RM- Diagrame de Eforturi

138
5.1. Introducere În Rezistenţa Materialelor, trasarea corectă a diagramelor de eforturi reprezintă o etapă hotărâtoare în rezolvarea problemelor legate de calculul tensiunilor şi deformaţiilor din bare, dar şi în calculul deplasărilor acestora. Proiectarea pieselor de tip bară ţine cont de eforturile care apar în secţiuni, diagramele de eforturi fiind utile pentru determinarea, pentru observarea secţiunilor periculoase (în care bara se poate distruge), adică a secţiunilor în care eforturile sunt maxime. Pentru trasarea diagramelor, de-a lungul timpului au fost folosite o serie de metode: grafice, grafo-analitice, analitice. Indiferent de metoda folosită, diagramele trasate sunt identice. În continuare vor fi prezentate mai multe metode de calcul, care trebuie înţelese ca metode care se completează reciproc, nu prin excluziune. În acest fel, cititorul este ‘înarmat’ cu un ‘arsenal’ de metode utile, atât pentru rezolvarea problemelor complexe, dar şi pentru a accede într-un nivel superior de înţelegere. Respectând principiul gradualităţii efortului de învăţare, în acest capitol sunt prezentate la început probleme simple, acestora urmându-le probleme cu grad superior de dificultate. În plus, există probleme prezentate cu scopul explicit de a oferi un model de calcul simplu şi relevant pentru clasa de structuri întâlnită în domeniul de specializare: corp de navă, cot de arbore cotit, etc. Predarea noţiunile se doreşte a fi cât mai explicită şi începe cu informaţiile de bază - tipuri de rezemări, tipuri de sarcini, calculul reacţiunilor - acestea fiind ‘cărămizile’ cu care se construieşte restul prezentării. 5.2. Legături Orice corp fizic se află în interacţiune cu mediul înconjurător, fiind sub influenţa forţelor de greutate, de frecare, a forţelor specifice solicitărilor din cadrul fenomenului la care este supus. Acest corp, pentru a fi în echilibru, se sprijină fie pe alte corpuri învecinate (un autovehicul pe cele patru roţi), fie pe un mediu continuu (un corp de navă pe apă). Dacă sprijinirea se face pe corpuri învecinate, atunci zonele de sprijin pot fi modelate cu ajutorul unor rezemări cu comportare standardizată. Figura 5.1 – Corp supus la sarcini (forţe exterioare) şi legături (forţe din rezemări) DIAGRAME DE EFORTURI

description

RM- Diagrame de Eforturi

Transcript of RM- Diagrame de Eforturi

  • 5.1. Introducere

    n Rezistena Materialelor, trasarea corect a diagramelor de eforturi reprezint o etap hotrtoare n rezolvarea problemelor legate de calculul tensiunilor i deformaiilor din bare, dar i n calculul deplasrilor acestora. Proiectarea pieselor de tip bar ine cont de eforturile care apar n seciuni, diagramele de eforturi fiind utile pentru determinarea, pentru observarea seciunilor periculoase (n care bara se poate distruge), adic a seciunilor n care eforturile sunt maxime. Pentru trasarea diagramelor, de-a lungul timpului au fost folosite o serie de metode: grafice, grafo-analitice, analitice. Indiferent de metoda folosit, diagramele trasate sunt identice. n continuare vor fi prezentate mai multe metode de calcul, care trebuie nelese ca metode care se completeaz reciproc, nu prin excluziune. n acest fel, cititorul este narmat cu un arsenal de metode utile, att pentru rezolvarea problemelor complexe, dar i pentru a accede ntr-un nivel superior de nelegere. Respectnd principiul gradualitii efortului de nvare, n acest capitol sunt prezentate la nceput probleme simple, acestora urmndu-le probleme cu grad superior de dificultate. n plus, exist probleme prezentate cu scopul explicit de a oferi un model de calcul simplu i relevant pentru clasa de structuri ntlnit n domeniul de specializare: corp de nav, cot de arbore cotit, etc. Predarea noiunile se dorete a fi ct mai explicit i ncepe cu informaiile de baz - tipuri de rezemri, tipuri de sarcini, calculul reaciunilor - acestea fiind crmizile cu care se construiete restul prezentrii.

    5.2. Legturi

    Orice corp fizic se afl n interaciune cu mediul nconjurtor, fiind sub influena forelor de greutate, de frecare, a forelor specifice solicitrilor din cadrul fenomenului la care este supus. Acest corp, pentru a fi n echilibru, se sprijin fie pe alte corpuri nvecinate (un autovehicul pe cele patru roi), fie pe un mediu continuu (un corp de nav pe ap). Dac sprijinirea se face pe corpuri nvecinate, atunci zonele de sprijin pot fi modelate cu ajutorul unor rezemri cu comportare standardizat.

    Figura 5.1 Corp supus la sarcini (fore exterioare) i legturi (fore din rezemri)

    DIAGRAME DE EFORTURI

  • 76 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    Figura 5.2 Despre rigiditatea reazemelor

    Una din ipotezele importante n definirea reazemelor este rigiditatea lor infinit. n realitate, rezemrile au o anumit elasticitate, care poate fi definit explicit n modelele analitice din Rezistena Materialelor prin intermediul introducerii unor arcuri a cror elsticitate/rigiditate este ns dificil de evaluat. Dar n majoritatea cazurilor ipoteza rigiditii infinite este acoperitoare.

    Figura 5.3 Descompunere n micri elementare

    Vom aborda pentru nceput cazul problemelor plane, deoarece este cel mai simplu i noiunile pot fi nelese uor, cazul spaial putnd fi considerat ca o extindere a celui plan. Dac atam un sistem de axe unui plan, atunci orice micare n acest plan poate fi descompus ntr-o deplasare pe direcia axei X, o deplasare pe direcia axei Y i o rotaie. Se observ c, dac dorim s oprim micarea pe direcia X, atunci trebuie s introducem o for pe aceast direcie, orientat n sens opus deplasrii. Aceleai considerente pentru axa Y.

    Dac n cazul deplasrilor de translaie se folosesc fore pentru oprirea translaiei, n cazul micrii de rotaie trebuie folosit un moment care s stopeze micarea de

    rotaie. Deci, n general, n plan exist trei grade de libertate: dou deplasri i o rotire. Aceste aspecte sunt importante n prezentarea rezemelor din plan. Reazemul simplu poate fi reprezentat sub diferite forme. Se observ c structura se poate deplasa pe direcie orizontal i se poate roti n jurul reazemului. Datorit faptului c structura nu se mai poate deplasa pe direcia reazemului, n acest caz pe direcie vertical

    adic direcia axei Z, se spune c structurii i se blocheaz acel grad de libertate. Corespunztor micrii blocate, aa cum s-a prezentat mai sus, exist o for care apare pe acea direcie. Aceast for se numete reaciune i n figur este notat cu V1, unde V semnific direcia vertical sau cu H1 unde H semnific direcia orizontal. Deci, ca efect, un reazem simplu poate fi nlocuit cu reaciunea orientat pe direcia acestui reazem. Trebuie observat c n vecintatea reazemului simplu bara deformat prezint un anumit unghi denumit rotire. Articulaia poate fi reprezentat i ea sub mai multe forme. n acest caz se observ c structura nu se deplaseaz nici pe direcie

    vertical (corespunztoare axei Z), nici pe direcie orizontal (corespunztoare

    Figura 5.4 Reazem simplu

    Figura 5.5 Articulaie

  • 77 DIAGRAME DE EFORTURI

    axei X). Deci, structurii i se blocheaz dou grade de libertate. n consecin, ca efect, articulaia poate fi nlocuit cu dou reaciuni: una orientat pe direcie vertical notat cu V1 i una orientat pe direcie orizontal notat cu H1. Trebuie observat c aceste reciuni apar i n cazul a dou reazeme simple, unul pe direcie vertical i unul pe direcie orizontal. Deci se poate concluziona, observnd c o articulaie poate fi nlocuit cu un grup de dou reazeme simple orientate pe direcii perpendiculare. Acest aspect devine important, dac se dorete folosirea ntr-un model a unei articulaii elastice. Trebuie observat c n vecintatea articulaiei, la fel ca n cazul reazemului simplu, bara deformat prezint un anumit unghi denumit rotire. ncastrarea este reprezentat ca n figura alturat i blocheaz toate cele 3 grade de libertate din plan: dou translaii i o rotaie. Din acest motiv ncastrarea poate fi nlocuit cu trei reaciuni: dou fore - una orientat pe direcie vertical notat cu V1 i una orientat pe direcie orizontal notat cu H1 i un moment ncovoietor notat cu M1. ncastrarea poate fi modelat ca o succesiune format din dou reazeme sau dintr-o articulaie i un reazem. Aceast observaie va fi folosit ulterior n curs ns poate fi aplicat i n practic pentru a fixa o pies prin intermediul a dou puncte de prindere. Trebuie observat c n vecintatea ncastrrii bara deformat este tangent la dreapta ce semnific forma iniial nedeformat a barei, deci unghiul, adic rotirea este nul n ncastrare. Lagrul este o rezemare tridimensional. Poate fi nlocuit cu un set de dou reaciuni, dac nu blocheaz deplasarea pe direcia axei X sau cu trei reaciuni, dac preia i efort axial. n prima variant lagrul poate fi modelat ca grup de dou reazeme simple dispuse spaial pe direciile reaciunilor VZ1 i VY1. n cea de a doua variant apare n plus un al treilea reazem pe direcia reaciunii H1. Este foarte important cunoterea acestor rezemri, ct i a detaliilor prezentate anterior, deoarece reaciunile introduse de rezemri, ct i forma deformat n vecintatea acestora, constituie condiii la limit care se folosesc, att n Rezistena Materialelor (Metoda parametrilor iniiali, Ecuaia celor trei momente), ct i ulterior, n Metoda Elementului Finit.

    5.3. Sarcini

    n paragraful 3.3 au fost prezentate o serie de aspecte legate de clasificarea forelor exterioare, care ncarc o structur i efectul acestora n seciunea structurii. n continuare ne ocupm de cazul concret al barelor ncrcate mecanic cu fore, fore distribuite i momente.

    Figura 5.6 ncastrare

    Figura 5.7 Lagr

  • 78 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    Pentru a localiza n mod univoc sarcinile i eforturile dintr-o bar se noteaz toate seciunile remarcabile, adic: seciunile care delimiteaz domeniul de existen al sarcinii (seciunile 1,2,4,5

    din figura 5.8, seciunile din figurile 5.9, 5.10, 5.11, 5.13, 5.14); seciunile n care se modific brusc valorile caracteristicilor geometrice ale

    seciunii barei (seciunea 3, figura 5.8). Aceste seciuni sunt denumite seciuni caracteristice. De asemenea, este util notarea seciunilor, n care eforturile au valori extreme, minime, respectiv maxime.

    Figura 5.8 Seciuni caracteristice

    Cea mai uzual sarcin este fora concentrat. Unitatea de msur este Newtonul N fiind folosit uneori i multiplul su kiloNewtonul kN . Dac o

    for concentrat este poziionat nclinat fa de axa X, este deosebit de practic nlocuirea forei cu proieciile sale pe axele de coordonate. Pentru a crea un model analitic de calcul, fora concentrat poate modela o multitudine de sarcini din fenomenul real. O alt sarcin folosit n Rezistena Materialelor este fora distribuit. n figurile de mai jos sunt ilustrate cazurile forei uniform distribuite i cel al forei liniar distribuite. Unitatea de msur este raportul dintre unitatea de for i unitatea de lungime, cele mai uzuale fiind

    mm

    N sau

    m

    kN.

    Valoarea forei create de fora distribuit este egal cu aria forei distribuite, rezultanta fiind poziionat n centrul de greutate al ariei acoperite de fora distribuit.

    Figura 5.10 For uniform distribuit

    Figura 5.11 For distribuit dup o lege liniar de variaie

    Figura 5.9 nlocuirea unei fore oblice prin proieciile sale

    pe axele de coordonate

  • 79 DIAGRAME DE EFORTURI

    De exemplu, pentru fora uniform distribuit p pe lungimea L , valoarea forei este aria unui dreptunghi (nlime p , lungime L ), adic pL . Rezultanta este poziionat n centrul de greutate al dreptunghiului, deci la mijlocul distanei L . n cazul forei liniar distribuite pe lungimea L a crei valoare maxim este q , valoarea forei este aria unui

    triunghi (nlime p , lungime L ), deci 2Lq

    .

    Rezultanta este poziionat n centrul de greutate al triunghiului, deci la dou treimi de vrf (unde sarcina liniar distribuit este nul) i la o treime de baz (unde sarcina liniar distribuit are valoare maxim). De regul fora uniform distribuit este folosit pentru a modela mrimi de tipul greutate proprie, presiune, etc. Fora distribuit dup o lege liniar este utilizat pentru a modela mrimi care variaz liniar n funcie de distan, de exemplu presiune hidrostatic, for centrifug, etc.

    Figura 5.13 For distribuit reductibil la cazurile anterioare i for distribuit dup o lege oarecare de variaie

    Exist situaii de tipul celei prezentate n figura de mai sus, n care sarcina liniar are o variaie, plecnd de la o valoare nenul. n acest caz, conform principiului suprapunerii de efecte, sarcina liniar iniial poate fi considerat ca o sum ntre o sarcin uniform distribuit i o sarcin liniar care variaz de la zero. Aceast observaie este important n special cnd la captul din stnga fora distribuit p are un sens (s presupunem c sensul este de jos n sus) iar la captul qp + fora distribuit este orientat n sens contrar (conform presupunerii anterioare este orientat de sus n jos). Cel de al doilea caz prezentat n figura de mai sus se refer la o for distribuit dup o lege oarecare de variaie. n acest caz special, aria delimitat de fora distribuit i poziia centrului de greutate se calculeaz cu ajutorul unor integrale, conform celor nvate la disciplina Analiz Matematic.

    Figura 5.12 Solicitri asupra peretelui unei barje

  • 80 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    O alt sarcin, o alt ncrcare exterioar este momentul concentrat. Fiind definit ca produs ntre o for i o distan, unitatea de msur este produsul dintre unitatea de for i unitatea de lungime. Cele mai curent folosite uniti de msur sunt

    mmN , respectiv mkN . Momentul concentrat poate proveni dintr-un cuplu de fore care prezint proprietatea c are rezultant nul indiferent de sistemul de axe pe care este proiectat. Sarcinile considerate anterior sunt numai de natur mecanic. n situaii reale

    exist i sarcini de natur termic. Astfel, diferenele de temperatur din punctele unui corp, adic gradienii de temperatur, produc tensiuni care uneori pot depi tensiunile de natur mecanic. Exist situaii concrete referitoare la temperatur pe care le vom trata n contextul problemei respective.

    5.4. Sistem de axe

    De regul se lucreaz cu dou sisteme de axe: sistem stng sau sistem drept. naintea alegerii tipului de sistem de axe i a poziionrii acestuia fa de

    bara studiat este important consecvena utilizrii acestuia n disciplina predat sau, mai mult, n ntregul grup de discipline tehnice conexe. Trecnd peste argumentele istorice, tiinifice, de prezentare unitar, de utilizare n calculul automat, n continuare se va folosi sistemul drept de axe. n figura 5.15 este prezentat acest sistem de axe iar n figura 5.16 este prezentat o regul intuitiv de memorare a poziionrii axelor acestui tip de sistem. Dac notm cu

    i ,

    j ,

    k versorii axelor X, Y i Z atunci, pentru triedrul drept avem proprietatea:

    =

    =

    =

    jikikjkji

    (5.1)

    Figura 5.14 Moment nlocuit printr-un cuplu de fore

    Figura 5.15 Sistem drept de axe Figura 5.16 Regul intuitiv: sistem drept mna dreapt

    Figura 5.17 Exemplu: sens pozitiv de rotaie

  • 81 DIAGRAME DE EFORTURI

    innd cont de definiia produsului vectorial, rezult c pentru a nainta n sensul axei X trebuie ca axa Y s se roteasc spre axa Z pe drumul cel mai scurt, cel corespunztor unghiului de 90o. Similar, sensul pozitiv al axei Y se obine cnd axa Z se rotete spre axa X pe drumul cel mai scurt, cel corespunztor unghiului de 90o. n figura 5.17 este ilustrat cel de al treilea caz, n care se obine sensul pozitiv al axei Z prin rotirea axei X spre axa Y pe drumul cel mai scurt, cel corespunztor unghiului de 90o. Aceste observaii sunt importante, deoarece constituie unul din instrumentele folosite n determinarea semnului momentelor, deci sunt utile pentru trasarea diagramelor de eforturi. Observaiile anterioare pot fi sintetizate prin reprezentarea simbolic din figura 5.18. n argoul de specialitate, cu scopul ca studentul s rein mai bine aceste aspecte, observaiile anterioare sunt denumite i regula tirbuonului. De observat c majoritatea filetelor uruburilor respect regula de rotaie prezentat anterior. Este deosebit de practic raportarea la un sistem global de axe n raport cu care se exprim geometria structurii i sarcinile aplicate acesteia. Aceast idee poate fi ntlnit i n diferite programe de desen sub denumirea de WCS World Coordinate System. Pentru a trasa diagramele este necesar un sistem de axe la nivel de interval de calcul. Acest sistem de axe se numete sistem local de axe iar n anumite programe poart denumirea de UCS User Coordinate System. n ceea ce privete poziionarea sistemului local de axe, prima regul este de a orienta axa X n lungul barei. Pentru o bar dreapt n plan, axa Z este orientat pe direcie vertical, de sus n jos. De regul cea de a treia ax rezult din condiia ca triedrul s fie drept, adic din regula triedrului drept. Poziionarea sistemului de axe poate fi observat n figurile 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.9, 5.10, 5.11, 5.13, 5.14. n funcie de experiena analistului structural, sistemul de axe este poziionat astfel nct s respecte o serie de reguli simple dintre care pot fi amintite urmtoarele: 1. sistemul de axe local este poziionat, astfel nct parcurgerea sucesiunii de

    bare n momentul rezolvrii s se fac sau numai n sensul axei X sau numai n sens contrar, iar succesiunea de axe X s formeze un flux similar curgerii unui fluid prin bare;

    2. pentru un sistem de bare poziionate perpendicular una pe cealalt, la trecerea de pe un interval de calcul pe un interval nvecinat axa perpendicular pe planul format din cele dou intervale este orientat identic pe cele dou intervale;

    3. pentru barele curbe este de dorit ca axa Z s fie orientat ctre centrul de curbur, n timp ce axa X este ntotdeauna tangent la intervalul curb.

    Aceste reguli vor fi detaliate i exemplificate ulterior n cadrul aplicaiilor n care sunt utile. Este important s fie neles c fr un sistem de axe corect definit problemele pot fi greit rezolvate. Definirea corect a sistemului de axe este cu att mai important n cazul rezolvrilor modelelor numerice cu elemente finite.

    Figura 5.18 Regula triedrului drept

  • 82 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    5.5. Determinarea reaciunilor

    Orice structur ale crei diagrame trebuie trasate respect principiul echilibrului care este un principiu universal. O consecin a acestui principiu este folosit pentru verificarea ncrcrilor distribuite pe o grind-nav, caz n care nu exist reaciuni. O alt consecin a principiului echilibrului o constituie obinerea de ecuaii de echilibru cu ajutorul crora se determin valorile reaciunilor. Conform noiunilor nvate n fizica din liceu, dac suma forelor care acioneaz asupra unui corp este zero, atunci corpul este n repaus sau n micare uniform (viteza este constant). Dac suma forelor nu ar fi zero, atunci corpul s-ar afla ntr-o micare rectilinie accelerat pe direcia rezultantei. Similar, dac suma momentelor nu este nul, atunci corpul se afl ntr-o micare circular accelerat. n Rezistena Materialelor se consider c structurile sunt n echilibru static, deci suma forelor exterioare i suma momentelor exterioare care acioneaz asupra structurii sunt zero:

    =

    =

    0

    0

    ext

    ext

    M

    F (5.2)

    nlocuind rezemrile structurii cu forele de legtur corespunztoare, acestea sunt fore i momente exterioare necunoscute. Deci relaiile (5.2) reprezint de fapt un sistem de ecuaii care are drept necunoscute forele i momentele datorate rezemrilor. Relaia (5.2) este o relaie vectorial. Determinarea unei necunoscute de tip vector presupune determinarea modulului vectorului i a poziionrii acestuia n sistemul de axe globale sau determinarea componentelor acestuia pe axele de coordonate. Deci mult mai simplu se poate lucra proiectnd vectorii din relaia (5.2) pe axele globale de coordonate. n consecin, prima dintre relaiile (5.2) poate fi scris sub forma:

    0=

    extF

    =

    =

    =

    000

    Z

    Y

    X

    FFF

    (5.3)

    iar cea de a doua dintre relaiile (5.2) poate fi scris sub forma:

    0=

    extM

    =

    =

    =

    000

    Z

    Y

    X

    MMM

    (5.4).

    Relaiile (5.3) i (5.4) sunt n numr de ase, deci formeaz un sistem de ase ecuaii care poate fi folosit pentru determinarea a ase necunoscute. Dac numrul de ecuaii este mai mic dect numrul de necunoscute, atunci problema este static nedeterminat i necesit abordri speciale. Exist rezolvri care, pentru a avea informaii n plus, iau n considerare i modul n care se deformeaz structura, caz n care sunt folosite informaiile prezentate n paragraful 5.2, figurile 5.4, 5.5 i 5.6. ns pentru moment, n acest paragraf, se trateaz cazul sistemelor static determinate.

  • 83 DIAGRAME DE EFORTURI

    n cazul problemelor plane exist trei grade de libertate: dou micri de translaie n lungul axelor X i Z i o micare de rotaie n jurul axei Y poziionat perpendicular pe planul care conine structura. Deci, n plan pot fi scrise numai trei relaii de echilibru. n consecin problemele plane static determinate pot avea maxim trei necunoscute. n continuare, este considerat o bar rezemat la captul din stnga i articulat la captul din dreapta. Reazemul din stnga poate fi nlocuit cu reaciunea necunoscut

    1V poziionat pe direcie vertical. Articulaia de la captul din dreapta este nlocuit cu reaciunea necunoscut 3V poziionat pe direcie vertical i cu reaciunea necunoscut 3H poziionat pe direcie orizontal. Aceastei bare i se aplic diferite sarcini: o for concentrat F , un moment concentrat M , o sarcin distribuit p . Pentru aceste sarcini sunt calculate necunoscutele 1V , 3V i 3H . Pentru a determina necunoscutele trebuie puse condiiile de echilibru static sub forma (5.3) i (5.4). Prima condiie este ca bara s nu se deplaseze pe direcie orizontal, deci ca suma de fore exterioare proiectate pe direcie orizontal s fie nul. Aceast condiie se scrie:

    0= iH (5.5). Din aceast relaie rezult reaciunea necunoscut 3H . Urmtoarea condiie de echilibru este ca bara s nu se deplaseze pe direcie vertical, deci ca suma de fore exterioare proiectate pe direcie vertical s fie nul. Aceast condiie se scrie:

    0= iV (5.6). Din aceast condiie rezult o relaie ntre reaciunile necunoscute 1V i 3V . Ultima condiie de echilibru este ca bara s nu se roteasc n jurul axei Y n raport cu nici un punct de pe bar, deci ca suma de momente proiectat pe axa Y s fie nul. Punctul n raport cu care se calculeaz suma de momente este oarecare, deci poate fi ales. S considerm c acest punct este seciunea caracteristic 2. Condiia se scrie:

    02 = iM (5.7) i din aceast condiie rezult o relaie ntre reaciunile necunoscute 1V i 3V . Relaiile (5.6) i (5.7) formeaz un sistem de dou ecuaii cu necunoscutele

    1V i 3V . Pentru a evita rezolvarea sistemului de ecuaii, condiiile (5.6) i (5.7) pot fi nlocuite cu alte dou condiii echivalente. Astfel, este pus condiia ca bara s nu se roteasc n jurul punctului 1. Aceast condiie se scrie:

    01 = iM (5.8)

    Figura 5.19 Bar dreapt rezemat-articulat i

    reaciunile necunoscute

  • 84 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    Datorit faptului c reaciunea necunoscut 1V trece chiar prin punctul 1 n aceast condiie singura reaciune necunoscut este 3V . Deci din aceast condiie rezult direct reaciunea necunoscut 3V . Cea de a doua condiie este ca bara s nu se roteasc n jurul punctului 3. Aceast condiie este:

    03 = iM (5.9) Datorit faptului c reaciunea necunoscut 3V trece chiar prin punctul 3 n aceast condiie singura reaciune necunoscut este 1V . Deci din aceast condiie rezult direct reaciunea necunoscut 1V . Pentru a verifica valorile reaciunilor 1V i 3V anterior determinate se folosete condiia (5.6).

    Aplicaia 5.1

    Pe bara din figura 5.19 s considerm c singura sarcin aplicat este fora concentrat F . n figura de mai jos sunt prezentate schemele de calcul pentru determinarea reaciunilor verticale ale unei bare drepte rezemat-articulate ncrcate cu o for vertical F .

    Figura 5.20 Scheme de calcul pentru determinarea reaciunilor verticale ale unei bare dreapte rezemat-articulat ncrcat de fora F

    Punnd condiia (5.5), adic 0= iH , rezult 03 =FH . Punnd condiia (5.8), adic 01 = iM , rezult

  • 85 DIAGRAME DE EFORTURI

    ( ) 01213

    3 =+44 844 76

    4434421

    44 844 76

    43421

    orarsens

    laladeantadist

    F

    rictrigonometsens

    laladeantadist

    FFF aFbaV

    +=

    FF

    FF

    baaFV3

    Scrierea sub aceast form a reaciunii FV3 pune n eviden unitatea de msur pentru for, aspect dimensional care trebuie avut n vedere n permanen pentru a avea o permanent verificare corectitudinii relaiilor de calcul. Punnd condiia (5.9), adic 03 = iM rezult

    ( ) 03231

    1 =+44 844 76

    4434421

    44 844 76

    43421

    rictrigonometsens

    laladeantadist

    F

    orarsens

    laladentadista

    FFF bFbaV

    +=

    FF

    FF

    babFV1

    Pentru verificare punem condiia (5.6), adic 0= iV , adic

    031 =+FF VFV 0=

    ++

    +

    FF

    F

    FF

    F

    baaFF

    babF 0=

    +

    + F

    babaF

    FF

    FF

    0= FF Deci folosind reaciunile anterior calculate este respectat condiia de echilibru static. Deci reaciunile sunt corect calculate.

    Aplicaia 5.2

    Pe bara din figura 5.19 s considerm c singura sarcin aplicat este momentul concentrat M . n figura de mai jos sunt prezentate schemele de calcul

    Figura 5.21 Scheme de calcul pentru determinarea reaciunilor verticale ale unei bare dreapte rezemat-articulat ncrcat de momentul M

  • 86 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    pentru determinarea reaciunilor verticale ale unei bare drepte rezemat-articulate ncrcate cu un moment concentrat. Punnd condiia (5.5), adic 0= iH rezult 03 =MH . Punnd condiia (5.8), adic 01 = iM rezult

    ( ) } 013

    3 =+

    orarsensrictrigonometsens

    laladeantadist

    MMM MbaV

    44 844 76

    4434421

    MM

    M

    baMV+

    =3

    Punnd condiia (5.9), adic 03 = iM rezult

    ( ) } 031

    1 =++

    orarsensorarsens

    laladeantadist

    MMM MbaV

    44 844 76

    4434421

    MM

    M

    baMV+

    =1

    Valoarea reaciunii MV1 este negativ. Deci reaciunea real are sens invers. Se redeseneaz MV1 n sensul su fizic real deoarece regula este reaciunile se deseneaz ntotdeauna n sensul lor fizic, real.

    Pentru verificare punem condiia (5.6), adic 0= iV , adic

    031 =MM VV 0=

    +

    + MMMM baM

    baM

    Deci reaciunile sunt corect calculate.

    Aplicaia 5.3

    Pe bara din figura 5.19 s considerm c singura sarcin aplicat este fora uniform distribuit p . n figura urmtoare sunt prezentate schemele de calcul pentru determinarea reaciunilor verticale ale unei bare drepte rezemat-articulate ncrcate cu o for uniform distribuit. Punnd condiia (5.5), adic 0= iH rezult 04 =pH . Punnd condiia (5.8), adic 01 = iM rezult

    ( ) ( )( )

    02

    1

    13

    4 =

    +++

    =

    444 8444 76

    43421321

    444 8444 76

    44 344 21

    orarsens

    labpntarezultaladeantadistbrat

    pp

    fortap

    rictrigonometsens

    laladentadista

    pppp

    p

    babpcbaV ( )

    ++

    +=

    ppp

    pp

    pp

    cba

    ba

    bpV 24

    Scrierea sub aceast form a reaciunii pV4 pune n eviden unitatea de msur pentru for, aspect dimensional care trebuie avut n vedere n permanen pentru a avea o permanent verificare corectitudinii relaiilor de calcul. Punnd condiia (5.9), adic 04 = iM rezult

    ( ) ( )( )

    02

    4

    31

    1 =

    +++

    =

    4444 84444 76

    43421321

    444 8444 76

    44 344 21

    rictrigonometsens

    labpantarezultladeantadistbrat

    pp

    fortap

    orarsens

    laladeantadist

    pppp

    p

    bcbpcbaV ( )

    ++

    +=

    ppp

    pp

    pp

    cba

    bc

    bpV 21

  • 87 DIAGRAME DE EFORTURI

    Pentru verificare punem condiia (5.6), adic 0= iV , adic

    041 =+p

    pp VbpV

    ( ) ( ) ( )

    ++

    ++

    ++

    +=+

    ppp

    pp

    ppppp

    pp

    pp

    pp

    cba

    ba

    bpbpcba

    bc

    bpVbpV 2241

    ( ) ( ) 002241 =

    ++=

    ++

    +++=+

    pppp

    ppp

    ppppp

    pp

    pp

    pp

    cbabp

    cba

    bacba

    bc

    bpVbpV

    Deci reaciunile sunt corect calculate.

    Aplicaia 5.4

    Se consider structura din figura urmtoare format din 3 intervale dispuse ntr-un plan orizontal. Structura este solicitat n punctul 4 cu o for F vertical i cu o for P orizontal, orientat de la dreapta la stnga. Bara se reazem pe dou lagre. n punctul 1 este un reazem care poate prelua i efort axial. Structura

    Figura 5.22 Scheme de calcul pentru determinarea reaciunilor verticale ale unei bare dreapte rezemat-articulat ncrcat de fora uniform distribuit p

  • 88 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    are tendina de a se roti n jurul axului 321 acestei tendine opunndu-i-se momentul necunoscut ?3 =M . Trebuie determinate reaciunile acestei structuri.

    Figura 5.23 Schem de calcul pentru determinarea reaciunilor n structura tridimensional propus

    a) Reaciuni datorate forei F

    Dup cum se observ din prima schem de calcul, fora F este echilibrat de reaciunile 1ZV i 3ZV . Aceast situaie a mai fost ntlnit n aplicaia 5.1. Ecuaiile de echilibru sunt:

  • 89 DIAGRAME DE EFORTURI

    01 = iYM { ( ) 013

    3

    142

    =+

    48476

    321

    48476 rictrigonometsens

    laladentadista

    Z

    orarsens

    laladeantadist

    caVaF

    +=

    ca

    aFVZ 3

    03 = iYM ( ) { 034231

    1 =+

    4847648476

    321

    rictrigonometsens

    laladeantadist

    orarsens

    laladeantadist

    Z cFcaV

    +=

    ca

    cFVZ 1

    Verificare:

    0= iZV 031 =+ ZZ VFV 0=

    ++

    +

    ca

    aFFca

    cF

    0=

    +

    + F

    ca

    caF 0= FF

    Deci reaciunile 1ZV i 3ZV sunt corect determinate. Dup cum se observ din cea de a doua schem de calcul, fora F are tendina de a roti structura n jurul axului 321 . Raportnd tendina de rotaie la sistemul de axe de pe 321 , atunci se observ c, aplicnd acest sens de rotaie asupra sistemului de axe, atunci axa Z are tendina de a se roti pe drumul cel mai scurt, cel corespunztor unghiului de 90o, spre axa Y . Aplicnd regula triedrului drept (burghiului drept) pentru aceast tendin de rotaie, rezult c momentul creat va fi n sensul X , adic n sensul opus al axei X . Momentul necunoscut 3M este n sensul pozitiv al axei X , deci relaia de echilibru se scrie:

    0321 = XM {}

    033214

    =

    XaxeisensulXaxeiopussens

    laladeantadist

    MbF48476

    bFM =3

    b) Reaciuni datorate forei P

    Dup cum se observ din cea de a treia schem de calcul, fora P are dou efecte. Astfel, fora P este echilibrat de reaciunea 1H , relaia de echilibru fiind:

    0321 = iH 01 = PH PH =1 Cel de al doilea efect se refer la tendina de rotire a structurii sub influena forei P . Astfel, intervalul 42 , sub influena forei P are tendina de rotaie din figur. Dar intervalul 42 este solidar cu ntreaga structur, deci structura n ansamblul ei are tendina de rotaie indicat n figur. Pentru a se opune acestei tendine, n lagrele de la capt apar reaciunile 1YV i 3YV . Cu alte cuvinte, momentului creat de fora P i se opune cuplul de fore 1YV i 3YV . Aceast situaie a mai fost ntlnit n aplicaia 5.2, sarcina din acea aplicaie fiind un moment concentrat, orientat dup axa Y , n timp ce n acest caz sarcina este fora P care creeaz un moment orientat dup axa Z aparinnd triedrului de pe axul

    321 . Ecuaiile de echilibru sunt:

    01 = iZM { ( ) 0321

    13

    3

    321

    3214

    =+

    48476

    321

    4484476 pedeZaxeisensuln

    laladeantadist

    Y

    pedeZaxeiopussens

    axullaladeantadist

    caVbP

    +=

    ca

    bPVY 3

  • 90 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    03 = iZM ( ) { 0321

    3214

    321

    31

    1 =+

    448447648476

    321

    pedeZaxeiopussens

    axullaladeantadist

    pedeZaxeisensuln

    laladeantadist

    Y bPcaV

    +=

    ca

    bPVY 1

    Verificare:

    0= iYV 031 = YY VV 0=

    +

    +

    ca

    bPca

    bP

    Deci reaciunile 1YV i 3YV sunt corect determinate.

    Aplicaia 5.5

    Se consider structura spaial din figura urmtoare care modeleaz un cot de arbore cotit i care este format din 6 intervale dispuse ntr-un plan orizontal. Structura este solicitat n punctul 4 cu o for vertical P48 i cu o for orizontal P64 . Bara se reazem pe dou lagre. Cotul de arbore cotit are tendina de a se roti n jurul axului 7621 acestei tendine opunndu-i-se momentul necunoscut ?1 =M . Trebuie determinate reaciunile acestei structuri.

    a) Reaciuni datorate forei P48

    Dup cum se observ din prima schem de calcul, fora P48 este echilibrat de reaciunile 1ZV i 7ZV . Aceast situaie a mai fost ntlnit n aplicaia 5.1. Ecuaiile de echilibru sunt:

    01 = iYM ( ) ( ) 02424817

    7

    14

    =++++444 8444 76

    44 344 21

    44 844 76

    43421

    rictrigonometsens

    laladeantadist

    Z

    orarsens

    laladeantadist

    aaaaVaaP PVZ 187 =

    07 = iYM ( ) ( ) 0448427471

    1 =++++44 844 76

    43421

    444 8444 76

    44 344 21

    rictrigonometsens

    laladeantadist

    orarsens

    laladeantadist

    Z aaPaaaaV PVZ 301 =

    Verificare: 0= iZV 048 71 =+ ZZ VPV 0184830 =+ PPP 04848 = PP

    Deci reaciunile 1ZV i 7ZV sunt corect determinate. Dup cum se observ din cea de a doua schem de calcul, fora P48 este perpendicular pe planul cotului, deci are tendina de a roti structura n jurul axului 7621 . Raportnd tendina de rotaie la sistemul de axe de pe

    7621 , atunci se observ c, aplicnd acest sens de rotaie asupra sistemului de axe, atunci axa Y are tendina de a se roti pe drumul cel mai scurt, cel corespunztor unghiului de 90o, spre axa Z . Aplicnd regula triedrului drept (burghiului drept) pentru aceast tendin de rotaie rezult c momentul creat va fi n sensul X+ , adic n sensul axei X . Momentul necunoscut 1M este n sensul negativ al axei X , deci relaia de echilibru se scrie:

    07621 = XM 0248 176214

    =

    87644 844 76

    321

    XaxeiopussensXaxeisensulin

    laladeantadist

    MaP PaM 961 =

  • 91 DIAGRAME DE EFORTURI

    Figura 5.24 Structur spaial care modeleaz un cot de arbore cotit ale crei reaciuni trebuie determinate

    b) Reaciuni datorate forei P64

    Dup cum se observ din cea de a treia schem de calcul, fora P64 este echilibrat de reaciunile 1YV i 7YV . Aceast situaie a mai fost ntlnit n aplicaia 5.1. Ecuaiile de echilibru sunt:

  • 92 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    01 = iZM ( ) ( ) 0242647621

    17

    7

    7621

    14

    =++++

    444 8444 76

    44 344 21

    44 844 76

    43421

    pedetriedruluiapartinnd

    Zaxeisensulin

    laladeantadist

    Y

    pedetriedruluiapartinnd

    Zaxeiopussensulin

    laladeantadist

    aaaaVaaP PVY 247 =

    07 = iZM ( ) ( ) 0464427621

    74

    7621

    71

    1 =++++

    44 844 76

    43421

    444 8444 76

    44 344 21

    pedetriedruluiapartinnd

    Zaxeisensulin

    laladentadista

    pedetriedruluiapartinnd

    Zaxeiopussensulin

    laladeantadist

    Y aaPaaaaV PVY 401 =

    Verificare: 0= iYV 064 71 =+ YY VPV 0406424 =+ PPP 06464 = PP

    Deci reaciunile 1YV i 7YV sunt corect determinate. n etapa 5.28.2 a aplicaiei 28 sunt determinate reaciunile pentru cazul n care planul cotului este vertical.

    5.6. Convenia (regula) de semne pentru eforturi

    Se consider bara din figura de mai jos care este n echilibru. Fora i momentul de la captul din stnga sunt echilibrate de fora i momentul de la captul din dreapta. Presupunem c structura este secionat cu un plan virtual P iar prile rezultate sunt ndeprtate una fa de cealalt.

    Figura 5.25 Echilibru global i local

    Considernd partea din stnga, se observ c, n mod real, este n echilibru datorit faptului c este o parte a unui ntreg care se afl n echilibru. Deci n seciunea planului P vor trebui desenate o for i un moment, care n mod evident sunt interne, nu sunt aplicate din afar asupra barei. Similar, pe partea din dreapta sunt desenate o for i un moment intern. Alipind cele dou pri, forele i momentele interne se anuleaz.

  • 93 DIAGRAME DE EFORTURI

    Dac descompunem forele i momentele interne pe cele trei axe, se obin urmtoarele componentele din figura de mai jos. Notaiile i denumirile eforturilor au fost prezentate n tabelul 3.1.

    Figura 5.26 Convenia de semne pentru eforturi

    n aceast figur sunt prezentate sensurile convenional pozitive ale eforturilor. Astfel, pentru faa din stnga eforturile sunt convenional pozitive, atunci cnd sunt orientate n sensul pozitiv al axelor. Pentru faa din dreapta eforturile sunt convenional pozitive, atunci cnd sunt orientate n sensul negativ al axelor. Indiferent de faa la care facem referire se observ c forele i momentele interne, deci toate eforturile sunt simultan orientate n sensul axelor dup care sunt direcionate sau n sens contrar acestora. Aceasta este o observaie important care este utilizat la stabilirea conveniei de semne. O alt observaie important se refer la relaionarea dintre semnul i sensul forei axiale N . Astfel, indiferent de fa, fora axial este ntotdeauna pozitiv, atunci cnd are tendina de a ntinde bara, deci atunci cnd bara n stare deformat este mai lung dect bara n starea iniial nesolicitat. Pentru a avea o metodic general de trasare a diagramelor, pentru fiecare dintre fee este introdus un parametru denumit semn care va fi folosit ulterior n calcule i care are valoarea 1=semn pentru faa n care avem regula general

    ax

    F+

    + ; ax

    M+

    + deci

    ax

    Efort+

    + i valoarea 1+=semn pentru faa n care avem regula

    general ax

    F

    + ; ax

    M

    + sau, pe scurt,

    ax

    Efort

    +.

    Fiind dou fee, fiecare cu propriile poziii ale eforturilor n raport cu sistemul de axe, se pune problema care dintre fee poate fi folosit drept convenie de semne pentru eforturi. Pentru a clarifica aceast problem trebuie asigurate urmtoarele condiii: se consider c pe fiecare bar aparinnd sistemului de bare este pus

  • 94 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    sistemul local de axe, poziionarea acestuia respectnd regulile din paragraful 5.4;

    se alege un sens de parcurgere a succesiunii de bare din sistemul de bare, astfel nct direcia de deplasare s fie sau numai n sensul axei X sau numai n sens contrar fa de aceast ax;

    O prim metod de deducere a conveniei de semne se bazeaz pe identificarea unei seciuni din regula de semne din figura anterioar cu seciunea curent printr-o comparaie direct. Astfel, etapele raionamentului sunt: se pleac de la captul intervalului pn ntr-o seciune denumit seciune

    de calcul poziionat la o distan oarecare de captul de plecare; se elimin fragmentul de bar parcurs pn n seciunea de calcul, se verific

    daca axa X intr sau iese din seciune i, pe baza acestei observaii, rezult una dintre feele din figura anterioar, deci una dintre conveniile de semne de mai sus.

    O alt metod se bazeaz pe observarea imediat a poziiei forei axiale convenional pozitive. Astfel, etapele raionamentului sunt: n captul de bar de la care se ncepe rezolvarea este poziionat o for

    axial virtual care are tendina de a ntinde bara, de a o lungi, deci despre care se tie c este convenional pozitiv;

    se observ poziia acestei fore axiale n raport cu axa X iar toate celelalte eforturi vor avea aceeai orientare n raport cu axele dup care sunt direcionate.

    Metodele anterioare sunt generale i pot fi aplicate n cazul sistemelor de bare n spaiu. n cazul sistemelor plane de bare, solicitate n plan, este folosit o regul mai simpl, ilustrat n figura urmtoare.

    Figura 5.27 Convenia de semne pentru eforturi n cazul plan

    Astfel, n figura anterioar este specificat poziia sistemului de axe ct i sensul de parcurgere. Pe baza acestor informaii este folosit regula grafic respectiv. Astfel, pentru fiecare caz, sunt indicate sensurile pozitive ale eforturilor. Se observ imediat c fora axial i fora tietoare sunt orientate identic n raport cu axele dup care sunt direcionate, iar poziia vectorului moment rezult pe baza regulei burghiului drept. Pe baza acestei reguli grafice poate fi gndit o extindere a acesteia pentru cazul spaial, ns este puin eficient aplicarea unei astfel de reguli n cazul sistemelor de bare tridimensionale (figura 5.28). n concluzie, regula de semne este dedus printr-una din metodele anterioare, fiind necesar clarificarea anterioar a urmtoarelor dou aspecte: poziia sistemului de axe; sensul de parcurgere a sistemului de bare.

    Exist situaii, n special n cazul sistemelor ramificate de bare n care este dificil s fie utilizat o singur convenie de semne. n aceste cazuri verficarea tipului de regul de semne trebuie s se fac pentru fiecare interval n parte.

  • 95 DIAGRAME DE EFORTURI

    Figura 5.28 Extindere a convenia de semne pentru eforturi din cazul plan reprezentat anterior n situaia sistemelor spaiale

    Regula de semne pentru eforturi este deosebit de important deoarece este folosit ulterior pentru deducerea conveniei de semne pentru tensiuni, pe baza regulei: tensiuni convenional pozitive creeaz fore i momente interne convenional pozitive, n acest situaie poziionarea forelor interne convenional pozitive fiind imediat observat.

    5.7. Relaii difereniale ntre sarcini i eforturi pentru bara dreapt

    Se consider c dintr-o bar dreapt este extras un fragment de lungime infinit mic, dx . Acest interval elementar este ncrcat cu sarcinile ( )xpY i ( )xpZ , care pe lungimea dx pot fi considerate constante.

    Figura 5.29 Schem de calcul pentru determinarea relaiilor difereniale dintre eforturi pentru o bar dreapt

  • 96 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    Aceste sarcini se consider convenional pozitive, dac sunt orientate n sensul axelor dup care sunt orientate. La captul din stnga sunt desenate eforturile N , YT , ZT , YM i ZM poziionate n sensurile convenional pozitive. Considernd c parcurgerea intervalului dx se face de la stnga la dreapta, la captul din dreapta sunt desenate aceleai eforturi mpreun cu creterile lor infinit mici datorate sarcinilor

    ( )xpY i ( )xpZ distribuite pe lungimea dx . Astfel, eforturile de la captul din dreapta sunt: dNN + , YY dTT + , ZZ dTT + , YY dMM + i ZZ dMM + i sunt reprezentate n sensurile lor convenional pozitive. n figura 5.29 sunt prezentate aceste informaii reprezentnd schema de calcul pentru determinarea relaiilor difereniale dintre eforturi pentru o bar dreapt. Intervalul dx este n echilibru, deoarece este extras ca parte dintr-o structur care se afl n echilibru, deci sunt ndeplinite condiiile de echilibru. Pentru nceput se consider schema de calcul din stnga, schem care conine eforturile N , ZT i YM . Prima relaie de echilibru este condiia ca intervalul dx s nu se deplaseze pe direcie vertical, deci suma de fore de pe aceast direcie trebuie s fie nul:

    0= iV ( ) 0=+ ZZZZ dTTdxpT 0= ZZZZ dTTdxpT 0= ZZ dTdxp ( ) ( )dx

    xdTxp ZZ =

    Cea de a doua relaie de echilibru este condiia ca intervalul dx s nu se roteasc n jurul nici unui punct de pe bar, deci ca suma de momente calculat n raport cu orice punct de pe bar s fie nul. Alegem drept punct de referin extremitatea din dreapta i rezult:

    0.. = drextriM } ( ) 0

    2=+

    484764847648476

    321

    876 rictrigonometsens

    Y

    rictrigonometsens

    Y

    rictrigonometsens

    forta

    orarsens

    Y

    orarsens

    Z dMMdxdxpMdxT

    Considernd zero infiniii de ordin superior 0 dxdx , rezult:

    ( ) ( )dx

    xdMxT YZ =

    Relaiile difereniale ( ) ( )dx

    xdTxp ZZ = i ( ) ( )dx

    xdMxT YZ = au fost scrise

    considernd c parcurgerea intervalului dx se face n sensul axei x , fapt care a determinat apariia unor creteri infinit mici pentru eforturi la captul din dreapta. Pentru a generaliza relaiile difereniale dintre eforturi se folosete parametrul

    1=semn , prezentat n figura 5.26, care reprezint convenia de semne n cazul general. Astfel, relaiile difereniale dintre eforturi pentru intervalul ji se scriu sub forma:

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    =

    =

    dxxdM

    semnxT

    dxxdT

    semnxp

    ijYijZ

    ijZijZ 1

    (5.10)

    Considernd schema de calcul din dreapta, cea corespunztoare eforturilor N , YT i ZM i punnd condiiile de echilibru, rezult:

  • 97 DIAGRAME DE EFORTURI

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    =

    =

    dxxdM

    semnxT

    dxxdT

    semnxp

    ijZijY

    ijYijY

    1

    1 (5.11)

    n paragraful 5.19.2 relaiile difereniale dintre eforturi sunt deduse pentru o bar curb, apoi sunt particularizate pentru bara dreapt. n continuare prezentm, fr demonstraie, relaiile difereniale dintre eforturi pentru o bar curb:

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

    =

    +=

    =

    ijZijY

    ijijijZ

    ijZij

    TRsemnd

    dM

    RpNsemnd

    dT

    Tsemnd

    dN

    1 (5.12)

    Se observ c trecerea de la bara curb la bara dreapt se face innd cont c R i c lungimea arcului elementar este dxdRds == . De cele mai multe ori fora distribuit (n acest caz pe direcie radial) este nul, deci ( ) 0=ijp . Dac efectum aceste substituii n ultima dintre relaiile difereniale pentru bara curb prezentate n (5.12), se obine cea de a doua dintre relaiile difereniale pentru bara dreapt, prezentat n (5.10). Observaie important: dac derivata unui efort trece prin zero, adic prezint o soluie pe un interval, atunci n acel punct efortul va avea o valoare extrem. Aceste relaii exist ntre orice funcie f i derivata sa lf care are interpretarea geometric de valoare a pantei graficului funciei f .

    Figura 5.30 Relaia dintre o funcie i prima sa derivat

    Observaie important: operaia invers derivrii este integrarea, deci pentru bara dreapt legea de variaie a momentului ncovoietor poate fi dedus prin integrarea legii de variaie a forei tietoare corespunztoare, innd cont i de condiiile la limit, deci de valoarea momentului la captul intervalului de la care se ncepe parcurgerea acestuia.

    ( ) ( )dx

    xdMsemnxT ijYijZ = ( ) ( ) dxxTsemnxdM ijZijY =

    ( ){

    ( ) += dxxTsemnMxM ijZinitialaconditie

    iniijYijY (5.13)

    Similar,

  • 98 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    ( ) ( ) += dxxTsemnMxM ijYinitialaconditie

    iniijZijZ 321

    (5.14)

    Un alt aspect se refer la metoda grafic de integrare a diagramei de fore tietoare pentru a obine valori n puncte discrete ale momentului ncovoietor corespunztor. Astfel, dac efortul ZT este constant sau are o variaie liniar, atunci integrala din relaia precedent poate fi calculat ca o arie sau ca o sum de arii ale diagramei ZT pe intervalul curent. Deci, la nivelul intervalului deschis ji , relaia precedent poate fi scris sub forma:

    ijZTj

    ijYi

    ijY ARIAsemnMM += (5.15) Similar,

    ijYTj

    ijZi

    ijZ ARIAsemnMM = (5.16) Aceste aspecte vor fi aprofundate n cadrul aplicaiilor. Deci au fost prezentate n detaliu relaiile difereniale pentru o bar dreapt datorit considerentelor practice, aplicative, pentru trasarea diagramelor de eforturi.

    5.8. Convenia (regula) de reprezentare a diagramelor de eforturi

    Simplul calcul al valorilor eforturilor nu ofer o viziune de ansamblu asupra modului n care este solicitat structura. Astfel, diagramele de eforturi sunt utile din mai multe puncte de vedere, att pentru calcul, ct i pentru verificarea intuitiv a corectitudinii valorilor calculate. Din aceste motive, pentru fiecare efort exist dou aspecte care trebuie respectate pentru reprezentarea acestuia: primul aspect se refer la planul n care se reprezint diagrama, plan

    determinat de axa X i de axa de referin corespunztoare, adic de semiplanul (pozitiv sau negativ) n care se deseneaz valorile convenional pozitive ale respectivului efort;

    cel de al doilea aspect este n legtur cu haururile diagramei efortului respectiv care se traseaz paralele cu axa de referin.

    Pentru efortul axial N avem regulile: valorile convenional pozitive ale efortului N se reprezint n domeniul

    negativ al axei de referin Z; haururile diagramei N sunt paralele cu axa Z.

    Aceste aspecte pot fi concentrate n regula: ZN

    +

    Pentru fora tietoare YT avem regulile: valorile convenional pozitive ale efortului YT se reprezint n domeniul

    negativ al axei de referin Y; haururile diagramei YT sunt paralele cu axa Y.

    Aceste aspecte pot fi concentrate n regula: YTY

    +

    Pentru fora tietoare ZT avem regulile:

  • 99 DIAGRAME DE EFORTURI

    valorile convenional pozitive ale efortului ZT se reprezint n domeniul negativ al axei Z;

    haururile diagramei ZT sunt paralele cu axa Z.

    Aceste aspecte pot fi concentrate n regula: ZTZ

    +.

    Figura 5.31 Ilustrarea conveniei de reprezentare a diagramelor de eforturi

    Pentru momentul de rsucire XM avem regulile: valorile convenional pozitive ale efortului XM se reprezint n domeniul

    negativ al axei Z; haururile diagramei XM sunt paralele cu axa Z; n acest caz exist i

    posibilitatea de a desena n locul haurii o spiral ce semnific solicitarea la torsiune a barei.

    Aceste aspecte pot fi concentrate n regula: Z

    M X

    +.

    Pentru momentul ncovoietor YM avem regulile:

  • 100 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    valorile convenional pozitive ale efortului YM se reprezint n domeniul pozitiv al axei Z;

    haururile diagramei YM sunt paralele cu axa Z.

    Aceste aspecte pot fi concentrate n regula: Z

    M Y+

    +.

    Pentru momentul ncovoietor ZM avem regulile: valorile convenional pozitive ale efortului ZM se reprezint n domeniul

    negativ al axei Y; haururile diagramei ZM sunt paralele cu axa Y.

    Aceste aspecte pot fi concentrate n regula: Y

    M Z

    +

    Toate aceste aspecte pot fi concentrate n setul de reguli:

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    YM

    ZM

    ZM

    ZT

    YT

    ZN

    ZYX

    ZY

    ;;

    ;;

    (5.17)

    ilustrat n figura 5.31. n ceea ce privete reprezentarea momentelor ncovoietoare exist regula fundamental a aa-zisei fibre ntinse care este respectat n crearea unui set de reguli: sistem de axe convenii de reprezentare. Acest aspect va fi detaliat ulterior.

    5.9. Metoda vectorial de calcul a vectorului moment

    Din mecanic este cunoscut c, la reducerea unei fore

    F dintr-un punct A ntr-un alt punct O, rezult un torsor format din fora

    F i un vector moment care este calculat ca produs vectorial ntre raza vectoare i vectorul for. n figura 5.32 se observ c vectorului moment este perpendicular pe planul determinat de raza vectoare i vectorul for.

    Figura 5.32 Momentul unei fore

    Considernd c

  • 101DIAGRAME DE EFORTURI

    ++= krjrirr ZYX (5.18) i

    ++= kFjFiFF ZYX (5.19) relaia pentru calculul vectorului moment este:

    ZYX

    ZYX

    FFFrrr

    kjiFrM

    == (5.20)

    adic, descompunnd n minori de ordinul 2 dup prima linie, se obine:

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( )XYYXXZZXYZZYFrFr

    kluiinorulm

    YX

    YX

    FrFrjluiinorulm

    ZX

    ZX

    FrFriluiinorulm

    ZY

    ZY

    ZYX

    ZYX

    FrFrkFrFrjFrFri

    FFrr

    kFFrrj

    FFrr

    i

    FFFrrr

    kjiFrM

    XYYXXZZXYZZY

    +=

    =++=

    ===

    =

    =

    +

    =

    =

    +

    =

    =

    +

    434214342143421

    312111 111

    n continuare vom studia modul n care se aplic n Rezistena Materialelor relaiile precedente.

    Figura 5.33 Calculul vectorului moment pentru o bar dreapt

    Astfel, n cazul barelor drepte se consider intervalul deschis ji , considernd i drept capt de la care se pornete calculul, deci toate mrimile sunt cunoscute n acest punct: iijN , i ijYT , i ijZT , i ijXM , i ijYM , i ijZM . n figura 5.33 sunt prezentate componentele forei rezultante i ale momentului rezultant la captul i , acestea fiind considerate convenional pozitive, fiind deci desenate n sens contrar axelor. Deci relaia (5.19) devine:

  • 102 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    ++= kTjTiNF i ijZi ijYiijiij (5.21) Dup cum se observ i din figura 5.33, sistemul de axe n raport cu care se face calculul este poziionat n punctul n care se face reducerea forelor i momentelor, adic n punctul j . Deci relaia (5.18) devine:

    ++= kjiLr ijij 00 (5.22) n acest caz, n punctul j vom obine vectorul moment

    j

    ijM , adic

    += iijijiij

    jij FrMM (5.23)

    Exprimnd n relaia precedent vectorii n funcie de componente rezult

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    +

    +

    +

    +++=

    =

    +

    ++

    +

    ++=

    =+

    ++=

    =+=

    kTLMjTLMiM

    TNL

    kTN

    LjTT

    i

    kMjMiM

    TTNL

    kjikMjMiM

    FrMM

    jijZ

    jijY

    jijX M

    iijYij

    iijZ

    M

    iijZij

    iijY

    M

    iijX

    iijY

    iij

    iji

    ijZiij

    iji

    ijZiijY

    iijZ

    iijY

    iijX

    iijZ

    iijY

    iij

    iji

    ijZi

    ijYi

    ijX

    iijij

    iij

    jij

    44 344 2144 344 21321

    01

    01

    001

    00

    312111

    Deci la captul j avem momentele

    =

    +=

    =

    43421

    43421

    ijZ

    ijY

    M

    iji

    ijYi

    ijZj

    ijZ

    M

    iji

    ijZi

    ijYj

    ijY

    iijX

    jijX

    LTMM

    LTMM

    MM

    (5.24)

    Relaiile anterioare de calcul nu in cont de influena forei distribuite. Astfel, exist o serie de situaii practice care necesit modelarea greutii sau a altor fenomene, acest lucru fiind fcut prin introducerea n modelul de calcul a forelor uniform distribuite. n continuare se vor deduce relaii de calcul care s completeze metoda vectorial anterior prezentat cu termenii specifici sarcinilor reprezentate prin fore uniform distribuite care au fost prezentate n figura 5.10 i folosite n figura 5.22.

  • 103DIAGRAME DE EFORTURI

    Figura 5.34 Influena forei uniform distribuite ijZp

    n prima etap se consider fora uniform distribuit ijZp poziionat identic celei din figura 5.29 din schema de calcul folosit pentru deducerea relaiilor difereniale dintre eforturi. Influena acestei fore uniform distribuite n punctul j poate fi nlocuit cu o influena forei concentrate ijijZ Lp orientat la fel ca fora

    distribuit i poziionat n centrul de greutate al acesteia, la distan 2ijL

    de

    captul j . Aceast for concentrat este orientat n sensul axei Z iar parcurgerea intervalului se face de la i la j , deci convenia de semne este

    ax

    Fort

    +. Rezult c fora concentrat este convenional negativ, deci este egal

    cu ijijZ Lp i este poziionat la distan 2ijL

    fa de punctul j . n figura 5.34 este prezentat schema de calcul i se deduce semnul variaiei momentului ncovoietor YM datorat influenei forei distribuite ijZp . Rezult c variaia momentului ncovoietor datorat forei uniform distribuite ijZp este:

    ( )22

    2ijijZij

    ijijZp

    Y

    LpLLpM Z

    == (5.25).

  • 104 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    Figura 5.35 Influena forei uniform distribuite ijYp

    n ceea ce privete fora uniform distribuit ijYp i aceasta respect aceeai poziie reciproc fa de axa Z la fel ca i fora distribuit ijZp , deci nsumat pe intervalul ji duce la creearea unei fore concentrate orientate n sensul axei Y, deci convenional negativ, de modul ijijY Lp i poziionat la

    distan 2ijL

    fa de punctul j . n figura 5.35 este prezentat schema de calcul i se deduce semnul variaiei momentului ncovoietor ZM datorat influenei forei uniform distribuite ijYp . Rezult c variaia momentului ncovoietor datorat forei uniform distribuite ijYp este:

    ( )22

    2ijijYij

    ijijYp

    Z

    LpLLpM Y

    +=+= (5.26). Vectorial, momentul creat de cele dou fore distribuite se scrie:

    ( ) ( )ijijZijijYijpp

    ij

    LpLp

    Lkji

    M ZY

    =

    000

    2,

    (5.27)

    Efectund calculele rezult:

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    +

    +

    +

    ++

    +=

    =

    +

    +

    =

    =

    =

    kLpjLpi

    Lp

    Lk

    Lp

    Lj

    LpLpi

    LpLp

    Lkji

    M

    YpZ

    ZpY

    ZY

    M

    ijijY

    M

    ijijZ

    ijijY

    ij

    ijijZ

    ij

    ijijZijijY

    ijijZijijY

    ijppij

    4434421443442122

    0

    00

    210

    021

    001

    000

    2

    22

    312111

    ,

  • 105DIAGRAME DE EFORTURI

    Deci rezult c relaiile (5.24) pot fi rescrise sub forma:

    +=

    +=

    =

    44444 344444 21

    44444 344444 21

    ijZ

    ijY

    M

    ijijYij

    iijY

    iijZ

    jijZ

    M

    ijijZij

    iijZ

    iijY

    jijY

    iijX

    jijX

    LpLTsemnMM

    LpLTsemnMM

    MM

    2

    2

    2

    2

    (5.28)

    Parametrul semn nu se aplic i asupra termenului corespunztor forelor distribuite, deoarece ( )xpY i ( )xpZ sunt sarcini aplicate din exterior asupra structurii, nu fore interne. Din aceste motive se accept ideea c ntotdeauna sarcina distribuit este pozitiv cnd este orientat n sensul axei dup care este orientat.

    Observaie important

    Pn acum s-a pus problema determinrii momentului de la captul j al intervalului ji , poziionat la distan ijL fa de captul i . Deci au fost calculate momente n puncte discrete. Dar se poate deduce legea de variaie a momentelor considernd c seciunea de calcul nu mai este j poziionat la distan ijL fa de captul i , ci o seciune oarecare poziionat la distan x fa de captul i . Deci n relaiile (5.28) se face substituia xLij i rezult legile de variaie:

    ( )

    ( )( )

    ( )( )

    +=

    +=

    =

    4444 34444 21

    4444 34444 21

    xM

    ijYiijY

    iijZijZ

    xM

    ijZiijZ

    iijYijY

    iijXijX

    ijZ

    ijY

    xpxTsemnMxM

    xpxTsemnMxM

    MxM

    2

    2

    2

    2

    (5.29)

    Prin derivarea lui ( )xM ijY i ( )xM ijZ , lund n considerare relaiile difereniale ntre moment ncovoietor i for tietoare i innd cont c 12 =semn rezult expresiile de variaie ale forelor tietoare ( )xT ijZ i ( )xT ijY . Metoda vectorial este general iar relaiile (5.24) pot fi folosite i n cazul barelor curbe, aspect care va fi detaliat ulterior n subcapitolul 5.19.4 i n aplicaia 5.27.

  • 106 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    5.10. Metodica rezolvrii unei probleme de trasare a diagramelor de eforturi

    Rezolvarea unei probleme presupune o rigoare ce poate fi contientizat sub forma unei metodologii de rezolvare. Astfel, n continuare, sunt date principalele etape n rezolvarea unei probleme de trasare a diagramelor pentru un sistem de bare static determinat. 1. Se verific dac problema este corect formulat. 2. Se calculeaz reaciunile sau, dac nu exist reaciuni, se verific echilibrul

    structurii. 3. Se definete sistemul de axe local pentru fiecare interval n parte pe baza

    regulilor enunate n paragraful 5.4. 4. Se alege un sens de parcurgere a sistemului de bare innd cont de dou

    aspecte. Primul se refer la parcurgerea sistemului sau numai n sensul axei X sau numai n sens contrar fa de aceast ax. Cel de al doilea aspect se refer la punctele, la nodurile n care converg mai multe bare, caz n care se pleac de la capetele libere ctre acest nod.

    5. Pe baza sistemului de axe i a sensului de parcurgere se deduce convenia de semne pentru fiecare interval.

    6. Pentru fiecare interval deschis n parte se fac urmtoarele operaii: se face schema de calcul; se scriu legile de variaie ale eforturilor; se verific aceste legi de variaie folosind relaiile difereniale dintre eforturi; se calculeaz valorile de la capetele intervalului respectnd principiul coerenei unitilor de msur; se verific dac exist valori extreme; dac exist atunci se determin seciunile n care apar, apoi se calculeaz valorile extreme i ca verificare se compar cu valorile de la capetele intervalului; se verific valorile obinute prin alte metode; se verific valorile calculate din considerente de bun sim tehnic. Exist cazuri care necesit sistematizarea valorilor, de regul scriindu-le ntr-un tabel.

    7. Pentru ca diagramele s fie ct mai sugestive se alege o scar de reprezentare pentru fore i una pentru momente. Pentru fiecare efort se execut operaiile: se consider drept linie de zero geometria structurii; se specific efortul a crui diagram urmeaz a fi trasat i se precizeaz unitatea de msur; se deseneaz poziia axei care orienteaz diagrama efortului curent; respectnd convenia de reprezentare se pun pe diagram valorile calculate la punctul anterior pentru fiecare capt de interval i pentru fiecare valoare extrem i se unesc punctele desenate innd cont de legea de variaie de pe intervalul curent determinat la punctul anterior

    8. Se verific dac diagramele se nchid, deci dac structura este n echilibru. 9. Se verific relaionarea diagramelor. 10. Se verific dac exist salturi n diagramele corespunztoare forelor i

    momentelor externe. 11. Se verific diagramele pe baza considerentelor de bun sim tehnic.

  • 107DIAGRAME DE EFORTURI

    Etapele anterioare pot fi modificate n cazul unor probleme atipice sau complexe care necesit abordri speciale.

    5.11. Bare drepte n plan exemple simple de trasare a diagramelor de eforturi

    n continuare se consider o serie de cazuri simple de ncrcare ncepnd cu cele pentru care au fost calculate reaciunile n aplicaiile 5.1, 5.2 i 5.3. n cadrul rezolvrii acestor aplicaii se vor evidenia etapele prezentate n paragraful anterior. Odat ce studentul va cpta experien n trasarea diagramelor, se va renuna la aceast prezentare etapizat a rezolvrii.

    Aplicaia 5.6

    Se consider bara rezemat-articulat din figura de mai jos pentru care se cer trasate diagramele de eforturi.

    Figura 5.36 Bar rezemat articulat ncrcat cu fora concentrat F

    Etapa 5.6.1 Problema are 3 necunoscute corespunztoare celor 3 condiii de echilibru din plan. Deci problema este static determinat i nu se transform ntr-un mecanism, caz n care numrul de necunoscute ar fi fost mai mic dect numrul de relaii de echilibru.

    Etapa 5.6.2 Reaciunile au fost calculate n cadrul aplicaiei 5.1 i au valorile 03 =FH ,

    +=

    FF

    FF

    bab

    FV1 ,

    +=

    FF

    FF

    baa

    FV3 .

    Deci rezemrile barei pot fi nlocuite cu aceste fore, rezultnd structura:

    Figura 5.37 Reaciunile barei rezemat articulate ncrcat cu fora F i poziia sistemelor locale de axe

  • 108 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    Etapa 5.6.3 Sistemul de axe local pentru fiecare din intervalele 21 i 32 are poziia din figura anterioar, fiind clasic pentru o bar dreapt n plan: axa X este orientat n lungul barei, axa Z este orientat n jos iar cea de a treia ax, adic Y, rezult din condiia ca triedrul s fie drept. Se observ c, dac succesiunea de intervale este parcurs n ordinea

    321 , se merge numai n sensul axei X, iar dac succesiunea de intervale este parcurs n ordinea 123 , se merge numai n sens contrar axei X. Aceast condiie este important, deoarece odat ales un sens de parcurgere se va lucra cu o singur convenie de semne.

    Etapa 5.6.4 Se alege ca sens de parcurgere succesiunea 321 deci se merge numai n sensul axei X.

    Etapa 5.6.5 Se deduce convenia de semne. Metoda 1: Se pune n captul de plecare, adic n 1 o for axial poziionat astfel nct s ntind bara, s o lungeasc, deci aceast for este convenional pozitiv. Se observ c fora este poziionat ctre stnga, deci este n sens opus axei X. Rezult deci regula

    XN

    +. Generaliznd pentru toate eforturile

    rezult convenia Ax

    Efort

    +. Corespunztor acestei convenii rezult valoarea

    parametrului 1+=semn .

    Figura 5.38 Deducerea conveniei de semne pentru eforturi

    Metoda 2: Se pleac de la captul 1 i se parcurge pe bar o distan oarecare x . Se ndeprteaz fragmentul de bar parcurs iar axele de coordonate au poziia celor din dreapta figurii 5.26 pentru care este valabil convenia de semne

    AxEfort

    +, 1+=semn .

  • 109DIAGRAME DE EFORTURI

    Etapa 5.6.6 Pentru fiecare interval n parte se calculeaz valorile eforturilor. Intervalul 21 , ( )Fax ,0 Se consider la distan oarecare x fa seciunea 1, care reprezint punctul de pornire, o seciune de calcul n care se analizeaz ncrcrile de pe fragmentul de bar deja parcurs.

    Figura 5.39 Schema de calcul pe intervalul 12

    Pe fragmentul de bar parcurs exist o singur ncrcare, i anume reaciunea FV1 . La reducerea acestei reaciuni n seciunea de calcul se observ c apare un torsor format chiar din fora FV1 i un moment ncovoietor. Proiectnd forele de pe fragmentul de bar parcurs pe axa X, rezult expresia de variaie a forei axiale, n acest caz fiind nul. Deci ( ) 012 =xN . Proiectnd forele de pe fragmentul de bar parcurs pe axa Z, rezult expresia de variaie a forei tietoare. n acest caz se observ c reaciunea FV1 se proiecteaz pe axa Z n sens contrar acesteia, deci conform conveniei de

    semne Ax

    Efort

    + rezult c este convenional pozitiv. Deci ( )

    ++=

    FF

    FZ ba

    bFxT 12 .

    Semnul forei tietoare se mai putea observa aplicnd convenia de semne pentru eforturi pentru cazul plan, prezentat n figura 5.27 i inserat n figura 5.39 care prezint schema de calcul. Astfel, comparnd sensul reaciunii FV1 cu sensul forei tietoare ZT din reprezentarea conveniei de semne rezult c au acelai sens, deci fora tietoare ( )xTZ 12 este convenional pozitiv. Pentru a scrie relaia analitic de variaie a momentului ncovoietor se va respecta ordinea din regula general:

    bratfortsemnMoment = (5.30)

    Deci trebuie s ncepem cu semnul momentului ncovoietor. Aceast informaie poate fi dedus prin mai multe metode. 1) La fel ca n figurile 5.34, 5.35 se observ c sub influena reciunii FV1 intervalul de lungime x tinde s se roteasc n sens orar. Aplicnd acest sens de rotaie i asupra triedrului, se observ c axa X se rotete ctre axa Z pe drumul cel mai scurt, cel corespunztor unghiului de 90o. Conform regulii triedrului drept rezult c acestui sens de rotaie i corespunde un vector orientat n sens contrar axei Y. Dar conform conveniei de semne, dac momentul ncovoietor este n sens contrar axei Y, nseamn c este convenional pozitiv. Deci semnul este +.

  • 110 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    2) Se observ c sensul n care tinde s roteasc fora FV1 intervalul de lungime x este sensul orar. Se compar acest sens cu sensul indicat n convenia de semne pentru eforturi n cazul plan. Se observ c sensul orar este sensul convenional pozitiv deci semnul este +. 3) Exist i o a treia metod care folosete noiunea de fibr ntins, ns aceasta va fi prezentat ulterior. 4) Se poate folosi metoda vectorial pentru care avem ( ) ++= kjixr 00 ,

    ( ) ++= kjViF F 00 1 , de unde rezult:

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    {( )

    {

    +

    +

    +

    +++=

    =

    +

    ++++=

    =+=

    kjxVi

    xk

    Vxj

    Vikji

    Vx

    kjiMxM

    ZYXMM

    F

    M

    FF

    M

    F

    121212

    112

    00

    000

    10

    01

    000

    1000

    0000

    1

    31

    1

    21

    1

    11

    1

    11212

    43421

    44 344 21

    Din aceast metod rezult nu numai semnul momentului care este pozitiv ci i expresia de variaie dat n continuare:

    ( ) xVxM FY += 112 Relund regula (5.30), rezult c mai sunt necesare dou informaii pentru completarea legii de variaie a momentului, dac nu se folosete metoda vectorial: fora n acest caz este FV1 i braul forei care n acest caz este x . Aceste informaii rezult din schema de calcul anterioar, figura 5.39. Rezult c momentul ncovoietor are legea de variaie ( )

    { { {bratfort

    F

    semn

    Y xVxM += 112 .

    Deci pe intervalul 21 avem urmtoarele legi de variaie ale eforturilor:

    ( )

    ( )

    ( )

    +=

    +=

    =

    xba

    bFxM

    bab

    FxT

    xN

    FF

    FY

    FF

    FZ

    12

    12

    12 0

    (5.31)

    Verificm corectitudinea legilor de variaie folosind relaia diferenial dintre eforturi i rezult:

    ( ) ( )xTsemnba

    bF

    dx

    xba

    bFd

    dxxMd

    ZFF

    FFF

    F

    Y12

    12=

    +=

    +

    =

    Deci legile de variaie au fost corect determinate. n continuare, calculm valorile eforturilor la capetele intervalului 21

  • 111DIAGRAME DE EFORTURI

    La captul 1 avem 0=x , valoare pe care o nlocuim n relaiile (5.31) i rezult eforturile:

    ( )

    ( )

    ( )

    =

    +==

    +==

    ==

    000

    0

    00

    121

    12

    121

    12

    12112

    FF

    FYY

    FF

    FZZ

    bab

    FMM

    bab

    FTT

    NN

    La captul 2 avem Fax = , valoare pe care o nlocuim n relaiile (5.31) i rezult eforturile:

    ( )

    ( )

    ( )

    +==

    +==

    ==

    FFF

    FFYY

    FF

    FFZZ

    F

    aba

    bFaMM

    bab

    FaTT

    aNN

    122

    12

    122

    12

    122

    12 0

    Figura 5.40 Diagrame de eforturi pe intervalul 12

    Pentru a verifica valoarea momentului ncovoietor n punctul 2 aparinnd intervalului deschis 21 poate fi folosit metoda de integrare grafic a diagramei de fore tietoare. Deci, n prealabil, trebuie trasat aceast diagram.

  • 112 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    Pentru a trasa diagrama ZT convenia de semne este ZTZ

    + i este

    prezentat n figura 5.31. Deci valoarea pozitiv

    +=

    FF

    FZ ba

    bFT 212 se va

    reprezenta deasupra liniei de zero. n figura 5.40 este reprezentat diagrama ZT . Valoarea momentului 2 12YM poate fi calculat cu ajutorul relaiei (5.15), adic folosind relaia

    12

    112

    212 ZTYY

    ARIAsemnMM += n care 1+=semn i 01 12 =YM . Diagrama efortului ZT pe intervalul 21 are form dreptunghiular, deci aria sa se va calcula ca produs ntre baza reprezentat de lungimea intervalului 21 i nlimea reprezentat de valoarea efortului ZT . Deci

    { FFF

    F

    inaltime

    FF

    F

    bazaF

    babFa

    TYY ababF

    babFaARIAsemnMM

    FF

    FF

    Z

    +=

    ++=+=

    +

    + 443442143421

    3213210

    1210

    112

    212

    Deci valoarea FFF

    FY aba

    bFM

    +=

    212 este confirmat.

    Pentru a desena diagrama YM se folosete convenia de semne

    prezentat din figura 5.31, adic Z

    M Y+

    +. Rezult c valoarea pozitiv

    FFF

    FY aba

    bFM

    +=

    212 va fi desenat n domeniul pozitiv al axei Z, deci sub linia

    de zero a diagramei YM . n figura 5.40 sunt prezentate diagramele de variaie ale eforturilor pe intervalul 21 , valorile reaciunilor, conveniile de reprezentare i este scoas n eviden axa de referin a diagramelor.

    Intervalul 32 , ( )Fbx ,0 Se consider la distan oarecare x fa seciunea 2 , care reprezint punctul de pornire pe 32 , o seciune de calcul n care se analizeaz ncrcrile de pe fragmentul de bar deja parcurs.

    Figura 5.41 nsumare de efecte la trecerea pe intervalul 23

  • 113DIAGRAME DE EFORTURI

    Astfel, reaciunea FV1 se reduce n punctul 2 sub forma unui torsor format

    din fora tietoare

    +=

    FF

    FZ ba

    bFT 212 i momentul ncovoietor

    FFF

    FY aba

    bFM

    +=

    212 . n seciunea 2 este poziionat sarcina F orientat n

    sens opus fa de 212ZT . Din nsumarea celor dou fore se obine o rezultant orientat de sus n jos de valoare

    FF

    F

    FF

    FFF

    FF

    FZ ba

    aF

    babba

    Fba

    bFFTF

    +=

    +

    +=

    +=

    212

    n figura 5.41 este prezentat cumularea efectelor de pe intervalul 12 cu sarcinile din seciunea 2 pentru a trece mai departe pe intervalul 23. Este important s observm c toate intervalele pe care deducem funciile eforturilor sunt deschise, deci trebuie inut cont de eventualele sarcini concentrate din seciunile caracteristice. n figura 5.42 este prezentat schema de calcul pentru intervalul 23.

    Figura 5.42 Schema de calcul pe intervalul 23

    Proiectnd forele de pe fragmentul de bar parcurs pe axa X, rezult expresia de variaie a forei axiale, n acest caz fiind nul. Deci ( ) 023 =xN .

  • 114 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    Proiectnd forele de pe fragmentul de bar parcurs pe axa Z, rezult expresia de variaie a forei tietoare. n acest caz se observ c fora

    FF

    F

    baa

    F+

    se proiecteaz pe axa Z n sensul acesteia, deci conform conveniei de semne

    AxEfort

    + rezult c este convenional negativ. Deci ( )

    +=

    FF

    FZ ba

    aFxT 23 .

    Semnul forei tietoare se mai putea observa aplicnd convenia de semne pentru eforturi pentru cazul plan, prezentat n figura 5.27 i inserat n figura 5.42 care

    prezint schema de calcul. Astfel, comparnd sensul forei FF

    F

    baa

    F+

    , cu sensul

    forei tietoare ZT din reprezentarea conveniei de semne, rezult c au sensuri contrare, deci fora tietoare ( )xTZ 23 este convenional negativ. Pentru a scrie relaia analitic de variaie a momentului ncovoietor se observ n schema de calcul c exist dou componente:

    a) momentul concentrat FFF

    F aba

    bF

    + care tinde s roteasc intervalul de

    lungime x n sens orar;

    b) fora concentrat FF

    F

    baa

    F+

    care tinde s roteasc intervalul de lungime x n

    sens trigonometric. Dup cum se observ, momentul concentrat este convenional pozitiv, aparine torsorului care provine de pe intervalul precedent de calcul. Fora concentrat creeaz un moment convenional negativ, informaie care poate fi dedus fie analiznd rotirea sistemului de axe i comparnd sensul vectorului rezultat cu convenia de semne scris sub form general, fie comparnd sensul de rotaie cu cel indicat n regula de semne pentru probleme plane. Braul forei este chiar distana x , deci expresia de variaie a momentului

    ncovoietor este ( ) xba

    aFaba

    bFxMFF

    F

    M

    FFF

    FY

    Y

    +

    +=

    444 3444 212

    23

    23

    Pentru a aplica metoda vectorial trebuie s inem cont c:

    +

    ++= kja

    bab

    FiM FFF

    F 002

    23 ,

    ( ) ++= kjixr 00 ,

    +

    ++= kj

    baa

    FiFFF

    F 00 ,

    de unde rezult:

  • 115DIAGRAME DE EFORTURI

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    { {

    {( )

    {

    +

    +

    +

    +

    ++=

    =+

    +

    ++=

    =

    +

    +

    +

    +

    +

    ++

    ++=

    +

    +=

    kjxbba

    aFi

    kjxba

    aFa

    bab

    Fi

    xk

    baa

    F

    x

    jba

    aFi

    kjaba

    bFi

    baa

    F

    x

    kjiMxM

    Z

    Y

    X

    Z

    Y

    X

    M

    M

    FFF

    F

    M

    M

    M

    FF

    FF

    FF

    F

    M

    FF

    F

    FF

    F

    M

    FFF

    F

    FF

    F

    12

    12

    12

    12

    12

    12

    223

    00

    00

    000

    10

    010

    001

    00

    00

    00

    312111

    22323

    4444 34444 21

    4444444 34444444 21

    444444 3444444 21

    Rezult deci legea de variaie:

    ( ) ( )xbba

    aFxM F

    FF

    FY

    +=12

    Deci pe intervalul 32 avem urmtoarele legi de variaie ale eforturilor:

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    +=

    +=

    =

    xbba

    aFxM

    baa

    FxT

    xN

    FFF

    FY

    FF

    FZ

    23

    23

    23 0

    (5.32)

    Verificm corectitudinea legilor de variaie folosind relaia diferenial dintre eforturi i rezult:

    ( ) ( )xTsemnba

    aF

    dx

    xba

    aFb

    baa

    Fd

    dxxMd

    ZFF

    FFF

    FF

    FF

    F

    Y23

    23=

    +=

    +

    +

    =

    Deci legile de variaie au fost corect determinate. n continuare calculm valorile eforturilor la capetele intervalului 32 . La captul 2 avem 0=x , valoare pe care o nlocuim n relaiile (5.32) i rezult eforturile:

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    +=

    +==

    +==

    ==

    FFF

    FF

    FF

    FYY

    FF

    FZZ

    bba

    aFbba

    aFMM

    baaFTT

    NN

    00

    0

    00

    232

    23

    232

    23

    23223

  • 116 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    La captul 3 avem Fbx = , valoare pe care o nlocuim n relaiile (5.32) i rezult eforturile:

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    =

    +==

    +==

    ==

    0

    0

    233

    23

    233

    23

    23323

    FFFF

    FFYY

    FF

    FFZZ

    F

    bbba

    aFbMM

    baa

    FbTT

    bNN

    Pentru a verifica valoarea momentului ncovoietor n punctul 3 aparinnd intervalului deschis 32 poate fi folosit metoda de integrare grafic a diagramei de fore tietoare. Deci, n prealabil, trebuie trasat aceast diagram.

    Figura 5.43 Diagrame de eforturi pentru bara rezemat-articulat ncrcat cu fora concentrat F

    Fora tietoare

    +=

    FF

    FZ ba

    aFT 3 23 este negativ, deci conform conveniei

    de semne Z

    TZ

    + se va reprezenta n domeniul pozitiv al axei Z.

  • 117DIAGRAME DE EFORTURI

    Valoarea momentului 3 23YM poate fi calculat cu ajutorul relaiei (5.15), adic folosind relaia

    23

    223

    323 ZTYY ARIAsemnMM += n care 1+=semn i

    FFF

    FY aba

    bFM

    +=

    223 . Diagrama efortului ZT pe intervalul 32 are form

    dreptughiular, deci aria sa se va calcula ca produs ntre baza reprezentat de lungimea intervalului 32 i nlimea reprezentat de valoarea efortului ZT . Deci

    {0

    223

    231

    223

    323 =

    ++

    +=+=

    +

    +

    +

    444 3444 21444 3444 2143421

    321321

    inaltime

    FF

    F

    bazaF

    M

    FFF

    F

    baa

    Fb

    T

    aba

    bF

    YY baaFba

    babFARIAsemnMM

    YFF

    FF

    Z

    FFF

    F

    Deci valoarea 03 23 =YM este confirmat. Pentru a desena diagrama YM se folosete convenia de semne

    prezentat din figura 5.31, adic Z

    M Y+

    +.

    n figura 5.43 sunt prezentate diagramele de variaie ale eforturilor, valorile reaciunilor, conveniile de reprezentare i este scoas n eviden axa de referin a diagramelor.

    Etapa 5.6.7 n acest caz reprezentarea diagramelor s-a fcut pe msur ce au fost calculate valorile eforturilor pentru fiecare interval. n felul acesta au fost folosite valorile diagramei de fore tietoare ZT pentru a calcula valorile momentelor ncovoietoare YM , cu scopul de a verifica aceste valori calculate prin alte metode.

    Etapa 5.6.8 n aceast etap se verific dac diagramele se nchid. Diagrama ZT pleac de la valoarea nul la extremitatea din stnga, apoi, pe msur ce se merge ctre dreapta se ntlnete reaciunea FV1 . La captul notat cu 3 al barei, n vecintatea din dreapta al acestui punct fora tietoare este

    +=

    FF

    FZ ba

    aFT 3 23 . Pe msur ce se merge ctre dreapta se ntlnete

    reaciunea

    +=

    FF

    FF

    baa

    FV3 orientat n sens opus forei tietoare 323ZT . Din

    nsumarea celor dou fore se obine o rezultant nul. Concluzionnd, diagrama ZT pleac din zero i ajunge n zero deci se nchide.

    Diagrama YM se observ c pleac din zero i ajunge n zero, deci aceast diagram se nchide.

    Etapa 5.6.9 Verificm relaionarea diagramelor ZT i YM . Analizm variaia diagramelor ZT i YM din perspectiva relaiilor 5.10 adic a relaiilor difereniale dintre aceste eforturi. Analizm diagramele considernd c sensul de parcurgere este 321 , adic 1+=semn .

  • 118 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    Pe intervalul 21 diagrama ZT este pozitiv, deci fiind prima derivat a funciei moment ncovoietor YM , acesta are o variaie cresctoare. Similar acestei observaii, pe intervalul 32 diagrama ZT este negativ, deci funcia moment ncovoietor YM are o variaie descresctoare. Pe ambele intervale ZT este constant, deci funcia YM fiind calculat ca primitiv a lui ZT , va avea o variaie liniar.

    Etapa 5.6.10 Verificm dac exist salturi datorate forelor i momentelor externe. n figura 5.37 se observ c bara este solicitat cu o for exterioar F i dou reaciuni FV1 i FV3 , toate orientate n lungul axei Z. Rezult c diagrama ZT va trebui s nregistreze un salt n fiecare dintre seciunile n care acioneaz forele amintite mai sus. Analiznd diagrama ZT , se observ c, ntr-adevr, diagrama nregistreaz salturi n fiecare din seciunile 1, 2 i 3 .

    Etapa 5.6.11 Exist o multitudine de aspecte pe care bunul sim tehnic le poate pune n eviden. ns accesul la un nivel superior de nelegere, deci obinerea unui bun sim tehnic, se poate face numai n condiiile acumulrii de informaie i a ordonrii acesteia n timp.

    Figura 5.44 Deformata barei rezemat-articulate ncrcat cu fora concentrat F

    Pentru nceput trebuie amintit c n cazul structurilor simple cu ncrcare simpl poate fi evaluat forma deformat a acesteia. n figura 5.44 este prezentat forma deformat i diagrama de momente ncovoietoare YM . Se observ c exist o similaritate de form ntre deformat i diagrama YM . Pentru cazuri simple diagrama YM poate fi comparat cu forma deformat, dac aceasta este corect evaluat. n cazuri complexe este dificil evaluarea formei deformate.

    Tema 5.1: S se rezolve aceeai problem alegnd ca sens de parcurgere succesiunea: 123 . Ce se va modifica ? Comparai diagramele de eforturi rezultate cu cele din figura 5.44. Ce deosebiri exist ?

  • 119DIAGRAME DE EFORTURI

    Aplicaia 5.7

    Se consider bara rezemat-articulat din figura de mai jos pentru care se cer trasate diagramele de eforturi.

    Figura 5.45 Bar rezemat articulat ncrcat cu momentul concentrat M

    Etapa 5.7.1 Similar etapei 5.6.1, problema are 3 necunoscute corespunztoare celor 3 condiii de echilibru din plan. Deci problema este static determinat i nu se transform ntr-un mecanism, caz n care numrul de necunoscute ar fi fost mai mic dect numrul de relaii de echilibru.

    Etapa 5.7.2 Reaciunile au fost calculate n cadrul aplicaiei 5.2 i au valorile 03 =MH ,

    MM

    MM

    baMVV+

    == 31 .

    Deci rezemrile barei pot fi nlocuite cu aceste fore, rezultnd structura:

    Figura 5.46 Reaciunile barei rezemat articulate ncrcat cu momentul M i poziia sistemelor locale de axe

    Aa cum s-a artat i n cadrul aplicaiei 5.2, reaciunile se deseneaz ntotdeauna n sensul lor fizic, real.

    Etapa 5.7.3 Similar celor prezentate n etapa 5.6.3, sistemul de axe local pentru fiecare din intervalele 21 i 32 are poziia din figura anterioar, fiind clasic pentru o bar dreapt n plan: axa X este orientat n lungul barei, axa Z este orientat n jos iar cea de a treia ax, adic Y, rezult din condiia ca triedrul s fie drept.

    Etapa 5.7.4 Se alege ca sens de parcurgere succesiunea 321 deci se merge numai n sensul axei X.

  • 120 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    Etapa 5.7.5 Se deduce convenia de semne la fel ca n etapa 5.6.5 folosind informaiile din figura 5.38. n concluzie, avnd poziionatea sistemului de axe i sensul de parcurgere, rezult convenia de semne

    AxEfort

    +, 1+=semn .

    Etapa 5.7.6 Pentru fiecare interval n parte se calculeaz valorile eforturilor. Intervalul 21 , ( )Max ,0 Se consider la distan oarecare x fa seciunea 1 care reprezint punctul de pornire, o seciune de calcul n care se analizeaz ncrcrile de pe fragmentul de bar deja parcurs.

    Figura 5.47 Schema de calcul pe intervalul 12

    Pe fragmentul de bar parcurs exist o singur ncrcare, i anume reaciunea MV1 . La reducerea acestei reaciuni n seciunea de calcul se observ c apare un torsor format chiar din fora MV1 i un moment ncovoietor. Proiectnd forele de pe fragmentul de bar parcurs pe axa X, rezult expresia de variaie a forei axiale, n acest caz fiind nul. Deci ( ) 012 =xN . Proiectnd forele de pe fragmentul de bar parcurs pe axa Z, rezult expresia de variaie a forei tietoare. n acest caz se observ c reaciunea MV1 se proiecteaz pe axa Z n sensul acesteia, deci conform conveniei de semne

    AxEfort

    + rezult c este convenional negativ. Deci ( )

    FFZ ba

    MxT

    +=12 . Semnul

    forei tietoare se mai putea observa aplicnd convenia de semne pentru eforturi pentru cazul plan, prezentat n figura 5.27 i inserat n figura 5.47 care prezint schema de calcul. Astfel, comparnd sensul reaciunii MV1 , cu sensul forei tietoare ZT din reprezentarea conveniei de semne, rezult c au sensuri contrare, deci fora tietoare ( )xTZ 12 este convenional negativ. Pentru a scrie relaia analitic de variaie a momentului ncovoietor trebuie determinat la nceput semnul momentului ncovoietor ( bratfortsemnMoment = ). Aceast informaie poate fi dedus prin mai multe metode. 1) Sub influena reciunii MV1 intervalul de lungime x tinde s se roteasc n sens trigonometric. Aplicnd acest sens de rotaie i asupra triedrului, se observ c axa Z se rotete ctre axa X pe drumul cel mai scurt, cel corespunztor unghiului de 90o. Conform regulii triedrului drept rezult c acestui sens de rotaie

  • 121DIAGRAME DE EFORTURI

    i corespunde un vector orientat n sensul axei Y. Dar conform conveniei de semne, dac momentul ncovoietor este n sensul axei Y, nseamn c este convenional negativ. Deci semnul este -. 2) Se observ c sensul n care tinde s roteasc fora MV1 intervalul de lungime x este sensul trigonometric. Se compar acest sens cu sensul indicat n convenia de semne pentru eforturi n cazul plan. Se observ c sensul orar este sensul convenional pozitiv deci semnul este -. 3) Pentru moment nu folosim noiunea de fibr ntins, ns aceasta va fi prezentat ulterior. 4) Se poate folosi metoda vectorial pentru care avem ( ) ++= kjixr 00 ,

    ( ) ++= kjViF M 00 1 , de unde rezult:

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    {( )

    {

    +

    +

    +

    ++=

    =

    +

    +

    +++=

    =

    +=

    kjxVi

    xk

    Vxj

    Vikji

    Vx

    kjiMxM

    ZYXMM

    M

    M

    MM

    M

    M

    121212

    112

    00

    000

    10

    01

    000

    1000

    0000

    1

    31

    1

    21

    1

    11

    1

    11212

    43421

    44 344 21

    Din aceast metod rezult nu numai semnul momentului care este pozitiv ci i expresia de variaie a momentului ncovoietor:

    ( ) xVxM MY = 112 Relund regula bratfortsemnMoment = , rezult c mai sunt necesare dou informaii pentru completarea legii de variaie a momentului dac nu se folosete metoda vectorial: fora n acest caz este MV1 i braul forei care n acest caz este x . Aceste informaii rezult din schema de calcul anterioar, figura 5.47. Rezult c momentul ncovoietor are legea de variaie

    ( ){{ {

    bratfort

    M

    semn

    Y xVxM = 112 .

    Deci pe intervalul 21 avem urmtoarele legi de variaie ale eforturilor:

    ( )( )( )

    +=

    +=

    =

    xba

    MxM

    baM

    xT

    xN

    MMY

    MMZ

    12

    12

    12 0

    (5.33)

    Verificm corectitudinea legilor de variaie folosind relaia diferenial dintre eforturi i rezult:

  • 122 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

    ( ) ( )xTsemnba

    Mdx

    xba

    Md

    dxxMd

    ZMM

    MMY12

    12=

    +=

    +

    =

    Deci legile de variaie au fost corect determinate. n continuare calculm valorile eforturilor la capetele intervalului 21 La captul 1 avem 0=x , valoare pe care o nlocuim n relaiile (5.33) i rezult eforturile:

    ( )( )

    ( )

    =

    +==

    +==

    ==

    000

    0

    00

    121

    12

    121

    12

    12112

    MMYY

    MMZZ

    baMMM

    baMTT

    NN

    La captul 2 avem Max = , valoare pe care o nlocuim n relaiile (5.33) i rezult eforturile:

    ( )

    ( )

    ( )

    +==

    +==

    ==

    Mba

    aaMM

    baM

    aTT

    aNN

    MM

    MMYY

    MMMZZ

    M

    122

    12

    12212

    122

    12 0

    Figura 5.48 Diagrame de eforturi pe intervalul 12

  • 123DIAGRAME DE EFORTURI

    Pentru a verifica valoarea momentului ncovoietor n punctul 2 aparinnd intervalului deschis 21 poate fi folosit metoda de integrare grafic a diagramei de fore tietoare. Deci, n prealabil, trebuie trasat aceast diagram. Convenia de semne pentru fora tietoare ZT este Z

    TZ

    + i este prezentat

    n figura 5.31. Valoarea negativ MM

    Z baMT+

    =212 se va reprezenta sub linia de

    zero. n figura 5.48 este reprezentat diagrama ZT . Valoarea momentului 2 12YM poate fi calculat cu ajutorul relaiei (5.15), adic folosind relaia

    12

    112

    212 ZTYY

    ARIAsemnMM += n care 1+=semn i 01 12 =YM . Diagrama efortului ZT pe intervalul 21 are form dreptughiular, deci aria sa se va calcula ca produs ntre baza reprezentat de lungimea intervalului 21 i nlimea reprezentat de valoarea efortului ZT . Deci

    {M

    baa

    baM

    aARIAsemnMMMM