SERVOMECANISME~CURS(DOBRA REMUS) (1)

7/23/2019 SERVOMECANISME~CURS(DOBRA REMUS) (1)

1/174

1

Capitolul 1Structura i funcionarea sistemelor de poziionare

n aplicaiile industriale foarte adesea este necesar realizarea unor poziionriprecise ntr-un timp ct mai redus. Duptipul energiei utilizate i al elementului de for

care asigurmicarea sarcinii, un astfel de sistem poate fi: hidraulic, pneumatic i, celmai adesea, electric.

Pentru a avea o vedere de ansamblu asupra unui astfel de sistem de poziionare, sconsiderm un caz simplificat, prezentat n Figura 1.1.

Amplificator

de putere Servomotor

SM

T

T

Traductor

de pozitie

A

1

r

Sarcina

S

0

m

m

ei

u Au

iTTi Ku =

eTTe Ku =

+ -

e

e

e

Energie electricaTraductor

de pozitie

Reductor

de turatie

eTTe Ku =

Flux de putere electrica Flux de informatiiFlux de putere mecanica

Figura 1.1. Schema de principiu a unui servosistem

Servosistemul analizat este compus dintr-un traductor de eroare de poziie T, unamplificator de putere electronic sau electromecanic A, un servomotor electric SM i unreductor de vitezmecanic R prin care se antreneazsarcina S.

Echilibrul ideal al sistemului corespunde situaiei n care poziia sarcinii coincidecu cea impus, respectiv mrimea de ieire, e , este egal cu mrimea de comand,

situaie n care tensiunea de ieire a traductorului de poziie, u , este zero, tensiunea de

alimentare a motorului, Au , nuli deci ntreg ansamblul rmne nemicat.

La primirea unui semnal de comand 'i , la ieirea traductorului de eroare de

poziie apare un semnal proporional cu diferena dintre mrimea de intrare i mrimea deieire care, amplificat i aplicat motorului, comand aducerea sarcinii dup un anumit

timp ntr-o noupoziie de echilibru '' ie = .

1.1. Elemente componente ale servosistemelor

Aa cum am artat, cel mai simplu servosistem se compune dintr-un traductor depoziie, unul sau mai multe amplificatoare n cascad, un servomotor i un reductor ceantreneazsarcina. Determinarea modelului matematic al fiecruia dintre aceste elementeva permite determinarea modelului ntregului sistem i, deci predeterminareacaracteristicilor sale de funcionare.


2/174

2

1.1.1. Traductorul de eroare de poziie

Servosistemul de fa utilizeaz pentru acionare un servomotor de curent

continuu i, ca urmare, semnalul de intrare al amplificatorului de putere trebuie sfie unsemnal electric continuu. n cazul utilizrii unui traductor de eroare n curent alternativ,semnalul obinut la ieire va fi demodulat pentru a se obine un semnal echivalentcontinuu.

Ca traductor de poziie se utilizeazdispozitive analogice sau digitale, dintre carecel mai simplu este realizat cu ajutorul a dou poteniometre alimentate n curentcontinuu sau curent alternativ (Figura 1.2, a i b), la ieirea crora se obine un semnalelectric proporional cu diferena de poziie a celor doucursoare:

)(Ku eiT = (1.1)Dei mai complicat, schema n curent alternativ care cuprinde de asemenea un

demodulator prezintavantajul celimin, fade schema n curent continuu, tensiunile

electromotoare de contact, mbuntind astfel precizia sistemului. Valoarea semnaluluide ieire depinde de domeniul maxim de lucru al poteniometrelor i de valoarea tensiuniiaplicate.

a) b)Figura 1.2. Traductoare poteniometrice de poziie:

a) de curent continuu; b) de curent alternativ

Dezavantajele principale ale traductoarelor de acest tip (realizate cu rezistenebobinate) constau n uzura rapid a contactelor i n variaia n trepte a rezistenei,respectiv a tensiunii de ieire, dezavantaje eliminate prin utilizarea unor traductoare maisofisticate, de tip electromagnetic sau optic.

n cazul de servosistemului studiat, se consider c traductorul de poziiefuncioneaz n domeniul linear i, drept urmare, neliniaritile datorate contactelorpoteniometrelor pot fi neglijate. Schema bloc a traductorului de curent continuu (Figura1.2,a) este prezentata n Figura 1.3,a, unde factorul de amplificare PK include attsensibilitatea poteniometrelor ct i factorul de amplificare al amplificatorului sumator.

Pentru traductoarele de poziie de curent alternativ, diagrama bloc este prezentatin Figura 1.3,b. Traductorul i demodulatorul se comportca un element de ntrziere deordinul 1, fiind catracterizate printr-o funcie de transfer de tipul:

i e e

i


3/174

3

T

T

)s(ei sT

K

)s(

)s(u)s(G

+=

=

1 (1.2)

n cazul studiat, pentru simplificarea modelului, se consider c traductorul deeroare de poziie este de curent continuu i ca urmare, mrimea sa de ieire-att n regimstaionar, ct i n regim tranzitoriu- este direct proportionala cu eroarea

)ei(TKu = (1.3)

a) b)Figura 1.3. Schema bloc a traductoarelor de poziie: a) frntrziere;

b) cu ntrziere de ordinul 1

1.2.1. Amplificatorul de putere

n practica servosistemelor se utilizeaz actualmente, n exclusivitate,amplificatoare continue sau n comutaie.

Comand

SM

L

SM

Comand

Ie

Cd

Ex

0

Invertor

Amplificator

a) b)

Figura 1.4. Amplificatoare statice de putere: a) de curent continuu; b) de curent alternativ

Amplificatoarele de putere statice de curent continuu sau alternativ (Figura 1.4)folosesc ca elemente de forsemiconductoarele de putere comandate, de tip tranzistor.Aceste amplificatoare n regim staionar prezintpe un anumit domeniu o relaie linearntre ieire i intrare:

(iTK

u (cc)

)s(e

TsT

TK

+1

)s(e

u (cc)

+)s(i

-


4/174

4

=== UkUkUU AiAAe (1.3)

unde s-a notat cu Ak factorul de amplificare.

Peste o anumit valoare a semnalului de intrareei

U semnalul de ieire nu mai

poate crete i amplificatorul intrn saturaie ele UU = i se spune cnu mai are rezerv

de tensiune, Figura 1.5. Trebuie s remarcm c aceste amplificatoare nu rspundinstantaneu comenzii i prezintfuncie de tip o anumitntrziere.n cazul funcionrii amplificatorului n zona linear acestea pot fi reprezentate

printr-o funcie de transfer asemantoare traductoarelor de poziie, avnd un factor deamplificare AK i o constantde timp T (Figura 1.5. b):

+=

sT

K)s(G AA 1

(1.5)

Constanta de timp a amplificatoarelor cu semiconductoare de putere cu comutaieeste reprezentat de timpul lor mort statistic T , precum i de parametrii eventualelor

bobine i condensatoare de filtrare din circuitul de putere. Foarte adesea, n lipsacircuitelor de filtrare, constanta de timp a acestor amplificatoare statice este foarte micin unele aplicaii, ea poate fi neglijat.

)s(u

)s(ue

)s(uA

)s(iu

+sTkA

1

iU

eU

ilU

esU

ilU

esU

0

a) b)

Figura 1.5. a) Schema bloc a amplificatorului de putere; b) Caracteristica intrare/ieiren regim staionar a unui amplificator de putere nelinear


5/174

5

1.1.3. Servomotorul de antrenare

n cazul de fa, pentru antrenare se utilizeazun servomotor de curent continuucu flux de excitaie constant (mai precis, cu magnei permaneni), al crui modelmatematic se poate descrie pe baza relaiilor cunoscute:

oAAAAA eiLiRu += dtd (1.7)

mm kNa

Pe =

= 00 2

(1.8)

AA ikiNa

Pm =

= 02

(1.9)

unde: Au este tensiunea instantanee aplicat, Ai - curentul rotoric, 0e - tensiunea

electromotoare, 0 - fluxul de excitaie, m - viteza de rotaie instantanee, P- numrulde poli, a - numrul de ci de curent, - numrul de conductoare ale indusului, m -cuplul electromagnetic, k- constanta de tensiune electromotoare, respectiv de cuplu.

Sistemul studiat este un sistem electromecanic i, drept urmare, este guvernat deecuaia de echilibru dinamic a maselor n rotaie, reduse la axul motorului:

sfm mmmJ =dtd

(1.10)

Cu Js-a notat momentul total de inerie al sistemului ( mJ este momentul de

inerie al servomotorului i al reductorului, iar 2rJs , al sarcinii pentru un raport de

transmisie de r1 ), fm reprezentnd cuplul rezistent de frecri vscoase al

servomotorului i al sarcinii, proporional cu viteza de rotaie:

mTm

s

mmf F

r

FFm =+=

2 (1.11)

unde mF i sF sunt coeficienii de frecri vscoase de natur mecanic ai motorului,

respectiv ai sarcinii; sm reprezintcuplul total de frecri statice, independent de vitez:

r

mmm sssms += (1.12)

unde smm este cuplul static propriu al motorului, iar ssm - cuplul static al sarcinii.

Aplicnd transformata Laplace ecuaiilor (1.7-1.10) (pentru simplificare, sconsiderm iniial cuplul rezistent static i condiiile iniiale nule):

=+

++=

)s(ikFsJ

)s(k)s(i)sT(R)s(u

Amm

mAAAA 1 (1.13)

putem gsi o relaie ntre viteza mainii i tensiunea aplicat, de forma:

)()1(

1)(

2 su

sTsTTks A

emAem

m++

= (1.14)

unde s-a notat cu AAA RLT = constanta de timp electric a mainii, iar cu2kJRT Aem= , constanta sa electromecanic. Dinamica motorului depinde de cele dou

constante de timp. n cazul n care cele douconstante de timp sunt aproximativ egale, de


6/174

6

exemplu: msTT emA 20== , rspunsul este tipic pentru un sistem de gradul 2 (Figura 1.6).Atunci cnd constanta de timp electriceste de 4 ori mai micdect cea electromecanic,rspunsul se aproprie de cel al unui sistem de gradul 1.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura 1.6. Rspunsul n vitezal unui servomotor de curent continuu la aplicarea unei trepte de tensiune

n astfel de cazuri, modelul mainii se simplifici poate fi descris ca un sistem de

gradul 1, cu o singurconstantde timp, cea electromecanic respectiv, se neglijeazregimul tranzitoriu electric, mrimile electrice instantanee putnd fi nlocuite cu cele deregim staionar, ecuaiile devin:

=

+=

A

mAAA

IkM

kIRU (1.15)

Eliminnd curentul, n relaiile de mai sus, se obine cuplul electromagnetic:

meAMm

A

A

A

FUkR

kU

R

kM ==

2

(1.16)

sau:

mep FMM = (1.17)

S-a notat cu AM RkK = coeficientul de amplificare cuplu-tensiune, iar cu Ae RkF2=

coeficientul artificial de frecri de naturelectric.Pe baza acestor relaii, se pot trasa caracteristicile mecanice ale mainii,

remarcndu-se faptul cformeazo familie de drepte paralele (Figura 1.7).

Ai

[ ]st

msAT 20=

TA 5=

msAT 0=

msemT 20=


7/174

7

UAm

0.75

[rad/s]m

[Nm]mM

0.50

0.25

pmM

m0 Figura 1.7. Caracteristicile mecanice liniarizate ale servomotoarelor de curent continuu

1.2. Modelul matematic al servosistemelor

Pe baza relaiilor (1.7), (1.11) i (1.17) se poate scrie o relaia general cecaracterizeazcomportarea sistemului:

smTmmeeiAPMmep mFJF)(KKKFMm ++=== dtd

(1.19)

Notnd cu:

eemm rr === dtd

dt

d, i eT FFF +=

i ordonnd corespunztor termenii relaiei (1.19), se obine:

siATMeATMee mKKKKKKrFrJ =++ dtddtd 2

2

(1.20)

Ecuaia (1.20) reprezint forma clasic ce caracterizeaz sistemele ineriale deordinul 2 i rezolvarea analitica acestei ecuaii difereniale este posibilnumai pentrusisteme lineare, acolo unde coeficienii PK , AK , MK i Fnu depind de variabila e sau

de timp. Acest lucru este valabil atunci cnd funcionarea traductorului de poziie i aamplificatorului de putere corespunde zonei lor lineare, iar caracteristicile mecanice aleservomotorului pot fi aproximate prin linii drepte. n cazul n care sistemul nu este linear,rspunsul lui poate fi delimitat practic: - numai cu ajutorul programelor de simularespecializate, sau aproximativ - prin liniarizri locale n jurul punctului de funcionare.

Pentru sistemele lineare, rezolvarea cea mai simpla setului de ecuaii diferenialecaracteristice se realizeaz cu ajutorul transformatei Laplace. Considernd c sistemul

descris de ecuaia (1.20) este n repaus n momentul iniial, adic 0)0( =e i ( ) 00 =e.

,

prin aplicarea transformatei Laplace se obine:

)s(m)s(KKK)s()KKKrFsrJs( siAPMeAPM =++2 (1.21)

relaie a crei schembloc este prezentatn Figura 1.8.


8/174

8

T A M )(sms MR

S

pK AK MKr

1)FsJ(s +

1

)(sUA)(sU )s(e

+

-

+-

)s(m

)s(i

)s(m)s(e

Figura 1.8. Schema bloc echivalenta servosistemului

Pentru simplificarea analizei, se poate neglija cuplul de frecri statice ( 0sm ),ipotezvalabilpentru servosisteme cu moment ridicat de inerie i frecri statice reduse,de tipul celor prezentate anterior. Ecuaia (1.21) devine:

)s(Jr

KKK)s()

Jr

KKKs

J

Fs( i

APMe

APM =++2 (1.21)

sistem a crui schembloc este prezentatn Figura 1.9.

)s(m

)( FsJs

KK MA

+

r

1

+

)s(i

)s(e

)s(u )s(e

_ TK

Figura 1.9. Schema bloc simplificata servosistemului

Funcia de transfer pentru calea directeste:

)FsJ(sr

KK

)s(u

)s()s(H AMe

+==

. (1.22)

Notnd cu:

Jr

AKTKMKn = ,

pulsaia proprie a sistemului, iar

r

JKKK

F

J

F

ATMn 22

=

= , (1.23)

factorul de amortizare, relaia (1.21) devine:)()()2( 222 ssss inenn =++ . (1.21)

Raportul dintre transformata Laplace a mrimii de ieire i transformata Laplace amrimii de intrare definete funcia de transfer a sistemului:

22

2

2)(

)()(

nn

n

i

e

sss

ssG

++== , (1.24)

funcie de transfer caracterizatprin comportarea dinamica a servomecanismului studiati a crui schembloc este prezentatn Figura 1.10.


9/174

9

)s(i

222

2

nsns

n

++

)s(e

Figura 1.10. Schema bloc a sistemului linear de gradul 2

Sistemele de aceastformsunt caracterizate prin rspunsul lor la diverse formeale semnalului de comandde tip treapt, rampsau sinusoidal. Cel mai utilizat n analizasistemelor este rspunsul la semnalul de comandtreapt ii (t)*(t) 1= , funcie a crei

transformatLaplace este si .n acest caz, ecuaia sistemului devine:

inenns

sss =++ 2221

)()2( ,

sau:

i

nn

n

nn

ine

sss

sssss

++ +=++= 2222

2

2 21)2()(

. (1.25)

Utiliznd tabelele de transformare Laplace, se obine imaginea n timp cunoscut:

( ) int

e te

tn

+

=

22

1sin1

1)( , (1.26)

unde: arccos=


10/174

10

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.80.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.91

1.25

1.5

1.75

2

0.10.3

0.50.7

0.9 11.25

1.51.75

2 0

5

10

15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Figura 1.11: Rspunsul n timp al servosistemului realizat pentru diveri factori de amortizare

es

e

[ ]radtn

es

e

[ ]radtn

=

2D

3D


11/174

11

1.3. Influena parametrilor elementelor componente asupra dinamiciiservosistemului

Proiectarea unui sistem automat echivaleazcu alegerea elementelor componenteale schemei sale n scopul realizrii anumitor performane n regim tranzitoriu i

staionar. Trebuie alese din cataloage sau proiectate traductorul de poziie, amplificatorul,servomotorul, reductorul de vitez, toate acestea pentru o sarcin S, caracterizatprintr-un moment de inerie SJ , un coeficient de frecri vscoase SF i un cuplu static ssm .

Rspunsul n timp al servosistemului depinde de diverii parametri ai elementelorschemei prin factorul de amortizare i pulsaia proprie a sistemului. Astfel pentru omrime de intrare treapt rspunsul n timp normalizat ( tn ) pentru diveri factori de

amortizare ai sistemului idealizat a fost prezentat in Figura 1.11. Amortizarea este cuatt mai rapidcu ct factorul de amortizare este mai mare, factor ce poate fi variatacionndu-se asupra oricruia dintre parametrii sistemului.

Pentru un astfel de proces tranzitoriu, se pot defini o serie de factori de calitate

(Figura 1.12) care permit o caracterizare sintetica sistemului.

Figura 1.12. Figurajuttoare pentru definirea timpilor de rspuns ai servosistemului

Coeficientul de suprareglare reprezint raportul dintre depirea tranzitoriemaxim( em ) a valorii staionare es i aceasta din urm:

100100

=

=es

em

es

esem

(1.27)

n practiceste de dorit ca acest coeficient de suprareglare maxim sfie ct maimic (sub 10%) ceea ce echivaleazcu un factor de amortizare ridicat, peste 0,6.

em

es

es% 90

ct

iit

1st

ift

emes

[ ]rade

[ ]st


12/174

12

Durata procesului se exprim prin mai multe momente de timp pentru carerspunsul are diverse valori particulare: timpul de prim stabilire, 1st , reprezint intervalul de timp din momentul nceperii

procesului tranzitoriu pnn momentul cnd mrimea de ieire devine pentru primadategalcu valoarea staionar es ;

timpul de cretere, ct , este definit ca timpul necesar ca rspunsul sating90% dinvaloarea sa final(uneori diferena de timp n care rspunsul crete de la 10% la 90%);

timpul de ncadrare iniial, iit , reprezint intervalul de timp de la nceputulfenomenului tranzitoriu pn la ncadrarea pentru prima dat a mrimii de ieire ndomeniul de toleranadmis es (Figura 1.12); n lipsa oricrei precizri, es se

ia 2-5% din valoarea staionar es maxim;

timpul de ncadrare final, ift , se definete ca intervalul de la nceputul fenomenului

tranzitoriu pn la ncadrarea definitiv mrimii n plaja de toleran admisibil

es . Variaia acestui timp de ncadrare final funcie de factorul de amortizare

pentru servosistemul studiat la diverse tolerane admise este prezentat (sub formnormalizat, ifnt ) n Figura 1.13.

Discontinuitile curbelor pentru amortizri reduse se datoreaz faptului cintrarea final ntr-o toleran specific are loc dup terminarea unei oscilaii ntregi.Pentru aceste amortizri sczute timpul de ncadrare final normalizat ( ifnt ) este practic

invers proporional cu , iar pentru amortizri ridicate, proporional cu 12 sau,chiar practic, cu . Un timp minim de ncadrare final normalizat se obine pentru factoride amortizare ntre 0,6 i 0,8.

0 0 .5 1 1 .5 22

4

6

8

1 0

1 2

1 4

2 %1% 5% 10 %

Figura 1.13. Timpul final de ncadrare normalizat al servosistemului, funcie de factorul de amortizare

Factor de amortizare Timpdencadrarefinalnormalizat,n

tfi


13/174

13

n practic, se dorete ca toi aceti timpi reali (care pot fi cuprini ntremilisecunde i zeci de secunde, funcie de natura i gabaritul sistemului de poziionare) sfie ct mai redui, astfel nct mrimea de ieire satingdefinitiv valoarea sa finalctmai rapid. Viteza de rspuns depinde de factorul de amortizare i de pulsaia n

timpul normalizat fiind definit ca tn= . Pentru o valoare ridicat a pulsaiei proprii

n , sistemul are un timp mic de rspuns, i invers. Pulsaia proprie n este definitprin

relaiaJr

KKK TAMn= i este deci posibilmodificarea sa prin modificarea factorilor

de amplificare, a constantei de cuplu a servomotorului, a momentului de inerie globalsau a raportului de reducie.

Alegerea factorului global de amplificare AKTKMK se poate determina pe bazaerorii de poziie maxime acceptate. Pe baza relaiei (1.19), condiia de echilibru static

( ,m 0dt

d= 0=m ) se obine atunci cnd:

seiATM m)(KKK = (1.28)

tiind c rmmm sssms += i ctensiunea minimde pornire a motorului n gol

esteMsmA

KmU = , se gsete, pe baza relaiei (1.15) condiia:

00 ,de unde condiia n ceea ce privete raportul de reducere al reductorului:

s

mr

< 0 (1.30)

Cum n regim staionarF

Mpmm=0 (1.19), rezult

s

pm

F

Mr

< , respectiv:

( )[ ]1=

++

rFFFr

M

smes

pm (1.31)

n care este un coeficient subunitar ( 9,05,0 = ; 0,5 corespunznd puterii utilemaxime a servomotorului).

n ceea ce privete acceleraia sarcinii,..

esa = , este n general impus debeneficiar n funcie de vitez, reprezentnd i ea o datiniialde proiectare.

Cuplul m dezvoltat de motor (1.19) trebuie sacopere la orice vitezcuplul deacceleraie al ansamblului motor reductor sarcin, plus cel de frecri i cel static:

r

aJ

r

mmraJmJFM sssssmsmsmmp +++=+ 2

..

(1.32)

Neglijnd cuplul de frecri statice din motor (1-3%) NM , pentru pornire la

tensiunea maxim( sps aa = ) relaia (1.32) poate fi scrisca:

02


15/174

15

Inegalitatea (1.34) ofer astfel informaii privind alegerea servomotorului i areductorului pentru o acceleraie dati are sens numai dacmrimea de sub radical estepozitiv, respectiv:

)(42

sspsssp

m

pmJama

J

M+> (1.35)

condiie fr de care reductorul nu poate s asigure acceleraia impus de sarcin nmomentul pornirii.

Raportul mpm JM2 este independent de raportul de transmisie al reductorului i

reprezinto cifrde merit a servomotorului, de care trebuie sse inseama n alegereasau proiectarea acestuia.

n realitate, servosistemul studiat nu funcioneaz, aa cum s-a presupus pnacum, numai n domeniul linear. innd cont de fenomenul de saturaie i frecrile denatur static, rspunsul sistemului se determin fie practic fie prin simulare, existndcinci moduri de funcionare, n bucl nchis sau deschis, saturat sau nesaturat (Fig.1.14):

Figura 1.14. Rspunsul n timp al servosistemului real

1) pentru erori mari, figura 1.15 a, b amplificatoarele se satureaz i nprimele momente tensiunea aplicat servomotorului este de valoare maxim constant,independentde mrimea de intrare. Se spune cbucla servosistemului este rupt laintrarea amplificatorului i pentru acest regim exist o saturaie de tensiune. Curentulprin motor crete rapid i atunci cnd atinge valoarea maxim admisibil intervineregulatorul de curent care nu mai permite depirea acestei valori i sistemul intrntr-unnou mod de operare.

Saturaie deacceleraie

Saturaie deacceleraie

Saturaie devitez Zona de

insensibilitate

Zonalinear

e

Saturaie de

acceleraie

t

es


16/174

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-100

-50

0

50

100

150

200

250

2 1 324 4 5

Referinpoziie i

Referintensiune

Eroarea depozi ie Tensiune

motor Au

Curentmotor Ai

Poziia e

1

[ ]st

250

Fig. 1.15 Regimul dinamic de pornire al unui sistem de pozi ionare: a) timpul de simulare t=0 - 0.5 s, b

Tensimoto

Curentmotor Ai

T.e.m.motor

0e

Tensiunemotor Au

Viteza m

T.e.m.motor

0e

Viteza m


17/174

17

2) regulatorul de curent reduce tensiunea de alimentare i menine curentul lao valoare impus maxim admisibil. Deoarece cuplul electromagnetic produs deservomotor este proporional cu acest curent i acesta este maxim iar acceleraia practicproporionalcu cuplul electromagnetic. Se poate afirma cexisto saturaie de curent,respectiv de acceleraie. n toat aceasta perioad ct timp curentul i acceleraia sunt

meninute la valoarea maxim, viteza servomecanismului crete liniar (Fig. 1.15 a) iproporional cu aceasta, tensiunea electromotoare a mainii. Pentru a menine curentul lavaloarea impus este necesar ca tensiunea produs de amplificator i aplicatservomotorului screasccontinuu, att timp ct acest lucru este posibil.

1) Urmeaz din nou un regim de alimentare a servomotorului cu tensiunemaxim, o saturaie de tensiuneasemntoare cu cea din primele momente ale pornirii.Deoarece curentul este pozitiv, cuplul produs de servomotor pozitiv, turaia, respectivtensiunea electromotoare (t.e.m.) continu s creasc. Datorat creterii tensiuniielectromotoare, n condiiile n care tensiunea aplicat rmne constant la valoarea samaxim (nu mai exist rezerv de tensiune la amplificatorul de putere), amplitudineacurentului rotoric ncepe sscadi atunci cnd (pentru un cuplu de sarcinnul) viteza

devine egalcu viteza maximde mers n gol a mainii, acest curent devine la rndul luiegal cu zero.3) Dei n aceastsituaie cuplul electromagnetic produs este i el zero, evident c

n lipsa cuplurilor rezistente motorul continu s se roteasc la vitezmaxim datoritineriei. Suntem n faa unei noi forme de saturaie, aa numit saturaie de vitez.Evident co astfel de situaie apare i n cazul cuplurilor rezistente diferite de zero, cuobservaia cviteza maximatinsnu mai este cea de mers n gol iar curentul este diferitde zero, corespunztor cuplului de sarcinde regim staionar.

4) n tot acest timp unghiul e crete continuu i eroarea i e scade. La unmoment dat aceasteroare devine att de sczut nct amplificatorul iese din saturaieintrndu-se n urmtorul mod de funcionare. Urmeaz o zon intermediar n care

servosistemul se comport linear, tensiunea aplicat de amplificatorului de putereservomotorului este direct proporional cu eroarea i e . Neliniaritile caracteristicilorservomotorului i frecrile statice au un oarecare efect asupra rspunsului sistemului; cutoate acestea, cu bun precizie, funcionarea servosistemului poate fi caracterizat calinear. Datoritfaptului cfactorii de amplificare kT, kA sunt relativ ridicai la scdereaerorii de poziie tensiunea de alimentare a motorului scade (relativ rapid) sub valoareatensiunii electromotoare i ca urmare curentul prin motor i cuplul electromagneticschimb de semn i atinge ntr-un timp scurt valorile maxime admisibile (dar de semncontrar).

2) regulatorul de curent menine amplitudinea curentului la valoarea maximadmisibil, i avem din nou de a face cu o saturaie de curent, cuplu, respectiv

acceleraie. Deoarece cuplul electromagnetic schimb i el de semn, servomotorulfrneaz n continuare, viteza sa scade, i devine zero n momentul n care poziia e

atinge valoarea maximpozitiv, scznd n continuare.4) La un moment dat de timp tensiunea produs de amplificatorul de putere

proporional cu eroarea de poziie devine mai micdect tensiunea electromotoare pluscderea de tensiune pe rezistena rotorici drept urmare curentul ncepe screasc (sscad n valoare absolut) i s ating la un moment dat zero, moment n care (pentrucuplu de sarcinnul) viteza servomotorului prezintun minim. Curentul prin motor crete


18/174

18

n continuare i atinde un maxim (inssub valoarea de saturaie) dupcare trece din nouprin zero, are un nou minim i apoi se amortizeazi ajunge la zero.

5) dup atingerea minimului, datorit faptului c curentul i respectiv cuplulelectromagnetic este pozitiv crete continuu, trece prin zero atunci cnd poziaiaprezintprimul minim al oscilaiei, are un maxim cnd curentul servomotorului trece prin zero i

apoi se amortizeaz i devine zero atunci cnd eroarea de poziie devine nul. Atuncicnd eroarea i e = este foarte mic, tensiunea aplicatservomotorului este redusica urmare acesta nu dezvoltun cuplu electromagnetic suficient pentru a depi cuplul defrecri statice al servomotorului i al sarcinii, iar motorul nu pornete. Servosistemul, nacest caz, este rupt la axul servomotorului i se gsete n zona sa moart, zona gri nFigura 1.14;

Un efect similar este produs de jocul n reductorul dintre motor i traductorul depoziie, efectul care se remarcatunci cnd motorul reverseaz. Acest fenomen nu estelegat de valoarea erorii , ci poate fi produs i de rezoluia limitat a traductorului depoziie (de exemplu, n cazul utilizrii poteniometrelor bobinate sau a encodere Hall) curezoluie limitat.

La aplicarea unui sistem de intrare treapt de amplitudine ridicat, toate acestecinci regimuri sunt posibile. Analiza unui asemenea regim poate fi fcutmprindu-l ncteva pri i considernd separat comportarea sistemului n zona linear i n valorioptime pentru parametrii sistemului, valori care pot fi diferite de la un caz la altul.

1.4. mbuntirea performanei sistemului de poziionare prin utilizareaunei reacii de vitez

Pnn prezent, sistemul studiat folosea drept reacie o singurmrime: mrimeade ieire, poziia. Fiind vorba de un sistem cu o intrare i o ieire, evident, numrul demrimi comandate nu putea fi mai mare dect 1 cu toate acestea, utilizarea de bucle de

reacie minore (de vitez, de curent, etc.) poate modifica n bine dinamica sistemului, fra-i modifica performanele de regim staionar.Drept urmare, sistemul nostru poate fi completat cu o reacie suplimentar de

vitez, reacie obinut de la un tahogenerator, Figura 1.16 montat pe axulservomotorului.

Tahogeneratoarele sunt traductoare de vitez a cror tensiune de ieire esteproporionalcu viteza de rotaie a axului care le antreneazi pot fi caracterizate printr-ofuncie de transfer simplde forma:

TG

TG

TG

m

TG

TG sKsT

sK

s

susG

+==

1)(

)()(

, (1.36)

relaie n care, pentru modelul nostru simplificat, constanta de timp TGT poate fi neglijat.

Pentru introducerea acestui nou element, schema bloc simplificat a sistemului esteprezentat n Figura 1.17,a sau sub o formmai compact, n Figura 1.17,b. n aceastschem, 1K reprezint funcia de transfer a unui poteniometru de reglare montat laieirea tahogeneratorului.


19/174

19

TG

R1

R2C TGu

K1

0

m

Figura 1.16. Schema de principiu a unui tahogenerator / traductor de vitezcu filtru pe ieire

)s(e

TK( )FsJs

KK MA

+

1K TGsK

)s(i )s(e

+ - + -

)s(U )s(m

)s(i

+- TK ( )TGMA

MA

KKKKFsJs

KK

1++

)s(m

r

1

a)

b)

r

1

Figura 1.17. Schema servomotorului de poziionare cu reacie

tahometricde compensare: a) schema bloc; b) schema compact

Funcia de transfer a cii directe se gsete:

)()(

)()(

1 MATG

MAe

KKKKFsJsr

KK

su

ssH

++==

(1.37)

Comparnd aceastrelaie cu funcia de transfer a cii directe din cazul precedent

(1.22):)( FsJsr

KK MA

+, se observcn prezena buclei tahometrice sistemul se comportca

i cum frecarea vscoasar crete, MATGV KKKKFF 1+= ,iar factorul de amortizare ar

deveni

r

KKK

KKKKF

ApM

MATG

2

1+

= contribuind deci la o mbuntire a performanelor

dinamice generale.


20/174

Capitolul 2

ELEMENTELE DE BAZALE SERVOSISTEMELOR.

Regulatoare. Amplificatoare. Reductoare de turaie. Traductoare depoziie i vitez

2.1 Generaliti

Sistemele electromecanice sunt caracterizate prin diverse tipuri de funcii detransfer care caracterizeaz total sau parial funcionarea lor n bucla deschis sau n

bucl nchis. Mrimile de intrare tipice pot fi diferite: treapt, ramp, parabolice sausinusoidale i ca urmare ne intereseazpentru toate aceste intrri rspunsul sistemuluiatt n regimul dinamic ct i n cel staionar (respectiv eroarea de ieire).

2.1.1 Modelul matematic al sistemelor continue n buclnchis

S considerm cazul general al unui sistem sau al unei pri dintr-un sistemcaracterizat printr-o funcie de transfer definitca raportul dintre transformatele Laplaceale mrimii de ieire )(sy i a mrimii de referin )(* sy .

( ) ( )( )

( ) *( )A

A

m s y sA s

n s y s= = (2.1)

Se dorete sse proiecteze un regulator continuu, a crui funcie de transfer )(sR este astfel aleasnct acesta sproduco tensiune de comandu(s)care sasigure odinamicdoriti o eroare staionarnulsau cel puin n limite rezonabile.

( )( )( )

( ) ( )R

R

m su sR s

s n s= = (2.2)

R(s) A(s)u(s)

y(s) -

y*(s) y(s)

Figura 2.1 Schema bloc a sistemului automat n buclinchis

Utiliznd algebra schemelor bloc se determin funcia de transfer a sistemuluireglat devine:

1A R R A

R A R Am m n nR( s )A( s )y( s ) y* ( s ) y*

R( s )A( s ) n n m m= =+ + (2.3)

eroarea sistemului se determinca:1

11 1

R( s )A( s )( s ) y* ( t ) y( t ) y* ( s ) y* ( s ) E( s )y* ( s )

R( s )A( s ) R( s )A( s )

= = = = + +

un

de:1 1

1 1 R A

R A

R AR A R A

( s )E( s )

m ( s )m ( s )y* ( s ) R( s )A ( s )

n ( s )n ( s )

m ( s )n ( s )n ( s )

n ( s )n ( s ) m ( s )m ( s ) n ( s )

= = = =

+ +

= =+

(2.4)


21/174

reprezintfuncia de transfer a erorii.

2.1.2 Forme tipice de mrimi de intrare

n tabelul 2.1 sunt prezentate funciile de intrare tipice, transformatele lorLaplace i erorile de ieire corespunztoare ale sistemului n buclnchis.

Tabelul 2.1 Tipuri de intrri i erorile mrimilor de ieire

Intrare Funcia de timp TransformataLaplace

Eroarea

Treapt u(t) 1

s

1( )E s

s

Ramp t u(t)2

1

s

2

1( )E s

s

Parabol t2u(t)3

1

s

3

1( )E s

s

Sinusoid sin(t)2 2s

+

2 2( )E s

s +

2.1.3 Forme tipice de funcii de transfer ale erorii

n aplicaii uzuale funciile de transferE(s)corespunztoare erorii sunt de forma:

0

1

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

mi

ij

n

j

s s bjm s s m s

E sn s n s

s aj

=

=

+

= = =+

(2.5)

unde ( )is m s reprezint polinomul de la numrtor, este de gradul (i+m) iar n(s)polinomul de la numitor de gradul n, i+m


22/174

Tabelul 2.2 Tipul funciei de transfer E(s), intrarea y*(s)i eroarea final f

Tipul Eroarea la ieireFuncia

E(s)

Intrarea u

Treaptu(t)

1

s

Ramptu(t)

2

1

s

Parabolt2u(t)

3

1

s

Sinusoidalsin(t)

2 2s

+

0Y*E(0)

1 0 [ ]0

*lim ( ) /s

Y E s s

2 0 02

0lim ( ) /sT E s s 3 0 0 0

Armonic 0

Din analiza tabelului 2.2 rezultcpentru o funcie de transferE(s)de tipul zeroeroarea staionarnulnu se poate obine pentru nici un tip de intrare u(s), nici mcar

pentru o treapt, iar pentru celelalte tipuri de intrri, eroarea devine infinit.Pentru o funcie de transfer de tipul 1, funcie E(s) conine un zero nul (un

integrator 1/s n produsul R(s)A(s)), eroarea final pentru intrarea treapt este nul,respectiv finitpentru intrare rampi infinitpentru intrare parabol.

Pentru o funcie de transferE(s)de tipul 2 att pentru intrare treaptct i ramperoarea finaleste nul, respectiv finitpentru intrare parabolic.Pentru o funcie de transfer de gradul 3 eroarea devine nul pentru intrrile

treapt, rampi parabol.Pentru a avea eroare nulla o intrare sinusoidalnumrtorul funciei de transfer

E(s)trebuie sprezinte dourdcini duble imaginare j , (s2+2) care scompensezerdcinile mrimii de intrare y*(s).

Pentru o intrare sinusoidal2 2

*( ) ( )y s y ss

=+

o eroare finalnulse obine

numai pentru o funcie de transferE(s)(2.3) de tipul armonic.2 2

'( )( )( ) ( )m s sE s

n s += (2.6)

n aceste condiii eroarea finaldevine:

( )2 2 '2 20 0 0

'( ) ( )( ) lim ( ) lim * lim * 0

( ) ( )f s s st

m s s m st s s s Y s Y

n s s n s

+= = = = =

+

(2.7)

2.2 Regulatoare continue

Sconsiderm cazul unui proces a crui funcie de transferA(s)este de tipul zeroi de gradul 1.


23/174

( ) /

( )*( ) 1 1/

y s k k TA s

y s sT s T= = =

+ + (2.8)

Se dorete sse aleagun regulator de curent care sasigure nu numai o eroarenuldar i o dinamicimpus.

2.2.1 Regulator de tip P

kPk

1+ sT

e(s)y*(s) y(s)

y(s) -

u(s)

a) Frtraductor curent / tensiune

kP k1+ sT

yT*(s) y(s)

yT(s) -

u(s)

kT

kTy*(s)

kPk

1+ sT

yT*(s) y(s)

yT(s) -

u(s)

kT

kTy*(s)

b) Cu traductor curent / tensiune

Figura 2.2 Schema bloc a sistemului cu regulator de tip P

n cazul n care se utilizeazun simplu amplificator linear diferenial cu factor deamplificare kP care se numete de tip P, pe baza Figura 2.1 i relaiei (2.5) funcia detransfer a sistemului reglat )(sGp devine:

( ) TkksTkk

sAk

sAk

sy

sysG

p

p

p

p

p ++=

+==

1)(1

)(

)(*

)()( (2.9)

Pentru o intrare de tip treapt, () ()y t Y t* *= 1 , a crei transformatLaplace este:

( )

1* ( ) *y s u t Y

s= = eroarea sistemului devine n spaiul s .

( ) ( ) ( )( )

++==

Tkks

Tkk

s

Ysysys

p

p

11* (2.10)

Aplicnd teorema valorii finale se determineroarea n regim staionar:

( )0

*lim lim * 1

1 1p

fst

p p

k k Ys s Y

k k k k

= = = =

+ + (2.11)

Evident eroarea f devine nul numai atunci cnd produsul constantelor de

amplificare kkp devine infinit, fizic nu este posibil.

Utilizarea unui regulator P, chiar dac nu asigur eroarea staionar nul, aredrept efect pozitiv faptul cpermite o mbuntire a dinamicii sistemului, n sensul c


24/174

acesta va prezenta n locul unei constante de timp T de bucldeschiso nouconstantde timp kkTT pp += 1 mai mici a crei valoare poate fi modificatprin intermediul

factorului de amplificare pk . Evident ci aceastvaloare nu poate fi fcutorict de

mic, valoarea sa fiind limitatde mrimea maximde ieire a amplificatorului. Pentru

mrimi de comand sczute, att timp ct amplificatorul de putere este nesaturat,constanta de timp echivalenteste mai micdect n situaia unor mrimi de comandridicate, cnd amplificatorul se satureaz.

Figura 2.3 Regulator de tip P: variaia n timp a mrimii de comandu (tensiunea uA), mrimeade referiny*i mrimea de ieirey(curentul iA): regulator nesaturat (-), regulator saturat (..)

Deoarece aa cum am artat eroare nulnu poate fi obinutdeoarece factorul Pk nupoate deveni infinit, se alege ca obiectiv realizarea unei erori sub cea maxim admisibil.Introducnd aceasta valoare maxf n relaia (2.10) se poate determina factorul de

amortizare.

max

1 * *1P

f f

Y Yk

k k

=

(2.11)

S considerm cazul alimentrii nfurrii rotorice a unui servomotor de curentcontinuu de 7 Nm cu rezisten de 0,25 i o constant de timp electric

/ 2A A AT L R ms= = . n cazul de fa tensiunea maxim produs de amplificatorul de

*

nes

s

unes

us

Timp x 10-3


25/174

putere este 110V care se obine pentru un semnal de comand de 10V. n acestecondiii 10 11 110P Ak k = = , iar funcia de transfer a nfurrii:

( ) 1/ 4( )

( ) 1 1 0,002A A

M

A A

i s RG s

u s sT s= = =

+ +

Pentru o valoare de referintde 95A i o eroare de ( )f % = 2%, 1,9Af = se determinfactorul Pk :

* 1 95 11 1 1,11

1,9 44P f

Yk

k

= = =

n realitate, mrimea de intrare n regulator, eroarea dintre curentul de referinicel de ieire nu se poate obine fizic, ci indirect sub forma unor tensiuni proporionale cuacetia.

S considerm curentul maxim admisibil stabilizat de 95 A i pentru unsuprareglaj de 4.3 % aproximativ 99 A. Se alege un traductor de curent de 100 A/10 V,

cu factor de transfer 0 1Tk .= V/A. (n realitate se recomandun traductor cu o rezervde curent, de exemplu 150 A/10 V.) Rezult c valoarea de referin de 95Y*= A

devine o tensiune 9 5_

Y* .= V ca i reacia 95fy = A, 9 5_

fy .= V, respectiv pentru o

eroare finalde 2 %, 0 19nf . = fade 1 9if . = .

Deoarece n cazul de famrimile de intrare n comparator sunt de 10 ori maimici , pentru a se obine aceeai tensiune aplicatsarcinii este necesar ca factorul Pk s

fie de ......Cu aceste date se poate simula comportarea sistemului i se obine rspunsul su,respectiv tensiunile aplicate i curenii obinui att pentru regulatorul nesaturat ct i

pentru cel saturat.Se remarcfaptul cambele regulatoare asigureroarea impusdoar cregulatorul idealsolicito tensiune maximde 1250V evident imposibil de produs de amplificatorul de

putere, a crei ieire maximeste doar de 110V.Fade bucla deschiscnd constanta de timp a curentului este de 2 ms, n bucla nchiscu regulator ideal aceasta se reduce la 0,05 ms i 0,45 ms n cazul regulatorului saturat.

2.2.2 Regulator de tip I

Atunci cnd se dorete ca eroarea staionar s devin egal cu zero, fr a

solicita la maximum limitele sistemului, este necesar utilizarea altui tip de regulator( )sR dect cel proporional (Figura 2.4). Pentru o intrare treapt ( ) sYsy ** = pe bazarelaiei (2.10) eroarea finaldevine:

( )*

000

*( ) *( ) 1( ) lim lim lim

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1f st ss

s Y s Y s sTt Y

R s A s s R s A s sT R s k

+= = = =

+ + + +

Evident, pentru a se obine o eroare staionar nul este necesar ca:( )lim

sR s

= , ceea ce echivaleazfie cu un factor de amplificare infinit, fie cu utilizarea

unui regulator integral cu un factor de amplificare kI .

( )Ik

R s s= (2.12)


26/174

y(s)kI

k

1+sT

y*(s)

y(s)-

1

s

u(s)

Figura 2.4 Schema bloc a unui sistem cu regulator de tip I

nlocuind aceast funcie de transfer n relaia (2.12), mrimea de ieire devine:

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2* * *

21

nI I

I I n n

k k s k k T y s y s y s y s

k k s s T k k T s ssT

s

= = =

+ + + ++ +(2.13)

unde s-au utilizat notaiile clasice pentru sisteme de gradul 2:

nIk k

T= i (2.14)

kTk

T

In 2

1

2

1==

(2.15)

n aceste condiii, pentru a se asigura o comportare dinamicadecvat, factorulde amortizare se impune, de exemplu 0.71i = i analiznd relaiile (2.14) i (2.15)

rezultcavem la dispoziie un singur coeficient pentru a impune doi parametrii i

n , situaie similarcu cea din Subcapitolul 1.....:

2

15,7

4Ik

kT= = (2.16)

Introducnd aceast valoare n programul de simulare se obine rspunsul dinFigura 2.5

Timp x 10-3

*

nes

s


27/174

Figura 2.5 Regulator de tip I: variaia n timp a mrimii de comand(tensiunea uA) i

mrimea de ieire (curentul iA): regulator nesaturat (-), regulator saturat (..)

Dei, prin utilizarea unui regulator integral s-a asigurat o eroare staionarnul,

asigurarea unei dinamici adecvate impune un factor de amplificare Ik foarte sczut,ceea ce face ca timpul de primstabilire sfie de 100 de ori mai sczut dect cel teoreticdin cazul regulatoarelor P i de 20 de ori dect pentru acelai regulator , dar saturat.Pentru a evita aceste fenomene ar trebui sse lucreze cu pulsaii n sczute, obinndu-se ca atare un rspuns mult mai lent dect n cazul regulatorului de tip P.

O soluie care selimine aceste neajunsuri i care spermiti impunerea att afactorului de amortizare, ct i a pulsaiei proprii este utilizarea unui regulator de tip PIcare, pe lngintegrala erorii sutilizeze i un factor proporional cu aceasta.

2.2.3 Regulator de tip PI

Pe baza celor spuse mai sus, rezultcregulatorul trebuie sfie de forma:

( ) Ipk

R s ks

= + (2.17)

y(s)k

1+sT

y*(s)

y(s) -

1s

kP

kI-

+

Fig 2.6 Schema bloc de reglare cu regulator de tip PI

Dacse alege un astfel de tip de regulator funcia de transfer a sistemului reglatdevine (2.2):

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )2

2 22

* *1 1

*1 2

Ip

Ip

p I

p n

p n nI

k kk kR s k sy s y s y s

k ksT R s ksT k k

s

k k k ks

s k k TT T y s y sk k s sk k

s sT T

+= = =

+ + + + +

++= =+ + +

+ +

(2.18)

unde:

nIk k

T= i

1 11

2 22

p p p

II I

k k k k k k

T k Tk k T k kT

+ += = (2.19)

Din analiza acestei relaii se obin urmtoarele informaii:a) pulsaia proprie a sistemului este definitde aceeai relaie ca i n cazul precedent,nedepinznd de factorul pk , n timp ce factorul este practic proporional cu acesta (n

general k kp >>1) dar nu poate fi impus independent, deoarece depinde de Ik .b) existena unui zero la numrtorul funciei de transfer,


28/174

1I

P

kz

k= (2.20)

care afecteazdinamica sistemului, i n special suprareglajul acestuia.Factorul Ik se determinpe baza relaiei de definiie a pulsaiei proprii a sistemului n

bucl nchis prezentat mai sus. Se alege un factor de amortizare 0 71. = i dinFigura 1.11 un timp normalizat de primstabilire n

2,7I

ii

k k

T t= = . Impunnd un timp

0 5iit .= ms, de patru ori mai mic dect constanta de timp a procesului AT , se determin

factorul de amplificare Ik :3

I 2 6

7, 29 7,29 2 1013,25

44 0, 25 10ii

Tk

kt

= = =

Factorul de amplificare Pk se determincu ajutorul relaiei (2.18) obinndu-se:

2 1 0,326IP k kTkk

= =

Rezultatele simulrii sunt prezentate n Figura 2.7. Se remarcefectul zeroului asuprarspunsului sistemului liniar, zero care accelereazrspunsul dar crete suprareglajulDin pcate valoarea acestui zero nu poate fi modificat independent, ci depinde indirectde pulsaia proprie i de factorul de amortizare ales. O reducere a suprareglajului ndetrimentul vitezei de rspuns se va obine prin creterea factorului de amortizareadoptat, de la 0,71 la 0,9, sau chiar 1.

Figura 2.7 Regulator de tip PI: variaia n timp a semnalului de intrare (tensiunea uA) imrimea de ieire (curentul iA): regulator nesaturat (-), regulator saturat (..)

Timp x 10-3

* nes

s

unes

us


29/174

Existdousoluii pentru eliminarea acestui zero de la numrtorul funciei de

transfer a sistemului (2.19):a) introducerea unei reele de compensare de ntrziere pe intrarea regulatorului. ncazul regulatoarelor analogice reeaua de ntrziere se realizeazsimplu, printr-un reea

RC(Figura 2.8).b) utilizarea unui regulator PI cu alt structur la care factorul proporional nu estefuncie de eroare ci de valoarea de ieire.Funcia de transfer a reeleiRC este de forma:

sRCsRC

+=

1

1)( ,

Semnalul de ieire devine exact de tipul dorit:

)(*2

1

1

1)(

22

2

syss

sk

k

sRCsy

nn

I

n

++

+

+= (2.21)

Dacse acordeazparametrii IkkRC= atunci relaia de mai sus devine:

22

2

2)(

nn

n

sssy

++= (2.22)

R

C

)(sR )(sA)(* sy

-

+ u(s) y(s)

Figura 2.8 Schema bloc a sistemului cu regulator PI i reea de compensare RC pentru anularea

zerourilor din funcia de transfer

Din pcate utilizarea reelelor de compensare nu conduce totdeauna la soluiirobuste deoarece parametrii sistemului nu sunt perfect cunoscui, unii dintre acetia, cumar fi factorii de amplificare ai sursei de putere, modificndu-se dacacesta lucreaz nregim linear sau saturat.

2.2.4 Regulator PI cu reacie proporional dupstare

O soluie mult mai elegantpentru rezolvarea acestor probleme este utilizarea launui regulator tot PI, dar cu o altstructur.Ca i n cazul precedent blocul de integrareare ca intrare eroarea ( )s , iar cel de-al doilea bloc starea ( )y s , Figura 2.9.


30/174

y(s)kP

y*(s)

yT(s)

1

s

kP

yT(s)

-

+

-A(s)

u(s)

G(s)

Figura 2.9 Schema bloc a unui regulator PI cu reacie dupstare

Aplicnd algebra schemelor bloc aceste scheme, funcia de transfer a prii dindreapta a blocului ce conine reacia negativproporionalse poate scrie :

sTkk

k

sT

kksT

k

sGpp

D ++=

++

+=1

11

1)( (2.23)

i pentru ntregul sistem:

kkskksTs

kk

sTkk

k

s

k

sTkk

k

s

k

sGIP

I

p

I

p

I

PI +++=

+++

++

=)1(

11

1)(

2 (2.24)

Dupcalcule simple se obine legtura dintre mrimea de intrare i cea de ieire,

de forma:

( ) )(*12

)(*1 22

2

2

sys

sy

T

kk

T

kkss

T

kk

synn

n

Ip

I

++=

+

++

= (2.25)

unde pulsaia proprie i factorul de amortizare sunt aceleai ca i n cazul precedent:

nIk k

T= i

kTk

kk

I

P

2

1+= (2.26)

n Figura 2.10 se prezint rspunsul sistemului pentru un tip de regulator cu

parametrii P Iik k din cazul precedent dar se remarcfaptul crspunsul este cel dorit.


31/174

Figura 2.10 Regulator de tip PI cu reacie dupstare: variaia n timp a mrimii de comand(tensiunea uA) i mrimea de ieire (curentul iA): regulator nesaturat (-), regulator saturat (..)Datoritfaptului cacest tip de regulator prezinto saturare mai reduscea din

cazul precedent, rspunsul n cazul de fapentru regulatorul nesaturat i cel saturat suntmult mai apropiate (Figura 2.10).Avantajul evident este c la noua funcie de transfer lipsete zeroul de la

numrtor i ca urmare se elimin suprareglajul necontrolat, nemaiexistnd necesitateaunei reele de compensare de ntrziere.

Motivul pentru care n practic, n cazul sistemelor de reglare analogice, continusse prefere totui utilizarea reaciei Pduperoare este faptul cun astfel de regulatorse realizeazmai simplu cu ajutorul unui singur amplificator operaional, n timp ce unregulator cu reacie dup stare necesit dou amplificatoare operaionale, dispozitivecare n deceniile trecute, n special n perioada n care acestea se realizau dincomponente discrete, reprezentau partea cea mai costisitoare i mai nefiabil a

sistemelor de comand.

2.2.5 Regulator de tip PI cu ntrziere pe bucla de msur

Exist aplicaii n care mrimea de reacie nu este obinut direct, ci prinintermediul unor traductoare, filtre etc., care introduc ntrzieri n procesul de msur.Un fenomen asemntor apare i n cazul sistemelor numerice, unde anumite mrimi cenu pot fi msurate sunt estimate, acest procedeu introducnd pe lngun timp mort deunul sau mai multe eantioane de timp corespunztoare structurii estimatorului utilizat(Figura 2.11).

Sconsiderm existena pe calea de msura ntrzierii reprezentatde o funcie

de transfer de gradul nti a crui constant de timp TT include toate tipurile de

Timp x 10-3

*

unes

us

nes

s


32/174

ntrzieri, iar numrtorul printr-o constant Tk care reprezint factorul de transfer iacordare.

( ) ( )y sk

sTy sT

T

T

=+

1

(2.27)

y(s)kP

kT

1+sTT

y*(s)

yT(s)

1

s

kP

yT(s)

-

+

- A(s)

Figura 2.11. Schema bloc cu regulator PI cu reac ie proporionala dupstare cu bloc de ntrziere

pe msurpe baza schemei de mai sus cruia se obine urmtoarea funcie de transfer pentru sistem

Figura 2.12 Regulator de tip PI cu reacie dupstare i ntrziere pe bucla de msur.

Pentru analiza noastr simplificat se consider 1=Tk , mrimea impus imrimea msuratfiind la aceeai scar. Ca atare, n cazul utilizrii unui regulator PI cureacie dup stare, se poate defini pe baza algebrei schemelor bloc relaia deieire/intrare ca:

( )( )

( )

( ) ( )3 21

1

I T

T T p I T I

y s k k sT

y* s T Ts T T s k k k k T s k k

+=

+ + + + + + (2.28)

O astfel de funcie de transfer prezintdoudezavantaje: prin existena unui zerola numrtor a faptului cnumitorul de gradul 3 are doar doi coeficieni cu care sseinflueneze comportarea dinamica sistemului.

Timp x 10-3

nes*

s

unes

us


33/174

n Figura 2.12 este prezentat rspunsul pentru un astfel de sistem cu aceeai

factori de amplificare P Ik si k din cazul anterior care pe calea de msura ieirii are o

constant de timp TT de zece ori mai mic dect a procesului. ( TT =0,2 ms fa de

T=2 ms). Se remarc faptul csistemul devine oscilant cu suprareglaj important si untimp de aezare. O mbuntire relativ a rspunsului se poate obine prin cretereafactorul de amortizare, deci a coeficientului Pk , timpul de ncadrare continu s fie

ridicat, Figura 2.13.Este clar cpentru eliminarea acestor dezavantaje, fiind vorba de o funciei de

gradul 3, trebuie utilizat o reacie suplimentar care pe de o parte s permitmodificarea coeficienilor polinomului de la numitor i pe de alt parte s permiteliminarea zeroului de la numrtor.

Aceste cerine sugereaz introducerea unei reacii negative proporionale cuderivata mrimii reglate ( )s k y sD , Figura 2.13.

2.2.6 Regulator de tip PID

)(* sy

-

Ik

sT

k

+1

TsT+11

pkDk

1

+

- -

)(sy

s

yT(s)

yT(s)

s

1

Figura 2.13. Schema bloc a sistemului automat cu regulator de tip PID cu reac ie dupstare

Prin introducerea acestei reacii suplimentare noua funcie de transfer se gsetenlocuind n relaia (2.28) pk cu k skp D+ , obinndu-se:

( )( )

( ) ( ) ( )sy

T

kks

T

Tkkkks

T

kkTTsT

T

kksT

syITIpDT

T

IT

*1

1

23

+++

+++

+

+= (2.29)

Dacnumitorul funciei de transfer se scrie sub forma:

( )( )( ) ( )

2 2

3 2 2 2

1 2

1 2 2

T n n

T n T n n T n

sT s s

T s T s T s

+ + + =

= + + + + + (2.30)

i se identifictermen cu termen a polinomului original, se obine:

T

kkTTT DTTn

++=+ 21 (2.31)


34/174

T

kTkkkT

TIp

nTn

++=+

122 (2.32)

nIk kT

2 = (2.33)

Impunnd pulsaia proprie n i factorul de amortizare * se pot determina

coeficienii kp , kI , kD pe baza relaiilor de mai sus.

2 2 1n T n I P

T T T k k k

k

+ =

kT

kI

n=2

(2.34)

T

n

DT

k

Tk

12 =

Simplificnd att la numrtor ct i la numitor cu 1 +sTT , funcia de transfer asistemului devine:

( )22

2

2 nn

n

sssH

++= (2.35)

respectiv, la forma clasicpentru sistemele de gradul 2.Operaiile matematice prezentate n cele de mai sus nu ridicprobleme pentru

cazurile practice, deoarece valoarea constantei de timp TT corespunztoare buclei demsureste cunoscutatt pentru traductoarele clasice cu filtre analogice pe ieire, ct i

pentru estimatoarele numerice.n Figura 2.14 se prezint rspunsul sistemului cu regulator PID nesaturat i

saturat remarcndu-se faptul c rspunsul este asemntor cazului cnd nu existntrziere pe msur, ceea ce demonstreazutilitatea reaciei derivative, Figura. 2.15.


35/174

Figura. 2.14. Regulator de tip PID variaia n timp a semnalului de intrare (tensiunea uA) imrimea de ieire (curentul iA): regulator nesaturat (-), regulator saturat (..)

2.2.7 Regulator armonic

n aplicaiile industriale se dorete adesea ca mrimea de ieire, de exemplucurentul printr-o nfurare, s urmreasc o referin care are o variaie sinusoidal.innd cont c transformata Laplace a unei mrimi sinusoidale (Tabelul 2.1) este deforma:

L2 2

* *Y sin t Y s

= +

(2.3)

Timp x 10-3

*

unes

us

nes

s


36/174

pentru a obine o eroare finalnul(2.6) este necesar ca funcia de transfer a erorii sfiede forma:

( ) ( )

( )

( )( )( )

2 2'm s sm sE s

n s n s

+ = = (2.5)

Deoarece, conform relaiei (2.4):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2' R Am s m s s n s n s= + =

i faptul cprocesul este puin probabil sconindoi poli imaginari la numitor, acetipoli trebuie sfie existeni n funcia de transfer a regulatorului. Cel mai simplu tip deregulator care ar satisface aceastcondiie are o funcie de transfer de tipul:

( ) 2 2R

R

knR s

m s

= =+

(2.36)

pentru care funcia de transfer a erorii sistemului n buclnchis(2.4) devine :

( ) ( )

( )( )

2 2

2 2 1

k k sE s

s sT k k

+ =

+ + +. (2.37)

Trebuie remarcat faptul c pentru o astfel de funcie de transfer apar douprobleme:

- existent dou rdcini imaginare ale numrtorului i ca atare sistemul n buclnchispoate prezenta o dinamicnecorespunztoare;

- creterea gradului funciei de transfer prin apariia la numitor a produsului ( )2 2s + ceea ce face ca dinamica sistemului snu poat fi controlatprintr-un singur termenk , motiv pentru care sistemul trebuie completat cu un regulator PI paralel, care

prin cei doi factori Pk i Ik spermitstpnirea completa dinamicii sistemului:

( ) 2 2I

Pk k

R s kss

= + ++

y(s)k

Ik

1+sTA

y*(s)

y(s) -

1

s

u(s)

k

kP

2 2s

+

+

+ +

kA

kT

Figura 2.15. Schema sistemului cu regulator armonic compensat


37/174

Figura 2.16 Rspunsul sistemului la referinsinusoidala) Mrimea de intrarey* / mrimea de ieirey/ tensiunea aplicatu; b) eroarea

Aceast tehnicde compensare se va prezenta n detaliu pentru cazul comenziidiscrete cnd se vor determina prin calcul coeficienii regulatorului.

Rspunsul sistemului pentru o referinsinusoidalde 50 Hz i amplitudine de

95 A este prezentat n Figura 2.16 a). Aceste rezultate s-au ob inut pentru un factor deamplificare 10k= , 100Pk = i 10 000Ik .= , respectiv 11Ak = .

*,y

u

*

-y


38/174

Figura 2.17. Rspunsul sistemului la referinsinusoidal

a) Mrimea de intrarey* / mrimea de ieirey/ tensiunea aplicatu; b) eroareaCazul curentului impus peste valoarea limit

*

u

*-y

Timp x 10-3

Timp x 10-3


39/174

Figura 2.18. Rspunsul sistemului la referinsinusoidala) Mrimea de intrarey* / mrimea de ieirey/ tensiunea aplicatu; b) eroarea

Cazul frecvenei impuse peste valoarea limit

De remarcat faptul c sistemul funcioneaz nesaturat, maximumul cerut detensiune este de 28 V fade 110 V ct poate produce amplificatorul de putere. n acestecondiii referina de curent i curentul obinut practic se suprapun, demonstrndcapacitatea de urmrire a sistemului.

Eroarea sistemului este prezentat n Figura 2.16 b), valorile ei maximencadrndu-se sub 0.1 A ceea ce echivaleaz cu aproximativ 0.1 % din valoarea dereferin.n cazul n care sistemul se satureaz, de exemplu pentru o referinde 450 A, tensiuneacerutdepete limita de saturaie, 110 V i ca atare ieirea, curentul Ai nu mai poate

urmri referina, Figura 2.17 a) i, ca atare, eroarea sistemului devine important.

*-y

Timp x 10-3

*

u

Timp x 10-3

Timp x 10-3


40/174

O situaie asemntoare apare atunci cnd amplitudinea referinei rmneconstant, dar frecvena sa crete. Sconsiderm de data aceasta un semnal de 500 Hzfa de 50 Hz, din cazul precedent. Acest lucru se ntmpl atunci cnd se doretealimentarea cu cureni impui a unui motor de curent alternativ i cnd frecvena poatevaria de 1 1 000. ori i cnd evoluia prezentat aici nu se mai poate utiliza. Vom

demonstra co astfel de reglare se poate face ntr-un sistem fix fade rotor sau fluxulrotoric, sistem de referinn care de cele mai multe ori referina este treapt.


41/174

3-1

Capitolul 3

Analiza sistemelor electromecanice:

comanda continu; comanda discret

3.1. Modelul sistemului n mrimi de stare

Datorit progreselor n domeniul calculatoarelor i uurinei cu care acestea

manipuleaz matricele, este mult mai comod ca modelul, analiza i sinteza sistemelor

automate sse realizeze apelnd la tehnicile de calcul matricial.

Orice sistem fizic continuu cu parametrii concentrai poate fi descris printr-un set

de ecuaii difereniale de ordinul 1, cuplate ntre ele. Semnalele ce definesc sistemul sunt

semnale de intrare, semnale de ieire i semnale interne denumite i variabile de stare.Acest set de ecuaii se poate reprezenta sub forma unei scheme bloc n care ieirea

fiecrui integrator reprezintcte o variabilde stare (figura 3.1):

( ) Aisx =1 , )()()( 32 sxssx e == i ( ) ( )ssx e=3 ,

Fig. 3.1 Schema structurala unui motor de curent continuu

Cu aceste notaii modelul de mai sus se poate scrie sub forma unui sistem de

ecuaii de ordinul 1 de forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 31

dtT A i A

A

x t k k t x t kr x t R x tL

=

( ) ( ) ( ) ( )2 1 21

dtm sx t k x t F rx t m tJ

=

( )= dt)( 23 txtx (3.1)Difereniind aceste ecuaii i notnd operatorul de derivare printr-un punct plasat

deasupra variabilelor de stare, sistemul se poate rescrie sub o formmatricialde tipul:

Fm

kkPkAi(t)

+ -

e(t) k

+

+ -iA(t)

1(t)

RA

+ -(t)

e(t)uA(t)

1LA

1

J r

2(t)

3(t)

)(tms


42/174

3-2

( )1.

t A

A

R

L

A

k

L T A

A

k k

L ( )1 t

T A

A

k k

L0

( )2

.

x t

k

Jr

F

Jr 0 ( )

2

x t 01

Jr

( )3.

t

=

0 1 0

.

( )3x t

+

0

( )i t +

0

( )sm t

unde: ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

2

3

x

A

e

e

t i t

t x t t

t t

= =

reprezint vectorul de stare ( 3nx , n = stri), ( ) ( )u t ti= -intrarea ( 1u )

( ) ( )v t m t s= -perturbaia (

1

v ), ( ) ( ) ( )y t t x te= = 3 -ieirea sau mrimea msuratdirect ( )y t , ( 1y )

( ) ( ) ( ) [ ]( )

( )

( )

e t y t x t

x t

x t

x t

= = =

3

1

2

3

0 0 1 (3.2)

Acest set de n = 3 ecuaii difereniale reprezintmodelul unui sistem cu o singur

intrare i o singurieire, tipic pentru majoritatea sistemelor de poziionare sau de reglare

a vitezei. Setul de ecuaii de mai sus se poate scrie i sub o formcompact:

( ) ( ) ( ) ( )x A x b et t u t v t = + +

( ) ( ) ( )y t t u tT= +c x d (3.3)

A=

R

L

k

L

k k

L

k

J r

F

J r

A

A A

P A

A

0

0 1 0

, b0

0

P A

A

k k

L

=

,

0

0

1

c

=

,

0

0d

0

=

,

0

1e

0

J r

=

nnA , nb , nc , 1d , ne (3.4)n cazul general, n care sistemul are m intrri, rperturbaii i pieiri, iar ieirile

depind direct i de intrri, se poate defini modelul acestuia:

( ) ( ) ( ) ( )x A x B u E v.

t t t t = + +


43/174

3-3

( ) ( ) ( )y Cx Dut t t= + (3.5)

scalarii u , v i y transformndu-se n vectorii u, vi y cu m , r, respectiv p dimensiuni,

iar vectorii c , d i e n matrici cu n m , n r , p n , respectiv p m dimensiuni.nx , mu , rv , py , nnA , mnB , npC , mpD ,

rnE n cazul n care matricile A , B , C , D i E nu depind de timp, sistemul se

numete invariant sau linear, i, variabil n timp sau nelinear dacmatricile A , B , C , D

i E depind de timp sau de strile sistemului.

Analiza, i mai ales sinteza sistemelor variabile n timp sau nelineare, este mult

mai dificil, ncercndu-se fie transformarea acestora printr-un schimb de variabile

adecvat, n sisteme lineare, fie linearizarea lor pe poriuni sau n jurul unor puncte de

funcionare. O alt soluie const n integrri numerice utilizndu-se calculatoare i

algoritmi de calcul adecvai.Sistemele lineare invariante pentru care matricile A , B , C , D i E sunt constante

se pot analiza utiliznd calculul operaional, nlocuindu-se n aceste ecuaii operatorul de

deviere prin operatorul Laplace s .

n lipsa perturbaiilor, sistemul devine:

( ) ( ) ( ) ( )s s s sx x A x Bu = +0 *)

( ) ( ) ( )y C x D us s s= + (3.6)

respectiv:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10s sI A x sI A Bu s = +

rspuns la rspuns la condiii

intrri nule iniiale nule

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y C I A x C I A B us s s s= + 1 1

0 (3.7)

ieiri la ieiri la condiii

intrri nule iniiale nule

Aplicnd transformarea inversLaplace sistemului

( )x t = ( ) ( ) {1-1 0sI A x convolutia + ( ) ( ) }1-1 sI A Bu t

(3.8)

i notnd cu

*)Prin momentul 0 se subnelege momentul 0 , ( ) ( )x x0 0=


44/174

3-4

( )t = ( )1-1 sI A

(3.9)

matricea pondere a sistemului, acesta devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0t 0 t t 0

t

x t x convolutia ,Bu t x t Bu d = + = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y C x C But t dt

= + t 00

(3.10)

Matricea ( )t poate fi descrisdeasemenea ca rspunsul ponderat la o intrare de

tip impuls, impuls a crui transformatLaplace este egal cu 1. Pentru condiii iniiale

nule ( )x 0 0= , sistemul (3.7) devine:

( ) ( ) bAIx 1= ss

( )t = [ ] ( )1-1 1s I A x t b

= (3.11)

motiv pentru care ()t se mai numete i rspuns cauzal la impuls.

Existdiverse metode pentru determinarea ponderilor sistemului, prima dintre ele

pornind chiar de la relaia de definiie a inversei unei matrici.

Deoarece ( ) ( )

( )( )

( )s

adj s

s

adj s

q sI A

I A

I A

I A =

=

1det

unde numitorul:

( )q s s s s sn nn

nn= + + + + +

11

22

1 0. .. (3.12)

reprezint ecuaia caracteristica a sistemului, un polinom al crui ordin este egal cu

ordinul sistemului.

Rdcinile ecuaiei caracteristice, aceleai pentru oricare variabil de stare sau

mrime de ieire, reprezint polii funciilor de transfer. Polii sistemului s s sn1 2, , ..., se

mai numesc i valori proprii ale sistemului, deoarece acetia reprezintvalorile proprii

ale matricei A , sau spectrul matricei A .

Ecuaia caracteristic(3.12) cu spectrul

( ) [ ] [ ]nnT sss ,...,,,...,, 2121 === A

se poate scrie sub forma unor produse de tipul:

( ) ( ) ( ) ( )nsssssssq = ...21 (3.13)


45/174

3-5

ceea ce permite descompunerea fraciei (3.12) n fracii simple i fiecare element al

matricei ( )s I A 1 se poate scrie sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )

n

njijiji

jiss

s

ss

s

ss

ss

++

+

= ,

2

2,

1

1,, ... (3.14)

Aplicnd transformarea inversmatricei ( )s I A 1 se obine matricea ( )t , a

cror elemente devin:

( ) ( ) ( ) ( ) tsnjits

ji

ts

jiji esesest221

,2,1,, ... +++= (3.15)

Pentru celelalte elemente ale matricei funciile exponeniale sunt aceleai,

singurul element care diferfiind valoarea coeficienilor i j, .

Observaie:

Este evident faptul c, dac oricare din valorile proprii sj este pozitiv,

exponenialatsje tinde la infinit pe msurce timpul tinde spre infinit, ceea ce conduce la

o funcionare instabila sistemului. Condiia necesari suficientpentru ca un sistem sa

fie stabil, la o comand nul, este ca toate valorile proprii reale ale sistemului s fie

negative respectiv partea real s fie negativpentru cazul rdcinilor complexe. Toate

aceste valori trebuie sse gseascn partea din stnga a planului complex, ( -C ).

Existdiverse alte soluii pentru calculul matricei ( )t , printre care i descriereasa printr-o serie infinitmatricial:

( ) ta t a t a t

i e

i iat= + + + + + =1

1! 2

2 2

!.. .

!... (3.16)

Pornind de la forma rspunsului pentru un sistem de gradul 1 [pentru care

matricile A i se transform n scalarii a i ], pentru care exponeniala e at se

descrie prin definiie printr-o serie infinit. Rspunsul sistemului pentru intrarea nulse

gsete prin particularizarea relaiei (3.16):

( ) ( )x t e xat= 0 (3.17)

Analog, pentru sistemele de gradul n , seria matricial(3.16) se poate extinde ca:

( )e tt t t

it

i iA I

A A A= = + + + + +

1 2

2 2

! !...

!... (3.18)

rspunsul sistemului (3.11) devenind:


46/174


47/174

3-7

interpolare sau, mai precis, prin tehnici de calcul clasice: Euler, Runge-Kutta, etc.).

Aceste momente de timp se definesc ca multipli ai perioadei de eantionare.

t T1= , t T2 2= , , t k Tk= , ( )t k Tk+ = +1 1

Mrimile de comand ale sistemului vor fi definite pentru aceste momente

discrete de timp i se vor nota ca:

( ) ( ) ( )u u u ut k T k k k= = = (3.20)

Astfel, pentru intervalul unui eantion de timp Tdefinit din momentul t kTi = i

ncheiat n momentul ( )t k Tf = + 1 , interval pentru care vectorul comenzilor are valori

constantei ft t k

u u= :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 11

k

k k k

k

tt t t

k

t

t e k e d +

+ + +

= + A A

x x u

respectiv:

( ) ( ) ( )( )

( )1

1k T

kT Th

kT

k e k e d k

++

+ = +

AA Bx x u (3.21)

Notnd cu: = + kT T , d d =

( ) ( ) kT k T = + 1 , ( ) kT kT + =1

( ) ( ) ( )0

1h

h Ak e k e d k

+ = +

A Bx x u (3.22)

Dacse introduc notaiile:

A IA A AA

dh

i i

eh h h

i= = + + + + +

1 2

2 2

! !...

!... (3.23)

( )

2 2 2 2 3 1

01 2 2 3 1

h i i i i

dh h h

I ... ... d ... ...! ! i ! ! ! i !

+ = + + + + + = + + + +

+

A A A A A AB B B

3.2.1. Modelul matematic al sistemului cu comanddiscret

Sistemul (3.19) se poate scrie sub forma:

( ) ( ) ( )x A x B uk k kd d+ = +1

( ) ( ) ( )y C x D uk k kd d+ = + + +1 1 1 (3.24)

unde, evident:

C Cd= i D Dd= (3.25)


48/174


49/174

3-9

( ) ( ) ( )1

z z u z= I A bx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1T Ty z z u z z u t T z u z

= + = + = c d c I A b dx (3.30)

unde ( )T z reprezintfuncia de transfer a sistemului discret.

Dupo serie de calcule intermediare ( )T z pentru 0=d se poate scrie:

( ) ( )

( )( )( )

1 2 21 2 2 1 0

1 21 2 1 0

n nT n n

n n nn n

y z adj z c z c z ... c z c z cT z

x z det z z z z ... z

+ + + + += = =

+ + + + +

I Ac b

I A (3.31)

respectiv sub o formgraficde tipul celei din Fig. 3.3.

Fig.3.4 Schema structurala unei funcii de transfer n z.

Pentru o funcie continu ( )f t , o deplasare cu un interval de timp h , ( )f t h+

echivaleazn spaiul s cu nmulirea transformatei originalului cu esh .

( ) ( )shf t h e f s + = (3.32)

Comparnd aceast transformare cu transformarea z a aceleiai funcii (pentru

condiii iniiale nule)

( ) ( )f t h z f z + = Z

i identificnd termen cu termen, rezult:

z esh= sau sh

z=1

ln (3.33)

unde, n cazul general, s j= + i ( )j h h j hz e e e+ = =

u(z)

d

cn cn-1 cn-2

-1 -1

-1 z-1 -1

c1 c0

(z)

-n-1 -n-2 -n-3 -1 -0

+

+

+ +

+ + +

+ +

+

++

++

++

++

++

++

-1

-1

-2

-3 -(n-1) -n


50/174

3-10

( )j he cos h j sin h = + , iar n coordonate polare j hz r e = , unde r ej= .

0 0.00125 0.0025 0.00375 0.005 0.00625 0.0075 0.00875 0.01 0.01125 0.0125 0.01375 0.015-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0 .00 13 0 .00 25 0 .0 03 7 0 .0 05 0 .0 06 3 0 .0 07 5 0 .00 88 0 .0 1 0 .0 113 0 .0 12 5 0 .0 13 8 0 .0 15-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 3.4 a) ( )f t i ( )f t h+ , b) ( )f k i ( )1f k+ .

O importandeosebito reprezintpunctele de pe axa imaginar j din spaiul

s , ax corespunztoare limitei de stabilitate a sistemului pentru care s j= , iar n

spaiul z, z ej h= .

Ultima ecuaie reprezint n spaiul z ecuaia unui cerc cu raza 1. Zona de

stabilitate corespunztoare planului stng din spaiul s este echivalent interiorului

cercului de razunitate.

3.3 Controlabilitate i observabilitate

3.3.1 Controlabilitate

Sconsiderm sistemul discret multivariabil, descris de ecuaiile (3.24):

( ) ( ) ( )x A x B uk k kd d+ = +1

( )f t ( )f t h+

( )f k ( )1f k+

t

k

f

f


51/174

3-11

( ) ( ) ( )y C x D uk k kd d+ = + + +1 1 1

unde nx , pu , ry i pentru simplificare: D= 0 .Acest sistem este controlabil dac, si numai dac, pornind de la condiii iniiale

nule, sub aciunea intrrilor, dupun timp finit, strile sistemului pot atinge orice valori

dorite.

Pornindu-se de la condiii iniiale nule, ( )x 0 0= , dupprimul eantion:

( ) ( )x B u1 0= d

pentru eantionul 2:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x A x B u A B u B u2 1 1 0 1= + = +d d d d d

pentru eantionul 3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x A x B u A B u A B u B u3 2 2 0 1 22= + = + +d d d d d d d

iar pentru eantionul n:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 0 1 1n nd d d d d d d x n x n u n u u ... u n = + = + + + A B A B A B B (3.34)

notnd cu:

2 3 n-1N d d d d d d d d d...

=

C B A B A B A B A B

( ) ( ) ( )T

N = 0 1 ... n-1 U u u u (3.35)

ecuaia (3.34) se scrie ca :

( )x C Un N= (3.36)Printre valorile impuse ale strilor, setul de comenzi din cele n1 eantioane se

obin nmulind relaia (3.36) cu CN1 , respectiv:

( )U C xN n= 1 (3.37)

ceea ce evident impune ca aceastinverssexiste, respectiv ca determinantul lui Cx s

fie diferit de zero.

CN 0 (3.38)

Aceastproprietate se descrie prin condiia ca rangul al matricei Cx sfie deordin n :

( n= ) (3.39)

condiie necesari suficientpentru ca sistemul sfie controlabil.

Observaia 1


52/174

3-12

Se pune problema ce se ntmpldacse dorete ca strile finale sse atingnu n

n pai, ci n n +1 pai. Teorema Cayley - Hamilton demonstreazcpentru orice nN>

rangul maxim al matricei C rmne n , deoarece noile linii i rnduri adugate nu sunt

linear independente, ceea ce, evident, nu permite creterea rangului matricei.

Observaia 2

Pentru sistemul cu o singurintrare i o singurieire:

( ) ( ) ( )x A x bk k u k d d+ = +1

( ) ( ) ( )y k k u kdT

d+ = + +1 1c x d (3.40)

matricea de controlabilitate devine:

2 n-1N d d d d d d d...

=

C b A b A b A b (3.41)

Aceast matrice va mai fi utilizat n viitor pentru determinarea vectoruluiconstantelor pe bucle de reacie.

Observaia 3

Din cele artate mai sus rezultcpentru un sistem de poziionare descris de un

model matematic de gradul 2 sau 3 sunt necesare doar 2 sau 3 eantioane de timp i se

ating condiiile finale dorite. n practic, trebuie totui s se ia n consideraie i o alt

serie de aspecte.

Pentru aceasta, sanalizm modelul simplificat al sistemului de poziionare care a

fost prezentat n Figura 3.3. Neglijnd frecrile mecanice, lucru posibil n cazul maselor

mari ineriale sau a sateliilor artificiali i considernd comanda prin curent imprimat sau

jet de gaze n cel de-al doilea caz, funcia de transfer a acestuia n bucldeschiseste:

( ) ( )

( )

2

2e nsG s

u s s

= =

Pornind de la valori iniiale nule i impunnd poziia doritef i evident o vitez

finalnul f = 0 . Relaia de mai sus se poate scrie sub formmatricial:

21 1

2 2

0 0

1 0 0n

x xu

x x

= +

unde s-a notat x1= i 2 1x x= .

Compact:

( ) ( ) ( )kkk dd u1 bxAx +=+


53/174

3-13

respectiv:

( ) ( )d1 0u=x b

( ) ( ) ( ) [ ] ( )

( )

12 u 0 u 1

0d d d d d d

ux A b b b A b

u

= + =

( )

( ) [ ]

( )

( )

11

2

1 2

0 2d d d

u x

u x

=

b A b (3.42)

Pornind de la valori iniiale nule, i introducndu-se valorile finale impuse ef i

viteza f = 0 la care trebuie s ajung sistemul, se obin comenzile pentru cele dou

eantionane de timp, vezi Fig. 3.5.:

Fig. 3.5 Rspunsul sistemului la comandcu orizont finitsau dead-beat.

O astfel de comand se numete cu orizont finit sau dead-beat. n practic

amplitudinea pulsurilor de curent este limitat la valoarea maximde ieire a sursei de

putere. n cazul n care valorile calculate depesc aceast valoare, evident, poziia

impusnu poate fi atinspentru eantionul de timp h ales. Singura soluie este creterea

acestui h pncnd curentul ce comanddevine mai micsau cel mult egalcu maximul

posibil al sursei/servomotorului de antrenare, de limitele de acceleraie, respectiv de

u/4

1t 2t

nt


54/174

3-14

vitez, ale reductorului i sarcinii. Toate aceste limite pot fi respectate, fie tot prin

creterea pasului de eantionare h , fie prin nlocuirea sursei, fie prin nlocuirea

servomotorului.

O altproblemcare pnacum a fost neglijateste cea a efectului perturbaiilor.

Prin nsi natura lor n cele mai multe cazuri perturbaiile sunt necunoscute, att cavaloare, ct i ca moment de aplicare. Dacaceste perturbaii apar n timpul procesului de

poziionare, evident, valoarea final ef nu mai este egal cu cea impus i, ca atare,

trebuie introduse corecii prin intermediul traductorului de eroare, ceea ce, evident,

necesit calcule n timp real. De asemenea, dup atingerea valorii impuse, perturbaiile

pot scoate sarcina din aceast poziie i, ca atare, apare necesitatea unui mecanism

permanent de corecie. Dac pasul de eantionare este mare, aa cum se alege pe baza

observaiilor anterioare, eroarea impuspoate crete inadmisibil de mult, compromind

ntreg procesul de poziionare.Evident, n astfel de cazuri, este necesarutilizarea unor eantioane de timp mai

reduse, limea lor fiind dictat de natura i frecvena perturbaiilor i de rigiditatea

impussistemului.

Cu toate aceste deficiene, acest tip de reglare are aplicaii foarte interesante, cum

ar fi plasarea pe orbita sateliilor, conducerea gloanelor inteligente, sau a automobilelor

pe autostrzi informatizate etc., i, ca atare, va fi reluatn capitolele urmtoare.

3.3.2 Observabilitate

n majoritatea cazurilor numrul strilor sistemului este mai mare dect numrul

ieirilor sale. ( nx , ry , r n )Aa cum vom vedea, o reglare performantse face cunoscnd toate aceste stri,

sau cel puin majoritatea lor. Cum aceste stri nu pot fi, adesea, direct msurate (de

exemplu, curenii din colivia rotorica unui motor asincron), este necesar ca aceste stri

s fie mcar estimate pe baza mrimilor de intrare si ieire i a modelului presupus al

sistemului.

Aceast operaie este posibil numai pentru sistemele observabile. Despre unsistem se spune c este observabil dac pe baza msurrii intrrilor i ieirilor pe un

interval de timp finit se pot determina strile iniiale ale sistemului.

Pentru cazul discret se pot scrie pe perioada a n 1 pai de eantionare

urmtoarele relaii:

( ) ( )y C x0 0= d


55/174

3-15

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )y C x C A x B u C A x C B u1 1 0 0 0 0= = + = +d d d d d d d d

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y C x C A x C A B u C B u2 2 0 0 12= = + +d d d d d d d d

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y C x C A x C A B u C B un n nd d dn

d dn

d d d = = + + + 1 1 0 0 11 2 . .. (3.43)

Notnd cu:

O

C

C A

C A

N

d

d d

d dn

=

1

,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Y

y

y

y

C B

C A B C B

u

u

u

Nd d

d d d d d

n n

=

0

1

1

0

0

0

0

1

1

(3.44)

rezultpentru intrri nule:

( )Y O xN = 0 sau ( )x O Y01= N (3.45)

Evident c i n cazul controlabilitii sistemul are soluie dac, i numai dac,

inversa matricei O exist, respectiv dacrangul acestei matrici este n .

Comparnd matricea de controlabilitate

[ ]C B A B A B A BN d d d d d dn d= 2 1. . .cu transpusa matricei de observabilitate ON:

( ) ( )2 1

d dn

T T T T N d d d d d...

=

O C A C A C A C (3.46)

se observca acestea au o formasemntoare, matricea Bdfiind nlocuitcu cdT

, iarA dcu A d

T , ieirile ale sistemului devenind intrri pentru sistemul de estimare.

n cazul sistemelor cu o intrare o ieire, vectorii u i y devin scalarii u i , iar

matricile Bdi Cddevin vectorii bdi cdT .

( ) ( )2 1T T

T T nN d d d d d d d...

=

O c A c A c A c

3.3.3. Forma canoniccomandabilpentru sistemele cu o intrare i o ieirePentru un astfel de sistem monovariabil discret controlabil

( ) ( ) ( )x A x bk k u k d d+ = +1

( ) ( )1 1Tdy k x k+ = +c (3.47)

Dacmatricea C este inversabilaceasta este evident de rangul n .


56/174

3-16

Se poate presupune co transformare bazatpe aceastmatrice de controlabilitate

va avea o serie de proprieti interesante i meritsfie exploatate rezultatele ce se vor

putea obine. Sconsiderm un set de variabile de stare transpunnd:

x T x= d , unde [ ]T b A b A b A bd d d d d d dn d =1 2 1 .. . (3.48)nmulind prima ecuaie a setului (3.53) cu Tdse obine:

( ) ( ) ( )x A x b uk k kd d+ = +1

( ) ( )y c xk kdT+ =1 (3.49)

unde:

A T A Td d= 1 , b T bd d d= , c c Td

TdT

d= 1 (3.50)

Dupefectuarea unei serii de calcule intermediare, se gsete vectorul:

b T bd d d= =

10

0

(3.51)

iar noua matrice de controlabilitate:

( )[ ] [ ]C T b T A T T b T b A b T T I1 1 1= = = = d d d d d d d d d d d d d . .. . .. (3.52)Pornindu-se de la egalitile:

A bd d=

01

0

, ( )A A bd d d =

0

0

1

0

(3.53)

se obine o matrice de formspecialdenumitmatrice companion.

A d

n

n

a

a

a

=

0

1

1

1

1

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

, [ ]c c c cdT n n= 1 1, . .., , (3.54)

Ecuaia caracteristic a sistemului transformat se obine pe baza relaiei de

definiie:

1d 1A

n nndet I a ... a

= + + + (3.55)


57/174


58/174

1

Capitolul 4Servomotoare de curent alternativ

Dei sunt larg utilizate n diverse servosisteme datoritsimplitii comenzii i acaracteristicilor lineare, servomotoarele de curent continuu prezintdezavantaje evidente

legate de prezena colectorului i a periilor, precum i de preul de cost relativ ridicat almainii.

Servomotoarele de curent alternativ, fr contacte alunectoare, elimin acestedezavantaje, prezentnd nsun sistem de comandmult mai complicat.

Dup principiul lor de funcionare, aceste servomotoare se pot mpri n doutipuri: sincrone i asincrone. Din prima categorie, ne intereseaz n mod deosebitservomotoarelesincrone autocomandate(numite, pe scurt, frperii) i motoarele pas cupas. Din cea de-a doua categorie, ne intereseaz servomotoarele asincrone trifazate,rspectiv cele bifazatecu rotor pahar.

4.1 Servomotoare sincrone

4.1.1 Servomotoare frperii

Servomotorul frperii este un motor sincron cu magnei permaneni alimentaicu cureni sinusoidal printr

SERVOMECANISME~CURS(DOBRA REMUS) (1)

Documents

Transcript of SERVOMECANISME~CURS(DOBRA REMUS) (1)