RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta

7/28/2019 RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta

1/28

L11 / 1

Lucrarea 11

Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrritreapt

Coninut

1. Scopul lucrrii .................................................................................................... 21.1. Notaii ....................................................................................................... 2

2. Regulatoare cu recie dup stare ...................................................................... 22.1. Problema reglrii ...................................................................................... 22.2. Principiul modelului intern ........................................................................ 42.3. Proiectarea regulatoarelor cu reacie dup stare .................................... 62.4. Exemple ................................................................................................. 13

3. Cerinele lucrrii de laborator .......................................................................... 28

Lista de figuri

Figura 11.1 Schema de principiu unui sistem de reglare automat.......................... 2Figura 11.2 Reprezentarea unui SRA prin funcii de transfer ................................... 4Figura 11.3 Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor msurate ............. 6Figura 11.4 Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor estimate ............... 7

Figura 11.5 Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor msurate iintegrator ........................................................................................................... 8Figura 11.6 Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor estimate i

integrator ......................................................................................................... 10Figura 11.7 Schema de reglare echivalent exprimat prin funcii de transfer ...... 11Figura 11.8 Schema de reglare simplificat, cu estimarea erorilor strilor ............ 12Figura 11.9 Schema de reglare a) cu reacie dup eroarea strii fr estimator ... 17Figura 11.10 Schema de reglare a). Rspunsul procesului cnd Nx= [1;0] ............ 18Figura 11.11 Schema de reglare a). Rspunsul procesului cnd Nx= [0;0] ............ 18Figura 11.12 Schema de reglare a) cnd Nx= [0;0] - reacie dup stare ................ 19Figura 11.13 Schema de reglare b) cu reacie dup eroarea strii estimate i

integrator ......................................................................................................... 23Figura 11.14 Schema de reglare b). Rspunsul procesului cnd Nx= [1;0] ............ 23

Figura 11.15 Schema de reglare b). Rspunsul procesului cnd Nx= [0;0] ............ 24Figura 11.16 Schema de reglare c) cu estimarea erorilor strilor i integrator ....... 27Figura 11.17 Schema de reglare c). Rspunsul procesului .................................... 28Figura 11.18 Schema de reglare 1 ......................................................................... 28Figura 11.19 Schema de reglare 2 ......................................................................... 28


2/28

Lucrarea 11

L11 / 2

1. Scopul lucrrii

Lucrarea urmrete:

Prezentarea problemei reglrii, a principiului modelului intern i a schemelor dereglare cu reacie dup mrimile de stare msurate sau estimate ale unui proces

nvarea modului cum se poate proiecta i verifica un sistem de reglare automatutiliznd Matlab / Simulink.

Analiza comparativ a mai multor scheme de reglare cu evidenierea avantajelor ia dezavantajelor

1.1. Notaii

SRA sistem de reglare automat

2. Regulatoare cu reacie dup stare

2.1. Problema reglrii

Figura 11.1 prezint schema de principiu a unui sistem de reglare automat (SRA).

( )( )

( )

=

R

RR

p

rH ( )

( )

( ) )(

)(

+

=

p

r

p

rH vP

Figura 11.1 Schema de principiu unui sistem de reglare automat

Schema include 2 blocuri funcionale:

un proces asupra cruia acioneaz comanda Ru i perturbaia Rv .Procesul are ieirea Ry i poate fi descris printr-o reprezentare n spaiulstrilor (11.1) sau prin funciile de transfer (11.2)

(11.1)

=

++=

x

xx '

Tcu

evbuA


3/28

Proiectarea regulatoarelor dup stare pentru intrri treapt

L11 /3

( ) ( )( )

( );

1

==

p

pT

yu p

rbAIcH

(11.2)

( ) ( )( )

( )

==

p

vT

yvv p

reAIcH

1

un regulator care calculeaz comanda Ru ctre proces pe baza erorii

yy = * unde*

y este numiti mrime impus. Regulatorul poate fidescris printr-o reprezentare n spaiul strilor (11.3) sau prin funcia detransfer (11.4)

(11.3)

+=

+=

RRTR

RRRR

dcu

bA

x

xx '

(11.4) ( ) ( )( )

( )

=+=

R

RRR

TRR

p

rdbAIcH

1

Mrimile de referin*

y i de perturbaie v sunt semnale persistente n timp,

descrise de relaiile (11.5) n cazul SRA cu timp continuu, respectiv (11.6) n cazulSRA cu timp discret

(11.5) ( )[ ]( )

( )sA

sBt =ryL ; ( )[ ]

( )

( )sA

sBt

v

v=vL Rt ,

rdciniCsAsA v ))(),(( ;

(11.6) ( )[ ]( )

( )zA

zBt =ryZ ; ( )[ ]

( )

( )zA

zBt

v

v=vZ Zt ,

rdcini

)0())(),(( 1UzAzA v Regulatorul trebuie astfel proiectat nct s asigure respectarea urmtoarelorproprieti pentru sistemul de reglare rezultant:

stabilitate polii sistemului rezultant s fie n

C dac Rt sau )0(1U ,

dac Zt


4/28

Lucrarea 11

L11 / 4

reglare ndeplinirea condiiei (11.7) pentru tipul de mrimi*

y i v , luaten considerare la proiectarea regulatorului (treapt, ramp, sinusoid, etc.)

(11.7) 0)(lim)(lim* ==

yyt r

tt

=

=

Ztzz

z

Rtss

z

s

,0)(1

lim

,0)(lim

1

0

robustee respectarea primelor dou proprieti, independent de:

a) localizarea i intensitatea perturbaiilor n limitele considerate

b) variaiile parametrilor sistemului de reglare n toat plaja de funcionare

2.2. Principiul modelului intern

Figura 11.2 prezint funciile de transfer ale sistemului de reglare din Figura 11.1.Relaiile (11.8) i (11.9) prezint dependena erorii n funcie de mrimile externe:

referina*

y i perturbaia v .

( )H

( )vH

( )RH

Figura 11.2Reprezentarea unui SRA prin funcii de transfer

(11.8) vHH

HyHH

yypR

v

pR +

+==

111* *

(11.9) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

+

+

=

v

v

RRRP

Rv

RRRP

RP

A

B

pprr

pr

A

B

pprr

pp

n relaia (11.9), expresia ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+= RRRP pprr este polinomulcaracteristic al sistemului rezultant. Pentru a ndeplini condiia de stabilitate,


5/28


L11 /5

rdcinile )( trebuie s fie n C pentru un SRA cu timp continuu, respectiv n

)0(1U pentru un SRA cu timp discret.

Pentru a ndeplini condiia de reglare (11.7) este necesar i suficient s serespecte relaiile:

(11.10))()()(

)()()(

vRv

R

rpA

ppA

adic )(A numitorul transformatei Laplace sau Z a semnalului de referin *y

s fie un divizor al polinomului )()( Rpp i respectiv )(vA numitorultransformatei Laplace sau Z a semnalului de perturbaie v s fie un divizor al

polinomului )()( Rv pr unde:

)(p numitorul funciei de transfer Laplace sau Z a procesului de la comand laieire

)(Rp numitorul funciei de transfer Laplace sau Z a regulatorului

)(vr numrtorul funciei de transfer Laplace sau Z a procesului de laperturbaie la ieire

Relaiile (11.10) sunt cunoscute i sub numele de teorema reglrii. Ele includ nambele condiii numitorul funciei de transfer a regulatorului. Pentru a asigurandeplinirea condiiilor (11.11) indiferent de modificrile care pot interveni lanivelului procesului, adic n )(p i respectiv )(vr este suficient ca att )(A

ct i )(vA s fie un divizor al numitorului funciei de transfer a

regulatorului )(Rp . Altfel spus:

(11.11) ( ) ( ) RpM unde { })(),(.....)( = vAAcmmmcM

adic regulatorul s fie de forma:

(11.12) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

=

=

'1

R

R

R

RR

p

rMp

rH

( )M/1 se numete model intern al regulatorului iar condiia (11.12) estecunoscut i sub numele de principiul modelului intern sau teorema reglriistructural stabile.


6/28

Lucrarea 11

L11 / 6

Not: n majoritatea cazurilor, sistemele de reglare automat se proiecteazpentru referin i perturbaie de tip treapt unde: ssAsA v == )()( n cazul

sistemelor cu timp continuu i respectiv 1)()( == zzAzA v n cazul sistemelorcu timp discret. n aceste condiii principiul modelului intern impune prezena unuiintegrator la nivelului regulatorului care trebuie s fie de forma:

( )( )

( )sp

sr

ssH

R

RR '

1= pentru regulatoare cu timp continuu

(11.13)

( )( )

( )zp

zr

zzH

R

R

R '1

1

= pentru regulatoare cu timp discret

2.3. Proiectarea regulatoarelor cu reacie dup stare

Figura 11.3 prezint cea mai simpl schem de reglare cu reacie dup stare. Ea

se bazeaz pe principiul de-a determina mrimile de stare dorite*

x din mrimea

de referin *y i de-a le compara cu mrimile de stare x ale procesului. nvederea eliminrii erorilor se folosete o lege de comand dup eroarea strilor deforma:

(11.14) )(...)()()( *2*221*11* nnnT xxkxxkxxkxxku +++==

Figura 11.4 prezint varianta cnd mrimile de stare sunt estimate utiliznd unobservator de stare. n acest caz relaia (11.4) devine:

(11.15) )(...)()()( *2*221

*11

*nnn

Txxkxxkxxkxxku +++==

u y

x

+

*ry

xcy

buAxx

T

'

=

+=

TKxN

*x

Proces

Figura 11.3Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor msurate


7/28


L11 /7

Proces

u y

x

+

*ry T

KxN*x

Estimator

xcy

buAxx

T

'

=

+=

Figura 11.4Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor estimate

Determinarea mrimilor de stare dorite*

x din mrimea de referin *y se face prin

alegerea corespunztoare a xN . n cazul n care procesul are acelai numr m

de comenzi ui ieiri y, xN rezult din relaia:

(11.16) mx INc =

n cazul proceselor cu o intrare i o ieire relaia (11.16) devine: 1= xT Nc . De

exemplu, dac ]10[=Tc atunci

=

1

0xN iar dac ]11[=

Tc atunci

=

5.0

5.0xN

Not: Determinarea vectoruluiT

k se face la fel ca n cazul unui compensator

stabilizator acesta fiind un caz particular de reglare cnd referina*y este nul. n

aceast situaie, 0* =y , 0* =x , iar relaiile (11.14) i (11.15) devin:

xkuT= , respectiv xku T = .

Schemele de reglare din Figura 11.3 i Figura 11.4 au 2 dezavantaje:a) nu respect principiul modelului intern i prin urmare pot fi utilizate numai

pentru procese care conin ele nsele un integrator

b) determinarea mrimilor de stare dorite*

x din mrimea de referin*

y cu

ajutorul matricei sau vectorului xN nu se poate face ntotdeauna exact,

ceea ce poate conduce la erori staionare yy = * chiar dac xx =*


8/28

Lucrarea 11

L11 / 8

Pentru a elimina aceste probleme n practic se utilizeaz schema de reglare dinFigura 11.5 incluznd drept model intern un integrator pe eroarea .

u y

s

1k

x

+

*y

xcy

buAxx

T

'

=

+=

TK

xN

y

+*x

)(

1

1D

z

Figura 11.5Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor msurateiintegrator

Determinarea coeficienilor = kkkTT

e ai legii de comand se face aplicnd

algoritmul Ackermann pe un sistem extins ),,( Teee cbA care include i ecuaia

integratorului. Sistemul extins are n+1 mrimi de stare

=

xxe unde prin s-a

notat integrala erorii. El este descris de relaiile (11.17) pentru sistemele cu timpcontinuu i (11.18) pentru sistemele cu timp discret.

(11.17)

=

==

+=

Tcu

yxy

buA

*

xx

{

ubx

c

Ax

eebA

T

+

=

00

0

43421

[ ]

=x

cy

Tec

T

3210


9/28


L11 /9

(11.18)

=

+=

+=

+

+

iT

i

iii

iii

cy

buA

x

xx

1

1

{

i

b

i

A

T

i

ubx

c

Ax

ee

+

=

+

01

0

1 43421

[ ]i

c

Ti

xcy

Te

=

3210

innd cont c ** yNx x = i integrala erorii trebuie s fie nul, adic 0* =

legea de comand pentru sistemul de reglare din Figura 11.5este:

(11.19) =+== kxyNkkxxkxxku xTT

eeTe )()()()(

****

nlocuind (11.19) n (11.17) i (11.18) se obine sistemului echivalent cu timpcontinuu:

(11.20)*

00

yNbkx

c

bkbkAx

echech b

xT

A

T

T

43421444 3444 21

+

=

[ ]

=x

cy

Techc

T

3210

respectiv cu timp discret:

(11.21)*

1 01 i

b

xT

i

A

T

T

i

yNbkx

c

bkbkAx

echech

43421444 3444 21

+

=

+

[ ]

=x

cy

Techc

Ti 321

0


10/28

Lucrarea 11

L11 / 10

u y

s

1k

^

x

+

*ry

TK

xN

y

+*x

)(1

1D

z

Proces

xcy

buAxx

T

'

=

+=

Estimator

Figura 11.6Schem de reglare cu reacie dup eroarea strilor estimateiintegrator

Figura 11.6 prezint varianta cnd mrimile de stare sunt estimate utiliznd unobservator de stare cu predicie. n acest caz relaia (11.19) devine:

(11.22) = kxyNku xT )( *

n cazul sistemelor de reglare cu timp continuu i a utilizrii unui observator cupredicie, regulatorul este definit de relaiile:

(11.23)

( )

( ) ===

++=++=

kxNyku

yy

xcylbuxAxcylbuxAx

xT

*

TT

)(

*

*

Prin nlocuirea comenzii u din ultima relaie (11.23) n prima relaie (11.23) seobine reprezentarea n spaiul strilor a regulatorului:


11/28


L11 /11

(11.24){

[ ]

+

=

++

+

=

*

*

01

00

yNkx

kku

ylNbklxkbclkbAx

RTR

RRR

d

xT

c

T

e

xT

bA

TT

3214434421

443442144444 344444 21

n cazul sistemelor cu timp discret (11.24) devine:

(11.25){

[ ]

+

=

++

+

=

+

*

*

1

01

10

i

d

xT

ic

T

i

e

xT

i

b

i

A

TT

i

yNkx

kku

ylNbklxkbclkbAx

RTR

RRR

3214434421

443442144444 344444 21

( )H

( )vH

( )1RH

( )2RH

Figura 11.7Schema de reglare echivalent exprimat prin funcii de transfer

Relaiile (11.24) i (11.25) arat c regulatorul este format din 2 blocuri avndfunciile de transfer:

(11.26) RRTRuR

bAIcH 11 )()(

= - de la eroarea la

comanda u


12/28

Lucrarea 11

L11 / 12

(11.27) RRRTRuyR

deAIcH +=

12 )()( * - de la referina

*y la comandu

Figura 11.7 prezint o variant echivalent a schemei de reglare din Figura 11.6 ncare att procesul ct i regulatorul sunt reprezentate prin funcii de transfer.

n practic se folosete frecvent o variant simplificat a schemei de reglare dinFigura 11.6 prezentat n Figura 11.8. n acest caz, 0=xN i observatorulfolosete eroarea n locul ieirii y . La ieirea observatorului se obine o

estimare a erorilor strilor x care se folosete n legea de comand.

EST

u y

s

1k

1k

nk

n

x

1x

M

*ry

xcy

buAxx

T

'

=

+=

Figura 11.8 Schema de reglare simplificat, cu estimarea erorilor strilor

Ecuaiile acestui regulator simplificat sunt date de relaiile (11.28) pentru sistemelecu timp continuu i respectiv (11.29) pentru sistemele cu timp discret:

(11.28)

{

[ ]

=

+

=

xkku

lxkbclkbAx

R

RR

b

T

cA

TT

1

00

43421

44444 344444 21


13/28


L11 /13

(11.29)

{

[ ]i

ck

Ti

i

b

i

A

TT

i

xkku

lxkbclkbAx

TR

Te

RR

=

+

=

=

+

1

10

1

43421

44444 344444 21

Aceste relaii conduc la o funcie de transfer a regulatorului:

(11.30) RRTRR bAIcH

1)()( =

identic cu )(1 RH din (11.26), ceea ce nseamn c aceast soluie simplificatconduce la o schem de reglare identic cu cea din Figura 11.7 n care seneglijeaz funcia de transfer )(2 RH de la referin la comand.

2.4. Exemple

1. Un proces cu timp continuu are reprezentarea n spaiul strilor:

[ ]22,0

1,

01

10=

=

= TcbA

S se proiecteze un regulator cu o singur funcie de transfer de la eroare lacomand care plaseaz toate valorile proprii ale sistemului rezultant n -1.

Soluie:

a) se construiete sistemul extins

=

= 0,0

0 b

bc

A

A eTe =>

=

=00

1

,022001

010

ee bA

b) Se calculeaz = kkkTT

e aplicnd algoritmul Ackermann pentru

perechea ),( ee bA cu valorile proprii dorite { }1,1,1 =

polinomul caracteristic dorit este: ( ) 133 23 +++= ssssd


14/28

Lucrarea 11

L11 / 14

matricea de controlabilitate [ ]

==

220

010

1012

eeeee bAbAbR

soluia ecuaiei

=

1

0

0

qRT

=>

=

1

0

0

201

210

001

3

2

1

q

q

q

=>

2

1,1,0

321

=== qqq

12

110

=Tq

[ ] 3010 = eTAq

[ ] 30012 = Aq eT

[ ] 10103 = eTAq

kTe

=

2

113

c) Se calculeaz vectorul l pentru estimator aplicnd algoritmul Ackermann

perechii ),( cAT cu valorile proprii dorite { }1,1 =est Estimator:

polinomul caracteristic dorit este: ( ) 122 ++= sssd

=

=

2

2,

01

10cA

Ti matricea

=

22

22R

soluia ecuaiei:

=

1

0qR

T=>

=

1

0

22

22

2

1

q

q=>

=

=

4

14

1

2

1

q

qq


15/28


L11 /15

14

1

4

1

=Tq

24

1

4

1

=AqT

14

1

4

12

=AqT

klTT

== 2

1

2

1

d) regulatorul va avea urmtoarea reprezentare n spaiul strilor:

=

=

000

010

2/134

00

kbclkbAA

TT

R ;

=

=

1

2/1

2/1

1

lbR

[ ]2/113 == TeR kc

i funcia de transfer: RRTRR bAIcH

1)()( = =)45(

2/12/52

2

++

+

sss

s

ntregul sistem de reglare automat va avea funcia de transfer echivalent:

4

2

5

2

2345

23

)1(

15

)1(

)1)(15(1510105

155

)()(1

)()()(

+

+=

+

++=

=

+++++

+++=

+

=

s

s

s

ss

sssss

sss

sHsH

sHsHsH

PR

PRech

unde:1

)1(2)(

2 +

+=

s

ssHP este funcia de transfer a procesului


16/28

Lucrarea 11

L11 / 16

2. Un proces cu timp continuu are reprezentarea n spaiul strilor:

[ ]01,0

1,

10

10=

=

= TcbA

Utiliznd Matlab, s se proiecteze urmtoarele tipuri de sisteme de reglareautomat:

a) cu reacie dup eroarea strilor msurate i integrator (vezi Figura 11.5)

b) cu reacie dup eroarea strilor estimate i integrator (vezi Figura 11.6)

c) cu estimator al erorii strilor i integrator utiliznd schema simplificat dinFigura 11.8

Valorile proprii dorite pentru legea de comand sunt }3,2,1 = i pentru

estimatorul de stare cu predicie { }5,4 = . Pentru fiecare caz n parte se vaprezenta schema de simulare i rspunsului procesului pentru o referin treaptde valoare 1.

Soluie:

a) Regulator cu reacie dup eroarea strilor msurate i integrator

Programul Matlab:

A=[0 1;0 -1];

b=[0; 1];cT=[1 0];

%sistemul extins cu integratorAe=[A zeros(2,1); -cT 0];

be=[b;0];

ce=[cT 0];

P=[-1 -2 -3]; % valorile proprii doritekT=acker(Ae,be,P);

Nx=[1;0]; % cT*Nx=1 -> Nx, xr=yr*Nx=x1Aech=[A-b*kT(1:2) -b*kT(3); -cT 0]

bech=[b*kT(1:2)*Nx;1]

cech=ce

[num,den]=ss2tf(Aech,bech,cech,0)

roots(den) %verificare

Dupa executie se obtin rezultatele:

Aech =

0 1 0

-11 -6 6

-1 0 0

bech =


17/28


L11 /17

0

11

1

cech =

1 0 0

num =

0 -0.0000 11.0000 6.0000

den =

1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

ans =

-3.0000

-2.0000

-1.0000

Schema Simulink este prezentat n Figura 11.9 i rspunsul procesului n Figura11.10.

Figura 11.9Schema de reglare a) cu reacie dup eroarea strii fr estimator


18/28

Lucrarea 11

L11 / 18

Figura 11.10Schema de reglare a). Rspunsul procesului cnd Nx= [1;0]

Figura 11.11 Schema de reglare a). Rspunsul procesului cnd Nx= [0;0]


19/28


L11 /19

u y

s

1k

1k

nk

nx

1x

M

*ry

xcy

buAxx

T

'

=

+=

L

Figura 11.12Schema de reglare a) cnd Nx= [0;0] - reacie dup stare

Figura 11.11 prezint rspunsul procesului n cazul particular cnd Nx=[0;0]. nacest caz, schema de reglare se simplific (vezi Figura 11.12) i legea decomand (11.19) devine:

= kxkuT

utiliznd reacia dup stare n locul erorii strii.

Dup execuia programului Matlab de mai sus n care s-a modificat doar linia:

Nx=[0;0]; % Nx fortat la [0;0]

se obtin rezultatele:Aech =

0 1 0

-11 -6 6

-1 0 0

bech =

0

0

1

cech =

1 0 0

num =

0 -0.0000 -0.0000 6.0000

den =

1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

ans =


20/28

Lucrarea 11

L11 / 20

-3.0000

-2.0000

-1.0000

Comparnd cele 2 cazuri: cnd Nx=[1;0] i legea de comand se calculeaz dup eroarea strii,

rspunsul este mai rapid, ns are un suprareglaj. Funcia de transferechivalent a sistemului rezultant este:

6116

611)(

23 +++

+=

sss

ssH

cnd Nx=[0;0] i legea de comand se calculeaz dup stare, rspunsul estemai lent dar far suprareglaj. Funcia de transfer echivalent a sistemului

rezultant este:

6116

6)(

23 +++=

ssssH

Not important: Schema de reglare cu reacie dup stare din Figura 11.12conduce la comportamente diferite n funcie de condiiile iniiale ale procesului,deoarece legea de comand depinde de stare i nu de eroarea ei. De exemplu,dac un sistem de poziionare cu traductor absolut de poziie are poziia iniial: a)0 i b) 10, se va comporta diferit cnd i se va cere s fac aceeai deplasare ncele 2 cazuri. Din acest motiv, schemele de reglare bazate pe eroarea strii suntpreferabile celor bazate pe stare. Pentru a elimina suprareglajul care apare nprimul caz, o soluie este introducerea unui filtru pe referin astfel nct acesta sanuleze efectul zeroului din funcia de transfer echivalent. Pentru exemplul de maisus, funcia de transfer a filtrului trebuie s fie:

611

6)(

+=

ssH

Exist ns aplicaii n care starea iniial este ntotdeauna nul. n acest caz,schema de reglare cu reacie dup stare se poate utiliza cu succes.

b) Regulator cu reacie dup eroarea strilor estimate i integrator

Programul Matlab:

A=[0 1;0 -1];

b=[0; 1];

cT=[1 0];

[nump,denp]=ss2tf(A,b,cT,0) %functia de transfer Hp a procesului

%crearea sistemului extins cu includerea integratoruluiAe=[A zeros(2,1); -cT 0];

be=[b;0];

P=[-1 -2 -3]; %valorile proprii dorite pentru legea de comanda

kT=acker(Ae,be,P); %calcul lege de comanda extinsa

Pe=[-4 -5]; %valorile proprii dorite pentru estimator


21/28


L11 /21

lT=acker(A',cT',Pe); %calcul lT pentru estimator

L=lT'; % L - vector coloana

%estimatorul: xest'=A*xest+b*u+L(y-cT*xest)se poate pune%sub forma: xest'=(A-L*cT)xest+[b L]*[u;y]%cu 2 intrari: u si y, unde u = k*(Nx*yr-xest)-k3*IerrNx=[1;0]; % xr=yr*Nx=x1Aest=A-L*cT;

best=[b L];

cest=eye(2); % yest=[1 0;0 1]*xest - starile estimate

%inlocuind u in estimator => reprezentarea in SS%a regulatorului avand 2 intrari: eroarea si referinta

Ar=[A-b*kT(1:2)-L*cT -b*kT(3);zeros(1,3)];Br=[-L b*kT(1:2)*Nx+L;1 0];

cr=-kT;

Dr=[0 kT(1:2)*Nx];

%Regulatorul are 2 functii de transfer:[numr1,denr1]=ss2tf(Ar,Br,cr,Dr,1) %Hr1 de la eroare la comanda

[numr2,denr2]=ss2tf(Ar,Br,cr,Dr,2) %Hr2 de la referinta la comanda

%functia de transfer a sistemului rezultant este%Hech=(Hr1+Hr2)*Hp/(1+Hr1*Hp)

[num12]=numr1+numr2; % calcul numarator Hr1+Hr2, numitorul e identic[num1,den1]=series(nump,denp,num12,denr1);

%H1=Hp*(Hr1+Hr2)

[numbd,denbd]=series(numr1,denr1,nump,denp);%Hdb=Hr1*Hp

[num2,den2]=feedback(1,1,numbd,denbd);%H2=1/(1+Hdb)=1/(1+Hr1*Hp)[num_e,den_e]=series(num1,den1,num2,den2)

%H_e=H1*H2=Hp*(Hr1+Hr2)/(1+Hr1*Hp)zerouri=roots(num_e)

poli=roots(den_e)

Dup execuie se obin rezultatele:

nump =

0 0 1.0000

denp =

1 1 0numr1 =

0 154.0000 274.0000 120.0000

denr1 =

1 14 71 0

numr2 =

11.0000 -49.0000 0.0000 0

denr2 =

1 14 71 0


22/28

Lucrarea 11

L11 / 22

num_e =

1.0e+004 *

Columns 1 through 6

0 0 0.0011 0.0270 0.2784

1.3936

Columns 7 through 11

3.2545 2.9654 0.8520 0 0

den_e =

1.0e+004 *

Columns 1 through 6

0.0001 0.0030 0.0395 0.2846 1.1939

2.9390


4.1065 2.9654 0.8520 0 0

zerouri =

0

0

-7.0000 + 4.6904i

-7.0000 - 4.6904i

-5.0000

-4.0000

-1.0000

-0.5455

poli =

0

0

-7.0000 + 4.6904i

-7.0000 - 4.6904i

-5.0000

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000 + 0.0000i

-1.0000 - 0.0000i

n urma simplificrii, func

ia de transfer echivalent

pentru sistemul rezultant

devine:

)3)(2)(1(5455.0

)5455.0(6)(

+++

+=

sss

ssH

Schema Simulink este prezentat n Figura 11.13 i rspunsul procesului n Figura11.14.


23/28


L11 /23

Figura 11.13Schema de reglare b) cu reacie dup eroarea strii estimateiintegrator

Figura 11.14Schema de reglare b). Rspunsul procesului cnd Nx= [1;0]


24/28

Lucrarea 11

L11 / 24

Figura 11.15Schema de reglare b). Rspunsul procesului cnd Nx= [0;0]

Figura 11.15 prezint rspunsul procesului n cazul particular cnd Nx=[0;0]. nacest caz, legea de comand devine:

= kxkuT

utiliznd reacia dup stare n locul erorii strii.

Dup execuia programului Matlab de mai sus n care s-a modificat doar linia:

Nx=[0;0]; % Nx fortat la [0;0]

se obin rezultatele:nump =

0 0 1.0000

denp =

1 1 0

numr1 =

0 154.0000 274.0000 120.0000

denr1 =

1 14 71 0

numr2 =

0 -148.0000 -220.0000 0

denr2 =

1 14 71 0


25/28


L11 /25

num_e =

1.0e+004 *

Columns 1 through 6

0 0 0 0.0006 0.0144

0.1440


0.6816 1.4034 0.8520 0 0

den_e =

1.0e+004 *

Columns 1 through 6

0.0001 0.0030 0.0395 0.2846 1.1939

2.9390


4.1065 2.9654 0.8520 0 0

zerouri =

0

0

-7.0000 + 4.6904i

-7.0000 - 4.6904i

-5.0000

-4.0000

-1.0000

poli =

0

0

-7.0000 + 4.6904i

-7.0000 - 4.6904i

-5.0000

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000 + 0.0000i

-1.0000 - 0.0000i

n urma simplificrii funcia de transfer echivalent pentru sistemul rezultantdevine:

)3)(2)(1(6)(

+++=

ssssH

Ca i n cazul a) dac Nx=[0;0] se elimin zeroul din funcia de transferechivalent, ceea ce conduce la un rspuns mai lent dar fr suprareglaj.

Not important: Spre deosebire de cazul a), dac Nx=[0;0] schema de reglareobinut se poate aranja astfel nct s depind de eroarea (vezi reprezentareaprin funcii de transfer din Figura 11.13). Sub aceast form se elimin riscul de-aavea comportamente diferite funcie de starea iniial a procesului. Prin urmare


26/28

Lucrarea 11

L11 / 26

varianta cu Nx=[0;0] poate fi considerat pentru acele aplicaii unde absenasuprareglajului este mai important dect viteza de rspuns.

c) Regulator cu estimator al erorii strilor i integrator

Programul Matlab:

A=[0 1;0 -1];

b=[0; 1];

cT=[1 0];

[nump,denp]=ss2tf(A,b,cT,0) %functia de transfer Hp a procesului

%crearea sistemului extins cu includerea integratorului

Ae=[A zeros(2,1); -cT 0];be=[b;0];

P=[-1 -2 -3]; %valorile proprii dorite pentru legea de comanda

kT=acker(Ae,be,P); %calcul lege de comanda extinsa

Pe=[-4 -5]; %valorile proprii dorite pentru estimator

lT=acker(A',cT',Pe); %calcul lT pentru estimator

L=lT'; % L - vector coloana

%estimatorul: xest'=A*xest+b*u+L(-err-cT*xest) se poate pune%sub forma: xest'=(A-L*cT)xest+[b -L]*[u;err]%cu 2 intrari: u si err, unde u = k*xest-k3*IerrAest=A-L*cT;

best=[b -L];

cest=eye(2); % yest=[1 0;0 1]*xest - starile estimate

%inlocuind u in estimator -> reprezentarea in SS a regulatoruluiAr=[A-b*kT(1:2)-L*cT -b*kT(3);zeros(1,3)];

br=[-L;1];

cr=-kT;

%Regulatorul are functia de transfer:[numr,denr]=ss2tf(Ar,br,cr,0)

%functia de transfer a sistemului rezultant este[numbd,denbd]=series(numr,denr,nump,denp);%Hdb=Hr*Hp[numbi,denbi]=feedback(numbd,denbd,1,1)

%Hbi=Hbd/(1+Hbd)=Hr*Hp/(1+Hr*Hp)

zerouri=roots(numbi)poli=roots(denbi)

Dup execuie se obin rezultatele:

nump =

0 0 1.0000

denp =

1 1 0

numr =

0 154.0000 274.0000 120.0000


27/28


L11 /27

denr =

1 14 71 0

numbi =

0 0 0 154.0000 274.0000

120.0000

denbi =

1.0000 15.0000 85.0000 225.0000 274.0000

120.0000

zerouri =

-1.0000

-0.7792

poli =

-5.0000

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000

n urma simplificrii funcia de transfer echivalent pentru sistemul rezultantdevine:

)5)(4)(3)(2(7792.0

)7792.0(120)(

++++

+=

ssss

ssH

Schema Simulink este prezentat n Figura 11.13 i rspunsul procesului n Figura11.14

Figura 11.16Schema de reglare c) cu estimarea erorilor strilori integrator


28/28

Lucrarea 11

L11 / 28

Figura 11.17Schema de reglare c). Rspunsul procesului

Not: Schema de reglare c) are avantajul simplitii. Ea introduce ns un zerou nfuncia de transfer echivalent, care conduce la un suprareglaj mai mare dect ncazurile a) i b) cu Nx=[1;0], adic cnd se utilizeaz reacia dup eroarea strii.

3. Cerinele lucrrii de laborator

1. Se cere s se proiecteze varianta discretizat a celor 3 sisteme de reglareprezentate n exemplul 2. Se va considera pasul de eantionare 0,1s.

4. Exerciii

1. Pentru sistemul de reglare din figura 11.18, s se determine valoarea minim afactorului K, astfel nct eroarea staionar s fie mai mic de 1%.

Figura 11.18Schema de reglare 12. S se calculeze eroarea staionar a sistemului de reglare din figura 11.19,

pentru K=2, dac se aplic o perturbaie treapt ( )s

sHv2

= i referina este 0.

yK

*

ry

12

1

+s

1+s

s

+

+

v

+

Figura 11.19Schema de reglare 2

y* +- K 110

1

+s

y

RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta

Documents

Transcript of RA_Proiectarea Regulatoarelor Dupa Stare Pentru Intrari Treapta