Seminar 14 REGIMUL TRANZITORIU AL …users.utcluj.ro/~claudiar/Bazele Electrotehnicii I...

Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 1

BE-ETTI 2019-2020

Seminar 14

REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE

METODA OPERAȚIONALĂ BAZATĂ PE TRANSFORMATA

LAPLACE

Curs 13 – slide 22-32 Transformata Laplace a unei funcții f(t) este:

( ) ( ) ( )0

stL f t F s f t e dt

−= =

Ecuațiile integro-diferențiale în urma aplicării transformatei Laplace se transformă

în ecuații algebrice de variabilă s, (polinoame P(s) de ordin egal cu numărul

elementelor reactive din circuit)

Exercițiul 1

Să se aplice transformata Laplace următoarelor funcții:

a) treaptă unitate:

0, pentru 0

(t)1, pentru 0

t

t

=

( ) ( ) ( ) ( )0

0 0

1 1 11 0 1

0

stst st e

L t t e dt e dt e es s s s

−

− − −

= = = = − − = − − =−

( ) 1

L ts

=

b) ( ) , a>0atf t e=

( ) ( ) ( ) ( )0

0 0

1 1 10 1

0

a s t a s tat at stL e e e dt e dt e e ea s a s a s

− −−

= = = = − = −− − −


1atL e

s a=

−

Similar, 1atL e

s a

−

+=

c) ( ) sinf t t=

Știm că: sin2

jx jxe ex

j

−−=

( )

2

2 2

2 2

2 2 2

1 1sin

2 2

1 1 1 1sin

2 2

1 2sin

sin

2

j t j t j t j tL t L e e L e L ej j

s j s jL t

j s j s j j s

jL

s

ts

L t

j s

− − = − = −

+ − + = − =

− + +

=

=

+

+

=+

d) ( ) cosf t t=

Știm că: cos2

jx jxe ex

−+=

( )

2

2 2

2

2 2 2 2

1 1cos

2 2

1 1 1 1cos

2 2

1 2cos

s

2

co

j t j t j t j tL t L e e L e L e

s j s jL t

s j s j s

s sL t

sL t

s

s s

− − = + = +

+ + − = + =

− + +

=

=+

+

=+

Derivata

( ) ( ) ( )' 0L f t sL f t f −= −

Integrala

( ) ( ) 0

1L f t dt L f t

s

=


Tabelul 1

Analogie între regimul permanent și regimul tranzitoriu

Rezistorul:

Bobina:


Condensatorul:

Sursa de tensiune:

Sursa de curent:

Impedanțele:

Metoda operațională bazată pe transformata Laplace presupune următorii pași de

rezolvare:

1 – identificarea numărului de elemente reactive (bobine și condensatoare)

existente în circuit;

2 – desenarea circuitului în regimul permanent (domeniul timp), pentru t<0 și

determinarea condițiilor inițiale pentru elementele reactive din circuit:

(0 ) sau (0 )

u (0 ) sau q(0 )

L

C

i − −

− −

3 – desenarea circuitului în domeniul operațional, pentru t>0 pe baza transformatei

Laplace, respectând analogia între regimul permanent și regimul tranzitoriu și

analiza circuitului în domeniul frecvență, s;


4 – descompunerea fracțiilor raționale (polinoamelor în s) și aplicarea transformatei

Laplace inverse pentru a trece din domeniul frecvență în domeniul timp (pentru

a găsi funcția original știind imaginea sa).

Problema 1

Să se determine variațiile curenților prin bobine, i1(t) și i2(t), în regimul tranzistorul

creat la închiderea la momentul t=0 a întrerupătorului folosind metoda

operațională bazată pe transformata Laplace. Se dau: 100, V;E = 1

5, Ω;R =

25, Ω;R =

10.4, H;L =

20.2, H.L = Să se traseze graficul de variație al curenților

i1(t) și i2(t).

Pasul 1: identificarea elementelor reactive: L1 și L2;

Pasul 2: desenarea circuitului în domeniul timp, t<0 și determinarea condițiilor

inițiale pentru elementele reactive:

Curenții prin cele două bobine înainte de comutație sunt:

1 2

1

1 2

2

100 100(0 ) (0 )

5 5

A(0 ) (0 ) 10,

10

Ei

R

i i

iR

−

− −

−

= =

=

=+ +

=

=

Pasul 3: desenarea circuitului în domeniul frecvență s, t>0 (transformata Laplace),

respectând analogia și analiza circuitului în domeniul frecvență s pentru

determinarea curenților I1(s), respectiv I2(s):


După închiderea întrerupătorului rezultă două circuite distincte, parcurse de

curenții, I1(s), respectiv I2(s):

1 1

1

1 1

1

100(0 ) 0.4 10

100 4 1 4(25 )( )

5 0.4 0.4

A

(

250 10(

( 12.5) 0.

2

4 12.5

) , ( 1 .5)

)

EL i

s ss sI sR sL s s s s

sI s

s s

s

−+ + + +

= = = =+

+

+ +

+

=

+

2

2

2

2 2

2

(0 ) 0.2 10 2( )

5 0.2 0.2

10( ) , A

2

( )

5

25

L iI s

R sL s

I ss

s−

= = =

+

+

=

+ +

Pasul 4: descompunerea polinoamelor (fracțiilor raționale) obținute și aplicarea

transformatei Laplace inverse pentru a trece din domeniul frecvență în

domeniul timp

Am obținut curentul I1(s):

1

250 10( )

( 12.5)

sI s

s s

+=

+

Descompunem fracția rațională:

1 2

1 2

250 10

( 12.5) 12.5

10 250 (s 12.5)

s A A

s s s s

s A A s

+= +

+ +

+ = + +

Determinăm constantele A1 și A2:

-pentru: 1 1 1

2500 250 1 02.5 0

12.52s AA A= = + = =

-pentru: 2 22

12512.5 10( 12.5) 250 12 0.5

12.51s A A A= − − + = − = − = −


250 10 20 10

( 12.5) 12.5

s

s s s s

+ = −

+ +

1

20 10(s)

12.5I

s s= −

+

Aplicăm transformatei Laplace inversă pentru trecerea din domeniul frecvență (s)

în domeniul timp (t):

( )

( )

1 1 1

1 1

1 1

1

20 10(s)

12,5

1 120 10

12,5

i t L I L Ls s

i t L Ls s

− − −

− −

= = −

+

= −

+

Se identifică funcțiile original (vezi Tabelul 1):

( )1

1 12.5

11

1

12.5

t

L ts

L es

−

− −

= =

=

+

12.5

1( ) 20 10 , Ati t e−= −

similar:

( )

2

1 1

2 2

1

2

25

25 A

10( )

25

1(s) 1

( ) 10 ,

025

1

25

t

t

I ss

i t L I Ls

L es

i t e−

− −

− −

=+

= =

+

=

+

=

Trasăm variațiile curenților i1(t) și i2(t):


Problema 2

În momentul t=0 întrerupătorul k se închide. Să se determine variația în timp a

tensiunilor și curenților prin condensatoare utilizând metoda transformatei Laplace.

Date numerice: 1 2 1 2R=6, Ω; R =2, Ω; R =4, Ω; C =3, μF; C =1; μF și E=24, V.

Pasul 1: identificarea numărului elementelor reactive: C1 și C2;

Pasul 2: desenarea circuitului în domeniul timp, t<0 şi determinarea condițiilor


Se aplică teorema divizorului de tensiune:

2

2

1

1

1(0 )

1 2

2(0 )

(

1

0 )

(0 )

2

224

12

424

4,

8,

12

C

C

C

C

u V

u V

Ru E

R R R

Ru E

R R R

−

−

−

−

= = + +

= =+

=

=

+

Pasul 3: desenarea circuitului în domeniul frecvență s, t>0 (transformata Laplace) și

analiza circuitului în domeniul frecvență:


Aplicăm metoda potențialelor nodurilor (sursă ideală de tensiune ne impune

restricții)

- ne obligă să alegem nodul de referință la una din bornele ei;

- ecuația din sistem corespunzătoare celuilalt nod al sursei se va înlocui cu expresia:

valoarea potențialului nodului egală cu+ sau- valoarea sursei de tensiune

Analizăm topologic circuitul: n=3,

l=5,

b=l-n+1

b=5-3+1

b=3 bucle independente

Scriem sistemul specific metodei pentru n-1=3-1=2 noduri independente, rezultă că

vom avea 2 ecuații în sistem:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

sc

sc

Y V Y V I

Y V Y V I

+ =

+ =

Avem sursa ideală de tensiune care impune restricții și în scrierea sistemul, astfel a

doua ecuație din sistem se va înlocui cu expresia: valoarea potențialului nodului

egală cu +sau - valoarea sursei de tensiune:

11 1 12 2

2

1scY

V

V Y I

E

s

V + = = −

Explicităm termenii din sistem:

1 2

11 1 2

1 2

6 6

11

6

11

12 21 2

2

6

12 21

1 1 2

1 1

1 13 10 1 10

2 4

34 10 , S

4

1

11 10 , S

4

(0 ) (0 )C C

sc

Y sC sCR R

Y s s

Y s

Y Y sCR

Y Y s

u uI sC sC

s s

− −

−

−

− −

= + + +

= + + +

= +

= = − +

= = − +

= − +


6 6

1

6 6

1

6

1

4 83 10 1 10

12 10 8 10

4 10 , A

sc

sc

sc

I s ss s

I

I

− −

− −

−

= − +

= − +

= −

Înlocuim în sistem:

1

2

6 6 6

2

2

3 14 10 1 10 4 10

4 4

4, V

s V s V

Vs

− − − + − + = −

= −

6 6 6

1

6 6 6

1

6 6 6

1

3 1 244 10 1 10 4 10

4 4

3 1 24 244 10 1 10 4 10

4 4

3 64 10 24 10 4 10

4

s V ss

s V ss s

s Vs

− − −

− − −

− − −

+ − + − = −

+ + + = −

+ + + = −

6 6 6

1

3 64 10 4 10 24 10

4s V

s

− − − + = − − −

( )

6 6

1

6

16

6

1 6

66

6

1 666

6

1 6

3

V

64 10 28 10

4

628 10

34 10

4

28 10 6 4

3 16 10

3 1016 10 7

2112 10 24

3 103 16 10

3 107

2 , 3

6

16 106

10

1

1

s Vs

sV

s

sV

s s

ss

Vs s

s s

sV

s s

− −

−

−

−

−

−

−

−−

+ = − −

− −

=

+

− −=

+

− +

− − = =

− −

=

+

+

+


Pasul 4: descompunerea polinoamelor (fracțiilor raționale) și aplicarea

transformatei Laplace inverse pentru a trece din domeniul frecvență în

domeniul

Descompunem fracția rațională obținută pentru V1:

6

1 2

66

3 107

233 10 10

1616

sA A

sss s

− −

= + ++

66

1 2

3 10 37 10

2 16s A s A s

− − = + +

-pentru: 0s =

6

6 66

1 1 166

3 103 10 3 3 10 16210 0 8

32 16 2 3 1010

16

A A A

− = + = − = − = −

-pentru: 6 6 6 6

2

3 10 3 10 3 10 3 107

16 16 2 16s A

= − − − − = −

6 6 6

2

21 10 24 10 3 10

16 16 16A

− = −

6

2 26

3 10

16 13 10

16

A A

−

= =

−

16

8 1

310

16

Vs

s

−= +

+

16

2

8 1, V

310

16

24, V

Vs

s

Vs

= +

= −

−

+

Determinăm tensiunea pe condensatorul C1 ca diferența de potențiale:

1 0 1 16

0

8 1( ) ( ) ( ) ( ) , V

310

16

CU s V s V s V ss

s=

= − = − = −

+


Aplicăm transformata Laplace inversă pentru a revenii în domeniul timp:

( ) ( ) 1

1 1 1

6

8 1

310

16

Cu t L I s L Ls

s

− − −

= = − +

( )1

1 1

6

1 18

310

16

Cu t L Ls

s

− −

= − +

( )

6

1

310

1 16

6

11

1

310

16

t

L ts

L e

s

−

−−

= =

= +

6

1

310

16( ) 8 ,t

Cu t e V−

= −

Acum tensiunea pe condensatorul C2 se poate determina direct în domeniul timp:

1

6

2

6

2 1

310

16

310

16( ) 1

4

6

( ) ( ) 24

,

( ) 2 8t

C C C

t

C

u

V

t E u t u e

u t e

t−

−

= − = − = − −

= +

Determinarea curenților:

( )( )

1

11

1 1 1

1

1

0( )01

( ) ( ) ( )1

C

CC

C C C

uU su sU s I s I s

sC s

sC

−

−−

= + =

1

6

6 6

6 6

8 1 4

310

16( ) 12 10 3 101 3

10 103 16

C

s ss

sI s

ss

− −

− −

+ = = −

+

( )1

6 6

6 6 6

6 6

3 310 10

9 116 1612 10 3 10 9 103 316

10 1016 16

C

sI s

s s

− − −

+ − = − = +

+ +


( ) ( ) 1 1

1 6 1

6

9 19 10

31610

16

C Ci t L I s L

s

− − −

= = + +

6

1

310

6 169

( ) 9 10 ,16

t

Ci t e A−

−= +

Analog: 6

2

310

6 163

( ) 9 10 ,16

t

Ci t e A−

−= −

Problema 3

Să se determine variația curenților 1 2( ), ( ), ( )i t i t i t , dacă la momentul t=0,

întrerupătorul k se mută de pe poziția (1) pe poziția (2) folosind metoda

operațională bazată pe transformata Laplace. Se dau: E=12, V; R=20, Ω; L=10, mH și

C=10, μF.

Pasul 1: identificarea numărului elementelor reactive: C și L;

Pasul 2: desenarea circuitului în domeniul timp, t<0 și determinarea condițiilor


(0 ) 12, V

(0 ) 0

C

L

u E

i

−

−

= =

=

Pasul 3: desenarea circuitului în domeniul frecvență s, t>0 (transformata Laplace) și

analiza circuitului în domeniul frecvență

- (0 ) 0Li − = (0 ) 0LL i − = rămâne doar o singură sursă în circuit


Calculăm curentul total din circuit, I(s), calculând impedanța echivalentă a

circuitului și apoi folosind Legea lui Ohm, rezultă:

( ) ( )

2

22 2

2

2

(0 )

( )

(0 )

( )1

( )1 1

( )1

C

e

C

u

sI sZ

u E E

s s sI sR sL R sL sCR sL R sL s CRL

sC R sL sC R sL sC R sL

E E E

s s sI ss sR sL s CRL

CRL s R sLC RC LC RCsCR s CL

R RsCL s s s

L L

Rs s

E LI s

ssR s

LC RC

−

−

=

= = = + + + +

++ + +

= = =+ +

+ + + + +

+ +

+

=

+ +

( )

( )

2 2

33

3

4 92 2

6 3 6

2 7 2 7

( )1

1 1 11

12 12 10( 10 10 20) 0.01 20

20 10 10 200( )1 1 10 10

20 10 10 10 10 10 10 2 100

60 0.01 20 0.6 1200( )

5000 10 5000 10

0.6 15( )

R sL EsL R

E L RLsR

s s sLC RC RC LC

s sI s

s s s s

s sI s

s s s s

sI s

−

−

− − −

++

= =

+ + + +

+ +

= =

+ + + +

+ += =

+ + + +

+=

2

2 2A

0

.

0 300

0 6( 2500) 300( ) ,

( 2500) 19

0

4

5 00 6250000

0

3750000

sI s

s

s s

+ −=

+ +

+

−

+

+

Aplicăm divizorul de curent pentru a determina curenții I1(s) și I2(s):

12 2

1 2 7 2 7 2 2

( )( ) ( )

1 1 1 1

120.6 2500 250020( ) 0.6

5000 10 5000 10 ( 2500) 1940

E EsL R s

sL sL RL RI s I ssL R sL R

s s s sRC LC RC LC

ss s

I ss s s s s

+= = =

+ ++ + + +

+ −= = =

+ + + + + +


1 2 2

2500 1.29 1940( ) 0.6 , A

( 2500) 1940

sI s

s

+ − =

+ +

2

2

22 2

3

2 2 2

2 2

2

1940(

2

( )( ) ( )

1 1 1 1

121 0010 10( )

( 2500) 1940 ( 2500) 1

A) 0.61 , ( 2500) 1940

940

E EsL R

R R RL LI s I sR sL R sL

s s s sRC LC RC L

s

I s

C

s

Is s

−

+= = =

+ ++ + + +

= =

+

+

+

+

=

+ +

Pasul 4: aplicarea transformatei Laplace inversă pentru trecerea din domeniul

frecvență în domeniul timp:

2 2 2 2 2 2

0.6( 2500) 300 0.6( 2500) 300( ) , A

( 2500) 1940 ( 2500) 1940 ( 2500) 1940

s sI s

s s s

+ − += = −

+ + + + + +

2 2 2 2

1 1

2 2 2 2

1 1

2 2 2 2

0.6( 2500) 1940( ) 0.15

( 2500) 1940 ( 2500) 1940

0.6( 2500) 1940( ) 0.15

( 2500) 1940 ( 2500) 1940

( 2500) 1940( ) 0.6 0.15

( 2500) 1940 ( 2500) 1940

sI s

s s

si t L L

s s

si t L L

s s

− −

− −

+= −

+ + + +

+= −

+ + + +

+= −

+ + + +

( )

( )

1 2500

2 2

1 2500

2 2

1 2 2

2500

1

2500( ) 0.6

5

( 2500)cos 1940

( 2500) 1940

1940sin 1940

( 2500) 1940

2500 1.29 1940( ) 0.6 , A

( 2500) 1940

0.6( 2(

1cos(1940 ) 0. 5 sin(1940 ),

)

t

t

t ti t e t

sL e t

s

L e ts

sI s

s

e

s

I s

t A− −

− −

− −

+=

+ +

=

+ +

+ − =

+ +

−

+

=

=2 2 2 2

1 1

1 2 2 2 2

1 1

1 2 2

1

2 2

0

.

0) 0.77 1940

( 2500) 1940 ( 2500) 1940

0.6( 2500) 0.77 1940( )

( 2500) 1940 ( 2500) 1940

( 2500) 1940( ) 0.6 0.77

( 2500) 1940 ( 2500) 1940

( ) 0

s s

si t L L

s s

si t L

s

t

Ls

i

− −

− −

−

+ + + +

+ = −

+ + + +

+= −

+ + + +

=

2500 25006 cos(1940 ) 0.77 sin(1940 ), t te t e t A− −−


2 2 2

1

2

2500

2

2 2

1

2 2 2

( ) 0.61 s

4

1940( ) 0.61

( 2500) 1940

1940( ) 0.61

( 2500) 1940

9

in(19 )

1940( ) 0.61

( 2500) 1 0

40 , t

I

A

i

i t e

ss

i t Ls

t Ls

t−

−

−

=+ +

=

+ +

=

+

=

+

TEMĂ

Circuitul schema electrică din figură funcționează în regim permanent cu

întrerupătorul k închis. Să se determine expresia curentului prin bobină, i(t) după

deschiderea la momentul t=0 a întrerupătorului k folosind metoda operațională

bazată pe transformata Laplace. Se dau: E=6, V; 1, ΩR = și 1, mH.L =

R: ( ) 20001,5 2,5 , Ati t e−= − +

Seminar 14 REGIMUL TRANZITORIU AL …users.utcluj.ro/~claudiar/Bazele Electrotehnicii I...

Documents

Transcript of Seminar 14 REGIMUL TRANZITORIU AL …users.utcluj.ro/~claudiar/Bazele Electrotehnicii I...