Matematici speciale i metode numericeREZIDUURI I APLICAII1. Formule pentru reziduuriCnd singularitiledau valoarea i nuana.Teorema reziduurilorDefiniia 1. Fie f(z) o funcie care are nC a z un pol sau un punct singular esenial izolat. Rezult c dezvoltarea n serie Laurent n vecintatea punctuluiz = a, va fi:( )nnna z c ) z ( f (1)Coeficientul1cal termenuluia z1se numete reziduul funciei f(z) relativ la punctul singular z = a i se noteaz rez(f; a).innd seama de formula ce d coeficienii seriei Laurent +a1 nndz) a z () z ( fi 21c avem1dz ) z ( fi 21c (2)undeesteuncerccucentrulnpunctulz=a, situatncoroanacircular , R a z r < < n care f(z) este olomorf.Reziduul funciei f(z) se poate calcula totodat cu ajutorul dezvoltrii n serie Laurent a funciei f(z) n jurul punctului z = a.1Elemente de algebr, geometrie i calcul tensorial1.1. Formule pentru calculul reziduurilorn cazul n care z = a este un pol multiplu de ordinul p, calculul reziduului se poate face cu formula:( )( ) 1 p pa z)] z ( f ) a z [( lim! 1 p1) a , f ( rez(3)n particular, pentru p = 1, avem: )] z ( f ) a z [( lim ) a , f ( reza z (4)Dac simplificarea cu (z-a) n formula (4) nu este posibil i ,) z ( h) z ( g) z ( f unde g(z) i h(z) sunt olomorfe n z-a i 0 ) a ( h , 0 ) a ( h , 0 ) a ( g atunci calculul reziduului se poate face cu formula:) z ( h) z ( glim ) a , f ( reza z(5)Reziduul unei funcii n punctul de la infinit (z= ) este dat de relaia: dz ) z ( fi 21) , f ( rez (6)undeeste un cerc cu centrul n origine i de raz R suficiente mare, pentru ca n exteriorul lui funcia nu aib alte singulariti dect punctul de la .Teorema reziduurilor (Cauchy)Dacesteocurbsimplnchisrectificabil, ninteriorul creia funcia uniform f(z) are un numr infinit de puncte singulare izolate , a ,..., a , an 2 1 atunci: 2Matematici speciale i metode numerice) a , f ( rez i 2 dz ) z ( fn1 kk (7)Teorema2.Dacfunciaf(z)areunnumrfinit depunctesingulare izolate, atunci suma reziduurilor acestei funcii relativ la toate punctele singulare inclusiv punctul de la infinit este nul.Pentrucalculul unor integraledefinitedindomeniul real cuajutorul teoremei reziduurilor procedm n felul urmtor: a)Alegem o funcie complex f(z) care pe axa real se reduce la f(x);b) Completm intervalul de integrare cu un arc de cerc (semicerc sau cerc) pentru a obine un contur nchis;c)Aplicm teorema reziduurilor;d) Evalum valoarea integralei pe drumul adugat. Dac drumul aduga este un arc de cerc, evaluarea integralei se poate face innd seama de urmtoarele leme:Lema 1. Dac AB este un arc de cerc cu centrul n a i de raz r, iar f(z) o funcie continu ntr-o vecintate a punctului a, exceptnd eventual punctul a, care satisface condiia:( ) k ) z ( f a z lima z (8)atuncik ) ( i dz ) z ( f limAB 0 r unde . ) a z arg( Lema 2. Dac AB este un arc de cerc cu centrul n a i de raz R, iar f(z) ofunciecontinunexteriorul cercului cucentrul na, exceptndeventual punctual de la infinit, care satisface condiia:k ) z ( f ) a z ( limR (9)atunci 3Elemente de algebr, geometrie i calcul tensorial AB Rk ) ( i dz ) z ( f limunde . ) a z arg( Lema 3. (Jordan).Dac f(z) o funcie olomorf n semicercul ) 0 y , R y x : (2 2 2 + i tinde uniform ctre zero cnd , R z atunci > ). 0 ( 0 dz ) z ( f e limz iR2. Integrale cu teorema reziduurilorI. Integralele de forma: dx) x ( Q) x ( Punde P i Q sunt dou polinoame care ndeplinesc condiiile:1. R x 0 ) x ( Q (nu are rdcini reale)2. 2+ grad P(x) grad Q(x), sunt convergente.Pentru calculul acestor integrale cu teorema reziduurilor alegemf(z) =) z ( Q) z ( Pi conturul de integrare AB unde ) 0 , R ( B ), 0 , R ( A iar semicercul. 0 y , R y x2 2 2> +Exemplu1:dx1 x1 xI42 ++4Matematici speciale i metode numericeAvem ndeplinite condiiile: R x 0 1 x ) x ( Q4 + i 2 + grad P grad Q, deci integrala este convergent.Alegem 1 z1 z) z ( f42++i conturul de integrare din fig.1.Figura 1Atunci dz1 z1 zdx1 x1 xdz1 z1 z42RR4242 +++++++Funcia 1 z1 z) z ( f42++ are poli simpli:3 , 2 , 1 , 0 k ,4k 2sin i4k 2cos zk + + + dincarenumai4sin i4cos z0+ i43sin i43cos z1+ seafln interiorul conturului mrginit de curba .Aplicm teorema reziduurilor avem:)] z , f ( rez ) z , f ( rez [ i 2 dz1 z1 zdx1 x1 xdz1 z1 z1 0 42RR4242+ +++++++ dac . z R >Dac trecem la limit n egalitatea precedent i inem seama c5r r xbOElemente de algebr, geometrie i calcul tensorial0 ) z ( zf limz R i de lema (2) rezult:)] z , f ( rez ) z , f ( rez [ i 2 dx1 x1 xdx1 x1 xlim1 0 42RR42R+ +++++ Calculm42 iz 4) 1 z ( zlimz 41 zlim ) z , f ( rez420z z320z z0++ 42 iz 4) 1 z ( zlimz 41 zlim ) z , f ( rez421z z321z z1++ n consecin 242 i42 ii 2 dx1 x1 2 xI4

,_

++ .II. Integralele de forma:( ) d cos , sin R I20unde R(u,v) este o funcie raional se pot calcula cu teorema reziduurilor dac se face schimbarea de variabil . e ziAtunci( )

,_

z1zi 21e ei 21sini i( )

,_

+ + z1z21e e21cosi iiar . d ie dzi Cnd parcurge intervalul [ ] z , 2 , 0 parcurge cercul 1 z o singur dat. Ca urmare( )). z , R ( rez i 2 dzz1z21,z1zi 21Rd cos , sin R Ikk1 x20

,_

,_

+ ,_

6Matematici speciale i metode numericeFuncia R fiind raional nu are alte singulariti dect poli.Alegem pe aceia care sunt n interiorul cercului . 1 z Exemplu 2: 202sin 2dIEfectund schimbarea de variabil d ie dz , e zi i integrala dat devine:( ) ( ) ( ) + + + + kkkkkk1 z2 41 z2 4220z , f rez 8 z , f rez 8 z , f rez i 2i41 z 6 zzdzi4izdz1 z 6 zz 4sin 2dIFuncia 1 z 6 zz2 4+ + are patru poli, iar n cercul 1 z se afl polii. 8 3 z , 8 3 z2 1+ + ( )2 422 421z z31z z18 3 12 8 3 48 3z 12 z 4zlimz 12 z 4zlim z , f rez

,_

+ +

,_

+

,_

+ ++ ( )2 422 422z z32z z28 3 12 8 3 48 3z 12 z 4zlimz 12 z 4zlim z , f rez

,_

+ +

,_

+

,_

+ ++ Avem( ) ( )82z , f rez z , f rez2 1 +i deci7Elemente de algebr, geometrie i calcul tensorial. 2828sin 2dI202 III. Integralele de forma: xdx sin ) x ( F J, xdx cos ) x ( F Ipresupuseconvergentesecalculeazcuajutorul teoremei reziduurilor, lund drept contur de integrare AB unde) 0 , R ( B ), 0 , R ( A i semicercul0 y , R y x2 2 2> +i integrala: + + dx e ) x ( F dx ) x sin i x )(cos x ( F iJ I Kx iPentru calculul integralei K pe conturul menionat utilizm funcia:. e ) z ( F ) z ( fz i Exemplu 3:dx5 x 2 xx 2 cos xI2 + Pentru calculul integralei I, asociem integraladx5 x 2 xx 2 sin xJ2 + i mpreun cu I avem:dx5 x 2 xxeiJ I K2ix 2 + + Evident ReK=I i ImK=J. Conturuldeintegrare AB unde A(-R, 0),B(R, 0) iareste semicercul 0 y , R y x2 2 2> + (fig.1). Calculm integrala dz5 z 2 zze2iz 2+ 8Matematici speciale i metode numericeCare pentru y = 0 se reduce la K. Avem + + 1 kkRR2ix 22ix 2) z , f ( rez i 2 dz5 z 2 zxedz5 z 2 zze(10)Pe cerculfuncia5 z 2 zz) z ( g2+ satisface relaia 5 R 2 RR) z ( g2+ i deci , 05 R 2 RRlim ) z ( g lim2R R+ adic g(z) tinde uniform ctre zero cnd Ri conform lemei (3) avem:0 dz5 z 2 zzelim2iz 2R+ Funcia5 z 2 zze) z ( f2iz 2+ arepoliii 2 1 z1+ i, i 2 1 z2 din care numai 1z este n interiorul domeniului mrginit de . n consecin( )( )( )i 4e e i 2 1i 4e ) i 2 1 (z z z zze ) z z (lim ) z , f ( rezi 2 4 ) i 2 1 ( i 22 1iz 211z z1 ++ +Ca urmare)] 2 sin 2 cos 2 ( 2 sin 2 2 [cose 2i 4e e ) i 2 1 (i 2 dz5 z 2 zze4i 2 42iz 2+ + + + Trecnd la limit n (12) pentru Robinem:( )] 2 sin 2 cos 2 i 2 sin 2 2 [cose 2dx5 x 2 xxeK4 2ix 2+ + + respective9Elemente de algebr, geometrie i calcul tensorial( ) ( ) 2 sin 2 cos 2e 2J; 2 sin 2 2 cose 2I4 4+ 3. Aplicaii la reziduuri cu integrale i formule pentru reziduuri3.1. S se arate c:3.1.1. ++ 34dx1 x1 x643.1.2. ( )a 2dxa xx22 22+ 3.1.3.( )a 4dxa xx022 22+3.1.4. ( )( )( )( ) b b a a 2b a 2b x a xdx2 3 2 2 2 2++ + + 3.1.5. 1 p 0 ,p sinxdxx 1x01 p< + 10Matematici speciale i metode numerice3.1.11. 1 p ,p 1p 1dp cos 2 12 cos242022< + + 3. 2. Aplicaii diverse3.2. a) Aplicnd formulele integrale ale lui Cauchy, calculai integralele:1. ( )2 2i z C, dzi z2zcoshIC4 + +24 2zcosh3!i 2I : R4i z ,_

2. 0 4 - y 4x : C ; dz1 ze zI2 2C2z i 100 ++R: I =2iz100eizziz=i2iz100eizziz=i=2sinh 3.2. b)Calculai) z , f ( rezk=reziduul funciei f(z) relativlapunctul su singular kz(pol sau punct singular esenial izolat).1. z sinhe) z ( fiaz2. nn 2z 1z) z ( f+3. ( )2z11 ze) z ( f11Elemente de algebr, geometrie i calcul tensorial4. ( )n21 z1) z ( f+5. z 113e z ) z ( f Soluii:1. Z k , ik zk sunt poli de ordinul unu( )( )2 / e ) 1 () i k c o s h (ez zs i n hez ; f r e za ka kki a zk z este punct singular esenial neizolat pentru care nu se pune problema reziduului (Argumentare dup problema 5).2.1 n , 0 k , e zn) 1 k 2 (ik +sunt poli deordinul unui z pol de ordinul n.n) 1 k 2 (ikknk1 nn 2ken1nzz znz zz zn zz) z , f ( r e z + '

,_

+ + + 1 n dac 11 n dac 0) , f ( rez...z1z1z11 zz111z ) z ( fn 3 n 2 nnnn12Matematici speciale i metode numerice3. z = 1 este pol de ordinul doi: ( )( )e1 ze1 zdzd) 1 , f ( rez1 z2x12

,_

i z = 0 este punct singular esenial izolat rez(f,0) = e dup cum se vede din dezvoltarea:( )...z1...! 21! 111 ...... z! 23 2z! 121 ...z1! 21z1! 111 z 1 e ) z ( f222z1+

,_

+ + + +

,_

++ +

,_

+ + + 4. z = i i z = -i sunt poli de ordinul n.( )( )( )( ) ( ))! 1 n ( 2) 2 n 2 )...( 1 n ( ni1) i , f ( rez)! 1 n ( 2) 2 n 2 )...( 1 n ( ni1i z i z1i zdzd! 1 n1i , f rez2 n 22 n 2i zn nn1 n1 n + +

,_

+ 5. z = 1 este punct singular esenial izolat iar z este pol de ordinul trei. Dezvoltnd n jurul punctului z = 1 obinem:241! 41! 33! 23! 11c...) z 1 (1! 31) z 1 (1! 21z 11! 111 ) 1 1 z ( ) z ( f13 23 + +

,_

++++ + Deci 241) 1 ; f ( rez ) , f ( rez2411) ; f ( rez S vedem pentru problema 1, de ce znu este izolat.. k y 0 isuny 2 e e ; 0 sinh-z z 13Elemente de algebr, geometrie i calcul tensorialDeci pentru . k m 0; sinhz ; ik z 6. Utiliznd teorema reziduurilor, calculai integralele:6.1.0 3 - 2y - y x : C ;z cos zdz2 2c2 +Funcia are o infinitate de puncte singulare (polii de ordinul unu, z = 0, 2) 1 k 2 ( z ;2) 1 k 2 ( zk k+ t + t i singularitatea neizolat, punctul limit de poli z .)( )2k2k2kkz z2kz sin z 2 z cos1z cos z1) z , f ( rezn interiorul conturului C avem polii:25i ,23i ,2i ,2, 0 ,2 cu reziduurile: .51,31,1,1, 1 ,1 Deci .15431 i 2 I ,_

6.2. dz e zC1 zz 22+a)0 x 2 y x : C2 2 + +b) 21y x : C2 2 +Dezvoltnd n jurul lui z =-1 obinem:14Matematici speciale i metode numericea) ( )( ) ( ) ...1 z1e322... ...1 z2! 211 z2! 111 ) 1 ) 1 z ( 2 1 z ee 1 1 z e z222 21 z2221 zz 22++

,_

+

,_

+ ++ + + + + ++; e322C ) 1 ; f ( rez21 b) ) 1 ; f ( irez 2 I 6.3. dzz1cos zr znz = 0 este punct singular esenial izolat. Calculm rez (f;0).. ...z1)! n 2 (1) 1 ( ...z1! 41z1! 211 zz1cos zn 2n4 2n n

,_

+ + + + Dac . 0 C , k 2 n1 Pentru . 1 k p zzz, 1 k 2 n1p 21 k 2+ + +( ) ( ) ( )! 1 n) 1 (! 1 n) 1 (! 2 k 2) 1 (C21 n121 n1 k1++++++Deci . iC 2 I1 6.4. ( ) +C2 22dz3 iz 4 z zz sinIa) 3 z : C ; b) 1 i z : C ;c) 211 z : C +Soluii: z = 0 pol dublu, z =-i, z =-3i poli simpli.). i 3 , f ( irez ) i , f ( irez 2 ) 0 , f ( irez 2 Ia + + 15Elemente de algebr, geometrie i calcul tensorial) 0 , f ( irez Ib . 0 Ic conform teoremei lui Cauchy.6.5. Se consider conturul triunghiular C care se obine unind dou cte dou punctele: . 2 z , i 2 z , i 2 z3 2 1 Calculai ( ) ( )+ + +c2 21 z ) 2 z ( 1 zdzSoluie:( ).10i5120i 220i 20) 2 ; f ( irez2) 1 ; f ( irez i ; f irez ) 1 ; f ( irez 2 dz ) z ( fc

,_

+++ + + + + Figura 26.6. Aplicaii:1. Dac a > 0, R > a, s se calculeze:( )( ) rezf(-ai) rezf(ai) rezf(0) i 2 Iai z 0; z ;a zdzR z22 2+ + t +,a1) z ( zf ) 0 ( rezf0 z 162 xyi 2oi 2 Matematici speciale i metode numerice( )ai z2 22) ai z ( ) ai z ( z1ai z ) ai ( rezf

,_

+ 2. +a z2 3) z 1 ( zdz pentru a < 1, a > 1.3. Calculai1 a , dz) z 1 ( zeIa zz1> utiliznd reziduul lui f n punctul de la infinit. 1 z : R >. 0 I 0 c ...z1z11 ...z1! 21z1! 111z1z111ez1) z ( f12 2 2z12 ,_

+ + + ,_

+ + + 4. dcos ia bn cosI0Soluie: dcos ia bn sin i21Jcreia i atam integrala nul + dcos ia be21iJ IinNotnd2z1 zcos ,izdzd , z e2i+ .Prin nlocuire obinemdza biz 2 azziJ I1 x2n+ + +17Elemente de algebr, geometrie i calcul tensorialn interiorul cercului funcia de integrat are doar polulab b ai z2 21 +cu reziduul:rez f ; z1=zn2azizbz=z1=in2ia2b2ana2b2bnRezult:( )n2 2n2 2n1b b aab aiz ; f irez 2 I

,_

+ ++ 5. dxx cos 4 5nx sin x sinI Soluie:Atam cu integrala nuldxx cos 4 5nx cos x sinJ Calculnddx.x cos 4 5x sin eiI iI Jinx +Punndz eix ( )1 n1 z21 n 2221; f irez 2212 z 5 z 2dz z 1 z21iI+

,_

+ 18Matematici speciale i metode numerice19