctelor se face fard difi

ie esteo patrundere.

ERSECTTATNTRE SUPRAFATAmreft+NDRTCAr o SUPRAFATA

POLIEDRdintreun

seconstruiasclntersecfar de capfrt i o prismi

triunghiularl"-o5iiciABC situaii iu biza in

3i?il ;T:i,:?i" ?,;#:1',1,rt:n,lffif,-,--;{,- l

- ' ,1')K\w')c)x-- 'ci l indrurui int

pranerede'caprt are crror* ,{ ff iH1'H-- urme erticalcu'direcfa proiecii i lorertl"r ie

."L-r-V. / //,/l-V, ale muchiilor rismei fi . 9.61).Diagrama

W \, irilltr;;1i1,'1i,.'#f:':,1'"""ni".,J'fi-**"-*- or izontalSa_intersec{ ieie corr ipunc l in t ie i

' r'ig. .sc ffi;Ue eliPsI.I

\ ) t Z" Sd'}econstruiascintersectiaintreun con



F-:f,

5-

:

:<J

<

;_pT,j5:gi:ffiju3i{r..tl :i;\SlfiHr?fdi'l,f,j"*?J''#;ilT,*"l,lJ^J},*;lffi''J:$t'"W;Xt*1,':.ll*ll*::"]iil'*f;::iTil"#,:Jj:_ilr "i:iiliil"f irmnilmctie.,i foidsesc lane auxiliare rte ;;"j'

(kr k').urna verticald.a.p-aralelei a muchiiie

ffi?,"??#";,ffiJ,it?e,11g,1'ffi,X""ilff1;,,1.,,6i;;ff,il'il;ii.#r"ifdl'gu) ranerer : - .ndrul dupa fronto-or iz.olr tale1fig. S.OO1.' r ' i tc : : le de inferspct ie s i t r rc l l . na . rorroi . t^ ,.^1, ,ni:mc:tlede ntersectieituatepe geieiatoareieffi,L { ;i N rezultd'imediat.renlru cletermi-ilmrie*run.1.lor p' $i gi de pe generatoareaB'roruentru punctele urentede pe generatoareleLF.R ;i S se roteqte lanul ad proti t al uneialluL,"r_rectoareleil indrului astfel ncit sd deviniiurmury:ai.-n elul acesta ot fi trasateproiecli i le

'nJputl ls ulJd rapruPrrd]rapunrlgd o alsa erllasJalul '(p r.{ c,q,nE 'FU) oloreolpurrn1u1s erirasralutInrpnls-rad lau-erFelq fU 16 5

1u1s llrull aleuBldzu:n ad elueJncuoJ i t t$ r1 alalcund u1

OLT

-un| : (gg 'Vt 'L) C :(gt W"OZI g :e,Ag,gt) V:ZZ : roparrp rnlnzlaj nzur : (bg ,w ,gl)

Slnlnuor 1nttry :pilraunu afinnldy .CgV pluluoz-gro p.lu1n;qFunlrlptuslrd o g$ ldirp .1qnrr;a-*uof, un eJlulp ulfcesralulprsplnJlsuof,es p-Sdg- \

'uoc urrd rausrfo=p*-"arapun:.19d alse erfcasralul .15a-r1palrun rJlod.rar lcasreiu- tlolJund - iueJnr I l ln Jpr lrxnpuBId un alsa td-

InuBId ?a t$ rdluls Fl lul l

slauuld 'y5 eldea;p urrd a1eo1 ,aJl ererlrxne

'8:anuocuJs '( ,9 'g)y eldearpurrd asnp

i lrxne Joleueld le 6 1nue1d d rS aleluozj irnf?rlrxIrtsolauelo alB d InUPIO AO 1S e|plUOZNril -,[orurfl '(gS'O Fll) 4 1nue1d ,1 ,l) ut $utt:aro.rdp leluozrJo 1nue1d ,{ ,I) ug al$au

:u1 'rapluerrd 1e (,s ,s)S lngrg.L r:d esnp

;nrpur lrJ laJeoleraua8l ( ,9 ,g) y e1a1ere6u;rd1up 4 lnuu1d p plnulfuorelsauzBq

Er u.CBVS Erllqo prulngqFunlrl p;uru.rgdu$ alfrago.ldp leluozlro1nue1d Elunls

aJBolf,eJrpInJuf, u ,u;qo ru;nu f, nJpullun eJlulp elfrasralul ar$ln4suoJ es pS

ot'aredn: o elsa elfres:a1u1 lraJrp plntpJrleod :olapund Eerrun .:IS eateole;aua8ap_eJar S rnlnuor ale aleluoJJ lerpoleJeu

i ad alpnlts alairund alBu[rrJalop etnqeJl



-:sr :d aprqcnu ad alunlrsalapund ap pjele'a1eFa r1 FSatnqertr rirarord ap aueld ap

atsls Bnop alal uJ alfcas:a1ur p :o1e1oundtoJ 'aJpJrJtJaA B:) 'p lpt l lJaA es erfcarordB Jet ' rar fcasralur e Blp luoztJo erfcaro:d

:qo as '1pder ep gurAap es eusr.ld 1glu1r: e FlBnlre;a arfcogo.ldap 1ec11ra.teld apBqrulrlrs.-rtrurrd(ru.6 .FU)

lep rnlnuorInJr,. (,s s)S al.{ ./g:,1 pwsttd nlqcnwnati6

69'6 Ftc

u

g

e'3. i - - ,

T-/

' : t i t r"

(

, .T-\tL '

' , , oL' , . , ,dI r . r " Y ' . \

:.'

\ r ' , t .\ r' \.'

, : t . '-1'

, . ) , :I

fi{j

t1

t

I

,*\

r, \"

\ 4-{-"

\-"L{- |

I

I

f



r'| -, ,- -i i , ra=I d l -- t

^-. ' - .-r- f f i

f e:r :ll

coi€.r*;iste:er ie" ivri <i'.

p€ *'cie :e

l€llir :

€3 5a6bc

0rizonta/

It t vtv

|rizonla/

c' ' 5'a' 6'b' c'

66-

q

qnq

6)

lln c;i*

esn

' 5i ocaJ-e

urTrxe"lru- :..1 i t--

-

0neL. . r :

le i : '

. i i .a : :fge::{,nePpe:::x

" E dlere l

Fig. 9.66 , b, c, rt

i f r i , :. RAMURI NFINITE N INTERSECTIArs-pRAFETELOR ONTCE r CtLTNDRTCE.lffi se deternrine um[rul $i natura ramurilorrdlnite in intersecfiadintie doui conuri alelrohn,rurbedirectoareC Ei I sint situate nlpmrulorizontalde proiecfie. ie S (s,s') ;illll t') virfurile celordoui conuri fig- g.67).

d'\

Fig. 9.67

Ca intersecfia elordoudconur i sd aibd ranlur iinfinite trebuie gi este suficient sa existe inaceste doul conuri generatoareparalele. Sepoate veriiica acest lucru transportind unul

€,3' 5t a,6 ' 6t 6 '

17t

89'6 Bt C9 6 :Eki

?iluqut Pcnua{o pltylpeJ lcund un Eqt

Q5>

g\4oqoaod grnuoag .quogo,,1-rd prllg

@trqoqDlDd ilnuD pno{

(4u6rcVoe/aq4nel ,noPalla PmPTopunlaoc laund nalog

ppelloq?rpd lihuDtl

pt4o 4t2d / f ,tD ,4o ' oao0

elpPunJuoe'32und?noo 21tl/lINlPta 3lDeJ zJ?und ono0 €

ar/logJailq tuneo onooejau4.qp 14

tlaeJ e?tund onoo @e 2UOg td/t/ trD uD J Dq aJl

. .. 3]2u9e/P. t'alooJ JJrund nr']pJ g

/cs\ unuo? onoPra/p /e Jrr watu 9/F tJtu|a.lo/unaD4 otnlau ls /n.,put4l

,t ti o &Jarnt

tqutF s.pJeJeJUt4JaleJrund fir,ounu

7,LT

t, /)r/

,9 '



rlcasps erer retlrxneueld iin aisrie gsl BauauasB CJ lnuoJ azauorfcas saJBJ

purlrJ BaJEolJaJrpclpe .lnuoc aliaulglugnrpurltJ B lrurJur BI ap aJuole:auaF _

Ii, iir

i

IlI

rS d luls Fllqll rolauBldalB alEluozrroJil 'P

.uJeluedJer\uociuJs alpluoztJo olJn JBI ',VS peJBolBJeuaFutJd a_lBolJaJl (rnl

urlrJ elaJBolBJaue8 f, elalBJBd ,rnlnuoJlB

inJr I^ urJd asnp arBtlrxneoleupid.rnlnJp

rirJ aloJ€olBJaueFJ FIaIBJBd ,u,s ,us)y3J dldr_BulsJauarJ FIaIBJB0 /3/s .ps)vs

)lBJauoFo aurluoJ uoJ lsacylarfcoroid

lPluozrJo nueld uI +oi glBntrls JFslqsul

rr pl lp o olsa aJBolJaJIpnJRce rnlnulnJr}^ (/s 's) S eld '(Og'O Fll) arfraro-rd p,ziro lriueld ,l glnnilt ',e gslqriig{qrnc bareolcerrp nrprp_l$ ,p ,p)g erfcarrp cred uls aJeolpJouaFnJgc l? nrpuryrc1g

arerraue,ploueld"" ;:iL:33:[:'lllllt:

ueJuolleJlppu f, Inzslu nJpullrt un g6uor une4ulp ugfcasralugul ellullul ellJnuBJ runf,ueuluJelap es gS .alrulJut

IJnuer r$ r.n,r1odas arl3esJelur -JluJ ,Rslr{)u pqrnr o pFu1led

'Bououese o 'allJalrp unl8u ep elturJlil rJnur-BJuullnuls eamde 1od arfraslalur $baace 1

arasrnr,rrasraluod s'1?ru"i'jf,,$,,iil"o0 BJonsB tlnJSrp oJqBlun-JluI eJluaJuoJ

aleod a5 'a1uaFue1.ro1aue1dolaruJn 1earfcas-Jalurap tl rS r alaloundurrd asnpacrloldurrselt iseJlpenopalar.pla1a1e:edlurs e 16 alelnpcaleloldlursv 'W lS N

,rW ,rN alelcunduJ areol-JaJrpaleqrnJ BI alo]uaFuel lurs ereolerouaF

Jolsace nFun[uI tJnuoJ.Fnop le] e1 aiuoFuel:o1eue1d lagrg .WI

I$ rryg ires ur' rs lusalareoluraua8d11u1;_u1IapelalrundugaialriSF-r{etr uJl eruolezundsa.loclaloldursv .arrlol-durse lfcarrppnopElepololpuliuaza.riierruoi-eraua8 lsaf,puq ,lurs

16u; ,ruslugsrJnuo3

pnop elal uI alalutudelaJuoleJaua8.la:ndaInzeruJ 'laJlsv trnuoJFnopalar u1 a1a1e:edrolaJeoleraua81nr^eunu6 grrfca.rrpep j r$3alaqrn)arlurparfcasralurp alelrund CEqJnc

nJ azelcasJalurs ps nu nes eleodt.1 eqrn3'JolaJpolcoJiplB lptruozrro nue1d 15au1;1ugJolrJnuoc ol lJnJJI,\ ldualpaJEJ I ( ,{ ,{ )

In}-JundnJlrodeJ uI J nc Follalouo

,I; pq;nco rgBA slJoosuEJl InlnuoJB aJeolf,eJrp noN .Fp

-lrulor ps rnuor FnopJolacelrrnJrJAllrul le]lse'rsnsulIa nJ laleJed I nlduexaap) r lnuoJulp

qradrq rnlnrpu_rlrJ 1e eloldturse alaueldlnun nr lalered rutpxne ueld un alsixa s

arnqaJlaripnlrs plsBaceu1 .(acrloqerednesIoqJadlq)alrurJut tJnruBJ ipsug ea ppesod

auo]foesreoleroua;alsar' "F";l"ir "#i3lua8uul_1nue1del,rnlnJpullrc areblerauaFg1a1e:dd'reblerairaio 'u65'ao pplxg -

'nJpurlrJ n 13uoc un eJtrurprfcosralurrul allullut IJnueJ aredeiod arecul rJnzet

luls 'ellullut rJnuIeJ3Js nu lnlnJpulllx

in t dou.l te ntr- :ru.

a le l i cl lE lc l lL ..

: l oneal

l indru:I ndru :perbolc='ebuie "unul d lperbol i :r trebui.rc{ ione::

I t ra lea l=

Pdr drr :

D3f€ €Si:

orizont:

,5 ' pr in.secfiorrareai l indru lu i cu planul T sinttangente urbei le ntcrsecl i t .n punctul r le air t f i r r i t pc SA. Accsic gcrrcratoarc ir r t doui iasinptote. Punctele la cl istanf f nit i i a leintersec{ ieiseobfin pe calel obi;nuita, ca qirnor iuld t nnirc I lor .

9.6.PROBIEMEROPUSE

l . O cl ipsr is i t r r r t : r rr planLr l r izontr ld lrect ( )arei tr )ml l r t i I r lot l i j corr t t r ia lcproiecf i i leor izontalepe el ips i . Si i sct r rsecl ia acestordorra conur i .

de proiec{ie .stet'iir'or virfuri ar rcorLst ruiascin-

Ir i i1.9.20

- dintre planeleuti le este R. Se observl, .:r aceasti intersec{ie doar arcul ap^i al,r: :i T furnizeazi puncte utile. Cum pe:: l zrc nu exista o generatoare conului

2" Se considerdconul cu virful S (s, s') a cirui direc-toareestecerculC si t r rat n plairLr l r izoir tu ldc proiec{ i t :gi se duce fronto-orizontalaD prin S. Fie T Lin purictpe dreapta D pe care i l alegem ca virf pentru rin altcon rvind aceealidirecioareC. Sii se deteiminepunctulT ast fc l nc i t i r r tersec{ ia int re cele doud conur i s i i fi co parabol i .

3o Se consideri douii cercuri C ;i 1. tangente nterior inpunctul t ; i .s i tuate in planLr lor izontal t le proiec ie.Raza cercului este umatate din raza cercuiui C. 'Sa



' i r ful cr-ia curb.onta l i .teratoa:lr le c i l i : '

v ir ful 5ci l indr:- .r r urne.:

Urme.rP,r i a

, : : ,e la cu generatoarele i l indru lu i , in ter -, ' ' r nu posedi amuri inf ini te. Fiecareplarr

iar da un punct a inf ini t pe generatoarear . [ Dimpotr iv i , in s i tua{ ia din f igura 9.70,- - . le P ; i Q ale planelor l in i ta def inesc

--- . rap pecurba , care on{ ine generatoarerr" :aralelScu generatoarelei l indrului. Pla-, T tangent la con in lungul acesteigenera-,- . SA esteun plan uti l . Intersec{ ia osedd

" --r i in i in i te. Generatoareles ; i d, ol i{ inute

se cotrstruiascii ntcrsec{ia dintre i ' i l indrul ver.t ical ;rcdrui directoare ste 9i conul echilatcrala chrui cl irec-loare qste C.

4" Se consideril etraedrul. egulat SABC siiuat cu fa{a,{BC pe planul orizontal de proiec{ie.Sd se corustruiasciintersec{ia elor doui conLrri are aLr a virfuri ouncteleA 9i B, iar ra directo; r r t 'cc lcur i lenscr isen teleleopuse.5" Se consider i doui dreptc D ;i J s i tuate in planrr lor izontalde proiec{ ie are s int gerreratoarelee coniacrdint re ac^est lan ; i doi c i l indr i de rota{ ie de razer ;rR date. Sii se constluiascirntersec{ia elor t loi ci l jndiiq i t r r rgentr lc rr prr r rct r r l r rblr r .

L73

'a l l lo l t r lJJerdnsre

{;r 'ar) : (rx tr11luorJ ap ruerpuau rop raoarfuurrxorde

rurrd u3 pulurralap aV16

rV alalrund nc gunardulg

+rec '(fC 'ad 6gtS (lq 'rg Ig elalcund ariulo: pdnp

:undsarocIJ (,q'q) g rnynlcund Foleuy '1es'Ep)6y 15qlu'ru) Iy alalound uJ J luorJ ap 1nuu1d zeolJasraluro:er '(,H la^lu ap 1nue1d g 1un1rs) <opzer ap 1o1e:ed-n allelor uI ollrsJp (,r 'a) taq. lnc1e (,u 'e) V orecareo:rund un '1ay1sy (1edrcul:d uelplrau.run) rafaie:dnsr arfelor ap exe urrd snp ,J

luorJ ap 1nue1d t1 1enl, ls: iorJ ap uBlplrau un oulturolap s Rs ualrlJnsalsa aJB;a:: iJs arlBlor ap afale:dns loun alp auBJplraur laqrnr+IBol lJrnr lu l ' ( t Ot 'Fg) ( , r ' r ) a ler l l ra^ raxu lnrnf-:r (,r 'r) raqrnc erlelo.r urJd aral$Buu aJBr efe;e.tdnslseaoe n;1uad FJaplsuoJoS 'pteJllJol olse pxe teJpf,uellelor ap efaluldns raun lnu?lplJeru auluralep es qS ol

'RI?luoJI nBSBIBrllJaAalsa allelo: apil laJerdnsBxE aJEJuj allJaJtp rriBnlrs Bnop BJaptsuoJ:.] . \ AS 'NYIqIdSW INNN VSUVNIWUSI: IA 'Z' I 'OI

'aJrJluoJuocJnJJaJ p ualsts un-Jlurp tnlFJIellsa leluozrJo luaJBde nJnluoJ tJunlB 'e1el

nLl

' lJund uljd-aJaJl oJBJ uerprJau InuBId ad

rBlncrpuadrad unBaplolulolsa arlplbr a afag-pJdns aun IB lJund un-Jlul luaFuel ueld un'(.1 raqtnc 1nro1u;),J eJEolBJeueFqJnt lalsaJu

lnJoln lB nJ slBJprdns urJapaleod as, la laJ-erons llelBJBd lol azalJ€sJelurs llcul laJlse'arlBloJ op efele:dns ad BlESeJlO eJBJaJpoFqJnc o eJaprsuoJ s FJBC

.3[BUOFO]JOaqJnJap aualsrs pn-op salnlgrle ariBlor ap elajprdnsloun l l la leJedr$ nuetplraw .l3truorJuuiplrauueld un-JluJ lBnlrs uBrprJaruIaJB

atlBloJap

ralaJprdnse l"dltulJd uulplJaru unu eA aS'alBFa oqJnJ luJs lruerprJarutlol

,eauaruasB

eC 'ralaJBJdns XEnf, lJodBJuJ FcrJlorurs lso

arlBlor ap afa;erdns laun Ip uBrptreurgqJnJeJrJoR) luopt^a alsg .laialeJdnsl3 u8lplJeul

ulruJnu BqJnJo alsa uBrprJaur ,rBldun-JlulJdpfugerdnsI plnJpJ aunr iras BI uEtptJauluuldun ornlrlsuoJ raieJBJdns xB ulJd aJaJl aJBJ



-lue^ oluaFupl ap oJBJoJEopunu un rsunull l IUpB alleloJ ap ElEJBJdns J?O'lu?'rozlJo:ueJBdB nluof, FlulzeJd nu arlBloJ ap BiEJ-tsrdns )ru rJunlB 'alecrlran aluaFuel alrupB:1u InuBrplJaiuglt?c 'aJEotrsJauaFlaqJnc nBS

-nlnuErprJauralB ls lox8 alB alBuoFolJo tqnpitrrrutruazardarrrd gllulJap rJ etrEod riulor apiiBJeJdns 'RlplroFo-lrolqnp eaJeluazaJdallrrlelor ap efe;e.rdnsEl _Blerrrrou plepotroi;rsJ rnlnuErprJar[Ie ]cund un-JluJ ulBruJoNiJund tSBIacEJ BxBalBol ptrJasJaluloA aJEJ

'llerBdlnun alalrund ug arlBlor op alaJErdns

'FUn ssnp alalBurou nJluad rs IrqBlBA alsai- iJnl lsaJv 'lJund rsEIacB J BxBpzBelf,asJalulelBrpd sernlarBInFunJuI erlBlor ap eloJBrdns

iaun alua8uetraleuBld alBol 'EaueuasBao

aJpJaJPoeld un 'olrJaJrp zeJap rJnJJaJuJserislor ep alaJ?Jdnseun rrlaleJsd lerauaFul'leieJpJdns e lel?Jud lrunu olsa cJaJ lseJt'1; BXp ad JBInJlpuadJadlsa us{d rnJFclBrS U BxB ad V lnlniJund Brl)erordalsa nJluoJrnJPJ B JJac un AlJJSapJ reqJnJ lB V aJBJ-aJeo Jund un 'atlBloJ ap aJ BJ$ruBlsBa)eul'ralatrBJdnsxBnldurs Ipru nes agiulo.r p pxu oarnlrlsuoJ o pldBaJpnlspasv '() eldeJp au n

InJnf uI alselor es aJBJJ pqJnf,o ap FlBJauaFpfege:dnso alfulor ep ul?lurdns a1$aunu ag' i ruvrNazaudau' t iv I t ' IVuaNsD't ' t '0r

l lvutNlc

I | IYIOU CI 'HI i lVUdRS'r '0r

ilIvrou rc SltlrJvudns

x lnlol do3

e uneiparalel

;t lucru;e uneiparalelpunci.

, llll 'r se determine meridlanul unei suprafe{ede rotafie'

rllr i.iti axi de rotafie este.frontali. Fie A (8, 8') axal'urrrr:- i,ai (c, c') curba generatoare suprafe{eide ro -; lmrr i ig. 10.2). Un punct oarecareA (a, a') al curbeilM : descrie n rota{ie un paralel al suprafeleisituatt t tr : :ul de capdt P', dus perpendicular e axa de ro -Lirr irr*-\ (b-,8'). Proiecf i i le razei acestui paralel i i ind

il i l f l*r,01), adevirata mirime a paralelului

Fig. 10.3

10.1.3.PUNCT PE SUPRAFATA. Fi ind dat i una dinproiecfiile unui punct siluat pe o suprafa{i de rotafiecu axd verticali, si se determine cealaltd proiecfie a



ui esterotal ie.rpraf {ientir i le

l ianuluinul nu

supra-aparentadmiteI vert i-al esteentrice.

Se vor;upraief i

l rotafie,r aceasta

[c, c') i :cit toatealie sini

de fron:rotaJiean puncfota{ie unH') , caie

, 1at, i l

nrespunc

til, care

h pr imi

= ( .g , .: )

se ob inel ln l f : - , rabatere sa pe planul de front F al axei de ro-. " - . rs ider ind ca axi i derabateredreaptao1B, ia '1,

lL i t t ' . , : ,:ontalaplanului acestuiparalel .Se obf ine ast fel ,tn -- raterea punctului A (a, a') , adeviraia mir ime

nrr , : :azei paralelr t l t t i i totodatd se ob{ ine punctulu" ,,r". i) ;i Ag (a2,ud in .ur. acestparalcl int i lne;te

it Lii l l :e front F dus prin axa de rota{ie. Acestedouirr t i ln;1 .{, gi 46 apar{in respectiv celor doui curbelntruu"ri-e (egale gi sirpetrice fa{d de.-, ' in proiec{iawi lur" .r . 1. s i tuate in planul de lront dus rrr in axa deurn". :1, s i tuate in g .anulde . l ront dus pr in axa der i- : J suprafelei . \ r \y - 1

b

punctului. Putem consit lera;i aici mai multe situaf i id ferite.

l" Fie {<o, , i) axa vert icald de rota{ie gi (c, c') curbageneratoare suprafefei e rota{ie (i ig. 10.3). econsiderdcunoscutd roiec{iavert icald a' a unui punct de pe su -prafa{: '1. Ianul de nivel H' dus la cota acestui

punct

este nt i lnit de curba (c, c') in punctul (m, m'). Se ob -f ine astfel lza am a paraleluluipe careeste ituat punc-tul c iutat .Linia de ordinecoborf t i d in a'di proiei t i i leorizontalea, i i au care definesc ele doui .ot i1ii. i ir . ise cunoagte roiec{iaorizontalSb a unui punct de pesupralafa, econsideriparalelulde razh cob upi care seproiecteazi ol i paral-el i is i tuaf i in planele 'de nivelHi, H;, H, Si Hi, determinate u ajutorul punctelora

9i p. Se ob{in proiec{i i le vert icale ' t l , l , 9i bi, caredefinesc atru solut i i in acest az .2" F. ie,A (8, 8 ') axa f rontal i de rota{ ie gi a ' proiec{ iavert icalda unui punct A ( l iS. I0.4) . Paralelul hre receprrn.acest punct este s i tuat int r -un plan de capdt , acirui urmd vert icalSP' se obtine ducind din a' o per-pendiculard pe 8'. Punctul (or. oi), centrul cle ota ieal paralelului, ezultddin intersec{ia xeiA cu planul P,iar raza oibi a paralelului rezult i cl in rabaterea peplanul de front F a punctului B (b, b') in care curbagenelatoare c, c') int i lnegte planul P. Axa de raba-tere folosit i este frontala (or8, oib'). Perpendiculara

ln a' pe P' int i lnegte rabatereaparalelului n m' 5i n' ,proiec{i i care se intorc din rabatere n a,

,siau pe linia

de ordine coborit i din a'. Proiec{i i leorizontaleciutatesint a, gi a, care impreuni cu a' dau doud solu{i i.

3" Se considerd o suprafat i de rotat ie definit i de ocurbi generatoare c,

c')gi o axi de rotaf ie oarecare

A (8, 8'). Si sedetermineproiecfiile unui punct oarecareig. 10.2

t75

9L l

9'01 3lg EIc'01



d elsare Inzer uJ 'r ra( ' lup lnlound ulrd orar l .orecnuBlplJarrrnuelr l u1 Rlnutluor alsa BlBturou allelol

frpafaieidns alunnzec u1 '1u:epgsuorlnlrund xJ Bsnp

rEiele:t insl

'Eler[rou

ad

.rulnrgpuad:ad

alsapfulwdnswrseacudap cundun-rlu1 Nele:dns1 ua8uel nuuId06

"L

9lBcrlJo BIUInPp ,A nJ

W-Jn JBJ 'x1 pllnzer :As nJ laleled 1 atnp as q ulJd1,a,s'As) plBluozlJo p S tl plBluozlroPlurn PlseaJB pflpurruralop lsa luoFuul lnueld 'q u1 e1en1ca1a 1|u1or

aulparruoluJ as alua8ual loisace u rq pluluozlro purn

-rxoJJ p 1n1nue1pr:au , ,W elBJrlrrn elfoalo:dei |s u1

nrua8uel.'(jfls 'rqrs; BleluorJalsa zBr lsors ul ugue8uel

t.ill 'w) luorl ap InuErprJaur r ?plJuroc ss lJcu laJlsBqre p Jatrrnlsace uriuloJ gJaprsuoJ s'1ery1;o,r uuld

un-rlu glBnllsalsag lnlrund u1.ld ca:1 r Inuulplrau ulnua8uel aJareoa6 'sc, ezBr 6d glzluozlro uriraro.ld u1n"zlnetpued:ad,,r,s irs) ElPluozljoelsa 5 lnlcund utrd&lall aJ 1n101e:ed1 eluaSue; '1rund lsace ulrd carl a:er'n1a1e:edr$ lnuerpr:aur 1 alaluaFuel p leuluralap olsarli.ss) S lnlcund u1gieprdns e1 ua8uel 1nuu16(9'91 3t1)

rup gfelerdnsad ap lnpund (,s 's) S rS 1uorl ap Inlrplp-r. laur ,q1 ry) 'arlulo: op pl Errlro^ BxB (,to .) alg

" l

.n1e1ue'uu1poraruaporau""o''; iil;"i"lo:3T,,i,?:-';1td untpltau un ap p1rultap a7s7 llt4ot ap olotrudns ptw1176plntntdns pFDarDad ap Tcund un-4ul 'ailopr ap

vlntotdns o q TuaEuq lnuqd aurwtalap as pS 'VIVJ-Yudns d I9Nnd Nn-UrNI N:tcNvr Nv'Id r'l'0r

. ' ,L,-, ad ,q u1 eJrPr lasalBJ

*q ad q Fp I pl 0q rnp u1aluru4 (,I ,ro 'J,r.r) lrr icarordgttnzaU J,0tooq1n1pqgjalda.rpnrolntu na aralpqBr i)

r lrpu as aruc '1a1e:ednlsare ua:oluqerad 0qlrund un

;3.r1e g'((ro'roor) pnlrJ arolpqErcp Jrrrr lFrrnr.r; .1ro ug

ilsqsj as rn1n1a1u;ede ,<o or) nllual JEr'xlJ ouJrup.t':1rund 'arolBqBrBlseaJB l '( , t '8) g ulelrozrro araleq

.er ap,Fxe Bc pulnl ',H lelru ap lnuuld od rnlnlalered

lnuuydaleqer eg 'y urrd snp lpder op 1nue1dS n1n1o1-e:ed 1nue1d rlurp arices.relur p eldea:p also (,$,t 'Sr)ur

1n1de1JreluoroS ' nlnlal"rad

1n:1uar'(,or 'o))uJ v.

exe ep lelcasralur alsa ueld lsarv '(,S 'g) g exe ad:elnrrpuad.rad lnpund ur;d gsnp '(, 'I ) J Bleliro.tJnr 1$ ,i 'F) g elaluozrronJ Bullrtralap leod. s laleredlnlserc InuBId'(g '0t 'Fl t ) V rnlnl lund ynlalerudad

luzo$e (,qrq)q lrund un Flner as 1( '(,r 'r) oreolur

-ouaFeqrnr ad 1en1rs (,u 'u) V oreJaJeorund un p:ap

-rsuoJas BaaJE C 'a1esalrrfraro.rda:1urp Eun pulJsourlJ

lound un aultuJalap s es'1e:auaE i 'a1uod s nu alfenlrs

klseaJuu1 'ogie1o.rpgiupdns llsBare ad 1un1gs'(,q 'q) g

f '0 t 'Etd

e, puncl';i se rabal.l . Sc alcgr

: se r id i . ,

: . Rezult i

tbPee)*

E SUPRA.s,rprala:.-

atd, ttiiildian prir."rngentelor

M') merr"raiat i da :ulS{s,si paraleluul ce trer-:endicula: i) tangenlrrti intr-1.:-

meridia:.t ( ir l, M' r

, tangenii

i de froni

loarce di :

letermina:

rrrrf tr, ,L-. rara ridicat: l ln sj pc sih, intersectcazi xa cletnrri, i iuin punctul (a = <o,a'), astfel incit (so, s 'a ')rf l)r i l i lr , . -"- '"roiec{i i le normalei la suprafali in putrctull l l i i lrr- Planul dus prin punctul S (i, s')

'perpendicular't t t / '. lr5: segment (s<o, 'a ') este planul tangent la su-rrurir i l l- :e rotat ie.illli liI s€ determine acum planul tangent la o suprafafiLrilluldalie inir-un punct de pe aceasti suprafafl, utili-rumcmetoda tangentelor n cazul in care suprafa{a estedltumliirnr,-,ie rotafia unei curbe generatoare (c, c'). Fie

ara vert icalSde rota{ ie qi S (s, s ') urr punct al, i r ' , : - - r i s i tuat pe paralelul planului de uivel H'( f ig.

?enlr r r a ie iLbl ine pla-nul angcnt la suprr ia l" : i: ' - - lu l S (s, s ') , se determindmai int i i p lanul tan-

r111trru|r: suprafaJi in punctul M (m, m'), cu ajutorulM n :rud tangente (am, a'm') $i (mB,m'B'), duses.ryr: , i. : i i 'a paralelulde razd. m gi Ia curba generatoareui : .\cest plan tangent este ntilnit de axa verticaldturur; i.r ie in punctul (.

-a, a'). prin acestpunct trec

rir ir,: lanele tangente uprafe{eide roia,t ie n punctele

rlr i:r, i : :pe paralelul de razdo;m. Acesteplane tangente.-- - . : : l urmare tangente onrr iu ide roiai ie crr v i r f r r li lu r. circumscris uprafe{eide rota}ie in lLrngulpa -'r ir t :,-- i de razdom. Urma orizontali T a planului tan-t lgru:t. punctul S (s, s') la suprafa{a e oia{ie treceprinl-: : 'r izontala h a drepiei (generatoare)o:s,a's'),':.r r :erpendiculard pe proiec{ia orizontale cos.Urmariv-. :=.a ' a planului

Fig. 10.8

pq c al suprafeleisituat pe paralelul de



(sv, s 'v ' rcale ttr: l:

pe aceasi;

supraiai,

Praietecrridianulr-;castape:-

tangent receprin urma vert icaldr' , -:eptei (ros,a's'), iai direct ia bi se determindcutir,rm;".ask, s'k'), deoarece LrnctulT* cade in afaral l i i*L--:-Jf eDUfei.

,-r'".* .iir;if, si se determine planul tangent la o su-

ililrflnmi&e rotafie, intr-un punct de pe aceasti supra-irtllrtr- tilizind metoda normalelor. in cazul in carerulrur-r:aqaste definiti de rotafia unei curbe generatoarerilr i Fie (o, <o') axa vert icali de rota{ie qi S (s, s' )

9-l razd(f ig.-_10.8)..ormalaa suprafa{ade rota{iedusi in punc-tul M- m, m') este perpeirdiculari pe pianul tangent lasupralata, determinat in acest punct de tangentele(moc,m'a') ;i (mP, rn'B'), duse es-pectiva paral6lulderazd.am

_gi

a curba generatoarec, c ') . O-dreaptE deiront a planului tangenteste ag,a)B'1, 'cleci erpendicu-lara dusd din m' pe o('B' reprezinld proiecf ia vert icalda normalei Ia_ upraf t i i duid in pr inctul 'M (rn, m,).Aceasti normalh intersecteaziaxa vert icall de rotat iein punctul A (-a,a ). Dreapta (sa, s'a') reprezint i n6r-mata ta srrprala a n punctul S (s, s,) deoarece oatenornralele a o suprafaldde rota{ie n lirngul unui para-lel sint corrcurenten acelagipurrct de pe axi. pianultangent Ia.suprafa{deste determinat de frontala (f, f, ),siorizonta. la^(9,'), lerpendiculara e trormala sa, 's'a,)i rL puirctul S (s, s ') .

I0.1.5. PLAN TANGENT PRINTR.UN PUNCT EXTE.RIOq. 55 se construiascd a o suprafa [ de rotafie, prin-tr-un punct exteriordat, un plan tangedt al cirui'puntt decontactsf, fie situat pe un paralel sau pe un meridian dat.

lo.Fie (co,or') axa ert icald de rotalie, (M, M,) Lrn me -ridian de ront al suprale{ei e rotaJiegi A (a, at) punctule; iterior dat. De asemenea,ie H, proie -i ia verf icali aparalelului dat ( f ig. 10.9) .Mer idiahul de front al su-prafetei ntersecteaid aralelul H, in punctul B (b, b,),iar, tangenta dusi ln b' la proiec{ia veiticali a nieridii-pluj {1'- int i lnegte axa derotaf ie ln punctul S (s, s,).De fapt S (s, s') este virful coirului Circumscrissupra-

fe{ei de rota{ie n lungul paralelului H'. Planul tanlentla.acest on dus prirr punctul exteriorsuprafefeiA (a, a, )este totodata plauul tangeut la suprafaJade rotaJie,Considerind ca nou plan orizontal planul de nivel H1dus prirr a; se determini urma conului de razd coh peacest ,plan gi cu aceasta generatoarele (sm, s'm')

-g i

(sn, s'n'), care dau Ia intersec{iacu H' punctele deig . 10.7

177

8Ll

ill

iiifl, l i l ,

,1 1

rl

(OtOt 3l t ) lep. l ln l rBrprroul . r?lpluozl . rorf raro;d r(.u, ) , raiajuld] ls



(,ru,r 'u le) olalueFuaI ' tn lnlal?rud Iu ,H lalru op:re1d ,e 's) V uI a16au111u1ur:d (,p .p) q urloa.rrp

r Esnp ,9 'g) V E1alered(,p ,p) q elirarrp nc e1a1e:ed

jrJ lsoJe u1 alua8uel alaueld BJsBrnJlsuoJs FS',W" ,r uI uluaFuel pugcnpaurlqo os r$ (,s ,s)g else uoc- lsJJB

InJJJn Ia sr lJsunJJtJlnuoc ur. rd1ep rnJnJalered-lrrn1u1arlelo: ep elulurdn_sulnroluJ rarlrxnE

nlnuo)r: ') lauj tszBazrlt ln s alrund atrs3JBullqo E nlluad .o

r -- lrp nr 1a1e:edla sllJsr.unrlrJnrpurpJ ri pie;e;dns;-:urp lcellroJap raqJnc rlrede eueyd rolsare 1eefuoF., i l ap alalJund FlBp elfra.trpo nc ayale:udarfelo.r pr-i:e:dnso e1alua8uelaueldap alBlrurluro Btrstxaa;ouoF

' "( l l 0 l '3r1)ar lu lo, rap EIBr lpa^ exe (, ro r.:) alg .l

'(,W 'W) 1ud;euJrd elplreur un-r1ug.rdnrurlop alsa egiu;o.rep efelerdns aJBt u InzeJ u ,lup

.${,rprJatun ed nss Jalund un ed alunlrs putlJ lreluoJ ap#ilrund 'plup (,p 'p) O pldeorpo nc aJalered e;ie1or p{:: ;eldns o uJ aluaFuu;alaueldauluJalep as pS .yIVC

I[] , IUIO O n3 'IAlYdYd JNACNVI NV'Id '9 I 0l

"w

luoJJ 3p InuBlprJalu lr r iurl o u1|nd Iar oJnp uluod es es re urp eJ arnqaJlr ,rsodat1FS srualqo.rd 3'1cund rnlsice rolezunclsa:oc' , 'c :cd e1 (, r ' r ) r r1 glua8uel Eleluozlro S (,r,u , rce)

ralp. rLi l iuoJ BJ pult lS elul :nSn n; ur iqo cs luo8uelr -.re1d eleur-rn lalnpJ (,r .a) uf uaFuel ap lnpund

- ?lnrpJ erlelor ulp Rullor as ps t$ ,W luorJ op Jnlrn

. iaiuu1 rrru eluoFuelpJllp os ps Ie urp uJ luorrlJns' r rVInlrund urrd asnp nlpurlrr lsocE EJ aiuaBuei

::z1d 1u1salBlner alua8uel alaueld vJoJuooq .(Iu

t IV uj altalor as (,e ,")V Inlrund

.luorJop'purlap BS-.uBlptraueJ rJap ,trRdeJap a1a;uo1e:orraFJ pur^ap

{ -pLrr l lJ sJJts J IaAluap ar}e1o: - :1ur :dernpea5 .pr : r jaLu Jsa)palpolJaJlpEc pUIAE i ar iu lor ap taial: , : : :s sr.rJslunJtyr1do.rprluozrro lnipullJc sJoprsuoJ S

rorr,)1xrIniJuu0 (ru y lu luolJ rp Int rsrp-r . r i lu (,w 'w) '0r lBlor ap BlerrJ ls ] \exu (, ro, (D)olc.a

_.Lloezel ap tnlnJJaf, JeJe J arJ3s? ?J ernqaJlElrqrsodorJ Bs prualqo;dec n:1ua6 ro:nda

InrpEJurp sar ale .elsaJe ptzer u1 'piur.tnSnnJ urnJu

qrrnrr;Olap^as1uoFuel,rnJnue1d1aLu.r-1ar]a;o.rap efe1erd-ns rs l t r , )ducl nueld cr l rnp ,(,d.d)1S , ;o,n) r : iuaFuei

6 0t FIC

i i r lS Si l i . "i I rner id: - ir i l i r rc l rL:. ,

e; id ianu.e in A, ra.

r. t p la. - : :

u l A, e.'

la merl

r l : icuta Ie planl-I :e orea: -1 Parai . "1eposl . ' ,

f , tang€ -

DTRECTTIr suprafa:rr, puncte|tn meridi rte deiini:"

r0. l) :-rs 'Jprai ; -' le de ta:act di i l l - :u direc-

I r ig. 10. 2

' Fis. 10.13



la metc:. iir lr-r; i i-

u: aces -t inz '"acest c:

' / dusa -l ' l Pla:.-a 'm') .

L, l]&ll i l i l ir,ni) cluse a acestparalel dau punctele de tan-

i iurr r .-:ate, care apar{ in totodatd gi c i l indrului c ir -tmr - , :uprafe ei .

," ' ' , . :sideri acum cil indrul circumscris supraietei

n ,-. . in lungul mer idianuluiEi seconstruiesclairelehir t ,r-: .a acestcil indru paralelecu direc{ia D (d, d' )fl . l) . Se alegeun punct arbitrar S (s, s'), sitr-rat e{ ' . :a l ie ( . , .o ') g i se ducepr in acestpunct planul

i lr ' . =. cu direc{ia D (gi cu generatoareleil indrului).r ir 1{. :e asemenea n punct arbitrar (a, a') pe paralela

ll l l l r :rr si se dLrceperpendiculara crp, 'p') pe N., ,Lr ', ' .a dint re planeleP qi N este sF,s 'P ') . Pentrua

jl i :angenta a meridi anul N paraleld cu aceasti iu r , ' : ' . : se eleciLreazi rotat ie a acestui rner idianur i - - se uprapuue esie neridianul e ront (M, M').

u Lu,r-: ia M' paraleld cLrs'pi dd punctul 1m' mi )

l l l f f i l ,;carcedin rota{ie n punctul de contact m' m' )

- PLAN TANGENT PARALEL CU UN PLAN DA T||]IMIIIfrI.IIII|- P IE SAU PRIN DOUA DREPTE CONCURENTE.l[T rlr ::,nstruiasci planele tangente la o suprafafi denmrfiftLr,rc.aralele cu un plan P dat prin urme in cazul in,rmuruu'raia{a e rotafie estedefiniti printr-un meridian{u lnrffr: . t{,M'). Fie (<o, o') axa vert icalS de rotaf ieil i ir . :r. Planul tangent ntr-un punct de pe o supra-inu 1 :. :at ie esteperpendicular e planul meridianuluirmnp--' prin acel punct. Se duce prin axa de rotafie

rtr i, " : i ical Q perpendiculalpe P, caredA n suprafa-, ' i ,* ' - : iul N. Planul P este ntersectatde axa (o:,or ')r, ,--. S (s, s'), care se ob{ine cu ajutortr l f rt-rrr. taleiillllt i, r . Intersecfa dirrtre planele P 9i Q este(sa,s'a')..$p - '. meridianul N astfel ncit s: i coincidl: i t r rneri-. , , t i l t t rr; l : : tal M. Dreapta (sa,s'a') clevine sar,s'ai).

l l l l l i , rL ' : ,unctnl de contaci al plarrulLr i arrgent a

supralzrt ir aralel cLrplanul P este situat pe tangenta

paralel.{cu aceasti intersec{ie,se duce paratela a s'ai

;i se obfine 1ar,ai) carese ntoarcedin roialie in (a, a').

Prin punctul de contact (a, cr ') astfel determinatse duceplanul R paralel cu planul P. Se observi ci urma h, se

intoarcedin. otaiie in h qi aparf ne urmei R. Dar planul

Fig. 10, l4

I7g

08I

:? -1tY_1oliulor.ep iulu.rdns erlulparirosra;u;rp

nt.l-r.JlSjntrcundnun a1;3ira1o.rdurrir.roiepsps .t

^': 3.etunopolsrre.1e.retJ,rs'.raprsuor

"i.vrix"<i

?,.q_vs.orNocVivrvuans'o S rfVj6uYlYJvudns sU.LNtqlicisuerili:oiYtir

r a1n lrurrtr r iu.,r rulu

'cult t i ' l 'rs' rp

rer , -^,- - -^ - . ,_ . , ) DJOUT?rplJOruorrpldq( 'Bil iul,"L"_.1-:?.$un o1 : e1 r1uf iiiir,r

-""ulh,rr",L:13.9 l.eunutunllras1e pund lnrrriqori'1od:::.V_-'c,llusJ urii:n 1s'su11iu1i., iiui'J[ iirr"3'-.:::t_j:ly:|^^u ?laluozlro ur-rn ,rl I't; a1g lJiqlsrrsaJr-JJnllsaru ernp) ,] ,s eyrcHLrel ls'arrrLjsrro"ji

ii, i: ,:I.Y:l^ j:l1yilp,i.,r ea:eriruriel'aprlurd, ,? l ] tp rErI ryne nlnueld 1n.ro1nfei r r r iq<i ,s tut l r j- lnuBtprJorud olenlrs nunr iJJse1alt r rn.1rrr ,n i i . l j *_': : -Tcryl rs4

du d+uir+rsl lunrlJos 0[alJI rnd .rrunricas

: - ,1. .1, : j " :innund au1|qo s aiielo.riri i 'puila.r

f ' ' rc ut, ,W alel rq,s eldea.rq ,,WIBJr lr r^ ' ,n inde

. ' . loJ Jd, tunde:drrs s r t ry ledrrur . rdnuBlprrrut t. )

t 0r 'Ftc



9r '0t 3 c

-1puad-radlsa rnl suun trJCI y1n1.rurrdr:cl rra:1 t

rnlnuerprraunue1dd re1n.trpuad-rad'n1d1 lsalueFLel

l : .y, l l t i . ' ( r1 ' ] l ,arBolBrJUabqrrr Bt 1,q,e qe)uiucFuej

?] l _ l l ,o ,,8 'B)V ; rr l . rurrd 1 1rr ;Frru; rrJe16; rrn, i1:iLY_"i l?]1J-n".19,1t.Ira8uel 1nue1dt ilrrjx 1nue1dol l r r la l ] lasra: lLrrlsa ,u- , ru) q ln l rundu1aLrnr i josp:1. r . " : . . : l j r . I .uI arre ld rrr r r r i r , :srr i . rntJa,u u,1p rs1. . .y._ ' l )_W

l l l rund .Do)nzprp 1n;aleLeddnp r iu lo-r . ipulpJuJdnsJ?t , (.d , i ), eJuluozuo ndnp 6 lnrrepd'ezdauor| ;as

t l { ,_ l .n, tu,p I Iur? ld 1a11syrruni f r is :a1eolJrrnd' iuJs

l . l i l : ]g lrs l ts luozrro,o. }s. ) rBuni rror la l r i r r r6oric;o. rrp

uluJUJrl i lS lr l lJ l r iJc(l rs 4 1rrt ruld. il J lsl l tu;4Jo r?utrulJl-Jp JluJ l , rA rr, ) l ) Jl lJ. l \nu orrul t l uzcozrl r ' ln JS (t l 0i'F1J) . t rrrrr i . r, 's p l rrrrn;d 6 ri oriulo.r;p uiu 1, , . i , ,o1

'r i i

'p^1n{llarc,u.r.rungr, :srp uqrnr u; uluaFuulErsulor}s

-troJ SVs S '(,r ' . r) .ruoleLautF.q_rnr-.r1ur.rdllutJrpj.: l: l l l l"^ 31ur c;iuyo.rpqiulc;dnsb_.r1u,lunlraij uigb

nunt t r rs u luJrnJ tund un rutu la lJpJs fS :Jl iVI'olr sc I'reisJvddnsNt aNVTdr.rntl..liss.r.or

nl 1o1u.ruc[nlreld lurrd 1:^r-rr,r- r rel rnlnueld olalr i l l . ( ,n

'r )

.41nue1d

rrrJdpulJnp urlclr.r s lua;ur Jl ln l{)J l i lp i .) . l8ol l rr JS

( la,r;o)Jrrlrurr6Tronp rn,s ri l i u1a1e;ed1ry 1 eltraoirrr;1re r

'(Iu,s 'rus) aur.,rep ,q,u ,qe) uir. leo:q W Inrrpl rraruu. )JplJt l ro. )l r r r rouult l N I i i l i l l tp l . tJr i l J iJ l r ' . r S.olr r iqo 1_ urt l l t rod 1t?ir l iJrBl l roJop ( , ,0 r)

l r r i tLrnd p or i ;as lalr r r

l . lr.. lJdu.rplseaJB_r 9la1aied6' lnuelcl i] sii:clnr)'fil ' ] ] l : t l l l t l . l

u1uFra8uelpt ,(,q,9 qu)olia6 r$ elariuiriun,?f) r . i . )ut:1 lrodrrul tur .( ,q,e,qr i t

t td" 6' lS j alarruar lulp J l i . )J \ lJ lur J i i u ldL: ;_r11(.8,F) ntet r r r )zrJor l Ir lLt rpor i . ros. r r lu i i u ldL: ;_rg( ,8,F) n;eI r , iz , jb j , l u.,u:ulnrlpuad.redJnpas 16

-,g la, l,ru p lnueli l BZBazllr lnsElspaf ,E r luad .d ptuuld od reln. r rpucd. l rdlse' ig qyBulrd arrrl , r . rD-r ,

pLreld,al6ar i i :1suor g . ( l f .Oi .AU)

d I l l r i i ld ( .s 's) S 1rr '1. r r r r rdt r EZualJJs_l , r l r r r. | r ; cr fel-oJ Jp r: lpJIl tJ.\ uxB l,,D'( ,r) zpJ JSa.re l j l Jt{ ( s

,v}f

lS ,p 'p) q J luJurrroJ ' i l \ l , r , rpuol) . )p s ir r r j jp ,1 ')1r l , t.1

I

i l+....t

a acesiuicil indru estecer.cLrln centr.ul t t (qr, qlr1, azalui f i ind tot qa.Curba taie acestFig. 10.17



iffiriE(r, ('') vertica.ldqi un_cona cdrui directoareesteorur're arecare I' din planul orizontal de proiecfie.Fie,. s ') v i r fu l cunLr lui; i (c , c,) . r rU, f .n. i r torr . o-- : iSJSide. rotat ie ( f i 'g. 10.17).pi i rur i -aix- i t iar.l e

.. H' scc{ ioneazduprafalade-rotal ic iupJ ' j iaraleluli,Lu:azd. a, iar conul dirpi ,o.curbd.y ale cirei puncteruu:oritact cu .paralelui trebuie ddterrnir iaie.pentrurir ', , : : ta e considerd un coll cu .acelagivirf

-S (s, s,),

' r = admite cra directoare paralelul. Acest con itrter_,Mtl. : .azerimul corr dat dupd generatoarei ui. i, . , t i i-i : : . : planul H' in punctelec5ut"ate . ini.r. . . t i . aint. .

r,r-, y ;. i paralel.-,Astfel, rma ..tui Ae_ui?Jii", .o,,', , , lanul orizontal de proiec{ic este cercui ci"centrLrt. -rnra orizontali i (qr, qit a dreptei (sq,s,q,). Raza

u riui cercesteqra' Curba intersecteazi ceit cerc nli-: tul (b1,bi). Generatoareaomulii celor. oud couurir-: (sb1, 'n iy . Ea int i lnegteH, in purrctulB (b, b, ) , co-- . :curbei.y.; i.paralelului.Acestaeste un pulct curcutr . :rtersec{iei irrtre suprafa{ade rota ie-; i . ,uiuf cfat.

- Se-se etermineacum proiecfiile unui punct curent alffi.j

9S intersecfie_dintr-e suprafafa a"'ioiaiie-.u u*att tuoralteverlicaldgi un cil indru cu generatoareiearalele

ii-dlo4ll .+ (8, s,) ei a cd.rui i;;cd;;ste I curbdy.e.,T:,I^^9i" lanut,orizontateproiecfie.ie1;, ,; j. : \ 'er i lcata dc rotal ic ; i (c , c ') curba gcneratoare

.: : .afc{ci_de rotai ie f i ie l t0 'rBl . plrnrr"a" ' ' , , , i " . r H,-_. : loneazaupralafade rota{ ie dupa paralelulde r.azam.. iar cil indrir. l. uba o curba y. pJ"r. ; ; ; ; : l pinctele. : I r r rerse(.1reint re y; i Inralc l se consir lerni l i r idrul: : . : l ' i l

cLtgeneratoarele.paralelecLt dire,c{iaA (8, D,),. :noca dtrectoare aralelulde razdqa. Urma oriiontafd

erc n pur.rciele'8,{b., ,bi), care este Lrrma orizontali a geircratoarei omurlecelor _ oi cil irrdri. Aceastd generatoare rrtersecte; izd

i l l l ' l :1, : . l l i l 'c t ' i r rpLrncruli . tu_,,t , omrn ,, ir r " i-y

Stp.aralc lul ,ut .deazaqa. Puneiul B cstcut r I ,urrct urcniat l t rc fscclrctcc ioi doua srrprr ie{cdate.

10.2" FERA

i0_? . DEF|N|TTE. EPREZENTARE.E_TERMINAREA NUI PARALEL. teraestelocu1geometr ica1 punctelordin spa{ iu egald5pir tate de un punct

f ix care c\ ' tc ccntiuls ieret..Lungi ea constantd are rn.isoar idis-tantade a centru a or icare uncta l .supfafe le ise l lurncQ.teaza--sferei. feraesteo suprafal i lde gradul al doi lea ; i poate i clef ini t i ; i casupralalace ia na;tere din rotat ia unui cercIn Juf l unuiadintrediametr i isa i .De aseirenease poate considera

^sferaca fiind suprafata

invers[a.unuip lan.Se;t ie cl suprafatanversda unul pl.aneste o sfefa care trece prin polul

f9 invqpiqne ;i .a clrui

centrur e ghse;tepcperpendrcutarausa di i r po lu l dc inversiuhep€ plan

, Orice plan ci..e trccc pr in ceniruls lerel lntersocleazdfera dupa Ltn cerc careestenumit cercmareal sfereii i cureareacela;icentru ; i aceea;i azd ca sfcrb. n dubla pro_

:'-: : ".:riLLILla l - : l t i l

i : : *- . *r',lnl

: .. r l 1 r

t : " 1-r1 l

1 i- ' " ,

F : . l;ltir

:: - rllrrr

f , : - 1l

l_r : 'r iL l i

; i li '

- : - l l " i l f

i --- i f :5: ,,r$li,

t : -- : lL lLr

- - t . l . l ' l

: -- I r"rilllr

i9 - r -l lg --" i i l tL l

14 il &CIL iitu

I cruruutd*-u

181

6r'0t t rc

e8r0a'0I SliI

lifltl-ll {,", 'y) W orJ taJtsv rarfetro:Bpo}orrri5 y]1]tt+n gra3sFlsBorB l luaFuel'ue1dy-.:.r.iJj.aun, fe;erdns d leir j.rund rn_r1u;m-JlsuoJleod g .,I oleJrlJal ari lJn ricaro:d*l?1rn n ru1uad (,L,w ,nru)eieiuoztso'rieaza1so

' / I { IoAruap 1nueldnr pJaJS u3uolfrases e:1:3.jlu1tlrg.rerfcaro:d urfqoas (Ot.0t .SIJ)rnlnlolered I BloJ

,pulnvarfcaro:d'"air

iieuei"d I_lPnunnc a1a1e.red1u1s ueld orpt 51e ara;s

r



: . l ln os 'ra:ndaJnJpBJ J 1-en1rs nrr_1.:-r1?:A

'1,ur'ur)14r nlcund ii 1 lua8uellueJdBUrurJJlapsFoluuy lu,q'nJ-",1a1e.rerl

l+-ip_tjtr:.]_ur.rn$ "tr gtninU :1yru,r',irun';-. : : j :^rl_,-9{elncrpuadrad

(l-, tur) ' iW'1n1run,l; j nsnlt .r lBluorJ 1,r; iq) eleluoir:b ur:n

r.ru-, raJl ,J. t?lel lrozrron1 eirr.rq'( jru,nr

:y:1,"r_u, od relnrrpuad:od lse lJiri 'ur) 'W

_-lt_y19,rr?-raJsJ luaFuel1nue1j rleulrr.\

i ' : JJroJd lSur, r lace rrndsa:orotBJ' - , r ru S |'u urni-eluoz1Jolrrlrarordurfqo as .,tu urp aurpJo pr,ulJ puJJoqo3 nl uJ InJlueJ nc ii:rsap ,sro*.-n, np InJJat also-ElBluozl;o Inl uritorol4

_Lle'01'FU) lulrupd ap erui l u1 p1ajeruOcr

-uILllrd

.pulrnp elEf,rlral erfcaroid u1'auriqo

; oJEf,.,q,?JeAruap InJelBJBd r"piruo, ag

, .u 'ur) 1,9 nlrund yl prats u1 luJAuei 1nuu1dFJselnJlsuof,s us r$ ,,ru p1"-r;irel Bs'urirlrjj.lpji::"*r ,fiup'eralsoTo inlis

-1a1lrunu

;rnu' d ,a1uoy1ra,rrriraro:dr"joil,#r;f;liglel l lozlro ricarordI p.]Bp'gzyrbp rnlnloJ

: : r3' luorJ op lnJaJe.redr:1u30 zbabajorda^,-oleuV 'Qo ecavzeJ pl$

ro nr},in,"p.rt j . , i ,

aJsr. nlnlalercd pJbtrriozltoi ir",or4.1qq)g Is (,e ,?)

V elalrurid'uga.ra;s' in1"r,1-a.t;uo;ede n:nprri;rl iauJ;1u3'i; luJecisary

:,tu,l.:-tu Rluluozlro ;ica;o.ld"uru.rialqi s

pgJ^+yi_v_udnqdrlNnd Nn-uJi{I|\racruvrr.lNv'Id'Ylv.{vuansa;

-JtNri; '-a.a.or

:li:tj:: luls'JajrJS1a1e.redFJ?Elpre _S Bs:-r."j.^"il..J

us {ua.ru1.rpdep)lor i;3 pugrsounr

-_rjelsaun 1e (1uorJ p nus) ;uluril;jo pa;uredun_euruJrlap sps .laJa;s

1eJ.rerurac un n:ralBdauBJp1JJIUJnJIJJl_uls aJeJS n;1uoo l.rclcrr l crer .elBJr lra^ uuld ur jd p-rag'si ;

"11ui,1i:l:_:_rnl '(lllori ap 11o1e:ed,SFurlsrp a,ra.ra;s

Jnzecug) lalru op rleleretl r.lnc.lJr":saurnu slo.tlu ap o.ueJd r:d p.lJ1s g olrunrfoos-arlploJap_ |eierdnserrro e1 e3 .rir.rejieiet nr gleFallnu lcJ nes pJrur rsru alsa

-pfuelsrpEisBaJBprep rpunrr lpar ols?-c.rarlsacy

.ue1iie1 IoraJSrjt,i::_^:l

ep efue;srp p.}elpr'e11e1eacloarp,.: i"; in-:J:.--r-ryrznuatrodr eje'"rnr'crqb- r rnloeJp i[]unU] rnun plalBt a]sJ EzeJ nJeJB

,s auxJlJes p 1nue1d d raJaJSnlni luar

111_oatorctlsr nrluar rnrgr lB orar-un

"isntero3,

JnJlLraJ.ulrd rar l nu aJBJueld un ,. , , uranug aunricasBllB arrro (fpdfruilci-InuBlppdtIaJaJSJp ]uorr aD eJprrr nJnJJaJ plerrlre.r

**f4_9f:L ;err1.ra.rualede1n.,nlilo" r1s^^11n:olenro)aJaJsIB IBluozrJo

eJerurnlnc

-l:::..1i:L1"zs.ro

rfcarord lsararaJslB letuoz

lj:",-1".j:o:- lnrnluocpc

aundseiliod reruoS:1ry-lr__rp BSeJerrlral alareole.laua8'c rSIar-eJSzBrnc ale8aazet nt'e1 eiq,

"p 1rpur1i,luls arer ,rrJelselB aluelci oJd aiolc.y'e.rd.risug arf aro:d ep ayaireld' ,io '"lun1"r,""gin1,un:ii:::- 19nl "p 1u,;6 lua:eor_1rn'rnlloJ lsarv' laJeJS

Jp aJpru JJoJ un nt aleFa tJnJJaJtruJsoJBf,

^l:il1jglrj--teluozrro;ueiedu';rnr4uLjnop

aloJ LrJd elurza:daras EJaJSeJiuoFo.lroailrJ

A\L 'L

'AT "

il n*"-

ria :-i.n-l

J: I

:n

Lff i ,

dupii l in ia de cea mai marepautd a planului

P iafe cle planul or izontal de proieif ie. Ease obtine cobor ind in i i de ordine din a' ; ib ' . Axa nare a el ipseiesteproiec ia r izontalScea diametrului r izontal decapi i t) l cercului,carese oroiecteazl er t ical n c'=e' . Deoarece

1ab, 'b)) esteun diametru le ront al cercului,rezulta ct i ce.-a'b ' . Tangenia ntr-un punct

F' ig.10.22



:t 1

: : -

t2. u.

"4-_-

ET,

]ci.n : :-

:-l

1l

[ - -

f : ig.10.21

lli lnm;e suprafata

sferei (fig. 10.21).Se roteEteil i lr i. i]: iul astfel incit si ocupe una din po -iriilir-e Mt (m1,mi) pe meridianul principal

'dM ron al sferei.Planul tangent a sferd nlil l: - 'r)uflctMr esteplanul de capdt TtTi, unde:l,i l*

''Ti

este perpendiculari fe co-'mi.Re-,rrnEl-:idin rota{ie, se obtrin urmele T Ei T'

'ur,r lanului tangent cdutat. Peniru pozi\iarrtnr'*ritlerticale T' se util izeazdo dreapti oa -"niru;:thmv, h'm'v').

] ] i i : . SECTIUNE PRINTR-UNPLAN PRO.mifTANT. Si se detennine proiecliile curbeiuiM tersecfie intre o sferdgi un plan de capdt,mnnrg'entantr-un punct curent M (m, m') ql*ruurleie secfiuneEi axelesecfiunii.Fie (<o, o' )"* : ' - : l sferei i PP' planul de caplt dat 1i ig.l i l - i. Cercul de secfiunese proiecteazi peilrr,';- \-ert'cal total deformatdupd segmentuliu 'h asternutpe urma vert icaldP'. Proiectiartrtt;-iiald a acestui cerc este o elipsd, care

lrrsrfi:angentd n r Ei s conturului aparentori-;;tlmmn:i,l sferei.Proiecfiaverticali a centruluilnn":- :ui ste c' :e ' qi se ob{ ine ducind per-t lnrrr t l : . . 'u larain <o'pe a'b' . Axa micda el ipsei*nir :roiecJia b a diarnetrului erculuidir i jat

curent M (m, m') al curbei t le secl iuneestedreapta de intersec{iedir-rtreplanul secant9ip1anul angent a sferd n acestpunct, plan

tangent care se determini cu o orizontalziG (9, g') ; i cu o frontal l F ( f, t ' ) , perpendi.-

culareperaza <om, o'm') n punctulM (m' m') .

Planul de nivel H' al centrului ferei eterminziin planulsecant dreapta e capdt rs,s '=r ' ) ,iarin planul angent asferd,or izontala u, t ' ) ,obtinuti ducindepr in q, paralel icug. Proiectiaor izontal i a tangentei 1a curba de sec{ iunein punctul curent M este m, iar proiecJia a

vert icalacoincide u P'. ln nrocl bsolutana-

log se construiescproiec{ i i le curbei de in-tersec{ie lintreo sferl qi un plan vertical sattparalelcu l in iafde pirnint.

10.2.4.SECTTUNE RINTR-UNPLAN OARE-CARE. Si se determine. roiecli i le curbei deintersecfiedintre o sler[ gi un plan oarecaregi s[ se gdseasc[ angenta ntr-un punct curentM (m, m') al curbei de secfiune.Se considerdsfera de centru ( ,0, ' ) gi planul P dat pr in

urme (f ig. 10.23). lanul de nivel H' dus pr incentrul sferei determind n planui P orizon'tala D (d, d'), iar in sferd un cerc mare,care se proiecteazi orizontal dupd conturulaparent

^orizontalal sferei. Se dblin proiec-

t ( l ( )

ffi

:imildr

ed ]Bn+ls 'lqlu lnluaurFes Fdnp pieurroJappeloi a.lzde gdec ap ueyd lsace nr BtrEnlraJa

$,,,,,,,,JaJSJ eeunricag .l^ noxr6 purun aurfqo

'* ld plrlor Burn .Iaraipdec ap 1nue1d

Wrl^apPsllrul IeJlsB dd 1nue1d

lielor esqS nlnuuldp d BurJn d qore:elnerpuad.ladrnpaS '(96'01 'F11) nlnuuld alerurn ,d IS d el C

'BJaJs -Jlur eJBcoJEoeld un nrtriBnlcoJarunrfcas oprfcarord alaxe piur.rninltr,J nJlsuoc1od as rarlelor Epolau pr.iJzrlrln'irSrgtrsI '(,n 'n) lS (,1 ,l)

luls apuncl alsarv'elEluoJJ

iuls ounrlcss ep pqJnJ plsBaJBplelalueFuel llunricas ale Fiururu nBS ?rulxuurerel.rpdap p alelrund ul '( ,b 'b) r$ (,d. d)

trlgsalcund alsecv 'a1e1lozr:o

lugsaunrfras

mp pqJnr plseeJ?u1 elaluaFuel rrunricasei e.Ettrlupups Brurxeru loJ ap elelcundu1 (,o 'o )trnlcundalsa rrunrfcesInJ+uo3 ,e rS ,,t

lurs[.pJIlJeA ua;ede nJnluoo ed alenlrs aunlfaasep roqJnJalelcund '6n41 ,u,tu l$ ,n/l +ulselBJrlJaA arfcaro;delaxy '4n61lnluaulFas lsa

B erfcaro:6 aaae (,F ,F)

?BI

1nue1dJrul IeJlsE -a1ica1o-rdp leluozr:o uuldap aJeqrrrrrlcs rode li erfrarord ap JBcrlJeAUBIOAp sJBqUrqJSO ArsAJJns ru; as rrunrf-)es Jolexp erfcnrlsuor nJluad .lJungfrasal uBrulullu nss prulx?ru arupudep ep

1$pulu

-nu nus ptulxpru ploJ ep elelrund ;$ lgunyiaasJol llJaloJd elexu eururJalep s pS .(,u ,u)

Vlnleund ur elueJnJuof, (,3 ,F)

O RlpluozlJootS (,t 'I) C ululuorJ o ep ltutlep uejd un-.riurrdpJals o-Jlu ueunlfras lallsu pJeplsuoJ eS'BZpauJnuno pdnp lJexa_ o;nF1r eru Frualq-oJd.FlspaJ€pA[oz3raleod ag .a1e1npc(,4,ur'{u) gapraFuel lufcarord pururJalap ,ui ,irr)

lnloltnd nr euna:dur l ,p ,p) rS (,o ,o) a1a1e1-uoJU arlurp alicasralur ep (,{ ,{)

In}JUnd-( ,8'q) nc p1a1e:ud- '( ,e'e) lnpund ur:d psnp'( , , 'o) BIBluozrJodnp lueFuel1nue1d lSauyg-ur aJBc ,11-1nue1d Brl lxneueld ec pzear l-rln os aueld gnop J_olsacerlcasralurenlca;ap nJluad 'ry

-1n1cund g (,ru,co wo>)ezet adgrylplpuad.radalaqure ( ,I t) e1e1uor1r r$(,d 'd) plpluozrJo.nr e,lSaullaps eJpJ



;tunlfcas Fleluozlro alsalialeluozrJoe eluluoztJo arfcaro:d ?nou JBI' lcoalse raJaJSnlnJlual B FleluozrJo tiraro.rd

_BloN

,I jd prelnr lpuad.radluglgd

ap erur l?;o al; 'Foleuy 'fr rS rc lugs leluozrro +uar-ede lnJnluoJ ad aiunlrs eunricas ap laqJnr;[a]Jund ']bjd = ;s r* bd +uls alB]uozrrop1fe51ord laxv' Ibld lnluaruFas ]:^o l lur l- l i ras e Rletr lra^ e1foa1or4' Iqtu elsa Ia lBl-{IoJJB plBJr}JaA ricarord Bnou Jer 'rto o}saloJaJs nlnJluacB BIBrllJaAoricaro:d enop .F

ad prelncrpued.tadlugrugdap arurl Enou txroal l . ' ( f6 '01 'Fr;) 1eu1:aA Br Bal iopIB.uI rBr' leder ap ?.eJ

lnnrrrdrr l

Rur^apEs )unrfas ap

rz'0t 8rc

luaFuetruEld

-'W lnlcund ur:d sn[ FleJs p[ iueFuef1nueld $ 6 luecas1nue1d :1u1p-a1{ras:b1urpBldBaJpelsa

-pqJnJ

plsBeJB d ep (,ru ,ru)

W+uarnJ^ lound un-Jlur aunrlcas Jp ?qJnJe1 elua8uel 'ounrfcas ep raqJnr alB e1cfunda1leaur iqo 1od as C IS ,H :o1aue1dlrr frzodplrrrre1 'leJeJSInJtrueJ l.rd 1o1snp ,J

luoJJep 1nue1d p FlBurrurelep

(,g ,g) V BlBl

-uoJJ nJ IBlllJaA 1ua:ede rnlnJnluoJ el i-JJSJJlrr r. l :( ,3 e) S (,,1 ,1)alalrundurfqo asdolBuv ,d IS ,rc ul pJlprJasoJEJ fl r$ alrr f

86'01 31:I

Fig.10.25

tll lmmmnrn'erticaldPi. Axele proiecfiei orizontalennnrlrtrh 5i ce : aibi. Proiecfia orizontalS alf,ilrnir-,-riecfiunii este m. Punctele secliunii,inml,:*nl:-e conturul aparent orizontal sint r

tul m'n' , iar or izontal dupd un cerc de raza

o'nl':

o'n'. concentric cu conturul aparentorizontal al sferei.Proiec{ia orizontald d adreotei D intersecteazdacest cerc in o( $i B,cari se ridicl respectiv n a' Ei p'. Punctele(o, *') $i (p, p') sint punctele de intersecfiecdutate. Planul de profil al dreptei de profil(ab,a'b') seclioneazi sfera dupd cercul de

: se proiecteazi n adevi"



i l i l l l "r mod asemdnator e determini axelepmmnnre:.,eierticale ale curbei de secliune.

i - I INTERSECTIADINTRE O DREAPTA$ffi i-l SFERA. Se vor considera mai multe,rrrriiir*.a-..iferite, atit ca metodd it qi ca pozitierit :Jr{::L.in raport cu sferasau cu planele delnr+:- :e.tttttt'$il s€ determine proiecliile punctelor derrlrltmhrrucfieintre o sfer[ gi o dreaptl D (d, d'),

mnr,rueliu linia de pflmint sau de profil (ab,rmrh Flanul de nivel H' dus pr in dreaptaDillliliiui;. .26) seclioneazl sfera dupi paralelul

Lr,llilr]]llnl1€ proiecteazd vertical dupd segmen'

razdo'm' o'fl ' , careratl mlr ime pe planul lateral de proiectie(fig. 10.27).Aiest-cerc intersecteazdn a" 9ip"

proieclia pe planul laterala dreptei de

profil date. R-ezultaastfel punctele (ct,a') ;i(p, p') de intersecl ie iutate.

20 S[ se determineproiec{iilepunctelorde inter-secliedintre o dreaptilD (d, d') gi o sfer[ uti l i 'zind o rotafie a dreptei in pozilia de irontald.Se considerd axa vertical5 (2, z') dusd prin

centrul sferei (fig. 10.28).Printr-o rotatie denivel a punctelor A Ei B de pe dreapta D in

Fig. I0.26 Fig. 10.28

165

r . \ru ap lnuBld-o]$aulJlul s ldEarparBf,,o- 'o) lnlnlJrrnd nJoln[enr eleurrr ]Je]ap

6a 0l 'Fl: l

98I

;.iod,,11ia.irrlp1n, nlo'"0it;lr"ta;rni :ner ar i tasra],ulp ( ,d ,d) r i ( ,r ,rc)alalcund.;D as O BldEaJp nJ a:eolerauaFJolsaf,B

:asrelulB-I .sArS ,r alareolerauaFdnp lnuorraroricas :el ,41nue1dJnpesq eldea:purrd

r lnuor Ie ( ,^ , l)lnJ.r I l u l :d ,1aJ1sysns

r l lulJop nuoc rs pldearpar lulp erfcas;a1ur:- as eJags c q eldeeJpBlJasJelur ep Jol

, laq 'riar r$e1aoedirp e.ra1s'pieaudrirad

?10Pa_lp rJd snp IBdBJ ap lnuBId. ,u,u:jJlrrFas prlnp lBurJoJap plol leJrlJeA pzBalii jrJd as aJuJ lnJJaJ pdnp e.lals BzealJasJalut

tsarv (lg'0t 'Fg),u,Q $ ur,u:olir irald:ci: ;sreprr ap plup pyl lJ , l gJerr l ;al er fcarr ' reJeJs1e edrrurrd nJnuBrprJeru1nue1d ;:rs' (,i ;n;'lnfruird

l4^ ;j'j;l ,.:;;15;rd:.lJ lOoJp laJaJs InJolenJa oJB aJpJ InuoclrsLroJas .JpJI xn"

InlnuoJ ?polau pulzll l ln>LruJ s -rc ltxl|s lolnuoJ Bpo]alu pulzll l lns o S (,p 'p) q plduarp o erlulp agfrosr ap rolaltund a111ica;o.rduluJalepespS og

g1r_truozt1orioaro.rdInJpJB J.roJun pdnp eralspzeauollcasd lurrlral lnuuld

.q ulduarp uJjdsnp 'd l"J Ue^ ;nuu1d slllxns uuld er pulzll llnprels o ;$ (,p ,p) q plduarp o arluJ-p aiiias-Jalu ap rolaleunda1;;fra;o.rduluJalapes pS o?



' ( ,d ' f l ) l$ ( ,r ' r ) u1

;lrund '(Og'Ol FrJ)glrnrlsuor rJ e.nnu a:ec

;r la o olsaFJecr lJal r fraro:d lel . ln lnueJdets:uozrJourn ed 1nu"lo1ie

uurlnluarriFts :1sa

0s'0t 'FI i

:eqBJ lp cigtrril saJBJalelnerarfra"^ra1urp;irund alB0d l_s r e1l:alequr rfqoag .uruhgsrrlauprp 1n:nfu; a1sa1o:saunlfresap lntJa3uj aleqerospldearpad ap (,q ,q) g :er1rq.re uj aleqer0sFloeerped ep (,q ,q) g :er1rq.te

rr:rd. rn JBI 'lnlRqeJ nqs lnr.rdord aulrupJ? .EI

V-IN}JIINd

.IAJAJSININJIUA3 IB /I{ IAAIU

.Jnueld d 'd lBrr lral 1nue1d c puiraidur itJJp B rS rnInJJaJ aJa]pqBJ ZBanlJaJas:rralap

?l B nr lued 'e:a1s 1$au1g1u1ldea.lpr u1 (,d'd) tS ," , r) alelngr lapund1u1sr lsaJe SO plduaJp Jlurparfcas;a1urp

nep $aral'q'r"'oLdr"rdJ,':.0#3),iftrTiglnipqrr atfcas.ta1urp alalcundurfqoag .opalso

O raloorp paralBqBr.trJcuJajlss ,nq ur aleqeras FldBarpad ep ( ,q.,q) .8 aJpceJsolnleundJBI ' ln lpqpJ nes lnrrdord aulruer u lni lund'laroJslB leluozrro ruarBdBn-Jnluor r aJelBqeJFdnp ap.putor d InuBIdur:d eraJsuI aunr{Jaser lnurfqo InJraJ

.(,e ,u)y lnfcund ur:d r$reJaJsInJluoc r:d araJl.aJp)( ,Q g) y elupoz-lJo OJalBqeJp ?xB BJ puJnl ,raJeJSrnlnJluaJlB ,H lalru ap 1nue1d d lncrac r i eldeo:poleqBros Elseace r+uad (Oa'Ot Fl l) ( ,d ,d)

t i(,b 'n) eletrnpr lapund u; 6l eldeatp- p'f ulgiuialsa eJpl 'eJBuJ JoJ un pdnp erals gzeauorf-casueld lsecv

.leJelsInJluar l$ q-ulduarp ep

lprr uralap. '4. nuu1d" l lxnu uu;d ur pulzl l l ln'BJals o S (,p .p)

O plduarp o a:1ugpagfras-Jelu ap ro;a;rundey;1ire;ordururelepespS og

'PJaJSPzBJlJasJJlul

q.eldearp erer ur ' ( ,d ,d) rS (,r ;r ) j la leundur lqo as FlnJpJl l le lor- urp putualay .Id r$l?oluIS alBJrlra.rr11|ca1o.rdoJBr olp alolaund i"rgrseul l lu l os 'J. ueld r6elare l pul lJ ,eunrfcaiap JJaf,isace r$ rq eleluorg .raJaJS

le 1eor1ra,rluaJBoB InJnluoJ nJ JtJluacuoc ,url? : ur gp,zeJ p JJoc un pdnp 1err l .raA BJ ,uru

Inl-uaruFasFdnp Jplrrozuo pzealcaro:dos atBJIr lBrEdun FraJS l J gl rq e1e1uo.r1l:d snpJ luorJap InuBId

()p ,rp) q q1e1uo.r1p erf zodul raldaJpErlploJaulfqo as exp ralsace1n:nI

Fig.

De. .apt,acesta .:..d,j.:- I,

o rabaterca ltla_li' liLxilf il 3"i,,.1,1,i,:..x?,' l,"';;' o'n

iffitiii ift,fiu ffi &*t'l?,:,v,,xltanetetangentea osferdparul.t" iu ii pranpat prin urme.Fie

;rui,. ,* i, 4i:i5.:i,:'"'J:,rsec{eazdr i. iu" in '"" l .ol ' .Aceastadreaptd nter-

iff.if T,-'J'f ;Xl+iir;$o?,I'.'f.'liiifrJerifT^#*g"uYARALELuo

ru#rt*nr*H*iiln';"ffrti"ilil,?:, i cuajutorueleper r

H '"'i i'il"(il';ry?r"rl.:t'lfnpuirctere

,H+:iliiiill'J.,,"H]j.lif 61X.F,,ielrwtr receprin centrul (g, .,iuiffi;i.,or,."un,;r uxil iardus orrn



glSrplgD secfioneaza5:

d.ypa n cercm-are,(lig..10.82). iobtemaillntufte I rezol a d asezin.t'il'.1i:\i,; ii,

'diq: curaza ferci i lll-o

pe dreaptd lungime

ru:h }+ie:ddfit#i:jiT,::T,ll'r"':rtaca ourii'_1, i1.i.iiior,l,Ht,T lrir .5iinci qi gi Ia intersecfiacercuiui rrrare lw:r..cu oua roieclj,e.v9jtig91e] I ,tiupr.,.

lff:l::,:#f,:l:, 1,,) ip, ;jtnL*li.,pt,

,F^T*ti:: In schimbareadeplan vertical lcl'?:| ltxlr";;,ilTffr;1.'i.**i,:l_i:i;

Fig. 10.33

r. { . , ' . o-

Fig. 10.32Fig. 10.34

187

SBIls- ursunrrlr nlnrpurl f,

"poleupulzllnn

:l^n{::^'".:l .ril'-o. r(,'ppiq'ujoil;Jpxnp oguafluelgeueld

"uirr"iJpi, H";;

-_ _'olelnpr truaFuulueldpnopelar nep:PJl.p Jleredas 1un1lrundenon'arsa.ru

Eorl ,uJlcJBoes

alun[€lJund pnop olsaJy

ii l3',*[;:]u,(j#,,%*,,i1'iftT1 : 'liTJiL'&'J'"'-';[:':"]Lffii,".jj-JT]r"r nr qe nriiurfrp p'-J'nro,

^"J.11y,s praJ_s6uoca.rlurptrcelubcp

J_'lerltra^eldnounca thuilo.tJJ"tBJ eD PYp- p1 nD nrr,6, .,^-^--{lrj^:l exeEr qu pu.;nfra.rais,ninJ1un,S"

r:^11.*"

^

-t.n8_d_,oj iue1"a'o,,lJ 1,rBT-^arel'qeryzuanl,:rilas' j i;",;;J;

^t:11?r"u1 asurrdnciuls-alua;riei .j;;;;

ng;:l:tii' fjli:9dap,{ s a1n1.1"Lnfnp

HfySii*iI" i,Xi, ,io'?]illll,:jg :.1rjjq,n,nu,if'"oeo es rpr

: i'iii.Lf";l)""lg:lig#,"if..lrryrdilHi,'riy"*;i*i'f.|'t*J"H"Lff';**:i:;r.rdnrurii" i"ru.i,a$. on[:ilffijlfi::::..,j'd.,li;;'..j,^,lTnt";i"ru.ni'J:rarordsBJ.JS8u_11enrnirri.iunriiJ o'urNlud bna 6.6.0t



rruaorruvi*'lr"vro: 1:.."."":i.ijit-pllp .s.'B1 ?a-rp',r;; ;.np i,

ffi''3yjt,ili",militu:3'J::il;:jj"piilj ii'i,f j'.,1',1',?,0"'","t"'1,*-jjr*:1g,...i,q,;dt.,qYjlura;aJi rrJiiunirn'inriorpr+ir""' d+sdJc J 9rals*,PI-IraFu.etrpu614 .(,d ,d j

l:ilTj,rlti* ;1liq;,ttt3tg,ti:lf::U,"'u",?1' 't;;*;i':'n1u1i';n''':j1I:.Li,,Lh,tr";Ty "pol",.''u,",,ifr*,fi* d*iiii?1i,j"'i,?'h5.ill,LE-[ol nJluef, ap PJeIsr asnprua'u'r,",,",on-],,1r.Y.]P]S^itg ;oed u;nrrpu"oi3o*J'J, ,11,,,*;t.-Fd'""r;snpluanuilsiuuyd"ifi,"iJil,,?;""i

: il ilq;'li:",ff:lii:ifii ;:iflrt,tduv'rncrqN:rduEdruio*ruv"rrtio .8.a.0rgC't i t '31.* . f d ,d) r{ / , , , { r r r \

", , ,^ ^^---

11h: j:fi{'1,4:ilHlt'',l:ljsJ8,ilj,}uel_lulsvs 'v) 1nue1d'5 a1"1einhrpu,1, ,1lurdu' l :o1aue1d-tn' .qn", irb. ii ; l i i . rarr3s

i?"#:"t#1"'iu'fu '#1;', .lt-",';fi:{

-u nJrrr Jn.,purp,"ilnnr,,ni.oll"",,-,"'.ll_

i;:*;l il{.r$Ur,,* i:r,f"ies

-(,or,e cou)ersa_,lnJnu'rprr"ili",ir1o

ac lBId rn:lsaJB rrrJn .

Siii;r*'F;ft,1r"-:'il}i?f: 3,; ;;,::1,tfirri,*##i:kl flg#{#i'fi ;{-l-,1:ll l#zuu,ri#;"ir1"?"; *'f,| ""ili:'pn i"1","d'lpu',,ptn' a;ai'si;; #" ;i,'

,il j:,,3'l?l ',,,L"T?;

Fig. 10.37

ffie pr Till ( . r , c l,

ierei. :rr. :l - - i l r l

imn: - .:der i c i l indrul .c ircumscr isfereipara_ir i l r- - ieapta datl . planeletangente a acestr : : _

.duse pr in dreapta D"sint

p lanele, ' l l r ' r ' : - . :a slerd autate I0.37) .Curba

I r ig. 10.38

nivel qi de front corespunzdtorentrului ferei(fig. 10.38). lanul",lrr,"i-?.

;;;;; dintresfera_gi onulcircumscrisi oin iiiui s 1r, ,1



et . s. . rri . ,- j

Fnie l lthi -- -

1f ig . leru l l i : : d in tre acestc i l ind iu ; i sfer i esteunlulur i-t ie a l sferei; i

-este

situat in planul p,

r i l l l t l i i:: i i t centrul .sferei, perpendicular petluimrd:: D datd. Orizontala'(r,li, co,a,), unie,,,rntu*d.i frontala (orb,c,l,b,), i-,a. rir,Ia;,ml-_:.lte in centrul sferei,definesc lanuTR,ui l l l i ii -e intersectat e dreaptaD i r i punctui

; .- : l l_4..ft punctC ,* u'U1in"u'r i;urin{i, , , : : lnd planuldecal l i t duspr in dreaptaD.

" _: :e le duse din punctul C la cercul del:rur l: : dintre sferdgi-ci l indrul circumscr is i' tt lt lrrtuii_:cteleM ;i N de pe sferaciutafe. haba_

11u't'_mr, gi ne ale acestor puncte se ob{inur lr , ' r i .- :rdrabatere punctufuiC si a curbeit l t t t l t ,:aact. e_planul e nivel H, ai centrutuiiuttiirrr.fn jurul orizontalei (coa, o,a,) uati catii i i ir ,,,,r rabatere.Astfel punctul C'se rabatertl l :,a. ar rabaterea ceriului cle contact semlrul- -da cu conturul aparent

-orironlur al

.l11*'-Tangentele 1 9i t^nduse clin-co clauilr..r_:r i le m0 gl ne Car€se rirlici clin rabatere

l1, t ' m') giN (n,n').

;T.:.^d:lermine planeleangenteuse rin

este eterminatepolara"b

t pr;; i ; iui s fafde conturulapareniorizontat;i ;i;;;i gi esteplanulvert icajp,. Anaiog,

.; '^si"; 'aa

urmaI: i l i : l ld Q', a.planuluiclecapdt n-caresegase$teerculde contactdintresferdsi conulcircumscrisi, din viriut T ii,-t-, ; . 'AJeje ouacercuri e ntersecteazd,n cloud uncteM ;i N,in c,are lanele angente" ;i;;i';;;;"p.tn

""r"louivirfuri alecon-urilor,leci rin [rptu O.PlaneleP_ i e au ca dre.aptd e intersec{ieclreaptaab,c'e'), care ntilieqt" .ieiu o.maiin.purrcteleiutate-M; i N. nentru obl ine1lt: i : : : l i , dintre,sferi 'qi clreapta

-1ab,c,e,),seelectueazi rabatere planului eri icalppe-planul enivelal centnilui i*. i , luina .,axi de rabatereorizontala tr"riri'i nivet

:afese,proiecteazArizontal updab. punctulrJ 9,g') ramine ropriul iu ribitut, iar (h,h.)se rabate n he.Curbaa" .oniu.i'siiuata inplanulP se abate upi cercui aiurltru uucu centrule. Se obiin rabateritemo-; i ne,carese ridici din rabateren puncteiefi ;i iicautate.40Si s^e.onstruiascl,n sfirqit,printr-odreapti4.(P,^8') dati, un ptan tdng*;i l;

"o'sferi,

utilizindoschimbaree.plane"rii.uf -.roiecfii:: :..-.|lli:.-fi: q,co')'centruli*i.i .j'ir,, i, l$t (v, v ' ) urmele reptei (9, 3,)1i ig. o.rs l .

IES: { :ilt],

€u t,,; i i

tf ; : , . ill ; _ - . . -.r1 t .- : : tt

ie : - ,etri - art3-: l: -'t; - , -1

-al

3 i : : ll l

H ,i.rll l a " . - t '

_,"ti l

' ,- ;r i l

lHl:,D11 g').Ju-oferi .i.niiu-1.,,y,Lumrundmetodabiconurilorcircumscriseterei.'rlur .rcumscriu sferei doul aonrri

"rr*au"1"--".Je.S1s, ' ) .s iT ( t. t , t reipecfivpinctete

lr :-3 (psaptaD (d, d,) int i lnbgtepl inele rle

189

'

P ul ,UU olerpeuie1{ allerl;ua1$eu1g1fi"i11{91?rsearv(,p ,p)q ulerlira.t' dnpqpsralul sa1aS lurllJe lulsO ri 4 i:eo1

alaueld (,r .c)3 lnlcundut tnirln nj

_ _19t1lUcnularuol[rur rrdasnir',X $, . r - ' - - -r--"- l ja* ur.u srrr f ,d

n aJ€olsrparuueld rorl rolor ur{ias.r51urF,il "_"., nrpau4al rnlsareasr.risrunaiica:l5sry?,

(tt gt 'Fg1)nlnrpaerlal1n;rgn,s' ,s)S:rrjra;ord. p leludz;jo pnublb'u,pXu;oinr

-f,gvul?l ,cgvs

-nrpe"rlelJnun isprs

06I

gldearpFlsBarV(Of.Ot F1g)alfcalo.rdp auelrJI z\ ,1 ainopatarna{d-+/ rS{r_+, erulueueld

-ruo*r lrrnrqFun ceg.9{", (,g , i)V. uldea.rp

:lL?-* raraJsIu_,, ,r)

1n.r1uacri1:h e1sea"e

Pllla^,"ltoegord aq euuli {nop eier nr etup9.j: i_.^ttj"Jqiungrugps'erui ,lireairuluelo ufi t:p Efft o ut ?rsuln4suorsps .eticaroudgg_. E .r\ndc srvo ruriisonTirovraUVC UsJs 'I lNircNvr

NtlJ':or.a.or

f:r* _y]rdsn., ra;s.1alua;uel"; fJtffjr

aler rseurJepN fS ry pfuiFuulap'etatclndnbF:.ll.r9_rJ.yldealq (,ry r)

ry_ $ ,u ,u)p

l?:y^_r-"^'()urru;'iv rs ()u iuf [ ,Xp1",in,i

".liT3.'t:jl illI3?', srncqj.e11eioi'11ipu u'_1,r.rglH rnlnuuld eurn ad alenlls cdase'FsFl-y?lunl p

-ro]elrund--teiur' s'iu alejfra,r

aJ lreJord .aureg l* aueg ileluoi.ro olourn

::.rnrj'_1alBrrlral alauelil lul. rV BlBrrlJaA

:.tj.l--E{nJrE[ asnp eluaFuel eueld' pndp ote3;Ltly-o_11-ua;edenrnlu-or-pdnp'er5g,1e1'Xd :u1ncrpuadrad1sl rarajs

garegs1;gire;ord u;ruralofes pg oy'eJBJaJBo

lnJpaeJlel l$ urnce:d

ryg{-aq9ruu1drp nun-rtuJjen11slpJill_?ilnJpaBrlel raplsuor Aas .nuogvurInNnysrucswncurf,UscS-.ii'a.0r

6 'arfnloso lr lu allups nlr Bruelq;>d +?o nrluad .rrfnlosnrlud alrur



]V-,P[ue- Fa,t lnrluacl l l l .np_/f{ ta^Ju p. nueJj .gn;,ifr l izod

:::::.n.]yr,$

'q

aleldaipr'iurp d punurorBrElnJrpuad;adc tuarJrJns lsa eise6ce Jluad:t?l :gllv qeilrrS,rurâptrsEarBusc usd[ i8 ' 'S)'y eldea:p r punardur3ri jror as::.?j1:r -:ld,p eueld p u_alstsuiou'ug'arajslirt_Y:_"u1.rdsnp(lp .rp)_tg

t^rdnr p arle1,ir

:l :::..f1?prsuorSs : rxtopurnt arljardrd

ap urrlr;ûeldap areqrrlrrlrsfzeenliagag

ol'ot 'Fl.t

__=_ ,1

: i sferei ciutate. \aza r a sfereieste- ; := lungirne dis tanfe ide la (co. , ) l ir . r ' i r fur i de exemplu<o,ai.

$ilrur determineproiecfiilesfereicircumscrisetu rrtraedru oarecare SABC. Se consideri

- .-u r-irfu-l n punctul A (a, a,; ;i se- ::*r_planele ediatoare , e Si R ale

-: .AS,ÂB_9i C carepleaci din acest. 10.42) . entru l ( . , o j ' ) al s lerei

A (o ' ,B') scobf ne punctu l lc nterseci iel in t reaceastadreapta; i p lanul mediator RR,.ureapta hv int i lne;te 8 in to, care se r idicdln <o'pe 8', Razasfereieste<,r ,ai.

L0r2-. ?. FERA INSCRTSANTR_UN E.TRAEDRU. i se determinefera nsmisl n

tetraedrul SABC, fafa ABC fiind cuprins[ inqlTTl orizontalde proiecfie.Centrul o, o,) alsterei inscrise n acest tetraedru este pun;tulde

,intersecfe al planelor bisectoaredl" ai"-orelor, care au ca muchii segmentele B, BCEi CA (fig. lO.aA). r in trei

"schimbdr is imul-

tanede plan vert icalde proiec{ ie e pot rrans_lorma_ lanele_fefelorSAB, SBC ;i SCA sdoevlna,plane de cap5t. pentru aceasta e iag:*Llu|, oux-elbc;i-osxs.Lca. ecoboariidin s

nnl l le de ordinepe acesterei I in i i de pbmintgrse a pe iecare otavir fului S (s, s,) . Rezultdsi, s i $i s6, care definesccele trei ' p lanedecapdtale fe le lor aterale le tr iedrului.p lanelcbisectoare le celor trei diedre sint planeleclecapit PP', QQ' gi RR'. Pentrua easipunctulde intersec{ ie l acestor rei plane s'eut i t i_ze.azd.planul _uxiliarde nivel rui = n; = f.td.-.omun.

{IililIN

fIf

rlt

I

IFig. 10.41



cir_: i= tetraedruluiSABC este Dunctul de.r* r ?l planelorP, e

$iR. p'eepurds_a

:: ca P* = Q*. Pldnul de iront Fn:.:a

.planeleP .gi e dupd frontaleleru{Li l rrLrErldral lete r sl q dupa lrontalelep' r ,r ' r s i (km, k'm') , carese' intersecteaz:jiitl'rrru..rrr:::l^MTt, ry'). Deci intersecfiaplane_

_ - . . . ,,r \rrr , t t . l. uc l . I lutt l l 5gcl la Dlane-r : Q este (P"m = D, p*m, = g,) . Cur"- - :arrului lecapi i tTT' duspr in c l ieapta

f,lne]en ;i R au punctulA (i, a,)

l?e asemenea, le mai au comun punctul

S(.,

m') , care ezulta.din nt_ersegfia 'drepte-Ior de .gapht (d, d') gi (0, 8,) . Dreapta delntersecl ie e = am, e' - a'nl ' ) a planelorp

I

Irfr-ie elfifr

lg0uillr

[ .-fl

-mnmu ill;]lltllr,

uP

Fig. 10.49 Fig. 10,43

191

iLiirl,JiH'"o,,?gP"3,1'Jlg,'V,,Ii.€llalouo rp rol 1n.rtruar,rl irt)

;Sailrsi '") '(,T '') 'ilg

G6T

:l^d-r^.ll,p 'p)q atc .(Il.,rl) r$ (,4 ,r1)

lugs:j:{:.:if,l9lar ar:

lre,tu 6 iarfpdi1'alourop?JaJlyt?

{9?'0t Fyg) ragsnop'io1dj1"r1uac(|to .tor) l$ (,o ,o) a1g e1uparalsgn6put unuorl.::1"-"1-rd un prnpei rs (,uiei -.1npuno

y_t{Jrlvq arlcsuro ns"ra.rvuvavsIqrLnllx roNndun-Uri,r:rUsho-',sueJsYnoov'r NnwocNsbNtJNVii .era.or

alse oroJsa ezerBlspare",

.oug?Tt:1i3rlqJnu JnrqrBrnlnrpar lB,o o-roJr.slq*inurJli :^1J.: ls:u111u;rfrar6ro [ 5ue1o i, ' ua]srslsareur .. ulp Blerrprr 1ec11:ai, j6 lgdec:9-^liY.1l,{.:yjT FSBvs rafesinu'e'id

",npn:18_)

4lcelordap lBrrlra.,reld alia.requrqrs

q:":l_l-t9-J9s roralsB.U tazeje is rnlirrluace,:.1[.u: -lj.l 1alca1o.rBareuu ralap hr1uj4 .arf: : : : :o -ep_leluozrronue1dgalenirsolrrqcnuralEqBrspr ,rq alEluozrroirriearoid,ri i j jOsorluIS ratrBqBr

.ap laxv .(W.Ot Arj1rn;npaeJlellnrorralur rds

-(,s,s)

ln1n3ilialii riaieqi-r1ar1

-rI?: .p_r,urol0es0erorrrn1nqFunr1' ,rrw nrrn

atsa nrpaerlaiuj



ittt-.111'.t:tt 'rt,iplj I y aJirerrp ric ;alu.rud'etep

"rij,p,iopmuror_

lua8uu;nueJdunreaurrirrnl.p"i pgi l , { ) Sy alalrund alSaunardr eldia.rpap

J1J:-rj?: rulua? asr.rcsurl?1^t-J-:-ry]nrluer. og1e1uoz :o ca oi4 @plaj :: ry_ npoTaw)ruuuag

upolaur]uiry111n:i:..lyy _.p f,gys Inrpaerlai ;'psyrcdu;"ra1s:,ty,r:l.f lleod ag .r vzvr nc g1ritj plor o e1

: *^tlelsa areJsInr+ua3n.rpaej1a1ug'asrnsug

I1r1JS ,1jro ; ezw- gllizau' j0- ,,i) u,DO rolrasrq eld eallarl1e'gzeipaiialur'y i

_"{n}9pugs 1f1osnop }tBJeJe31,u L;r's

-: l ,EJy-i3"Eipalalrundf is-s'Bloeirp

etBuJurelepqugsaueld alsa-cy J1ep'a.rag,:19t""

unruor luaFuel 1nub1d lse'(,ir ,p; q*rlp ur.rd snp aJar. . . / -, r -_r r r. , ,s ulp Bleun luaFuelid .(,{ ,{) I$ ,u u)"yalijcu"oisrl" I JJw'ot 'Flg

9f '0r ' t lc

*r: '

f

l f l idi-rrius prin dreapta D (d, d') este unul: ;nrtuu:t ,eangente comune ciutate. Problema

* total patru soluf i i .

, .UITERSECTIAINTRE OUASFERE.m rduterminentersecfia dintre doufl sfere

5i sd se giseasc[ axele proiecfiilorl ie i . Fie (O, CI'); i (o, co') entrele elori=:e date (f ig. 10.af. Se efectueazioi:e de plan vertical de proieclie o1x1

Lllllt- e-.tfelca clreaptacentrelor sferelor sii, ' . .ontala orO, u{ O') . S-au edus otelcLii,,r .r;ltr l l lui primei siere.Conturul aparentLn --rou l primei sfere oincide u conturulr in.:entor izontal, ar noul contur aparent; i ; l celei lal tesferceste cerculcu cen- - Curba de intcrsec{ ie intre celedoui*r t; ,r i tuati l n planul de capzit ' : a ibi.

=-releprolec{ ic ior izontalca interscc-' ' i i ' - ; b gi cd : aibi. Punctelesituate pe

-:r le aparente r izontaleale celor douir, . : . i e, f q i h, S. Ramuravizibi l i r a inter-r - :rproiecl ia r izontald stegbh. Analog,- : - .chimbareeplanor izontal eproiec{ ie

ltttl..: l ini axEleproiec{ieiverticale a inter-l * a cdrei ramurl v iz ibi la este<p0e.

10.2.1 - t .NTDRSECTIADINTRE TREt SFF. t tE.Sd.selef9r{nj.ne. ntersectia dintre_trei sfere. Fie A (a, a,),B (b,b') gi C c, c') centrele elor rci slereS' Ss $i S; dai;(f ig. 10.a8).SiereleS, 9i Sn se ntersecteazi -upd rrrccrcC, Sferele Sz gi Sr-se in-tersecteazidupd un cerc Cr,Cercrrr i leC, gi Cnse intcrsecteazzirr puncteleM (nr, mt )sau N (n, n') cdutatc, n care se intersecteazde aseme-nea.9r ercurileCo rrC, sauC, cu Cr. Seobservici planulP al ccntrelorsfcreloreste.unplan de sinretr ie.DreaptaI (E, 8') caLeunegtepunctele-M

;iN qomune elor frei

s lere stcperpendicLr lar ie acestplan p\Direcf ia acesteir l reptepoate i deternr i l rota u o br izontal6si o i ronialaa planului ABC..- P, Dtc i pentru precizaieapozi t ie inccsteidreptc cste srr i i . . icr r t rr s ir rgt i rpunct 1kj k, ; 'a lci (de cxcnplr r , prr r rctul r r carc aceast i t l reapta nt i l -nest r . lanul P). Pentrrr ceasta e abateplanulABC - ppe plarrulde uivel H', l r r indc; r izontalaap, a,p, ) ca axidc rabaiere.PunctelcB si C sc rabat in bn i co,*CercurilecLr ccntrelc a, bn li co sirrt cercuri rrari aie sferelor.( .e let rei a. re adicale12,34; i 56 ale acesior ercur iseint i lnesc innti lnesc in rabaiereakn a putrctului ciutat, care seintoarcedirr ral-raieren (k,

k'). (Irc epuri s-a nt implat-a nt implat

r r--,:



Fig. 10.47

I t r 'rnur

DT :r ' i - .

d::r :;

/

F ig. 10.48

i93

d

01901

v6r

I

o

0g 0l Fl:{

rolal auturoJ.,u ,u)N Ii (, ru ,u)

19e1o1ou*Uiipq,jt j l

u'Yi3'1,'llol',;*,, ,Jl"orppur]rasra]ul',L T,s I$

i



edearc'1 l* pr",. ii,?rl'J,oj":i,

1'J'1,it"'3lrE ) ;

6t 0l .11:I

o"l_1il9ll9?rrlqo asuBlpuJurrnJroJ lsrrv .uprlrrr

_:jnrrala:1ug suy:dnr leFaalale.rdnsap .rurrri.r'o'rimtpe alu8a oJIJals IJnsnI ur prpTr^rn alca r1r-r ,oll,p_t-n]u8"ecrrajsr:nsri3ug uiezr,rrp lsb ra:ag,::"t_.1_1.lyry-d

uI -JaraJSp,r iuurixij.rdeorein6sr l a lezrpln g e 'aJrqrsod

rolapola i lprurpnl l l rnrut.-i_cp

^rlrnluroluluazerdluls 0g.ble:nFr; J .qi5jso

.".Isapn;luada,rrleurxorde polaur li jalip irsixrr-sdlr ts n:}uad a t leul txoJde apolaut al r. lat rb brsi r:rvrnsplsepeupfulurdns o ,ar1Sos'u.r 'nlcai ip : j jsa'eja1

ls v y^rrvwtxoudvsuvunsfs3(

/rt.di

i"--':,:n^q.::d-.1jorars,,,,,";5iJ;i 3:Ji,ls3"yi: pnop a11.r undsa. loJJplut loJal lJ lorr loaD aJtuaJ

_:1, :onj laruratJBl . (ar f rn: lsuor. lBnlJaJo

lplu u. ret:rda ad) aJaJs ali alal allurp eroun uoFuet uerrl. , \1; ": l

drdjs rdrl dlar arlulp eroun lueFuetr el d"it ' '( t "O pldea.rpf lspare urrd pulcnp auriqo es:?l ueld lsacy

.€6 ,u.r* tt_l eldea.rpu,rd ,*i1 ..1,j,.,tt^t_:"y::-l,l.3ue1 ueJd un ,:epe6y .1406 nes) a15:uoap alarluoJ uI-lnJrJAnJ a;aJs olsare si:rsrunr:r.,rr aluaFual

1ul:*S r$ 15 :o1a:agsunuoJ alua8uul

d (""O nus)d6

atlolouo op alarluor tr1 [nJrIA v - . -" / (_ , vr+e+vrrv vy dldrludJ uJ InJ IIA;:rrs rolseJe srrJsrunJJrJlnlnuoJ aluaFrrel 1u1s5 r$

rr: iraJs aunuor e1ua3ue1 laueJd .aJoJSrarl Jolor

: - :a: 1nue1d 1 asurrdnc ur,g.6rn,u,io"'r* -rip

::rs araJsoJsar? yuos:e,rurS"1cai1p

,1j1o,i.,olp-ri (qt 'O 'FrJ)elep 8S

I$aS rg ,"ir1r'rarl rolaJ

:11._ l'8o)

-1s(% .uo"),(to",r"j

",.r"-;; ";:I,:t^

l]9l luaFueluuldun eulurelopes pS .AIVf,

JS r.rur v,r NnwocJN:ICNVi'NV]d"i.:br

{E

s:e:r

Pi

lor.:ii:-

rPlrii{*

&a

Fig. 10.51

;. sierei. Lungimile acestor arce se rect if icit t [Lu,nr:-]e02030405060.e orizontalele dLrseprin

r . r , ie se rcct i f ic i arcele de cerc EF, 8C... n

Fig. 10.53

pentri l desii i$urareapro.ximativd sfereise l:azeazh e



\ [ , , etc. Aceste construcf i i pot fi urmirite pe

r. i iguri le 10.51 a gi 0, unde este precizatd;i\ pe desfdgurata proximativd a fusului V

u r,-:ctului A (a, a') de pe supraiata sferei. 1nliiiLnlgura 10.52este prezentatddesidgurarea pro:lgura ru.oz esreprezentala oeslagurarea pro-

l ::nei sfereconsiderlnd zonele sferice.numero-ilLlnrr_l a g, ob{inute prin sec{ionarea l erei cu planeNultL.. acest az se desfigoariporliunile din supra-lt f i f i tv 'suprinse rrtre cercurile paraleli orizontali.

LlMs;i,rurarecestezone slerice pot Ii aproximater . - tanJd u nigte rrrncl t iur i econ.Aite nretode

i ri

corts iderareauprafe{elor ol iedrale egulalesau semi 'gicvasi- regulateu numar mare de fele rrscr isetru

ircum-scrise sferei. Pe aceastdcale s€ 'ajunge la structuri lespaJiale ret iculate sau la structuri le geodezice t it deuti l izate astizi in construct i i g i arhitecturi (f ig. 10.53).

Fig. 10.52 Fig. 10.53

195

96I

99',0r8tc



aursoJ; p;Sgue.ri'dsuurlfra1s . fr;F;;, :U";

lncre6.ourp purrrJsopX' nll ,h, .,;:"lt:

uI*a1ep

ra1sJJlJolal olo.t luo.r1e8.aaor,o

1e' r , r 1u1no:Fp InJluot J ul l lozrJoze, )J

;ii?ji,1;11"|o:,?jil'"Ii:l:'?.'q0r ;rtr) 1qnpzurri,l, i;;;r;,i;;if .l'1;ifi l,i;';"",1'":3ii:i;zrsu s t?S I 'Jrrjs p'irlrnJ1iuo3if

iVlit jV':8t.a.0 t

: il :,",ii:- 1,,r,i,r,,,li1,iln"',, uj{i,

:j

;l .i,'Jl,TJiirxordBo1o1uLrr(u1sapuioLrriqoiirj,r, lpfjrrri aiscrv

qsgot 8l.t,P

- Baleilpouoc nrtuad) aFllz as I?rrlulr lJr 1rlh.unrrl1

{s-g l '8rg)rrrrir a:o;s ra.r1ola) alrr}ual ap }pruroJ', ] , lutyll,y:gnlnJqFunrrl u q earurilgulRzr?otnrttsr":_qr_:

ezerop eraJsgjeuoFo;.ro'5ij; j, ; ;-; iq,rp

;ljxjJ,l?,"j:ii. :il{:_l"jl19tn,o;.re;xolu"a,iil;s:-

sllil:

.tosralu

Ie;ua;uul

1 lrajs eur,ir.rjl-pr- -i1"po :ojj:t_u _q.u"Eg"ls pnopatr;J noira1eei1u1iraduul:_t ezerop ,o;u8aa.la;s;ai1eze$ebn'asR:;j, i;i;;rwr"luozlJoueld un ed qtuiE )rrrsorR tn 13 r,r,,a,-r^1.n-t-*-z - U ?zPJ ap 'PIIWI

.Gr ap

::?qEl

r-5un1t1

L :: _l ,1${

I :: -gn::, iaturi dreapti de capit (ornor).Se obline

' i ' ' f f i - 52.. n felul acesta roiecti i le erticale le. :e:elormici sint determinate.Se poate ajunge

:ezultat gi printr-o construc{iegralicd. Ma i

:a.-.:ruob{inerea centrelor o:i 9i <oi ciutate se

"lre: ltele a'b' : c 'e ' : r: 30 pe vert icala

- - . i idianului principal al sfereimari. Se unegte

lDslr ; "1- : , ' , -u b 'gi cu e' , se duc paralele1a acestertltnirf::;n a' qi respectiv c' apoi se considerh fie

r ; - . , t segmentelor, ib ' ,o:1e' ie dreptele i t '

qW

rrur rei conuri de rotafie de inilfime 100, cu bazele,gale. de razd 30, situate in planul orizontal

:tre ele doui cite doud. S{ se ateze n spafiulrm ::re cele'trei conuri gi tangenti lor, o sfer6 deum ji[t. deterininindu-se niltimea centrului sferei

,uu rrul orizontal. Si se deseneze poi sferelede

'mr:rnd qi minimd care indeplinesc condifiile din : : ;ege triunghiul echilateralSrSnS, u una din

r- : - r id de capit ( f ig.10.56). Paralela pr in b'- . - : id de capit ( f ig.10.56). Paralela pr in b'rrr i l 'n: , : iea1a' conduce a centrul coto'al primci

:1, - :e. Pentrr r celelal te doui sfere sc considerd

| . . :a in 51 pc geuer-atoarea ja', precurn,s i

ri:or;llureri "

-

ximl

tteric,;r s e**

: i" tl ;

0 : . r- '



Fig. 10.57

bisectoarca urghiuluixa'St, Se ob{in proiec{i i le vert i-

cale c'r* gi ar* ale centrelorsierelormaxit ld ;i minirnli.

In epula dir r i igura 10.57csle prczcntat i iqi o proiecf ielaterali l a ausambluluide siere astfel deter-nt inate.

I0.3.PROBLEMEROPUSE

lo Sd se deternt itre tt paralel orizontal (saude front) alunei sfele cunoscind:

a) cota (dephrtarea) a I;

b) raza sa R.

2" Sd se deternrineplanul tangent la o sieri i datd dttsprintr-o dreaptd de prof i l, determinath de pLrncteleA (a, a') ;i B (b, b').

3o Se considerd punctele A (a, a') ;i B (b, b') gi odreaptd D (d, d'). Sd se detcrmine pe aceasti dreaptdproiecli i le punctului M (m, nr') astfel incit :

a) MAs+ MBz=: BAB9

b) zMA: 3MB.

4o Sd se ducd la o sfereun plan tangent de pantii datr i,paralel a o dreaptd datd (Numirul solu{i i lor).

5" Si se determinepunctele ur.rei ec{iuni plane intr-osierd pentru care cele douti proiec{i i ale tangenteisintparalele.Fig. 10.56

r97

$ j v rnlJundr.rd ra:lir 'gi;n'u'rl,"r, jiT#;l

-Ji,1:',1"{jj;tjnl.Tor.,"uryya1epdps t,6 ;"t ilrrrrfo,rlrqre und un r$ erf a _oidp" lJiu"ral j;lr1oi lLrnlrsV rS q alaleied loa:p enop e.reprsuocg o7g

#JH,i'":lT.T?T.*:o:t:.-,,-11;iL'J*[t#"f;T?_1ltnrol olrriroro.rd.alltza.rdo:"r''ng

i1ii r'.pr,1".q.8qE)rrurlllJar luaru8os'pnopraplBuo.j ' j6

"Cg..r .o ro,#:frtl:Td j#f.3i:'"p

"1u'l.'p'qri ad ap rolalcundnror fauiruai" i ;3inl'nii$", ;(,I_:?9-pieluozr.io$'eoared_alenysr$y,a1ep., u31q-." f i1 .ii'

' ip 'ppaurrursBoo r.ue1d n eI 1i o lnp ,q ,q)gt iu)V olrund enop e1aies 1r1u.n1.,i ipi,,3.Jun..,t 'u) W lrund rnun jlrri5arri.rd"; , i ; ; ; ;

5.", iI^*

,r , , " . ,v r , ,q , , ci l r+Jdruru suIIuJolap as ps .0 ,

r,ii;l.ryl:ly^i:,:,:.:f:r,i,'15:';il',1L'J?rffTi-1u_lruora'urou jy1 J3loiliud, j;r;; FfiP.#:rs alBInrled rnun ar'e'rn e1n11"'a i, ",y" 1.-ai,'"1s a1eelua.rede lrrhrnlubj ,J,ur; i ;p

"ir-' i i l ]gg

r' o,rorrlini:,:"ii1ti:, 'rsrunrrr 1uora1$4u111ui; ii:u) s." ;;i : [f :; i5','1,T,-"j$,ljg:t;;;

,r irg.f{i#*i, i?1{i3T,t%i, ".,-,i;ii:;1:.dlruilap lieior [ ;.ld;,;,;';;, t,oJh*o\,c ];e,,,;i,Hf;liiloJ,'.l$y;ji,':?,"J,i63,xx13T:;i*;j v rnr}rnrr , , , , ^^^,.n1991p_Fnoq

roloce1ua3ue1

B6I

reruoztJo nue1d c batitoto;d op

,,,*,1'3o,rj,t?"Tl3ilH3ffiig: i{ ljffii.i"Li3'-rT:i:ii'*+l*r "lulrl,?lJt'l,til,.,?j,{,3:f,,?ifixilfk":[j#,,,,ilJ#;(,S e)q r{ (,e e)v aLlf]rndrlrd ro:1rr, s ,pr?l 8poueld olaquppjua8riel .re1sp"r"l'";;;;";"s FS.0a

f {''j{ryiilrf5ll,"i'J"r,5'13iY',.iji:i'ff,f:yJl{,,T; alderparrn ,p u1'e.,rfian,iluirriniiirr.iqlp o, 99"61

n ry5 li#i,l;lii'"lIrr'lrY-lr:r: s'iij3lYt$"rr

iiq,r'41 ;ffii,,1::i",{ily,#tEiiii i:llli

;i3.:J'ti l # ij;l;l#d tT,#'#fi ,",i,,i:li"T,: ilTi _#i,i' :l,:ilii;tdl"r'

u,arplii"iil?l?'iilt#"o nrnuorP sBnrrsuorsas

:l'f",,',*tt'TiHIl:i'',t'Ji$',[:i"ryi,tlTfllil,ljin-lffi ,



.11 ,i" l,l,y,"tS .: t. : 1ir eJB.aluarede lJrniniuoj r6",nifuo-r,.r'iil.ae

'erioaro:dap eluozuolIuJd. l i1p1,rnr1*i,p :u3ire ls.g PJP+UoJI J- j.qp, Fpr'oc Erars

",r?'rtJi'?X.11t"?"1,3,T1i":q,{."f.,pqr_ro.FraJgls'ars_ul rirrnjlruoilJ J.,1 J) pleluort rS rlcarordb rrui,r,jo nurrarilsa,.') o; n:luai aiqrlep:ajr,o,prn$isi,;;;d-.id.usrrJsuJ

Bralso-4ufrd.1$ ,s ,s)s nps Inlr ^rur;aprfelo.rpuojun i. p,,il ci pl.irirp

"jli";o

',alur0p ;o1a1cund1 ceriiid'"'u,;j5iJi5r'RSt;;t

,nl^"r:rl1'.trJs ,p p) plorr;Stjr'#?T?,:lrpo pl l 'nps alsa r'r 1nua1duruirol"p J;"S-:;;

,,-i ,:ilil1,",?';:,lTlT,i;1,ifli.1,r5iteJ luaFuelflBpdEzerp,rril?,,ili"8 rl":jgur) ypundn p f s,rq(jf",1l,X,Tt^"#jl,;,TJjr q Fldea.rpujnp'ai p's ,e' ,e) 'y, t; i r ; ; ; -; t i ;

.9a

ii, *iTri -l#lr":i#fi{t ?u.oJ,1JJ."#i313,i?'fTl?:lg,i i":,:3i5f1a1u;1luaFuellso1$,rll:...1:::^nlro r.rr'lllTi3rip,a1eeluarede lrrnrnliro:

l'?'$;3l;;;lliiri;:i T$iltfidi"'i'i:3jj#jp ir, arbfi;UF5J";il?i,]3il?,l',/,,1',lff?ji

i11:::".:,-'it?"'ill',lTo'".i.1't:yU "'?#,'L'#i"$;,'i*pus.releln;arnrpaejlel "-Rr;id;;i;j';,j'j;fi,#

Rs ar

arfas;a1ur.f

"drTi,',io"r',],{:3,.lloor,i,HH3i,:J-tt:if.plepu ezvrpprars

f 'i: '?i 1[,tJ',ui''u,?tX.j;;,1seooredalenils1,ri dit ti 1,_ ,i;

i"r1r]3urnf,l,r4"91

.dI$ u ,ru alpp^_aJournura: l nJ eleuorf.rodo:d

iijliii :'3$,J:,'$';il^" fi,Alry;lUl,'.'Tj',ilzBg ulrsoun"cgv's njpae.ilaln drrJinil.uotJ"o, g .6

* if tlyu,''',11#i ,,T#ii, 'X,'l ifr;,,g,*:i;S,,t3:';3"',ru'fi:g"l,s-.qtdr .,r"1 i"y_".ur

* 1i';.pd.,i",#i.;ii, lT,Hl ;H] f,Jli?d'.j

iiii e,i"1",";1.:i::ri' r?]s,:jl#Hi;nop_Blles ro1eiu"a1sro^r1.1:bgejlljur i5li* ilL ,rt

wrund un (,p ,p)o ^eidea:p^o,i ' .r i,, i i iJi.p,,i uso,

rBI rBJ'.,, t'{ il3i[#:ljt,i?i,,Hls,Ji*i :;;:J,:9,?H ,'.p,:,",ilttt.{:;unn ecesr ,'ilH;lg yB rnun ln.rnfug6 ririldun pjsrip.r'is ir.-66

ul a. \ \ '€: :al doi lee r

apiri Dunct B rb,hldaia. .

r ' ) pe a: ir l rne ci l :

runctul A

erd de;ala

rpid D ld"rctM(m.r

uenta ;

a, caie: :dat .

r c dist ; -; i l i rla Ce:c:T l

Lr ' , - : i i p lanul P dat pr in urme. Sd se determine

'l e..le . -:,,riu0llI i f , i' *hi i , ,tz aab. a 't tillr

i ai '1: -: tnul

-, . ;era punctul A (a, a') s i tuat in inter iorul

t;-

" runct A (a, a') si se ducd o dreaptb-a t reaci la distan{edate fa a de prrnctele\ (n, n ') s i tuate pc aceeal i or izontala

- . - - . t ru iascdconturur i le aparerr teale sierei. : : ra dreptedate in doud-prrncte ate.

:erh trei segmente rect i l ini i (ab, a'b'),ef, e ' f ' ) , S i i se deternr ine roiec{ i i lepunctc-

, :e: te t rei scgmorte e vid s imultan sub-urr

r , r - :e: -bo sfere gi o dreaptd D (d, d') . Sa se

n , . :_sint atrgente elordoudplanecleproiecf ienr 1,ceprof i lPdat .

lliuur til]

. : t :u iascd fc lacarc rccc pr ir r prrnctc lc , B'=-gentdla o dreaptaD (d, d') 'data.

l iu . 10.53

tor. Torulpoate i definitqi casuprafal i nversda uriei suprafete ilindrice sall a unei supraieteconice.Astfel dacd se transformi prin inver-siune generatoarele nui cilindru circular ver-t ical (polulde nr,ersiunei ind peaxasuprafeteic i l indr ice), e obtine Lln or care are un punctdublu in polul de inversiune. iecaregenera-

illlliirftillf



ir."i singuri pinzd. Ca imagine plasticdf : - - iuprafetree aminte;te,de exemplu,

uutmr', .-tmisferd se agazd rei sfereegale angente:angenteemisferei t r puncte dc cota data.'nt"r: : l ie aceste fereqi sd se construiascio sfer; j

r ,: : tangenti acestor ferc.

- :EUL

DEFTNIT|E.ORULCONSTDERATA

i in:; cercului, astfel incit suprafata va

toare a ci l indrului se transforml nt r-un cerc

meridianal torului. La fel, transformind,pr ininl'ersiune conul circular drerrt se obtine untor cu dou2i inze, care core\lruud elor c loudpinze ale conl l lu i .

lu . - r .2 .REPREZENTARE. ECT|UNTN ' ,rOR

PRIN PLANEDE NIVEL SI DE FRONT.S[ seconstruiasci ecfiunileprin planede nivel 9i defront in torul cu axd vertical[. S-a arzitat cz'rtorul este suprafalade rota{ ie generati pr in

rota{ ia unui cerc n jurul unei axe situate nplanul sdu. Fie (<o, o')axul vert ical de rota"

{ ie, si tuat n planulde iront F, ; i f ie cerculdctazta coia' un ner idian pr ir ic ipal al supra-fefei, continut in acelal i plan de front F(fig. 10.58 ). Conturul aparelrt orizontal altorului estealcatuit din cercur i leconcentr icede raze coa colierul) qi ob (ecuatorul).Cerculde razd <ozcostecerculni j lociu al suprafe{ei.El esteegal ca razd.paralelului nferior (c'e')

; i paraleluluisuper iorciei) .Conturr-r i parentvert icalal suprafefei ste ormaidin proiecl i i levert icaleale acestor araiel i ( infer ior; i supe-r ior) ; i din celedoul cercur i ,mer idian r incipalde centru coi ;i co{ (rnirginite de tangenteleexter ioare onrune). ecfiuni le n torul cu axi i

Jd

t---

:,r iltin

: ,illillll

$, "b ifllliL

t E€.::n,nrilMl

t l . : 'ryq11,i ,,,

.€ i ::- l : : l l l l .l : : : - : lmi i f:-

":,:: l^ilillll

ll r.

m,4FATA NVERSA. orul este uprafata

lflnr"rr.rulatru generatdde ul1 cerc iare se

O. i: fliii,: D i" lil'iill

mi llll

ie salvare. Dacd axa intersecteazimrtu-:rul generat n^aceste ondili i prezinta

,u r * la inter ioard. n acestcaz, cele douar :,e suprafefei interioare gi exterioare:- : celedoudpunctedublealesuprafefei,

, : punctelede interseciiedintre axii si : punctelede intersec{iedintre axi pii- :rafa{a lor prezinta un singur punct

: ::ca axa este angentii a cercuigenera-

1 f) {-}

a

Tanasescu Book

Documents

Transcript of Tanasescu Book