Sisteme de Coordonate
-
Upload
alexandru-badescu -
Category
Documents
-
view
253 -
download
0
description
Transcript of Sisteme de Coordonate
Sisteme de coordonate
o Sistemul de coordonate cartezian
o Sistemul de coordonate cilindric – transforma miscarea pe o traiectorie oarecare intr-o miscare pe cilindru
o Sistemul de coordonate polar – transforma miscarea pe o traiectorie oarecare intr-o miscare pe cerc
o Sistemul de coordonate sferic - transforma miscarea pe o traiectorie oarecare intr-o miscare pe sfera.
Sistemul de coordonate cartezian
𝑟
z
y
x
�⃗��⃗��⃗�
rx=x
ry =y
rz =z 𝑣
�⃗�
o , , reprezinta versorii sistemului de coordonate carteziano o adica versorii sistemului de coordonate cartezian nu variaza in timpo reprezinta vectorul de pozitie – indica pozitia unui mobil pe traiectorie intr-un sistem de coordonateo rx, ry, rz, sunt proiectiile vectorului de pozitie pe cele 3 axe
o Pentru simplificare vom nota rx=x, ry=y, rz=zo Vectorul de pozitie in coordonate carteziene:
𝑟=𝑥 ∙ �⃗�+𝑦 ∙ �⃗�+𝑧 ∙ �⃗�
Sistemul de coordonate cilindric
�⃗� ′
z
y
x
�⃗�
�⃗��⃗�
z
y
x r𝜌�⃗�
θ
o Coordonatele cilindrice sunt:r, θ si z
o Ecuatiile parametrice ale Traiectoriei vor fi:
r=r(t), θ=θ(t), z=z(t)
o Domeniile de definitie pentrucoordonatele cilindrice sunt:
o Versorii sistemului cilindric sunt:
o Vectorul se scrie in coordonate cilindrice astfel:
o Miscarea pe o traiectorie oarecare este transformata intr-o miscare pe un cilindru
Sistemul de coordonate cilindric
o Relatiile de transformare din sistemul cartezian in sistemul cilindric:
o Relatiile de transformare inverse (din cilindric in cartezian):
o Versorii sistemului cilindric functie de versorii sistemului cartezian:
𝜌
�⃗�
𝜃
𝜃
�⃗�
�⃗�
x
y
𝜌 𝑥
𝜌 𝑦𝑛𝑦
𝑛𝑥
𝑛𝑥=−𝑛𝑠𝑖𝑛𝜃 ;𝑛𝑦=𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜃
Sistemul de coordonate polaro Sistemul de coordonate polar este un sistem 2D care este identic cu sistemul
cilindric cu cea de-a treia coordonata, z=0.o Miscarea pe o traiectorie oarecare este transformata intr-o miscare pe un cerc
xx
y
y �⃗�
θ
𝜌
�⃗�
o Coordonatele polare sunt:r, θ
o Ecuatiile parametrice ale traiectoriei vor fi:
r=r(t), θ=θ(t)
o Domeniile de definitie pentrucoordonatele polare sunt:
o Versorii sistemului polar sunt:
o Vectorul se scrie in coordonate polare astfel:
Sistemul de coordonate polar
o Relatiile de transformare din sistemul cartezian in sistemul polar:
o Relatiile de transformare inverse (din polar in cartezian):
o Versorii sistemului polar functie de versorii sistemului cartezian:
𝜌 𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ;𝜌𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑛𝑥=−𝑛𝑠𝑖𝑛𝜃 ;𝑛𝑦=𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜃
Sistemul de coordonate sferic
x
x
yy
z
z
𝑟θ
φ rxy
𝜌
�⃗�
�⃗�
o Coordonatele sferic sunt:r, θ si φ
o Ecuatiile parametrice ale Traiectoriei vor fi:
r=r(t), θ=θ(t), φ=φ(t)
o Domeniile de definitie pentrucoordonatele sferic sunt:
o Versorii sistemului sferic sunt:
o Vectorul se scrie in coordonate sferic astfel:
o Miscarea pe o traiectorie oarecare este transformata intr-o miscare pe sfera
Sistemul de coordonate sferic
o Relatiile de transformare din sistemul cartezian in sistemul sferic:
o Relatiile de transformare inverse (sferic in cartezian):
Sistemul de coordonate sferic
x
x
yy
z
z𝑟
θ
φrxy
𝜌
�⃗�
�⃗�λ
FFFI!!!! o Sistemul de coordonate sferic ≈ sistemul de coordonate geografic, si anume, in sistemul de coordonate geografic r=R si reprezinta raza Pamantului (R≈6371km). o Unghiul φ reprezinta longitudinea iar unghiul θ colatitudinea (θ=900- lat). o Latitudinea – unghiul λ – este unghiul pe care il face raza Pamantului cu proiectia ei in planul ecuatorului.o Aplicatii ale sistemului de coordonate sferic → GPS, pozitia unui mobil pe suprafata Pamantului este data sub forma de latitudine si longitudine
Sistemul de coordonate sferico Versorii sistemului sferic functie de versorii sistemului cartezian:
𝜌
𝑟
�⃗��⃗�
�⃗�
�⃗�
�⃗�
�⃗�
𝜌 𝑥
𝜌 𝑦
𝜌 𝑧
φ
θ𝜌 𝑥𝑦
𝜌=𝜌𝑥 �⃗�+𝜌 𝑦 �⃗�+𝜌 𝑧 �⃗�
𝜌 𝑥=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝜌 𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜑𝜌 𝑧=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
→ �⃗�=𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑�⃗�+𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 �⃗�+𝑐𝑜𝑠𝜃 �⃗�
�⃗�
�⃗�
�⃗�𝑛𝑥
𝑛𝑦
φ�⃗�=𝑛𝑥 �⃗�+𝑛 �⃗�𝑛𝑥=−𝑛𝑠𝑖𝑛𝜃𝑛𝑦=𝑛𝑐𝑜𝑠𝜃
→ �⃗�=−𝑠𝑖𝑛𝜃 �⃗�+𝑐𝑜𝑠 𝜃 �⃗�
Sistemul de coordonate sferico Versorii sistemului sferic functie de versorii sistemului cartezian:
�⃗�
�⃗�
�⃗�
�⃗�
𝜇𝑥
𝜇 𝑦
𝜇𝑧
φ θ𝜇𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜑=
𝜇𝑥
𝜇𝑥𝑦
→𝜇𝑥=𝜇𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠𝜑 ;𝑐𝑜𝑠𝜃=𝜇𝑥𝑦
𝜇→𝜇𝑥𝑦=𝜇𝑐𝑜𝑠 𝜃→𝜇𝑥=𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑠𝑖𝑛𝜑=𝜇𝑦
𝜇𝑥𝑦
→𝜇𝑦=𝜇𝑥𝑦𝑠𝑖𝑛𝜑 ;
→𝜇𝑦=𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑠𝑖𝑛𝜃=−𝜇𝑧
𝜇→𝜇𝑧=−𝜇𝑠𝑖𝑛𝜃
→ �⃗�=𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 �⃗�+𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜑 �⃗�−𝑠𝑖𝑛𝜃 �⃗�
�⃗�=𝜇𝑥 �⃗�+𝜇𝑦 �⃗�+𝜇𝑧 �⃗�