Re¸tele Petri ¸si Aplica¸tii - profs.info.uaic.rootto/RPA2019/curs1.pdf · 1 Informa¸tii curs 2...

Retele Petri si Aplicatii

Curs 1

RPA (2019) Curs 1 1 / 49

Structura cursului

1 Informatii curs

2 Retele Petri - introducere

3 Definitia retelelor Petri

4 Proprietati comportamentale

Marginire

Pseudo-viabilitate

Blocaje

Viabilitate

Reversibilitate

5 Legatura dintre proprietati ın retele Petri

RPA (2019) Curs 1 2 / 49

Informatii curs

Structura cursului

1 Informatii curs




Marginire

Pseudo-viabilitate

Blocaje

Viabilitate

Reversibilitate


RPA (2019) Curs 1 3 / 49

Informatii curs

Contact

Titular curs: lect. Dr. Oana Captarencu

Adresa email:[email protected]

Birou: C211

Pagina cursului:

http://profs.info.uaic.ro/~otto/pn.html

RPA (2019) Curs 1 4 / 49

http://profs.info.uaic.ro/~otto/pn.html

Informatii curs

Evaluare

Punctaj final: 4 · T1 + 2 · T2 + 4 · LA

T1, T2 - teste scrise in saptamanile 8, respectiv sesiune (notate cu o

nota de la 1 la 10)

Activitate laborator (LA) - notata cu o nota de la 0 la 10:

activitatea laborator (20%)

lucrare de laborator (50%)

tema laborator (30%)

Conditii minimale: LA ≥ 5, T1 + T2 ≥ 8

Punctaj final minim: 50 puncte.

RPA (2019) Curs 1 5 / 49

Retele Petri - introducere

Structura cursului

1 Informatii curs




Marginire

Pseudo-viabilitate

Blocaje

Viabilitate

Reversibilitate


RPA (2019) Curs 1 6 / 49


Retele Petri

Retele Petri: o metoda formala (matematica) folosita pentru modelarea si

verificarea sistemelor (concurente/distribuite)

RPA (2019) Curs 1 7 / 49


Retele Petri



Notiunea de sistem:

A regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole (Webster

Dictionary)

A combination of components that act together to perform a function not possible with

any of the individual parts (IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms)

RPA (2019) Curs 1 7 / 49


Retele Petri



Notiunea de sistem:

A regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole (Webster

Dictionary)

A combination of components that act together to perform a function not possible with

any of the individual parts (IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms)

Sistemele:

alcatuite din componente care interactioneaza

ındeplinesc o anumita functionalitate

evenimente si stari

concurenta, comunicare, sincronizare

RPA (2019) Curs 1 7 / 49


Retele Petri

Exemple de sisteme:

sisteme automatizate de productie

sisteme de control al traficului (terestru,aerian)

sisteme de monitorizare si control ın industrie

retele de comunicare

sisteme software distribuite

etc...

RPA (2019) Curs 1 8 / 49


Modelarea si verificarea sistemelor

Verificarea sistemelor: are drept scop verificarea unor proprietati

dezirabile, ınca din stadiul de proiectare

Un model surprinde caracteristici esentiale ale sistemului

Metode (formale) pentru modelarea si verificarea sistemelor:

automate/sisteme tranzitionale

algebre de procese

logici temporale

retele Petri

etc...

RPA (2019) Curs 1 9 / 49


Retele Petri

Carl Adam Petri, 1962

grafuri bipartite

reprezentare explicita starilor si evenimentelor dintr-un sistem

reprezentare grafica intuitiva

semantica formala

expresivitate (concurenta, nedeterminism, comunicare,sincronizare)

existenta metodelor de analiza a proprietatilor

numeroase unelte software pentru editarea/verificarea proprietatilor

retelelor Petri

RPA (2019) Curs 1 10 / 49


Aplicatii

Protocoale de comunicare, retele

Sisteme software si hardware

Algoritmi distribuiti

Protocoale de securitate

Sisteme/procese din domenii precum: biologie, chimie, medicina

Domeniul economic (fluxuri de lucru)

etc..

RPA (2019) Curs 1 11 / 49

Definitia retelelor Petri

Structura cursului

1 Informatii curs




Marginire

Pseudo-viabilitate

Blocaje

Viabilitate

Reversibilitate


RPA (2019) Curs 1 12 / 49


Retele Petri - Definitie

Definitie 1

O retea Petri este un 4-uplu N = (P, T, F,W ) astfel ıncat :

1 P multime de locatii, T multime de tranzitii, P ∩ T = ∅;

2 F ⊆ (P × T ) ∪ (T × P ) relatia de flux;

3 W : (P × T ) ∪ (T × P ) → N functia pondere

(W (x, y) = 0 ddaca (x, y) 6∈ F ).

RPA (2019) Curs 1 13 / 49



Definitie 1

O retea Petri este un 4-uplu N = (P, T, F,W ) astfel ıncat :

1 P multime de locatii, T multime de tranzitii, P ∩ T = ∅;

2 F ⊆ (P × T ) ∪ (T × P ) relatia de flux;

3 W : (P × T ) ∪ (T × P ) → N functia pondere

(W (x, y) = 0 ddaca (x, y) 6∈ F ).

P = {p1, p2, p3, p4}

T = {t1, t2, t3}

F = {(p1, t1), (p2, t1), (t1, p3),

(p3, t3), (t3, p1), (t3, p4), (t2, p2)}

W (p1, t1) = 1, W (p2, t1) = 2,W (t1, p3) = 1

W (t1, p3) = 1, W (p3, t3) = 1,

W (t3, p4) = 1, W (t3, p1) = 1, W (t2, p2) = 1

RPA (2019) Curs 1 13 / 49



Daca x ∈ P ∪ T , atunci:

- Premultimea lui x (sau multimea elementelor input pentru x):

•x = {y|(y, x) ∈ F};

- Postmultimea lui x (sau multimea elementelor output pentru x):

x• = {y|(x, y) ∈ F} .

RPA (2019) Curs 1 14 / 49





•x = {y|(y, x) ∈ F};


x• = {y|(x, y) ∈ F} .

Definitie 2

O retea este pura daca, pentru orice x ∈ P ∪ T , •x ∩ x• = ∅.

RPA (2019) Curs 1 14 / 49





•x = {y|(y, x) ∈ F};


x• = {y|(x, y) ∈ F} .

Definitie 2

O retea este pura daca, pentru orice x ∈ P ∪ T , •x ∩ x• = ∅.

Definitie 3

O retea este fara elemente izolate, daca, pentru orice x ∈ P ∪ T ,

•x ∪ x• 6= ∅

RPA (2019) Curs 1 14 / 49


Marcarea unei retele Petri

Definitie 4 (Marcare, retele marcate)

Fie N = (P, T, F,W ) o retea Petri. O marcare a lui N este o functie

M : P → N.

Fie N = (P, T, F,W ) o retea Petri si M0 : P → N. Atunci (N,M0)

se numeste retea Petri marcata.

M = (1, 0, 0, 0)

Distributia punctelor ın locatiile unei retele = marcarea retelei (starea sistemului modelat)

RPA (2019) Curs 1 15 / 49


Retele Petri

Tranzitii: reprezinta actiuni sau evenimente din sistemul modelat

Locatiile input (pentru o tranzitie): parametri, variabile, tipuri de

resurse necesare producerii unei actiuni, preconditii pentru producerea

unui eveniment

Punctele din locatii (marcarea): pot modela resurse sau valori ale

parametrilor/variabilelor reprezentate de locatia respectiva

Ponderea unui arc input (al unei tranzitii): cate resurse de un anumit

tip sunt necesare producerii actiunii (valoarea minima pe care trebuie

sa o aiba o variabila pentru ca o actiune sa se produca)

Ponderea unui arc output (al unei tranzitii): numarul de resurse de un

anumit tip rezultate prin producerea actiunii

RPA (2019) Curs 1 16 / 49


ExempluSistem de productie: sistemul (SP) produce piese (P) utilizand componente (C),

furnizate de catre alt sistem (SC).

Daca SP este ”idle” (nu este implicat deja in productia unei piese) si exista

disponibile 2 componente C, va produce piesa P (”consumand” cele 2

componente) si va trece intr-o noua stare (SP a produs o piesa);

Dupa ce SP a produs piesa P, va depozita piesa ıntr-un buffer si este pregatit

pentru producerea unei noi piese (”idle”);

SP2 poate furniza ın orice moment cate o componenta C;

Evenimente ın sistem: SP produce P, SP depoziteaza P, SC furnizeaza o

componenta C

RPA (2019) Curs 1 17 / 49


Regula de producere a tranzitiilor

Definitie 5

Fie N = (P, T, F,W ) o retea Petri, M o marcare a lui N si t ∈ T o

tranzitie a lui N .

RPA (2019) Curs 1 18 / 49



Definitie 5


tranzitie a lui N .

Tranzitia t este posibila la marcarea M (M [t〉N ) daca

W (p, t) ≤ M(p), pentru orice p ∈ •t.

RPA (2019) Curs 1 18 / 49



Definitie 5


tranzitie a lui N .

Tranzitia t este posibila la marcarea M (M [t〉N ) daca

W (p, t) ≤ M(p), pentru orice p ∈ •t.

Daca t este posibila la marcarea M , atunci t se poate produce,

rezultand o noua marcare M ′ (M [t〉NM ′), unde

M ′(p) = M(p)−W (p, t) +W (t, p),

pentru toti p ∈ P .

RPA (2019) Curs 1 18 / 49


Exemplu

o tanzitie este posibila daca locatiile input contin suficiente puncte:

p1

p2

t1

t2

p3

p4

t3 p52

3

2

2

RPA (2019) Curs 1 19 / 49


Exemplu

o tanzitie este posibila daca locatiile input contin suficiente puncte:

p1

p2

t1

t2

p3

p4

t3 p52

3

2

2

Producerea unei tranzitii modifica marcarea retelei

RPA (2019) Curs 1 19 / 49


Exemplu I

Model sistem de productie:

RPA (2019) Curs 1 20 / 49


Exemplu II

Automat care furnizeaza produse

produse

produse consumate

C introduce moneda

monezi acceptate

ofera produs

reincarca monezi introduse

A accepta moneda

A respinge moneda

A repaus

RPA (2019) Curs 1 21 / 49


Secvente de aparitie a tranzitiilor

Extinderea regulii de producere a unei tranzitii la secvente de tranzitii

Fie secventa u ∈ T ∗, t ∈ T si marcarea M .

secventa vida de tranzitii ǫ este secventa de tranzitii posibila la M si

M [ǫ〉M ;

daca u este secventa de tranzitii posibila la M , M [u〉M ′ si M ′[t〉M ′′,

atunci ut este secventa de tranzitii posibila la M si M [ut〉M ′′.

RPA (2019) Curs 1 22 / 49


Secvente de aparitie a tranzitiilor

Extinderea regulii de producere a unei tranzitii la secvente de tranzitii

Fie secventa u ∈ T ∗, t ∈ T si marcarea M .

secventa vida de tranzitii ǫ este secventa de tranzitii posibila la M si

M [ǫ〉M ;

daca u este secventa de tranzitii posibila la M , M [u〉M ′ si M ′[t〉M ′′,

atunci ut este secventa de tranzitii posibila la M si M [ut〉M ′′.

Daca σ ∈ T ∗ si M [σ〉, σ se mai numeste secventa de aparitie

(posibila) din M .

Daca exista σ ∈ T ∗ astfel ıncat M [σ〉M ′, se mai noteaza M [∗〉M ′

RPA (2019) Curs 1 22 / 49


Notatii

Fie γ = (N,M0) o retea Petri marcata . Se definesc urmatoarele functii:

t− : P → N, t−(p) = W (p, t), ∀p ∈ P

t+ : P → N, t+(p) = W (t, p), ∀p ∈ P

∆t : P → Z, ∆t(p) = W (t, p)−W (p, t)

Daca σ ∈ T ∗ este o secventa de tranzitii, se defineste ∆σ : P → Z:

Daca σ = ǫ, atunci ∆σ este functia identic 0.

Daca σ = t1, . . . , tn, atunci ∆σ =∑n

i=1∆ti.

RPA (2019) Curs 1 23 / 49


Secvente de aparitie

p1

p2

p3

t1

3

2

t−1(p1) = 2, t−

1(p2) = 1, t−

1(p3) = 0

t+1(p1) = 1, t+

1(p2) = 3, t+

1(p3) = 1

∆t1(p1) = −1,∆t1(p2) = 2,∆t1(p3) = 1

RPA (2019) Curs 1 24 / 49


Secvente de aparitie

p1

p2

p3

t1

3

2

t−1(p1) = 2, t−

1(p2) = 1, t−

1(p3) = 0

t+1(p1) = 1, t+

1(p2) = 3, t+

1(p3) = 1

∆t1(p1) = −1,∆t1(p2) = 2,∆t1(p3) = 1

Propozitie 1

Fie t o tranzitie, σ ∈ T ∗ si M,M ′ marcari.

Daca M [t〉M ′, atunci M ′ = M +∆t.

Daca M [σ〉M ′, atunci M ′ = M +∆σ

RPA (2019) Curs 1 24 / 49


Marcari accesibile

Definitie 6

Fie γ = (N,M0) o retea Petri marcata. O marcare M ′ este accesibila din

marcarea M , daca exista o secventa finita de aparitie σ astfel ıncat:

M [σ〉M ′.

RPA (2019) Curs 1 25 / 49


Marcari accesibile

Definitie 6



M [σ〉M ′.

Multimea marcarilor accesibile dintr-o marcare M , ın γ, se noteaza

[M〉γ

RPA (2019) Curs 1 25 / 49


Marcari accesibile

Definitie 6



M [σ〉M ′.


[M〉γ

Definitie 7

Marcarea M este accesibila ın γ, daca M este accesibila din marcarea

initiala M0.

RPA (2019) Curs 1 25 / 49


Marcari accesibile

Definitie 6



M [σ〉M ′.


[M〉γ

Definitie 7

Marcarea M este accesibila ın γ, daca M este accesibila din marcarea

initiala M0.

Multimea marcarilor accesibile ın γ se noteaza [M0〉γ

RPA (2019) Curs 1 25 / 49


Proprietati pentru secvente de aparitie

Propozitie 2

Fie M o marcare si σ o secventa finita de aparitie, astfel ıncat M [σ〉M ′.

Daca σ′ este o secventa de aparitie (finita sau infinita) posibila la

marcarea M ′, atunci σσ′ este secventa de aparitie posibila la M .

RPA (2019) Curs 1 26 / 49



Propozitie 2

Fie M o marcare si σ o secventa finita de aparitie, astfel ıncat M [σ〉M ′.

Daca σ′ este o secventa de aparitie (finita sau infinita) posibila la

marcarea M ′, atunci σσ′ este secventa de aparitie posibila la M .

Propozitie 3

O secventa infinita de aparitie σ este posibila la o marcare M ddaca orice

prefix finit al lui σ este posibil la M .

RPA (2019) Curs 1 26 / 49



Propozitie 4

Fie M , M ′ si L marcari, σ ∈ T ∗ o secventa de tranzitii, posibila la M .

Daca σ finita si M [σ〉M ′, atunci (M + L)[σ〉(M ′ + L).

Daca σ infinita si M [σ〉, atunci (M + L)[σ〉

Demonstratie:

σ finita: inductie dupa |σ| = n.

σ infinita: se arata ca orice prefix finit al lui σ este posibil la M + L.

M = (2, 1, 1, 0)[t1t2〉(1, 0, 1, 2) = M ′

(3, 2, 2, 0)[t1t2〉?

RPA (2019) Curs 1 27 / 49



Definitie 8

Fie M si M ′ doua marcari.

M ≥ M ′ ddaca M(p) ≥ M ′(p), ∀p ∈ P .

M > M ′ ddaca M ≥ M ′ si ∃p ∈ P : M(p) > M ′(p).

RPA (2019) Curs 1 28 / 49



Definitie 8

Fie M si M ′ doua marcari.

M ≥ M ′ ddaca M(p) ≥ M ′(p), ∀p ∈ P .

M > M ′ ddaca M ≥ M ′ si ∃p ∈ P : M(p) > M ′(p).

Propozitie 5

Fie M si M ′ doua marcari astfel ıncat M ′ ≥ M . Atunci orice secventa de

tranzitii posibila la marcarea M este posibila si la marcarea M ′.

RPA (2019) Curs 1 28 / 49



Notatie

Daca σ ∈ T ∗ si U ⊆ T , σ|U este secventa de tranzitii obtinuta din σ,

pastrand doar acele tranzitii care sunt ın U

Lema 3.1

Fie N o retea oarecare, U, V ⊆ T astfel ıncat V • ∩ • U = ∅. Daca

σ ∈ (U ∪ V )∗ astfel ıncat M [σ〉M ′, atunci M [σ|Uσ|V 〉M′.

RPA (2019) Curs 1 29 / 49


Exemplu

U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)

p1

p2 p3 p4 p5

t1

t2 t3 t4

2

RPA (2019) Curs 1 30 / 49


Exemplu

U = {t1, t2}, V = {t3, t4} M = (0, 1, 0, 1, 0)

σ = t2t4t3t1t4

M = (1, 0, 1, 0)[t2t4t3t1t4〉(0, 0, 2, 0, 2) = M ′

M [t2t1t4t3t4〉M′

RPA (2019) Curs 1 30 / 49

Proprietati comportamentale

Structura cursului

1 Informatii curs




Marginire

Pseudo-viabilitate

Blocaje

Viabilitate

Reversibilitate


RPA (2019) Curs 1 31 / 49

Proprietati comportamentale Marginire

Proprietatea de marginire

Definitie 9 (marginire)

Fie γ = (M,M0) o retea Petri marcata.

O locatie p este marginita daca:

(∃ n ∈ N)(∀M ∈ [M0〉)( M(p) ≤ n)

RPA (2019) Curs 1 32 / 49


Proprietatea de marginire

Definitie 9 (marginire)

Fie γ = (M,M0) o retea Petri marcata.

O locatie p este marginita daca:

(∃ n ∈ N)(∀M ∈ [M0〉)( M(p) ≤ n)

Reteaua marcata γ este marginita daca orice locatie p ∈ P este

marginita.

RPA (2019) Curs 1 32 / 49


Marginire-exemple

p1 t1

p2t2

RPA (2019) Curs 1 33 / 49


Marginire-exemple

p1 t1

p2t2

reteaua este marginita: M(p) ≤ 1, ∀p ∈ P

RPA (2019) Curs 1 33 / 49


Marginire-exemple

p1 t1

p2t2


p1

p2t1

p3

t2

RPA (2019) Curs 1 33 / 49


Marginire-exemple

p1 t1

p2t2


p1

p2t1

p3

t2

reteaua este nemarginita:

p2 poate contine o infinitate de puncte!

RPA (2019) Curs 1 33 / 49


Proprietati

Propozitie 6

O retea Petri marcata γ = (N,M0) este marginita ddaca multimea [M0〉

este finita.

RPA (2019) Curs 1 34 / 49


Proprietati

Propozitie 6


este finita.

(=⇒) Fie n astfel ıncat (∀M ∈ [M0〉)(∀p ∈ P )(M(p) ≤ n). Numarul maxim de marcari este

(n+ 1)|P |.

(⇐=) Se considera n = max{M(p)|M ∈ [M0〉, p ∈ P}.

RPA (2019) Curs 1 34 / 49


Proprietati

Propozitie 6


este finita.

Propozitie 7

Daca γ = (N,M0) este marginita, nu exista doua marcari M1,M2 ∈ [M0〉

astfel ıncat M1[∗〉M2 si M2 > M1.

RPA (2019) Curs 1 34 / 49


Proprietati

Propozitie 6


este finita.

Propozitie 7

Daca γ = (N,M0) este marginita, nu exista doua marcari M1,M2 ∈ [M0〉

astfel ıncat M1[∗〉M2 si M2 > M1.

Daca M1[σ〉M2 si M2 > M1 =⇒ M2[σ〉M3 (prop. 5) si M3 > M2. Deci M3[σ〉M4,

M4 > M3, etc.

RPA (2019) Curs 1 34 / 49

Proprietati comportamentale Pseudo-viabilitate

Definitie pseudo-viabilitate

Definitie 10 (pseudo-viabilitate)

Fie γ = (N,M0) o retea Petri marcata.

O tranzitie t ∈ T este pseudo-viabila din marcarea M , daca exista o

marcare M ′ ∈ [M〉 astfel ıncat M ′[t〉.

O tranzitie t ∈ T este pseudo-viabila daca este pseudo-vaibila din M0

(exista o marcare accesibila M ∈ [M0〉 astfel ıncat M [t〉). O tranzitie

care nu este pseudo-viabila se numeste moarta.

Reteaua marcata γ este pseudo-viabila daca toate tranzitiile sale sunt

pseudo-viabile.

RPA (2019) Curs 1 35 / 49


Exemple

RPA (2019) Curs 1 36 / 49


Exemple

t1 este tranzitie moarta

t2 pseudo-viabila

t3 este tranzitie moarta

t4 pseudo-viabila

RPA (2019) Curs 1 36 / 49

Proprietati comportamentale Blocaje

Proprietati: blocaje


Definitie 11 (blocaje)

O marcare M a retelei marcate γ este moarta daca nu exista o

tranzitie t ∈ T astfel ıncat M [t〉.

Reteaua γ este fara blocaje, daca nu exista marcari accesibile moarte.

RPA (2019) Curs 1 37 / 49


Exemple

RPA (2019) Curs 1 38 / 49


Exemple

Marcarea (0,0,0,0,1) este moarta, deci reteaua are blocaje.

RPA (2019) Curs 1 38 / 49

Proprietati comportamentale Viabilitate

Proprietati: viabilitate

Definitie 12 (viabilitate)

Fie N = (P, T, F,W ) o retea de tip Petri si γ = (N,M0) o retea Petri

marcata.

O tranzitie t ∈ T este viabila daca ∀M ∈ [M0〉, t este pseudo-viabila

din M (∃M ′ ∈ [M〉 astfel ıncat M ′[t〉).

Reteaua marcata γ este viabila daca orice tranzitie t ∈ T este viabila.

RPA (2019) Curs 1 39 / 49


Exemple

2

2

p1 t1 p2

t2p3t3

Retea pseudo-viabila, viabila si fara blocaje.

RPA (2019) Curs 1 40 / 49


Exemplu

RPA (2019) Curs 1 41 / 49


Exemplu

t1,t2,t3: nu sunt viabile

t4,t5: viabile

reteaua este pseudo-viabila

RPA (2019) Curs 1 41 / 49

Proprietati comportamentale Reversibilitate

Marcari acasa

Definitie 13

Fie γ = (N,M0) o retea marcata si H marcare a sa. H este marcare

acasa daca pentru orice M ∈ [M0〉, H ∈ [M〉.

RPA (2019) Curs 1 42 / 49


Marcari acasa

Definitie 13

Fie γ = (N,M0) o retea marcata si H marcare a sa. H este marcare

acasa daca pentru orice M ∈ [M0〉, H ∈ [M〉.

M = (0, 0, 1, 0) marcare acasa

RPA (2019) Curs 1 42 / 49


Reversibilitate

Definitie 14

Reteaua marcata γ este reversibila daca marcarea sa initiala este marcare

acasa.

RPA (2019) Curs 1 43 / 49


Reversibilitate

Definitie 14

Reteaua marcata γ este reversibila daca marcarea sa initiala este marcare

acasa.

2

2

p1 t1 p2

t2p3t3

Propozitie 8

O retea este reversibila ddaca orice marcare accesibila este marcare acasa.

RPA (2019) Curs 1 43 / 49

Legatura dintre proprietati ın retele Petri

Structura cursului

1 Informatii curs




Marginire

Pseudo-viabilitate

Blocaje

Viabilitate

Reversibilitate


RPA (2019) Curs 1 44 / 49


Proprietati ın retele viabile


Propozitie 9

Orice retea marcata viabila este si pseudo-viabila.

RPA (2019) Curs 1 45 / 49




Propozitie 9


Propozitie 10

Orice retea marcata viabila, avand cel putin o tranzitie, este fara blocaje.

RPA (2019) Curs 1 45 / 49




Propozitie 9


Propozitie 10

Orice retea marcata viabila, avand cel putin o tranzitie, este fara blocaje.

Propozitie 11

Daca o retea fara locatii izolate este viabila, atunci orice locatie poate fi

marcata, din orice marcare accesibila.

RPA (2019) Curs 1 45 / 49


retea pseudoviabila, fara blocaje

nu este viabila

RPA (2019) Curs 1 46 / 49


Proprietati ın retele reversibile

Propozitie 12

O retea marcata reversibila este viabila ddaca este pseudo-viabila.

RPA (2019) Curs 1 47 / 49


Proprietati ın retele reversibile

Propozitie 12

O retea marcata reversibila este viabila ddaca este pseudo-viabila.

Propozitie 13

O retea marcata reversibila este fara blocaje.

RPA (2019) Curs 1 47 / 49


Exemplu

p1

p2t1

p3

t2

Retea viabila, care nu este reversibila:

(1, 0, 0, )[t1〉(0, 1, 1)[t2〉(1, 1, 0)[t3〉.

Marcarea initiala (1, 0, 0) nu este accesibila din (1, 1, 0).

RPA (2019) Curs 1 48 / 49


Exemplu

retea fara blocaje, nu este reversibila

RPA (2019) Curs 1 49 / 49

Re¸tele Petri ¸si Aplica¸tii - profs.info.uaic.rootto/RPA2019/curs1.pdf · 1 Informa¸tii curs 2...

Documents

Transcript of Re¸tele Petri ¸si Aplica¸tii - profs.info.uaic.rootto/RPA2019/curs1.pdf · 1 Informa¸tii curs 2...