Rezistenta Materialelor Vol2 Tripa Hluscu

PAVEL TRIPA MIHAI HLUCU

REZISTENA MATERIALELOR

NOIUNI FUNDAMENTALE I APLICAII

* *

Editura MIRTONTimioara

2007

3

Dac ceea ce ai fcut pare simplu, nseamn c nu ai aflat nc totul.

( Donald Westlake)

Prefa n anul 2001, respectiv 2002, apare n 2 volume (407 pagini) la Editura MIRTON din Timioara lucrarea Etape i modele de rezolvare a problemelor de rezistena materialelor avndu-l ca autor pe Pavel TRIPA. Experiena ulterioar a dovedit c lucrarea la care am fcut referire mai sus, prezenta un neajuns i anume acela c nu punea la dispoziia celor interesai probleme nerezolvate, probleme propuse pentru rezolvare. Rezolvnd singur astfel de probleme, te poi verifica n legtur cu nsuirea i nelegerea noiunilor de rezistena materialelor. Ca urmare, s-a impus completarea lucrrii Etape i modele de rezolvare a problemelor de rezistena materialelor cu un capitol care s conin probleme propuse pentru a fi rezolvate. Aceast problem a fost parial rezolvat prin apariia n anul 2006 la Editura MIRTON din Timioara, ntr-un prim volum, a lucrrii Rezistena materialelor. Noiuni fundamentale i aplicaii autori fiind Pavel TRIPA i Mihai HLUCU, cadre didactice la Universitatea POLITEHNICA din Timioara, Facultatea de Mecanic. Prezenta lucrare este cel de-al II-lea volum din Rezistena materialelor. Noiuni fundamentale i aplicaii al acelorai autori n care sunt tratate capitolele: ncovoierea oblic, solicitrile compuse, calculul deformaiilor i a sistemelor static nedeterminate utiliznd metoda Mohr Maxwell, tensiuni la bare curbe plane, flambajul barelor zvelte solicitate la compresiune, solicitarea prin oc, oboseala materialelor. Ca i n precedentul volum, n primele 7 capitole, la nceputul fiecruia se prezint noiunile teoretice fundamentale obligatoriu a fi cunoscute n vederea abordrii calculelor de rezisten. Dup prezentarea noiunilor teoretice fundamentale sunt prezentate etapele ce trebuie parcurse n calculul de rezisten, specifice fiecrui capitol. n continuare, la fiecare capitol sunt prezentate probleme rezolvate, urmnd pas cu pas etapele recomandate a fi parcurse. Ultimul capitol al lucrrii (Capitolul 8) propune pentru fiecare din celelalte 7 capitole, un numr mare de aplicaii (probleme) spre a fi rezolvate, la care se dau rezultatele finale i de multe ori i rezultatele intermediare, pentru a se putea verifica pe parcurs rezolvarea problemei. Problemele sunt prezentate, n general, ntr-un mod gradat din punct de vedere al dificultii de rezolvare, de la cele mai simple spre cele cu un grad ridicat de dificultate.

4

ntreaga lucrare Rezistena materialelor. Noiuni fundamentale i aplicaii (Vol. 1 + 2), se adreseaz n primul rnd studenilor de la facultile tenice care studiaz disciplina de Rezistena materialelor, n vederea pregtirii lor profesionale i mai ales a examenului la aceast disciplin. Aceast lucrare constituie n acelai timp i material de curs la Rezistena materialelor, mai ales pentru specializrile cu un numr de ore mai redus la aceast disciplin. Acest material este foarte util i proiectanilor de elemente i structuri de rezisten, care de cele mai multe ori din comoditate, dar mai ales din nestpnirea corespunztoare a metodologiei calculului de rezisten i deformabilitate, nu fac astfel de calcule. De asemenea, aceast lucrare avnd un numr foarte mare de probleme, constituie o baz de pregtire pentru studenii care particip la Concursul profesional studenesc C. C. Teodorescu la disciplina de Rezistena materialelor, att la faza local ct i la cea naional. Elaborarea acestei lucrri se bazeaz n primul rnd pe experiena acumulat de autori cu studenii i a activitii lor n producie nainte de activarea lor n nvmntul superior, perioad ce cuprinde peste 30 de ani. Ca de fiecare dat, la apariia unei noi lucrri pot aprea unele neajunsuri care s nu satisfac pe deplin pe cei interesai. Autorii, ca de fiecare dat, sunt recunosctori acelora care vor binevoi a lectura aceast lucrare i vor veni cu propuneri i sugestii n vederea mbuntirii coninutului acesteia, prezentrii grafice etc., astfel nct s rezulte o lucrare util, de care la ora actual considerm c este mare nevoie. Totodat, autorii mulumesc domnilor Prof. Dr. Euro. Ing. Tiberiu BABEU, membru titular al Academiei de tiine Tehnice din Romnia i Prof. Dr. Ing. Nicolae NEGU, decan al Facultii de Mecanic din Timioara, pentru bunvoina i rbdarea de a lectura aceast lucrare, pentru sugestiile fcute i pentru acceptarea de a o recenza tiinific. Timioara Autorii Februarie, 2007

Rezistena materialelor. Noiuni fundamentale i aplicaii

5

1. CALCULUL DE REZISTEN LA NCOVOIERE OBLIC

1.1. Consideraii generale. Etape de calcul ntr-o seciune transversal a unui element de rezisten se realizeaz o solicitare de ncovoiere oblic, atunci cnd n seciunea respectiv acioneaz un moment ncovoietor Mi, care nu este orientat dup nici una din direciile principale de inerie ale seciunii (Fig.1.1-1).

O astfel de solicitare rezult n cazul elementelor de rezisten solicitate de fore a cror plane trec prin axa geometric (Fig.1.1-2a), sau forele sunt n plane perpendiculare, plane care trec prin axa geometric (Fig.1.1-2b) a barei.

Miz

y

zMiy

Mi

G

Fig.1.1-1

F F1

F2

a) b)

Fig.1.1-2

Calculul de rezisten la novoiere oblic

6

Dac direciile principale de inerie sunt axele Gz, respectiv Gy, n cazul ncovoierii oblice, momentul ncovoietor Mi se descompune n dou componente orientate dup direciile principale de inerie, rezultnd Miz, respectiv Miy (Fig.1.1-1).

Deoarece, att Miz ct i Miy, produc tensiuni normale , rezult c ntr-un punct K dintr-o seciune solicitat la ncovoiere oblic, tensiunea rezultant, se calculeaz cu relaia:

Ky

iyK

z

izK zI

My

IM

= 1.1-1 unde: yK i zK - coordonatele punctului K, fa de sistemul principal de inerie zGy, Iz i Iy - momentele de inerie axiale (principale) fa de direciile principale de inerie Gz, respectiv Gy. Semnul + sau -, se pune n funcie de cum zona n care se afl punctul K, este ntins sau comprimat. Din relaia 1.1-1, rezult c ntr-o seciune, tensiunea normal este maxim n punctele cele mai ndeprtate att de direcia principal Gz ct i de direcia principal Gy. Pentru o seciune dreptunghiular (sau format din suprafee dreptunghiulare), acest punct K, se afl ntr-un col al seciunii, iar pentru seciuni circulare, acest punct este situat pe fibra exterioar a seciunii. Variaia tensiunii normale pe o seciune solicitat la ncovoiere oblic este liniar. Pentru a reprezenta grafic variaia tensiunii normale la o solicitare de ncovoiere oblic, trebuie determinat poziia axei neutre. Axa neutr reprezint locul geometric al punctelor din seciunea transversal a elementului de rezisten, n care tensiunea normal este nul. Ecuaia axei neutre pentru ncovoierea oblic, rezult din relaia 1.1-1: = 0 de unde rezult:

0zI

My

IM

Ky

iyK

z

izK == 1.1-2


7

n sistemul de axe principal zGy, relaia 1.1-2 este o dreapt, care poate fi scris i sub alt form:

zI

My

IM

y

iy

z

iz = 1.1-3a sau

y

z

iz

iy

II

MM

zy = 1.1-3b

unde: y, z - reprezint coordonatele punctelor situate pe axa neutr. Analiznd relaia 1.1-3a, se constat c dac y = 0, rezult z = 0 ceea ce nseamn c axa neutr la solicitarea de ncovoiere oblic, trece prin centrul de greutate G al seciunii (originea sistemului principal de inerie). Pentru a reprezenta axa neutr pe seciune, se pot utiliza dou procedee: a) Se mai determin nc un punct (pe lng G), punct prin care trece axa neutr. Pentru aceasta, n relaia 1.1-3a sau 1.1-3b, se d o valoare lui y (y = y1) i se calculeaz z1. Rezult astfel, cel de-al doilea punct de pe axa neutr, de coordonate (z1; y1). Prin G i acest punct de coordonate (z1; y1) se duce axa neutr (o dreapt). b) De cele mai multe ori, axa neutr se reprezint dup ce s-a determinat panta acesteea (unghiul , fcut de axa neutr cu direcia principal Gz; Fig.1.1-3).

y

z

Axa neutr

Mi y

Fig.1.1-3

z


8

Din Fig.1.1-3, se poate constata, c:

tgzy = 1.1-4a

i

tgMM

z

iy = 1.1-4b Cu relaiile 1.1-4a i 1.1-4b, relaia 1.1-3b, capt forma:

tgIItg

y

z = 1.1-5 de unde rezult, unghiul fcut de axa neutr cu direcia principal de inerie Gz:

= tg

IIarctg

y

z 1.1-6

Dac:

II yz >> 1.1-7a II yz


9

Aceast constatare, conduce la concluzia c, pentru o seciune circular, punctele cele mai solicitate (cele mai deprtate de axa neutr), sunt punctele cele mai deprtate de direcia momentului ncovoietor Mi,rez. Se poate atunci calcula tensiunea normal maxim max, pentru seciunea circular, cu relaia:

y

rezi,

z

rezi,max

z

rezi,max W

MW

My

IM == 1.1-9

Calculul la ncovoiere oblic, se face exclusiv din condiia de rezisten a elementului. Relaiile de calcul utilizate, sunt prezentate n Tabelul 1.1-1. Pentru calculul de rezisten, trebuie stabilit seciunea periculoas, precum i punctele cele mai solicitate din aceast seciune. Tabelul 1.1-1 Tipul problemei Seciune necircular Seciune circular

De verificare

ay

iy

z

izmax zI

My

IM

+=

az

rezi,max W

M =

De dimensionare

ay

iy

z

iz zI

My

IM =+

...

MW

a

rezi,z ==

De effort capabil

ay

iy

z

iz zI

My

IM =+

...WMM azrezi,capi, ===

Pentru calculul de rezisten la ncovoiere oblic, se parcurg urmtoarele etape:

Se reprezint elementul de rezisten numai prin axa sa geometric

Se reduc toate forele (concentrate, distribuite, momente) n centrul de greutate al seciunii n care ele acioneaz. Dac forele concentrate i cele distribuite nu au direcia axelor principale de inerie, ele se descompun n componente orientate dup direciile principale de inerie. Componentele


10

obinute prin reducerea n centrul de greutate al seciunii, se pun pe elementul de rezisten reprezentat numai prin axa sa geometric. Se obine astfel un element de rezisten reprezentat numai prin axa sa geometric, ncrcat cu fore n plane perpendiculare (asemntor cu barele drepte orizontale ncrcate cu fore, dar n dou plane).

Pentru sistemul obinut, se traseaz diagramele de eforturi. Rezult numai diagrame de momente ncovoietoare (Miz, Miy) n dou plane perpendiculare.

Din analiza diagramelor de momente ncovoietoare i a variaiei seciunii n lungul elementului de rezisten, se stabilete seciunea periculoas.

Se deseneaz seciunea periculoas. n seciunea periculoas, dac aceasta are form necircular, se determin punctele cele mai solicitate (cel mai ntins, respectiv cel mai comprimat). Pentru seciuni circulare, nu este necesar determinarea punctelor mai solicitate.

Pentru stabilirea punctelor mai solicitate, se procedeaz n felul urmtor (vezi i Fig.1.1-4): n cele patru cadrane (delimitate de direciile principale Gz i

Gy), se pun semnele convenionale i (sau alte semne). Se analizeaz ce tensiuni (de ntindere sau compresiune)

produc n fiecare cadran momentele ncovoietoare Miz, respectiv Miy. Pentru exemplul din Fig.1.1-4, rezult:

Legenda: pentru Miz pentru Miy

Fig.1.1-4

Miz

y

zMiy Mi

G

Cadran I Cadran II

Cadran III Cadran IV

+

+


11

momentul Miz ntinde partea de sub axa z (cadranele III i IV) i comprim partea de deasupra axei z (cadranele I i II). Ca urmare, n semnul convenional ptrat, corespunztor tensiunii pentru Miz (vezi legenda), n cadranele III i IV, punem +, iar n cele din cadranele I i II, punem - ,

momentul Miy ntinde fibrele din cadranele II i III i comprim fibrele din cadranele I i IV. Ca urmare, n cercurile din cadranele II i III, punem +, iar n cercurile din cadranele I i IV, punem semnul - .

Analiznd acum Fig.1.1-4, se constat c punctul cel mai ntins (punctul T), este situat n cadranul III (unde att Miz ct i Miy ntind), iar cel mai comprimat (punctul C), este situat n cadranul I (unde att Miz ct i Miy comprim).

Se stabilete tipul de problem i solicitarea. Pentru solicitarea de ncovoiere oblic, pentru punctele cele mai solicitate (punctele T i C) se scrie relaia corespunztoare tipului de problem (relaia din Tabelul 1.1-1).

Din relaia scris i particularizat pentru problema dat, se determin mrimea necunoscut (tensiune maxim, dimensiunea seciunii transversale sau ncrcarea capabil).

n general, pentru acest tip de probleme, se cere s se reprezinte i variaia tensiunii normale pe seciune (de obicei n seciunea periculoas). Pentru aceasta, se parcurg etapele (evident dup ce s-a efectuat calculul de rezisten):

Fixm primul cadran al sistemului de axe principale, adic orientm axele Gz i Gy. Primul cadran este acela care conine (include) momentul ncovoietor rezultant, Mi,rez Mi (vezi relaia 1.1-8).

Se scrie ecuaia axei neutre (rel. 1.1-3a sau 1.1-3b) Se determin poziia axei neutre. Spre exemplu, se

calculeaz unghiul (rel. 1.1-6) fcut de axa neutr cu direcia principal Gz (vezi i discuiile de la rel. 1.1-7a...1.1-7c).

Se duce axa neutr (Fig.1.1-5). Pentru situaia din Fig.1.1-4, deoarece Iz > Iy, rezult, > .


12

Se duc paralele la axa neutr prin punctele cele mai deprtate de aceasta. Punctele cele mai deprtate de axa neutr, trebuie s fie punctele cele mai solicitate (vezi Fig.1.1-4), deoarece punctele cele mai solicitate la ncovoiere, sunt punctele cele mai deprtate de axa neutr.

Se duce apoi o perpendicular pe axa neutr i se reprezint variaia tensiunii normale , care este o dreapt (vezi Fig.1.1-5).

Se pun semnele +, respectiv - n funcie de zona ntins sau comprimat i se reprezint i valorile tensiunii n celelalte puncte (se duce "haura" tensiunii).

1.2 Modele de probleme rezolvate 1.2.1 Fie bara cu forma i ncrcarea din Fig.1.2.1-1. a) S se verifice bara, dac: F = 8 KN, at = 30 MPa, ac = 140 MPa b) S se reprezinte variaia tensiunii normale n seciunea periculoas.

max,c

max,t

y

z

Mi

C

G

Fig.1.1-5

T

Axa neutr


13

Obs.: at - este tensiunea normal admisibil la ntindere ac - este tensiunea normal admisibil la compresiune.

Rezolvare: a) Se parcurg etapele de la paragraful 1.1, referitoare la calculul de rezisten:

Se reprezint bara numai prin axa sa geometric (Fig.1.2.1-2)

Se reduc toate forele n centrul de greutate G al seciunii n

care ele acioneaz i ce se obine se pune pe bara reprezentat n Fig.1.2.1-2 (vezi Fig.1.2.1-3a). Fora 1,41F se descompune n dou componente (1,41 Fsin450 i 1,41F cos450) orientate dup direciile principale de inerie Gz, respectiv Gy (Fig.1.2.1-3b).

Pentru sistemul din Fig.1.2.1-3b, se traseaz diagramele de eforturi. Se renun la diagrama de efort tietor T. Rezult numai efort moment ncovoietor.

1,41 F

a

a

F

= 450 a = 0,5 m

100

200

Fig.1.2.1-1

Fig.1.2.1-2


14

Diagrama de momente ncovoietoare Mi, este prezentat n Fig.1.2.1-4.

Cum bara are seciune constant, rezult c seciunea

periculoas este n ncastrare, unde momentul ncovoietor este maxim.

Se deseneaz seciunea periculoas (Fig.1.2.1-5).

Se stabilesc punctele cele mai solicitate din seciunea

F F

1,41 F

Fig.1.2.1-3

1,41 F sin

1,41 F cos a

a a

a

a) b)

3Fa Miz

2Fa Miy Fa

Fig.1.2.1-4

(z)

(y)

G

Fig.1.2.1-5


15

periculoas, innd seama de efectul celor dou momente de ncovoiere, Miz = 3Fl i Miy = 2Fl, care acioneaz n seciunea periculoas (Fig.1.2.1-6) Pentru aceast etap, vezi paragraful 1.1.

Miz ntinde partea de deasupra axei Gz i comprim partea de sub axa Gz, iar Miy, ntinde partea din dreapta axei Gy i comprim partea din stnga acestei axe. Atenie: n Fig.1.2.1-4, diagramele de momente ncovoietoare sunt reprezentate pe fibra ntins (aa dup cum se tie de la diagramele de eforturi). Din Fig.1.2.1-6, rezult c punctul cel mai ntins (punctul T), este situat n cadranul trigonometric I, iar cel mai comprimat (punctul C), n cadranul trigonometric III.

Problema studiat este de verificare, iar solicitarea este de ncovoiere oblic.

Se scrie relaia general de calcul pentru problema de verificare, seciune necircular, solicitarea de ncovoiere oblic (vezi Tabelul 1.1-1):

zIM

yI

M

y

iy

z

izmax += 1.2.1-1

Particularizat pentru punctele cele mai solicitate, rezult:

Ty

iyT

z

izTtmax, zI

My

IM

+== 1.2.1-2a

(z)

(y)

G

Fig.1.2.1-6

S T

C P

Legenda: Miz Miy


16

Cy

iyC

z

izCcmax, zI

My

IM

== 1.2.1-2b unde: max,t ; max,c - tensiunea normal maxim la ntindere, respectiv tensiunea normal maxim la compesiune. Explicitnd relaiile 1.2.1-2a i 1.2.1-2b, se obine:

2b

12hb

2Fa2h

12bh3Fa

33Ttmax, +== 1.2.1-3a

2b

12hb

2Fa2h

12bh3Fa

33Ccmax, == 1.2.1-3b

unde: h = 200 mm; b = 100 mm; a = 0,5 m = 500 mm; F = 8 KN. Cu aceste valori numerice, rezult: max,t = T = 42 MPa > at = 30 MPa max,c = C = - 42= 42 MPa < ac = 90 MPa Analiznd rezultatele obinute, rezult c bara satisface condiia de rezisten la compresiune, dar nu o satisface pe cea de ntindere. Deci, condiia de rezisten, nu este satisfcut pentru aceast bar. Dac dorim s calculm tensiunea normal i n alte puncte, atunci se utilizeaz relaia 1.1-1. n relaia 1.1-1, se pune + sau -, dup cum aceste puncte se afl n zona ntins sau comprimat pentru fiecare din cele dou momente ncovoietoare. Spre exemplu, dac se dorete calculul tensiunii normale n punctul S, situat n cadranul trigonometric II (Fig.1.2.1-6), sau pentru punctul P din cadranul trigonometric IV (Fig.1.2.1-6), relaia 1.1-1, se scrie astfel:


17

Sy

iyS

z

izS zI

My

IM

+= 1.2.1-4a

Py

iyP

z

izP zI

My

IM

+= 1.2.1-4b b) S reprezentm acum variaia tensiunii normale , n seciunea periculoas.

Fixm primul cadran, adic orientm axele principale Gz i Gy (Fig.1.2.1-7).

Scriem ecuaia axei neutre (relaia 1.1-3b):

y

z

iz

iy

II

MM

zy = 1.2.1-5

Determinm poziia axei neutre (unghiul ), cu relaia 1.1-6:

=

=

iz

iy

y

z

y

z

MM

IIarctgtg

IIarctg

sau dup nlocuirile valorilor numerice se obine: = 69,440 i

0iz

iy 33,6932arctg

MM

arctg === Cum Iz > Iy , a rezultat > (ceea ce se tia de la paragraful 1.1, relaia 1.1-7a).

Se duce axa neutr i se reprezint variaia tensiunii normale (Fig.1.2.1-7).


18

La axa neutr ducem paralelele care s treac prin punctele cele mai deprtate de acestea. Aceste paralele, dup cum se observ, trec prin punctele T i C, care sunt cele mai solicitate.

Acum se reprezint variaia tensiunii normale pe seciune. Fiind vorba aici de seciunea periculoas, valorile maxime ale tensiunii normale, sunt: max,t = max,c= 42 MPa 1.2.2 Pentru bara cu forma i ncrcarea din Fig.1.2.2-1, se cere: a) Fora capabil (F = ?), pentru a = 150 MPa, b) Diagrama de variaie a tensiunii normale , n seciunea periculoas. Se cunosc: t=10 mm, iar fora de 1,73F este situat n planul seciunii transversale i face cu direcia principal Gz un unghi de =300, iar a= 0,5 m.

- 42 MPa

y

T

C

G Mi

z

S

P

Axa neutr

+ 42 MPa

Fig.1.2.1-7


19

Rezolvare: a) Se parcurg etapele cunoscute de la paragraful 1.1, respectiv, exemplul 1.2.1.

Reprezentm bara numai prin axa sa geometric (Fig.1.2.2-2).

Se reduce fora 1,73F n centrul de greutate al seciunii n

care ea acioneaz (captul liber al barei). Din Fig.1.2.2-1, se constat c fora concentrat acioneaz chiar n centrul de greutate G al seciunii, deci prin reducere se obine numai o for concentrat egal cu 1,73F, care se pune pe bara repezentat n Fig.1.2.2-2, rezultnd sistemul din Fig.1.2.2-3a. Fora concentrat 1,73F, se descompune dup direciile principale de inerie Gz i Gy, rezultnd sistemul din Fig.1.2.2-3b.

4t 2t

a

2t

4t

1,73F

Fig.1.2.2-1

Fig.1.2.2-2

Calculul de rezisten la ncovoiere oblic

20

Pentru sistemul din Fig.1.2.2-3b, se traseaz diagramele

de eforturi, n vederea stabilirii solicitrii i a seciunii periculoase.

Deoarece, bara este cu seciune transversal groas, se poate renuna (neglija) efectul efortului tietor T. Pentru sistemul din Fig.1.2.2-3b, rezult numai moment ncovoietor n dou plane. Diagramele Mi, sunt prezentate n Fig.1.2.2-4.

Din Fig.1.2.2-4, rezult c bara este solicitat la

ncovoiere oblic de ctre Miz i Miy, iar seciunea periculoas, este n nepenire.

Desenm seciunea periculoas (Fig.1.2.2-5). La aceast seciune, pentru a cunoate poziia direciilor principale Gz i Gy, trebuie determinat poziia centrului de

a

a

Fig.1.2.2-3

1,73 F 1,73 F sin300

1,73 F cos300

1,73 F

a) b)

(1,73 F sin300)a = 0,865 Fa Miz (1,73 F cos300)a = 1,5 Fa Miy

Fig.1.2.2-4


21

greutate G. Poziia centrului de greutate G, este prezentat n Fig.1.2.2-5 (yG = 3,5 t).

Se stabilesc punctele cele mai solicitate din seciunea

periculoas, punnd n fiecare cadran trigonometric, cte un ptrat pentru tensiunea normal produs de Miz i cte un cerc pentru tensiunea produs de Miy (Fig.1.2.2-5). Momentul Miz, ntinde partea de sus (cadranele I i II) i comprim partea de jos (cadranele III i IV), iar Miy, ntinde partea din dreapta (cadranele I i IV) i comprim partea din stnga (cadranele II i III). Aceast constatare s-a fcut pe baza diagramei de momente ncovoietoare (Fig.1.2.2-4), diagrame care totdeauna se reprezint pe fibra ntins. Din Fig.1.2.2-5, rezult c punctul cel mai ntins (punctul T) se afl n cadranul trigonometric I, iar cel mai comprimat (punctul C), n cadranul trigonometric III (Fig.1.2.2-5).

Problema este de efort capabil (se cere F = ?), iar solicitarea este de ncovoiere oblic (ncovoiere n dou plane).

Relaiile de calcul pentru punctele cele mai solicitate (din Tabelul 1.1-1) sunt:

z

yG = 3,5 t

y

Legenda Miz Miy

Fig.1.2.2-5

C

T


22

atTy

iyT

z

izTtmax, zI

My

IM

=+== 1.2.2-1a

acCy

iyC

z

izCcmax, zI

My

IM

=== 1.2.2-1b Pentru a putea efectua calculul tensiunilor normale, trebuie calculate momentele de inerie axiale Iz, repectiv Iy. Pentru seciunea din Fig.1.2.2-5, cu valorile prezentate n Fig.1.2.2-1, rezult: Iz = 49,33 t4 = 49,33104 mm

4

Iy = 13,33 t4 = 13,33 104 mm4.

Particulariznd relaiile 1.2.2-1a i 1.2.2-1b, rezult:

1501021013,335001,5F105,2

1049,335000,866F

44 =+

1.2.2-2a

1501011013,335001,5F105,3

1049,335000,866F

44 =

1.2.2-2b Din relaia 1.2.2-2a, rezult F1 = 1116,07 N = 1,116 KN, iar din relaia 1.2.2-2b, rezult F2 = 1724,93 N = 1,724 KN. Fora capabil pentru bara studiat, este: Fcap = min (F1; F2) = 1,116 KN. b) Pentru trasarea diagramei de variaie a tensiunii normale pe seciune, se parcurg etapele: Fixm primul cadran (vezi Fig.1.2.2-5), adic se orienteaz direciile principale Gz i Gy. Atenie: Primul cadran format de direciile principale (a nu se confunda cu primul cadran trigonometric), este cadranul n care acioneaz momentul ncovoietor Mi Mi,rez, dat de Miz i Miy i nu cadranul n care este fora F. Pentru exemplul nostru, fora 1,73F


23

acioneaz n cadranul trigonometric III (sau I), iar momentul Mi,rez, n cadranul trigonometric IV. Aadar, primul cadran al axelor principale de inerie Gz i Gy, este cadranul trigonometric IV.

Se scrie acum, ecuaia axei neutre (rel. 1.1-3b):

y

z

iz

iy

II

MM

zy = 1.2.2-3

Determinm poziia axei neutre (rel. 1.1-6):

0

y

z

iz

iy 81,13II

MM

arctg == 1.2.2-4

Se duce axa neutr (Fig.1.2.2-6). Se duc paralele la axa neutr prin punctele cele mai deprtate

i se se constat c aceste paralele trec prin punctele T i C, stabilite ca fiind cele mai solicitate, ceea ce este corect.

Se reprezint variaia tensiunii normale pe seciune (Fig.1.2.2-6).

Cum Fcap = F1, obinut din condiia max,t = = 150 MPa (rel. 1.2.2-2a), rezult c n punctul C (cel mai comprimat), tensiunea , trebuie calculat pentru valoarea lui F = Fcap.

Pentru aceasta, utilizm relaia 1.2.2-2b, unde F = 1.116,07 N:

MPa96,98101013,335001.116,071,535

1049,335001.116,070,866

44C =

= Aceast valoare este trecut n diagrama de variaie a tensiunii normale pe seciune (Fig.1.2.2-6).


24

1.2.3 a) S se dimensioneze bara cu forma i ncrcarea din Fig.1.2.3-1 (d = ?), pentru a = 150 MPa. b) S se reprezinte variaia tensiunii normale n seciunea periculoas, fr a mai calcula valoarea maxim a acesteea. Rezolvare:

a) Se reprezint bara prin axa sa geometric (Fig.1.2.3-2).

Axa neutr

T

C

G z

y +150 MPa

-96,98 MPa

Fig.1.2.2-6

aF = pa

p = 20 kN/m

d

a

Fig.1.2.3-1

Fig.1.2.3-2


25

Se reduc forele (F i p) n centrul de greutate al seciunii n care acioneaz i rezultantele lor se pun pe bara reprezentat n Fig.1.2.3-2 (Fig.1.2.3-3).

Se traseaz diagramele de eforturi (neglijm efortul tietor T). Diagramele Mi (moment ncovoietor), sunt prezentate n Fig.1.2.3-4.

Din Fig.1.2.3-4, rezult c seciunea periculoas este n

ncastrare, iar solicitarea este de ncovoiere oblic, cu momentele Miz = 2pl

2 i Miy = pl2.

Seciunea periculoas, este prezentat n Fig.1.2.3-5. Fiind seciune circular, nu mai stabilim punctele cele mai

solicitate, lucru care presupune pentru acest tip de seciune, determinarea mai nti a poziiei axei neutre.

Problema este de dimensionare, solicitare de ncovoiere oblic.

2pa2 Miz

pa2 Miy

Fig.1.2.3-4

Fig.1.2.3-3

pa

a a

p


26

Din Tabelul 1.1-1, relaia de calcul, este:

...M

Wa

rezi,necz, == 1.2.3-1a

Particulariznd relaia 1.2.3-1a, pentru problema n studiu,

rezult:

32d

MM 3

a

2iy

2iz =+ 1.2.3-1b

de unde se obine:

1/3

a

21/3

a

2iy

2iz

ap22,77

MM32d

=

+=

Cu valorile numerice, se obine: d = 200 mm. b) Poziia axei neutre, pentru seciuni circulare, coincide cu poziia momentului ncovoietor rezultant (rel. 1.1.7c): =

Fig.1.2.3-5


27

0

2

2

iz

iy 26,5621arctg

ap2aparctg

MM

arctg ====

Primul cadran este prezentat n Fig.1.2.3-6.

O analiz a punctelor mai solicitate, scoate n eviden faptul c punctul cel mai ntins este situat n cadranul trigonometric II, iar cel mai comprimat, n cadranul trigonometric IV. La fel a rezultat i n urma reprezentrii grafice a variaiei tensiunii pe seciune.

= 26,560

max,c

T

C

z

y

max,t

Axa neutr

Fig.1.2.3-6

Legenda Miz Miy

Calculul de rezisten la solicitri compuse

28

2. CALCULUL DE REZISTEN LA SOLICITRI COMPUSE

2.1 Consideraii generale. Tipuri de solicitri compuse Dac n seciunea unui element de rezisten, exist mai multe eforturi, spunem c n acea seciune, se realizeaz o solicitare compus. Solicitarea compus a elementelor de rezisten, este solicitarea cea mai ntlnit n practic. Sunt puine cazurile n care elementele de rezisten sunt simplu solicitate, adic supuse aciunii unui singur efort. Dac eforturile care acioneaz ntr-o seciune, produc toate acelai tip de tensiune (normal sau tangenial ), se spune c solicitarea respectiv este o solicitare compus de categoria I. Ca exemplu de astfel de solicitare, se amintete: solicitarea axial + ncovoierea oblic; forfecarea + torsiunea. Dac eforturile care acioneaz ntr-o seciune a elementului de rezisten, produc tensiuni de natur diferit (normal i tangenial ), se spune c solicitarea respectiv, este o solicitare compus de categoria a II-a. Spre exemplu, o astfel de solicitare este caracteristic arborilor, n seciunile lor transversale ntlnindu-se efeorturile: Miz, Miy, Mt. Calculul de rezisten pentru cele dou tipuri de solicitri compuse (categoria I i categoria a II-a), este diferit. n aceast lucrare, cele dou categorii de solicitri compuse, se trateaz separat. 2.2 Solicitarea compus de categoria I 2.2.1 Consideraii generale. Etape de calcul Dup cum s-a mai spus, n cazul solicitrii compuse de categoria I, eforturile care acioneaz n seciunea transversal a unui element de rezisten, produc tensiuni de acelai tip.


29

Fiind vorba despre tensiuni de acelai tip (natur), tensiunea rezultant ntr-un punct dintr-o astfel de seciune, se obine ca o sum vectorial a tensiunilor produse de fiecare efort n parte. Astfel:

pentru cazul existenei eforturilor N, Miz, Miy, tensiunea normal rezultant ntr-un punct K (rez,K), este:

Ky

iyK

z

izMiyMizNKrez, zI

My

IM

AN

== 2.2.1-1 unde: N - tensiunea normal n punctul K, produs de efortul axial N Miz - tensiunea normal n punctul K, produs de momentul ncovoietor Miz Miy- tensiunea normal n punctul K, produs de momentul ncovoietor Miy. Pentru bare de seciune circular, cnd se calculeaz tensiunea normal rezultant maxim, se utilizeaz relaia:

z

rezi,maxrez, W

MAN

++= 2.2.1-2 unde:

2iy2izrezi, MMM += 2.2.1-3

Din relaia 2.2.1-1, se constat c tensiunea rezultant rez,K, este o suma algebric i asta datorit faptului c tensiunile normale produse de eforturile N, Miz, Miy (, iz, iy) sunt toate normale (perpendiculare) la seciune, caz n care suma vectorial se reduce la o sum algebric.

pentru cazul existenei eforturilor Ty, Tz, Mt, tensiunea tangenial rezultant ntr-un punct K (rez,), este:


30

MtTzTyKrez, ++= 2.2.1-4 unde:

Ty - tensiunea tangenial n punctul K, produs de efortul tietor Ty

Tz - tensiunea tangenial n punctul K, produs de efortul tietor Tz

Mt - tensiunea tangenial n punctul K, produs de momentul de torsiune Mt n cazul solicitrii compuse de categoria I de forfecare i torsiune, la elementele de rezisten a cror arie a seciunii transversale are valoare mare, efortul tietor se poate neglija. n acest caz, rezult numai o solicitare simpl de torsiune. Calculul elementelor de rezisten supuse solicitrilor compuse, se face n general numai din condiia de rezisten. n cazul solicitrii compuse (cu eforturile N, Miz, Miy), pentru cele trei tipuri de problem (verificare, dimensionare, efort capabil), condiia de rezisten, relaiile de calcul sunt prezentate n Tabelul 2.2.1-1. Tabelul 2.2.1-1

Condiia de rezisten Tipul problemei Seciune necircular Seciune circular

De

verificare

max= N/A + (Miz/Iz)ymax

+(Miy/Iy)zmax < a

max=N/A + Mirez / Wz

< a

De dimensionare

N/A + (Miz/Iz) ymax +(Miy/Iy) zmax = a

N/A + Mirez / Wz = a

De efort capabil

N/A + (Miz/Iz) ymax +(Miy/Iy)

zmax = a

N/A + Mirez / Wz = a

Relaiile de calcul prezentate n Tabelul 2.2.1-1, se scriu pentru punctele cele mai solicitate, situate n seciunea periculoas. Aceste puncte trebuie determinate, cu excepia seciunilor circulare.


31

Pentru calculul de rezisten, solicitarea compus de categoria I, se parcurg urmtoarele etape (vezi i etapele de la ncovoierea oblic, Cap. 1):

Se reprezint elementul de rezisten numai prin axa sa geometric.

Se reduc toate forele exterioare n centrul de greutate al seciunii n care ele acioneaz i ce se obine se pune pe elementul de rezisten reprezentat numai prin axa sa geometric.

Se traseaz diagramele de eforturi (fr efortul tietor T) pentru sistemul obinut anterior. Vor rezulta eforturile: N, Miz, Miy (aici s-a presupus c eforturile care rezult conduc la o solicitare compus de categoria I).

Se stabilete seciunea periculoas i eforturile din aceast seciune.

Se stabilete tipul problemei. Pentru punctele cele mai solicitate, n funcie de tipul

problemei, din Tabelul 2.2.1-1, se scrie relaia de calcul. Din relaiile scrise anterior, se determin mrimea

necunoscut. Pentru acest tip de solicitare, se cere de cele mai multe ori i reprezentarea tensiunii normale pe seciune. Pentru aceasta, se parcurg urmtoarele etape:

Se fixeaz primul cadran al sistemulul de axe principale, adic se orienteaz axele principale Gz i Gy. De data aceasta, primul cadran este acela n care tensiunile normale produse de cele trei eforturi, sunt toate fie pozitive, fie negative.

Se scrie ecuaia axei neutre:

0zIM

yI

MAN

0y

iy0

z

iz =++ 2.2.1-5 care, dup cum se observ, este o dreapt care nu trece prin centrul de greutate. n relaia 2.2.1-5, y0 i z0, sunt coordonatele punctelor de pe axa neutr.


32

Pentru a reprezenta axa neutr, se determin punctele de intersecie ale acesteea cu direciile principale Gz, respectiv Gy:

Dac impunem y0 = 0, se obine intersecia axei neutre cu axa Gz n punctul P de coordonate:

y0 = 0

AI

MNz y

iy0 = 2.2.1-6

Dac impunem z0 = 0, se obine intersecia axei neutre cu axa

Gy n punctul S de coordonate: z0 = 0

AI

MNy z

iz0 = 2.2.1-7

Prin punctele P i S, se duce axa neutr (o dreapt). Se duc paralele la axa neutr prin punctele cele mai deprtate

de aceasta. Punctele cele mai deprtate de axa neutr, trebuie s fie punctele cele mai solicitate (punctele T i C).

Se duce apoi o perpendicular pe axa neutr i se reprezint variaia tensiunii normale , care este tot o dreapt.

Se pun semnele +, respectiv - n funcie de zona ntins sau comprimat i se reprezint valorile tensiunii normale i n celelalte puncte (se duce "haura" tensiunii).

Observaie:

9 Dac unul din cele dou momente ncovoietoare lipsete, axa neutr este paralel cu una din direciile principale. Astfel: dac Miy = 0, rezult poziia axei neutre:

AI

MNy z

iz0 =

i axa neutr este paralel cu axa principal Gz, dac Miz = 0, poziia axei neutre, este:


33

AI

MNz y

iy0 =

iar, axa neutr este paralel cu axa principal Gy, dac N = 0, rezult o solicitare de ncovoiere oblic

(vezi Cap.1). Dup cum rezult din relaiile 2.2.1-6 i 2.2.1-7, axa neutr

taie axele principale Gz i Gy pe sensurile lor negative, motiv pentru care la poziionarea axei neutre pe seciune, este foarte important s se tie care sunt sensurile pozitive ale axelor principale Gz i Gy (adic s se cunoasc sau s se defineasc un prim cadran).

2.2.2 Modele de probleme rezolvate 2.2.2.1 Pentru bara din Fig.2.2.2.1-1, se cere: a) Valoarea forei F, pentru = 150 MPa b) Diagrama tensiunii normale , n seciunea periculoas.

Rezolvare: a) Pentru calculul forei capabile F, se parcurg etapele prezentate la paragraful 2.2.1:

F

20F

a = 100 mm

4

60

Fig.2.2.2.1-1


34

Se reprezint bara numai prin axa sa geometric (Fig.2.2.2.1-2).

Se reduc forele aplicate (F i 20F) n centrul de greutate al

seciunilor n care ele acioneaz i ce se obine se aeaz pe bara reprezentat numai prin axa sa geometric (Fig.2.2.2.1-3).

Pentru sistemul din Fig.2.2.2.1-3, se traseaz diagramele de

eforturi (fr efortul tietor), obinndu-se diagramele din Fig.2.2.2.1-4.

Analiznd acum diagramele de eforturi din Fig.2.2.2.1-4a...c, rezult c seciunea periculoas este n captul liber al barei, unde acioneaz eforturile:

N = 20 F N Miz = 400 F Miz Miy = 400 F Miy

Fig.2.2.2.1-2

a

Fig.2.2.2.1-3

Miz = 400 F

Miy = 400 F 20 F

F


35

Seciunea periculoas este prezentat n Fig.2.2.2.1-5. Tot n Fig.2.2.2.1-5, se prezint modul de determinare a

punctelor mai periculoase din aceast seciune (vezi Cap.1). Rezult c punctul cel mai ntins este punctul T (situat n cadranul trigonometric IV), iar cel mai comprimat este punctul C (situat n cadranul trigonometric II). Dintre cele dou puncte, deoarece seciunea este dublu simetric, rezult c punctul T este cel mai solicitat (n acest punct, toate eforturile produc tensiuni normale de ntindere).

Problema este de efort capabil, solicitare compus de categoria I, seciune necircular.

20

20F

100F400F 400F

300F

400F

400

+

Mi a) b c)

Fig.2.2.2.1-4

400F

400F

400F

T

C Legenda N

Miz Miy

Fig.2.2.2.1-5


36

Relaia de calcul (din Tabelul 2.2.1-1), este:

aKy

iyK

z

iz zI

My

IM

AN = 2.2.2.1-1

sau, particularizat pentru punctul T, rezult:

aTy

iyT

z

iz zI

My

IM

AN = 2.2.2.1-2

sau dup nlocuirea valorilor eforturilor:

15030I400F30

I400F

A20F

yz

=+++ 2.2.2.1-3 unde: A = 60 60 - 40 40 = 2.000 mm2 Iz = Iy = 86, 66 104 mm4. nlocuind pe A, Iz, Iy n relaia 2.2.2.1-3, se obine:

150301086,66400F30

1086,66400F

2.00020F

44 =+++ 2.2.2.1-4 de unde, rezult valoarea forei capabile (valoarea maxim admis pentru fora F): F = 3,973 KN 2.2.2.1-5 b) Pentru reprezentarea variaiei tensiunii normale n seciunea periculoas, se procedeaz astfel:

Se stabilete primul cadran (vezi Fig.2.2.2.1-5). Primul cadran este prezentat n Fig.2.2.2.1-6.

Se determin punctele de intersecie ale axei neutre cu axele principale Gz i Gy (vezi rel. 2.2.1-6 i 2.2.1-7): intersecia cu axa Gz (punctul P):


37

y0 = 0

MPa21,66AI

MNz y

iy0 ==

intersecia cu axa Gy (punctul S): z0 = 0

MPa21,66AI

MNy z

iz0 ==

Poziia axei neutre, este prezentat n Fig.2.2.2.1-6.

Se duc paralele la axa neutr prin punctele cele mai deprtate de aceasta. Aceste paralele, dup cum se poate constata, trec prin punctele cele mai solicitate (punctele T i C).

Se reprezint variaia tensiunii normale pe seciune (Fig.2.2.2.1-6).

Trebuie calculat acum, tensiunea normal din punctul C, la valoarea forei admisibile, F = 3,973 KN:

Fig.2.2.2.1-6

T

C

z

y

G

+150

-105

[MPa]

Axa neutr

P

S


38

MPa105301086,66400F30

1086,66400F

2.00020F

44C =+=

Aceast valoare a tensiunii normale din punctul C, la valoarea forei admise, este trecut n diagrama din Fig.2.2.2.1-6. 2.2.2.2 Pentru grinda n consol din Fig.2.2.2.2-1, se cere: a) Tensiunile normale maxime i minime (maxime la ntindere i compresiune), b) Variaia tensiunii normale n seciunea periculoas, c) Tensiunea normal n dreptul centrului de greutate G al seciunii transversale a grinzii.

Rezolvare: Se vor parcurge etapele deja cunoscute (vezi paragraful 2.2.1 i exemplul precedent).

Se reprezint grinda numai prin axa sa geometric (Fig.2.2.2.2-2).

20

F1 = 0,7 kN

F2 = 12 kN

100

80

a = 1 m

Fig.2.2.2.2-1


39

Se reduc toate forele aplicate n centrul de greutate al

seciunii n care ele acioneaz. Pentru aceasta, trebuie determinat poziia centrului de greutate al seciunii transversale (vezi calculul poziiei centrului de greutate al unei suprafee plane).

Poziia centrului de greutate G, al seciunii transversale pentru bara noastr, este prezentat n Fig.2.2.2.2-3.

Componentele obinute prin reducerea forelor aplicate, n centrul de greutate al seciunii, se pun pe grinda reprezentat numai prin axa sa geometric, rezultnd sistemul din Fig.2.2.2.2-4.

Cu ncrcrile din Fig.2.2.2.2-4, se traseaz diagramele de

eforturi (se neglijeaz efortul tietor). Pentru cazul studiat diagramele de eforturi rezultate sunt prezentate n Fig.2.2.2.2-5.

Fig.2.2.2.2-2

yG = 43,33 mm

Fig.2.2.2.2-3

G

Fig.2.2.2.2-4

F1

F2

Miz = 43,33F2

Miy = 49F2

a


40

Din analiza diagramelor de eforturi i ale variaiei seciunii n

lungul barei, rezult c seciunea periculoas, este n ncastrare.

Eforturile din seciunea periculoas, sunt: N = - F2 = - 12 KN Miz = 1.219,96 KNmm Miy = 480 KNmm Rezult c n seciunea periculoas, exist o solicitare compus de categoria I, seciunea fiind necircular.

Forma seciunii periculoase, este prezentat n Fig.2.2.2.2-6. Stabilirea i poziionarea punctelor mai solicitate din

seciunea periculoas, este prezentat n Fig.2.2.2.2-6. Punctul cel mai ntins (punctul T), este situat n cadranul trigonometric II, iar cel mai comprimat (punctul C), n cadranul trigonometric IV. Tot acum se poate preciza i primul cadran, care aici coincide cu cadranul trigonometric IV (vezi Fig.2.2.2.2-6), unde toate tensiunile sunt de compresiune (negative).

F2 = 12 kN

N Mi

F2 = 12 kN

4,33F2 + F1 a = 1.219,96 kN mm

40F2=480 kN mm

480 kN mm

1.219,96 kN

a) b)Fig.2.2.2.2-5


41

Problema este de verificare, condiia de rezisten, seciune

necircular. Relaiile de calcul (din Tabelul 2.2.1-1), pentru punctele cele

mai solicitate, sunt:

Ty

iyT

z

izTtmax, zI

My

IM

AN

++== 2.2.2.2-1

Cy

iyC

z

izCcmax, zI

My

IM

AN

== 2.2.2.2-2 Pentru seciunea periculoas, rezult: A = 3.600 mm2 yT = 76,67 mm, zT = 10 mm Iz = 491,683 104 mm4 yC = 43,33 mm, zC = 40 mm Iy = 92 104 mm4 Cu aceste valori i cu cele ale eforturilor din seciunea periculoas, din relaiile 2.2.2.2-1 i 2.2.2.2-2, se obine: max,t = = 27,6 MPa max,c = C = -35 MPa

C

T

G z

y

Legenda N Miz Miy

Fig.2.2.2.2-6


42

Se poate constata, c tensiunile maxime la traciune (max,t), respectiv la compresiune (max,c), sunt inferioare celor admisibile pentru oel. b) Pentru a reprezenta variaia tensiunii normale pe seciunea periculoas, trebuie stabilit poziia axei neutre.

Ecuaia axei neutre, este (relaia 2.2.1-5):

0zIM

yI

MAN

0y

iy0

z

iz =++ de unde rezult tieturile axei neutre cu axele principale Gz i Gy:

intersecia cu axa Gz (punctul P):

y0 = 0

MPa6,4AI

MNz y

iy0 ==

intersecia cu axa Gy (punctul S):

z0 = 0

MPa,413AI

MNy z

iz0 ==

Poziia axei neutre, precum i variaia tensiunii normale , n seciunea periculoas, este prezentat n Fig.2.2.2.2-7. c) Pentru centrul de greutate G, relaia de calcul a tensiunii normale , este:

Gy

iyG

z

izGmax, zI

My

IM

AN

++= unde: yG = zG = 0, iar relaia 2.2.2.2-3, capt forma:


43

MPa3,343.60012.000

AF

AN

2Gmax, ====

Tensiunea max,G, este de asemenea prezentat n Fig.2.2.2.2-7. 2.2.2.3 Pentru bara de seciune circular din Fig.2.2.2.3-1, se cere: a) dimensionarea barei (d = ?) pentru a = 150 MPa b) diagrama de variaie a tensiunii normale n seciunea periculoas.

Rezolvare:

27,6 MPa C

T

P z

y

Fig.2.2.2.2-7

S

-35 MPa

Axa neutr

G,max

F = 10 kN

F

d

6d 10d

Fig.2.2.2.3-1


44

Se parcurg etapele cunoscute i deja aplicate la exemplele precedente.

a) Bara reprezentat numai prin axa sa geometric, se ncarc cu componentele obinute prin reducerea sarcinilor F i 4F n centrul de greutate al seciunii n care ele acioneaz (Fig.2.2.2.3-2)

Se traseaz diagramele de eforturi (fr efortul tietor) pentru

sistemul din Fig.2.2.2.3-2. Aceste diagrame sunt prezentate n Fig.2.2.2.3-3.

Analiznd diagramele de eforturi (Fig.2.2.2.3-3) i variaia

seciunii n lungul barei, se constat c seciunea periculoasa este n nepenire (seciune constant i eforturi maxime), unde acioneaz eforturile:

N = F = 10 KN Miz = 40,5 Fd

Seciunea periculoas este prezentat n Fig.2.2.2.3-4. n seciunea periculoas, exist o solicitare compus de

categoria I, alctuit din traciune i ncovoiere plan.

Miz = F d/2

4 F

F 6 d 10 d

Fig.2.2.2.3-2

+F +F Fd/2Miz = 40,5 Fd

N Miz

Fig.2.2.2.3-3


45

Problema este de dimensionare, condiia de rezisten,

seciune circular. Nu trebuie determinate punctele cele mai solicitate din

seciune. Relaia de calcul utilizat (din Tabelul 2.2.1-1), este:

az

rezi, W

MAN =+ 2.2.2.3-1

unde: d40,5FMMMM iz

2iy

2izrezi, ==+= 2.2.2.3-2

Particulariznd pentru problema noastr, relaia 2.2.2.3-1 capt forma:

a32

32d

dF40,5

4d

F =+ 2.2.2.3-3

sau:

150dF1.296

dF4

22 =+

2.2.2.3-4

de unde, se obine diametrul seciunii transversale al barei:

Legenda N Miz

z

y

Fig.2.2.2.3-4


46

mm166150F1.300d =

= b) Pentru reprezentarea variaiei tensiunii normale pe seciune, se determin poziia axei neutre, din ecuaia:

0IM

AN

0z

iz =+ y 2.2.2.3-5 de unde rezult singura tietur a axei neutre cu axa principal Gy:

mm0,256881d

AI

MNy z

iz0 ===

Pentru a putea reprezenta axa neutr, trebuie stabilit primul

cadran. Aceast etap este foarte bine prezentat n Fig.2.2.2.3-4. Dup cum se poate constata, att cadranul trigonometric I ct i II, pot fi considerate primul cadran pentru axele principale Gz i Gy.

Poziia axei neutre i variaia tensiunii normale n seciunea periculoas, este prezentat n Fig.2.2.2.3-5. n acest caz, mai trebuie calculat tensiunea normal maxim la compresiune (din punctul C), pentru valoarea lui d = 166 mm:

MPa147,3166F1.296

166F4

22Cmax,c =+

== Valoarea C este trecut n diagrama din Fig.2.2.2.3-5.


47

C

T

y

z

Axa neutr

150 MPa

-147,3 MPa

[MPa]

Fig.2.2.2.3-5


48

2.3 Solicitri compuse de categoria a II-a 2.3.1 Consideraii generale. Etape de calcul n cazul solicitrilor compuse de categoria a II-a, tensiunile dintr-un punct sunt de natur diferit ( i ), iar o rezultant a lor nu poate fi obinut. n acest caz de solicitare compus, se calculeaz o tensiune echivalent (ech) dup o anumit teorie de rezisten. Sunt acceptate cinci teorii de rezisten, iar pentru starea plan de tensiune, tensiunea echivalent pentru cele cinci teorii de rezisten, se calculeaz cu relaiile: a) Teoria tensiunii normale maxime (Teoria I):

22ech(1) 421

2

++= 2.3.1-1 b) Teoria deformaiei specifice maxime (Teoria a II-a):

22ech(II) 40,650,35 ++= 2.3.1-2 c) Teoria tensiunii tangeniale maxime (Teoria a III-a): 22ech(III) 4 += 2.3.1-3 d) Teoria energiei totale de deformaie (Teoria a IV-a):

22ech(IV) 2,6 += 2.3.1-4 e) Teoria energiei de variaie a formei (Teoria a V-a):

22ech(V) 321

2

++= 2.3.1-5 Cercetrile experimentale au artat c pentru materialele tenace, exist o concordan suficient de bun cu Teoria a III-a sau cu


49

Teoria a V-a. Din acest motiv, cele dou teorii sunt preferate n calcul atunci cnd este vorba despre materiale tenace. n schimb, pentru materialele fragile, rezultate mai apropiate de realitate, prezint Teoria a II-a de rezisten. O situaie particular, o constituie calculul de rezisten a barelor drepte de seciune circular (n special al arborilor) solicitate numai la ncovoiere i torsiune. n acest caz particular, calculul se poate face pe baza relaiei:

az

)ech()max(ech, W

M = 2.3.1-6

unde, momentul echivalent Mech( ) dup cele cinci teorii de rezisten, are urmtoarele expresii: ]MM[M0,5M 2t

2rezi,rezi,ech(I) ++= 2.3.1-7a

2t2

rezi,rezi,ech(II) MM65,0M0,35M ++= 2.3.1-7b

2t2

rezi,ech(III) MMM += 2.3.1-7c

2t2

rezi,ech(IV) M65,0MM += 2.3.1-7d

2t2

rezi,ech(V) M75,0MM += 2.3.1-7e unde: 2iy

2iz

2rezi, MMM += 2.3.1-8

n cazul unei solicitri compuse de categoria a II-a unde este prezent i efortul axial N, se utilizeaz numai relaiile 2.3.1-1...2.3.1-5. Pentru acest tip de probleme, se parcurg n general aceleai etape care au fost prezentate la solicitarea compus de categoria I, deosebiri aprnd doar la calculul tensiunilor.


50

Iat etapele care trebuie parcurse pentru rezolvarea problemelor de acest tip:

Se reprezint elementele de rezisten numai prin axele lor geometrice.

Se reduc toate sarcinile n centrul de greutate al seciunii n care ele acioneaz i componentele obinute se fixeaz pe elementul de rezisten reprezentat numai prin axa sa geometric.

Pentru sistemul astfel obinut, se traseaz diagramele de eforturi (fr efortul tietor care se neglijeaz).

Din analiza diagramelor de eforturi i a variaiei seciunii transversale n lungul elementului de rezisten, se stabilete seciunea periculoas.

Se scriu eforturile din seciunea periculoas. Dac n seciunea periculoas apare pe lng N i Mi ca efort i momentul de torsiune Mt, nseamn c n acea seciune se realizeaz o solicitare compus de categoria a II-a.

Dac seciunea periculoas este necircular, aceasta se deseneaz i se stabilesc punctele cele mai solicitate din aceast seciune. Dac seciunea periculoas este circular, aceast etap nu este necesar.

Se scrie relaia de calcul corespunztoare teoriei de rezisten indicat n enunul problemei sau teoria de rezisten aleas de rezolvitor (rel. 2.3.1-1...2.3.1-5 sau 2.3.1-6).

n funcie de tipul problemei (verificare, dimensionare, efort capabil), din relaia scris i particularizat pentru datele problemei ce trebuie rezolvat, rezult mrimea cerut n problem.

Observaie: Fiindc la acest tip de probleme se lucreaz cu tensiune echivalent care nu poate fi reprezentat fizic, nu se mai poate cere i reprezentarea variaiei tensiunii pe seciune.


51

2.3.2 Modele de probleme rezolvate 2.3.2.1 Pe un arbore sunt montate dou roi de diametre D1=400 mm i D2=240 mm, acionate la periferie de forele F1=3 kN i F2, ca n Fig.2.3.2.1-1. Se cere, s se dimensioneze arborele de seciune circular cu diametrul d, utiliznd la nevoie teoria a III-a de rezisten i a = 140 MPa. Rezolvare: Se parcurg etapele prezentate la paragraful 2.3.1.

Se reprezint arborele (numai el ne intereseaz) numai prin axa sa geometric (Fig.2.3.2.1-2a).

Se reduc forele F1 i F2 (la o for i la un moment de torsiune) n centrul de greutate al seciunii n care ele acioneaz i componentele rezultate se pun pe arborele reprezentat numai prin axa sa geometric (Fig.2.3.2.1-2a).

Pentru trasarea diagramelor de eforturi se utilizeaz principiul suprapunerii efectelor:

deoarece nu se cunoate valoarea lui F2, se ncarc arborele reprezentat numai prin axa sa geometric, cu momentele de torsiune obinute prin reducerea forelor F1 i F2 (vezi Fig.2.3.2.1-2b) i se traseaz diagrama Mt (Fig.2.3.2.1-2c). Cum cele dou momente de torsiune trebuie s fie egale (numai aa se verific salturile n diagrama Mt i arborele este n echilibru la torsiune), rezult:

2D

F2

DF 22

11 = 2.3.2.1-1

de unde se obine:

200

21

F2F1 200

d

Fig.2.3.2.1-1

500

B C

21


52

kN52404003

DDFF

2

112 === 2.3.2.1-2

Se ncarc acum arborele cu forele F1 i F2 (deja

cunoscut ca valoare) ca n Fig.2.3.2.1-3d i se traseaz diagramele de momente Mi (Fig.2.3.2.1-2e).

Din analiza diagramelor de eforturi i a variaiei seciunii

transversale a arborelui, rezult c seciunea periculoas este cea de pe reazemul B.

Eforturile din seciunea periculoas, sunt: Miz = 600 kNmm

Mt = 600 kNmm

F1D1/2

F1 F2 B C F1D1/2

F2D2/2

200 200 500a)

b

c)

d

e)

F2D2/2

600 kNmm 120 F2Mt

F1 = 3 F2 = 5

Mi [kNmm]

600

542,8


53

de unde rezult c n seciunea periculoas, exist o solicitare compus (ncovoiere plan cu torsiune) de categoria a II-a.

Seciunea periculoas este circular i nu este necesar a se stabili punctele cele mai solicitate din aceast seciune.

Fiindc solicitarea compus din seciunea periculoas este de ncovoiere i torsiune iar seciunea este circular, pentru calcul se scrie relaia general:

az

)ech()max(ech, W

M = 2.3.2.1-4

Deoarece, prin enunul problemei se impune pentru calcul

teoria a III-a de rezisten, relaia 2.3.2.1-4, poate fi scris sub forma:

az

ech(III) W

M 2.3.2.1-5 Problema fiind de dimensionare, relaia 2.3.2.1.-5, devine:

32d

MW

3

a

ech(III)necz,

== 2.3.2.1-6 de unde se obine diametrul arborelui:

3a

ech(III)

M32d

= 2.3.2.1-7 Avnd n vedere expresia momentului echivalent dup teoria a III-a de rezisten (relaia 2.3.1-7c i 2.3.1-8), relaia 2.3.2.1-7, devine:

3a

2t

2iz3

a

2t

2rezi,

MM32

MM32d

+=+= 2.3.2.1-8


54

nlocuind valorile momentelor Miz, Mt i a, se obine pentru d:

( ) ( )

mm40150

106001060032d 3

2323

+= 2.3.2.1-9

2.3.2.2 Pe un arbore sunt montate dou roi de curea. Curelele de transmisie acioneaz asupra roilor ca n Fig.2.3.2.2-1. Se cere s se dimensioneze arborele dup teoria tensiunii tangeniale maxime, cunoscnd a = 120 MPa. Se cunosc: diametrul roii 1, D1 = 200 mm i diametrul roii 2, D2 = 300 mm. Rezolvare:

Se reprezint arborele (numai acesta ne intereseaz) prin axa sa geometric i se ncarc cu componentele obinute din reducerea forelor n centrul de greutate al seciunilor n care ele acioneaz (Fig.2.3.2.2.-2a).

Trasarea diagramelor de eforturi, se face prin suprapunerea efectelor: Se ncarc arborele cu momentele de torsiune

(Fig.2.3.2.2-2b) i se traseaz diagrama Mt (Fig.2.3.2.2-2c).

2 kN5 kN

200 250

1 2

350

11 kN

6 kNd

B C 1 2

Fig.1.3.2.2-1


55

Se ncarc arborele numai cu forele din plan vertical (Fig.2.3.2.2-2d) i se traseaz diagrama Miz (Fig.2.3.2.2-2d).

n aceast figur, ncrcarea este pus mpreun cu diagrama de moment ncovoietor.

Se ncarc arborele numai cu forele din plan orizontal (Fig.2.3.2.2-2e) i se traseaz diagrama Miy (Fig.2.3.2.2-2e).

500 kN mm

2400 kN mm 1375 kN mm

1000 kN

500 kN mm1375 kN mm

8 kN

Mi

Miy

Miz

16 kN

Mt c)

d)

e)

f)

b)

a)

16 kNB C

8 kN

600 kN mm 600 kN mm

600 kN mm 600 kN mm

200 250350

600 kN mm 600 kN mm

Fig.2.3.2.2-2

2400 kN


56

i aici ncrcarea este pus mpreun cu diagrama de moment ncovoietor.

Dup cum se poate observa, s-au obinut diagrame de momente ncovoietoare n dou plane perpendiculare. Aceste diagrame sunt aduse ntr-o singur figur (Fig.2.3.2.2-2f), cu scopul de a putea determina mai uor seciunea periculoas.

Se stabilete seciunea periculoas. Cum seciunea arborelui i momentul de torsiune sunt constante pe intervalul dintre cele dou roi, rezult c seciunea periculoas este acolo unde momentul ncovoietor rezultant este mai mare (maxim). Se calculeaz atunci Mi,rez n seciunile celor dou roi de curea:

( ) ( ) mmN102,4515310240010500M 62323rez1i, =+= 2.3.2.2-1a

( ) ( ) mmN101,70018101375101000M 62323rez2i, =+= 2.3.2.2-1b de unde rezult c Mi,rez1 > Mi,rez2, i ca urmare, seciunea periculoas este seciunea n care este montat roata 1.

Eforturile din seciunea periculoas, sunt:

Mi,rez = 2.451,53 kNmm 2.3.2.2-2a Mt = 600 kNmm 2.3.2.2-2b rezultnd o solicitare compus de categoria a II-a.

Relaia de calcul pentru problema studiat (problem de dimensionare, solicitare compus de categoria a II-a, seciune circular, teoria a III-a de rezisten), este (vezi exemplul 2.3.2.1, relaia 2.3.2.1-7 i 2.3.2.1-8):

mm56120)10(0,6)10(2,4532

MM32d 3

26263

a

2t

2rezi, =

+=+=


57

2.3.2.3 Pentru bara circular din Fig.2.3.2.3-1, se cere s se verifice bara, utiliznd teoria tensiunii tangeniale maxime, dac d = 200 mm i a = 160 MPa.

Rezolvare:

Bara reprezentat numai prin axa sa geometric i ncrcat cu componentele obinute prin reducerea sarcinilor, este prezentat n Fig.2.3.2.3-2a.

Trasarea diagramelor de eforturi (fr efortul tietor), se face prin suprapunere de efecte: Fora F1, creeaz numai efort axial (Fig.2.3.2.3-2b) Sarcina distribuit p (Fig.2.3.2.3-2c), creeaz

moment ncovoietor Miz (Fig.2.3.2.3-2d). Fora concentrat F2 (Fig.2.3.2.3-2e) creeaz

moment ncovoietor Miy (Fig.2.3.2.3-2e). Diagramele Miz i Miy, sunt reprezentate mpreun n diagrama din Fig.2.3.2.3-2f.

Momentul aplicat M, este de torsiune (Fig.2.3.2.3-2g) i creeaz pe bar moment de torsiune Mt (Fig.2.3.2.3-2g).

M = 10 kN m

F1 = 10 kN

p = 10 kN/m

F2 = 20 kNa = 1 ma

Fig.2.3.2.3-1


58

Din analiza diagramelor de eforturi (Fig.2.3.2.3-2b,f,g) i a

variaiei seciunii barei, rezult c seciunea periculoas este n ncastrare.

n seciunea periculoas, acioneaz eforturile:

20 kN

10 kN m 10 kN/m

10 kN

a = 1 ma

a)

b

c)

d

+10 +10

10 kN N

10 kN/m

2pa2 = 20 kN m

Miz

20 kN m 20 kN

Miy e)

20 kN m

20 kN m

Mi f)

g)

10 kN m 10 kN m

Mt

Fig.2.3.2.3-2


59

N = 10 kN 2.3.2.3-2a Miz = 20 kNm 2.3.2.3-2b Miy = 20 kNm 2.3.2.3-2c Mt = 10 kNm 2.3.2.3-2d Relaia de calcul (problem de verificare, solicitare compus de

categoria a II-a avnd i efort axial, seciune circular), este (rel. 2.3.1-3):

22rezech(III) 4 += 2.3.2.3-3 unde:

MPa36,34336,0250,318W

MM

AN

z

2iy

2iz

rez =+=++=

MPa6,36WM

p

t == Cu aceste valori, relaia 2.3.2.3-3, devine: MPa38,56,36436,343 22max(III)ech, =+= Cum ech,max (III) < a = 160 MPa, rezult c aceast bara satisface condiia de rezisten cerut.


60

2.3.2.4 Pentru bara cotit de seciune circular din Fig.2.3.2.4-1, se cere s se calculeze, folosind teoria a III-a de rezisten, fora capabil. Se dau: a = 200 mm, b = 300 mm, c = 500 mm, d = 80 mm, (d - diametrul seciunii transversale al barei), a = 150 MPa.

Rezolvare:

Bara este deja reprezentat prin axa sa geometric i toate sarcinile acioneaz n centrul de greutate al seciunilor n care ele sunt aplicate.

Diagramele de eforturi (fr efortul tietor), sunt prezentate n Fig.2.3.2.4-2.

Seciunea periculoas este n ncastrare, unde acioneaz

eforturile: N = F 2.3.2.4-2a

c

FF

Fb

ab

Fig.2.3.2.4-1

+F

+F Fa

Fb Fa Fa

Fa

FbFb

Fa + Fc

N Mi Mt

Fig.2.3.2.4-2

Fb

Fb


61

Miz = F(a + c) 2.3.2.4-2b Miy = Fb 2.3.2.4-2c Mt = Fb 2.3.2.4-2d

n seciunea periculoas, exist o solicitare compus de categoria a II-a.

Relaia de calcul pentru aceast problem (problem de efort capabil, solicitare compus de categoria a II-a, seciune circular, teoria a III-a de rezisten), este (relaia 2.3.1-3):

a22rez 4 =+ 2.3.2.4-3 unde:

( )

+++=

++=+=d

bca81

d4F

W

MM

AF

WM

AN

22

2z

2iy

2iz

z

rezi,rez 2.3.2.4-4

33p

t

dbF16

16dbF

WM

=

== 2.3.2.4-5

Cu aceste valori pentru i , relaia 2.3.2.4-3, devine:

( )a2

22

22

2 db164

dbca8

1d

4F =+

+++ 2.3.2.4-6

de unde, se obine fora capabil:

( )kN92

db64

dbca8

14

dF

2

22

22

a2

cap

+

+++

=


62

2.3.2.5 Pentru manivela de pornire a unui motor, reprezentat schematic n Fig.2.3.2.5-1, se cere s se calculeze tensiunea maxim. La nevoie se va utiliza teoria a treia de rezisten. Se cunosc: F = 150 N, a = 140 mm, b = 240 mm, d = 18 mm, a = 80 MPa.

Rezolvare:

Bara reprezentat numai prin axa sa geometric i reducerea forei F n centrul de greutate al seciunii n care ea acioneaz, este prezentat n Fig.2.3.2.5-2a.

Diagramele de eforturi, sunt prezentate n Fig.2.3.2.5-2b,c. Seciunea periculoas este n ncastrare, unde acioneaz

eforturile: Miz = Fb Mt = Fa

Fd

a

b

Fig.2.3.2.5-1

a

b

a) b) c)

Fa

Fb

Fa

Fa

Mi Mt

Fig.2.3.2.5-2


63

Rezult o solicitare compus de categoria a II-a (ncovoiere plan cu torsiune).

Se utilizeaz relaia:

z

2t

2rezi,

z

ech(III)max(III)ech, W

MMW

M

+== 2.3.2.5-1 care explicitat pentru problema studiat, capt forma:

( ) ( ) =+=

+= 322

3

22

max(III)ech,32

32

d

abFd

FaFb

MPa80MPa73,41814024015032

a3

22

=+= <

Dup cum uor se poate constata, condiia de rezisten este satisfcut.

Calculul deformaiilor prin metode energetice

64

3. CALCULUL DEFORMAIILOR PRIN METODE ENERGETICE

3.1 Deformaiile la ncovoiere ale elementelor de rezisten Sub aciunea forelor exterioare, axa geometric a unui element de rezisten se deformeaz. n Fig.3.1-1 se prezint (linie ntrerupt) la o scar mult mrit, axa deformat a unei grinzi ncastrat la un capt i solicitat n captul liber de o for concentrat F.

Centrul de greutate C al unei seciuni oarecare de abscis x, se deplaseaz n punctul C1. Deplasarea CC1 a centrului de greutate al seciunii pe o direcie perpendicular la axa grinzii, se numete sgeata grinzii (deplasarea grinzii) din dreptul seciunii, sau sgeata seciunii grinzii. Sgeata se noteaz cu v, y sau . Deoarece axa grinzii, care se gsete n planul neutru nu-i modific lungimea n urma ncovoiereii, punctul C1 se va deplasa lateral fa de perpendiculara dus pe axa grinzii. Totui sgeile v sunt mici n comparaie cu lungimea grinzii i deplasarea lateral amintit este un infinit mic de ordin superior fa de lungimea grinzii, motiv pentru care aceasta (deplasarea lateral) se neglijeaz. n urma deformrii grinzii, seciunea rmne plan dar se rotete fa de poziia ei iniial. n Fig.3.1-2, se arat poziia seciunii (de abscis x), nainte i dup deformare.

C1

F

B

C

A

B1x

a

x

Fig.3.1-1

y


65

Unghiul cu care fiecare seciune se rotete n raport cu poziia sa iniial, poart numele de unghi de rotaie al seciunii, sau rotirea seciunii.

Pentru calculele de rezisten, este necesar uneori s se cunoasc sgeile i rotirile diferitelor seciuni ale elementului de rezisten. Valoarea maxim a deformaiilor (sgei i rotiri), poate servi drept criteriu pentru a se putea cunoate n ce msur se deformeaz un element de rezisten sub aciunea forelor exterioare. Astfel, pentru grinzile metalice, n funcie de destinaia lor, se impune ca sgeata s nu depeasc 1:1000 pn la 1:250 din deschiderea grinzii. n concluzie, la solicitarea de ncovoiere, seciunea unui element de rezisten, sufer dou deformaii: - sgeata (deplasarea) seciunii, - rotirea seciunii.

C1

F

BC

A

B1x

y

x

Fig.3.1-2


66

3.2 Metoda sarcinii unitare (Mohr-Maxwell) pentru calculul deformaiilor Dintre metodele energetice utilizate pentru calculul deformaiilor elementelor de rezisten, se prezint numai una i anume: metoda sarcinii unitare sau metoda Mohr-Maxwell. . 3.2.1 Consideraii generale. Etape de calcul Metoda sarcinii unitare sau metoda Mohr-Maxwell, este o metod uor de aplicat i nerestrictiv. Ea poate fi aplicat tuturor sistemelor static determinate, indiferent de solicitarea la care acestea sunt supuse. Ridicarea nedeterminrii sistemelor static nedeterminate, de asemenea se face uor prin aceast metod. n cazul unei solicitri de ncovoiere, pentru un element de rezisten cu un singur interval caracteristic de lungime a, deplasarea (sgeata) a unei seciuni pe o anumit direcie, se calculeaz cu relaia:

= a0

ii dxEI

mM 3.2.1-1

unde: Mi - expresia momentului ncovoietor pe acel interval, produs de sarcinile aplicate, mi - expresia momentului ncovoietor pe acelai interval, produs de o for concentrat unitar, aplicat n seciunea n care se calculeaz deplasarea i acionnd pe direcia deplasrii cerute, EI - rigiditatea la ncovoiere, fa de axa dup care este orientat momentul ncovoietor (Mi i mi trebuie s fie orientai dup aceiai ax principal). Pentru acelai tip de element de rezisten i acelai caz de solicitare (ncovoiere), rotirea unei seciuni se calculeaz cu relaia:

= a0

'ii dx

EImM 3.2.1-2

unde:


67

m'i - expresia momentului ncovoietor de pe intervalul considerat, produs de un moment concentrat unitar, aplicat n seciunea n care se calculeaz rotirea. Dac la determinarea momentelor ncovoietoare Mi, mi, m'i, elementul de rezisten trebuie mprit n mai multe intervale, atunci i integrala din relaia 3.3.1-1 i 3.2.1-2, se descompune ntr-o sum de integrale de forma:

= a0

ii dxEI

mM 3.2.1-3

= a0

'ii dx

EImM 3.2.1-4

Delimitarea intervalelor este impus i de existena pe fiecare interval a unei rigiditi constante. Pentru cazul existenei i a solicitrii axiale i de torsiune i a mai multor intervale caracteristice, relaiile 3.2.1-3 i 3.2.1-4, capt forma:

++= a0

a

0 t

tta

0

ii dxEANndx

GImMdx

EImM

3.2.1-5

++= a0

a

0 t

tta

0

ii dxEANn'dx

GIm'Mdx

EIm'M 3.2.1-6

unde: N, n, n', Mt, mt, m't au aceeai semnificaie, numai c se refer la solicitarea axial, respectiv torsiune. Pentru seciuni circulare, rigiditatea la torsiune GIt, devine GIp. Deoarece, deformaiile produse de efortul axial N i tietor T sunt mici n comparaie cu cele produse de ncovoiere i torsiune,


68

acestea se neglijeaz. Din acest motiv, n relaiile 3.2.1-5 i 3.2.1-6, nu apare efortul tietor, ci numai cel axial, ncovoietor i de torsiune. Pentru calculul deformaiilor la ncovoiere i torsiune, se parcurg urmtoarele etape (sistemul trebuie s fie static determinat):

n funcie de sarcinile aplicate, seciunile n care se calculeaz deformaiile i rigiditatea elementului, se stabilesc intervalele caracteristice.

Pentru elementul de rezisten ncrcat cu sarcinile aplicate, pe fiecare interval caracteristic, se scriu funciile de eforturi (notate Mi, Mt).

Se elibereaz sistemul de sarcinile aplicate, rezultnd un sistem nencrcat.

Aceste prime etape sunt comune, indiferent c se calculeaz deplasri sau rotiri. Pentru calculul deplasrii unei seciuni, se parcurg etapele:

Pe sistemul obinut mai nainte (nencrcat), n seciunea n care se calculeaz deplasarea i pe direcia deplasrii cerute, se pune o for concentrat unitar (de valoare unu).

Pentru elementul de rezisten astfel ncrcat, se scriu pe fiecare interval caracteristic funciile de eforturi, notate mi, mt. Avnd stabilite funciile Mi, Mt, mi i mt, pe fiecare interval caracteristic se aplic relaia 3.2.1-5 i astfel dup rezolvarea relaiei, se obine deplasarea cerut.

Pentru calculul rotirii unei seciuni, se parcurg etapele:

Elementul de rezisten nencrcat (obinut dup primele trei etape), se ncarc cu un moment concentrat unitar (de valoare unu) n seciunea n care trebuie determinat rotirea.

Pentru acest sistem astfel ncrcat, se scriu funciile de eforturi, care se noteaz cu m'i, respectiv m't.

Avnd stabilite funciile Mi, Mt, m'i i m't, se aplic relaia 3.2.1-6, iar dup rezolvarea acesteia, se obine valoarea rotirii cerute.


69

Rezultatele cu semnul +, confirm c deformaiile se produc n sensul sarcinilor unitare aplicate, iar semnul - , n sens contrar sensului sarcinilor unitare aplicate. 3.2.2 Modele de probleme rezolvate 3.2.2.1 Pentru cadrul de rigiditate constant din Fig.3.2.2.1-1, se cere: a) deplasarea total a seciunii n care acioneaz fora F, (1=?) b) rotirea seciunii 2, ( 2 = ?). Pentru ambele deformaii, se va neglija efectul efortului axial i tietor.

Rezolvare: Se parcurg etapele recomandate pentru astfel de probleme.

Pentru cadrul din Fig.3.2.2.1-1, innd seama de rigiditatea sa i de deformaiile cerute, rezult dou intervale caracteristice: 1 - 2 i 2 - B, (Fig.3.2.2.1-2) .

Fa

2a

12

B

Fig.3.2.2.1-1


70

Funciile de eforturi pe aceste intervale caracteristice, sunt

(N, T se neglijeaz, Mt nu exist): Intervalul 1 - 2, Mi = Fx 3.2.2.1-1 Intervalul 2 - B, Mi = Fa 3.2.2.1-2

Se elibereaz cadrul de sarcinile aplicate, rezultnd sistemul din Fig.3.2.2.1-3.

a) S calculm deplasarea total a seciunii 1, seciune n care acioneaz fora aplicat F, (vezi Fig.3.2.2.1-4).

Deplasarea total a seciunii 1 (1) este segmentul 11'. Nu este cunoscut direcia deplasrii seciunii 1, dar ea poate fi scris, funcie de deplasarea pe orizontal i vertical a acestei seciuni (Fig.3.2.2.1-4), astfel:

21V

21H1 11 +== 3.2.2.1-3

Aadar, pentru calculul deplasrii totale a seciunii 1, trebuie calculate deplasarea pe orizontal 1 i cea pe verical 1V, ale seciunii 1. Pentru nceput, calculm deplasarea pe orizontal a seciunii 1.

x

Fa

2a

12

B

Fig.3.2.2.1-2

x1

2

B

Fig.3.2.2.1-3


71

Punem n seciunea 1 a sistemului din Fig.3.2.2.1-3, o

for concentrat unitar, orientat pe orizontal (Fig.3.2.2.1-5).

Pe cele dou intervale caracteristice 1 - 2 i 1 - B, funciile de eforturi, sunt:

Intervalul 1 - 2: mi = 0 3.2.2.1-4 Intervalul 2 - B: mi = 1x 3.2.2.1-5

Cu funciile de eforturi date de relaiile 3.2.2.1-1, 3.2.2.1-2, 3.2.2.1-4, 3.2.2.1-5, se scrie relaia 3.2.1-3:

=+= 2a0

3a

01H EI

2FadxEI

xFadxEI

0Fx 3.2.2.1-6

Calculm acum deplasarea seciunii 1, pe vertical.

1

1

1H

1V

Fig.3.2.2.1-4

1x

x

B

12

Fig.3.2.2.1-5


72

ncrcm cadrul din Fig.3.2.2.1-3, n seciunea 1, cu o for concentrat unitar, orientat pe vertical (Fig.3.2.2.1-6).

Pe aceleai intervale caracteristice, scriem funciile de eforturi: Intervalul 1 - 2: mi = 1x 3.2.2.1-7 Intervalul 2 - B: mi = 1a 3.2.2.1-8

Cu funciile eforturilor Mi (rel.3.2.2.1-1,2) i mi (rel.3.2.2.1-7,8), se calculeaz (cu relaia 3.2.1-3) deplasarea pe vertical a seciunii 1:

=+= 2a0

3a

01V 3EI

7FadxEI

aFadxEI

xFx 3.2.2.1-9

innd seama de relaiile 3.2.2.1-6 i 3.2.2.1-9, cu relaia 3.2.2.1-3, se obine deplasarea total a seciunii 1:

3EIFa85

3

21V

21H1

=+= 3.2.2.1-10 b) Pentru calculul rotirii seciunii 2, se procedeaz astfel:

Sistemul din Fig.3.2.2.1-3, se ncarc n seciunea 2, cu un moment concentrat unitar (Fig.3.2.2.1-7).

1

xx

B

12

Fig.3.2.2.1-6


73

Pentru sistemul din Fig.3.2.2.1-7, pe cele dou intervale

caracteristice, se scriu funciile de eforturi m'i: Intervalul 1 - 2: m'i = 0 3.2.2.1-11 Intervalul 2 - B: m'i = - 1 3.2.2.1-12

Cu funciile de eforturi Mi (rel. 3.2.2.1-1,2) i m'i (rel.3.2.2.1-11,12), aplicnd relaia 3.2.1-4, se calculeaz rotirea seciunii 2:

( ) =+= 2a

0

2a

02 EI

2FadxEI

1FadxEI

0Fx 3.2.2.1-13

Semnul - (minus) pentru rotire, arat c rotirea seciunii 2, se produce n sens invers sensului momentului concentrat unitar aplicat n seciunea 2. Modul de deformare al cadrului prezentat n Fig.3.2.2.1-4, confirm aceast concluzie.

1

xx

B

12

Fig.3.2.2.1-7


74

3.2.2.2 Pentru bara de rigiditate constant din Fig.3.2.2.1-1, s se calculeze: a) deplasarea pe vertical a seciunii 1, b) deplasarea pe orizontal a seciunii 1, c) rotirea seciunii 1. Rezolvare: Se parcurg etapele deja nsuite, pentru calculul deformaiilor. i la acest exemplu, se va ine seama numai de efectul momentelor. Pentru aceast bar, exist un singur interval, 1 - B.

Pentru bara din Fig.3.2.2.2-1, se scrie expresia momentului ncovoietor (moment de torsiune nu exist) n seciunea din intervalul 1 - B (Fig.3.2.2.2-2):

Mi = - FRsin 3.2.2.2-1

Se elibereaz bara de sarcina F aplicat i rezult sistemul din Fig.3.2.2.2-3.

RF

1

2

B

Fig.3.2.2.2-1

2

RF1

B

Fig.3.2.2.2-2

R

1

B

Fig.3.2.2.2-3


75

Pentru a calcula deformaiile cerute, se procedeaz astfel: a) Pentru calculul deplasrii pe verical a seciunii 1, pe bara din Fig.3.2.2.2-3, n seciunea 1, se pune pe vertical o for concentrat unitar (Fig.3.2.2.2-4) i pentru care n seciunea , se scrie expresia momentului ncovoietor miV:

miV = - 1(R - R cos ) = -R(1 - cos ) 3.2.2.2-2

Cu funciile de eforturi Mi (rel.3.2.2.2-1) i miV (rel.3.2.2.2-2), aplicnd relaia 3.2.1-1, se calculeaz deplasarea pe verical a seciunii 1:

( ) ( )[ ]

EI2FRdR

EIcos1RFRsin

3

01V ==

b) Pentru calculul deplasrii pe orizontal a seciunii 1, pe bara din Fig.3.2.2.2-3, n seciunea 1, se pune pe orizontal o for concentrat unitar (vezi Fig.3.2.2.2-5) i pentru care n seciunea , se scrie funcia momentului ncovoietor, m1H: miH = -1 R sin = R sin 3.2.2.2-3

2

R

1

1 B

Fig.3.2.2.2-4

2

R1 1

B

Fig.3.2.2.2-5


76

Cu expresiile Mi (rel.3.2.2.2-1) i m1H (rel.3.2.2.2-3), aplicnd relaia 3.2.1-1, se calculeaz deplasarea pe orizontal a seciunii 1:

( ) ( ) ==

0

3

1H 2EIFRdR

EIsinRsinFR

Cu deplasrile 1V i 1H, se poate calcula deplasarea total 1 a seciunii 1, cu relaia:

2

321H

21V1 42EI

FR +=+=

c) Pentru calculul rotirii seciunii 1, pe bara din Fig.3.2.2.2-3, n seciunea 1, se pune un moment concentrat unitar (vezi Fig.3.2.2.2-6), pentru care apoi, se scrie n seciunea , expresia momentului ncovoietor m'1:

m'1 = -1 3.2.2.2-4

Cu funciile de eforturi Mi (rel.3.2.2.2-1) i m'1 (rel.3.2.2.2-4), aplicnd relaia 3.2.1-4, se calculeaz rotirea seciunii 1:

2

R 1 1

B

Fig.3.2.2.2-6


77

Observaie: La barele drepte, n relaia 3.2.1-1 variabila este x i difereniala dx, iar la barele curbe, variabila este arcul de pe curb, iar difereniala trebuie s fie ds. Cum ns la bare curbe, variabila se ia unghiul , pentru a putea efectua integralele, trebuie adus i difereniala la d. Relaia dintre difereniala curbilinie ds i cea unghiular d, este: ds = Rd Aceasta este explicaia pentru care n relaiile de calcul ale lui 1V, 1H i n loc de dx n relaiile 3.2.1-1 ... 3.2.1-4, apare (Rd).


78

3.3 Metoda sarcinii unitare, procedeul Veresceaghin 3.3.1 Consideraii generale. Etape de calcul Nu ntotdeauna rezolvarea integralelor (mai ales n cazul prezenei mai multor sarcini) pentru calculul deformaiilor, este uor de fcut. Deoarece, sarcina unitar este fie o for unitar fie un cuplu unitar, diagramele mi, mt, m'i, m't sunt limitate de linii drepte (funciile acestor eforturi sunt liniare). n acest caz, integralele de forma:

dxmM ii etc. pentru orice contur, pot fi nlocuite cu alte mrimi. Veresceaghin, a propus nlocuirea diagramelor de tipul celor utilizate de Mohr-Maxwell, rezultnd un nou procedeu de calcul a deformaiilor. Trebuie specificat c, ceea ce a propus Veresceaghin este un procedeu i nu o metod nou, deoarece metoda este aceeai, cea a sarcinii unitare (Mohr-Maxwell), numai c rezolvarea integralelor se face printr-o metod grafo-analitic. Procedeul Veresceaghin, poate fi aplicat numai pe acele intervale pe care funciile eforturilor mi, mt, m'i, m't sunt liniare, deci acest procedeu nu poate fi aplicat barelor curbe. Calculul deformaiilor, prin procedeul Veresceaghin, se face pe baza urmtoarelor relaii:

deplasarea unei seciuni

++=t

tcticicN

GIm

EIm

EAn

3.3.1-1

rotirea unei seciuni

++=t

tcticicN

GIm'

EIm'

EAn' 3.3.1-2

unde:


79

, i, t - aria suprafeei diagramei de efort axial, ncovoietor, respectiv de torsiune, pe fiecare interval caracteristic, produs de sarcinile aplicate, nc, mic, mtc - valoarea efortului axial, ncovoietor, respectiv de torsiune, din seciunea corespunztoare centrului de greutate a suprafeelor , i, t, eforturi produse de sarcinile unitare concentrate puse n seciunile n care se calculeaz deformaiile. Procedeul Veresceaghin, dup cum se poate observa, impune trasarea diagramelor de eforturi att pentru sarcinile aplicate ct i pentru cele unitare puse n seciunile n care trebuie calculate deformaiile. Pentru calculul deformaiilor prin metoda sarcinii unitare, dar procedeul Veresceaghin, trebuie parcurse, urmtoarele etape:

Pentru sistemul dat, se traseaz diagramele de eforturi N, Mi, Mt (prin suprapunere de efecte), produse de sarcinile aplicate.

Se elibereaz sistemul dat, de toate sarcinile aplicate, rezultnd un sistem nencrcat.

Pentru calculul deplasrii unei seciuni pe o anumit direcie, se procedeaz, astfel:

Pe elementul de rezisten nencrcat (obinut mai nainte), se pune o for unitar concentrat, n seciunea n care se calculeaz deplasarea i avnd direcia deplasrii cerute.

Pentru acest sistem astfel ncrcat, se traseaz diagramele de eforturi n, mi, mt.

n funcie de diagramele sarcinilor aplicate, a rigiditii elementului de rezisten i a diagramelor forelor unitare, se delimiteaz intervalele caracteristice. Suprafeele diagramelor N, Mi, Mt de pe fiecare interval

caracteristic, se mparte n suprafee simple, la care se cunoate aria i poziia centrului de greutate.

Se calculeaz ariile acestor diagrame, rezultnd , i, t.

Se poziioneaz centrele de greutate ale acestor suprafee. Se calculeaz n diagramele n, mi, mt, valoarea eforturilor

din seciunile corespunztoare centrelor de greutate ale


80

suprafeelor de arie , i, t, pe care le notm cu nc, mic, mtc.

Cu ariile , i, t i valorile nc, mic, mtc, pe baza relaiei 3.3.1-1, se calculeaz deplasarea seciunii pe direcia cerut.

Pentru calculul rotirii unei seciuni, se procedeaz astfel:

Pe elementul de rezisten nencrcat, n seciunea n care trebuie calculat rotirea, se pune un moment concentrat unitar.

Pentru acest sistem, se traseaz diagramele de eforturi n', m'i, m't.

n funcie de diagramele sarcinilor aplicate, a rigiditii elementului de rezisten i a diagramelor momentului unitar, se delimiteaz intervalele caracteristice.

Suprafeele diagramelor N, Mi, Mt de pe fiecare interval caracteristic se mpart n suprafee simple la care se cunoate aria i poziia centrului de greutate. De cele mai multe ori, aceste suprafee sunt aceleai cu cele de la calculul deplasrilor.

Se calculeaz ariile acestor diagrame, rezultnd , i, t.

Se poziioneaz centrul de greutate al acestor diagrame. Se calculeaz n diagramele n', m'i, m't, valoarea

eforturilor din seciunile corespunztoare centrelor de greutate ale suprafeelor de arii N, i, t, pe care le notm cu n'c, m'ic, m'tc.

Cu ariile N, i, t i valorile n'c, m'ic, m'tc, pe baza relaiei 3.3.1-2, se calculeaz rotirea seciunii cerute.

n Fig.3.3.1-1, se prezint relaiile de calcul a ariei i poziia centrului de greutate, pentru cele mai ntlnite forme ale diagramelor de eforturi.


81

3.3.2 Modele de probleme rezolvate Pentru nceput, se va rezolva prin procedeul Veresceaghin, cadrul rezolvat la exemplul 3.2.2-1 prin procedeul Mohr-Maxwell. 3.3.2.1 Pentru cadrul de rigiditate constant din Fig.3.3.2.1-1, se cere: a) deplasarea total a seciunii 1 (1 = ?) b) rotirea seciunii 2 (2 = ?).

Rezolvare: Se vor urmri etapele prezentate mai nainte, referitoare la aplicarea procedeului Veresceaghin pentru calculul deformaiilor. Pentru acest exemplu, se va ine seama numai de momentul ncovoietor (N, T se neglijeaz iar Mt nu exist).

a) Pentru sistemul dat, se traseaz diagrama de moment ncovoietor Mi (Fig.3.3.2.1-2a).

h h h

b/4 b/2 b/2

b

b b

b/3 2b/3

3b/4

3b/8 5b/8

Fig.3.3.1-1

Fa

2a

12

B

Fig.3.2.2.1-2


82

Se elibereaz sistemul dat (Fig.3.3.2.1-1) de toate

sarcinile aplicate, rezultnd cadrul din Fig.3.3.2.1-2b. Se ncarc cadrul din Fig.3.3.2.1-2b cu o for concentrat

unitar, aplicat pe vertical n seciunea 1 (Fig.3.3.2.1-2c) i se traseaz diagrama miV (Fig.3.3.2.1-2c).

Se contureaz dou intervale: 1- 2 i 2 - B. Pe cele dou intervale, diagramele au forme simple (triunghi, respectiv triunghi) la care se cunoate aria i centrul de greutate.

Suprafeele rezultate, au ariile (Fig.3.3.2.1-2a): Pe intervalul 1 - 2: 1 = F a a / 2 = Fa2/2 3.3.2.1-1 Pe intervalul 2 - B: 2 = Fa2a = 2 Fa2 3.3.2.1-2

Se poziioneaz centrele de greutate ale celor dou suprafee.

n seciunile corespunztoare celor dou centre de greutate, dar din diagrama miV, se calculeaz momentele mic1, respectiv mic2 (Fig.3.3.2.1-2c), rezultnd:

a32mic1 = 3.3.2.1-3

amic2 = 3.3.2.1-4

Aplicnd relaia 3.3.1-1 i innd seama de relaiile 3.3.2.1-1 ... 3.3.2.1-4, rezult deplasarea pe vertical a seciunii 1:

3EI7Fa

EIm

EIm

3

ic2i2ic1i11V =+= 3.3.2.1-5

Fa a

Fa

1 2

Fig.3.3.2.1-2

B

a

a a

2a

F 1 1 1

1

1

a) b) c) d) e)

Mi miV miH mi

2a/3


83

S-a obinut acelai

Rezistenta Materialelor Vol2 Tripa Hluscu

Documents

Transcript of Rezistenta Materialelor Vol2 Tripa Hluscu