Stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp · acestei ecuatii poate fi dificila. De...
Transcript of Stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp · acestei ecuatii poate fi dificila. De...
1
Stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp
In continuare ne vom referi la sisteme liniare si invariante in timp cauzale.
Analiza stabilitatii in domeniul timp
IMEM ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
marginit. devinesau raspunsullimitata durata de marginite semnalecu
excitat este Daca stabil. estenu Sistemul
.nemarginit semnal 1 :marginit
excitatie de semnalun Fie ; 1
0
0
,Ctd
Ctu
i
diC
tu
t
t
=ττσ=
⇒τσ=τ
ττ=
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤=⇒−σ−σ=
rest.in
0
,CT
Tt,Ct
tuTttti
2
Sistemele care raspund cu semnale marginite la excitatii marginitede durata nelimitata si cu semnale nemarginite la excitatii marginitede durata nelimitata se numesc stabile in sens larg.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ]
[ ]
[ ]larg. sensin stabildiscret in timp sistemun este ulAcumulator
11
111 0
0 0
11
; ul.Acumulator
0
0
0
.NnyNn
;NnnyNn
.nyn
NkkknnyNnnnx
.nny
kkxknkxny.nnh
N
k
n
k
k
n
k
k
+==⇒≥
+<+==⇒<≤
=⇒<
−σ−σ−σ=⇒−σ−σ=
+==⇒
⇒σ=−σ=σ=
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
∞
−∞=
=
∞
−∞=
Analiza stabilitatii in domeniulfrecventa
Cazul sistemelor in timp continuu
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ){ } ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) marginite.sunt si semnalele dacamarginit este Semnalul
cu
Daca
21
21
2121
2121
021
1
21
1
11
110
11
10
11
10
21
21
tytyty.tytyty
.tytythtxthtxty.thththsHsH
ss...sssssPscsH
ss...sssssQ
.sQgrsPgr
;sQsPcsc...scscsH.nm
.bsb...sbsbasa...sasa
sQsPsH
nm
k rp
rrk
knm
rp
rr
nmnmnmnm
nnnn
mmmm
p
p
+≤
+=∗+∗=+=⇔+=
=−−−
+=⇒
⇒−−−=
<
+++++=>
++++++++
==
∑−
=−−
−−−−−−
−−
−−
3
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) .nemarginit fi poate marginit este Desi
in nemarginit 2
1
pe contine l-care inchis interval orice pemarginit este
marginite.sunt derivate sale primele sicat semnalulatat dacamarginit este Semnalul
Dar
1
00
0
0
00
1
001
01
1
001
01
tytx
.ttttt
ttt'x
.ttttx
nmtxty
txctxcty
txctytx...tt'xttx
:
ttxctctxtytcth
nm
k
kknm
nm
k
kknm
nm
k
kknm
kkk
nm
k
kknm
nm
k
kknm
nm
k
kknm
−−
⋅−
=
−=
−
≤=
=⇒==δ∗=δ∗
δ∗=δ∗=⇒δ=
∑∑
∑
∑∑∑
−
=−−
−
=−−
−
=−−
−
−
=−−
−
=−−
−
=−−
Marginirea lui y1(t)
( ) ( )( ) ( )
1
1 adica dacaCONDITIE NECESARA DE STABILITATE :Gradul numaratorului
Marginirea lui asigura marginirea lui
doar dac
functiei de transfer sa fiemai mic sau egal decat gradul numit ul
.
or
a
m n
x t y
y t c
t
x t m n−= ≤
ui.
4
Marginirea lui y2(t)( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ){ } { } { } { }{ }
( )
( ) (
) ( ).tetA...teAeA
...etA...teAeA
etA...teAeAth
thsRe,...,sRe,sRemaxsRe
ss
A...
ssA
ssA
...ss
A...
ssA
ssA
ssA
...ss
Ass
AsH
tsrpr
tsp
tsp
tsrr
tsts
tsrr
tsts
p
rp
pr
p
p
p
p
rr
rr
ppp
pp
p
p
σ+++
+++++
++++=
>
−++
−+
−
++−
++−
+−
+−
++−
+−
=
−
−
−
121
122221
1112112
2
21
221
2
22
2
22
2
21
1
12
1
12
1
112
222
22
111
11
22
11
: si cauzal
este impuls la raspunsulcu sistemul Daca
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( ) { } .k,sRet xty
.Re
.deMdMedtxetxteαt
ty
.txtetA...txtteAtxteA
...txtetA...txtteAtxteA
txtetA...txtteAtxteAty
.txtetA...txtteAtxteA
...txtetA...txtteAtxteA
txtetA...txtteAtxteAthtxty
k
llltl
tsrpr
tsp
tsp
tsrr
tsts
tsrr
tsts
tsrpr
tsp
tsp
tsrr
tsts
tsrr
tsts
ppp
pp
pp
p
pp
_____
2
000
2
121
122221
1112112
121
122221
11121122
p1, 0 daca simarginit este dacamarginit este
0:casuficient este marginita fie sa integrala aceasta caPentru
marginita. functie o estedrept membruldin termen fiecare dacamarginit este Semnalul
:Deci22
222
111
11
222
22
111
11
=∀<
<β
ττα=ττα≤ττ−τα=∗σ
∗σ++∗σ+∗σ
++∗σ++∗σ+∗σ
+∗σ++∗σ+∗σ≤
∗σ++∗σ+∗σ
++∗σ++∗σ+∗σ+
+∗σ++∗σ+∗σ=∗=
∫∫∫∞ βτ∞ βτ∞ βτβ
−
−
−
−
−
−
5
( )
( )
ecuatia.rezolvaafara transfer defunctieipolilor alocalizare permita sa care estabilitat de
criteriielaborat au -s aceea De dificila. fi poate ecuatii acestei rezolvarea 2,decat mare mai este Q ipolinomulu gradul Daca
0.Q ecuatiei rezolvarea la revine transfer de functieipolilor aLocalizare unitate. cercului uiinteriorul revenind
stang uisemiplanul rolul si unitate cercului conturul de cazacest in luat fiind imaginare axei rolul discret, in timp sistemelepentru si facute fipot reasemanatoa iiConsiderat
larg. sensin stabil este sistemul imaginara axa pe simpli poli are Daca
stang. semiplanulin gasesc se sai polii totidaca sisau inumitorulugraduldecat egalsau mic mai estesau luinumaratoru gradul daca
stabilstrict sistemun eazacaracteriz transfer de Functia
=
sH
sH
Criterii de stabilitate algebrice( )
( ) ( ) ( )( )
negativa. reala parte desunt sale radacinile toateatunci Hurwitzstrict este Daca
:atunci simple radacini are polinomul Daca larg. sensin Hurwitz polinomun este atunci
imaginara axa pe simple radacini are cacomplex.Da planului alstang semiplanulin radacinile toateare care reali icoeficient
cuploinomulHurwitz,strict polinom numeste Se D1.
1 121
2
sQ
asassssQ
sQ
p
i
q
llli∏ ∏
= =++−=
6
pozitivi.strict sunt binoamelor iiCoeficient0 estelor Produsul
02 estelor Suma :forma desunt 0 ecuatiilor Radacinile
pozitivi.strict sunt monoamelor iicoeficient
212
222
1
212
ll
lll
ll
llll
ii
asas.a
.a.j,asas
ssRs
++
>β+α=
<α=−β±α=++
−⇒∈ −
Toti coeficientii unui polinom strict Hurwitz suntstrict pozitivi. Toti coeficientii unui polinomHurwitz in sens larg sunt pozitivi.
Aceste conditii nu sunt si suficiente.
Criteriul de stabilitate al lui HurwitzConditia necesara si suficienta ca toate radacinile ecuatiei :
sa aiba partea reala strict negativa este ca pentru , toti determinantii minori principali in diagonala ai determinantului sa fie strict pozitivi.
( ) 011
10 =++++= −−
nnnn asa...sasasQ
00 >a
nΔ
n
n
a.
...
.....
.
....
...aa
...aaa
...aaa
...aaaa
...aaaa
0
000000000
31
642
531
6420
7531
=Δ
7
Determinantul are n linii si n coloane. Strictapozitivitate a minorilor asigura stricta stabilitate a sistemului care are la numitorul functiei de transferpolinomul Q(s). Daca unul dintre minori este nul atunci sistemul este stabil in sens larg. Daca unuldintre minori este negativ atunci sistemul este instabil.
nΔ
Exemplu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
stabil. este considerat sistemul ,1,5 k 0 Deoarece
0243
3 0
410
17
01
00
0 3410 0 01071 0 0341
08
107103410010710341
05410
1071341
0
037141
01:tuluideterminan ai diagonalain principali minorii calculeaza Se
341000107100341000107100341
5 Hurwitz. lui criteriul aplica Se stabil. fie sa puteaar -s Sistemul pozitivi.strict sunt iiCoeficient 3 si
10 4 7 1 1 :sunt ipolinomulu iiCoeficient31047
2:este
sistemului a transfer de Functia nule. initiale conditiicu 231047
:ladiferentiaecuatiadedescris sistemului eastabilitat analizeaza Se
____
454
31
420
531
3
215
5
432102345
2
2
3
3
4
4
5
5
=>Δ
>=Δ==Δ>===Δ>====Δ
>==Δ>=Δ=Δ
==
=====+++++
=
=+++++
,
.....,...aaaaaaaa
,,
.n.a
a,a,a,a,asQ.sssss
sH
txtydt
tdydt
tyddt
tyddt
tyddt
tyd
k
8
Analiza stabilitatii sistemelor cureactie negativa
Motorv(t) θ(t)Input
voltagePlatform angular position
K+
-+ Motor θ(t)θD
K= K1⋅K2
Motorul de curent continuu actioneaza
platforma
Schema sistemului in bucla deschisa.
Sistem cu reactie pentru fixarea telescopului.
Schema sistemului in bucla inchisa.
Avantajele sistemelor in bucla inchisaInsensibilitate la perturbatii,Nu e necesar sa avem cunostinte amanuntite despre sistem.Alte aplicatii ale sistemelor in bucla inchisaControlul proceselor chimice,Controlul temperaturii,Sisteme aerospatiale.
Exemplu de sistem instabil, ce poate fi stabilizat prin reactie negativa.
9
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
1 1
1
; ;
Eliminand si :
1 1
V s X s U s Y s V s H s U s G s Y s
U s V s Y s X s G s Y s H s
Y s Y s Y s H sG s H s Q s
X s X s X s H s G s
= − = ⋅ = ⋅
= − ⋅
⎡ ⎤= − ⋅ ⇒ = =⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
Sisteme liniare cu reactie negativa
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
; 1 1
Produsul reprezinta functia de transfer in bucla deschisa.Sistemul in bucla deschisa este strict stabil daca radacinile ecuatiei 1 0 au partea reala strict n
Y s H s Y z H zQ s
X s H s G s X z H z G z
W s H s G s
W s
= = =+ +
=
+ = egativa.
10
Cateva aplicatii si consecinte ale reactiei
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
1
1
11
Sistemul invers
Cunoscand se doreste sintetizarea sistemului invers, si
Functia de transfer a sistemului cu reactie este O valoare mare
a castigului poate fi
KP s
P s / P s . H s K G s P s .
KQ sKP s P s
K
= =
= ≅+
obtinuta cu ajutorul unui amplificator operational.Exemplu. Sistemul direct este un derivator implementat cu ajutorul unui condensator (curentul prin
condensator este proportional cu derivata caderii ( )
( ) ( )( )
1
de tensiune de pe condensator ). Sistemul
invers trebuie sa fie un integrator, =
P s sC
Y sQ s - .
X s sRC
=
=
K
P(s)
x(t) y(t)+
-+
X(s) Y(s)x(t) y(t)X(s) Y(s)
R+
-C
K→ ∞
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
1
Compensarea unor caracteristici neideale ale unor elemente de circuit
Castig constant intr-o banda de frecvente pornind de la un amplificator cu
variabil in acea banda. Pentru s j
H
H sG s K Q s Q j
KH s
= ω
ω
= ⇒ = ⇒ ω+
( )( )
( )
( ) ( )
1
1
1
Daca in banda de frecvente de interes este satisfacuta conditia atunci
H jKH j
KH j
Q j Q ctK
ω=
+ ω
ω
ω ≡ ω ≅ =
11
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
0
1
Stabilizarea sistemelor instabile
, Incluzand acest sistem intr-o bucla, cu
se obtine functia de transfer a sistemului cu reactie
Polul sistemului cu reactie este
bH s a . G s K ,s a
H s bQ s .KH s s a Kb
= > =−
= =+ − −
Acesta este situat in semiplanul stang daca
In acest caz sistemul in bucla inchisa este stabil. Un astfel de sistem, la care marimeade reactie este proportionala cu marimea de iesire se
ps a Kb.
Kb a.
= −
>cu reactie numeste s proportioistem nala.
( ) ( )( )2
Al doilea exempluFunctia de transfer a oscilatorului are poli simpli situati pe axa imaginara.
Ca si in primul exemplu, in cazul unei reactii proportionale se
obtine un sistem in bucla inc
bH s . G s Ks a
= =+
( )( )
( )
2
20
2 20 0
0
20 0
hisa cu functia de sistem
Studiul sistemelor de ordinul 2, a caror functie de transfer generala este
a aratat ca ele sunt stabile daca si daca , adica daca exis
t
bQ s .s a Kb
Q ss s
=+ +
ω=
+ ξω +ω
ω > ξ >
( ) ( ) 20
0
ta atenuare.
Analizand comparativ si s rezulta ca nu putem influenta prin reactie proportionala decat
Nu vom putea deci stabiliza oscilatorul numai prin reactie proportionala. DtQ s Q
deoarece .ω
ξ =
( ) ( )( )1 2
2 1
1 2
2
0 0
derivativa.
e aceea
includem in bucla de reactie si o componenta
Sistemul in bucla inchisa este stabil daca si
bG s K . Q s .s bK s a K b
a K b
K s
bK .
= + =+ + +
+ > >
12
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
11 1
1 1211 2 1 2 1
12 1 1 12
Al treilea exemplu
Stabilitatea se obtine daca p p
H zH z G z z . Q z
G z H zz z
z . z .
−− −
= = β = =+− − −β
= −β < ⇔ < β <
11-2z-1
2βz-1
e[n]x[n] y[n]+
-+
Instabilitati cauzate de reactieLa microfon nu ajunge numai semnalul vocal ce provine de la vorbitor ci si un semnal nedorit de la difuzor. Apare astfel o bucla de reactie. Daca faza celor doua semnale este potrivita se produce inta
1
2
rirea sunetului generat de difuzor, pana la saturatia acestuia.
atenuarea datorata propoagarii sunetului prin aer.
- durata propagarii semnalului de la difuzor la microfon.
K amplificarea,KT
−−
K2e-sT
K1
AmplificatorDifuzor Microfon
K1
K2e-sT
intrariaudio de la vorbitor
+
+
+
intrari audio totale la microfon
intrari audio de ladifuzor (nedorite)
iesiri ladifuzor
K1
+
-+
-K2e-sT
( ) ( )11 2 1 2 1 2
1 2
2
1 0 0 11
- conditie de instabilitate
Pe masura ce distanta dintre difuzor si microfon creste, atenuarea datorata aerului creste si deci scade, sistemul
sT sTsT
KQ s K K e e K K s K K .
K K eK
−−
= ⇒ − = ⇔ = ⇔ > ⇒ >−
putand deveni stabil.
13
Criteriul de stabilitate Nyquist
Utilizarea criteriului de stabilitate Hurwitz presupune cunoastereaexpresiei functiei de transfer in bucla inchisa a sistemului cu reactie. Exista situatii cand aceasta functie de transfer nu este cunoscuta. De exemplu in cazul identificarii experimentale a unui sistem cu reactie, cand pot fi identificate doar raspunsurile in frecventa H si G. In acestecazuri poate fi folosit criteriul lui Nyquist.
Sisteme cu reactie cu castigvariabil
( )( )
( )( ) ( )1
Y s KH sX s KH s G s
=+
( )( )
( )( ) ( )1
Y s H sX s KH s G s
=+
( ) ( )
Localizarea polilor functiei de transfer in bucla inchisa presupune rezolvarea ecuatiei1 H s G sK
⋅ = −
14
( ) ( ) 1Solutiile ecuatiei depind de valoarea lui .
Pot fi determinate valori ale lui pentru care sistemul cu reactie sa fie stabil. Pe baza criteriului lui Nyquist pot fi determinate aceste valo
H s G s KK
K
⋅ = −
( ) ( )( )
ri prin examinarea functiei Reprezentarea grafica
in planul a acestei functii poarta numele de hodograf al lui In scopul formularii criteriului lui Nyquist se enunta in prealabil principi
G j H j .
s W s .
ω ω
ul variatiei argumentului, care da informatii despre hodograful unei functii complexe de variabila complexa.
Principiul variatiei argumentului
( )( ) ( )( )
( ){ } { } { }1 2
0 0 1 0 2
Cand conturul este parcurs in sens orar valorile functiei parcurg conturul corespunzator.
Daca, de exemplu:
si 0 :
Se estimeaza valoarea variatiei lui
CW s
W s K s s s s
K arg W s arg s s arg s s
arg W
= − −
> = − + −
( ){ }0
1
cand
parcurge odata conturul Vectorul se roteste complet in jurul originii. Variatia unghiului pe care il face cu axa reala este de -2 La parcurgerea completa a conturului
variatia ungh
s s
C . v
. Cπ
( )
2iului format de cu axa reala este nula. Deci la o parcurgere completa a conturului de catre variatia argumentului lui este de -2
vC s
W s .π
15
( ) ( ) ( ) ( ){ } { } { }( )
( )
021 2 1 22
Cand parcurge odata conturul in sens orar argumentul lui variaza cu -4 . In general, daca in interiorul conturului se gaseste un zero al lui
cu ordin
KW s K s s s s arg W s arg s s arg s s
s C W sC
W s
>= − − ⇒ = − + −
π
( ) ( )( ){ } ( ){ }( )
1
1 1
ul de multiplicitate atunci contributia acestuia la variatia
argumentului lui este de -2 De aceea inconjoara de ori
originea planului
m
W s m . W s m
Re W s ,Im W s .
π
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 21 21 2 1 2
1 2 1 2, ... in interiorul conturului iar , ,... in exteriorul sau.
Cand parcurge odata conturul in sens orar argumentul lui
p p p nm m m mm m
p p p n
p p p n
W s K s s s s ... s s s s s s ... s s
s s , s C s s s
s C W s
+ +
+ +
+ +
= − − − − − −
( ) ( )
( ){ } ( ){ }( )1 2 1 2
variaza cu
-2 si inconjoara de ori originea
planului in sens orar
p pm m ... m W s m m ... m
Re W s ,Im W s .
π + + + + + +
16
( ) ( )( )( ){ } { } { } { } { }{ }( ) { }( ) ( ){ }( )
( )( ) ( )
( ){ }( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 11 2
1 21 2
1 2 1 2
1 2
21 2
1 2 1
in interiorul conturului iar in exteriorul sau.
2 ; 0 ; 2 ;
; 4
p pn nn np p
KW s , s C ss s s s
arg W s arg s s arg s s arg v arg v
arg v arg v arg W s
KW s arg W ss s s s
KW ss s s s ... s s s s .+
+
=− −
= − − − − = − −
Δ = − π Δ = Δ = π
= Δ = π− −
=− − − − ( )
( ){ }( ) ( )1 2 1 2
1 2
, ... in interiorul conturului iar , ,... in exteriorul sau.
2
qnq
p p p q
p
.. s s
s s , s C s s s
arg W s n n ... n .
+ +
−
Δ = π + + +
Re
Implanul “s”
0
s
θ1
θ2
C
s1s2
Re
Im planul “W”
0Arg{W(s)}
Enunt
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 2
1 2 1
11 2
1 2 1
1 2 1 2, , ..., si , , ... in interiorul conturului iar restul
radacinilor in exteriorul sau.
q q r
q q r
t t u
t t u
q t
m mm m mz z z z z
n n nn np p p p p
z z z p p p
K s s s s ... s s s s ... s sW s
s s s s ... s s s s ... s s
s s s s s s C
+
+
+
+
− − − − −=
− − − − −
( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }( )
1 2 1 2
1 2
La o parcurgere completa a conturului in sens trigonometric variatia
argumentului lui este de 2
si deci se roteste in jurul originii planului
de
t q
t
C
W s n n ... n m m ... m
W s Re W s ,Im W s
n n ... n
π + + + − − − −
+ + + 1 2 ori, in sens orar.qm m ... m− − − −
17
( )Atunci cand un contur inchis , din planul este parcurs o singura data in sens orar, hodograful fractiei rationale inconjoara originea in sens orar de un numar de ori egal cu numarul de zerouri
C s,W s
( )
( )
minus numarul de poli ai lui din interiorul conturului In numarare, polii si zerourile se vor considera
cu tot cu ordinul lor de multiplicitateDaca unul dintre zerourile lui se gaseste co
.pe W
C
s
W s .
( ) ( )( )
nturul atunci acesta
contribuie la variatia argumentului lui cu - . Daca unul dintre polii lui
se gaseste pe conturul atunci acesta contribuie la variatia argumentului lui cu .
C
W s W s
C W s
π
π
( )( ) ( ) 1 1 2 32
1 1 3 1 31 12 2 2 21 1
Exemplu
cu zeroul si polii , , sW s j j .
s s s
−= β = α = − α = − + α = − −
+ + +
a) nu exista poli sau zerouri in interior sideci nu se inconjoara originea de catre W.
Re
Im
C1Re
Im W
Re
Im
C2Re
Im W
b) exista un pol in interior si W inconjoaraoriginea o data, in sens antiorar.
Re
Im
C3
Re
ImW
c) exista trei poli in interiorul conturuluiC si W inconjoara originea de 3 ori, in
sens antiorar.
Re
Im
C4 Re
ImW
d) exista un pol si un zero in interiorul conturului C. W nu inconjoara originea, diferenta dintre nr. de zerouri si cel de poli
fiind nula.
18
Re
Im
C5
Re
Im W
e) exista trei poli si un zerou in interiorul conturului C. W inconjoara originea de 2 ori, in sens antiorar, deoarece nr. zerouri-
nr. poli=-2.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Pentru ca sistemul in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca toate radacinile ecuatiei 1 1sa aiba partea reala negativa. Functia nu trebuie sa aiba zerouri in semiplanul
drept. Nu
KH s G s
R s H s G sK
+
= +
marul zerourilor din semiplanul drept poate fi determinat cu ajutorul criteriului variatiei argumentului.
( ) ( )
Cand conturul incercuieste semiplanul dreptsi include si axa imaginara. Pentru portiunea din conturul
ocupata de axa imaginara se transforma in cu modificandu-se intre - si , adica i
M C
C R s R j
→ ∞
ω
ω ∞ ∞
( ) ( )
( )
( )
n hodografullui . Considerand ca este o functie rationalacu gradul numaratorului mai mic sau egal decat gradulnumitorului : constant
Valoarea lui este cos
R s R s
lim R s
R s→∞
=
( )( )
nstanta pe portiunea semicircularaa conturului care inconjuara semiplanul drept.Pentru reprezentarea lui cand parcurge conturul
este suficienta reprezentarea hodografului
CR s , s C
R j .ω
0=
19
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
1 Pentru reprezentarea hodografului este suficienta
reprezentarea hodografului Conturul incercuieste toate zerourile lui
din semiplanul drept. Reprezentand grafic hodog
R j G j H j . R jK
G j H j . C
R s
ω = + ω ⋅ ω ω
ω ⋅ ω
( )( ){ } ( ){ }( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
raful lui se poate determina
de cate ori incercuieste el originea planului Polii lui sunt
1identici cu polii lui Daca inconjuara
originea de un anumit numar d
R s
Re R s ,Im R s . R s
H s G s . R j G j H j . R jK
ω − = ω ω ω
( ) ( )e ori atunci inconjoara punctul de coordonate
1- 0 de acelasi numar de ori si in acelasi sens.K
G j H j
,
ω ω
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )
( )
cu modificandu-se de la - la - hodograf Nyquist al sistemului in bucla deschisa.
nu trebuie sa aiba
G j H j
R s
ω ⋅ ω ω ∞ ∞
zerouri in semiplanul drept sau pe axa imaginara pentru ca sistemul in bucla inchisa sa fie stabil. De aceea hodograful Nyquist trebuie sa
1inconjoare punctul de coordonate - 0 in sens anti-oraK
,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )( ) ( )
r de un numar de ori egal
cu 2
- numarul polilor din semiplanul drept ai lui
- numarul polilor de pe axa imaginara ai lui
Ci
i
C
nn .
n H s G s ,
n H s G s .
+
20
Enuntul criteriului de stabilitateNyquist
Conditia necesara si suficienta ca sistemul in bucla inchisaconsiderat sa fie strict stabil este ca numarul de incercuiri ale
1punctului de coordonate - 0 de catre hodograful Nyquist K
al sistemu
,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )
( ) ( )
lui in bucla deschisa in sens antiorar cand se modifica de la - la sa fie egal cu numarul polilor lui din semiplanul drept si de pe axa imaginara,
adica cu + . 2C
i
H j G j,
H s G snn
ω ω
ω ∞ ∞
Observatii( ) ( )1 Daca sistemul in bucla deschisa este stabil atunci nu are poli
in semiplanul drept si nici pe axa imaginara. Deci hodograful Nyquist alsistemului in bucla deschisa nu trebuie sa incercuiasca pu
. H s G s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )( ){ }( ) ( ){ }
nctul de 1coordonate 0
2 Deoarece si sunt functii reale
si deci
si
Hodograful Nyquist pe
* *
* * * *
** *
, .K
. h t g t H j G j H j G j
H j G j H j G j H j G j H j G j
arg H j G j arg H j G j arg H j G j
arg H j G j
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
− ω − ω = ω ω
− ω − ω = ω ω = ω ω = ω ω
− ω − ω = ω ω = ω ω =
= − ω ω
( )( ) ( )
( )
ntru domeniul de variatie a lui intervalul - ,0 se
obtine prin simetrie fata de axa reala a planului complex din hodograful Nyquist pentru domeniul de variatie a lui cuprins in intervalul0,
H s G s
.
ω ∞
ω
∞
21
Exemple( ) ( )1 11 ; Exista doua modalitati de constructie a hodografului sistemului
1 0 5 1in bucla deschisa. Prima se bazeaza pe caracteristicile Bode ale sistemului in bucla deschisa iar
cea de a doua
. G s H s .s , s
= =+ +
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( ) ( ){ }
foloseste valorile si sau valorile
si
H G arg H G Re H G
Im H G .
ω ω ω ω ω ω
ω ω
Deoarece sistemul in bucla deschisa este stabil pentruca si sistemul in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca sa nu fie incercuit punctul de
1coordonate 0
1 10 sau 1
0 sau 1 adi
, .K
K KK K
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
− < − >
> > − ca 1K .> −
22
( ) ( ) ( )( ) ( )
22 1
1 2
1
Un sistem in bucla deschisa instabil, avand un pol in semiplanul drept:
Pentru ca sistemul in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca punctul critic sa fie inconjurat de ho
.s
G s H ss s
- / K
+=
− +
σ =1 1 0
0 1 1
dograf o singura data, in sens invers acelor de ceasornic. Acest lucru se obtine daca: , ceea ce inseamna
si , adica / K
K K K .− < − <
> > >
jω
σ-1
ω=-∞ω=+∞ω=0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1 23. Ne reintoarcem la exemplul sistemului acustic. Fie si
Modulul este unitar iar argumentul are expresia
Deoarece sistemul in bucla deschisa este stabil
st jsT
j T
K K K G s H s e e .
G j H j e . T .
− + π−
− ω +π
= = − =
ω ω = − ω + π
1 2
1 2
1 11
, hodograful Nyquist nu are voie sa incercuiasca
punctul critic sau Deoarece si au semnificatia de atenuari acustice, sunt pozitive
Sistemul in bucla deschisa este stabil daca
/ K , K . K KK K .
− <
<
-1/K
Im
Reω=0-1/K
23
Cazul polilor sistemului in bucladeschisa situati pe axa imaginara
( ) ( )( )
cu timpacelasiin 0 raza de semicercun -printr imaginara, axa pe de polulocolit fie saincat fel asain modificat, C, conturul considera se
anterioare cazurilein ca fel la uiargumentul variatieicriteriul aplica aPentru
1
1 imaginara. axa pe pol unui cazul Consideram
.M,
.ss
sHsG
∞→→ε
+=
Im
Re
C+jM
-jM
M
planul s
ε
jε
-jε ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }
Nyquist. uihodograful a verticala
asimptota este 1 adica ,1 si1
11
1
:Avem . raza de semicerculpentru si imaginara axapentru numaiNyquist hodograful trasamsa deci Trebuie .-la la de trece cand
uiargumentul a variatieo nici aparenu deci si constanta o esterazadecerculpeprodusuluiValoarea
0
22
−=σ−=ωω
+ωω=
+ωω=ωω
ε
∞∞ω
→ω
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω+ωπ
−
jHjGRelim
ejj
jHjG
MGH
j
arctgsgnj
.razadesemicerculpeprodusuluiacomportaredeterminam sa Ramane ε
Re
Im
-1 -1/K
Raza tindela ∞
ω→0+
ω=-∞ω=+∞
ω→0-
Arg{}→π/2
Arg{}→-π/2
nula. este 1- polulde cauzata unghiului variatiazero,spretinderazaDeoarece ε
Im
Re~2 arctgε→0
-1
εjε
-jε
θ
( ) ( ){ }
( ) ( ){ } ( )( ) ( ){ }
. raza de semicercul pe 0 la 0la de trecese cand atunciorar sensin 180cu ihodogrfulu a
rasucire o inseamna Aceasta sau
22
deci si semicerc pe schimbIn
-
00
ε=ω=ω
°π−=ωω
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π−−
π−=θ−θ−=ωωΔ
θ−=ωω
+
=ω=ω −+
.jHjGΔArg
jHjGArg
jHjGArg
24
Re
Im
-1 -1/K
Raza tindela ∞
ω→0+
ω=-∞ω=+∞
ω→0-
Arg{}→π/2
Arg{}→-π/2
.KK
.
CK
0sau 01 avem sa trebuieca Rezulta
inchisa. buclain sistemului eastabilitat avea apentru hodograf, de inconjurat fie sa nu trebuie
critic punctul consecintaIn raza de semicerculcu dreaptaprin l-ocolindu afara,in lasat am-l deoarece
origine,din polulmacar nici afla senu considerat conturului interiorulin ca mentiunea face vom
, castigulpentru admisevaloriledeterminaaPentru
><−
ε
Cazul sistemelor in timp discret( ) ( ) ( )
( )
0
Pentru ca sistemul in timp discret in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca nici1un zero al ecuatiei : 0 sa nu fie in afara cercului unitate.
1Fie :
Daca este un zero (
R z G z H zK
R̂ z R .z
z
= + =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )
( )
( )
0
00
1pol) al lui atunci este un zero (pol) al lui
1Daca 1 atunci 1 Orice zero (pol) al lui din exteriorul cercului
unitate este un zero (pol) al lui situat in interiorul cercului un
ˆR z R z .z
z . R zz
R̂ z
> <
( ) ( ){ } ( ){ }( )
itate.Conform principiului variatiei argumentului daca parcurge odata cercul
unitate in sens orar atunci incercuieste originea planului
in sens orar de un numar de ori egal cu diferent
zˆ ˆ ˆR z Re R z ,Im R z
( )
( ) ( )( )
a dintre numarul de zerouri si de poli
ai lui situati in interiorul cercului unitate. 1Pe cercul unitate si . De aceea .
Evaluarea lui , cand parcurge odata cercul unit
j j j j
R̂ z
ˆz e e R e R ez
R̂ z z
Ω − Ω Ω − Ω= = =
( )ar in sens orar, este identica
cu evaluarea lui cand parcurge odata cercul unitar in sens antiorar.R z , z
25
Enuntul criteriului lui Nyquist pentru sisteme in timp discret
Conditia necesara si suficienta pentru ca sistemul in bucla inchisa sa fie stabil este ca numarul de incercuiri in sens
1antiorar ale punctului de coordonate - 0 de catre hodograful K
Nyquist al l
,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )( ) ( )
ui cand se modifica de la 0 la 2
trebuie sa fie egal cu numarul polilor lui care se gasesc in exteriorul cercului unitate.
j jG e H e
H z G z
Ω Ω Ω π
Exemple
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )
( ).,,K
.KK
KK
K/
eHeGArg.eHeG
,,
v.ev
evv
eeeHeG
zzz
zzHzG.
jjjj
jj
jj
jj
10021pentru stabil ramane
inchisa buclain sistemul concluzieIn 021sau 10 unde
de 21sau 11 ,consecintaIn Nyquist. hodograful de inconjurat
fie sa nu trebuie 1critic punctul stabil, fie sa inchisa sistemul si capentru ca rezulta stabil, este deschisa buclain sistemul Cum ori. 2 de
originea inconjuara se ca inseamna ce ceea ,4 fiind uiargumentul a maxima valoareaorar, cel este uihodograful al parcurgere de sensul
Deoarece 2 2
0 la atare Ca respectiv. si 0pentru obtin se si 1/2 si
3/2sunt lui ale minima si maxima Valorile 11
21
1
21
1
211
1
21
2221
1
2
2121
∪⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−∈
<<−<<
>−−<−
−
π−
θ+θ−==π
=Ωπ=Ω=Ω
==
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+
=
ΩΩΩΩ
θ+θ−θ+θ−
ΩΩ
ΩΩ
−
−
ZC
v1
v2
Re
Im
1θ2
θ1
Re
Im
-1/K
-1/K-1 22/3
Ω=0, 2πΩ=π
G(ejΩ)H(ejΩ)
26
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )
( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
( )( ) ( ){ }
Nyquist. hodograful la verticala
asimptota este 23
23
241
12
1/2. este modulul 2 si 2
Pentru si 32 asemenea De 1.cu egal este modulul deci si 1
3 La si 11 unitar. cercului interiorulin polul lasa care ,0 raza de semicercun adaugand , unitar, cercului
conturul modifica Se 1
1 unitate. cercul pe deschisa buclain sistemului al pol Un 2
00
22
2
32
221
−=−=Ω−
=⇒Ω−
Ω−Ω−Ω
=⇒=π−=⇒π=θ⇒π=Ω
π−=π=θ=
π=Ωθ+Ω−==⇒=
→ε−
=
→Ω
ΩΩ
→Ω
ΩΩπ=Ω
ΩΩ
π=ΩΩΩ
ΩΩΩΩθ+Ω−ΩΩ
x.coslimeHeGRelimcos
cossincos
eHeGReveHeGArg
.eHeGArg/v
/.eHeGArgv
eHeGevv
eHeG
C
.zz
zHzG.
Hospital'ljj
jjjj
/jj
jjjjjjj
Im
Re2π-2arctgε→2π
C
θ=-π/2
θ=π/2 θε
Re
Im
1
1
v2Ω
θ
ejΩ
1
v1
Re
Im
-3/2
-1/K
Ω→0+
Ω→2π-
Ω=πΩ=π/3
Ω=5π/31-1 1/2
Im
Re2π-2arctgε→2π
C
θ=-π/2
θ=π/2 θε
Re
Im
1
1
v2Ω θ
ej
Ω
1
v1
( ) ( ){ }
1.K0sau 11 avem sa trebuie
stabil, ramana sa inchisa buclain sistemul caPentru 0 la 2 la de trece cand atunci orar, sensin
infinit, la pe originea inconjoara hodograful ca inseamna ce ceea 22
variatieo sufera argumentul ca asa 2
la 2
la de creste orar, sensin 0 semicercul parcurgem Cand
-
0
<<−<−
πΩ
π−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π
−=Δ
ππ−θ→ε
+
→ΩΩΩ
K
.
,eHeGArg jj
27
Marginile de amplificare si de faza
Uneori este interesant sa se stie, pentru un sistem stabil, in cemasura poate fi modificata amplificarea sistemului si cedefazaj suplimentar poate fi introdus in sistem in asa fel incatel sa ramana stabil.
Se numeste margine de amplificare a sistemului din stanga, valoarea minima a lui pentru care sistemul din dreapta, pentru 0 devine instabil.
Se numeste margine de faza a sistemului din stanga, valoaK ϕ =
( ) ( )
rea minima a lui pentru1 pentru care sistemul din dreapta devine instabil.
1 0
Prin modificarea lui sau a lui unul dintre polii funct
j j j
,K ,
H e G e K e
K
ω ω − ϕ
ϕ=
+ ⋅ ⋅ ⋅ =
ϕ
( ) ( )0
0 0
iei de transfer in buclainchisa poate ajunge pe axa imaginara, in punctul j :
1jKe H j G j− ϕ
ω
ω ω = −
28
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
( ) ( ) .jHjG
K
.jHjGArge
.ejHjGK,
.s,s,ss
ssHsG
jHjGjArg
jHjGjArg
11
111 1
00
2
1 este eamplificar de Rezerva negativa. reala axacu uihodograful aintersecti loc are
frecventa La 1 :care la frecventa Fie negativa. fie sa complexa laexponentia canecesar este pozitivisunt stang membruldin factori 2 primii Deoarece
1:devine ecuatia 0Pentru negativa. reala axacu uihodograful aintersecti la critic puctul la de reala, axa pe
distanta, fi vaeamplificar de Rezerva ui.hodograful exteriorulin ramana sa critic punctul canecesar este stabil ramana sa inchisa buclain sistemul capentru stabil, este deschisa buclain sistemul Deoarece
1250050121
2114
Exemplu.
11
00
ωω=
ωπ−=ωω⇔−=ω
−=ωω
=ϕ
+++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
ωω
ωω
( ) ( )( ) ( ){ }.jHjGArg
.jHjGω
22
222
:fi vafaza de Rezerva1 care la frecventa Fie
ωω−π=ϕ
=ωω