STABILITATEA SISTEMELOR

download STABILITATEA SISTEMELOR

of 17

Transcript of STABILITATEA SISTEMELOR

STABILITATEA SISTEMELOR

STABILITATEA SISTEMELORProfesor coordonator: Prof.dr.ing. Radu-Emil Precup

Student: Marina-Loredana Stoica

1CuprinsCriterii de apreciere a stabilitatii SL-DAspecte privind analiza stabilitatii sistemelor de reglare automata conventionala cu proces condus continuu si regulator cu timp discret Analiza stabilitatii sistemelor in baza metodei a doua (directe) dupa LiapunovCriteriul Popov pentru analiza stabilitatii unor clase de sisteme neliniare

2IntroducerePentru oricare cititor, termenul sau, ntr-o exprimare general, conceptul de stabilitate a unui sistem (n particular, sistem tehnic) pare intuitiv, chiar expresiv; i totui, pentru un cititor neavizat, termenul este adeseori puin concret. O formulare mai cunoscut i relativ precis a conceptului de stabilitate este cea referitoare la starea de echilibru a unui sistem termodinamic. n acest caz starea de echilibru a sistemului se consider stabil n situaia n care sistemul sub influena unor condiii externe sau interne, cu aciune permanent sau trectoare evolueaz spre o nou stare de echilibru / staionar sau - dup caz - revine la vechea stare de echilibru.Conceptul de stabilitate este utilizat n tehnic tocmai pentru a evidenia proprietatea unui sistem de a-i menine n anumite condiii o stare de echilibru sau de a putea trece de la o stare de echilibru la o alt stare de echilibru. Mai mult, conceptul de stabilitate poate fi referit i la un regim de funcionare (n particular, un punct de funcionare staionar, p.d.f.s.) care se poate dovedi a fi sau a nu fi stabil.Calitatea unui sistem dinamic de a fi stabil se poate manifesta ca urmare a: modificrii unei / unor intrri ale sistemului, modificrii unor parametri ai sistemului, modificrii structurii sistemului.Toate aceste cauze au repercursiuni asupra situaiei, regimului n care s-a aflat sistemuln prealabil modificrii i respectiv efecte asupra evoluiei ieirii (strii).n cadrul acestui capitol vor fi prezentate numai aspecte inginereti referitoare la: definirea conceptului de stabilitate, aspectele de baz ale teoriei stabilitii sistemelor liniare, criterii de verificare a stabilitii sistemelor liniare.31.Criterii de apreciere a stabilitii SL-D Ca i n cazul SL-C, criteriile de apreciere a stabilitii (c.a.s.) bazate pe MM-II sunt de dou tipuri: criterii algebrice, criterii frecveniale (de pulsaie), de regul date prin formulri grafo-analitice. innd seama de specificul amplasrii rdcinilor (polilor) SL-D n planul z, dependent de faptul c sistemul este stabil sau nu, fig.7.6, transpunerea direct a relaiilor de analiz a stabilitii specifice cazului continuu pentru analiza stabilitii SL-D nu este posibil. Din acest motiv prezint interes dou categorii de c.a.s. SL-D: criterii bazate pe extinderea criteriilor algebrice specifice cazului continuu (deexemplu, c.a.s. Hurwitz) pentru cazul sistemelor cu timp discret; criterii specifice sistemelor cu timp discret.

1.1. Extinderea criteriului Hurwitz pentru cazul sistemelor cu timp discretProcedura se bazeaz pe utilizarea unei transformri conforme de forma: sau (1)

care transform toate punctele din interiorul cercului de raz unitate al planului z (puncte ce caracterizeaz un sistem stabil) n puncte situate n semiplanul stng al planului w sau r.4n consecin, plecnd de la f.d.t. a sistemului, H(z), presupus cunoscut, se poatecalcula o f.d.t. pseudocontinu H(r) sau H(w), relaia (2), care va aveaproprietatea c polii afereni respect precizarea anterioar i, apoi, pe aceast baz, sePoate aplica (de exemplu) c.a.s. Hurwitz, devenit astfel extins i pentru cazul SL-D: sau (2)Prin restrngerea prezentrii la una din cele dou transformri (n cazul de fa, r),se obine f.d.t. transformat: (3) cu ecuaia caracteristic:

Cu coeficienii a astfel calculai, stabilitatea SL-D poate fi verificat utiliznd (extinderea) c.a.s.Hurwitz.

5Etapele de aplicare a metodei sunt urmatoarele:Analiza sistemului si determinarea f.t.d. H(z);Avand H(z) (eventual cu unii coeficienti dati ca parametri)cunoscuta, se calculeaza H(r) si H(z);se determin polinomul caracteristic A(r) sau A(w);n continuare, se aplic toate etapele specifice c.a.s. Hurwitz.Concluzia de stabil sau instabil astfel obinut este valabil relativ i lasistemul cu timp discret.Observaie: Relaia de transformare (2) nu trebuie privit ca o readucere apolilor planului z n poli ai sistemului continuu discretizat (cu polinomul caracteristic(s)) ntruct prin aceast transformare nu este evideniat sub nici un fel perioada deeantionare Te. Efectul discretizrii asupra stabilitii sistemului se manifest princonversia iniial continuu (s) discret (z); metoda de analiz prezentat verificdoar acest efect din punct de vedere al stabilitii. 6 1.2. Criteriul Jury de apreciere a stabilitii SL-DEste un criteriu specific sistemelor cu timp discret. Acceptnd c f.d.t. aferentSL-D, H(z), este cunoscut, atunci n baza expresiei ecuaiei caracteristice: (5)se poate construi un tablou al coeficienilor Jury conform tabelului 7.3.

Tabelul 7.3. Tabloul coeficienilor Jury.

7

Coeficienii tabloului se calculeaz utiliznd urmtoarele relaii:

(6)

Avnd la baz tabloul coeficienilor Jury, criteriul de apreciere a stabilitiidup Jury (c.a.s. Jury) se enun dup cum urmeaz:Sistemul liniar cu timp discret care are polinomul caracteristic (7.5.5) este stabil(are toate rdcinile situate n interiorul cercului de raz unitate centrat n origine) dac i numai dac sunt ndeplinite urmtoarele n+1 condiii:(1) > 0, (1)

(3) (4) (n+1)

(1) > 0 , dac n par , (2)< 0 , dac n impar ,

Dei construcia tabloului pare laborioas, dup cteva exersri aplicareacriteriului se dovedete relativ simpl.81.3 Criteriul Nyquist n cazul sistemelor cu timp discretSistemul cu timp discret va fi caracterizat prin f.d.t.:

(7)

i n acest caz, pentru aprecierea stabilitii sistemului se pleac de la f.d.t. H0(z).Principial, n cazul sistemelor cu timp discret criteriul Nyquist se aplic n acelai modca i n cazul continuu; aceasta nseamn c teoria prezentat n paragraful 7.3.2 imenine valabilitatea.Problema particular care se pune se refer la construirea hodografului Nyquisth+{H0}. Exist mai multe variante de determinare (calcul i construcie) a acestuia care,prin aproximrile introduse, conduc la rezultate mai mult sau mai puin exacte [K1].

92. Aspecte privind analiza stabilitii sistemelor de reglareautomat convenional cu proces condus continuu iregulator cu timp discretSituaia specific majoritii aplicaiilor practice de conducere este cea n care: regulatorul (RG) este cu timp discret, caracterizat prin f.d.t. HR(z); procesul condus (PC) este continuu, caracterizat prin f.d.t. HPC(s).Interfaarea dintre cele dou subsisteme, RG i PC este asigurat de: convertorul analog-numeric (CAN), cu echivalentul informaional eantionator +elementul de reinere (ES + ER); convertorul numeric-analogic (CNA), cu echivalentul informaional eantionatorul(ES).Algoritmul de reglare numeric (a.r.n.) specific RG va putea fi obinut: prin discretizarea unei l.d.r. continue (prin MD-A, MD-I, MT sau alte metode)utiliznd o perioad de eantionare fixat, Te; prin proiectare direct, cnd perioada de eantionare Te poate aleas adeseorisubstanial mai mare.10n consecin, analiza stabilitii SRA cu timp discret va impune parcurgereaurmtorilor pai: se precizeaz a.r.n. prin f.d.t. HR(z); se precizeaz PC prin f.d.t. HPC(s); se calculeaz f.d.t. n z a procesului extins cu modulele (ES + ER) i (ES): (1)

se calculeaz f.d.t. n z aferent SRA, Hw(z) i ecuaia caracteristic:

(2)

se aplic etapele specifice criteriului de apreciere a stabilitii apelat.

113. Analiza stabilitii sistemelor n baza metodei a doua(directe) dup LyapunovDup cum s-a menionat, mrimile de stare ale unui sistem caracterizeaztransferurile (schimburile) i acumulrile diferitelor forme ale energiei din sistem; subdiferitele sale forme, energia va fi caracterizat de ptratul mrimilor de stare(fizice). Starea instabil a unui sistem caracterizeaz de regul pierderea echilibruluisau a controlului asupra acumulrilor i schimburilor de energie la nivelul unuisistem (interconectat cu exteriorul). n vederea caracterizrii stabilitii unui sistem artrebui vzut n ce msur este posibil pstrarea echilibrului energetic al sistemului.Exceptnd situaiile relativ simple, o astfel de caracterizare bazat pe explicitareastrii energetice a sistemului fizic se dovedete adeseori dificil.Metoda a doua a lui Lyapunov utilizeaz pentru aprecierea strii energetice asistemului (dinamic) o funcie scalar V de variabil vectorial x, continu n raport cuvariabilele de stare x ale sistemului i pozitiv definit n vecintatea strii de echilibrux0 = 0 (starea de repaos), adic:12 (1)funcia V poart denumirea de funcie Lyapunov.n acest context, stabilitatea sistemului n jurul strii x0 poate fi analizat pe bazaurmtoarelor teoreme (fr demonstraie), particularizate pentru cazul sistemelorliniare:Teorema 1: Starea de repaos a sistemului dinamic continuu descris deecuaia de stare (omogen): x = A x (2)este o stare asimptotic stabil i corespunztor sistemul este asimptotic stabil n raportcu starea x0, dac se poate determina o funcie Lyapunov V astfel ca derivata ei (nraport cu timpul) s fie negativ definit, adic:V(x) < 0 x (3)Teorema 2: Starea de repaos a sistemului dinamic continuu descris deecuaia de stare (7.7.2) este o stare stabil (sistemul este stabil n raport cu starea x0),dac se poate determina o funcie Lyapunov V astfel nct derivata ei s fie negativsemidefinit, adic:V(x) 0 x (4)

13n consecin, n vederea dovedirii stabilitii unui sistem dat este necesar aflarea(gsirea) unei funcii Lyapunov care s verifice condiia (3) (eventual (4)).Cum funcia V nu este unic, este suficient determinarea unei singure funciiLyapunov. Exist numeroase tehnici de generare a funciilor Lyapunov ([B1], [R1],[V1] .a.), succesul aplicrii metodei de analiz a stabilitii regsindu-se adeseori nexperiena specialistului.

4. Criteriul Popov pentru analiza stabilitii unor clase desisteme neliniare +)Criteriul de stabilitate Nyquist este dedicat analizei stabilitii sistemelor liniare.Prezena neliniaritilor face imposibil utilizarea tehnicilor de analiz a stabilitiisistemelor liniare, excepie fcnd situaia n care MM este liniarizabil / liniarizat njurul unui p.d.f.s. i stabilitatea este testat relativ la acest punct de funcionare sau lamici modificri n jurul acestuia.14Pentru cazul unui sistem neliniar (SNL) cu anumite proprieti ale subsistemului/elementului neliniar (NL), criteriul de stabilitate elaborat de V.M. Popov+) ofer ometodologie de analiz a stabilitii foarte apropiat de cea a criteriului Nyquist.Criteriul Popov se aplic uor pentru analiza stabilitii buclelor de reglare careconin un element NL separabil de partea liniar, fig.7.19-a. Acesta este i cazulfrecvent n practic al regulatoarelor tipizate (liniare) pentru care ieirea este limitat,cnd n condiiile intrrii n limitare, SRA poate avea comportri diferite de ceacorespunztoare situaiei liniare, fr limitare; de fapt, aceasta este i principalamotivaie a prezentrii criteriului.n continuare (mai general), se accept c neliniaritatea N(e) poate fi redat de ocaracteristic static (CS) u=f(e) situat n cadranele 1 i 3 i cuprins ntre dreptele depant constant k1 i k2, fig.7.19-b; altfel spus, neliniaritatea este de tip sector.

Fig.7.19. SRA cu neliniaritate separat.15Observaie: Pentru ilustraia din fig.7.19 neliniaritatea apare ca fiind adus deregulator; situaia faptic este ns mai general, n SRA delimitndu-se partealiniar cu f.d.t. H0(s) i partea neliniar, descris de CS N(e).Cteva exemple de neliniariti de tip sector, care se ncadreaz n punereaproblemei, sunt ilustrate n fig.7.20:(a) CS aferent releului ideal (RG bipoziional ideal);(b) CS aferent releului cu histerezis (RG tripoziional ideal);(c) CS aferent elementului proporional cu limitare (elementului cu limitare);(d) CS aferent elementului proporional cu zon de insensibilitate (joc) i limitare.Ipotezele de baz n care este aplicabil criteriul Popov sunt urmtoarele:Partea liniar (separat) a sistemului (buclei de reglare) este caracterizat de f.d.t.H0(s) (form raional) avnd m0 n0 .Partea neliniar (NL) este caracterizat de CS-NL limitat ntre dou drepte depant constant:k1e N(e) k2e . (1)16

Fig.7.20. Neliniariti specifice unor aplicaii practice uzuale (k1 = 0).17