Solomon Marcus-discursReceptie

download Solomon Marcus-discursReceptie

of 37

Transcript of Solomon Marcus-discursReceptie

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    1/37

    SINGURATATEA MATEMATICIANULUI

    Acad. Solomon Marcus

    A fi matematician

    A te pretinde matematician este o cutezan pe care puine persoane ncunotin de cauz i-o pot permite. i-a permis-o Norbert Wiener, n titlulautobiografiei sale, dup ce comunitatea matematic internaional l-arecunoscut ca autor al unor importante noiuni i rezultate matematice i ca undeschiztor de drumuri. Dar un alt autor, Paul R. Halmos, cu o foarte bunreputaie n matematic, ns cu o clas sub aceea a lui Wiener, a fost mai

    prudent i i-a intitulat volumul su de memorii I want to be amathematician(Doresc s fiu matematician). Avem deci n vedere pematematician n ipostaza sa major. Drumul ctre aceast int poate fi oaventur care merit a fi relatat, chiar dac inta nu este efectiv atins.

    Surpriza

    Atunci cnd am devenit membru titular al acestui nalt for de cultur, amdorit s-mi prezint ct mai curnd discursul de recepie. Dar am vrut s vd, n

    prealabil, ce au spus n discursurile lor de recepie profesorii mei. Am cutatdeci discursurile prezentate de Simion Stoilow, Victor Vlcovici, OctavOnicescu, Gheorghe Vrnceanu, Miron Nicolescu, Gheorghe Demetrescu,Grigore C. Moisil, Alexandru Ghika, Nicolae Teodorescu. Le-am cutat i pecele ale colegilor lor din alte centre universitare: Alexandru Myller, OctavMayer, Mendel Haimovici, Tiberiu Popoviciu, Gheorghe Clugreanu.Rezultatul acestei cutri a fost dezamgitor: niciunul dintre ei nu i-a prezentatun discurs de recepie. Faptul se explic, fr ndoial, prin lipsa de libertatecare a existat in Romnia atunci cnd acetia au fost primii n Academie. Dar,chiar aa stnd lucrurile, m simeam oarecum stingherit i tot amnam

    discursul meu.

    Pe vremea cnd G.ieica i rspundea lui G. Enescu

    M aflu acum ntr-un moment n care orizontul meu temporal nu mai estefoarte generos i de aceea m-am decis, dup multe ezitri, s m prezint n faaacestui for, cu o ncercare de recapitulare a unei viei care m umple de mirare.Dac profesorii mei nu i-au inut discursul de recepie, am mers la discursurile

    profesorilor profesorilor mei, ale celor pe care-i consider un fel de bunici

    spirituali. Surpriza nu a lipsit nici aici, dar ea a fost una plcut, plin desemnificaii. n acele vremuri, cultura romneasc avea o anumit unitate.

    1

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    2/37

    Disciplinele nu erau nc ferm constituite iar dialogul lor era modul normal deexisten. Inginerului, matematicianului i pedagogului Petrache Poenaru, care i consacrase discursul de recepie rostit n anul 1871 lui Gheorghe Lazr icolii romneti, i-a rspuns scriitorul George Sion. Fizicianului, chimistului i

    matematicianului Emanoil Bacaloglu, care vorbise la 1880 despre calendar, i-arspuns scriitorul i inginerul Ion Ghica. Discursului despre Spiru Haret, rostitde Gheorghe ieica n 1914, i-a rspuns fizicianul i meteorologul tefan C.Hepites. In 1933, compozitorul George Enescu i prezint discursul desprescriitorul Iacob Negruzzi i despre intrarea muzicii la Academia Romn iarrspunsul este dat de matematicianul Gheorghe ieica. n 1936, matematicianulDimitrie D. Pompeiu i consacr discursul chimistului Petru Poni i mediculuiIoan Cantacuzino, iar rspunsul este dat de un alt medic, Gheorghe Marinescu.

    Putem recupera acest dialog al disciplinelor?Frumoase vremuri! Iat ns c acum ne aflm ntr-o perioad n care, din cu

    totul alte motive dect cele care explic situaia din urm cu o sut ani, dialoguldisciplinelor se impune ca o necesitate major. Ai vzut ns ct mirare a

    produs, n urm cu civa ani, rspunsul dat de un matematician la discursulrostit n aceast aul de un critic literar. Disciplinele au proliferat peste msuri uneori se uit c valoarea lor cultural este dat i de capacitatea lorcomunicaional. Discursul de recepie al unui matematician nu se adreseaznumai colegilor si de breasl, ci ntregii comuniti academice. Nu ascund cam fost tentat de a invita pe un coleg dintr-o alt secie s-mi dea rspunsul; dara nvins dorina de a m adresa cuiva care este martor de multe decenii laitinerarul meu spiritual i care are la activul su o remarcabil oper de creaie,n bun msur interdisciplinar.

    A czut n desuetudine discursul de recepie?

    Trebuie totui s ne ntrebm dac discursul de recepie, n forma satradiional, mai este actual. Dup cum ar fi cazul s ne ntrebm de ce nu se

    mai practic dect rareori lecia de deschidere la cursurile universitare. Amasistat, n aceast Academie, la splendide discursuri de recepie ale unor membride onoare din strintate, n ciuda faptului c pentru ei statutul nu prevede acestdiscurs. Cine poate uita prezena n aceast aul a lingvistului Eugenio Coeriusau a scriitorului Jean Lefvre DOrmesson? Este mai important momentultitularizrii dect cel al primirii n Academie? Dac rspunsul este negativ i

    poate c acesta este cazul atunci n-ar trebui ca momentul primirii n Academies fie i cel al discursului de recepie (cel puin pentru a fi consecveni cudenumirea acestui discurs)?

    2

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    3/37

    Singurtatea matematicii colare

    Rarele bucurii pe care mi le-a oferit matematrica n adolescen au venit nuatt din viaa colar propriu zis, ct din ceea ce am putut afla n timpul meu

    liber. Mult mai puternic s-a dovedit atunci atracia pentru literatur i pentrufilozofie, dar nu ca urmare a celor nvate la coal, ci prin lecturile de acas,din cri care nu fceau parte din programa colar. Prima revelaie oferit dematematic am trit-o abia la vrsta bacalaureatului, cnd am citit ceva despregeometriile neeuclidiene, dar nu din crile de coal. Am realizat, pentru primaoar, frustrarea creia i cad victim cei mai muli copii i adolesceni. Au trecutde atunci peste 60 de ani; in tot acest timp, am urmrit evoluia matematiciicolare. Dincolo de unele ameliorri locale i temporare, la vrsta de 11, 12, 13ani se produce ruptura de pe urma creia cei mai muli elevi resping matematica

    i o consider un fel de pedeaps. Amintindu-ne de ceea ce scria revizorulcolar Eminescu despre predarea matematicii n coal i de nsemnrile luiSpiru Haret, putem conchide c matematica colar triete, de un secol i

    jumtate, ntr-o nemeritat singurtate.

    Facei tabula rasa din matematica colar!

    Am optat, ntr-un moment de mare derut din toamna anului 1944, pentrustudiul matematicii. Chiar de la prima or de curs, am primit de la ProfesorulMiron Nicolescu ndemnul de a face tabula rasa din matematica colar.Desigur, aceste cuvinte nu puteau fi luate ad litteram, dar sensul lor profund midevenise clar. Era o confirmare a impresiei la care ajunsesem la terminarealiceului: adevrata matematic nu este aceea din manualele colare, chiar dacunele cunotine cptate din ele sunt utile. Era o constatare negativ. Darlecturile privind geometriile neeuclidiene i primele ore de curs cu ProfesorulMiron Nicolescu, cel care avea s-mi devin mentor i printe spiritual, au fost

    primii pai spre o nelegere a naturii reale a matematicii. Iniierea n analizamatematic mi-a dezvluit dou aspecte eseniale ale ei, atenia acordat

    proceselor cu o infinitate de etape i discrepana dintre ceea ce devine inteligibil

    prin matematica acestor procese i ceea ce este vizibil, perceptibil pe caledirect. Dar mi-am dat imediat seama c aceste aspecte nu-mi erau necunoscute.Unde le mai ntlnisem? n poezia lumii, de la Eminescu, Arghezi, Blaga iBarbu la Edgar Poe, Baudelaire, Mallarm i Rimbaud. Poezia are acces lainfinitul existenei, la comportamentul ei asimptotic. In acelai timp, ntocmaica i matematica infinitului, poezia transgreseaz locul comun al existeneicotidiene, pentru a ne pune n contact cu aspectele anti-intuitive, paradoxale, aleexistenei. n acest fel mi-am dat seama c veneam spre matematic marcat fiindde lecturile mele literare i filozofice.

    3

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    4/37

    Lecturile din anii 50

    Prima propunere a unei teme de cercetare, din partea Profesorului MironNicolescu, nu m-a entuziasmat. Mi-a dat atunci un articol al lui G.P. Tolstov

    despre comportamentul derivatelor pariale ale unei funcii de dou variabile im-a invitat s-i fac o lectur critic. Aa s-a nscut primul meu articol.Profesorul mi ghicise preferina pentru ceea ce se numea atunci patologiafunciilor reale, un domeniu care se nscuse n secolul al XIX-lea, ca urmare anevoii de decantare i aprofundare a noiunilor de baz ale analizei matematice.Aceast preocupare a cptat amploare n secolul al XX-lea, prin Emile Borel,Henri Lebesgue, Ren Baire i Arnaud Denjoy n Frana, prin coala polonez alui Waclaw Sierpinski, prin ruii N. Luzin, M. Suslin i N. Bary i prin DimitriePompeiu, Simion Stoilow, Alexandru Froda i Miron Nicolescu, n Romnia. In

    anii 50 ai secolului trecut, m-am aplecat cu atenie asupra acestor cercetri iam publicat cteva zeci de articole privind comportamentul anti-intuitiv almulimilor i funciilor reale.

    Interesul pentru mulimile i funciile urte

    Totul era un joc de ateptri frustrate, deoarece fpturile care fceau obiectulcercetrii nu admiteau o reprezentare vizual. Cine se gndete c, atunci cndtraseaz o linie pe o foaie de hrtie, impune liniei respective constrngerisevere, cum ar fi obligaia de a avea o tangent n fiecare punct (eventual, cuexcepia unui numr finit de puncte) i necesitatea ca acea tangent s varieze nmod continuu (eventual, cu excepia unui numr finit de puncte)? Dar icuvntul continuu are n matematic o semnificaie mult mai general dectcorespondentul ei intuitiv. Noiunea general de curb are o inteligibilitateincomparabil mai vast dect partea ei vizibil. ntre inteligibil i vizibil se

    produce o tensiune care nu a scpat filozofilor i cu att mai puin unui filozofmatematician ca Ren Thom: vedem numai continuul (neles ca ceea ce seopune discretului), dar nelegem numai finitul.

    Nu au lipsit criticile care susineau inutilitatea unor preocupri de acest fel.

    Dar istoria nu le-a dat dreptate. Acele mulimi i funcii urte s-au dovedit a fiprecursoare ale obiectelor care aveau s constituie punctul de plecare ngeometria fractal a naturii, propus n anii 70 ai secolului trecut de BenoitMandelbrot. Obiectele fractale se afl peste tot n jurul nostru: norii i coasteleoceanelor, fulgii de zpad i micarea brownian, fenomenele biologice i celefinanciare, literatura fractal i muzica fractal. Baudelaire i, pe urmele sale,Arghezi au introdus urtul n poezie, parc n nelegere cu autorii fractalilor.

    4

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    5/37

    Suntem suma reaciilor celorlali

    Trecerea de la studenie la predare i cercetare a nsemnat, n bun msur,trecerea de la matematica din cursuri i manuale la aceea din monografii, tratate

    i, mai ales, reviste de specialitate. Matematica vie, aceea care te introduce nlaboratorul de lucru al matematicianului, este numai aceea din reviste (cele decercetare, nu de popularizare). n revistele de dat recent, gseti rezultatulcelor mai proaspete frmntri i cutri ale cercettorilor. Imi aduc aminteemoia cu care intram, n anii 50 i 60 ai secolului trecut, n Biblioteca deMatematic a Universitii din Bucureti sau n aceea a Institutului deMatematic al Academiei, avnd mereu ca prim ntrebare: Ce nouti ai mai

    primit? Dar i plcerea de a te cufunda n lectura celor care, ntr-un trecut maimult sau mai puin ndeprtat, au fost chinuii de ntrebri i curioziti

    asemntoare celor de azi, ale tale, nu este de subapreciat. Pstrez i acum zecide caiete in care copiam fragmente din articole care m interesau; era o vremen care, nu numai c nu exista nc internetul, dar nici xeroxul nu apruse iar

    procedee mai rudimentare de copiat erau i ele un lux. Aa mi s-a cristalizatcaracterul de tafet al cercetrii. Porneti de la probleme, idei i rezultate alealtora, ncerci s faci un pas mai departe i, dac reueti sau numai crezi c aireuit, ncerci s transmii altora mesajul tu. Atepi cu nfrigurare reacia lor,

    pentru a testa n acest fel coerena, corectitudinea i interesul mesajuluirespectiv i pentru a vedea n ce fel este, la rndul su, dus mai departe. Aacum un printe este interesat s vad cum evolueaz propria-i odrasl, ca autoral unei lucrri doreti s urmreti ecoul ei. Nu cumva tocmai n aceste reaciiale altora se afl o surs preioas pentru preocuprile tale ulterioare? Nu cumvatocmai n acest dialog generalizat se afl esena activitii de cercetare, acreaiei, n general? Bnuind c rspunsul corect la aceste ntrebri este celafirmativ, m-a preocupat, de la primii pai n cercetare, impactul activitii mele.n msura n care l-am putut urmri (ntr-o vreme n care comunicarea cu lumeaera dificil), l-am nregistrat cu grij iar cele peste o sut de caiete care s-auacumulat n aceast privin fac parte organic din biografia mea intelectual.Acum, internetul faciliteaz considerabil urmrirea acestui aspect. Biografia

    noastr n domeniul creaiei culturale a devenit n mare msur public.

    Anii 1956-1957: umanistica n haine noi

    n 1956 apare articolul lingvistului Noam Chomsky privind trei modelematematice de descriere lingvistic iar n 1957 apare cartea acestuia Syntactic

    structures, n care modelul anterior este detaliat i explicat pe ndelete. Pe dealt parte, n aceiai ani, apar la Moscova cteva articole orientate i ele spre oalian ntre lingvistic i matematic: A. N. Kolmogorov propune un model

    algebric al cazului gramatical, V.A. Uspenski public un model algebric al priide vorbire iar R.L. Dobrushin propune un model algebric al categoriei

    5

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    6/37

    gramaticale. Primele experimente de traducere automat, ncepute nc n anii40, au un caracter predominant ingineresc, dar n 1958 O.S. Kulagina extragedin acest tip de activitate o descriere a noiunilor de baz ale gramaticii pe bazateoriei mulimilor.Tatonarea posibilitilor de traducere automat si de

    documentare automat n Europa occidental, n cadrul Euratom, i n S.U.A.,de exemplu, prin David Hays, conduce, spre sfritul anilor 50 i nceputulanilor 60, la diverse idei de proiectivitate sintactic (Yves Lecerf i alii), o

    provocare interesant pentru teoria grafurilor. n toate aceste activiti suntimplicate esenial logica matematic (gramatica generativ a lui Chomsky este,n esen, un sistem formal n sensul lui Hilbert) i unele capitole decombinatoric (sistemele lui Post i probleme de tipul celor propuse la nceputulsecolului trecut de Axel Thue). Tot din direcie logico-matematic provin ideilelingvistice i logice ale lui Y. Bar-Hillel (1953) i J. Lambek (1958). F. Harary

    i N. Paper propun n 1957 un calcul al distribuiei fonemelor, N. Chomskyprezint n 1958 o analiz a relaiei dintre lingvistic, logic, psihologie icalculatoare; n acelai an, Y, Bar-Hillel analizeaz procedurile de decizie nlimbile naturale. M. Masterman discut n 1957 relaia dintre semantic isintax n traducerea automat. La toate acestea trebuie s adugm articolul luiS.C. Kleene din 1956, privind reprezentarea evenimentelor n reele nervoase in automate finite, n ordinea de idei inaugurat de articolul din 1943 al lui W.S.McCulloch i E. Pitts, asupra unui calcul logic al ideilor implicate n activitateanervoas.

    Cum puteam rmne indiferent la noile evoluii?

    S rezumm. Dezvoltri din direcii foarte diferite fac jonciunea n a douaparte a anilor 50, aducnd ntr-o albie comun discipline dintre cele maidiverse: lingvistica, psihologia (Chomsky considera lingvistica generativ uncapitol al psihologiei cognitive), calculatoarele, matematica, logica i biologia;dar prin teoria informaiei, n plin elan atunci, s-a fcut legtura i cu fizica, nspecial cu termodinamica. Inutil s mai adugm c filozofia se afla n faa unor

    provocri fr precedent. Evenimentele enumerate aveau loc ntr-un moment n

    care se ntea informatica n Romnia, sub bagheta extraordinarului dirijor deenergii creatoare care a fost Grigore C. Moisil. i pentru c, vorba poetului,toate aceste lucruri trebuia s poarte un nume, s-au inventat diverse etichete, unadintre ele fiind lingvistica matematic. Sintactic, nu putem altura dect doitermeni; dar era clar c noile preocupri nu combinau numai dou domenii, cimai multe. Marea noutate consta n faptul c se aflau mpreun cel puin asediscipline, dintre care trei din domeniul socio-uman. Se mai aflau mpreuntiina i ingineria. Polaritatea pascalian spiritul de geometrie, spiritul definee i contrastul dintre cele dou culturi, la care se referea C.P. Snow,

    primeau o provocare fr precedent. Ne aflam n plin transdisciplinaritate.

    6

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    7/37

    Cum puteam rmne indiferent la aceste evoluii? Am intrat n joc. Amsimit c unor energii care ateptau de mult s se dezlnuie le-a venit ceasul.ntr-un timp record, m-am iniiat n lingvistica structural, disciplina prin care teapropiai de noile preocupri din direcia lingvisticii. Am fost ajutat n aceast

    privin de discuiile cu Emanuel Vasiliu, cel mai apropiat de logic i dematematic, dintre lingvitii romni ai acelui moment, i de Paula Diaconescu,entuziast cercettoare n analiza structural a limbii romne; amndoi, de laCatedra de limba romn a Universitii din Bucureti, catedr condus deProfesorul Alexandru Rosetti. Lor, li s-au adugat ulterior Edmond Nicolau iSorin Stati. ntre Rosetti i Moisil a existat o atracie magnetic, ei au ncurajati sprijinit o colaborare fa de care cei mai muli se artau sceptici. Sprijinullor, la Universitate i la Academie, a permis Romniei s fie una dintre primeleri n care s-au inut cursuri universitare de lingvistic matematic i

    computaional i n care s-a nfiinat o revist de profil, n limbi internaionale.Un loz ctigtor

    Drept rezultat, a urmat o dezvoltare vertiginoas, oglindit parial n recentulvolum Grigore C. Moisil and his followers in theoretical computer science(Ed.Academiei Romne, 2007).

    n aceast atmosfer, am redactat cursul de lingvistic matematic pe careEditura didactic i pedagogic mi l-a publicat n 1963, cu rezerva consideratnormal fa de o ntreprindere aparent hazardat. Entuziasmul m mpiedica ssesizez caracterul aparent utopic al traseului pe care m angajam. Cursul se bazan bun msur pe cercetrile mele personale, publicate n reviste. Pentru a mtesta, am trimis cartea la cteva adrese universitare potenial interesate ntr-oatare aventur. A fost un loz ctigtor. A urmat publicarea ei la New York, laParis, la Moscova i la Praga. Marile enciclopedii Brockhaus, EncyclopaediaUniversalis, Enciclopedia Einaudi, Great Soviet Encyclopedia, Enciclopedia ofMathematics i numeroase enciclopedii de lingvistic, de cibernetic, deinformatic au menionat una sau alta dintre versiunile crii. Triam astfel oexperien nou, nu mai rmneam cantonat ntr-un domeniu cu granie destul

    de precise, ci m aflam pe un traseu transdisciplinar, care m obliga s nv nunumai lingvistic, ci i biologia sistemului nervos, biologia ereditii, logic,

    psihologie cognitiv, structura limbajelor de programare i anumite capitole dematematic discret care nu erau pe linia antrenamentului meu anterior, dinstudiul funciilor reale i al topologiei generale.

    Am simit tot timpul, n aceast nou etap, sprijinul Profesorilor Rosetti,Moisil i Miron Nicolescu. Atunci am descoperit faptul c, prin interaciune cudisciplinele socio-umane, matematica i calculatoarele dobndesc, pentru un

    public destul de larg, o valoare cultural

    7

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    8/37

    n faa unei noi provocri

    n perioada iniial a activitii mele de cercetare, n care eram preocupatexclusiv de probleme de analiz matematic, m mulumeam s comunic despre

    ele numai cu matematicieni. De ndat ce am trecut la o activitatetransdisciplinar, am devenit un interlocutor interesant pentru persoane din toatedomeniile, inclusiv pentru scriitori, pentru filozofi i pentru gazetari. Toi masaltau cu ntrebri care trdau mirarea lor fa de o posibil legtur ntrematematic i calculatoare, pe de o parte, i lingvistic, biologie i psihologie,

    pe de alt parte. Descopeream astfel din nou singurtatea matematicianului.coala nu le dduse nicio idee despre alte conexiuni ale matematicii dect celecu fizica (i chiar despre acestea, informaia era derizorie). Interlocutorii mei, demulte ori oameni cu o bogat cultur, nu-i imaginau c matematica ar putea fi

    i altceva dect un ir de calcule cu impact preponderent ingineresc i se mirauaflnd c n matematic mai sunt multe probleme care-i ateapt rspunsul ic mereu apar probleme noi. Posibilitatea unei matematici a calitii, astructurii, li se prea n conflict cu natura ei. Dealtfel, am constatat c i desprelingvistic reprezentarea multora era derizorie, nu-i imaginau c aceast tiinare i altceva de fcut dect stabilirea normelor de vorbire i scriere corect.

    Matematica: o unealt util uneori

    Prin anii 1950-1951, eram i asistent la cursuri de matematic de laPolitehnica bucuretean, la Electrotehnic, la Energetic i la Chimieindustrial. ntr-o zi, sunt invitat de Profesorul Spacu, decan la Chimie, care-miatrage atenia c seminarul meu este prea teoretic. Din matematic, chimia nuare nevoie dect de puin peste regula de trei. Cursul la care fceam seminarulera inut de Profesorul Racli, care m pusese n gard chiar de la primantlnire: S nu cumva s ncerci s faci demonstraii, c eti un om pierdut!L-am urmrit cu atenie; enunurile erau validate prin expresii de tipul Se vede

    pe figur c Figurile erau executate cu crete colorate i impresionau prinacuratee. Accentul cdea pe procedee, descompuse n pai caligrafiai i

    numerotai cu grij pe tabl. Cred c a fost unul dintre cele mai apreciatecursuri. Nu m-am putut ncadra n aceast conduit i am prsit Politehnica,

    pentru a m dedica n ntregime activitii mele la Universitatea din Bucureti,ca asistent al Profesorului Miron Nicolescu. De atunci, am urmrit cu ateniestatutul matematicii n nvmntul ingineresc. In urm cu vreo 20 de ani, ncadrul unor dezbateri pe aceast tem, se cristalizaser dou puncte de vedere.Pentru unii, ca Profesorul Dorin Pavel, gndirea inginereasc nu se formeaz

    prin matematic iar rolul acordat matematicii la admiterea n Politehnic i peparcursul studiilor este exagerat. Nici Profesorul D. Drimer nu prea a fi departe

    de acest punct de vedere. Pentru ei, matematica n inginerie era o simplunealt, util uneori. Nimic mai mult.Cu o alt ocazie, i Profesorul Remus

    8

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    9/37

    Rdule exprimase o opinie similar. Pentru alii, ca Profesorul Radu Voinea iProfesorul Alexandru Balaban, matematica este pentru inginer i un mod degndire exemplar iar prezena matematicii la admiterea n Politehnic i pe

    parcursul studiilor trebuie ntrit.

    Matematica, de la unealt la limbaj

    Fizicienii teoreticieni obinuiesc de mult vreme s considere funcia delimbaj a matematicii, cu referire la capacitatea acesteia de a da o expresieconcentrat i riguroas anumitor relaii. Limbajul matematic este, de la Newtoni Galilei ncoace, modul de a fi al unor vaste capitole ale fizicii. Dezvoltareateoriei ecuaiilor difereniale s-a aflat ntr-un metabolism permanent cudezvoltarea fizicii. Ecuaiile difereniale i cele integrale au devenit modul

    predominat de exprimare a legilor fizicii. n secolul al XX-lea, ca urmare adezvoltrii teoriei relativitii i a mecanicii cuantice, n jocul dintre fizic imatematic mingea este mereu i mereu pe terenul matematicii; limbajulmatematic nu mai este simit aici ca rezultat al unei operaii de traducere a unorsituaii nematematice, rezultnd din observaie i experiment, ci devine pur isimplu modul de existen al fenomenelor fizice.

    Apropierea dintre economie i matematic are o istorie de cteva secole. nsecolul al XX-lea i mai ales n a doua jumtate a acestuia, limbajul matematic adevenit modalitatea predominant de exprimare a fenomenelor economice, faptoglindit de un mare numr de premii Nobel n economie acordate unor lucrrifoarte matematizate. Acest fapt nu este strin de apariia i dezvoltarea teoriei

    jocurilor de strategie, avnd ca protagoniti pe John von Neumann, OskarMorgenstern i John Nash.

    Un alt domeniu n care matematica a ptruns n mod masiv este biologia. nprima jumtate a secolului al XX-lea a avut loc o utilizare mai degrab subform de unealt a ecuaiilor difereniale, a teoriei probabilitilor i statisticiimatematice. n a doua jumtate a secolului trecut, studiul sistemului nervos i alereditii a beneficiat de o ptrundere masiv a limbajului matematic, rezultatdin dezvoltarea combinat a matematicii, biologiei i informaticii.

    De vreo jumtate de secol, la ingineria energiei, bazat n primul rnd pematematici continue, s-a adugat ingineria informaiei, care face apel n primulrnd la matematici discrete. Grania dintre tiin i inginerie devine tot mai

    problematic. De la teza de doctorat a lui Shannon, de la sfritul anilor 30 aisecolului trecut, logica matematic i ingineria intr n conexiune direct iarlimbajul matematic a devenit esenial pentru disciplinele informaiei.

    n intimitatea limbajului matematic

    De la limbaj i se trage, n primul rnd, matematicianului, singurtatea n carese afl, deci merit s-i acordm o atenie special.

    9

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    10/37

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    11/37

    8) Metasisteme simbolice, cum ar fi limbajul programabil de printare TEX(dup grecescul techn, asociat cu latinescul texere) i cu derivatele sale, caAMS.TEX i LATEX, care, sub forma unor comenzi, reglementeaz tiprireatextelor matematice;

    9) Componenta oral a matematicii.Cteva observaii sunt necesare. Componenta semnalat la 1 este cea maiimportant, deoarece limbajul natural direcioneaz ntregul comportament allimbajului matematic. Gndim prin intermediul limbajului natural, chiar atuncicnd ne prevalm de celelalte componente. Se preconizeaz, ca o medie, unechilibru prin care jumtate dintr-un text matematic rmne scris n limbajnatural. Nu trebuie confundat limbajul matematic cu limbajul axiomaticdeductiv sau cu cel formalizat. Matematica nu este i (tim acum) nu poate fi nntregime formalizat. Este uimitor felul n care toate aceste imperative de

    igien a educaiei sunt ignorate n matematica colar, in diferitele ei variante:manuale, predare la clas, reviste pentru elevi, examene, concursuri. Reducemeducaia la aspectul ei sintactic, ignornd dimensiunea ei semantic. Darsemnificaiile se exprim n cuvinte, pentru a le nelege i exprima trebuie sconstruieti un discurs. Este exact ceea ce coala nu reuete. Acest eec setransmite de la coal la universitate i de la universitate n cercetare; modul ncare ideile matematice sunt asimilate i utilizate este profund afectat de aceastnelegere fragmentar a lor.

    Prezena componentelor 2, 3 i 4 arat c limbajul matematic are o structurmixt, fiind alctuit dintr-o component natural i alta artificial. tim acum cn componenta artificial se regsesc toate funciile componentei naturale:metafor, metonimie, ambiguitate, relaii de coordonare i de subordonare etc.Ca urmare a prezenei componentelor 4, 5 i 6, limbajul matematic devine

    bidimensional i, uneori, tridimensional. O liniarizare forat rpetematematicii din fora sa euristic i sugestiv. S mai observm c limbajulmatematic se prevaleaz att de reprezentri discrete ct i de reprezentricontinue. Fiind un limbaj scris, el este esenial vizual. Componenta 9 are nvedere prezentarea oral a matematicii, care are alte reguli dect cea scris; nudezvoltarea detaliilor, ci sublinierea ideilor, a contextului cultural-istoric, a

    cotiturilor periculoase. Prezentarea oral atenueaz liniaritatea discursului scris,prin distribuirea mai nuanat a accentelor. Dar, dup cum observa DanBarbilian, un rezultat matematic nu se poate valida dect pe baza formei salescrise.

    Funciile limbajului matematic

    Putem acum s contemplm, n toat splendoarea sa, aceast cucerire aspiritului uman care se numete limbajul matematic

    Acest limbaj exploateaz sinonimia sa infinit. Orice enun se poate reformulantr-un mod echivalent. Demonstraiile se bazeaz pe aceast parafrazare

    11

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    12/37

    potenial infinit a ipotezelor, proces care duce, dup un numr finit de pai, laconcluzia dorit. n aceast activitate, sunt folosite deopotriv relaii anaforice icataforice. Este manifest tendina de reducere a fenomenelor de omonimie, darnu se poate ajunge la anihilarea lor total. Caracterul esenial metaforic al

    limbajului matematic provine n primul rnd din procesele de generalizare. Deexemplu, trecerea de la numere raionale la cele iraionale, n cazul de referinal evalurii lungimii diagonalei unui ptrat cu latura egal cu unitatea, s-a bazat

    pe cutarea unui numr care s se afle fa de 2 ntr-o relaie similar celeia ncare se afl n fa de ptratul lui n. Procesul metaforic se refer aici nu la oentitate preexistent, ci la una care se construiete prin emergena procesuluirespectiv. Este deci vorba de metafore autorefereniale. Metafora declanat dePitagora, n legtur cu diagonala ptratului unitate, a avut nevoie de 2000 deani pentru a conduce la conceptul de numr real i, n cadrul acestuia, la

    conceptul de numr iraional. Mai sunt apoi metaforele care sugereaz olegtur cu lumea contingent: frontier, filtru, numr raional, numrtranscendent etc.

    Metonimia ine i ea de natura intim a matematicii. O problem esenialeste citirea proprietilor unei mulimi pe o parte ct mai restrns a ei. Cele maimulte numere reale sunt reprezentate printr-o parte finit a lor, deoarece nucunoatem reprezentarea lor esenial infinit i neperiodic. n afar de relaiaintreg-parte, este foarte important relaia de contiguitate determinat deinferene de diverse tipuri: inducii, deducii i abducii.

    Semantica limbajului matematic este, ca i aceea a limbajului comun, dedou feluri: aditiv (cnd semnificaia ntregii expresii se obine princoncatenarea semnificaiilor componentelor) i integrativ (cnd semnificaiantregii expresii este diferit de semnificaia obinut prin concatenareasemnificaiilor componentelor).Un exemplu de al doilea tip este obinut prin

    plasarea semnului integralei n faa expresiei f(x)dx. In acest caz, dx nu mainseamn difereniala luix iar alturarea dintre f(x) i dx nu are semnificaia de

    produs. Dar notaia se explic prin dorina pstrrii analogiei cu sumele din careprovine respectiva integral, printr-un proces de trecere la limit.

    Limbajul matematic realizeaz de multe ori un proces de optimizare

    semiotic, asemntor celui poetic. Este suficient s ne referim la cazul simplual puterii a n-a a unui binom a+b. Putem exprima n cuvinte aceast putere

    pentru valori mici ale lui n, dar, de ndat ce valoarea lui n crete, pierdemcontrolul. Simbolismul matematic ne salveaz.

    Narativitate i dramatism n demonstraia matematic

    Dimensiunea narativ a limbajului matematic este vizibil n itinerarele decurs lung, de tipul demonstraiilor maratonice care au condus la validarea

    teoremei celor patru culori, a teoremei lui Fermat, a conjecturii lui Kepler etc.Andr Gide compara romanul cu o teorem, dar teorema se poate afla uneori la

    12

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    13/37

    captul unei aventuri n care apar momente cu adevrat dramatice. De exemplu,teorema de clasificare a grupurilor simple finite, cu sute de autori, s-a aflat ntr-o astfel de situaie atunci cnd, n urm cu peste zece ani, murise singurul caretia cum s articuleze ntr-un ntreg rezultatele pariale ale diverilor autori.

    Demonstraiile cu ajutorul programelor de calculator ridic probleme delicate,privind controlul acestor programe. Imposibilitatea de a obine certitudineaadevrului anumitor teoreme este de un dramatism pe care timp de dou mii deani nimeni nu l-a crezut posibil. Semnificativ din acest punct de vedere estetextul cu care Redacia revistei Annals of Mathematics prefaeaz publicareademonstraiei conjecturii lui Kepler, publicare aprobat n ciuda faptului creferenii nu au putut ajunge la validarea cu certitudine a demonstraieiconjecturii respective.

    Urmrirea greelilor comise n ncercrile de demonstrare a unei ipoteze

    importante ne permite s nelegem cum anume o greeal poate deveni o sursde creativitate. irul de greeli comise n ncercrile succesive de demonstrare ateoremei lui Fermat este unul dintre cele mai frapante exemple de acest fel.Chiar autorul demonstraiei acestei teoreme a comis, n prima sa tentativ, ogreeal, pe care a ndeprtat-o ulterior. O greeal local a lui Lebesgue, ntr-un celebru memoriu al su, l-a condus, pe cel care a descoperit-o, la deschidereaunui nou capitol de topologie, teoria mulimilor analitice i proiective.

    Teatralitatea limbajului matematic

    Cuvntul teorema are, dup etimologia sa greac, semnificaia de spectacol.Dup exemplele date mai sus, nelegem c drumul spre o teorem poate fi ntr-adevr un spectacol. Acest drum abund n capcane i este nevoie de multe oride efortul ctorva generaii de temerari care s le nfrunte, pentru a se ajunge laun rezultat; alteori nici cteva generaii nu sunt suficiente. Contrastul dintrecaracterul foarte elementar al unor enunuri, cum ar fi conjectura lui Goldbach(orice numr par superior lui 2 este suma a dou numere prime), i dificultateade a le demonstra sau infirma, chiar atunci cnd se pun n micare rezultate iinstrumente dintre cele mai fine, i poate scandaliza pe matematicieni, dar, in

    acelai timp, i stimuleaz i i ambiioneaz n a-i multiplica eforturile ndirecia respectiv.

    n cartea lorWhat is Mathematics?(Oxford University Press, London, 1941-1946), Richard Courant i Herbert Robbins se refer la natura teatral a analizeimatematice. n definirea noiunilor de baz, ca limita unui ir, convergena sa,limita, continuitatea, derivabilitatea i integrabilitatea unei funcii etc., ntlnimmereu acelai scenariu: dou personaje, A i B, primul punndu-l mereu lancercare pe al doilea. n cazul convergenei irurilor, A propune o valoare strict

    pozitiv a lui epsilon iar B trebuie s stabileasc dac exist un numr natural N

    astfel inct, pentru m i n mai mari dectN, o anumit inegalitate, incluznd peepsilon, pe m i pe n, este satisfcut. ns B trebuie s fac fa acestui test

    13

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    14/37

    oricare ar fi valoarea strict pozitiv a lui epsilon; nu e, ca n basmul popular,unde eroul trebuie sa fac fa, de obicei, la trei ncercri.

    Matematica, tragedia i comedia, la vechii greci

    Tragedia se asociaz cu fenomenele de hybris i nemesis. Hybris-ul esteeroarea tragic, ce-l duce pe erou la moarte, dup ce a ignorat avertismentulzeilor. Pentru Scott Buchanan ( Poetry and Mathematics , The John DayCompany, New York, 1929, p.175-197), hybris-ul este atitudinea de arogansau de insolen a unei naturi oarbe. Nemesis-ul este rezultatul acestei arogane:faptele se rzbun pe cel care le-a ignorat. Dar un personaj tragic trebuie nunumai s pctuiasc prin hybris, ci i s aib darul ironiei. Tragedia

    procedeaz prin analogie i prin substituie omogen n gndirea raional a

    eroului. Evenimentele sunt pregtite, controlate i interpretate, n aa fel nct sfie n concordan cu ipoteza. Are loc o dezvoltare care tinde spre integrare igeneralitate.

    n matematic, lucrurile decurg n mod asemntor. Comportamentul uneifuncii este tatonat prin observarea valorilor funciei atunci cnd se dau anumitevalori particulare argumentului. Grecii foloseau acest procedeu pentru aidentifica ceea ce ulterior avea s se numeasc valorile limit ale funciei; peaceast cale, ei rezolvau unele ecuaii. O atare metod avea s capete o formriguroas abia cu dezvoltarea calculului diferenial, mai precis, prin noiunea dedezvoltare n serie Taylor a unei funcii, cu ajutorul derivatelor ei succesive.

    In cazul comediei, situaia este diferit. l citm pe Scott Buchanan: Aici seprocedeaz prin variaie foarte larg i prin substituie heterogen. Fiecareschimbare de direcie a aciunii marcheaz descoperirea unei inconsistene, aunui plan care nu funcioneaz, a unei situaii paradoxale. i aici avem odezvoltare, dar n faza de discriminare a capacitii de a opera distincii. Eroulunei comedii sau este capabil de a sesiza orice glum, orice vorb de spirit, saunu-i n stare s neleag niciuna. n acest fel, toate ideile pot avea o ans egalde conflict sau de purificare. Comedia de moravuri se bazeaz pe substituia deidei.

    Dependena de contexte lungi

    Fenomenele de textualitate, de intertextualitate i de hipertextualitate, n liniade gndire a unor M Bakhtin, J. Kristeva i a celor care, prin hipertextualitate,au transgresat secvenialitatea textului tradiional, sunt la ele acas nmatematic. ntr-adevr, ntr-un text matematic se manifest, mai mult dect norice alt text, fenomenele de dependen la distan. Suprimai dintr-o carte dematematic primele zece pagini i riscai s nu mai nelegei aproape nimic din

    rest. O operaie similar ntr-o carte de geografie sau de istorie are un efectneglijabil. Faptul se explic prin structura textelor matematice; prin construcia

    14

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    15/37

    n etape, n care fiecare etap se bazeaz n mod riguros i explicit pe etapeleanterioare. Desigur, n orice demers procedm n etape care se folosesc deetapele precedente, dar de cele mai multe ori acest lucru se face prin reamintireafaptelor anterioare care urmeaz a fi utilizate. n matematic, preluarea

    noiunilor, conveniilor i rezultatelor anterioare are o asemenea amploare, nctreluarea lor, de fiecare dat cnd ele sunt invocate, ar pune la grea ncercareatenia i memoria i ar sabota funcia euristic a limbajului. Achiziiile etapeloranterioare trebuie ordonate cu grij, aa cum se procedeaz ntr-o locuin, pringruparea diferitelor obiecte n dulapuri, sertare, cutii diferite. n matematic,aceast ordonare impune folosirea unei anumite terminologii i a unui anumitsimbolism, prin care desemnm noile noiuni i entiti, n vederea folosirii lorct mai comode n etapele urmtoare. Astfel emerge componenta artificial alimbajului matematic. Sub aspect istoric, acest fenomen s-a accentuat pe vremea

    lui Galilei i a lui Newton, accelerndu-se apoi i atingnd apogeul n secolultrecut.

    La fel n poezie, dar din cu totul alt motiv

    S precizm c dependena de contexte mari, practic, de ntregul text, are locn ambele direcii, deci att la stnga ct i la dreapta. Aa cum un element altextului depinde strict, chiar dac indirect, de ntreaga desfurare anterioar atextului respectiv, acelai element va fi invocat, direct sau indirect, n ntreagadesfurare ulterioar a textului. Limbajul matematic este deci, prin excelen,un teritoriu de desfurare permanent a relaiilor anaforice i cataforice.

    Este interesant faptul c i n poezie localul este solidar cu globalul, sevorbete chiar despre modul n care o serie de metafore locale se acumuleaz,

    producnd o metafor global. Dar aceast dependen nu are, n poezie,caracterul precis i explicit pe care l are n matematic. Legtura dintre local iglobal este, n poezie, o operaie ambigu, interpretabil ntr-o infinitate defeluri; ea ine deci de actul lecturii i al interpretrii, aparine cititorului.Semnificaiile n matematic au un statut conceptual iar conceptele suntsusceptibile de definiii. Acest fapt le distinge de semnificaiile poetice, care

    manifest o tendin anticonceptual. Poezia ncearc s recupereze cu ajutorulcontextului ceea ce pierde n materie de dicionar. De aceea ea are nevoie decontexte practic infinite, regsind astfel, pe o cale complet diferit, o situaievalabil i n matematic.

    Este matematica exclusiv conceptual?

    Numai c, n practic, se constat c semnificaiile matematice nu suntepuizate de definiiile lor de dicionar; comportamentul lor contextual rezerv

    surprize. Faptul acesta este valabil chiar n matematica elementar. ncercai s-lnelegei pe zero numai pe baza definiiei sale i vei eua. n legtur cu

    15

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    16/37

    capcanele acestui numr, considerat uneori, n mod abuziv, numr natural, a sevedea cartea lui Charles Seife, tradus recent n romnete: Zero. Biografia uneiidei periculoase (Humanitas, 2007). Multe semnificaii din matematic i dinlingvistic (a se vedea sistemele formale, gramaticile generative i diferite tipuri

    de maini) se introduc nu prin definiii de tip clasic (gen proxim i diferenspecific), ci prin comportamentul lor ntr-un anumit proces, comportament denatur contextual. Aceast interaciune textual este un fel de dialog, de aceeaBakhtin a folosit expresia deprincipiu dialogic.

    Polifonia textului matematic

    Textul matematic este, pe de alt parte, prin excelen polifonic (pentru afolosi termenul propus de Bakhtin) Aa cum n muzic se suprapun dou sau

    mai multe pri vocale sau instrumentale, dezvoltndu-se orizontal (princontrapunct) i vertical (prin armonie), intr-un text matematic are loc ocolaborare a unor coduri de o mare varietate, date de multiplicitateacomponentelor i funciilor sale, unele cu accent pe secvenialitate, altele bazate

    pe transgresarea ei; unele metaforice, altele metonimice; unele continue, altelediscrete; unele vizuale, altul sonor. n aceast ordine de idei, Igor Shafarevichasimileaz matematica unei orchestre care execut o partitur unic, a nu se tiecui; unii membri ai orchestrei dispar, fiind nlocuii cu alii, dar motivele trec dela unii la alii iar execuia nu se ncheie niciodat. Cu referire la acelai aspect almultiplicitii de coduri puse n micare, a fost preluat, n cazul limbajuluimatematic, ideea cinematografic a lui Eisenstein privind montajul vertical. nambele cazuri, are loc o articulare de elemente indexicale, iconice iconvenionale, avnd ca rezultat reliefarea unei teme unice.

    Lumea numerelor, ntr-un grav impas semiotic

    Cele mai multe numere reale nu pot fi numite prin mijloace finite. Uneori potfi artate, indicate, de exemplu pe cele care sunt limite ale unor iruri desprecare se tie c sunt convergente sau, n general, pe cele care apar ca rezultat al

    diferitelor comportamente asimptotice. Celor mai multe numere reale nu le timnici reprezentarea zecimal, nici reprezentarea n fracie continu. Triesc ndevlmie, parc lipite unul de altul Cele mai multe informaii despre numeresunt de natur global, nu individual. Dificultatea cu care au putut fi gsite,abia n anul 1844, primele exemple de numere transcendente (Joseph Liouville)a dat impresia c astfel de numere sunt rare. Dar G. Cantor a spulberat aceastimpresie. S-a constatat n general, c lumea numerelor inteligibile esteincomparabil mai vast dect aceea a numerelor care rezult prin procese cu unnumr finit de etape, aplicate numerelor ntregi. Dar sensul cuvintelor cele mai

    multen aprecierile de mai sus nu este cel trivial, de majoritate numeric,

    16

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    17/37

    deoarece avem a face cu mulimi infinite. Neglijabilul este aici n sensulcardinalitii: numerele algebrice formeaz o mulime numrabil.

    Culorile urmeaz ndeaproape situaia semiotic a numerelor. n orice limbnatural, cele mai multe culori nu au nume. Dar, n contrast cu numerele,

    culorile beneficiaz de anumite relaii de analogie i de contiguitate, putnd luanumele obiectelor care au culoarea respectiv: crmiziu, portocaliu, mutar etc.Desigur, acest procedeu nu rezolv dect o mic parte a problemei.Curcubeulcomport o infinitate de culori, cele mai multe dintre ele neputnd fi numite. Pede alt parte, problema semiotic a culorilor este reductibil la aceea anumerelor. Vopselele au coduri combinate de litere i cifre. Numerele realesunt, n general, cunoscute prin valori aproximative, deci prin procesemetonimice.

    ntre numrare i numerotareDisocierea, n francez, ntre nombre i numro; n german, ntre Zahl i

    Nummer; n rus, ntre cislo i nomer, nu-i are analogul n romn, italian,spaniol, portughez i englez. Nombre din nombre premier i numro dinnumro de scurit sociale) revin, n limba romn, la acelai cuvnt: numr.Limba romn face ns distincia dintre a numra i a numerota.

    Paradoxul lui Berry se refer la nombre; paradoxul lui Richard se refer lanumros; numeraia Gdel se refer la amndou.

    Este matematica numai un limbaj?

    Limbajul este partea cea mai vizibil a matematicii, partea care o trdeaz,strnind admiraia unora i repulsia altora. Rareori se ntmpl ca matematica sfie privit cu indiferen; atitudinea neutr fa de ea este mult mai puinfrecvent dect atitudinea extrem, ntr-un sens sau altul. Datele de caredispunem arat c detractorii sunt incomparabil mai muli dect admiratorii.Anchetele sociologice, semnalelele din mass media, declaraiile elevilor i

    profesorilor confirm antipatia celor mai muli pentru formule matematice,

    pentru ecuaii, pentru calcule. Uurina de a recunoate jargonul matematiciicontrasteaz cu dificultatea de a defini matematica, dificultate cu nimicinferioar celeia privind definirea poeziei sau a filozofiei. Putem ns identificadiferite ipostaze, diferite aspecte ale matematicii:

    a) domeniu de cunoatere i cercetare;b) fenomen de cultur;c) tiin;d) art;e) unealt util n anumite situaii;

    f ) limbaj;g) mod de gndire;

    17

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    18/37

    h) catalizator al unor transferuri de idei, metode i rezultate;i) disciplin predat n coli i universiti;

    j) fenomen social;k) joc;

    m) mod;n) mijloc de intimidare i chiar de terorizare;o) form de snobism;

    p) posibil form de patologie;q) mod de a nelege lumea;r) mod de via;s) mod de a nelege propria noastr minte;t) parte a vieii noastre spirituale;u) filozofie.

    Ordinea nu este dup importan. Lista este deschis.Fiecare dintre aspectele de mai sus comport o ntreag discuie. ngrijortor

    este faptul c aspectul i, al matematicii ca disciplin de nvmnt, este aproapen ntregime confiscat, la nivel colar, de aspectul e, care vizeaz parteainstrumental a matematicii, iar la nivel universitar apar, n plus, aspectele a(cunoatere i cercetare), c (tiin) i f (limbaj). Dar chiar i acestea sunt deobicei considerabil srcite; de exemplu, rareori se ntmpl ca predareamatematicii s dezvluie ntreaga bogie a aspectelor de limbaj, aa cum aparele n multiplicitatea de componente i de funcii pe care le-am discutat anterior,n interaciunea componentei naturale cu cea artificial, a secvenialului cu

    polidimensionalul, a discretului cu continuul. Desigur, n msura n careparticipanii la procesul didactic sunt de o calitate superioar, pot aprea icelelalte aspecte. Fapt este c manualele standard dup care matematica este

    predat i nvat i, mai ales, criteriile dup care asimilarea ei este evaluat otransform ntr-o palid imagine a ceea ce este ea n realitate.

    Eecul educaiei matematice

    Recunoscut ca unealt uneori util, matematica era nc departe de a fi i unfapt de cultur. Ciocanul este i el o unealt util; devine, prin aceasta, cultur?Educaia primit n coal i, uneori, i cea de la facultate nu prea las s sevad c n matematic exist i idei, istorie, conflicte, interaciuni cu altediscipline, dileme privind formarea conceptelor i alegerea problemelor. Dinvariatele moduri de gndire matematic (inductiv, deductiv, abductiv,triadic, binar, analogic, metaforic, ipotetic, infinit, combinatoric,

    probabilist, recursiv, topologic, algoritmic, imaginativ etc.), nzestrate cuputerea de a funciona i n afara matematicii, practic avnd o raz universal de

    aciune, coala nu se raporteaz dect la deducie i la combinare, uitnd cmodalitatea deductiv este numai haina n care matematica se prezint n lume,

    18

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    19/37

    nu i substana ei. Metabolismul matematicii cu celelalte discipline colare estefoarte slab.Aa se ajunge la situaia actual, n care elevi i prini protesteazmpotriva prezenei matematicii n programele colare ale unor elevi care nu-i

    propun s devin matematicieni. Intelectualii ajuni la vrsta evocrilor

    nostalgice au rareori amintiri semnificative despre orele de matematic. Dacacceptm drept cultur ceea ce i rmne dup ce ai uitat tot, atunci trebuie srecunoatem o realitate crud: cei mai muli oameni nu se aleg aproape cu nimicdin matematica colar. Destui rmn marcai pe via de spaima examenelor dematematic. Dar dac mergem la sursa acestei situaii, atunci vom identifica ocomplicitate, e drept, neintenionat, ntre matematicieni, factorii de putere dinsocietate i birocraia nvmntului. Este educaia matematic, prin natura ei,destinat unei elite? Sunt muli cei care dau un rspuns afirmativ acesteintrebri. Nu m numr printre ei. Fapt este c se ajunge la ceea ce francezii

    numesc mathmatiques, rcettes de cuisine iar americanii, n mod similar,cook book mathematics. Din aceast monstruoas coaliie rezult caricaturade educaie matematic pe care ncercm s-o depim.

    Mrturia din 1914 a lui Gheorghe ieica

    Am cutat departe, n trecut, rdcinile acestei situaii. L-am evocat, naceast privin, pe revizorul colar Eminescu. Cteva decenii mai trziu, iatcum ncepe discursul de recepie al lui Gheorghe ieica la Academia Romn,la 29 mai 1914:

    M gsesc printre d-voastr ca reprezentantul unei tiine pe care, cei maimuli, o socotesc mohort, pentru care lumea are o deosebit groaz, fa decare chiar respectul unora nu e lipsit de un fior care ine pe om la deprtare; nscurt, reprezint o tiin puin simpatic: matematica. Fa de singurtatea ncare se afla ieica n urm cu aproape o sut de ani, s-a schimbat ceva esenialn starea de singurtate a matematicianului? S-a schimbat, da, n sensulagravrii situaiei, ca urmare a faptului c limbajul matematic a devenit tot maicomplicat i , vorba filozofului francez Michel Henry, constituie o form de

    barbarie (La barbarie, Grasset, Paris, 1987), cptnd un caracter antiuman. Se

    ralia astfel filozofului englez George Steiner, care n Language and silence(Atheneum, New York, 1967) pleda pentru un punct de vedere similar. ieicamerge mai departe i, parc anticipnd reproul care avea s fie adusmatematicii i care fusese adus tiinei nc din secolul al XIX-lea, de a fi fr

    patrie, i continu discursul n modul urmtor:tiina matematic nu e legat de niciunul din resorturile noastre sufleteti

    care s-o fac iubit. Istoria, cu scrutarea i renvierea trecutului, literatura, cu

    bogia de nchipuire i strlucirea de expresii, geologia, chimia, biologia cu

    problemele lor de interes practic i naional n-au nevoie s-i dovedeasc

    foloasele. Fiecare din reprezentanii lor aici nfieaz cte o bogie a rii:

    19

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    20/37

    bogie de gndire, bogie de simire, bogie de energii. Singur matematica

    nu are i nici nu poate avea o nsemntate naional.ieica l evoc i pe Schopenhauer, a crui prere nu prea favorabil despre

    matematic i despre matematicieni este bine cunoscut.

    ieica n rol de inculpat?

    Cu aceast stare de spirit, ieica aproape c adopt rolul de inculpat caretrebuie s se apere n faa tribunalului academic mpotriva acuzaiei de

    parazitism social. O face, aducnd probe n sensul c astzi se poate dovedi cuargumente hotrtoare c tiina matematic nu e cu totul nefolositoare.Urmeaz exemple din tiina galileo-newtonian; dar rmne modest n ceea ce

    privete statutul matematicii: Matematica este, astfel, nu numai o limb

    precis, de exprimare simpl, dar i o unealt de cercetare; matematica estecea mai perfect limb n care se poate povesti un fenomen natural.Iat n ce situaie umilitoare s-a putut afla unul din marile spirite ale acestei

    ri, ntr-o societate victim a propriului ei eec n domeniul educaional. Suntaproape o sut ani de atunci i, iat, statutul social al matematicii rmne la felde contradictoriu. Desigur, vei spune, ieica era foarte respectat iar postura deinculpat n care s-a plasat era efectul unui anumit scenariu pe care i-a bazatdiscursul de recepie. Numai c respectul de care beneficiaz matematicienii nueste att expresia nelegerii semnificaiei i valorii culturale a profesiei lor, cta consideraiei fa de un lucru bnuit a presupune un efort intelectual major,din moment ce rmne pentru cei mai muli neneles. Numai c acest fel derespect poate oricnd aluneca n suspiciune i nencredere.

    Mihai Ralea acuz psihologia matematic

    ntr-o convorbire cu Grigore Moisil, la Senatul Universitii din Bucureti,Iorgu Iordan reproa dou lucruri matematicienilor: c se laud prea mult ntreei i c nimeni nu nelege ce fac ei. Dar de la suspiciune la contestare nu-i dectun pas; n 1954, o personalitate de subtilitatea lui Mihai Ralea acuza psihologia

    matematic, aflat la primii ei pai n S.U.A.,de a fi un refugiu pentruconcepiile idealiste n psihologie. Iat cum de la o atitudine aparent inocentse poate ajunge la respingerea unui ntreg capitol al tiinei, cu un impact majorn disciplinele cognitive actuale; un capitol n care coala romneasc de teoria

    probabilitilor, de la Onicescu si Mihoc la Marius Iosifescu i RaduTheodorescu, s-a afirmat n mod exemplar.

    Matematica, mijloc de manipulare a maselor, a fost i rmne un slogan scosdin cnd n cnd la suprafa, uneori cu scopuri ideologice, alteori dinadversitate fa de cultura tiinific i tehnologic, de care matematica este n

    mod tradiional lipit.

    20

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    21/37

    Spre domeniul lingvisticii computaionale

    Instinctiv, izolarea intelectual i social a matematicii, att de fermexprimat de ieica n 1914, am simit-o tot timpul i a fost pentru mine un

    impuls de a o compensa prin extinderea razei mele de aciune. nc din anii 50primisem un avertisment: aliana dintre matematic i lingvistic era, sub aspectistoric, asociat cu emergena calculatoarelor electronice, a informaticii i anevoii sociale privind mrirea eficienei n procesarea limbajului natural. De larevistele de matematic i de lingvistic treceam treptat la cele de cibernetic ide informatic. n 1963, publicam la Moscova, n Problemy Kibernetiki unarticol de modelare matematic a unor fenomene morfologice; n aceeai

    perioad, publicam un articol despre proiectivitatea sintactic n revistaComputational Linguistics iniiat de Ferenc Kiefer la Budapesta; aceast revist

    a avut o via scurt, dar a fost una dintre primele cu acest profil. n 1967,prezentam la Grenoble o comunicare invitat la A doua ConferinInternaional privind procesarea automat a limbilor, iar doi ani mai trziueram invitat la Stockholm, de ctre Hans Karlgren (Research Group forQuantitative Linguistics) la ceea ce el a numit International Conference onComputational Linguistics. Era de fapt continuarea celeia de la Grenoble, darinaugura denumirea de Computational Linguistics, care avea s fac istorie; eaavea s se impun, rezistnd pn n zilele noatre. Observai folosireaalternativ a epitetelor quantitative i computational, simptomatic pentru acelmoment nc derutant al lansrii unor noi arii de investigaie.

    De la limbajul natural la cel formal, apoi napoi la cel natural

    Comunicarea mea din Suedia se intitula Contextual grammars. n 2009, sevor mplini 40 de ani de la prezentarea acestui nou tip de gramatici, care ocupacum o literatur destul de vast. Cele mai multe contribuii se nscriu ndomeniul informaticii teoretice, la capitolul de teoria limbajelor formale, dar nultimii zece ani s-au cristalizat variante de gramatici contextuale cu impact ndomeniul lingvisticii computaionale, cum se poate vedea n articolele publicate

    n Computational Linguistics (1998) i Linguistics and Philosophy (2001), doudintre cele mai prestigioase reviste n materie. Pe unii i mir poate denumireaacestei din urm reviste. Dar, aa cum observa Moisil, nici filozofia nu mai esteazi ceea ce a fost ea alt dat; drumul de la filozofie la inginerie nu mai arenevoie de intermediari. S-a scurtat i drumul de la tiin la inginerie. Granieleconsiderate pn mai ieri de netrecut sunt azi sub semnul ntrebrii. n 1997,Gheorghe Pun a publicat la Kluwer monografia de sintez Marcus ContextualGrammars, dar dup publicarea ei s-a acumulat o literatur att de vast naceast direcie, nct acum ar fi nevoie de o nou sintez.

    Iat cum o idee nscut din nevoia de a da o variant generativ unorprocedee analitice folosite n lingvistica descriptiv american se ntoarce acum

    21

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    22/37

    la studiul limbajului natural, n perspectiv matematic i computaional, dupun itinerar de cteva decenii n informatica teoretic.

    O nou provocare: poetica matematic

    Cteva ntmplri, spre mijlocul anilor 60 ai secolului trecut, m-au condusla problemele de poetic matematic, o alt sintagm aparent oximoronic,expresie a unui alt proiect aparent utopic. Caietele mele de note de lectur i densemnri personale erau de mai muli ani foarte bogate la acest capitol, dar nuse vedea modul de a organiza puzderia de observaii disparate. Au intervenitns, prin anii 1963-1965, trei evenimente care m-au ajutat s dau expresiefrmntrilor mele.

    Mai nti, dintr-un articol amplu publicat n Le Monde am aflat despre

    moartea lui Matila C. Ghyka, romn stabilit n Occident, eminent cercettor alritmului i al aspectelor matematice ale artei, autor a dou volume consacratenumrului de aur n biologie i n artele vizuale. Am aflat deci despre o

    personalitate att de puternic exact atunci cnd ea a murit. Apoi, cam n aceeaiperioad, Profesorul Constantin Drmb m invita la biroul su de laObservatorul Astronomic, pentru a-mi arta nite documente. Aa am aflatdespre Pius Servien (fiul astronomului Nicolae Coculescu), ale crui cri

    publicate la Paris n anii treizeci ai secolului trecut au contribuit, concomitent cucele ale lui Ghyka, la naterea esteticii matematice, ale crei baze le puseseGeorge D. Birkhoff cu civa ani mai devreme. In sfrit, parc n complicitatecu celelalte dou ntmplri, Profesorul Octav Onicescu m invita s studiezrelevana poetic a noiunii de energie informaional, pe care tocmai ointrodusese ntr-un articol din Comptes Rendus de LAcadmie des Sciences(Paris). Contactul cu opera lui Birkhoff, Ghyka i Servien a fost decisiv. Amreacionat imediat la mesajul lor i am simit nevoia de a-l duce mai departe.Aveam impresia c-i purtam de mult n mine i c a sosit momentul de a intra nscen i a-mi juca rolul. Notorietatea de care beneficiam de pe urma lingvisticiimatematice m-a ajutat s-mi plasez uor ideile privind contrastul dintre limbajultiinific i cel liric. Roland Barthes mi ceruse o colaborare pe aceast tem,

    pentru un numr special din revistaLangages, pe care-l edita la Paris.

    Putem msura frumuseea? Pariul lui Birkhoff, Escher i Coxeter

    n 1970, publicPoetica matematic. De aceast dat, scandalul l-a ntrecutpe cel anterior, de la apariia Lingvisticii matematice, fapt firesc, deoarecepoetica este mult mai popular dect lingvistica. Acest experiment n testareareaciilor fa de o posibil relevan a matematicii n teritorii ale artei a artatunde anume este principala rezisten: matematicii i se recunoate capacitatea

    de a aprofunda structurile prozodice ale versului, aspectele structurale, formaleale figurilor retorice, aspectele tipologice ale narativitii, tipurile de geometrie

    22

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    23/37

    teatral, dar i se refuz o eventual pretenie de a facilita accesul la inefabilulpoetic sau de a furniza criterii de evaluare a calitii artistice a unui poem. DarG.D Birkhoff tocmai acest lucru l preconiza: un mod matematic de a aprecia

    plcerea estetic pe care o genereaz obiect. El pornete de la figuri geometrice

    dintre cele mai simple i de la piese muzicale dintre cele mai simple i propuneprocedee de apreciere a gradului lor O de ordine i a gradului lor C decomplexitate. Apoi lanseaz ipoteza conform creia plcerea estetic produs deobiectele respective ar fi proporional cu O i invers proporional cu C. Ideilesale au fost suficient de provocatoare pentru a constitui obiectul unei prezentriinvitate la Congresul Internaional al Matematicienilor, din 1928. Experimentuli ipoteza lui Birkhoff trebuie nelese ca o lucrare de laborator privind

    psihologia creaiei artistice. Ulterior, ideile sale aveau s fie exprimate idiscutate n termeni de teoria matematic a informaiei, n cadrul colii germane

    a lui Max Bense. Pe de alt parte, tentativa de a aprecia comparativ valoareaestetic reapare n creaia lui M.C. Escher, n cadrul colaborrii sale cugeometrul H.S.M. Coxeter, criteriile fiind i aici bazate pe ordine i pecomplexitate.

    De la respingere ferm la entuziasm debordant

    Era inevitabil ca din toat aceast poveste s izbucneasc un mare scandal.Ceea ce la autorii de mai sus are un caracter ipotetic, de experiment local,capt n ochii unora proporiile unei blasfemii. Era respins tentativa de a

    pune arta n ecuaii i n formule; la aceasta se reducea, pentru unii, aciunea dea da un sens sintagmeipoetica matematic. Dar ar fi nedrept s omitem faptul cdestule spirite luminate din domeniul umanist au reacionat ntr-un mod nuanati, de multe ori, interesant. n cele cteva zeci de recenzii ale crii mele,aprecierile au mers de la negare ferm, dar cu argumente trimind la autoriilatini din partea specialistului n retoric Vasile Florescu, pn la entuziasmuldebordant al lui Jean-Marie Klinckenberg (Grupul de retoric de la Lige), carevedea n poetica matematic o etap superioar n nelegerea poeziei. ntreaceste extreme, s-au plasat muli dintre cei mai buni scriitori, critici, esteticieni

    ai acelui moment. Poeii sunt foarte deschii fa de alturrile inedite determeni, sunt gata s le accepte i s le caute posibile semnificaii, dar, naceast cutare, ei i dezvluie, inevitabil, prejudecile acumulate n legturcu matematica. Pe de alt parte, n felul n care cei de formaie umanist m-aurecenzat s-a putut deslui modul n care ei presupun c o formaie matematic ar

    putea fi o piedic n calea unei nelegeri autentice a poeziei. Replica poetuluiNichita Stnescu, ntr-o poezie pe care mi-a dedicat-o, este semnificativ:Matematica s-o fi scriind cu cifre/ dar poezia nu se scrie cu cuvinte. Dar este

    bine cunoscut replica dat de un important poet francez, unui interlocutor care

    se plngea c nu scrie poezie deoarece nu are idei: Poezia nu se face cu idei, eaare nevoie de cuvinte. Cine are dreptate? Pentru a nelege ce a vrut s spun

    23

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    24/37

    Nichita n versurile de mai sus, scrise n 1970, trebuie s mergi la Necuvintelesale din 1969 i la volumul de poeticRespirri, din 1982.

    Poezia i matematica au n comun contrastul dintre haina n care ies ele nlume i viaa lor ascuns.

    Provocarea lui Claude Lvi-Strauss

    n 1978, am editat la Klincksieck (Paris) lucrarea colectiv La smiotiqueformelle du folklore; Approche linguistico-mathmatique, care a trezit interesulProfesorului Pierre Maranda, directorul Departamentului de Antropologiecultural al Univesitii Laval (Qubec). Am fost invitat acolo cu un scop

    precis: s reflectez asupra unei formule pe care o lansase Claude Lvi-Strauss n1955, dar care i pstrase de-a lungul anilor caracterul ei enigmatic. n trei ani

    succesivi, de fiecare dat cte patru luni, am venit la aceast Universitate, pentrua m cufunda n cercetarea operei lui Lvi-Strauss. Formula sa avea aerul unuienun matematic, dar aparena era neltoare. ntr-o terminologie teatral, easpunea, n esen, c un actora n rolulx se afl fa de un alt actorb, aflat nrolul y, ntr-o situaie asemntoare celeia n care s-ar afla bn rolul x fa deroluly, devenit actor interpret al unui rol a-1 obinut prin inversarea actorului a.Se observ c are loc o dubl rsucire, prima privete transformarea rolului y nactor, iar a doua const n transformarea, prin inversiune, a actorului a n rolul a1. Timp de cteva decenii, nimeni nu a neles nimic din acest enun. Nicimcar autorul acestei pretinse formule nu ddea impresia c-i mai aduceaminte de ea.

    Dar anumite amintiri ndemnau la precauie Nici infiniii mici ai lui Leibniznu au fost nelei iar nenelegerea s-a risipit abia dup vreo trei sute de ani,

    prin analiza non-standard a lui Abraham Robinson. Pe de alt parte, acum timc antropologul cruia i vom marca centenarul

    n acest an a devenit un termen de referin pentru evoluia ideilor n secolulal XX-lea. n anii 40, cnd se afla n Statele Unite, i-a propus unui tnrmatematician, Andr Weil (azi recunoscut drept unul din geniile matematice alesecolului trecut), o problem privind regulile de cstorie n societile

    primitive. Rspunsul, sub forma unui articol de cteva pagini, a constituitnaterea unui nou domeniu: matematica relaiilor de rudenie. Lvi-Strauss ademonstrat c, dei cultura sa matematic este srac, poate chiar derizorie,

    potenialul matematic al ideilor sale este imens. Eram avertizat c dispune de oextraordinar capacitate de a adresa ntrebri eseniale.

    De la mituri la literatur i la matematic

    24

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    25/37

    Literatura a aprut, n tradiia occidental, pe vremea lui Homer, deci cucteva secole naintea matematicii (Thales i Pitagora). Amndou sunt, ntr-unanume sens, fiice ale miturilor, de la care au preluat funcia de simbolizare i

    situarea ntr-un univers de ficiune, care mediaz relaia cu lumea real. ntr-oetap destul de trzie a evoluiei lor, literatura mai nti, matematica ulterior, s-au prevalat de un alt aspect al miturilor: transgresarea a ceea ce numim azilogica tradiional, prin nclcarea unuia sau altuia dintre cele trei principii: deidentitate, de necontradicie i cel al terului inclus. Drept urmare, toate trei

    practic paradoxul, la diferite niveluri: sintactic, semantic sau pragmatic. Oconsecin inevitabil a acestei situaii este conflictul cu intuiia curent,decalajul dintre ceea ce este inteligibil i ceea ce este vizibil.Toate trei se aflsub semnul unor ateptri frustrate. Toate trei dezvolt un principiu de

    optimizare semiotic: maximum de gnd n minimum de cuprindere (pentru afolosi o expresie a lui Dan Barbilian, n legtur cu Gauss).O alt trstur comun privete principiul holographic: n anumite condiii,

    aspectul local, individual, poate da seama despre aspectul global. n mituri,exist o legtur strns ntre persoan i univers, ntre anthropos i cosmos. nliteratur, clipa poate da seama despre eternitate, un copac d seama despre toicopacii lumii. William Blake vede lumea ntr-un grunte de nisip iar eternitateantr-o or. n matematic, putem deduce comportamentul global al unei funciianalitice din comportamentul ei local. Aa s-a ajuns s se enune ipotezastructurii holografice a creierului uman i a universului.

    O alt trsur comun este prezena elementului ludic; alta se refer laprezena metaforei. Am mai putea vorbi despre prezena infinitului i despredepirea, ntr-un fel sau altul, a cadrului Euclidian. Dar ne oprim aici.

    Matematica: spiritualitate, libertate, gratuitate

    Iat deci un tablou mai puin, dac nu deloc cunoscut al matematicii.Desigur, dincolo de aceste analogii ntre matematic, pe de o parte, mituri iliteratur, pe de alt parte, putem dezvolta un ntreg ir de deosebiri ntre ele;

    dar aceste deosebiri nu pot fi nelese corect dect n contextul elementelorcomune, eseniale pentru situarea istoric a matematicii ca fenomen de cultur.

    Mai nti, urmrind firul dezvoltrii matematicii la vechii greci, constatmcaracterul predominant spiritual al ei, vocaia contemplrii unor armonii deforme i arhetipuri. Inventarea teoremei este o achiziie spiritual care, numai easingur, ar fi suficient pentru a asigura prestigiul peste milenii al culturiivechilor greci. La Pitagora, matematica i muzica sunt inseparabile, amndouraportate deopotriv la cosmos i la arhitectura spiritului uman. Numerele,intervalele muzicale i micarea corpurilor cereti conduc la ceea ce s-a numit

    muzica sferelor. Cele cinci tipuri de poliedre regulate puse n eviden de Platonsunt entiti la fel de fundamentale ca dreapta, cercul, ptratul i sfera, la Euclid,

    25

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    26/37

    i fac parte din viziunea lui Platon asupra matematicii ca reprezentare auniversului. Le gsim n mituri, n diferitele religii, n simbolismul artelor i nrezultatele fundamentale ale tiinei. Numrul prim, irul lui Fibonacci,

    proporia de aur, ideile de grup, de mulime ordonat, de spaiu topologic, banda

    lui Mbius, sticla lui Klein, noiunea de infinit mic, la Leibniz, i universul non-standard al lui Robinson rezum structuri, prototipuri i procese saucomportamente cu valoare universal. De aceea pot aprea deopotriv n naturi n cultur, n tiin i n art, n natura inert i n cea vie. Pentru culturavechilor greci, Platon reprezint cea mai nalt expresie a matematicii ca aspectfundamental al spiritului uman. Pentru Aristotel, discipolul lui Platon,matematica nu este o parte a tiinei i nu este subordonat acesteia; matematicase ocup de obiecte al cror interes este de sine stttor i care admit o motivareestetic.

    Spiritualitatea matematicii : secolele XIII-XVII

    Sf. Augustin (354-430) preluase de la Platon fascinaia pentru numere iar dela Euclid metoda de procedare axiomatic-deductiv. Aceast metod avea s fieurmat de teologia catolic pn spre secolul al XVII-lea. Dar nu numaiteologia, ci i alte discipline au urmat aceeai cale; a se vedea Etica luiSpinoza(1632-1677) i mecanica newtonian. Duns Scotus (secolul al XIII-lea)se ocup de problema existenei i infinitii lui Dumnezeu, folosind procedeecare prefigureaz noiuni din ceea ce azi numim teoria mulimilor ordonate.

    Nicolaus Cusanus (1401-1464) vede n matematic unicul mod de a ajunge lacertitudine. Ca i Descartes, mai trziu, Cusanus adopt ipoteza unui Universindefinit (nu infinit). N. Copernic (1473-1543) propune, n lucrarea sa privindmicrile de revoluie ale sferelor cereti (1540), un model matematic alheliocentrismului. Opera lui Copernic a rmas n primul rnd pentru valoarea eitiinific, dar i calitatea ei literar este remarcabil; este un poem dedicatSoarelui i Cercului.

    n perioada Renaterii (secolul al XV-lea) are loc o alian fericit ntreartele vizuale i matematic, prin nume ca Leonardo da Vinci, Bruneleschi,

    Alberti, Albrecht Drer, Piero della Francesca i Bombelli. Se realizeaz astfelun progres substanial n nelegerea perspectivei (reprezentarea spaiului cu treidimensiuni n cel cu dou dimensiuni).

    Galileo Galilei (1564-1642), prin Il Saggiatore, Sidereus Nuncius i mai cuseam prin opera saDialogse nscrie n istorie drept unul dintre prinii tiineimoderne, prin recunoaterea rolului central al matematicii n nelegerea lumii.Dar, dup cum au atras atenia Leopardi i Italo Calvino, prin aceleai opereGalilei rmne i ca unul dintre marii scritori n proz ai Italiei. Un alt savantdublat de un scriitor este Johanes Kepler (1571-1630), care n Astronomia Nova

    (1609) face apel la cele cinci tipuri de poliedre ale lui Platon pentru a studiainteraciunea dintre om i cosmos. Kepler demonstreaz c traiectoriile

    26

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    27/37

    planetelor nu sunt circulare, cum se credea, ci eliptice; sunt astfel aduse natenie seciunile conice ale lui Apollonios de Perga (262-180). Pasul urmtor:Isaac Newton (1642-1727) descoper legea atraciei universale (1687).

    Ren Descartes (1586-1650) preconizeaz o tiin unificat, avnd ca model

    matematica. Asemenea lui Galilei, Descartes crede c matematica este cheiacare deschide drumul spre o imagine global, unificat i coerent a lumii.Plecnd de la matematic, Descartes s-a simit proiectat n fizic, filozofie,

    psihologie, fiziologie i cosmologie, n toate acestea devenind un pionier. nDiscurs asupra metodei , Descartes strlucete nu numai prin deduciefilozofic, ci i prin aspectul literar.

    Spiritualitatea matematic: secolele al XVIII i al XIX-lea

    n Convorbirile sale cu Eckermann, Goethe are unele reflecii privindmatematica. ntr-una dintre ele, consider c matematica este o art care artrebui s se declare indepedent de ceea ce i este exterior, pentru a-i urmamarele ei traseu spiritual, capabil s cuprind mai mult dect nelegerea lumiicomensurabile i msurabile. Pe de alt parte, Kant consider c matematicaeste o tiin, dar o tiin a spiritului (Geisteswissenschaft), ceea ce l apropiede poziia lui Goethe, deoarece amndoi sunt de acord c matematica nu-i arelocul alturi de tiinele naturii (Naturwissenschaften). Tot Kant consider c

    partea cea mai profund a matematicii este aceea care este cultivat ca fiindinteresant n sine, deci pentru propria ei plcere.

    Matematicianului nu-i poate rmne lipsit de interes faptul c anumitesituaii paradoxale, care au intrat n raza de preocupri a matematicii abia spresfritul veacului al XIX-lea, au aprut mult mai devreme n literatur. Deexemplu, n secolul al XVIII-lea, Lawrence Sterne, n Tristram Shandy , recurgela situaii autorefereniale iar, n secolul al XIX-lea, Lewis Carroll se prevaleazsistematic de paradoxuri nAlice in Wonderlandi n Through the looking glass.Dar de aceast dat este vorba de un professor de matematic (CharlesDodgson, alt nume al lui Lewis Carroll); acesta este pasionat de jocul cu

    probleme de matematic i de logic, pe care le introduce ntr-o form

    paradoxal n literatura sa debordnd de imaginaie. ntr-un fel, l putemconsidera pe Lewis Carroll ca un precursor al literaturii absurdului, deoarece iintroduce de multe ori pe cititori ntr-o lume a haosului i a lipsei de sens.

    n secolul al XIX-lea, George Boole este atras de problemele cunoaterii iarlucrarea sa devenit clasic se intituleaz Investigaii asupra legilor gndirii.Proiectul su de articulare a logicii, algebrei, limbajului i gndirii era clar oncercare temerar de ptrundere n arhitectura spiritului uman. Am aflat astfelc o condiie necesar pentru realizarea corespondenei urmrite de Boole estenatura binar a cadrului algebric considerat. Aa se face c numele lui Boole a

    rmas n memoria colectiv a matematicienilor asociat cu binaritatea. Boole l

    27

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    28/37

    continua pe Leibniz, de aceea Leibniz trebuie i el introdus n aceast maretradiie spiritual a matematicii.

    n Hard times (1854),Charles Dickens se folosete de un studiu al lui SissyJupe privind proporiile, pentru a protesta contra entuziasmului unor

    contemporani ai si pentru analiza aritmetic i statistic a condiiiloreconomice i sociale din industria englez.n secolul al XIX-lea, sub influena geometriilor neeuclidiene, literatura a

    preluat unele preocupri privind lumile cu mai multe dimensiuni. n Flatland(1884), Edwin Abbott introduce un narator care triete ntr-un univers

    bidimensional. Apare o sfer i naratorul ncearc s-i conving cetenii deexistena celei de a treia dimensiuni, dar este arestat. Progresul nu este acceptat.

    Dubla singurtate a matematicii

    Matematicianul are nevoie de singurtate pentru a se proteja. Nu este vorbade linitea necesar oricrei activiti intelectuale, ci de faptul c, prelund oanumit ntrebare, el o transform, pentru a-i da un sens. Autorul ntrebrii, uninginer, un fizician, un economist, un lingvist sau altcineva, se simte de multeori frustrat, el are impresia c problema lui a fost nlocuit cu o alta. Dintr-odat, are loc o desprire de lume, se nate o suspiciune. De aici i glumaconform creia un matematician i rezolv orice problem, n afar de aceeacare te intereseaz. S-l citm, ntr-o traducere aproximativ, pe Goethe (tot dinConvorbirile cu Eckermann): Matematicienii sunt ca francezii; le propui o

    problem, ei o trec pe limba lor i mai departe nu mai nelegi nimic. De aici, s-a dedus uneori c Goethe nu-i agrea pe matematicieni. Este ns mai potrivit scredem c autorul lui Faust avea o profund nelegere a naturii activitiimatematice, n care se manifest un mod specific de a distinge un enun cu sensde unul fr sens i o percepie special a demarcaiei dintre claritate iobscuritate. Mai este apoi faptul c, instinctiv, matematicianul caut s sefoloseasc de acele pri ale matematicii care-i sunt familiare, deci modul de ada un sens unei ntrebri depinde i de tipul culturii sale matematice. Structurile,formele, tiparele, formaiunile matematice de orice fel se mbogesc mereu i

    sunt apte, prin generalitatea i varietatea lor, de a gzdui idei dintre cele maidiverse; iar, dac imaginaia sa este suficient de bogat, el va mbogirepertoriul existent cu formaiuni noi.

    Dar, concomitent cu singurtatea care-l are pe el ca autor, matematicianultriete singurtatea pe care matematica o resimte n viaa social. ncepnd cuanii de gimnaziu, cei mai muli elevi resping ceea ce li se propune sub etichetamatematicii, rmnnd pe via marcai de aceast experien negativ. Dac semai ntlnesc cu ea, n studenie sau profesie, este vorba de aspectul unealt, subforma unui algoritm, a unei formule, a unei reprezentri grafice de care se

    prevaleaz la un anumit moment, ntr-un itinerar care, n ansamblu, nu este denatur matematic. ntr-un caz mai fericit, dar destul de rar, apare nevoia de a

    28

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    29/37

    face apel la matematica-limbaj, deci nu numai la o utilizare local, ci la una careangajeaz, pe un ntreg parcurs, folosirea limbajului matematic, dac nu n toatecele 9 componente ale sale, mcar cu o parte a lor. Pariul educaiei matematicese refer la faptul c modul de gndire pe care-l ofer aceast disciplin are o

    valoare universal, deci este folositor n orice alt disciplin i n orice domeniual vieii. n momentul de fa, ne aflm la o distan astronomic de mplinireaacestui deziderat. Concludent este i faptul c, ajuni la vrsta a treia, cei maimuli nu-i amintesc din matematic nicio idee, niciun fapt cu semnificaiecultural; numai unele cuvinte-sperietoare, ca logaritm, sinus sau rdcina

    ptrat, le mai apar n memorie, ca un vis urt. Izolarea social i cultural amatematicii este grav.

    La ora pailor peste granie

    Matematica este aruncat n derizoriu de modul n care se face educaia ei ide percepia ei public. Faptul acesta iese n relief de ndat ce, prin contrast,lum n considerare complexitatea cultural i datele istorice privind potenialulspiritual al matematicii, pe care ne-am strduit s le configurm. Ele ne ajut snelegem de unde anume vin bogia intelectual, fora artistic; universalitatean cuprindere i capacitatea de seducie a matematicii, atunci cnd aceastarmne autentic i nu nlocuit cu o caricatur a ei.

    Deocamdat ns, toate aceste comori rmn ascunse, chiar inexistente, neducaie, n percepia public, n cultur, n orizontul celor mai muliintelectuali. Nici mcar cei care, prin profesie, au contact cu parteainstrumental a matematicii (fizicieni, ingineri, economiti etc.), de cele maimulte ori nu ajung la aerul tare al marilor spectacole pe care le ofermatematica. Aa cum am ncercat s artm, limbajul nu este dect unul dintremultele aspecte ale matematicii, dar i acest aspect este sesizat numai princteva dintre numeroasele sale componente i funcii.

    Ce s-a preferat, n schimbul celor de mai sus? S-a restrns educaiamatematic la o aa zis funcie utilitar, neleas ca un ansamblu de procedeede operare, care ar avea legtur cu problemele practice i cu celelaltediscipline. Realitatea este ns alta. Metabolismul matematicii cu celelalte

    domenii este aproape inexistent n educaie iar viaa cotidian nu de formule arenevoie , ci de deprinderi de gndire n etape, pe care matematica ni leinoculeaz; cnd, totui, prin aplicarea unei simple formule nvate la coal,

    juctorii la loterie i-ar putea evalua ansele de ctig, se constat c cei maimuli nici mcar nu-i amintesc de existena ei.

    Matematica i extrage probleme de peste tot. Am putea chiar spune c celemai interesante aspecte sunt cele care apar la interfaa matematicii cu restullumii. Spre aceast zon mi-am orientat o bun parte din cercetri. Am datexemplul formulei canonice a mitului. n ultimii 30 de ani, de cnd autorul ei a

    revenit la ea, accentundu-i relevana, faptul c ea se afl n raport cu miturilentr-o relaie asemntoare celeia n care miturile se afl n raport cu viaa,

    29

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    30/37

    cercetarea formulei respective s-a intensificat i cteva sinteze dau seama despreaceste cutri. Punctul de vedere al matematicii nu a lipsit, mergnd de la logici algebr la matematica morfogenezei, a lui Ren Thom. Dar n ce a constataici rolul matematicii? S-au propus lumi alternative, coerente, n cadrul crora

    intuiiile lui Lvi-Strauss capt un statut conceptual. Nu att despre teoremeeste vorba, ci de metafore matematice a cror relevan antropologic va fi pusmereu n discuie. Matematica se afl la ora pailor peste granie, la care seraporta Werner Heisenberg, ntr-o celebr carte a sa.

    De la izolarea matematicii la universalitatea ei

    Dac aventura lingvistic a matematicii avea predecesori ilutri, de laNewton i Leibniz la Kolmogorov i Dobrushin; dac asocierea ei cu arta s-a

    aflat n atenia lui G.D. Birkhoff, A.N. Kolmogorov i H.S.M. Coxeter (pentru ane referi la secolul al XX-lea); dac imixtiunea matematicii n antropologie lavea ca iniiator pe unul dintre cei mai importani matematicieni ai secolului alXX-lea, Andr Weil, noul domeniu, semiotica, spre care aveam s m ndrept nanii 70 ai secolului trecut, purta girul celui mai important matematicianamerican al secolului al XIX-lea, Charles Sanders Peirce. Este vorba de un

    punct de vedere care-i are originea la vechii greci, trece prin teologia catolic aEvului mediu i se regsete la Leibniz, pentru a schia o mic parte dinitinerarul acestei discipline a modului de generare i transformare a semnelor.ntre matematic i semiotic legtura este att de natural, nct apare tentaiade a o considera pe prima drept o ramur a celei de a doua. Cu toate acestea, nmod paradoxal, la nceputul anilor 70 ai secolului trecut, cnd semiotica acptat o baz instituional, nu matematicienii, ci lingvitii, literaii i artitii aufost cei mai activi n promovarea studiilor de semiotic. Ulterior au aprut i

    biologii, informaticienii, matematicienii etc. Dar, ca urmare a activitii meleanterioare n lingvistic, am trecut uor la noua orientare iar Umberto Eco m-ainvitat ca raportor la Primul Congres al Asociaiei Mondiale de Semiotic, pecare-l organiza n 1974, la Milano. Semiotica s-a dovedit a fi liantul de careaveam nevoie pentru a facilita legtura dintre ideile matematice, pe de o parte, i

    problemele provenite din biologie, informatic, psihologie, literatur, economie,lingvistic, istorie, relaii internaionale etc., pe de alt parte. Un momentimportant, n aceast direcie, a fost Seminarul combinat de matematic,genetic molecular, lingvistic i informatic pe care l-am organizat laInstitutul de lingvistic al Americii (Buffalo, New York, 1971).

    Numai civa ani mai trziu, n 1976, am devenit eful echipei Universitiidin Bucureti n cadrul Proiectului Universitii Naiunilor Unite (Tokio)Obiective, procese i indicatori de dezvoltare. Dialogul cu specialiti din altedomenii, din cteva zeci de ri, pe care mi l-a prilejuit, timp de vreo apte ani,

    acest experiment a avut un rol decisiv n antrenamentul meu transdisciplinar iarn anii 80 ntreaga cunoatere mi aprea unitar i devenisem foarte contient

    30

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    31/37

    de daunele lipsei de comunicare dintre discipline.. Dar s nu uitm c nc nprima jumtate a secolului trecut ideea unei unificri a cunoaterii reveniseputernic, dominnd preocuprile Cercului din Viena; Rudolf Carnap susinea cnu exist dect o singur tiin.

    Mi s-a configurat astfel capacitatea matematicii de a fi un catalizator altransferurilor de idei, concepte i rezultate ntre domenii dintre cele mai diferite.Nu cumva tocmai izolarea la care este condamnat i confer matematiciiuniversalitatea pe care nimeni nu i-o poate contesta?

    Solidaritate cu lumea cercetrii

    Pe msur ce m implicam n domenii tot mai variate, devenea tot maidificil urmrirea impactului meu n aceste domenii. ncepusem, nc din anii

    80, s consult Science Citation Index , de acolo aflam despre unii autori care serefereau la ceea ce publicasem, dar de multe ori revistele respective erauinaccesibile. Aveam nevoie ca de aer de aceste ecouri. M citete cineva?Intereseaz pe cineva ceea ce public? Este recunoscut ntreprinderea mea drepto aciune necesar sau mcar interesant - de injectare a gndirii matematicen domenii aparent deprtate de matematic? Nu cumva sunt perceput ca unintrus? Sau ca unul care complic inutil lucrurile? Gluma care pretinde cmatematicianul este recunoscut dup faptul c d rspunsuri lung gndite,

    precise, dar inutile, nu a aprut din senin.Toate aceste ntrebri erau pentru mine expresia unei nevoi organice de a m

    cunoate, de a m evalua, independent de ceea ce birocraia universitar micerea s raportez periodic. Aa cum este de neconceput s te angajezi n studiulunei probleme fr a te interesa de cei care s-au ocupat anterior de ea, la fel degrav mi se pare atitudinea de indiferen fa de cei care au reacionat, ntr-unfel sau altul, la mesajul tu, prelund ipotetica ta tafet i ducnd-o maideparte. Acest act de solidaritate, n interiorul lumii cercetrii, ofer ocompensare mcar parial a strii de singurtate, de izolare fa de cei dinafar.

    Dar, pentru a duce pn la capt aceast idee, mai trebuie adugat ceva. Dac

    ne intereseaz reaciile celorlali, atunci este nevoie n prealabil ca mesajulnostru s ajung efectiv la ct mai muli dintre potenialii interesai. Aceastarevine la faptul c rezultatele noastre sunt publicate n locurile cele mai vizibile,deci n revistele cele mai frecventate. Numai c aceste reviste sunt i cele maiexigente. Riscul de a primi un rspuns negativ sau unul critic, implicndreconsiderarea textului, este mare. ntr-o lume grbit, care funcioneaz dupsloganul a publica sau a pieri, ntr-o lume comod, perspectiva trimiterii unuiarticol la o revist de nalt exigen nu pare atractiv.

    Cultura romn, timid n comunicarea cu lumea

    31

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    32/37

    Acceptm cu greu i de multe ori respingem realitatea n care trim.Cunoaterea s-a globalizat, cercetarea s-a globalizat i ea, monitorizarea ievaluarea lor se fac la nivel global. Suntem controlai de alii, dar, n msura ncare suntem validai, participm i noi la procesul de monitorizare i evaluare a

    altora. Situaia este perfect simetric. Ne aflm n faa unei probleme care nueste numai a fiecrui cercettor n parte, ci i a culturii romne n ansamblul ei.Aceast cultur a fost timid n ceea ce privete comunicara cu lumea. O inerieistoric trebuie acum nvins.

    Ca o consecin fireasc, fa de anii 50 i 60, am devenit mai exigent. Num limitez s constat c un anume autor mi acord atenie, m intereseazsubstana acestei atenii. Este vorba de o referin esenial sau numai de unamarginal, local sau, eventual, de una pur formal? Sau cumva demersul meueste chiar punctul su de plecare, fie pentru a-l continua, fie pentru a propune

    unul alternativ?Este el o autoritate recunoscut a domeniului sau un nceptor? Este revistan care se face referina respectiv una de mare prestigiu sau mcar unaonorabil? Mi se pare de asemenea semnificativ rezistena n timp a unuirezultat. Atenia de care beneficiaz un articol la 50 de ani dup publicarea saare o greutate mult mai mare dect citarea sa la numai civa ani dup publicare.Se ntmpl s fii citat ani de-a rndul pentru un anumit rezultat, pn nmomentul n care cineva public o sintez a domeniului respectiv, n carearticolul tu este citat cum se cuvine, dar ulterior cei mai muli nu mai trimit laarticolul n cauz, ci la sinteza care l-a nglobat. Paradoxal, cel mai nalt elogiucare se poate aduce unui anumit concept, unui anumit rezultat, este dispariianevoii de a-l mai meniona pe autor.

    O lume inefabil

    Este vorba despre lumea matematicii, o lume inefabil, n primul rnd pentruc nu se poate defini. Cnd li se cere definiia, matematicienii fac un ocol irspund prin a indica unele atribute ale domeniului lor; o definiie direct, ct dect scurt, a matematicii este evitat. Din acest punct de vedere, matematica se

    afl n situaia artei, la fel de imposibil de definit. Exist i un alt mod de a ocolidefiniia: prin indicarea diferitelor ei compartimente, de exemplu, aa cumfigureaz ele n marile reviste de referate. Acest ocol este folosit uneori i atuncicnd trebuie explicat ce este arta.

    Exist i un alt fel n care se manifest inefabilul matematicii: prin contrastuldintre modul n care se prezint matematica n lume i modul n care arat viaaei ascuns. La suprafa, matematica este dominat de deducii, de formule i dealgoritmi; ea procedeaz de la definiii, leme i teoreme la demonstraii, corolarei exemple. n cutrile i frmntrile ei, ea este strbtut de ntrebri,

    ncercri, ezitri, greeli, eecuri, tatonri, analogii, asocieri de tot felul, amintiridin ce-am trit sau ce-am visat cndva, reprezentri vizuale, testri pe exemple

    32

  • 7/31/2019 Solomon Marcus-discursReceptie

    33/37

    particulare, mirri, intuiii i emoii. Simptomatic pentru discrepana dintreaparena i substana matematicii este distana, care poate fi foarte mare, dintremomentul gsirii unui rezultat i cel al confirmrii sale prin demonstraie. Totulse ntmpl ca n celebra reflecie a lui Blaise Pascal; pentru a porni n cutarea

    unui lucru, trebuie mai inti s-l gsim. Nu este nicio contradicie aici. Gsireaeste abductiv, iar cutarea urmrete o confirmare deductiv.Ordinea n care matematica se prezint n lume este n bun msur opus

    ordinii istorice. De exemplu, noiunile de limit, continuitate, derivat iintegral sunt nvate n aceast ordine, dar ordinea n care ele s-au cristalizateste invers acesteia.

    G. Clinescu aprecia c istoria literar este o tiin inefabil. Matematicaeste inefabil, are, printre diferitele ei trsturi, i unele comune cu tiina, frns a putea fi inclus printre tiine, deoarece nu se ocup, prin destinaia ei, de

    o anumit felie