Stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp · acestei ecuatii poate fi dificila. De...

28
1 Stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp In continuare ne vom referi la sisteme liniare si invariante in timp cauzale. Analiza stabilitatii in domeniul timp IMEM () () () () () () marginit. devine sau raspunsul limitata durata de marginite semnale cu excitat este Daca stabil. este nu Sistemul . nemarginit semnal 1 : marginit excitatie de semnal un Fie ; 1 0 0 , C t d C t u i d i C t u t t = τ τ σ = τ σ = τ τ τ = () () ( ) () = σ σ = rest. in 0 , C T T t , C t t u T t t t i

Transcript of Stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp · acestei ecuatii poate fi dificila. De...

1

Stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp

In continuare ne vom referi la sisteme liniare si invariante in timp cauzale.

Analiza stabilitatii in domeniul timp

IMEM ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

marginit. devinesau raspunsullimitata durata de marginite semnalecu

excitat este Daca stabil. estenu Sistemul

.nemarginit semnal 1 :marginit

excitatie de semnalun Fie ; 1

0

0

,Ctd

Ctu

i

diC

tu

t

t

=ττσ=

⇒τσ=τ

ττ=

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤≤=⇒−σ−σ=

rest.in

0

,CT

Tt,Ct

tuTttti

2

Sistemele care raspund cu semnale marginite la excitatii marginitede durata nelimitata si cu semnale nemarginite la excitatii marginitede durata nelimitata se numesc stabile in sens larg.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ]

[ ]

[ ]larg. sensin stabildiscret in timp sistemun este ulAcumulator

11

111 0

0 0

11

; ul.Acumulator

0

0

0

.NnyNn

;NnnyNn

.nyn

NkkknnyNnnnx

.nny

kkxknkxny.nnh

N

k

n

k

k

n

k

k

+==⇒≥

+<+==⇒<≤

=⇒<

−σ−σ−σ=⇒−σ−σ=

+==⇒

⇒σ=−σ=σ=

=

=

−∞=

=

−∞=

Analiza stabilitatii in domeniulfrecventa

Cazul sistemelor in timp continuu

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ){ } ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) marginite.sunt si semnalele dacamarginit este Semnalul

cu

Daca

21

21

2121

2121

021

1

21

1

11

110

11

10

11

10

21

21

tytyty.tytyty

.tytythtxthtxty.thththsHsH

ss...sssssPscsH

ss...sssssQ

.sQgrsPgr

;sQsPcsc...scscsH.nm

.bsb...sbsbasa...sasa

sQsPsH

nm

k rp

rrk

knm

rp

rr

nmnmnmnm

nnnn

mmmm

p

p

+≤

+=∗+∗=+=⇔+=

=−−−

+=⇒

⇒−−−=

<

+++++=>

++++++++

==

∑−

=−−

−−−−−−

−−

−−

3

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) .nemarginit fi poate marginit este Desi

in nemarginit 2

1

pe contine l-care inchis interval orice pemarginit este

marginite.sunt derivate sale primele sicat semnalulatat dacamarginit este Semnalul

Dar

1

00

0

0

00

1

001

01

1

001

01

tytx

.ttttt

ttt'x

.ttttx

nmtxty

txctxcty

txctytx...tt'xttx

:

ttxctctxtytcth

nm

k

kknm

nm

k

kknm

nm

k

kknm

kkk

nm

k

kknm

nm

k

kknm

nm

k

kknm

−−

⋅−

=

−=

≤=

=⇒==δ∗=δ∗

δ∗=δ∗=⇒δ=

∑∑

∑∑∑

=−−

=−−

=−−

=−−

=−−

=−−

Marginirea lui y1(t)

( ) ( )( ) ( )

1

1 adica dacaCONDITIE NECESARA DE STABILITATE :Gradul numaratorului

Marginirea lui asigura marginirea lui

doar dac

functiei de transfer sa fiemai mic sau egal decat gradul numit ul

.

or

a

m n

x t y

y t c

t

x t m n−= ≤

ui.

4

Marginirea lui y2(t)( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ){ } { } { } { }{ }

( )

( ) (

) ( ).tetA...teAeA

...etA...teAeA

etA...teAeAth

thsRe,...,sRe,sRemaxsRe

ss

A...

ssA

ssA

...ss

A...

ssA

ssA

ssA

...ss

Ass

AsH

tsrpr

tsp

tsp

tsrr

tsts

tsrr

tsts

p

rp

pr

p

p

p

p

rr

rr

ppp

pp

p

p

σ+++

+++++

++++=

>

−++

−+

++−

++−

+−

+−

++−

+−

=

121

122221

1112112

2

21

221

2

22

2

22

2

21

1

12

1

12

1

112

222

22

111

11

22

11

: si cauzal

este impuls la raspunsulcu sistemul Daca

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )

{ }

( ) ( ) { } .k,sRet xty

.Re

.deMdMedtxetxteαt

ty

.txtetA...txtteAtxteA

...txtetA...txtteAtxteA

txtetA...txtteAtxteAty

.txtetA...txtteAtxteA

...txtetA...txtteAtxteA

txtetA...txtteAtxteAthtxty

k

llltl

tsrpr

tsp

tsp

tsrr

tsts

tsrr

tsts

tsrpr

tsp

tsp

tsrr

tsts

tsrr

tsts

ppp

pp

pp

p

pp

_____

2

000

2

121

122221

1112112

121

122221

11121122

p1, 0 daca simarginit este dacamarginit este

0:casuficient este marginita fie sa integrala aceasta caPentru

marginita. functie o estedrept membruldin termen fiecare dacamarginit este Semnalul

:Deci22

222

111

11

222

22

111

11

=∀<

ττα=ττα≤ττ−τα=∗σ

∗σ++∗σ+∗σ

++∗σ++∗σ+∗σ

+∗σ++∗σ+∗σ≤

∗σ++∗σ+∗σ

++∗σ++∗σ+∗σ+

+∗σ++∗σ+∗σ=∗=

∫∫∫∞ βτ∞ βτ∞ βτβ

5

( )

( )

ecuatia.rezolvaafara transfer defunctieipolilor alocalizare permita sa care estabilitat de

criteriielaborat au -s aceea De dificila. fi poate ecuatii acestei rezolvarea 2,decat mare mai este Q ipolinomulu gradul Daca

0.Q ecuatiei rezolvarea la revine transfer de functieipolilor aLocalizare unitate. cercului uiinteriorul revenind

stang uisemiplanul rolul si unitate cercului conturul de cazacest in luat fiind imaginare axei rolul discret, in timp sistemelepentru si facute fipot reasemanatoa iiConsiderat

larg. sensin stabil este sistemul imaginara axa pe simpli poli are Daca

stang. semiplanulin gasesc se sai polii totidaca sisau inumitorulugraduldecat egalsau mic mai estesau luinumaratoru gradul daca

stabilstrict sistemun eazacaracteriz transfer de Functia

=

sH

sH

Criterii de stabilitate algebrice( )

( ) ( ) ( )( )

negativa. reala parte desunt sale radacinile toateatunci Hurwitzstrict este Daca

:atunci simple radacini are polinomul Daca larg. sensin Hurwitz polinomun este atunci

imaginara axa pe simple radacini are cacomplex.Da planului alstang semiplanulin radacinile toateare care reali icoeficient

cuploinomulHurwitz,strict polinom numeste Se D1.

1 121

2

sQ

asassssQ

sQ

p

i

q

llli∏ ∏

= =++−=

6

pozitivi.strict sunt binoamelor iiCoeficient0 estelor Produsul

02 estelor Suma :forma desunt 0 ecuatiilor Radacinile

pozitivi.strict sunt monoamelor iicoeficient

212

222

1

212

ll

lll

ll

llll

ii

asas.a

.a.j,asas

ssRs

++

>β+α=

<α=−β±α=++

−⇒∈ −

Toti coeficientii unui polinom strict Hurwitz suntstrict pozitivi. Toti coeficientii unui polinomHurwitz in sens larg sunt pozitivi.

Aceste conditii nu sunt si suficiente.

Criteriul de stabilitate al lui HurwitzConditia necesara si suficienta ca toate radacinile ecuatiei :

sa aiba partea reala strict negativa este ca pentru , toti determinantii minori principali in diagonala ai determinantului sa fie strict pozitivi.

( ) 011

10 =++++= −−

nnnn asa...sasasQ

00 >a

n

n

a.

...

.....

.

....

...aa

...aaa

...aaa

...aaaa

...aaaa

0

000000000

31

642

531

6420

7531

7

Determinantul are n linii si n coloane. Strictapozitivitate a minorilor asigura stricta stabilitate a sistemului care are la numitorul functiei de transferpolinomul Q(s). Daca unul dintre minori este nul atunci sistemul este stabil in sens larg. Daca unuldintre minori este negativ atunci sistemul este instabil.

Exemplu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

stabil. este considerat sistemul ,1,5 k 0 Deoarece

0243

3 0

410

17

01

00

0 3410 0 01071 0 0341

08

107103410010710341

05410

1071341

0

037141

01:tuluideterminan ai diagonalain principali minorii calculeaza Se

341000107100341000107100341

5 Hurwitz. lui criteriul aplica Se stabil. fie sa puteaar -s Sistemul pozitivi.strict sunt iiCoeficient 3 si

10 4 7 1 1 :sunt ipolinomulu iiCoeficient31047

2:este

sistemului a transfer de Functia nule. initiale conditiicu 231047

:ladiferentiaecuatiadedescris sistemului eastabilitat analizeaza Se

____

454

31

420

531

3

215

5

432102345

2

2

3

3

4

4

5

5

=>Δ

>=Δ==Δ>===Δ>====Δ

>==Δ>=Δ=Δ

==

=====+++++

=

=+++++

,

.....,...aaaaaaaa

,,

.n.a

a,a,a,a,asQ.sssss

sH

txtydt

tdydt

tyddt

tyddt

tyddt

tyd

k

8

Analiza stabilitatii sistemelor cureactie negativa

Motorv(t) θ(t)Input

voltagePlatform angular position

K+

-+ Motor θ(t)θD

K= K1⋅K2

Motorul de curent continuu actioneaza

platforma

Schema sistemului in bucla deschisa.

Sistem cu reactie pentru fixarea telescopului.

Schema sistemului in bucla inchisa.

Avantajele sistemelor in bucla inchisaInsensibilitate la perturbatii,Nu e necesar sa avem cunostinte amanuntite despre sistem.Alte aplicatii ale sistemelor in bucla inchisaControlul proceselor chimice,Controlul temperaturii,Sisteme aerospatiale.

Exemplu de sistem instabil, ce poate fi stabilizat prin reactie negativa.

9

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

1 1

1

; ;

Eliminand si :

1 1

V s X s U s Y s V s H s U s G s Y s

U s V s Y s X s G s Y s H s

Y s Y s Y s H sG s H s Q s

X s X s X s H s G s

= − = ⋅ = ⋅

= − ⋅

⎡ ⎤= − ⋅ ⇒ = =⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

Sisteme liniare cu reactie negativa

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

; 1 1

Produsul reprezinta functia de transfer in bucla deschisa.Sistemul in bucla deschisa este strict stabil daca radacinile ecuatiei 1 0 au partea reala strict n

Y s H s Y z H zQ s

X s H s G s X z H z G z

W s H s G s

W s

= = =+ +

=

+ = egativa.

10

Cateva aplicatii si consecinte ale reactiei

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

1

1

11

Sistemul invers

Cunoscand se doreste sintetizarea sistemului invers, si

Functia de transfer a sistemului cu reactie este O valoare mare

a castigului poate fi

KP s

P s / P s . H s K G s P s .

KQ sKP s P s

K

= =

= ≅+

obtinuta cu ajutorul unui amplificator operational.Exemplu. Sistemul direct este un derivator implementat cu ajutorul unui condensator (curentul prin

condensator este proportional cu derivata caderii ( )

( ) ( )( )

1

de tensiune de pe condensator ). Sistemul

invers trebuie sa fie un integrator, =

P s sC

Y sQ s - .

X s sRC

=

=

K

P(s)

x(t) y(t)+

-+

X(s) Y(s)x(t) y(t)X(s) Y(s)

R+

-C

K→ ∞

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

1

Compensarea unor caracteristici neideale ale unor elemente de circuit

Castig constant intr-o banda de frecvente pornind de la un amplificator cu

variabil in acea banda. Pentru s j

H

H sG s K Q s Q j

KH s

= ω

ω

= ⇒ = ⇒ ω+

( )( )

( )

( ) ( )

1

1

1

Daca in banda de frecvente de interes este satisfacuta conditia atunci

H jKH j

KH j

Q j Q ctK

ω=

+ ω

ω

ω ≡ ω ≅ =

11

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0

1

Stabilizarea sistemelor instabile

, Incluzand acest sistem intr-o bucla, cu

se obtine functia de transfer a sistemului cu reactie

Polul sistemului cu reactie este

bH s a . G s K ,s a

H s bQ s .KH s s a Kb

= > =−

= =+ − −

Acesta este situat in semiplanul stang daca

In acest caz sistemul in bucla inchisa este stabil. Un astfel de sistem, la care marimeade reactie este proportionala cu marimea de iesire se

ps a Kb.

Kb a.

= −

>cu reactie numeste s proportioistem nala.

( ) ( )( )2

Al doilea exempluFunctia de transfer a oscilatorului are poli simpli situati pe axa imaginara.

Ca si in primul exemplu, in cazul unei reactii proportionale se

obtine un sistem in bucla inc

bH s . G s Ks a

= =+

( )( )

( )

2

20

2 20 0

0

20 0

hisa cu functia de sistem

Studiul sistemelor de ordinul 2, a caror functie de transfer generala este

a aratat ca ele sunt stabile daca si daca , adica daca exis

t

bQ s .s a Kb

Q ss s

=+ +

ω=

+ ξω +ω

ω > ξ >

( ) ( ) 20

0

ta atenuare.

Analizand comparativ si s rezulta ca nu putem influenta prin reactie proportionala decat

Nu vom putea deci stabiliza oscilatorul numai prin reactie proportionala. DtQ s Q

deoarece .ω

ξ =

( ) ( )( )1 2

2 1

1 2

2

0 0

derivativa.

e aceea

includem in bucla de reactie si o componenta

Sistemul in bucla inchisa este stabil daca si

bG s K . Q s .s bK s a K b

a K b

K s

bK .

= + =+ + +

+ > >

12

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

11 1

1 1211 2 1 2 1

12 1 1 12

Al treilea exemplu

Stabilitatea se obtine daca p p

H zH z G z z . Q z

G z H zz z

z . z .

−− −

= = β = =+− − −β

= −β < ⇔ < β <

11-2z-1

2βz-1

e[n]x[n] y[n]+

-+

Instabilitati cauzate de reactieLa microfon nu ajunge numai semnalul vocal ce provine de la vorbitor ci si un semnal nedorit de la difuzor. Apare astfel o bucla de reactie. Daca faza celor doua semnale este potrivita se produce inta

1

2

rirea sunetului generat de difuzor, pana la saturatia acestuia.

atenuarea datorata propoagarii sunetului prin aer.

- durata propagarii semnalului de la difuzor la microfon.

K amplificarea,KT

−−

K2e-sT

K1

AmplificatorDifuzor Microfon

K1

K2e-sT

intrariaudio de la vorbitor

+

+

+

intrari audio totale la microfon

intrari audio de ladifuzor (nedorite)

iesiri ladifuzor

K1

+

-+

-K2e-sT

( ) ( )11 2 1 2 1 2

1 2

2

1 0 0 11

- conditie de instabilitate

Pe masura ce distanta dintre difuzor si microfon creste, atenuarea datorata aerului creste si deci scade, sistemul

sT sTsT

KQ s K K e e K K s K K .

K K eK

−−

= ⇒ − = ⇔ = ⇔ > ⇒ >−

putand deveni stabil.

13

Criteriul de stabilitate Nyquist

Utilizarea criteriului de stabilitate Hurwitz presupune cunoastereaexpresiei functiei de transfer in bucla inchisa a sistemului cu reactie. Exista situatii cand aceasta functie de transfer nu este cunoscuta. De exemplu in cazul identificarii experimentale a unui sistem cu reactie, cand pot fi identificate doar raspunsurile in frecventa H si G. In acestecazuri poate fi folosit criteriul lui Nyquist.

Sisteme cu reactie cu castigvariabil

( )( )

( )( ) ( )1

Y s KH sX s KH s G s

=+

( )( )

( )( ) ( )1

Y s H sX s KH s G s

=+

( ) ( )

Localizarea polilor functiei de transfer in bucla inchisa presupune rezolvarea ecuatiei1 H s G sK

⋅ = −

14

( ) ( ) 1Solutiile ecuatiei depind de valoarea lui .

Pot fi determinate valori ale lui pentru care sistemul cu reactie sa fie stabil. Pe baza criteriului lui Nyquist pot fi determinate aceste valo

H s G s KK

K

⋅ = −

( ) ( )( )

ri prin examinarea functiei Reprezentarea grafica

in planul a acestei functii poarta numele de hodograf al lui In scopul formularii criteriului lui Nyquist se enunta in prealabil principi

G j H j .

s W s .

ω ω

ul variatiei argumentului, care da informatii despre hodograful unei functii complexe de variabila complexa.

Principiul variatiei argumentului

( )( ) ( )( )

( ){ } { } { }1 2

0 0 1 0 2

Cand conturul este parcurs in sens orar valorile functiei parcurg conturul corespunzator.

Daca, de exemplu:

si 0 :

Se estimeaza valoarea variatiei lui

CW s

W s K s s s s

K arg W s arg s s arg s s

arg W

= − −

> = − + −

( ){ }0

1

cand

parcurge odata conturul Vectorul se roteste complet in jurul originii. Variatia unghiului pe care il face cu axa reala este de -2 La parcurgerea completa a conturului

variatia ungh

s s

C . v

. Cπ

( )

2iului format de cu axa reala este nula. Deci la o parcurgere completa a conturului de catre variatia argumentului lui este de -2

vC s

W s .π

15

( ) ( ) ( ) ( ){ } { } { }( )

( )

021 2 1 22

Cand parcurge odata conturul in sens orar argumentul lui variaza cu -4 . In general, daca in interiorul conturului se gaseste un zero al lui

cu ordin

KW s K s s s s arg W s arg s s arg s s

s C W sC

W s

>= − − ⇒ = − + −

π

( ) ( )( ){ } ( ){ }( )

1

1 1

ul de multiplicitate atunci contributia acestuia la variatia

argumentului lui este de -2 De aceea inconjoara de ori

originea planului

m

W s m . W s m

Re W s ,Im W s .

π

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 21 21 2 1 2

1 2 1 2, ... in interiorul conturului iar , ,... in exteriorul sau.

Cand parcurge odata conturul in sens orar argumentul lui

p p p nm m m mm m

p p p n

p p p n

W s K s s s s ... s s s s s s ... s s

s s , s C s s s

s C W s

+ +

+ +

+ +

= − − − − − −

( ) ( )

( ){ } ( ){ }( )1 2 1 2

variaza cu

-2 si inconjoara de ori originea

planului in sens orar

p pm m ... m W s m m ... m

Re W s ,Im W s .

π + + + + + +

16

( ) ( )( )( ){ } { } { } { } { }{ }( ) { }( ) ( ){ }( )

( )( ) ( )

( ){ }( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) 11 2

1 21 2

1 2 1 2

1 2

21 2

1 2 1

in interiorul conturului iar in exteriorul sau.

2 ; 0 ; 2 ;

; 4

p pn nn np p

KW s , s C ss s s s

arg W s arg s s arg s s arg v arg v

arg v arg v arg W s

KW s arg W ss s s s

KW ss s s s ... s s s s .+

+

=− −

= − − − − = − −

Δ = − π Δ = Δ = π

= Δ = π− −

=− − − − ( )

( ){ }( ) ( )1 2 1 2

1 2

, ... in interiorul conturului iar , ,... in exteriorul sau.

2

qnq

p p p q

p

.. s s

s s , s C s s s

arg W s n n ... n .

+ +

Δ = π + + +

Re

Implanul “s”

0

s

θ1

θ2

C

s1s2

Re

Im planul “W”

0Arg{W(s)}

Enunt

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 2

1 2 1

11 2

1 2 1

1 2 1 2, , ..., si , , ... in interiorul conturului iar restul

radacinilor in exteriorul sau.

q q r

q q r

t t u

t t u

q t

m mm m mz z z z z

n n nn np p p p p

z z z p p p

K s s s s ... s s s s ... s sW s

s s s s ... s s s s ... s s

s s s s s s C

+

+

+

+

− − − − −=

− − − − −

( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }( )

1 2 1 2

1 2

La o parcurgere completa a conturului in sens trigonometric variatia

argumentului lui este de 2

si deci se roteste in jurul originii planului

de

t q

t

C

W s n n ... n m m ... m

W s Re W s ,Im W s

n n ... n

π + + + − − − −

+ + + 1 2 ori, in sens orar.qm m ... m− − − −

17

( )Atunci cand un contur inchis , din planul este parcurs o singura data in sens orar, hodograful fractiei rationale inconjoara originea in sens orar de un numar de ori egal cu numarul de zerouri

C s,W s

( )

( )

minus numarul de poli ai lui din interiorul conturului In numarare, polii si zerourile se vor considera

cu tot cu ordinul lor de multiplicitateDaca unul dintre zerourile lui se gaseste co

.pe W

C

s

W s .

( ) ( )( )

nturul atunci acesta

contribuie la variatia argumentului lui cu - . Daca unul dintre polii lui

se gaseste pe conturul atunci acesta contribuie la variatia argumentului lui cu .

C

W s W s

C W s

π

π

( )( ) ( ) 1 1 2 32

1 1 3 1 31 12 2 2 21 1

Exemplu

cu zeroul si polii , , sW s j j .

s s s

−= β = α = − α = − + α = − −

+ + +

a) nu exista poli sau zerouri in interior sideci nu se inconjoara originea de catre W.

Re

Im

C1Re

Im W

Re

Im

C2Re

Im W

b) exista un pol in interior si W inconjoaraoriginea o data, in sens antiorar.

Re

Im

C3

Re

ImW

c) exista trei poli in interiorul conturuluiC si W inconjoara originea de 3 ori, in

sens antiorar.

Re

Im

C4 Re

ImW

d) exista un pol si un zero in interiorul conturului C. W nu inconjoara originea, diferenta dintre nr. de zerouri si cel de poli

fiind nula.

18

Re

Im

C5

Re

Im W

e) exista trei poli si un zerou in interiorul conturului C. W inconjoara originea de 2 ori, in sens antiorar, deoarece nr. zerouri-

nr. poli=-2.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Pentru ca sistemul in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca toate radacinile ecuatiei 1 1sa aiba partea reala negativa. Functia nu trebuie sa aiba zerouri in semiplanul

drept. Nu

KH s G s

R s H s G sK

+

= +

marul zerourilor din semiplanul drept poate fi determinat cu ajutorul criteriului variatiei argumentului.

( ) ( )

Cand conturul incercuieste semiplanul dreptsi include si axa imaginara. Pentru portiunea din conturul

ocupata de axa imaginara se transforma in cu modificandu-se intre - si , adica i

M C

C R s R j

→ ∞

ω

ω ∞ ∞

( ) ( )

( )

( )

n hodografullui . Considerand ca este o functie rationalacu gradul numaratorului mai mic sau egal decat gradulnumitorului : constant

Valoarea lui este cos

R s R s

lim R s

R s→∞

=

( )( )

nstanta pe portiunea semicircularaa conturului care inconjuara semiplanul drept.Pentru reprezentarea lui cand parcurge conturul

este suficienta reprezentarea hodografului

CR s , s C

R j .ω

0=

19

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

1 Pentru reprezentarea hodografului este suficienta

reprezentarea hodografului Conturul incercuieste toate zerourile lui

din semiplanul drept. Reprezentand grafic hodog

R j G j H j . R jK

G j H j . C

R s

ω = + ω ⋅ ω ω

ω ⋅ ω

( )( ){ } ( ){ }( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

raful lui se poate determina

de cate ori incercuieste el originea planului Polii lui sunt

1identici cu polii lui Daca inconjuara

originea de un anumit numar d

R s

Re R s ,Im R s . R s

H s G s . R j G j H j . R jK

ω − = ω ω ω

( ) ( )e ori atunci inconjoara punctul de coordonate

1- 0 de acelasi numar de ori si in acelasi sens.K

G j H j

,

ω ω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

( )

cu modificandu-se de la - la - hodograf Nyquist al sistemului in bucla deschisa.

nu trebuie sa aiba

G j H j

R s

ω ⋅ ω ω ∞ ∞

zerouri in semiplanul drept sau pe axa imaginara pentru ca sistemul in bucla inchisa sa fie stabil. De aceea hodograful Nyquist trebuie sa

1inconjoare punctul de coordonate - 0 in sens anti-oraK

,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( )

r de un numar de ori egal

cu 2

- numarul polilor din semiplanul drept ai lui

- numarul polilor de pe axa imaginara ai lui

Ci

i

C

nn .

n H s G s ,

n H s G s .

+

20

Enuntul criteriului de stabilitateNyquist

Conditia necesara si suficienta ca sistemul in bucla inchisaconsiderat sa fie strict stabil este ca numarul de incercuiri ale

1punctului de coordonate - 0 de catre hodograful Nyquist K

al sistemu

,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

( ) ( )

lui in bucla deschisa in sens antiorar cand se modifica de la - la sa fie egal cu numarul polilor lui din semiplanul drept si de pe axa imaginara,

adica cu + . 2C

i

H j G j,

H s G snn

ω ω

ω ∞ ∞

Observatii( ) ( )1 Daca sistemul in bucla deschisa este stabil atunci nu are poli

in semiplanul drept si nici pe axa imaginara. Deci hodograful Nyquist alsistemului in bucla deschisa nu trebuie sa incercuiasca pu

. H s G s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )( ){ }( ) ( ){ }

nctul de 1coordonate 0

2 Deoarece si sunt functii reale

si deci

si

Hodograful Nyquist pe

* *

* * * *

** *

, .K

. h t g t H j G j H j G j

H j G j H j G j H j G j H j G j

arg H j G j arg H j G j arg H j G j

arg H j G j

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

− ω − ω = ω ω

− ω − ω = ω ω = ω ω = ω ω

− ω − ω = ω ω = ω ω =

= − ω ω

( )( ) ( )

( )

ntru domeniul de variatie a lui intervalul - ,0 se

obtine prin simetrie fata de axa reala a planului complex din hodograful Nyquist pentru domeniul de variatie a lui cuprins in intervalul0,

H s G s

.

ω ∞

ω

21

Exemple( ) ( )1 11 ; Exista doua modalitati de constructie a hodografului sistemului

1 0 5 1in bucla deschisa. Prima se bazeaza pe caracteristicile Bode ale sistemului in bucla deschisa iar

cea de a doua

. G s H s .s , s

= =+ +

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( ) ( ){ }

foloseste valorile si sau valorile

si

H G arg H G Re H G

Im H G .

ω ω ω ω ω ω

ω ω

Deoarece sistemul in bucla deschisa este stabil pentruca si sistemul in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca sa nu fie incercuit punctul de

1coordonate 0

1 10 sau 1

0 sau 1 adi

, .K

K KK K

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

− < − >

> > − ca 1K .> −

22

( ) ( ) ( )( ) ( )

22 1

1 2

1

Un sistem in bucla deschisa instabil, avand un pol in semiplanul drept:

Pentru ca sistemul in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca punctul critic sa fie inconjurat de ho

.s

G s H ss s

- / K

+=

− +

σ =1 1 0

0 1 1

dograf o singura data, in sens invers acelor de ceasornic. Acest lucru se obtine daca: , ceea ce inseamna

si , adica / K

K K K .− < − <

> > >

σ-1

ω=-∞ω=+∞ω=0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 23. Ne reintoarcem la exemplul sistemului acustic. Fie si

Modulul este unitar iar argumentul are expresia

Deoarece sistemul in bucla deschisa este stabil

st jsT

j T

K K K G s H s e e .

G j H j e . T .

− + π−

− ω +π

= = − =

ω ω = − ω + π

1 2

1 2

1 11

, hodograful Nyquist nu are voie sa incercuiasca

punctul critic sau Deoarece si au semnificatia de atenuari acustice, sunt pozitive

Sistemul in bucla deschisa este stabil daca

/ K , K . K KK K .

− <

<

-1/K

Im

Reω=0-1/K

23

Cazul polilor sistemului in bucladeschisa situati pe axa imaginara

( ) ( )( )

cu timpacelasiin 0 raza de semicercun -printr imaginara, axa pe de polulocolit fie saincat fel asain modificat, C, conturul considera se

anterioare cazurilein ca fel la uiargumentul variatieicriteriul aplica aPentru

1

1 imaginara. axa pe pol unui cazul Consideram

.M,

.ss

sHsG

∞→→ε

+=

Im

Re

C+jM

-jM

M

planul s

ε

-jε ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }

Nyquist. uihodograful a verticala

asimptota este 1 adica ,1 si1

11

1

:Avem . raza de semicerculpentru si imaginara axapentru numaiNyquist hodograful trasamsa deci Trebuie .-la la de trece cand

uiargumentul a variatieo nici aparenu deci si constanta o esterazadecerculpeprodusuluiValoarea

0

22

−=σ−=ωω

+ωω=

+ωω=ωω

ε

∞∞ω

→ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω+ωπ

jHjGRelim

ejj

jHjG

MGH

j

arctgsgnj

.razadesemicerculpeprodusuluiacomportaredeterminam sa Ramane ε

Re

Im

-1 -1/K

Raza tindela ∞

ω→0+

ω=-∞ω=+∞

ω→0-

Arg{}→π/2

Arg{}→-π/2

nula. este 1- polulde cauzata unghiului variatiazero,spretinderazaDeoarece ε

Im

Re~2 arctgε→0

-1

εjε

-jε

θ

( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( )( ) ( ){ }

. raza de semicercul pe 0 la 0la de trecese cand atunciorar sensin 180cu ihodogrfulu a

rasucire o inseamna Aceasta sau

22

deci si semicerc pe schimbIn

-

00

ε=ω=ω

°π−=ωω

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−−

π−=θ−θ−=ωωΔ

θ−=ωω

+

=ω=ω −+

.jHjGΔArg

jHjGArg

jHjGArg

24

Re

Im

-1 -1/K

Raza tindela ∞

ω→0+

ω=-∞ω=+∞

ω→0-

Arg{}→π/2

Arg{}→-π/2

.KK

.

CK

0sau 01 avem sa trebuieca Rezulta

inchisa. buclain sistemului eastabilitat avea apentru hodograf, de inconjurat fie sa nu trebuie

critic punctul consecintaIn raza de semicerculcu dreaptaprin l-ocolindu afara,in lasat am-l deoarece

origine,din polulmacar nici afla senu considerat conturului interiorulin ca mentiunea face vom

, castigulpentru admisevaloriledeterminaaPentru

><−

ε

Cazul sistemelor in timp discret( ) ( ) ( )

( )

0

Pentru ca sistemul in timp discret in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca nici1un zero al ecuatiei : 0 sa nu fie in afara cercului unitate.

1Fie :

Daca este un zero (

R z G z H zK

R̂ z R .z

z

= + =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

( )

( )

0

00

1pol) al lui atunci este un zero (pol) al lui

1Daca 1 atunci 1 Orice zero (pol) al lui din exteriorul cercului

unitate este un zero (pol) al lui situat in interiorul cercului un

ˆR z R z .z

z . R zz

R̂ z

> <

( ) ( ){ } ( ){ }( )

itate.Conform principiului variatiei argumentului daca parcurge odata cercul

unitate in sens orar atunci incercuieste originea planului

in sens orar de un numar de ori egal cu diferent

zˆ ˆ ˆR z Re R z ,Im R z

( )

( ) ( )( )

a dintre numarul de zerouri si de poli

ai lui situati in interiorul cercului unitate. 1Pe cercul unitate si . De aceea .

Evaluarea lui , cand parcurge odata cercul unit

j j j j

R̂ z

ˆz e e R e R ez

R̂ z z

Ω − Ω Ω − Ω= = =

( )ar in sens orar, este identica

cu evaluarea lui cand parcurge odata cercul unitar in sens antiorar.R z , z

25

Enuntul criteriului lui Nyquist pentru sisteme in timp discret

Conditia necesara si suficienta pentru ca sistemul in bucla inchisa sa fie stabil este ca numarul de incercuiri in sens

1antiorar ale punctului de coordonate - 0 de catre hodograful K

Nyquist al l

,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( )

ui cand se modifica de la 0 la 2

trebuie sa fie egal cu numarul polilor lui care se gasesc in exteriorul cercului unitate.

j jG e H e

H z G z

Ω Ω Ω π

Exemple

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

( ).,,K

.KK

KK

K/

eHeGArg.eHeG

,,

v.ev

evv

eeeHeG

zzz

zzHzG.

jjjj

jj

jj

jj

10021pentru stabil ramane

inchisa buclain sistemul concluzieIn 021sau 10 unde

de 21sau 11 ,consecintaIn Nyquist. hodograful de inconjurat

fie sa nu trebuie 1critic punctul stabil, fie sa inchisa sistemul si capentru ca rezulta stabil, este deschisa buclain sistemul Cum ori. 2 de

originea inconjuara se ca inseamna ce ceea ,4 fiind uiargumentul a maxima valoareaorar, cel este uihodograful al parcurgere de sensul

Deoarece 2 2

0 la atare Ca respectiv. si 0pentru obtin se si 1/2 si

3/2sunt lui ale minima si maxima Valorile 11

21

1

21

1

211

1

21

2221

1

2

2121

∪⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈

<<−<<

>−−<−

π−

θ+θ−==π

=Ωπ=Ω=Ω

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

=

ΩΩΩΩ

θ+θ−θ+θ−

ΩΩ

ΩΩ

ZC

v1

v2

Re

Im

1θ2

θ1

Re

Im

-1/K

-1/K-1 22/3

Ω=0, 2πΩ=π

G(ejΩ)H(ejΩ)

26

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

( )( ) ( ){ }

Nyquist. hodograful la verticala

asimptota este 23

23

241

12

1/2. este modulul 2 si 2

Pentru si 32 asemenea De 1.cu egal este modulul deci si 1

3 La si 11 unitar. cercului interiorulin polul lasa care ,0 raza de semicercun adaugand , unitar, cercului

conturul modifica Se 1

1 unitate. cercul pe deschisa buclain sistemului al pol Un 2

00

22

2

32

221

−=−=Ω−

=⇒Ω−

Ω−Ω−Ω

=⇒=π−=⇒π=θ⇒π=Ω

π−=π=θ=

π=Ωθ+Ω−==⇒=

→ε−

=

→Ω

ΩΩ

→Ω

ΩΩπ=Ω

ΩΩ

π=ΩΩΩ

ΩΩΩΩθ+Ω−ΩΩ

x.coslimeHeGRelimcos

cossincos

eHeGReveHeGArg

.eHeGArg/v

/.eHeGArgv

eHeGevv

eHeG

C

.zz

zHzG.

Hospital'ljj

jjjj

/jj

jjjjjjj

Im

Re2π-2arctgε→2π

C

θ=-π/2

θ=π/2 θε

Re

Im

1

1

v2Ω

θ

ejΩ

1

v1

Re

Im

-3/2

-1/K

Ω→0+

Ω→2π-

Ω=πΩ=π/3

Ω=5π/31-1 1/2

Im

Re2π-2arctgε→2π

C

θ=-π/2

θ=π/2 θε

Re

Im

1

1

v2Ω θ

ej

Ω

1

v1

( ) ( ){ }

1.K0sau 11 avem sa trebuie

stabil, ramana sa inchisa buclain sistemul caPentru 0 la 2 la de trece cand atunci orar, sensin

infinit, la pe originea inconjoara hodograful ca inseamna ce ceea 22

variatieo sufera argumentul ca asa 2

la 2

la de creste orar, sensin 0 semicercul parcurgem Cand

-

0

<<−<−

πΩ

π−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−=Δ

ππ−θ→ε

+

→ΩΩΩ

K

.

,eHeGArg jj

27

Marginile de amplificare si de faza

Uneori este interesant sa se stie, pentru un sistem stabil, in cemasura poate fi modificata amplificarea sistemului si cedefazaj suplimentar poate fi introdus in sistem in asa fel incatel sa ramana stabil.

Se numeste margine de amplificare a sistemului din stanga, valoarea minima a lui pentru care sistemul din dreapta, pentru 0 devine instabil.

Se numeste margine de faza a sistemului din stanga, valoaK ϕ =

( ) ( )

rea minima a lui pentru1 pentru care sistemul din dreapta devine instabil.

1 0

Prin modificarea lui sau a lui unul dintre polii funct

j j j

,K ,

H e G e K e

K

ω ω − ϕ

ϕ=

+ ⋅ ⋅ ⋅ =

ϕ

( ) ( )0

0 0

iei de transfer in buclainchisa poate ajunge pe axa imaginara, in punctul j :

1jKe H j G j− ϕ

ω

ω ω = −

28

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

( ) ( ) .jHjG

K

.jHjGArge

.ejHjGK,

.s,s,ss

ssHsG

jHjGjArg

jHjGjArg

11

111 1

00

2

1 este eamplificar de Rezerva negativa. reala axacu uihodograful aintersecti loc are

frecventa La 1 :care la frecventa Fie negativa. fie sa complexa laexponentia canecesar este pozitivisunt stang membruldin factori 2 primii Deoarece

1:devine ecuatia 0Pentru negativa. reala axacu uihodograful aintersecti la critic puctul la de reala, axa pe

distanta, fi vaeamplificar de Rezerva ui.hodograful exteriorulin ramana sa critic punctul canecesar este stabil ramana sa inchisa buclain sistemul capentru stabil, este deschisa buclain sistemul Deoarece

1250050121

2114

Exemplu.

11

00

ωω=

ωπ−=ωω⇔−=ω

−=ωω

+++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

ωω

ωω

( ) ( )( ) ( ){ }.jHjGArg

.jHjGω

22

222

:fi vafaza de Rezerva1 care la frecventa Fie

ωω−π=ϕ

=ωω