Solomon Marcus

39
www.cartiaz.ro – Carti si articole online gratuite de la A la Z SINGURĂTATEA MATEMATICIANULUI Acad. Solomon Marcus (discurs de recepţie ţinut în ziua de 27 martie, în aula Academiei Române) A fi matematician A te pretinde matematician este o cutezanţă pe care puţine persoane în cunoştinţă de cauză şi-o pot permite. Şi-a permis-o Norbert Wiener, în titlul autobiografiei sale, după ce comunitatea matematică internaţională l-a recunoscut ca autor al unor importante noţiuni şi rezultate matematice şi ca un deschizător de drumuri. Dar un alt autor, Paul R. Halmos, cu o foarte bună reputaţie în matematică, însă cu o clasă sub aceea a lui Wiener, a fost mai prudent şi şi-a intitulat volumul său de memorii ”I want to be a mathematician”(Doresc să fiu matematician). Avem deci în vedere pe matematician în ipostaza sa majoră. Drumul către această ţintă poate fi o aventură care merită a fi relatată, chiar dacă ţinta nu este efectiv atinsă. Surpriza Atunci când am devenit membru titular al acestui înalt for de cultură, am dorit să-mi prezint cât mai curând discursul de recepţie. Dar am vrut să văd, în prealabil, ce au spus în discursurile lor de recepţie profesorii mei. Am căutat deci discursurile prezentate de Simion Stoilow, Victor Vâlcovici, Octav Onicescu, Gheorghe Vrănceanu, Miron Nicolescu, Gheorghe Demetrescu, Grigore C. Moisil, Alexandru Ghika, Nicolae Teodorescu. Le-am căutat şi pe 1

Transcript of Solomon Marcus

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    SINGURTATEA MATEMATICIANULUI

    Acad. Solomon Marcus

    (discurs de recepie inut n ziua de 27 martie, n aula Academiei Romne)

    A fi matematician

    A te pretinde matematician este o cutezan pe care puine persoane n cunotin de cauz i-o pot permite. i-a permis-o Norbert Wiener, n titlul autobiografiei sale, dup ce comunitatea matematic internaional l-a recunoscut ca autor al unor importante noiuni i rezultate matematice i ca un deschiztor de drumuri. Dar un alt autor, Paul R. Halmos, cu o foarte bun reputaie n matematic, ns cu o clas sub aceea a lui Wiener, a fost mai prudent i i-a intitulat volumul su de memorii I want to be a mathematician(Doresc s fiu matematician). Avem deci n vedere pe matematician n ipostaza sa major. Drumul ctre aceast int poate fi o aventur care merit a fi relatat, chiar dac inta nu este efectiv atins.

    Surpriza

    Atunci cnd am devenit membru titular al acestui nalt for de cultur, am dorit s-mi prezint ct mai curnd discursul de recepie. Dar am vrut s vd, n prealabil, ce au spus n discursurile lor de recepie profesorii mei. Am cutat deci discursurile prezentate de Simion Stoilow, Victor Vlcovici, Octav Onicescu, Gheorghe Vrnceanu, Miron Nicolescu, Gheorghe Demetrescu, Grigore C. Moisil, Alexandru Ghika, Nicolae Teodorescu. Le-am cutat i pe

    1

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    cele ale colegilor lor din alte centre universitare: Alexandru Myller, Octav Mayer, Mendel Haimovici, Tiberiu Popoviciu, Gheorghe Clugreanu. Rezultatul acestei cutri a fost dezamgitor: niciunul dintre ei nu i-a prezentat un discurs de recepie. Faptul se explic, fr ndoial, prin lipsa de libertate care a existat in Romnia atunci cnd acetia au fost primii n Academie. Dar, chiar aa stnd lucrurile, m simeam oarecum stingherit i tot amnam discursul meu.

    Pe vremea cnd ieica i rspundea lui Enescu

    M aflu acum ntr-un moment n care orizontul meu temporal nu mai este foarte generos i de aceea m-am decis, dup multe ezitri, s m prezint n faa acestui for, cu o ncercare de recapitulare a unei viei care m umple de mirare.

    Dac profesorii mei nu i-au inut discursul de recepie, am mers la discursurile profesorilor profesorilor mei, ale celor pe care-i consider un fel de bunici spirituali. Surpriza nu a lipsit nici aici, dar ea a fost una plcut, plin de semnificaii.

    n acele vremuri, cultura romneasc avea o anumit unitate. Disciplinele nu erau nc ferm constituite iar dialogul lor era modul normal de existen. Inginerului, matematicianului i pedagogului Petrache Poenaru, care i consacrase discursul de recepie, rostit n anul 1871, lui Gheorghe Lazr i colii romneti, i-a rspuns scriitorul George Sion. Fizicianului, chimistului i matematicianului Emanoil Bacaloglu, care vorbise la 1880 despre calendar, i-a rspuns scriitorul i inginerul Ion Ghica. Discursului despre Spiru Haret, rostit de Gheorghe ieica n 1914, i-a rspuns fizicianul i meteorologul tefan C. Hepites. n 1933, compozitorul George Enescu i prezint discursul despre scriitorul Iacob Negruzzi i despre intrarea muzicii la Academia Romn iar rspunsul este dat de matematicianul Gheorghe ieica. n 1936, matematicianul Dimitrie D. Pompeiu i consacr discursul chimistului Petru Poni i medicului Ioan Cantacuzino, iar rspunsul este dat de un alt medic, Gheorghe Marinescu.

    Putem recupera acest dialog al disciplinelor?

    Frumoase vremuri! Iat ns c acum ne aflm ntr-o perioad n care, din cu totul alte motive dect cele care explic situaia din urm cu o sut ani, dialogul disciplinelor se impune ca o necesitate major. Ai vzut ns ct mirare a produs, n urm cu civa ani, rspunsul dat de un matematician la discursul rostit n aceast aul de un critic literar. Disciplinele au proliferat peste msur i uneori se uit c valoarea lor cultural este dat i de capacitatea lor comunicaional. Discursul de recepie al unui matematician nu se adreseaz numai colegilor si de breasl, ci ntregii comuniti academice. Nu ascund c

    2

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    am fost tentat de a invita pe un coleg dintr-o alt secie s-mi dea rspunsul; dar a nvins dorina de a m adresa cuiva care este martor de multe decenii la itinerarul meu spiritual i care are la activul su o remarcabil oper de creaie, n bun msur interdisciplinar.

    A czut n desuetudine discursul de recepie?

    Trebuie totui s ne ntrebm dac discursul de recepie, n forma sa tradiional, mai este actual. Dup cum ar fi cazul s ne ntrebm de ce nu se mai practic dect rareori lecia de deschidere la cursurile universitare. Am asistat, n aceast Academie, la splendide discursuri de recepie ale unor membri de onoare din strintate, n ciuda faptului c pentru ei statutul nu prevede acest discurs. Cine poate uita prezena n aceast aul a lingvistului Eugenio Coeriu sau a scriitorului Jean Lefvre DOrmesson? Este mai important momentul titularizrii dect cel al primirii n Academie? Dac rspunsul este negativ i poate c acesta este cazul atunci n-ar trebui ca momentul primirii n Academie s fie i cel al discursului de recepie (cel puin pentru a fi consecveni cu denumirea acestui discurs)?

    Singurtatea matematicii colare

    Rarele bucurii pe care mi le-a oferit matematica n adolescen au venit nu att din viaa colar propriu zis, ct din ceea ce am putut afla n timpul meu liber. Mult mai puternic s-a dovedit atunci atracia pentru literatur i pentru filozofie, dar nu ca urmare a celor nvate la coal, ci prin lecturile de acas, din cri care nu fceau parte din programa colar. Prima revelaie oferit de matematic am trit-o abia la vrsta bacalaureatului, cnd am citit ceva despre geometriile neeuclidiene, dar nu din crile de coal. Am realizat, pentru prima oar, frustrarea creia i cad victim cei mai muli copii i adolesceni. Au trecut de atunci peste 60 de ani; in tot acest timp, am urmrit evoluia matematicii colare. Dincolo de unele ameliorri locale i temporare, la vrsta de 11, 12, 13 ani se produce ruptura de pe urma creia cei mai muli elevi resping matematica i o consider un fel de pedeaps. Amintindu-ne de ceea ce scria revizorul colar Eminescu despre predarea matematicii n coal i de nsemnrile lui Spiru Haret, putem conchide c matematica colar triete, de un secol i jumtate, ntr-o nemeritat singurtate.

    Facei tabula rasa din matematica colar!

    Am optat, ntr-un moment de mare derut din toamna anului 1944, pentru studiul matematicii. Chiar de la prima or de curs, am primit de la Profesorul

    3

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    Miron Nicolescu ndemnul de a face tabula rasa din matematica colar. Desigur, aceste cuvinte nu puteau fi luate ad litteram, dar sensul lor profund mi devenise clar. Era o confirmare a impresiei la care ajunsesem la terminarea liceului: adevrata matematic nu este aceea din manualele colare, chiar dac unele cunotine cptate din ele sunt utile. Era o constatare negativ. Dar lecturile privind geometriile neeuclidiene i primele ore de curs cu Profesorul Miron Nicolescu, cel care avea s-mi devin mentor i printe spiritual, au fost primii pai spre o nelegere a naturii reale a matematicii. Iniierea n analiza matematic mi-a dezvluit dou aspecte eseniale ale ei, atenia acordat proceselor cu o infinitate de etape i discrepana dintre ceea ce devine inteligibil prin matematica acestor procese i ceea ce este vizibil, perceptibil pe cale direct. Dar mi-am dat imediat seama c aceste aspecte nu-mi erau necunoscute. Unde le mai ntlnisem? n poezia lumii, de la Eminescu, Arghezi, Blaga i Barbu la Edgar Poe, Baudelaire, Mallarm i Rimbaud. Poezia are acces la infinitul existenei, la comportamentul ei asimptotic. In acelai timp, ntocmai ca i matematica infinitului, poezia transgreseaz locul comun al existenei cotidiene, pentru a ne pune n contact cu aspectele anti-intuitive, paradoxale, ale existenei. n acest fel mi-am dat seama c veneam spre matematic marcat fiind de lecturile mele literare i filozofice.

    Lecturile din anii 50

    Prima propunere a unei teme de cercetare, din partea Profesorului Miron Nicolescu, nu m-a entuziasmat. Mi-a dat atunci un articol al lui G.P. Tolstov despre comportamentul derivatelor pariale ale unei funcii de dou variabile i m-a invitat s-i fac o lectur critic. Aa s-a nscut primul meu articol. Profesorul mi ghicise preferina pentru ceea ce se numea atunci patologia funciilor reale, un domeniu care se nscuse n secolul al XIX-lea, ca urmare a nevoii de decantare i aprofundare a noiunilor de baz ale analizei matematice. Aceast preocupare a cptat amploare n secolul al XX-lea, prin Emile Borel, Henri Lebesgue, Ren Baire i Arnaud Denjoy n Frana, prin coala polonez a lui Waclaw Sierpinski, prin ruii N. Luzin, M. Suslin i N. Bary i prin Dimitrie Pompeiu, Simion Stoilow, Alexandru Froda i Miron Nicolescu, n Romnia. In anii 50 ai secolului trecut, m-am aplecat cu atenie asupra acestor cercetri i am publicat cteva zeci de articole privind comportamentul anti-intuitiv al mulimilor i funciilor reale.

    Interesul pentru mulimile i funciile urte

    Totul era un joc de ateptri frustrate, deoarece fpturile care fceau obiectul cercetrii nu admiteau o reprezentare vizual. Cine se gndete c, atunci cnd

    4

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    traseaz o linie pe o foaie de hrtie, impune liniei respective constrngeri severe, cum ar fi obligaia de a avea o tangent n fiecare punct (eventual, cu excepia unui numr finit de puncte) i necesitatea ca acea tangent s varieze n mod continuu (eventual, cu excepia unui numr finit de puncte)? Dar i cuvntul continuu are n matematic o semnificaie mult mai general dect corespondentul ei intuitiv. Noiunea general de curb are o inteligibilitate incomparabil mai vast dect partea ei vizibil. ntre inteligibil i vizibil se produce o tensiune care nu a scpat filozofilor i cu att mai puin unui filozof matematician ca Ren Thom: vedem numai continuul (neles ca ceea ce se opune discretului), dar nelegem numai finitul.

    Nu au lipsit criticile care susineau inutilitatea unor preocupri de acest fel. Dar istoria nu le-a dat dreptate. Acele mulimi i funcii urte s-au dovedit a fi precursoare ale obiectelor care aveau s constituie punctul de plecare n geometria fractal a naturii, propus n anii 70 ai secolului trecut de Benoit Mandelbrot. Obiectele fractale se afl peste tot n jurul nostru: norii i coastele oceanelor, fulgii de zpad i micarea brownian, fenomenele biologice i cele financiare, literatura fractal i muzica fractal. Baudelaire i, pe urmele sale, Arghezi au introdus urtul n poezie, parc n nelegere cu autorii fractalilor.

    Suntem suma reaciilor celorlali

    Trecerea de la studenie la predare i cercetare a nsemnat, n bun msur, trecerea de la matematica din cursuri i manuale la aceea din monografii, tratate i, mai ales, reviste de specialitate. Matematica vie, aceea care te introduce n laboratorul de lucru al matematicianului, este numai aceea din reviste (cele de cercetare, nu de popularizare). n revistele de dat recent, gseti rezultatul celor mai proaspete frmntri i cutri ale cercettorilor. mi aduc aminte emoia cu care intram, n anii 50 i 60 ai secolului trecut, n Biblioteca de Matematic a Universitii din Bucureti sau n aceea a Institutului de Matematic al Academiei, avnd mereu ca prim ntrebare: Ce nouti ai mai primit? Dar i plcerea de a te cufunda n lectura celor care, ntr-un trecut mai mult sau mai puin ndeprtat, au fost chinuii de ntrebri i curioziti asemntoare celor de azi, ale tale, nu este de subapreciat. Pstrez i acum zeci de caiete n care copiam fragmente din articole care m interesau; era o vreme n care, nu numai c nu exista nc internetul, dar nici xeroxul nu apruse iar procedee mai rudimentare de copiat erau i ele un lux. Aa mi s-a cristalizat caracterul de tafet al cercetrii. Porneti de la probleme, idei i rezultate ale altora, ncerci s faci un pas mai departe i, dac reueti sau numai crezi c ai reuit, ncerci s transmii altora mesajul tu. Atepi cu nfrigurare reacia lor, pentru a testa n acest fel coerena, corectitudinea i interesul mesajului respectiv i pentru a vedea n ce fel este, la rndul su, dus mai departe. Aa

    5

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    cum un printe este interesat s vad cum evolueaz propria-i odrasl, ca autor al unei lucrri doreti s urmreti ecoul ei. Nu cumva tocmai n aceste reacii ale altora se afl o surs preioas pentru preocuprile tale ulterioare? Nu cumva tocmai n acest dialog generalizat se afl esena activitii de cercetare, a creaiei, n general? Bnuind c rspunsul corect la aceste ntrebri este cel afirmativ, m-a preocupat, de la primii pai n cercetare, impactul activitii mele. n msura n care l-am putut urmri (ntr-o vreme n care comunicarea cu lumea era dificil), l-am nregistrat cu grij iar cele peste o sut de caiete care s-au acumulat n aceast privin fac parte organic din biografia mea intelectual. Acum, internetul faciliteaz considerabil urmrirea acestui aspect. Biografia noastr n domeniul creaiei culturale a devenit n mare msur public.

    Anii 1956-1957: umanistica n haine noi

    n 1956 apare articolul lingvistului Noam Chomsky privind trei modele matematice de descriere lingvistic iar n 1957 apare cartea acestuia Syntactic structures, n care modelul anterior este detaliat i explicat pe ndelete. Pe de alt parte, n aceiai ani, apar la Moscova cteva articole orientate i ele spre o alian ntre lingvistic i matematic: A. N. Kolmogorov propune un model algebric al cazului gramatical, V.A. Uspenski public un model algebric al prii de vorbire iar R.L. Dobrushin propune un model algebric al categoriei gramaticale. Primele experimente de traducere automat, ncepute nc n anii 40, au un caracter predominant ingineresc, dar n 1958 O.S. Kulagina extrage din acest tip de activitate o descriere a noiunilor de baz ale gramaticii pe baza teoriei mulimilor. Tatonarea posibilitilor de traducere automat si de documentare automat n Europa occidental, n cadrul Euratom, i n S.U.A., de exemplu, prin David Hays, conduce, spre sfritul anilor 50 i nceputul anilor 60, la diverse idei de proiectivitate sintactic (Yves Lecerf i alii), o provocare interesant pentru teoria grafurilor. n toate aceste activiti sunt implicate esenial logica matematic (gramatica generativ a lui Chomsky este, n esen, un sistem formal n sensul lui Hilbert) i unele capitole de combinatoric (sistemele lui Post i probleme de tipul celor propuse la nceputul secolului trecut de Axel Thue). Tot din direcie logico-matematic provin ideile lingvistice i logice ale lui Y. Bar-Hillel (1953) i J. Lambek (1958). F. Harary i N. Paper propun n 1957 un calcul al distribuiei fonemelor, N. Chomsky prezint n 1958 o analiz a relaiei dintre lingvistic, logic, psihologie i calculatoare; n acelai an, Y. Bar-Hillel analizeaz procedurile de decizie n limbile naturale. M. Masterman discut n 1957 relaia dintre semantic i sintax n traducerea automat. La toate acestea trebuie s adugm articolul lui S.C. Kleene din 1956, privind reprezentarea evenimentelor n reele nervoase i n automate finite, n ordinea de idei inaugurat de articolul din 1943 al lui W.S.

    6

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    McCulloch i E. Pitts, asupra unui calcul logic al ideilor implicate n activitatea nervoas.

    Cum puteam rmne indiferent la noile evoluii?

    S rezumm. Dezvoltri din direcii foarte diferite fac jonciunea n a doua parte a anilor 50, aducnd ntr-o albie comun discipline dintre cele mai diverse: lingvistica, psihologia (Chomsky considera lingvistica generativ un capitol al psihologiei cognitive), calculatoarele, matematica, logica i biologia; dar prin teoria informaiei, n plin elan atunci, s-a fcut legtura i cu fizica, n special cu termodinamica. Inutil s mai adugm c filozofia se afla n faa unor provocri fr precedent. Evenimentele enumerate aveau loc ntr-un moment n care se ntea informatica n Romnia, sub bagheta extraordinarului dirijor de energii creatoare care a fost Grigore C. Moisil. i pentru c, vorba poetului, toate aceste lucruri trebuia s poarte un nume, s-au inventat diverse etichete, una dintre ele fiind lingvistica matematic. Sintactic, nu putem altura dect doi termeni; dar era clar c noile preocupri nu combinau numai dou domenii, ci mai multe. Marea noutate consta n faptul c se aflau mpreun cel puin ase discipline, dintre care trei din domeniul socio-uman. Se mai aflau mpreun tiina i ingineria. Polaritatea pascalian spiritul de geometrie, spiritul de finee i contrastul dintre cele dou culturi, la care se referea C.P. Snow, primeau o provocare fr precedent. Ne aflam n plin transdisciplinaritate.

    Cum puteam rmne indiferent la aceste evoluii? Am intrat n joc. Am simit c unor energii care ateptau de mult s se dezlnuie le-a venit ceasul. ntr-un timp record, m-am iniiat n lingvistica structural, disciplina prin care te apropiai de noile preocupri din direcia lingvisticii. Am fost ajutat n aceast privin de discuiile cu Emanuel Vasiliu, cel mai apropiat de logic i de matematic, dintre lingvitii romni ai acelui moment, i de Paula Diaconescu, entuziast cercettoare n analiza structural a limbii romne; amndoi, de la Catedra de limba romn a Universitii din Bucureti, catedr condus de Profesorul Alexandru Rosetti. Lor, li s-au adugat ulterior Edmond Nicolau i Sorin Stati. ntre Rosetti i Moisil a existat o atracie magnetic, ei au ncurajat i sprijinit o colaborare fa de care cei mai muli se artau sceptici. Sprijinul lor, la Universitate i la Academie, a permis Romniei s fie una dintre primele ri n care s-au inut cursuri universitare de lingvistic matematic i computaional i n care s-a nfiinat o revist de profil, n limbi internaionale.

    Un loz ctigtor

    7

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    Drept rezultat, a urmat o dezvoltare vertiginoas, oglindit parial n recentul volum Grigore C. Moisil and his followers in theoretical computer science (Ed. Academiei Romne, 2007).

    n aceast atmosfer, am redactat cursul de lingvistic matematic pe care Editura didactic i pedagogic mi l-a publicat n 1963, cu rezerva considerat normal fa de o ntreprindere aparent hazardat. Entuziasmul m mpiedica s sesizez caracterul aparent utopic al traseului pe care m angajam. Cursul se baza n bun msur pe cercetrile mele personale, publicate n reviste. Pentru a m testa, am trimis cartea la cteva adrese universitare potenial interesate ntr-o atare aventur. A fost un loz ctigtor. A urmat publicarea ei la New York, la Paris, la Moscova i la Praga. Marile enciclopedii Brockhaus, Encyclopaedia Universalis, Enciclopedia Einaudi, Great Soviet Encyclopaedia, Encyclopaedia of Mathematics i numeroase enciclopedii de lingvistic, de cibernetic, de informatic au menionat una sau alta dintre versiunile crii. Triam astfel o experien nou, nu mai rmneam cantonat ntr-un domeniu cu granie destul de precise, ci m aflam pe un traseu transdisciplinar, care m obliga s nv nu numai lingvistic, ci i biologia sistemului nervos, biologia ereditii, logic, psihologie cognitiv, structura limbajelor de programare i anumite capitole de matematic discret care nu erau pe linia antrenamentului meu anterior, din studiul funciilor reale i al topologiei generale.

    Am simit tot timpul, n aceast nou etap, sprijinul Profesorilor Rosetti, Moisil i Miron Nicolescu. Atunci am descoperit faptul c, prin interaciune cu disciplinele socio-umane, matematica i calculatoarele dobndesc, pentru un public destul de larg, o valoare cultural.

    n faa unei noi provocri

    n perioada iniial a activitii mele de cercetare, n care eram preocupat exclusiv de probleme de analiz matematic, m mulumeam s comunic despre ele numai cu matematicieni. De ndat ce am trecut la o activitate transdisciplinar, am devenit un interlocutor interesant pentru persoane din toate domeniile, inclusiv pentru scriitori, pentru filozofi i pentru gazetari. Toi m asaltau cu ntrebri care trdau mirarea lor fa de o posibil legtur ntre matematic i calculatoare, pe de o parte, i lingvistic, biologie i psihologie, pe de alt parte. Descopeream astfel din nou singurtatea matematicianului. coala nu le dduse nicio idee despre alte conexiuni ale matematicii dect cele cu fizica (i chiar despre acestea, informaia era derizorie). Interlocutorii mei, de multe ori oameni cu o bogat cultur, nu-i imaginau c matematica ar putea fi i altceva dect un ir de calcule cu impact preponderent ingineresc i se mirau aflnd c n matematic mai sunt multe probleme care-i ateapt rspunsul i c mereu apar probleme noi. Posibilitatea unei matematici a calitii, a

    8

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    structurii, li se prea n conflict cu natura ei. Dealtfel, am constatat c i despre lingvistic reprezentarea multora era derizorie, nu-i imaginau c aceast tiin are i altceva de fcut dect stabilirea normelor de vorbire i scriere corect.

    Matematica: o unealt util uneori

    Prin anii 1950-1951, eram i asistent la cursuri de matematic de la Politehnica bucuretean, la Electrotehnic, la Energetic i la Chimie industrial. ntr-o zi, sunt invitat de Profesorul Spacu, decan la Chimie, care-mi atrage atenia c seminarul meu este prea teoretic. Din matematic, chimia nu are nevoie dect de puin peste regula de trei. Cursul la care fceam seminarul era inut de Profesorul Racli, care m pusese n gard chiar de la prima ntlnire: S nu cumva s ncerci s faci demonstraii, c eti un om pierdut! L-am urmrit cu atenie; enunurile erau validate prin expresii de tipul Se vede pe figur c Figurile erau executate cu crete colorate i impresionau prin acuratee. Accentul cdea pe procedee, descompuse n pai caligrafiai i numerotai cu grij pe tabl. Cred c a fost unul dintre cele mai apreciate cursuri. Nu m-am putut ncadra n aceast conduit i am prsit Politehnica, pentru a m dedica n ntregime activitii mele la Universitatea din Bucureti, ca asistent al Profesorului Miron Nicolescu. De atunci, am urmrit cu atenie statutul matematicii n nvmntul ingineresc. In urm cu vreo 20 de ani, n cadrul unor dezbateri pe aceast tem, se cristalizaser dou puncte de vedere. Pentru unii, ca Profesorul Dorin Pavel, gndirea inginereasc nu se formeaz prin matematic iar rolul acordat matematicii la admiterea n Politehnic i pe parcursul studiilor este exagerat. Nici Profesorul D. Drimer nu prea a fi departe de acest punct de vedere. Pentru ei, matematica n inginerie era o simpl unealt, util uneori. Nimic mai mult. Cu o alt ocazie, i Profesorul Remus Rdule exprimase o opinie similar. Pentru alii, ca Profesorul Radu Voinea i Profesorul Alexandru Balaban, matematica este pentru inginer i un mod de gndire exemplar iar prezena matematicii la admiterea n Politehnic i pe parcursul studiilor trebuie ntrit.

    9

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    Matematica, de la unealt la limbaj

    Fizicienii teoreticieni obinuiesc de mult vreme s considere funcia de limbaj a matematicii, cu referire la capacitatea acesteia de a da o expresie concentrat i riguroas anumitor relaii. Limbajul matematic este, de la Newton i Galilei ncoace, modul de a fi al unor vaste capitole ale fizicii. Dezvoltarea teoriei ecuaiilor difereniale s-a aflat ntr-un metabolism permanent cu dezvoltarea fizicii. Ecuaiile difereniale i cele integrale au devenit modul predominat de exprimare a legilor fizicii. n secolul al XX-lea, ca urmare a dezvoltrii teoriei relativitii i a mecanicii cuantice, n jocul dintre fizic i matematic mingea este mereu i mereu pe terenul matematicii; limbajul matematic nu mai este simit aici ca rezultat al unei operaii de traducere a unor situaii nematematice, rezultnd din observaie i experiment, ci devine pur i simplu modul de existen al fenomenelor fizice.

    Apropierea dintre economie i matematic are o istorie de cteva secole. n secolul al XX-lea i mai ales n a doua jumtate a acestuia, limbajul matematic a devenit modalitatea predominant de exprimare a fenomenelor economice, fapt oglindit de un mare numr de premii Nobel n economie acordate unor lucrri foarte matematizate. Acest fapt nu este strin de apariia i dezvoltarea teoriei jocurilor de strategie, avnd ca protagoniti pe John von Neumann, Oskar Morgenstern i John Nash.

    Un alt domeniu n care matematica a ptruns n mod masiv este biologia. n prima jumtate a secolului al XX-lea a avut loc o utilizare mai degrab sub form de unealt a ecuaiilor difereniale, a teoriei probabilitilor i statisticii matematice. n a doua jumtate a secolului trecut, studiul sistemului nervos i al ereditii a beneficiat de o ptrundere masiv a limbajului matematic, rezultat din dezvoltarea combinat a matematicii, biologiei i informaticii.

    De vreo jumtate de secol, la ingineria energiei, bazat n primul rnd pe matematici continue, s-a adugat ingineria informaiei, care face apel n primul rnd la matematici discrete. Grania dintre tiin i inginerie devine tot mai problematic. De la teza de doctorat a lui Shannon, de la sfritul anilor 30 ai secolului trecut, logica matematic i ingineria intr n conexiune direct iar limbajul matematic a devenit esenial pentru disciplinele informaiei.

    n intimitatea limbajului matematic

    Exist realmente un limbaj matematic, sau este vorba aici de o simpl metafor? Cnd se pretinde c Jean-Jacques Rousseau s-a servit de limbajul matematic pentru a explica teoria sa asupra guvernrii (Marcel Franon, Le langage mathmatique de Jean-Jacques Rousseau, Isis 40 (1949), 341-344), despre ce anume este vorba? n primul capitol din cartea a treia a Contractului

    10

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    Social, Rousseau i propune s studieze diferite tipuri de relaii i fore intermediare implicate n actul guvernrii. Pentru a se face mai clar i mai sugestiv, recurge la o utilizare metaforic a rapoartelor i proporiilor din algebra elementar. O metafor de acelai tip avea s fie folosit n urm cu vreo 30 de ani de Samuel Huntington, ntr-o carte a sa de tiine politice. Sintagma limbaj matematic este, de cele mai multe ori, folosit la modul metaforic, pentru a numi o utilizare local, pasajer, a unei analogii cu un termen sau cu un simbol matematic; alteori, dar la fel de abuziv, se desemneaz prin aceast sintagm folosirea local a unei anumite formule, ntr-un text care, n cea mai mare parte a sa, nu are nimic comun cu matematica.

    Dar nici termenul de limbaj luat singur nu este mai puin echivoc. Predomin utilizrile sale metaforice sau echivalarea sa cu un sistem arbitrar de semne. In consecin, expresii ca limbajul florilor sau limbajul culorilor rmn fr acoperire, dar acceptate ca metafore. n ce condiii devine limbaj un anume sistem de semne, iat o problem foarte controversat, pe care nu o putem discuta aici. Cercetri mai aprofundate au condus la ipoteza general acceptat, conform creia sistemul de semne folosit n matematic are cele mai multe trsturi ale unui limbaj. Ca orice sistem de semne, un limbaj este dotat cu trei niveluri: sintactic, semantic i pragmatic. Limbajelor li se mai cere, de obicei, s aib o structur secvenial. Aceast condiie nu prea este ndeplinit de limbajul matematic, n a crui estur intervine, dup cum a observat Josh Ard, o dinamic de tipul montajului vertical la care se referea Eisenstein n legtur cu filmul. Dar s vedem din ce anume este alctuit limbajul matematic.

    Componentele limbajului matematic

    1) Limbajul natural (predominant n varianta limbii engleze);2) Elemente ale limbajului natural, folosite ca simboluri artificiale (a, b, c, x,

    y, A, B, sin, dy/dx, , , , , , , etc);3) Simboluri, altele dect cele de la 2): 0, 1, 2, 3, , simbolurile de

    disjunctie i de conjuncie logic, cele de reuniune, intersecie i incluziune relative la mulimi, simbolul de apartenen al lui Peano, simbolul integralei etc.;

    4) Expresii, relaii, formule, ecuaii etc. formate cu ajutorul entitilor de la 2) i 3);

    5) Reprezentri pictoriale discrete (grafuri, matrici, diagrame etc);6) Reprezentri pictoriale continue (curbe, suprafee etc);7) Programe de calculator;8) Metasisteme simbolice, cum ar fi limbajul programabil de printare TEX

    (dup grecescul techn, asociat cu latinescul texere) i cu derivatele sale, ca

    11

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    AMS.TEX i LATEX, care, sub forma unor comenzi, reglementeaz tiprirea textelor matematice;

    9) Componenta oral a matematicii.

    Cteva observaii sunt necesare. Componenta semnalat la 1) este cea mai important, deoarece limbajul natural direcioneaz ntregul comportament al limbajului matematic. Gndim prin intermediul limbajului natural, chiar atunci cnd ne prevalm de celelalte componente. Se preconizeaz, ca o medie, un echilibru prin care jumtate dintr-un text matematic rmne scris n limbaj natural. Nu trebuie confundat limbajul matematic cu limbajul axiomatic deductiv sau cu cel formalizat. Matematica nu este i (tim acum) nu poate fi n ntregime formalizat. Este uimitor felul n care toate aceste imperative de igien a educaiei sunt ignorate n matematica colar, in diferitele ei variante: manuale, predare la clas, reviste pentru elevi, examene, concursuri. Reducem educaia la aspectul ei sintactic, ignornd dimensiunea ei semantic. Dar semnificaiile se exprim n cuvinte, pentru a le nelege i exprima trebuie s construieti un discurs. Este exact ceea ce coala nu reuete. Acest eec se transmite de la coal la universitate i de la universitate n cercetare; modul n care ideile matematice sunt asimilate i utilizate este profund afectat de aceast nelegere fragmentar a lor.

    Prezena componentelor 2), 3) i 4) arat c limbajul matematic are o structur mixt, fiind alctuit dintr-o component natural i alta artificial. tim acum c n componenta artificial se regsesc toate funciile componentei naturale: metafor, metonimie, ambiguitate, relaii de coordonare i de subordonare etc. Ca urmare a prezenei componentelor 4), 5) i 6), limbajul matematic devine bidimensional i, uneori, tridimensional. O liniarizare forat rpete matematicii din fora sa euristic i sugestiv. S mai observm c limbajul matematic se prevaleaz att de reprezentri discrete ct i de reprezentri continue. Fiind un limbaj scris, el este esenial vizual.

    Componenta 9) are n vedere prezentarea oral a matematicii, care are alte reguli dect cea scris; nu dezvoltarea detaliilor, ci sublinierea ideilor, a contextului cultural-istoric, a cotiturilor periculoase. Prezentarea oral atenueaz liniaritatea discursului scris, prin distribuirea mai nuanat a accentelor. Dar, dup cum observa Dan Barbilian, un rezultat matematic nu se poate valida dect pe baza formei sale scrise.

    Funciile limbajului matematic

    Limbajul matematic exploateaz sinonimia sa infinit. Orice enun se poate reformula ntr-un mod echivalent. Demonstraiile se bazeaz pe aceast parafrazare potenial infinit a ipotezelor, proces care duce, dup un numr finit

    12

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    de pai, la concluzia dorit. n aceast activitate, sunt folosite deopotriv relaii anaforice i cataforice. Este manifest tendina de reducere a fenomenelor de omonimie, dar nu se poate ajunge la anihilarea lor total. Caracterul esenial metaforic al limbajului matematic provine n primul rnd din procesele de generalizare. De exemplu, trecerea de la numere raionale la cele iraionale, n cazul de referin al evalurii lungimii diagonalei unui ptrat cu latura egal cu unitatea, s-a bazat pe cutarea unui numr care s se afle fa de 2 ntr-o relaie similar celeia n care se afl n fa de ptratul lui n. Procesul metaforic se refer aici nu la o entitate preexistent, ci la una care se construiete prin emergena procesului respectiv. Este deci vorba de metafore autorefereniale. Metafora declanat de Pitagora, n legtur cu diagonala ptratului unitate, a avut nevoie de 2000 de ani pentru a conduce la conceptul de numr real i, n cadrul acestuia, la conceptul de numr iraional. Mai sunt apoi metaforele care sugereaz o legtur cu lumea contingent: frontier, filtru, numr raional, numr transcendent etc.

    Metonimia ine i ea de natura intim a matematicii. O problem esenial este citirea proprietilor unei mulimi pe o parte ct mai restrns a ei. Cele mai multe numere reale sunt reprezentate printr-o parte finit a lor, deoarece nu cunoatem reprezentarea lor esenial infinit i neperiodic. n afar de relaia ntreg-parte, este foarte important relaia de contiguitate determinat de inferene de diverse tipuri: inducii, deducii i abducii.

    Semantica limbajului matematic este, ca i aceea a limbajului comun, de dou feluri: aditiv (cnd semnificaia ntregii expresii se obine prin concatenarea semnificaiilor componentelor) i integrativ (cnd semnificaia ntregii expresii este diferit de semnificaia obinut prin concatenarea semnificaiilor componentelor).Un exemplu de al doilea tip este obinut prin plasarea semnului integralei n faa expresiei f(x)dx. In acest caz, dx nu mai nseamn difereniala lui x iar alturarea dintre f(x) i dx nu are semnificaia de produs. Dar notaia se explic prin dorina pstrrii analogiei cu sumele din care provine respectiva integral, printr-un proces de trecere la limit.

    Limbajul matematic realizeaz de multe ori un proces de optimizare semiotic, asemntor celui poetic. Este suficient s ne referim la cazul simplu al puterii a n-a a unui binom a+b. Putem exprima n cuvinte aceast putere pentru valori mici ale lui n, dar, de ndat ce valoarea lui n crete, pierdem controlul. Simbolismul matematic ne salveaz.

    Narativitate i dramatism n demonstraia matematic

    Dimensiunea narativ a limbajului matematic este vizibil n itinerarele de curs lung, de tipul demonstraiilor maratonice care au condus la validarea teoremei celor patru culori, a teoremei lui Fermat, a conjecturii lui Kepler etc.

    13

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    Andr Gide compara romanul cu o teorem, dar teorema se poate afla uneori la captul unei aventuri n care apar momente cu adevrat dramatice. De exemplu, teorema de clasificare a grupurilor simple finite, cu sute de autori, s-a aflat ntr-o astfel de situaie atunci cnd, n urm cu peste zece ani, murise singurul care tia cum s articuleze ntr-un ntreg rezultatele pariale ale diverilor autori. Demonstraiile cu ajutorul programelor de calculator ridic probleme delicate, privind controlul acestor programe. Imposibilitatea de a obine certitudinea adevrului anumitor teoreme este de un dramatism pe care timp de dou mii de ani nimeni nu l-a crezut posibil. Semnificativ din acest punct de vedere este textul cu care Redacia revistei Annals of Mathematics prefaeaz publicarea demonstraiei conjecturii lui Kepler, publicare aprobat n ciuda faptului c referenii nu au putut ajunge la validarea cu certitudine a demonstraiei conjecturii respective.

    Urmrirea greelilor comise n ncercrile de demonstrare a unei ipoteze importante ne permite s nelegem cum anume o greeal poate deveni o surs de creativitate. irul de greeli comise n ncercrile succesive de demonstrare a teoremei lui Fermat este unul dintre cele mai frapante exemple de acest fel. Chiar autorul demonstraiei acestei teoreme a comis, n prima sa tentativ, o greeal, pe care a ndeprtat-o ulterior. O greeal local a lui Lebesgue, ntr-un celebru memoriu al su, l-a condus, pe cel care a descoperit-o, la deschiderea unui nou capitol de topologie, teoria mulimilor analitice i proiective.

    Teatralitatea limbajului matematic

    Cuvntul teorema are, dup etimologia sa greac, semnificaia de spectacol. Dup exemplele date mai sus, nelegem c drumul spre o teorem poate fi ntr-adevr un spectacol. Acest drum abund n capcane i este nevoie de multe ori de efortul ctorva generaii de temerari care s le nfrunte, pentru a se ajunge la un rezultat; alteori nici cteva generaii nu sunt suficiente. Contrastul dintre caracterul foarte elementar al unor enunuri, cum ar fi conjectura lui Goldbach (orice numr par superior lui 2 este suma a dou numere prime), i dificultatea de a le demonstra sau infirma, chiar atunci cnd se pun n micare rezultate i instrumente dintre cele mai fine, i poate scandaliza pe matematicieni, dar, in acelai timp, i stimuleaz i i ambiioneaz n a-i multiplica eforturile n direcia respectiv.

    n cartea lor What is Mathematics?(Oxford University Press, London, 1941-1946), Richard Courant i Herbert Robbins se refer la natura teatral a analizei matematice. n definirea noiunilor de baz, ca limita unui ir, convergena sa, limita, continuitatea, derivabilitatea i integrabilitatea unei funcii etc., ntlnim mereu acelai scenariu: dou personaje, A i B, primul punndu-l mereu la ncercare pe al doilea. n cazul convergenei irurilor, A propune o valoare strict

    14

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    pozitiv a lui epsilon iar B trebuie s stabileasc dac exist un numr natural N astfel nct, pentru m i n mai mari dect N, o anumit inegalitate, incluznd pe epsilon, pe m i pe n, este satisfcut. ns B trebuie s fac fa acestui test oricare ar fi valoarea strict pozitiv a lui epsilon; nu e, ca n basmul popular, unde eroul trebuie sa fac fa, de obicei, la trei ncercri.

    Matematica, tragedia i comedia, la vechii greci

    Tragedia se asociaz cu fenomenele de hybris i nemesis. Hybris-ul este eroarea tragic, ce-l duce pe erou la moarte, dup ce a ignorat avertismentul zeilor. Pentru Scott Buchanan (Poetry and Mathematics, The John Day Company, New York, 1929, p.175-197), hybris-ul este atitudinea de arogan sau de insolen a unei naturi oarbe. Nemesis-ul este rezultatul acestei arogane: faptele se rzbun pe cel care le-a ignorat. Dar un personaj tragic trebuie nu numai s pctuiasc prin hybris, ci i s aib darul ironiei. Tragedia procedeaz prin analogie i prin substituie omogen n gndirea raional a eroului. Evenimentele sunt pregtite, controlate i interpretate, n aa fel nct s fie n concordan cu ipoteza. Are loc o dezvoltare care tinde spre integrare i generalitate.

    n matematic, lucrurile decurg n mod asemntor. Comportamentul unei funcii este tatonat prin observarea valorilor funciei atunci cnd se dau anumite valori particulare argumentului. Grecii foloseau acest procedeu pentru a identifica ceea ce ulterior avea s se numeasc valorile limit ale funciei; pe aceast cale, ei rezolvau unele ecuaii. O atare metod avea s capete o form riguroas abia cu dezvoltarea calculului diferenial, mai precis, prin noiunea de dezvoltare n serie Taylor a unei funcii, cu ajutorul derivatelor ei succesive.

    In cazul comediei, situaia este diferit. l citm pe Scott Buchanan: Aici se procedeaz prin variaie foarte larg i prin substituie eterogen. Fiecare schimbare de direcie a aciunii marcheaz descoperirea unei inconsistene, a unui plan care nu funcioneaz, a unei situaii paradoxale. i aici avem o dezvoltare, dar n faza de discriminare a capacitii de a opera distincii. Eroul unei comedii sau este capabil de a sesiza orice glum, orice vorb de spirit, sau nu-i n stare s neleag niciuna. n acest fel, toate ideile pot avea o ans egal de conflict sau de purificare. Comedia de moravuri se bazeaz pe substituia de idei.

    Dependena de contexte lungi

    Fenomenele de textualitate, de intertextualitate i de hipertextualitate, n linia de gndire a unor M Bakhtin, J. Kristeva i a celor care, prin hipertextualitate, au transgresat secvenialitatea textului tradiional, sunt la ele acas n

    15

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    matematic. ntr-adevr, ntr-un text matematic se manifest, mai mult dect n orice alt text, fenomenele de dependen la distan. Suprimai dintr-o carte de matematic primele zece pagini i riscai s nu mai nelegei aproape nimic din rest. O operaie similar ntr-o carte de geografie sau de istorie are un efect neglijabil. Faptul se explic prin structura textelor matematice; prin construcia n etape, n care fiecare etap se bazeaz n mod riguros i explicit pe etapele anterioare. Desigur, n orice demers procedm n etape care se folosesc de etapele precedente, dar de cele mai multe ori acest lucru se face prin reamintirea faptelor anterioare care urmeaz a fi utilizate. n matematic, preluarea noiunilor, conveniilor i rezultatelor anterioare are o asemenea amploare, nct reluarea lor, de fiecare dat cnd ele sunt invocate, ar pune la grea ncercare atenia i memoria i ar sabota funcia euristic a limbajului. Achiziiile etapelor anterioare trebuie ordonate cu grij, aa cum se procedeaz ntr-o locuin, prin gruparea diferitelor obiecte n dulapuri, sertare, cutii diferite. n matematic, aceast ordonare impune folosirea unei anumite terminologii i a unui anumit simbolism, prin care desemnm noile noiuni i entiti, n vederea folosirii lor ct mai comode n etapele urmtoare. Astfel emerge componenta artificial a limbajului matematic. Sub aspect istoric, acest fenomen s-a accentuat pe vremea lui Galilei i a lui Newton, accelerndu-se apoi i atingnd apogeul n secolul trecut.

    La fel n poezie, dar din cu totul alt motiv

    S precizm c dependena de contexte mari, practic, de ntregul text, are loc n ambele direcii, deci att la stnga ct i la dreapta. Aa cum un element al textului depinde strict, chiar dac indirect, de ntreaga desfurare anterioar a textului respectiv, acelai element va fi invocat, direct sau indirect, n ntreaga desfurare ulterioar a textului. Limbajul matematic este deci, prin excelen, un teritoriu de desfurare permanent a relaiilor anaforice i cataforice.

    Este interesant faptul c i n poezie localul este solidar cu globalul, se vorbete chiar despre modul n care o serie de metafore locale se acumuleaz, producnd o metafor global. Dar aceast dependen nu are, n poezie, caracterul precis i explicit pe care l are n matematic. Legtura dintre local i global este, n poezie, o operaie ambigu, interpretabil ntr-o infinitate de feluri; ea ine deci de actul lecturii i al interpretrii, aparine cititorului. Semnificaiile n matematic au un statut conceptual iar conceptele sunt susceptibile de definiii. Acest fapt le distinge de semnificaiile poetice, care manifest o tendin anticonceptual. Poezia ncearc s recupereze cu ajutorul contextului ceea ce pierde n materie de dicionar. De aceea ea are nevoie de contexte practic infinite, regsind astfel, pe o cale complet diferit, o situaie valabil i n matematic.

    16

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    Este matematica exclusiv conceptual?

    Numai c, n practic, se constat c semnificaiile matematice nu sunt epuizate de definiiile lor de dicionar; comportamentul lor contextual rezerv surprize. Faptul acesta este valabil chiar n matematica elementar. ncercai s-l nelegei pe zero numai pe baza definiiei sale i vei eua. n legtur cu capcanele acestui numr, considerat uneori, n mod abuziv, numr natural, a se vedea cartea lui Charles Seife, tradus recent n romnete: Zero. Biografia unei idei periculoase (Humanitas, 2007). Multe semnificaii din matematic i din lingvistic (a se vedea sistemele formale, gramaticile generative i diferite tipuri de maini) se introduc nu prin definiii de tip clasic (gen proxim i diferen specific), ci prin comportamentul lor ntr-un anumit proces, comportament de natur contextual. Aceast interaciune textual este un fel de dialog, de aceea Bakhtin a folosit expresia de principiu dialogic.

    Polifonia textului matematic

    Textul matematic este, pe de alt parte, prin excelen polifonic (pentru a folosi termenul propus de Bakhtin) Aa cum n muzic se suprapun dou sau mai multe pri vocale sau instrumentale, dezvoltndu-se orizontal (prin contrapunct) i vertical (prin armonie), intr-un text matematic are loc o colaborare a unor coduri de o mare varietate, date de multiplicitatea componentelor i funciilor sale, unele cu accent pe secvenialitate, altele bazate pe transgresarea ei; unele metaforice, altele metonimice; unele continue, altele discrete; unele vizuale, altul sonor. n aceast ordine de idei, Igor Shafarevich asimileaz matematica unei orchestre care execut o partitur unic, a nu se tie cui; unii membri ai orchestrei dispar, fiind nlocuii cu alii, dar motivele trec de la unii la alii iar execuia nu se ncheie niciodat. Cu referire la acelai aspect al multiplicitii de coduri puse n micare, a fost preluat, n cazul limbajului matematic, ideea cinematografic a lui Eisenstein privind montajul vertical. n ambele cazuri, are loc o articulare de elemente indexicale, iconice i convenionale, avnd ca rezultat reliefarea unei teme unice.

    Lumea numerelor, ntr-un grav impas semiotic

    Cele mai multe numere reale nu pot fi numite prin mijloace finite. Uneori pot fi artate, indicate, de exemplu pe cele care sunt limite ale unor iruri despre care se tie c sunt convergente sau, n general, pe cele care apar ca rezultat al diferitelor comportamente asimptotice. Celor mai multe numere reale nu le tim nici reprezentarea zecimal, nici reprezentarea n fracie continu. Triesc n

    17

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    devlmie, parc lipite unul de altul Cele mai multe informaii despre numere sunt de natur global, nu individual. Dificultatea cu care au putut fi gsite, abia n anul 1844, primele exemple de numere transcendente (Joseph Liouville) a dat impresia c astfel de numere sunt rare. Dar G. Cantor a spulberat aceast impresie. S-a constatat n general, c lumea numerelor inteligibile este incomparabil mai vast dect aceea a numerelor care rezult prin procese cu un numr finit de etape, aplicate numerelor ntregi. Dar sensul cuvintelor cele mai multe n aprecierile de mai sus nu este cel trivial, de majoritate numeric, deoarece avem a face cu mulimi infinite. Neglijabilul este aici n sensul cardinalitii: numerele algebrice formeaz o mulime numrabil.

    Culorile urmeaz ndeaproape situaia semiotic a numerelor. n orice limb natural, cele mai multe culori nu au nume. Dar, n contrast cu numerele, culorile beneficiaz de anumite relaii de analogie i de contiguitate, putnd lua numele obiectelor care au culoarea respectiv: crmiziu, portocaliu, mutar etc. Desigur, acest procedeu nu rezolv dect o mic parte a problemei. Curcubeul comport o infinitate de culori, cele mai multe dintre ele neputnd fi numite. Pe de alt parte, problema semiotic a culorilor este reductibil la aceea a numerelor. Vopselele au coduri combinate de litere i cifre. Numerele reale sunt, n general, cunoscute prin valori aproximative, deci prin procese metonimice.

    ntre numrare i numerotare

    Disocierea, n francez, ntre nombre i numro; n german, ntre Zahl i Nummer; n rus, ntre cislo i nomer, nu-i are analogul n romn, italian, spaniol, portughez i englez. Nombre din nombre premier i numro din numro de scurit sociale) revin, n limba romn, la acelai cuvnt: numr. Limba romn face ns distincia dintre a numra i a numerota.

    Paradoxul lui Berry se refer la nombre; paradoxul lui Richard se refer la numros; numeraia Gdel se refer la amndou.

    Este matematica numai un limbaj?

    Limbajul este partea cea mai vizibil a matematicii, partea care o trdeaz, strnind admiraia unora i repulsia altora. Rareori se ntmpl ca matematica s fie privit cu indiferen; atitudinea neutr fa de ea este mult mai puin frecvent dect atitudinea extrem, ntr-un sens sau altul. Datele de care dispunem arat c detractorii sunt incomparabil mai muli dect admiratorii. Anchetele sociologice, semnalele din mass media, declaraiile elevilor i profesorilor confirm antipatia celor mai muli pentru formule matematice, pentru ecuaii, pentru calcule. Uurina de a recunoate jargonul matematicii

    18

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    contrasteaz cu dificultatea de a defini matematica, dificultate cu nimic inferioar celeia privind definirea poeziei sau a filozofiei. Putem ns identifica diferite ipostaze, diferite aspecte ale matematicii:

    a) Domeniu de cunoatere i cercetare;b) Fenomen de cultur;c) tiin;d) Art;e) Unealt util n anumite situaii;f ) Limbaj;g) Mod de gndire;h) Catalizator al unor transferuri de idei, metode i rezultate;i) Disciplin predat n coli i universiti;j) Fenomen social;k) Joc;m) Mod;n) Mijloc de intimidare i chiar de terorizare;o) Form de snobism;p) Posibil form de patologie;q) Mod de a nelege lumea;r) Mod de via;s) Mod de a nelege propria noastr minte;t) Parte a vieii noastre spirituale;u) Filozofie.Ordinea nu este dup importan. Lista este deschis.

    Fiecare dintre aspectele de mai sus comport o ntreag discuie. ngrijortor este faptul c aspectul i, al matematicii ca disciplin de nvmnt, este aproape n ntregime confiscat, la nivel colar, de aspectul e, care vizeaz partea instrumental a matematicii, iar la nivel universitar apar, n plus, aspectele a (cunoatere i cercetare), c (tiin) i f (limbaj). Dar chiar i acestea sunt de obicei considerabil srcite; de exemplu, rareori se ntmpl ca predarea matematicii s dezvluie ntreaga bogie a aspectelor de limbaj, aa cum apar ele n multiplicitatea de componente i de funcii pe care le-am discutat anterior, n interaciunea componentei naturale cu cea artificial, a secvenialului cu polidimensionalul, a discretului cu continuul. Desigur, n msura n care participanii la procesul didactic sunt de o calitate superioar, pot aprea i celelalte aspecte. Fapt este c manualele standard dup care matematica este predat i nvat i, mai ales, criteriile dup care asimilarea ei este evaluat o transform ntr-o palid imagine a ceea ce este ea n realitate.

    Eecul educaiei matematice

    19

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    Recunoscut ca unealt uneori util, matematica era nc departe de a fi i un fapt de cultur. Ciocanul este i el o unealt util; devine, prin aceasta, cultur? Educaia primit n coal i, uneori, i cea de la facultate nu prea las s se vad c n matematic exist i idei, istorie, conflicte, interaciuni cu alte discipline, dileme privind formarea conceptelor alegerea problemelor. Din variatele moduri de gndire matematic (inductiv, deductiv, abductiv, triadic, binar, analogic, metaforic, ipotetic, infinit, combinatoric, probabilist, recursiv, topologic, algoritmic, imaginativ etc.), nzestrate cu puterea de a funciona i n afara matematicii, practic avnd o raz universal de aciune, coala nu se raporteaz dect la deducie i la combinare, uitnd c modalitatea deductiv este numai haina n care matematica se prezint n lume, nu i substana ei. Metabolismul matematicii cu celelalte discipline colare este foarte slab. Aa se ajunge la situaia actual, n care elevi i prini protesteaz mpotriva prezenei matematicii n programele colare ale unor elevi care nu-i propun s devin matematicieni. Intelectualii ajuni la vrsta evocrilor nostalgice au rareori amintiri semnificative despre orele de matematic. Dac acceptm drept cultur ceea ce i rmne dup ce ai uitat tot, atunci trebuie s recunoatem o realitate crud: cei mai muli oameni nu se aleg aproape cu nimic din matematica colar. Destui rmn marcai pe via de spaima examenelor de matematic. Dar dac mergem la sursa acestei situaii, atunci vom identifica o complicitate, e drept, neintenionat, ntre matematicieni, factorii de putere din societate i birocraia nvmntului. Este educaia matematic, prin natura ei, destinat unei elite? Sunt muli cei care dau un rspuns afirmativ acestei ntrebri. Nu m numr printre ei. Fapt este c se ajunge la ceea ce francezii numesc mathmatiques, rcettes de cuisine iar americanii, n mod similar, cook book mathematics. Din aceast monstruoas coaliie rezult caricatura de educaie matematic pe care ncercm s-o depim.

    Mrturia din 1914 a lui Gheorghe ieica

    Am cutat departe, n trecut, rdcinile acestei situaii. L-am evocat, n aceast privin, pe revizorul colar Eminescu. Cteva decenii mai trziu, iat cum ncepe discursul de recepie al lui Gheorghe ieica la Academia Romn, la 29 mai 1914:

    M gsesc printre d-voastr ca reprezentantul unei tiine pe care, cei mai muli, o socotesc mohort, pentru care lumea are o deosebit groaz, fa de care chiar respectul unora nu e lipsit de un fior care ine pe om la deprtare; n scurt, reprezint o tiin puin simpatic: matematica. Fa de singurtatea n care se afla ieica n urm cu aproape o sut de ani, s-a schimbat ceva esenial n starea de singurtate a matematicianului? S-a schimbat, da, n sensul

    20

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    agravrii situaiei, ca urmare a faptului c limbajul matematic a devenit tot mai complicat i, vorba filozofului francez Michel Henry, constituie o form de barbarie (La barbarie, Grasset, Paris, 1987), cptnd un caracter antiuman. Se ralia astfel filozofului englez George Steiner, care n Language and silence (Atheneum, New York, 1967) pleda pentru un punct de vedere similar. ieica merge mai departe i, parc anticipnd reproul care avea s fie adus matematicii i care fusese adus tiinei nc din secolul al XIX-lea, de a fi fr patrie, i continu discursul n modul urmtor:

    tiina matematic nu e legat de niciunul din resorturile noastre sufleteti care s-o fac iubit. Istoria, cu scrutarea i renvierea trecutului, literatura, cu bogia de nchipuire i strlucirea de expresii, geologia, chimia, biologia cu problemele lor de interes practic i naional n-au nevoie s-i dovedeasc foloasele. Fiecare din reprezentanii lor aici nfieaz cte o bogie a rii: bogie de gndire, bogie de simire, bogie de energii. Singur matematica nu are i nici nu poate avea o nsemntate naional.

    ieica l evoc i pe Schopenhauer, a crui prere nu prea favorabil despre matematic i despre matematicieni este bine cunoscut.

    ieica n rol de inculpat?

    Cu aceast stare de spirit, ieica aproape c adopt rolul de inculpat care trebuie s se apere n faa tribunalului academic mpotriva acuzaiei de parazitism social. O face, aducnd probe n sensul c astzi se poate dovedi cu argumente hotrtoare c tiina matematic nu e cu totul nefolositoare. Urmeaz exemple din tiina galileo-newtonian; dar rmne modest n ceea ce privete statutul matematicii: Matematica este, astfel, nu numai o limb precis, de exprimare simpl, dar i o unealt de cercetare; matematica este cea mai perfect limb n care se poate povesti un fenomen natural.

    Iat n ce situaie umilitoare s-a putut afla unul din marile spirite ale acestei ri, ntr-o societate victim a propriului ei eec n domeniul educaional. Sunt aproape o sut ani de atunci i, iat, statutul social al matematicii rmne la fel de contradictoriu. Desigur, vei spune, ieica era foarte respectat iar postura de inculpat n care s-a plasat era efectul unui anumit scenariu pe care i-a bazat discursul de recepie. Numai c respectul de care beneficiaz matematicienii nu este att expresia nelegerii semnificaiei i valorii culturale a profesiei lor, ct a consideraiei fa de un lucru bnuit a presupune un efort intelectual major, din moment ce rmne pentru cei mai muli neneles. Numai c acest fel de respect poate oricnd aluneca n suspiciune i nencredere.

    Mihai Ralea acuz psihologia matematic

    21

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    ntr-o convorbire cu Grigore Moisil, la Senatul Universitii din Bucureti, Iorgu Iordan reproa dou lucruri matematicienilor: c se laud prea mult ntre ei i c nimeni nu nelege ce fac ei. Dar de la suspiciune la contestare nu-i dect un pas; n 1954, o personalitate de subtilitatea lui Mihai Ralea acuza psihologia matematic, aflat la primii ei pai n S.U.A., de a fi un refugiu pentru concepiile idealiste n psihologie. Iat cum de la o atitudine aparent inocent se poate ajunge la respingerea unui ntreg capitol al tiinei, cu un impact major n disciplinele cognitive actuale; un capitol n care coala romneasc de teoria probabilitilor, de la Onicescu i Mihoc la Marius Iosifescu i Radu Theodorescu, s-a afirmat n mod exemplar.

    Matematica, mijloc de manipulare a maselor, a fost i rmne un slogan scos din cnd n cnd la suprafa, uneori cu scopuri ideologice, alteori din adversitate fa de cultura tiinific i tehnologic, de care matematica este n mod tradiional lipit.

    Spre domeniul lingvisticii computaionale

    Instinctiv, izolarea intelectual i social a matematicii, att de ferm exprimat de ieica n 1914, am simit-o tot timpul i a fost pentru mine un impuls de a o compensa prin extinderea razei mele de aciune. nc din anii 50 primisem un avertisment: aliana dintre matematic i lingvistic era, sub aspect istoric, asociat cu emergena calculatoarelor electronice, a informaticii i a nevoii sociale privind mrirea eficienei n procesarea limbajului natural. De la revistele de matematic i de lingvistic treceam treptat la cele de cibernetic i de informatic. n 1963, publicam la Moscova, n Problemy Kibernetiki un articol de modelare matematic a unor fenomene morfologice; n aceeai perioad, publicam un articol despre proiectivitatea sintactic n revista Computational Linguistics iniiat de Ferenc Kiefer la Budapesta; aceast revist a avut o via scurt, dar a fost una dintre primele cu acest profil. n 1967, prezentam la Grenoble o comunicare invitat la A doua Conferin Internaional privind procesarea automat a limbilor, iar un an mai trziu eram invitat la Stockholm, de ctre Hans Karlgren (Research Group for Quantitative Linguistics) la ceea ce el a numit International Conference on Computational Linguistics. Era de fapt continuarea celeia de la Grenoble, dar inaugura denumirea de Computational Linguistics, care avea s fac istorie; ea avea s se impun, rezistnd pn n zilele noastre. Observai folosirea alternativ a epitetelor quantitative i computational, simptomatic pentru acel moment nc derutant al lansrii unor noi arii de investigaie.

    De la limbajul natural la cel formal, apoi napoi la cel natural

    22

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    Comunicarea mea din Suedia se intitula Contextual grammars. n 2009, se vor mplini 40 de ani de la prezentarea acestui nou tip de gramatici, care ocup acum o literatur destul de vast. Cele mai multe contribuii se nscriu n domeniul informaticii teoretice, la capitolul de teoria limbajelor formale, dar n ultimii zece ani s-au cristalizat variante de gramatici contextuale cu impact n domeniul lingvisticii computaionale, cum se poate vedea n articolele publicate n Computational Linguistics (1998) i Linguistics and Philosophy (2001), dou dintre cele mai prestigioase reviste n materie. Pe unii i mir poate denumirea acestei din urm reviste. Dar, aa cum observa Moisil, nici filozofia nu mai este azi ceea ce a fost ea alt dat; drumul de la filozofie la inginerie nu mai are nevoie de intermediari. S-a scurtat i drumul de la tiin la inginerie. Graniele considerate pn mai ieri de netrecut sunt azi sub semnul ntrebrii. n 1997, Gheorghe Pun a publicat la Kluwer monografia de sintez Marcus Contextual Grammars, dar dup publicarea ei s-a acumulat o literatur att de vast n aceast direcie, nct acum ar fi nevoie de o nou sintez.

    Iat cum o idee nscut din nevoia de a da o variant generativ unor procedee analitice folosite n lingvistica descriptiv american se ntoarce acum la studiul limbajului natural, n perspectiv matematic i computaional, dup un itinerar de cteva decenii n informatica teoretic.

    O nou provocare: poetica matematic

    Cteva ntmplri, spre mijlocul anilor 60 ai secolului trecut, m-au condus la problemele de poetic matematic, o alt sintagm aparent oximoronic, expresie a unui alt proiect aparent utopic. Caietele mele de note de lectur i de nsemnri personale erau de mai muli ani foarte bogate la acest capitol, dar nu se vedea modul de a organiza puzderia de observaii disparate. Au intervenit ns, prin anii 1963-1965, trei evenimente care m-au ajutat s dau expresie frmntrilor mele.

    Mai nti, dintr-un articol amplu publicat n Le Monde am aflat despre moartea lui Matila C. Ghyka, romn stabilit n Occident, eminent cercettor al ritmului i al aspectelor matematice ale artei, autor a dou volume consacrate numrului de aur n biologie i n artele vizuale. Am aflat deci despre o personalitate att de puternic exact atunci cnd ea a murit. Apoi, cam n aceeai perioad, Profesorul Constantin Drmb m invita la biroul su de la Observatorul Astronomic, pentru a-mi arta nite documente. Aa am aflat despre Pius Servien (fiul astronomului Nicolae Coculescu), ale crui cri publicate la Paris n anii treizeci ai secolului trecut au contribuit, concomitent cu cele ale lui Ghyka, la naterea esteticii matematice, ale crei baze le pusese George D. Birkhoff cu civa ani mai devreme. In sfrit, parc n complicitate cu celelalte dou ntmplri, Profesorul Octav Onicescu m invita s studiez

    23

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    relevana poetic a noiunii de energie informaional, pe care tocmai o introdusese ntr-un articol din Comptes Rendus de LAcadmie des Sciences (Paris). Contactul cu opera lui Birkhoff, Ghyka i Servien a fost decisiv. Am reacionat imediat la mesajul lor i am simit nevoia de a-l duce mai departe. Aveam impresia c-i purtam de mult n mine i c a sosit momentul de a intra n scen i a-mi juca rolul. Notorietatea de care beneficiam de pe urma lingvisticii matematice m-a ajutat s-mi plasez uor ideile privind contrastul dintre limbajul tiinific i cel liric. Roland Barthes mi ceruse o colaborare pe aceast tem, pentru un numr special din revista Langages, pe care-l edita la Paris.

    Putem msura frumuseea? Pariul lui Birkhoff, Escher i Coxeter

    n 1970, public Poetica matematic. De aceast dat, scandalul l-a ntrecut pe cel anterior, de la apariia Lingvisticii matematice, fapt firesc, deoarece poetica este mult mai popular dect lingvistica. Acest experiment n testarea reaciilor fa de o posibil relevan a matematicii n teritorii ale artei a artat unde anume este principala rezisten: matematicii i se recunoate capacitatea de a aprofunda structurile prozodice ale versului, aspectele structurale, formale ale figurilor retorice, aspectele tipologice ale narativitii, tipurile de geometrie teatral, dar i se refuz o eventual pretenie de a facilita accesul la inefabilul poetic sau de a furniza criterii de evaluare a calitii artistice a unui poem. Dar G.D Birkhoff tocmai acest lucru l preconiza: un mod matematic de a aprecia plcerea estetic pe care o genereaz obiect. El pornete de la figuri geometrice dintre cele mai simple i de la piese muzicale dintre cele mai simple i propune procedee de apreciere a gradului lor O de ordine i a gradului lor C de complexitate. Apoi lanseaz ipoteza conform creia plcerea estetic produs de obiectele respective ar fi proporional cu O i invers proporional cu C. Ideile sale au fost suficient de provocatoare pentru a constitui obiectul unei prezentri invitate la Congresul Internaional al Matematicienilor, din 1928. Experimentul i ipoteza lui Birkhoff trebuie nelese ca o lucrare de laborator privind psihologia creaiei artistice. Ulterior, ideile sale aveau s fie exprimate i discutate n termeni de teoria matematic a informaiei, n cadrul colii germane a lui Max Bense. Pe de alt parte, tentativa de a aprecia comparativ valoarea estetic reapare n creaia lui M.C. Escher, n cadrul colaborrii sale cu geometrul H.S.M. Coxeter, criteriile fiind i aici bazate pe ordine i pe complexitate.

    De la respingere ferm la entuziasm debordant

    Era inevitabil ca din toat aceast poveste s izbucneasc un mare scandal. Ceea ce la autorii de mai sus are un caracter ipotetic, de experiment local,

    24

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    capt n ochii unora proporiile unei blasfemii. Era respins tentativa de a pune arta n ecuaii i n formule; la aceasta se reducea, pentru unii, aciunea de a da un sens sintagmei poetica matematic. Dar ar fi nedrept s omitem faptul c destule spirite luminate din domeniul umanist au reacionat ntr-un mod nuanat i, de multe ori, interesant. n cele cteva zeci de recenzii ale crii mele, aprecierile au mers de la negare ferm, dar cu argumente trimind la autorii latini din partea specialistului n retoric Vasile Florescu, pn la entuziasmul debordant al lui Jean-Marie Klinckenberg (Grupul de retoric de la Lige), care vedea n poetica matematic o etap superioar n nelegerea poeziei. ntre aceste extreme, s-au plasat muli dintre cei mai buni scriitori, critici, esteticieni ai acelui moment. Poeii sunt foarte deschii fa de alturrile inedite de termeni, sunt gata s le accepte i s le caute posibile semnificaii, dar, n aceast cutare, ei i dezvluie, inevitabil, prejudecile acumulate n legtur cu matematica. Pe de alt parte, n felul n care cei de formaie umanist m-au recenzat s-a putut deslui modul n care ei presupun c o formaie matematic ar putea fi o piedic n calea unei nelegeri autentice a poeziei. Replica poetului Nichita Stnescu, ntr-o poezie pe care mi-a dedicat-o, este semnificativ: Matematica s-o fi scriind cu cifre / dar poezia nu se scrie cu cuvinte. Dar este bine cunoscut replica dat de un important poet francez, unui interlocutor care se plngea c nu scrie poezie deoarece nu are idei: Poezia nu se face cu idei, ea are nevoie de cuvinte. Cine are dreptate? Pentru a nelege ce a vrut s spun Nichita n versurile de mai sus, scrise n 1970, trebuie s mergi la Necuvintele sale din 1969 i la volumul de poetic Respirri, din 1982.

    Poezia i matematica au n comun contrastul dintre haina n care ies ele n lume i viaa lor ascuns.

    Provocarea lui Claude Lvi-Strauss

    n 1978, am editat la Klincksieck (Paris) lucrarea colectiv La smiotique formelle du folklore; Approche linguistico-mathmatique, care a trezit interesul Profesorului Pierre Maranda, directorul Departamentului de Antropologie cultural al Universitii Laval (Qubec). Am fost invitat acolo cu un scop precis: s reflectez asupra unei formule pe care o lansase Claude Lvi-Strauss n 1955, dar care i pstrase de-a lungul anilor caracterul ei enigmatic. n trei ani succesivi, de fiecare dat cte patru luni, am venit la aceast Universitate, pentru a m cufunda n cercetarea operei lui Lvi-Strauss. Formula sa avea aerul unui enun matematic, dar aparena era neltoare. ntr-o terminologie teatral, ea spunea, n esen, c un actor a n rolul x se afl fa de un alt actor b, aflat n rolul y, ntr-o situaie asemntoare celeia n care s-ar afla b n rolul x fa de rolul y, devenit actor interpret al unui rol a-1 obinut prin inversarea actorului a. Se observ c are loc o dubl rsucire, prima privete transformarea rolului y n

    25

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    actor, iar a doua const n transformarea, prin inversiune, a actorului a n rolul a1. Timp de cteva decenii, nimeni nu a neles nimic din acest enun. Nici mcar autorul acestei pretinse formule nu ddea impresia c-i mai aduce aminte de ea.

    Dar anumite amintiri ndemnau la precauie Nici infiniii mici ai lui Leibniz nu au fost nelei iar nenelegerea s-a risipit abia dup vreo trei sute de ani, prin analiza non-standard a lui Abraham Robinson. Pe de alt parte, acum tim c antropologul cruia i vom marca centenarul

    n acest an a devenit un termen de referin pentru evoluia ideilor n secolul al XX-lea. n anii 40, cnd se afla n Statele Unite, i-a propus unui tnr matematician, Andr Weil (azi recunoscut drept unul din geniile matematice ale secolului trecut), o problem privind regulile de cstorie n societile primitive. Rspunsul, sub forma unui articol de cteva pagini, a constituit naterea unui nou domeniu: matematica relaiilor de rudenie. Lvi-Strauss a demonstrat c, dei cultura sa matematic este srac, poate chiar derizorie, potenialul matematic al ideilor sale este imens. Eram avertizat c dispune de o extraordinar capacitate de a adresa ntrebri eseniale.

    De la mituri la literatur i la matematic

    Literatura a aprut, n tradiia occidental, pe vremea lui Homer, deci cu cteva secole naintea matematicii (Thales i Pitagora). Amndou sunt, ntr-un anume sens, fiice ale miturilor, de la care au preluat funcia de simbolizare i situarea ntr-un univers de ficiune, care mediaz relaia cu lumea real. ntr-o etap destul de trzie a evoluiei lor, literatura mai nti, matematica ulterior, s-au prevalat de un alt aspect al miturilor: transgresarea a ceea ce numim azi logica tradiional, prin nclcarea unuia sau altuia dintre cele trei principii: de identitate, de necontradicie i cel al terului inclus. Drept urmare, toate trei practic paradoxul, la diferite niveluri: sintactic, semantic sau pragmatic. O consecin inevitabil a acestei situaii este conflictul cu intuiia curent, decalajul dintre ceea ce este inteligibil i ceea ce este vizibil. Toate trei se afl sub semnul unor ateptri frustrate. Toate trei dezvolt un principiu de optimizare semiotic: maximum de gnd n minimum de cuprindere (pentru a folosi o expresie a lui Dan Barbilian, n legtur cu Gauss).

    O alt trstur comun privete principiul holographic: n anumite condiii, aspectul local, individual, poate da seama despre aspectul global. n mituri, exist o legtur strns ntre persoan i univers, ntre anthropos i cosmos. n literatur, clipa poate da seama despre eternitate, un copac d seama despre toi copacii lumii. William Blake vede lumea ntr-un grunte de nisip iar eternitatea ntr-o or. n matematic, putem deduce comportamentul global al unei funcii

    26

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    analitice din comportamentul ei local. Aa s-a ajuns s se enune ipoteza structurii holografice a creierului uman i a universului.

    O alt trsur comun este prezena elementului ludic; alta se refer la prezena metaforei. Am mai putea vorbi despre prezena infinitului i despre depirea, ntr-un fel sau altul, a cadrului Euclidian. Dar ne oprim aici.

    Matematica: spiritualitate, libertate, gratuitate

    Iat deci un tablou mai puin, dac nu deloc cunoscut al matematicii. Desigur, dincolo de aceste analogii ntre matematic, pe de o parte, mituri i literatur, pe de alt parte, putem dezvolta un ntreg ir de deosebiri ntre ele; dar aceste deosebiri nu pot fi nelese corect dect n contextul elementelor comune, eseniale pentru situarea istoric a matematicii ca fenomen de cultur.

    Mai nti, urmrind firul dezvoltrii matematicii la vechii greci, constatm caracterul predominant spiritual al ei, vocaia contemplrii unor armonii de forme i arhetipuri. Inventarea teoremei este o achiziie spiritual care, numai ea singur, ar fi suficient pentru a asigura prestigiul peste milenii al culturii vechilor greci. La Pitagora, matematica i muzica sunt inseparabile, amndou raportate deopotriv la cosmos i la arhitectura spiritului uman. Numerele, intervalele muzicale i micarea corpurilor cereti conduc la ceea ce s-a numit muzica sferelor. Cele cinci tipuri de poliedre regulate puse n eviden de Platon sunt entiti la fel de fundamentale ca dreapta, cercul, ptratul i sfera, la Euclid, i fac parte din viziunea lui Platon asupra matematicii ca reprezentare a universului. Le gsim n mituri, n diferitele religii, n simbolismul artelor i n rezultatele fundamentale ale tiinei. Numrul prim, irul lui Fibonacci, proporia de aur, ideile de grup, de mulime ordonat, de spaiu topologic, banda lui Mbius, sticla lui Klein, noiunea de infinit mic, la Leibniz, i universul non-standard al lui Robinson rezum structuri, prototipuri i procese sau comportamente cu valoare universal. De aceea pot aprea deopotriv n natur i n cultur, n tiin i n art, n natura inert i n cea vie. Pentru cultura vechilor greci, Platon reprezint cea mai nalt expresie a matematicii ca aspect fundamental al spiritului uman. Pentru Aristotel, discipolul lui Platon, matematica nu este o parte a tiinei i nu este subordonat acesteia; matematica se ocup de obiecte al cror interes este de sine stttor i care admit o motivare estetic.

    Spiritualitatea matematicii : secolele XIII-XVII

    Sf. Augustin (354-430) preluase de la Platon fascinaia pentru numere iar de la Euclid metoda de procedare axiomatic-deductiv. Aceast metod avea s fie urmat de teologia catolic pn spre secolul al XVII-lea. Dar nu numai

    27

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    teologia, ci i alte discipline au urmat aceeai cale; a se vedea Etica lui Spinoza(1632-1677) i mecanica newtonian. Duns Scotus (secolul al XIII-lea) se ocup de problema existenei i infinitii lui Dumnezeu, folosind procedee care prefigureaz noiuni din ceea ce azi numim teoria mulimilor ordonate. Nicolaus Cusanus (1401-1464) vede n matematic unicul mod de a ajunge la certitudine. Ca i Descartes, mai trziu, Cusanus adopt ipoteza unui Univers indefinit (nu infinit). N. Copernic (1473-1543) propune, n lucrarea sa privind micrile de revoluie ale sferelor cereti (1540), un model matematic al heliocentrismului. Opera lui Copernic a rmas n primul rnd pentru valoarea ei tiinific, dar i calitatea ei literar este remarcabil; este un poem dedicat Soarelui i Cercului.

    n perioada Renaterii (secolul al XV-lea) are loc o alian fericit ntre artele vizuale i matematic, prin nume ca Leonardo da Vinci, Bruneleschi, Alberti, Albrecht Drer, Piero della Francesca i Bombelli. Se realizeaz astfel un progres substanial n nelegerea perspectivei (reprezentarea spaiului cu trei dimensiuni n cel cu dou dimensiuni).

    Galileo Galilei (1564-1642), prin Il Saggiatore, Sidereus Nuncius i mai cu seam prin opera sa Dialog se nscrie n istorie drept unul dintre prinii tiinei moderne, prin recunoaterea rolului central al matematicii n nelegerea lumii. Dar, dup cum au atras atenia Leopardi i Italo Calvino, prin aceleai opere Galilei rmne i ca unul dintre marii scritori n proz ai Italiei. Un alt savant dublat de un scriitor este Johanes Kepler (1571-1630), care n Astronomia Nova (1609) face apel la cele cinci tipuri de poliedre ale lui Platon pentru a studia interaciunea dintre om i cosmos. Kepler demonstreaz c traiectoriile planetelor nu sunt circulare, cum se credea, ci eliptice; sunt astfel aduse n atenie seciunile conice ale lui Apollonios de Perga (262-180). Pasul urmtor: Isaac Newton (1642-1727) descoper legea atraciei universale (1687).

    Ren Descartes (1586-1650) preconizeaz o tiin unificat, avnd ca model matematica. Asemenea lui Galilei, Descartes crede c matematica este cheia care deschide drumul spre o imagine global, unificat i coerent a lumii. Plecnd de la matematic, Descartes s-a simit proiectat n fizic, filozofie, psihologie, fiziologie i cosmologie, n toate acestea devenind un pionier. n Discurs asupra metodei, Descartes strlucete nu numai prin deducie filozofic, ci i prin aspectul literar.

    Spiritualitatea matematic: secolele al XVIII i al XIX-lea

    n Convorbirile sale cu Eckermann, Goethe are unele reflecii privind matematica. ntr-una dintre ele, consider c matematica este o art care ar trebui s se declare independent de ceea ce i este exterior, pentru a-i urma marele ei traseu spiritual, capabil s cuprind mai mult dect nelegerea lumii

    28

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    comensurabile i msurabile. Pe de alt parte, Kant consider c matematica este o tiin, dar o tiin a spiritului (Geisteswissenschaft), ceea ce l apropie de poziia lui Goethe, deoarece amndoi sunt de accord c matematica nu-i are locul alturi de tiinele naturii (Naturwissenschaften). Tot Kant consider c partea cea mai profund a matematicii este aceea care este cultivat ca fiind interesant n sine, deci pentru propria ei plcere.

    Matematicianului nu-i poate rmne lipsit de interes faptul c anumite situaii paradoxale, care au intrat n raza de preocupri a matematicii abia spre sfritul veacului al XIX-lea, au aprut mult mai devreme n literatur. De exemplu, n secolul al XVIII-lea, Lawrence Sterne, n Tristram Shandy, recurge la situaii autorefereniale iar, n secolul al XIX-lea, Lewis Carroll se prevaleaz sistematic de paradoxuri n Alice in Wonderland i n Through the looking glass. Dar de aceast dat este vorba de un profesor de matematic (Charles Dodgson, alt nume al lui Lewis Carroll); acesta este pasionat de jocul cu probleme de matematic i de logic, pe care le introduce ntr-o form paradoxal n literatura sa debordnd de imaginaie. ntr-un fel, l putem considera pe Lewis Carroll ca un precursor al literaturii absurdului, deoarece i introduce de multe ori pe cititori ntr-o lume a haosului i a lipsei de sens.

    n secolul al XIX-lea, George Boole este atras de problemele cunoaterii iar lucrarea sa devenit clasic se intituleaz Investigaii asupra legilor gndirii. Proiectul su de articulare a logicii, algebrei, limbajului i gndirii era clar o ncercare temerar de ptrundere n arhitectura spiritului uman. Am aflat astfel c o condiie necesar pentru realizarea corespondenei urmrite de Boole este natura binar a cadrului algebric considerat. Aa se face c numele lui Boole a rmas n memoria colectiv a matematicienilor asociat cu binaritatea. Boole l continua pe Leibniz, de aceea Leibniz trebuie i el introdus n aceast mare tradiie spiritual a matematicii.

    n Hard times (1854),Charles Dickens se folosete de un studiu al lui Sissy Jupe privind proporiile, pentru a protesta contra entuziasmului unor contemporani ai si pentru analiza aritmetic i statistic a condiiilor economice i sociale din industria englez.

    n secolul al XIX-lea, sub influena geometriilor neeuclidiene, literatura a preluat unele preocupri privind lumile cu mai multe dimensiuni. n Flatland (1884), Edwin Abbott introduce un narator care triete ntr-un univers bidimensional. Apare o sfer i naratorul ncearc s-i conving cetenii de existena celei de a treia dimensiuni, dar este arestat. Progresul nu este acceptat.

    Dubla singurtate a matematicii

    Matematicianul are nevoie de singurtate pentru a se proteja. Nu este vorba de linitea necesar oricrei activiti intelectuale, ci de faptul c, prelund o

    29

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    anumit ntrebare, el o transform, pentru a-i da un sens. Autorul ntrebrii, un inginer, un fizician, un economist, un lingvist sau altcineva, se simte de multe ori frustrat, el are impresia c problema lui a fost nlocuit cu o alta. Dintr-o dat, are loc o desprire de lume, se nate o suspiciune. De aici i gluma conform creia un matematician i rezolv orice problem, n afar de aceea care te intereseaz. S-l citm, ntr-o traducere aproximativ, pe Goethe (tot din Convorbirile cu Eckermann): Matematicienii sunt ca francezii; le propui o problem, ei o trec pe limba lor i mai departe nu mai nelegi nimic. De aici, s-a dedus uneori c Goethe nu-i agrea pe matematicieni. Este ns mai potrivit s credem c autorul lui Faust avea o profund nelegere a naturii activitii matematice, n care se manifest un mod specific de a distinge un enun cu sens de unul fr sens i o percepie special a demarcaiei dintre claritate i obscuritate. Mai este apoi faptul c, instinctiv, matematicianul caut s se foloseasc de acele pri ale matematicii care-i sunt familiare, deci modul de a da un sens unei ntrebri depinde i de tipul culturii sale matematice. Structurile, formele, tiparele, formaiunile matematice de orice fel se mbogesc mereu i sunt apte, prin generalitatea i varietatea lor, de a gzdui idei dintre cele mai diverse; iar, dac imaginaia sa este suficient de bogat, el va mbogi repertoriul existent cu formaiuni noi.

    Dar, concomitent cu singurtatea care-l are pe el ca autor, matematicianul triete singurtatea pe care matematica o resimte n viaa social. ncepnd cu anii de gimnaziu, cei mai muli elevi resping ceea ce li se propune sub eticheta matematicii, rmnnd pe via marcai de aceast experien negativ. Dac se mai ntlnesc cu ea, n studenie sau profesie, este vorba de aspectul unealt, sub forma unui algoritm, a unei formule, a unei reprezentri grafice de care se prevaleaz la un anumit moment, ntr-un itinerar care, n ansamblu, nu este de natur matematic. ntr-un caz mai fericit, dar destul de rar, apare nevoia de a face apel la matematica-limbaj, deci nu numai la o utilizare local, ci la una care angajeaz, pe un ntreg parcurs, folosirea limbajului matematic, dac nu n toate cele 9 componente ale sale, mcar cu o parte a lor. Pariul educaiei matematice se refer la faptul c modul de gndire pe care-l ofer aceast disciplin are o valoare universal, deci este folositor n orice alt disciplin i n orice domeniu al vieii. n momentul de fa, ne aflm la o distan astronomic de mplinirea acestui deziderat. Concludent este i faptul c, ajuni la vrsta a treia, cei mai muli nu-i amintesc din matematic nicio idee, niciun fapt cu semnificaie cultural; numai unele cuvinte-sperietoare, ca logaritm, sinus sau rdcina ptrat, le mai apar n memorie, ca un vis urt. Izolarea social i cultural a matematicii este grav.

    La ora pailor peste granie

    30

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    Matematica este aruncat n derizoriu de modul n care se face educaia ei i de percepia ei public. Faptul acesta iese n relief de ndat ce, prin contrast, lum n considerare complexitatea cultural i datele istorice privind potenialul spiritual al matematicii, pe care ne-am strduit s le configurm. Ele ne ajut s nelegem de unde anume vin bogia intelectual, fora artistic; universalitatea n cuprindere i capacitatea de seducie a matematicii, atunci cnd aceasta rmne autentic i nu nlocuit cu o caricatur a ei.

    Deocamdat ns, toate aceste comori rmn ascunse, chiar inexistente, n educaie, n percepia public, n cultur, n orizontul celor mai muli intelectuali. Nici mcar cei care, prin profesie, au contact cu partea instrumental a matematicii (fizicieni, ingineri, economiti etc.), de cele mai multe ori nu ajung la aerul tare al marilor spectacole pe care le ofer matematica. Aa cum am ncercat s artm, limbajul nu este dect unul dintre multele aspecte ale matematicii, dar i acest aspect este sesizat numai prin cteva dintre numeroasele sale componente i funcii.

    Ce s-a preferat, n schimbul celor de mai sus? S-a restrns educaia matematic la o aa zis funcie utilitar, neleas ca un ansamblu de procedee de operare, care ar avea legtur cu problemele practice i cu celelalte discipline. Realitatea este ns alta. Metabolismul matematicii cu celelalte domenii este aproape inexistent n educaie iar viaa cotidian nu de formule are nevoie, ci de deprinderi de gndire n etape, pe care matematica ni le inoculeaz; cnd, totui, prin aplicarea unei simple formule nvate la coal, juctorii la loterie i-ar putea evalua ansele de ctig, se constat c cei mai muli nici mcar nu-i amintesc de existena ei.

    Matematica i extrage probleme de peste tot. Am putea chiar spune c cele mai interesante aspecte sunt cele care apar la interfaa matematicii cu restul lumii. Spre aceast zon mi-am orientat o bun parte din cercetri. Am dat exemplul formulei canonice a mitului. n ultimii 30 de ani, de cnd autorul ei a revenit la ea, accentundu-i relevana, faptul c ea se afl n raport cu miturile ntr-o relaie asemntoare celeia n care miturile se afl n raport cu viaa, cercetarea formulei respective s-a intensificat i cteva sinteze dau seama despre aceste cutri. Punctul de vedere al matematicii nu a lipsit, mergnd de la logic i algebr la matematica morfogenezei, a lui Ren Thom. Dar n ce a constat aici rolul matematicii? S-au propus lumi alternative, coerente, n cadrul crora intuiiile lui Lvi-Strauss capt un statut conceptual. Nu att despre teoreme este vorba, ci de metafore matematice a cror relevan antropologic va fi pus mereu n discuie. Matematica se afl la ora pailor peste granie, la care se raporta Werner Heisenberg, ntr-o celebr carte a sa.

    De la izolarea matematicii la universalitatea ei

    31

  • www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z

    Dac aventura lingvistic a matematicii avea predecesori ilutri, de la Newton i Leibniz la Kolmogorov i Dobrushin; dac asocierea ei cu arta s-a aflat n atenia lui G.D. Birkhoff, A.N. Kolmogorov i H.S.M. Coxeter (pentru a ne referi la secolul al XX-lea); dac imixtiunea matematicii n antropologie l avea ca iniiator pe unul dintre cei mai importani matematicieni ai secolului al XX-lea, Andr Weil, noul domeniu, semiotica, spre care aveam s m ndrept n anii 70 ai secolului trecut, purta girul celui mai important matematician american al secolului al XIX-lea, Charles Sanders Peirce. Este vorba de un punct de vedere care-i are originea la vechii greci, trece prin teologia catolic a Evului mediu i se regsete la Leibniz, pentru a schia o mic parte din itinerarul acestei discipline a modului de generare i transformare a semnelor. ntre matematic i semiotic legtura este att de natural, nct apare tentaia de a o considera pe prima drept o ramur a celei de a doua. Cu toate acestea, n mod paradoxal, la nceputul anilor 70 ai secolului trecut, cnd semiotica a cptat o baz instituional, nu matematicienii, ci lingvitii, literaii i artitii au fost cei mai activi n promovarea studiilor de semiotic. Ulterior au aprut i biologii, informaticienii, matematicienii etc. Dar, ca urmare a activitii mele anterioare n lingvistic, am trecut uor la noua orientare iar Umberto Eco m-a invitat ca raportor la Primul Congres al Asociaiei Mondiale de Semiotic, pe care-l organiza n 1974, la Milano. Semiotica s-a dovedit a fi liantul de care aveam nevoie pentru a facilita legtura dintre ideile matematice, pe de o parte, i problemele provenite din biologie, informatic, psihologie, literatur, economie, lingvistic, istorie, relaii internaionale etc., pe de alt parte. Un moment important, n aceast direcie, a fost Seminarul combinat de matematic, genetic molecular, lingvistic i informatic pe care l-am organizat la Institutul de lingvistic al Americii (Buffalo, New York, 1971).

    Numai civa ani mai trziu, n 1976, am devenit eful echipei Universitii din Bucureti n cadrul Proiectului Universitii Naiunilor Unite (Tokio) Obiective, procese i indicatori de dezvoltare. Dialogul cu specialiti din alte domenii, din cteva zeci de ri, pe care mi l-a prilejuit, timp de vreo apte ani, acest experiment a avut un rol decisiv n antrenamentul meu transdisciplinar iar n anii 80 ntreaga cunoatere mi aprea unitar i devenisem foarte contient de daunele lipsei de comunicare dintre discipline. Dar s nu uitm c nc n prima jumtate a secolului trecut ideea unei unificri a cunoaterii revenise puternic, dominnd preocuprile Cercului din Viena; Rudolf Carnap susinea c nu exist dect o singur tiin.

    Mi s-a configurat astfel capacitatea matematicii de a fi un catalizator al transferurilor de idei, concepte i rezultate ntre domenii dintre cele mai diferite. Nu cumva tocmai izolarea la care est