Subiectul 3 Modeul IS-LM static:

Piața bunurilor:

10)()( ctycatc d

t

e

d

gtitctd

ttyttttax

iittriiti

ttaxtyty

)()()(

0,0)()(

0,0))()(()(

)()()(

00

00 Piața banilor:

ofertacerereatptmtm

tptmtm

lktrltkytm

d

s

d

)()()(

)()()(

0,0)()()(

aritm icemarimiinbaniderealaofertapm

asteptatalatia

baniderealacereream

totalerealelecheltuielid

realetaleguvernamenlecheltuielig

dobanziiaalanoratar

realeleinvestitiii

disponibilrealvenituly

realetaxeletax

realvenituly

realconsumulc

e

d

d

log

inf

min

Toate variabilele sunt logaritmice, mai puțin rata dobânzii, rata inflației.

Cererea agregată:

eigtriitctytcatd )()()1()( 00

În echilibru pieței bunurilor:

)()()()1(

)()()()1()( 00

titriAtytc

gtitriitctytcaty

e

e

Curba IS:

00

)()()())1(1(

tcgiaA

titriAtytc e

În echilibrul pieței banilor:

)()()()( trltkytptm

Curba LM:

)())()((

)( tyl

k

l

tptmtr

Echilibrul simultan pe piața bunurilor și a banilor:

)(

)1(1

))()((

)1(1

/

)1(1

1)(

)())())()((

()())1(1(

t

l

kitc

i

tptm

l

kitc

liA

l

kitc

ty

tityl

k

l

tptmiAtytc

e

e

Observăm că )(ty este o funcție liniară de ))()(( tptm și de )(te :

0,0

)())()(()(

21

210

aa

tatptmaaty e

Aceasta reprezintă curba cererii agregate (AD): orice punct de pe această dreaptă reprezintă

echilibrul simultan pe cele două pieţe: piaţa bunurilor și piața monetară.

Putem exprima curba AD ca relaţie între p şi y:

)()()( 210 tctycctp e

1

22

1

1

1

10

0 ,1

,a

ac

ac

a

maac

Fig: Curba cererii agregate (AD) și LRAS

Curba AD indică o corelaţie inversă între p şi y.

Introducem curba Phillips fără șocul ofertei:

0),())(()( tytyt e

n

ny este nivelul outputului potențial când care se realizează când: 0)()( tt e .

Aceasta este o situație care poate fi întâlnită pe termen lung, când preţurile sunt total flexibile şi

se obţine curba ofertei agregate pe termen lung LRAS de ecuație: nyty )( .

Analiza dinamică:

Deducerea modelului dinamic al inflației

Derivăm în raport cu timpul curba cererii agregate: și obținem curba presiunii cererii:

0,0

)())()(()(

21

210

aa

tatptmaaty e

și obținem curba presiunii cererii (DP):

)())()(()( 21 tattmaty e

Subiectul 4

Considerăm sistemul dinamic al inflației, constituit din respectiv curba presiunii cererii, curba

Phillips și mecanismul dinamic al așteptărilor adaptive:

0)),()(()(

0),())((

0,),())()(()( 2121

ttt

tyty

aatattmaty

ee

e

n

e

cu sistemul redus la două ecuații:

)())()(()()(

))(()(

1211 taytyaatmaty

ytyt

e

n

n

e

Scrieți traiectoriile staționare, marcați vectorii de forțe în spațiul fazelor, analizați natura

punctului staționar și o posibilă traiectorie a variabilelor de stare dacă starea inițială se află în

sectorul sud-est.

Traiectoria staționară se obține pentru:

0)(,0)( tty e .

Pe traiectoria staționară, venitul este la nivelul potențial iar rata de creștere monetară este

egală cu inflația așteptată:

)()(,)( tmtyty e

n .

Considerăm condiţia de staţionaritate 0)( te atunci nyty )( , deci curba este o

dreaptă perpendiculară pe abscisă.

Dacă nyty )( , atunci 0)( te , deci )(te crește, la dreapta verticalei, inflația

așteptată crește. În mod similar, când nyty )( , 0)( te , adică inflația așteptată

scade.

Considerăm acum dreapta 0)( ty . In acest caz:

))()(1()()(

)())()(()(

1

2

1211

n

e

e

n

ytya

atmt

taytyaatma

Care are panta negativă dacă: 0)1(1

2 a

a , ceea ce presupunem pentru acest caz.

0)( ty

))()(1()()(1

2n

e ytya

atmt

Sub curba 0)( ty , y va crește, deasupra curbei 0)( ty , y va scădea.

Pornind din punctul A de pe această diagramă, mergem împotriva acelor de ceasornic, putem ajunge

la punctual de echilibru direct pe traiectoria T1, sau în spirală pe traiectoria T2.

Traiectoria pe care se va ajunge în punctul de echilibru, depinde de variabilele exogene și de

parametrii sistemului dinamic.

Punctul de echilibru este de tip nod spirală.

Subiectul 5

Considerăm sistemul dinamic pentru 15ny

5,1,2,0,5,0,15)(,10 21 atma Înlocuim în:

0)),()(()(

0),())((

0,),())()(()( 2121

ttt

tyty

aatattmaty

ee

e

n

e

Sistemul rezultat este:

))()((5,1)(

)()15)((2,0)(

)(5,0))(15(10)(

ttt

ttyt

ttty

ee

e

e

Reducem sistemul la două ecuații:

)())()(()()(

))(()(

1211 taytyaatmaty

ytyt

e

n

n

e

Rezultă:

Determinarea traiectoriilor de evoluție a celor doi indicatori: venitul și inflația așteptată

Determinăm traiectoria sistemului dinamic:

)(3,05,4)(

)(10)(85,175,177)(

tyt

ttyty

e

e

Scriem sistemul omogen:

)(3,0)(

)(10)(85,1)(

tyt

ttyty

e

e

Matricea sistemului este:

03,0

1085,1A

Figura: Traiectoria sistemului pentru )12,12(),( 00 ey

Rădăcinile caracteristice ale lui A sunt:

isr 4644,1925,0,

Subiectul 6: Scrieti modelul dynamic al capcanei de lichiditati, calc punctual stationar…

Considerăm următoarele date:

08,0,1,0,2000,450,10

,25,0,330,4,430,2,0,75.0,60 0

nyml

kgiitca

Modelul IS-LM, curba Phillips, așteptări adaptive este:

)(08,0

)2000(1,0

450

1025,0

)(4430

)2,01(75,060

ee

e

sd

s

d

e

y

mm

pm

rym

gicy

ri

yc

Atunci:

ese

ess

m

mtm

064,00064,088,2

8,108,036)(

Traiectoriile staționare:

es

es

m

m

064,00064,088,20

8,108,0360

Punctul fix:

)0,450(),( esm

Cele patru cadrane ale diagramei fazelor se pot vedea în figura următoare:

Vectorii de forte:

Sub curba 0)( tms , e este mai mic decât pe curbă,are semn negativ,

sm crește, iar

deasupra curbei, scade.

Sub curba 0e , e este mai mic, are semnul plus, deci 0e ,

e scade, iar deasupra

curbei, e crește.

Vectorii arată că traiectoria se mișcă către punctul de echilibru împotriva acelor ceasornicului.

Pentru a studia stabilitatea locală, scriem sistemul dinamic omogen în termenii abaterilor de la

echilibru.

)(064,0)(0064,0

)(8,1)(08,0

eesse

eesss

mm

mmm

A carui matrice este:

064,00064,0

8,108,0A

Valorile proprii sunt: i0796,0008,02,1

, deci au partea relă negativă și deci sistemul este asimtotic stabil.

Aceasta indică o stabilitate locală, sau, Groth 1993, arată că stabilitatea este garantată dacă

iar in exemplul nostrum, si deci stabilittea este asigurata.

Subiectul 9 consideram modelul cu agent economic reprezentativ, al ciclurilor economice

reale. Scrieti functia Hamiltonian, contitiile de optim…

0

0

..

)()(max

1

0

1

1

0

T

t

tttttt

t

T

t

t

t

a

c

data

arwaac

RS

cucU

)1,0( factor de scont

1

1, rata de scont;

tw câștiguri salariale în perioada t;

taactivele gospodăriei în perioada t;

tt ar venituri din capital în perioada t;

Restricția semnifică:

cheltuielile de consum+economiile perioadei t=salarii+veniturile din active.

tttttt arwaac 1

Scriem problema consumatorului sub formă de PCO:

0

0

)1(

..

)()(max

1

0

1

0

T

t

ttttt

t

T

t

t

t

a

c

data

carwa

RS

cucU

tavariabilă de stare

tcvariabilă de control

Scriem funcția Hamiltonian:

))1(()(),,( tttttt

t

ttt carwcuacH

CNO:

,...2,1,0

)1(

)1(),,(

)(0),,(

1

1

t

carwa

racHa

cuacHc

ttttt

ttttt

t

t

tt

t

ttt

t

Din primele două condiții rezultă:

,...2,1,0

)1)(()( 1

1

t

rcucu tt

t

t

t este ecuația Euler a consumului.

Obs.1: Dacă )1(1)()1()(, rcurcurrcc tt rata de scont este egală cu

rata reală a dobânzii.

Reciproc, dacă tr consumul este constant.)

Obs.2:

tt rw , sunt date exogen.

Obs.3: Ecuația Euler este o ecuație cu diferențe finite care se rezolvă cu metoda cunoscută.

Firmele

Ip: Toate firmele sunt identice, normalizăm numărul de firme la 1.

Notăm:

ty outputul firmei,

tn numărul de muncitori,

tk stocul de capital fizic,

scalădefactorAA

nkAy

t

tttt

0

1

Teoria ciclurilor economice reale presupune că ciclurile economice sunt generate de șocuri

reale (tehnologice), prin intermediul factorului tA . Cu AAt tehnologia devine:

1

ttt nAky

tw salariul pe persoană pe unitate de timp.

Ipoteză: identificăm activele consumatorilor cu capitalul fizic pe economie ( tt ka ).

Notăm:

t renta capitalului (prețul închirierii unei unități de capital în perioada t),

t renta netă a capitalului, este rata amortizării. Gospodăriile dețin capitalul pe

care-l închiriază firmelor, obținând renta netă.

Piața monetră și piața financiară sunt unite, astfel încât rata reală a dobânzii este egală cu renta

netă a capitalului:

ttr .

Ecuația Euler a consumului:

))1()(()( 1

1

1

tt

t

t

t Akcucu

Rezultă:

)(

)( 1

t

t

cu

cu

rata marginală de substituire intertemporală în consum este egală cu rata marginală

intertemporală de transformare a producției.

Problema firmei:

0,

..

)max(

1

tt

tttt

ttttt

nk

nkAy

RS

knwy

Ignorăm restricțiile de ne negativitate asupra inputurilor, întrucât acestea sunt incluse în

definiția funcțiilor de producție.

Rescriem problema:

)max( 1

tttttt knwnAk

t

t

t

t

t

tt

t

n

kA

k

F

n

kAw

n

F

1)(0

)()1(0

Condiție de optim cunoscută din microeconomie: productivitățile marginale sunt egale cu

prețurile factorilor de producție.

Subiectul 10 scrieti conditiile de echilibru pe pietele bunurilor, muncii si capitalului

Echilibrul pe piața bunurilor

Oferta: ty

Cererea: tt ic

Echilibrul: ttt icy

Restricția agregată de resurse:

Outputul total produs de o țară:

1

ttt nAky

Se distribuie în investiții și consum:

ttt icy

Structura investițiilor:

- Înlocuirea capitalului fix uzat tk ,

- Investiția netă: )( 1 tt kk .

Rezultă: )( 1 tttt kkki .

Restricția agregată de resurse devine:

1

1 )1( ttttt nAkkkc

Echilibrul pe piața muncii:

Oferta= 1 (prin ipoteză, fiecare gospodărie oferă o unitate de muncă)

Cererea: tn

Echilibrul: 1tn

Echilibrul pe piața capitalului:

Oferta de active a gospodăriilor: ta

Cererea de capital de închiriat: tk

Echilibrul: tt ka .

Definiția echilibrului competitiv:

Dându-se activele inițiale 0a, echilibru competitiv este o alocație T

ttt ac01,

pentru gospodării, T

ttt nk01, pentru firme, cu prețurile:

T

tttt wr0

,,

,

astfel încât:

1. Dându-se T

ttt wr0

, , alocația gospodăriilor este soluția problemei:

0

0

)1(

..

)()(max

1

1

0

T

t

ttttt

t

T

t

t

t

a

c

carwa

RS

cucU

2. Dându-se T

ttt w0

,

, cu tt r pentru toți t=0,1,2…T, alocația firmei

este soluția problemei:

3. Piața se curăță pentru:

tt

t

ka

n

1

Caracterizarea echilibrului

Din problema consumatorului rezultă, prin avansarea timpului cu o perioadă, condiția de optim:

))1(()1())1(( 211111 ttttttttt aarwuraarwu

U nde: 21111

1

)1(

)1(

ttttt

ttttt

aarwc

aarwc

Înlocuim: 2211 ,, tttttt akakak

și

1)(

)()1(

t

ttt

t

tt

n

kAr

n

kAw

Rezultate simetrice pentru 11, tt rw .

Introducem rezultatele la nivel de firmă în ecuația Euler a consumatorului:

))1()((*

*))1((

))1((

1

1

211

1

t

ttt

ttt

kA

kkAku

kkAku

Din punct de vedere matematic aceasta este o ecuație cu diferențe finite de ordinal doi care poate fi

rezolvată pentru obținerea traiectoriei stării tk , date fiind valorile 1100 , TT akak

0,

..

)max(

1

tt

tttt

ttttt

nk

nkAy

RS

knwy

1

1 )1( ttttt nAkkkc

Subiectul 12: modelul solow - ramsey

tkftc

datk

tkntctkftk

dtetcU

T

t

0

0

max0

Funcţia Hamiltonian este:

))()()()(()(())(()),(),(),(( tctkntkfttcUtttktcHC

Condiţiile necesare de optim sunt:

cknkfH

kiii

nkfk

Hii

cUc

Hi

c

c

c

)()()(

)()()(

0)()(

Sau:

cknkfkiii

nkfii

cUi

)()()(

)()()(

)()(

Rearanjând termenii putem determina două ecuaţii de evoluţie: pentru k(t) şi c(t).

Derivăm (i) în raport cu timpul:

)()()(

)()()(

)(

nkfccU

nkfdt

dccU

cUdt

d

Sau, ținînd seama de (i), obținem:

)()()(

)(

nkfc

cU

cU

Notăm:

)(

)()(

cU

cUcc

Coeficientul lui Pratt de aversiune relativă la risc.

Atunci:

)()()(

nkfcc

c

Sau:

))()(()(

nkfc

cc

Avem deci două ecuaţii diferenţiale:

cknkfk

nkfc

cc

)()(

))()(()(

Traiectoria staționară:

0c

Atunci:

)(

)(

1

nfk

nkf

0k

Atunci

knkfc )()(

Dacă

)()(,0 nkfatuncic

Ceea ce implică:

kk

Deci, la stânga lui 0c , c(t) creşte.

Iar la dreapta curbei 0c , c(t) scade.

În mod similar, dacă 0k , atunci

cknkf )()(

Astfel sub 0k , k(t) creşte, iar deasupra, k(t) scade.

Săgeţile arată că punctul ),( ck este o soluţie de tip punct şa.

Figura: Diagrama fazelor

Singura soluţie stabilă este aceea pe domeniul stabil. Pentru orice 0k , valoarea corespunzătoare

a consumului se determină cu ajutorul traiectoriei stabile, iar sistemul este direcţionat către punctul de

echilibru.

În echilibru, k este constant, astfel încât, capitalul creşte cu aceeaşi rată cu care crește forţa de muncă,

acelaşi lucru se întâmplă cu y, Y. Aceasta înseamnă că avem de a face cu o creştere echilibrată

Subiectul 14: scrieti functia hamiltonian

10)0(

)()(06,0)()(

))(2(max

25,0

0

02,0

k

tctktktk

dttceJ

T

t

c

Funcţia Hamiltonian este:

)06,0(2 25,0 ckkcHc

Condiţiile de ordin unu sunt:

ckkkiii

kii

cc

Hi c

06,0)(

02,006,0)25,0()(

0)2/1(2)(

25,0

75,0

2/1

Din aceste condiţii rezultă:

2/1c

Derivând în raport cu timpul obţinem:

cc 2/3

2

1

Utilizând condiţia (ii) obţinem:

08,0)25,0(2

1 75,02/3 kcc

Dar 2/1c , deci:

2/175,02/12/3 08,0)25,0(2

1 ckccc

Împărţind la 2/1c , obţinem:

08,0)25,0(2

1 75,01 kcc

Respectiv:

ck

ckcc

)16,05,0(

)08,0(2)25,0(2

75,0

75,0

Obţinem cele două ecuaţii diferenţiale pentru vectorul de stare:

ckkk

ckc

06,0

)16,05,0(

25,0

75,0

Sistemul este neliniar, se poate rezolva cu Excel, Mathematica sau Mapel.

Se obţin valorile de echilibru staționar:

1879,1,5688,4 ck

Curba consumului este kkc 06,025,0

Derivând această ecuaţie în raport cu k şi egalând cu zero, obţimem valoarea lui k care maximizează

consumul.

7048,6

006,025,0

06,0

max

75,0

25,0

k

kdk

dc

kkc

Pentru care:

2069,1max c

Pentru a stabili propietăţile echilibrului, liniarizăm sistemul în jurul punctului:

)1879,1;5688,4(),( ck

ckkkcgk

cckckkcfc

06,0),(

16,05,0)16,05,0(),(

25,0

75,075,0

Putem scrie sistemul în formă liniarizată:

))(,())(,(

))(,())(,(

kkkcgcckcgk

kkkcfcckcfc

kc

kc

02,0)5688,4(06,0)5688,4(25,0

1

0312,0)1879,1(16,0)1879,1()5688,4)(75,0(5,0

016,0)5688,4(5,0

75,0

75,1

75,0

k

c

k

c

g

g

f

f

Matricea sistemului fiind în acest caz:

02,01

0312,00A

Cu valorile proprii: 1669,0;1869,0 21 . Întrucât acestea sunt reale şi au semne

opuse, echilibrul este de tip punct şa.

Putem aproxima ecuaţia traiectoriei şa utilizând aproximarea liniară a sistemului. Considerăm în

primul rând valoarea proprie 1869,01 :

1

1

1 wAw

0

0

1669,01

0312,01869,0

1

2

1

1

w

w

Considerând a doua ecuaţie drept principală:

1

2

1

1

1

2

1

1

1669,0

1669,0

ww

ww

4254,01669,0

)5688,4(1669,01879,1

)(1669,0)(

kc

kc

kkcc

Traiectoria stabilă este dedusă din:

4254,01669,0 kc

Determinăm traiectoria lui k(t):

ckkk 06,025,0

Pentru c(t) aflat pe traiectoria șa este:

4254,02269,0

)4354,01669,0(06,0

25,0

25,0

kk

kkkk

Ecuație diferențială de tip Bernoulli:

75,0/11702,0

1702,0

75,0

00

1702,01702,0

1702,0

25,025,0

25,0

25,01

4066,42168,1

4066,42168,1

6234,510,10

4066,4

1702,075,0

2269,075,0

75,0

)()(

t

t

tt

tG

ek

ey

yk

ZeDZey

Zey

yy

kky

k

kky

tkty

4254,04066,42168,11669,0)(75,0/11702,0 tetc

c(0)=1,0934

Aşa cum se poate vedea din figură, sistemul este foarte sensibil la condiţiile iniţiale. Considerăm

punctul iniţial: (k(0), c(0)) = (10, 1,0934), traiectoria se depărtează de traiectoria şa înainte să

întâlnească echilibrul.

Subiectul 22: economia mondiala din doua tari. Determinati traiectoria venitului celor doua tari

)()(

)()(

0201021,12221,12,2

0102011,221,1111,1

MMIYmhcYmY

MMIYmYmhcY

ttt

ttt

Ecuația caracteristică:

0)(

)(

2221

2111

mhcm

mmhc

Exemplu numeric:

YYMMII

mhcmhc

1000;1000;120;100;70;90

;3,0;25,0;8,0;1,0;2,0;6,0

0,20,102010201

222111

Calculați traiectorii le de evoluție ale venitului în cele două țări și analizați stabilitatea soluției.

50

110

75,01,0

3,07,0

1,2

1,1

,2

,1

t

t

t

t

tY

Y

Y

YY

Ecuația caracteristică este:

075,01,0

3,07,0

Valorile proprii:

55,0;9,0 21

Sunt reale și diferite, pozitive și subunitare. Traiectoria sistemului este stabilă.

Subiectul 23 IS-LM dinamic

)()()())()(()(

)()())1(1())()(()(

0

0

tmtrltkymtmtmtr

giaA

triAtytctytdty

d

Traiectoriile de echilibru staționar în diagrama fazelor ),( ry , se obtin pentru: 0)( ty si

0)( tr .

Pentru 0)( ty , traiectoria de echilibru este:

)()()())1(1(0 0 trigiatytc

Adică:

i

A

i

tytctr

)()1(1()(

Care este chiar curba IS.

Curba IS are un termen liber (intercept) pozitiv )( 0

i

A

i

gia

și o pantă negativă

))1(1(

(i

tc

.

Asemenea, pentru 0)( tr determinăm echilibrul staționar care nu este altceva decat curba

LM:

l

mty

l

ktm

ltr

0)()(

1)(

Punctul fix al modelului este, pentru mtm )( :

0)(

)1(1(

/1

)1(1(

/1mm

tcl

ik

lA

tcl

ik

iy

kymml

r 0

1

Și este notat cu 0E în figură:

Trebuie sa constituim vectorii forțelor dinamice care orientează traiectoria când cele doua piețe nu

sunt în echilibru.

Considerăm piața bunurilor.

Pentru punctele din dreapta curbei IS, avem:

0)()()()1(1(0

)()1(1()(

tytriAtytc

i

A

i

tytctr

ceeace înseamna ca la dreapta curbei IS, venitul scădea, iar la stânga va crește.

Consideram piața banilor, punctele de la dreapta curbei LM:

0

0

)()(0

)()(1

)(

mtkytmrl

l

mty

l

ktm

ltr

Ceea ce implică rata dobânzii crește la dreapta, iar la stânga curbei LM, scade.

Vectorii de forte sunt reflectați în cele patru cadrane, cee ace implică o mișcare împotriva acelor de

ceasornic.

Presupunem economia este în punctul de echilibru E0.

Scădere a ofertei nominale de bani,

Va muta curba LM la stânga, generând un nou echilibru în punctual E1.

Dorim să determinăm traiectoria economiei de la punctual E0 la E1.

Sunt posibile patru traiectorii, în funcție de parametri: T1, T2, T3, T4.

Traiectoria T1: Ajustare instantanee a pieței banilor.

Economia se va mișca de la punctual E0 vertical, mai întâi către punctual A, întrucât venitul nu are încă

timp să se modifice și rămâne încă la nivelul y0.

Rata dobânzii crește repede și, prin efectul de multiplicator, venitul va scădea, cererea de bani va

scădea și ea și la fel rata dobânzii.

rmyir d

Ajustarea echilibrului in acest caz se realizeaza de-a lungul curbei LM pe traiectoria T1.

Rata dobânzii depașește noua sa valoare de echilibru şi apoi se stabilizează.

Venitul real scade continuu din punctul A, până la noua sa valoare de echilibru.

Traiectoria T2:

Ajustarea celor două piețe este corectă, piețele se reglează în viteză normal.

Ambele piețe se ajustează imperfect în mod gradat pană ce rata dobânzii atinge noua valoare r1 iar

venitul va atinge noua valoare de echilibru y1, în punctual E1.

Traiectoria T3:

Rata dobanzii crește mai rapid decât pe traiectoria T2, dar mai lent decât pe T1.

Traiectori este în spirală împotriva acelor de ceasornic către un noul echilibru E1, depașind rata dobânzii și venitul de echilibru.

Traiectoria 4

Ajustarea pieței banilor este forte rapidă, dar nu instantanee. Are ăn general caracteristicile T1.

Subiectul 34: crestere echilibrata a lui solow

1. Considerăm valorile:

20,1,0,02,0,1,0,25,0,5 0 knsa

a. Scrieți modelul lui Solow în mărimi per capita.

b. Determinați numeric punctele fixe ale funcției tk:

01 k

67,65,0

1,002,075,0/1)1/(1

2

sa

nk

c. Scrieți ecuația de dinamică a înzestrării tehnice a muncii determinată prin aproximare

liniară:

kk

n

ksakk tt 1

1

1

1

59,091176,0

91176,0*67,691176,067,667,6*

*02,01

67,651,025,01,0167,6

1

11

125,0

t

tt

t

k

kk

xxk

59,091176,0 1 tt kk

Ecuație liniară, neomogenă, de ordinul unu, cu coeficienți constanți:

117489,1 tt kk ecuația omogenă.

Facem ipoteza că soluția este de forma t

tk

191176,0 tt

Împărțim prin 01 t .

Ecuația caracteristică este:

91176,0

Soluția generală a ecuației omogene:

tG

t Ck )91176,0(

Soluția particulară:

Dk P

t

Punem condiția ca soluția particulară să verifice ecuația neomogenă:

59,091176,0 DD

67,608824,0/59,0 D

67,6)91176,0( tP

t

G

tt Ckkk

Constanta generalizată:

33,13

67,620

C

C

Soluția:

67,6)91176,0(33,13 t

tk

Subiectul 36: modelul continuu de crestere economica harrod - domar

Modelul Harrod - Domar, varianta discretă

tt

ttt

tt

IS

YYI

sYS

)( 1

Rezolvarea modelului:

Ecuaţie diferenţială liniară, de ordinul unu, cu coeficienţi constanţi, omogenă.

Soluția (traiectoria venitului):

/s -“warranted rate of growth” rata justificată de creștere economică: se justifică prin

structura economică dată de parametrii modelului: s și

Punct fix:

00 YY

Tipul de punct fix:

t

ts

t

eYtY )lim()( )/(

0lim

Punct fix de tip repelor, sistem global instabil.

Subiectul 38 : modelul continuu de crestere economica harrod – domar ecuatia bernoulli

knsakk )(

Ecuația diferențială obținută este:

sakknk )(

ecuație Bernoulli

Seminar

Rezolvarea ecuației Bernoulli:

Schimbarea de variabilă:

1k

Derivăm în raport cu timpul:

Explicităm k din relația de mai sus:

Împărțim ecuația de dinamică la

k :

Înlocuim în ecuația de mai sus:

Adică:

Aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordinul unu, neomogenă, în cu soluția:

Sau:

Am considerat condițiile inițiale:

De unde:

Aceasta este traiectoria de evoluție a înzestrării tehnice a muncii.

)1/(1

1

0

))(1(

0)(

n

aske

n

aseLtK tnnt

Este traiectoria de evoluție a stocului de capital.

Puncte staționare:

0)(tk 0)( knsak

0)( 1 nsakk

Punctele fixe/staţionare/de echilibru sunt:

01

k și

)1/(1

2

sa

nk

Modelul Solow are deci două puncte fixe.

Pentru modelul Solow, primul punct fix este local instabil, iar al doilea este local stabil:

2

)1/(1

)1/(1

1

0

))(1( )()(lim kn

as

n

aske

n

as tn

t

Rezultă că:

2)(lim ktkt

, deci

2k este atractor 01 k este repelor, întrucât traiectoria se

depărtează de acest punct fix, când t .

Subiectul 41: functia de productie cu progress tehnologic de tip Harrod

Considerăm :

Y(t) =F(K(t),A(t).L(t))

Derivăm funcția de producție în raport cu timpul:

)(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()( tA

tA

tYtL

tL

tYtK

tK

tYtY

Împărțim la Y(t) cei doi membrii ai ecuației; împărțim și înmulțim termenii din membrul drept

respectiv cu K, L, A:

)()(

)()(

)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

tRtL

tLt

tK

tKt

tA

tA

tA

tY

tY

tA

tL

tL

tL

tY

tY

tL

tK

tK

tK

tY

tY

tK

tY

tY

Lk

Notăm:

k(t)elasticitatea outputului in raport cu capitalul

L(t)elasticitatea outputului in raport cu munca.

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

tA

tA

tA

tY

tY

tAtR

Ratele de creștere ale lui K și L cât şi elasticităţile venitului în raport cu K şi L, se măsoară direct din

datele empirice.

R(t) se numește reziduu Solow – reziduul Solow poate fi poate fi interpretat ca o măsură a

progresului tehologic – el reflectă toate sursele de creștere altele decât acumularea de capital.

Relația ratei de creștere venitului furnizează o decompoziție a creșterii economice în contribuția

capitalului, a muncii și contributia celorlalți factori.

Subiectul 42: : modelul continuu de crestere echilibrata a lui solow

Punctele fixe se găsesc rezolvând ecuația:

Punctele fixe sunt:

01 k și

Dezvoltarea Taylor de ordinul unu în punctul fix 2kk :

))(()( 22

kkkfkf

Cu:

Considerăm acum 2kk :

Atunci :

Rezultă că panta curbei pentru 2kk este 0)1)(()( 2 nkf

Rezultă aproximarea liniară:

Întrucât iar n și δ sunt pozitive, atunci funcția f(k) are pantă negativă în și

deci sistemul este local stabil, punctul fix este de tip atractor.

Aproximarea de ordinul unu în jurul echilibrului este:

))(1)(()()( 2

kknkftk

Este ecuație diferențială liniară de ordinul unu.

Ecuația omogenă:

tnG

t Cetk )1)(()(

Dtk P

t )(

Verifică ecuația neomogenă:

2)1)(()()1)(()( kntkntk

22)1)(()1)(( kDknDn

2

)1)(()()()( kCetktktk tnPG

t

Aplicăm condițiile Cauchy:

20 kkC

Cu soluția:

Pentru aproximarea liniară

2)(lim ktk

t , respectiv

2keste punct fix asimptotic local stabil

pentru aproximarea liniară.

SUB11 În modelul de creștere economică Solow-Ramsey.Scrieți funcția Hamiltonian,

scrieți condițiile de optim, scrieți ecuațiile de evoluție ale consumului și capitalului

per capita.

Ecuația de evoluție a capitalului per capita va fi:

kntk )1)(()(

)()()()()(

)()(

)()()(

)(

)()()()()(

2

tkntctytk

tnktL

tKtCtY

tL

tLtKtLtKtk

Ecuaţia de evoluţie a capitalului este:

)()()())(()( tctkntkftk

Pentru a obţine traiectoria optimală, Avem nevoie de o funcţie obiectiv:

Notăm U(c(t)) funcţia de utilitate a consumului per capita.

!!!!!!!!!!!!!model ecuatii profa……

Funcţia Hamiltonian este:

))()()()(()(())(()),(),(),(( tctkntkfttcUtttktcHC

Condiţiile necesare de optim sunt:

cknkfkiii

nkfii

cUi

)()()(

)()()(

)()(

Rearanjând termenii putem determina două ecuaţii de evoluţie: pentru k(t) şi c(t).

Derivăm (i) în raport cu timpul:

)()()(

)()()(

)(

nkfccU

nkfdt

dccU

cUdt

d

Notăm:)(

)()(

cU

cUcc

SUB13 Scrieți funcția Hamiltonian, condițiile de optim și deduceți sistemul dinamic de

evoluție optimală a vectorului de stare …

Funcţia Hamiltonian este:

)06,0(2 25,0 ckkcHc

Condiţiile de ordin unu sunt:

ckkkiii

kii

cc

Hi c

06,0)(

02,006,0)25,0()(

0)2/1(2)(

25,0

75,0

2/1

Din aceste condiţii rezultă:

2/1c

Derivând în raport cu timpul obţinem:

cc 2/3

2

1

Utilizând condiţia (ii) obţinem:

08,0)25,0(2

1 75,02/3 kcc

Dar 2/1c , deci:

2/175,02/12/3 08,0)25,0(2

1 ckccc

Împărţind la2/1c , obţinem:

08,0)25,0(2

1 75,01 kcc

Respectiv:

ck

ckcc

)16,05,0(

)08,0(2)25,0(2

75,0

75,0

Obţinem cele două ecuaţii diferenţiale pentru vectorul de stare:

ckkk

ckc

06,0

)16,05,0(

25,0

75,0

Se obţin valorile de echilibru staționar:

1879,1,5688,4 ck

Curba consumului este kkc 06,025,0

Derivând această ecuaţie în raport cu k şi egalând cu zero, obţimem valoarea lui k care

maximizează consumul.

7048,6

006,025,0

06,0

max

75,0

25,0

k

kdk

dc

kkc

Pentru care:

2069,1max c

SUB15 Pentru modelul de creștere economică Solow-Ramsey.Determinați ecuația

traiectoriei șa, ecuația capitalului și a consumului pe această traiectorie.

Pentru c(t) aflat pe traiectoria șa este:

4254,02269,0

)4354,01669,0(06,0

25,0

25,0

kk

kkkk

Ecuație diferențială de tip Bernoulli:

75,0/11702,0

1702,0

75,0

00

1702,01702,0

1702,0

25,025,0

25,0

25,01

4066,42168,1

4066,42168,1

6234,510,10

4066,4

1702,075,0

2269,075,0

75,0

)()(

t

t

tt

tG

ek

ey

yk

ZeDZey

Zey

yy

kky

k

kky

tkty

4254,04066,42168,11669,0)(75,0/11702,0 tetc

c(0)=1,0934

Aşa cum se poate vedea din figură, sistemul este foarte sensibil la condiţiile iniţiale.

Considerăm punctul iniţial: (k(0), c(0)) = (10, 1,0934), traiectoria se depărtează de traiectoria

şa înainte să întâlnească echilibrul.

SUB16 Considerăm modelul de creștere optimală.Determinați, cu ajutorul calcululi

variațional condiția Euler-Lagrange și formulați regula de investiții și de consum

optimal.

Din ecuaţia de evoluţie a capitalului explicităm functia :tc

tkntktkftc

Funcţia tc astfel obținută, o înlocuim în funcţionala obiectiv:

dtetkntktkfU t

T

0

max

Notăm integrantul: tkntktkfUettktkLtL t ,,

Conditia de ordin unu, sau ecuaţia Euler-Lagrange:

0

tk

L

dt

d

tk

L

(15)

Deducerea ecuației Euler-Lagrange:

ntkfUetk

Lkc

t

''

dt

dUeUee

dt

dUUeeU

dt

d

tk

L

dt

d ct

c

ttcc

tt

c

''

' ''

Ecuaţia Euler-Lagrange devine:

dt

dU

Untkf

dt

dUeUentkfUe

c

c

k

ct

c

t

kc

t

'

'

'

''''

1

0

Relaţia de mai sus ne dă regula de investiţii sau de consum optimal:

Trebuie investit până în momentul în care eficienţa marginală netă tkfk

' a

capitalului per capita, devine egală cu suma a trei termeni:

- rata de actualizare ;

- rata de creştere a populaţiei n;

- rata cu care utilitatea marginală a consumului per capita descreşte în timp

dt

dU

U

c

c

'

'

1

- SUB21 Considerăm economia mondială compusă din două țări. Scrieți sistemul

de ecuații simultane discrete care reflectă echilibrul dinamic pe piața bunurilor

celor două țări, scrieți ecuația caracteristică și puneți în evidentă condițiile de

stabilitate a traiectoriilor sistemului.

- Prin înlocuiri, obținem sistemul diferențial:

- )()(

)()(

0201021,12221,12,2

0102011,221,1111,1

MMIYmhcYmY

MMIYmYmhcY

ttt

ttt

- Ecuația caracteristică:

-

0)(

)(

2221

2111

mhcm

mmhc

- SUB28 Hicks numeric!!!! Determinați ecuația traiectoriei venitului.

- Analizați stabilitatea traiectoriei

- Calculați valorile indicatorilor din tabel pentru t=0,1,…,10 și faceți graficele.

-

t

ttt YYY )1,1(10025,2 21

- 025,22 ecuația caracteristică.

- i66,025,12,1

- 412,166,025,1 22 r modulul numărului complex

-

171,272

1

25,1

66,0 arctgarctg

argumentul

- )171,27sin()171,27cos(412,1 21 tAtAY tG

t

-

ttP

tY )1,1(0,263)1,1(2)1,1)(5,2()1,1(

)1,1(100(

2

2

- tt

t tAtAY )1,1(0,263)171,27sin()171,27cos(1412 21

- Aplicăm condițiile Cauchy:

- 1

21

1

1

)1,1(0,263)171,27sin()171,27cos(412,150

0,263100

AA

A

- Obs: imparafunctiexctgxctg

imparafunctiextgxtg

imparafunctiexx

parafunctiexx

)()(

)()(

)sin()sin(

)cos()cos(

- 1

21

1

1

)1,1(0,263)171,27sin()171,27cos(412,150

0,263100

AA

A

- 7,267

0,163

2

1

A

A

- tt

t ttY )1,1(0,263)171,27sin(7,267)171,27cos()0,163(1412

- SUB29

- Stabiliți dacă sunt verificate condițiile de stabilitate dinamică, determinați

traiectoriile vectorului de stare, pentru..

-

- )()()(

)(4)(2)(

212

211

tptptp

tptptp

- 2

7

2

1,020

11

422,1

2 i

- 02/1)Re( i piața este dinamic stabilă.

- Determinarea traiectoriei prin metoda diagonlizării:

- Vectorul propriu la dreapta 1w :

- 1

1

1 wAw

-

1

2

1

1

1

2

1

1)

2

7

2

1(

11

42

w

wi

w

w

- Considerăm prima ecuație drept ecuație principală:

- 1

2

1

1 )4(2

7

2

3ww

i

-

8

731

2

1

11

iw

ww

- Vectorul propriu la dreapta 2w :

- 2

2

2 wAw

-

2

2

2

1

2

2

2

1)

2

7

2

1(

11

42

w

wi

w

w

- Alegem prima ecuație drept principală:

- 2

2

2

1 )4(2

7

2

3ww

i

-

8

732

2

2

12

iw

ww

- Considerăm 1

- Matricea vectorilor proprii la dreapta (coloană):

-

8

73

8

73

11

iiW

- Matricea vectorilor proprii la stânga:

-

7

4

2

1

72

3

7

4

2

1

72

3

8

73

8

73

111

1

ii

iiiiWV

))2

7sin()

2

7(cos(0

0))2

7sin()

2

7(cos(

0

0

)2

1(

)2

1(

)2

7

2

1(

)2

7

2

1(

tite

tite

e

e

t

t

ti

ti

-

- VWeJt

-

-

2

3)0(p

- )0()( petp At Subiectul 27:

Modelul ciclului comercial al lui Hicks

Model de tipul multiplicatorului accelerator al lui Samuelson cu anumite particularități.

Modelul:

ttt ICY - venitul în structura cererii este suma între consum și investiții.

1 tt YcC consumul în perioada t este în funcție de venitul perioadei precedente, 10 c

este propensitatea marginală și medie către consum.

Investițiile au două componente: investițiile autonome și investițiile în funcție de venit:

A

t

Y

tt III

0),( 21 kYYkI tt

Y

t investițiile sunt funcție de sporul absolut al venitului în intervalul

2,1 tt , k>0 este coeficient de accelerare care arată viteza de transformare a sporului de

venit în investiții.

0,0,)1( 00 gAgAI tA

t investiția autonomă crește cu o rată constantă g.

Substituind în ecuația de distribuție a venitului obținem:

)()1( 2101 tt

t

tt YYkgAYcY

Sau, rearanjând termenii:

t

ttt gAkYYkcY )1()( 021

0)( 21 ttt kYYkcY ecuația omogenă;

Facem ipoteza că soluția este de forma: t

tY

Punem condiția să verifice ecuația omogenă:

0/0)( 221 tttt kkc

0)(2 kkc

)()24(4 222kfckckkkc

parabolă convexă care intersectează abscisa (axa Ok) în două puncte 2

2,1 )1( sk , unde

cs 1 este propensitatea marginală către economii

1)1(,1)1( 22 ss

0)( kf în afara rădăcinilor lui . Rădăcini reale și diferite ale ecuației caracteristice:

2,121 ; ,

0)( kf , între rădăcinile lui , rădăcini complexe conjugate ale ecuației caracteristice ,

ibaC 2,12,1 ,

0)( kf pentru rădăcinile lui , 2)1( sk , rădăcinile ecuației caracteristice vor

fi reale și egale 2,121 ;

Zonele de stabilitate:

Zona A:

1)1( 2 sk

2,121 ;

Mișcare monotonă: 2,1,1 ii mișcare amortizată/convergentă

Soluția:

P

t

tt

t YAAY )()( 2211

Zona B:

1)1( 2 ks

ibaC 2,12,1 ,

P

t

t

t YtAtArY sincos 21

22 bar modulul numărului complex

)/( abarctg argumentul numărului complex

,1r mișcare oscilantă convergentă

Zona C:

2)1(1 sk

Rădăcini complexe conjugate:

P

t

t

t YtAtArY sincos 21

1r mișcare oscilantă divergentă

Zona D:

ks 2)1(1

2,1,1 ii , mișcare monotonă divergentă

Soluția:

P

t

tt

t YAAY )()( 2211

Zona H:

1k

22 )1()1( sks

P

t

t

t YtAtArY sincos 21

Mișcare oscilantă cu amplitudine constantă.

Zona E:

1)1( 2 sk

Rădăcini reale egale:

P

t

t

t YtAAY ))(( 121

Mișcare monotonă divergentă

Zona F:

1)1( 2 sk

Rădăcini reale egale:

P

t

t

t YtAAY ))(( 121

Mișcare monotonă convergentă.

Determinarea soluției particulare:

Căutăm o soluție particulară de forma termenului liber:

tP

t gDY )1(

Pentru determiarea constantei D, utilizăm metoda coeficienților nedeterminați:

Punem condiția ca tP

t gDY )1( să verifice ecuația neomogenă:

t

ttt gAkYYkcY )1()( 021

2

0

2 )1()1()()1( gAkDgDkcgD

kgkbg

gAD

)1)(()1(

)1(2

2

0

tP

t gkgkbg

gAY )1(

)1)(()1(

)1(2

2

0

SUB39 /40 Pentru modelul continuu de crestere echilibrata al lui Solow.Analizati efectul

cresterii ratei economiilor asupra investitiilor si consumului.

Se cunosc datele:

3,0,10,35,0

,05,0,1000,008,0,100 00

sa

KnL

Traiectoria inzestrarii tehnice a muncii pentru t=1-10:

Traiectoria stocului total al capitalului.

)1/(1

1

0

))(1(

0)(

n

aske

n

aseLtK tnnt

; )(100)( 008,0 tketK t

Venitul per capita si venitul total )()( takty ;

)()()()( 0

1 tkeaLtLtaKtY nt

Punctele fixe ale traiectoriei: 01 k ;

960,432

)1/(1

2

sa

nk

Traiectoria de echilibru a stocului total de capital si a venitului de echilibru

20)( keLtK nt

;

1

020 )()()( ntnt eLkeLatY

Investiţiile per capita şi consumul per capita sunt respectiv: sak şi

aks)1( .

IYC

sYI

, sunt investitiile si respectiv consumul, in marimi actuale.

SUB2 Dinamica comparata-principiul corespondentei: exemplificare pentru modelul IS-

LM static si dinamic.

Intre statica comparata si dinamica sistemului exista o stricta interdependenta, numita de

Samuelson “principiul corespondentei”.

Exemplu “Un model Keynesian complet”

s

ry

rY

ry

LL

LLryLL

IIryII

SSrySS

SI

0,0),,(

0,10),,(

0,10),,(

Substituind in prima si ultima ecuatie obtinem:

0),(

0),(),(

sLryL

rYSryI

Ecuatiile de mai sus sunt modelul IS-LM. Modelul are un singur parametru sL .

Introducem inca trei parametri: ),,( 321 , respectiv investitia autonoma, economiile

autonome si cererea autonoma de bani, astfel incat )0,0,0(321

LSI.

Exista functiile:

),,,(

),,,(

321

321

s

s

Lrr

Lyy

, carora le determinam derivatele partiale:

,...,11

rysi

care ne dau modificarile echilibrului (venitul si rata dobanzii) la modificarile parametrilor.

Studiem modificarea echilibrului in raport cu parametrul sL .

Construim Jacobianul atasat modelului IS-LM:

r

L

y

L

r

S

r

I

y

S

y

I

presupus nenul in punctul ),( ee ry .

Facand derivata totala a ecuatiilor IS-LM,*, in raport cu sL , obtinem:

1

0)()(

ss

ss

L

r

r

L

L

y

y

L

L

r

r

S

r

I

L

y

y

S

y

I

SUB16 Consideram modelul de crestere optimala. Determinati, cu ajutorul calcululi

variational conditia Euler-Lagrange si formulati regula de investitii si de consum

optimal.

Din ecuaţia de evoluţie a capitalului explicitam functia

tkntktkftc .

Funcţia tc astfel obtinuta, o inlocuim in funcţionala obiectiv:

dtetkntktkfU t

T

0

max

Notam integrantul:

tkntktkfUettktkLtL t ,,

Conditia de ordin unu, sau ecuaţia Euler-Lagrange:

0

tk

L

dt

d

tk

L

Deducerea ecuatiei Euler-Lagrange:

ntkfUetk

Lkc

t

''

dt

dUeUee

dt

dUUeeU

dt

d

tk

L

dt

d ct

c

ttcc

tt

c

''

' ''

Ecuaţia Euler-Lagrange devine:

dt

dU

Untkf

dt

dUeUentkfUe

c

c

k

ct

c

t

kc

t

'

'

'

''''

1

0

Trebuie investit pana in

momentul in care eficienţa marginala neta tkfk

' a capitalului per capita, devine

egala cu suma a trei termeni:

- rata de actualizare ;

- rata de creştere a populaţiei n;

- rata cu care utilitatea marginala a consumului per capita descreşte in timp

dt

dU

U

c

c

'

'

1

Cu solutia:

ySyI

L

r

rIrS

L

y

s

s

//

//

2

1

este tocmai determinantul matricei Jacobian:

r

L

r

S

r

I

1

0

1

1

0

2

y

L

y

S

y

I

Considerand acum conditiile impuse derivatelor partiale in formularea modelului,

( 0,10 ry SS , 0,10 rY II , 0,0 ry LL )putem deduce ca

numaratorul 0

sL

y, dar nu putem stabili semnul derivatei:

sL

r

si nici al lui .

SUB23 Consideram sistemul dinamic:Se cere” echilibrul initial IS-LM, traiectoria

dinamica a sistemului si analiza calitativa in spatiul fazelor. ( 8,0,5,0 )

IS:

y=50+0.75(y-10-0.25y)+100-1.525r+230=-3.4857r+85.1428 ; r=-0.2869y+24.4262

LM:

r=-400+0.5y

Echilibrul initial E0: (818,7343; 9,4)

Consideram o scadere a ofertei de moneda de la 200m la 190m . Noul echilibru este:

LM1 : 190=0.25y-0.5r ; r=0.5y-380 ; y1*=793.318 si r1

*=16.659

E1: (793,318; 16,659)

Dorim sa stim traiectorii pe care se deplaseaza sistemul de la E0, in functie de parametrii de

reactie si .

Construim sistemul dinamic: ryr

ryy

5,025,0192

,372525,14375,0