Simboluri matematice
-
Upload
maria-florina -
Category
Documents
-
view
1.463 -
download
8
Transcript of Simboluri matematice
Simboluri matematice de bază
Simbol
Seminificaţie
Explicaţie ExempleSe citeşte
Categorie
=
egalitate
x = y înseamnă x şi y reprezintă acelaşi lucru sau au aceeaşi valoare. 1 + 1 = 2este egal cu
oriunde
≠
<>
neegalitate
x ≠ y înseamnă că x şi y nu reprezintă acelaşi lucru sau nu au aceeaşi valoare. 1 ≠ 2nu este egal cu
diferit de
oriunde
<
>
≪≫
strictă inegalitate
x < y înseamnă că x este mai mic decât y.
x > y înseamnă că x este mai mare decât y.
x ≪y înseamnă că x mult mai mic decât y.
x ≫ y înseamnă că x mult mai mare decât y.
3 < 45 > 40,003 ≪1000000
este mai mic decât,este mai mare decât,este mult mai mic
decât,este mult mai mare
decât
teoria ordonării
≤
≥
inegalitate x ≤ y înseamnă că x este mai mic sau egal cu y.
x ≥ y înseamnă că x este mai mare sau egal cu y.
3 ≤ 4 şi 5 ≤ 55 ≥ 4 and 5 ≥ 5
este mai mic sau egal cu,
este mai mare sau egal cu
teoria ordonării
∝proporţionalitate
y ∝ x înseamnă că y = kx pentru o constantă k. dacă y = 2x, atunci y ∝ xeste proporţional cu
oriunde
+
adunare
4 + 6 înseamnă suma lui 4 şi 6 2 + 7 = 9plus
aritmetică
reuniune disjunctă
A1 + A2 înseamnă reuniunea disjunctă a mulţimilor A1 şi A2.
A1={1,2,3,4} ∧ A2={2,4,5,7} ⇒A1 + A2 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (2,2), (4,2), (5,2), (7,2)}
reuniunea disjunctă între
teoria mulţimilor
− diferenţă
9 − 4 înseamnă diferenţa dintre 9 şi 4 8 − 3 = 5minus
aritmetică
opusul
−3 înseamnă opusul lui 3. −(−5) = 5negativ ; minus
aritmetică
complementul unei A − B înseamnă mulţimea care conţine toate {1,2,4} − {1,3,4} = {2}
mulţimi
elementele din A care nu sunt în B.minus; fără
teoria mulţimilor
×
produs
3 × 4 înseamnă produsul lui 3 şi 4. 7 × 8 = 56ori,înmulţit cu
aritmetică
produs cartezian
X×Y înseamnă mulţimea tuturor perechilor ordonate cu primul element din X şi al doilea element din Y.
{1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}produsul cartezian între; produsul direct
teoria mulţimilor
produs vectorial
u × v înseamnă produsul vectorial al vectorilor u şi v
(1,2,5) × (3,4,−1) =(−22, 16, − 2)produs vectorial cu
algebră vectorială
÷
/
împărţire
6 ÷ 3 sau 6/3 înseamnă împărţirea lui 6 la 32 ÷ 4 = 0,5
12 / 4 = 3împărţit la
aritmetică
√ rădăcină pătrată √x înseamnă numărul pozitiv al cărui pătrat este x.
√4 = 2
rădăcina pătrată a lui;
radicalul de ordin doi din
numere reale
rădăcina pătrată complexă
dacă z = r exp(iφ) este reprezentat în coordonate polare, atunci √z = √r exp(iφ/2). √(-1) = irădăcina pătrată
complexă a lui
numere complexe
| |
valoare absolută
|x| înseamnă distanţa pe axa reală (sau în planul complex) dintre x şi zero.
|3| = 3, |-5| = |5||i| = 1, |3+4i| = 5
valoarea absolută a lui; modul din
numere
!
factorial
n! este produsul 1×2×...×n. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24factorial
combinatorică
~
distribuţie de probabilitate
X ~ D, înseamnă că variabila aleatoare X are distribuţia de probabilitate D. X ~ N(0,1), distribuţia normală standardare distribuţia
statistică
⇒→
implicaţie A ⇒ B înseamnă că dacă A este adevărată, atunci şi B este adevărată; în caz că A este falsă, nu se poate spune nimic despre B.
x = 2 ⇒ x2 = 4 este adevărată, dar x2 = 4 ⇒ x = 2 este în general falsă (deoarece x poate fi −2, dacă domeniul studiat permite).
implică; dacă .. atunci
⊃ → poate însemna acelaşi lucru ca şi ⇒ sau poate avea sensul pentru funcţii descris mai jos.
logică propoziţională
⇔↔
echivalenţă
A ⇔ B înseamnă că A şi B au aceleaşi valori de adevăr. x + 5 = y +2 ⇔ x + 3 = ydacă şi numai dacă
(dnd); echivalent cu
logică propoziţională
¬
˜
negaţie logică
Propoziţia ¬A este adevărată dacă şi numai dacă A este falsă.
O bară oblică ce taie un operator reprezintă acelaşi lucru ca şi "¬" scris în faţă.
¬(¬A) ⇔ Ax ≠ y ⇔ ¬(x = y)
non
logică propoziţională
∧conjuncţie logică sau infimum într-o latice
Propoziţia A ∧ B este adevărată dacă A şi B sunt ambele adevărate; altfel este falsă.
n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3 dacă n este număr natural.şi
logică propoziţională, teoria laticelor
∨disjuncţie logică sau supremum într-o latice
Propoziţia A ∨ B este adevărată dacă A sau B (sau ambele) sunt adevărate; altfel este falsă.
n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 dacă n este număr natural.sau
logică propoziţională, teoria laticelor
sau exclusiv Afirmaţia A ⊕ B este adevărată dacă fie A, fie (¬A) ⊕ A este mereu adevărată, A ⊕ A este
⊕⊻
B, dar nu ambele, este adevărată. A ⊻ B înseamnă acelaşi lucru. mereu falsă.
xor
logică propoziţională, algebră booleană
∀cuantificator universal
∀ x: P(x) înseamnă P(x) este adevărată pentru toţi x din domeniu. ∀ n ∈ N: n2 ≥ n.oricare; pentru fiecare
logica predicatelor
∃cuantificator existenţial
∃ x: P(x) înseamnă că există cel puţin un x astfel încât P(x) este adevărată. ∃ n ∈ N: n este par.există
logica predicatelor
∃!
cuantificator de unicitate
∃! x: P(x) înseamnă că există exact un x astfel încât P(x) este adevărată. ∃! n ∈ N: n + 5 = 2n.există un(o) unic(ă)
există şi e unic(ă)
logica predicatelor
:=
≡
:⇔
definiţie x := y sau x ≡ y înseamnă că x este definit ca un alt nume pentru y (de observat că ≡ poate avea şi alte sensuri, precum congruenţă).
P :⇔ Q înseamnă că P este definit astfel încât, din punct de vedere logic, este echivalent cu Q.
cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x))
A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)se defineşte ca
oriunde
{ , }
acolade de mulţime{a,b,c}înseamnă mulţimea formată din a, b şi c. N = {0,1,2,...}
mulţimea
teoria mulţimilor
{ : }
{ | }
notaţie de construcţie a unei mulţimi
{x : P(x)} sau {x | P(x)} înseamnă mulţimea acelor x pentru care P(x) este adevărată. {n ∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4}mulţimea elementelor
cu proprietatea că
teoria mulţimilor
{}
mulţimea vidă
înseamnă mulţimea cu nici un element. {} este o notaţie echivalentă. {n ∈ N : 1 < n2 < 4} = mulţimea vidă
teoria mulţimilor
∈apartenenţă
a ∈ S înseamnă că a este un element al
mulţimii S; a S înseamnă că a nu este un element al mulţimii S.
(1/2)−1 ∈ N
2−1 N
aparţine lui, este inclus în;
nu aparţine lui, nu este inclus în
oriunde, teoria mulţimilor
⊆⊂
submulţime
(submulţime) A ⊆ B înseamnă că fiecare element din A este şi element al lui B.
(submulţime proprie) A ⊂ B înseamnă că A ⊆ B dar A ≠ B.
A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ Reste inclusă în; este o submulţime pentru; este submulţime a lui
teoria mulţimilor
⊇⊃
superset A ⊇ B înseamnă că fiecare element din B este şi element al lui A.
A ⊃ B înseamnă că A ⊇ B dar A ≠ B.
A ∪ B ⊇ B; R ⊃ Q
include; este o supramulţime pentru; este supramulţime a lui
A ⊇ B este echivalent cu B ⊆ A, A ⊃ B este
teoria mulţimilor
∪
reuniune Reuniune exclusivă (vezi şi diferenţă simetrică): A ∪ B înseamnă mulţimea care conţine toate elementele lui A, şi toate elementele lui B, dar nu şi elementele lor comune."A sau B, dar nu amândouă".
Reuniune inclusivă: A ∪ B înseamnă mulţimea care conţine toate elementele lui A, şi toate elementele lui B."A sau B sau amândouă".
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B)}
reuniunea între
teoria mulţimilor
∩
intersecţie de mulţimiA ∩ B înseamnă mulţimea ce conţine elementele comune din A şi B {x ∈ R : x2 = 1} ∩ ℕ = {1}intersecţia dintre
teoria mulţimilor
\
set-theoretic complement A \ B înseamnă mulţimea ce conţine
elementele pe care A le are în plus faţă de B {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}diferenţa
teoria mulţimilor
( )
valoarea funcţieif(x) înseamnă 'f de x', sau valoarea lui f în elementul x. Dacă f(x) := x2, atunci f(3) = 32 = 9.de
teoria mulţimilor
modificatori de precedenţă
Se efectuează întâi operaţiile din paranteze. (8/4)/2 = 2/2 = 1, dar 8/(4/2) = 8/2 = 4.paranteze
oriunde
f:X→Y
functie săgeatăf: X → Y înseamnă că funcţia f transportă elementele lui X în cele din Y. Let f: Z → N be defined by f(x) := x2.de ... la
teoria mulţimilor
o
funcţia compunere
fog e functia, fiind (fog)(x) = f(g(x)). if f(x) := 2x, şi g(x) := x + 3, apoi (fog)(x) = 2(x + 3).compus cu
teoria mulţimilor
N
ℕnumere naturale
N înseamnă {0,1,2,3,...}, dar a se vedea şi numere naturale pentru o altă convenţie. {|a| : a ∈ Z} = NN
număr
Z
ℤnumere întregi
Z înseamnă {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}. {a : |a| ∈ N} = ZZ
număr
Q
ℚnumere raţionale
Q înseamnă {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}.3.14 ∈ Q
π ∉ QQ
număr
Rnumere reale
R înseamnă setul de numere reale. π ∈ RR
ℝ √(−1) ∉ Rnumăr
C
ℂnumere complexe
C înseamnă {a + bi : a,b ∈ R}. i = √(−1) ∈ CC
număr
∞
infinitate ∞ este un element al mulţimii reale extinse şi este mai mare ca orice alt număr real, fiin deseori întalnit în limite matematice.
limx→0 1/|x| = ∞infinitate
număr
π
piπ este raportul dintre lungimea cercului şi diametrul său. Valorea lui este 3.1415.... A = πr² este aria unui cerc cu raza rpi
geometrie euclidiană
|| ||
norma||x|| este norma unui element x din spaţiul vectorial normat. ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||norma lui; lungimea lui
algebră liniară
∑
Însumare
∑k=1n ak înseamnă a1 + a2 + ... + an. ∑k=1
4 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30sumă peste ... de ... la ... din
oriunde
∏
Înmulţire
∏k=1n ak înseamnă a1a2···an.
∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 ×
4 × 5 × 6 = 360produs peste ... de ...
la ... din
oriunde
Produs cartezian
∏i=0nYi înseamnă setul tuturor (n+1)-uplurilor
(y0,...,yn).∏n=1
3R = Rnprodusul cartezian
dintre; produsul direct dintre
algebră
'
Derivatăf '(x) este derivata funcţiei f în punctul x,ex: tangenta la graficul lui f în x. Dacă f(x) := x2, atuncif '(x) = 2x… prim; derivata lui …
analiză matematică
∫
Integrala nedefinită sau antiderivată
∫ f(x) dx înseamnă o funcţie a cărui derivată e f. ∫x2 dx = x3/3 + Cintegrală nedefinită din
…;
calculus
Integrala definită
∫ab f(x) dx înseamnă aria cu semn dintre axa x şi grficul funcţiei lui f între x = a şi x = b. ∫0b x2 dx = b3/3;integrala de la ... până
la ....
analiză matematică
∇ gradient ∇f (x1, …, xn) este vectorul derivatelor parţiale (df / dx1, …, df / dxn).
Dacă f (x,y,z) := 3xy + z², atunci ∇f = (3y, 3x, 2z)Nabla, gradient din
analiză matematică
∂ derivată parţială Cu f (x1, …, xn), ∂f/∂xi este derivata lui f în dacă f(x,y) := x2y, atunci ∂f/∂x = 2xy
funcţie de xi, celelalte variabile păstrându-se constante.
derivată parţială din
calculus
frontiera
∂M înseamnă frontiera mulţimii M ∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : ||x|| = 2}frontiera
topologie
⊥perpendicular
x ⊥ y înseamnă x este perpendicular pe y; sau mai general x e ortogonal pe y. Dacă l⊥m şi m⊥n atunci l || n.e perpendicular pe
geometrie
element minim (cel mai mic)
x = ⊥ înseamnă că x este cel mai mic element. ∀x : x ∧ ⊥ = ⊥Elementul minimt
lattice theory
⊧ entailmentA ⊧ B means the sentence A entails the sentence B, that is every model in which A is true, B is also true.
A ⊧ A ∨ ¬Aentails
model theory
⊢inference
x ⊢ y means y is derived from x. A → B ⊢ ¬B → ¬Ainfers or is derived
from
propositional logic, predicate logic
<div style="font-size:200%;"> ◅
normal subgroup
N ◅ G means that N is a normal subgroup of group G. Z(G) ◅ Gis a normal subgroup
of
group theory
/
quotient groupG/H means the quotient of group G modulo its subgroup H.
{0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}}mod
teoria grupurilor
≈
izomorfismG ≈ H înseamnă că grupul G e izomorf cu grupul H
Q / {1, −1} ≈ V,unde Q este quaternion group şi V este grupul Klein de 4 elemente.
e izomorf cu
teoria grupurilor
egal aproximativ
x ≈ y înseamnă x este aproximativ egal cu y π ≈ 3.14159este aproximativ egal cu
oriunde
〈,〉
( | )
< , >
·
:
produs scalar〈x,y〉 înseamnă produsul scalar al lui x şi y.
În cadrul spaţiilor euclidiene se obişnueşte de a nota produsul scalar atît prin (x,y) cît şi prin x·y.Pentru matrice se poate utiliza semnul :.
În spaţiul euclidian ℝ2 produsul scalar al vectorilor x = (2, 3) şi y = (−1, 5) este:〈x, y〉 = 2 × −1 + 3 × 5 = 13
A:B = ∑ AijBij
i,j
produs scalar
algebra liniară
⊗ Produs tensorial V ⊗ U înseamnă produsul tensorial dintre V şi U.
{1, 2, 3, 4} ⊗ {1,1,2} ={{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}}produs tensorial
algebră liniară