1

Seria Fourier. Analiza spectrală a

semnalelor periodice

http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap4.pdf

Daca descompunem semnalul de intrare periodic intr-o serie

de componente mai simple, putem calcula raspunsul la

fiecare componenta si face sinteza raspunsurilor partiale.

In domeniul frecventa: seria Fourier.

1

h(t) 0j t

x t e

0j ty t h e d

dehetyjtj 00

H(0). Transformata Fourier a raspunsului la impuls h,

calculata in 0: depinde de 0 si h

Răspunsul sistemelor continue liniare şi invariante în

timp la exponenţiala complexă de modul unitar

2

2

h(t) 0j t

x t e

0

0

j ty t e H

Functie proprie a SLIT Valoare proprie a SLIT

0 00

0 0

jj

j tj t

H h e d H e

y t e H H e

h(t)

k

tjk

keatx k k

k

kj ty t a H e

k kj t j t

k k k

k k

y t a S e a H e

Daca semnalul de intrare este o combinatie liniara de exponentiale

complexe iesirea : o combinatie liniara de exponentiale

complexe

3

Transformari ortogonale

• Produsul scalar al vectorilor

1 2 1 2 ... ; ... T T

n nx x x y y y x y

*

1

*

* * *2

1 2 1 1 2 2

*

, ... ... ...

n n n

n

y

yx x x x y x y x y

y

x y

•Produsul scalar al functiilor din L2 [a,b]

*,b

ax t y t x t y t dt

4

3

• Se observa ca se indeplinesc urmatoarele conditii:

• Norma ||x|| este finita (spatiul L2):

*

*

*

1 1 1 1

i) , , ,

ii) , , , ,

iii) , , ,

iv) , , ,

v) , , .n m n m

k k l l k l k l

k l k l

x y y x

x y z x y x z

x y x y

x y x y C

x y x y

2 2 2 2 2

1 1 1

1

22

, ...n

k

k

b

a

x x x x

x x t dt

x x x

Un spatiu vectorial cu norma definita prin produsul scalar

este un spatiu Hilbert (teoria aproximarii) 5

• Pentru doi vectori bidimensionali

• Produsul scalar :

-unghiul dintre vectori

Vectori ortogonali (perpendiculari)

1 2 1 2 ;

, cos

x x y y

x i j y i j

x y x y

,cos

x y

x y

, 0 x y x y

Conditia de ortogonalitate : Produsul scalar sa fie zero

6

4

Functii ortogonale

• Vom considera doua semnale definite pe

(0,T0), cu T0=2/0 – spatiul L2 [0,T0]

• Produsul scalar este:

0 0cos ; sinx t t y t t

0 0

0

0 0 0 0 0

0 0

0

0 00

1cos ,sin cos sin sin 2

2

cos 2 1 cos 40

4 4

T T

T

t t t t dt t dt

t

7

Spatiul Hilbert

• Un sistem U={uk} de vectori ortogonali doi cate doi se

spune ca este complet in spatiul Hilbert, H, daca nu exista nici un vector xH-U, care sa fie ortogonal pe

toti vectorii din U (doar vectorul 0):

• Un sistem complet U formeaza baza ortogonala in

spatiul Hilbert. Pentru orice element x din H, exista o

dezvoltare unica de forma

, 0 0, if .ku x x x H U

, .k k

k

x H x a u 8

5

• Daca multimea elementelor din U, n, este finita:

spatiu Hilbert finit dimensional, cu dimensiunea n.

• Daca multimea este numarabila dar infinita: spatiu

Hilbert infinit dimensional.

• Versorii {i, j, k} formeaza o baza in spatiul

tridimensional, cu n=3.

• Multimea functiilor {e jk0t}|kZ cu frecventa k0 –

o baza infinit dimensionala pentru semnale

periodice in timp continuu, de perioada T0

Exemple

9

Teorema lui Pitagora in spatiul Hilbert. Relatia dintre distanta si produsul scalar

• Fie diferenta intre doi vectori din spatiul Hilbert

• “Distanta” dintre ei:

• Avem in general:

d x y

22 ,d x y x y

22

2 2

,

2Re ,

d x y x y

x x y y

• Daca x si y sunt ortogonali 2 22 ,d x y x y

10

6

Exemple, L2 [0,T0]

• Norma pentru semnalele ortogonale

• Distanta dintre semnale este (cf. teoremei lui Pitagora)

• Semnalele ce nu sunt ortogonale nu satisfac teorema lui

Pitagora. Ex:

0 0cos si sint t

0 0

0 02 02 0

0 0 0 0

00 0

1 cos 2 1 1cos sin 2

2 2 2 2 2

T T

T Tt Ttx t t dt dt t

2 0 00 0 0cos ,sin .

2 2

T Td t t T

0 0cos si cost t

0

2

0 0 0 0

0

cos , cos cos / 2.

T

t t tdt T

2

0 0 0 0 0 0cos , cos / 2 / 2 2 / 2 2 .d t t T T T T 11

0 0 0 0cos ,sin cos , cos .d t t d t t

12

7

• Semnale ortogonale L2 [0,T0]

• Produsul normelor este:

• Inegalitate 0<T0/2. Nu exista o const. k pt care y=kx.

• Semnale ne-ortogonale L2 [0,T0]

• Egalitate. Exista o const. k=-1 pentru care y=kx.

Inegalitatea lui Schwartz in spatiul Hilbert (Cauchy- Bunyakovsky-Schwarz)

,x y x y

0 0cos , sin , 0x t t y t t x t y t

0 0 0

2 2 2

T T Tx t y t

Egalitatea are loc daca si numai daca x si y sunt

dependente liniar, y=kx, unde k=const.

0 0cos ; cosx t t y t t y t x t

0 0 0 0; ; ,2 2 2 2

T T T Tx t y t x t y t

13

• Consideram un spatiu Hilbert, H, n-dimensional,

in care este definita o baza ortonormala,

• Coeficientii sunt calculabili cu

• Cea mai buna aproximare: reprezentarea m-dimensionala,

retinand m termeni din cei n:

• Cu cat creste numarul de termeni din aproximare, m,

descreste eroarea si aproximarea devine mai buna

• Trunchierea seriei.

Cea mai buna aproximare a unui vector

in spatiul Hilbert 1,.., nU u u

22,

, ; 1 0,

lk l k

u k lu u u

k l

, .k kc x u

1

m

k k

k

x c u

14

8

• Fie H-spatiu Hilbert, Hs –subspatiu Hilbert. Oricare ar fi

vectorul x din H, exista un vector din Hs care este cea

mai buna aproximare a sa

1. Distanta de la , este mai mica decat distanta de

la x la oricare alt vector din Hs

2. Eroarea de aproximare este ortogonala pe

subspatiul Hs

Teorema proiectiei

2 22

min

2 2 2 2 2 2

,d x x x x

x x x x x x x x

x~

la x x

e x x

15

e x x x

x1 1a u2 2a u

2u

1u

3u

A

B

ABe,BOx~,AOx H = spatiul 3D

Hs= Planul orizontal (spatiul 2D)

16

9

Spatiul Hilbert infinit dimensional

• baza ortogonala finita.

Descompunerea semnalului se face:

• Aproximarea se face tot prin trunchiere:

• cu eroare minima

• Cu cat mai multi termeni (N mare): eroarea scade

, , N kU u t k N N

2

,, with

k

k k k

kk

x t u tx t c u t c

u t

N

N k k

k N

x t c u t

2 2 22

N

N k k

k N

x t x t x t c u t

17

• Eroarea devine :

• Inegalitatea lui Bessel

• Semnalul de aproximare converge in medie patratica

catre x(t)

2 22

k k

k

x t c u t

2 2 2 22 2 2

N

N k k k k k k

k k N k N

x t x t c u t c u t c u t

Relatia lui Parseval

2 22 2

N

N k k

k N

x t c u x t

Nx t

2 2

,

22 2

< fiindca

lim 0 lim 0

a b

k k NN N

k N

x t x t L

c u x t x t

18 l.i.m. N

Nx t x t

10

1. Avem

Teorema lui Pitagora: ortogonalitate intre cea mai buna

aproximare si eroarea de aproximare

2. Relatia lui Parseval ( teorema energiei,

Rayleigh)

3. Cea mai buna aproximare se obtine prin

trunchierea seriei

Remarci

2 2 2

N Nx t x t x t x t

, 0N Nx t x t x t

2 22

k k

k

W x t c u t

19

Seria Fourier exponentiala

• In spatiul consideram baza ortogonala:

• Pentru un semnal periodic x(t)=x(t+T0)

0

2

0,TL

0 , jk t

ku t e k Z

0

00 02

0

00

0,, ; Norma

,

T

j k l tjk t jl t

k

k le e e u t T

T k l

0 0

0

0

0

1 2,

jk t jk t

k k

k T

x t c e c x t e dtT T

20

11

Seria Fourier trigonometrica

• Relatiile lui Euler

• O baza ortogonala :

• Orice semnal periodic, de perioada T0 poate fi

exprimat sub forma

0 0

2 22 0

0 0 0

1 cos , sin

1 ; cos sin2

k NU , k t k t

TT k t k t

0 0 0 0

0 0

1 1cos ; sin

2 2

jk t jk t jk t jk tk t e e k t e e

j

1

000 sincos1k

kk tkbtkaatx

21

Seria Fourier trigonometrica

• Coeficientii seriei sunt:

0

0

0

0 2

0

0

02

00

0

02

00

,1 1, componenta continua

1

,cos 2cos ,

cos

,sin 2sin .

sin

T

k

T

k

T

x ta x t dt

T

x t k ta x t k t dt

Tk t

x t k tb x t k t dt

Tk t

22

12

Cateva observatii

1. a0 - componenta continua DC a semnalului x(t)

2. Semnalul fara componenta continua (a0 =0) are

numai componente “oscilante” :

3. Pentru semnale reale:

0 0

1

cos sin ;k k

k

x t a k t b k t

impar 0; par 0;k kx t a x t b

0 0

0 0

*

*

0 0

1 1jk t jk t

k k

T T

c x t e dt x t e dt cT T

* *

k kx t x t c c

23

4. Puterea semnalului x(t) – relatia lui Parseval:

• O alta forma:

0

2 22 2

0

10

1

2 2

k k

Tk

a bP x t dt a

T

0

2 2 20

0 0 0

1k k

k k T

TWP c P c x t

T T T

24

13

Seria Fourier armonica

• Folosind relatia:

• Seria Fourier trigonometrica devine:

• Forma armonica.

2 2

0 0 0cos sin cosk k k k ka k t b k t a b k t

2 2tg . kk k k k

k

bA a b

a

0

0cosk

kk tkAtx

25

Relatii intre coeficienti

• Pentru semnale reale

2 2

0 0 0

1 , 1

2

, 1;

arg , 1 ;

arg , 1;

; arg 0.

k k k k

k k

k k

k k

c a b A k

c c k

c k

c k

c a c

26

14

Diagrame spectrale pentru

semnalele reale

• Semnalele periodice se pot reprezenta in

domeniul frecventa.

0

00

2, 02

0,2

Tt

x tT

t T

Semnal rectangular, factor de umplere (duty cycle) 0.5 27

• Componenta continua DC:

• Partea oscilanta este impara

0

1

00

1, 02

1,2

Tt

x tT

t T

00 kak

0

0

2

0 0 0

0 0 0

1 12 1;

T

T

a x t dt dt A aT T

0

0

2

00

0 0 0 0 00

1 1cos2 4 4sin ; 1

T k

k

T

k tb x t k tdt k

T T k T k

2 1

4; 1,2,3,...

2 1kb k

k

2 0kb

28

15

• Forma armonica

0

1

41 sin 2 1

2 1k

x t k tk

0

1

41 cos 2 1

2 1 2k

x t k tk

2 1

0

,

armonica de ordinul 2 1 , frecventa 2 1

kA

k k

29

Diagrama spectrala de amplitudini (k0, Ak)

Componenta

continua

Fundamentala

frequency 2/T0

Armonica

de ordinul

2

Armonica

de ordinul

3

Seria Fourier armonica 30

16

Diagrama spectrala de faze (k0, k)

Seria Fourier armonica

31

Diagrama spectrala de modul (k0, |ck|)

• Se porneste de la seria Fourier exponentiala

• Coeficientii ck sunt:

0

0

0 0

0

0 0

0

2

0 0 0

2 22 1 2 1

2

11

1 11 12 ; 0

2 2; 1; ; 1

2 1 2 1

0, 0

T

kT

jk t jk t

k

T

j j

k k

k

c x t dt aT

c x t e dt e dt kT T jk

c e k c e kk k

c k

32

17

Diagrama spectrala de modul (k0, |ck |)

Frecvente negative

Functie para

2 1

2

2 1kc

k

33 Seria Fourier exponentiala

Diagrama spectrala de faze, pentru

ω>0 si ω<0, (k0, k )

Functie impara

sgn2

k k

34 Seria Fourier exponentiala

18

Alte forme ale relatiei lui Parseval

• Seria Fourier exponentiala :

• Forma trigonometrica si armonica

• Exemplu. Puterea semnalului rectangular:

0

2 2 2 2

0

00

12k k

k kT

P x t dt c c cT

0

2 2 222 2

0 0

1 10

1

2 2 2

k k k

Tk k

a b AP a x t dt A

T

0

0

/ 22

0 0

1 14 2

4

T

T

P x t dt dtT

35

Diagrama spectrala de putere folosind

seria Fourier armonica (k0, Ak2/2)

Semnalul rectangular

Frecvente exclusiv pozitive

Se recomanda folosirea unei reprezentari logaritmice pentru putere ce avantajeaza

reprezentarea puterilor mai putin semnificative 36

19

Diagrama spectrala de putere folosind

seria Fourier exponentiala (k0, |ck|2)

Frecvente pozitive si negative 37

• Pentru semnale de banda nelimitata :

– Banda de frecventa este infinita.

– Puterea scade cu cresterea frecventei, tinde spre zero pt frecvente ce tind la infinit

• Banda efectiva de frecvente = gama pozitiva de frecvente ce contin un procentaj semnificativ al puterii semnalului.

• In acest caz, in banda 90 se gaseste 96,5% din puterea semnalului.

38

20

Fenomenul Gibbs

•Fizicianul Albert Michelson a construit un

analizor de spectru in 1898.

•La iesirea filtrelor analizorului, a masurat

amplitudinile componentelor spectrale, conform

teoriei

•Cand a incercat sa recompuna prin insumare,

semnalul initial, a observat ca apare o “problema”,

la semnal anume. L-a rugat pe Gibbs sa ii explice

acest fenomen. 39

Semnalul analizat (de banda nelimitata): rectangular

cu factor de umplere 0.5, fara componenta

continua

0 0 0

4 1 1sin sin3 sin 5 ...

3 5x t t t t

Printr-o trunchiere in frecventa, pastrand primele n armonici, de ordin

impar, semnalul este aproximat cu unul de banda limitata:

0 0 0 0

4 1 1 1sin sin3 sin5 ... sin 2 1

3 5 2 1x t t t t n t

n

40

21

• Si(x) – sinus integral, functie impara

http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html

/2

-/2

0

0

0

22 sin 2

Si 2

n tu

x t du n tu

0

sinSi ; Si Si

xu

x du x xu

limSi2x

x

41

Fenomenul Gibbs

• Gibbs a aratat ca trunchiind semnalul rectangular

cu factor de umplere 0.5, si pastrand n armonici

de ordin impar,

• Se obtine

• Semnalele de banda nelimitata nu pot fi perfect

aproximate cu semnale de banda limitata.

0

0

0

22 sin 2

Si 2

n tu

x t du n tu

0 0 0 0

4 1 1 1sin sin3 sin5 ... sin 2 1

3 5 2 1x t t t t n t

n

42

22

O unda rectangulara cu T0=1s, cu 2nf0=80f0

Asimptote orizontale: 1, -1

43

• Prima supracrestere (maximul oscilatiei), de

1.18 V apare la momentul tm=6,25ms << T0

• Oscilatii in vecinatatea zonei de tranzitie.

• Depasirea valorii 1 este de 9%

• Timpul de ridicare (rise time)

ωM=(2n-1)ω0 aproximativ 2nω0 – cea mai mare

frecventa retinuta

2 12r m

M M

t tf

44

23

Semnale trunchiate pentru 21 si

respectiv 45 armonici

Se poate observa ca oscilatiile nu scad ca si amplitudine,

dar frecventa lor creste. Semnalul de aproximare converge

in medie patratica catre semnalul x(t). 45

Distributia Dirac periodica

• Pentru [-T/2,T/2] , T(t)= (t).

0

1T k

k

t t kT cT

46

01 jk t

T

k k

t t kT eT

22 2

2 2

1 1 1T Tjk t

Tk T

T T

c t e dt t dtT T T

24

Proprietatile seriei Fourier exponentiale

• Coeficientii seriei Fourier a semnalului x, de

perioada T

• Descompunerea Fourier

xkx t c

01

k

T

jk tc x t e dt

T

0 a.p.t.(aproape peste tot)k

k

jk tx t c e

47

1. Liniaritatea • semnalele x(t) si y(t) periodice cu perioada T :

, x y

k k

x y

k k

x t c y t c

ax t by t ac bc

48

2. Deplasarea în timp 0 0

0

jk t x

kx t t e c

0 00 0 0

0

1 1 jk tjk t jk t x

k k

T T

c x t t e dt x e d e cT T

• Deplasarea in timp modulatie cu exponentiala complexa

25

3. Conjugarea complexă • Conjugarea complexa in timp reflectarea in domeniul

frecventa si conjugarea complexa

*

* x

kx t c

00

0 0

*

**

0 0

1 1 j k tjk t

k k

T T

c x t e dt x t e dt cT T

49

4. Reflectarea semnalului

001 1 j kjk t x

k k

T T

x

k

c x t e dt x e d cT T

x t x t c

• Reflectarea in timp reflectare in frecventa

5. Scalarea variabilei timp • x(t) - perioada T x(at), perioada T/|a|.

0

0

0 0

/

1 2;

/

1

k

T a

x

k k

T

x

k

jk t

jk

c x at e dt aT T a

c x e d cT

x at c

50

6. Modularea semnalului

0 00 0 0

0

0 0

0

1 1 k k

k

T T

j tjk t jk t xk k

jk t xk k

c x t e e dt x t e dt cT T

x t e c

• Modulatia in timp deplasare in domeniul frecventa

26

Dualitatea timp-frecventa

• O operatie in timp alta operatie in frecventa:

– De exemplu: modulatie in timp deplasare in

frecventa

• A doua operatie in timp prima operatie in

frecventa.

– Deplasare in timp modulatie in frecventa

• Acest comportament este numit dualitate.

• Reflectarea este o operatie auto-duala

51

7. Produsul a două semnale • Convolutia coeficientilor.

x y

k n n

n

x yk kx t y t c c c c

52

8. Convoluţia periodică a semnalelor • Semnalele periodice nu au energie finita, si convolutia nu se

poate defini. Se foloseste convolutia circulara sau periodica,

definita pe o perioada.

• Operatii duale: inmultirea ↔ convolutia

x y

k k

T

z t x y t d x t y t Tc c

27

Convoluţia periodică a doua semnale

rectangulare, cu factor de umplere diferit

• Efect de circularitate.

53

9. Derivarea semnalului • Dupa diferentiere, componenta continua=0. Semnalul ramane

periodic. Derivarea in timp inmultirea spectrului cu jkω0.

0

x

k

dx tjk c

dt

54

0

0

0

t xxkc

x d cjk

• Pentru ca semnalul sa ramana periodic dupa integrare,

componenta continua trebuie sa fie nula. Integrarea in timp

inmultirea spectrului cu 1/jkω0.

10. Integrarea semnalului

28

11. Semnale reale. Seriile

componentelor para si impara

• x(t) semnal real;

• Componentele para xp(t) si impara xi(t).

• Spectrul componentei pare xp(t) –real

• Spectrul componentei impare (semnal real) xi(t) –

pur imaginar

Re2

x

kp

x t x tx t c

Im2

x

ki

x t x tx t j c

55

*

k kc c