SISTEME TRIFAZATE. CARACTERIZARE. PROPRIETIUn ansamblu de trei circuite electrice n care acioneaz trei tensiuni electromotoare alternative, cu aceeai frecven, dar cu fazele iniiale diferite, este numit sistem trifazat de circuite. Cele trei tensiuni electromotoare formeaz un sistem trifazat de tensiuni electromotoare, iar curenii care circul prin aceste trei circuite (numite de obicei fazele sistemului trifazat) formeaz un sistem trifazat de cureni.Sistemul trifazat de cureni care circul prin cele trei faze are forma:) sin( 21 1 1 + t I i) sin( 22 2 2 + t I i(21.1)) sin( 23 3 3 + t I in complex simplificat (deoarece au aceeai frecven), sistemul trifazat de cureni se scrie:; ; ;3 2 13 3 2 2 1 1 j j je I I e I I e I I (21.2)21.1. SISTEME TRIFAZATE SIMETRICEUn sistem trifazat simetric este un sistem de trei mrimi sinusoidale care au aceeai valoare efectiv i sunt defazate ntre ele cu acelai unghi 32 . Dac succesiunea mrimilor din diagrama fazorial este spre dreapta, sistemul se numete direct (de succesiune direct), iar dac succesiunea mrimilor este spre stnga sistemul se numete invers (de succesiune invers).n figura 21.1 este reprezentat diagrama fazorial a unui sistem simetric direct de cureni. Fazorii, I1, I2 i I3 se succed spre dreapta. n valori instantanee, aceti cureni se exprim prin relaiile: ) sin( 21 + t I i)32sin( 22 + t I i (21.3))32sin( 23 + + t I iiar n complex ei sunt:. ; ;323322 1

,_

+ ,_

j jjIe I Ie I Ie I (21.4)Reprezentarea n funcie de timp a relaiilor (21.3) este dat n figura 21.2.Un sistem trifazat simetric invers de cureni se scrie n valori instantanee :1Fig. 21.1Fig. 21.2) sin( 2 '1 + t I i)32sin( 2 '2 + t I i(21.5))32sin( 2 '3 + + t I iComparnd relaiile (21.3) i (21.5) se observ c diferena dintre sistemul direct i cel invers nu are un caracter obiectiv, i ea depinde de ordonarea mrimilor respective.Dac se utilizeaz notaia:,232132j e aj+ (21.6) sistemul trifazat simetric direct poate fi scris sub forma:. ; ;32 322 1I a I I a Ie I I Ie Ijj

,_

(21.7)Operatorul a este un operator de rotaie. Fazorul a I este rotit cu unghiul 32n sens trigonometric. nmulirea unui fazor cu a2 l rotete n planul complex cu unghiul 32 n sensul acelor de ceasornic (sens invers trigonometric). Se verific uor relaiile:2321322 4j e a a aj 2321321 5 2j e a a aj (21.8)10 0 6 3 je a a ai de asemenea:1+a+a2=0. (21.9)Numerele complexe, l, a i a2 sunt reprezentate n figura 21.3. ntr-un sistem trifazat simetric, se demonstreaz imediat relaia:I1+ I2+ I3= I(1+a+a2)=0,(21.10)adic suma fazorilor care reprezint un sistem simetric (direct sau invers) este nul. Acast relaie este valabil i pentru valorile instantanee ale mrimilor sistemului simetric (relaia 21.3)i1+ i2+ i3=0.(21.11)n studiul reelelor trifazate intervine adesea diferena a dou mrimi din sistemul trifazat, care se calculeaz n valori instantanee cu relaia:.6sin 3 23sin3cos 2 232sin ) sin( 22 1

,_

+ + ,_

+ 1]1

,_

+ + t I t It t I i i(21.12) n complex, rezult:. 3 ) 1 (62 22 1je I a I I a I I I (21.13)Fig. 21.3 Fig. 21.42Deci diferena a dou mrimi consecutive din sistemul trifazat simetric direct este o mrime avnd valoarea efectiv de 3 ori mai mare i defazat nainte cu unghiul 6 fa de prima mrime (fig. 21.4).21.2. PRODUCEREA SISTEMULUI TRIFAZAT SIMETRIC DE TENSIUNI ELECTROMOTOARESe consider un sistem de trei spire legate rigid, decalate n spaiu cu unghiul32unele fa de altele, i care se rotesc cu viteza unghiular constant , ntr-un cmp magnetic constant, de inducie B (fig. 21,5). Dac normala la spira l formeaz un unghi cu direcia, induciei magnetice, fluxul magnetic ce strbate spira va fi:, cos1 A B A B (21.14)n care A este suprafaa spirei. Tensiunea electromotoare care apare n spir este:. sin11dtdBAdtde (21.15)Deoarece ansamblul se rotete cu viteza unghiular dtd constant,rezult:0 + t(21.16)Cu aceste observaii, relaia (21.15) devine:). sin( 2 ) sin(0 0 1 + + t E t A B e (21.17)n cele doua spire, decalate cu 32 n urm i respectiv 32 nainteaprimei spire, vor apare tensiunile electromotoare:

,_

+ 32sin 22 t E e

,_

+ + 32sin 23 t E e(21.18) Fig. 21.5Fig.21.6care mpreun cu (21.17) formeaz un sistem simetric de tensiuni electromotoare.n practica ns, acest procedeu de producere a t.e.m. trifazate este dificil, deoarece este greu de realizat cmpuri magnetice omogene i suficient de intense n aer. Din acest motiv generatoarele 3trifazate au o construcie principial ca n figura 21.6. Rotorul la periferia cruia se afl conductoarele 1, 2 etc. se rotete cu viteza unghiular constant 0 ntr-un cmp magnetic cu o distribuie sinusoidal la periferia rotorului(B = Bm sin p ).n conductoare vor apare tensiuni electromotoare, pentru conductorul 1 fiind:e1=v l B=0 r l Bm sin p,(21.19)n care p este o constant numit numrul de perechi de poli, egal cu numrul de maxime pozitive ale induciei la periferia rotorului (n cazul desenat, p = 3).Deoarece dtd 0= const., rezult : =0t+ 0 (21.20)i (21.19) devine:e1 =0 r l Bm sin p( 0t+ 0).(21.21)Se noteaz: p0 = i p 0 =0 iar t.e.m. se scrie:( )0 1sin 2 + t E e(21.22)unde:20 mB l rE (21.23)n conductoarele decalate n urm sau nainte cu p 32 apar tensiuni electromotoare, care dau mpreun cu (21.22) sistemul trifazat.21.3. CONEXIUNILE SISTEMELOR TRIFAZATESe consider un sistem de trei circuite monofazate independente {fig. 21.7)care conin tensiunile electromotoare e1,e2 i e3, formnd un sistem trifazat simetric direct:E1= E ; E2 =a2 E ; E3 = a E (21.24)ialimenteaz trei impedane identice:Z1= Z2= Z3= Z= Zej (21.25)Fig. 21.7Curenii produi n cele trei impedane, n complex, vor fi:; ; ;3332222111aZEZEI aZEZEIZEZEI (21.26)Sistemul trifazat reprezentat n figura 21.7 este un sistem neconectat i pentru transportul energiei de la surs la consumator (impedanele Z1, Z2, Z3) sunt necesare 6 conductoare. Sistemul poate fi conectat. Conectarea sistemelor trifazate se poate efectua n dou moduri: n stea sau n triunghi.Conexiunea n stea este reprezentat n figura 21.8. Conductoarele desenate cu linie plin se numesc conductoare de linie si mrimile corespunztoare acestora se numesc mrimi de linie (tensiune de linie, curent de linie etc.). Conductorul desenat cu linie ntrerupt se numete conductor de nul sau neutru. Punctele O i O' sut punctele neutre ale generatorului i respectiv receptorului. Impedanele Z1, Z2 i Z3 se numesc fazele receptorului. Tensiunile msurate la bornele 4acestor impedane se numesc tensiuni de faz, iar curenii care le strbat se numesc cureni de faz.n cazul conectrii n stea se poate face urmtoarea observaie important : curentul care circula prin firul neutruI0 =I1 +I2 +I3 (21.27)este nul n cazul sistemului trifazat care debiteaz pe un receptor trifazat echilibrat (cele trei impedane sunt identice), conform relaiei (21.26), deci firul neutru poate lipsi.n acest caz transmiterea energiei n sistemele trifazate conectate n stea se poate face numai cu 3 conductoare, spre deosebire de sistemele neconectate (fig. 21.7) unde erau necesare 6 conductoare.Notnd valorile efective ale mrimilor de linie prin: Il - curentul de linie; Ul - tensiunea de linie, iar valorile efective ale mrimilor de faz prin: If - curentul de faz; Uf - tensiunea de faz, se pot stabili urmtoarele relaii la conectarea n stea:Il = If(21.28)f lU U 3 (21.29)Prima relaie rezult imediat aplicnd teorema nti a lui Kirchhoff nodului (1).Tensiunea de linie este de exemplu tensiunea U12 din figura 21.8. Cum ns U12 = U10 U20, i acestea din urm formeaz un sistem simetric direct, rezult cu (21.13) relaia (21.29).Conexiunea n triunghi este prezentat n figura 21.9. Aceast conexiune nu poate avea fir neutru. Transportul energiei se face cu trei conductoare. S-ar prea, la prima vedere, c n ochiul (a), (b), (c), al reelei ar putea circula un curent intens produs de suma E1 +E2 +E3, dar cum sistemul trifazat de tensiuni electromotoare este simetric, aceast sum este nul.La legarea n triunghi exist relaiile:Ul = Uf(21.30)(tensiuneadelinieesteegal cu cea de faza) if lI I 3 (21.31)Relaia (21.31) rezult din aplicarea teoremei nti a lui Kirchhoff, de exemplu nodului (2):I2 = I23 I12(21.32)unde curentul de faz este If = |I23| = |I12|, iar curentul de linie este Il = |I2|. innd cont de faptul c curenii I12, I23 i I31, formeaz un sistem simetric, relaia (21.13) conduce la (21.31).Fig. 21.9Fig. 21.8521.4. CIMPURI MAGNETICE ROTITOARESistemele trifazate sunt foarte mult utilizate n mainile electrice, unde produc cum se va vedea, cmpuri magnetice care se rotesc n spaiu. Cmpurile magnetice rotitoare stau la baza funcionrii tuturor motoarelor sincrone i asincrone.21.4.1. Vectorul cimp magnetic rotitor Un cmp magnetic, caracterizat prin vectorul induciei magnetice B este rotitor, dac acest vector i pstreaz modulul constant i se rotete n spaiu cu viteza unghiular constant (fig. 21.10). Proieciile acestui vector pe cele dou axe sunt:Bx = B sin tBy = B cos t(21.33)Acest vector, dup cum se vede, se rotete n sens direct (sensul acelor de ceasornic). Se demonstreaz n cele ce urmeaz c un sistem trifazat de cureni sinusoidali pot produce un cmp magnetic rotitor. Pentru aceasta se consider (fig. 21.11) trei spire plate care sunt dispuse n spaiu launghiuride 32 unele fadealtelei sunt parcurse de curenii sinusoidali:t I i sin 21)32sin( 22 t I i(21.34))32sin( 22 + t I icare formeaz un sistem trifazat simetric direct. Aceti cureni, trecnd Fig. 21.10Fig. 21.11prin cele trei spire identice, produc fiecare n parte, n punctul O, induciile magnetice:t B Bm sin1)32sin(2 + t B Bm(21.35))32sin(3 t B Bmvariabile n timp, i dirijate normal pe axele spirelor, dup regula burghiului drept, aa cum este artat n figur. Aceste trei inducii se compun, dnd natere unei inducii rezultante B, care are componentele:. sin2332sin32sin21sin32cos32cos3 2 1t B t Bt B t B B B B Bm mm m x 1]1

,_

+

+ ,_

+ + + (21.36)6. cos2332sin32sin2332sin32sin2 3t B t Bt B B B Bm mm y 1]1

,_

+

,_

(21.37)Comparnd cu relaiile (21.33), rezult c prin acest procedeu se obine oinducie magnetic egal cu 23 Bmcare se rotete n spaiu, n sens direct, cu viteza unghiular .21.4.2. Cmp magnetic radial, cu repartiie sinusoidala n spaiu, rotitorCmpul magnetic radial, cu repartiie sinusoidal n spaiu este reprezentat aproximativ n figura 21.6. Vectorul induciei magnetice este dirijat dup direcie radial, avnd variaia sinusoidal n funcie de unghiul .n mainile electrice, distribuia sinusoidal a induciei magnetice n ntrefierul S, care separ partea fisa a mainii (statorul) de partea ei mobil (rotorul) se realizeaz prin aranjarea convenabil a nfurrilor n crestturile longitudinale ale statorului (fig. 21.12). Pentru explicarea simplificat a fenomenelor se consider o main electric avnd 12 crestturi, n crestturi se afl conductoarele care formeaz doua cte dou cte o spir. Fiecare din cele trei spire (reprezentate n figura 21.12) produce cte o inducie magnetic, care n ntrefier se vor suprapune, dnd natere unei inducii rezultante cu variaia n trepte, ca n figura 21.13 (reprezentarea desfurat a ntrefierului). Aceastvariaie ntrepte a induciei magnetice din ntrefier poate fiaproximat cu o sinusoid (curba punctat din figura21.13), avnd valoarea maxim B0, astfel nct inducia magnetic la un unghi oarecare a va fi dat de expresia :sin0B B (21.38)Dac prin nfurri va trece un curent alternativ de forma :t I i sin 2(21.39)induciamagnetic B0 va aveaaceeaivariaiesinusoidal:t B Bm sin0 (21.40)Rezult variaia induciei magnetice n ntrefier, pentru un unghi , sub forma: sin sin t B Bm (21.41)Cmpul magnetic pentru care inducia are forma de variaie (21.41) se numete cmp magnetic pulsatoriu, deoarece conform relaiei (21.40) inducia magnetic n dreptul polului nord (N n fig. 21.12 i 21.13) variaz periodic n timp.Dac ntr-o main electric se suprapun trei cmpuri magnetice pulsatoriicaresuntdecalate Fig. 21.12 Fig. 21.137peperiferiarotoruluicuun unghi 32 i sunt produse de trei cureni sinusoidali ce formeaz un sistem trifazat direct (de forma 21.34), deci defazai n timp cu unghiuri 32, se obineun cmp magnetic rezultant cu o repartiie a vectorului induciei magnetice sinusoidal n spaiu (n ntrefier) i care se rotete cu viteza unghiular . Curenii sistemului trifazat produc cele trei inducii pulsatorii de forma (21.41): sin sin1t B Bm

,_

,_

32sin32sin2t B Bm(21.42)

,_

+ ,_

+ 32sin32sin3t B BmSuma lor este:( ). cos2332sin32sin32sin32sin sin sin3 2 1 1]1

,_

+ ,_

+ +

+ ,_

,_

+ + + t B tt t B B B B Bmm (21.43)Acesta este un cmp magnetic cu distribuie sinusoidala n spaiu (n funcie de ) i rotitor, deoarece valoarea sa rmne constant n timp dac. const t (21.44)Viteza de rotaie a cmpului este,dtd (21.45)adic se rotete n sens direct (n sensul creterii unghiului a) cu viteza unghiular .n figura 21.14 este reprezentat relaia (21.43) pentru un timp t0 = 0 i pentru un timp t1= t.Dup timpul t, axa polului nord s-a deplasat cu un unghi = t (conform relaiei 21.44) Cmpul rotitor n sens invers este caracterizat de relaia:. const t + (21.46)i el se poate obine cu un sistem trifazat de cureni de succesiune invers, avnd deci forma:8t I i sin 21).32sin( 23 t I i(21.47))32sin( 22 + t I iFlg. 21.14CAPITOLUL22 REZOLVAREA CIRCUITELOR ELECTRICE TRIFAZATEn acest capitol se urmrete determinarea curenilor din reeaua trifazat, cnd se cunosc sistemul trifazat de tensiuni, precum si cele trei impedane ale receptorului conectate n stea sau n triunghi. Noiunea de sistem simetric sau sistem nesimetric se refera la sistemul trifazat de tensiuni sau de cureni. Un sistem trifazat de tensiuni sau de cureni este simetric, dac cei trei fazori reprezentativi sunt egali n modul i egali defazai ntre ei cu unghiul : 32. La conectarea nstea, fazorii reprezentativi ai sistemului trifazat simetric formeaz o stea simetric, iar la conectarea n triunghi fazorii formeaz un triunghi echilateral.Noiunea de receptor trifazat echilibrat sau dezechilibrat se refer la cele trei impedane de sarcin ale receptorului. Un receptor trifazat este echilibrat dac cele trei impedane ale sale (conectate n stea sau n triunghi) sunt identice, adic n complex au acelai modul Z i acelai argument .n funcie de aceste precizri, pot exita cazurile date n tabelul 22.1Tabelul 22.1.Fiind date: RezultSistemul de tensiuni Receptorul Sistemul de cureniSimetricSimetricNesimetricNesimetricEchilibratDezechilibratEchilibratDezechilibratSimetricNesimetricNesimetricNesimetricNumai ntr-un singur caz (sistemul de tensiuni este simetric i receptorul este echilibrat) rezult sistemul de cureni simetric.922.1. REZOLVAREA CIRCUITELOR TRIFAZATE ECHILIBRATE, ALIMENTATE CU UN SISTEM SIMETRIC DE TENSIUNI22.1.1. Receptoare trifazate echilibrate n steaLareceptoareleconectatenstea, existposibilitateadeaselegampreunnulul receptorului O cu nulul generatorului O, conform schemei din figura 22.1. Se dau tensiunile de alimentare (tensiuni de faz), care formeaz un sistem trifazat simetric direct:;3U ;22U ;1UfaUfU afU (22.1)iar impedanele celor trei faze sunt identice (receptorul este echilibrat): je Z Z Z Z Z 3 2 1(22.2)Sepresupune ca impedana conductorului de nul esteZ0, iar tensiunea ntrenoduri este U0. Curenii pe cele trei faze vor fi dai de relaiile:. ; ;030221010 11'11ZU aUIZU U aIZU UZU UZUIf f f (22.3)Aplicnd teorema nti a lui Kirchhoff nodului O, se poate scrie:.3 2 1000I I IZUI + + (22.4)Se arat c att tensiunea U 0 ct i curentul I 0 sunt nuli n situaia prezentat mai sus. Adunnd relaiile (22.3) i tinnd cont de (22.4) rezult:. ] 3 ) 1 [(10002ZUU U a aZf + +(22.5)Deoarece 1+a2+a=0 (vezi relaia 21.9), rezult:, 01 300

,_

+Z ZU (22.6)care conduce la U0 = 0, deoarece Z si Z0 sunt mrimi finite. Din (22.4) rezult apoi I0 = 0.Curenii, din (22.3), vor fi deci:, ; ;32211ZaUIZU aIZUIf f f (22.7)deci formeaz un sistem simetric. Reprezentarea fazorial a tensiunilor i curenilor este dat n fig. 22.2. 10Dincele prezentate, rezult c ncazul unui receptor trifazat echilibrat nstea, alimentat cu un sistem simetric de tensiuni, legtura de nul poate s lipseasc, iar curenii pe fiecare faz (relaia 22.7) se pot calcula ca i ntr-un circuit monofazat (fig. 22.3) cruia i se aplic tensiunea de faz (msurat ntre o faz i un nul), deci: .11 j feZUZUI Seconsideracum(fig. 22.4, a)creceptorul echilibrat nsteaareimpedanelede cuplaj ntre faze ZM. Aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff ochiurilor indicate pe figur, se obin ecuaiile:( ) ( )2 1 1 2 2 1 12I Z Z I Z Z I Z I Z I Z I Z UM M M M + (22.8)( ) ( ) .3 2 2 3 3 2 23I Z Z I Z Z I Z I Z I Z I Z UM M M M + (22.9)Aceste ecuaii corespund schemei echivalente din figura 22.4, b. Adic, receptorul n steaavndimpedanapropriepefazaZi impedanadecuplajZMesteechivalent cuun receptor n stea, fr cuplaje ntre faze, avnd impedana echivalent pe faz:Z0=Z - ZM. (22.10)Deoarecereceptorul echivalent esteechilibrat, curenii prinfazelereceptorului vor forma un sistemtrifazatsimetrici ei se calculeaz acum cu relaii de tipul (22.7), ncare impedana este dat de (22.10).22.1.2 Receptoare trifazate echilibrate in triunghiSe dau tensiunile de linie (vezi paragraful21.3)U12,U23,U31, care formeaz un sistem simetric:U12=Ul ; U23=a2Ul ; U31=aUl (22.11)i impedanele celor trei faze ale receptorului (identice):Z12 = Z23 = Z31 = Z= Zej. (22.12)SecercureniiI12,I23,I31prinimpedanele receptorului(curenide faz) precumsi 11curenii I1, I2, I3 debitai de surse (cureni de linie). Curenii prin cele trei faze ale receptoruluisedeterminimediatn funcie de tensiunile de linie care sunt aplicate direct impedanelor receptorului: j l j l j leZUa I eZUaZUI eZUZUI 312 23231212; ; (22.13)Curenii de linie se determin aplicnd teorema nti a lui Kirchhoff n cele trei noduri ale receptorului:( )

,_

+ 631 12 13 1jl j leZUeZUa I I I(22.14)( )

,_

+ 6 2 212 23 23 1jl j leZUa eZUa I I I(22.15)( ) ( )

,_

+ 6 223 31 33 1 jl j l j leZUa eZUa a eZUa a I I I(22.16)Att curentii de linie ct i curentii de faz formeaz sisteme trifazate simetrice. ntre valorile efective exist relaiile:. 3 , 312 1 f lI I adica I I (22.17)Diagrama fazorial a tensiunilor i a curenilor, lund origine de faz tensiunea U12=Ul este dat n figura 22.6.Ca i n cazul conectrii n stea, un receptor trifazat cu conexiunea n triunghi, avnd cuplajemagnetice ntre faze, admiteo schem echivalent n triunghi, n care impedanele echivalente ale fazelor (fig. 22.7) sunt egale i date de relaia:Ze = Z- ZM (22.18)22.1.3. Puteri in retele trifazate echilibrateDe exemplu, pentru receptorul trifazat in stea (fig. 22.1) puterea aparent complex absorbit de cele trei faze (pe impedana nulului nu se consum putere, deoarece I0=0 i U0 = 0) este:S = U1 I1* + U2 I2* + U3 I3*. (22.19)Curenii compleci conjugai sunt din (22.7):. ; ;2322 1 j f j f f f j f feZUa I eZUaZUaZUa I eZUZUI

,_

(22.20)Introducnd(22.20) i (22.1) n (22.19), rezult :S = Uf If ej + a3Uf If ej + a3 Uf If ej. (22.21)Cum ns a3=1, rezult c cei trei termeni ai relaiei sunt egali ntre ei, deci:( ) ( )

,_

+ 6 23 1 jl j l j leZUa eZUa a eZUa a12S = 3Uf Ifej = 3Uf If cos + j3Uf If sin(22.22)Mrimile Uf i If sunt tensiunea i respectiv curentul de faz.Relaia (22.22) d puterea activ i puterea reactiv a sistemului trifazat:P = 3Uf If cos ; Q = 3Uf If sin. (22.23)Puterea activ se poate deci msuracu un singur wattmetru conectat ca n figura 22.8, pe o singur faz a reelei, i deviaia instrumentului se va nmuli cu trei.Dac se utilizeaz relaiile ntre mrimile delinie i mrimile de faz (relaiile 22.30 i 22.31), puterile n sistemul trifazat (din 22.23) se pot calcula cu relaiile: sin 3 ; cos 3l l l lI U Q I U P (22.24) Deoarece conform teoremelor de transfigurare, orice receptor n stea admite o schem echivalent n triunghi, relaiile (22.24) sunt valabile att n reelele echilibrate conectate n stea, ct i n reelele echilibrate conectate n triunghi.n cazul receptorului n triunghi, deoarece nu exist punct neutru ca la receptorul n stea, un nul artificial cu ajutorul a trei impedane identice (fig. 22.9), pentru a se putea amplasa instrumentul de masur (wattmetrul).22.2 REZOLVAREA CIRCUITELOR TRIFAZATE DEZECHILIBRATE,ALIMENTATE DE LA UN SISTEM NESIMETRIC DE TENSIUNICalculul circuitelor trifazate dezechilibrate se face n principal utiliznd teoremele lui Kirchhoff, fr alte metode speciale.Dac neutrul Oal generatorului este accesibil, se presupune ngeneral c se cunosc tensiunile U1, U2, U3 ntre cele trei faze i acest nul, care formeaz un sistem nesimetric, deci este valabila inegalitatea :U1 + U2 + U3 0 (22.25)Pentru tensiunile de linie este ns satisfcut egalitatea evident :U12 + U23 +U31 = 0, (22.26)indiferent dac sistemul este simetric sau nu.n cazul cnd nulul O al generatorului nu este accesibil, se presupune c se cunosc tensiunile de linie U12, U23, U31, care satisfac egalitatea (22.26).Totui se poate alege arbitrar un punct neutru artificial (ca n fig.22.9) care n unele cazuri poate coincide cu una din bornele sursei de alimentare. Tensiunile msurate ntre cele trei faze i nulul artificialse numesc tensiuni auxiliare.22.2.1 Teorema potenialului punctului neutruConsiderm receptorul dezechilibrat din figura 22.10 alimentat de la reea cu nul accesibil. Sunt evidente relaiile:U1 = U1 - U0 ; U2 = U2 - U0 ; U3 = U3 - U0.(22.27)13Aplicnd teorema nti a lui Kirchhoff nodului O rezult :I1 + I2 + I3 = I0 = U0Y0. (22.28)Din legea lui Ohm, curenii celor trei faze sunt:I1 = U1 Y1= ( U1 U0 )Y1; I2 = ( U2 U0 )Y2;I3 = ( U3 U0 )Y3. (22.29)Adunnd relaiile (22.29) i innd cont de (22.28), se obine teorema potenialului punctului neutru :.3 2 1 03 3 2 2 1 10Y Y Y YY U Y U Y UU+ + ++ +(22.30)Aceastteoremstlabazarezolvrii tuturor circuitelor trifazatecureceptorul nstea, indiferent dac generatorul are sau nu neutrul accesibil. De exemplu (fig.22.11), dac nulul nu este accesibil, se alege arbitrar ca neutru artificial punctul O. n acest caz, n relaia (22.30) rezult Y0 = 0 ,deci :.3 2 13 3 2 2 1 10Y Y YY U Y U Y UU+ ++ +(22.31)Alegerea arbitrar a neutrului artificial O se face n practic astfel nct s existe o exprimare usoar a mrimilorU1,U2i U3(care intervin n relaia 22.31 ) n funcie de datele problemei (adic n funcie de U12, U23 i U31). Se poate alege drept neutru artificial punctul 2 din figura 22.11.n acest caz se pot scrie relaiile :U2 = 0 ; U1 = U12 ; U3 = -U23(22.32)i (22.31) devine:.3 2 13 23 1 120Y Y YY U Y UU+ +(22.33)Tensiunile la bornele impedanelor vor fi (din 22.27 i 22.33) :3 2 13 31 2 123 2 13 23 1 1212 0 11'Y Y YY U Y UY Y YY U Y UU U U U+ ++ + (22.34).3 2 11 12 3 230 0 22'Y Y YY U Y UU U U U+ + (22.35)3 2 12 23 1 313 2 13 23 1 1223 0 33'Y Y YY U Y UY Y YY U Y UU U U U+ ++ + (22.36)Curenii n cele trei faze se calculeaz aplicnd apoi legea lui Ohm (n deducerea relaiilor 22.34 i 22.36 s-a inut cont de relaia evident:U12+ U23 + U31 =0).Exemplu14Se consider receptorul n stea din figura 22.12, avnd pe fazele 1 i 2 cte o lamp cu incandescen, iar pe faza 3 un condensator. Dac rezistena lmpilor este egal cu reactana condensatorului (R1 = R2= R = 1/C), se cere s se determine raportul valorilor efective ale curenilor din fazele 1 i 2, tiind c tensiunile de alimentare formeaz un sistem simetric: U23 = a2U12 ; U31= aU12.Admitanele receptorului sunt:.1;13 2 1Rj C j YRY Y (22.37)Tensiunile la bornele celor dou lmpi (relaiile 22.34 i 22.35) sunt:jajURjRRj U aRUU++211 21 11212 121'(22.38)jjaURjRRU jRU aU++211 21 121212 1222'(22.39)Deoarece lmpile au aceeai rezisten, raportul curenilor este egal cu raportul tensiunilor, deci: jjj jj jjaajII + + +

,_

,_

+ 3 23 2123212321111221 (22.40)Raportul valorilor efective rezult:73 , 3 3 221 + II(22.41)adic lampa de pe faza nti este mai luminoas dect lampa de pe faza a doua. Acest dispozitiv se utilizeaz n practic pentru indicarea ordinii de succesiune a fazelor.Succesiunea fazelor este n ordinea: lampa aprins puternic,lampa aprins slab, condensatorul.22.2.2. Receptor dezechilibrat n triunghi (fig. 22.13)i n acest caz sunt date tensiunile de linie, care formeaz un sistem nesimetric, dar satisfac relaia:031 23 12 + + U U U.Cum aceste tensiuni se aplic direct impedanelor laturilor triunghiului, curenii din laturi (cureni de faz) sunt:;121212ZUI ;232323ZUI ;313131ZUI (22.42) 23 31 3 12 23 2 31 12 1; ; I I I I I I I I I (22.43)ExempluS se rezolve circuitul din figura 22.14, avnd:15,21,131 23 12jCL j ZC jZ Z (22.44)cruia i se aplic tensiunile de succesiune direct:. ; ;12 31 12223 12U a U U a U U (22.45)Cu relaiile (22.42) (22.45), se obin curenii de linie:( )12 123131121213 2 U C C aj C j UZUZUI + (22.46)( )12212 23U C a C j C j a U I (22.47)( )122 212 33 2 U C a C ja C ja U I (22.48)Este interesant de observat c n receptorul prezentat, sistemul de tensiuni este simetric direct, iar sistemul de cureni conformrelaiilor(22.46)(22.48), rezultsimetric(dei receptorul estedezechilibrat), dardesuccesiune invers. n figura 22.15 este dat diagrama fazorial a tensiunilor U12,U23,U31 i a curenilor de linie I1, I2, I3, n care s-a luat origine de faz tensiunea U12.Observaiia) Dac impedanele liniei de transport nu pot fi neglijate, ele se includ (n serie) n impedanele receptorului nstea. Lareceptorul ntriunghi(fig.22.16,a)seefectueaztransfigurareanstea(fig. 22.16, b)ise procedeazapoi camai sus; rezolvareaestedatnambelecazuri deteoremapotenialului punctului neutru.b) Dac exist cuplaje intre impedanele fazelor, metodele prezentate mai sus nu sunt, n general, valabile i trebuiesc utilizate teoremele lui Kirchhoff.16c) ncazul maimultorreceptoaredezechilibratenstea, nulurilestelelorngeneral nuseafllaacelai potenial, deci laturile omoloage nu pot fi considerate ca fiindlegate n paralel. Se efectueaz o transformare a tuturor stelelor n triunghi i n acest caz laturile omoloage ale triunghiurilor sunt legate n paralel, deci se poate gsi oschem echivalent n triunghi pentru toat reeaua.22.2.3 Puteri n reele trifazate dezechilibratencazul reelelor detransmisieaenergiei cufir neutru, zisecupatrufire(fig.22.17), puterea complex este:.3 2 2 1 1 + + U I U I U S (22.49)Puterile pe cele trei faze nu mai sunt egale ntre ele. Puterea activ este:3 3 3 2 2 2 1 1 1cos cos cos I U I U I U P + + (22.50)iar cea reactiv este:3 3 3 2 2 2 1 1 1sin sin sin I U I U I U Q + + (22.51)unde 1, 2 i 3 sunt unghiurile de defazaj ntre perechile de mrimi U1,I1; U2,I2; U3,I3.Expresia (22.50) a puterii active corespundemsurrii ei cuajutorul atrei wattmetre (fig.22.17), obinndu-seputereasistemului trifazat casumacelortrei puteriindicatdefiecare wattmetru n parte.n cazul reelelor de transmisie fr fir neutru, zise cu trei fire (fig.22.18), deoarece avem ndeplinit condiia:03 2 1 + + I I I sau03 2 1 + + I I I (22.52)expresia puterii complexe se poate pune sub forma:( ) ,3 32 1 12 3 3 3 1 2 1 1 + + + I U I U I U I I U I U S (22.53)avnd componentele:( ) ( )3 32 3 32 1 12 1 12, cos , cos I U I U I U I U P + (22.54)( ) ( )3 32 3 32 1 12 1 12, sin , sin I U I U I U I U Q + (22.55)Expresia (22.54) corespunde msurrii puterii active n acest caz numai cu dou wattmetre (fig.22.18).17