Simboluri matematice

15
Simboluri matematice de bază Simbol Seminificaţie Explicaţie Exemple Se citeşte Categorie = egalitate x = y înseamnă x şi y reprezintă acelaşi lucru sau au aceeaşi valoare. 1 + 1 = 2 este egal cu oriunde <> neegalitate x y înseamnă că x şi y nu reprezintă acelaşi lucru sau nu au aceeaşi valoare. 1 ≠ 2 nu este egal cu diferit de oriunde < > strictă inegalitate x < y înseamnă că x este mai mic decât y. x > y înseamnă că x este mai mare decât y. x y înseamnă că x mult mai mic decât y. x y înseamnă că x mult mai mare decât y. 3<4 5>4 0,003 1000000 este mai mic decât, este mai mare decât, este mult mai mic decât, este mult mai mare decât teoria

Transcript of Simboluri matematice

Page 1: Simboluri matematice

Simboluri matematice de bază

Simbol

Seminificaţie

Explicaţie ExempleSe citeşte

Categorie

=

egalitate

x = y înseamnă x şi y reprezintă acelaşi lucru sau au aceeaşi valoare. 1 + 1 = 2este egal cu

oriunde

<>

neegalitate

x ≠ y înseamnă că x şi y nu reprezintă acelaşi lucru sau nu au aceeaşi valoare. 1 ≠ 2nu este egal cu

diferit de

oriunde

<

>

≪≫

strictă inegalitate

x < y înseamnă că x este mai mic decât y.

x > y înseamnă că x este mai mare decât y.

x ≪y înseamnă că x mult mai mic decât y.

x ≫ y înseamnă că x mult mai mare decât y.

3 < 45 > 40,003 ≪1000000

este mai mic decât,este mai mare decât,este mult mai mic 

decât,este mult mai mare 

decât

teoria ordonării

inegalitate x ≤ y înseamnă că x este mai mic sau egal cu y.

x ≥ y înseamnă că x este mai mare sau egal cu y.

3 ≤ 4 şi 5 ≤ 55 ≥ 4 and 5 ≥ 5

este mai mic sau egal cu,

este mai mare sau egal cu

Page 2: Simboluri matematice

teoria ordonării

∝proporţionalitate

y ∝ x înseamnă că y = kx pentru o constantă k. dacă y = 2x, atunci y ∝ xeste proporţional cu

oriunde

+

adunare

4 + 6 înseamnă suma lui 4 şi 6 2 + 7 = 9plus

aritmetică

reuniune disjunctă

A1 + A2 înseamnă reuniunea disjunctă a mulţimilor A1 şi A2.

A1={1,2,3,4} ∧ A2={2,4,5,7} ⇒A1 + A2 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (2,2), (4,2), (5,2), (7,2)}

reuniunea disjunctă între

teoria mulţimilor

− diferenţă

9 − 4 înseamnă diferenţa dintre 9 şi 4 8 − 3 = 5minus

aritmetică

opusul

−3 înseamnă opusul lui 3. −(−5) = 5negativ ; minus

aritmetică

complementul unei  A − B înseamnă mulţimea care conţine toate  {1,2,4} − {1,3,4}  =  {2}

Page 3: Simboluri matematice

mulţimi

elementele din A care nu sunt în B.minus; fără

teoria mulţimilor

×

produs

3 × 4 înseamnă produsul lui 3 şi 4. 7 × 8 = 56ori,înmulţit cu

aritmetică

produs cartezian

X×Y înseamnă mulţimea tuturor perechilor ordonate cu primul element din X şi al doilea element din Y.

{1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}produsul cartezian între; produsul direct

teoria mulţimilor

produs vectorial

u × v înseamnă produsul vectorial al vectorilor u şi v

(1,2,5) × (3,4,−1) =(−22, 16, − 2)produs vectorial cu

algebră vectorială

÷

/

împărţire

6 ÷ 3 sau 6/3 înseamnă împărţirea lui 6 la 32 ÷ 4 = 0,5

12 / 4 = 3împărţit la

aritmetică

√ rădăcină pătrată √x înseamnă numărul pozitiv al cărui pătrat este x.

√4 = 2

rădăcina pătrată a lui; 

Page 4: Simboluri matematice

radicalul de ordin doi din

numere reale

rădăcina pătrată complexă

dacă z = r exp(iφ) este reprezentat în coordonate polare, atunci √z = √r exp(iφ/2). √(-1) = irădăcina pătrată 

complexă a lui

numere complexe

| |

valoare absolută

|x| înseamnă distanţa pe axa reală (sau în planul complex) dintre x şi zero.

|3| = 3, |-5| = |5||i| = 1, |3+4i| = 5

valoarea absolută a lui; modul din

numere

!

factorial

n! este produsul 1×2×...×n. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24factorial

combinatorică

~

distribuţie de probabilitate

X ~ D, înseamnă că variabila aleatoare X are distribuţia de probabilitate D. X ~ N(0,1), distribuţia normală standardare distribuţia

statistică

⇒→

implicaţie A ⇒ B înseamnă că dacă A este adevărată, atunci şi B este adevărată; în caz că A este falsă, nu se poate spune nimic despre B.

x = 2  ⇒  x2 = 4 este adevărată, dar x2 = 4   ⇒  x = 2 este în general falsă (deoarece x poate fi −2, dacă domeniul studiat permite).

implică; dacă .. atunci

Page 5: Simboluri matematice

⊃ → poate însemna acelaşi lucru ca şi ⇒ sau poate avea sensul pentru funcţii descris mai jos.

logică propoziţională

⇔↔

echivalenţă

A ⇔ B înseamnă că A şi B au aceleaşi valori de adevăr. x + 5 = y +2  ⇔  x + 3 = ydacă şi numai dacă 

(dnd); echivalent cu

logică propoziţională

¬

˜

negaţie logică

Propoziţia ¬A este adevărată dacă şi numai dacă A este falsă.

O bară oblică ce taie un operator reprezintă acelaşi lucru ca şi "¬" scris în faţă.

¬(¬A) ⇔ Ax ≠ y  ⇔  ¬(x = y)

non

logică propoziţională

∧conjuncţie logică sau infimum într-o latice

Propoziţia A ∧ B este adevărată dacă A şi B sunt ambele adevărate; altfel este falsă.

n < 4  ∧  n >2  ⇔  n = 3 dacă n este număr natural.şi

logică propoziţională, teoria laticelor

∨disjuncţie logică sau supremum într-o latice

Propoziţia A ∨ B este adevărată dacă A sau B (sau ambele) sunt adevărate; altfel este falsă.

n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 dacă n este număr natural.sau

logică propoziţională, teoria laticelor

sau exclusiv Afirmaţia A ⊕ B este adevărată dacă fie A, fie  (¬A) ⊕ A este mereu adevărată, A ⊕ A este 

Page 6: Simboluri matematice

⊕⊻

B, dar nu ambele, este adevărată. A ⊻ B înseamnă acelaşi lucru. mereu falsă.

xor

logică propoziţională, algebră booleană

∀cuantificator universal

∀ x: P(x) înseamnă P(x) este adevărată pentru toţi x din domeniu. ∀ n ∈ N: n2 ≥ n.oricare; pentru fiecare

logica predicatelor

∃cuantificator existenţial

∃ x: P(x) înseamnă că există cel puţin un x astfel încât P(x) este adevărată. ∃ n ∈ N: n este par.există

logica predicatelor

∃!

cuantificator de unicitate

∃! x: P(x) înseamnă că există exact un x astfel încât P(x) este adevărată. ∃! n ∈ N: n + 5 = 2n.există un(o) unic(ă)

există şi e unic(ă)

logica predicatelor

:=

:⇔

definiţie x := y sau x ≡ y înseamnă că x este definit ca un alt nume pentru y (de observat că ≡ poate avea şi alte sensuri, precum congruenţă).

P :⇔ Q înseamnă că P este definit astfel încât, din punct de vedere logic, este echivalent cu Q.

cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x))

A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)se defineşte ca

oriunde

{ , }

acolade de mulţime{a,b,c}înseamnă mulţimea formată din a, b şi c. N = {0,1,2,...}

mulţimea

Page 7: Simboluri matematice

teoria mulţimilor

{ : }

{ | }

notaţie de construcţie a unei mulţimi

{x : P(x)} sau {x | P(x)} înseamnă mulţimea acelor x pentru care P(x) este adevărată. {n ∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4}mulţimea elementelor 

cu proprietatea că

teoria mulţimilor

{}

mulţimea vidă

înseamnă mulţimea cu nici un element. {} este o notaţie echivalentă. {n ∈ N : 1 < n2 < 4} = mulţimea vidă

teoria mulţimilor

∈apartenenţă

a ∈ S înseamnă că a este un element al 

mulţimii S; a   S înseamnă că a nu este un element al mulţimii S.

(1/2)−1 ∈ N

2−1   N

aparţine lui, este inclus în;

nu aparţine lui, nu este inclus în

oriunde, teoria mulţimilor

⊆⊂

submulţime

(submulţime) A ⊆ B înseamnă că fiecare element din A este şi element al lui B.

(submulţime proprie) A ⊂ B înseamnă că A ⊆ B dar A ≠ B.

A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ Reste inclusă în; este o submulţime pentru; este submulţime a lui

teoria mulţimilor

⊇⊃

superset A ⊇ B înseamnă că fiecare element din B este şi element al lui A.

A ⊃ B înseamnă că A ⊇ B dar A ≠ B. 

A ∪ B ⊇ B; R ⊃ Q

include; este o supramulţime pentru; este supramulţime a lui

Page 8: Simboluri matematice

A ⊇ B este echivalent cu B ⊆ A, A ⊃ B este 

teoria mulţimilor

reuniune Reuniune exclusivă (vezi şi diferenţă simetrică): A ∪ B înseamnă mulţimea care conţine toate elementele lui A, şi toate elementele lui B, dar nu şi elementele lor comune."A sau B, dar nu amândouă".

Reuniune inclusivă: A ∪ B înseamnă mulţimea care conţine toate elementele lui A, şi toate elementele lui B."A sau B sau amândouă".

A ⊆ B  ⇔  A ∪ B = B

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B)}

reuniunea între

teoria mulţimilor

intersecţie de mulţimiA ∩ B înseamnă mulţimea ce conţine elementele comune din A şi B {x ∈ R : x2 = 1} ∩ ℕ = {1}intersecţia dintre

teoria mulţimilor

\

set-theoretic complement A \ B înseamnă mulţimea ce conţine 

elementele pe care A le are în plus faţă de B {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}diferenţa

teoria mulţimilor

( )

valoarea funcţieif(x) înseamnă 'f de x', sau valoarea lui f în elementul x. Dacă f(x) := x2, atunci f(3) = 32 = 9.de

teoria mulţimilor

modificatori de precedenţă

Se efectuează întâi operaţiile din paranteze. (8/4)/2 = 2/2 = 1, dar 8/(4/2) = 8/2 = 4.paranteze

oriunde

f:X→Y

functie săgeatăf: X → Y înseamnă că funcţia f transportă elementele lui X în cele din Y. Let f: Z → N be defined by f(x) := x2.de ... la

teoria mulţimilor

o

funcţia compunere

fog e functia, fiind (fog)(x) = f(g(x)). if f(x) := 2x, şi g(x) := x + 3, apoi (fog)(x) = 2(x + 3).compus cu

teoria mulţimilor

N

ℕnumere naturale

N înseamnă {0,1,2,3,...}, dar a se vedea şi numere naturale pentru o altă convenţie. {|a| : a ∈ Z} = NN

număr

Z

ℤnumere întregi

Z înseamnă {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}. {a : |a| ∈ N} = ZZ

număr

Q

ℚnumere raţionale

Q înseamnă {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}.3.14 ∈ Q

π ∉ QQ

număr

Rnumere reale

R înseamnă setul de numere reale. π ∈ RR

Page 9: Simboluri matematice

ℝ √(−1) ∉ Rnumăr

C

ℂnumere complexe

C înseamnă {a + bi : a,b ∈ R}. i = √(−1) ∈ CC

număr

infinitate ∞ este un element al mulţimii reale extinse şi este mai mare ca orice alt număr real, fiin deseori întalnit în limite matematice.

limx→0 1/|x| = ∞infinitate

număr

π

piπ este raportul dintre lungimea cercului şi diametrul său. Valorea lui este 3.1415.... A = πr² este aria unui cerc cu raza rpi

geometrie euclidiană

|| ||

norma||x|| este norma unui element x din spaţiul vectorial normat. ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||norma lui; lungimea lui

algebră liniară

Însumare

∑k=1n ak înseamnă a1 + a2 + ... + an. ∑k=1

4 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30sumă peste ... de ... la ... din

oriunde

Înmulţire

∏k=1n ak înseamnă a1a2···an.

∏k=14 (k + 2) = (1  + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 

4 × 5 × 6 = 360produs peste ... de ... 

la ... din

oriunde

Produs cartezian

∏i=0nYi înseamnă setul tuturor (n+1)-uplurilor 

(y0,...,yn).∏n=1

3R = Rnprodusul cartezian 

dintre; produsul direct dintre

algebră

'

Derivatăf '(x) este derivata funcţiei f în punctul x,ex: tangenta la graficul lui f în x. Dacă f(x) := x2, atuncif '(x) = 2x… prim; derivata lui …

analiză matematică

Integrala nedefinită sau antiderivată

∫ f(x) dx înseamnă o funcţie a cărui derivată e f. ∫x2 dx = x3/3 + Cintegrală nedefinită din 

…;

calculus

Integrala definită

∫ab f(x) dx înseamnă aria cu semn dintre axa x şi grficul funcţiei lui f între x = a şi x = b. ∫0b x2  dx = b3/3;integrala de la ... până 

la ....

analiză matematică

∇ gradient ∇f (x1, …, xn) este vectorul derivatelor parţiale (df / dx1, …, df / dxn).

Dacă f (x,y,z) := 3xy + z², atunci ∇f = (3y, 3x, 2z)Nabla, gradient din

analiză matematică

∂ derivată parţială Cu f (x1, …, xn), ∂f/∂xi este derivata lui f în  dacă f(x,y) := x2y, atunci ∂f/∂x = 2xy

Page 10: Simboluri matematice

funcţie de xi, celelalte variabile păstrându-se constante.

derivată parţială din

calculus

frontiera

∂M înseamnă frontiera mulţimii M ∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : ||x|| = 2}frontiera

topologie

⊥perpendicular

x ⊥ y înseamnă x este perpendicular pe y; sau mai general x e ortogonal pe y. Dacă l⊥m şi m⊥n atunci l || n.e perpendicular pe

geometrie

element minim (cel mai mic)

x = ⊥ înseamnă că x este cel mai mic element. ∀x : x ∧ ⊥ = ⊥Elementul minimt

lattice theory

⊧ entailmentA ⊧ B means the sentence A entails the sentence B, that is every model in which A is true, B is also true.

A ⊧ A ∨ ¬Aentails

model theory

⊢inference

x ⊢ y means y is derived from x. A → B ⊢ ¬B → ¬Ainfers or is derived 

from

propositional logic, predicate logic

<div style="font-size:200%;"> ◅

normal subgroup

N ◅ G means that N is a normal subgroup of group G. Z(G) ◅ Gis a normal subgroup 

of

group theory

/

quotient groupG/H means the quotient of group G modulo its subgroup H.

{0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}}mod

teoria grupurilor

izomorfismG ≈ H înseamnă că grupul G e izomorf cu grupul H

Q / {1, −1} ≈ V,unde Q este quaternion group şi V este grupul Klein de 4 elemente.

e izomorf cu

teoria grupurilor

egal aproximativ

x ≈ y înseamnă x este aproximativ egal cu y π ≈ 3.14159este aproximativ egal cu

oriunde

〈,〉

( | )

< , >

·

:

produs scalar〈x,y〉 înseamnă produsul scalar al lui x şi y.

În cadrul spaţiilor euclidiene se obişnueşte de a nota produsul scalar atît prin (x,y) cît şi prin x·y.Pentru matrice se poate utiliza semnul :.

În spaţiul euclidian ℝ2 produsul scalar al vectorilor x = (2, 3) şi y = (−1, 5) este:〈x, y〉 = 2 × −1 + 3 × 5 = 13

A:B = ∑ AijBij

i,j

produs scalar

algebra liniară

⊗ Produs tensorial V ⊗ U înseamnă produsul tensorial dintre V şi U.

{1, 2, 3, 4} ⊗ {1,1,2} ={{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}}produs tensorial

Page 11: Simboluri matematice

algebră liniară