Statistica Curs Mec

Statistica

Statistica

IntroducereSe poate afirma c statistica a aprut din nevoia real de a cunoate, n expresie numeric, o serie de activiti, fenomene i procese social-economice. Evidenierea lor, la nceput ca nregistrri izolate (de unde i denumirea de statistic practic), dateaz din cele mai vechi timpuri ale dezvoltrii societii omeneti odat cu inventarea scrisului, a folosirii uneltelor de munc mai productive i s-a perfecionat n deplin concordan cu progresul economico-social. Aadar, de la evidena primitiv a primelor comuniti omeneti pn la sistemul informaional de astzi a fost un drum lung n care cunoaterea statistic a mbrcat diferite forme, n funcie de gradul de dezvoltare a forelor de producie, de modul de organizare a societii i de necesitile practicii sociale.

Obiectul statisticii

Obiectul de studiu al statisticiiObiectul de studiu al statisticii l constituie fenomenele i procesele care prezint urmtoarele particulariti: - se produc ntr-un numr mare de cazuri;- variaz de la un element la altul, de la un caz la altul;- sunt forme individuale de manifestare concret n timp, n spaiu i sub raport organizatoric.Fenomenele de masRezult deci c obiectul de studiu al statisticii l constituie fenomenele de mas care prezint proprietatea de a fi variabile ca form de manifestare individual n timp, n spaiu i sub raport organizatoric.

Cercetarea statisticaColectivitatea statistic. Denumit de statistica matematic populaie statistic, reprezint totalitatea manifestrilor sau totalitatea elementelor de aceeai natur, de aceeai esen calitativ, ale unui fenomen sau proces economic bine individualizat. Colectivitatea statistic specific vieii social-economice are un caracter obiectiv, concret i finit, strict determinat n timp i spaiu.Exemple de colectiviti statistice: populaia compus din persoane, avnd trsturi eseniale comune, turismul compus din uniti hoteliere, producia (cu produsele sale specifice) realizat de un agent economic ntr-o anumit perioad de timp, etc.Statistica abordeaz colectivitile fie static, fie dinamic. O colectivitate static exprim o stare, un nivel, la un moment dat, n timp ce o colectivitate dinamic concretizeaz un proces, o devenire n timp.

Cercetarea statistica

Unitatea statisticUnitile (elementele) statistice reprezint mulimea numrabil de elemente care compun colectivitatea statistic. Fiecare element al colectivitii este purttorul unui anumit nivel al fiecrei trsturi (caracteristici) supuse observrii statistice. Statistica opereaz att cu uniti simple (studentul, pensionarul, produsul, etc.) ct i cu uniti complexe (grupe de studeni, familia etc.).Caracteristica statisticCaracteristica statistic constituie acea proprietate care este comun tuturor unitilor unei colectiviti statistice. Deoarece variaz de la o unitate a colectivitii la alta, caracteristica statistic mai poart denumirea de variabil statistic sau variabil aleatoare.


Frecvena absolut i relativDatele statistice reprezint caracterizarea numeric obinut de statistic n legtur cu unitile, grupele sau colectivitatea studiat. Ele sunt mrimi concrete rezultate din studiile efectuate pe baz de numrare, msurare sau calcul statistic. Numrul de apariii (nregistrri) ale unei date statistice ntr-o colectivitate statistic reprezint frecvena absolut a datei. Numrul da apariii ale unei date raportat la numrul total de date culese se numete frecven relativ a datei. Elementele datelor statistice sunt: noiunea, (care precizeaz fenomenul, procesul etc. la care se refer), identificatorii (care pot fi de timp, spaiu etc.), unitatea de msur i valoarea numeric. De exemplu: valoarea ncasrilor la 31 iulie 1996 la hotelul X din Bucureti de 5 milioane lei reprezint o dat statistic n care valoarea ncasrilor este noiunea, hotelul X din Bucureti este identificatorul de spaiu, ziua de 31 iulie 1996 este identificatorul de timp, milioane lei este unitatea de msura, 5.000.000 lei este valoarea numeric.


Indicatorii statistici Indicatorii statistici reprezint expresia numeric a unor fenomene, procese, activiti sau categorii economice i sociale, definite n timp, spaiu i structur organizatoric . Culegerea datelor i valorificarea informaiilor obinute din acestea prin mulimea operaiilor de prelucrare i analiz se numete cercetare statistic sau investigaie statistic. Putem spune c cercetarea statistic reprezint procesul de cunoatere a fenomenelor de mas cu ajutorul metodelor statistice.


Cercetarea statisticCercetarea statistic se desfoar n trei faze sau etape succesive, i anume: - observarea statistic sau culegerea datelor individuale de mas;- prelucrarea datelor primare i obinerea indicatorilor sintetici i derivai;- analiza i interpretarea rezultatelor prelucrrii.Aceste etape ale cercetrii statistice constituie un tot unitar i trebuie organizate n aa fel nct s se reduc la minimum riscul unor erori de culegere, prelucrare sau analiz. n acest scop se elaboreaz un program al cercetrii statistice care cuprinde principiile i problemele ce trebuie rezolvate n fiecare etap. El are la baz programul analizei, programul prelucrrii i programul observrii. Se observ c ordinea n care se elaboreaz fiecare secven cuprins n programul cercetrii statistice este invers succesiunii etapelor acesteia.

Cercetarea statisticaMetoda statisticiil constituie fenomenele de mas care prezint proprietatea de a fi variabile ca form de manifestare individual n timp, n spaiu i sub raport organizatoric; Populaia statisticeste constituit din totalitatea operaiilor, tehnicilor, procedeelor i metodelor de investigare statistic a fenomenelor ce aparin unor procese de tip aleator; reprezint totalitatea manifestrilor sau totalitatea elementelor de aceeai natur, de aceeai esen calitativ, ale unui fenomen sau proces economic bine individualizat;Caracteristica statistic

Cercetarea statisticaUnitatea statisticreprezint mulimea numrabil de elemente care compun colectivitatea statistic. Fiecare element al colectivitii este purttorul unei anumite valori a fiecrei trsturi supuse observrii statistice; constituie acea proprietate care este comun tuturor unitilor unei colectiviti statistice. Deoarece variaz de la o unitate a colectivitii la alta, caracteristica statistic mai poart denumirea de variabil statistic sau variabil aleatoare;Datele statisticereprezint caracterizarea numeric obinut de statistic n legtur cu unitile, grupele sau colectivitatea studiat. Ele sunt mrimi concrete rezultate din studiile efectuate pe baz de numrare, msurare sau calcul statistic; Cercetarea statisticreprezint procesul de cunoatere a fenomenelor de mas cu ajutorul metodelor statistice. Cercetarea statistic se desfoar n trei faze sau etape succesive: observarea statistic sau culegerea datelor individuale de mas; prelucrarea datelor primare i obinerea indicatorilor sintetici i derivai; analiza i interpretarea rezultatelor prelucrrii.

Culegerea datelor statisticeObservarea statistic const n culegerea, dup criterii bine stabilite, pentru toate unitile colectivitii studiate, a valorilor caracteristicilor prevzute n programul cercetrii.

Metode de observare total

Metode de observare total Recensmntul Raportrile statisticeObservarea parialSondajul statisticAncheta statisticMonografia Observarea prii principale


n vederea aplicrii metodelor de calcul i de interpretare statistic rezultatele sistematizrii datelor se prezint sub form de serii, tabele i grafice.Rezultatele gruprii pot fi destinate publicrii lor n anuare, buletine statistice, etc. n acest caz, prezentarea datelor ncheie procesul de cunoatere statistic.Seria statisticSeria statistic este prezentarea paralel a doua iruri de date, n care primul ir prezint caracteristica de grupare, iar cel de-al doilea, rezultatul centralizrii frecvenelor sau valorile unei alte caracteristici cu care se afl n raport de interdependen.


Caracteristica de grupare (xi)Frecvena (ni)SAUalt caracteristic de grupare (yi)x1x2..xkn1n2.nk

Clasificare serii statisticeSeriile statistice se pot clasifica dup coninutul caracteristicii de grupare n:- serii statistice de timp (dinamice, cronologice) caracterizate prin faptul c prezint valorile caracteristicii n raport cu derularea timpului;serii statistice de spaiu sau teritoriale caracterizate prin faptul c prezint centralizarea frecvenelor sau a valorilor caracteristicii studiate n funcie de variantele unei caracteristici de spaiu sau teritoriale. Caracteristica de grupare poate fi redat numeric sau prin atribute. De exemplu: prezentarea numrului de uniti turistice n raport cu valoarea ncasrilor sau prezentarea numrului de turiti n raport cu tipul de unitate de cazare folosit.

Clasificare serii statisticePrezentarea datelor sub form de serie statistic prezint o serie de avantaje, ntre care amintim:- cerinele de ordonare a datelor, de inere a unei evidene n raport cu un anumit criteriu (timpul, teritoriul etc.);- stau la baza calculrii indicatorilor derivai;- pot facilita desprinderea unor tendine, aprecierea unor repetabiliti.Din aceste motive seriile statistice au fost considerate materia prim a analizelor statistice.Tabelul statisticPrezentarea tabelar este cea mai raional i adecvat form de prezentare a datelor statistice. n tabelul statistic datele sau indicatorii statistici se prezint ntr-un sistem corelat, format dintr-una, dou sau mai multe serii statistice (enumerarea datelor statistice ntr-o anumit ordine se numete serie statistic).

Tabelul statistic simpluData recensmntuluiNumrul populaiei totale21 ianuarie 194815.852.62321 februarie 195617.489.45015 martie 196619.103.1635 ianuarie 197721.559.9101 iulie 198522.823.4797 ianuarie 199222.810.035

Tabelul statistic pe grupe Nivelul de instruirePopulaiaSuperior 8,2Postliceal de specialitate (sau maitri) 5,5Profesional (ucenici) 21,2Liceal 26,1Gimnazial 20,8Primar sau fr coal absolvit 18,2

Tabelul statistic combinat Grupa de vrstMasculinFemininTotal0-9 ani1.579.6701.513.3413.093.01110-19 ani1.891.2611.807.7913.699.05220-29 ani1.793.4061.740.8053.534.21130-39 ani1.540.2391.521.3823.061.62140-49 ani1.440.1411.456.6962.896.83750-59 ani1.222.5431.321.9902.544.53360-69 ani1.064.0231.246.2942.310.31770-79 ani 447.684 670.3661.118.050peste 80 ani 117.840 295.150 412.990

Tabelul cu dubl intrare Tipul de bereSexblondneagrnormalTotalMasc.20(13,3%)20(13,3%)40(26,7%)80(53,3%)Fem.30(20,0%)10(6,7%)30(20,0%)70(46,7%)Total50(33,3%)30(20,0%)70(46,7%)150(100%)

Grafice statisticeGraficele, n mod accidental sau intenionat, pot oferi imagini ce ascund sau exagereaz anumite tendine. Aceasta se datoreaz alegerii greite a limii intervalelor i a scalei de msur (a unitii de msur). De aceea, este bine s se considere reprezentrile grafice ca o cale de a sugera o tendin ce urmeaz a fi studiat mai cu atenie, pe baza tabelelor de date statistice i a altor instrumente. Exemplu: nregistrarea diferitelor coliziuni produse ntre avioanele de pe un mare aeroport conduce la urmtoarele date statistice : 13, 14, 14, 15, 15. Reprezentrile lor cu dou uniti de msur sunt

Grafice statistice

Parametrii tendinei centraleIndicatorii tendinei centrale ce caracterizeaz seriile de repartiie unidimensionale sunt mrimile medii i indicatorii medii de poziie (medii de structur). Un loc important n categoria indicatorilor derivai i a indicatorilor sintetici generalizatori l ocup mrimile medii utilizate pe scar larg att n activitatea de planificare i conducere, ct i n cercetri statistice diverse. Mrimile medii constituie instrumente principale de cunoatere a fenomenelor de mas i au un grad mare de aplicabilitate n activitatea practic. Ele redau ceea ce este tipic, comun i general n evoluia fenomenelor.

Parametrii tendinei centraleDefinitie: Indicatorul statistic este expresia numeric a unor fenomene, procese, activiti sau categorii economice i sociale, definite n timp i spaiu.

Parametrii tendinei centrale

Indicatori primariIndicatorii primari se obin n cadrul prelucrrii primare a datelor statistice ca urmare a procesului de centralizare a datelor unei observri statistice. Ei au coninut concret i form concret de exprimare. De exemplu, volumul produciei la nivelul unei ntreprinderi se exprim fie n uniti naturale, natural-convenionale, de timp de munc sau valorice i dimensioneaz din acest punct de vedere ntreprinderea pe o anumit perioad de timp. Din aceast cauz indicatorii primari se mai numesc i indicatori absolui i constituie baza informaional a cunoaterii statistice. Indicatori derivaiIndicatorii derivai se obin n faza de prelucrare statistic a mrimilor absolute prin aplicarea variatelor metode i procedee de calcul statistic (comparaii, abstractizri, generalizri).

Parametrii tendinei centrale

Indicatorii tendinei centrale ce caracterizeaz seriile de repartiie unidimensionale sunt: mrimile medii i indicatorii medii de poziie (medii de structur). Un loc important n categoria de indicatori derivai i de indicatori sintetici generalizatori l ocup mrimile medii utilizate pe scar larg att n activitatea de planificare i conducere, ct i n cercetri statistice diverse. Mrimile medii constituie instrumente principale de cunoatere a fenomenelor de mas i au un grad mare de aplicabilitate n activitatea practic. Ele redau ceea ce este tipic, comun i general n evoluia fenomenelor.

Parametrii tendinei centralePrin definiie, media valorilor individuale ale unei variabile (caracteristici) statistice este expresia sintetizrii ntr-un singur nivel reprezentativ a tot ceea ce este esenial, tipic i obiectiv n apariia, manifestarea i dezvoltarea acesteia. Media msoar influena cauzelor eseniale, fcnd abstracie de cauzele ntmpltoare

Media aritmetic

Media armonicMedia armonic se calculeaz din valorile inverse ale termenilor:

Media geometricMedia geometric se bazeaz pe relaia de produs a termenilor seriei, adic:

Mediile de structuraO alt categorie de indicatori ai tendinei centrale sunt indicatorii medii de poziie denumii i medii de structur. Acetia sunt quantilele i modul. Quantilele sunt valori concrete ale seriei care o mpart n pri egale: mediana (n dou pari), quartilele (patru pri), decilele (zece pri), centilele (n 100 pri) etc

Mediile de structura

Mediana Mediana (Me, ). Prin mediana unei serii de distribuie de frecvene se nelege acea valoare a datelor statistice care mparte seria (ordonat cresctor sau descresctor) n dou pri egale. Mediana este deci valoarea central a unei serii ordonate cresctor sau descresctor. Astfel, mediana va fi egal cu valoarea termenului central ntr-o serie simpl format dintr-un numr impar de termeni, sau cu media aritmetic simpl a celor doi termeni centrali, dac seria este format dintr-un numr par de termeni. De aici rezult c mediana depinde de numrul termenilor ordonai dup mrimea lor i nu de valoarea absolut a termenilor. Deci mediana nu este influenat de mrimea valorilor extreme. De aici rezult c dac valorile extreme sunt foarte mari sau foarte mici, mediana este mai puin afectat de fluctuaiile seleciei dect media aritmetic, deci mai stabil. Dac se adaug un numr egal de valori la stnga i la dreapta ei, ea nu-i modific valoarea.

Parametrii variaieiIndicatorii de variaie permit separarea aciunii cauzelor eseniale de cea a cauzelor ntmpltoare i dau posibilitatea identificrii modului n care acioneaz factorii eseniali de la o grup la alta a seriilor statistice. Cu ajutorul lor verificm gradul de reprezentativitate a valorilor tipice ale unei serii (mrimile medii). Putem preciza alura graficului asociat repartiiei de frecvene fr s-l fi trasat, ci calculnd numai parametrii asimetriei i ai excesului (boltirea sau aplatizarea).

Parametrii variaieiIndicatorii tendinei centrale nu dau nici o indicaie asupra mprtierii, respectiv a modului n care termenii seriei se abat ntre ei sau de la medie (poziia centrului de grupare). Centrul de grupare poate fi acelai pentru dou sau mai multe serii de repartiie dar gradul de mprtiere poate s fie diferit n jurul centrului de grupare.

Indicatorii variaieiIndicatorii de variaie permit separarea aciunii cauzelor eseniale de cea a cauzelor ntmpltoare i dau posibilitatea identificrii modului n care acioneaz factorii eseniali de la o grup la alta. Indicatorii simpli ai variaiei servesc pentru a caracteriza gradul de mprtiere a unitilor colectivitii cercetate fa de medie sau fa de o anumit valoare din serie.

Indicatorii variaieiAmplitudinea absolut a variaiei (A) se obine ca diferen ntre valoarea maxim (x max) i valoarea minim (x min) a seriei, adic

Indicatorii variaieiAmplitudinea relativ (A%) se calculeaz raportnd amplitudinea absolut la media aritmetic a valorilor nregistrate

Indicatorii variaieiIndicatorii sintetici ai variaiei caracterizeaz gradul de variaie, lund n consideraie toi termenii seriei. Ca indicatori sintetici, statistica calculeaz abaterea medie liniar (d), dispersia ( ), abaterea medie ptratic ( ) i coeficientul de variaie (v).Abaterea medie liniar Abaterea medie liniar (d) se calculeaz ca o medie aritmetic simpl sau ponderat a abaterilor termenilor seriei de la media lor, luate n valoare absolut, (deoarece suma algebric a tuturor abaterilor este egal cu zero ), adic:

Indicatorii variaiei

Indicatorii variaieiAbaterea medie liniar arat n medie cu ct se abat termenii seriei de la media lor. Prezint dezavantajul c nu ine seama de semnul algebric i acord aceeai importan att abaterilor mici ct i abaterilor mari, dei cele din urm influeneaz n mai mare msura gradul de variaie a unei caracteristici. Abaterea medie liniar poate fi un indicator concludent numai dac seria prezint un grad mare de omogenitate. Aceste neajunsuri se nltura prin calculul dispersiei i a abaterii medii ptratice.

Indicatorii variaieiDispersia Dispersia se calculeaz ca o medie aritmetic simpl sau ponderat a ptratelor abaterilor termenilor seriei de la media lor i mai poart denumirea de moment centrat de ordinul doi. Relaia de calcul este:

Indicatorii variaieiAbaterea medie ptratic Abaterea medie ptratic sau abaterea standard sau abaterea tip se calculeaz ca o medie ptratic simpl sau ponderat a abaterilor valorilor seriei fa de media lor, respectiv rdcina ptrat din dispersie:

Indicatorii variaieiCoeficientul de variaie (v, cv) propus de Pearson se calculeaz ca raport dintre abaterea medie ptratic i nivelul mediu, adic:

Indicatorii variaiei-dac v = 0%, nseamn lips de variaie, toate valorile caracteristicii fiind egale ntre ele i respectiv egale cu media,-dac v>0% nseamn c variaia caracteristicii este mic, colectivitatea cercetat este omogen, media este reprezentativ pentru serie, iar gruparea este bine executat, -se admite c seria prezint un grad de omogenitate ridicat, dac v < 35%, -dac v > 70-75%, se afirm c variaia este foarte mare, media nu este semnificativ i ascunde o structur eterogen a colectivitii care necesit repetarea operaiei de grupare cu respectarea strict a principiilor teoretice care condiioneaz reuita acestei operaii de omogenizare a grupelor.

Exemplu pentru calcularea indicatorilor sintetici de variaie:

Exemplu pentru calcularea indicatorilor sintetici de variaie:Abaterea medie liniar:

Dispersia:

Exemplu pentru calcularea indicatorilor sintetici de variaie:Abaterea medie ptratic:

Coeficientul de variaie:

Exemplu pentru calcularea indicatorilor sintetici de variaie:Pe baza rezultatelor obinute se poate afirma c media este o valoare foarte reprezentativ pentru seria din care s-a calculat, deoarece s-a obinut un coeficient foarte mic de variaie (sub 5%), iar cele mai multe valori (65 din 80) se concentreaz n intervalul 100% - 110%. Tendina de normalitate a distribuiei se poate constata i pe baza relaiei dintre abaterea medie ptratic i abaterea medie liniar. n exemplul luat 4/5 din abaterea medie ptratic a seriei sunt egale cu 3,896, ceea ce prezint o diferen minim fa de valoarea real a abaterii medii liniare (d=3,83).

Precizia estimaiei, probabilitatea de ncredere, intervalul de ncredereEstimarea reprezint procesul prin care se determin, printr-o valoare sau interval de valori (interval de ncredere), valorile necunoscute pentru parametrii sau caracteristicile populaiei de referin pe baza datelor obinute asupra unitilor din eantion. Fiecrui eantion i se asociaz o anumit probabilitate, ce caracterizeaz confidena eantionului. O condiie esenial pe care trebuie s o ndeplineasc selecia efectuat o constituie reprezentativitatea ei. Reprezentativitatea seleciei const n corespunderea structurii colectivitii de selecie cu structura colectivitii generale. Aceast corespundere trebuie neleas ca o concordan ntre distribuia caracteristicii cercetate n colectivitatea de selecie i distribuia ei n colectivitatea general. Cu ct aceast concordan este mai bine analizat, cu att parametrii calculai pe baza seleciei vor fi mai apropiai ca valoare pe parametrii colectivitii generale i prin aceasta rezultatele seleciei vor fi mai apropiate de realitate.

Precizia estimaiei, probabilitatea de ncredere, intervalul de ncredereDiferena ntre valoarea unui parametru calculat pe baza distribuiei rezultate n urma unei selecii i valoarea aceluiai parametru calculat pe baza distribuiei din colectivitatea general, se numete eroare de reprezentativitate.Valoarea unui parametru statistic calculat pe baza distribuiei caracteristicii din colectivitatea general, adic valoarea parametrului din colectivitatea general, o numim valoare teoretic a parametrului respectiv.

Precizia estimaiei, probabilitatea de ncredere, intervalul de ncrederePentru estimarea mediei:a) se alege o probabilitate p=0,90 sau p=0,95 care reprezint gradul de ncredere sau de siguran a estimaiei fcute;b) din tabelul repartiiei Student, se calculeaz valoarea teoretic t, ca invers a funciei de repartiie Student

Precizia estimaiei, probabilitatea de ncredere, intervalul de ncrederec) intervalul n care se afl media m a populaiei, interval de lungime minim posibil la aceast probabilitate este de forma

sau

Precizia estimaiei, probabilitatea de ncredere, intervalul de ncredereunde m = media populaiei = media eantionului = dispersia populaiei s2 = dispersia eantionuluiEstimarea dispersiei se face astfel:a) se alege o probabilitate p=0,9 sau p=0,95b) se calculeaz valorile teoretice din tabelul repartiiei Helmert sau repartiia

Precizia estimaiei, probabilitatea de ncredere, intervalul de ncredere

Precizia estimaiei, probabilitatea de ncredere, intervalul de ncredereintervalul n care se afl dispersia populaiei studiate este de forma:

Sau

Precizia estimaiei, probabilitatea de ncredere, intervalul de ncredereAceste intervale poart numele de intervale de ncredere.Estimarea parametrilor utiliznd acest procedeu al intervalelor de ncredere, este tehnic neleas ca o determinare a parametrilor fenomenului, n manier nepunctual. Atunci cnd numrul de date disponibile referitoare la un fenomen analizat este suficient de mare, se poate aprecia c estimatorii obinui prin calcul pe baza datelor, reprezint suficient de bine pe cei ai fenomenului. Este dificil de apreciat ceea ce nseamn un numr mare de date, dar dac acestea depesc valoarea n=50, se poate admite ipoteza unei bune estimaii punctuale.

Precizia estimaiei, probabilitatea de ncredere, intervalul de ncredereExemplu: s presupunem c media seleciei este de ordinul zecilor - dac valoarea este un numr cuprins n intervalul (0;1), atunci este un bun estimator punctual al lui m i intervalul de ncredere numai trebuie calculat;- dac intervalul de ncredere este obligatoriu.

Dependena dintre mrimea eantionului i reprezentativitate

Dependena dintre mrimea eantionului i reprezentativitate Dup cum se observ i n graficul anterior, dac volumul eantionului crete de la n1 la n2, unde n2 este o valoare mai mic dect cea optim, atunci creterea reprezentativitii este substanial. n caz contrar, daca n3 i n4 sunt valori superioare celei optime, atunci creterea reprezentativitii este practic nesemnificativ.

Tipuri de legturi ntre fenomene Legturile existente ntre fenomene sunt foarte variate. Astfel, se pot ntlni:Tipuri de legturi ntre fenomene legturi cauzale, n cazul n care un fenomen reprezint cauza producerii altui fenomen; legturi reciproce, n cazul n care nici unul din cele dou fenomene nu poate fi considerat cauz sau efect, ele condiionndu-se reciproc;se pot ntlni cazuri n care ntre dou fenomene nu exist nici o legtur, ele fiind independente.

Tipuri de legturi ntre fenomene

n cazul legturilor cauzale, caracteristica prin care se exprim fenomenul cauz poart denumirea de caracteristic factorial sau determinant i se noteaz prin x. Dac sunt mai muli factori care determin un efect, caracteristicile factoriale respective se noteaz cu x1, x2, x3, i aa mai departe. Caracteristica prin care se exprim manifestarea fenomenului efect se numete caracteristic rezultativ sau determinat i se noteaz prin y.Corelaie Legtura ntre caracteristicile exprimate numeric poart numele de corelaie.

Tipuri de legturi ntre fenomene Dup numrul caracteristicilor ntre care se studiaz legtura deosebim: - legturi simple, cnd se caracterizeaz legtura dintre caracteristica rezultativ i o singur caracteristic factorial; - legturi multiple, cnd se caracterizeaz legtura dintre caracteristica rezultativ i mai multe caracteristici factoriale. Dup direcia legturilor, acestea pot fi: - legturi directe, cnd creterea valorilor caracteristicii factoriale atrage creterea valorilor caracteristicii rezultative; - legturi inverse, cnd creterea valorilor caracteristicii factoriale atrage dup sine scderea valorilor caracteristicii rezultative.

Tipuri de legturi ntre fenomene Dup expresia analitic a legturilor deosebim:legturi liniare, adic legturi care pot fi exprimate printr-o funcie liniar;legturi neliniare sau curbilinii, care pot fi exprimate analitic prin funcii neliniare: parabola de diferite grade, hiperbola, exponeniala, etc.

Metode analitice de caracterizare a corelaiei

Funcia de regresie Exprimarea analitic a unei corelaii se face cu ajutorul unei funcii analitice de forma: sau numit funcie de regresie.Prima funcie ne arat c variabila rezultativ este determinat de modificarea unui singur factor; iar cea de a doua funcie , c variabila rezultativ este determinat de un numr de k factori.

Metode analitice de caracterizare a corelaiein exprimarea analitic a corelaiei cel mai important este s se aleag funcia analitic prin care s se exprime ct mai corect mecanismul de manifestare a corelaiei. Cea mai sugestiv metod prin care se poate alege funcia de regresie este reprezentarea grafic. Se pot distinge urmtoarele cazuri:

Funcii de regresiefuncie de regresie liniar

Funcii de regresiefuncii de regresie neliniar funcia de gradul doi

Funcii de regresiefuncie de gradul trei

Funcii de regresiehiperbol

Funcii de regresiefuncia exponenial

Funcii de regresiefuncia logaritmic

Funcii de regresien cazul corelaiei multiple cu doi factori, funcia de regresie cea mai simpl, cea liniar, va fi

Parametrii a, b, c, d ai funciilor de regresie nu se cunosc i nici nu li se poate afla valoarea exact. Ei se estimeaz (aproximeaz). Estimarea se face cu ajutorul metodei celor mai mici ptrate (o metod matematic mai complex pe care nu o vom prezenta).n cazul funciei de regresie liniar simpl, la finalul metodei celor mai mici ptrate rezult un sistem de dou ecuaii cu necunoscutele a i b:

Funcii de regresie

Iar n cazul funciei de regresie liniar multipl, sistemul va fi:

Funcii de regresie

Funcii de regresiePrin rezolvarea sistemelor rezult a i b, respectiv a, b i c i deci funciile de regresie cu parametrii cunoscui a, b i a, b, c.Parametrul a din funcia de regresie liniar reprezint valoarea funciei de regeresie pentru cazul n care x=0, adic a este valoarea caracteristicii rezultative determinat prin aciunea tuturor factorilor, n afara factorului x, adic aciunea tuturor factorilor considerai neeseniali.

Funcii de regresieParametrul b al funciei de regresie liniar simpl se numete coeficient de regresie i arat cu ct se schimb caracteristica rezultativ atunci cnd caracteristica factorial crete cu o unitate. El poate lua valori pozitive (n cazul corelaiei directe, adic dac x crete i y va crete), sau negative (n cazul corelaiei indirecte, adic dac x crete y va descrete). Dac b are valoarea zero, nu exist corelaie ntre cele dou caracteristici.Funcia de regresie exprim modul n care caracteristica factorial determin schimbarea valorilor. Cu ajutorul funciei de regresie se poate determina influena exercitat asupra caracteristicii rezultative i pentru valori ale caracteristicii factoriale care nu se gsesc n colectivitate. Aceast operaie nu este ns indicat s se fac pentru valori ale caracteristicii factoriale prea ndeprtate de valorile existente n colectivitate.

Funcii de regresieDatorit naturii nedeterministe a relaiei de independen, este necesar introducerea unei msuri a gradului de dependen liniar. Aceast msur poart numele de coeficient de corelaie, se noteaz cu r i e dat de relaia:

Funcii de regresieunde am presupus c pentru fenomenul studiat deinem un set de date de forma si cu

Coeficientul de corelaie r are valori n intervalul (-1; 1) cu urmtoarele interpretri:

Funcii de regresie- r foarte aproape de 1, atunci se afirm c ntre cele dou variabile y i x exist o relaie de dependen liniar, dar variaiile lui y i x sunt n sens contrar (legtur invers);- r foarte aproape de 0, atunci nu exist o relaie de dependen liniar ntre cele dou variabile x i y;- dac r se afl ntre -0,5 i 0,5 dependena liniar este ndoielnic, nesigur i e posibil s avem o dependen neliniar ntre y i x.Un alt coeficient notat cu R i dat de relaia:R = r2 se numete coeficient de determinaie,

Funcii de regresiei msoar contribuia variabilei x la variaia variabilei y. De exemplu, dac R = 0,85, atunci se afirm c 85% din variaia lui y se datoreaz variaiei lui y, restul de 15% fiind efectul factorilor neeseniali sau necontrolabili.Dac n urma calculelor a rezultat r = 1, atunci are sens s se treac la estimarea parametrilor a i b din y = a + bx pe baza datelor avute la dispoziie. n cadrul funciei de regresie linear multipl , pentru evaluarea gradului de dependen a lui y fa de variabilele x1 i x2 se recurge la calculul coeficientului de determinaie:

Coeficientul de determinaie

Serii cronologice sau de timp

Serie cronologic Pentru unele fenomene de economie trebuie studiat (prezis) evoluia viitoare, studiul fcndu-se pe baza evoluiei anterioare (din trecut i prezent). Evoluia acestor fenomene este mai degrab explicabil prin propriul lor trecut, adic se poate afirma c de la un moment dat pentru fenomene nu orice variaie este posibil, ci doar una determinat de nivelul atins de fenomen n trecut i prezent. Deci, n mod indirect, se spune c aceste fenomene i autodetermin evoluia ulterioar. De exemplu, fenomene precum valoarea consumului, a investiiilor i altele, n mod natural sunt condiionate de nivelul atins n evoluia lor anterioar. Ceea ce este comun tuturor acestor fenomene este c putem distinge patru componente ce le caracterizeaz, fie n totalitate, fie doar parial, nu toate sunt ns obligatoriu prezente.

Serii cronologice sau de timp

1. Componenta numit trend este prezent n toate seriile dinamice. Ea arat tendina principal (central) a fenomenului, deci corespunde unei succesiuni regulate, unor variaii sistematice lente, sesizabile doar pentru perioade lungi de timp. Trendul este componenta principal a liniei de evoluie format sub aciunea unor factori de lung durat ca: progresul tehnic, dezvoltarea tiinei, creterea populaiei, progresul economico-social, etc. 2. Componenta ciclic se manifest n mod natural n economie ca relaie pe termen lung a evoluiei oricrui fenomen, aici intr factori ce determin o anumit ciclicitate a fenomenului. Uneori apare att de rar nct poate fi ignorat.

Serii cronologice sau de timp3. Componenta sezonier se manifest ca o reacie a fenomenului economic, generat de faptul c are loc n cadrul natural. Aciunea este strns legat de modificarea anotimpului (de exemplu, n perioada de var, fenomenul consumul de rcoritoare cunoate o evoluie mai pregnant dect iarna).4. Componenta aleatoare este generat de faptul c anumite reacii sunt imprevizibile ca urmare a faptului c nu orice informaie din fenomenul economic este automat perceput, i nu ntotdeauna este perceput la fel. Aceast component, ca i prima, este prezent n toate seriile dinamice.

Serii cronologice sau de timpNe propunem s exprimm funcia trendului pe baza datelor cunoscute. Pentru a estima parametrii a i b se pune condiia ca efectul componentei aleatoare s fie minim posibil. Rezolvarea se face cu ajutorul metodei celor mai mici ptrate, minimiznd funcia:

Serii cronologice sau de timpn final se ajunge la rezolvarea urmtorului sistem de ecuaii.

a i b vor fi soluia acestui sistem. Prin urmare, rezult c trendul estimat este:

Serii cronologice sau de timpPe baza acestei relaii poate fi prezentat evoluia ulterioar a dinamicii fenomenului, dar numai pe componenta principal, adic pe trend, i numai pentru una sau dou perioade ulterioare. Poziia precis viitoare a fenomenului nu este previzibil dect prezicndu-se un interval probabil n care aceasta se va afla. Trendul estimat pentru momentul urmtor va fi

Statistica Curs Mec

Documents

Transcript of Statistica Curs Mec