RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori...

190
RETROSPECTIVA MITE MIT

Transcript of RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori...

Page 1: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

RETROSPECTIVA MITE MIT

Page 2: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Retrospectivă matematică Culegere de probleme întocmită de

Titus 1. Popescu

Page 3: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Retrospectivă matematică

Culegere de probleme întocmită de TITUS 1. POPESCU

BUCUREŞTI - 1977

Coperta de Eugen Stoian

Referent ştiinţific: Eugen Rusu

Page 4: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Cuprinsul

- Cuvint introductiv

- Despre numere şi sisteme de numeraţie

PROBLEME 1. Probleme antice şi medievale

2. Probleme captivante

3. Probleme celebre

4. Probleme criptaritmetrice - Probleme cu lege de compoziţie

5 . Erori şi paradoxuri matematice a. Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice

6. Un concurs antrenant

7. Probleme recreative 8. Versiuni noi ale unor

·probleme mai vechi

- Date sumare asupra unor matematicieni citaţi in lucrare - Cîteva opere de matematică celebre in antichitate

- Orientare (relativă) asupra nivelului problemelor . . .

RASPUNSURI 1. Probleme antice şi medievale

2. Probleme captivante

3. Probleme criptaritmetice 4. Un concurs antrenant

5. Paradoxuri matematice . 6. Probleme recreative 7. Versiuni noi ale unor probleme mai vechi

Bibliografie . . . . . .

5 9

21 44 59 67 69 72 72 79

82

87 96

100

106

108

111

149

167 172

1 73

175

181

187

Page 5: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Cuvînt introductiv

Prezenta lucrare are o structură originalii prin faptul cli işi propun e sli p u n ă cititorul ln sit uatia de a parcurge, printr-un bogat şir de probleme, evoluţia matematicilor elementare, tnceplnd din antichitate.

Această călătorie, însă, n u este numai informativă, n u este participarea la un f ilm atractiv, ci are un serios caracter formativ şi instructiv, îndeosebi pentru tineret.

ln plus, această retrospectivă mobilă şi antrenantă are o calitate greu de pretuit, aceea de a p une ln lumină vie şi revelatoare rădăcinile permanent arti11e ale matematicii în realitatea obiectivă, în practica socială, chiar şi at unci cind problema înfăfişată are un caracter ostentativ distractiv. Este chiar surprinzător de frecvent acest caracter în preocupările celor mai de seamă savanţi şi cărturari ai tuturor epocilor, iar fapt ul că autorul reuşeşte să-l integreze cu elegantă, dar şi cu hotărîtii fidelitate de-a lungul intregii sale lucrări, constituie un merit ce trebuie s ubliniat.

Culegerea de probleme nu are un caracter didactic deliberat şi deci n u trebuie privită ca un auxiliar al pregătirii vreunei categorii de elevi sau studenţi in vederea vreunui examen sau concurs. Tot uşi, ar fi greşit şi chiar mai uiu, superficial, să credem că problemele cuprinse în ea n u ar fi utile unei astfel de pregătiri. Dimpotrivă, multe dintre ele prezintă dificultăţi care imp un stăpînirea sigură a rationamentelor matematice, dau de lucru ingeniozităţii şi necesită folo­sirea unor tehnici delicate ale instrumentelor matematice. Este dealtfel şi firesc Sli fie aşa, dacă ţinem seama că unele probleme sînt semnate de nume prestigioase, iar altele fac parte din patrimoniul, din fericire păstrat şi transmis pînii la noi, al ştiintei universale a veacurilor trecute.

Stăpînind o deosebită culturii ştiinţificii şi calităţi literare, autorul prezintă cu talent diferitele secţiuni ale textului. Lucrarea are la bază o concepţie clară care apare chiar din titulatura capitolelor. Ea începe cu o prezentare a modului in care omenirea a conceput şi asimilat numerele şi cum le-a reprezentat grafic, cum le-a exprimat verbal şi cum le-a folosit tn operaţiile elementare. Diversele sisteme de numeraţie folosite din cea mai indepărtată antichitate ne dau o viziune t ulburătoare a eforturilor făcute de mintea omenească pentru a stăpini numerele şi operaţiile cu acestea în viaţa socială, în practică şi în dezvoltarea altor disci­pline ştiinţifice.

Ca o urmare firească a acestui capitol introductiv, cel de al doilea est e con­sacrat problemelor antice şi medievale. Aci găsim n ume ca cele ale lui Arhimede,

5

Page 6: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Hipocrate din Chios, Eudoxiu din Cnidos, Fi bonacci, Leonardo Pisano, Luca Pacioli sau Leonardo da Vinei, alt'fturi de altele ale unor învăţaţi orientali ca Sun-t::i, Bhaskara, Anania din Şirak, Liu Ruei, Al-Horezmi sau Al-Karadji.

Dar găsim şi texte anonime de probleme egipten e şi s umero-babilon ene. ruseşti, precum şi altele care n u se mai ştie de u nde şi cum provin, dar au ajuns pinii la noi impregnate in acel parfum nostalgic al trecutului pe care stilul epocii respecti/le ni-l insinu ează subtil.

Literatura beletristică n u este nici ea lipsită de probleme matematice şi autorul ne oferit exemple din Creangă şi Cehov.

L"rmătorul capitol se intit ulează ,.Probleme captivante", exprimind predi­lecţiile autorului p entru un n umăr important de probleme semnat e de n ume rcisunătoare sau chiar n esemnate, dar s uscitlnd interesul şi curiozitatea prin enunţurile lor. ca şi prin căile ingenioase de rezolvare.

Incepind cu celebra problemă a Didon ei, capitolul ne p u n e in faţa tablould pictorului Bogdanov-Belski in care se cere efect uarea u n ui calcul aritmetic, n e trece l a problema l u i Newton, apoi l a o problemă propusă de un zidar român şi publicată in Gazeta Matematică A. Numele mari n u lipsesc din nici o pagină a acest ui capitol unde ii intflnim pe Euler, Tolstoi, Lalescu, Duden ey ( enigmist englez celebru), Napoleon Bonaparte, Ţiţeica, Miqu el etc. Dar şi alte probleme ca rea a celor două izvoare de lumină, a celor 8 locomotive, a celor 7 poduri, a înălţimii munţilor din Lună, a zborului spre Lună, a rachetelor care se ciocn esc, a luptătorilor sau a nucilor de cocos, a sferei găurite, a hărţii sint demn e de a trezi interesul şi pasiunea amatorilor ca şi a sp ecialiştilor.

Capitolul este completat cu prezentarea unora dintre problemele celebre rămase in bună part e n erezolvate ca: dublarea cubului, trisecţiunea unghiului, cvadratura cercului, teorema lui Fermat sau problema lui Goldbach. Astfel, cititorul este, pe de o parte, informat corect asupra acestor probleme, iar pe de alltl parte. indemnat sc'l gîndească asupra posibilităţilor ca şi a imposi bilităţilcr rezolvării lor.

Problemele criptaritmetice, care fac obiect ul capitolului următor, st irnesc totdeauna curiozitatea şi interesul, fiind asimilate cu jocurile de cuvinte incrucişate, şarade, rebusuri etc .

• '!ce/aşi interes il trezesc şi paradoxurile matematice, foarte instructive fiin dcă arată cei raţionament ul matematic n u este infailibil şi că el trebuie controlat şi confruntat cu realitatea obiectivă. Erorile, care se fac, n u sint uşor de descoperit totdeauna şi, in consecinţă, nu trebuie si1 ne mirăm că intre aceste paradoxuri un ele sint celebre.

Dealtfel, intreaga lucrare are o valoare instructivă remarcabile!, autorul avind calitatea de a-şi conduce cititorul in mod plăcut si1 înveţe, ceea ce constituie un dublu ciştig. Un concurs antrenant, capitol care conţin e n umeroasele probleme­Lest date in S. U.A. la un concurs anual, p u n e in evidenţă caracterul competitiv pe care il cere acest concurs de viteză in raţionament.

Lucrarea se incheie cu un capitol intitulat "probleme recreative". De fapt, sint probl?me de matematici aplicate la viaţa cotidiană, in actele obişn uite, la situaţii re pot apărea oricui. Altele sint sub formei de basme sau scen ele, istorioare care cuceresr pe cititor şi-[ stimulează să facă raţionamente ingenioase, dintre care multe mt n ecesiW nici un instrument matematic complicat, ceea ce le mcireşte al rac ti tJitall'C/.

6

Page 7: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Pentru a rezuma această trecere ln J'evistă comentată ca o e.rcursie cu ghid turistic, consider lucrarea lui Titus Popescu reuşită atit ca alcătuire, cit şi ca prezentare. Autorul stăpîneşte bin e pirghiile rationamentului matematic, in special ale celui n ecesar in domeniul matematicii clasice, care prezinlli dificultciţi din cauza marii varietăţi a problemelor ce pot apărea.

Dat fiind valoarea acestei lucrt'iri care se adreseazt'i u n ui număr mare de cititori de diverse profesii şi virste, inclusiv elevilor de liceu şi profesorilor lor, o recomandt'im cu ct'ildură.

Acad. N. TEODORESCU

Page 8: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative
Page 9: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Numeri mundum regunt

Despre numere şi sisteme de numeraţie

Numărul reprez intă rezultatul unei măsurări. Acestui rezultat putem face să·i corespundă un semn grafic sau un grup

de sem ne grafice. Newton defineşte numărul real, nu ca o reuniune de unităţi, ci ca un

raport abstract între o mărime oarecare şi o altă mărime de acelaşi gen, luaU: ca unitate.

M. Cantor, cunoscut istoric al matematicii, consideră numărarea, res­pectiv numărul natural, ca o reunire conştientă a unor obiecte intr-un an­samblu.

După Frege şi Russel, numărul 1 este definit ca o proprietate sau, mai frecvent, ca o clasă, anume clasa tuturor claselor care conţin, fiecare, un singur element.

Numărul 2 este definit analog (ş .a .m . d. ) . Evoluţia acestor concepte şi modul de concret izare, în t imp şi spaţiu, la

d iferite popoare, sînt de o varietate u imitoare. La tribul indian de vînători abiponi din Argentina, pe cale de dispa­

riţie, călătorii au descoperit la începutul secolului trecut numerele 1 - initara şi 2 - inioaka. Numărul 3, ei îl exprimau ca inioaka-initara (după pri ncipiul aditiv), numărul 4 - degetele struţului, 5 - degetele m îinii, 10 - c!egetele ambelor m îini, 20 - degetele m îinilor şi ale picioarelor.

N. N. Mikluho-Maklai a descris un procedeu de numărare la locuitorii din Noua Gu inee:

"Papuaşul îndoai e degetele mîi nii unul dupcl altul, emi ţînd un anumi t sunet, de exemplu; be, be, be ....

Ajungind la 5, el spune i bon- be (m ină}. Apoi el tndoai e degetele celei lalte m iini , repet ind din nozz be, be, . . . pinci

clnd aj unge la i bon-ali (două mii ni). Apoi el merge mai departe, murmurind be, be . .. p înă cind ajunge la sam ba-be şi sam ba-ali (un picior, douii pi cioare}.

Daccl trebui e sii n umere mai departe, papuaşul foloseşte mii ni le şi picioarele unui alt i ns" .

9

Page 10: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Şi astăzi multe triburi australiene, de exemplu cele care locuiesc în golful Cooper, exprimă numeralele folosind repetarea: 1 - guna, 2 - barcula, �� - barkulaguna, 4 - barkula barkula.

In unele limbi, forma plural se dă prin simpla repetare; de exemplu în l imba h indi : bhai - frate, b hai-bhai - fraţi.

*

Sistemul de a scrie şi citi numerele pe care îl folosim az i se numeşte po:iţional, deoarece rolul principal îl j oacă poziţia cifrei.

Cifrele întrebuinţate se numesc c ifre arabe, deşi originea sistemului o găsim în India.

Aceste cifre nu au fost descoperite de un anumit învăţat, ci de oameni în­sărcinaţi cu ţinerea socotelilor comerţului, care au căutat procedee noi, mai potrivite acestui scop.

Cifra zero a fost descoperită mai t irziu, abia pe la anul 1 00- 1 50 al erei noastre. La indieni era denumită sunia (gol ) .

Sistemul de numeraţie pus la punct apare scris într-o lucrare din anu l 770, dar calea intrării sale în uz a fost foarte sinuoasă.

El a fost introdus în Europa mult mai tirziu - pe la anul 1 200, in Italia, - prin arabi, care făceau comerţ cu indienii.

Sistemul folosit de noi este sistemul cu baza 1 0, adică sistemul zecimal. Această bază a cunoscut o largă întrebuinţare, deoarece oamenii au învăţat să numere şi să socotească pe degete.

Călugărul Baeda (irlandez, 673 - 735) in lucrarea sa "De temporum ratione" face unica descriere completă a numărătorii pe degete. Degetele îndoite in anumite feluri pe palma m iinii reprezintă unităţi, zeci, sute şi mii, iar anumite gesturi făcute cu m iinile permit numărătoarea p lnă la un mi lion.

Incepind cu Boethius, englezii numesc şi azi unităţile - digitis, iar francezii - doigts.

O expunere amplă, in imagini, a numărătorii pe degete (pînă la 9000) găsim şi in lucrarea lui L. Pacioli ( 1494), " Summa de arithmeti ca" .

In istoria culturii popoarelor intilnim multe sisteme de numeraţie, adică sisteme cu baze diferite: 2, 3, 5, 10, 1 2, 20, 60.

Dintre acestea, exceptind pe cel in baza 1 0, cele mai răsp îndite au fost s istemele cu bazele 5 şi 20, găsite la popoarele din Siberia de Nord, America, Africa şi Oceania.

Astfel, in l imba api din Noile Hebride, seria numerelor simple se termină cu 5, numit luna, adică "mina" ; numerele succesive sint compuse: 6 este O-tai ( "un alt 1", adică 5 +1 ; 7 este O-luna ("un alt" = 5 +2) etc, in timp ce ,.zece" este exprimat prin luna-luna, adică "două m iini" .

Babilonenii au avut sistemul de numere cu baza 60, adică sexagesimal, dar foloseau şi un sistem mixt sexagesimal şi zecimal.

In C hina, cele mai vechi inscripţii numerice se intilnesc pe oase de ghicit din secolele al X IV-lea - al X I-lea i . e .n . Numărătoarea avea un caracte r zecimal . Cel mai mare număr intilnit este 30 000. Pentru scrierea numerelor se folosesc cifre-bastonaşe cu valoare poziţională : unităţile, sutele, zecile de mii s int verticale, iar zecile şi miile orizontale. 10

Page 11: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

ln Mexic, aztecii (sec. al X I I-lea e .n . ) aveau o scriere h.ieroglifică şi foloseau un sistem de numeraţie nepoziţ ional cu baza 20. Exemp le : 10 =O 20 -= p 50 - PP 0 ·

Unitatea următoare superioară era 1.00 = .;f, din care prin injnmiităţire

se obţ inea 200 = 4 Sistemul cu baza 1 2 se întî lneşte la unele triburi din Africa ct>ntralft;

o rămăşiţă a lui este numărarea in duzini . Din punct de vedere matematic se apreciază că acest sistem de numeraţie este mai avantaj os decit celelalte (cu baza 5 sau 20), deoarece baza sa ( 1 2) se imparte prin 3 şi 4 şi. datorită acestui fapt, este uşor de făcut operaţii cu împărţirile frecvent întîlnite ale cercului şi timpului .

ln marea Coral ilor, la răsărit de strimtoarea Terres, unele t ribur i nu t rec de sistemul binar: ele nu cunosc decît numerele 1 (urapun) şi 2 (okosa); toate numerele superioare sînt compuse prin adunarea: 4 este okosa-okcsa. 5 este okosa-okosa-urapun, adică 2 +2 +1 .

ln prezent, sistemul binar, complet incomod pentru viaţa de toate z ilt>le, este folosit cu avantaj e enorme in principiul de funcţionare - calcul al calcu­latoarelor.

ln sistemul binar nu avem decit două cifre: O şi 1 . Operaţiile aritmetice în acest sistem au la bază două reguli : a) 1 +1 = "10''

şi b) 1 . 1 = 1 . Exprimarea unui număr din sistemu l zecimal intr-un nou sistem de

numeraţie se face prin împărţirea numărului dat la noua bază; resturile succe­sive şi ultimul cît obţinut s int cifrele numărului căutat.

Astfel, pentru a exprima numărul 1 961 , scris in baza 1 O, printr-un număr cu baza 2, vom proceda astfel:

1 961 : 2 1 8 980 1 6 1 6

== 1

980 : 2 8 490 1 8 1 8 ==O

1 961 10=X� 490 : 2 4

9 8 1 0 1 0 -o

245

61 : 2 30 : 2 1 5 : 2 7 : 2 6 -

3 6 - 2 - 1 4 30 - 1 5 -

-1 10 -1 10

o Rezultă: X2= 1 1 1 1 0 101001 Deci 1 961 10= 1 1 1 10 10 1001 11

-

7 1

245:2 2 1 22 =4 4 -5 4 1

3 : 2 2 1 1

122: 2 1 2 61

==2 2 o

1 1

Page 12: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1961

2

Verificarea se poate face punind in evidenţă puterile bazei: 1 1 1 10 10 1001 2= 1 · 210 +1 • 2' +1 · 28 +1 · 27 +O · 21 +1 · 25 +O · 24 +

+1 . 23 +0 . 22 +0 . 21 +1 . 2°= 1 961 10 Trecerea unui numiir dintr-un sistem de numera ţi e cu o bazii oarecare

in sistem ul cu baza 10 se face astfel: inmulţim numărul unităţilor de cel mai mare ordin n cu baza ridicată la puterea n- 1 ; la produsul obţinut adunăm numărul unităţilor de ordin imediat inferior n- 1 înmulţit cu baza ridicată l a puterea n - 2 etc.

Exemple. 1 ) Dacă sistemul de numeraţie ar fi în baza 8, atu nci numărul 2568 (atenţie: nu se citeşte două sute, cincizeci şi şa�e.) se poate scrie in sistemul zecimal astfel:

12

2568= 2 • 82 +5 • 81 +6 · 8°= 2 · 64 +5 • 8 +6= 1 74 10 2) Să se arate că:

(501 7- 141 5) • 1 01 03 +(5628- 1 548) • 1 0 102 : 900010= 1 Re=olvare:

(5 . 72 +0 . 7 1 +1 . 7°- (1 . 52 +4 . 51 +1 . 5°)) . ( 1 . 33 +0 . 32 +1 . 3 +0) + +(5 · 82 +6 • 81 +2 • 8° - (1 • 62 +5 · 6 +4)) • (1 • 23 +0 +1 · 2 +0)= = (245 +1 - (25 +20 +1))(27 +3) +(320 +48 +2- 70) . 1 0= = (246-46) . 30 +(370- 70) . 1 0= 9000 : 9000::1

3. Să se demonstreze identitatea:

Soluţie: ( 1 00102 +1 1 203) • 1 21 4-40005= 326 • 1 01 7

100 1 02= 1 . 24 +1 . 2= 1 810 1 1 203= 1 · 33 +1 · 32 +2 · 3=4210 1 21 4= 1 . 42 +2 . 4 +1 . 4°= 2510

40006=4 . 53= 50010 326=3 · 6 +2 = 2010

10 1 7= 1 . 72 +0 . 7 1 +1 . 7°= 5010

Page 13: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Identitatea devine in sistemul zecimal: (1 8 +42) . 25-500= 20. 50

60. 25-500=1000

1 500-500:1 000

Adunarea in sistemul binar se face ca şi în sistemul zecimal, ţinînd seama că două unităţi de un ordin alcătuiesc o unitate de ordin imedia t superior şi trebuie transformate.

Exemplu: 1 1 1 1 11 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11 111

La scădere se ţine seama că, dacă trebuie să ne " împrumutăm" , o unit ate de ordin superior este egală cu două unităţi de ordin imediat inferior.

Efectu înd scăderea in sistemul zecimal: 97- 23=74, in sistemul b inar obtinem:

1 1 0000 1-1 01 1 1

1 0010 10

Verificare: 1 · 26+0 · 2� +0 · 2�+1 · 23+0 · 22 +1 · 21+0 · 2°= 64 +8 + +2= 74 10

Din aceste citeva exemple, se remarcă imediat faptul că unor numere "mici" in sistemul zecimal le corespund numere "mari" (cu multe cifre ) in sistemul binar.

Acest dezavantaj aparent este compensat cu prisosinţă de viteza curentu­lui electric ce străbate fulgerător "poziţiile" cifrelor (în sistemul binar) din maşina de calculat.

O a uto bi ografi e misterioasă. Printre h irtiile unui matematician a fost găsită autebiografia lui. Ea

începea cu următoarele rinduri: "Eu am terminat uni versitatea la virsta de 44 de ani . După un an, fiind

un tînăr de 100 de ani , m-am insurat cu o fată de 34 ani . Diferen ta nelnsemnată de vîrstă dintre noi - de numai 1 1 ani - a contri buit la com unitatea noastră 'le i nterese si i dei .

Peste cfţi va ani a 11eam deja o mică fami li e cu 10 copii . Salari ul meu era de 200 ru ble, din care 1/10 ii dădeam surorii mele, aşa lnclt noi , cu copiii , am trăi t cu 130 ruble pe lună" .

Cum pot f i explicate contradicţiile curioase dintre numerele prezentate în aceste fragment?

(1. 1. Perelman, Aritmetica distractivă)

Secretul rezolvării este trădat de fraza: "după un an (peste 44 ani). fii nd un t lnăr de 100 ani" • . • de unde rezultă că datele problemei corespund unui sistem nezecimal. Dacă prin adăugarea unei unităţi numărul 44 se trans-

1 3

Page 14: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

DiNAMiCA CIFRELOR pe meridianele Pămintu/w şt ale Timpului

1234 567 EGiPT It 11 III (vechea. J cultură

8 9 10 Observ. �e hierog/ife

lllf.J �uite apoi cu i Ct scrierea hieralc�

1111 1111 si demotic6

MESOPO- o 0 inifial. apoi scriere TAMiA nn

;su"r:;giionenl V VV IV VV <( cunelform(J

.� -c <: -

-=-� r c... 7�7 cifre indiene ���-+��-+-�-+-+��� brahmi �i- eia� �a �a pon ŞCI� SOD ldve VOlti cea ta '4"

< � � 'd 'i... ( "\) '[ c. cifre sanscrite -dav angari

sunia 1 11 III X IX IIX XX 7 cifre

kharoş t1

,___, � ==. � n: 7:5. t il :h. + cifre hieroglife

i r SCYl sf u tiu ti da lzJu si cifre bastonaşe

1 11 III IIIIX IHIIo T TT Tif lf� - sec.X!T e. n) I=ENiCiA 1 11 III \III 11111111 11 \Ulm U111m�1111�1 -PALESTINA �

d� 1 �� LdO: 2..

IROMA. ��/,VTICA [' e trusei)

\ l

rJ...

1

1

-�

. .

11

-y

. .

'1' il

$

. . . .

IV

-E

. . . . .

V

-5 ?; 'l &

... . . .. . . ..

VI VII VIII IX si li X

b t> -L

X

sec 1 af1ca � 1 e n beo- numerat:e ti că herodiOriă 1n1Mur(J nume-raţia preceder1ă I,Pitogoretc e

ffnu"'�5rate l

1

Page 15: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 2 ŢĂRiLE \ tJ

ISLAMULUi � t \ '--

� ·� MAYA lli

. . .

� AZTECj � . . .

ARMENIA c p GEOFOÎA � �

INDIA � 2.

ARABI 1 2 1 'r'

Q MANJ!LR!S <.....> sec XII -1 � <.....> a VIDMANN

� 1 ?_ 1!.89

1� A DURER z '2.. 1525 -

RUSIA 0.. B

3 '1'L

7 >

. ..

. . .

� o

)_

3 )..)..

1-

3

3 . -r

� N

lJ �

. ...

. . . .

""" .(U

o

r6'

('Î

..e

4

4

5 () -6 o

-. . . . .

'c \)

1

6 t, 0 9

.

. . . . . .

� :)

41c

� b (.) 4

l; 6

s 6

5 6 -E s

7 8 9 10 Observ \) '\ '1 cifre ar� răsă"ifene ? � 9 âfre arabe apusene .J 'G \:, .5 cifre djumal

(sud M. Casptca' 1 sec . IV 1 .. . ... - === • 1.e.n

. o sec XI! . · . . . . . . . ... e.n.

c. c. n Evul mediu

� � cr Cifre hinduse

? f' 6J o (Gvalior) Cifre vesfarabe

7 B 9 (Gubar) "' 1\ �

ţifre es fara be (actuale turcesti)

7 g 9 o Evul medt!.J

1 B 9 Q . .,

7 & ' . 1

- -1- H e Cifre sfavone

j

15

Page 16: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

?e

?e . .. .

CIFRA 2 .. , . In manuscris� medievale

Ac�sf �x�mp/u iAJstrează W, mod pregnant dt d� rru/f a var10f forma cifr�lor scrise d�a lungul v�acurilor

Pr tma apanfie a semnelor minus şi plus in manuscrise de alqebr(J ( 1486)

A(�·�- 22 9 1rt+� Z B 15 22 x x3 +2x2 ?:f

lespezi "

monede .. . .. .

- . . . RASP/NDIR�A CIFRELOR NOI

fun�rar� 7377 Pforzheim ( Baden) .. 1388 Ulm

1:.2:. Elvetia -11.58 Germania 11.78 Suedia 11.85 Franta

1539, 1551 Scotia. Angl10 Pe un document al A.Ji Luca StrOK:1

loaoftJful MoldOvei ' 1581 Moldova Pe pecetea lui Uci"1şfe Năsturel cumnatr.i Ali Mot�i Basarab 1623 Tara Românească

16

'

Sis temui de numerat1e la eg1R_fem S1stem zecma l cu �ne numenc� dlstmcte pentru puferi�

lui 10 pJna /o t;7 : 10

'00 :XJo

- riil [:H,erogfifo r�pre:zmt� • ptedct • pentru �ICar� vactlor sau un , val

=<? .sfoară de mast.raf' • � • floare d� lotus·

Page 17: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

10000 -"\ .degeful t�rotator" iOOOOO c � • mor moloc· ur> m!11or> -'f. un om mrat

-

zece m!liocne.c.Q ,Soare•

Numarul 15377 se scria astfel

�'iîX� !<2 ee «lfi'lftfi tilRft un aua Sistemul de numeratie sumerian

S:s tem sexagesimaf. 1n unele cazuri zedmâl =xemplu: numarul 10921 = 3. 602 .. 2. 60 • 1 se scria astfel�

??V YY V Sistemul de numerat1e la poporc.J mo/a

-===== -

(s�c. IV 'e n) 51s tem pozJţiCJnaf cu baza 20 EYerr>p!u · 360:." · (semru zero fiind reprezenfaf sub

� .1orma unei scoici

Numere de ordin superior fn !lUf!l.efafiQ __ _greocâ

1' =A (deka 1 '00 -H �i 1-E (hekaton)

(X)O • X ( hilias ) şl t 1WOO 'M : rririada l

E xemp1u : i'n se ner ea at :că n umărr..J 9821 se scria:

17

Page 18: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

formă in 1 00, aceasta înseamnă că cifra 4 este cea mai mare in acest s istem ş i prin umare baza sistemului este 5. Transform ind numerele d in sistemul cincinal in cel zecimal, constatăm că biografia nu conţine nici un fel de contradicţii .

"Eu am termi nal uni versi tatea la virsta de 24 ani . După un an m-am insurat, fii nd tinăr de 25 ani , cu o fali1 de 1 9 ani . Diferenta mică de virstă dintre noi -de numai 6 ani - a contri buit la comunitatea noastră de i nterese si i dei .

Peste citi va ani aveam deja o mică fami li e cu 5 copii . S�lari ul meu lunar era de 50 ru ble, di n care 1/5 ii dădeam surorii ·mele. aşa incit noi , cu copiii , am .trăi t cu 40 ru ble pe lună." Şi m isterul s-a risipit . . .

Page 19: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

PROBLEME

Page 20: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative
Page 21: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1. Probleme antice şi medievale

ln literatură, creaţiile populare au impresionat totdeauna prin exteriori­z area spontană, dar plină de farmec, a unor profunde sentimente umane. ln ele vedem înţelepciunea poporului .

ln "probleme antice şi medievale" , întîlnim acelaşi filon, care ne conduce în templul plin de podoabe al vechii creaţii matematice.

Şi ele ne atrag cu un farmec mereu viu, pentru că sînt spontane ca inte­l igenţa înnăscută, merg drept la ţintă ca dorul într-o inimă deschisă şi s int presărate cu nelipsitele elemente ale naturii, care ornamentau laboratorul vechilor matematicieni . . . Buchetul de lotuşi curaţi, albinele ce zboară din floare-n floare, păsările cerului se întretaie cu dorinţele arabului pe patul de moarte, cu fiorii iepurelui urmărit de cîine şi . . . toate aşteaptă răspunsul cerut în graiul cifrelor.

Ca în orice creaţie de acest fel, variantele nu lipsesc şi compararea lor in timp şi spaţiu dezvăluie nepotolita sete de cunoaştere a omului, chiar in condi�iil.! năvălirilor pustietoare, ale inchiz iţiei virulente, ori ale existenţei a nu mai puţin de 27 metode de înmulţire ( " in şah", "prin indoire" , "pe părţi sau rupt", " in reţea" , cu "spatele în faţă" , " în cupe" , " în diamant" etc; " în barcă sau galeră" (pentru împărţire), metode greoaie pentru învăţarea cărora tre­buia mult timp şi un talent înnăscut.

Redînd la lumină aceste probleme - înflorite gratuit de diferiţi autori -ne facem o datorie morală faţă de creatorii lor, satisfăcînd, în acelaşi timp, ş i curioz itatea firească a unei cunoaşteri din care comparaţiile cu actuala problematică ş i cu noile mij loace de rezolvare scot în evidenţă meritele deose­bite ale promotorilor acestei prestigioase discipline a spiritului uman.

1. Să se citească numărul 1 1 80703051492863. Al-Horezmi (Islam)

2. Să se determine un număr multiplu de 7, care împărţit prin 2, 3, 4, 5 şi 6 să dea la rest 1 .

Fibonacci (întîlnită şi la Al-Haisam)

21

Page 22: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

3. Să se determ ine un număr, care împărţit prin 3,5 şi i dă, respectiv, rest u rile 2, 3 şi 21•

Fibonacci; Sun-ţzi (sec . III sau IV)

4. Dintr-un buchet de lot uş i cu raţ i, a treia, a cincea şi a şasea parte s int aduse in dar, respectiv zeilor ŞiYa, Vişnu şi Suria, iar o pătrime - lu i BhaYani. Restul de 6 lotuşi se dau unu i prea cinstit dascăl . Răspunde-mi repede cîţi lotuşi erau in total.

Bhaskara (in Lilavati)

5. Să se împartă 48 de p i ini la 6 persoane astfel "ca diferenta di ntre fiecare om şi 11ecinul lui sii fie egală cu o mcirime dată, 2 piini" .

(Adaptare după o problemă egipteană)

6. "Opisul inventamlui gospodăriei: 7 case, 7 pisici , 7 şoctreci, 7 spice de or::, 7 mcisuri de grăunte; cite (obiecte) in total?"

(Veche problemă egipteană)

7. Şapte bătrîne au plecat spre Roma. Fiecare avea cite i catîri, pe fiecare catir erau cite 7 saci , cu cite 7 p iini fiecare; pe l îngă fiecare p iine erau 7 cuţite, fiecare cuţit fiind băgat in cite 7 teci. C ite obiecte erau cu totul?

8. ,.Jlerg pe drum şapte babe; Fi ecare ba bă are şapte toiege; Pe fi ecare toiag sint şapte noduri ; Pe fiecare nod sînt şapte traiste; in fi ecare traistă sint şapte plăci nte; ln fi ecare plăci ntă sint şapte vră bii ; Fiecare vra bie are şapte pipote Şi cu totul cite sint?"

Fibonacci

(Dintr-un manuscris rusesc medieval)

9. Să se determine termenii progresiei aritmetice: a 1, a�= a1 +d, a,= a1 +8d pcn tru condiţi i le:

a7 +a8 +a,=4 a1 +a2 +a3 +a4=3

(Matematica în nouă cărţi, cartea a VI-a)

1 0. C it de mare va fi o cireadă de vaci şi de vitele provenită in 20 de ani de la o singură vacă, cu condiţia ca vaca să nască la inceputul fiecărui an c ite o viţea, iar viţelele să dea aceiaşi urmaşi, c înd ating v irsta de 3 ani .

Naraiana (sec. al XIV-lea)

1 Cunoscută azi sub numele de "problema chineză a restului".

22

Page 23: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

11. Să se împartă 1 � mine de argint intre 10 fraţ i astfel incit cotele-3

păr!i ale fraţi lor să formeze o progresie aritmetică, ş tiind că cota celui de-al optu lea frate este egală cu 6 sekel i .

(Probleme sumero-babilonene)

12. Pe patul de moarte, un tată imparte in mod egal banii intre fiii săi, primului l monedă şi_!_ din restul banilor, celui de al do ilea 2 monede

7 si ..!._ din rest, cel u i de al treilea 3 monede şi _: din rest etc. şi c ind term ină. . 7 i se stinge.

C îţi bani şi cîţi copii avusese acel tată? Călugărul Maximus Planudes din Nicomedia (1260-1310)

13. Doi oameni cumpără o turmă de porci cu 1 00 de soldi, la preţu l de 5 porci cu 2 soldi. Apoi ei impart turma şi incep să v îndă 5 porc i cu cite 2 soldi ş i cîştigă bine. Cum e posibil aceasta?

Albinus Flacus (Alk-win)

1 4. Dacă 20 de coţi de stofă costă 3 lire, iar 42 de rotuli de bumbac c.ostă 5 l ire, c îţi rotuli (unitate de greutate din Pisa) de bumbac se pot obţine pentru 50 de coţi de stofă?

Leonardo Pisano

1 5. Treizeci de păsări costă 30 de monede, potirnichile costă 3 monede bncata, porumbeii - 2 monede bucata, iar perechea de vrăbii, o monedă .

C ite păsări sint din fiecare fel? Leonardo Pisano

1 6. Un cal trăpaş şi o gloabă pleacă dintr-un punct dat; trăpaşul par­curge in prima z i 1 93 li, iar in fiecare z i următoare cu cite 1 3 li mai mult; gloaba parcu rge in prima zi 97 li, iar in fiecare zi următoare cu cîte 1/2 li mai puţin. După ce a parcurs 3000 li , trăpaşul se înapoiaz ă şi pe drum se în t îlneşte cu gloaba. Se întreabă după c ite z ile s-au înt îlnit cei doi cai şi c i t a parc urs fiecare?

(Matematica in nouă cărţi, cartea a VII-a)

1 7. Cite perechi de iepuri se vor naşte int r-un an dintr-o pereche de iepu ri, dacă fiecare pereche aduce lunar o nouă pereche, capabilă, la rindul său, să se reproducă după o lună de la naştere şi dacă nici o pereche nu moare?

Fi bon acei

18. Să se determine numărul cel mai mic de greutăţi cu care se pot c în­tări toate greutăţile întregi, mai m ici decit una oarecare dată.

Leonardo Pisano

23

Page 24: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

19. Să se calculeze înălţimea unui arbore din care _.!.._ şi _.!.._ alcătuiesc 3 4

21 de şchioape şi se află sub păm înt. Leonardo Pisano

20. Un j oc de zaruri în care cîştigă cel care realizează 6 puncte se opreşte, c ind unul dintre j ucători realizează 5 puncte, iar celălalt, 2.

In ce proporţie trebuie împărţită miza? Luca Pacioli

21. Doi oameni au în punga lor o anumită sumă de bani. Dacă primul om Ya căpăta de la cel de-al doilea 7 dinari, atunci el va fi de cinci ori mai bogat decît al doilea; dacă al doilea om va primi de la primul 5 dinari, el va fi de şapte ori mai bogat decît primul. C îţi bani are fiecare?

Leonardo Pisano

22. Pe un z id de 90 ţuni creşte un dovleac a cărui tulpină se ridică in­tr-o zicu 7 ţuni; j os creşte un doYleac a cărui tulpină se ridică intr-o zi cu 1 O ţuni . C ind se vor intilni ei?

(Matematica în nouă cărţi, cartea a II-a)

23. De la tatăl meu am auzit următoarele: În timpul cunoscutelor războaie dintre armeni şi perşi , Zaurak Kam­

sarakan a săvîrşit fapte extraordinare; se pare că, atacind armatele persane de trei ori într-o lună, el distruse de prima dată j umătate din oastea lor şi, u rmărind-o, a doua oară nimici a patra parte din ea, iar a treia oară - a unsprezecea parte; cei rămaşi în Yiaţă, în număr de 280, o luară l a fugă spre �ahceaYan.

Şi , astfel, noi trebuie să aflăm după această rămăşiţă, c îţ i fuseseră ei p înă la infringere .

Anania din Şirak

24. Un c iine urmăreşte un iepure. Iepurele sare de fiecare dată c ite 7 picioare, în timp ce cîinele sare 9. In c ite salturi va fi aj uns iepurele de ciine, care se găseşte la o distanţă de 1 50 de picioare în urma sa?

Albinus Flacus (Alk-win)

25. Se împart 1 00 de scheffeli (unitate de cereale germană, aprox. 70 1) intre 1 00 de bărbaţi, femei şi copii. Fiecare bărbat primeşte cite 3 scheffeli, fiecare femeie, c ite 2, iar doi copii, un scheffel. C îţi erau din fiecare?

Albinus Flacus (Alk-win)

2G. Vinz indu-se 2 bivoli şi 5 berbeci şi cumpărîndu-se 1 3 porci, răm în 1 000 de ţiani; Yinz îndu-se 3 bivol i şi 3 porci, bani i aj ung exact pentru cum­părarea a 9 berbeci; v înz îndu-se 6 berbeci şi 8 porci, se cumpără 5 bivoli, dar o-aj ung 600 ţiani. Să se afle costul unui bivol, al unui berbec şi al unui porci

(Matematica în nouă cărţi, cartea a VIII-a)

24

Page 25: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

27. Deinmulţitul şi înmulţitorul 2 003 320. Înmulţeşte cu (O) 30, 1 001 640 . Înmulţeşte 1 001 640 cu 1 001 640. 1 0 033 204 374 640. Scade 1 de aici: Rămî­ne (000)33 204 374 640. Ce trebuie înmulţit cu ce pentru a obţine (000)33 204 374 640?

(Probleme sumero-babilonene)

28. Şaptezeci şi opt trunchiuri de bambus mari şi mici costă 576 ţ iani; un trunchi mare costă cu 1 ţian mai mult decit un trunchi mic. Considerind preţurile numere intregi, să se afle cit costă fiecare şi c ite trunchiuri din fiecare cantitate erau.

(Matematica în nouă cărţi, cartea a II-a)

29. Să se determine două numere, astfel incit produsul lor xy= 600 ş i să îndeplinească o a doua condiţie, care este dată prin diferite expresii (din ce in ce mai complicate), incep ind cu x +Y= 50 şi p înă la:

(3x+2�Y+ 123{4[� (x+y>- ( � +t ) <x-y>T +<x+y)2} =t7too (Probleme sumero-babilonene)

30. Lu ngimea arcului a şapte spire de elice . (Pe un deal) creşte un copac de 2 cij ani înălţime, iar circumferinţa de 3 ci. La picioarele lui creşte o pue­raria (arbust urcător cultivat ca o plantă ornamentată) . Prin 7 spire ea se ridică in j u rul copacului p înă in v irful lui .

Care este lungimea puerariei? (Matematica în nouă cărţi, cartea a IX-a)

31. Pe un deal creşte un brad de înălţime necunoscută. Jos, pe c imp, se află două prăj ini, avind fiecare o înălţime de 20 ci (a), fiind situate pe aceeaşi dreaptă cu copacul şi la o distanţă de 50 cijani ( b) una de al ta.

Vîrful copacului şi virful primei prăj ini formează o dreaptă al căre i capăt intersectează linia pămîntului Ia o distanţă de 7 cij ani ş i 4 ci în spatele prăj inii (c); in acest punct baz a copacului măsoară 2, 8 ci (e) de la v irful pră­j inii . Virful copacului mai formează o linie dreaptă cu vîrful celei de a doua prăj ini d in spate ş i un punct de pe păm înt situat la 8 cij ani 5 ci în spatele prăj inii (d).

Să se afle înălţimea (x) a bradulu i şi distanţa (y) de la prima prăj ină p înă la deal.

Liu Huei

32. Pro blema păsări lor. Cîţi cocoşi, găini ş i pui se pot cumpăra cu 100 de monede, dacă în total s int 1 00 de păsări şi dacă un cocoş costă 5 monede, o găină - 4, iar 4 pui - o monedă.

Siu E (200)

33. La moarte, cineva Iasă prin testament celor patru fii ai săi c ite o parte din awre, iar unui alt om ii Iasă atit cît alcătuieşte partea fiecăruia dintre fi i ş i un sfert din ceea ce răm îne d in treimea aYerii, scăz indu-se din acest ă parte ş i un dirhem d (dirhemul j oacă rol de parametru, . . . ) . Ce awre s-a împărţi t?

Al-Horezmi

25

Page 26: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

34. Pe cele dou ă maluri ale unu i r iu ru o l ă ţime de 50 coţi crl.'sc, faţă in faţă, doi palm ieri. av ind î nălţimea de 20, respectiv 30 de roti. Pe vîrful fiecărui palmier stă cite o pasăre şi am îndouă văd un peşte pe suprafaţa apei. Ele se av intă spre peşte şi aj ung simultan la el, pe o dreaptă ce uneşte baza celor do i palm ieri. Se cere să se determ ine locul de int ilnire ş i lu ngimea dru­m ulu i parcu rs de fiecare pasări.' .

Al-Karadji

35. Imparte iară pe 10 in două păr ţ i şi imparte pe aceea prin aceasta şi pe aceasta prin aceea, iar rez ultatele impărţ irilor adună-le cu 10 şi ceea ce se obţine înmulţeşte cu u na din părţi şi va rezul ta 114.

Leonardo Pisano

38. Pe mij locul fiecărei laturi a unui oraş de formă pătrată există c îte o poartă . La 20 bu spre nord de poarta nordică se află u n stilp. Dacă de la poarta sudică ne depărtăm cu 14 bu spre sud şi co tim spre apus cu 1 775 bu, a tu nci stilpul devine vizibi l . Cart' este lungimea laturii pătratului?

(Matematica în nouă cărţi, cartea a IX-a)

37. fn centrul unui baz in cu latura (2a)= 1 cij an= 1 0 ci creşte stuf, care se ridică deasupra apei cu h= 1 c i . Dacă se apleacă stuful, el aj u nge pînă la mal. Care este adîncimea apei? 1

38. Să se rezolve ecuaţ iile: a) x3- 6x2 +1 2x = 35 b) x4- 2x2- 400x= 9 999

39. Să se rezolve ecuaţia:

(x- �)-.2..:2.. (x- �)1= 20 12. 30 20. 16 12. 30

40. Să se rezolve ecua ţ ia: x2 +(1 0-x)2=58

. . .

Bhaskara al II-lea

Magavira

Al-Horezmi

41. Să se împartă 1 0 în două părţi x şi 10 - x după condiţ ia : _2'_ + 10-x

10-x _r=· + -- -=vo X

Abu-Kamil

1 Problemă veche extrasă din bibliografia folosită. Notă valabilă pentru toate problemele din volum, urmate de acest semn.

26

Page 27: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

42. Să se \"erifice identităţile:

- -=- +(a- b) = a; 1 [a" b2 ] 2 a-b

43. Să se rezoh·e ecuaţia:

-- - - ( a - b) = b 1 [::t'-b' ] 2 a-b

4V x-3·v-x.=x-3·{x+t

«. Se caută un număr care înmulţ it cu (3 + y5) să dea 1 . 45. S ă se demonstreze egalităţile:

4'VI2+4 V'IJ= V'/27 ±V24 = '{st ±V2 592

Al-Karadji

Abu-Kamil

Al-Bagdadi (1100)

46. Problema tauri lor di n lleli con.

Este o problemă referitoare la ecuatiile nedeterminate, formulat ă în \"e rsuri şi atribuită lui Arhimede.

fn raport de unele date, se cere să se găsească numărul tau rilor şi al vacilor de patru culori distincte, care pasc pe o cîmpie.

R. Problema implică 8 necunoscute . Rezolvarea duce la aşa-num i t a ecuatie a lu i Pell: x2-Dy2= 1 , unde D=4 729 494.

Cele ma i mici rădăcini întregi, diferite de x = 1, y=O ale acestei ecuaţi i s int atît de mari. inc i t �ele 8 necunoscute se exprimă prin numere cu mai mult de 200 000 de cifre . 1

. . .

47. Să se afle un număr al cărui pătrat mărit cu 5 sau micşora t cu un număr dat (10) să fie un pătrat.

Al-Karadji

48. Să se demonstreze egal it ă ţ ile: V'54-V'2=V'l6; V'.J4 +V'2=V't28

Al-Karadji

49. Să se de termine catetele x, y şi ipotenuza z, fiind date perimetrul şi aria triunghiu lui.

Bhaskara 50. Să se găsească diagonalele unui pătrat a cărui latură estl' nolată ('LI 30.

(Probleme sumero-babilonene)

1 Vezi pagina 61.

27

Page 28: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

28

51. Să se împartă 1 0 in trei părţi după condiţiile: x+y+z= lO

xz= y2

x2+y2= z2

52. Se consideră irationala bimedială1 :

x<y<z

Vva·...Jb +V vc· vd.

ln ce condiţii produsul medialelor2:

v va. . -\fb şi v v-e. vd. este raţional?

53. Să se rezolve ecuaţiile: a) x2= v'6X · V5x+l0x+20

b) (� x2+t )( : x2+2)= x2+1 3

54. Să se rezolve sistemul: l x+y=lO

xy .. f­- -v6 x-y

55. Să se rezolve sistemul3 :

( 2 1 1 ) Y+ -+ -+ - (z+u+v+x)= s 3 6 480 ( 2 1 1 ) z+ -+-+- (u+v+x+y) = s 3 6 688 (2 1 1 ) u+ -+-+- (v+x+y+z) = s

3 7 420

v+ -+-+-+- (x+y+z+u)= s (2 1 1 1 ) 3 10 27 810

1 Compusă din două mediale. 2 Media geometrică a două iraţionale. 3 Scris de noi in notaţie modernă.

Abu-Kamil

Teetet din Atena

Leonardo Pisano

Leonardo Pisano

: conardo Pisano

Page 29: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

58. In cîţi ani se va dubla un capital depus la o bancă cu dobîndă compusă?

Luca Pacioli

57. Să se găsească •n pătrat (raţional) care, fiind mărit sau micşorat cu 5, să dea din nou nişte pătrate (raţionale)1•

(Propusă lui Leonardo Pisano de magistrul Johannes din Palermo, filozoful împăratului Frederic al II-lea)

58. Să se rezolve ecuaţia de gradul al tre ilea: x3+2x2+1 0x= 20

59. Să se rezolve ecuaţia: Johannes din Palermo

Abu-Kamil

60. Să se construiască u n pătrat cu l atura dată egală cu 2a.

(Regulile funiei)

6 1. Să se găsească două dreptunghiuri cu perimetre egale, astfel ,incit aria unuia să f ie un multiplu dat al ariei celuilalt.

Maximus Planudes

62. Cu aj utorul "teoremei lui Pitagora" să se dubleze, t ripleze ele. u n pătrat dat.

(Regulile funiei)

63. Se caută raz a cercului inscris intr-un exagon regulat. (Cuneiformă din Suza)

64. Să se găsească înălţimea unui triunghi echilateral, pentru care suma ariei şi a înălţimii este egală cu 1 0.

Abu-Kamil

65. Să se construiască pătratul egal cu suma a n2+m2 pătrate cunoscute. Abu-1-Vafa

66. Să se afle latura unui pătrat egal cu diferenţa a dou ă pătrate date: b2- a2.

(Regulile funiei)

67. Să se transforme un dreptunghi dat intr-un pătrat. (Regulile funiei)

1 Compară cu problema 47.

29

Page 30: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

68. Aria unu i triu nghi dreptunghic: este egală cu 30 şi suma catetelor 17. Care este suma d intre cate l a ma i mică şi ipotenuză?

Ciju-Şi-Tze (129!J)

69. Să se rezolYe ecuaţ ia: x3- 3x2+3x- 1 = x2 +2x +3

(.-1ritmetica, Diofant)

70. Să se rezolYe ecuaţia: 576x'- 2 640x3+1 729x2 +3 960x- 1 69.) 252=0

Ciju-Şi-Tze, (12!J9)

71. Diferenţa dintre ipotenuză şi una din ca tele le unui triunghi ( drep t­unghic) este 36..!.; produsul catetelor 706 _!_.

10 �o Care s int laturile?

Van Siao-Tun

72. Să se afle aria unu i cerc cu aj u to rul unei roţ i, a\· ind acelaşi diametru �i a cărei lăţime este egală cu jumătate din raza ei.

Leonardo da Vinei

73. Fiind date latura a şi aria s a unui t riunghi isoscel, să se determine baza b şi înălţimea h.

Savasorda (Abraham bar Hiia, matematician evreu din Bareelona: 1070-1136)

74. Un triunghi isoscel are baza egală cu 60 şi laturile egale cu 50. Soco­teşte raza cercului circumscris.

(Cuneiformă din Suza)

75. Se cere să se împartă un triunghi dreptunghic intr-un t ri unghi asemenea lui şi intr-un trapez, astfel incit produsele păr ţilor laturilor, p recum �i produsele părţilor ariilor s ă fie mărimi date, ipotenuza triunghiului mai mic fiind d at ă.

(Probleme sumero-babilonene)

76. O prăj in ă de 1 0 piCIOare l ungime este alirnală ,-e rt ical, aşa incit deasupra pardoselii mai rămîn 4 p icioare. La ce distanţă de la capătul ei inferior se găseşte pe pardoseală locul din care ea poat e fi Yăzută sub eel mai mare unghi?

Regiomontanus

77. Dacă pre lungim orice coa rdă AB a cercu lui ('U eenlrul în O, astfel i nc it BC=OB şi ducem linia CO care ta ie cercul în punctele D şi E, atunci: arcul BD Ya fi egal cu_!_ din arcu l AE şi_!_ din arcul BF, u nde F este intersecţia

3 3 cu ecreul a u ne i parale le dusă prin E la AB.

Arhimede

30

Page 31: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

78. Pe u n segment dat A B = a, să se constru iască u n dreptughi A B H.J cu a ria a · x egală cu a u nu i pătrat dat b2 (b < i) , ast fel i nc it partea de arie­

c a re nu aj u nge p î n ă l a dreptu nghiul A B H.J să fie un pătra t (AEF.J = x2) . Eudoxiu d i n Cnidos

79. Se cons t ru ieşte t rapez ul .A BCD cu l a tu rile 1 , 1 , 1 ş i"'/3 (fig. 1 ) . Apoi se descrie i n j uru l lu i un cerc ş i pe coarda AD = '/3 se const ru ieşte segm e n t u l A E D , asemenea fiecăru ia d in segm entele AFB, B G C şi CI- ID . Să s e arate c ă aria l u n u le i AFB GCI I D esle egală cu aria trapez u l u i A BCD .

Hipocrate din Chios

80. Pe diametru] .-\B se construieşte u n sem icerc cu centrul C ( fig. 2 ) . Apoi in pu nctul D, care imparte pe CB in două, se duce o perpendicu lară DE pe AB. ::\lai departe, pe sem icerc se cau tă un punct F, astfel incit BF= V:f�C. şi se uneşte intersecţ ia G a lui BF cu pu nctul C.

Prelungirea acestei drepte CG intersecteaz ă i n p u nctul H dreapta FI-I dusă din F şi paralelă cu AB.

Apoi, in jurul trapezu lu i FCBH, se circumscrie u n cerc ş i încă unu l, i n j uru i t riunghiului FGH. Atunci:

a) fiecare din cele două segmente construite pe coardele FG ş i GH Ya fi asemenea fiecăruia din cele trei segmente construite pe coardele FC , CB şi B H ;

b) fiecare d in primele d o u ă segmente are o arie d e 1 .!.. ori mai mare 2

decit fiecare din ultimele trei; E

G

Fig. 1 . Fig. 2 .

c) aria lunu lei FCBH este egală cu aria pentagonului FCBHG.

Hipocrate din Chios

81. ln sem icercul cu diametru! AB se inscrie t rapez u l A BCD, as tfel

inc it AC= CD= DB= .!.. .AB. 2

Apoi, pe coardele AC, CD şi DB se constru iesc sem icercuri . Atunci sum a ari i lor celor trei lunule egale, împreu nă cu a�ia u nuia din

cele trei sem icercur i Ya fi egală cu aria trapez u lui . Hipocrate din Chios.

3 1

Page 32: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

82. Să se rezolve problema duplicării cubul u i, folosind o dublă proporţ ie geometrică.

Hipocrate din Chios

83. Pe diametru} unui semicerc AB se construiesc in i nterior al te două semicercuri care inchid intre ele o figură numită arbelos (cuţitul curbat al cizmarului). Să se arate că aria acestei figuri este egală cu aria cerculu i pl cărui diametru este egal cu semicoarda perpendiculară pe AB şi tangentă la cele două semicercuri interioare.

Arhimede

84. "Modul de calcul al p iram id e i fără v irf: dacd li se dă o pirami dd fării. virf de 6 (coturi ) tn tndlţime, 4 ( coturi )pe latura i nferi oard şi 2 pe latura superi ­oară" , care este volumul?

(Problema 14 din papirusul egiptean de la Moscova)

R. " Se calculează cu acest 4 ridic înd la pătrat, se obţine 1 6; dublează pe 4 , se obţine 8; calculeaz ă cu acest 2, ridicînd la pătrat, se obţine 4 (1 ); adună împreună aceşti 1 6 (2) cu aceşti 8 şi cu aceşti 4 (3), se obţine 28.

Calculeaz ă (4) !.. din 6, se ob ţine 2; calculează (5) 28 de două ori, se 3

obţine 56 (6); vezi: ea Ya fi 56. Ai găsit corect" . • • •

8:1. Există un sian-ciu (fig. 3). Lăţimea de j os este de 6 ci , lăţ. imea de sus, 1 cij an (= 10 ci), adincimea, 3 ci, lăţimea de sus 8 ci , adincime nu are,

Fig. 3.

lungimea de 7 ci. Se întreabă care e :;te volumul.

Liu Huei

Corpul despre care se vorbeşte este prezentat in figura 3 unde a = 6, b= 1 0, c= 8, 1 = 7, h= 3.

Regula prin care se indică mo­dul cum se obţine volumul este laco ­nică: "A dună (toate) trei înălţimi le, înmulţeşte cu adincimea, mai înmul­ţeşte cu lungimea, împărţind la 6, i a o dald."

La baza rezolvării stă descompunerea corpului intr-o prismă dreaptă cu baz a t riunghiulară (catetele l , h) şi înălţimea a şi două piramide de aceeaş i h- a mărime şi de înălţime h, la baz a cărora se află un trapez cu laturile - •

2 c - a şi înălţ imea l.

R l V (a + h + c) ! . 11 l f � . l . egu a = presupune une e trans orman pen ru expnmaarca 6

vo u rne or pnsme1 pnn - · · a ŞI a p1ram1 e or prm - - + - · - · l l . . . l h 1 . . ' d l . 2 [ 1 (h-a c-a) 1 ] " 2 2 2 2 3

32

Page 33: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

86. "Frumoasa mea fii ci1 (Li lavati }\ tu care cunoşti metoda inversi uni i , i a un numdr pe care t l tnmul/eşli cu 3, produsul i l mdreşti cu trei pdtrimi din el, pe acesta tl tmpar/i cu 7, îl micşorezi apoi cu o treime, pe acesta tl m ultiplici cu el tnsuşi , rezultatul îl micşorezi cu 52, i ar dupi1 extragerea ri1di1ctnii pdtrate, fi aduni 8, rezultatul il tmparli la 1 O şi gdseşti 2'' .

Bhaskara II (sec. XII)

• 87. Pro blema {lntini lor. Sint patru fîntîni: prima umple un bazin într-o z i, a doua in două z ile,

a treia in trei z ile şi a patra în patru z ile. In cit timp ar umple bazinul toate fîntînile?

Heron din Alexandria

88. Un negustor a trecut prin trei oraşe; in primul oraş, i-au luat drept vamă j umătate plus o treime din banii pe care-i avea; in al doilea, j umătate plus o treime (din ceea ce i-a rămas); iar in al treilea i-au luat din nou j umătate plus o treime (din ce mai avea) . Cind a aj uns acasă, ii rămăsese 1 1 dahecani (unităţi monetare).

Şi, acum, aflaţi cîţi dahecani a avut la inceput negustorul. Anania din Şirak

89. Faraonul, regele Egiptului, îşi serba ziua naşterii . El avea obiceiul de a împărţi in această zi la zece dregători, după meritele fiecăruia, o sută de vase cu vin.

Imparte-le, aşa dar, după meritele fiecăruia! (Sensul cuvintelor "dupi1 meritul fi ecdruta" este că raportul intre partea

primului şi cea a celui de al doilea este egal cu 1 : 2, partea celui de al doilea faţă de al treilea este 2 : 3 ş .a.m . d.)

Anania din Şirak

90. In oraşul Atena era un bazin de apă la care duceau trei conducte. Una din ele putea să umple bazinul intr-o oră, alta - mai subţire - in două ore, iar a treia - şi mai subţire - în trei ore. Află, acum, într-a cita parte dintr-o oră il pot umple toate trei conductele .

Anania din Şirak

91. Policrate, tiranul Siracuzei, îl întreabă intr-o zi pe Pitagora: - O, Pitagora, gloria Heliconului şi răsfăţatul Muzelorl Spune-mi cîţi

discipoli frecventează şcoala ta? C îţi lacomi de ştiinţă ascultă aproape de tine inţelepciunile învăţătorului?

- Iată, Policrat, întipăreşte-ţi adinc in mintea ta ceea ce îţi voi spune: o j umătate studiază frumoasele ştiinţe ale matematicii, ştiinţa lumii şi adevă­rului; un sfert lucrează să descopere legile nemuritoare care guvernează natura; a şaptea parte meditează în tăcere asupra tuturor celor ce ascultă; in afară de aceştia mai sint încă 3 femei.

C îţi bărbaţi erau în şcoala lui Pitagora? (Problemă antici)

1 Fată frumoasă, cu ochi scinteietor!.

33

Page 34: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

92. Un locuitor al Romei antice, afl indu-se pe patul de moarte şi şti ind că soţia lui va naşte un copil, a lăsat un testament în care se prevedea:

"De se va naşte un băiat, să i se dea 2/3 din averea rămasă, i ar restul de 1/ 3 să fi e a l mamei sale; i ar de se va naşte o fată, aceasta va do bindi doar 1f 3 di n avere ş i mama va lua 2/3'' . Da r văduva testatorului a născut doi gemeni -un băiat şi o fată. Şi acest caz nu era prevăzut in testament.

Cum trebuia, deci, împărţită averea intre cei trei moştenitori, astfel ca să se ţină cit mai mult seama de prevederile testamentului?

Salvius Iulianus

93. Trintorul, fugind de muncă, făcu următoarea învoială cu . . . " dra­cul:" De c ite ori va trece "puntea fermecată" peste un p iriu, i se va dubla suma de bani pe care o are sau o va avea in buzunar.

De fiecare dată însă, va trebui să-i dea " tntunecimii sale" 24 din bănuţi i săi pentru sfatul lui cel bun . . .

. . . Dar la a treia trecere, trintorul observă, că mai avea exact 24 de bănuţi, pe care a trebuit să-i dea drăcuşorului care, izbucnind în hohote de ris, se făcu nevăzut.

C îţi b ani a avut trintorul la inceput? • • •

94. Un arab moare şi lasă celor trei fii ai săi ca moştenire 1 7 cămile. Testamentul prevede ca fiul cel mare să ia 1/2 din avere, al doilea să ia 1/3 , iar al treilea 1 f9.

Moştenitorii nu s-au putut inţelege intre ei. Primul a cerut să i se dea 9 cămile, iar ceilalţi au obiectat că o j umătate din 17 face mai puţin ca 9; al doilea a cerut 6 cămile, deşi a treia parte din 1 7 face mai puţin ca 6; tot aşa şi al treilea.

Au aj uns la j udecată. Judecătorul le-a spus: - Vă dăruiesc de la mine o cămilă, ca toată lumea să fie mulţumită .

El aşeză cămila sa l îngă cele 1 7 cămile. Primul fiu luă 1 8 : 2= 9 cămile; al doilea luă 18 : 3= 6 cămile, iar al

treilea 1 8 : 9= 2 cămile. In total, ei au lu at 9+6+2= 1 7 cămile, iar j u decătorul şi-a luat înapoi

cămila pe care le-o dăruise. Astfel toată lumea a fost mulţumită, fiecărui moştenitor i s-a dat mai

m uit decit i se cuvenea. Cum a fost posibil acest lucru? Cum ar fi putut proceda j u decătorul in cazurile următoare: a) S int 14 cămile, 2 moştenitori şi testamentul prevede ca un moştenitor

să ia 1 /3, iar celălalt 3/5 . b) S int 59 de cămile, trei moştenitori şi testamentul prevede ca unul

să ia 1 /3, al doilea 1 /4 , iar ultimul 2/5.

c) S int 20 de cămile, 4 moştenitori şi testamentul prevede ca părţile să fie de 1 f4, 1f5 , 3/ 1 0 şi 3f20

d) Sint 1 2 cămile, 3 moştenitori şi testamentul prevede ca ei să ia res­pectiv 1/2, 1 /3 şi 1 f4 .

• • •

34

Page 35: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

95. Un turc fură din grădina sultanului un coş cu mere. La ieşire i l intimpină un prim paznic, care-l lasă să treacă după ce turcul i i dă o j umătate din numărul merelor, plus două.

Unui al doilea paznic trebuie să-i dea, iar, j umătate din numărul merelor rămase, plus două. ln fine, al treilea şi ultimul paznic cere şi obţine şi el j umă­tate din numărul merelor rămase in coş, plus două . La urmă, turcul nostru se trezeşte cu un singur măr. C ite mere a trebuit să fure turcul, ca să poată m inca şi el un m ăr?

• • •

96. Pe piatra funerară de pe mormintul lui Diofante (matematician grec din veacul al doilea e. n.), se găseşte inscripţia:

"Aici este tnmorm lntat Diofante şi piatra de pe morm tntul său t/i arată c it a trăit:

A şasea parte di n via /ă o formează copi lări a mi nunată; ti nere/ea lumi noasă e.-;te egală cu a douăsprezecea parte. După încă a şaptea parte s-a căsători t, i ar ci nci ani după aceea, Himeneu i -a trimis un fi u, căruia soarta i -a dat să trăiască numai jumătate di n cit a trăi t tatăl.

In mare mihnire a m uri t bătrînul la patru ani după ce i-a m uri t fi ul" . Spuneţi!mi cîţi ani a avut Diofante cind a murit?

• • •

97. Un arab lasă fiilor săi următorul testament: Din toate cămilele mele, fiul meu cel mare să ia o cămilă şi 1 /5 din rest.

După ce îşi va lua partea i se cuvine, să vină fiul al doilea, să ia două cămile şi 1 /5 din rest. După ce şi acesta îşi va fi luat partea ce i se cuvine, să vină fiul al treilea, să ia trei cămile şi 1/5 din rest . . . ş . a.m . d. p înă se termină toate cămilele .

C ind au luat cunoştinţă de conţinutul testamentului, toţi fiii, afară de primul, şi-au exprimat nemulţumirea că tatăl lor nu a avut aceeaşi dragoste pentru toţi copiii. Mai ales cel mai mic considera că lui i i va răm îne foarte puţin. Dar, de fapt, arabul împărţise cămilele in părţi egale.

Să se afle: a) C îţi fii şi cite cămile a avut arabul? b) Care ar fi redactarea testamentului in cazul cind arabul are 3 moşteni­

tori, 5 moştenitori, 6 moştenitori ş. a .m. d.? Să se întocmească un testament asemănător pentru cazul cind sint

8 · 5=40 cămile şi 5 fii . • • •

98. lmpărţirea cerealelor. Se cere ca 1 00 măsuri de cereale să fie împărţite intre 5 oameni astfel,

incit cel de-al doilea să primească mai mult decit primul cu atit cu cit cel de-al treilea a primit mai mult decit cel de-al doilea, cel de-al patrulea mai m uit decit cel de-al treilea, iar cel de-al cincilea mai m uit decit cel de-al patrulea.

Afară de aceasta, primii doi trebuie să primească de 7 ori mai puţin decit următorii trei.

(Papirusul egiptean Rhind)

35

Page 36: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

99. Intr-o zi Bacchus, văz înd că Sileniu dormea profund, îşi luă cupa şi se aşeză fără j enă in pivniţă, l îngă o amforă plină cu vin vechi, pe care Sileniu il păstra pentru zile festive.

El bău un timp de trei ori cit zecimea timpului pe care I-ar fi întrebu­inţat singur Sileniu pentru a goli amfora.

Cind sosi Sileniu, înecă nemărginitul său necaz in restul vinului. Cind se goli amfora, cu regret văzu Bacchus că partea sa nu fusese decit un sfert din aceea a lui Sileniu.

Dacă de la inceput ar fi băut împreună, fiecare b ind in felul său, se spune că ar fi fost necesare opt sferturi de oră mai puţin pentru a goli amfora. Cum s-o fi aflat aceasta, nu se ştie.

Să se afle timpul, pe care fiecare dintre ei I-ar fi pus separat, ca bind singur in felul său , să golească toată amfora.

• • •

1 00. Pe o petală a florii cadamba s-a aşezat a cincea parte a unui grup de albine. Alături de ea creştea simenda, toată înflorită; pe ea s-a aşezat a treia parte din numărul albinelor.

Găseşte diferenţa lor, adună de trei ori şi aşază albinele pe floarea cutai . Numai o albină nu-şi găseşte loc nicăieri, zboară incolo şi incoace şi miroase parfumul florilor.

Socoteşte in minte şi spune-mi acum cite albine s-au strins aci in total! Bhaskara ( 1 1 14 e.n.)

101. "Pe o cîmpi e, două turnuri se gilsesc la distanta de 6 0 coti unul de celălalt. lniJ.lţim ea unuia este de 5 0 de coţi , a celui lalt de 40 coţi . Intre cele douif turnuri se afliJ. un put la o depilrtare egaliJ. de vtr{uri le lor.

GiJ.seşte ctt de departe se afliJ. putul de baza fi eciJ.rui turn" . 1 (Dintr-un manuscris vechi, 1200)

1 02. Un număr de albine, egal cu rădăcina pătrată din j umătatea intregului roi, s-a aşezat pe o tufă de iasomie, lăsînd in urma lor 8/9 din roi. Numai o singură albină se învîrteşte in j urul unui lotus, fiind atrasă de zumzetul prietenei ei, care a fost prinsă in cursa florii mirositoare. C ite albine cuprindea roiul?

Bhaskara (1114 e.n.)

1 03. Pe marginea unui p iriu cu lăţimea egală cu 4 unităţi de lungime, creştea un plop. O furtună a rupt plopul la înălţimea de 3 unităţi de lungime de la păm înt şi copacul a căzut perpendicular pe direcţia p îrîului, proptindu-se de marginea malului opus. Ce înălţime avea plopul?

• • •

104. A cincea parte din numărul unor maimuţe micşorată cu 3 şi ridi­cată la pătrat s-a ascuns intr-o peşteră, iar o maimuţă, care s-a urcat intr-un pom, a fost văzută.

C ite maimuţe au fost laolaltă? • • •

1 Variantă a problemei 34.

36

Page 37: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 05. O floare de lotus se înălţa deasupra suprafeţei unui lac cu dis­tanţa de 4 picioare; sub bătaia vintului, floarea şi-a ascuns vîrful în lac, depărtîndu-se pe suprafaţa apei la distanţa de 16 picioare de la locul unde era inainte.

Ce adîncime avea lacul? 1 • • •

1 06. Pentru Heron, tiranul din Siracuza, s-a făcut o coroană de aur de 1 2 funturi. Heron, bănuindu-1 pe meşter, a poruncit lui Arhimede să cerceteze, dacă nu s-a pus în coroană mai mult argint decît aur. Cum credeţi că ar fi procedat Arhimede, pentru a determina cît argint şi cît aur curat a fost în coroană?

• • •

Răspuns. Cunoscînd ingenioz itatea lui Arhimede şi principiul lui (după care "fi ecare rorp soli d scufundat tntr-un lichi d pi erde di n greutatea sa atft ctt cin­tiireşte volum ul de lichi d dezlocui t"), se poate trage concluzia, că el a poruncit să se pregătească o bucată de aur curat şi o bucată de argint curat, fiecare avind aceeaşi greutate cu coroana şi cîntărindu-le pe rînd în apă a găsit că aurul curat "a pierdut" în apă 19 loturi (1 funt= 32 loturi); iar argintul curat "a pierdut" în apă 28 _!.._ loturi.

2 Apoi, cîntărind şi coroana in apă, găseşte că aceasta "a pierdut" din

gre utatea ei 21 _!.._ loturi. 4

In sfîrşit, socotind ce a pierdut aurul şi ceea ce a pierdut argintul ca lucruri care se amestecă, iar ceea ce a pierdut în greutate coroana sînt numai 9 funturi 5 _!.._ loturi aur curat şi că s-au pus in amestec 2 funturi 26

18 loturi 19 19

argint. Cum se calculează aceasta?

• • •

1 07. Intr-o cuşcă se află iepuri de casă şi fazani; in total sînt 1 00 de picioare şi 36 de capete. Sînt mai mulţi iepuri ori fazani şi cu cit?

• • •

1 08. Pro blemă referi toare la furtul orezului . Din trei butoaie de orez de aceeaşi calitate, trei hoţi au furat o cantitate

oarecare de orez . Cantitatea totală era necunoscută, dar s-a constatat că in primul butoi a rămas 1 "go" de orez, în al doilea butoi au rămas 1 "şing" şi 4 "go", iar în cel de al treilea butoi, - 1 "go" .

Hoţii prinşi au arătat următoarele: primul, că el a scos orezul din primul butoi cu aj utorul unei lopeţi; cel de-al doilea hoţ a arătat că el a folosit un papuc de lemn; al treilea hoţ a arătat că el a folosit un lighean, iar aceştia doi din urmă au luat, respectiv, din butoiul al doilea şi al treilea.

1 Variantă a problemei 31.

37

Page 38: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Lopata, papucul şi ligheanul au fost găsite pe locul delictului . Măsu­rindu-se capacitatea lor, s-a constatat că lopata avea 1 şing şi 9 go; papucul-1 şing şi 7 go;ligheanul-1 şing şi 2 "go" . Trebuie să se afle cit a furat fiecare hoţ, ştiindu-se că 10 go= 1 şing, 1 0 şing= 1 tao, 1 0 tao= 1 şi.

(Aritmetica in nouă capitole)

1 09. Pro blema referi toare la oraşul inconj urat de zi d. "Oraşul est e înconjurat de un zid rotund cu două porţi , una spre nord şi

alta spre sud. Dacă i eşim pri n poarta de nord şi mergem spre nord, după 300 de paşi vom ajunge la un copac mare. Dacă i eşim pe poarta di nspre sud şi m ergem spre vest, atunci acelaşi copac poate fi văzut după 900 de paşi .

Să se spună cu citi paşi este egal profi lul transversal al oraşului" .

Cin-Sei-Sao (sec. a l XVIII-lea)

1 1 0. " Trei snopi de cereale de prima calitate, împreună cu doi snopi de cali tatea a doua şi cu un snop de cali tatea a treia, constitui e 39 de măsuri , doi snopi de cereale de calitatea initi a cu trei de calitatea a doua şi cu unul de cali ta­tea a treia constitui e 34 de măsuri ; în sfîrşit, un snop de calitatea tnt lia cu doi de calitatea a doua şi cu trei de cali tatea a trei a consti tui e 26 de măsuri ."

Cite măsuri are fiecare snop? (Aritmetica in nouă capitole)

1 1 1 . O cerere "modestă". - " Stăpîne, spunea vizirul Sessa E bn Daher, presupusul descoperi tor

al jocului de şah, adresindu-se impăratului i ndian Sherham, care voia să-l recom­penseze pentru mi nunata lui i nven ti e, să-mi dai at ftea boa be de grîu c îte s-ar cuveni să fi e aşezate pe ta bla de şah tn felul următor:

ln primul compartiment al ta blei de şah, o boa bă de griu, în fi ecare com­partiment următor de două ori atitea boa be cite au fost în compartimentul dina­i nte" . . . .

- "Ei bi ne, spuse impăratul mirat de modesti a acestei cereri , care ar fi numărul boa belor de griu necesare?"

" Să calculăm! răspunse vizirul." Dar, cum vizirul de m ult "s-a făcut oale şi ulcele" , calculati dvs . l

• • •

1 1 2. "Leul a m incat o oai e intr-o orif, lupul tn două ore, iar cîinele in trei ore. Dacă toti trei - leul, lupul şi ctinele - au m incat o oai e împreună, în cît timp au m incat oaia? Socoteşte."

(Din primele izvoare ruseşti)

1 1 3 Salari ul lui Nureddin. Maharaj ahul de Bassora, vrind să angajeze ca matematician al curţii

pe cabalistul şi matematicianul Nureddin, i-a cerut acestuia să-şi fixeze sa­lariul.

Nureddin a acceptat şi şi-a fixat ca salariu pentru prima zi a lunii cea mai mică monedă indiană (care ar corespunde cu banul nostru) pentru a doua 38

Page 39: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

zi două monede, pentru a treia z i 4 monede şi aşa mai departe, numărul mone­delor dublindu-se în fiecare zi .

Maharaj ahul rămase uimit de modestia învăţatului . Şi nu mică i-a fost surprinderea la sfîrşitul lunii, c înd ministrul său de finanţe i-a arătat că sala­riul lui Nureddin se ridică la o sumă prea mare. Ce salariu lunar îşi fixase Nureddin?

• • •

1 1-'. După o legendă, conducătoarea poporului ceh, Liubuşa, a hotărît să se mărite cu acela care va dezlega următoarea problemă:

"Dintr-un coş cu prune, am dat primului pretendent jumătate din toate prunele şi fnct'l una; celui de-al doi lea, jumt'ltate din rest şt fnct'l una; celui de-al trei lea, jumătate din noul rest şi incă 3 prune, dupt'l care n-a mai rămas nimi c in coş.

Ctte prune au fost tn coş?"

• • •

1 15. Un cal şi un catir păşeau alături, av ind fiecare in spate cite o povară. Calul se văita de greutatea poverii sale.

"De ce t e vai ţi ?" 1-a intrebat catîrul. "Dacii aş lua de la ti ne un sac, povara mea ar deveni de două ori mai grea declt a ta. Iar dacă tu ai lua un sac de pe spinarea m ea, povara ta ar deveni egală cu a m ea."

·

Spuneţi, matematicieni înţelepţi, cîţ i saci ducea calul şi cîţi catîrul? • • •

1 1 6. Doi oameni au pornit din acelaşi punct, in acelaşi sens, să înconj oare un oraş; unul dintre ei a făcut cite 4 verste pe oră, iar al doilea, cite 3 .!.. verste

3 pe oră; lungimea drumului împrej urul oraşului era de 1 5 verste; se întreabă: după cîte ore s-au intîl!lit ei din nou şi de cite ori a inconj urat fiecare oraşul?

(Din Aritmetica lui Magniţki, 1703)

1 1 7. Un om a fost trimis de la Moscova la Vologda şi i s-a poruncit să facă in fiecare zi cite 40 de verste. In z iua următoare, a fost trimis alt om in urma lui şi acestuia i s-a poruncit să facă c îte 45 verste pe zi.

După cite z ile drumeţul al doilea i l va aj unge pe primul? (Din Aritmetica lui Magniţki, 1 703)

1 18. Cineva a v indut un cal cu 1 56 roble. Dar cumpărătorul s-a răz-gîndit şi a restituit vînzătorului calul, spunindu-i:

- Nu-mi convine să cumpăr calul la acest preţ, nu face atîţia bani! Atunci vînzătorul i-a propus alte condiţii: - Dacă găseşti că preţul pentru cal este prea mare, atunci cumpără

numai caielele de la potcoavele calului; in acest caz, calul il vei primi pe gratis. Fiecare potcoavă are 6 caiele. Pentru prima caia imi vei da 1 /4 copeică, pentru a doua, 1/2 copeică, pentru a treia, 1 copeică etc.

39

Page 40: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Cumpărătorul, ispitit de preţul mic al caielelor şi in dorinţa de a obţine calul gratis, a acceptat condiţiile v înzătorului, socotind că pentru caiele nu va plăti mai mult de 10 ruble.

Cu cit s-a î nşelat cumpărătorul? (Din Aritmetica lui Magniţki, 1703)

1 19. Un om bea un butoiaş de băutură in 14 z ile, iar cu nevasta bea acelaşi butoiaş in 10 zile şi vrem să ştim in cite zile bea nevasta singură acelaşi butoiaş?

(Din primele izvoare ruseşti)

120. Un om a angaj at un lucrător pe un an şi i-a făgăduit să-i dea 1 2 ruble ş i u n caftan. După 7 luni, lucrătorul s-a hotărît s ă plece ş i a cerut plata· pentru lucru. Stăp înul i-a dat 5 ruble şi caftanul. Se întreabă care este preţul caftanului?

(Din Aritmetica lui Magniţki, 1703)

121. La intrebarea c iţi oameni are sub comanda sa, un căpitan a răs­puns că 2/5 din oameni sint de gardă, 2/7 lucrează, 1 /4 este la infirmerie şi 27 sint de faţă.

C îţi oameni avea căpitanul sub comanda lui? (Din Cursul de matematic4 pur4, Efim Voitiakovski, 1811)

122. Un măgar t înăr şi unul bătrîn duceau burdufuri cu vin. Măgarul bătrîn a obosit aşa de mult, incit n-a putut să meargă mai departe. Văz înd aceasta, măgarul t înăr i-a spus:

"De ce ai o bosit aşa de repede, doar duci mai puţi n vin dectt mi ne; pentru cil dacil aş muta o vadril de vin din burduful m eu liJtr-al tilu, am avea amtndoi aceeaşi cantitate de vin. Dar eu nu vreau să fac aceasta . Toarnă, deci , tu o vadril de vi n din burduful tilu tn al meu şi atunci eu vot avea de două ori mai mult ra ti ne". Se întreabă cite vedre de vin ducea măgarul tînăr şi c ite măgarul ! bătrin?1

(Din Aritmetica teoretic4 şi practicd, Dimitrii Anicikov, 1793)

123. La intrebarea: cit e ceasul? cineva a răspuns :2/5 din orele trecute de la miezul nopţii pînă acum sint egale (cu) 2/3 din cele rămase pînă la amiază.

Se întreabă cit era ceasul atunci? (Din Cursul de matematicd purd, Efim Voitiakovski, 1811)

124. Doi oameni au vrut să cumpere un obiect. Unul a spus celuilalt: dă-mi 2/3 din toţi banii pe care-i ai şi atunci eu singur voi plăti obiectul; al doilea a răspuns celui dintii: dă-mi 3/4 din toţi banii pe care-i ai şi voi plăti eu singur obiectul. Obiectul costa 38 ruble.

Se întreabă: ce sumă a avut fiecare din ei? (Din Aritmetica lui Magniţki, 1703)

1 Variantă a problemei 1 15.

40

Page 41: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

125. lntr-un document din 1 635 găsim : "Din jumiltate de jumiJ.tate + a Ireia parte din a patra parte jumiJ.tate" .

La c it revine acea parte? • • •

126. lntr-un document vechi, pentru împărţire de păm înturi noi, se găsesc scrise următoarele:

"Din satu l Clrli gii , din jumiltatea satului din a trtia parte a şasea parte" . A cita parte din sat face acea porţiune?

• • •

127. Pentru serviciile aduse patriei, un ostaş a primit o răsplată: prima rană o copeică; pentru a doua, 2 copeici; pentru a treia, 4 copeici etc. Făcîndu-se calculul, s-a dovedit că ostaşul a primit in total suma de 655 roble şi 35 de copeici.

Se întreabă c ite răni a avut ostaşul? (Din Curaul de matematicii purii, Efim Voitiakovski, 1811)

128. Un om a venit la magazin şi a cumpărat j ucării pentru copii: pentru prima j ucărie, el a plătit 1/9 din toţi banii săi; pentru jucăria a doua, 3/7 din ce i-a rămas după ce a cumpărat prima j ucărie; pentru a treia j ucărie, el a plătit 3/5 din ceea ce i-a rămas după cumpărarea j ucăriei a doua. Intors acasă, a găsit in pungă 1 rublă şi 92 copeici. Vez i, cîţi bani a avut la inceput şi cit a plătit pentru fiecare j ucărie.

(Din Curaul de matematicii purii, Efim Voitiakovski, 1811)

129. Cinci pli ni . Cică doi drumeţ.i au poposit l îngă o fîntînă; unul a scos din traistă 3

piini, iar celălalt, 2. Cind au inceput să mănince, a sosit un al treilea drumeţ şi le-a cerut să-i dea şi lui să mănince şi ei I-au primit şi au mincat toate cele 5 p iini. Străinul le-a dat 5 Iei, le-a mulţumit şi a plecat. Acum urma ca primii doi drumeţi să-şi împartă banii.

Cel care avusese 3 p iini a oprit pentru el 3 Iei şi a dat celuilalt 2 Iei. Cel care avusese 2 p iini a fost nemulţumit şi a cerut să se împartă in părţi egale.

Au aj uns la j udecată. Judecătorul le-a spus aşa: - Să împărţim fiecare p iine in 3 părţi egale. Vor fi 5 • 3= 1 5 părţ i .

Fiecare din voi a m incat 1 5 : 3= 5 părţi. Din cele 3 p îini ale primului, s-au făcut 3 · 3= 9 părţi. El însuşi a m incat 5 părţi, iar prisosul de 4 părţi l-a m in­cat străinul.

Din cele 2 p iini ale celuilalt s-au făcut 2 · 3= 6 părţi; el însuşi a mincat 5 părţi, iar prisosul de 1 bucată l-a mincat străinul. Deci primul drumeţ trebuia să ia 4 lei, iarcel de-al doilea numai 1 leu .

(Ion Creangă, intr-una din povestirile sale)

Cum trebuie împărţiţi banii atunci cind: a) un drumeţ are o p iine, iar celălalt are 2 p iini; b) unul are 3 p iini, celălalt are 4 p iini, iar străinul le dă 7 lei;

4 1

Page 42: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

c) unul are o p iine, celălalt are 3 p iini, iar străinul le dă 4 lei; d) de la început s înt trei drumeţi care au: 3 p îini, 4 p îini şi 5 p iini,

iar străinul le dă 3 lei. • • •

130. O pro blemă tncurcată. "A vind de vtnzare 90 de ouă, o precupea tă a trimis la t irg pe cele trei fiice

ale sale, dtnd celei mai mari şi mai tntelepte dintre ele 10 ouă, celei mijlocii - 30 de ouă, i ar celei mai mici , 5 0 de ouă.

Ea le spuse: - Intelegeti -vă di nai nte cu pri vire la pretul cu care să vi ndeţi ouăle şi să nu vă a bateţi de la această in telegere; să vindeţi toate cu unul şi acelaşi preţ; insii eu nădăjdui esc că fii ca mea cea mai mare, fii nd că este cea mai in te­leaptă, va reuşi să capete pentru cele 1 O ouă a le sale tot alt/i a bani cit va căpăta cea mijloci e pentru 30 de ouă şi o va tnvăta şi pe aceasta să capete pentru cele 30 de ouă ale sale tot atlt va cifpăta fii ca cea mică pentru 50 de ouă, deşi toate veţi vi nde cu acelaşi pret.

Vreau ca toate trei să căpătaţi aceeaşi sumă de bani . Aş mai vrea să vindeti toate ouăle astfel tnctt să nu luaţi mai pu [i n de 90 de copeici pentru toate cele 90 de ouă."

Cum trebuie să procedeze? V. G. Benediktov1

131. Pro blemă cehoviană. Un negustor a cumpărat 1 38 arşini de stofă neagră şi de stofă albastră

cu 540 ruble. C îţi arşini a cumpărat el din fiecare, dacă stofa albastră a costat 5 ruble arşinul, iar cea neagră, 3 ruble?

(A. Cehov, in povestirea Meditatorul)

132. Un ţăran trebuia să treacă peste o apă un lup, o varză şi o capră. Avea la îndem înă o barcă in care nu încăpea decît el împreună cu unul din cele două animale sau cu varza.

Dacă răm îneau pe mal lupul şi capra, atunci lupul devora capra; dacă răm îneau capra şi varza, atunci capra m înca varza.

In prezenţa omului, "nimeni nu minca pe nimeni" . Omul nostru a izbutit, totuşi, să-i treacă pe toţi trei peste apă.

Cum a procedat ţăranul? Albinus Flacus (Alk-win)

133. Zbura un cird de gîşte; în întîmpinarea lor zboară un gîscan şi spune:

- Bună z iua, o sută de gîştel - Noi nu s întem o sută, î i răspunde una mai isteaţă. Dacă am fi

atîtea cîte s întem acum şi încă o dată pe atît şi încă j umătate din cîte s întem şi încă un sfert din c îte s întem şi cu tine, am fi o sută. C îte gîşte erau în cîrd?

• • •

1 Autorul primei culegeri de probleme distractive in limba rusă.

42

Page 43: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

134. Pro blema tri unghi ului dreptunghic. Să se determine laturile triunghiului dreptunghic, dacă este cunoscută

aria şi perimetrul . (Matematica in nouă cărţi)

135. ln timp ce c iinele face 2 sărituri, iepurele face 3; iar 5 sărituri de-ale iepurelui fac cit 2 de-ale c iinelui.

C ite sărituri trebuia să facă un ciine pentru a aj unge un iepure care este la 75 sărituri in faţa lui?

Albinus Flacus (Alk-win)

136. Un ogar urmăreşte o vulpe, care are 60 sărituri inaintea lui . Să se afle peste c ite sărituri ogarul va aj unge vulpea, ştiind că, pe cind ogarul face 6 sărituri, vulpea face 9, dar că 3 sărituri ale ogarului fac cit 7 sărituri ale vulpii.

• • •

137. Un ciine aleargă după un cal. C iinele face 6 sărituri in timpul in care calul face numai 5 şi , făcînd 4 sărituri, ciinele parcurge distanţa pe care o face calul prin 7 sărituri. C ind ciinele a inceput să alerge în urma calului, acesta avea un avans de 55 prăj ini.

Ce distanţă va mai putea parcurge calul p înă ce il va aj unge c iinele? • • •

Page 44: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

2. Probleme captivante

Sint probleme care s-ar putea numi tot atit de bine: "probleme alese", "probleme frumoase" sau "probleme interesante".

Prin indicarea autorului sau a problemei deosebite care se pune, ele captează şi mai mult atenţia noastră, cu o invitaţie irezistibilă pentru a ne încerca şi noi forţele în găsirea soluţiei.

Căci rezolvarea unei probleme deosebite este răsplătită din plin cu satis­facţii spirituale, cum numai în basmele, in care Făt-Frumos le venea de hac iazmelor, puteam întîlni.

1. Pro blema Didonei . Legenda spune că Didona, fiica regelui din Tyr, a fugit, aj ungind în

locul care avea să devină, datorită ei , celebra cetate a Cartaginei. A cerut pămînt. Localnicii, in deridere, i-au făgăduit atit pămînt cit

poate să acopere o piele de taur. Didona a tăiat pielea intr-o fîşie foarte îngustă şi deci foarte lungă

şi a inconj urat cu ea un loc destul de mare ca să clădească pe el o cetate. Socotind că din pielea taurului s-ar fi scos 1 000 de şuviţe lungi de c ite

2 metri, găsiţi cit p ăm înt şi-a luat Didona. Ce formă trebuia să aibă terenul inconj urat, pentru ca suprafaţa să fie maximă?

2. Cineva vinde doi cai cu şei; o şa valorează 1 20 roble, iar cealaltă 25 roble. Primul cal împreună cu şaua bună este de trei ori mai scump decît calul al doilea împreună cu şaua cea ieftină; iar calul al doilea împreună cu şaua bună este de două ori mai ieftin decît primul cal cu şaua ieftină.

Să se afle preţul fiecărui cal. (Din Cursul de matematică pură, Efim Voitiakovski, 1811 )

3. . . . In prima z i de drum, sania în care călătorea J ack London a mers cu viteza prevăzută de acesta. .

La un scurt popas, doi din cei cinci ci ini, care o trăgeau, au ros hamurile şi s-au luat după o haită de lupi. 44

Page 45: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

A doua z i, London a trebuit să continue drumul cu 3 c iini, care trăgeau sania cu o viteză de 3/5 din viteza iniţială şi a sosit la destinaţie cu două z ile mai tirziu.

Dacă cei doi ciini fugiţi ar fi tras sania încă 50 de mile, el nu ar fi intir­z iat decit o zi faţă de termenul fixat.

Care era distanţa de străbătut? • • •

4. Trei drumeţi au intrat intr-un han şi au cerut să li se pregătească nişte cartofi.

Intre timp, au adormit. Primul care s-a trez it a m incat a treia parte din cartofii de pe masă

şi s-a culcat iarăşi. Cînd s-a trezit al doilea, crez ind că este primul care mănîncă, a mincat a treia parte din cartofii rămaşi şi s-a culcat din nou.

In sfîrşit, cind s-a trez it al treilea drumeţ, a mincat şi el a treia parte din cartofi şi a adormit.

Dimineaţa, s-au lămurit. Pe masă mai erau 8 cartofi. C î ţi cartofi au fost la inceput pe masă şi cit mai are fiecare dreptul să

mănince?

5. "0 pro blemil grea", - problema lui S. A. Racinski. 10" + 1 1 " + 121 + 131 + 141 --��--��-- = ?

365

• • •

(reprezentată in tabloul cu această temă al pictorului Bogdanov-Belski)

6. Pro blema lui Lucas. Intre Europa (portul le Hâvre) şi America (portul New-York), la 7 a.m.

precis, pleacă, in fiecare z i, c i te un vapor. Drumul durează exact 7 zile. Dacă cineva pleacă pe un asemenea vapor, c îte vapoare întîlneşte pe drum?

7. Veveri ta la . . • olimpiadă. O veveriţă aduce o alună în vizuină in 20 de minute. C it de departe de

alun este vizuina, dacă se ştie că veveriţa fuge fără alună 5 mfs, iar cu aluna, 3 mfs?

(Olimpiada de matematică, cls. a V-a, Kiev, 1950)

8. Pro blema lui Newton. In 18 z ile, 64 de boi au păscut iarba unei livezi de 48 arii, iar in 30 de

zile, 84 de boi au păscut iarba unei livezi de 90 arii . C îţi boi ar putea să pască iarba de pe 60 de arii în 20 de z ile?

(Se va presupune că, la intrarea boilor in livezi, iarba avea aceeaşi înăl­ţime şi că ea creşte in mod uniform pe tot timpul păscutului.)

9. Trei izlazuri, acoperite cu iarbă de aceeaşi desime şi care creşte la fel de repede, au suprafaţa de 3..!... ha, 10 ha şi 24 ha.

3

45

Page 46: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Cu iarba de pe primul izlaz s-au hrănit 1 2 boi timp de 4 săptăm îni; cu iarba de pe iz lazul al doilea, s-au hrănit 21 de boi, timp de 9 săptăm îni.

C îţi boi se pot hrăni cu iarba de pe izlazul al treilea, timp de 18 săp­tăm îni?

• • •

1 0. Intr-o grădină zoologică se află 37 fiinţe cu 86 picioare şi 44 limbi. Ştiind că vulpile şi tigrii la un loc sint cit cangurii la număr, iar tigrii

şi urangutanii împreună sint cit şerpii Ia număr, să se afle cîţi canguri şi urangutani, care _stau in c ite două picioare fiecare, şerpi cu cite două limbi fiecare şi cîţi tigri se află in grădina zoologică.

(Propusă de zidarul Stepan Ionel şi publicată în G.M.A., nr. 9, anul IX.)

1 1. Pro blema lui Euler1 Două ţărănci au adus împreună la tirg 100 de ouă, una avea mai multe

decit cealaltă; ambele au incasat sume egale. Atunci prima i-a spus celeilalte: "Dacă aş fl avut ouăle tale, aş fi tncasat 1 5 crel tari ." Cea de-a doua i-a răspuns: " Iar dacă eu aş (l avut ouăle tale, aş fi incasat pentru ele 6 � crei fari ."

3

Cite ouă avea fiecare? 12. Pe pista circulară a unui velodrom pedalează doi ciclişti cu viteze

constante. Mergind in sensuri opuse, ei se intilnesc la fiecare 1 0 secunde; mergind in acelaşi sens, unul din ei il aj unge pe celălalt la fiecare 1 70 secunde.

Care este viteza fiecăruia dintre ciclişti, dacă lungimea pistei este de 1 70 m?

• • •

13. Pro blema lui L. N. Tolstoi 2

Un grup de cosaşi a ieşit la cimp. Cosaşii trebuiau să cosească două fineţe dintre care una era de două ori mai mare decit cealaltă.

Jumătate de z i, grupul a cosit fineaţa cea mare, iar in a doua j umătate a zilei, grupul s-a împărţit in două: o j umătate a rămas să termine fineaţa cea mare, iar cealaltă j umătate a inceput să cosească fineaţa cea mică.

Seara, fineaţa cea mare era cosită, iar din cea mică rămăsese un lot care a fost cosit a doua z i de un singur cosaş, care a lucrat toată z iua. Din ciţi cosaşi era format grupul?

14. O intreprindere siderurgică a produs in cursul anului 1 949 o canti­tate de 5000 tone de oţel . Intreprinderea işi propune ca in fiecare an să mărească producţia cu 20% faţă de anul precedent.

In cit timp, socotind de la 1 ianuarie 1 949, va totaliza intreprinderea o producţie de 50 000 tone de oţel?

(R.M.F., 1950)

1 Din "Introducere in algebră" a lui L. Euler. 2 In realitate, o problemă care-i plăcea foarte mult marelui scriitor.

46

Page 47: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 5. Pro blema celor două i zvoare de lumi nă. Intre două izvoare de lumină cu intensităţile de 20 candele şi 45 candele,

se aşază un ecran. Pentru ca ambele feţe ale lui să fie luminate in mod egal, ecranul trebuie să fie aşezat cu 1 metru mai aproape de un izvor decit de ce­lălalt .

Să se determine distanţa dintre cele două izvoare de lumină? • • •

1 6. In 10 plicuri se repart izează suma de 1 000 de lei, astfel încît se poate plăti orice sumă pînă la 1 000 de lei, fără să se deschidă vreun plic. Cum trebuie repartizată suma?

• • •

17. O pro blemă a lui La/eseu . Două trenuri, care parcurg distanţa AB cu viteze diferite, pleacă unul

din staţ ia A la ora 6 , celăl alt din staţia B la ora 6 şi 30 de minute şi se înt îl­nesc in staţia intermediară C la ora 7 şi 27 de minute.

La intoarcere, ambele trenuri pornesc la ora 1 8, fiecare cu aceeaşi viteză ca la ducere şi fără oprire i n C. La ora 1 9, distanţa intre trenuri se micşorează cu 4/5 din distanţa totală AB; in sfîrşit, int ilnirea are loc, de data aceasta, la 37 km depărtare de C.

Să se determine distanţele AC şi CB, vitezele trenurilor şi ora de intil­nire la întoarcere.

18. Pro blemă care se rezolvă printr-o ecua ţi e diofantică1 (ecuaţie nede­terminată cu 2 necunoscute care se rezolvă in numere întregi) .

" Un cetăţean trebui e să plăteascil pentru o cravată 19 ru ble. Cum trebui e sil procedeze cumpărătorul, care are la el numai h irtii de 3 ru ble, şi casi erul, care are numai h îrtii de 5 ru ble, astfel ca plata să se facă fără ca banii lor să fi e schim­baţi?"

• • •

19. O rezolvare i nteresantil. In cartea " Culegere de pro blem e de ari tmeti că" , profesorul Ion Ionescu formulează următoarea problemă:

" Un cio ban nu are 1 0 0 de oi , dar îi lipsesc anume at ttea cfte ar avea peste 1 0 0, dacă ar avea de 9 ori clt are acum.

Cîte oi are acel ci o ban?" Rezolvarea dată de au tor: " Se face un pătrat di vi zat in 9 piltrate egale (fig. 4) .

La un colt însemnăm unul din piitrate care reprezi ntă oi le ce le posedii, iar pătratele rilmase neinsemnate reprezintă oi le ce le-ar avea, dacă ar fi de 9 ori pe atîtea .

Se duce li nia groasă care sil lase de o parte ş i de alta Fig. 4. acelaşi număr de pdtrate neînsemnate. Acea li ni e Iasii în

jos numărul de 1 0 0 de oi . Deci 5 pdtrate mi ci fac 1 0 0 oi şi prin urmare unul echi valează cu 2 0 oi .

Acesta este numărul căutat."

1 După numele lui Diofante, căruia ii revine meritul introducerii lor in algebră.

47

Page 48: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

20. Comandantul unei tabere de pionieri imparte pionierii din tabără in mai multe echipe in felul următor:

Un pionier şi o zecime din rest merg la cules zmeură; doi pionieri ş i o zecime din rest dau aj utor la bucătărie, trei pionieri şi o zecime din rest merg la scăldat ş .a .m .d. pînă nu răm îne nici un pionier nerepartizat.

La sfîrşit, se constată că in fiecare echipă se găseşte acelaşi număr de pionieri. Cîţi pionieri au fost in tabără şi cîte echipe s-au format?

• • •

21. Pro blema celor 8 locomoti ve. Să se manevreze, folosind 17 mişcări, 8 locomotive plasate in careu ca

in figura 5, astfel ca locomotivele să aj ungă in ordinea numerelor lor, pe linia exterioară a pătratului.

• • •

Fig. 5.

22. O barcă nu poate transporta dintr-o dată decit 1 00 kg. Cum vor putea să treacă riul cu acea barcă un om care cîntăreşte 80 kg şi cei doi fii ai săi, care cîntăresc 30, respectiv 50 kg?

• • •

23. Ctnd teoria poate fi mai tare decit i ntui tia practică. De doi stilpi fixaţi de o parte şi de alta a unei străz i, la distanţă de 20 m.

se atîrnă, cu aj utorul unui cablu care face o săgeată de 0, 1 5 m, o lampă grea de 1 5 kg. 48

Page 49: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Cablul este dat că rezistă la o forţă de intindere de 400 kg. Va rezista oare cablul solicitării la care este supus ori se va rupe?

• • •

24. Pro blema bradului . - Bradule, te-a frint furtuna! . . . C it de inalt ai fost? - Nu ştiu, dar inainte, de-mi rîdea soarele sub un unghi de 60°, lăsam

umbră cit lungimea ce mi-a mai rămas; iar acum, de-mi plînge sub un unghi de 30°, las doar 20 m peste ce-am pierdut . . .

- Ei, lasă, atunci, că socotesc eul • • •

25. La o cursă aleargă trei cai A, B, C. Dacă A cîştigă, se dă de a ori miza: dacă B cîştigă, se dă de b ori m iza; iar dacă C cîştigă, se dă de c ori miza.

Ce mize trebu ie să se pună pe cei trei cai, pentru ca, in toate cazurile posibile, să se c îştige suma s?

(R.M.T.)

26. Pro blema celor doud poduri plutitoare. Două poduri plutitoare pornesc in acelaşi moment din ambele părţi ale

unui fluviu şi străbat apa după un drum perpendicular pe maluri. Ele au viteză constantă, dar unul se deplasează mai rapid.

Podurile se încrucişează in dreptul unui punct situat la 720 de iarzi de malul cel mai apropiat.

Ambele poduri răm în la chei 10 minute, inainte de a face cursa retur. La intoarcere, ele se intilnesc la 400 de iarzi de celălalt mal. Cit de lat este fluviu l?

(Sam Loyd, tn Cyclopedia of Puzzles, 1914; vezi Amuzamente matematice de Martin Gardner.)

27. La campionatul de fotbal, din cele 55 de meciuri, fiecare echipă a j ucat cu fiecare din celelalte echipe o singură dată. C ite echipe au luat parte la campionat?

• • •

28. Pro blema celor şapte poduri In Koenigsberg (azi Kaliningrad) sint şapte poduri peste riul Pregel

(fig. 6). Cineva s-a gindit să le traverseze pe toate şi să revină in punctul de plecare fără a trece de două ori acelaşi pod.

Stabiliţi itinerarul de urmat in acest scop.

Leonhard Euler (1736)

29. Un călăreţ şi un drumeţ. pornesc din acelaşi punct A spre punctul B. Călă­reţul aj unge in B cu 50 minute inaintea drumeţului, se intoarce imediatinapoi spre A şi se întîlneşte cu drumeţul la o distanţă de 2 km de B.

8 Fig. 6.

Pentru tot drumul de la A la B şi inapoi, călăreţului i-au trebuit o oră şi 40 minute.

Ce distanţă este de la A la B şi cu ce viteză a mers fiecare? • • •

49

Page 50: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

30. Pro blema lui Lev Tolstoi (pe baza datelor din povestirea " Cit păm înt i i trebui e unui om") .

Pahom fugea pe laturile unui patrula ter. Despre prima latură a lui citim următoarele :

" Stră bătu vreo cinci versle . . . Hai să mai fac vreo ci nci versle; pe urmă o i au la st inga!" . . .

Prin urmare, prima latură a patrulaterului avea o lungime cam de 10 vers te.

Despre cea de-a doua latură, care formează împreună cu cea dintîi un unghi drept, nu ni se comunică în povestire nici un fel de indicaţii numerice.

Lu ngimea celei de-a treia laturi, evident perpendiculară pe cea de-a doua, se arată în povestire în mod direct: "Nu stri1 bătuse pe a treia latură decît vreo doui1 versle" .

In mod direct n i se dă ş i lungimea celei de-a patra laturi: "Pînă la locul de sosi re ri1m îneau tot 15 versle" .

C îte verste pătrate de pămînt a inconj urat Pahom? Dacă parcela în­conju rată ar fi avut forma nu de trapez, ci de dreptunghi cu acelaşi perimetru,

s.

Fig. 7.

suprafaţa înconj urată ar fi fost mai mare sau mai mică? Cu cit?

(Prelucrare după 1. Perelman)

31. Calculul înăl/imii munti lor di n luni'i (aplicaţie a teoremei lui Pitagora general izată).

Presupunind Luna la prim ul p ătrar (fig. 7), deci luminată pe j u­mătate de razele Soarelui ce vin din direcţia (S), un munte aruncă um­bra pe faţa luminată a Lunii ş i aceasta se vede ca o pată AB.

Planul determinat de centrul Luni işi de raza de lumină care trece prin virful muntelui secţionează Luna şi muntele · aşa cum :se vede in fi­gură: L 'B ' este raza Lunii, iar L 'A' este raza Lunii plus înălţimea mun­telui .

Ceea ce se poate măsura de la suprafaţa Păm întului s int distanţele: AB= A'B ' şi BC= B'C ' (există metode pentru aceasta).

Atunci, din triunghiul L'A'B', avem: L'A' 2= L'B '2 +A'B'2 +2A'B' · B'C '

Toţi termenii din partea a doua s int cunoscuţi, deci se poate calcula L'A', din care scăz înd raza Lunii se obţine înălţimea muntelui .

• • •

50

Page 51: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

32. Pro blema zborului spre Lună. Teoretic această problemă se reduce la determinarea punctului de egală

atracţie a Păm întului şi a Lunii, care, o dată depăşit, va permite rachetei să fie atrasă pe Lună de forţa de gravitaţie a acesteia, devenită preponderentă.

Fie: M=masa Păm întului; x= distanţa rachetei de Pămint; k= forţa cu care se atrag două mase de c ite 1 gram la distanţa

d e 1 km ; m = masa Lunii l= distanţa dintre Lună şi Păm int= 84 000 km.

Potrivit legii lui Newton, avem: Mk mk - - --- sau x• ( 1 - z)'

x• M --- - - == 81 ,5 (constanta gravitaţională). (1 - x)1 m

_x_ = V8 1 ,5 +9,03

x - 1

1 0,03x1 = 9,031 ;

Rezultă: x1= 346 000 km x2=430 000 km

9,03 . 384 000 XI = 10,03

Deci, pentru ca racheta să fie atrasă de Lună, trebuie să aj ungă in interi­orul unei sfere concentrice cu Luna, al cărei diametru să fie D=430 000--346 000 = 84 000 km.

• • •

33. Cineva află de existenţa a trei inovaţii: cu aj utorul primei inovaţii se poate economisi 30% din combustibil, cu a doua, 45%, iar cu cea de a treia, 25%.

Propunindu-şi să folosească toate cele trei inovaţii dintr-o dată, aj unge la concluz ia că va putea economisi 30% +45% +25%= 1 00% din combustibil.

Este posibil acest lucru? Cite procente economie va realiza el in realitate?

• • •

34. Pro blema rachetelor care se ciocnesc. Două rachete se in dreaptă una spre cealaltă, prima cu 9 000 de mile pe

oră, iar a doua, cu 21 000 de mile pe oră. Ele decolează din două puncte situate la o distanţă de 1 31 7 mile.

Fără a folosi h irtia şi creionul, calculaţi distanţa dintre ele cu un minut inainte de ciocnire.

(Martin Gardner, Amuzamente matematice)

51

Page 52: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

35. După o legendă musulmană, Mahomed obişnuia să deseneze 'pe nisip, dintr-o singură trăsătură cu virful iataganului, un dublu bicorn (fig 8). Această figură a căpătat denumirea de sigiliul lui Mahomed. Să se

Fig. 8.

stabilească ordinea de urmat pentru trasarea acestei figuri dintr-o singură linie continuă.

• • •

36. Pro blema luptători lor. Două linii de trăgători A şi B se luptă faţă in

faţă. De la A pleacă 5 focuri pe minut de la fiecare soldat, iar de la B, pleacă 6. Cei din A ucid 2%, iar cei din B, 4 % din numărul focurilor trase.

In 20 de minute de luptă, de la A s-au tras 8000 de focuri mai mult ca din B, iar la finele luptei rămăse­seră in A, 92 trăgători mai mult ca pe linia B .

Care era efectivul celor două linii la inceput şi c i t a rămas după luptă? C i te focuri a tras fiecare linie?

• • •

37. Absurditate aparentă. Cu ce este egal 84, dacă 8 • 8 = 54?

• • •

38. Pro blema peşti lor luptători . In Siam se cresc două soiuri de peşte pentru calităţile lor de luptători:

un biban mare, alb, cunoscut ca peştele-rege şi un crap mic, negru, numit peştele-diavol.

Antipatia dintre aceste două specii este atit de mare, incit se atacă reciproc de indată ce se văd şi se bat p înă la moarte .

Un peste-rege poate dispune cu uşurinţă de unul sau de doi peşti mici, exact in citeva secunde. Insă peştii-diavoli s int tot atit de agili şi colaborează atit de armonios, incit 3 din aceşti peştişori egalează pe unul mare şi pot l upta ore intregi fără nici un rezultat. Ei îşi realizează atit de raţional şi de ştiinţific tactica de atac, incit 4 peştişori ucid un peşte mare exact in 3 minute, iar un număr mai mare dă lovitura de graţie proporţional mai repede. (Adică 5 peşti-diavoli ucid un peşte rege in 2 minute şi 24 s . , şase il ucid in două minute etc.) ·

Dacă opunem 4 peşti-rege la 1 3 peştişori-diavoli, care tabără va c îştiga lupta şi cit timp va dura, presupunind, fireşte, că peştii cei mici cooperează în maniera cea mai eficace?

(Cyclopedia of Puzzles, de Jr. Loyd, 1914)

39. Să se rezolve dintr-o privire ecuaţia: x•'= 3

• • • •

40. Fără a calcula valoarea rădăcinilor, să se spună ce este mai m.are: {15 sau y2?

• • •

52

Page 53: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

41. Enigma lui Dudeney1 O încăpere dreptunghiulară are dimensiunile: lungime 30 picioare,

lăţime 1 2 şi înălţime 1 3 picioare. Păianj enul se află pe linia mediană a unui perete la distanţa de 1 picior (aprox. 30, 5 cm) de tavan.

Musca se află pe linia mediană a peretelui opus la 1 picior înălţime deasupra pardoselii şi este atit de paralizată de frică, incit nu se poate mişca.

Care este cea mai scurtă distanţă pe care trebuie s-o străbată păianj enul pentru ca să aj ungă la muscă?

42. Pro blema nuci lor de cocos. "Ci nci oameni şi o maimuti1 au naufragiat pe o insuld pusti e şi şi-au petrecut

prima zi culegind nuci de cocos, ca si1 ai M ce minca . Le-a u aşezat pe toate gri1madi1 şi s-au culcat.

Pe ctnd dorm eau to fi , unul di ntre oameni s-a trezi t şi , glndindu-se cd ar putea si1 iasă scandal dimi nea ţa, la tmpdrfirea nucilor de cocos, s-a hotdrtt să-şi ia partea lui . A fmpărfit nuci le de_ cocos in ci nci grdmezi . A lăsat de o parte o nuci1 pentru maim ută şi apoi şi-a ascuns grdmada lui , i ar pe celelalte le-a pus la loc.

Rlnd pe rind, clte unul di n oameni se trezea şi proceda la fel. Fi ecare Msa o nucă de cocos de o parte, pentru maimufd.

Şi toti cei ci nci Mrbati au fdcut la fel, unul dupi1 altul; fi ecare a luat di n grămadi1, ctnd s-a trezit, o ci ncime di n nuci le de cocos şi fi ecare a Msat ctte o nucd pentru maimuţă.

Dimineata şi-au impdrtit nuci le de cocos rdmase şi fmpărfirea s-a făcut exact. Fireşte, toti ştiau cd lipseau nuci de cocos; dar fi ecare era tot atit de vi novat ca şi cei lalti , aşa că şi-au tinut cu totii gura .

Cite nuci de cocos au fost la inceput?"

(M. Gardner, Amuzamente matematice)

43. Să se construiască grafic x dat de expresiile: 1) x= Vabcd 2) X=Va4 +b4

• • •

44. Pro blema lui Napoleon Bonaparte. Să se împartă un cerc dat in patru părţi egale fără a se recurge la riglă.

Se dă poziţia centrului acestui cerc. Se poate folosi numai compasul. (1. I. Perelman, Geometria distractiv/1)

45. Pro blemi1 atri bultă lui Napoleon Bonaparte. Dacă se construiesc triunghiuri echilaterale in exterior (sau interior)

pe treimea din mijloc a fiecărei laturi a unui triunghi, virfurile acestor trei triunghiuri neaflate pe laturile triunghiului iniţial, formează un nou triunghi echilateral.

(G.M., nr. 8/1968)

1 Henry Emest Dudeney, cel mai mare enigmist al Angliei (născut la May­field tn 1857).

53

Page 54: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

46. Pe fundul unei farfurii, care este un cerc cu raza de 1 0 cm, se aşază 1 0 monede cu raza d e 1 cm . C it la sută din suprafaţa farfuriei acoperă monedele Nu se va afla aria nici a farfuriei, nici a monedelor.

• • •

47. La 9 sonde trebuie repartiz aţi 3 ingineri, fiecăruia repartiz idu-i-se cite 3 sonde. In cite moduri se poate face repartiţia?

• • •

48. Două localităţi A şi B sint situate de o parte şi de alta a unui riu. In ce loc trebuie făcut podul MN, pentru ca drumul AMNB să fie minim?

• • •

49. Pe morm intul lui Arhimede se găseşte o figură compusă dintr-un cilindru in care se inscrie un con şi o sferă de raze egale, înălţimea cilindrului şi a conului fiind egale cu diametrul sferei. Ce relaţie există intre volumul sferei ş i volumele celorlalte două corpuri?

• • •

50. Să se deducă prin c ite o construcţie geometrică următoarele formule algebrice :

1 °(a +b)2= a2 +2ab +b2 2°(a2- b2= (a- b)(a+ b)

• • •

51. Ce grosime s-ar obţine dacă se îndoaie o coală de h irtie de 50 ori? Să se estimeze rezultatul; apoi să se calculeze, socotind grosimea colii de hirtie de 0, 1 mm.

• • •

52. Pro blema pi esei de 5 lei . Dacă trei cercuri egale trec toate prin acelaşi punct P0, atunci cercul

care trece prin cele trei puncte P1, P2 şi P3, in care aceste cercuri se taie două cite două, este egal cu cercurile date .

Notă: Această problemă a fost formulată de profesorul Gh. Ţiţeica In ajunul · unui concurs al Gazetei Matematice, Inaintea primul război mondial, In timp ce se ajuta cu o monedă veche de 5 lei să traseze cu creionul cercuri egale. După ce a descoperit problema exptrimental, autorul i-a găsit şi o demonstraţie.

53. Un înotător înoată pe riul Neva impotriva curentului . L îngă podul Republican, el pierde o ploscă goală. După ce mai înoată 20 minute impotriva curentului, el observă pierderea, se intoarce şi aj unge plosca l îngă podul Smidt.

Distanţa dintre cele două poduri fiind de 2 km, aflaţi cu ce viteză curge Neva.

• • •

54. Distanţa dintre două oraşe, A şi B, este de 200 km . Din A pleacă o cale ferată rectilinie Ax; distanţa de la oraşul B la calea ·rerată este de 87 km .

54

Page 55: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Să se calculeze cum trebuie construită o şosea rectilinie de la oraşul B la calea ferată, astfel încît costul transportului mărfurilor pe traiectul dintre A şi B să fie minim, ştiind că pe calea ferată transportul este de 2 ori mai ieftin decit pe şosea.

Să se afle la ce distanţă de A trebuie aşezată staţia care va lega oraşul B cu calea ferată Ax.

(F.G.M.)

55. Trei vapoare intră in port după fiecare cursă. Primul vapor îşi face cursa in 6 zile, al doilea in 5 z ile, iar al treilea in 1 0 zile. Peste c ite z ile ( in cel mai apropiat timp) se vor int ilni in port, primul cu al doilea vapor, primul cu al treilea şi toate trei vapoarele odată, in cazul cind ar fi ieşit din port în acelaşi t imp?

• • •

56. Pe laturile unui triunghi ABC se iau punctele A1, A2, B 1 , B2, C1 , C2 care impart laturile BC, CA şi AB in părţi respectiv egale. Să se demonstreze că aria triunghiului ce se obţine prin intersectarea dreptelor AA1, BB1 şi CC1 l'eprezintă 1/7 din suprafaţa triunghiului ABC.

• • •

57. Se dă un semicerc ARB de diametru AB= 6 cm. Se împarte diametru! in părţi proporţionale cu numerele 1 , 2 şi 3. Pe aceste segmente se construiesc semicercuri ca in figura 9.

A

R Fig. 9. Fig. 10.

Să se afle lungimea conturului ARB . . . A, precum şi aria închisă de acesta.

• • •

58. Să se arate pe baza indicaţiilor din figura 1 0, cum se poate transforma un dreptunghi ABCD intr-un pătrat BEFG, echivalent cu el.

• • •

55

Page 56: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

59. Linia care se numeşte In arhitectură curbă cu trei centre (sau curbă semiovală) se construieşte astfel (fig. 1 1 ): se Imparte segmentul AB în trei părţi egale, prin punctele C şi D, cu o rază egală cu CD; cu centrele în aceste

puncte, se duc două arce care se taie într-un punct J; se duc dreptele JC şi JD, care se prelungesc; se descriu arcele AE şi BF, cu centrele în punctele C şi D şi arcul EF cu centrul în punctul J .

A 8 Să se arate de ce arcele AE, EF şi FB sînt racordate . Se racordează ele şi in cazul cînd AC este egal cu DB, dar nu este egal cu CD?

• • •

Fig. 11 . 60. Pro blema sferei găuri te. Prin centrul unei sfere solide a fost

sfredelită o gaură cilindrică, avind lungimea de 6 ţoli. Care este volumul restului sferei?

(M. Gardner, Amuzamente matematice)

61. Fie un cerc de rază R. Să se afle c îte cercuri de rază R trebuie pentru a înconj ura cercul dat, astfel ca aceste cercuri să fie tangente intre ele şi tangente cercului O.

• • •

62. Un cerc se rostogoleşte in exterior pe un alt cerc. După ce aj unge in punctul de plecare, continuă să se rostogolească pe o dreaptă tangentă la cercul fix, in acel punct.

Ce l inie descrie centrul cercului mobil? Dar un punct M de pe cerc? Demonstraţie.

• • •

63. O hidrocentrală H trebuie să alimenteze cu energie electrică o

Cooperativă Agricolă de Producţie G, aflată in acelaşi unghi ascuţit a două şosele c a ş i hidrocentrala; alimentarea trebuie s ă s e facă prin două staţii de transformare A şi B, care se află pe cîte una din şosele.

In acest scop, un cablu va lega hidrocentrala cu cele două staţii de trans­formare în continuare şi apoi, tot în continuare, cu gospodăria. Se cere să se afle locul aşezării, pe cele două şosele, a celor două staţii de transformare, cu condiţia să se facă cea mai mare economie la lungimea cablului .

(Concursul de matematici al Societăţii de Ştiinţe Matematice şi Fizice din R.P.R., 1953, regiunea Iaşi.)

64. Fie două cercuri concentrice, av înd centrul in O şi astfel că raza celui mai mare este dublul razei celui mic.

Pe cercul mare considerăm un punct oarecare M şi ducem din el o tangentă la cercul mic. Ea taie cercul mare intr-un punct A. Din punctul A ducem tangenta diferită de AM, la cercul mic. Ea taie cercul mare în punctul B . 56

Page 57: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Să se demonstreze că tangenta dusă din B, diferită de BA, la cercul mic, trece prin punctul M.

(Problemă i n legătură cu celebra problemă a inchiderii a lui Poncelet.)

65. Se dau in plan trei puncte A, B, C. In unghiul ABC să se găsească un punct M din care segmentul AB să fie văzut sub un unghi de 60°, iar seg­mentul BC să fie văzut sub un unghi de 80°.

(Problema hărţii)

66. Se dă un segment de dreaptă AB de lungime a care se imparte in n părţi egale (fig. 1 2, pentru n= 3). Cu origina in A, respectiv in B, se descriu

A 8

Fig. 12.

deasupra şi dedesubt semicercuri de diametru AA1, AA2, AA3, AAn- 1 , AB; B1An- 1 , . . . BA2, BA1, BA.

Să se demonstreze că: Ariile fişiilor cuprinse între aceste semicercuri sint egale;

- Perimetrele lor sînt de asemenea egale. • • •

67. Se dă un triunghi isoscel ABC. Fie D mij locul bazei BC, E proiecţia lui D pe AC, iar F mij locul lui DE. Să se arate că AF .i BE.

(The American Mathematical Monthly)

68. Pentagrama lui Miquel. Dacă se circumscrie cercuri triunghiurilor formate de fiecare latură a unui pentagon şi prelungirile laturilor adiacente, cele cinci puncte de intilnire ale cercurilor alăturate sint conciclice.

• • •

57

Page 58: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

69. Un aviator se urcă deasupra Păm întului la înălţimea h . Cită su­prafaţă de păm înt vede el, dacă notăm raza Pămîntului cu R?

• • •

70. Un turist, plecind dintr-un oraş, a mers 3 ore pe j os şi 2, 5 ore călare, depărtindu-se, in total, de oraş cu 40 km; altă dată el a plecat călare din oraş cu aceeaşi viteză şi a parcurs 5 1 /2 ore, apoi s-a intors pe j os 3 ore, afl indu­se, astfel, tot la o distanţă de 40 km de oraş.

Cu ce viteză a mers turistul călare? (Rezolvare grafică). • • •

71. Să se afle unghiul ce trebuie să facă razele unui cerc OA şi OB, pentru ca volumul născut din revoluţia sectorului OAB in j urul lui OA să fie egal cu sfertul volumului sferei.

(Propusă de Gh. Ţiţeica in "Reviata ŞcoaZei" a liceului din Craiova.)

72. Virfurile unui triunghi dreptunghic ABC împart cercul circumscris în trei arce.

Se duc tangente la fiecare din aceste arce, astfel ca lungimile acestora, cuprinse intre prelungirile laturilor, să aibă mij loacele în punctele de contact.

Să se arate că punctele de contact sint virfurile unui triunghi echilateral. (Teorema lui Pollock)

73. Fie D, E, F punctele de contact cu laturile ale cercului J, inscris i n triunghiul ABC.

Să se arate că dreptele AD, BE, CF trec prin acelaşi punct G (punctul lui Gergonne al tri unghi ului ).

• • •

Page 59: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

3. Probleme celebre

1. La greci, au apărut patru probleme interesante de care omenirea s-a ocupat timp de peste două milenii şi j umătate. Aceste probleme, devenite celebre, s int:

a) lmpărti rea cercului sau a unui arc de cerc intr-un număr oarecare de părţi egale.

De această problemă este legată inscrierea intr-un cerc a unui poligon regulat cu un număr de laturi dat.

b) D u blarea cu bului , adică construirea unui cub cu un volum de două ori mai mare decit un cub dat. Leienda spune că această problemă s-a pus locuitorilor At.enei in timpul unei groaznice epidemii, cind oracolul de la Delfi le-a răspuns:

"Du bla ti altarul lui Apolon (care avea o formă cubică), dacă vreti să potoli ti m tnia di vi nă" .

c) Trisecti unea unghi ului , adică împărţirea unui unghi oarecare in trei părţi egale.

d) Cvadratura cercului , adică construirea unui pătrat care să aibă o su­prafaţă egală cu aceea a unui cerc dat.

Se cerea ca aceste probleme să fie rezolvate exact, folosind numai com­pasul şi o riglă negradată.

Cu toată simplitatea lor aparentă, aceste probleme nu pot fi rezolvate numai cu rigla şi compasul, lucru care a fost stabilit abia in a doua j umătate a secolului al X IX-lea.

Pînă atunci, iar in parte şi după aceea, foarte mulţi oameni, in special matematicieni diletanţi, îşi iroseau vremea şi energia in încercări fără sorţi de izb îndă de a rezolva aceste probleme. Printre cauzele care făceau imposi­bilă rezolvarea menţionăm la problema (b) faptul că latura cubului trebuie să fie t-t/2 unde-t/2 este un număr iraţional, iar la problema (d) suprafaţa cer­cului este legată de asemenea de numărul iraţional n .

Imposibilitatea rezolvării acestei ultime probleme a fost demonstrată in mod definitiv de Lindemann în anul 1 882.

Istoricul acestor probleme, despre care s-au scris multe cărţi ş i broşuri, arată însă, că din încercările infructuoase de a le rezolva, s-au dezvoltat ramuri foarte importante ale ştiinţei matematice moderne.

59

Page 60: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Pe de altă parte, au fost cazuri, c ind s-a recurs la construirea unor instru­mente pentru rezolvarea unora din aceste probleme. Astfel celebrul Arhimede a reuşit să găsească un mij loc "inecanic" pentru rezolvarea problemei (c), procedeul bandei de hirt ie (fig. 1 3) .

D A

Fig. 13.

Fie unghiul dat cx pe care urmează să-I împărţim fn trei părţi egale . Din virful O al unghiului şi cu o rază oarecare descriem un semicerc ABC . Prelungim diametru! CA inspre partea opusă lui A . Luăm o bandă de

hirtie cu marginea dreaptă şi insemnăm pe această margine o lungime DE egală cu raza semicercului . Aşezăm banda de hirtie astfel ca marginea ei să treacă prin punctul B, punctul D să cadă pe prelungirea diametrului; iar punc­tul E pe semicerc. Triunghiul DOE este isoscel.

Se poate, acum, stabili uşor că �= � •

3 Mai tirziu, M. d'Ocagne, Nicholson, abatele Theophile Moreaux şi alţii

au obţinut noi rezultate in rezolvarea acestei probleme. Pentru simplitate, arătăm modul de construcţie al unui trisector imaginat de abatele Moreaux (meteorologist şi astronom francez, secolul al X IX-lea):

Pe o hirtie groasă desenăm un triunghi isoscel ABC, BC fiind baza (fig. 14) .

Din centrul C, ca centru, descriem un semicerc cu raza egală cu mij locul bazei BC, adică egală cu CD. Tăiem h irtia in j urul lui AB, in lungul lui AD şi pe marginea cercului; de asemenea tăiem in lungul razei CE.

A A

8 Fig. 14. Fig. 15.

In partea de j os a triunghiului şi a cercului lăsăm o mică prelungire (fîşie), care să permită semicercului să se ţină legat de triunghi. Fie unghiul xoy (fig. 1 5) pe care ne propunem să-l lmpărţim fn trei părţi egale. 60

Page 61: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Minuim trisectorul astfel ca in timp ce punctul B este pe latura ox, înăl­ţimea AD să treacă prin O, iar cercul să fie tangent laturii oy intr-un punct F.

Cind punctul B, latura AD şi semicercul indeplinesc aceste condiţ ii, - -- --

ca in figură, unghiul xoy este împărţit in trei părţi egale: BOD = DOC= COF. Un model simplu de trisector a propus şi profesorul Neculai Iorga in

G.M. 3/ 1 968. 2. O altă problemă a antichităţii, devenită celebră, este pro blema despre

ta urii Soarelui (problema taurilor lui Helios), cunoscută şi sub denumirea pro blema ta uri lor di n Helicon1 :

"Iar cînd sci1pari1m noi de stînci, de Scila Şi de Charibda cea cumplită, iată Ne pomenirdm la insula cea sfintii A zeului. Acolo erau boii Cei mîndri şi fruntaşi, oi multe grase De-a Soarelui" . . .

Şi se adeveri proorocirea lui Circe: (Homer, Odiseea, cintul al XII-lea.)

" Vei sosi tn insula Trinacria, unde pasc boii şi oi le Soarelui , c tt e 7 cirezi de fi ecare fel şi fi ecare de cite 50 de capete. A ceste vit e nu fată şi nici nu mor şi nici nu îm bătrlnesc, i ar fetele Soarelui , acele zine cu păr de aur, pasc turmele" . . .

Pe această temă, Arhimede a compus următoarea problemă, pe care a propus-o lui Erathostene din Cyrena pentru matematicienii din Alexandria:

"Calculează-mi , pri etene, numărul vitelor cornute ale lui Helios, dar să te gîndeşti serios, dacă ai pretenţia că eşti om de şti inţă.

Ctte pasc în cimpii le Sici li ei , insula cu 3 unghi uri? Ele se impart in 4 cirezi de culori di feri te. Unele sint albe ca laptele, altele de un negru strălucitor, altele roşii , iar ultimele bălţate.

Fi ecare cireadă are un număr mare de tauri şi sînt unii fa lă de altii tn acest raport: _

1 . Cei albi sint atitia ctt 1/2 şi 1/3 impreună di n cei negri , plus toţi cei roşii ;

2. Cei negri slnt cft 1/ 4 şi 1/ 5 di n cei bălţa ţi plus toţi cei roşii ; 3. Cei bălţa ţi slnt 1/6 şi 1/ 7 di n taurii albi , plus numifrul total al celor

roşi i ; 4 . Vaci le cele albe sint 1/3 + 1/ 4 di n Intrea ga cireadă neagră; 5. Cele negre 1/ 4 + 1/ 5 di n toată cireada bălţată, c fnd Jvaci le pasc la un loc

cu tcwri i ; 6. Cele bălJate fac 1/ 5 + 1/6 di n cireada vi telor roşii ; 7 . Cele roşii fac cit 1/6 +1 1 7 di n toaUl turma albă. Dacă-mi spui numărul cornutelor Soarelui , separat numărul tauri lor bi ne

hrăni li şi pe cel al vaci lor, şi cfte di n fi ecare culoare, nu vei fi consi derat nepriceput sa u neiscusit in calcule, dar nu vei fi socotit incă pri ntre invăţaţi . Căci iată ce se mai şti e despre aceste vi te ale lui Helios:

8. Atunci ctnd mulţimea tauri lor albi se uneşte cu aceea a celor negri , ei formează impreună o figură pătrată, iar marea lor inti ndere umple toată supra­fata i nsulei cu trei unghi uri .

1 Mitologie : munte tn Beoţia, locuit de Apollon şi de muze.

61

Page 62: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

9. ln fi ne, dacă ta urii roşii se aşază pe rinduri , tmpreună cu cei bălta tio tnceptnd cu unu şi crescind succesi v cu ctte unu, ei formează fi gura unul tri unghi · fără să fi e pri ntre ei tauri de altă culoare şi fără să se o bserve lipsa acestora .

Dacă vei afla şi vei putea arăta care sint aceste numere, atunci înaintează glorios şi tri umfător, pri etene, convi ns fiind că eşti un om desăvtrşit tn aceastii ştii nţă" .

·

(Descoperi tă tn 1 7 73 de către Lessing tntr-un manuscris grecesc necer-cetat ptnă atunci) .

Răspunsul indicat in manuscris era următorul: "Fi e A numărul tauri lor albi şi a numărul vaci lor albe;

N numărul ta uri lor negri şi n numărul vaci lor negre;

R B

" " roşii " r " " roşii ;

" " bălţa ţi " b " " bălţate;

A = 829 318 560 = !_ N+ R } 6

A +a = 1 405 827 360 a = 576 508800 = !... (N +n)

12

N= 596841120 = !.... B + R } 20

N+ n = 988 300 800

n = 391 459 680 = !.._ (B+ b) 20

42 . B = 588644 800 =

13 A+R 1 B + b = 869 91 O 400

11 b = 281 265 600 = - (R+r)

30

R= 331 950 960 1 13 R + r= 76708800

r= 435 137040 = - ( A + a) 42

ln total= 4031 126560"

Rezolvarea modernă (Yez i Pro bleme celebre de Florica T. Câmpan): a) Cu notaţiile de mai sus, traduse i n limbaj algebric şi in ordinea

indicată de text, cele 9 condiţii impuse de problemă sint:

62

A = ( � + � ) N+R

N'= ( : + � ) B +R

B= ( � + � ) A+R

Page 63: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

a= ( � + � ) (N +n)

n= ( � + � ) (B +b)

b= (� + � ) <R +r)

r= ( � + � ) (A +a)

A +N să fie un pătrat R +B să fie un număr triunghiular. Problema are 8 necunoscute care sint legate in prima parte a acesteia

prin 7 condiţii la care se adaugă, in partea a doua, încă două condiţii. Deci avem de rezolvat un sistem de ecuaţii nedeterminate. Rezolvăm mai intii sistemul format de primele trei ecuaţii. Eliminăm

pe N şi B: { 6A= 5N +6R 4 }+ -+24A= 9B +44R

20N = 9B +20R 1 42B= 1 3A +42R { 24A=9B +44R 1 1 4 } + -+297A= 742R 42B = 1 3A +42R 3

A= 743 R 297

Introducind A in primele 2 ecuaţii se obţine:

N= 178 R; B= 1 580 R. 99 891

Rezolvăm acum sistemul format cu celelalte 4 ecuaţii: 7 a= - (N +n) 4 800

12

9 2 800 n= - (B +b) 20 1 1 1 260 b = - (R +r) 30 13 462 r= - (A +a) 42

4 800a +2 800a +1 260b +462n= 2 800(N +n) +1 260(B +b) + +462(R +r) +143(A +a)

4 657a= 2 800N +1 260B +462R +143A 63

Page 64: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Inlocuind pe N, B şi A cu valorile obţinute anterior rezultă: 297=4 657a= 2 402 1 20R

2 402 120 a= R 2 · 3 · 5 · 7 · 23 · 373 = R 297 . 4 657 31 · 1 1 · 4 657

Apoi din ecuaţiile V I I, V I, V obţinem succesiv:

r= 13 · 46 . 469 R 31 · 1 1 · 4 657

b= 2" · 5 · 7 · 761 R

31 • 4 657

n= 2 · 17 · 15 991R

31 · 1 1 · 4 657

unde R trebuie să fie diviz ibil cu 33 • 1 1 • 4 657=4 149 387 Rezultă R= 34 • 1 1 · 4 657x, unde x este un număr Intreg oarecare. Deci:

A = 2 • 3 • 7 • 53 · 4 657x= 10 366 482x

N = 2 · 32 • 89 • 4 657x = 7 460 514x

B = 22 • 5 • 79 · 4 657x= 7 358 060x

R = 34 • 1 1 • 4 657x=4 149 387x

a = 23 • 3 • 5 · 7 • 373x = 7 206 360x

n = 2 • 32 • 1 7 • 1 5 99l x=4 893 246x

b = 22 • 3 • 5 • 7 · 1 1 · 76l X= 3 51 5 820x

r = 32 • 1 3 • 46 469x= 5 439 21 3x

Dacă in aceste ecuaţii luăm pentru x valoarea 80, se obţin rezultatele indicate ca răspuns in manuscris .

b) Pentru ca A +N să fie un pătrat, trebuie să avem: A +N= Z2, deci: Z2= 2 . 3 . 4 657x(7 . 53 +3 . 89)

Z2= 22 • 3 · 1 1 • 29 • 4 657x - X= 3 • 1 1 • 29 · 4 657 t•

Pentru ca R +B să fie număr triunghiular trebuie să avem:

64

R +B= n(n + 1) =4 6571 • 3 • 1 1 • 29 t2 • (22 • 5 • 79+ 3' • 1 1 ) 2

R +B= n(n + 1) = 3 · 7 • 1 1 • 29 • 353 · 4 6571 • t1 2

Notez: 2(n +1 )= U 2 • 4 657 t=V

Page 65: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Inmultind cu 8 ave m :

4 n(n +1 )= 2n(2n +2)= (n- 1 )(n + 1 )= n2- 1 = 2 · 3 · 7 · 1 1 · 29 · 353v2 Făcînd produsu l putem scrie ult ima ecuaţie sub forma:

u 2= 1 +4 729 494 v 2 , deci o ecuaţie de forma: cv2 +1 = u2 cunoscută in matem atici sub numele de ecua ţia lui Pel l (John Pelli us, inceputul sec. a l X V I I-lea).

Rezoh· ind această ecu aţ ie in numere intregi, .J . Fr. Wurm găseşte că num ă ru l t otal de cornute este de 591 6837 1 75686. Faţă de suprafaţa i nsule i , ar rew n i u n spaţ iu de aprox imativ 23 m2 pentru fiecare v ită .

3. La francez i, matemat icianul Fermat (1 601 - 1 665) a enunţat o altă problem ă, care a deven it celebră, nefi ind complet rezolvată nici astăzi:

,. Să se demonstreze cei, pentru n> 2, ecua ţia xn +Y0= zn nu se poate rezol11a fn num ere intregi" .

A ceastă problem ă, cu noscută şi sub numele d e ,.marea teoremei" a l u i Fe rm a t se m a i poate enu nţa astfel : " Suma a dozui numere intregi ri dicată la acuaşi putere nu poate fi egală cu un al trei lea număr intreg ri dicat şi el la aceeaşi putere" . Excep ţ ie face numai puterea a doua pentru care acest fapt este posibil .

Pe ntru rezolvarea acestei probleme s-a oferit enorm a sumă de 1 00 000 m ărc i germane .

Cu toate e fort uri le unora din ce i ma i mari matem at icien i, această teoremă nu a p u tut f i dem onstrată, dar nici infirmată prin găsirea unu i exemplu care s-o co n t raz ică .

S-a putu t demonstra teorema pentru diferite caz u ri particulare: pentru 11 = 3 (Legendre), pentru n = 'l ş i n = 7 (E uler) etc .

E . K ummer a demonst rat-o pentru un grup destul de mare de puteri şi, pri n t re altele, pentru toţ i exponenţ i i mai m ki ca 1 00, dar nu pentru orice valoare a lu i n (prim ş i mai mare dec i t 2).

Celebritatea acestei p robleme este datorită doar faptului că a rez is tat pînă jn p rezent t u t u ro r încercărilor.

Ea prez intă, însă, u n deosebit interes istoric. I n î ncercările de a solu ţiona p roblema, ma tematicianul E . E. K ummer a construit o teorie numit ă a "i dealelor" , in care el general izeaz ă noţiunea de factor prim şi teoria descom­p u nerii in factori primi, teorie fundamentală in algebra modernă .

4. La englez i , m a tem at icia nul E . Waring a enun ţat u rmătoarE.'a proble­m ă , răm asă nerezoh·ată t imp de aproape 1 50 de ani .

,. Să se demomtreze că ori ce număr intreg poate fi reprezentat ca o sumă de puteri a n-a ale altor numere" .

Abia i n 1 907, 1-I ilbert a dat o demonstraţie completă teoremei lui Wariug. Dem o nstraţia era î nsă foarte compl icată .

După 1 0- 1 5 ani H a rdy , împreună cu L i ttlewood, i n Anglia şi. i nde­pe ndent de ei , Vinogra dov in U.R .S .S . , au dat o demonstraţie analitică m a i s im p lă aceste i teoreme .

Vinogradov a reuş it c u aj utorul metodei sumelor t rigonometrice să dem onstreze, că orice număr impar m ai mare dec i t un anumit număr poate fi scris ca o sumă de cel m ult trE.' i numere primE.'.

65

Page 66: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

O demonstraţie elementară a teoremei a fost dată in 1 9-1 2 de către mate­maticianul SO\' ietic Linnik.

5. O frumoasă problemă adit i\' ă din teoria numerelor (probleme în care numerele naturale sint reprl.'zentate ca sume de numere prime sau de u n anumit tip), nerezolvată încă p înă în z ilele noastrl.' , o constituie pro blema lu i Gold/larh, formulată în anul 1 74 2.

In problemă se afirmă că : ,.Orire muncir par, 2n, poate fi reprezenlttt ra o sumif de doui1 numere prime impare" .

Unele rezultate obţinute de Şnirelman şi 1 . l\1. Vinogradov ne aprop� de rezolvarea problemei lu i Goldbach .

6 . Teorema lui Van der Waerrlen a progresiilor a ritmetice. I n cadrul şcolii matematice de la Glittingen a fost făcută ipoteza că dacă

m ulţimea numerelor naturale t>ste împărţită într-u n mod oarecare in două părţi disj uncte, atunci cel puţin una din aceste părţi conţine progresii aritme­t ice de lungime oric it de mare dorim (cu un număr de tl.'nneni oric it de m.are).

Problema a fost rezolvată in anul 1 928 de Van der Waerden, in condiţ i i mai generale decît cele cerute, care a demonstrat următoarea teoremă: Fie k şi l două numere naturale. Exist ă un număr natural n= n(k, l), astfel că pentru orice partiţie in k clase a oricărui segment de lungime n, cel puţ in una dintre clase conţine o progresie aritmet ică de lungime l.

7. La congresul i n ternaţ ional al matematicienilor d in 1 900, Hitbert a prezentat un referat despre problemele grele nerezolvate la acea dată . Sub numărul 7 se găsea pro blema numerelor transcendente (numl.'re care nu pot fi rădăcini ale unei ecuaţi i cu roeficienţi intregi).

Deşi s-a demonstra t. că există foarte mul te numere transcendente (o infinitate mai numeroasă decît a numerelor algebrice) nu se cunoşteau i n mod concret decît cîteva (e, n şi altele) .

H ilbert a emis ipoteza că ,.ori ce n umăr de forma ccl'i , unde ce este llll ll umăr algebri c O -F ce -F 1 şi � i rati onal, este trarurendent" .

Demonstraţia a fost pusă la punct in j u rul anului 1 930, prin cont ribu ţia mai m ul tor matematicieni, printre care 11 1 1 rol deosebit 1-a avut sa,· an t u l soYietic A . O . G ht>lfond .

Page 67: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

4. Probleme criptaritmetice - calcule cifrate -

Sint probleme i n care se cere restab i lirea calcululu i prin raţionamente sucresiYe, bazate pe proprietăţi ale numerelor sa u ale operaţiilor pe care le facem .

1. Să se găsească cifrele înlocuite prin * in î nmul ţirea:

4 * * * 2 *

* * 4 *

* 1 2 * 3 * *

* * * * * 8

(Din G.M.F. XII-2)

2 • Să se reconstituie următoarea operaţ ie aritmetică "cu cifre şterse" :

3 * * * 3 *

* * 9 *

* 4 5 * * 6 *

* * * * * o

3. Să se restabilească iumulţirea: * 1 * X 3 * 2 * 3 *

3 * 2 * * 2 * 5

67

Page 68: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

4. Să se restabilească împărţ irea u rmătoare, Ia care nu cunoaştem dl.'cît a doua cifră a c i t u l u i (7) 1

* * * * * * * * * * * *

* * * * * * * * * *

* * * * * * * * * * *

!i. Să se decripteze împărţ i rea :

* o * * * 9 * *

* 5 * * 5 *

* * * * 7 * * *

:-J 2 :> 1 * *

6. Să se restabilească următoarea împărţ i re m isterioasă:

* * * * * * 4 * * * * * 4 * * * * *

* * * * * 4 * * * * * * * * *

* * * * 4 * *

7. D u p ă felul cum este scrisă următoarea impărt ire, găsiţi ce cifre erau î n locul fiecăre i stelu ţe:

68

* * * * * * : * * * = * 8 * * * * *

* * * * * * * * * * * * * *

1 Din Culegerea de probleme de aritmetică a lui Ion Ionescu.

Page 69: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

8. Să se dezlege următoarele operaţii aritmetice cifrate (rebusuri cu numere):

c)

a) A B C X b) * * * X R A C * 2 *

* * * * * * * * * A * * * *

* * * R * 8 *

* * * * * *1) * * 9 * 2 * A D I O j i O d) A T O M X

.!....Q_ ID I O A T O M

C I * * * * * O B * * * * *

D I O * * * * *

D I O * * * * *

* * * * A T O M

e) * * 7 * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * *

* * * * 7 7 * * * * * * * *

* 7 * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * * 7 * *

* * * * * * * * * * * *

(B. A. Kordemski, Matematica distractivă)

Probleme cu lege de compoziţie

Sint probleme care se rezolvă, ţin înd seama de legea de compoz iţie dată . Spunem că pe o mulţime E există o lege de compoz iţie (operaţie) dacă

la fiecare pt'reche ordonată (a, b) de elemente din E, distincte sau nu, putem face să corespundă in mod u nic, un element C din E. In forma cea mai generală, avem: c= a*b, unde c este compusul lui a şi b, iar * este un semn convenţional, care indică ex istenţa u nei legi de compoziţie.

1. Definim operaţia * astfel:

a*b= a- b + � (b =F O) b

1 Notă : la ci fre d iferite, corespund litere diferite.

69

Page 70: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Notăm cu x1 soluţia ecuaţiei x*a=O şi cu x2 sol u ţia ecuaţiei X *a= 1 . Să se arate că x1*x2= 0

Liviu Pirşan

Soluţie. X X x*a= x- a + - · Pe ntru a afla pe x 1 awm x*a = O, adică x- a + - = 0 a a

a+ l d .

a sau -- X= a, ect X1 = --a a+ l Pentru a afla pe x2 avem: x*a= 1 , adică x- a + � = 1 , de unde x 2 = a .

a a• a• a a• - a• - a + a Avem: x 1*x2= -- *a= -- - a + -- - = 0,

a + l a + l a + l a + l deci X1*X2= 0

2. Se consideră in mul \ imea R a numerelor reale, următoarea lege de compoz iţie:

b e H . a) Să se arate că oricare ar fi numerele reale a şi c (a < c) există t otdeau na

cel puţ in un număr real b (a < b < c) astfel incit (a*b')*c= a= (b'*c), unde b '= - b

De asemenea să se verifice că : (a*b)*a= a*(b*a) oricare ar f i numerele reale a şi b. b) Să se rezolve ecuaţia x*3*x= e-2 Rezolvare. a) Fie două numere reale a şi c, a < c. Să cău tăm numere reale x pentru

care: (a*x)*c= a*(x*c). • c

Aceas ta implică: e•+x +c= a +e"'+c, ceea ce este echivalent cu e"'=� ( 1 ) a-c

Dar in baza teoremei lu i Lagrange rezultă că există cel puţ in un punct b, a < b < c, astfel incit

a c � = eb

a-c

In baza ac estei relaţii, ( 1 ) de,· ine e -"'= eb, adică x = - b= b' ceea ce demonstrează afirmaţia făcută .

Relaţia (a*b)*a= a*(b*a) se reduce, in acest caz , la ea+b +a= a +eb+•, ceea ce reprezintă o identitate .

b) In baza celor arătate la punctul a), avem: (x*3)*x= x*(3*x) o ricare ar fi numărul real x , ceea ce permite scrierea

in forma x*3*x Ecuaţia x*3*x= e-• este echh·alentă cu e"'+ea+s = e-2 sau e3+"' = - x- 2,

care adm ite soluţia unică ?C.= - 3. (G.M., II - 1966)

70

Page 71: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

3. Considerăm operaţ ia * astfel defin i tă : m

m*n = -- + n, (n � m) Să se rezoh·e sistem ul :

n - m

(x +by)*a=O (ax - y)*b = O

(G.M., VI - 1964)

Page 72: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

5. Erori şi paradoxuri matematice

Eroarea şi paradoxul const ituie rele două fe ţ e ale absurdu lu i in mate­matică .

Eroarea ma tematică const ă, prin defini ţ ie, i n contraz icerea unu i rez u l ta t corect, p resupus cunoscut.

Paradoxul rez ultă dintr-un raţionament matematic, aparent l"Orr c t , rare duce la o concluzie logică, contra ră opiniei curente (para - cont ra şi doxa - opinie) .

Paradoxurile sau antinomiile s î nt construcţ ii logice, î n apare n ţ ă ire­proşabile, dar care duc la rezultate absurde.

Pentru eludarea acestor contradicţii , logicianul englez Berl rand Huss(' ll introduce teoria tipurilor logice, teorie care derivă din principiul cercu lu i vicios. Russell stabileşte o ierarhie logică a conceptelor, adică: indiviz i i , obiecte logice de tipul te,; proprie tăţile indivizilor, concepte de t ipul t 1 , t! etc . Teoria t ipurilor stabileşte că nu se poate aplica un concept de t ipul n , decî t unu i C'oncept de tipu l n - 1 . Cu aceste restricţii soluţia paradoxurilor constă , î n fon d, în reducerea acestora la p robleme i nexistente care nu s e pun prnlru că, punîndu-le, se anulează înseşi definiţiile rare urmau să le serwască drept fu ndament.

a. Erori matematice

Intilnim aci probleme rezolvate corect d in punct de vedere formal, dar greşite d in punctul de vedere al rezultatului (concluziilor) obţinute. 1\fulte din aceste greşeli s înt axate pe simpl ificarea prin zero; altele au la bază premise false bine mascate . Descoperirea lor implică o ascutire a raţionamentului, denol t ă spiritu l de observaţie şi deprinderea de a gîndi, cont ribu ind, astfel, la aprofundarea cunoştinţelor de matematică.

1. Plec înd de la inegalitatea indiscutabilă 4 - 1 0 = 9 - 1 5

se demonstrează că 2 = 3 .

72

Page 73: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Intr-adevăr, adăugînd la ambii membri 6 _!_ avem: 4

4 - 1 0 +6 _!_ = 9- 1 5 +6 2.. . 4 4

Apoi scriem fiecare termen sub altă formă:

22- 2 · 2 · : + ( :r= 32 - 2 · 3 · : + ( : r

(2- :r -= (3- :r sau 2- : = 3- : ln ce constă greşeala? 2. s�-. se demonstreze că 7 = 5 Consieerăm identitatea:

72- 52= 2 . 7 . 6- 2 . 5 . 6

Trecind pf' 52 in membrul al doilea şi pe 2 · 7 • 6 in primul avem: 72-- 2 . 7 . 6= 52- 2 . 5 . 6.

Adunind la ambii membri ai identităţii pe 62, obţinem o egalitate intre două pătrate perfecte:

72- 2 . 7 . 6 +62= 52- 2 . 5 . 6 +62

Restrîngem pă tratele şi obţinem : (7- 6)2= (5- 6)2, de unde rez ultă: 7- 6= 5- 6 sau 7 = 5

Cum se explică acest rezultat paradoxal? 3. Orice canti tat e este egală cu jumătatea ei . "Demonstra ţi e" . Fie a şi b două cantităţi egale: a= b. Să înmulţim ambii

termeni ai egalităţii cu a; -. a2= ab. Să m icşorăm acum cu b2 am indoi membrii a i egalit ăţi i. Diferenţele

obţinute vor fi ş i ele egale: a2 - b2= ab- b2• Descompun ind în facto ri, expresia devine:

(a +b)(a- b)= b(a- b) Simplificăm cu a- b şi obţinem egalitatea: a +b= b; dar b= a, deci

. 2 a Putem sene: a +a= a sau a= a; a= - · 2

Unde este greşeala? 4. Să se descopere greşeala in "demonstraţia" : 2 · 2= 5 (?! ) Considerăm egalitatea: 1 6 - 36= 25-45. Adăugăm în ambele părţi ale egalităţii 20 2.. şi obţinem :

4

1 6 - 36 +20 _!_ = 25-45 + 20 � de unde: 4 4

4 9 ') 4 9 ( 9 )2 - 9 2 - 9 ( 9 } 2 - - -·

. 2 + 2 = ,)"- . :J ·

2 + 2 73

Page 74: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

s a u : ( '1 - :r = ( :; - �-r -- 1 -· i �-o :i - : Deci 4 = 5 sau 2 · 2 = 5 (? ! ) 5. O frac{i e supraunitară este egală cu unilalra . Considerăm ecuaţia: Sx - b 3a - oib •

b o . . t � b r d l ' t --- = --- m care '# ŞI care s e p rez m a s u o rm a c ega 1 ate 3x - 5b 3a -8b

înt re două frac ţi i supra u n itare, deo a rece:

3 x - b > 3x - 5b şi 3 a - 4 b > 3a - 8b

Scriem că i n t r- u n şir de frac ţii egali.', difere nţa numărătorilor formeaz ă o fracţie egal ă c u cele date, deci:

3x - 3a + 3b 3 x - b ( 1 ) . · 1 :h: - b - --- ŞI = ---3x - 3a + 3b 3 x - 5 b 3x - 5b

Deci o fracţie suprau nitară este egal ă cu u n it atea. Egalitatea (1 ) este însă numai aparentă, deoarece rez o l v i n d ecuaţia dată găsim : x= a - b şi,

• 1 . d 1 1 . • . ( 1 ) b ţ ' 3a - 3a +3b O

I n ocum va oarea u1 x m expresia , o ml.'m : - -3x - 3a +3b O

adică o ne detenn inare şi nu egalitati.' cu 1 . 6. Ne p rop u nem să arătăm că 4 lei=40 000 bani . Ridicăm l a pătrat egalitate a l"videntă: 2 lt' i= 200 bani şi obţinem 4 lei=

== 40 000 bani (?! ) 7. Toate 11umerele sint egale. Fie a şi b două numl.'re oarecare a căror difere n ţă este c, aslfel că vom

avea: a - b = c I nm ultind ambii mem bri ai egal ităţii cu ( a - b) vom avea:

(a- b)11= c(a - b) sau:

a2- 2ab +b2= ac - bc

de u nde: a(a - h - <'-) = b(a - b - c) ( 1 ) şi deci: a = b Cum am l u at pe a şi b numere oarecare, se poatl" afi rm a că loa l l" numerl.'le

s i nt egale . . . dacă nu observăm că avind a - b = c, atunci a - b - c = O şi deci nu p u tem simplifica egalitate a (1 ) c u acest fador.

8. Farsa logaritmică Porniad de la i negali t atea evidentă

1 1 - > - · " 8

c u aj utorul loga rilm ilor vom demo nstra că 2 > �. Facem u rm ă toarele tra nsform ări algebrice:

74

Page 75: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

După simplificarea cu lg10 { �) avem : 2 > 3.

Care es te greşeala i n această demonstra ţ ie? 9. Cum se poate ară ta că un num ăr nt"gativ este mai mare decit un

număr pozit iv . Considerăm două numere pozitive a ş i b.

R t 1 a . - a r· "d t 1 a - a apoar e e - ŞI - vor 1 ev1 en ega e: - - -

- b b - b b

Dacă intr-o proporţ ie numărătorul primului raport este mai mare ca numitorul, atunci şi numărătorul celui de-al doilea raport va f i mai mare ca numitorul său . Deci dacă a> - b, avem şi - a > b.

In ce constă graşeala care conduce la acest paradox? 1 0. O parte a unui segment de dreaptă este egală cu segmentul Intreg. Să luăm un triunghi oarecare ABC (fig. 1 6) la care ungh iul din A să

fie ma i mare dec it celelal te două : Ducem din A o dreaptă AD care împreună cu AB să formeze un unghi

egal c u unghiu l C. Tot din A coborim perpendiculara AE pe BC. Triunghiu l ABC şi ABD, avind unghiurile egale, sint asemenea.

Se ştie că suprafeţele poligoanelor sint proporţionale cu pătratele latu-rilor lor omologe, dt"ci in cazul t riunghiurilor am intite,

aria ABC AC1 --- - --aria ABD AD1

Deoarece triunghiurile au aceeaşi înălţim e, ariile vor fi proporţionale cu b l 1

aria ABC BC .

aze e or, -- . aria ABD BD

Din aceste do uă egal ităţi rezultă :

AC" BC - - --AD" BD

sau

A

AC1 AD1 - - --BC BD

Fig. 16 .

( 1 )

Dar, conform teort"mt· i lui Pitagora generalizată , AC2= AB2 + BC1 - 2BC · BE şi

AD2= AB2 +BD2- 2BD · BE

75

Page 76: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Inlocuind aceste valori in egalita tea ( 1 ), ob ţinem succesiv: AB'+ BC'- 2BC · BE AB'+ BD'- 2BD . BE

== BC BD

AB' AB2 - +BC - 2BE= - +BD - 2BE BC BD

AB' AB" - - BD = - - BC de unde BC BD '

AB' - BD · BG BC

== AB" - BD · BC

BD

(AB2- BD · BC)BD= (AB�- BD · BC) · BC (2) Simplific ind ambele părţi p rin (AB2- BD · BC). răm îne B D = BC, adică

o parte din segmentul BC este egală cu întregul segment . Cum se explică acest rezultat? 1 1. Suprafa ta unui trapez este egală C l l zero . Considerăm t rapezul ABCD (fig. 1 7) cu baza mare a şi baza mică b.

Prelungim baza mică p înă in .punc tul N, astfel ca BN= a, iar baza mare p înă i n M, astfel ca DM= b .

Ducem diagonalele AC şi BD ale t rapezul u i care se ta ie i n O şi u nim apoi M cu N .

Dreapta MN taie diagonala BD î n E. lnsemnăm segmentele BO, OE ş i ED determinate pe diagonala BD, respectiv cu x, y, z .

Triunghiurile AOB ş i COD s înt asemenea, deoarece au u ngh iu rile di11 O egale ca opuse la v î rf, iar u nghiul BAO egal cu unghiul DCO (alterne interne) .

Din acestă asemănare rez u l tă proporţionalitatt'a laturilor : 2- = � ; de aseme-Y+ z a

nea din triu nghiu rile EMD şi E B N pu tem scrii.': _z - == � x+y a

b 8 "Arrrrr�"T7TlrrM'7"B'l·- - - - - - ---_y N

Fig. 17 .

Comparind cele două proporţii , rezultă: X Z x - z x b

- - / /

x- z b -- = - de unde y +z x+y

---- - -- = - ; y +z-(x+y) y + z a

- = -

D x - z 1 d . b 1 ar -- = - ; ec1 - = - sau a= - b z - x a

z-x a

(adică bazele unui t rapez s int egale şi de semn contrar). 76

Page 77: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Rezul tă S= �+� · h = O · h = O 2 1

Cum s-a aj u ns la acest rezultat absurd? .Votă : O problemă asemănătoare a fost dată la concursul de matematică

din Torino ( I tal ia ) in anul 1 966; vezi G.M, . XI I - 1967. 1 2. Razele a două cercuri concentri ce sint egale. Luăm două cercuri concentrice, cu centru l in O, cu razele r şi R, legate

rigid intre ele (fig. 1 8) . Ducem tangentele paralele t şi T la cele două cercuri. Imprimăm cerculu i m ic o m işcare de rostogol ire pe tangenta sa in sensul

arătat de săgeată. Atunci r. ind cercul mic se roteşte de un sfert de cerc (90°), dat f i ind

legă tu ra rigidă dint re ele, cercul ce l mare se roteşte ş i el tot de un sfert de cerc în acelaş i sens.

1n momentul porn irii , ambele cercu ri vor avea punc tele lor de contact A şi B cu tangentele lor, aşezate in l inie dreaptă cu cen tru l comun O . Punctele A1 ş i B1, situate la un sfert de cerc faţă de A ş i B, vor fi tot in l inie dreaptă cu centrul comun O. După o rot i re de 90°, centrul comun O va veni in 02, iar punctele A1 şi B1 vor veni respectiv in A2 şi B2 şi , bine inţeles, tot i n l inie dreap tă cu noua poz iţ ie 02 a centrului comun .

Cum dreapta 02A2B2 este noua poz iţie a razelo r duse la punctu l de contact cu tangentele t şi T, u rmează că A2B2 este paralel cu AB ş i deci figura ABB2AB2 este un drept unghi; in consecinţă:

AA2 = BB2

Fig. 18 .

P d 1 • AA 2� m . e e a t a parte 2 = - == - 1ar 4 2

B B _ 2-rtR _ r.R � - -- - - · - 4 2

de unde m" == � sau r= R, ad ică cercurile au raze egale . 2 2

77

Page 78: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Acest paradox este cunoscut sub numele de paradoxul lui Aristotel, dar nu se ştie dacă acesta a dat şi demonstraţia din care să rezulte de unde provine absurditatea acestor concluzii .

Galileo Galilei este considerat ca primul matematician care a expl icat de unde rezultă absurditatea concluz iilor de mai sus. El a arătat că atunci c înd cercul mic se rostogoleşte, şi cercul mare are o mişcare de rostogolire, dar, totodată, el alunecă in sens invers, astfel că lungimea BB2 nu reprez intă adevăratul drum parcurs de ultimul cerc.

D rumul cercului mare se compune din BB2 parcurs prin rostogol ire, dar şi din o mulţ ime foarte mare de alu necări mici pe tangentă in sensul invers mişcării .

1 3. Diametru[ unui cerc este egal cu circumferi n (a lui . Fie cercul din fig. 1 9 al cărui diametru este egal cu D. Circumferinţa

lui va fi egală cu r.D. Pe razele OA şi OB, ca diametri, const ruim alte două cercuri ale căror

. f . ţ r· D . 1 2 D D d" � l � 1 . c1rcum enn e vor 1 r. - • 1ar suma or r. • - =r. , a 1ca ega a cu ung1mea

2 2 cercului dat.

Descri ind acum patru cercuri pe razele celor două cercuri construite anterior, diamet rii aces tor noi cercuri vor n E , iar suma celor patru circum-

4 D ferinţe va fi 4r. · - =r.D, adică tot lungimea cercului dat. 2

A

Fig. 19. Deci, in ori c ite părţi am divide diame tru! cercului dat, suma circum­

ferinţelor construite p e toate fracţiunile de diametru este egală c u circum­ferinţ a ce rcului dat.

Aceste circumferinţe, care devin din ce in ce mai mici, se vor reduce la limită la un şir de puncte, care vor coincide cu diametru) AB.

78

Page 79: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

ln concluzie, rez ultă că circumferinţa unui cerc este egală cu diametru! său.

Cum se explică această coacluz ie falsă? 1 4. Un amator de distracţi i matematice, făc înd difer i te transformări

ale expresii lor algebrice, a aj uns Ia concluzia ciudată că greutatea unui elefant este egală cu greutatea unui ţ inţar. El a raţionat in felul următo r:

Fie x greutatea elefan tului şi y, greu tatea ţ i nţarului. Notăm cu 2v suma acestor greutăţi: x +Y = 2v.

Din această egalitate pu tem obţine alle două: x - 2v= -y;

Să inmulţ im aceste două egalităţi termen cu termen: x2- 2vx=y2- 2vy

Adunind la ambii membri ai aceste i egalităţi v2, vom obţine: x2- 2vx +v2=y2- 2vy +v2 sau (x- vf·= (y- v)2

Ex trăgînd rădăcina pătrată din ambii membri ai u ltimei egalităţi vom obţine : x- v= y - v sau x=y.

Prin urmare, greutatea elefantului (x) este egală cu greutatea ţ inţarului (y).

Unde s-a greşit in acest şir de raţionamente? R. Nu s-a ţ i nut seama că extrăgînd rldăcina pătrată din ambii membrii

ai egalităţii: (x- v)2= (y- v)2, sint posibile două rezultate : x-y=y- v sau x - v = v - y.

In primul caz, X - \' > 0, iar y - v <O, prin urmare egalitatea x- v=y - v nu convine (un număr poz itiv nu poate fi egal cu unul negativ).

A doua egalitate este echivalentă cu egalitatea de la care s-a plecat . Dacă s-ar f i luat această egaliate, s-ar fi evitat greşelile, dar nu s-ar f i obţinut u n rezultat nou.

b. Paradoxuri logico-matematice J. Paradoxul mi nci nosului .

Se pare că faimosul paradox al mincinosului a fost enunţat pentru prima oară de Eubulide, aparţ inînd şcolii din Megara. In formularea lui ini­ţială, se punea u·nui mincinos o simplă intrebare:

:--- Minţi cînd spui că minţi? - la care mincinosul nu a,·ea decit două răspunsuri (tertium non datus): 1) "mint"; 2) "nu mint" .

Dacă cel care spune că minte, mint.e, înseamnă că nu e adevărat că minte, deci el nu minte; dacă cel care spune că minte, nu minte, înseamnă că e ade­vărat că minte, deci el minte.

ln consecinţă, propoz iţia "mint" nu poate fi declarată nici ade,·ărată, nici falsă, pentru că ea ia imediat valoare contrarie.

79

Page 80: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Asupra acest u i sofism s-au scris multe cărţ i . Istoria consemnează faptul curios al morţii lui Philf'tas, provocată de efor turile zadarnice făcute pentru rf'zolvarea aces tu i paradox.

Paradoxul mincinosulu i apare i n diverse variante. Iată dou ă dint re acestea:

J . • Intr-o i nsulă trăia o rasă de uriaşi foarte şi reţi şi cruzi . Fiindcă erau cruzi , e i omorau pe ori ce străin care acosta pe i nsulif; fii ndcă erau şireţi , hotăriseru să-I pună să-şi dea .d ngur senti nţa de moarte. li punea u o întrebare şi dacă răspun­sul era adevărat, il jertfeau i dolului adevărului ; dacă rifspunsul era fals, îl jertfeau i do/ului mi nci unii .

lnsă s-a intimplat ca odată, uriaşii să-i pună untti străi n mai şi ret decît ei tntrebarea: .. Care ili va fi moartea?"

Străi nul a răspuns: " 0 să mă jertfi li i dolului mi nci unii" . Pu.şi in încurcătură, uriaşii au inceput să discute. Dacă acest om a spus

adevifrul, trebui e să fi e jertfit i dolului adevărului , dar tn acest caz, afirma fi a sa este o mi nci und; dacd acest om a spus o mi nci unif, trebui e j ertfit i dolului mi nci uni i , dar atunci a spus adevărul. .

Propoz iţia stră inului nu poate fi declarată nici adevărată nici falsă, pentru că, in orice caz, ea duce la o contradicţie .

2. Un filozof este condamnat la moarte de către un cal if. Acesta face o excepţie de la regulă şi acordă filozofului privilegiul de a-şi alege el însuşi felul execuţif'i.

" Dacă îmi vei spune un adevăr, spune cali ful, 11ei fi ucis cu sa bi a; dacă 11ei spune o mi nei ună, vei fi ucis prin ştreang" .

Se lasă filozofului c itva timp de meditaţie, după care e l spune cal ifu lu i propoz iţia următoare:

" Voi fi ucis pri n ştreang" . lat ă acum gravitatea problemei: dacă aceast ă propoz iţie este adevărată,

a tu nci filozoful trebu ie să fie ucis cu sabia şi deci propoz iţ i a e falsă; dacă această propoz i ţ ie este falsă filozofu l t rebuie u cis prin ştreang, dar atunci ea e adevărată .

ln ce constă cercul vicios care face problema insolubilă? Condiţiile puse de calif s int : filozoful va spu ne o propoz i ţ ie care, prin

adevărul sau falsitatf.'a sa, va determina modul execuţiei sale. Filozofu l enunţă o propoz i ţie al cărei adevăr sau falsit ate dt'pinde de

modu l execuţiei sale . Condiţ iile au fost schimbate. Califul spune: 1. Modalitatea execuţiei t ale depinde de adevărul sau fal sitatea propo­

z iţiei ce o vei spune. Filozoful riposteaz ă prin propoz iţia sa: 2. Adevărul sau falsitatea propoziţiei mele depinde de modalit a tea

execuţiei mele . Cu alte cuvinte, califul stabilise un antecedent logic care determină

consecinţele sale, in timp ce filozoful schimbă problema, prin enu nţ ul însuşi al răspunsului său, luind ca antecedent t ocmai ceea ce enunţul prob lemei decla­rase drept consecvent. Criteriile 1 ) şi 2) sint confundate i ntr-unu 1 singur, dar ele funcţionează simultan, de unde cercul vicios. 80

Page 81: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

2. Pseudoparadoxul bărbi erului .

" Bărbi erul satului este defi ni t ca acela care rade pe tofl cel care n u se rad singuri . Ci ne rade pe bărbi erul satului ?"

Dacă trebuie să se radă singur, atunci nu poate să se radă pentru că el nu rade decit pe cei care nu se rad singuri; dacă nu se rade singur, atu nci conform definiţiei, trebuie să se radă singur.

(Din Soluţia parado.reZor logica-matematice de Anton Dumitriu.)

Page 82: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

6. Un concurs antrenant

Probleme date la al 14-lea concurs anual de matematică, S .U.A. - 1963

La fiecare chestiu ne s int date c i teva răspunsu ri, d i n t re care trebuie ales cel corect. Pentru răsp uns urile greş ite se scade 25 % din pu nct aj u l afectat. D urat a de lucru 80 m inu te pe ntru 40 p ro bleme .

Partea intlia . (3 pu ncte fiecare problem ă )

1. Care punct din cele ce u rmează nu se află pe graficul func t ie i Y = ___!..._ ? • • x + l

(A) (0, 0); (B) (- � . -t ) ; (C) G ' � ) ; (D) ( 1 , - 1 ); (E)(- 2, 2) .

2. Fie n = (x-y)"-T. Să se afle n, c ind x = 2 şi y = - 2.

(A)- 14 ; (B)O; (C) 1 ; (0) 1 8; (E)256.

3. Pentru ce valoare (sau val ori) ale lui k perechea de ecuaţ i i y = x1 şi y = 3x +k are două solu ţ ii identice?

(A) � ; (B) - � ; (C) � ; (D) - � ; (E) _!_ sau - � -· 9 9 4 4 4 4

4. Dacă inversul lu i x +l este x - 1 , atunc i x are v aloarea:

(A)O; (B) l ; (C) - 1 ; (D) + 1 sau - 1 ; (E) nici una dintre acestea. 5. Dacă x ş i log1 12 siat numere reale ş i log222<0, atunc i (A)x < O; ( B) - 1 < x < l ; (C)O<x " 1 ; (D)- 1 <x<O; (E)O < x < l . 6. Triu nghiul ABD este drep tunghic i n B . Pe AD există un pu nct C

pe ntru care AC = CD şi AB= BC. Mărimea u nghiului DA B , i n grade este : 1 (A)67, 1 2; (B)GO; (C)45; (0)30; (E)22 - · 2

82

Page 83: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

7. Sint date patru ecuaţ ii : (1 ) 3y - 2x= 1 2; (2) - 2x - 3y = 10; (3) 3y - 2x= 1 2; (4) 2y +3x= l0. Perechea reprezentînd drepte perpendicu­lare este :

(A)(l ) şi (4 ); (B)(l ) şi (3) ; (C)( l ) ş i (2) ; (D)(2) şi (4) ; (E)(2) şi (3) . 8. Cel mai m ic intreg pozitiv x , pentru care 1 260x= N3, unde N este

un intreg. este: (A) l 050; (B)1 200; (C)l 2602; (D)7 350; (E)44 1 00.

1

9. I n dezolvar<'a hinom ului (a - J;: r , coeficientul lui a -'i este:

(A)- 7; (B)i; (C) - 1 3; (D)21 ; (E)35. 1 8. Punctul P este luat in interiorul unui pătrat de latură a, astfel că

este egal depărtat de două v irfuri consecutive şi de latura opusă acestor două v irfuri. Dacă d reprez intă distanţa comună, atunci d are valoarea:

3a Sa 3a a lfi (E) a (A) s ; (B) 8 ; (C) T ; (D) -2 - ; 2 ! 1 1. 1\ledia aritmetică a 50 de numere este 38. Dacă două numere dintre

ace.stea, anume 4 5 şi 55 , s int înlăturate, media aritmetică a numerelor rămase este:

(A)38,5; (8)37 ,5; (C)37; (D)36,5; (E)36 . 1 2. Trei v irfuri ale paralelogramului PQRS sint P(- 3, - 2); Q(l , - 5);

R(9. 1 ), cu P şi R diagonal opuse. Suma coordonatelor virfului S este: (A)l 3; (B)1 2; (C)l l ; (D)lO; (E)9.

13. Dacă 2- +2b = 3c +3d, numărul intregilor a, b, c, d care pot fi negat ivi este: (A)4; (B)3; (C)2; (D)l ; (E)O.

14. Se dau ecuaţiile x2 +kx +6= 0 şi x2- kx +6= 0. Dacă atunci c ind rădăcinile ecuaţiilor sint convenabil scrise, fiecare rădăcină a primei ecuaţi i este cu 5 mai mică decit rădăcina corespunzătoare a celei de-a doua ecuaţi i , atunci k are valoarea: (A)5; (B)- 5; (C)7; (D) - 7; (E) nici una dintre aceste valori.

15. Intr-un triunghi echilateral este inscris un cerc, liar in cerc este inscris un pătrat. Raportul dintre aria triunghiului şi aria pătratului es te:

<A> v3 = 1 ; <B> v3 = v2: <c> 3Vf: 2; <D> 3 = ...;2: <E> 3 = 2...;2. 16. Trei numere a, b, c, nenule, formează o progresie aritmetică. 1\Iărind

pe a cu 1 sau mărind pe c cu 2 rezultă o progresie geometrică. Atunci b are valoarea:

(A) 1 6; (B) 1 4 ; (C) 1 2; (D ) 10; (E) 8 .

17. Expresia � + -'-" a + Y a - ,,-

y Il - - -

83

Page 84: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

a real, a diferit de O, are valoarea - 1 pentru: (A) toate valorile reale ale lui y, except ind două; (B) toate valorile reale ale lu i y; (C) nici o valoare reală a l u i y; (D) numai dou ă valori reale ale l u i y ; (E) numai o singură valoare reală a l u i y .

1 8. Intr-un cerc coarda EF este mediatoarea corzi i BC, intersec t înd-o pe aceasta in M. Intre B 'ş i M se ia punctul U, iar prelu ngirea lu i EU taie cercu l în A . Atunci, pen t ru orice alegere a lu i U, triunghiul EUl\1 este asemenea cu t riunghiul :

( .\) EFA; (B) EFC; (C) ABl\1; (D) ABU; (E) Fl\IC. 19. Numărînd n bile colorate, roşii şi negre, s-a obst>rvat că 49 din primele

50 numărate e ra u roşi i . Apoi , din fiecare 8 bile, 7 erau roşii . Dacă, in to tal, OO% sau mai m ult din bile erau roşii, valoarea maximă a lui n t'ste :

(A) 225; (B) 2 1 0; (C) 200; (D) 1 80; (E) 1 73.

20. Doi oameni, in p unctele R şi S, la distan ţa de 76 mile, pornesc simultan- unul către altul. Omul din R merge u niform cu 4 , 5 mile pe oră ; omul din S merge c u v iteza constantă de 3,25 mile pe oră in prima oră, cu 3,75 mile pe oră in ora a doua ş .a .m .d. in progresie aritmetică.

Oamenii se intilnesc cu x mile mai aproape de R decit de S, unde x este: (A) 1 0; (B) 8; (C) 6; (D) 4 ; (E) 2; .

Partea a doua (4 puncte pentru fiecare problemă) . 21. Expresia x2-y2- z2 +2yz +x +y - z art>:

(A) nici un factor liniar cu exponenţi ş i coeficienţi intregi; (B) factorul - x + +y +z; (C) factorul x - y - z +1 ; (D) factorul x +y - z + 1 ; (E) factorul x ­

- y +z +l . 22. Triunghiul asc u ţ itunghic ABC este inscris intr-un cerc c u cent rul O

- / '-.. şi AB= 1 20° şi BC = 72° . Un punct E este l uat pe arcul mic AC, astfel că OE este perpendicular pe AC. Atunci raportul valorilo r u nghiurilor OBE şi BAC este:

(A) � ; (B) � ; (C) .!.. ; (D) .!.. ; (E) � • 1 8 9 4 3 9

23. A dă lu i B tot a l i ţ ia cenţ i cîţi are B şi lu i C tot atîţia cenţi cîţi are C . Analog, B dă lui A şi C to t atiţia cenţ i c îţ i are fiecare dintre ei. Dacă, in final, fiecare are 16 cenţi, cu c î ţi cenţi a pornit A?

(A) 24 ; (B) 26; (C) 28; (D) 30; (E) 32.

24. Se consideră ecuaţ iile de forma x2 +bx +c= O. C ite asemenea ecuaţii au rădăcini reale ş i au coeficienţii b şi c aparţinînd mulţim ii ( 1 , 2, 3, 4, 5, 6)?

(A) 20; (B) 1 9; (C) 1 8; (D) 1 7; (E) 1 6.

25. Punc tul F este l uat pe latura AD a pătratulu i ABCD. O perpendicu ­lară în C pe CF întîlneşte prelu ngirea laturi i AB in E. Aria l u i ABCD es te de 256, iar aria triu nghiu lu i CEF este 200. Atunci BE are valoarea:

(A) 1 2; (B) 1 4; (C) 1 5; (D) 1 6; (E) 20 .

84

Page 85: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

26. Se consideră afirmaţ iile: ( 1 ) p şi r s int adevărate iar q E.'sle fals; (2) r este adevărat şi p şi q s int false; (3) q ş i r s int false iar p este adevărat; (4) q şi r s int adevărate iar p este fals . C îte din tre acestea implică adevărul afirmaţ iei: "r este implicat de afirmaţ ia că p implică pe q"?

(A) O; (8) 1 ; (C) 2; (D) 3; (E) 4 . 27. Şase l in i i drep te s int duse i ntr- un plan, astfel oricare două n u s int

paralele şi nici oricare tre i concurE.'nte. N umărul n•giunilor în carE.' aceste drep te impart planul este:

(..\) 1 6; (8)20; (C)22; (D)24 ; (E)26. 28. Se dă ecuaţia 3x2 - 4 x +k cu rădăcinile reale . Valoarea lu i k pentru care p rodusul rădăcini lor E.'cuaţiei este maxim,

va fi : (A) 1 6 • ( 8)1 6

• (C)� · (D)!_ · (E) � •

9 1 3 1 9 1 3 1 3 29. O particulă proiE.'ctat ă pc verticală ati nge, după l SE.'cunde, o înălţime

de S met ri, u nde S= l 60 t- 1 6 t2 • lnăl ţ imE.'a maximi't E.'ste (A)800 ; (8)640; (C)400; (D)320; (E) 1 60 .

30 F. F 1 1 + x S . 1 . t • l� . 3x + x" . . l " f" � • ' le ' = og -- ! e I n O C UIE.'S E.' X I n ' pnn -- ŞI se Slmp 1 !Ca . 1 - x

• 1 + 3x' Expresia simplificată este egală cu :

(A)- F; ( B)F; (C)3F; (D)F3; (E)F3 - F. Partea a trei a (5 puncte fiecarE.' problemă). 31. Numărul soluţ iilor in i ntregi poz i t iv i ale ecua ţ ie i 2x +3y = 763 es te :

(A)255; (8)254 ; (C)l 28; (D)1 27; (E)O. 32. Dimensiun ile unui triunghi dreptu nghic R s î nt a ş i b, a< b. Se cere

să se obţină u n triunghi dreptunghic cu dimensiunile (catetelor) x şi y, x < a, y < a , astfel inc it perimetrul să fie o treime din acela al lui R ş i aria o treime din aceea a lu i R . Numărul uno r asemenea triunghiuri drep tunghice (diferite) este: (A)O; (8) 1 ; (C)2; (D)4 ; (E) o inf initate.

33. Se dă dreapta y = � x +6 ş i o drE.'aptă L paralelă cu cea dal ă şi situată la 4 u ni t ă ţ i de aceasta . O E.'cua ţ ie posibilă a dreptei L E.'stc:

(A) v = :_ x +l ; (8) �· = � x; (C) Y=� x-2. ; (D) Y=� x- 1 ; (E) v = � x + 2. v 4 ,]

4 v 4 3 °

4 ° 4

34. I n triunghiul A8C, latu ra a = "{3, latura b= 1/3 şi latura c= 3 . Fie .1· cel mai mare număr astfel ca valoarea, i n grade, a u nghiului opus laturi i c să fie mai mare decit x. Atunci x arE.' valoarea : (A) 1 50; (8) 1 20; (C) 1 05; (D)90; (E)60 .

35. Laturile u nui t riu nghi s înt in t regi, iar aria sa este dE.' asemenea u n intreg. O latură este 2 1 iar perimetrul 48 . Cea mai m ică latură E.'ste: (A) 8; (8)1 0; (C)1 2; (D)l 4 ; (E) l 6.

36. O persoană are la inceput 64 dE.' cenţ i ş i face 6 pariuri , c îştigi nd de 3 ori şi p ierz ind de 3 ori, c îştigurile ş i pierde rile avînd loc în ordine î n t împlă­toare. Şansa pentru c îştig E.'ste E.>gală cu şansa pentru p ierdere . Dacă fiecare pariu

85

Page 86: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

se face pentru j umătate din bani i care răm în pentru pariul respectiv, atunci rezultatul final estt':

(A) o pierdere de 27 cenţi; (B) un c îşt ig de 27 cenţi; (C) o pierdere de 37 cenţi; (D) nici un cîştig ş i nici o pierdere; (E) un c îştig sau o pierdert', depinz ind de ordinea in care c îştigurile

şi p ierderile au loc. 37. Se dau şapte puncte P1P2 • • • P7 pe o distanţă , intr-o ordine stabilită

(nu neapărat la intervale egale unul de altu l ) . Fie P un punct arbitrar ales pe dreaptă şi fie S suma lungimilor PP1, PP2, PP3 • • • PP7 • Suma S este m inimă dacă şi numai dacă punctu l P este: (A) mij locul distanţei dintre P1 şi P, ; (B) m ij locul distanţei intre P2 :,;i P6; (C) mij locul distanţei intre P3 şi Ps; (D) în P4 ; (E) in Pl "

38. Punctul F este luat pe prelungirea laturii AD a paralelogramului ABCD. BF intersectează diagonala AC in E şi latura DC in G. Dacă EF=32 şi CF= 24 , atunci BE are Yaloarea:

(A)4 ; (B)8; (C)l O; (D)12; (E)1 6. 39. In triungh iul A BC se duc dreptele CE şi AD astfel ca CDJDB = 3f l

ş i AE/EB= 3f2. Fie r= CP/PE, unde P . este intersecţ ia lui CE cu AD . Atunci r are valoarea :

3 5 (A) 3; (B) - ; (C) 4 ; (D) 5; (E) - •

2 2

40. Dacă x este un număr satisfăc înd ecuaţia: {/3x +9-{/x- 9= 3, atunci x2 este cuprins intre :

(A)55 şi 65; (B) 65 şi 75; (C)75 şi 85; (D)85 şi 95 (E)95; şi 1 05. (G.M.B., nr. 2/ 1967)

Page 87: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

7. Probleme recrea ti ve

ln această categori� sînt induse problem�. care a trag, i n special, prin modul de redactar�. prin interesul pe car�-1 st i rn�sc şi prin căii� �xpeditive şi ingenioase de rezolvare.

După acest specific, ele capătă variat� tit luri, in car� se pune accentul pe o0 anumită caracteristică. In operele consacra t� acestui gen, int ilnim la diferiţi autori, denumiri ca: probleme de ist� ţ ime. enigme matematice, şarade şi farse matematice , truc matematic, d uel a ri tmelic, problemă-glumă, -fulger, -ghicitoare, -j u ridică, rebus cu numere, scamatorie geometrică, probleme dis­tractive (care nu necesită calcule deosebite şi se pot rezolva uşor in diferite impr�j u rări, in societate), probleme atracth·e etc.

Sport al spiritului, ele ascut facultatea de cercetare, de combinare şi provoacă o activitate cerebrală agreabilă .

J. Pro blemif de agerime.

Trei filozofi din Grecia an tică s-au culcat sub un copac d in grădina Academ iei şi au adormit .

ln timp ce dormeau, u n gl umeţ i i m inj i pe frunte cu cărbune. C ind s-au trez it şi s-au privit, toţi trei s-au veselit şi au inceput să rîdă cu poftă. Nici unul nu era neliniştit, căci fiecăru ia i se părea firesc ca el, împreună cu alt înţelept, să rîdă de al t reilea.

La un moment dat, unul din ei a incetat să rîdă, căci şi-a dat seama că şi el este mu rdar pe frunte . Cum a ra ţional el?

• • •

2. Un melc t rebuie să urct> o st incii înaltă de 1 4 metri . Z iua urcă 6 m ,

i ar noaptea alunecă in j os 4 m. Jn cite z ile va aj u nge deasupra?

• • •

3. Un cioban se duce la t irg cu mai multe oi sp re a le vinde. El vinde succesiv: a treia parte din oi , pat ru oi, j umătate din ce i-a rămas, o oaie, a t reia parte din ce i-a mai rămas, cinci oi, şi se intoarce acasă cu 9 oi .

Cu c i te oi ,·en ise la t irg? • • •

87

Page 88: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

4. La o serbare vin 20 de tineri, băieţi şi fete. U n ul din băieţi a dansat cu 5 fete. Un al doilea a dansat cu 6 fete, un al treilea cu 7 şi aşa mai departe . Ultimul din ei a d a nsat cu toate fetele. Cîţ i băieţ i şi c ite fete au luat parte la serbare?

• • •

ti. Dacă 3 pisici omoară 3 şobolani in 3 minute, c it t imp le-ar trebui la 1 00 de pi!�ici ca să omoare 100 de şobolani?

• • •

6. La o cramă erau 3 vase: unul de 3 l, al tul de 5 l şi un vas mai mare . Cum s-a reuşit să se măsoare 4 1 de vin cu aj utoru l acestor vase?

• • •

7. Pentru o carte s-a plă t it 1 le u, plus încă o j um ătate din cost ul e i . Cit costă cartea?

• • •

8. Două femei pe nume :!\1. şi E. se duc la t irg să vîndă ouă . In t r-o primă zi fierare desface c ite 30 de ouă şi anume : l\f. le dă cu preţul de 2 ouă la 1 leu , iar E . cu 3 ouă la 1 leu . A doua zi, av ind spre vinz are, iarăşi, fiecare din ele c i te 30 de ouă se învoiesc să le pună laolaltă şi să ceară un acelaşi preţ, anume 5 ouă la 2 lei.

Făcîndu-şi socoteala, femeile descoperă, apoi, că pe cind in ziua int i i au adunat împreună 25 de lei, in z iua a doua n-au obţinut dec it 2-i de lei, cu toate că au v indut de fiecare dată tot 60 de ouă şi deşi nu s-au gindit să ieftinească marfa .

Cum se l.'xpliră aceast ă cont radicţie. • • •

9. Un călător se află la o răsrruce şi nu ştie incotro să se indrepte , la st inga sau la dreapta , pentru a aj unge intr-o anumită localitate.

Din casa de la răscruce iese un om. Călătorul ştie că in această casă locuiesc doi fraţ i, d intre care unul spu ne numai lucruri adevărate, iar celălal t numai lucruri false . Poate oare călătorul să pună omului o singură inlrl.'bare aşa inc i t să afle în ce direcţ ie să pornească?

Se va j ustifica răspunsul. • • •

1 0. In faţa unui tribunal din Evul Mediu se afla un acuzat. Judecătorul i-a spus: trebuie să dai o declaraţie. Dacă ea va fi adevărată, vei fi condamnat la moarte, iar dacă va fi neadevărată, vei fi de asemenea co ndam nat la moarte. Poate oare acuzatu l să se salveze? Se va j ustifica răspunsul .

(G.M., 5-1968)

1 1 . Pe un cimp, m ai mult.e regiml.' nte de cavalerie îşi aranj eaz ă caii în 1 1 grupuri, fiecare grup av ind 1 5 rinduri de cite 1 2 cai.

Fiecare soldat cavalerist primeşte in grij ă 6 cai. Alătu ri de aceştia sint citeva grupuri de infanterişti; in fiecare grup sint 22 rinduri de c ite 15 soldaţ i . 88

Page 89: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Cite grupuri de infanterişti sint, dacă numărul picioarelor infanteriştilor este egal cu numărul picioarelor cavaleriştilor şi cailor la un loc?

• • •

1 2. Verde lmpărat ş i Roşu Impărat se aflau in crincen război. Pasă-mi-te fiul lu i Verde Impărat o iubea pe fata lui Roşu lmpărat, ceea ce 1-a mîniat pe tatăl fetei. Intr-o aprigă bătălie, fiu l lui Verde Impărat căzu prizonier cu alţ i tre i oşteni. Atunci Roşu Impăral î i aşază la o măsuţă de patru locuri şi le z ise:

- Incă 10 bile: 3 albe, 3 roşii şi 4 negre . Lu a ţi fiecare pe ascuns c i te una; dar mai i ntii să te leg pe tine la ochi ,

% ise el prinţului. Zis şi făcu t. Fiecare avea c ite o bilă, ba chiar putea să vadă şi bilele celor

doi alăturaţi, î nsă nu ş i pe aceea din faţă . Numai Jiul lui Verde Impărat nim ica nu vedea. ·

Acum, continuă Roşu Impărat, să-m i spune ţ i fiecare c·c fel de bilă are cel d in faţa voastră. Puteţ i spu ne fie că nu şt iţi, fie o culoare, fie două. Dacă nu şt i t i, răm îneţi aid prizonieri; dacă spu neţi două culori şi una d in ele e cea adevărată, vă dau libertate. Aceluia, care spu ne una singură şi aceea e cea adevărată, i-o dau pe fi ica mea de soţie. Dar dacă culoarea adevărată nu e aceea sau u na din acele spuse de voi, atunci veţ i fi sp înzuraţi .

Spune tu, se adresă impăratul un u ia d intre oşteni! Nu ştiu . . . Dar voi? şi arătă spre ceilalţi . Nici eu nu ştiu, z ise al doilea. Nici eu , făcu al t reilea . Acum pe l ine vreau să te aud , prin ţu le . Negru .

Să se demonstreze că Ro�u lmpărat i-a dat-o de soţie pe fiica sa fiului lui Verde lmpărat, ştiind că aceşt i împăraţ i îş i ţ ineau cuvint u l .

T . Zamfirescu (G.M.B., 1968) 13. Andrei o întrebă pe l\lariana c î ţ i ani are . - Ghiceşte ! ii răspunse ea . - Bine, dar spune-mi numai c i t va răm îne dacă, dintr-un număr de 1 0

ori mai mare dec i t anii tăi, v om scădea produsul cu 9 a l unui număr cu o singură cifră! o rugă Andrei.

:\Iariana se conformează şi-i comunică: 143 .

Andrei separă cifra unităţilor număru lu i comunicat (3), o adu nă cu num ărul rămas ( 14 ) şi stabileşte v irsta: 1 1 +3 = 17 ani.

Tru cul a avut un mare efect . Dar care este baza lui matema tică?

• • •

H. Un ta tă se gîndeşte să depună la C.E.C. pe numele celor trei băie ţ i ai s[li o sumă de bani in raportul 7 : 6 : 5, corespunzător virstei lor. In urmă îşi schimbă părerea şi depune pentru fiecare c i te o sumă în raport cu notele luate

' l a tez a de matematică, 6 : 5 : 4 . 89

Page 90: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

I n modul acesta, u nul din ei ia mai mu l t cu 1 2 lei. Ce sumă a dt'pus la C.E .C . şi cit s-a inscris pe carnetu l fiecărui băiat?

• • •

1 5. Un rege, vrind să scape de primul său ministru, puse două h irtii in t r-o pălărie. El preveni pe j udecătorul care asista Ia tragerea sorţilor, că dacă primul ministru va scoate hirtia pe care era scris "răm îi", i se va îngădui să nu părăsească regatul, iar dacă va scoate h irtia pe care era scris "pleacă" , va trebui să plece. Ca să fie sigur că va scăpa de dregătorul său, regele sc ri.:.cse pe amîndouă h irtiile "pleacă" .

Dar primul ministru, care era dest ul de isteţ, arătă j udecătoru lu i u n a din h irtii şi j udecătorul decise in favoarea lui .

Cum a zădărnicit primul ministru planul regelui? • • •

1 8. O plim bare pe jo.<;. - Poftiţi m iine pe Ia mine! z ise bătrînul doctor unui prieten al său . - Yă mulţumesc. Voi pleca de acasă l a ora 3 . Dacă ş i dvs. intenţionaţ i

să faceţi o plimbare, ieşiţ.i din casă la aceeaşi oră şi ne vom int ilni la j umătatea drumului .

- Dv. uit aţi că eu sint om bătrîn şi nu pot face mai mult de 3 km pe oră, in timp ce dv. puteţi parcurge uşor 4 km. Cred că ar fi cazul să mă a\· an­t ajaţi puţin.

- Aveţi dreptate. Dat fiind că eu fac cu 1 km pe oră mai mult dt>cit d,· . , pentru a nivela condiţiilf.' , vă dau acest kilomet ru, adică voi ieşi d in casă cu un sfert de oră mai deHeme. Vă este suficient?

- E foarte amabil din partea d Y.! se grăbi să-i răspundă băt r înul . Plimbarea a decu rs conform inţt>legerii; după ce s-au i ntilnit, bătr înul şi

t înărul s-au indreptat impreu nă spre locuinţa doctorului . l ntorc indu-se acasă t înărul !ji-a dat seama că, acord ind doctorulu i sfertu l de oră respectiv, el a parcurs i n t otal o dis tan ţ ă nu de două ori , ci de patru ori mai mare dec i t doc­torul .

La ce dist anţă de casa doctoru lu i se afla locu inţa t înăru lu i? • • •

1 7. Şapte j u că tori s-au învoit ca cel care va pierde part ida să plăl t'ască celorlalţ i o sumă de bani echivalentă cu cea pe care o posedă persoana respec­tivă, cu alte cuvintt> să dubleze banii fit>cărui partener.

Au j ucat 7 part ide . Fiecare a pierdut c i te una. După terminarea j oculu i, au socotit c î ţi bani are fiecare. S-a aflat , spre mirarea tuturor, că to ţ i au act>eaşi sumă: 1 2,80 Iei .

C i ţ i bani poseda fiecare j ucător la incepu tu l j ocului? • • •

1 8. Un j ucător p ierde, Ia pr imul j oc, j umăta te din suma ce avea plus 1 leu ; Ia al doilea, j umătate din ce i-a rămas pl us 2 lei; iar la al t reilea j oc, p it• rde j umătate din ce-i mai rămăsese plus 3 Iei !ji termină banii.

C i ţ.i bani a avut la incepu tu l j ocul ui? (R.M.T.)

90

Page 91: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 9. Doctorul Watson şi musafirul său Hohnes stau Ia o fereas tră deschisă . Din grădină aj ung Ia urechile lor glasurile \'esele ale unui grup mare de copi i .

- Holmes: Spune ţ i-m i. vă rog, c î ţ i copii aveţi? - Watson: A ici s int copii i a patru famili i ; l.'chipa mea l.'stc cea mai

numeroasă, a fratelui meu mai pu ţ in, a surori i ş i ma i pu ţin, iar copi i i unchiului s int grupul cel mai pu ţ in numl.'ros.

Ei fac acest tărăboi dl.'oarece nu le aj ung pen tm două l.'chipe. cite 9 oameni de fiecarl.' .

O coincidenţă amuzantă : dacă se î nmul ţ esc cele pa t ru numere, care expri�n ă numărul de copii din familiile noas t re , vom obţine număru l case i noastre, pe care dv. il cunoaşteţi .

- Holmes: Eu am învăţat la şcoală matemat ică . Yoi incl.'rca să calctilez numărul de copii din fiecare familie .

După c i teva calcule, Holmes a spus: - Pentru rezolvarea problemei se dă prl.'a pu ţ in . Spuneţ i-mi, vă rog,

unchiul are un copil sau mai mulţi? Watson a dat răspunsul cerut. - Holmes: acum pot să dau răspunsul exact asupra numărulu i copi ilor!

Şi intr-adevăr a dat răspunsul corect. Care a fost numărul case i şi c î ţi copii avea fiecare fam ilie?

(A. Conan-Doyle, "Aventu rile lui Sherlock Holmes", G.M.F., Nr. 8 - 1961)

20. Se consideră două sale A şi B ş i o rale ferată MN. Să se determ ine printr-o construcţie grafică locul gării, care trebuie să fie astfel construită inc i t să fie egal depărtată de cele două sate.

Ce se înt împlă cind dreapta AB este perpl.'ndiculară pe calea ferată? • • •

21 . Trei cut i i conţin: u na, două bile albe; alta. două bile negre; ul lima, o bilă albă şi una neagră.

Cut iile erau etichetate potriv i t conţ inutu lu i AA. NN şi AN. Cineva schimbă, însă, etichetele, astfel că nici una nu se mai pot riveşte cu conţinutul .

Cum se poate determina, printr-o si ngură extracţie a u nei bile d intr-o cu tie, fără a privi înău ntru , conţ inut u l exact al fiecărei cu tii'?

• • •

22. Unui şcolar i se dă un număr de către învăţătorul său şi i se spune să-I micşoreze cu 2 şi să împart ă restul cu 3. El uită ce i-a spus învăţătorul, căci scade 3 şi imparte cu 2.

După ce spune rezultatul , î nvăţă torul i i z ice: "Foarte bi ne, destul!" Ce număr i se dăduse la i nceput?

• • •

23. G îndi ţ i-vă la u n număr oarecare, inmulţiţi-1 cu 2, adăugaţi Ia produs 30, împărţiţi numărul obţinut Ia 2, scădeţi d in rezultat numărul la care v-aţi gindit şi veţi obţ ine rezultatul 1 5 . Explicaţi de ce rezultatul este totdeauna 1 5, oricare ar fi numărul la care v-aţi gindit!

• • •

91

Page 92: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

24. l\lerg ind cu vi teza de ,1 km pe oră, A îl aj unge pe B, care merge cu viteza de 3 km pe oră. C ind distanţa dintre ei era de 0,5 km, o muscă care şedea pe pălăria lui A, a zburat spre B, apoi inapoi spre A ş . a .m . d. şi a zbu rat a!ia p înă la intilnirea lui A cu B.

C î ţ i km a parcurs musca, dacă ,· iteza ei este de 10 km pe oră'! • • •

2». Jntrebată c ite mere are i ntr-un coş, o femeie a răspuns: " 1\· u �ti u cite am, dar pot sci spun ră dacif le număr cite 2, cîte 3, cite 4, cite 5, cite 6, îmi rifm ine cîte un măr în coş; i ar dacif le număr cite 7, nu-mi răm îne niri un măr" .

Cite mere a.\"ea in coş? • • •

26. Pe unul din talerele balanţe i a fost aşezat u n calup de săpun. iar pe celălal t taler, 3/4 dintr-un calup identic cu primul şi î ncă 3/4 kg. C înt arul se găseşte in echilibru perfect.

Cit cîntăreşte calupul'? • • •

27 . .J umătate reprez intă o treime dintr-un număr. Care este număml? • • •

28. Să se găsească un procedeu de a afla un număr la care s-a gîndit c ineva bazat pe identitatea:

(x +2) · 3 - 2x - 6 = x • • •

29. ln t i lnind n-se 1 6 persoane, şi-au dat m ina. C ite stringeri de m i nă au avut Joc?

• • •

30. Partic ipanţii la o şedinţă �i-au strins m î inile �i cine\"a a calculat că, in total, au fos t 66 de stringeri de m ină.

C îţ i oameni au fost la şedin ţă? • • •

31. Trei copii a\·eau de împărţi t 23 de le i şi primul trebuia să ia 1 /2 d in sum ă, al doilea 1 /3 şi al treilea 1 /8 din sumă.

Un coleg al lor, care mai a\"ea şi el 1 leu , a reu� it să le facă aceas t ă îm­părţ ire .

C i t i lei a luat fie c a re copil?

32. Puncte ele vedere.

• • •

Şase femei duc la oraş 6 coşu ri cu ouă, purt ind fiecare c ite u n coş. Pen t ru aceasta le t rebuie o oră. I n cit timp fac dou ă femei aceeaşi treabă?

La această problemă, cinci persoane au dat urmă toarele răspunsu ri, j udec ind fiecare in felu l său : 92

Page 93: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

I . Dacă numărul feml.'ilor t'ste de 3 ori mai m ic, le trebu ie de 3 ori ma i mult t imp, deci: 6 : 2= 3 ore.

1 I . Drumul de la sat la oraş durează o oră, iar î napoi, altă oră, ceea ce face 2 ore. Trei drum uri vor dura 3 · 2= 6 ore.

I I 1 . Să facem socoteala amănunţit: p rimul drum cu 2 coşuri, 1 oră; drumul î napoi, 1 oră; al doilea drum cu 2 coşuri, 1 oră; drumul inapoi, 1 oră; al treilea drum cu 2 coşuri, 1 oră.

Rezultă un total de 5 o re . IV. Dacă se spune că î ntr-o oră se pot duce ouăle la oraş, inseamna ca

drumu l pînă la oraş durează o j umătate de oră şi drumul înapoi, a ltă j umătate de oră.

Acum socoteala se prez intă astfel: primul drum cu 2 coşuri, 1/2 oră; drumul inapoi, 1 /2 oră; al doilea drum, dus- întors, 1 oră; al treilea drum dus, 1 /2 oră.

Total pentru 6 coşu ri, 2 1 /2 ore. V. La aceste 2 1 /2 ore mai trebuie adăuga te 1 /2 oră pen t ru înapoie re.

deci ies, din nou, 3 ore. Nu este exclus să se mai dea ş i alte răspunsuri. Care este răspunsul bun?

• • •

33. Se parcelează un teren situat între o şosea şi o cale ferată rec tili nii ce merg paralel. Unui cetăţean i se acordă o parcelă care are formă triun­gh iulară. Se fixează două vîrfuri, A şi B, de-a lungul şosele i şi i se Iasă liber­tatea să aleagă singur al trl.'ilea v îrf al triunghiului .

Cetăţ.eanul se g indeşte să ale agă punctul M astfel incit să cuprindă un teren c î t mai mare.

Cum va trebui să procedeze? • • •

3-1. Dintr-o placă de metal hl.'xagonală să se taie un sfert fără să i se schimbe forma.

• • •

3:i. Un explorator merge o milă exact spre sud, îşi schimbă direcţ ia ş i merge exac t o milă spre est , î ş i schimbă direcţia şi merge o m ilă exact spre nord.

EI reaj unge în punctul de unde a pornit . Airi împuşcă un u rs . Ce culoare are ursul?

• • •

93

Page 94: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

38. Pro blema bisectării crucii lorene. Figu ra alăturată (20) reprez intă "crucea lorenă" la care o parte a fost

haşurată. Să se ducă o l inie prin p u n ctul A, astfel inc i t ar ia părţii din st inga

(haşurată) să fie egală cu ar ia restului . Cit de l u ng este segment u l BC dacă l inia este dusă corect?

(Martin Gardner, Amuzamen te matematice)

Fig. 20. Fig. 21 .

37. Ghici li diagonala! (Problemă-fulger) Un dreptunghi este inscris i ntr-un sfert de cerc (fig. 2 1 ) . C u nosc ind

d istanţele indicate, să se afle rapid lungimea diagonalei. • • •

38. Să se ducă de la punctele 1 , 2, 3, 4 , 5 ( in ord int>a i nd ica tă ) c i te o l inie la punctele A, B, C, D, E (fig. 22), astfel ca nici u na din aceste l in i i să nu se intersecteze.

5 4 3 2 1 A X X X lC X

X A E E

J( o

X

8 c J( "

Fig. 22. Fig. 23.

39. Să se arate dacă fig. 23, ce reprezintă o stea in cinc i col ţu ri, poate fi trasat ă _dintr- o singură l in ie şi să se arate metoda de urmat.

• • •

9-t

Page 95: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

4fl. Pro blemă de logi cei recreali 11ă. Trei oameni: A, B şi C îşi dau seam a că toţ i t rei s int " logicieni desăvîrş i ţ i".

c a re pot deduce instantaneu toate consecinţele unei m u l ţ i m i de prem ise da te .

A u la dispoziţie patru timbre roşii ş i pa t ru H'l'Z i. Li se leagă ochi i ş i pe fru nt e a fiecăruia se l ipesc r î te dou ă t i m bre. Apoi

l i s e iau legăturile de la och i . A. B şi C s înt întreba ţi, unu l după altul: - Ştiţi ce culoare au t imbrele dv? Fiecare răspunde " nu" . Atunci A este întrebat din nou. El răspunde

iarăşi "nu" . Arum i se pu ne î ntrebarea l u i B, rare răspunde " da" . Care s înt culorile t imbrelor l u i B?

(Martin Gardner, Amuzamente matematice)

41 . Vechi ti p de eni gmă logică. Un Iogic ian, care-şi pe trt>cea roncediul in l\lă rile Sudu lui, nimereş te

i n t r-o insulă locuită de două tr iburi proverbiale: ce i m inr inoşi şi cei care spu n n u m a i adevărul .

Jfembrii unu i trib mint to t deau na, membrii cel u i de-al doilea trib spun totdeauna adevărul . Logicia nul aj unge la o b ifurcaţie a drumulu i şi trebuie să-I intrebe pe un băşt inaş, ce cale să urmeze pentru a aj unge la u n sat. El nu are nici o pos ib ilitate de a şt i dacă băş t inaşu l spune adevărul sau dacă este m incinos. Dar se gîndeşte o clipă, după care pune o singură întrebare. Din răspuns, el află pe ce drum să apuce.

Care t'ste i n t rebarea? (Martin Gardner, Amuzamente matematice)

42. T re i p riete n i iau m asa de seară la u n rest aurant . Socoteala ospătaru­l u i fiind de 75 de lei, fiecare consumator işi achită partea sa, inm îni ndu-i direct cîte o · h irt ie de 25 de lei.

Predind Ia casă banii, se constată acolo că nota fusese încărcată d ill greşeal ă c u 10 lt> i necuveniţi. Suma se rest ituie pe loc ospătarului, ca·re pri­meşte, deci, tre i monede metalice a 3 lei ş i o h irtie de 1 leu . Ospătarul r<.>ţ i ne leul pentru sine şi rf'stituie fiecărui client cîte 3 lei, astfel că î n defini t iv pe fit•care 1-a cos t a t masa nu m a i 22 lf'i.

Clienţ ii o dată plecaţi, ospătarul se întreabă, tot uşi , cu naiv itate ce-au deve n i t ce i 75 de lei încasaţi in iţ ia l de la aceşt i consuma tori? Cum masa an plă t it-o cu 66 df' l f' i , iar 1 Ieu a fost luat de ospătar, ma i s înt 8 Ie i răm aşi. C ine i-a reţ i n u t "?

Expl iraţ i n t' d u m <.>rirf'a ospăt aru lu i . • • •

Page 96: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

8. Versiuni noi ale unor probleme mai vechi

1. Ce păt rat perfect este produsul a patru numl.'re in t regi impare con­�ecutive?

M.M. - David L. Silverman

2. Să se demonstreze că nu există nici un intreg pozitiv n pl.'nt rn care n4 +2n8 +2n2 +2n +1 să fie un pătrat perfect.

M.M. - Leo Moser

3. l n ce sistl.'m de numeraţie numărul 1 1 1 1 1 este un pă t rat pl.' rfl.'d? N.M.M. - V. Thebauld

�. Să se arate că nu există nici un sistem de numeraţie in care număru l de trei cifre aaa să fie egal cu a3 •

S.M.M. - Charles Mc. Cracken Jr.

5. Profesorul E . P. B . Umbugio1 s-a fălit la toa tă l umea că a rl"uşit să rezolve ecuaţia de gradul patru care se obt ine dacă se elimină radicalii d in ecuaţ ia:

x = (x- 1fx) 1 ' 2 +( 1 - 1 fx)1 1 2

Daţi-i o lecţie Profesorul ui, rezolvind această ecuaţie şi u tiliz ind, i n al"l.'s l scop, numai ecuaţi i de gradul doi .

A.M.M. - P.M. Anselone şi Sam Cook

G. La moarlea sa, un fl.'rmier a lăsat moştenire fiilor săi c iteva oi ş i un mil.'l . Fiii au v indut act'stl.' an imale, pretu l unei oi fiind de 1 0 dolari ş i preţu l m ielului fi ind ceva mai mic . Preţu l mediu pe cap de animal l.'ste l.'gal <' li număru l animalelor v induti.' . Şt i ind că animalele au fos t împărţite in număr

1 Personaj inchipuit.

96

Page 97: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

egal intre cei doi fraţi pentru a fi vîndute, să se afle ce sumă trebuie să- i mai dea fiul care a primit numai o i , celui care a primit şi mielul, pentru ca banii să fie egal împărţiţi?

A.M.M. - Irving Keplansky

7. Să se arate că ecuaţia ( )x4 +( )x1 +( )x2 +( )x +( ) = 0, in care parantezele vor fi înlocuite cu o permutare arbitrară a numerelor 1 , - 2, 3, 4, - 6 admite intotdeauna cel puţin o rădăcină raţională .

Charles W. Trigg

8. Să se descompună in factori, fără a grupa termenii, polinomul : x• - x7y +x'yz- xsya +x4y4 - xays +x2y• - xy7 +y• .

9. Cite rădăcini negative are ecuaţia: x'-5x8-.4x1- 7x + 4 = 0

1 O. S ă se simplifice fracţia (27 +8i)/ (3 +2i3) .

M.M. - Anice Seybold

M.M. - R.E. Horton

M.M. - J.M. Howell

1 1. Dîndu-se f(x) = x5 +x4 +x3 +x2 +x +1 , să se calculeze restul îm­părţirii lui f(x5) prin f(x).

S.S.M. - Norman Anning

12. Evaluaţi expresia: [ 1 • 2 • 4+ 2 • 4 • 8+ 3 · 6+ 12+ " ' ] l JI

1 · 3 · 9+2 · 6 · 18+3 · 9 · 27+ . . . S.S.M. - Max Beberman

13. Să se determine n, ştiind că: 1 "+ 31+ . . . + (2n- 1 )1 199

== -2"+ 4"+ · · · + <2n)1 242

Charles W. Trigg

1-'. Să se demonstreze că ecuaţia x2- 3y2= 17 nu admite soluţii intregi. E.P. Starke

15. Să se arate că oricare ar fi numărul intreg poz itiv a, ecuaţia x1 - y2= a3 are totdeauna soluţii intregi.

A.M.M. - L.E. Bush

16. Arătaţi că pentru orice valori poz itive ale lui p, q, r şi s, expresia (p'+P+ 1 )(q'+q + 1 )(r'+ r+ 1 )(s1 + s+ 1 ) nu poate lua valori mai mic i decit 8 1 .

pqrs S.S.M. - R.L. Moenter

97

Page 98: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 7. Dacă a, b, c s înt rădăcinile ecuaţiei x3 +qx +r= O, să se formeze ecuaţia care admite ca rădăcini (b +c)fa2, (c +a)fb2 şi (a +b)/c2 •

S.S.M. - Alan Wayne

1 8. Să se demonstreze că un > 1 · 3 · 5 · 7 . . . (2n- l ) . S.S.M. - Frederic E . Nemmers

19. Să se calculeze produsul 31 1 3• • 91 13 • 27 1 1 27 • • •

20. Să se exprime ca o serie de puteri expresia: l f ( l +x)(l +x2)(1 +x4)(1 +x' ) .

S.S.M. - J.F. Arena

M.M. - M.S. Klamkin

21. Să se găsească toate soluţiile întregi ale ecuaţ.iei: ys +Y= x4 +xa +xs +x

A.M.M. - D.C.B. Marsh

22. Să se arate că ecuaţia 1 +x +x2f21 +x3f3 1 + . . . +x2n /(2n)l =O nu admite nici o rădăcină reală.

A.M.M. - Joe Lipman

23. Folosind numai compasul, să se împartă circumferinţa unui cerc dat în patru arce egale (centrul cercului se presupune cunoscut).

P.M.E.Y. - John A. Dier

24. Să considerăm, în triunghiul ABC, BD şi BE, trisectoarele unghiului B , iar CD şi CE, trisectoarele unghiului C. E fiind punctul cel mai apropiat de atura BC, să se demonstreze că unghiurile BDE şi EDC sînt egale.

M.M. - C.F. Pinzka

25. Axele de simetrie a doi cilindri circulari drepţi cu diametrele bazelor de 2 cm se intersectează sub un unghi drept. Care este volumul comun celor doi cilindri?

M.M. - Leo Moser

2G. O mulţime de două milioane de puncte este inclusă în interiorul unui cerc cu diametru! de 1 cm . Există oare o dreaptă care să aibă de fiecare parte a ei exact un milion de puncte? Dacă există, de ce?

M.M. - Herbert Wills

27. Să se arate că dacă a, b, c sînt lungimile laturilor unui triunghi, atunci cu segmentele de lungime ...;a., yb şi ve se poate forma, de asemenea, un triunghi.

A.M.M. - Chih-Yi Wang

98

Page 99: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

28. Un triunghi echilateral şi un hexagon regulat au perimetrele egale. Care este raportul ariilor lor?

M.M.

29. Să se găsească volumul tetraedrului ale cărui vîrfuri au respectiv coordonatele (F0, Fn+ l• Fn+2), (Fn+a• Fn+4 • Fn+5), (Fn+8• Fn+7 • Fn+a) şi (Fn+s • Fn+ lO• Fn+ 1 1) , unde F, este termenul a l i-lea d in şirul lui Fibonacci ( 1 , 1 , 2 , 3, 5, 8, . . . ) .

Charles W. Trigg

30. Pe laturile BC şi AD ale unui paralelogram ABCD se iau respectiv punctele E şi F. Fie G intersecţia lui AE cu BF şi H intersecţia lui ED şi CF. Să se demonstreze că dreapta care trece prin punctele G şi H împarte paralelo­gramul in două figuri egale.

M.M. - Mannis Charosh

3 1. Un patrulater de arie Q este împărţit de diagonalele sale în patru triunghiuri av înd ariile A, B, C şi D. Să se arate că:

A .B .C .D . = (A +B)2(B +C)2(C +D)2(D +A)2/ Q4 • P.M.E.J.- Leon Bankoff

Notă: Prescurtări folosite : - M.M. = Mathematics Magazine - A.M.M. = American Mathematical Monthly - S.S.M. = School, Science and Mathematics - P.M.E.J. = Pi Miu Epsilon Journal

Page 100: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Date sumare asupra unor matematicieni citaţi în lucrare

1 . H IPOCRATE din Chios (450-400 i .e . n .) , filozof şi geometru grec. ln afară de problema lunulelor a studiat problema duplicării cubului , redu­cind-o la o dublă proporţie geometrică.

2. EUDOX IU din Cnidos (408- 355 i . e . n.) , matematician, medic �i astronom grec. A elaborat o teorie a rapoartelor şi o metodă, care, in secolul al XV I I I-lea, a căpătat denumirea de metoda exhausti ei . A demonstrat teorema asupra egali tăţii dintre volumul piramidei şi o treime din volumul prismei cu aceeaşi bază şi înălţime (analog pentru con şi cil indru) .

3 . HERON din Alexandria (sec. 1- I l), matematician şi fiz ician grec. A scris patru tratate de mecanică. Este inventatorul aparatului "fîntîna lui Heron" . A contribuit la dezvoltarea trigonometriei, fiind considerat autorul unei formule care dă aria t riunghiului in funcţie de laturi.

4. PAPUS (sec. I I I), matematician grec; a activat in Alexandria. Este autorul celebrelor Colecţii matemati ce, care conţin o analiză succintă a celor mai dificile lucrări de matematică create pînă la t impul său. Culegerea conţine 8 cărţi. Cartea a V-a incepe cu o prefaţă interesantă, scrisă intr-o minunată l imbă literară, in care se vorbeşte Despre i ntelig en ta albi nelor.

5 . L IU HUEI (sec. I I I), matematician chinez, eminent comentator al lucrării Matematica ln nouă cărţi . In lucrările sale pune accentul pe geometria practică. El rezolvă probleme privind determinarea dimensiunilor obiectelo r inaccesibile şi a distanţei pînă la ele, folosind in acest scop triunghiuri ase­menea. Aplică la calculul lui n procedeul propus pentru prima oară de Arhimede şi bazat pe aproximarea ariei cercului printr-o succesiune de arii de poligoane regulate înscrise, cu k · 2" laturi.

6. D IOFANT (325-409), matematician grec, a activat in Alexandria . Lui i se atribuie publicarea primului tratat de algebră. Tratatul cuprindea 13 cărţi, din care s-au păstrat numai primele 6 cărţi. Opera sa conţine, printre altele, un mare număr de probleme rezolvate prin ecuaţii de gradul 1 şi I l, precum şi ecuaţii nedeterminate de gradul 1 cu două necunoscute, rezolvate in numere intregi (ecuaţii diofantice). 100

Page 101: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

7 . C IJAN ŢIU ŢIAN (sec. V), matematician chinez . Cunoaşte regula sumării unei progresii aritmetice: S= � (a1 +an) · Pentru stabilirea raţiei fo-

2 s

2 - - 2 a n loseşte formula: d= --­

n - 1

8 . ŢU C IUN C IJ I (430- 501 ), matematician, astronom ş i inginer chinez . Analizează ecuaţiile numerice de gradul al I I I-lea. Stabileşte pentru valoarea 1 . t 1

355 � . • . d . . d 't � 1 Ul 1t rapor u - , caru1a n corespun e o preciZ ie re escopen a, zece seco e

1 13 m ai tirziu, de matematicianul Adrian Metius (Olanda).

9. AR IABHATA din Pataliputra (476- 550?), matematician indian, autor al tratatului de astronomie şi matematică in versuri: Aryabhuti an. (anul 499).

Pentru rezolvarea in numere intregi a ecuaţiei nedeterminate, el folo­seşte metoda " imprăştierii" sau a "fărimiţării" , perfecţionată ulterior de Brahmagupta şi Bhaskara al I I-lea, care este asemănătoare procedeului actual de descompunere în fracţii continue.

10. VAN S IAO TUN (sec. V I I), matematician şi astronom chinez Este autorul lucrării Conti nuări la matemati ca străveche (Ti gu suan şu), (625) · El rezolvă algebric probleme geometrice care conduceau la ecuaţii de gradul I I 1 . Fără să posede o metodă generală de rezolvare a ecuaţiei cubice cu radicali, foloseşte o metodă aproximativă al cărei conţinut este descris amănunţit in lucrările chineze din perioada de mai tirz iu, sub denumirea de Metoda ele­mentului ceresc, iar prin "element ceresc" se inţelege elementul necunoscut, notat actualmente prin x.

1 1 . ANAN IA Ş IRACAŢI-vardapet (dascălul), matematician, astronom, meteorolog, istoric şi geograf armean, originar din regiunea Şirac (sec. V I I) . Pe l îngă probleme pur aritmetice, s-a ocupat de forma sferică a Păm întului, de folosirea cifrei zero în matematică, de numerele poligonale.

1 2. ALB INUS FLACUS (numit Alcuin= prieten al templului), abate şi om de ştiinţă anglo-saxon, originar din York (735- 804) . El propune, pentru popularizarea matematicii, probleme sub formă de ghicitori şi glume. Este autorul prezumtiv al culegerii Pro bleme pentru perfecti onarea adolescenţi lor ( Proposi ti ones ad acuendos j uvenes).

1 3 . MOHAMED al-HOREZl\f l (pe scurt ALHVAR IZM I), matematic ia n arab (780?- 850); a activat la Bagdad. Este primul clasic al matematic ii ţărilor lslamului, autor a cinci opere de aritmetică, algebră, astronomie ş i geografie şi calendar. .

Din traducerea latină a manualului de aritmetică, popoarele europene au cunoscut metoda hindusă de numeraţie cu aj utorul a zece cifre. De ase­menea manualul său de algebră a devenit prototipul manualelor europene de mai tîrziu .

Acest manual (A lgebr ve A lmaka bla) se spune că a fost publicat către anul 820 din ordinul califului AL MAMOUN şi este considerat primul tratat de algebră apărut la arabi.

1 01

Page 102: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Al-Horezmi consideră că ecuaţiile in forma lor normală nu trebuie să conţină termeni care se scad. De aceea, după ce stabileşte şase tipuri de ecuaţii normale, el aduce orice altă ecuaţie la una din aceste forme.

Dacă există termeni de scăzut, aceştia se elimină cu aj utorul al-dj abr-ei, adică prin completare, pentru care la ambii membri ai ecuaţiei se adaugă nişte termeni egali cu cei de scăzut. Mai departe, toţi termenii asemenea se reduc la unul singur cu aj utorul al-mukaba-lei, adică pri n compara ţi e. In plus, se reduce coeficientul termenului de gradul doi la unitate. La rezolvarea ecuaţie i de gradul doi, se ia in consideraţie numai rădăcinile poz itive.

Cartea de algebră a lui Alhvarizmi i-a dat acestei ramuri a matematicii nu numai numele, ci şi un caracter cu totul nou .

De la numele lui provine şi termenul " algori tm" (al horitm), care simboli­zează orice succesiune de calcule pentru rezolvarea unui anumit gen de probleme.

1 4 . ABU KAM IL (al-Hasib al-Nisri, calculator egiptean) a trăit intre anii 850- 930; a activa t in Cairo . Este autorul unui tratat de algebră tradus in latină şi ebraică. El introduce pentru necunoscute denumiri speciale: prima necunoscută, şai; a doua, dinar; a treia, fals (monedă măruntă), pentru a patra, hatam (sigil iu, sfîrşit).

Abu Kamil analizează indeaproape problema expresiilor iraţionale pă-tratice, stabilind regula: va ± Vh = Va +b ± 2 V ab, precum şi identităţile algebrice.

In Cartea rari tăţi lor di n ari tmeti că ( Ki ta b tarai{ {i -l hisa b) el se ocupă de rezolvarea in numere intregi a sistemelor de ecuaţii liniare nedeterminate .

1 5. ABUL VAFA din Kistan (l\fuhamed ibn Muhamed al-Buzdaj ani; 940- 997), recunoscut la Bagdad ca mare matematician, face o expunere amănunţită a fracţiilor in Cartea despre ceea ce trebui e să cunoască grămăti cii , oamenii d e afaceri şi alţii în ştii n ţa aritmeti cii .

Este autor a numeroase comentarii ale lucrărilor lui Euclid, Diofant, Ptolemeu, precum şi al unei opere speciale de geometrie practică, alcătuită din 12 capitole şi care conţine o mulţime de construcţii importante in topome­trie, arhitectură şi geodez ie.

In tratatul de astronomie Cartea perfectă ( Kita b al-kami l) expune siste­matic bazele trigonometriei şi defineşte unitar, intr-un cerc, toate liniile trigonometrice.

1 6. AL KARADJ I (Abu Baskr Muhamed ibn al Hasan), (960?- 1029), matematician arab. Este autor al lucrărilor: Carte sufi ci entă despre ştii nţa aritmeticii ( Kita b al-ka{i fi-1-kisa b) şi A l-Fahri , vast tratat de algebră, inchinat viz irului din Bagdad, in care se ocupă şi de sumarea unor serii aritmetice.

1 7 . BHASKARA AC IARYA ( Înţeleptul), ( 1 1 14- 1 1 78), matematician �ndian. A reeditat şi completat opera matematică a ilustrului său înaintaş, Brahmagupta, pe care a numit-o Monumentul algebrei indi ene. Bahskara al I l-lea a fost primul care a expus in mod clar sistemul zecimal.

Opera lui cea mai de seamă este Si ddhîntasciromani , o carte in care problemele de matematică s int expuse sub formă de povesti'ri sau poezi i ş i s int ilustrate cu ghirlande de flori, albine, fluturi şi păsărele, urmărind să prez inte matematica, intr-adevăr, ca ceva util şi plăcut. 1 02

Page 103: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 8 . LEONARDO din Pisa (Fibonacci), ( 1 1 80? - 1 250?), renumit matema­tician italian. Este autor al Ciirţii a bacului (Li ber a baci , 1 202) în care expune aritmetica şi algebra ecuaţiilor liniare şi de gradul al doilea în mod magistral . Capitolul al X I I-lea conţine un mare număr de diferite probleme, printre care sumări de serii: progresia aritmetică şi geometrică , seria pătratelor şi, pentru prima oară în istoria matematicii, sumarea unei serii recurente. Prin procedee grafice, el a găsit expresia sumei pă tratelor numerelor naturale şi a şirului de numere impare .

Este cunoscut, apoi, şirul lui Fibonacei : 1 , 2, 3, 5, 8, 1 3, 21 etc. a cărui regulă de formare se poate desprinde uşor şi care se bucură de proprietăţi interesante.

In lucrarea Practi ca geometri ei , Leonardo demonstrează diferite teoreme printre care concurenţa medianelor unui triunghi şi teoreme cu privire la pătratul diagonalei paralelipipedului dreptunghic sau rezolvă probleme de geometrie cu aj utorul algebrei.

Cartea piitratelor (Li ber quadratorum} conţine probleme cu ecuaţii ne­determinate de gradul al doilea. Este unica lucrare europeană valoroasă de teoria numerelor din acea perioadă;

1 9. TEETET din Atena (4 14?- 369? î .e .n . ), elev al lui Teodor din C irene, a adus două contribuţii importante în matematică, incluse mai tîrziu in Elementele lui Euclid. Una dintre acestea o constituie clasificarea iraţio­nalităţilor pe care le imparte în patru hexade.

20. MAGA VIRA - "Om mare" (sec. IX), matematician indian. A scris in jurul anului 850: Curs scurt de ari tmeti cii (Gani ta- Sara sangraha}. El foloseşte, pentru obţinerea de triplete intregi de numere pitagoreice, formulele: pq, p•- q• P"+ q" - · -- ·

2 2 21 . ABU AL I al - HASAN ibn al - HAISAM (965- 1039), matematician,

astronom, fiz ician şi medic, născut la Basra in Irak; a lucrat la Cairo . El rezolvă cu aj utorul parabolei şi al hiperbolei problema lui Arhimede (secţio­narea sferei printr-un plan astfel incit volumele celor două segmente formate să se afle intr-un raport dat).

Consacră două opere pentru analiza lucrării clasice a lui Euclid. Prezintă suma numerelor naturale la puterea a patra sub o formă în­

t îlnită pentru prima oară in istoria matematicii. 22. ŢIN Ţ IU ŞAO (sec. X I I I), matematician chinez . Scrie in 1 247

lucrarea Nouii cărţi de matemati cii (Şu Şu fi u cijan}, avind un capitol introduc­t iv teoretico-numeric şi apoi o parte algebrică de bază, care conţine diferite probleme şi o expunere foarte completă a aşa-numitei metode a lui Horner pentru ecuaţii de grade superioare. A elaborat un procedeu original de rezol­vare în numere intregi a sistemelor de ecuaţii nedeterminate de gradul 1.

23. C I.JU ŞI ŢE (sec. X I I I) , matematician şi explorator chinez . Este autorul lucrării Introducere în · studii matemati ce ( Suan siao ciji m en, 1 299), in care face o introducere generală in algebră şi expune, in particular, regu­lile semnelor la adunare şi înmulţire.

In altă lucrare, Ogli nda de jasp a celor patru elemente ( Si i uan i ui ţi an, 1 303) se ocupă de rezolvarea sistemelor liniare cu patru necunoscute. Totodată , descrie "metoda lui Horner" şi procedeele de formare a ecuaţiilor şi rezolvă o serie de probleme ce se reduc la astfel de ecuaţii. Cele patru elemente (necu-

1 03

Page 104: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

noscutele) s int considerate laturile unui triunghi dreptunghic şi incă o mărime legată de ele. Cij u le numeşte elementele cerului - ţ ian, ale păm întului - di, ale omului - j en şi, in sfîrşit, ale obiectului - u .

24 . NARAIANA (sec. X IV), învăţat indian. 25. IOHANN MOLER din Konigsberg (azi Kaliningrad) (REG 10-

MONT ANUS), remarcabil matematician şi astronom din a doua j umătate a secolului al XV-lea, (1436- 1476). A activat in Nfirnberg şi Viena.

Scrie opera: Cinci cdrţi despre tri unghi uri de toate genuri le, aceasta fiind prima lucrare din Europa in care trigonometria este privită la scară mare ca o disciplină matematică independentă.

26. PAC IOL I LUCA ( 1445?- 1 514), matematician italian supranumit De Burgo, călugăr şi profesor la diferite universităţi. Scrie în limba italiană lucrările: Suma cunoşti nţelor de ari tmeti că, geometri e, rapoarte şi proporţi ona­litiili ( 1487), în care arată şi număratul pe degete p ină la 10 000 şi Despre proportia di vinii (1497), în care trateaz ă despre împărţirea unui segment în medie şi extremă ra ţie şi alte probleme cu privire la arhitectură. EI expune problema "Secţiunii de aur" după aşa-numita carte a XV-a din Elementele lui Euclid ( in realitate a lui Hipsicles).

Pacioli mai întocmeşte o culegere de probleme distractive, " de isteţime" , in care se preocupă şi de construcţiile aproximative ale poligoanelor cu 9, 1 1 şi 1 7 laturi.

27. MA GNIŢK I LEONT I F IL IPOV IC I ( 1 669- 1 722), matematician rus apreciat mult de ţarul Petru 1 . A publicat în anul 1 703, A RITMETICA o enciclopedie a cunoştinţelor de matematică din acea vreme, cuprinz înd: elemente de aritmetică, algebră, geometrie şi trigonometrie.

El şi-a împărţit Aritmetica in două : pe prima a numit-o Ari tmeti ca poli ti că, deoarece cuprindea rezolvarea problemelor practice, iar pe a doua, Aritmeti ca logisti cii, deoarece rezolva probleme abstracte. Savantul Lomonosov numea Aritmeti ca lui Magniţk i "Poarta ştiinţei sale" şi o ş tia pe de rost .

Tot in anul 1 703, a editat împreună cu colegii săi englez i, profesori la "Şcoala de navigaţie ş i matematică" din Moscova, - Ta bele de logaritmi şi si nusuri , tangente şi secante, spre tnvăţătura celor slrguincioşi şi i u bitori de ln ţelepci une.

28 . LEONHARD EULER (1 707 - 1 783), celebru matematician, născut la Bâle, in Elveţia, mort la Petrograd (az i Leningrad). A fost mult timp profesor la Universitatea din Petrograd şi membru al Academiei de Ştiinţe din Rusia. A contribuit prin uriaşa sa operă la fondarea şi dezvoltarea multor discipline matematice şi la aplicarea practică a lor (cercul lui Euler - al celor nouă puncte, teorema diagonalelor intr-un patrulater, teorema funcţiilor omogene a lui Euler, formulele lui Euler in legătură cu numerele complexe). A îmbogăţit cu descoperiri preţioase toate domeniile matematicilor (analiza matematică pură, analiza aplicată la geometrie, mecanica r�ţională etc. ) .

Orbind la 60 de ani, şi-a continuat, totuşi, cercetările sale p ină la moarte. 29. ION IONESCU (1 870- 1 946), inginer şi profesor distins . A luat

parte la lucrările podului peste Dunăre, la Cernavoda, care s-a proiectat ş i executat cu personalul tehnic românesc, - ca aj utor al marelui inginer român, Anghel Saligny. 104

Page 105: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Foarte t înăr, Ion Ionescu a devenit profesor de lucrări grafice şi apoi de poduri la Şcoala Naţională de Poduri şi Şosele.

A fost unul din fondatorii Gazetei Matemati ce, căreia i-a inchinat o bună parte din marea sa putere de muncă. A publicat o foarte bună Culegere de pro bleme de ari tmeti că ra /i onală şi o carte de Maxime ş i minime geometri ce.

30. TRAIAN LALESCU (1 882- 1 929), distins matematician român, fost profesor la Universitate şi Şcoala Politehnică din Bucureşti.

S-a relevat ca om de ştiinţă, lucrările sale fiind citate in tratatele străine de specialitate. Lui i se datoreşte înfiinţarea Şcolii Politehnice din Timişoara al cărei prim rector a fost; de asemenea a înfiinţat Revista matematică din Timişoara.

Printre lucrările sale, mai cunoscute s înt: Geometria tri unghi ului (primele două ediţii in limba franceză), Apli ca tii le geometri ce a le calculului i nfini tezimal (partea a IV-a dintr-un tratat de geometrie analitică) şi Introducere la teoria ecua fii lor i ntegrale, - una din primele cărţi din lume despre ecuaţii in tegrale, apărută in 1 91 1 .

Page 106: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Cîteva opere de matematică celebre în antichitate

1 . Papirusuri matemati ce1 a. Papirusul Rhi nd din Londra (20 m lungime, 30 cm lăţime) cuprinde

85 de probleme (calcule cu fracţii, probleme de asociaţie, ecuaţii de gradul 1 cu o necunoscută, calculul ariilor dreptunghiului, triunghiului, cercului şi calculul volumelor diferitelor corpuri) . Toate acestea fac parte din lucrarea intitulată Modul de calcul pentru a pătrunde lucruri le, a cunoaşte tot ce este o bscur şi a lnvi nge orice di ficultăţi - aşa-zisul manual de aritmetică al lui Ahmes (copiat de acesta).

b . Papirusul ,. de la MoscoYa" conţine 25 probleme rezolvate. 2. Cunei {orme di n Suza2: Un fel de enciclopedie matematică, scrisă

pe 44 tăbliţe de argilă uscată. Conţine, intre altele, calcule numerice (numere pătratice şi numere cubice de la 1 la 59, sistem sexagesimal) .

3 . Reguli le funi ei (Suliva Sutra). Redactată in India (sec. 7 - 5 i .e . n.) , conţine preţioase cunoştinţe

privind construcţiile geometrice şi unele calcule matematice. Problemele de construcţie s int legate, in primul rind, de construirea

altarelor la temelia cărora se află figuri stabilite cu precizie. Construirea un­ghiului drept, a pătratului, a triunghiurilor dreptunghice (laturile avind valori intregi), formarea unor trapeze din aceste triunghiuri, transformarea pătratului de arie a intr-un pătrat de arie n a, transformarea unui drep tunghi intr-un pătrat echivalent etc. s înt in centrul acestor preocupări. Un loc important il ocupă şi teorema atribuită ulterior lui Pitagora.

Autorii Reguli lor {uni ei folosesc cinci triunghiuri dreptunghice cu ur­mătoarele laturi intregi: 3, 4, 5; 5, 1 2, 1 3; 8, 1 5, 1 7; 7, 24, 25; 1 2, 35, 37 şi altele asemănătoare lor.

Funiile, divizate in părţi corespunzătoare, serveau la construirea un­ghiului drept. Pentru a trece de la al tare cu fundaţie pătrată l-a cele circulare şi invers, in Reguli le {uni ei s int arătate unele procedee de circulaturi ale pătratului ş i cvadraturi ale cercului .

1 06

1 Anul 2000 i.e.n. 2 Idem.

Page 107: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

4 . Matematica fn noutl ctlrţi (Ţi u cijan suan şu) este opera centrală din literatura matematică a Chinei antice (206 i .e .n. - 25 e .n . ), aj u nsă pînă in z ilele noastre. Conţine 246 probleme cu un ansamblu foarte boga t de cu­noştinţe care caracterizează nivelul ştiinţei in perioada primei dinastii Han. Cele nouă cărţi se referă, respectiv, la :

a) Reguli pentru măsurarea ogoarelor; b) Raportul intre diferitele feluri de culturi de cereale; c) Probleme de diviz iune ( împărţirea in trepte); d) Determinarea laturii unui dreptunghi in raport de arie şi de cealaltă

latură, precum şi a diametre lor cercului şi sferei. Se aj unge la descrierea extragerii rădăcinii pătrate şi cubice, cea mai veche pe care o cunoaşte istoria;

e) Estimarea lucrărilor de construcţ ie (ziduri, canale, baraj e); f) Repartiţia proporţională; g) Adaus şi lipsă; indică procedee pentru rezolvarea sistemelor de două

ecuaţii de gradul 1 cu două necunoscute; h) Fan-cen, algoritm general de rezolvare a unor sisteme liniare deter­

m inate, cu mai multe necunoscute. Această metodă este transformată mai tirziu (1 683) de matematicianul j aponez Seki Şen-Suke Kowa intr-un fel de t< orie a determinanţilor;

i) Probleme cu triunghiuri dreptunghice (Gou-gu) cu relaţii exprimate prin teorema lui Pitagora (gou= cateta mică, gu= cateta mare, verticală) .

5. Şti in ţa perfecţionată a lui Brahma (Brahma sphuta siddhanta) . Operă în versuri compusă din douăzeci de cărţi, dintre care numai două au conţinut m atematic. Cartea a 1 2-a cuprinde chestiuni de aritmetică şi geometrie, iar cartea a 1 8-a, probleme de algebră (ecuaţii determinate şi nedeterm inate de gradul intii şi al doilea). A fost scrisă in anul 628 de Brahmagupta.

Page 108: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Orientare (relativă)

asupra nivelului problemelor

a) Pagini 21 -43. Nivel elementar: 1 - 4, 1 2, 1 4 - 1 6, 1 9, 21 - 24, 31 , 32, 34, 35 , 37 , 42,

60, 62, 66, 67, 72, 74 , 86- 97, 99- 101 , 1 03- 105. 1 07. 1 1 2, 1 14 - 1 1 7, 1 1 9- 1 26, 1 28- 1 37 .

Nivel mediu : 5 - 9, 1 1 , 1 3 , 1 8, 20, 25- 30, 33, 36, 38-41 , 43-45, 47 - 51 , 53, 54, 57, 61 , 62, 64 , 65, 68, 69, 7 1 , 73, 75- 8 1 , 83, 98, 1 02, 1 06, 1 08 - 1 1 1 , 1 1 3, 1 1 8, 1 27 . .

Nivel superior: 1 0, 1 7 , 46, 52, 55, 56, 58, 59, 70, 84, 85. b) Pagini 44 - 58 . Nivel elementar: 1 - 7, 1 1 , 1 2, 1 6, 20- 22, 27, 28, 30, 33- 35, 37, 4 1 ,

48- 51 , 53, 55, 57, 70. Nivel mediu: 8- 1 0, 14, 1 5, 1 7, 1 8, 23- 26, 29, 36, 39, 40, 42, 43, 46,

47, 52, 54 , 56, 58- 67, 69, 7 1 , 72. Nivel superior: 44, 68, 73. c) Pagini 67 - 69: nivel elementar. d) Pagini 82 - 86: nivel mediu . e) Pagini 87- 95: nivel elementar.

( 1 9,29 nivel mediu). f) Pagini 96 - 99 Nivel mediu: 1 - 6, 8 - 1 0, 1 3, 1 7 , 1 9, 23, 24 , 27, 28 . Nivel superior: 7, 1 1 , 1 2, 1 4- 1 6, 1 8, 20- 22, 25, 26, 29, 30.

1 08

Page 109: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

..,.

RASPUNSURI

Page 110: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative
Page 111: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 . Probleme antice şi medievale

1. (Cum se citea pe vremea aceea.) O mie de mii mii m ii mii mii mii de cinci ori ş i o sută de mii m ii mii mii de patru ori şi optzeci de mii mii mii mii de patru ori şi apoi şapte sute de mii mii mii de trei ori şi trei mii m ii m ii de tre i ori şi cincizeci şi una de mii mii de două ori şi patru sute de mii şi nouăzeci ş i două de mii şi opt sute şase zeci şi trei.

2. Fie n numărul şi m, respectiv k, multiplul. Avem succesiv: n- 1 = m de 3, 4, 5= m 60; n= 60k +1 = 7k. Rezultă k= 5 +7 m .

Pentru m = O, k= 5, iar n= 301 ; pentru m= l , k= 1 2, n= 721 etc. 3. Problema implică rezolvarea unui sistem de congruenţă de gradul

i ntii modulo n. Regu la lui Sun-ţz î glăsuieşte: "Pri n impiirţire cu 3, restul este 2. De aceea luaţi 1 4 0. Prin impiiriire

cu 5, restul este 3, de aceea lua ţi 63. Prin impiirţire cu 7, restul este 2, de aceea lua ţi 30. A dunindu-le impreunii o bţi nem 233. De aceea sciideţi 2 1 O şi o b ţineţi răspunsul; adică 23'' .

"In general - spune Sun ţz î, daci1 restul împărţirii cu 3 este 1, lua ţi 1 0; i ar dacii restul impiirţirii cu 5 este 1, lua ţi 21 ; dacă restul impiirţirii cu 7 este 1, luaţi 1 5.

Dacă suma acestor numere este mai mare declt 1 06, scădeţi c ite 1 0 5 inai nte de a căpăta răspunsul."

In rezolvarea modernă avem: n-2= mult. de 3 şi 7= mult. 21 ; n= = 21 k +2; pentru k= 1 , n= 23; pentru k= 2, n=44 nu verifică ş i l a împărţ irea cu 5. Deci soluţia este n= 23 . .

4. Bhaskara ia pe 60 drept număr căutat, el fiind cel mai mic multiplu comun al lui 3, 4, 5, 6 şi văz înd �ă la rest se obţine 3, găseş te soluţia 60 • � ==

3 = 1 20.

� 1 1 1 l 1 9 In rezolvarea noastra: - +-+-+ - - - ; 3 5 6 4 20

6 lotuşi. Rezultă: 6 · 20 = 1 20 lotuşi. 1

1 19 1 . t � - - == - reprezm a 20 20

1 1 1

Page 112: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

5. In rezolvarea actuală, considerăm că avem o progresie aritmetică : S= a+a+ 5 · 2

• �; 3; 48= 3(2a +10); a= 3 , deci primul primeşte 3 p îini � . al doilea 5 p îini etc . ; ultimul primeşte 1 3 p îini.

6. Problema trebuie înţeleasă astfel: în fiecare casă există 7 pisici; fiecare pisică mănîncă 7 şoareci; fiecare şoarece, 7 spice; fiecare spic, fiind semănat, ar da 7 măsuri de grăunţe; se cere să se găsească suma (o progresie geometrică) :

7 +72 +73 +74 +75

s - 71• 7-7

5 - 7- 1 -

7<7"- 1 > -7 " 16 806 = 7 · 2 801 = 1 9 G07

6 6 7. R. 1 37 236

8. R. 77 = 960 799 9. R. Formează , .coeficientul" 1 inferior:

Calculeaz ă "coeficientul" superior: 4 a,+aa

�- ==--3 2

Imparte diferenţa � - � cu diferenţa: 9- (!. + �) • 3 4 2 2

7 obţine d= - · 66 '

Jn rezolvarea modernă:

3a1 +21 d =4

4 (2a1 +3d) · - = 3

2

7 Soluţie: d = - , 66 13 al= -22

39 al = -66

4 a1 +7d= -3 3 2a1 +3d = -2

1 11. Calculul lu i N araiana este următorul: O vacă, in 20 de ani, dă 20 de viţele în prima generaţie:

- prima viţea, din prima generaţie, dă 1 7 viţele in a doua generaţie, a doua 1 6 etc. Cu totul, in a doua generaţie, vor fi:

17 +1 6 + . . . + 1 = SW ; prima viţea din cele 1 7 din a doua generaţie va da 14 viţele în a treia

generaţie, a doua - 1 3 etc.

1 Sinonim ecuaţie.

1 1 2

Page 113: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

In total, viţelele acestui grup vor da: 1 4 +1 3 + . . . +1 = SW urmaşe;

prima viţea din cele 1 6 din a doua generaţie va da 1 3 viţele in a treia generaţie; a doua, 12 etc.

In total, viţelele din această grupă vor da: 1 3 +1 2 + . . . +1 = S\� urmaşe.

Toate viţelele din a doua generaţie vor da in a treia generaţie:

S\� + S\� + . . . +S\1> = S\!>

Raţ.ionind in mod analog mai departe, Naraiana exprimă numărul total al vacilor din cireadă, după 20 de ani, prin suma:

1 +20 + SW + S�� + . . . +S�6>= t +20 + 17 " 18 + 1 . 2

+14 · 15 · 16 ...

+ •

+ 2 " 3 " 4 " 5 " 6 " 7 " 8 - t +20 +1 53 +560 + 1001 + 1 · 2 · 3 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

+792 +21 0 +8 = 2 745 .

Problema se poate rezolva şi astfel : La inceputul primului an, cireada este alcătuită din două animale;

la inceputul anului doi, din trei; apoi din patru şi şase. Incep ind cu anul patru, efectivul cirez ii, Ia inceputul anului K > 4, se poate exprima prin relaţia recurl.'ntă: ·

Sk= Sk-1 +Sk-a

şi cu aj utorul ei se poate calcula S20 = 2 745 . 1 1. Problema era rl.'zolvată astfel: la inceput se determina cota - parte

ce revenea fiecărui frate in medie, adică 10 şekeli; apoi suma cotelor fraţilor 8 şi 3 (20 de şekeli). Mai departe, surplusul cotei fratelui 3 asupra cotei fra­telui 8 (8 şekeli) şi, in sfîrşit, surplusul căutat, adică diferenţa cotelor pro­gresiei date. Rezolvarea care se face pe cale aritmetică, după un plan gindit , presupunea cunoaşterea proprietăţilor progresiei aritmetice, însă nu se folo­seau formulele algebrice sub formă explicită .

1 2. R. I . 1 + � == 6+ x 7 7

6x-6 6x-20 R1= -- - 2= ---

7 7

I I . 2 + _!_ X 6x-20 - � 7 7 49

I- I I 6 +x 78+6x - 36 d 6 - - -- == --- -- x- mone e; 3 : 6= 6 copii 7 49

1 1 3

Page 114: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

13. Ei avuseseră 250 de porci, pe care-i impărţiră in două turme de c i te 1 25 de porci: una, cu porci graşi, alta cu porci slabi. Primul vindu 1 20 de porci l a preţul de 2 porci cite 1 soldi; celălalt, 1 20 de porci, la preţul de 3 porci cu c ite 1 soldi, adică v indură 5 porci cu cite 2 soldi.

Primul a primit 60, al doilea, 40 soldi; aşadar, împreună, 1 00 de soldi ş i au rămas cu 5 +5= 10 porci, care reprezintă cîştigul lor.

Rezolvarea cere nu numai cunoştinţe de matematică, ci şi o dibăcie de negustor.

1 4. Numerele date se aşază după schema: 3 lire 20 coţi 4��50 coţi

Rezultatul se ob ţine împărţind produsul numerelor legate prin linii I a produsul celorlalte numere:

x= 3 · 50 · 42

- 63 rotuli de bumbac. 20 . 5

O rezolvare mai simplă (amplificind cu 5): 1 00 coţi= 1 5 lire= 1 26 rotuli; rezultă: 50 coţi= 63 rotuli . 1 5. Leonardo o rezolvă ca o problemă de aliaj e (un aliaj de titlu 30 : 30= 1

trebuie să fie alcătuit din canti tăţi întregi cu titluri 3, 2, 1 /2) şi prezintă unica soluţie întreagă: 3, 5 şi 22.

In rezolvarea algebrică obişnuită se formează sistemul: { x +y +z= 30 3x +2y +z/2= 30, care se reduce la ecuaţia 5x +3y= 30; rezolvînd

in numere intregi, obţinem soluţiile: x= 3, y = 5, de unde z = 22 sau x= 6, y=O, z = 24 şi x=O, y= 6, z = 24;

dar aceste soluţii nu convin fiind vorba de 3 feluri de păsări. 1 6. Problema se rezolvă după procedeul falselor poz iţii1 • In n zile intregi,

trăpaşul şi gloaba parcurg împreună 290 n-6 .!.. (n2- n) li; drumul total trebuie 4

să alcătuiască 6 000 li . Pentru n= 1 5, lipsa va fi de 6 000- 5 662 .!. = 337 .!. li ,

2 2 iar pentru n= 1 6 va fi un prisos de 6 140- 6 000= 140 li .

1 14

Admiţînd că in cuprinsul fiecărei z ile vitezele nu se schimbă, obţinem : 1

1 5 · 140+ 16 . 337 -x= ------2- == 1 5 135 zile

1 1 91 140+337 -

2

1 Falsă poziţie (ipoteză) menită să scoată in evidenţă un rezultat posibil.

Page 115: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 7. Răspunsul se obţine prin sumarea seriei (recurente): 1 +2 +3 +5 + . . . +377, unde fiecare termen, afară de primii doi, este

egal cu suma celor doi termeni precedenţi (şirul lui Fibonacci). Rezultă 985 perechea.

1 8. Răspunsul lui Leonardo este 1 , 3, 9, 27, . . . şi se bazează pe faptu că orice număr intreg poate fi reprezentat sub forma unei sume sau diferenţe a diferitelor puteri ale numerelor 3 şi 1 .

Depinde, însă, dacă se pun greutăţi numai pe u n tall.'r sau pe ambele; SI.' foloseşte. in primul caz , baza 2, iar in al doilea caz , baza 3.

1 9. Folosind metoda falsl.'i poziţii (ipoteză), Leonardo găseşte ca rezultat numărul 12 şi subliniază că trebuie ales orice număr divizibil prin numitorii fracţiilor date.

Atit enunţul problemei, cit şi rezultatul obţinut s int neclare. O rezolvare simplă ar fi: � + � = 21 , de unde înălţimea arborelui, x= 36 schioape, rez ultat

3 4 care satisface sublinierea făcută de Leonardo.

20. Aceast ă problemă a devenit celebră in teoria probabilităţilor. Pacioli presupune, în mod eronat, că in proporţia de 5/2. Rl.'zultat real l f l . .J ustificare: la oprirea j ocului nici unul n-a realizat 6 puncte (se exclud rezul­tatele anterioare). Nici unul nu a c îştigat, deci miza trebuie împărţită in mod egal.

21. Aplic ind procedeul falsei poziţii, Leonardo ia avutul celui de al do ilea ca obiect (necunoscută) şi 7 dinari ; atunci primul om, conform condiţiei , t rebuie să aibă 5 obiecte fără 7 dinari . Dacă primul ii va da celuilalt 5 dinari, atunci primul va rămfne cu 5 obiecte fără 1 2 dinari, iar al doilea va avea 1 o biect şi 1 2 dinari.

In acest fel, suma unui obiect cu 1 2 dinari este de şapte ori mai mare dec it cinci obiecte fără 1 2 dinari, de unde 34 de obiecte fac 96 dinari, un obiect este 2 14 dinari etc.

17

A=7 � dinari; 17

B 9 14 d' . = - 1nan. 17

22. Soluţia se poate exprima prin ecuaţia: (7 +1 0)x= 90; se dă pentru x valorile x1= 5; x2= 6.

Enunţul problemei este neclar, dar ţin înd seama de rezolvarea lu i Bhaskara, s intem conduşi la următoarea interpretare: creşterea celui aflat sus, pe z id, se face in j os (deci nu se ridică), iar a celui de j os, de pe pămînt, se face in sus. Rl.'zultă: x= 90

• Rezultatul fiind dat în z ile (număr intreg) se 17

ia aproximaţia prin lipsă (5 z ile) sau prin adaus (6 z ile). X X X 23. R . - + - +- +280= x; x= 1 760 oameni. 2 4 1 1

2-'. R. N= 150 = 75 salturi. 9- 7

1 1 5

Page 116: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

25. Problemă liniară nedeterminată. Rezultatul obţinut de Alk-win: 1 1 , 1 5, 74 . ln rezolvarea algebrică, avem:

{ x +y +z= 100 3x +2y +z/2= 1 00 etc. (Vezi problema 1 5. )

28. Tabelul trebuie să fie: - 5

6 8

- 600

3 - 9

3

2 5

- 1 3 1 000

ln regula de rezolvare se spune: "lntocmeşte ta belul fan-cen. Sta bi leşte că 2 bi voli şi 5 berbeci sint poziti vi,

13 porci sint negati vi , i ar rămăşi ţa de (iani este poziti vă. Mai sta bi leşte că trei bi voli s lnt pozi ti vi , 9 berbeci negati vi , i ar 3 porci , pozi ti vi ; mai sta bi leşte că 5 bivoli sint negati vi , 6 berbeci stnt pozi ti vi şi 8 porci sint pozi ti vi . i ar li o.�a de tiani este negati vă.

Calculează după procedeul cij en-fu" . Răspuns: 1 200; 500; 300. In rezolvarea modernă, se stabileş te sistemul:

1 3z +1 000= 2x +5y 9y= 3x +3z

5x- 600= 6y +8z etc. 27. Rezolvarea era redactată astfel: "lnmul(eşte ( 0 0}444 320 cu ( 0 0}444 320. ( 0 00}33 204 3 7 4 640; adaugt'l

( 000}444 320 la 1 00 1 640. 1 0 4 5 .deinmul(i tul. Scade ( 00} 444 320 di n 1 0 0 1 640 : ( 0}59 1 5 33 20 înmulţitorul" . Este o problemă pe care noi o denumim astăzi "ecuaţie pătra tică" .

Dacă exprimăm această problemă şi cele asemănătoare ei, precum şi rezolvarea lor in notaţia algebrică actuală, obţinem :

1 x + - = a; X

28. Se notează cu x şi y cantităţile, cu u şi v preţurile unitare. Rezultă sistemul:

{ x + y=78 ux +vy= 576

v= u -j-1 , de unde 78 u +y= 576; împărţim 576 la 78, rezultă: 576= 78 · 7 +30, convinE!; sau 576= 78 · 6 +108, nu convine (y < 78).

29. Toate aceste probleme au soluţ ia: x= 30; y= 20. 30. Solu ţia se obţ ine desfăşurind cilindrul pe un plan. R. 2 cij iani, 9 r.i

adică 1/202 +(7 . 3)2• 1 1 6

Page 117: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

3 1. Regula lui Liu Buei corespunde următoarelor formule: be x= -- +e ;

d - e

Fig. 24.

bc y = ­

d - c

32. Cij an Luan (sec. V I) dă unica soluţie posibilă: 1 5 cocoşi, 1 găină, şi 84 de pui .

Intr-o altă problemă cu condiţia: 4x +3y + � = 100, Cij an Luan prez intă, de asemenea, o singură solutie:

3 x = 8, y= l4, z = 78, deşi există şi o a doua soluţie: x= 1 6, y = 3, z = 81 .

Cij an Ţiu Ţian (a doua j umătate a secolului al V I-lea) exprimă prin cuvinte următoarele ecuaţii:

x +y +z = lOO

5x +3y + _: z = 1 00 3

şi dă trei răspunsuri: 4 cocoşi, 1 8 găini şi 78 de pui; (8, 1 1 , 8 1 ) şi ( 1 2, 4. 84 ) . EI observă că numărul cocoşilor creşte de fiecare dată cu 4, numărul

găinilor scade cu 7, iar numărul puilor creşte cu 3 . Soluţia sis temului se poate exprima parametric: x=4t; y= 25- 7t;

z= 75 +3t, in care t ia valorile intregi O � t � 3. In rezolvarea neastră se formează sistemul nedeterminat:

x +y +z = lOO

5x +4y + � = l00. 4

Se aj unge la o ecuaţie in x şi y care se rezolvă in numere i ntregi (vez i problema 1 5) . Rezultă soluţia: x= 1 5 cocoşi, y = 1 găină, z = 84 pui .

33. Insemnind prin d averea, prin x partea unu i f iu ş i prin y ceea ce i i revine acelui om, noi am exprima problema prin ecuaţ iile :

l z = y +4x

y= x + : { ;- - }.) +d

şi, făc înd substituţia, am obţ ine relaţia : 2 1 z = 5 - x +l - d. 1 1 1 1

1 1 7

Page 118: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Al-Horezmi exprimă acelaşi mod de rezolvare prin următoarea regulă: "la o treime din avere şi scade di n ea o parte, apoi scade 1/ 4 din ceea ce

a ulmas di n 1/3 de avere {liră o parte ş i un dirhem. aşa incft răm în 3/ 4 ş i 1/3 di n avere sau 1/ 4 din avere fără 3/ 4 de părţi şi fără di J·hem" ; in notaţia noastră

� z- x - : (� - x)- d= � z - � x- d.

Aceasta se adaugă la 2/3 din avere; atunci 1 1 din 1 2 părţi de avere fără . e par 1 Ş I ara un 1r em sm ega e cu par 1 - z + - - - x - = 3/4 d • t · · f " • d . h • t 1 4

• ţ · ( 2 z 3 d 3 4 4

1 1 3 = - z- - x - d= 4 x) . 12 4

Mai departe se face completarea cu trei pătrimi dintr-o parte şi u n dirhem, după care 1 1 din 1 2 părţi de avere s int egale c u ·t : părţ.i şi 1 dirhem

( respectiv 11 z = 4 � x+d) . 12 4

Noi am fi înmulţit cu 12 ; Al-Horezmi adaugă la fiecare termen unal din 11

cele 1 1 părţi a le lui şi obt ine că averea este egală cu 5� dintr-o parte şi 1 .!.. • 11 1 1

dirhemi. 34. Problema se reduce la o ecuaţie de gradul intii : 900 +x2= (50- x)2 +

+400 ; x = 20 c de la baza palmierului mai inalt etc. 35. ln notaţia noastră, rezultă sistemul:

J x + y= 10

l x(l O+ ; + � )= 1 14 x= 8; y = 2.

36. "Cantitatea de bu, parcursă de la poarta nordicii, înmulţeşte-o cu · canti ­tatea du blă de bu (parcursă} spre vest, aceasta este deimpărţitul.

1 1 8

Fig. 25.

c E

A dună cu canti tatea de bu parcursă de la poarta sudică, -acesta este impărţitorul suplimen­tar 1 (tzun-fa). Extrage riidăci na pătrată şi aceasta va fi latura ora­şului ." (x= 250) In rezolvarea noastră (o soluţie):

dABC -dCDE (fig. 25),

CE DE - - -CB AB

X

20 2 ---- - -- · (20+ 14) + x 1 775

20 • 2 • 1 775= 34x +x2,

x1 +34x- 71 000=0, x= 250 bu.

Page 119: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

38. R. a) Adunind (- 8), rezultă: (x-2)3= 27 etc. b) Bhaskara adaugă la ambele părţi cantitatea

4x2-400x +1 . de unde: (x2 +1 )2= (2x +100)2 etc. x• 3 39. R. x- -- = X; -- X2- X +20= 0

12 · 30 20 · 16 3X2- 20 • 1 6X +400 • 1 6=0

X= 160+ 4 · 20 = 80 3

x• X= x- -- = 80; 360x- x2= 28 800 12 . 30 x2- 360x +28 800=0

x= 1 80 +60= 240; (x2= 1 20) 40. 2x2 +100- 20x= 58. Al-Horezmi face succesiv transformările :

2x2 +100=58 +20x (al dj abr)1; apoi imparte la doi şi reduce termenii asemenea: x11 +21 = 10x (al-mukabala)2

şi, astfel, se obţine o ecuaţie de tipul 5, pentru rezolvarea căreia aplică urmă­toarea regulă:

"Imparte prin doi rădikini le şi uei o bţi ne 5, tnmul(eşte aceasta cu egalu l său, uei o b ţi ne 2 5; şi scade din aceasta 2 1, care adăugate la pătrat uor rămine 4, extrage rădăcina - uei auea 2 şi scade aceasta di n jumătatea rădăcini lor, adicd di n 5, uor rămine 3; aceasta ua fi răddcina pătratului pe care o caut, i ar pătratul este 9. Dacă urei tnsd, adaugă aceasta la j umătatea rădăci ni lor, uei o bţi ne 7 si aceasta este rădăcina pătratului pe care il caut, i ar pătratul este 49." ·

41. Ecuaţia corespunzătoare de gradul al I I-lea este: (2 +v'5)x2 + 100 = = (20 + V500)x, care înmulţită cu ..J5- 2 se aduce la forma: x2 + V50 000 --200= 1 0x, cu rădăcina:

X= 5-V 225-V 50 000. d D v 10-x t . Rezolvarea a oua: aca -- = y, a unei:

X

y2 +1 = ...J5y şi y=· " 1 !.. _ _!_ , V 2 2

DO d" ţ" 1" o V 10-x y-1 1 1 b 0 1rect m ecua Ia Imara: -- -= - - - necunoscuta x se o ţme X 4 2

cu numitor iraţional. De aceea Abu-Kamil ridic ă la pătrat ambele părţi ale ecuaţiei 1 0- � .,. •

/ 1 1 x2 şi din ecuaţia x2 +lOx= 1 00, găseşte x=V125- 5. 2 V 4

43. R. Se ia x- 3Vx=y2 etc .

44. R. Se caută inversul lui 3 +V5 care este 1 3- V5

3 + V5 = -4- . 1 Trecerea termenilor dintr-o parte in alta. 2 Reducere a termenilor asemenea.

'1 1 9

Page 120: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

45. Se ţine seama de egalitatea: Va ± Vb= Va +b ±2Vab. 47. R. a) x2 +5= y2; al-Karadj i ia y= x +1 , de unde x=2

b ) x2- 10=y2; luind y= x- 1 , rezultă x= 1 1 • 2

49. Dacă se ia: xy= p şi x +Y +z= q, atunci calculele s int 11 rmăbnrele: (x +y )2- (xz +yz)= 2p

(x +y +z)(x +y-z)= 2p

D . . + 2p q•- 2p e a1c1 x y-z == - ; z= --q 2q

q" + 2p Din aceleaşi ecuaţii avem: x +y= -- . ( 1 ) 2q

xy= p x +y= q"+ 2p

2q

z2- q" + 2P + z +p=O 2q

2qz2- (q2 +2p)z +2pq= O _ _ q" + 2P+V q'+ 4p" z 1- x- ..:........;--=-��-'--�

4q

Zz= Y= q"+ 2p- yijiŢ4pi 4q

50. R. Diagonalele sint egale cu 42 + 25 + 35 ; adică cu produsul lor 60 601

30 prin 1 + 24 + � + ..!E. (valoarea aproximativă a lui "\{"2). 26 601 601

5 1. Combinind procedeele propriu-z is algebrice cu regula falsei poziţii, Abu-Kamil dă următoarea rezolvare:

Se ia pentru inceput x1= 1 . Atunci din condiţiile a doua şi a treia pentru y 1 se obţine o ecuaţie bipătrată:

1 +y�= yt

şi Z 1= Y�= � +v1 � ; y l = v ++v 1 +

X1 +Y1 +z1= 1 _.!_+ .. / 1 1 + 1/ _.!_ + '\ / 1 1 2 V 4 � 2 V 4

X 10 - == -----....:....:....-----1 !_ + , / 1 !_ + , 1!_ + , / 1 + !_

2 V 4 V 2 V 4

1

După o serie de transformări se aduce această ecuaţie liniară la una de gradul al doilea;

1 00 +3x2 +V5x4= 30x +-./ 500x2

1 20

Page 121: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

. • 1 • . d 3 yt + 1 1 3-V5

• n 1nmu �In cu - - - - · - - --., 4 4 2 8 4 rezultă: x2 +75-V3 1 25 = 10x, de unde se obţine:

x=5-V V 3 1 25- 50. Analog găseşte: z = 1 0-x-y etc. 52. R . lf y ac · VbcJ = yabcd; a, b, c, d să fie divizori ai unei puteri

de ordinul 4 .

53. R . a) x= 5 + -.. / 7 1 + -.. / 52 !_ + V 750 :::::::: 1 6 � :::::::: 1 6,68 V 2 V 2 3

b) Făc înd substituţia x2=z , se obţine y= 1 2 etc. 54. R. x= 5- 'V6 +V31 ; y= 5 +'{6 - V 31 55. Sistemul a fost alcătuit pentru rezolvarea u nei probleme ce i-a

fost propusă lui Leonardo Pisano, de către dascălul l\fusc din Constantinopole. Facem substituţia x +y +z +u +v= t (necunoscută auxiliară ) ( 1 ) Sistemul devine: x +( : + � ) <t- x) = s

y +(� + _: + ..!...) (t-y)= s 3 6 480

z + - + - + - (t- z)= s ( 2 1 1 ) 3 6 688

u + - + - + - (t- u)= s ( 2 1 1 ) 3 7 420

v + - + - + - + - (t- v)= s ( 2 1 1 1 ) 3 10 27 810

D. . ţ • d d 1 5s- 13t d" d ţ• m pnma ecua 1e e u cem: x=

2 ; m a oua ecua 1e, y=

480s- 401t A 1 1 1 � . . t d •

1 ţ• ( 1 ) == • na og se ca cu eaza z, u ŞI v care, m ro use In re a 1a , 79 permit determinarea necunoscutei auxiliare t. Se obţine, apoi, soluţia x, y etc.

independentă de t . 56. Formula dob inzii compuse este: A= C(1 +r)0, unde C= capital iniţial,

A= capital final, n= numărul de ani, r= dobinda la 1 leu pe an. In condiţiile problemei avem: 2C= C(1 +r)", de unde deducem: n= log 2 ; dar r= �

log(1 + r) 100 (unde x reprezintă procentul, respectiv dob inda la 1 00 de lei pe an)

n= log 2 1 log 2 == - . log(1 + �)

100 X !_ log(1 + �)

X 100

n= .!_ · Iim __ 1-'og'-2 __ == ..!_ , log 2 == !_ . 100 log 2 _ 100 . 0,30103 ::=:::::

X x -+0 log(1 + �) .!_ X -1- log e X

100 X 100 log e

� 69 ; deci R.= 69 , in locul rezultatului lu i Pacioli care era � · X X X

0,43136

121

Page 122: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

57. Pentru rezolvare, Leonardo pleacă de la faptul că orice număr pătrat n2 este suma primelor n numere impare. Foloseşte apoi formulele stabilite de el pentru sumarea pătratelor naturale pare şi impare consecutive . Rezolvă apoi in numere intregi sistemul:

x2 +a= y2 x2- a= z2

cu condiţia ca a=4 mn (m +n)(m- n) , unde m şi n s int numere intregi (atunci x= m 2 +n2) .

Alege pe m şi n in mod corespunzător. Demonstrează, apoi, că numerele de forma 4mn (m2- n2) sint diviz ibile

cu 24 . Dacă, in cazul dat, a nu se imparte prin 24, atunci ecuaţia se înmulţeşte

cu un pătrat intreg incit noul termen liber să fie divizibil cu 24. Pentru a= 5 , cel mai mic factor care satisface condiţiile este 1 22:

5 . 1 22= 720= 4 . 5 . 4 [(5 +4) · (5-4)] de unde rezultă: m = 5, n=4, m2 +n2=4 1

Deci: 4 1 2 +5 · 1 22=492 4 1 2- 5 . 1 22= 3 1 2

care după împărţire prin 1 22, dă:

( 3 �r +5= ( 4 112r

(3 �r - 5= (2 172r Căutaţi o rezolvare similară celei de la problema 4 7. 58. Leonardo demonstrează că x nu poate fi număr intreg (pozitiv),

deoarece din x• x• x + - + - = 2, rezultă x< 2, 5 10

iar 1 3 +2 . f 2 +10 · 1 = 1 3 < 20. Dar x nu poate f i nici o fracţie (raţională) etc. In sfîrşit el prezintă soluţia (in fracţii sexagesimale): x= 1 °221 711

42111 331v 4v 40VI, remarcabilă prin exactitatea sa (cu 3 · t o-n mai mare decit valoarea reală a rădăcinii).

1 22

59. Iniţial, Kamil efectuează o serie de transformări:

6 + y:· + v3x +V2X = 2o

{ t 4-v:· r = 1 96 + f-V 1 30 � x2 = 5x + V24x2

5x + V24x2 +"'" / 1 30 ! x2 = 1 96 + x• V 3 s

Page 123: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

V24 +V 1 30 � + V 1 54 � +2 V 24 · 1 30 : == V 266 :-x2 +1 1 76= 30x +V9 600x2 De aici Abu Kamil obţine pentru x valoarea

x= 1 5 +V2 400 -V 1 449 +V 2 1 6U OOO

care echivalează cu: x= 1 5 +20"{6-V 1 449 +600V 6 . 60. Se descrie un cerc de raza a; se duce diametru! WE. Din centru se

ridică o perpendiculară pe diametru, care taie cercul în S şi N. In sfîrşit din S, E, N şi W se descriu cercuri de rază a, care se intersectează în punctele A, B, C, D, adică în v îrfurile pătratului căutat1 •

6 1. R. Pentru dublare: se construieşte un pătrat pe diagonala lu i (fig. 26): aria AEFC= 2 · aria ABCD.

In rest, e suficient să se cunoască construcţia unui pătrat echivalent cu suma ariilor a două pătrate neegale : a2 +b2•

Regula lui Apastamba spune: "A dunarea a dout'l pt'ltrate de mt'lsurt'l di feri tă (fig. 27): se tai e cu. latura

celui mai mic o fişi e pe cel mare. Funia (aşezatt'l ) o bli c pentru aceastt'l {fşi e leagă am îndouă (pătratele)" .

A F A t a � - c

Fig. 26. Fig. 27.

62. R. � ( 1 + 45) , (paranteza reprez intă valoarea lui VJ). 2 60

l b

1

Prelungim fiecare latură a pătratului in acelaşi sens cu un segment x şi scriem că suma ariilor ddr. formate este egală cu ka2;

k= 1 1 2 . . . ), de unde rezultă x;

t k 1 a(\f3-1 ) . L• ( )2 a pen ru = , x1= 2 ŞI 1= a +x1 +x 1 •

1 Construcţia, în partea finală, este inutil complicată. De reflectat ce 1-a făcut pe matematicianul indian să procedeze astfel.

123

Page 124: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

RV3 83. R. r = -2- •

84. R. Se obţine ecuaţia: x2 +V3x2 - V300 cu soluţia x= y! +V300-

-v: � 85. Plecind de la egalitatea n2 +m2= 2nm +(n- m)2 pătratul căutat

se obţine dacă in j urul pătratului (n- m)2 se aşază 4 dreptunghiuri� , 2

respectiv de laturi m - n şi mn 2(m- n)

(vezi fig. 28). MNPQ este pătratul căutat. Justificare .

88. Din punctul A cu o rază egală cu latura pătratului mare, se poartă pe baza lui inferioară segmentul CD : CD2= b2- a2•

87. In dreptunghiul ABCD cu laturile AB= a, AD= b, se separă pătratul ABEF= a2; restul EFCD se imparte prin dreapta HG in j umătate, iar pe BF se construieşte dreptunghiul B IKF egal cu EFGH, (fig. 29) .

Găsiţi o rezolvare mai simplă, ţin înd seama că problema se reduce la construcţia medie i geometrice a două numere.

N

1 K L Fig. 28. Fig. 29.

Astfel dreptunghiul ABCD se transformă in gnomonul A IKFGHA, egal cu diferenţa celor două pătrate date A ILH şi FKLG şi totul se reduce la con­strucţia de la problema precedentă .

1 24

Algebric, relaţia se prez intă astfel: ( b+ a )a ( b-a )a -- - -- = ab.

2 2

Page 125: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

88. Cij u adoptă ca necunoscută principală suma cerută: v= x +Vx2 +y2 ( in notaţia noastră) şi după o serie de transformări algebrice care cer multă indem inare aj unge la ecuaţia:

- 3 600-3 706 V-71 V2 +34 V3- V4 = 0 ş i găseşte rădăcina 1 8 . Apoi Cij u rezolvă separat problema i n care se caută suma dintre cateta mare şi ipotenuză şi aj unge din nou la aceeaşi ecuaţie.

Noi am fi rezolvat sistemul: xy= 60 x +y= 1 7 şi cunosc ind x= 5, y = 1 2

am fi calculat Vx2 +y2= 1 3, iar suma căutată ar fi fost 5 +1 3= 1 8. 89. Rădăcina egală cu 4 este uşor de descoperit, aducind ecuaţia la

forma: x3 +x=4y2 +4 şi simplificind cu x2 +1 . 70. Rezolv ind ecuaţia se găseşte 8 ca parte întreagă a rădăcinii. Apo i ,

Cij u face substituţia x=y +8, de unde rezultă: 576 y4 +1 5 792 y3 +1 59 553 y2 +704 392 y- 545 300= 0

Apoi el notează y= 2_ ş i obţine: 576

z' +1 5 792 z3 +91 902 528 z11 +233 700 360 1 92 z- 104 208 452 8 1 2 800=0 S e găseşte z= 384, d e unde rezultă: y= 384 == � şi x= 8 � . (Pînă in secolul al XVI-lea, algebriştii chinez i

576 3 3 se limitează la găsirea unei singure rădăcini pozitive a ecuaţiei .)

71. Autorul exprimă verbal regula de formare a ecuaţiei:

(706 _!_)l Xs +_l . 36 -9 xa __ 50 . d � 1

. ŞI a auga acomc:

2 10 9 2 · 36 -

10

"Efectuaţi opera ţia de găsire a rădăci nii conform extrageril rădăcini i (cu bi ce}" . Rezultatul va da prima latură.

Adăugînd la aceasta prisosul, obţinem ipotenuza. lmpărţiţi produsu l cu prima latură, c itul este a doua latură. Răspunsul:

72. Dacă o rotim pe un plan, atunci la o rotaţie completă, urma ei dreptunghiulară va avea o arie egală cu aria roţii însăşi (deci şi a cercului dat) : S=2nr · !.. =nr2, deci egală cu aria cercului ·dat.

2

125

Page 126: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

8

c

73 In notaţii moderne avem: b" a2= h2 + - , 2S= bh astfel inc i t : 4

� +S = a" + 2S - (� + _!?_)a 4 4 2 4

b b Va" + 2S h b 2 + 4 .. 2 de unde rezultă 2 şi 4 etc .

1 74. R . 31 +- ! 4

75. In rezolvarea noastră ayem:

Fig. 30.

MC m - - - ·

b a '

MN m -- - -c a

MC= bm

a

MN= � a

NC · NB= p MC · MA= q

s1- s2= r unde p, q, r, m s int date: m(a- m)= p bm { bm) -;- b - -;- = q;

• (� + c) • (b- bm) bem a a

-- · = r 2 a1 2 Rezolvind acest sistem, se de­

termină a, b, c, apoi rezultă împăr­ţirea cerută.

76. Punctul căutat este acela unde circumferinţa ce trece prin capetele prăj inii este tangentă la pardoseală, - respectiv un cerc, ale cărui puncte indeplinesc această condiţie (fig. 3 1 ) .

126

Page 127: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Dacă S, locul sursei, nu coincide cu punctul de tangenţă, punctul S1, fiind exterior cercului, conduce la următoarea relaţie:

/'"'-.... - - -w AS B AB

= CD AB

w ASB mas. 1 = < - = mas. . 2 2

77.

Fig. 31 . Fig. 32. "" "" a) B = 2C; AOE= A +C= 2C +C= 3C

"" "" C= BOC= BD

- - - t -b) BF = AE, deci BD= - BF. 3

"" "" AE deci BD = --

3

78. Problema se reduce la rezol­varea ecuaţiei: J F

Condiţia de asemănare a segmentelor de cerc implică:

X. Aria AFB AB1 1 1 A X E --- = -- = -- == -Aria AED AD1 ("/3)" 3

Fig. 33.

H

1 a

deci aria AFB= ..!_ aria AED; iar aria AED= aria (AFB +BGC +CHD), de 3

unde rezultă proprietatea de demonstrat. 80. a) BF= I3 Deci B = 30°

ln dBDG dr. A "" FCG= 1 80°- (30°+ 90°) +GBH

DG= BG (opusă�30°) 2

BG2= BG" + R" 4 4

3BG2= R2• BG= � ·

v3 127

Page 128: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

81,

83.

dCFG= dBGH -+ GF= GH GF=yCP +CG2= VR2 + �· == ��

( 2�)2 ( 2�)3 Aria GF V3 4 Aria GH V'J 4

--- =- -- = - · ---= - (vezi fig. 2, pag. 3 1 ) Aria BC R " 3 Aria B C R1 3

b) Aria GF= 1 2__ aria BC= Aria GH 3

c) Aria lunulei FCBH= aria FCBHG, deoarece: 2A sg FG = 3A sg BC

2 · 1 2... s= 3 · 1 s-+2 · � s= 3 s 3 2

Aria trapezului: 3R"V3 4

1tR" 3R"V3 Aria a 3 segmente: -2 - - --4- = R" - 4 (27t- 3V3)

Aria semicercului: . . -1 _ 1 _R)1 == -1tR1

Fig. 34.

31tR1 R 1 - 3R"V3 1tR1 Aria a 3 !unule: -8 - - 4 (27t- 3y3 )= -4- - -8-

( 3R•y3 1tR" ) � _ 3R"V 3 4 8 + 11 - 4 q.e .d .

a x y . a • f/. ,,-82. R. - = - = - atunci - - - ; x= a3 y 2 x y 2a x• 2 f/.

2 \ 2 8

Exceptind condiţia impusă, rezultă, mai direct, x3= 2a3; x= aV'2.

A c 2a- 2x

Fig. 35.

1ta1 1tX1 1t(a - x)1 1t 1t Aa= ---+ == -(a2- x2- a2 +2ax- x1) :: - (2ax- 2x2)= 2 2 2 2 2 =7tx(a- x) 1 28

Page 129: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

al

CD2= 2x(2a- 2x)= 4x(a- x)

Ac=r. . (co)z _ ..::_ CD2 - ..::_ · 4 x(a - x) . Deci : Aa= Ac .

2 4 4 8G. R . (2 · 10 - 8)2= 1 44; 144 +52= 1 96 e t c . N = 28 87. In t r-o z i fiecare fîntînă ar um ple respec t i \" :

1 1 1 1 d ' ' t t b .

1 . - ; - ; - ; - m capac1 a ea azmu m . 1 2 4 4

Într-o zi toate patru ar umple:

2.. + ..!.. + 2.. + 2.. - 50 bazine 1 2 3 4 24

50 1 .

-• • • ZI

24

bazin . . . x = 24 - 12 zile . 50 25

1 1 5 88. a) - + - - - ·

2 :i 6 ' 1 - � - 2.. 6 6

1 5 1 - - - -= - · 6 36 36

1 1 1 1 1 1 3+2 5 c) - · - + - · - - - + - - -- == - ; 1 5 1 - - - == - · 2 36 3 36 72 108 216 216 36 21 6 216

R. -1- - 1 1 dahecani; suma: 2 16 · 1 1 = 2 376 dah.

2 1 6

89. Răspuns ( în sistemul modern de scriere): primul a prim i t 1 � •

1 1

Anania

şaptelea:

90. R.

dă răspunsul 1 : 1 !. 1 1 - -

2 5 10

t 2 2.. 2.. 2.. 2.. 2 10 22 30 1 1 1 1

1 + - + - - -2 3 6

al doilea 3 2_ ş . a . m . d . 1 1

in fracţii egip tene: 1

a dică 55

1

33 55

bazin;

1 + : + !. + 2.. + 2.. · 2 5 10 55 '

1 : � - � ore. 6 1 1

9 1. Numărul bărba ţilor care învăţau în şcoala lui Pitagora: 2.. + 2.. + 2 4

+ !.. - 25 din numărul total al elevilor. 7 J8

N � 1 f ' 1 28 25 3 . t� umaru eme1 or - - - = - reprezm a 28 28 28

1 elev. Deci numărul total al elevilor era 28.

R. 25.

1 3 femei; deci reprezintă 28

129

Page 130: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

92. a) Soluţie dată de j u ristul roman Salvius Iulianus. Dacă vom considera că esenţa voinţei testatorului constă în raportul

dintre cota mamei (m) faţă de cota fiului (s) şi de cea a fiicei ( t ), atunci din textul problemei rezultă că fiica trebuia să primească din moştenire o cot ă de două ori mai mică decit mama, iar fiul o cotă de două ori mai mare decît mama .

Prin urmare, moştenirea trebuie împărţită in 7 părţi egale, d in care mama va prim i două părţi, fiul - patru părţi, iar fiica -- o parte:

m s t m : s : t= 2 : 4 : 1 sau - == - == -2 4 1

D . . . 2 d ' ec1 mama va pnm1 - m avere. 7

b) A ltă solu ţi e: Voinţa testatorului ar mai p utea fi interpretată in sensul că dorea să-i lase mamei cel puţin _.!._ din a\·ere .

3 In acest caz, se imparte restul de � din moştenire între fiu şi fiică

3 raportul de 4 : 1 . Atunci fiul va primi � • 4 =_! • iar fiica � � == � din

1 5 15 15 1 15

î n t reaga moştenire . ·

93. Folosind metoda "mersului invers" . avem succesiv: 24 : 2= 1 2 bani 1 2 +24 = 36 bani 36 : 2= 18 bani 1 8 +24=42 bani a avut după prima trecere; 42 : 2= 21 bani a avut la început.

94. a) Judecătorul le "dăruieşte" o cămilă (pentru a obţine un număr di\' iz ibil cu 3 şi 5); 1 5 · _.!._ = 5; 1 5 - � = 9, iar 5 +9= 14 .

3 5 b) Analog. c) Judecătorul le mai "dăruieşte" două cămile. d) Imposibil, suma celor trei fracţii este mai mare dec it 1 . 95. Dacă la mărul rămas turcului adăugăm cele 2 mere date celui de-al

3-lea paznic, obţinem 3 mere, care reprezintă j umătate di n numărul total al merelor avute în coş după ce a trecut de al doilea paznic, adică 6 mere . Continuind raţionamentul după metoda retrogradă, găsim că turcul t rebu ia să fure 36 mere.

96. x + � + � +5 + � +4= x; X=84 ani. 6 1 2 7 2

97. a) Rezolvare algebrică. Fie x numărul de cămile: A 1 x - 1 x + 4 . t . l f' t 4 (x- 1) . + - = - pnmeş e pnmu m; res : ---

5 5 5

2 + 4 (x - 1 ) _ 2 _1 _ 36 + 4x B. primeşte a l doilea fiu etc.

5 5 25

130

Page 131: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

C A B It � ţ " x +4 36+4x l ţ " 1 6 � . 1 um = , rezu a ecua Ia: _ = - cu so u Ia X= cami e . 5 25 Problema se poate rezolva şi grafic. Dăm o astfel de rezoh·are pentru

cazul cind fiul cel mare primeşte o cămilă şi ..!.. din rest etc . 7

Considerăm (fig. 36) un pătrat cu latura de 6 cml, de exemplu. Tăiem din el o fîşie ABMN lată de 1 cm (haşurată in figură) şi o aşezăm Ia dreapta părţii rămase.

Acum aceeaşi fîşie reprezintă o unitate şi ..!.. din rest . 7

Figura b reprezintă dreptunghiul rămas. Tăiem din el din nou o fîşie MPQN lată de 1 cm şi o aşezăm la dreapta părţii rămase; ea reprezintă două unităţi şi _!... din rest.

7

Figurile c, d şi e arată că fîşia a 3-a reprezintă 3 unităţi şi ..!.. din rest, 7

fişia a 4-a reprezintă 4 unităţi din rest, iar ultima fîşie, a 6-a, reprez intă 6 unităţi şi nici un rest.

Dacă arabul ar fi avut 6 • 6= 36 cămile, ar fi prevăzut in testament ca primul fiu să ia o cămilă şi _!... din rest, al doilea să ia, apoi, două cămile

7

şi _!... din rest, al treilea să ia trei cămile şi _!... din rest ş .a .m . d. La 62 cămile 7 7

apare fracţia ..!.. al cărei numitor este cu 1 mai mare ca 6. 7

b) In primul caz : Primul f iu să ia o cămilă şi 1 /4 din rest, a l doilea să ia 2 cămile şi 1 /4

din rest iar al treilea să ia restul . In al doilea caz : Primul f iu să ia o cămilă şi 1 /6 din rest etc. (c ind sint 5 moştenitori apare

mereu fracţia 1 /6). In ultimul caz: Primul să ia 4 cămile şi 1/9 din rest, al doilea să ia 5

cămile şi 1/9 din rest ş .a.m .d. 98. Cantitatea de cereale primită de cei 5 oameni formează o progresie

aritmetică crescătoare. Notind primul său termen cu x, iar raţia cu y, rezultă că părţile prim ite vor fi respectiv:

+x; x +y; x +2y; x +3y; x +4y. Ţin înd seama de datele problemei formăm ecuaţiile:

x +(x +y)+ (x +2y) +(x +3y) +(x +4y)= 1 00 7(x +(x +y)= (x +2y) +(x +3y) +(x +4y) .

Aj ungem apoi la sistemul: x +2y= 20

2 1 l l x=2y, a cărui soluţie este: x= 1 3 ; y= 9e etc .

1 Numitorul fracţiei minus unitatea.

1 31

Page 132: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

a;

Fig. 36.

1 32

Page 133: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

99. Notăm cu x timpul în care Bacchus bea singur vinul din amforă ; cu y, respectiv, timpul lui Sileniu.

3y x x +y-2 10

== 5 ; 2 X 7y

- == -

5 10 Sileniu ar f i golit amfora în 4 ore şi Bacchus în 6 ore. 1 00. R. -=.. + .=_ + (_:_ _ .=_) · 3 +1 = x; x= 1 5 albine.

5 :l 3 5

1 01. R. 502 +x2=402 +(60- x)2; x= 22 2... coţi; d-x= 37 2... coţi. 2 2

1 02. Ecuaţia este: " / x + .! x +2= x; rezol-V 2 9 vînd-o obţinem x= 72 albine

1 03. x2= 32 +42; x= 5 0A= 5 +3=8 unităţi de lungime. 1 04. Numărul maimuţelor: x; ecuaţia:

( : - 3r = x- 1 ; x2- 55x +250=0,

x2= 5 maimuţe (nu convine). Fig. 37.

A

t 1 I z 1 1

8

3

1 05. AC= x; aplic înd teorema lui Pitagora în triunghiul ACB1, găsim : (x +4)2= x2 +162

A Fig. 38.

8x= 240 paşi; x= 30 paşi 1 08. Notînd cu x cantitatea de aur din

amestec şi cu y cantitatea de argint, scriem ecuaţiile:

l x +y= 384 1x _ 1 - 2 - +t - y=O 4 4

9 29 - - x + - y= O 4 4

.!. x + .!. y = � 4 4 4

38y= 3456 133

Page 134: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

3 456 90 18 1 t . (2 f t . . 26 18 y= -- = - o un un un ŞI -

38 19 19 x= 384 - 90 � = 293 _.!._ loturi aur curat;

19 19 1

293 -

loturi);

X = � - 9 funtu ri şi 5 _.!._ loturi aur curat. 32 19

1 07. a) x + y= 36 4x +2y= 100

b) Soluţie figurativă 36

capete 1---t

x= 14 iepuri y = 22 fazani

picioare l---1 --- : ---36 36 24 24 : 2= 1 2 iepuri

1 08. Să admitem că x este numărul de scoateri de orez cu lopata; y es te numărul de scoateri de orez cu papucul; z este numărul de scoateri de orez cu l igheanul.

D

Vom obţine sistemul de ecuaţii: 1 9x +1 = 1 7y +14= 12z +1

Din acest sistem avem:

Fig. 39.

12z 1 9x= 1 2z ; x= -1 9

p Intrucit x, y, z s int in fond numere

8

întregi, putem presupune că z= 1 9 t. Atunci obţinem ecuaţia nedetE.'rmi­

nată: 1 7y +1 3=228 t.

Lu ind pentru t valoarea numenca minimă in cazul căreia y va fi intreg. adică t= 14 , se obţine: x= 1 68; y = 1 87; Z = 266.

Primul hoţ a furat 3 "şi" 1 "tao" 9 "şingi" 2 "go" ;

al doilea hoţ a furat 3 "şi" 1 "tao" 7 "şingi" 9 "go" ;

al treilea hoţ a furat 3 "şi" 1 " t a o" 9 "şingi" 2 "go" .

"" 1 09. In dPBD dr. , tg P = B D

- -P B

900 - ---

300+2R

In dPOC dr. , tg P= � = -:-::,�, R:::===:::= PC 10 y 900+6R

( 1 ) (2)

Egal înd ( 1 ) cu (2) rezu l tă ecuaţia din care calculăm pe R: R3 + 1 50R2- 1 2 1 5 · 1 07= 0, a cărei soluţie acceptabilă este 134

R�2 025 paş i .

Page 135: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Deci profilul transversal este de cea 4 050 paşi. lncercaţi o rezolvare în ipoteza că deplasarea se face pe arcul BC.

1 1 O. Rezolvare. In notarea modernă, rezultă sistemul: 3x +2y + z = 39 2x +3y + z = 34 x +2y +3z= 26

Pentru rezolvare, chinezii au întocmit tabela: 2 3 calitatea 1

2 3 2 " I I

3 1 1 " I I I 26 34 39 măsuri.

Apoi, înmulţind numerele din coloana a I I-a cu "numărul calită ţ ii 1" din coloana a I I I-a, adică cu 3, şi scăzînd din ele de două ori numerele coloa nei a I I I-a, au obţinut următoarea tabelă:

1 o 3 calitatea 1

2 5 2 " I I 3 1 1 " I I I

26 24 39 măsuri. I n notare a modernă, tabela are următorul aspect:

3x +2y + z = 39 5y + z = 24

x +2y +3z = 26 Apoi, numerele din coloana a treia se scădeau din numerele întreite ale

C'oloanei a doua şi se obţine tabela: o o 4 5 8 1

39 24 de unde se obţine a t abela:

3 2 1

39

4 8 39

calitatea

"

măsuri,

5 1 24

In notarea actuală, aceasta dă: 5y + Z = 24 4y +8z = 39

1

I I I I I

calitatea "

măsuri.

I I I I I

135

Page 136: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

ln sfîrşit, înmulţind numerele din coloana I-a, cu "numărul cal ităţi i a I I-a" din coloana a I I-a, adică cu 5 şi scăz înd din ele " numărul calităţ i i a I I-a" din prima coloană, adică cu 4, ei obţineau:

o 3G 99

20 4

96

calitatea "

măsuri,

I I I I I

ceea ce d ă tabela: 36 calitatea I I I 99 măs.uri,

iar in notarea actuală: 36z = 99. De unde s-a obţinut că snopul de cereale de calitatea a I I I-a este ega l

cu 2 � măsuri, adică cu notarea modernă: 4

99 2 3 - . t z= - == - masun, e c . 36 4

1 1 1. Numerele respective formează o progresie geometrică i n care primul termen a1= 1 , iar raţia q= 2.

S _ anq-a, _ 213 • 2 - 1 284 1 n- - - -q- i 1

log. 284= 64 log 2= 64 · 0,30103= 1 9,26592 284 = 1 8446666666666666666

Cantitatea de boabe de griu ce se cuveneau viz irului este cu 1 mai puţ in ş i reprezintă aproximativ recolta de griu pe 1 0 ani de pe intreaga suprafaţă a pămîntului.

1 1 2. Autorul manuscrisului propune următoarea rezolvare: in 12 on.• , leul mănîncă 1 2 oi, lupul 6, iar c îinele 4 . Împreună, ei mănîncă în 1 2 ore 22 . � � • t � . � • � 22 1 1 . . . � • � • 6 m; urmeaza ca m r-o ora ei manmca - == - OI, Iar o oaie o manmca m - ore .

12 6 1 1 1 1 3. S= 1 +2 +22 +23 + . . . +228 +230 • Avem o progresie geometrică in care primul termen este 1 , raţia 2 ,

iar numărul termenilor 31 .

136

Sn= a(qn - 1 ) =

1 (2" - 1 ) = 231 - 1 = 21471 83647 q - 1 2- 1

1 1 4. � + 1 = x- 2 2 4

� +1 = x + 2 4 4

� + 3 == x +18 8 8

x + 2 x - 2 x - -- = --2 2

x - 2 x + 2 x-6 --

-

-- == -

2 4 4

x+ 2 + _x+2 + x+ 18 --x· 2 4 8

, x=30 prune.

Page 137: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 1 5. y +1 = 2(x- 1 ) y- 1 = x +1

x = 5 saci (ducea calul)

y = 7 saci (ducea cat îrul)

1 1 8. {1 s : : ) · 4

n1 = -'----'--- = 6 ori; 1 5 {15 :�) . 3_!_

3 3 5 . n . = = on. - 1 5 1 1 7. 40 · x=45(x- 1 ); x- 1 = 8 zile. 1 1 8. Pentru 24 caiele el a trebuit să plătească:

2.. + _!_ + 1 +2 +22 +23 + . . . +224- 3 copeici; 4 2

1 2 ' ' · 2 - -

s = 4 == 222- 2.. == 4 1 94303 2_ copeici, 2 - 1 4 4

deci aproape 42 000 de ruble. 1 1 9 _!_ + 1

- _!_ . 1 1 1 4

• 14 � 10 ' � == 10 - 14 = 1 40 ; 1 20. 7 +� = 5 +x; x= 4 ,80 ruble .

1 2

1 40 35 ' 1 X = - - Zl e . 4

2x 2x x 1 21. - + - + - +27= x·, x=420 oameni. 5 7 4

1 22. x- 1 = y +1 X +1 = 2(y- 1 )

1 23. .2. = � = x + y = E == � ·

5 3 5 +3 8 2 •

x= 7 ve dre,

y= 5 vedre .

X 3 - =- - ; 5 2

1 5 1 x - - = 7 -- ore.

2 2

2 1 24. X + - y = 38 3

1 2:>.

1 28.

y + �x= 38 4

1 1 1 1 1 1 - · - · - · - · - = - · 2 2 3 4 2 96 1 1 1 1 - · - · - - - · 2 3 6 36

1 27. Form ăm ecuaţia:

1 x = 25- ruble,

3

y= 1 9 ruble.

65535= 1 +2 +22 +23 + . . . +2"-1

137

Page 138: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

sau 65535= 2x-l · 2- 1 _ 2x - 1 de unde obţinem:

2 - 1

65536= 2x Ş i X= 1 6.

1 28. � + � + 32x +1 ,92= x 9 21 1 05

1 = 9,45 ! .!. = 1 ,05 ruble, 9

I I = 9,45 - � = 3,60 " , 7

3 I I I = 9,45 · - = 2,88 " 5

x= � - 9,45 ruble. 64

1 29. a) Cel cu 2 piini ia toţi banii; b) unul ia 2 lei, celălalt 5 lei; c) u n u l trebuia s ă ma i dea 1 leu, iar celălalt urmează să primească 5 lei; d) unu l primeşte 2 lei, altul 1 leu, i ar al treilea nimic.

1 30. Hotărăsc să v îndă ouăle nu c ite 10 cum se obişnuia, ci c i te 7 . Pentru fiecare grupă de 7 ouă să ceară 3 copeici, iar pe cele rămase să le v îndă cu c ite 9 copeici oul . Procedind astfel fiecare incasa: a) (7) • 3 +3 · 9= 30 co­peici ; b) (7) • 4 · 3 +2 · 9= 30 copeici; c) (7) · 7 · 3 +1 · 9=30 copeici (am no­tat cu (7) o grupă de 7 ouă) .

1 3 1. Evident meditatorul trebuia să rezolve problema aritmetic. Folo­seşte, in acest caz, metoda falsei ipoteze; presupune că s-a cumpărat numai s tofă neagră:

1 38 · 3=414 lei; 540-414= 1 26 lei .

Imparte diferenţa totală la diferenţa unitară: 1 26 : (5- 3) = 63 m stofă albastră, 1 38 - 63=75 m stofă neagră.

1 32. După ce a trecut capra pe celălalt mal, omul se intoarce, ia in barcă varza şi o duce pe celălalt mal; aduce inapoi capra; trece cu lupul, se intoarce şi ia in sfîrşit capra.

1 33. 2x + � + � + 1 = 100; x= 36 gişte. 2 4 134. In timp ce iepurele face 3 sărituri, c iinele face 2, care s int c it 5 ale

iepu relui; deci c iinele cîştigă 5-3, adică 2 sărituri de iepure in timp ce face 2 de-ale lui; deci Ia fiecare săritură a lui c îştigă c ite o săritură de iepure .

Cele 75 sărituri le cîştigă după 75 sărituri de-ale sale. Deci după 75 sărituri c iinele aj unge iepurele care era inaintea lui c u

7 5 sărituri. 1 35. Notăm cu x numărul săriturilor pe care le mai face vulpea. C ind vulpea face 9 sărituri, ogarul face 6; deci c ind vulpea face x, ogarul

face Sx adică 2x sărituri. Ştim apoi că 3 sărituri ale ogarului au ca lungime 7 9 3 sări t u ri ale vulpii, deci:

138

2x � " t . l l . l . 2x 7 14x � " t . l l . . - san ur1 a e ogaru Ul au ca ung1me - · - - - san un a e vu pn . 3 3 3 9

Page 139: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Dar lungimea parcursă de ogar este dată şi de relaţia: 60 +x. De aici, ecuaţia:

14x 60 108 � " t · - = +x; x= san un.

9

1 36. O săritură de c îine = 2. sărituri de cal; 4

6 � •t . d • . 7 6 21 � " t . d 1 san un e cnne = - � = - san un e ca ;

4 2 Fie x distanţa ce o va parcurge calul:

5,5 +x x -2-1 - == 5 ; 2

X = 55 == 5 km. 11

Page 140: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

2. Probleme captivante

1. Cerc: R = � == 2.. km, 1t 1t

2. x +120= 3(y +25) x +25= 2(y +120)

S = 2... km2 � 32 ha. 1t

x= 735 roble, y= 260 roble.

3. Dacă cei doi c îini ar fi tras sania încă 50 de mile, intirz ierea ar fi fost numai de o zi, nu de două z ile .

De vreme ce întîrzierea a fost de 2 z ile, rezultă că mai rămăseseră de străbătut încă 1 00 mile.

Dacă el s-ar fi deplasat după prima zi tot cu viteza iniţială, atunci i n l o c de 1 00 de mile a r f i străbătut 1 00 :�== 1 66 .! mile.

5 3 Cele f 6 � mile pe care le-ar fi parcurs in plus i-ar fi economisit două z ile

3 de drum . Ce aici rezultă că viteza prevăzută iniţial de Jack London era de 33 2.. mile pe z i . ln prima zi el a străbătut 33 ..!... mile. Adunindu-le cu cele

3 3 100 de mile rămase, aflăm că pînă la tabără erau 1 00 +33 .!. = 1 33 2... mile.

3 3 4. Restul de 8 cartofi reprezintă 2/3 din cartofii (C3) ce erau pe masă

cînd s-a sculat al treilea drumeţ (Da)· Deci: Ca= 8 : � = 8 · � = 1 2 cartofi,

3 2

2 C2= 1 2 : - = 1 8 cartofi, 3

C1= 1 8 : � = 27 3

" .

Au fost deci, la început, 27 cartofi. Fiecare drumeţ avea dreptul să mănince 9 cartofi. Aşadar: D1 nu mai mănincă nimic; Da mai primeşte 9- 6= 3 cartofi, iar D3: 9-4= 5 cartofi. 140

Page 141: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

5. Problema nu este "grea" decit dacă se cere rezolvată mintal. In acest caz , putem gindi astfel: Consider fiecare număr (baza puterii) ca o sumă, exemplu: 1 2= 10 +2 etc.

Ridic la pătrat mintal după formula binomului; rezultă (schematic): 500 20 + 1 40 + 4 60 + 9 80 +16

700 +30, 730 : 365= 2. 6. La plecare sint dej a pe drum 7 vapoare, fiecare la o z i distanţă unul

de altul. Intilnim pe zi 2 vapoare, iar pe tot parcursul, 1 3 . Al 14-lea tocmai intra c ind plecam noi , iar al 1 5-lea pleacă atunci cind aj ungem.

Pe un interval de o z i întîlneşte două vapoare: unul la 1 /2 z i drum (după 1 2 ore), altul după o zi drum (la 24 ore).

7.

3s - - -/: ...... .,c !mx3s �

v �--------------------------7 A ( 4 4 ;A

/ ,......_ Ssx 3m / / "' - - - s /

......... s / ........ _... �

- - - - - - 1200s

Fig. 40.

20 m · 60= 1 200 s; 5 m · 3 s = 3 m · 5 s= 1 5 m .

S d . • . � • 8 d . 'l 200 1 5 2 250 e uce ŞI se map01aza m s, ec1: · -- · = m . 8

8. Vom numi iarba care creşte pe o arie intr-o z i "raţie" (cotă). Din primele două livezi, pe l îngă iarba care era in ele s-a mai păscut 48 · 1 8=864 şi 90 · 30= 2 700 raţii . Pentru a vedea cit este de mare o raţie să folosim metoda transformărilor succesive ca să avem acelaşi număr de boi şi de z ile in cele două livezi .

Luăm a 1 6-a parte din numărul boilor şi a 3-a parte din numărul z ilelor la prima livadă şi găsim că 4 boi in 6 z ile pasc 1 arie şi 18 raţii.

Luăm a 1 6-a parte din numărul boilor şi a 5-a parte din numărul z ilelor în a doua livadă şi găsim că 14 boi in 6 z ile pasc 3 arii şi 90 de raţii. Deci 28 de boi in 6 z ile pasc sau 7 arii şi 1 26 raţii sau 6 arii şi 1 80 de raţii.

De aici reiese că o arie echivalează cu 54 de raţii. Prima livadă echivalează cu 3 456 de raţii şi 1 bou paşte 3 raţii pe z i .

Livada a 3-a echivalează cu 4 440 de raţii, deci pe z i 222 raţii. Se pot hrăni acolo 74 boi .

141

Page 142: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Cuni procedăm dacă datele problemei s int schimbate? Aducem datele problemei la acelaşi termen de comparaţie şi anume: Vom căuta să avem acelaşi număr de boi şi de z ile pe primele două păşuni şi să găsim, apoi, o unitate de măsură unică pentru cantitatea de iarbă pe care o paşte u n bon pe z i etc .

şi z,

9. Fie x numărul boilor (pe ultimul izlaz); y, înălţimea iniţială a ierbii cantitatea cu care creşte iarba zilnic (y şi z : necunoscute auxiliare) . Volum ul ierbii pe primul izlaz = 3 _!_ ha (y +28z).

3 1

3 - (y +28z) 3 Un bou măn încă pe zi : ------

12 . 28 1

3 - (y+ 28z) 3 1 0(y+ 63z) 24(y+ 126z) -------

y =

12 . 28 21 · 63

( 3 � . 21 - 1 0 o 1 2) o 28 o 63z

1 10 · 12 · 28-3 - · 21 · 63

3

-X • 126

== � = 84; 1 050

se introduce in ultimele două rapoarte, dispare z şi se obţine:

24( 3 � . 21 o 63) (1 26-28) + 10 · 1 2 . 28(63- 126)

[x = == 36 boi. 1

3 - · 10 · 126(63-28) 3

G enerali zare. Se pot face următoarele notaţii: iarba unei livezi cu aria S1 a putut hrăni n1 boi timp de t1 z ile. Iarba unei l ivezi cu aria S2 a hrănit n2 boi timp de t 2 z ile. Să se afle c îţi boi poate hrăni iarba unei livezi cu aria Sa timp de ta z ile.

Rezolvare. Să presupunem că înălţimea ierbii era aceeaşi în cele trei l ivez i, inainte de ducerea boilor la păscut; notăm această înălţime cu y. Mai presupunem că iarba creşte pe z i cu aceeaşi cantitate z. Cantităţile y şi z s int necunoscute auxiliare. Fie x numărul boilor care trebuie duşi in ultima livadă.

Intr-o z i iarba creşte cu cantitatea z; în t1 z ile creşte cu cantitatea t 1z. Deci in prima livadă înălţimea ierbii devine (y +t1z) după t1 zile. Volumul ierbii este S1 (y +t1z) . Acest volum este mincat de n1 boi în t1 z ile. Deci un bou mănîncă intr-o zi : S,(y+ t,z) : ln mod analog, cantităţile mîncate de un

n1t1 bou intr-o z i, în celelalte livezi sint: s.(y + t.z)

; s.(y+ t.z)

n1t 1 t1x Scriem că aceste cantităţi s int egale:

( 1 ) 142

S ,(y+ t,z) S 1(y+ t1z) S1(y+ t1z) == - _..;..;.:;'-'-� n ,t , n1t1 t1x

Page 143: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Deducem: y = (S ,n.- s.n,)t,t.z •

S,n,t1 - S 1n1t1 Ducem valoarea lui y in ecuaţia formată de ultimele rapoarte din ( 1 ) .

Dispare z şi găsim : s.cs,n,t.(t. - t,) + s.n, t,(t, - t.n Z= '

s,s.t.ct. - t,)

1 O. Notind cu x, y, z, u şi v numărul cangurilor, vulpilor, şerpilor, tigrilor şi urangutanilor, avem ecuaţiile:

1 ) x +y +z +u +v= 37 2) 2(x +v) +4(y +u)= 86 3) x +y +2z +u +v=44 4) x=y +u 5) z= u +v

cu u rmătoarea soluţie : x= 1 3, y= 10, z = 7, u= 3 şi v=4 .

1 1. Fie x , c ite ouă avea prima ţărancă. Din ipoteza făcută reiese c ă cele două ţărănci vindeau ouăle cu:

6 � 3

-- · 1 5

respecti\· creiţari. 1 00- x

Scriem că sumele încasate erau egale: X

6 !. 1 5 3 x · _ .,. ( 100- x) ·-- ; x=40 ouă. Rezultă că a doua ţărancă adusese 1 00 - x x

60 de ouă. 1 2. 1 70- 10 X= 10y

1 70- 170y= 1 70x 1 3. x= numărul cosaşilor,

x= 9, y=8 mfs.

z = cit coseşte fiecare pe z i (necunoscută auxiliară); xz + -xz = 2 (_xz + z ) . 2 4 4 • x=8 cosaşi.

Rezolvare ari tmetict'l (metoda figurativă). _

a) Dacă pe izlazul mare a lucrat o j umătate de z i intreaga echipă şi o j umătate de z i numai o j umătate de echipă, este clar că intr-o j umătate de zi, o j umătate din echipă coseşte 1/3 din izlaz . Prin urmare, pe izlazul mic

� · � f ţ � d 1 1 1 D - t • t a ramas necos1ta o supra a a e -- - = - · aca un cosaş coseş e m r-o 2 3 6

. 1 d" . l . • t t l f t " t 6 + 2 8 . � • t t l ZI - m IZ az, 1ar m o a a os cosi - - = - • reiese ca m o a au 6 6 6 6

fost 8 cosaşi . 143

Page 144: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

b) Luăm ca unitate de timp comună t = _!__ z ile. Terenul 1 (haşurat) este 2 cosit in 1 /2 z i de 2 oameni. ln două j umătăţi de zi , prima j umătate din grupu l de cosaşi coseşte două loturi egale A= C, iar a doua j umătate a grupului de

4 oameni

� A - - - - -

� o - - - -�

2 oameni Fig. 41 . Fig. 42.

c

cosaşi coseşte alte două loturi egale, B şi D. Dar B este dublul terenulu i 1 haşurat, deci a fost cosit intr-o jumătate de z i de 4 oameni.

Rezultă că grupul s-a împărţit in două echipe de c ite 4 oameni, deci era compus din 8 oameni.

1 4. Producţia in 1 950 este de 5 000 + 20 • 5 000= � · 5 000 tone. Deci 100 5 producţia unui an este � din producţia anului precedent. Deci in x ani pro-

5 d ucţia totalizată va fi:

5 000 + : . 5 000 + ( :r . 5 000 + . . . +( :r-·· 5 000= 50 000

lmpă rţind c u 5 000 avem: l + : + ( : r + . . . +nr

- · = lO;

(�J - 1 S = 6 1 0 sau ( : r = 3.

- - 1 5,

Aplic ind logaritmii, obţinem: 6 x lg 7 = lg 3 sau x= Jg a ; x= 6 ani.

1 5.

o lg 6 - lg 5 O 1 m

� · � � - - X • 2 - c X - a A - - - -- --- -- -- - - -

Fig. 43.

Notez distanţa BC -cu x; AB = 2(x + 1 ) . Ţinînd seama că iluminarea este i nvers proporţională cu pătratul distanţei de la izvorul de lumină, avem : � - � 2 de unde: 5x2- 1 6x- 1 6 = 0 soluţia acceptabilă x1= x=4; d= 4 5 (x + 2)1 = 2(x +1 )= 1 0 m. 144

Page 145: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 6. R. 1 , 2, 4, 8, 1 6, 32, 64 , 1 28, 256 şi 489 lei (de fiecare dată dublu apoi restul), căci scriind numărul in baza 2, avem:

1 00010= 1 1 1 1 10 10002= 1 · 28 +1 · 28 +1 · 27 +1 · 28 +1 · 25 +O · 24 + +1 · 23 +O · 22 +O · 21 +O · 2° ; inlocuim pe 1 · 28 = 5 12 cu 1 +2 +4 +16 +489.

1 7. Notăm cu x viteza trenului I, cu y viteza trenului I I şi z distanţa AB . Socotim vitezele în kilometri pe minut.

_ _ -B7x - _ s 7y' - - - - - -- --1 - -o - ........ c ",.. - s A �----------------------�----�--------------� 8

A JJ c' o � -37km - _J

Fig. 44.

Rezultă imediat ecuaţia: (1 ): 87x +57y= Z.

1 8

La ora 1 9, distanţa intre trenuri se micşorase cu 4/5 din distanţa AB. adică trenurile au străbătut împreună, in timp de o oră:

4 z 60x +60y= - Z sau (2): x +y= - . 5 75

Din sistemul format din ecuaţiile ( 1 ) şi (2) deducem: z n � n x=

1 25 ; y= 375 sau x= m ; y=

375 !

Rezultă x> y, deci punctul C este la dreapta punctului O. De asemenea C ' se va afla la stinga punctului O.

La intoarcere, trenul I parcurge distanţa BC '= BC +CC'= 57y +37, in acelaşi timp in care ţrenul II parcurge distanţa AC'= AC- CC'= 87x- 37, deci:

(3) 57y + 37 87x- 37 -

X y Scriem că suma numărătorilor pe suma numitorilor este un raport egal

cu fiecare din rapoartele date: (4) 87x + 57y 57y + 37 87x - 37

= = ---x + y x y

Ţinînd seama de ecuaţiile (1 ) şi (2), ecuaţiile (4) dau sistemul:

5) 75x- 57y = 37 87x- 75y= 37

z

z 57y + 37 87x- 37 - - - ----75 X y

x= 1 kmfminut, y= � kmfminut.

3 AC= 87x= 87 km

2 CB= 57y= 58 · - = 38 km; AB= 1 25 km. 3

Vitezele trenurilor s int de 60 kmforă şi 40 kmforă. AC= 87x - 37= 87- 37= 50 km .

145

Page 146: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Timpul in care a fost parcurs drumul AC este egal cu � h= 1 oră şi 40

1 5 minute. Deci trenurile se vor intilni la ora 1 9 şi 1 5 minute. Soluţia aritmetică dată de autorul pro blemei . "Dacă am bele trenuri , pornind seara, parcurg într-o oră (de la 18 la 1 9)

� di n distan ta A B, ele vor parcurge 1/ 5 di n aceeaşi distanţă intr-un sfert de oră . 5 Deci ele se vor int ilni la ora 1 9 şi 1 5 minute, după o oră şi un sfert de mers. Dimi neaţa trenul di n A mersese 8 7 de mi nute, de la ora 6 pînă la ora 7

.şi 2 7 de mi nute, deci cu 12 minute mai mult decit seara, pe c tnd trenul di n B numai 5 7 de minute, de la ora 6 şi 30 de minute p tnă la ora 7 şi 2 7 de mi nute, adică cu 18 mi nute mai putin . Deoarece distanţa parcursă attt dimi nea ţa, cît şi .seara este aceeaşi şi anume distanţa A B, rezultă că distanţa fi1cută dimi nea ţa mai m ult de trenul di n A este tocmai cea făcuti1 mai puţi n de trenul di n B. Deci trenul di n A m erge mai repede decît cel din B, prin urmare seara int ilnirea se va face in C la 3 7 km de C, de partea sta ţi ei A, fii ndci1 trenul B, care pleacă seara di n A face p ină tn C numai 7 5 de mi nute şi cu o vi teză mai mică. Acum pro blema se rezolvă numai decit.

Seara trenul di n A, care pleacă acum di n B, parcurge distanţa de la B pînă la C in 7 5 de mi nute; tnsi1 distanta BC el o parcurge in � = 38 de mi nute,

1 8 fii ndcă aceeaşi distanţt'l este parcursi1 diminea ţa de trenul din B i n 5 7 de mi nute.

Pri n urmare, trenul din A parcurge distanţa de la C pinii la C', care este de 3 7 km in 37 de mi nute. El are deci o vi tezi1 de 6 0 kmfori1. Trenul di n B va avea

deci o vi teză de � = 40 kmfori1. Distanţa A C, parcursii de primul tren in 8 7 de 1 8

minute, va fi de 87 km, i ar distanţa BC, parcursi1 de acelaşi tren in 38 de mi nut oa fi deci de 38 km .

Distanţa totali1 este de 1 2 5 km." l L Problema se reduce la a găsi c ite hirtii de 3 ruble (x) trebuie să

dea cetăţeanul ca să poată primi restul in h irtii de 5 ruble (y) : 3x- 5y= 1 9 (unde x şi y sint numere intregi şi pozitive); x - 19+5Y -

3

= 6 +Y + 1 + 2Y • Egalitatea va avea loc numai dacă şi 1 +2Y este număr intreg. 3 3

Fie t valoarea acestei fracţii. Atunci 1 + 2y x= 6 +y +t, unde t= --

3

3 t= 1 +2y (1 ); 2y = 3t- 1 1>; y = � = t + t - l 2 2

Punem iar condiţia ca t - 1 să fie număr intreg= t1 • 2 Relaţ ia ( 1 ) devine: y= t +t1, i n care t1= t - t , de unde 2t1= t- 1 şi t= 2t1 +t . 2 Inlocuind valoarea t= 2t1 +1 in ecuaţiile precedente, obţinem:

y = t +tt= (2tl + 1 ) +tt= 3tl +1

1 Mai scurt, rezultă de aci c ă t este impar, t = 2 k+ l .

146

Page 147: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

x= 6 +y +t= 6 +(3t1 +1 ) +(2t1 +1 )= 8 +5t1 Astfel, pentru x şi y rezultă expresiile:

x= 8 +5t1> 0 y= 1 +3tl > 0

Rezolv înd, rezultă t1> - � ş i t1 > - _!_ , 5 3

Dar cum t1 este un număr întreg, deducem că pentru el s înt posibile numai următoarele valori: t1 =O, 1 , 2, 3, 4 , . . .

Valorile corespunzătoare pentru x şi y vor fi: x= 8 +5t1= 8, 1 3, 1 8, 23, . . . y= 1 +3tl= 1 , 4, 7, 10 , . . .

Am stabilit, astfel, modul în care poate fi făcută plata: Cetăţeanul va da casierului 8 hîrtii de 3 ruble şi va prim i de la acesta din urmă o hîrtie de 5 ruble (8 · 3- 5= 1 9 ruble).

20. R. 1 00 pionieri şi 10 echipe. 21. Rezolvarea grafică !2.

-- - 7 � ........... " ./ - '"""" - 1-

5 C::O--- � -- �ctj 3 / ' ' ' 1 \ \ \

1 \ \ \ �1 1 6 11 8 1 16 :J 1 1 -, 5 \ 1 1 7 f 11 3 -- - -1 5 --..... '., / ,.,.. - -1- -.. 1 /1

, _ .",..- _ ""' / - 1 -- ' 1 / 6 , -- 1 ........ ' / - "' " 2

1 ' , ........ _ - -- � ", " \ ( \ \ 13

\ \ T \ 1. 1 1 2 1 V /1 12 - \ 6� 1 � 7 1 ) J J T

\ 1

1 \ 1 / /

ta-- ca-- w 7 ......... / .. - / 1 - -r - a _ _ _ _ _ _ ,

,.- 11 J T Fig. 45.

Notă: Numărătorul indică ordinea mişcării; numitorul, numărul loco­moti vei care se deplasează.

147

Page 148: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

22. Trec intii cei 2 fii. Unul din ei aduce barca inapoi şi trece tatăl . Pe urmă, cel ălalt vine şi ia pe fratele său.

23. Intuiţi a practică ne dă un răspuns afirmativ. Dar să vedem ce spune calculul . Construim figura 46, in care avem toate elementele geometrice şi fizice ale problemei.

A

Triunghiurile ACO şi OKL sint asemenea, deci:

8

Fig. 46.

OL OK - - - sau AO OC

G

F - == 1 2

- .!. de unde F= GL •

f 4f

Formula F= .E.!.... exprimă adevărul că forţa F cu care lampa trage de 4f

cablu este proporţională cu greutatea lămpii şi lungimea cablului şi invers proporţională cu săgeata.

Inlocuind, avem: F = 1 5 · 20 = 500 kg. 4 . 0,1 5

Pare intr-adevăr surprinzător ca o forţă de 1 5 kg (greutatea lămpii) să se descompună in două forţe de c ite 500 kg, dar aceasta este realitatea;

Dacă însă mărim săgeata, valoarea forţei de intindere a cablului scade pînă c ind poate deveni egală cu j umătate din greutatea lămpii (c ind f= � ) •

24. Fie AB= x lungimea finală a bradului, BC =y lungimea pierdută AC= x +Y lungimea iniţială a brad ului. C ind razele soarelui fac cu solul, presupus orizontal, un unghi at= 60°, umbra bradului AC= x, iar cind razele soarelui fac cu solul unghiul �= 30°, umbra bradului AB este AE= y +20 m .

1 48

D E Fig. 47.

Din triunghiul dreptunghic CAD avem: CA= AD tg IX

y +x= x tg 60° Din triunghiul dreptunghic BAE avem :

BA= AE · tg �; x= (y +20) · tg 30° . Obţinem sistemul de ecuaţii:

x + y= x · V'3 cu următoarele soluţii:

x = (y +20) · V{ x=20 m (lungimea finală),

y= 14 ,64 m (lungimea pierdută), x +y = 34,64 m (lungimea iniţială).

Page 149: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Observare. Triunghiurile CAD şi EAB sint egale, av ind cite o catetă egală cu x şi c ite un unghi de 30° .

Rezultă deci, direct: x +y=y +20; x= 20 m 25. Fie x, y, z mizele ce se pun pe caii A, B, C . Dacă A cfştigă, j ucătorul primeşte ax şi a plătit (x +Y +z). Rezultă ecuaţia: ax= x +y +z +s (1 ) Dacă ar c îştiga B sau C, trebuie să avem ecuaţiile:

by= x +y +z +s (2) cz= x +y +z +s (3)

Pentru rezolvarea acestui sistem, scăz înd ecuaţiile două cite două, obţinem1: ax- by=O; by- cz=O; ax- cz=O.

b b D t 1 .

. ţ ' . b x= - y; z= - y. ucem aces e va on m pnma ecua 1e ŞI avem: y = a c

== by +Y + by +s, a c

acs y = ; apoi, din ecuaţiile (2) şi (3) scoatem: abc - ab - ac - bc

bcs abs X = ; Z = t

abc - a b - ac - bc abc - a b - ac - bc

28. Notăm: x, lăţimea fluviului; v1 > v2 vitezele celor două poduri. Formăm ecuaţiile;

x - 720 720 --- == - ·

v, v .

x - 720 + 10, + 420 ==

720 +10, + x - 400 •

v, v, v1 V 1

A doua ecuaţie devine in final: x - 320 x + 320 v, x + 320

--- == --- -+ - - ---v, v, v1 x- 320

P . . . t . v, x - 720 nma ecuaţie se mai poa e sene: - == --v. 720

Prin egalare se obţine ecuaţia a cărei soluţie este x= 1 760 m. 2., F' � 1 d h ' ţ' x - l � 5 •· 1e x numaru e ee 1pe; ecua 1a: x · - = o

2 x= 1 1 echipe .

28. Problema se reduce la desenarea figurii 6, pag. 49 65 cu o singură trăsătură de creion. Dar aceasta este nerealizabil, deoarece, alegind un punct oarecare din A, B, C, D ca punct iniţial şi unul oarecare ca punct final, va trebui să traversăm în drumul nostru prin două (trei) puncte, care nu vor fi nici iniţiale, nici finale.

1 Mai simplu : x + y + z + s = k, deci ax = k, by = k, cz = k; k este dat de ecuaţia k k k - + - + - + s = k etc. a b c

149

Page 150: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Concluziile la care a aj uns Euler, studiind o problemă mai generală, s int următoarele:

a) Figurile care au numai noduri pare (unde se întîlnesc un număr cu soţ de trasee) sau numai două noduri impare se pot descrie dintr-o singură trăsătură de creion, plec ind de la oricare din noduri.

b) Figurile care au mai mult de două noduri impare nu se pot descrie printr-un singur parcurs continuu.

29.

X - - d= 12x- 2 .. - -3---- c' --- ........._ A �·��------------------�------------------��------------ �c�---� - " / ""' _.... ::><: - -=::> 8

-- 2y / -..... _ _ 2 km _v -- --.... 3 - 2 - - x- Y

Fig. 48.

x= viteza călăreţului; y= viteza drumeţului.

(x +y)l - = 2 2 + - Y + - • Y 40 ( 5 2 ) 60 3 X

5 2 - y = 2 + - · y 6 X

Scoţînd valoarea lui 2Y din ecuaţia a doua şi inlocuind în prima, ob-X

. y 5y - 12 ţmem: 2 · - = --x 6

(x +y) - = 2 + - y +--5 ( 5 5y - 1 2) 3 3 6

5 5 5 5y- 1 2 - x + - y=4 +2 · - Y+ --3 3 3 3

5x +5y= 1 2 +10y +5y- 1 2 5x= l Oy; X= 2y

Inlocuind in ecuaţia a doua, avem:

2. _L = 5y- 12 ; l =

5y - 12 ; y= t s_ 3, 6 km

2y 6 6 5

x= 2-y= 2 · 3,6= 7,2 km. O soluţie mai simplă (Eugen Rusu): d= AB; in timp ce călăreţul (C) parcurge

V d + 2 d +2, drumeţul (D) face d- 2, deci - = - � Distanţa d făcută de (C) V d - 2

150

Page 151: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

V 100 în 50 minute, iar de (D) în 100 minute, deci - - - = 2. V 50

d + 2 Din - =- 2, re­d - 2

zultă d= 6 etc. 30. AB= 10; BC= 3; CE= 2. CD= 2 +x; AD= 1 5 - x. EH= 8; HD= x-8 .

D X E 2 C

In triunghiul AHD (dr.) : ( 1 5- x)2= 32 +(x- 8)2

A

6''1- / "\ /

, /

X= 1 52 = 1 1 . CD = 1 1 +2= 1 3

1 4

// 1- - -

1 1 H

Fig. 49.

S trapez. = 10+ 1 3 • 3 = 69 = 34,5 vp. 2 2

3

B

Dacă parcela înconj urată ar fi fost un dreptunghi cu acelaşi perimetru (30 verste) suprafaţa înconj urată ar fi fost mai mare (10 • 5= 50 vp sau 7 ,52= = 56,25 vp, î n cazul cînd ar fi fost pătrat) .

33. Ar rezulta că energia poate lua naştere "din nimic", ceea ce nu este posibil .

Procentele de reducere a consumului trebuie apl icate succesiv, astfel : 100 kg combustibil e 30 = 30 kg economie.

1 00

( 100- 30) · 45 = 3 1 , 5 kg economie, 100

(70- 31 ,5) 1

25 = 9,625 kg

100 "

Economie totală: 30 +31 , 5 +9,625=7 1 , 1 25 adică 7 1 .!..%. 8

34. Intr-un minut ele parcurg: (9 000 +21 000):60= 500 mile. In ultimul minut, distanţa dintre ele este de 1 3 17 -2 · 500= 317 mile . 35. Vezi figura 50.

Plecind din A se urmează traseul ABC (plin), apoi traseul CDA (punctat) .

38. Să considerăm efectivele la mij locul focului, căci ele variază in diferite momente ale luptei. In cele 10 mi­nute, pînă la finele luptei, pleacă de la A şi de la B respec­tiv c ite 50 şi 60 focuri de fiecare trăgător, din care sint ucigătoare 0, 10 şi 0,24 . De aici reiese că efectivul lui A se reduce in 1 0 minute cu 0,24 din efectivul lui B şi al aces-tuia cu 0, 1 0 din efectivul lui A. Insă diferenţa efectivelor Fig. 50. nu se schimbă, dacă pierderile unei linii le-am da ca spo-ruri la linia cealaltă. Deci după 10 minute de luptă, diferenţa efectivelor este egală cu 1 , 1 din efectivul A micşorat cu 1 ,24 din al lui B, diferenţă care s-a dat egală cu 92 soldaţi. Apoi linia A dind 8 000 focuri mai mult ca linia B,

1 51

Page 152: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

reiese că de 1 00 ori efectivul lu i A intrece de 1 20 ori efectivul lui B cu 8 000, sau că efectivul lui A redus cu 1 , 2 din al lui B face 80 oameni. Prin urmare 1 , 1 ori efectivul lui A, redus cu 1 , 1 înmulţit cu 1 ,2 egal: 1 ,32 ori efectivul lui B, face 88 oameni. Deci 0,08 din efectivul lui B face 4 oameni. Deci pe linia B sint 50 oameni. Ei au tras 6 000 focuri. Prin urmare din linia A s-au tras 14 000 focuri şi deci acea linie are 140 trăgători.

De aci deducem că pe linia A erau la inceput 1 52 soldaţi, pe linia B erau 64; că la mij locul luptei erau respectiv 140 şi 50, iar la finele luptei, 1 28 şi 1 36 soldaţi . (Soluţia este aproximativă, căci nu se ţine seama că trăgătorul ucis nu mai trage. Admiţindu-se o repartizare uniformă a uciderilor in timpul luptei analiza matematică dă efective, la inceput, 1 40 şi 54 oameni, iar la finele luptei, 1 24 şi 24 . )

37. Considerind că in datele problemei nu s-a strecurat nici o greşeală, deducem că numerele nu sint scrise în sistemul zecimal. Fie x baza sistemului de numeraţie necunoscut.

ln acest caz, numărul 84 înseamnă 8 unităţi de ordinul al doilea şi 4 uni­t ăţi de ordinul intii, adică:

"84" = 8x +4 "54" = 5x +4

Avem ecuaţia 8 · 8= 5x +4 , ceea ce în sistemul zecimal înseamnă 64 = 5x +4, de unde x= 1 2.

Numerele s înt scrise deci in sistemul cu baza 1 2 şi "84" = 8 . 1 2 +4= 100.

Rezultă: dacă 8 · 8= "54" , atunci "84" = 100. fn mod analog se rezolvă problema: Cu ce este egal 1 00, cind 5 · 6= 33? R . 81 ( in sistemul de numeraţie cu baza 9).

38. C îştigă lupta peştişorii-diavol in cel mult 6 minute. O soluţie: Faza 1 : 9 peşt işori neutralizează 3 peşti-rege,

4 ucid in 3 min. 1 peşte-rege. Faza 1 1 : 4 peştişori ucid in 3 min. 1 peşte-rege,

4 5

" "

39 R. x={/3. Intr-adevăr:

" " 3 " 1 " " '

" 2 min. şi 24 s, 1 peşte-rege.

X3= ({/3)3= 3 şi prin urmare, xz3 = x3= 3. 40. Ridicind ambele expresii la puterea a 10-a (egală cu c .m.m.c.m .

al indicilor radicalilor), obţinem:

152

Page 153: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

41. Fie P şi M punctele respecth·e, P' şi M' proiecţiile lor pe planul pardo­selii. Desfăşurînd figura din spaţiu pe acest plan, punctele P, P ' , l\1 ' . �� s h 1 t coliniare, deci t raseul respectiv este minim: T = 1 3+30= 43p · 30, 5= 1 3, I l 3 m.

p ..

Fig. 51 .

42. O ,·ariantă mai veche a acestei probleme, în care se făceau 6 împărţiri succesive ale nucilor de cocos, conducea la formarea a 6 ecuaţii nedeterminate . Dacă N reprezintă numărul iniţial, F numărul primit de fiecare la împărţirea finală, cifrele 1 reprezentînd nucile de cocos rezerYate maimu ţei, iar celelalte litere, un număr întreg pozitiv necunoscut, aceste ecuaţii se prezintă sub forma următoare:

N= 5A +1 4A= 5B +1 4B= 5C +1 4C= 5D +1 4D= 5E +1 4E = 5F +1 Prin metode algebrice unanim cunoscute aceste ecuaţii pot fi reduse

uşor la următoarea ecuaţie diofantică cu două necunoscute: 1 024N = = 1 5625F +1 1 529.

Această ecuaţie este greu de soluţionat prin încercări; o soluţie de o frumoasă simplitate se obţine prin introducerea noţiunii de nuci de cocos negat ive. In general această enigmă diofantică (ecuaţie care se rezolvă în numere întregi) admite o infinitate de soluţii în numere întregi. Sarcina noastră este de a găsi cel mai mic număr pozitiv.

In cazul problemei date, ecuaţia diofantică ce se obţine este de forma: 256N=3 125F +2101 . Avînd în Yedere că 55-4= 3121 este cel mai mic număr

1 53

Page 154: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

care va permite 5 împărţiri exacte ale nucilor de cocos, astfel incit maimuţa s ă capete c ite una la fiecare împărţire, rezultă că soluţia problemei este: 3 12 1 .

Constatăm că restul 1 020 este divizibil prin 5, ceea ce permite a 6 împăr­ţ ire, în care maimuţa nu capătă nimic.

43. Punem y2= ab şi z2= cd, iar expresia devine x="{Yi.. Chestiunea se reduce la trei construcţii de medii geometrice. Luăm pe o dreaptă, in sensuri

Fig. 52.

contrare, OA= a, OB= b, apoi tot in sensuri contrare OC= c, OD= d. Con­struim media geometrică OE=y a seg­mentelor a, b, apoi media geome trică OF= z a segmentelor c , d , in sens contrar cu OE.

ln sfîrşit, construim media geo­metrică OM a lui OE şi OF, astfel: că : OM =VOE · OF=Vyz= x.

Scriem expresia dată sub forma:

x= '\! a4 +2a2b2 +b4- 2a2b2= ='\! (az- bz)z- 2azbz,

de unde x= V (a2 +b2- abv2)(a2 +b2 +abv2). Dacă punem acum a2 +b2- ab...J2= y2 şi a2 +b2 +ab...J2= z2,

atunci: x=vyz . Pentru a determina pe y, ţinînd seama de teorema lui Pitagora generali-

"' zată , construim t riunghiul OAB, cu laturile OA= a, AB= b, A= 45°; deci OB=y . Pentru a determina p e z , construim triunghiul OAC c u laturile OA= a, AC = b, A= 1 35°; rezultă OC= z . Urmează să construim media geometrică a segmentelor y şi z . Pe dreapta OB luăm OD = OC= z.

Pe OD ca diametru construim un semicerc, iar in B ridicăm o perpendiculară pe OD, care taie semicercul in punctul E . Deci

1 1 \ \

/

'

OE= Vyz x. 44. Se execută operaţia corespunză­i""'ot�-..;,;.�-7 C toare împărţirii unui cerc in 6 părţi egale .

Fig. 53.

Fie a, b, c, d, e, f arcele rezultate, av ind fiecare c ite 60°, M şi P origina arcelor a şi d. Se imparte apoi arcul b şi d in două părţi egale prin punctele N şi R . Acestea se obţin construind in extremităţile lui b respectiv d arce de raze egale, urmărind ca intersecţia acestora să se facă, in final,

pe arcul respectiv. Vezi şi problema 23 pag. 183 . 45. Problema se poate reformula astfel: Dacă P, Q, P' , Q' , P", Q ' '

s int punctele de trisecţiune ale laturilo r BC, CA, AB iar triunghi urile PQR 1

1 54

Page 155: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

P' Q 'R', P"Q"R" sint echilaterale, atunci triunghiul RR'R" este echila teral (vezi fig. 54) . Folosim pentru rezolvare o metodă vectorială cu coordonate in planu l complex.

Fie BC = p, CA =(j', BA �---p-t-q A

Fig. 54. Fig. 55.

-- pw1 p+q qw --Atu nci RR' - - - + -- - - (in conturul poligonal RQPR). R' R" =

3 3 3

-= _ qw1 + q _ p _ q + (q+q)w - _ p + CP+q)c.> _ qw• . RR" = (p+q)t·>' _

3 3 3 3 3 3 3 3 ' 3

_ P+ CI + ..!!_ _ pw - - q - pw + (p+q)w� astfel că R'R" = (RR' )cu2 şi R' R = 3 3 3 3 3 3

= (R'R")cu ceea ce demonstrează că triunghiul RR'R" este echilateral 1 • Problemă analogă: Pe laturile unui paralelogram se const ruiesc in

exterior pătrate. Să se arate că centrele acestora s int virfurile unui nou pă­trat. (Rezolvare obişnuită. )

46. Raportul dintre raza unei monede şi raza fundului farfuriei !... - _!_ ! R 10

Raportul dintre ariile respective este � - _!_ ; 1 0 monede vor acoperi ..!_ R" 1 00 10

sau 1 0% din suprafaţa farfuriei. 47. Primului inginer i se poate repartiza 3 sonde in C: = 84 moduri .

Celui de-al doilea inginer, la fiecare repartizare a primului ii corespund C!= 20 de moduri. Deci pînă acum avem: c: · c: = 84 · 20= 1 680 de moduri.

Celui de al treilea inginer, la o repartizare a prim ilor doi ii corespunde c:= 1 mod.

ln total avem c: · c: · c:= 1 680 moduri de repartizare. 48. Se duce prin A o perpendiculară pe malul r iului, se poartă pe ea

un segment AA' egal cu lăţimea riului, apoi se duce prin A o paralelă la .\.' B . 49. '• V cii + V con 4r.R' ' S = -= -- •

2 3

1 Problema se poate rezolva şi prin compunerea rotaţiilor.

155

Page 156: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

50. a) Descompunem un pătrat cu latura a +b in 4 părţi, aşa cum se arată in figura 56 a. Calcul ind aria pătratului intreg şi ariile părţilor, obţinem :

(a +b)2= a2 +2ab +b2• b) Tăiem dreptunghiul de sus din prima figură (b) şi-1 aşezăm l îngă cel

de j os ca in figura a doua (b2) .

b

a

b a

b) c)

Fig. 56.

Calcul ind ariile celor două figuri, găsim : a2- b2= (a +b)(a- b).

51. La a 3-a îndoitură ar avea de 8 ori grosimea, la a 6-a, de 64 ori grosimea ş i in general 0,0001 m · 250 , ceea ce reprez intă un număr foarte mare·

Numai la a 30-a indoire hirtia ar avea grosimea păm în­tului; s de unde rezultă că este imposibil să indoim o coală de 50 de ori, chiar dacă am dispune de o coală cu dimensiuni cores­punzătoare.

52. Cele 3 puncte P1, P2, P3 s int virfurile unui triunghi inscris in cercul a cărui egalitate cu cele 3 cercuri date trebuie s-o de­monstrăm.

Dacă vom reuşi să găsim un triunghi egal cu acesta şi de care să fim siguri că se poate inscrie într-un cerc cu raza egală cu a celor 3 cercuri date, pro­blema este rezolvată.

Observăm (fig. 57) că dis­Fig. 57. tanţele de la P0 la 01, 02 şi 03 s int egale cu razele R ale unor cercuri egale. Deci P0 este centrul cercului care trece prin 01, 02 şi 03 şi are raza egală cu razele celor 3 cercuri date. Rezultă că triunghiul 010203 este inscriptibil în cercul cu raza R.

Să însemnăm cu a, b, şi c, mărimea celor trei arce pe care le limitează punctele P0, P1, P2 şi P3 pe cele trei cercuri date. 1 56

Page 157: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Ţinem seama că in două cercuri secante linia centrelor împarte coarda comună şi arcele corespunzătoare in părţi egale. Considerind triunghiul 010203• ale cărui laturi s int liniile centrelor celor 3 cercuri, vom avea:

0 a -1- b b + c c + a 01 +02 +03= 1 80 = -· - + -- + -- = a +b +c

2 2 2

Figura 02P103P0, fiind un patrulater cu laturile egale cu razele cerc urilor egale, este un romb. In acest romb, unghiurile 02 şi 03 au ca măsură arcul b. Să găsim şi măsura unghiurilor P1 şi P0 • Am arătat că a +b +c= 1 80° . Suma unghiurilor unu i romb fiind 360°, s e poate spune că ea este egală cu 2 (a +b +c).

Cum suma unghiurilor din 02 şi 03 este 2b, rezultă că suma celorlalte două unghiuri, din P1 şi P0, este: 360°- 2b= 2(a +c).

Dar unghiurile P1 ş i P0. s înt egale (opuse în romb), deci P1 = P0= � = 2

= a +c. La fel putem stabili că unghiul P2= a +b şi unghiul P3= b +c. Considerăm acum triunghiurile 02P103 şi P201P3• S înt egale deoarece au:

02P1= P103= P201= 01P3 ca raze de cercuri egale; iar 02P103= P201P3, deoarece au aceeaşi măsură: a +c.

Triunghiurile fiind egale rezultă că laturile lor s înt egale adică 0203= = P2P3• La fel demonstrăm că 0102= P1P2 şi 0103= P1P3 •

Dacă de data aceasta comparăm triunghiurile 010203 şi P1P2P3, ob­servăm că în conformitate cu demonstraţia de mai sus, ele au laturile egale ; deci aceste triunghiuri s înt egale.

Prin urmare şi cercul care trece prin P1P2P3 va avea raza egală cu R, concluzie la care se aj unsese iniţial pe cale experimentală. Este interesant că, ulterior, s-au găsit soluţii mult mai simple:

A doua soluţi e: Avem P101= P102= P201= P203= P302= P303= P001= = P002= P003= R . Rezultă că patrulaterele P101P002, P201P003, P302P003 sînt romburi. Deci P101 l l P002 şi P303 l l P002; deci P101 1 l P303 şi , deoarece P101= P303= R, rezultă că patrulaterul P10103P3 este paralelogram. Deducem că P1P3= 0103 şi analog, P1Pz= Oz03, P2P3= 0102• Deci !:::,. P1P2P3= = 6. 010203.

Deoarece P001= P002= P003= R, rezultă că cercul circumscris triun­ghiului 010203 are centrul în punctul P0 şi raza R şi deci este egal cu cercurile date. Pe de altă parte, cercul circumscris triunghiului P1P2P3 este egal cu cercul circumscris triunghiului 010203 şi concluzia este evidentă.

A treia solu ţi e (Eugen Rusu): Deoarece P1 este simetricul lui P0 faţă de 0203, analog P2 şi P3, rezultă

că P1P2= 2P;P�= 0102 (P' 1, P'2 mij loacele laturilor). Triunghiurile 0 10203 şi P1P2P3 sînt egale.

53. Notez: x= viteza apei; y= viteza reală a inotătorului (y> x), y- x şi y +x= viteze relative; t= timpul în care plosca parcurge distanţa dintre poduri:

2 t= - ; X

t1 = timpul cit mai merge inotătorul impotriva curentulu i: 157

Page 158: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

t1= 20'= -.!.. ore; 3

t2= timpul parcurs inapoi de înotător: 1

2 + 3 (y- x) t2= ----

y + x

-- - .!2 -- 1 --/ !=20 -- --/- - - -- R '� S K 7 ..._. , -s{j!Y-x) - x=2i<,..".._...

Q:- t p -- - - --Fig. 58.

1 2 + - (y - x)

� - .!_ + __

3 __ _

x 3 y + x

� ... .!_ + 6 + y - x x 3 3(x + y)

6x +6y = x2 +xy +6x +xy - x2 6y- 2xy=0; y(6- 2x)= 0

y nu poate fi zero, deci 6- 2x=O; x= 3 kmjoră. Avind o singură ecuaţie şi două necunoscute, y este nedetermina t ,

servind ca o necunoscută auxiliară pentru determinarea lu i x .

B

d

c D X

Fig. 59.

A

54. Fie D punctul in care t re­buie să se facă staţia in condiţii le cerute de problemă. x= AC - CD = '/a2- d2-Vy2- d�

Traiectul mă rfuri lor se com­pune din şoseaua BD şi calea fe­rată DA.

Cu banii plătiţi pentru trans-portul mărfii pe şoseaua BD= y se

. poate merge pe calea ferată pe o d i s -tanţă egală cu 2y . Deci costul mărfii pe traiectul m ixt ADB este egal cu costul mărfii pe distanţa (x +2y) de pe calea ferată, adică pe distanţa:

1 ) z =Va2- da= Vy2 d2 +2y Costul mărfii pe acest drum va fi cel mai mic - evident - cind drum u l

va f i cel ma i mic. Deci trebuie să aflăm minimul distanţei z din relaţia ( 1 ) . 1 58

Page 159: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Cantitatea ya2- d2 fiind constantă, minimul depinde de cantitatea 2y -yy2- d2.

Sotăm: 2y - Vy2- d2= m şi avem:

2y - m=Vy 2- d�; 3y2-4my +m2 +d2= 0. Condiţia ca y să fie real este următoarea:

4m2- 3m2- 3d2 ;;ill O; m ;;ill dV;

�I inimul lui m este d y3. Rezultă y= 2dta

x= v 2002- 872 - 87�3 0:! 1 30 km .

55. 1 cu I I : c .m.m.c .m. 6 • 5= 30 zile

1 cu I I : " " " " " = 3 . 10= 30 ..

I I cu I I I: " " " " " = 10 z ile

1 cu II cu I I I : c .m.m.c .m .= 2 • 3 · 5=30 z ile. 58. Ducem prin punctul A o paralelă la CC1, prin B o paralelă la AA1

şi prin C una Ia BB1• Se formează triunghiul GHK (fig. 60) .

Fig. 60.

Prin punctele A şi D ducem cite o paralelă la BB1, prin B şi E c îte o paralelă la CC1 şi prin C şi F c ite o paralelă la AA1 •

Triunghiul GHK s-a împărţit astfel într-un număr de 1 6 triunghiuri,

inclusiv triunghiul haşurat, pe care le numerotăm cu 1 . . . 1 6.

1 59

Page 160: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Toate aceste 1 6 triunghiuri s int egale intre ele deoarece au latu rile egale cu segmente de drepte paralele cuprinse intre paralele .

Acum, dacă dăm la o parte triunghiurile 1 , 7 ş i 1 2, răm îne fi­gura ALBMCN, care conţine paralelogramele ADCN, ALBE ş i BMCF ş i t riunghiul haşurat.

Fiecare din aceste paralelograme conţine cite 4 triunghiuri din cele 1 6. Latu rile triunghiului dat ABC fiind diagonale la aceste paralelograme imparl suprafeţele lor in c ite două părţi egale. Prin urmare in interiorul triunghiulu i ABC răm îne triunghiul haşurat împreună cu j umătate d in suprafeţele celor 3 paralelograme.

Deci, insemnind cu S suprafaţa triunghiului ABC şi cu s suprafaţa unuia din cele 16 triunghiuri egale, vom avea:

S= ( 1 +3 · : )s; S = 7 s, de unde s= � •

57. Lungimea AMCNDPB= � (AC +CD + DB)= � AB, deci lungimea 2 2

conturului este 2 � · AB= 6r.; iar aria este: 2

9r. + 1t + 2,25r. 71: - 3 - - --- - = :> - r.. 2 8 2 2 8

58. Din B ca centru, cu raza BC, descriem un arc de cerc CM. Luăm punctul O (mij locul segmentului AM) şi cu raza OA descriem un semicerc, care este intil nit de prelungirea laturii BC in punctul E. BE este latura pătratului căutat. Intr-adevăr, in triunghiul dreptunghic AEM, înălţimea EB este medie proporţională intre segmentele determinate pe ipotenuză, iar acestea s int tocmai laturile drept unghiului dat . Deci: EB2= AB · BC.

59. Arcele AE şi EF sint racordate deoarece centrele celor două cercuri

Fig. 61.

cărora le aparţin arcele se află pe dreapta care trece prin punctul de racordare şi este perpendi­culară pe tangenta comună acestor arce (AEC= = CEF; AEM= FEN).

In cazul cind AC= DB= CD, arcele nu se mai racordează, deoarece AEC= CEF.

80. Fie R raza sferei, r= VR�-9, raza cilin­drului, iar h= R - 3 înălţimea calotelor sferice de la fiecare capăt al cilindrului. Pentru a determina ce răm îne după îndepărtarea cilindrulu i şi a ca-lotelor, scădem din volumul sferei: � , 3

h(3r' + h") V · cil= 6r.(R2- 9) +2V . c . sf=r. ! 6

Efectu înd acest calcul toţi termenii dispar (se reduc) cu excepţia lui 36r., care este tocmai volumul a ceea ce răm îne din sferă exprimat in ţoli cubi . Cu alte cuvinte, restul este constant, indiferent de diametru} găurii sau de 1 60

Page 161: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

m ărimea sfere i, intrucit din relaţia r= V R' -( � r rezultă: c ind r creşte 1 descreşte şi invers.

6 1. Se observă că centrele a trei cercuri egale şi tangente două c i te două s int v irfurile unui triunghi echilateral . Rezultă că arcul MN = = 60°, deci vor fi 6 cercuri tangente cu O şi intre ele.

62. a) Un cerc concentric cu cercul dat, de raza R +r, ce se con­tinuă cu o dreaptă tangentă la cer­cul generat şi paralelă cu tangenta pe care se rostogoleşte cercul 01 '

b) Punctul M descrie epicic­loida compusă din arcele MM1, M1M2, M2M3, ce se continuă cu cicloida compusă din arcele M3M4, l\14M5 etc.

Cicloi da este curba descrisă de un punct al periferiei unui cerc, care se rostogoleşte fără alunecare Fig. 62.

pe o dreaptă fixă. Dacă baza de rostogolire e un cerc, curba descrisă de un punct al cerculu i

mobil se numeşte epicicloi dă, c ind rostogolirea are loc in exterior şi i pocicloi dă, c ind rostogolirea are loc in interior.

Fig. 63.

r M5

63. Fie H ' şi G ' simetricele lui H şi G, respectiv faţă de şoseaua cea ma i apropiată de fiecare din ele.

Dreapta H 'G ' taie şoselele in punctele A şi B căutate (A se află pe şoseaua cea mai apropiată de H) .

Vom arăta că : HA +AB +BG= H'G'. Intr-adevăr: HA= AH'; AB= = segment comun, iar BG= BG' . Dar segmentul H 'G ' reprezintă drumul cel

1 6 1

Page 162: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

mai scurt dintre două puncte, deci şi suma distanţelor HA +AB +BG este minimă; rezultă că orice altă aşezare a punctelor A şi B duce la o lungime mai mare decit HG .

H '

A

Fig. 65.

64. Din datele problemei rezultă egalitatea segmentelor: MA= = AA' = AB' = BB' (OA, perpendiculară pe coardă, imparte coarda in două părţ i egale).

Raz a OA întîlneşte cercul mare in punctul C pe care-I unim cu A şi 1\f. Prin ipoteză OA= AC= r.

Patrulaterul OMCA, av ind diagonalele perpendiculare şi tăiate în părţi egale, este romb; CA= CM= OA= OM.

Rezultii: arc AC= 60°, arc MCA= l20° . La fel: arc AB= l 20°; deci arc BM= l20° . Triunghiul MAB este echi la­

teral. Perpendiculara din A pe MB trece prin centrul O şi aj unge în mij l ocul D

al lui Bl\1 şi mij locul E al cercului BM.

1 62

Arc 1\fE= arc EB= 60°; l\IE= EB= R . Patrulaterul MEBO este romb.

Deci OD= DE; OD= r. Rezultă că MB este perpendiculară in punctul D pe raza OD, deci tangenta dusă din B la cercul mic trece prin M.

65. Punctul M se va afla pe arcul de cerc descris pe AB, capabil de un unghi de 60° şi pe arcul de cerc des­cris pe BC, capabil de un unghi de 80°, deci la intersecţia acestor două arce de cerc.

66. a):Notăm cu S1, S2, • • • ariile Fig. 66. fişiilor.

u• · 2n 1ta1 - - - --

8n1 4n

Page 163: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

-a• -a• -a• = -··- (n2- 2n +1 - n2 +4n-4 +4 - 1 ) = _ .. _ · 2n= -' "- ·

8n' 8n' 4n

Rezultă: S1= S2= S3= . . . = Sn b) Notăm cu P1, P2, • • • Pn

perimetrele fişiilor S1, S2, • • • Sn. P1= - + - a- - + 7t& '7t ( a )

2 2 n

+7t · � (n +n- 1 +1 )=7ta. 2n

7ta ' -::a + - (n-2)= - (n- 1 + 1 + 2 + 2n 2n

+ n- 2)=7ta; deci P1=P2=Pa= . . . =Pn

Fig. 67.

a

67. Unghiurile u şi v au AEJ_DE. Dacă şi AF j_BE, ele trebuie să fie egale . Problema se reduce la demonstrarea U = \· ,

DE

În triunghiul AEF (dr), tg u= EF ..,. 2 = _1_ .

AE DE · tg C 2 tg C

În triunghiul BDE,

= DC = � -

BD DE -- = -- ; sin V sin B 1

sin C

Înlocuind rezultă: sin v= sin 81

sin C ( 1 )

Î t . h' 1 ECB BC 2CD n rmng m , -- = ----

sin B1 sin (90" + v)

= DE ctg C.

BD=

EC =

Înlocuind in relaţia precedentă, rezultă: sin B1 =

A

cos c cos \' . • ( 1 ) = care mtrodus m conduce la 2 Fig. 68.

. • cos C cos V cos C 1 rez ultatul sm \ = , tg V =- = � , de unde t ragem co n-2 sin C 2 sin C 2 tg C

cluzia U = \' şi BE .i AF. 68. Fie ABCDE pentagonul; ABF, BCG, CDH, DEI, EAK cele c inc i

triunghiuri; L, M, N, P, Q punctele de intilnire ale cercurilor circumscrise 163

Page 164: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

t riunghiurilor de mai sus. Cercurile circumscrise triunghiurilor ABF, BCG, FC I din patrulaterul complet ABC IGF trec prin punctul lui 1\Iiquel, L. De asemenea, cercurile circumscrise triunghiurilor CDH, ED I, FC I din patrula­t erul complet CDEFIH trec prin punctul N . Deci cercul circumscris triunghiu­lui FC I trece prin L şi N.

Cercurile ABF, FC I şi LN Q au un punct comun L. Dreapta FA I trec ind pr in punctul de intersecţie F al primelor două cercuri, rezultă că dacă unim punctele A şi 1 cu intersecţiile Q şi N ale acestor două cercuri cu al treilea, dreptele QA şi IN prelungite se intilnesc intr-un punct R al cercului LN Q.

Dacă s e consideră acum punctele Q, N , E situate pe latu rile triunghiulu i AR I, cercurile QRN,NE I, QEA trec prin acelaşi punct care este P, cercu rile NE I, QEA fiind identice cu cercurile DE I, AEK.

Deci punctele Q, L, P, N s înt conciclice. Analog se arată că şi l\1 aparţine cercului pe care se găsesc cele pat ru

puncte de mai sus.

H

V

Fig. 69. Fig. 70.

89. Suprafaţa de păm înt văzută este calota sferică de înălţime O' A. a că re i arie este: 27tR · O' A. Pentru a determina pe O' A, aflăm mai intii pe 00', aplicind teorema catetei în triunghiul dreptunghic OBV:

-OB2= 0V· OO '; 00 '= 1·� . de unde OA '= R - � . O'A= � . 1 R +h ' R + h

' R + b '

21'tR•h aria văzută= - •

R + h

1 64

Page 165: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

70.

2-4 ?re l2'.!t. - - _...,._

-- -

o k - - oe ps- ' >j<- -: - calare -... , I A !._ _ _ _ _ _ _ L _ 1. 0 k_!! _ _ _ _ _ _ _ _ --i _ - - , ' 1 1<' "" c ă Icre , !<:: ..... calare _.. "1' , calare :>

- u;,-; -- - - - _ _ - - - F ::- pe}os - -,.,..--"? 2 2"jore -... - - -

Fig. 7 1 .

Rem ltli: - viteza călare este dublul vitezei pe j os; distanţa de 40 km poate fi străbătută pe j os în 8 bre; viteza pe j os este 40 : 8= 5 kmjoră; viteza călare este 5 • 2= 10 kmjoră .

7 1. Volumul sectorului sferic V oBAB' = RS unde S (suprafaţa calote i 3

sferice) = 2nRi, iar i= AC= R- R cos at= R(l - cos at)= 2R · sin2 2oc ; deci: 2 oc R • 27tR - 2R sin" -

V 2 47tR1 • • oc OBAB' == ------- == -- · sm--

3 3 2 1 Pentru ca V oBAB• == 4 V sferă, trebuie să avem :

B

• 2 oc 1 Sin - - - · 2 4 '

l'-----"" ... 8 ' o

Fig. 72.

d d . :It 1 e un e sm - == - ;

2 2 72. Fie unghiul drept în A, iar O, G, D

puncte ale arcelor BC, CA, AB astfel alese ca MN, HL, EF fiind tangentele in aceste puncte să a\·em:

OM= ON, GH= GL, DE= DF. In triunghiul dreptunghic AEF, AD este mediană . Deci AD= DE = DF şi �DAF=�DFA.

-Dar 2 măs.�DAF= măs. DB; iar 2 măs.�DFA= măs. (arc AD- arc DB) şi arc AD= � arc ADB

3

Analog arătăm că arc AG=� • Deci arc AD +arc AG= arc DAG= �arc BAC= 3 3

= 1 20°. 165

Page 166: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

De asemenea triunghiul dreptunghic MAN ne dă �MAO =�AMO. Deci 2 arc BO= arc ACO şi cum 2 arc BD= arc AD, arc OBD- arc BO + +arc BD = 1 20°.

Fig. 73.

N

73. Se consideră un cerc (r) concentric cu cercul inscris, care intersec­tează laturile ce pleacă din virfurile A, B, C, respectiv in perechile de puncte (A1 , A2) , (B1, B2), (C1, C2) şi fie (Oa ), (Ob ), (Oc ) cercurile tangente la laturile lui ABC in perechile de puncte (A1, A2), (B1, B2), (C 1, C2) . Avem A1B2= A2C1

A

Fig. 74.

ca coarde egal depărtate de centru şi AA1 = AA2• Rezultă că AB2 = AC1 ş i deci A aparţine axei radicale a cercului (Ob ) şi (Oc ) . De asemenea D aparţ ine acestei axe căci DB1= DC2• Dreptele AD, BE, CF concură in centrul radical al cercurilor (Oa ), (Ob ), (O� ) .

O rezolvare mai scurtă se obţine prin teorema lu i Ceva. 166

Page 167: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

3. Probleme criptaritmetice

1. Cifra 2 a zecilor de la înmulţitor înmulţită cu cifra unităţilor de la deinmulţit trebuie să ne dea un număr terminat in cifra 2. Observăm c ă d in cifrele existente numai cifrele 1 şi 6 înmulţite cu cifra 2 ne dau numere terminate cu cifra 2.

Pe care din cifrele 1 şi 6 o vom pune la locul cifrei unităţilor de la de in­mulţit? Observăm mai departe că rezultatul înmulţirii dintre cifra zecilor 2 de la înmulţitor şi cifra zecilor de la deinmulţit este un număr terminat cu cifră fără soţ, ceea ce dovedeşte clar, că in el se includ şi zecile provenite din adunarea unităţilor de ordinul 1 .

Deci, in locul cifrei unităţilor de la de inmulţit punem cifra 6. Se constată că dintre rezultatele produselor dintre cifra 2 şi celelalte

c ifre existente adunate fiecare cu 1 , convine doar 2 · 5 +1 = 1 1 . Deci, i n locul cifrei zecilor de la de inmulţit punem cifra 5.

I n continuare, observăm că cifra unităţilor 6 de la înmulţitor trebuie­să ne dea un număr terminat cu cifra 8. Din cifrele existente numai cifrele 3 şi 8 înmulţite cu cifra 6 ne dă numere terminate cu cifra 8. Făcînd incercarea aYem 8 · 6=48 şi 8 • 5 +4= 44 .

Deci conYine cifra 8 . Deducem că cifra sutelor de la înmulţitor este 3, căci numai ea este

singura dintre toate celelalte cifre existente care poate crea prin înmulţire cu deinmulţitul un număr în care cifra sutelor să fie cifra 3. Inlo cuind pe .t:

cu cifrele astfel determinate, rezultă înmulţirea:

456 328

3648 9 1 2

1 368 149568

1 6 7

Page 168: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

2. Pentru ident ificarea fiecărei cifre vom insemna coloanele înmulţiri i tu literele A-F, iar rindurile cu 1- VI, aşa cum se vede mai j os :

A B C D E F 3 * * 1 * 3 * I I

* * 9 * I I I * 4 5 IV

* * 6 * V * * * * * o V I

i a r fiecare cifră o vom scrie numai cu un indicativ care s ă arate coloana ş i rindul in care s e află . De exemplu, cifra 3 a inmulţitorului va avea indica­t ivul E I I .

Cifra F V I a rezultatul ui fiind O , urmează că F I I I trebuie să fie tot zero . E IV fiind 5 şi provenind dintr-o înmulţire a unei cifre cu 3, rezultil că F 1 este 5. Cum 3 x 5= 1 5 şi cum după ce am scris pe 5 la F IV urmează să adunăm

pe 1 la înmulţ irea lu i 3 de la E II cu cifra E 1 pentru a obţine pe 4, urmează că E, este 1 .

Este uşor acum de precizat c ă cifra de la F I I este 6, căci din cele patru c ifre cu soţ (2, 4 , 6, 8) care înmulţite cu 5 ne dau un număr terminat cu O, numai 6 x5 ne dă, pentru primele două cifre ale rindului I I I, pe 90.

Mai răm îne de aflat D I I . Această cifră înmulţită cu 1 5 trebuie să ne dea un număr care să aibă ca cifră a zecilor pe 6. Această cifră nu poate fi decit 4 .

Rezultă: de inmulţit 3 1 5; înmulţitor 436 şi uşor s e poate reconstitu i înmulţirea.

3. R. 4 1 5 x382= 1 58 530

4. Analiz ind succesiu nea operaţiilor, observăm că la ultima scădere s-au coborit deodată două cifre de la deimpărţit. Aceasta dovedeşte că pen­ultima cifră a citului este un O.

Produsul parţial prin 7 are trei cifre; el se scade dintr-un număr de t re i cifre şi dă un rest de trei cifre. Produsul următor parţial are tot t rei cifre, s e scade dintr-un număr de patru cifre ş i dă un rest de două cifre; deci ares t produs parţial este ma i mare decit cel care corespunde lui 7 .

Deci, după 7 la c it vine 8 sau 9. Cum însă primul şi ultimul produs parţial au c ite patru cifre, reiese că acestea se datoresc cifrei 9 şi rămîne ca după 7 să vină un 8 . Cu modul acesta c itul este neap_ărat 97 809.

Produsul parţial prin 8 avind numai trei cifre, împărţitorul este inferio r lu i 1 000/8= 1 25 .

Cum împărţitorul are trei cifre, se vede că prima cifră a lui este 1 . Cum şi 1 25 x9= 1 1 25<2 000, rezultă că produsele parţiale prin 9 i ncep

cu 1 . 168

Page 169: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Introducind valorile găsite p înă aici în schema de calcul dată obţinem : * * * * * * * * 1 * * 1 * * *

* * * * * *

* * * * * * *

1 * * * 1 * * *

97809

Produsul parţial prin 8 se scade din cel puţin 1 000 şi dă cel mult restul 1 9. Prin urmare acel produs parţial este cel puţin 1 000- 1 9= 981 . Deci împărţi­torul este cel puţin 981 /8= 1 22,6. Fiind întreg este cel puţin 1 23 .

Am arătat însă că împărţitorul este sub 1 25, deci nu ar putea f i dec i t 1 23 sau 1 24 .

Produsele parţiale prin 9 ar putea f i numai 1 23 X9= 1 1 07 sau 1 24 X9= = 1 1 1 6. Cifra sutelor lu i este deci neapărat 1 .

Restul pe care-I dă produsul parţial prin 8 este deci 1 1 şi prin urmare acel produs este cel puţin 1 000- 1 1 = 989.

Împărţitorul este deci cel puţin 989/8= 1 23,6. Conchidem de aici că împărţitorul este 1 24 şi că deci deimpărţitul este

1 24 x97 809= 12 1 28 3 1 6. O verificare este necesară, intrucit nu am u t i liz a t toată schema dată .

Efectuăm calculul: 12 1 283 1 6 1 24 1 1 1 6

968 868 1 003 992 1 1 1 6 1 1 1 6

El corespunde schemei date. ă. R. 52650 : 325= 1 62 6. R. 1 337 1 74 : 943= 14 18;

1 343784 : 949= 14 16; 1 200474 : 846= 14 1 9; 1 202464 : 848= 14 18 .

97809

7. Cind am înmulţit împărţitorul cu prima cifră a citului ne-a dat un număr cu 4 cifre (4 steluţe); cînd l-am înmulţit cu 8 ne-a dat un număr de 3 cifre, deci mai mic.

1 6 9

Page 170: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Rezultă că prima cifră a c itului este 9. La fel ultima. C itul este 989. Să găsim împărţitorul.

C ind am înmulţit împărţitorul cu 8, ne-a dat un număr de 3 cifre care scăzut dintr-un număr de 3 cifre dă rest tot un număr de 3 cifre; acest număr este mai mic ca 900 (căci 999- 900= 99; nu ne dă restul cu 3 cifre); 900 : 8 = 1 1 2.

Dacă împărţitorul ar fi mai mic ca 1 1 2, înmulţit cu 9 nu ne-ar da 4 c ifre . 1 1 1 X 9=999. Deci împărţitorul nu poate fi decit 1 1 2.

Înmulţind 1 1 2 cu 989 găsim de impărţitul. Apoi facem impărţirea ca să vedem dacă cifrele se Yor aşeza cum arată

stel uţele . 8. a) Să analiz ăm mai intii produsul numărului ABC cu A (rindul 4 ) .

Ultima cifră a acestui produs este A; prin urmare ea nu este 1 , deoarece in caz contrar şi C ar f i 1 ; or , potrivit condiţiei, unor litere diferite le corespund cifre diferite .

Totodată obserYăm că A nu este mai mare decit 3, deoarece in caz contrar produsul analizat ar avea mai mult de trei cifre, iar schema ne arată că el are trei cifre . Aşadar, A poate să fie numai 2 sau 3.

Să presupunem că A= 3. Ce valoare trebuie să aibă C pentru ca produsul lui 3 cu C să se termine cu cifra 3? Singura cifră care satisface condiţia este C = 1 (3 • 1 = 3) .

Dar C nu poate fi 1 , deoarece produsul numărului ABC cu C este un număr de patru cifre (rindul 3). Prin urmare, A nu este 3. Atunci, A=2. Să căutăm din nou o valoare a lui C, care înmulţită cu 2 să dea un produs terminat cu cifra 2. Singura valoare posibilă pentru C este 6.

Să analizăm acum produsul numărului 2 B 6 (rindul 5). Ultima cifră a acestui produs este egală cu B, ea este obţinută prin înmulţirea lui B cu 6 . Trei s int valorile posibile pentru B: 4, 6 şi 8; dar 246 x4= 984, număr cu tre i c ifre . Valoarea 6 nu corespunde, deoarece C = 6. Prin urmare, B=8 .

Aşadar, ABC= 286, iar BAC= 826. b) 1 . Deoarece din înmulţirea unui număr de trei cifre cu 2 se obţine

.un număr cu 4 cifre (rindul 4), iar in rindurile 3 şi 5 s int numere cu trei cifre, înseamnă că am îndouă numerele de la capetele r indului al doilea trebuie să f ie mai mici decit 2, adică s int egale cu 1 .

Aşadar înmulţitorul este 1 2 1 . I I . Deoarece rindul al cincilea este obţinut prin înmulţirea de inmulţi­

tului cu 1 , cifra 8 aflată in rindul al cincilea arată că a doua cifră a deinmulţi­t ului (primul rind) este egală cu 8 şi, pri n urmare, a doua cifră din rindul al treilea este tot 8 (rindul al treilea se obţine prin înmulţirea primului r ind cu 1 ) . Aşadar, avem:

* 8 * X 1 2 1 * 8 *

* * * * * 8 *

* * 9 * 2 * I I I . Prima cifră din primul rind este mai mare decit 4, căci altfel rindul

al patrulea nu ar putea fi un număr cu 4 cifre . Dar chiar dacă prima cifră 1 70

Page 171: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

din primul rind ar fi 9, prima cifră din rindul patru tot nu va putea fi mai mare decit 1 .

De asemenea, este evident că ultima cifră din rindul al patrulea este 4 (suma trebuie să se termine cu cifra 2; vez i r indul al şaselea) .

IV. Acum este clar că prima cifră din rindul al şaselea poate fi numai t , i ar prima cifră din rindul al cincilea (prin urmare şi din rindurile al treilea şi primul), 8 sau 9, căci altfel rindul al şaselea nu va fi un număr cu 6 cifre .

* 8 * X 1 2 1 * 8 *

1 * * 4 * 8 *

* * 9 * 2 * V. Deoarece ultima cifră din rindul al patrulea este 4, atunci ultima

cifră din rindul al treilea, al cincilea şi primul este 2 sau 7 . V I. A treia cifră d in rindul a l patrulea este sau 6 sau 7, deoarece este

ultima cifră a produsului 2 x8, mărit cel m uit cu 1 . A doua cifră din rindul al patrulea este sau 7 sau 9, depinz înd de faptul

dacă prima cifră din primul rind este 8 sau 9. Dacă a doua cifră din rindul al patrulea ar f i 7, atunci coloana in care se găseşte (7 +8) ar trebui completată cu numărul 4, pentru a asigura acestei coloane cifra 9 indicată la rezultat. dar suma celor trei numere din coloana a treia (chiar dacă toate trei ar fi 9) nu poate da mai mult de două unităţi din ordinul următor (cea mai mare valoare posibilă este 28).

Prin urmare, a doua cifră din rindul al patrulea este 9. V I I. Din punctele VI şi IV, rezultă că prima cifră din primul r ind

(prin urmare şi din rindurile al treilea şi al cincilea) nu poate f i decit cifra 9: 9 8 * X t 2 1 9 8 *

1 9 * 4 98 *

* * 9 * 2 * V I I I. Deoarece ultima cifră necunoscută a de inmulţitului determină

toate celelalte cifre ale produsului, rezultă că a treia cifră din primul rind nu este 2, ci 7 (vezi pct . V).

Dacă ultima cifră din primul rind ar f i 2, ea nu ar da, ca a treia cifră din rindul al şaselea, cifra 9.

In felu l acesta, am izbutit să reconstituim toate cifrele ascunse. Rezul­tatul căutat este:

987 x 1 21 = 1 1 9427 . c) Raţionind analog ca la punctul a, găsim :

3 1 25 : 25= 1 25. d) ATOl\1= 9376. e) 73754284 1 3 : 1 25473= 5878 1 .

1 7 1

Page 172: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

4. Un concurs antrenant

1 - D; 2 - A; 3 - D; 4 - E; 5-E; 6- B; 7 - A; 8 - C; 9-D; 10-C; 1 1 - B; 1 2- E; 1 3 - B; 1 4- A; 1 5- C; 1 6 - C; 1 7 - B; 1 8 - A; 1 9 - C; 20- D; 2 1 - E; 22- D; 23- C; 24- B; 25- A; 26- A; 27- C; 28- D; 29- C; 30- C; 3 1 -D; 32-E; 33- A; 34 - B; 35- B; 36- C; 37- D; 38-E; 39- D; 40- D. 1

N O T Ă : Stabilirea răspunsului corect nu se poate face la intimplare, ci urmărind procesul viu al gindirii matematice. Faptul că intr-un timp scurt se cer soluţii la un volum mare de probleme impune ca rezolvarea să fie doar schiţată pentru a intui şi alege critic soluţia convenabilă.

Evident, aceasta implică rutină in rezolvarea problemelor de acest gen, u nul din cele patru rezultate indicate av ind rolul de element de control . În plus, scuteşte pe cel ce lucrează de a prezenta o rezolvare scrisă, cu j ustifi­carea respectivă.

Astfel de concursuri au un scop limitat (rapiditate, prin calcule strict necesare şi discernăm înt). Ele nu pot inlocui metodele cl asice de pregăti re , ci constituie doar un criteriu original de verificare a cunoştinţelor m atematice.

1 1-D = problema 1 , soluţia D (bună).

172

Page 173: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

5. Paradoxuri matematice

1. Dacă pătratele a 2 cantităţi s int egale, nu reiese sigur că şi aceste cantităţi sint egale. Deci c ind extragem rădăcina pătrată in expresia (2) , trebuie să ţinem seama de semnele termenilor.

2. Vezi problema 1 . 3. Din punct de vedere "formal" rezolvarea pare corectă. Rezultatul paradoxal la care s-a aj uns se datoreşte faptului că s-a făcut

împărţirea egalităţii cu a-b fără să se ţină seama că a-b=O. 4. Nu s-a ţinut seama că la extragerea rădăcinii pătrate in faţa expresiei

t rebuie să considerăm ± şi că se iau acele semne care fac posibilă egalitatea :

±( 4 - : )= ± ( 5 - : )

+(4 - : )= - ( 5- : ) 4 +5= � + .!. - 9.

2 2

8. Greşeala constă in aceea că, făc înd simplificarea cu lg1c( � ) , noi nu am schimbat sensul inegal ităţii (> in<), aşa cum se impunea cind impărţeam cu un număr negativ ( lg � <0) ·

1 0. S-a obţinut un rezultat paradoxal, deoarece la simplificarea prin A B2- BD x BC, nu s-a ţinut seama că acest factor este egal cu zero, după -cum rezultă scriind că laturile triunghiurilor asemenea ABC şi ABD sint proporţionale, deci:

� - � sau AB2- BD · BC=O. B D A B

ln felul acesta, expresia (2) devine: BD XO= BC xO,

care este satisfăcută pentru orice valoare ar avea BD sau BC. 1 73

Page 174: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 1. Patrulaterul ANCl\1 av ind două laturi egale şi paralele este un paralelogram . Segmentul l\ID fiind construit egal cu AB, rezultă că BD este paralel cu :\IA şi cu CN. Din această cauză triunghiurile AMC şi ODC s int ...

· d · t · ţ• l "t t d" t 1 t "1 1 A:\l a + b asemenea ŞI ec1 pu em scr1e propor IOna 1 a ea m re a un e or: -- = - · z +y a

I n mod analog, triunghiurile Al\fN şi BEN sint şi ele asemenea. Din asemănarea lor rezultă:

A�l a + b -- = -- · x+ y a

Comparind ultimele egalităţi, putem scrie: A:\1 AJ\1

-- - -- ; z+y x + y � ....

z + y - 1 · x=z . Al\1 x +y - '

A . ţ • bţ " t � t . x- z b d . b O d" � tunel propor 1a o mu a an enor -- =- - evme - = - • a 1ca o

z- x a a O ne detl.'rminare şi nu valoarea negativă a unităţii cum am obţinut noi.

Dacă am fi înlăturat nedeterminarea, nu am fi aj uns la un rezul tat paradoxal .

1 3. Raţionamentul folosit ar fi bun dacă n-am fi comis o eroare funda­mentală in privinţa l imitei. Se ştie că limita unei sume nu este egală cu suma l imitelor atunci cind numărul termenilor adunaţi este infinit. Deci, la limită� suma c ircumferinţelor nu poate coincide cu diametru! AB şi r.D =F D.

Page 175: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

6. Probleme recreative

l. In teleptul A a raţionat astfel: "Fi ecare di n noi poate crede că fruntea lui este curată .

B este convi ns că fruntea lui este curată şi ride de fruntea mtnji tă a în ţe­leptului C. Dar dacă B ar fi văzut că fa ţa mea este curată, 1-ar fi mirat risul lui C, deoarece, in acest caz, C nu ar fi avut moti v să rîdă. Dar B nu este mi rat, deci el poate crede că C ride de mine Aşadar, fruntea mea este murdară" .

2. � + 1 = 5 zile. 2

3. Avem succesiv: 9 +5= 14 ; 14 : 2 =7 ; 14+ 7 = 2 1 ; 21 +1 = 22; 22 · · 2=44; 44 +4 =48; 48 : 2=24; 48 +24 = 72.

4. Ultimul băiat a dansat cu un număr de fete mai mare cu 4 decit � 1 b � · " 1 D . � 1 b � · ţ " l 20 - 4 8 � 1 f 1 8 numaru a1eţ1 or. ec1 numaru a1e 1 or : - = ; numaru ete or: +

2 +4= 1 2.

Soluţia algebrică. Fie x, numărul băieţilor: 20- x, numărul fetelor. Stabilim şi rezolvăm ecuaţia: x +4= 20- x .

:i. Trei minute, deoarece fiecare pisică omoară un şobolan in 3 minute . 6. Umplu vasul de 5 1, torn in cel

de 3 1 p înă se umple; restul de 2 1 i l torn 2 + 2 1 î n vasul mare.

Golesc vasul de 3 1 in cel de 5 1, il umplu apoi pe acesta şi repet opera­ţia.

7. R. 2 lei

- - - - - - -

fJ��� ffJ S I 3 1

9. Călătorul a r putea pune urmă- Fig. 75. toarea intrebare:

"Mi nt eu dacă spun că A se află ln di recţia . . . ?"

Mincinosul va răspunde : - "minţi" , deci direcţia e bună; Cel care spune adevărul va răspunde: - "nu minţi", deci direcţia e

bună; similar, pentru cazul contrar. 1 75

Page 176: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Dar cum va deosebi el care dintre ei este mincinos şi care spune adevărul? Aci apare cercul vicios (vez i problemele 1 şi 2, pag. 80) .

1 0. Singura sah·are a acuzatului este să pună in dilemă pe j udecător. El ar putea spune: - "Declar că nu voi fi condamnat la moarte" . Dar ş i aci apare cercul vicios (vezi problema 41 pag. 95).

1 1 . R. 1 3 grup uri 1 2. Fie A prinţul, B, C şi D cei 3 oşteni. B ştie că are b ilă neagră ca ş i

vecinii să i , A şi C, deci ce l d in faţă poate să aibă una din cele 3 culori; posi­bilitatea de a spune două culori adevărate este prea m ică, deci spune "nu ştiu" ca să scape cu viaţă. Făcînd acelaşi raţionament, C şi D spun: "nu ştiu" .

Feciorul de împărat îşi dă seama de această situaţie (din răspunsurile lor) şi spune: negru, c iştigind astfel dreptul de a lua de soţie pe fiica lu i R6şu Împărat.

1 3. Dacă notăm cu x v irsta căutată, in urma efectuării operaţiilor ceru te vom obţine 1 0x- 9k, unde k este un număr monodrom (de o singură cifră) oarecare.

Transformăm diferenţa obţinu tă:

1 0x- 9k= 1 0x- 1 0k +k= 10(x- k) +k.

Dacă persoana are mai mult de 9 ani, x- k este un număr poz i t iv . In r. c est caz, numărul l O(x- k) +k are k unităţi ş i dacă vom elimina k unităţi , a t unei cifrele rămase îşi vor modifica ordinul, adică zecile vor deveni unităţ i , sute - zeci etc . ; in concluzie, numărul se va m icşora de 1 0 ori şi , -a fi egal cu x - k.

Adunind la acest număr cifra k pe care am eliminat-o, vom obţ ine v îrst a căutată, x.

H. Al doilea băiat primeşte a treia parte din sumă în fiecare caz .

Primul primeşte � in loc de '!.. • deci un plus de .!.. din sumă. Al treilea 1 5 1 8 90

va lua deci mai pu ţ in. Deci � din suma depusă reprezintă 1 2 lei. Intreaga 90

sum ă depusă este 1 080 le i . Pe carnetul de CEC al fiecărui băiat s-au înscris, respectiv, sumele:

4 32, 360 şi 288 lei . 1 5. Primul ministru a distrus h îrtia pe care o scosese şi a lăsat pe j ude­

cător să dea sentinţa după h îrtia rămasă pe care era scris "pleacă" ; deci a considerat că pe h îrtia distrusă scria "răm fi" , - şi primul ministru a rămas. 1 76

Page 177: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 6. Tînărul a parc urs în total o distanţă de 2x, iar doctoru l - de patru ori mai puţin, adică � • Pînă la inti lnire, doctorul a făcu t j umătate din dru-

2 mul parcu rs de el, adică � ' iar t înărul - restul de drum, adică 3x .

4 4

D t 1 t d d • x . t• • l • 3x oc oru a parcurs par ea sa e rum m - ore, Iar maru - m - ore; 1 2 16

mai ştim că tînărul p ornise la drum cu un sfert de oră înaintea doc toru lu i, obţ i nem ecu aţia:

3x x 1 - · x= 2,4 km 16 - 1 2 - 4 .

1 7. Suma totală la începutul j ocului a fost aceeaşi ca şi l a terminarea lui , adică 7 · 1 2,8= 89,60 lei.

La început, j ucătorul care a pierdut primul poseda x lei. După prima parti dă, i-au rămas:

x- (7 · 1 2,8- x)= 2x- 7 · 1 2,8 . După a doua parti dă banii lui s-au dublat :

2(2x- 7 · 1 2,8) . După a treia partidă avea:

22(2x- 7 · 1 2,8) lei . După a şaptea p a rt i d ă ( la terminarea j ocu lu i) avea:

28 (2x- 7 · 1 2,8)= 1 2,8 . Rezolv înd această ecuaţie, găsim : x= 44 ,90 Iei . Fie y banii pe care-i ana la începutul j o cului j ucătorul al doilea; după

prim a partid ă, el arc 2y . După a doua partidă, pierz înd, plă teşte 7 · 1 2,8 - 2y Iei şi-i răm îne

2y- (7 · 1 2,8-2y)=4y-7 · 1 2,8 lei . După a treia partidă avea: 2(4y - 7 · 1 2,8). După a şaptea: 2 6(4y - 7 · 1 2,8) . Obţinem ecuaţia: 26(4y- 7 · 1 2,8)= 1 2,80, de unde y = 22,50 Iei. Analog se determ ină şi celelalte sume: 1 8. Fie x suma de bani .

J . d t x +l x + 2 • x + 2 x - 2 • 1 : pier u 2 = -

2- ; ramas: x - -2- = -

2- ;

Jz : ..

.J 3 : ..

x - 2 + 2 =

x + 6 . 2 4

'

x - 1 0 + 3 _ x + 1 4 . -8- - s- ·

R. = x- 34 =O· 8 • x= 31 lei.

..

x - 2 x + 6 x - 1 0 _2

_ _ _

4 _ _ _ 4- ;

x - 1 0 x + 1 4 x - 34 -- - -- - -- ·

4 8 8 .

1 77

Page 178: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 9. W F S U X y Z U

X y Z U x +y +z +u 1 8

xyzu= n Sistemul este multiplu nedeterminat; se impun, deci, următoarele

ipoteze: - numărul copiilor= 17 (altfel nu s-ar mai fi pus problema constituirii

a 2 echipe, a c i te 9 copii; iar numărul lor nu aj unge) . - numărul ca sei n-ar trebui să depăşească 200 intr-o primă ipoteză,

sau 1 00, de exempl u (ţinînd seama de loc şi de de timp). ln t r-o primă variantă rezultă:

numărul copiilor era de 7, respectiv 5, 4 şi 1 ; numărul casei era 140. De studiat ş i alte variante.

20. Locul este dat de inter-N ' O N secţia mediatoarei segmentului

----......:,.=, �--------AIJ cu MN. Dacă AB este per-

' pendicular pe MN, problema ad-\ mite o soluţie numai dacă A şi B ' ...,.8 sint simetrice faţă de MN.

� ..,. .... ."., 21. Se extrage o bilă din

....- .... C cutia etichetată N A. Dacă bila �.... extrasă este neagră, cealaltă, ră­

masă in cutie, va fi tot neagră căci, altminteri, eticheta ar fi corectă.

Fig. 76.

Cut ia etichetată AA nu poate conţine două bile albe, dar nici două bile negre, deci conţine una albă ş i alta neagră etc.

22. Se iau segmentele egale AB şi A 'B ' (fig. 77); apoi pe prima BC = = CD = 1 cm şi pe a doua B 'C '= C'D '= D'E'= l cm .

Se imparte AD în trei părţi egale prin punctele l\1 şi N, iar A'N' i n două părţi egale prin punctul M ' . Dacă A ' vine in dreptul lui A atunci rezul­tatul exact AM şi cel greşit A'M' fiind acelaşi, reiese că AM- A'M', ş i pri n urmare că l\f; N; D; C şi B sint respectiv in dreptul lui M' ; N '; D' ; C ' ; B '.

A N o c Deci AB= 5 cm. Numărul căutat este aşa-

p dar 5. 23.

N · 2 + 30 - N = 1 5.

2

21. 0,5 1 A' M ' N ' O ' C R ... t= - == - ore; . 4 - 3 2

Fig. 77. S= v . t= 10 · L= 5 km. 2

25. Numărul merelor trebuie să fie M2 • Din aceşti multipli vom exclude pe aceia care se divid cu 2, 3, 4, 5 şi 6 şi dau cu acestea un rest egal cu 1 .

1 78

7 X 7 = 49 7 X l l = 77

7 x t 9= 1 33 7 x23= 1 63

7 x 33=231 7 x37= 259

Page 179: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

7 x 1 3= 91 7 x.1 7= 1 1 9

7 X29= 203 7 x31 = 21 7

7 X4 1 = 287 7 x43= 301 .

Răsp uns: 301 (este M7 şi împărţit succesiv cu 2, 3, 4, 5 şi 6 dă rest 1 ) . Altă soluţie (Eugen Rusu) : n- 1 = m . c . a l numerelor 3 , 4 , 5= 60k

n= 60k +1 = 7h, k= 5 +7i. Cea mai mică soluţi e este 301 ; u rmează 721 , . . . ( vezi problema 2, pag. 1 1 1 ) .

26. R. 1 /4 de calup c întăreşte 3/4 kg; deci calupul intreg c întăreşte 3 kg .

27. R · 2._ · 3= � . 2 2 28. Gîndeşte-te la un număr; adună-) cu 2, înmulţeşte numărul obţinut

cu 3, scade dublul numărului la care te-ai gindit, mai scade 6 din rezultat şi vei obţine numărul la care te-ai gindit.

29. Numărul stringerilor de m ină este egal cu numărul combinări lor celor 1 6 persoane luate c ite 2:

• 1 6 - 1 5 c = -- = 8 · 1 5= 1 20. 1 6 1 · 2

30. Fiecare din cei x participanţi a strins x- 1 m îini, deci i n total au avut loc x(x - 1 ) stringeri de m ină.

Ţinînd seamă că dacă A stringe m ina lui B, acţiunea este reversibilă şi deci două astfel de stringeri de m ină constituie o singură stringere de m ină distinctă, avem :

� (x - 1 ) = 66. Soluţia acceptabilă: x1= 1 2. 2

31. Colegul dă 1 Ieu, imparte apoi suma de 24 lei, e24 = 1 2 ; 234 = 8 ; 24 3)d - . o o • • 1 1 1 d" . " 8 =

upa care I Ş I wu mapm eu pe care- " aru1se . De ce a fost necesar leul dăruit de coleg? Pentr u că suma celor tre i

f ţ . . 1 + 1 + 1 23 t • t c - bl o " ) -rac u - - - - - nu es e un m reg. om para cu pro ema Slm l ara

2 3 8 24

94 , pag. 34 . 32. Enunţul problemei nu este clar. Trebuia ară tat dacă i n acea oră

este inclus şi drumul i napoi. Nici un răspuns nu poate fi bun . 33. Inutil, deoarece ori cum ar alege punctul, triunghiul va avea aceeaşi

arie, baza AB şi înălţimea (distanţa dintre şosea şi calea ferată ) fi ind constante. 34. Se imparte exagonul in şase triunghiuri, ia r fiecare din acestea in

patru triunghiuri mai mici egale. Se scot apoi cele şase triu nghiuri mici care se formează i n centrul plăcii exagonale.

35. Situ aţ ia dată se poate intilni numai in vecinătatea unuia din cei doi poli ai Păm întului . Aşadar, v inătorul impuşcă un urs polar, deci de culoare albă .

1 79

Page 180: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

2a 36. BC == -

3 37. Diagonala AC = BD = R = l O cm. 38. Vezi figura 79.

a · - - - -

1 1 1- - -i 1 1 1 1 L - ....l

Fig. 78. Fig. 79.

39. Figura avind numai noduri pare (formate din 2 t rasee), poate fi descrisă dintr-o singură linie. Se unesc punctele din 3 in 3 in ordinea A, D, B, E, G, A.

40. B poate da trei răspunsuri : R, R; V, V; sau R, Y. După ce toţi trei au răspuns o dată, A poate raţiona astfel: "Nu pot

avea R, R, deoarece atunci C ar vedea 4 tim bre roşii şi ar şti imediat că are V , \ ', i.ar dacă C are V, V, B ar vedea 4 tim bre verzi şi ar şti că are R, R" . De aceea A răspunde a doua o ară: "nu şti u" , iar B îşi spune: "trebui e să am R, V".

De altfel, enunţul problemei este perfect simetric faţă de timbrele roşii şi cele verzi, deci şi soluţia trebuie să fie invariantă faţă de schimbarea dintre roşu şi verde, ceea ce se întîmplă numai dacă B are un timbru roşu şi unul verde.

41. O soluţie ar fi următoarea: Logicianul arată cu degetul un drum şi-i spune băştinaş ului: (C Dacă te-aş intreba dacă acest drum duce tn sat, ai răspunde "da"? -. .

Băştinaşul este nevoit să dea răspunsul corect, chiar dacă este mincinos. Dacă drumul duce spre sat, mincinosul ar răspunde "nu" la intrebarea directă, dar, aşa cum e pusă intrebarea, el minte şi spune că ar răspunde "da" .

Page 181: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

7. Versiuni noi ale unor probleme mai vechi

1. Dacă n(n +2)(n +4)(n +6) = m2, atunci (n2 +6n +4)2= m2 +1 6. Dar singurele pătrate de forma a2- 1 6 s int O şi 9 şi, deoarece m2 este impar, rezultă că pătratul căutat este 9= (- 3)( - 1 ) · 1 · 3.

2. Avem: (n2 +n)2= n' +2n3 +n2 < n' +2n3 +2n2 +2n +1 < n' +2n3 + +3n2 +2n +1 = (n2 +n +1)2 • Prin urmare, numărul dat este situat intre două pătrate consecutive.

3. Dacă B> 1 este baza sistemului de numeraţie, 1 1 1 1 1 poate fi scris B' +B3 +B2 +B +l .

Avem: (B2 +B/2)2< B' +B3 +B2 +B +1 < (B2 +B/2 +1 )2, deci cu B par n nu poate fi pătrat.

Pentru B impar> 3, avem: (B2 +

B; l r < n < (B 2 + B ; lr

Pentru B = 3, n= (B2+ B: t r . respectiv 1 1 1 1 1 = 1022 •

4. Dacă ar2 +ar +a= a3, atunci r2 +r +1 = a2• Orice cifră a, in sistemul de numeraţie in baza r, este mai mică decit r. Prin urmare ultima egalitate este imposibilă.

5. Fie b= (x- 1fx)112 şi a= (1 - 1 fx) 1 i 2 • Atunci x= a +b ( 1 ) şi fiindcă x � O. b- a= (b2 - a2)(b +a)= (x- 1 )/x= 1 - 1 /x (2) .

Adunind relaţiile ( 1 ) şi (2) obţinem : 2b= x- 1fx +1 = b2 +1 , deci b= l .

Prin urmare, x- 1/x= 1 , x2- x- 1 = 0 şi x= (1 ±J5)/2. Insă singura valoare care satisface ecuaţia iniţială este x= ( 1 +1/5)/2.

6. Dacă x este numărul de animale, y numărul de oi ş i z preţul mie­lului, atunci avem x2= 10y +z cu y un număr impar şi z < 10.

Penultima cifră a unui pătrat perfect este impară dacă şi numai dacă ultima cifră este 4 sau 6. Convine z = 6 şi fiul care a avut numai oi trebuie să cedeze fratelui său 2 dolari .

1 8 1

Page 182: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

7. Pentru orice funcţie polinomială f(x), f( 1 ) reprez intă suma coefi­cienţilor polinom ului . Dacă această sumă este egală cu zero, (x - 1 ) este un divizor a l lui f(x). Deoarece 1 - 2 +3 +4- 6= O , x= 1 este rădăcină a ecuaţiei date, indiferent de modul in care inlo cuim parantezele.

8. Avem: x' +y'= (x +y)(x8 - x7y +x'y2 + . . . y' ) = (x3 +y3)(x' - x3y3 + +y' )= (x +y)(x2- xy +y2)(x' - x3y3 +y') deci x8 - x7y +x8y 2- • • • +y' = = (xs- xy +Ys)(x'- x3y3 +Y') .

9. Ecuaţia x - 5x3-4x2- 7x +4 = 0 poate f i pusă sub formă (x2- 2)2= = 5x3 +7x. Pentru x negativ, membrul sting al ecuaţiei este pozitiv şi membrul drept este negativ. Rezultă deci că ecuaţia dată nu admite soluţii negative.

10 R 27 + 8i - (27 + 8i)(3 + 2i) - - + 6" • • -- - - ;) 1 .

3 + 2i 1 3

1 1. Avem: f(x)= x' +x3 +x2 +x +1 , deci (x- 1 )f(x)= x5- l . Putem scrie: f(x5)= (x2o- 1 ) +(x16- 1 ) +(x10- 1 ) +(x5- 1 ) +4 +1 . Fiecare polinom dintre paranteze este multiplu al lui x6- 1 şi prin urmare al lui f(x). In consecinţă f(x6 )= (un multiplu al lui f(x)) +5.

1 2. [ 1 · 2 · 4 + 2 · 4 · 8 + 3 · 6 · 1 2 + . . . ] 1 /3 =[ 1 · 2 · 4(1 ' + 2' + 3' + . . . ) ] 1 /3 ==

1 . 3 . 9 + 2 . 6 · 1 8 + 3 . 9 . 27 + . . . 1 . 3 . 9( 1 ' + 2' + 3' + . . . )

= (8/27)113 •

1 3. Conform unei cunoscute reguli referitoare la proporţii, dacă afb= = cfd, atunci (a+ b)/b= (c +d)fd. Aplic ind această regulă la ecuaţia dată se bţ . 1 ' + 2' + 3" + . . . + (2n)' 441 o 1ne : == -

2'( 1 ' + 2' + 3" + . . . + n') 242

Restringind sumele de cuburi, obţinem: (2n)1(2n + 1 )1/4 441 21 " (2n + 1 )1 2 1 "

(8n1)(n + 1 )1/4 = 242 = 2 · 1 1 '

; (n + 1 )1

= llo ' Deci n= 1 0 (rădăcina negativă nu e acceptabilă) . 14. Orice număr i ntreg x este de forma 3n sau 3n ± l . Dacă substituim

aceste forme in ecuaţia x2- 3y2= 1 7, rezultatul se poate scrie respectiv 3(3n2-y2)= 1 7 şi 3(3n2 ±2n-y2)= 1 6.

Deoarece 3 nu divide nici pe 17 şi nici pe 1 6, aceste ecuaţii nu pot să admită soluţii intregi1 •

1 5. Dacă punem x +y= a2 şi x-y= a, atunci x= a(a +1 )/2 şi y= a(a- 1 )/2. Fiecare numărător fiind produsul dintre un număr par şi unul impar rezultă că pentru orice a intreg, x şi y sint intregi.

1 6. Fracţia poate fi scrisă în modul următor: (p +1 +1 /p)(q + 1 +1/q)(r +1 +1/r)(s +1 +1/s) .

Se ştie că suma unui număr pozitiv cu inversul său este· ;;a. 2. Rezultă c ă fiecare factor al produsului este ;;a. 3 şi deci produsul este ;;a. 81 .

1 Altă soluţie (E.R.). Un pătrat este sau Ma sau Ma+ 1 ; in ecuaţia dată x2 = �a+ 2, deci =f:. k2•

1 82

Page 183: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Este evidentă următoarea generalizare a acestei probleme: pentru a i � O, i= 1 , 2, 3, . . .

(a�+a1 + 1 )(a:+ a1 + 1 ) . . . (a� + a . + 1 ) __;;...._ __ � ____ ___;;, ___ � 3D. a1a1 • • • an

1 7. Deoarece coeficientul lui x2 este O, rezultă că a +b +c=O şi prin urmare b +c= - a, c +a= - b, a +b= - c, deci ecuaţia căutată Ya ave a rădăcinile: - 1 / a, - 1 /b, - 1fc1> .

Pentru a o obţine nu trebuie dec ît să scriem coeficienţii in ordine inversă şi să schimbăm semnul coeficienţilor puterilor pare ale lui x; Yom obţ ine: rx3- qx2- 1 = 0.

1 8. Media aritmetică a unei mulţimi de numere pozitiYe, nu toate egale intre ele, este strict mai mare decit media lor geometrică, deci n = n' =

11 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n - 1 ) [ 1 3 r; - 2( 1 ) ]1 /n = > . . :l · ' . . . n-

11

1 9. Fie N = 31 13 • 32 1 1 • 33 1 27 • • • = 31 ' 2� 2 1s.,.-312h • • • = 3M . Atunci M/3 = = 1 /32 + 2/33 + . . . +(n - 1 )/3n+ · · ·

( 1 - 1 /3)M= 1 /3 +1/32 +1/33 + . . . +1 /3n + . . . = ( 1 /3)(1 - 1 /3)= 1 /2. Prin urmare: N = 33i'=o/27 . 20. Amplific înd cu 1 - x, avem :

1 / ( 1 +x)(1 +x2)(1 +x' )(1 +x' ) = ( 1 - x)/ (1 - x1')= = (1 - x)(1 +x1' +x32 +x'8 + . . . ) = 1 - x +x16 - x1 7 +x32- x33 + . . .

21. Multiplic înd ecuaţia dată cu 4 şi adunind 1 in ambii membri obţ i­nem : 4x' +4x3 +4x2 +4x +1 = (2y +1 )2 •

Pentru x= - 1 rezultă y = - 1 sau y=O; pentru x=O rezultă y = - 1 sau y=O. Pentru x=2 rezultă y= - 6 sau y= 5. Pentru x= - 1 , y este frac­ţ ionar.

Acestea s înt toate soluţiile intregi ale ecuaţiei, deoarece pentru x < - 1 sau x<2, membrul sting al ecuaţiei este mai mare ca (2x2 +x)2, dar mai mic decit (2x2 +x +1 )2 şi deci nu poate f i egal cu numărul care figurează in mem­brul drept al ecuaţiei şi care este un pătrat perfect.

22. Dacă ecuaţia admite o rădăcină reală, aceasta trebuie să fie nega-t iYă . Fie ea - y.

Dar 1 - y +y2/2! -y3/3! + . . . +y2n/ (2n) ! > e-y> 0 Prin urmare ecuaţia nu are rădăcini reale . 23. Fie cercul cu centrul O şi de rază r. Plimbăm cu compasul raza r pe

circumferinţă construind arcele egale AB, BC şi CD. Atunci AD e un diametru . Cu centrele in A şi D şi raza AC descriem două arce care se taie în E ş i E' .

1 Explicaţia suplimentară :

( x- b:.c)( x -a:.c)( x -

a:.b)=o; (ax+ l)(bx+ l) (cx+ l> = O ;

1 X t = _ _ , a

1 x, = - - ·

b •

1 X1 = - - etc.

c 183

Page 184: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Cercul cu raza OE ş i cent rul in A taie cercul iniţial in F şi G. Atunci punctele AFD G formează împărţirea căutată.

Demonstra ti e: AC= n/3= AE OE = V _..,...u=� 2.,..--J...".."2 = r'l/2 = AF.

A

A o

Fig. 80. Fig. 8 1 .

24. E se găseşte la intersecţia bisectoarelor triunghiulu i BCD şi deci DE este bisectoarea unghiului BDC .

25. Să considerăm o secţiune arbitrară a Yolumului comun celor doi ci l indri, paralelă cu secţiunea centrală determinată de axele de simetrie. Ea Ya fi un p ătrat, al cărui cerc inscris va fi secţiunea corespunzătoare a sferei înscrise in volumul comun al celor doi cilindri. De aici rezultă că rapor­tul dintre Yolumul comun şi volumul sferei înscrise este egal cu raportul dintre aria pătratului şi aria cercului inscris in pătrat, deci: V= (4r.r3/3)(4/n)= = 1 6r3f3. (Se observă că spa ţ i ul comun celor doi cilindri poate fi subdiYizat i n piramide infinitez imale ale căror Y irfuri se află la intersecţia axelor ş i cu

\ Fig. 82. Fig. 83.

bazele de-a lungul generatoarelor cilindrilor. Aceste piramide au înălţimea egală cu unitatea, de unde vom deduce că aria figurii noastre este egală cu 1 6 .

26. Să considerăm toate dreptele determinate de perechi de puncte din mulţime. Să alegem apoi un nou punct aflat în afara cercului şi care nu 1 84

Page 185: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

aparţine nici uneia din aceste drepte . Să considerăm o dreaptă care trece prin acest punct, situată la stinga mulţimii de puncte date . C ind această dreaptă se roteşte in j urul noului punct inspre mulţime ( in cazul figurii noastre , spre dreapta) ea nu întîlneşte in nici o poziţie mai mult decit un punct . Rotim această dreaptă p înă c ind a trecut peste exact un milion de puncte . Poziţia finală va fi cea căutată.

27. Deoarece 1 Vb-Vc 1 (Vb+ Vc) = l b - r l < (ya)• < (b +c)< (v'b+ yc)2 avem: I V'b -vc i <Va < (•.j'fj +Yc> ·

Altfel (E.R.) : Dacă a> b> c, pentru ca a, b. c să fie laturile unui l ri­unghi e suficient ca a < b +c, respectivVa <Vb+v'Z, ceea ce este evident.

28. Laturile triunghiului şi ale hexagonului se află in raportul 2 : l . Să observăm că triunghiul poate fi descompus i n patru triunghiuri echila ­terale, iar hexagonul in şase triunghiuri echilaterale, toate egale intre ele. Rezultă că raportul ariilor este 2 : 3.

M 29. Formula de recurenţă care dă nu­

merele lui Fibonacci fiind Fn +Fn+l = F n + Z • înseamnă că trei numere ale lui Fibonacci consecutive satisfac ecuaţia x +y=z . Prin urmare cele patru v irfuri ale tetraedrului Fig. 84. fiind coplanare, volumul său este nul.

Mai mult, cele 1 2 coordonate nu trebuie să fie termeni consecutivi . Acelaşi rezultat răm îne valabil ş i in cazul c ind ordonatele fiecărui v i rf s i n t numere ale l u i Fibonacci consecutive.

30. Teorema lui Pappus afirmă că dacă virfurile alternative ale unu i hexagon s int situate respectiv pe două drepte, atunci intersecţiile laturilor opuse sint coliniare. Dacă AB şi DC se intersectează in 1, atunci laturile

A F o Fig. 85.

opuse ale hexagonului AEDBFCA se intersectează in G, 1 şi H, care, prin urmare, s int coliniare. Orice dreaptă dusă prin punctul de intersecţie 1 ai diagonalelor unui paralelogram imparte paralelogramul in două figuri egale .

Altfel : se apl ică teorema lui Menelau in triunghiurile BFC şi AED. 185

Page 186: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

31. Dacă două triunghiuri au aceeaşi înălţime, raportul ariilor lor este egal cu raportul bazelor, notind ciclic cele patru tri unghiuri: � - � =

A + B m + n D A + D D + A

= -- = == -- · C + D A + B + C + D Q

Fig. 86.

B A + B C B + C . D C + D Analog: -- = -- • - = -- ŞI -- = -- � B + C Q C + D Q D + A Q

Înmulţind membru cu membru cele patru egalităţi obţinem : (A)(B)(C)(D)= (A +B)2(B +C)2(C +D)2(D +A)2/ Q' .

Page 187: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Bibliografie

1. E. KOLMAN : Istoria matematicii în antichitate (traducere din limba rusă) . Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 1961 .

2. A. P. IUŞKEVICI : Istoria matematicii în evul mediu (traducere din limba rusă) . Ed. Ştiinţifică, 1963.

3. H. WIELEITNER: Istoria matematicii de la Descartes pînă la mijlocul seco­

lului al XIX-lea (traducere după ediţia rusă) . Bucureşti, Ed. Ştiinţi-fică, 1964.

4 . 1. DEPMAN : Din istoria matematicii. Bucureşti, Ed. Cartea Rusă, 1952.

5 . G. N. BERMAN : Prieomî bistrogo sceota. Leningrad, Ed. 2-a, 1947. 6. TATON RENI!:: : Histoire du calcul. Paris, Presses Universitaires de France,

Ed. 2, 1949. 7. GEORGE ŞT. ANDONIE: Istoria matematicii în România, voi. 1. Bucureşti ,

Ed. Ştiinţifică, 1965. 8. O. SACTER : Despre numere şi istoria lor. Bucureşti, Ed. Tehnică, 1952. 9. EUGEN RUSU : Manual de aritmetică. Bucureşti, Editura de Stat Didactică şi

Pedagogică, 1957. Bazele teoriei numerelor. Bucureşti, Editura Tehnică, 1953.

10. 1. CREANGA : Introducere în teoria numerelor. Bucureşti, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1965.

1 1 . FLORICA T. CAMPAN : Probleme celebre din Istoria matematicii. Bucureşti, Editura Albatros, 1972,

1 2. ANTON DUMITRIU : Soluţia paradoxelor logica-matematice. Bucureşti , Editu­

ra Ştiinţifică, 1966.

13. 1. 1. PERELMAN : Aritmetica distractivă (traducere din limba rusă). Bucu­reşti, Ed. Tineretului, 1963.

14. 1. 1. PERELMAN : Matematica vie (traducere). Bucureşti , Editura de Stat. 1949. Algebra distractivă (traducere) . Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 196 1 . Geometria distractivă (traducere) . Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 1965.

15 . B. A. KORDEMSKI : Matematica distractivă (traducere din limba rusă). Bucu­

reşti , Editura Tineretului, 1959.

16 . A. P. DOMOREAD : Jocuri şi probleme distractive de matematică. Bucureşti , Editura Didactică şi Pedagogică, 1965.

1 8 7

Page 188: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

1 7 . MARTIN GARDNER : Amuzamente matematice. Bucureşti, Editura Ştiinţifică,

1968 . 18 . Dr. Ing. B. IOSUB : Matematica recreativă. Bucureşti, Editura Tehnică, 1952.

Geometria recreativă. Bucureşti , Editura Tineretului, 1954.

Aritmetica recreativă. Bucureşti, Editura Tineretului, 1957 . 1 9. \VALTER SPERLING : 1 000 pro bleme distractive. Craiova. 20. H. STEINHAUS : Caleidoscop matematic. Bucureşti , Editura Tehnică, 1961 . 2 1 . F.G.M. : Exercices d'algebre. Paris, 1920. 22 . GHEORGHE ŢIŢEICA : Culegere de probleme de geometrie. Bucureşti, Edi­

tura Tehnică, 1957 .

:3. ION IONESCU : Culegere de probleme de aritmetică, partea 1, Aritmetica ra­ţională. Bucureşti , 1937.

24. IVANCA OLIVOTTO : Culegere de probleme de aritmetică. Bucureşti, Editura de Stat Didactică şi Pedagogică, 1958.

25. CRISTEA MATEESCU : Ion Ionescu . Bucureşti, Ed. Ştiinţifică, 1966. 26. BOTEZ ŞT. MIHAIL : Gheorghe Ţiţeica. Bucureşti, Ed. Tineretului, 1958 .

:?i . GAZETA MATEMATICA : Anii 1960 - 1974. 28. N. MIHAILEANU : Istoria matematicii, vol. 1, Bucureşti, Editura Enciclope­

dică Română, 1974. 29. CHARLES W. TRIGG : Ingeniozitate şi surpriză în Matematică, Bucureşti, Edi­

tura Enciclopedică Română, 1975. 30. AL. FRODA : Eroare şi paradox în matematică, Bucureşti, Editura Enciclo­

pedică Română, 1971 .

Page 189: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative

Redactor : MARIA PALENCIUC Tehnoredactor : VICTORIA UNGUREANU

Coli de tipar : 12. Bun de tipar : 07.04. 1977. Tiraj :

1 500 )-30 S.P. Ap4rut : 1977. Lucrare apd rut4 In regia autorului.

Tiparul executat sub comanda nr. 59, Ia Intreprinderea poligraficA . ,Crişana", Oradea, str. Moscovei nr. 5:

Republica SocialistA RomAnia

Page 190: RETROSPECTIVA MITE MIT - milisoft.ro. Bibliografie/Titus Popovici - Retrospectiva... · Erori matematice b. Paradoxuri logica-matematice 6. Un concurs antrenant 7. Probleme recreative