Seminar 1

1. Calculul forelor de legtur (reaciunilor) la bare drepte simplu rezemate

1.1 Introducere

Calculul forelor de legtur reprezint primul pas (obligatoriu), din algoritmul de abordare al oricrei probleme de Rezistena Materialelor; de corectitudinea modului de parcurgere al acestuia depind ceilali pai ai rezolvrii.

Obiectivul acestui seminar este de a descrie i a exemplifica algoritmul de determinare a valorilor corecte a reaciunilor corespunztoare unei scheme de calcul dat, indiferent de gradul de complexitate al acesteia.

Vor fi dobndite competene de stabilire i determinare cantitativ a valorilor corecte ale forelor de legtur corespunztoare schemei de rezemare date, n scopul utilizrii acestora n cadrul treptelor ulterioare ale algoritmului general de rezolvare al unei probleme de Rezistena Materialelor.

Durata medie de studiu individual pentru aceast prezentare este de circa 60 de minute.

2.1 Cazuri elementare

2.1.1 Grind dreapt simplu rezemat ncrcat cu o sarcin concentrat

Se consider grinda dreapt simplu rezemat ncrcat conform figurii de mai jos, pentru care se dorete calculul forelor de legtur de la nivelul reazemelor structurii:

fig. 1

Stabilirea forelor de legtur va ine seama de caracterul simplu al schemei de rezemare (pereche reazem articulat/reazem simplu), astfel, reazemul articulat va permite doar rotire n raport cu seciunea caracteristic 1, iar reazemul simplu, rotire n raport cu seciunea 3 i translaie pe direcia paralel cu talpa de sprijin. n consecin, forele de legtur vor apare pe direcia gradelor de libertate interzise, reazemul articulat nepermind deplasarea (translaia) pe direciile orizontal i vertical ale sistemului

de referin iar reazemul simplu, deplasarea (translaia) pe direcie perpendicular la talpa de sprijin a acestuia; reaciunile dorite sunt (pentru problema de fa), i (fig. 2). 1H , V1 3V

fig. 2

Obs.

n figura 2, odat cu stabilirea reaciunilor de calculat, simbolurile grafice ale reazemelor corespunztoare ar putea fi eliminate din desen, corpul 1-3 gsindu-se n stare de echilibru sub aciunea schemei de ncrcare (sarcina concentrat de 90 kN) i a forelor de legtur

i ; simbolurile grafice vor fi totui pstrate, pentru o mai bun nelegere a fenomenului.

1 1H , V 3V

Sensurile de alegere ale forelor de legtur sunt arbitrare, acestea fiind confirmate sau nu de semnul mrimilor obinute din calcul (semn pozitiv sensul iniial al reaciunii este valabil, semn negativ sensul iniial al forei de legtur trebuie inversat).

Calculul forelor de legtur va porni de la ecuaia de echilibru static scris n termeni de fore bilan pe direcia orizontal (pe direcie vartical existnd un numr de dou necunoscute, variant ineficient), astfel:

= =1X 0, H 0; (1.1)

din absena ncrcrilor pe direcie orizontal.

Determinarea cantitativ a reaciunilor verticale se face scriind ecuaiile de echilibru static (n termeni de momente ale forelor), n raport (de preferin) cu punctele de rezemare ale structurii; avantajul metodei sugerate este de a elimina cte o necunoscut pe rnd (evitarea sistemelor de mai multe ecuaii), n plus, calculul greit al uneia din valori neafectnd, n mod direct, valoarea de calcul a celeilalte.

( ) = + = =1 3 3M 0, 90 1 V 1 2 0 V 30kN; (1.2) ( ) = + = =3 1 1M 0, 90 2 V 2 1 0 V 60kN. (1.3)

Obs.

Regula de semn n scrierea ecuaiilor de bilan 1.2 i 1.3 ine de preferina celui care efectueaz calculul; important este ca termenul dat de , de exemplu, s fie de semn contrar celui din fora concentrat, conform referinei de scriere a ecuaiei corespunztoare (reazemul 1);

3V

Braul unei fore se definete ca distana pe perpendiculara de la direcia suport a forei la punctul sau dreapta considerat ca referin (for vertical#bra orizontal, for orizontal#bra vertical).

Calculul se ncheie obligatoriu cu verificarea valorilor obinute, ecuaia de bilan n acest caz fiind proiecia de fore pe direcie vertical, astfel:

= + =Y 0, 60 90 30 0;? (1.4)

n acest caz, expresia fiind uor verificabil.

Dac expresia de verificare nu este satisfcut, se impune recalcularea mrimilor implicate, n caz contrar problema neputnd a fi continuat (rezolvat).

Calculul reaciunilor mai poate fi abordat i cu aplicaii software dedicate, ca de exemplu AxisVM9 Student edition, program de calcul ce are ca baz de lucru Metoda Elementului Finit (F.E.M. Finite element method). Astfel, modelarea exemplului prezentat anterior conduce la vederea de ansamblu din figura 3, modul de asimilare a schemelor de rezemare respectiv ncrcare fiind detaliate n figurile 4 i 5:

fig. 3 Vedere de ansamblu

fig. 4 Modelare reazem simplu i reazem articulat

fig. 5 Modelare for concentrat i discretizare structur

Pentru clarificarea modului de lucru cu tab-urile caracteristice aplicaiei prezentate se poate urmri simularea efectiv a modului de lucru a structurii, cu observaia c, pentru moment, accentul este pus pe valorile forelor de legtur (reaciunilor) din reazemele structurii de remarcat sensul acestora.

(.avi)

Simulare AxisVM pentru problema 2.1.1

2.1.2 Grind dreapt simplu rezemat ncrcat cu o sarcin uniform distribuit

Se consider calculul reaciunilor pentru cazul structurii simplu rezemate din figura 3, astfel:

fig. 6

calculul reaciunii orizontale din reazemul 1 se face din sum de proiecii de fore pe direcia corespunztoare:

= =1X 0, H 0;

1V 4V

(1.5)

forele de legtur i obinndu-se din sume de proiecii de momente de fore n raport cu punctele de rezemare:

= + = = 1 4 40,8M 0, 17 0,8 0,8 V 3,2 0 V 5,1kN;2

(1.6)

= + = = 4 10,8M 0, 17 0,8 1,6 V 3,2 0 V 8,5kN2 1

.

0,8

= + =Y 0, 8, 5 17 0,8 5,1 0.

(1.7)

Obs.

n cazul unei sarcini distribuite, fora rezultant a acesteia se obine prin calcularea ariei formei geometrice a distribuitei (in cazul de fa dreptunghi, 17 ), braul forei fiind msurat ntre centrul de greutate al aceleiai forme geometrice i punctul considerat de referin n scrierea ecuaiei.

Verificarea corectitudinii valorilor obinute pentru reaciuni se face prin proiecie de fore pe direcie vertical, astfel:

(1.8)

2.1.3 Grind dreapt simplu rezemat ncrcat cu un moment concentrat

Fie schema de calcul (schem de rezemare + schem de ncrcare) din figura 4, pentru care se doresc valorile reaciunilor din reazeme:

fig. 7

Obs.

ncrcarea de 120 kNm nu reprezint o for; se poate echivala cu un cuplu de fore egale i de sens contrar, n acest sens fiind gritoare unitatea de msur (fora bra moment); =

n figura 4, sensul iniial al reaciunilor verticale a fost luat de jos n sus. Reaciunea orizontal din reazemul 1 se obine din echilibru de fore pe direcie orizontal, astfel:

= =1X 0, H 0;

= + = = 3M 0, 120 V 3 0 V 40kN;

= = =3 1 1M 0, 120 V 3 0 V 40kN;

(1.9)

iar din sume de moment n raport cu reazemele 1 i 3:

(1.10) 1 3

respectiv,

(1.11)

verificarea reaciunilor fiind, n acest caz, o formalitate:

= =Y 0, 40 40 0. (1.12)

Obs.

ncrcrile tip moment concentrat nu se nmulesc cu vreun bra, n caz contrar, n ecuaia de echilibru n termeni de moment aprnd o valoare msurat n - incorect din punct de vedere dimensional;

2kNm

Valoarea negativ a reaciunii din reazemul 3 implic schimbarea sensului iniial ales odat cu trecerea mrimii n modul (fig. 4);

n cazul unui corp simplu rezemat, ncrcat n exclusivitate cu un moment concentrat, reaciunile sunt egale ntre ele i de semn contrar; reaciunile formeaz mpreun un cuplu ce se opune aciunii celui iniial (momentul concentrat din schema de ncrcare).

2.2 Caz general. Grind dreapt simplu rezemat cu consol, solicitat de diverse tipuri de ncrcri

Se consider grinda simplu rezemat din figura de mai jos, pentru care se dorete determinarea reaciunilor din reazeme:

fig. 8

Se calculeaz valoarea reaciunii orizontale din reazemul 1:

= =1X 0, H 0; (1.13)

se scrie ecuaia de momente n raport cu reazemul 1 pentru a se determina reaciunea vertical din reazemul 3:

= + + + = = 1 4 41M 0, 50 180 2 V 3 10 1 3 0 V 115kN;2

(1.14)

respectiv ecuaia de momente n raport cu reazemul 4, pentru valoarea reaciunii verticale din reazemul 1:

= + = =4 1 11M 0, V 3 50 180 1 10 1 0 V 75kN.2 (1.15)

Verifcarea valorilor obinute se face prin ecuaia de proiecii de fore pe direcia vertical a sistemului de referin, astfel:

(1.16) = + =Y 0, 75 180 115 10 1 0;

problema putnd continua.

Tem de control

Se cere verificarea corectitudinii valorilor forelor de legtur pentru urmtoarele scheme de calcul (este necesar parcurgerea algoritmului complet de calcul i verificare a reaciunilor):

T1

T2

T3

Sugestii de rezolvare i rspunsuri

T1

1

1 3 3

X 0, H 0;M 0, 50 1, 2 V 2, 4 0 V 25kN;

;

= = = = = = = =3 1 1

1 2

M 0, 50 1, 2 V 2, 4 0 V 25kN50sau V V 25kN;2

verificareY 0, 25 50 25 0.

= = =

= + =

T2

1

1 3 3

X 0, H 0;M 0, 100 V 5 50 0 V 10 kN;

= = = + + = =

1

1 3 3

X 0, H 0;M 0, 30 1,8 0,9 130 1,8 60 V 2,8 0 V 122,36 kN;

= = = + + = =

3 1 1

1 3

M 0, V 5 100 50 0 V 10 kN;100 50sau V V 10 kN;

5verificare

Y 0, 10 10 0.

= + = == = =

= =

T3

3 1 1M 0, V 2,8 30 1,8 1,9 130 1 60 0 V 61,64 kN;verificare

Y 0, 61,64 30 1,8 130 122, 36 0.

= + = =

= + =

Seminar 1

1. Calculul forelor de legtur (reaciunilor) la bare drepte simplu rezemate

1.1 Introducere

Calculul forelor de legtur reprezint primul pas (obligatoriu), din algoritmul de abordare al oricrei probleme de Rezistena Materialelor; de corectitudinea modului de parcurgere al acestuia depind ceilali pai ai rezolvrii.

Obiectivul acestui seminar este de a descrie i a exemplifica algoritmul de determinare a valorilor corecte a reaciunilor corespunztoare unei scheme de calcul dat, indiferent de gradul de complexitate al acesteia.

Vor fi dobndite competene de stabilire i determinare cantitativ a valorilor corecte ale forelor de legtur corespunztoare schemei de rezemare date, n scopul utilizrii acestora n cadrul treptelor ulterioare ale algoritmului general de rezolvare al unei probleme de Rezistena Materialelor.

Durata medie de studiu individual pentru aceast prezentare este de circa 60 de minute.

2.1 Cazuri elementare

2.1.1 Grind dreapt simplu rezemat ncrcat cu o sarcin concentrat

Se consider grinda dreapt simplu rezemat ncrcat conform figurii de mai jos, pentru care se dorete calculul forelor de legtur de la nivelul reazemelor structurii:

fig. 1

Stabilirea forelor de legtur va ine seama de caracterul simplu al schemei de rezemare (pereche reazem articulat/reazem simplu), astfel, reazemul articulat va permite doar rotire n raport cu seciunea caracteristic 1, iar reazemul simplu, rotire n raport cu seciunea 3 i translaie pe direcia paralel cu talpa de sprijin. n consecin, forele de legtur vor apare pe direcia gradelor de libertate interzise, reazemul articulat nepermind deplasarea (translaia) pe direciile orizontal i vertical ale sistemului de referin iar reazemul simplu, deplasarea (translaia) pe direcie perpendicular la talpa de sprijin a acestuia; reaciunile dorite sunt (pentru problema de fa), i (fig. 2).

fig. 2

Obs.

n figura 2, odat cu stabilirea reaciunilor de calculat, simbolurile grafice ale reazemelor corespunztoare ar putea fi eliminate din desen, corpul 1-3 gsindu-se n stare de echilibru sub aciunea schemei de ncrcare (sarcina concentrat de 90 kN) i a forelor de legtur i ; simbolurile grafice vor fi totui pstrate, pentru o mai bun nelegere a fenomenului.

Sensurile de alegere ale forelor de legtur sunt arbitrare, acestea fiind confirmate sau nu de semnul mrimilor obinute din calcul (semn pozitiv sensul iniial al reaciunii este valabil, semn negativ sensul iniial al forei de legtur trebuie inversat).

Calculul forelor de legtur va porni de la ecuaia de echilibru static scris n termeni de fore bilan pe direcia orizontal (pe direcie vartical existnd un numr de dou necunoscute, variant ineficient), astfel:

din absena ncrcrilor pe direcie orizontal.

Determinarea cantitativ a reaciunilor verticale se face scriind ecuaiile de echilibru static (n termeni de momente ale forelor), n raport (de preferin) cu punctele de rezemare ale structurii; avantajul metodei sugerate este de a elimina cte o necunoscut pe rnd (evitarea sistemelor de mai multe ecuaii), n plus, calculul greit al uneia din valori neafectnd, n mod direct, valoarea de calcul a celeilalte.

Obs.

Regula de semn n scrierea ecuaiilor de bilan 1.2 i 1.3 ine de preferina celui care efectueaz calculul; important este ca termenul dat de , de exemplu, s fie de semn contrar celui din fora concentrat, conform referinei de scriere a ecuaiei corespunztoare (reazemul 1);

Braul unei fore se definete ca distana pe perpendiculara de la direcia suport a forei la punctul sau dreapta considerat ca referin (for vertical#bra orizontal, for orizontal#bra vertical).

Calculul se ncheie obligatoriu cu verificarea valorilor obinute, ecuaia de bilan n acest caz fiind proiecia de fore pe direcie vertical, astfel:

n acest caz, expresia fiind uor verificabil.

Dac expresia de verificare nu este satisfcut, se impune recalcularea mrimilor implicate, n caz contrar problema neputnd a fi continuat (rezolvat).

Calculul reaciunilor mai poate fi abordat i cu aplicaii software dedicate, ca de exemplu AxisVM9 Student edition, program de calcul ce are ca baz de lucru Metoda Elementului Finit (F.E.M. Finite element method). Astfel, modelarea exemplului prezentat anterior conduce la vederea de ansamblu din figura 3, modul de asimilare a schemelor de rezemare respectiv ncrcare fiind detaliate n figurile 4 i 5:

fig. 3 Vedere de ansamblu

fig. 4 Modelare reazem simplu i reazem articulat

fig. 5 Modelare for concentrat i discretizare structur

Pentru clarificarea modului de lucru cu tab-urile caracteristice aplicaiei prezentate se poate urmri simularea efectiv a modului de lucru a structurii, cu observaia c, pentru moment, accentul este pus pe valorile forelor de legtur (reaciunilor) din reazemele structurii de remarcat sensul acestora.

Simulare AxisVM pentru problema 2.1.1

2.1.2 Grind dreapt simplu rezemat ncrcat cu o sarcin uniform distribuit

Se consider calculul reaciunilor pentru cazul structurii simplu rezemate din figura 3, astfel:

fig. 6

calculul reaciunii orizontale din reazemul 1 se face din sum de proiecii de fore pe direcia corespunztoare:

forele de legtur i obinndu-se din sume de proiecii de momente de fore n raport cu punctele de rezemare:

Obs.

n cazul unei sarcini distribuite, fora rezultant a acesteia se obine prin calcularea ariei formei geometrice a distribuitei (in cazul de fa dreptunghi, ), braul forei fiind msurat ntre centrul de greutate al aceleiai forme geometrice i punctul considerat de referin n scrierea ecuaiei.

Verificarea corectitudinii valorilor obinute pentru reaciuni se face prin proiecie de fore pe direcie vertical, astfel:

2.1.3 Grind dreapt simplu rezemat ncrcat cu un moment concentrat

Fie schema de calcul (schem de rezemare + schem de ncrcare) din figura 4, pentru care se doresc valorile reaciunilor din reazeme:

fig. 7

Obs.

ncrcarea de 120 kNm nu reprezint o for; se poate echivala cu un cuplu de fore egale i de sens contrar, n acest sens fiind gritoare unitatea de msur (forabramoment);

n figura 4, sensul iniial al reaciunilor verticale a fost luat de jos n sus.

Reaciunea orizontal din reazemul 1 se obine din echilibru de fore pe direcie orizontal, astfel:

iar din sume de moment n raport cu reazemele 1 i 3:

respectiv,

verificarea reaciunilor fiind, n acest caz, o formalitate:

Obs.

ncrcrile tip moment concentrat nu se nmulesc cu vreun bra, n caz contrar, n ecuaia de echilibru n termeni de moment aprnd o valoare msurat n - incorect din punct de vedere dimensional;

Valoarea negativ a reaciunii din reazemul 3 implic schimbarea sensului iniial ales odat cu trecerea mrimii n modul (fig. 4);

n cazul unui corp simplu rezemat, ncrcat n exclusivitate cu un moment concentrat, reaciunile sunt egale ntre ele i de semn contrar; reaciunile formeaz mpreun un cuplu ce se opune aciunii celui iniial (momentul concentrat din schema de ncrcare).

2.2 Caz general. Grind dreapt simplu rezemat cu consol, solicitat de diverse tipuri de ncrcri

Se consider grinda simplu rezemat din figura de mai jos, pentru care se dorete determinarea reaciunilor din reazeme:

fig. 8

Se calculeaz valoarea reaciunii orizontale din reazemul 1:

se scrie ecuaia de momente n raport cu reazemul 1 pentru a se determina reaciunea vertical din reazemul 3:

respectiv ecuaia de momente n raport cu reazemul 4, pentru valoarea reaciunii verticale din reazemul 1:

Verifcarea valorilor obinute se face prin ecuaia de proiecii de fore pe direcia vertical a sistemului de referin, astfel:

problema putnd continua.

Tem de control

Se cere verificarea corectitudinii valorilor forelor de legtur pentru urmtoarele scheme de calcul (este necesar parcurgerea algoritmului complet de calcul i verificare a reaciunilor):

T1

T2

T3

Sugestii de rezolvare i rspunsuri

T1

T2

T3