1

Stabilitatea sistemelor liniare si

invariante in timp

In continuare ne vom referi la sisteme liniare si

invariante in timp cauzale.

http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ps/Cap14_Stabilitate.pdf

Analiza stabilitatii sistemelor cu

reactie negativa

Motorv(t) (t)Input

voltage

Platform

angular

position

K+

-

+ Motor (t)D

K= K1K2

Motorul de curent continuu actioneaza

platforma

Schema sistemului in bucla deschisa.

Sistem cu reactie pentru fixarea telescopului.

Schema sistemului in bucla inchisa.

2

3

Sistem ce mentine pozitia unghiulara

a telescopului prin reactie (feedback)

• Motorul actioneaza

platforma

• Unghiul ei este (t)

• Schema sistemului in

bucla deschisa

Reglajul fin este dificil de

obtinut

Perturbatii (miscari ale platformei) nici o reactie

Unghiul

platformei

Tensiunea de

intrare aplicata

motorului care

roteste platforma

4

u(t) ~ D - (t)

Unghi

dorit

Tensiune

Unghiul

platformei

Tensiune

eroare

u(t)

tensiune

de intrare

Sistem in bucla inchisa

Perturbatii erori corectii

Se cunoaste doar unghiul dorit D dar nu si structura sistemului cu reactie

3

5

Insensibilitate la perturbatii,

Nu e necesar sa avem cunostinte amanuntite despre sistem.

Controlul proceselor chimice,

Cont

Avantajele sistemelor in bucla inchisa

Aplicatii ale sistemelor in bucla inchisa

rolul temperaturii,

Sisteme aerospatiale.

Exemplu de sistem

instabil, ce poate fi

stabilizat prin reactie

negativa.

6

Sisteme analogice• stabilitate stricta

– Functia de transfer : gradul numaratorului mai mic decat cel al numitorului

– Polii functiei de transfer situati in semiplanul stang

• Stabilitate in sens larg

– Poli simpli pe axa imaginara j, Re{s}=0

• stabilitate stricta

– Functia de transfer : gradul numaratorului mai mic sau egal

decat cel al numitorului

– Polii functiei de transfer situati in interiorului cercului

unitar

• Stabilitate in sens larg

– Poli simpli pe cercul unitar

Sisteme digitale

4

7

Alte criterii pentru stabilitate BIBO

• Numitorul Q(s) al functiei de transfer

H(s)=P(s)/Q(s) sa fie polinom Hurwitz

( )Polinomul cu coeficienti reali care are toate

al planului complex.

se numeste ,

Daca are radacini , atunci

este un

Q s

radacinile in semiplanul stang

polinom strict Hurwitz

simple pe axa imaginara

polino . m Hurwitz in sens larg

Toti coeficientii unui polinom strict Hurwitz sunt strict pozitivi.

Toti coeficientii unui polinom Hurwitz in sens larg sunt pozitivi.

Aceste conditii nu sunt si suficiente.

Criteriul de stabilitate al lui HurwitzConditia necesara si suficienta ca toate radacinile ecuatiei :

sa aiba partea reala strict negativa este toti determinantii

minori principali in diagonala ai determinantului sa fie

strict pozitivi.

( ) 01

1

10 =++++= −

−

nn

nn asa...sasasQ 00 a

n

n

n

a

.

...

...

.

.

.

.

.

..

...aa

...aaa

...aaa

...aaaa

...aaaa

0

000

00

00

0

0

31

642

531

6420

7531

=

5

Determinantul are n linii si n coloane. Stricta

pozitivitate a minorilor asigura stricta stabilitate a

sistemului care are la numitorul functiei de transfer

polinomul Q(s).

Daca unul dintre minori este nul atunci sistemul este

stabil in sens larg.

Daca unul dintre minori este negativ atunci sistemul

este instabil.

n

10

Exemplu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

Se analizeaza stabilitatea sistemului descris de ecuatia diferentiala:

7 4 10 3 2

cu conditii initiale nule. Functia de transfer a sistemului

2

7 4 10

d y t d y t d y t d y t dy ty t x t

dt dt dt dt dt

H ss s s s s

+ + + + + =

=+ + + +

( )

0 1 2 3 4 5

. 3

Coeficientii polinomului sunt:

1, 1, 7, 4, 10 si 3, strict pozitivi.

Sistemul s-ar putea sa fie stabil.

Se aplica criteriul lui Hurwitz, 5.

Q s

a a a a a a

n

+

= = = = = =

=

6

11

5

1 3 5

1 2 3 0 2 4

1 3

4 5

1 4 3 0 0

1 7 10 0 0

. Minorii principali in diagonala :0 1 4 3 0

0 1 7 10 0

0 0 1 4 3

1 4 31 4

1 0, 3 0, 1 7 10 ... 5 0,1 7

0 0 1 4

1 4 3 0 0 1 4 3 0

1 7 10 0 0 1 7 10 0

... 8 0. 0 1 4 3 0 0 1 4 3

0 1 7 10 0 0 1 7 10

0 0 1 4 3

a a a

a a a

a a

=

= = = = = = =

= = = = 4

____

3 24 0.

0, 1,5 sistem strict stabilk k

= =

=

12

Sisteme liniare cu reactie negativa

( )( )

( )

( )

( ) ( )1

Y s H sQ s

X s H s G s= =

+( )

( )

( )

( )

( ) ( )1

Y z H zQ z

X z H z G z= =

+

Sistemul in bucla inchisa este strict stabil daca :

- polii sunt in semi-planul stang (sisteme analogice)

- polii sunt in interiroul cercului unitar (sisteme digitale)

•Functii sistem ale caii directe (Forward-path): H(s) sau H(z)

•Functii sistem ale caii inverse (Negative feedback, feedback path): G(s) sau G(z)

•Functii sistem in bucla deschisa (open loop): H(s)G(s) sau H(z)G(z)

•Functii sistem in bluca inchisa (Closed loop) :

7

• Sistem in bucla deschisa:

• Functia de transfer in bucla deschisa

( ) ( ) ( )L s H s G s= ( ) ( ) ( )L z H z G z=

( )( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

; 1 1

Produsul : functia de transfer in bucla deschisa.

Sistemul in bucla inchisa este strict stabil daca radacinile ecuatiei

1 0 au partea reala strict negativa.

Y s H s Y z H zQ s

X s H s G s X z H z G z

H s G s

W s

= = =+ +

•

•

+ =

14

Sistem Invers: Cunoscand sistemul direct P(s); se doreste

sintetizarea sistemului invers 1/ P(s).

-sistem cu reactie in care: H(s)=K (castigul) si G(s)=P(s).

Functia de transfer in bucla inchisa :

Cateva aplicatii si consecinte ale

reactiei

( )( )

( )

( )

1

1

1KP s

KQ s

KP s

P s

=+

Sistemul in bucla inchisa este chiar sistemul invers al P(s), pentru o

valoare suficient de mare a castigului K

8

Exemplu

O valoare mare a castigului poate fi obtinuta cu ajutorul unui amplificator operational.

Exemplu.

Sistemul direct: derivator implementat cu ajutorul unui condensator (curentul prin

condensator este p

K

( )

( )( )

( )

roportional cu derivata caderii de tensiune de pe condensator

).

1Sistemul invers: trebuie sa fie un integrator, =

P s sC

Y sQ s - .

X s sRC

=

=

P(s)

16

Compensarea unor caracteristici

neideale ale unor elemente de circuit

De obicei K<1 (deoarece castig constant este

obtinut numai la atenuatoare) Q()>1.

Rezulta ca

( ) ( )1

, deci se cere

castigul in bucla deschisa castigul in bucla inchisa

H QK

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

( )

Castig constant intr-o banda de frecvente pornind de la un amplificator cu

variabil in acea banda.

Pentru 1 1

Castigul in bucla deschisa:

Daca in banda de frecvente

s j

H

H s H jG s K Q s Q j

KH s KH j

KH

=

= = =

+ +

( )

( ) ( )

de interes : 1 atunci

1castigul in bucla inchisa:

KH j

Q j Q cstK

=

9

17

Stabilizarea sistemelor instabile,

Exemple

• Sistemele instabile pot fi incluse in bucla inchisa pentru

stabilizare (ex: zborul unei rachete pe o traiectorie)

• Exemplul #1 Sistem cu reactie proportionala

sistem stabil. Marimea de reactie este proportionala cu

marimea de iesire (G(s)=K)

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

, 0 si

1

Pol: semiplanul stang, daca p

bH s a G s K

s a

H s bQ s

KH s s a Kb

s a Kb Kb a

= =−

= =+ − −

= −

( )

( )

( )( )

2

2

Functia de transfer a oscilatorului are poli simpli pe axa imaginara:

in cazul unei reactii proportionale sistem in bucla inchisa

sistemele de ordinul 2,

bH s .

s a

G s K ,

bQ s .

s a Kb

=+

=

=+ +

Al doilea exemplu

( )

( ) ( )

20

02 20 0

20

sunt stabile daca 0 si daca 0, 2

adica daca exista atenuare.

Analizand comparativ si s rezulta ca nu putem influenta prin reactie

proportionala decat deoarece 0

Nu

t

t

Q ss s

Q s Q

.

=

+ +

=

( )

( )( )

1

22 1

2

vom putea deci stabiliza oscilatorul numai prin reactie proportionala.

De aceea includem in bucla de reactie si o componenta

Sistemul in bucla inchisa este

derivativa

t

.

s

G s K .

bQ s .

s bK

K

s a K b

s= +

=+ + +

1 2abil daca 0 si 0a K b bK .+

10

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

1

1

1

Al treilea exemplu

1 ; 2

1 2

1

1 1 2 1

2 1

1Stabilitatea se obtine daca 1 1

2

p

p

H z G z z .z

H zQ z

G z H z z

z .

z .

−

−

−

= = −

= =+ − −

= −

1

1-2z-1

2z-1

e[n]x[n] y[n]

+

-

+

20

Sisteme cu urmarire (tracking)

• Pilotul automat: intrarea este ruta dorita.

Iesirea este ruta reala a avionului.

11

21

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )( )( )

Pentru:

; cu 1

1

Pe cercul unitar: 1

c p

j

j

j

H z H z H z

H zY z X z E z H z Y z

H z

X zE z

H z

X eE e

H e

=

= =+

=+

=+

Eroarea trebuie sa fie neglijabila:

( ) ( )0, 0 marej je n E e H e

O performanta buna de urmarire se obtine la un castig global foarte mare.

Fara perturbari.

22

• Erorile modelate prin perturbatia d[n]

• Erori mici inseamna castig mic:

• Castigul trebuie sa fie mare (la frecvente

joase) si mic (la frecvente inalte)

( )( )( )

( )( )( )

( )1 1

H z H zY z X z D z

H z H z= −

+ +

( )jH e

12

Instabilitati cauzate de reactie

La microfon nu ajunge numai semnalul vocal ce provine de

la vorbitor ci si un semnal nedorit de la difuzor. Apare astfel

o bucla de reactie. Daca faza celor doua semnale este potrivita

se produce inta

1

2

rirea sunetului generat de difuzor, pana la

saturatia acestuia.

atenuarea datorata propagarii sunetului prin aer.

- durata propagarii semnalului de la difuzor la microfon.

K amplificarea,

K

T

−

−

K2e-sT

K1

AmplificatorDifuzor

Microfon

24

intrari

audio de la

vorbitor

intrari audio

totale la microfon

intrari audio de la difuzor (nedorite)

iesiri la difuzor

( )

( )

11 2 1 2

1 2

1 2

2

1 0 1

0 1- conditie de instabilitate

Pe masura ce distanta dintre difuzor si microfon creste, atenuarea

datorata aerului creste si deci scade, sistemul p

sT sT

sT

KQ s K K e e K K

K K e

s K K .

K

−

−= − = =

−

utand deveni stabil.

13

25

Metoda locului radacinilor

(Root-locus method)• Polii sistemului cu reactie se reprezinta in

functie de castigul K.

• cazul simplu: polii sunt cunoscuti

• Exemplu #1, sistem digital

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

1

1

1

1 2; 2

1 2 2

1

1 2 1 2 1

2 1

1 3Sistem stabil daca 1

2 2

p

p

zH z G z z

z z z

zQ z

z z

z

z

−

−

−

= = = =

− −

= =− − − −

= −

26

• Exemplu #2, sistem analogic

( ) ( )

( )( )

( )

2;

2

; 2 12 1

Sistem stabil daca Re 0 1

p

p

sH s G s

s s

sQ s s

s

s

= =

−

= = −− −

14

27

Cazul in care polii nu sunt

cunoscuti

• Sisteme cu reactie cu castig variabil

( )

( )

( )

( ) ( )1

Y s KH s

X s KH s G s=

+

( )

( )

( )

( ) ( )1

Y s H s

X s KH s G s=

+

28

Polii sunt dati de

Pentru sistemul in bucla inchisa, polii depind de K:

Pentru K→0: H(s)G(s)→, solutia ecuatiei data de polii lui H(s)G(s)

Pentru K→, 1/K→0, solutia data de zerourile lui H(s)G(s)

( ) ( )1

H s G sK

= −

Punctele de capat ale locului radacinilor: polii

sistemului in bucla inchisa pentru K=0 si |K|=

( ) ( )1 0KH s G s+ =

( ) ( ) ( ) ( )2 2

pentru: ; 2 2

2 1

2

0 2

sH s G s H s G s

s s s

s

s

= = =

− −

= −−

= =

15

29

Criteriul variatiei argumentului

• K-real, s0 – pol al sistemului cu reactie, atunci

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

1

multiplu de

jArg G s H s

jArg G s H s

G s H s G s H s e

e

Arg G s H s

=

=

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

1multiplu impar de 0

1multiplu par de 0

KG s H s

KG s H s

− =

− = −

30

• Locul radacinilor: s0 pentru care argumentul

functiei de transfer in bucla deschisa este

• -multiplu impar de pentru castig pozitiv K>0

• -multiplu par de pentru castig negativ K<0

( ) ( )

( )

00

00

0

2 2 1Pentru:

2 2

22

2

21castig 2 1

22

2

H s G ss s

s Arg -s

ss

s

= = −

− −

=

−

− = = = −

−

16

31

• Poli reali:

• Poli complecsi. Pt ω pozitiv: K>0, pt ω negativ: la

fel

( ) ( )1 1

1 3H s ;G s

s s= =

+ +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0

3 1 0

3 2 0

s ,s : Arg G s H s K

s , s : Arg G s H s - K

s ,s : Arg G s H s - K

− =

− − =

− =

( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 00 2 0 0

0 0

: Arg G s H s Arg G s H s K

: K

− = −

32

Locul

radacinilor

pt K>0

(sistem stabil)

K<0 (s-ar

putea sa

fie instabil)

17

33

( ) ( )( )( )

1

1 3

sG s H s

s s

−=

+ +

34

( ) ( )1

1 11 1 1 11 1

2 4 2 4

z zG z H z

z z z z

−

− −

= = − − − −

18

• Sistem stabil

pentru K(0,48)

( ) ( )( )( )

1

2 4G s H s

s s s=

+ +

K>0

Criteriul de stabilitate NyquistUtilizarea criteriului de stabilitate Hurwitz presupune cunoasterea expresiei

functiei de transfer in bucla inchisa a sistemului cu reactie. Exista situatii cand

aceasta functie de transfer nu este cunoscuta: in cazul identificarii experimentale

a unui sistem cu reactie, cand pot fi identificate doar raspunsurile in frecventa H

si G. In aceste cazuri poate fi folosit criteriul lui Nyquist.

( ) ( )1

Solutiile ecuatiei depind de valoarea lui .

Pot fi determinate valori ale lui pentru care sistemul cu reactie

sa fie stabil. Pe baza criteriului lui Nyquist pot fi determinate aceste

valo

H s G s KK

K

= −

( ) ( )

( )

ri prin examinarea functiei Reprezentarea grafica

in planul a acestei functii poarta numele de hodograf al lui

In scopul formularii criteriului lui Nyquist se enunta in prealabil principi

G j H j .

s W s .

ul

variatiei argumentului, care da informatii despre hodograful unei functii

complexe de variabila complexa.

19

( ) ( ) cu modificandu-se de la - la - hodograf Nyquist al sistemului

in bucla deschisa.

hodograful Nyquist tre

G j H j

( ) ( )

1buie sa inconjoare punctul de coordonate - 0 in sens

anti-orar de un numar de ori egal cu 2

- numarul polilor din semiplanul drept ai lui

- numarul polilor de pe axa imaginara

Ci

i

C

,K

nn .

n H s G s ,

n

+

( ) ( )ai lui H s G s .

Criteriul de stabilitate Nyquist

pentru sisteme analogice

Conditia necesara si suficienta ca sistemul in bucla inchisa

considerat sa fie strict stabil este ca numarul de incercuiri ale

1punctului de coordonate - 0 de catre hodograful Nyquist

al sistemu

,K

( ) ( )

( ) ( )

lui in bucla deschisa in sens antiorar

cand se modifica de la - la sa fie egal cu numarul polilor

lui din semiplanul drept si de pe axa imaginara,

adica cu + . 2

Ci

H j G j

,

H s G s

nn

Sistemul in bucla inchisa este strict stabil daca si numai daca numarul de

incercuiri ale punctului de coordonate (-1/K,0) de catre hodograful Nyquist H(jω)G(jω) al sistemului in bucla deschisa in sens trigonometric, pentru ω (-,

) , este egal cu numarul polilor lui H(s)G(s) localizat in semiplanul drept.

20

Observatii

( ) ( )1 Daca sistemul in bucla deschisa este stabil atunci nu are poli

in semiplanul drept si nici pe axa imaginara. Deci hodograful Nyquist al

sistemului in bucla deschisa nu trebuie sa incercuiasca pu

. H s G s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

nctul de

1coordonate 0

2 Deoarece si sunt functii reale

si deci

si

Hodograful Nyquist pe

* *

* * * *

** *

, .K

. h t g t H j G j H j G j

H j G j H j G j H j G j H j G j

arg H j G j arg H j G j arg H j G j

arg H j G j

−

− − =

− − = = =

− − = = =

= −

( )

( ) ( )

( )

ntru domeniul de variatie a lui intervalul - ,0 se

obtine prin simetrie fata de axa reala a planului complex din

hodograful Nyquist pentru domeniul de variatie a lui cuprins in intervalul

0,

H s G s

.

40

Exemplul #1

( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 1;

1 0 5 1 0 5 1 5 1G s H s H s G s

s . s . s . s= = =

+ + + +

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Exista doua modalitati de constructie

a hodografului sistemului in bucla deschisa.

Prima se bazeaza pe caracteristicile Bode

(valorile si )

ale sistemului in bucla deschisa sau

valorile

H G arg H G

Re H

( ) ( ) ( ) si G Im H G .

21

41

Pentru reactia negativa, K > 0, stabilitatea este asigurata intotdeauna.

Pentru reactia pozitiva, K < 0, avem din a doua conditie: -1 < K < 0

Deoarece sistemul in bucla

deschisa este stabil pentru

ca si sistemul in bucla inchisa

sa fie stabil este necesar ca

sa nu fie incercuit punctul de

1coordonate 0

1 10 sau 1

0 sau 1 adi

, .K

K K

K K

−

− −

− ca 1K . −

42

- Sistemul in bucla deschisa este

instabil, avand un pol in semiplanul

drept:

- Sistemul in bucla inchisa stabil:

daca punctul critic σ = -1/K este

inconjurat de hodograf o singura data

in sens trigonometric.

Exemplul #2

( ) ( )( )

( )( )

2 1

1 2

sG s H s

s s

+=

− +

11 0 1K

K− −

22

43

( ) ( ) ( )1 2 ,

sT jsTK K K G s H s e e− + −= = − =

Exemplul #3 sistem acustic

( ) ( ) ( )

( )

Modulul este unitar, argumentul are expresia

Deoarece sistemul in bucla deschisa este stabil, hodograful Nyquist

nu are voie sa incercuiasca punctul critic 1 sau 1

Deoarec

j TG j H j e .

T .

/ K , K .

− + =

− +

−

1 2

1 2

e si au semnificatia de atenuari acustice, sunt pozitive

Sistemul in bucla deschisa este stabil daca 1

K K

K K .

Cazul polilor sistemului in bucla

deschisa situati pe axa imaginara( ) ( )

( )

cu timpacelasiin 0 raza de semicercun -printr imaginara,

axa pe de polulocolit fie saincat fel asain modificat, C, conturul considera se

anterioare cazurilein ca fel la uiargumentul variatieicriteriul aplica aPentru

1

1 imaginara. axa pe pol unui cazul Consideram

.M,

.ss

sHsG

→→

+=

Im

Re

C+jM

-jM

M

planul s

j

-j ( ) ( )( )

( ) ( )

Nyquist. uihodograful a verticala

asimptota este 1 adica ,1 si

1

1

1

1

:Avem . raza

de semicerculpentru si imaginara axapentru numaiNyquist

hodograful trasamsa deci Trebuie .-la la de trece cand

uiargumentul a variatieo nici aparenu deci si constanta o

este raza de cercul pe produsului Valoarea

0

2

2

−=−=

+=

+=

→

+

−

jHjGRelim

ejj

jHjG

MGH

j

arctgsgnj

23

. raza de semicercul pe produsului acomportare determinam sa Ramane ε

Re

Im

-1-1/K

Raza tinde

la

→0+

=-

=+

→0-

Arg{}→π/2

Arg{}→-π/2

nula. este 1- polul

de cauzata unghiului variatia

zero, spre tinde raza Deoarece

Im

Re

~2 arctg→0

-1

j

-j

θ

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

. raza de semicercul pe 0 la 0

la de trecese cand atunciorar sensin 180cu ihodogrfulu a

rasucire o inseamna Aceasta sau

22

deci si semicerc pe schimbIn

-

00

==

−=

−−

−=−−=

−=

+

== −+

.jHjGΔArg

jHjGArg

jHjGArg

Re

Im

-1-1/K

Raza tinde

la

→0+

=-

=+

→0-

Arg{}→π/2

Arg{}→-π/2

.KK

.

C

K

0sau 01

avem sa trebuieca Rezulta

inchisa. buclain sistemului eastabilitat avea

apentru hodograf, de inconjurat fie sa nu trebuie

critic punctul consecintaIn raza de semicerculcu

dreaptaprin l-ocolindu afara,in lasat am-l deoarece

origine,din polulmacar nici afla senu considerat

conturului interiorulin ca mentiunea face vom

, castigulpentru admise valoriledetermina aPentru

−

24

Cazul sistemelor in timp discret

( ) ( ) ( )

( )

0

Pentru ca sistemul in timp discret in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca nici

1un zero al ecuatiei : 0 sa nu fie in afara cercului unitate.

1Fie :

Daca este un zero (

R z G z H zK

R̂ z R .z

z

= + =

=

( ) ( )

( )

( )

0

00

1pol) al lui atunci este un zero (pol) al lui

1Daca 1 atunci 1 Orice zero (pol) al lui din exteriorul cercului

unitate este un zero (pol) al lui situat in interiorul cercului un

ˆR z R z .z

z . R zz

R̂ z

( ) ( ) ( ) ( )

itate.

Conform principiului variatiei argumentului daca parcurge odata cercul

unitate in sens orar atunci incercuieste originea planului

in sens orar de un numar de ori egal cu diferent

z

ˆ ˆ ˆR z Re R z ,Im R z

( )

( ) ( )( )

a dintre numarul de zerouri si de poli

ai lui situati in interiorul cercului unitate.

1Pe cercul unitate si . De aceea .

Evaluarea lui , cand parcurge odata cercul unit

j j j j

R̂ z

ˆz e e R e R ez

R̂ z z

− − = = =

( )

ar in sens orar, este identica

cu evaluarea lui cand parcurge odata cercul unitar in sens antiorar.R z , z

Enuntul criteriului lui Nyquist

pentru sisteme in timp discret

Conditia necesara si suficienta pentru ca sistemul in bucla

inchisa sa fie stabil este ca numarul de incercuiri in sens

1antiorar ale punctului de coordonate - 0 de catre hodograful

Nyquist al l

,K

( ) ( )( ) ( )

ui cand se modifica de la 0 la 2

trebuie sa fie egal cu numarul polilor lui care se gasesc

in exteriorul cercului unitate.

j jG e H e

H z G z

25

49

Exemplul #1

• Valorile maxime si minime pentru 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

2

1

1 2 2

1

1 11

2 2

1 1 1

1

2

j jj j

j j

zG z H z

z z z

G e H e e ev v v

e e

−

−

− + − +

= =

+ +

= = =

+

( ) ( )

( ) ( )

0,2 : 2 3

: 2

j j

j j

G e H e /

G e H e

= =

= =

50

• Sensul de parcurgere al hodografului este orar

• Se fac 2 rotatii complete in jurul (0,0).

• Sistemul in bucla deschisa este stabil punctul critic nu

trebuie sa fie inconjurat de hodograful lui Nyquist

• Sistemul in bucla inchisa este stabil pentru:

( ) ( )

1 1 or 1 2 0 1 sau 1 2 0

1 2 0 0 1

/ K / K K / K

K / , ,

− − − −

−

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

4

j j

j j

Arg G e H e

Arg G e H e

= − +

= −

26

51

Exemplul #2

partea noului contur corespunzand

cercului unitar

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2

1: pol pe cercul unitar

1

1 1j jj j

G z H zz z

G e H e e ev v v

− + − +

=−

= =

conturul cercului unitar C se modifica prin

adaugarea unui semicerc de raza → 0, care

pastreaza polii in interiorul conturului.

52

Sistemul in bucla inchisa

stabil daca:

-1/K<1 sau 0<K<1.

Ω θ Modul Faza Observatii

π/3 2π/3 1 -π

π π 1/2 -2π x=-3/2

asimptota

verticala

( ) ( ) ( )2 2j jArg G e H e / / = − + = −

27

Rezerva de amplificare si de faza

Uneori este interesant sa se stie, pentru un sistem stabil, in ce

masura poate fi modificata amplificarea sistemului si ce

defazaj suplimentar poate fi introdus in sistem in asa fel incat

el sa ramana stabil.

Se numeste margine de amplificare a sistemului din stanga, valoarea minima a lui

pentru care sistemul din dreapta, pentru 0 devine instabil.

Se numeste margine de faza a sistemului din stanga, valoa

K =

( ) ( )

rea minima a lui pentru

1 pentru care sistemul din dreapta devine instabil.

1 0

Prin modificarea lui sau a lui unul dintre polii funct

j j j

,

K ,

H e G e K e

K

−

=

+ =

( ) ( )

0

0 0

iei de transfer in bucla

inchisa poate ajunge pe axa imaginara, in punctul :

1j

j

Ke H j G j−

= −

Stable system

28

55

Conditia de instabilitate pentru al doilea sistem:

Modificand K sau φ unul dintre polii sistemului in bucla

inchisa se duce pe axa imaginara, in pozitia jω0.

( ) ( )1 0j j jH e G e K e − + =

( ) ( )( ) ( )

2

14 1

2Exemplu.

1 2 1 0 05 0 125

Deoarece sistemul in bucla deschisa este stabil,pentru ca sistemul in bucla inchisa

sa ramana stabil este necesar ca punctul critic sa ramana in exte

s

G s H s .s s , s , s

+

=

+ + +

( ) ( ) ( ) ( ) 0 0

0 0

riorul hodografului.

Rezerva de amplificare va fi distanta, pe axa reala, de la puctul critic la intersectia

hodografului cu axa reala negativa. Pentru 0 ecuatia devine:

1

Deo

jArg G j H j

,

K G j H j e .

=

= −

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1

1 1 1

1

arece primii 2 factori din membrul stang sunt pozitivi este necesar ca exponentiala

complexa sa fie negativa.

Fie frecventa la care: 1

La frecventa are loc intersec

jArg G j H je Arg G j H j .

= − = −

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2 2

2 2

tia hodografului cu axa reala negativa.

1Rezerva de amplificare este

Fie frecventa la care 1

Rezerva de faza va fi:

K .G j H j

ω G j H j .

Arg G j H j .

=

=

= −

29

57

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2 2

2 2

Rezerva de amplificare:

1

: 1.

Rezerva de faza:

.

KG j H j

ω G j H j

Arg G j H j

=

=

= −

58

hodograful lui Nyquist pentru sistemul in bucla deschisa