Proiecţia Stereografică 1930

83
PROIECŢIA STEREOGRAFICĂ 1930 (1933) PE PLAN UNIC SECANT BRASOV Caracteristici generale În anul 1930 s-a hotărât adoptarea, pentru ţara noastră, a unei proiecţii stereografice pe plan unic secant denumită şi “pe planul secant Braşov”, având ca pol Q 0 (punct central) un punct fictiv (nematerializat în teren), situat aproximativ la 30 km nord-vest de Braşov. Coordonatele geografice ale punctului central au valorile: 0 = 51 G 00 c 00 cc ,000 (45 0 54 00 ’’ ,0000) 0 = 28 G 21 c 00 cc ,510 est Gr. (25 0 23 32 ’’ ,8722) Precizarea “plan unic secant Braşov” se face deoarece, înainte de data introducerii acestei proiecţii, în anumite zone ale ţării se lucra pe plan tangent Budapesta (în vestul ţării) sau în proiecţie stereografică Târgu Mureş. Harta ţării, în această proiecţie stereografică, urma să se sprijine pe o triangulaţie nouă, motiv pentru care s-a adoptat elipsoidul de referinţă Hayford orientat pe Observatorul Astronomic.

description

despre proiectia stereo 1930

Transcript of Proiecţia Stereografică 1930

PROIECIA STEREOGRAFIC 1930 (1933) PE PLAN

UNIC SECANT BRASOV

Caracteristici generale

n anul 1930 s-a hotrt adoptarea, pentru ara noastr, a unei proiecii stereografice pe plan unic secant denumit i pe planul secant Braov, avnd ca pol Q0 (punct central) un punct fictiv (nematerializat n teren), situat aproximativ la 30 km nord-vest de Braov.

Coordonatele geografice ale punctului central au valorile: 0 = 51G 00c 00cc,000 (4505400,0000)0 = 28G 21c 00cc,510 est Gr. (2502332,8722)

Precizarea plan unic secant Braov se face deoarece, nainte de data introducerii acestei proiecii, n anumite zone ale rii se lucra pe plan tangent Budapesta (n vestul rii) sau n proiecie stereografic Trgu Mure.

Harta rii, n aceast proiecie stereografic, urma s se sprijine pe o triangulaie nou, motiv pentru care s-a adoptat elipsoidul de referin Hayford orientat pe Observatorul Astronomic.Militar din Bucureti. n punctul astronomic fundamental s-au facut murtori astronomice pentru determinarea latitudinii, longitudinii i azimutului care au fost transmise n reeaua geodezic de stat.

Proiecia fiind stereografic rezult c, din punct de vedere al deformaiilor, se nscrie n seria proieciilor conforme ceea ce permite ca msurtorilegeodezice efectuate s poat fi prelucrate direct n planul de proieci, dup aplicarea prealabil a unor corecii de reducere la paln

Sistemul de axe de coordonate plane stereografic a fost astfel ales nct originea s reprezinte imaginea plan a polului Q0( 0, 0), axa Oy s se gaseasc pe direcia nord-sud, cu sensul pozitiv spre nord, iar axa Ox pe direcia est-vest, cu sensul pozitiv spre est.

Fig.6.4 Sistemul de axe de coordonate n proiecia Stereografic 1930 i sistemul de mprire pe foi

Pentru unele nevoi practice, n scopul de a nu se lucra cu coordonat negative, s-a adoptat o translaie a sistemului de axe de coordonate cu 500 000 m spre vest i respectiv cu 500 000 m spre sud, astfel c, pentru teritoriul ntregii ri coordonatele plane deveneau positive (fig.5.8). De subliniat faptul c aceste coordonate care au suferit translaii nu se puteau utiliza pentru orice calcul. De exemplu, nu se puteau utiliza pentru calculul coreciei de reducere la coarda, calculul coreciei de reducere a distanelor la planul de proiecie, calculul deformaiilor etc.

Sunt folosite dou plane de proiecie: un plan secant i unul tangent. Pentru un teritoriu reprezentat n cele doua plane se obin imagini asemenea, imaginea din planul secant fiind mai mic decat cea din planul tangent.

Fig. 6.5. Utilizarea celor dou plane n proiecia Stereografic 1930

Transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent n planul unic secant Braov se realizeaz prin nmulirea coordonatelor din planul tangent cu coeficientul c de reducere a scrii, avnd valoarea:

c = 1 - 1/3000 = 0. 999 666 67

Transformarea coordonatelor stereografice din planul unic secant n planul tangent se face prin nmulirea celor din planul secant cu coeficientul c care are valoarea:

c = 1/c = 1.000 333 44

ELEMENTELE CARACTERISTICE PROIECIEI STEREO 1970

1 Caracteristici generale

n septembrie 1970, prin decretul nr.305 cu privire la activitatea geodezic, topo-fotogrametricsi cartografic, precum i la procurarea, deinerea i folosirea datelor i documentelor rezultate din aceast activitate se prevedea ca:

Lucrrile geodezice, topo-fotogrametrice i cartografice necesare economiei naionale se execut n proieie stereografic 1970 i sistem de cote de referi Marea Neagr.

Pentru nevoile de aprare i securitate, precum i pentru cele necesare activitilor tiiifice, nvmntului, uzului public i propagandei, aceste lucrri vor fi executate i n alte sisteme de proiecie.

Conform prevederilor decretului menionat, obligaia de a stabili parametrii care s caracterizeze noul sistem de proiecie stereografic 1970 i-a revenit Direciei de geodezie i cadastru din Ministerul Agriculturii, Industriei Alimentare i Apelor.n 1972, au fot stabilite urmtoarele elemente care s caracterizeze proiecia stereografic

1970:

Se menine elipsoidul de referin Krasovski (1940), orientat la Pulkovo ca i n cazul proieciei Gauss-Kruger;

2) Polul Q0 al proieciei, denumit i centrul proieciei are coordonatele geografice:

38

0 = 46o Lat. N0 = 25o est Greenwich

Fig. 6.6. Cercul de deformaie nul n proiecia Stereografic 1970

Aceste coordonate difer puin de cele ale polului vechiului sistem de proiecie stereografic (1933) utilizat n trecut n ara noatr. Noul pol este deplasat spre nord-vest fa de cel vechi.

ntreaga ar se reprezint pe un singur plan de proiecie, n care exist un cerc de deformaie nul cu raza 0 = 201,718 m ceea ce corespunde unui sistem secant, n care exist deformaii pozitive i negative, avnd cele mai mari deformaii negative, de -25 cm/km, n punctul central.

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane are ca origine imaginea plan a punctului central (fig. 5.10). Astfel:

Axa Ox este o dreapt reprezentnd imaginea meridianului 0, ea fiind i ax de simetrie. Are sensul pozitiv spre nord.

Axa Oy este perpendicular pe axa Ox i are sensul pozitiv spre est.

Sistemul de coordonate plane xOy folosit de proiecia stereografic 1970 este inversat fa de sistemul de axe din vechea proiecie sterografic 1930-1933.

Paralel cu planul secant se utilizeaz i un plan tangent la ellipsoid, acesta constituind

o suprafa auxiliar. Imaginile din cele doua plane

sunt asemenea, cea din planul secant fiind mai mic (avnd scara micorat). Pentru trecerea de la coordonatele din planul tangent la cele din planul secant se folosete un coeficient de reducere la scar:

c = 1 - 40001 0,99975

Relaiile dintre coordonatele aceluiai punct din cele dou plane de proiecie se exprim astfel:

xsec = xtgc ysec = ytgc

6) Transformarea coordonatelor stereografice din planul secant n cel tangent se face

nmulind aceste coordonate cu coeficientul:

c =11, 000 250 063

c

Sistemul de proiecie stereografic 1970 a nceput s fie utilizat n lucrrile de producie curent, din ara noastr, din anul 1973.

PROIECIA STEREOGRAFIC 1930 (1933) PE PLAN UNIC SECANT BRASOV

Caracteristici generale

n anul 1930 s-a hotrt adoptarea, pentru ara noastr, a unei proiecii stereografice pe plan unic secant denumit i pe planul secant Braov, avnd ca pol Q0 (punct central) un punct fictiv (nematerializat n teren), situat aproximativ la 30 km nord-vest de Braov.

Coordonatele geografice ale punctului central au valorile: 0 = 51G 00c 00cc,000 (4505400,0000)0 = 28G 21c 00cc,510 est Gr. (2502332,8722)

Precizarea plan unic secant Braov se face deoarece, nainte de data introducerii acestei proiecii, n anumite zone ale rii se lucra pe plan tangent Budapesta (n vestul rii) sau n proiecie stereografic Trgu Mure.

Harta rii, n aceast proiecie stereografic, urma s se sprijine pe o triangulaie nou, motiv pentru care s-a adoptat elipsoidul de referin Hayford orientat pe Observatorul Astronomic Militar din Bucureti. n punctul astronomic fundamental s-au facut murtori astronomice pentru determinarea latitudinii, longitudinii i azimutului care au fost transmise n reeaua geodezic de stat.

Proiecia fiind stereografic rezult c, din punct de vedere al deformaiilor, se nscrie n seria proieciilor conforme ceea ce permite ca msurtorilegeodezice efectuate s poat fi prelucrate direct n planul de proieci, dup aplicarea prealabil a unor corecii de reducere la paln

Sistemul de axe de coordonate plane stereografic a fost astfel ales nct originea s reprezinte imaginea plan a polului Q0( 0, 0), axa Oy s se gaseasc pe direcia nord-sud, cu sensul pozitiv spre nord, iar axa Ox pe direcia est-vest, cu sensul pozitiv spre est.

Fig.6.4

Pentru unele nevoi practice, n scopul de a nu se lucra cu coordonat negative, s-a adoptat o translaie a sistemului de axe de coordonate cu 500 000 m spre vest i respectiv cu 500 000 m spre sud, astfel c, pentru teritoriul ntregii ri coordonatele plane deveneau positive (fig.5.8). De subliniat faptul c aceste coordonate care au suferit translaii nu se puteau utiliza pentru orice calcul. De exemplu, nu se puteau utiliza pentru calculul coreciei de reducere la coarda, calculul coreciei de reducere a distanelor la planul de proiecie, calculul deformaiilor etc.

Sunt folosite dou plane de proiecie: un plan secant i unul tangent. Pentru un teritoriu reprezentat n cele doua plane se obin imagini asemenea, imaginea din planul secant fiind mai mic decat cea din planul tangent.

56

Fig. 6.5. Utilizarea celor dou plane n proiecia Stereografic 1930

Transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent n planul unic secant Braov se realizeaz prin nmulirea coordonatelor din planul tangent cu coeficientul c de reducere a scrii, avnd valoarea:

c = 1 - 1/3000 = 0. 999 666 67

Transformarea coordonatelor stereografice din planul unic secant n planul tangent se face prin nmulirea celor din planul secant cu coeficientul c care are valoarea:

c = 1/c = 1.000 333 44

Deformaii n proiecia Steraografic 1930

n planul tangent deformaiile liniare i areolare din polul Q0 sunt nule, iar n toate celelalte puncte ale planului se produc deformaii pozitive care cresc direct proporional cu ptratul distanei fa de polul Q0 (punctul central). De exemplu, la distana de 330km fa de polul proieciei, deformaia relativ este de 67 cm/km.n scopul micorrii deformaiilor s-a adoptat atunci un plan secant n locul celui tangent. n acest caz apare un cerc de deformaie nul cu raza de 233 km. n planul secant al proieciei stereografice deformaiile liniare i cele areolare sunt negative pentru zonele situate deasupra planului secant (n interiorul cercului de deformaie nul) i pozitive pentru zonele situate sub planul secant (n afara cercului de deformaie nul). Deformaiile cresc n valoare absolut pe masur ce se mrete distana fa de cercul de secionare.

Deformaiile negative maxime sunt n polul Q0 (n originea axelor) i ating valoarea - 33,33 cm/km.

Spre zonele limitrofe ale rii, de exemplul la distana de 330 km fa de originea axelor (fa de polul Q0), deformaiile din proiecia stereografic pe planul secant Braov au valoarea de +33,56cm/km, iar la distana de 380 km ele ating valori de +55,39cm/km.

Seciuni geodezice i seciunile topografice (cadastrale) n proiecia Stereografic 1930

57

O hart a rii la scara 1:20 000 realizat pe o foaie unic ar avea dimensiunile de aproximativ 40x30 m (Fig.5.8). Din aceast cauz, ar fi foarte greu de lucrat cu ea i atunci s-a recurs la mprirea ntregii suprafee a rii n seciuni- prin ducerea de drepte paralele la cele dou axe de coordonate X i Y.

Trasndu-se paralele la axele de coordonate pe direcia abscisei din 75 n 75 km, iar pe direcia ordonatei din 50 n 50 km, s-a obinut scheletul hrii rii la scara 1:100 000. Un dreptunghi rezultat din aceast trasare a paralelelor reprezint o hart topografic la scara 1:100 000. Dac se traseaz paralele pe direcia absciselor din 15 n 15 km, iar pe direcia ordonatei din 10 n 10 km, se obine scheletul hrii de baz a Romniei la scara 1:20 000.

n harta topografic la scara 1:100 000 se includ deci 25 de hri la scara

1:20 000.

n cazul n care se traseaz paralelele din 8 n 8 km pe direcia X i din 10 n 10 km pe direcia Y , se obine scheletul hrii rii n seciuni geodezice sau foile fundamentale ale planurilor cadastrale de dimensiunile 8x10 km.

Prin mprirea seciunii geodezice n 5 pri egale pe orizontal i 8 pri pe vertical se obin 40 de seciuni cadastrale.

O seciune geodezic = 8 km x 10 km = 80 km2 = 8 000 haO seciune geodezic = 10 seciuni cadastraleO seciune cadastral = 1 600 m x 1 250 m = 20 ha.

Formatul hrilor n aceast proiecie este dreptunghiular.

ELEMENTELE CARACTERISTICE PROIECIEI STEREO 1970

1 Caracteristici generale

n septembrie 1970, prin decretul nr.305 cu privire la activitatea geodezic, topo-fotogrametricsi cartografic, precum i la procurarea, deinerea i folosirea datelor i documentelor rezultate din aceast activitate se prevedea ca:

Lucrrile geodezice, topo-fotogrametrice i cartografice necesare economiei naionale se execut n proieie stereografic 1970 i sistem de cote de referi Marea Neagr.

Pentru nevoile de aprare i securitate, precum i pentru cele necesare activitilor tiiifice, nvmntului, uzului public i propagandei, aceste lucrri vor fi executate i n alte sisteme de proiecie.

Conform prevederilor decretului menionat, obligaia de a stabili parametrii care s caracterizeze noul sistem de proiecie stereografic 1970 i-a revenit Direciei de geodezie i cadastru din Ministerul Agriculturii, Industriei Alimentare i Apelor.n 1972, au fot stabilite urmtoarele elemente care s caracterizeze proiecia stereografic

1970:

Se menine elipsoidul de referin Krasovski (1940), orientat la Pulkovo ca i n cazul proieciei Gauss-Kruger;

2) Polul Q0 al proieciei, denumit i centrul proieciei are coordonatele geografice:

58

0 = 46o Lat. N0 = 25o est Greenwich

Fig. 6.6. Cercul de deformaie nul n proiecia Stereografic 1970

Aceste coordonate difer puin de cele ale polului vechiului sistem de proiecie stereografic (1933) utilizat n trecut n ara noatr. Noul pol este deplasat spre nord-vest fa de cel vechi.

ntreaga ar se reprezint pe un singur plan de proiecie, n care exist un cerc de deformaie nul cu raza 0 = 201,718 m ceea ce corespunde unui sistem secant, n care exist deformaii pozitive i negative, avnd cele mai mari deformaii negative, de -25 cm/km, n punctul central.

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane are ca origine imaginea plan a punctului central (fig. 5.10). Astfel:

Axa Ox este o dreapt reprezentnd imaginea meridianului 0, ea fiind i ax de simetrie. Are sensul pozitiv spre nord.

Axa Oy este perpendicular pe axa Ox i are sensul pozitiv spre est.

Sistemul de coordonate plane xOy folosit de proiecia stereografic 1970 este inversat fa de sistemul de axe din vechea proiecie sterografic 1930-1933.

Paralel cu planul secant se utilizeaz i un plan tangent la ellipsoid, acesta constituind

o suprafa auxiliar. Imaginile din cele doua plane

sunt asemenea, cea din planul secant fiind mai mic (avnd scara micorat). Pentru trecerea de la coordonatele din planul tangent la cele din planul secant se folosete un coeficient de reducere la scar:

c = 1 - 40001 0,99975

Relaiile dintre coordonatele aceluiai punct din cele dou plane de proiecie se exprim astfel:

xsec = xtgc ysec = ytgc

59

6) Transformarea coordonatelor stereografice din planul secant n cel tangent se face

nmulind aceste coordonate cu coeficientul:

c =11, 000 250 063

c

Sistemul de proiecie stereografic 1970 a nceput s fie utilizat n lucrrile de producie curent, din ara noastr, din anul 1973.

Condiii impuse reprezentrii n proiecia stereografic 1970:

Ecuaiile hrii au fost stabilite astfel ncat reprezentarea s satisfac urmtoarele condiii de baz:

1. S fie conform;

2. Meridianul o care trece prin punctul central se reprezint printr-o dreapt care este i ax de simetrie i ax Ox, iar originea O este imaginea plan a polului Q0;

3. Orice punct situat pe meridianul central o are abscisa:

xm = sR0 tg 2 R0

B

m

OB

/R0

O1/2R0R0

V

Fig.6.7. Seciune meridian prin sfera de raz R0

n figura de mai sus este reprezentat seciunea meridian printr-o sfer de raz R0 luat la latitudinea 0 = 46o N.B - este un punct oarecare pe sfer;

R0- raza sferei la latitudinea 0 = 46o N;

60

B- imaginea lui B n planul tangent de proiecie;

- lungimea arcului de meridian msurat pe elipsoid ntre paralelul de latitudine 460 i paralelul de latitudine a punctului considerat.

Relaia (5.15) mpreun cu figura (5.11) amintesc de expresia razei vectoare din proiecia azimutal stereografic pe plan tangent.

Coordonatele stereografice 1970 calculate n sistemul de axe de coordonate cu originea n centrul rii sunt modificate cu + 500 000 m att pe x ct i pe y, ceea ce corespunde unei translaii a axelor spre sud i vest. Acest lucru se face pentru a avea coordonate pozitive.

xx

500 000

Oy

500 000

Oy

Fig. 6.8. Translaia sistemului de axe de coordonate rectangulare plane n proiecia Sterografic 1970

Coordonatele x,y afectate de translaii pot fi utilizate pentru o serie de calcule cum sunt:

calculul distanei funcie de coordonate;

calculul orientrilor funcie de coordonate;

calculul ariei unei parcele n funcie de coordonatele plane ale colurilor ei.

Este complet interzis s se foloseasc coordonatele x, y care au translaii pentru o serie de calcule cum sunt:

transformarea coordonatelor plane stereografice n coordonate geografice;

transcalcularea coordonatelor din proiecie stereografic n proiecie Gauss-Kruger sau n alte proiecii;

reducerea direciilor sau distanelor la planul de proiecie .

2 Transformri de coordonate n proiecia Stereografic 1970

A. Transformarea coordonatelor geografice ( , ) de pe elipsoidul de referin n coordonate plane Stereografice 1970 (x, y):

61

Aceast transformare se face cu ajutorul unor formule cu coeficieni constani, n funcie de latitudinea i de longitudinea l dintre punctul considerat ( , ) i punctul central al proieciei (polul Q0 cu coordonatele geografice 0, 0).n acest calcul se pot deosebi dou etape:

transformarea coordonatelor geografice n coordonate stereografice pe planul tangent n Q0 ( acest calcul este cel mai laborios);

transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent n planul secant, paralel cu planul tangent; aceast a doua etap, extrem de simpl, se realizeaz prin nmulirea coordonatelor din planul tangent cu un coeficient de reducere a scrii, care este subunitar i depinde de distana dintre planul tangent i cel secant.

Formulele de calcul s-au stabilit dup o metod propus de academicianul bulgar V.K.HRISTOV, metoda care, n esen, const n dezvoltarea n serie Taylor, n jurul

punctului central ( 0, 0), a elementelor care depind de latitudine. Derivatele respective, calculate n punctul central ( 0, 0) apar sub forma unor constante, care se grupeaz convenabil sub form de coeficieni constani.

Reprezentarea trebuie s satisfac urmatoarele condiii:

s fie conform;meridinul 0 care trece prin polul Q0 (centrul proieciei) s se reprezinte printr-o dreapt care se ia ca ax xx, cu sensul pozitiv spre nord, fiind i ax de simetrie;

originea O a sistemului de coordonate stereografice este imaginea plan a punctului central, iar un punct oarecare B ( , ) situat pe meridianul central 0 are coordonata xm dat de relaia: xm = 2R0tg /2R0

unde,R0 - este raza sferei Gauss la latitudinea 0;

- este un arc de meridian, a crui lungime este egal cu cea a arcului de meridian de pe elipsoid,cuprins ntre paralele 0 i .

Prin urmare, pentru un elipsoid dat i o latitudine 0 stabilit pentru centru de proiecie, coeficienii utilizai n formulele pentru calculul coordonatelor plane stereografice 1970, auvalori constante. n cazul de fa, pentru elipsoidul Krasovski i latitudinea 0 = 460 s-au calculat urmatoarele valori numerice pentru coeficientii constani prezentate n foia de calcul, n coloanele 2, 3, 4, 5 din tabelul 1 i n coloanele 2, 3, 4 din tabelul doi.Pentru ara noastr, i mai ales ( - 0) pot atinge valori mai mari dect 10 000. Astfel de numere ridicate la puterile 5 i 6 devin incomode, din cauza mrimii lor, n timp ce coeficienii constani sunt foarte mici. n scopul evitrii acestui inconvenient, n formule s-a considerat:

f = 10-4 l = 10-4( - 0)

Aceste valori ale coeficienilor constani, pentru transformarea coordonatelor geografice ( , ) n coordonate plane stereografice pe un plan tangent, la latitudinea 0 = 460, au fost calculate la I.G.F.C.O.T. (Bucureti).Practic, procedeul de calcul pentru x este urmtorul:

Elementele coloanei 1 se nmulesc cu elementele corespunztoare (de pe aceeai linie) din coloana 2, se nsumeaz algebric obinndu-se valoarea S0, care se nmulete cu primul element din coloana 6, obinndu-se primul rezultat partal r0. Asemntor, din coloanele 1 i

62

3, 1 i 4, 1 i 5, 1 i 6 se obin S2, S4, S6 care se nmulesc cu elementele coloanei 6 rezultndr2, r4, r6.

nsumnd algebric rezultatele din coloana 7, se obine valoarea lui xtg, din planul tangent de proiecie stereografic apoi, prin nmulirea acestuia cu coeficientul c = 0, 999 750 000, se obine valoarea lui x n planul secant de proiecie stereografic 1970.

Calculul lui y se face asemntor cu cel a lui x.Procedeul asigur o precizie de ordinul a 1 cm pentru orice punct din ara noastr.

B. Transformarea coordonatelor rectangulare plane Stereografice 1970 (x,y) n coordonate geografice ( , ), pe elipsoidul de referin:

Acest calcul presupune dou etape:

etapa nti, de transformare a coordonatelor stereografice din planul secant n planul tangent, paralel cu cel secant, prin nmultirea cu un coeficient supraunitar:

c = 1, 000 250 063

etapa a doua, mai laborioas, const n transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent, n coordonate geografice ( , ) pe elipsoidul de referin; aceast problem se rezolv cu ajutorul unor formule cu coeficieni constani, stabilite ntr-un mod asemntor, n principiu, cu formulele pentru calculul coordonatelor plane stereografice.Se calculeaz nti diferena de coordonate i l fa de centrul proieciei ( 0, 0), apoi coordonatele geografice:

= 0 +

= 0 + l5.19

Pentru elipsoidul Krasovski i 0 = 460, coeficienii constani sunt prezentai n tabelele 2, 3, 4 din foaia de calcul de mai jos.

Valorile pentru coeficienii constani au fost calculate la I.G.F.C.O.T. (Bucureti).

Procedeul de calcul pentru i este acelai ca n cazul calcului coordonatelor plane rectangulare.

C. Transcalcularea coordonatelor plane Gauss n coordonate plane stereografice 1970 i invers:

Transformarea coordonatelor plane Gauss n oordinate plane stereografice 1970 se face prin intermediul coordonatelor geografice.

Metoda presupune dou etape:

a) n prima etap, se transform coordonatele plane Gauss n oordinate pe elipsoidul de referin;

b) n a doua etap, coordonatele geografice de pe oordinat se transform n oordinate plane stereografice 1970.

Pentru transcalcularea coordonatelor plane stereografice 1970 n oordinate plane Gauss se procedeaz n acelai fel ca i n primul caz.

Calculul este oordi i omogen pentru toat ara deoarece ambele proiecii folosesc acelai oordinat Krasovski 1940 cu aceeai orientare.

n producie, pentru unele lucrri mai puin pretenioase sub aspectul preciziei, se aplic formulele de transcalculare din topografie, folosind drept puncte cu oordinate i ambele

63

sisteme de proiecie colurile trapezelor, pentru care att coordonatele plane Gauss, ct i cele plane stereogarfice 1970 se extrag din tabele.

Aceast metod este mai rapid, ns cea mai riguroas este metoda prin intermediul coordonatelor geografice.

3 Reducerea direciilor la planul de proiecie Stereografic 1970

Reducerea direciilor la planul de proiecie este operaia de corectare a direciilor msurate n reeaua geodezic de stat prin aplicarea unor corecii unghiulare numite corecii de reducere la coard. Aceast operaie este necesar deoarece, n planul de proiecte, imaginile plane ale laturilor triunghiurilor geodezice nu sunt linii ci sunt curbe.Pentru stabilirea formulei de calcul a acestei corecii, se consider pe sfera de raz medie R0 triunghiul sferic B1B2Q0, n care B1 i B2 sunt extremitile unei direcii msurate (capetele unei laturi de triangulaie), iar Q0( 0, 0) este polul proieciei.

B1+x

0B2

B112

21

0B2

Q0 ( 0, 0)

O+y

a) pe elipsoid (sfer)

b) n planul de proiecie

Fig. 6.9 Reprezentarea liniilor geodezice (pe elipsoid i n planul de proiecie)

Pentru reprezentarea n plan a acestui triunghi sferic se au n vedere urmatoarele proprieti ale proieciei stereografice:

proiecia este conform;cercurile mari care trec prin Q0 (verticaluri) se reprezint prin segmente de dreapt care trec prin originea O;

un arc de cerc se va reprezenta tot printr-un arc de cerc (excepie fac verticalurile).Imaginile plane ale vrfurilor triunghiului sferic sunt punctele B1, B2 i O. Arcele de cerc B1Q0 i B2Q0, aparinnd unor verticaluri ale polului Q0, se reprezint prin dreptele B1O i B2O, care fac ntre ele un unghi , egal cu cel corespunztor de pe sfer, iar linia geodezic

64

B1B2 de pe sfera, fiind un arc mare care nu trece prin polul Q0, se reprezint n plan prin arcul de cerc B1B2 cu concavitatea spre interiorul triunghiului.

n punctele B1 i B2 el face cu coarda sa unghiurile:

1,2 = 2,1

egale n valoare absolut cu coreciile de reducere la coarda ale directiilor B1B2 i respectivB2B1.

Suma unghiurilor triunghiului sferic B1B2Q0 este egal cu 200G + , unde este excesul sferic.

Proiectia fiind conform, ungiurile imaginii plane a acestui triunghi sferic trebuie s fie nedeformate, adic :

200G + 1,2 + 2,1 = 200G +

1,2 = 2,1 = /2

ss

=,=

R2R2

00

n care, S este suprafaa triunghiului sferic B1B2Q0.

Corecia de reducere la coard avnd valori relativi mici, s-a nlocuit suprafaa triunghiului sferic cu suprafaa triunghiului plan B1B2O.

1x1y111x1y11

S S1 =x 2y21==(x1y2- x2y1)

22x2y22

001

Avnd n vedere faptul c orientrile i gradaiile cercurilor orizontale ale teodolitelor cresc n sensul micrii acelor de ceasornic, rezult c pentru direcia B1B2 semnul corectei trebuie s fie pozitiv n B1 i negativ n B2:1,2 = - 2,1="(x1y2 - x2y1)

4 R2

0

Prin analiza unui caz concret, se vede c formula de calcul a coreciei de reducere la coard asigur i semnul coreciei.

O examinare a diverselor situaii din ara noatr indic folosirea razei R0 la latitudinea de 460: R0(460) = 6 378 956m.Termenul din faa parantezei fiind constant rezult:

pentru gradaia centesimal:

1,2 = - 2,1= 10-10 39,113(x1y2 - x2y1)

pentru gradaia sexagesimal:

65

1,2 = - 2,1= 10-10 12,673(x1y2 - x2y1)

Calculul coreciilor de reducere la coard impune cunoaterea unor coordonate aproximative (cu aproximaia de ordinul metrilor) att ale punctului de staie, ct i ale punctului vizat. n cazul punctelor noi, procesul este iterativ n sensul c: se calculeaz ntr-o prim etap coordonatele provizorii cu ajutorul diretiilor nereduse, cu ajutorul acestora se calculeaz coreciile de reducere la coard, direciile reduse vor folosi apoi la calculul unui nou set de coordonate.

Procedeul si formulele de calcul ale corectiei de reducere la coarda asigura o precizie de 0,01.

Corectitudinea coreciilor se poate verifica pe triunghiuri, cu ajutorul triunghiului sferic.

+x12

2

12

13

3

3

O

+y

Fig.7.1 Verificarea coreciilor de reducere la coard

( i,j )r= ( i,j)m + i,j

unde,

( i,j )r - este direcia redus la coard;( i,j)m - este direcia msurat, neredus la coard.

1+ 2 + 3 =1800+

1+ 2 + 3 =1800

unde,

66

- este unghiul obinut din direciile reduse la coard; - este unghiul obinut din direciile msurate.

Va rezulta relaia:( 13 - 12) + ( 21 - 23) +( 32 - 31) = -

Regul practic de verificare: n orice triunghi geodezic, suma coreciilor de reducere a direciilor la planul de proiecie pentru cele trei unghiuri trebuie s fie egal cu excesul sferic al triunghiului respectiv luat cu semn schimbat.

4. Reducerea distanelor la planul de proiecie Stereografic 1970

Calculul respectiv se poate separa n dou etape:

3. reducerea unei distane de pe elipsoid (sfera terestr) la planul tangent n Q0( 0, 0);4. reducerea distanei din planul tangent n Q0 la planul secant, paralel cu cel tangent.

+x

1(x1,y1)

2 (x2;y2)

S

O+y

Fig. 7.2. Imaginea plan a linie geodezice de pe elipsoid

Curba 1-2 are lungimea i reprezint imaginea plan a liniei geodezice. Coarda 1-2 are lungimea S. Pe elipsoid (sfera terestr) linia geodezic are lungimea s.

In aproximaia = S, se pune problema gsirii unei legturi ntre s i S.

Plecnd de la expresia modulului de deformaie liniar din proiecia stereografic pe plan tangent se va ajunge la expresia:

s122S 2

1( xmym)

S4R0212

Dezvoltnd paranteza dup binomul lui Newton la puterea -1 i nlocuind S2 = x2 + y2, distana S redus la planul tangent se calculeaz cu formula:

67

sxm2 y2x2y2

1m

22

S

4R048R0

unde,xm, ym sunt coordonatele medii ale unui punct situat la mijlocul segmentului 1-2

x, y sunt diferenele de coordonate ntre punctele 1i 2.

Distana S0 redus la planul secant se calculeaz cu relaia:

S0 = Sc

n care c este coeficientul subunitar utilizat pentru transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent n cel secant (c = 0,999 750 000).Coordonatele plane xm, ym i diferenele de coordonatex = x2 - x1 y = y2 - y1este suficient s se cunoasc cu o aproximaie de ordinul metrilor.

Valoarea

S2 = x2 + y2

necesar pentru calculul ultimului termen corectiv poate fi nlocuit cu valoarea s2 de pe elipsoid sau sfer.

5. Deformaii n proiecia Stereografic 1970

Proiecia stereografic 1970, fiind o proiecie conform, nu deformeaz unghiurile. Se deformeaz, n schimb, lungimile i ariile.

Deformaiile distanelor

Pornind de la formulele stabilite la prezentarea unei proiecii stereografice a unei sfere pe un plan tangent va rezulta:

= A

= 2R0tgL

2 R

0

tg x = x + 1/3 x3 + 2/15 x5 +.........

tgLL1L32L5.........

2R2R38R 315 216R5

0000

tgL1( LL3L5)

2R2R12R 2120R 4

0000

68

1L3L5

= 2R0( L)

2R12R2120R 4

000

= LL3L5

12R2120R4

00

Deformaia total va fi:

- LL3L5

24

12R120R

00

Dac notm deformaia liniar din planul tangent cu T i pe cea din planul secant cu S se obine:dLL2dLL4dL

d4R224R2

T =00

dLdL

T = 1L2L4,

4R224R4

00

ultimul termen din relatia de mai sus poate fi neglijat deoarece:

L = 400kmR0 = 6 000km

Dac pentru calculul termenului L2/4R02 se face aproximarea:

L22 = x2 + y2,

atunci se obine :

T = 1241x2 y2

4R224R44R2

000

n care x i y sunt coordonatele rectangulare plane stereografice ale punctului n care se calculeaz valoarea lui .Calculul deformaiei liniare n plan secant se face folosind coeficientul de reducere la scar c= 0,99975:

S = T c xtg = xsec/cS = c( x 2 y2 )sec

4cR2

0

69

ytg = ysec/cPentru latitudinea medie a rii noastre, 0 = 460

S = 0,99975 + 6,145 388 10-15(x2 + y2)sec

Deformaiile liniare relative se calculeaz cu formulele:

n plan tangent:

Dt = T - 1 =( x2y2 )tgtg2

4R 24R 2

00

n plan secantDs =S - 1 = (c1) ( x2 y2 )sec

4cR0 2

Ds= -0,000 25 + 6,145 388 10-15(x2 + y2)sec

Deformaiile ariilor:

Deformaiile areolare au acelai semn cu cele liniare, iar valoarea modulului de deformaie areolar poate fi calculat cu ajutorul relaiei:

p = 2

Concluzii privind deformaiile n proiecia Stereografic 1970

n planul tangent, toate deformaiile sunt oordina i sunt direct proporionale cu ptratul distanei de la oordina considerat la originea axelor.

n planul secant, exist att deformaii pozitive ct i deformaii negative. Fiind vorba de un plan secant, exist un cerc de deformaie nul, cu raza de aproximativ 201,7km.

n oricare alt punct din interiorul cercului de deformaie nul deformaiile liniare i areolare sunt negative. Cele mai mari deformaii negative sunt n polul Q0 (originea axelor deoordinate plane) i au valoarea de -25 cm/km.

n oricare alt punct oordin n afara cercului de deformaie nul deformaiile sunt oordina i cresc pe msur ce se mrete distana fa de acest cerc. Pe o mare parte din regiunea de frontier a rii deformaiile au valori n jurul a 20 cm/km. n extremitatea vestic a rii, spre localitatea Beba Veche i n estul Dobrogei (teritorii situate la circa 375 km fade oordina central) deformaiile au valori de aproximativ 63,7 cm/km.

Izoliniile referitoare la deformaii au aspectul unor cercuri concentrice cu centrul n originea axelor de oordinate plane.

6. Cadrul i nomenclatura foilor planurilor i hrilor topografice n proiecia Stereografic 1970

n vederea simplificrii racordrii ntre vechile foi de plan executate n proiecia Gauss i cele noi, care se execut n proiecie stereografic, s-au pastrat cadrul geografic i nomenclatura trapezelor la fel ca i n proiecia Gauss.

70

Hrile i planurile topografice au, n general, un cadru geografic format din imaginile plane ale unor arce de meridiane i paralele, care. pe elipsoidul de rotaie, delimiteaz trapeze curbilinii, denumite n mod curent trapeze.

Fiecare trapez are o anumit nomenclatur i se reprezint pe o foaie de hart separat. Cunoscnd regulile dup care se face nomenclatura trapezelor, dac se d nomenclatura unui trapez se pot deduce, fara dificulti:

scara hrii (planului)

coordonatele geografice ale colurilor

nomenclatura trapezelor vecine

Pentru c dimensiunile i nomenclatura trapezelor sunt strns legate de scar, a fost necesar s se standardizeze valorile scrilor asfel c, se folosesc urmatoarele scri standard:

1:1 000 000, 1:500 000, 1:200 000, 1;100 000, 1:50 000, 1;25 000, 1:10 000, 1:5 000, 1:2 000, ultimele trei sunt scrile planurlor topografice de baz ale rii.

71

Cursul nr. 8 i 96. PROIECIILE CILINDRICE

Proiectiile cilindrice se obin prin proiectarea elipsoidului de referin pe suprafaa lateral a unui cilindru care apoi se taie dup una din generatoarele sale i se desfoar n plan.

6.1. Principii fundamentale

Suprafaa elipsoidului de rotaie sau a sferei se reprezint pe suprafaa lateral a unui cilindru tangent sau secant care apoi se desfoar n plan, obinndu-se o reprezentare cilindric. Orientarea cilindrului fa de elipsoid sau sfer este dat de coordonatele geografice (o, o) ale polului proieciei Q0.Operaiile de calcul ale proieciei cilindrice se desfoar n urmtoarea succesiune:

1. Suprafaa elipsoidului de rotaie se reprezint mai nti, n cazul proieciilor oblice i transversale, pe suprafaa unei sfere de raz R, n condiiile reperezentrilor conforme, echivalente i echidistante, iar n cazul proieciilor drepte acest calcul se efectueaz numai pentru unele rezolvri particulare.

2. Coordonatele geografice (, ) de pe sfera terestr de raz R se transform n coordonate sferice polare (A, Z), n cazul proieciilor oblice i transversale.

3. Se calculeaz coordonatele rectangulare plane (x, y).

4. Se efectueaz construcia grafic a reelei cartografice de meridiane i paralele, precum i a imaginilor plane ale unor detalii ce trebuie s fie reprezentate, pe baza coorodnatelor rectangulare plane.

5. Se calculeaz modulii de deformare liniar, areolar, precum i deformaiile maxime ale unghiurilor, n funcie de condiiile de baz ale reprezentrilor cartografice.

Din punct de vedere practic, proieciile cilindrice se folosesc att pentru reprezentri la scri mici, n cazul ntocmirii hrilor universale, ct i pentru reprezentri la scri mari. Cele mai studiate sunt proieciile drepte i transversale i anume: proiecii cilindrice drepte, echidistante cu reeeau n ptrate i n dreptunghiuri;

proiecia cilindric dreapt conform, Mercator; proiecia cilindric transversal conform Gauss-Kruger;

proiecia UTM (Universal Transversal Mercator)

6.2.Clasificarea proieciilor cilindrice

1. n funcie de latitudinea 0 a polului proieciei:proiecii drepte: 0 = 90proiecii oblice: 0 < 0 < 90 proiecii transversale: 0 = 02.n funcie de natura elementelor care nu se deformeaz:

proiecii conforme (=0)

proiecii echivalente (=l) proiecii arbitrare (echidistante pe meridiane: m=l sau pe verticaluri i=l)3.n funcie de poziia cilindrului:

proiecii cilindrice tangente proiecii cilindrice secante4. dup aspectul reelei cartografice normale se disting:

proiecii cilindrice cu reeaua normal n ptrate;

72

proiecii cilindrice cu reeaua normal n dreptunghiuri egale;

proiecii cilindrice cu reeaua normal n dreptunghiuri neegale.

Fig. 6.1 - Proiecia cilindric

a - dreapt; b - oblic; c - transversal; d - secant; e - aspectul reelei cartografice

6.3.Proiecii cilindrice drepte

Proieciile cilindrice drepte sau normale sunt proieciile n care axa cilindrului tangent sau secant la elipsoid sau sfera terestr coincide cu axa polilor.

6.3.1. Aspectul reelei normale n proieciile cilindrice drepte

73

n proieciile cilindrice drepte reeaua normal este format din imaginile meridianelor i paralelelor. Meridianele se reprezint printr-o familie de drepte paralele aflate la distane proporionale cu diferenele de longitudine, iar paralelele se reprezint printr-o familie de drepte perpendiculare pe imaginile meridianelor. Distanele dintre paralele difer n funcie de tipul proieciei.

Fig. 6.2. Aspectul general al reelei normale intr-o proiecie cilindric dreapt

6.3.2. Alegerea sistemului de axe de coordonate rectangulare plane

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane se alege cu originea n punctul de intersecie dintre imaginea plan a meridianului origine sau a meridianului mediu al zonei considerate de longitudine 0 i respectiv, al ecuatorului de latitudine 0= 0 sau a unui paralel oarecare.

Axa Ox se alege o dreapt care reprezint unul dintre meridiane, de obicei meridianul mediul al zonei de reprezentat i este orientat pe direcia Nord-Sud. Ca ax Oy se alege imaginea ecuatorului sau a paralelului ce trece prin zona cea mai de la sud fa de zona reprezentat, de latitudine minim sau una dintre paralele in este orientat pe direcia Est-Vest.

6.3.3. Ecuaiile hriin proieciile cilindrice drepte ecuaiile hrii au forma general:

n care:

funcia f se determin din condiia de baz pus ca reprezentarea s fie conform, echivalent sau echidistant.

este o constant care se determin punnd condiia suplimentar ca cilindrul s fie tangent sau secant la elipsoid sau la sfera terestr.

= reprezint diferena de longitudine.

Formulele generale ale proieciilor cilindrice drepte pentru cazul n care Pmntul se consider elipsoid de rotaie: coordonate rectangulare plane:

modulul de deformaie liniar n lungul meridianelor:

modulul de deformaie liniar n lungul paralelelor:

74

modulul de deformaie areolar:

deformaia unghiular maxim:

Formulele generale ale proieciilor cilindrice drepte pentru cazul n care Pmntul se consider sfer:

coordonate rectangulare plane:

modulul de deformaie liniar n lungul meridianelor:

modulul de deformaie liniar n lungul paralelelor:

modulul de deformaie areolar:

deformaia unghiular maxim:

n cazul proieciilor cilindrice drepte direciile principale coincid cu direciile meridianelor i paralelelor i astfel semiaxele elipselor de deformaie se determin cu ajutorul relaiilor:

Din formulele de mai sus se observ c deformaiile depind numai de latitudine, deci izoliniile deformaiilor se confund cu imaginile plane ale paralelelor.

6.4.Proiecia cilindric dreapt cu reeaua ptratic

75

Aceast reea a fost realizat prima dat n anul 1438 de ctre prinul Henri Navigatorul. Cilindrul se consider tangent la ecuator, iar reeaua cartografic are aspectul unei reele de ptrate. Laturile unui ptrat reprezint arcele de meridiane i paralele considerate ntinse. Proiecia cilindric dreapt echidistant pe meridiane (m=1), cu reeaua ptratic, n cazul cilindrului tangent la ecuatorul sferei terestre (k= 0), se calculeaz i se construiete grafic, pe baza urmtoarelor formule :

x cm 100 S0 R

y cm 100 S0 R

n care:

x i y e vor exprima n centimetri;

S0 N1 , scara reprezentrii, unde N= 1.000.000; 5.000.000 sau 10.000.000;

R= 6.371.116 m, este raza sferei terestre cu o suprafa egal cu cea a elipsoidului de referin Krasovski 1940;

10 ;15 ;20 ; diferena de latitudine i longitudine dintre dou paralele

respectiv, dintre dou meridiane alturate;

g 57g ,57793131

Deformaiile proieciei se determin cu ajutorul relaiilor :

m 1; n11; p m n11

coscos

a n 1 i b m 1;sin 2 tg2 2 0

400

200

00

-200

-400

-400-20000200400600

Fig. 6.3 Aspectul reelei de meridiane i paralele ntr-o proiecie cilindric dreapt patratic (echidistant pemeridiane, cilindru tangent la sfera terestr)

6.5.Proiecia cilindric dreapt cu reeaua dreptunghiular

76

Proiecia cilindric normal dreptunghiular const n a reprezenta o poriune de pe glob pe suprafaa desfurabil a unui cilindru secant la globul terestru, n scopul micorrii deformrilor.

n proiecia cilindric dreapt echidistant cu reeaua n dreptunghiuri egale unde n afar de meridiane se mai reprezint nedeformate ca lungime i dou paralele de latitudine k, dup care cilindrul intersecteaz sfera terestr, se consider urmtoarele condiii ale reprezentrii: ecuatorul de latitudine k=0 se reprezint printr-o linie dreapt; proieciile meridianelor de longitudine 1, 2, 3....... se reprezint prin linii drepte

echidistante, iar distanele Y dintre imaginile plane ale meridianelor sunt egale cu lungimea metric a arcului paralelei de secan cu latitudinea (k), corespunztoare cu diferena de longitudine ( ):

proieciile paralelelor de latitudine 1, 2, 3,........... se reprezint prin linii drepte echidistante, unde distanele dintre acestea sunt egale cu lungimea metric a arcului meridian corespunztor cu diferena de latitudine () .

Se menioneaz c echidistana metric corespunztoare unghiului a arcului de meridian este mai mare dect lungimea metric a unui arc al paralelului de secionare corespunztor unghiului de aceeai mrime.

Ecuaiile proieciei cilindrice dreapt cu reeaua n dreptunghiuri

Deoarece reprezentarea meridianelor i paralelelor este similar cu cea de la proiecia cilindric dreapt cu reeaua de ptrate, rezult pentru abcisa x relaia:

x cm 100 S0 R

Punnd condiia ca pe paralelul de secionare de latitudine k, modulul de deformare liniar nk s

fie egal cu unitatea, se poate determina n final relaia pentru ordonata y. yn

R cos

Atunci dac nk1

R cos k

Rezult R cos krkyR cos k

Deci y cm 100 S0 R cos k

Deformrile n proiecia cilindric dreapt cu reeaua n dreptunghiuri

Pentru modulul de deformare liniar m, conform condiiei impuse, rezult m=1; Deci lungimile situate pe direcia meridianelor nu sufer nici un fel de deformare.

Pentru modulul de deformare liniar n, conform condiiei impuse pe direcia paralelelor de secionare nk=1, iar pentru celelalte latitudini avem :

n r

R cos k ; r R cos

nR cos kcossec

R cosk

ntlnim urmtoarele cazuri:

cosk i nk deci cos1 deci lungimile situate pe direcia acestor paralelesufer deformri sub form de alingiri.Lungimile situate pe direcia paralelelor de secionare nu sufer nici o deformare, deoarece nk=1. Pentru modulul de deformare areolar avem relaiacosp m n n cos k cos k sec

i surafeele vor suferi deformri n sensul unor contractri dac k. Suprafeele situate la nivelul paralelelor de secionare, nu sufer deformri deoarece p k=1.-Pentru modulu de deformare unghiular se ine cont de faptul c proieciile meridianelor

i paralelelor sunt perpendiculare ntre ele, deci constituie direcii principale:

sintg ktg k.

222

6.6. Proiecia cilindric dreapt echivalent Lambert cu latitudini descrescnde

Proiecia cilindric dreapt echivalent Lambert (p=1) cu latitudini descrescnde, n cazul cilindrului tangent la ecuatorul sferei tarestre (k=0) , denumit i izocilindric se calculeaz cu ecuaiile:

x cm 100 S0 R sin

y cm 100 S0 R

Deformaiile proieciei se exprim cu relaiile:

p m n 1

m cos

n 1 cos

a n

b m

1

tg45

4cos

Fig. 6.4 Harta lumii n proiecia Lambert

6.7. Proiecia cilindric dreapt conform Mercator cu latitudini crescnde

A fost construit pentru prima data n 1569 de ctre cartograful olandez Gerhard Kremer (Mercator).

n aceast proiecie, suprafaa desfurabil este cilindrul, care poate fi considerat tangent la Ecuator sau secant la dou paralele oarecare. Deci, este o proiecie cilindric dreapt.. Att meridianele, ct i paralelele se reprezint prin linii drepte paralele i perpendiculare unele pe

78

altele; meridianele se menin echidistante, iar paralelele se deprteaz ntre ele pe msura creterii latitudinii .

Astfel, reeaua are aspectul unor dreptunghiuri alungite din ce n ce mai mult n sensul meridianelor, pe msura creterii latitudinii, din care cauz proiecia se mai numete i cu latitudini crescnde.

Construcia reelei cartografice se realizeaz calculndu-se mai nti distana dintre paralele i apoi distana dintre meridiane.

Fig. 6.5 Harta lumii n proiecia Mercator

79

Fig. 6.6 Reeaua cartografic n proiecia Mercator

Distana dintre Ecuator i oricare paralel se poate determina cu ajutorul relaiei:

n care: C este raza globului redus la scar (n cazul cnd cilindrul este tangent la sfer; dac cilindrul este secant, atunci C = R cos o); o este latitudinea paralelei de secan; este latitudinea paralelei care se proiecteaz.

Cnd = 90o, rezult:

adic polii nu se pot reprezenta n aceast proiecie, deoarece se gsesc la infinit fa de ecuator. Distana dintre meridiane rmne constant pentru ntreaga reea i se obine din relaia:

n care: R este raza globului redus la scara, iar este diferena de longitudine ntre dou meridiane consecutive.

n aceast proiecie reeaua cartografic se construiete practic pn la paralelele de 80, deoarece la 90, y = .

Din punctul de vedere al deformrilor, proiecia Mercator este o proiecie conform, pstrnd deci nedeformate unghiurile, deformnd ns foarte mult suprafeele. Astfel, la latitudinea de 60, suprafeele sunt mrite de patru ori, iar la latitudinea de 80, de peste 33 ori.

Modul repartiiei deformrilor n cadrul reelei cartografice n proiecia Mercator este prezentat i n figura 6.7. cu ajutorul profilului omenesc.

80

Fig. 6.7. Repartiia deformrilor n proiecia Mercator cu ajutorul profilului omenesc

Datorit deformrii foarte mult a suprafeelor, aceast proiecie nu este indicat a se folosi n construcia hrilor didactice pentru c d o imagine neverosimil asupra repartiiei uscatului pe de o parte, iar pe de alta, asupra regiunilor uscatului situate la latitudini mari. Aa, de exemplu Groenlanda apare ca fiind aproximativ egal cu Africa, dei n realitate Africa este de circa 15 ori mai mare dect Groenlanda. De asemenea, Peninsula Scandinav apare mai mare dect cele trei peninsule sudice ale Europei considerate

mpreun: Iberic, Italic i Balcanic, fapt iari inexact. Importana practic a proieciei Mercator const n aceea c ea ntrunete toate calitile unei hri ce se folosete n navigaia maritim.

6.8. Utilizarea proieciilor cilindrice

Proieciile cilindrice echidistante drepte i echivalente drepte se utilizeaz pentru ntocmirea hrilor la scri mici pentru reprezentarea regiunilor ecuatoriale care se ntind mai mult pe longitudine, n cazul cilindrului tangent, sau a regiunilor care se ntind n lungul paralelelor de secionare n cazul cilindrului secant.

Proieciile cilindrice conforme drepte sunt avantajoase pentru reprezentarea zonei ecuatoriale care se ntinde mai mult pe longitudine. De asemenea, aceste proiecii se utilizeaz pentru reprezentarea unor poriuni mari ale suprafeei terestre care se ntind n direcia paralelelor, precum i pentru ntreaga suprafa terestr, dar pentru hri la scri mici i cu caracter de ansamblu, cum ar fi de exemplu hri care redau cursurile apelor, vnturilor, precipitaiilor i altele.

Una dintre proieciile cilindrice drepte utilizate frecvent pentru ntocmirea hrilor de navigaie maritim i aerian este proiecia cilindric dreapt conform Mercator, deoarece curba care pe suprafaa elipsoidului taie meridianele sub unghiuri (azimute) constante, numit loxodrom se reprezint n aceast proiecie printr-o dreapt.

81

Curs nr. 10-116.9. PROIECIA GAUSS-KRUGER

Proiecia cilindric transversal Gauss - Krger s-a introdus n anul 1951. n cadrul acestei proiectii, elipsoidul de referin se proiecteaz pe suprafaa interioar a unui cilindru, a crui ax coincide cu axa ecuatorial i este perpendicular pe planul meridianului (deci, se afl n poziie transversal). Este o proiecie conform deoarece pastreaz nedeformate unghiurile.

Tind cilindrul dup una din generatoarele sale i desfurndu-l n plan, meridianul central i ecuatorul se proiecteaz prin linii drepte, toate celelalte meridiane i paralele proiectndu-se prin linii curbe.

Fig. 6.8 - Aspectul retelei cartografice n Proiectia Gauss Krger

Din studiul acestei proiecii s-a constatat c deformrile lungimilor sunt admisibile pe zone de cte 6o longitudine. Din acest motiv, n proiectia Gauss - Krger, ntreaga suprafa a globului a fost mprit n zone mrginite din 6o n 6o. O astfel de zon delimitat de dou meridiane poart numele de fus, pe ntreaga suprafa a globului existnd 60 de fuse (60 fuse x 6o = 360o).

Fiecare fus are cte un meridian central, cunoscut sub numele de meridian axial, situat la cte 3o deprtare fa de cele dou meridiane marginale. Rezult c proiectarea celor 60 de fuse de cte

6o se face pe suprafaa lateral a 60 de cilindri care se succed unul dup altul, cu axele perpendiculare pe axa polilor i cu tangenta la glob pe liniile meridianelor axiale ale fuselor. Tind fiecare cilindru de-a lungul unei generatoare i desfurndu-l pe plan se obine zona respectiv n planul orizontal.

Pe harta lumii la sc. 1:1000000, teritoriul tarii noastre este acoperit de fusul 34 la vest de meridianul de 24o longitudine estic i fusul 35 la est de acelai meridian. Meridianele axiale ale celor 2 fuse au longitudine estic de 21o i respectiv 27o i reprezint meridianele de deformare zero. Rezult c cele mai mari deformri vor apare ntre meridianele de 23o - 25o i 29o - 30o longitudine estic.

Totui, aceste deformri sunt foarte reduse, avnd n vedere c ar noastr se afl la o distan apreciabil fa de ecuator, unde deformrile au valori mai mari, fiind determinate de deprtarea maxim a meridianelor marginale fa de cel axial.

82

Fig. 6.9 - Sistemul de coordonate n proiectia Gauss Krger

Pentru fiecare fus exist un sistem de coordonate rectangulare, n total existnd 60 de sisteme de coordonate rectangulare.

n cadrul acestei proiecii, axa Ox se consider paralel cu proiectia meridianului axial, iar axa Oy se considera proiectia ecuatorului, ceea ce nseamna ca sistemul de axe este inversat.Originea sistemului de axe se gaseste la intersectia meridianului axial cu ecuatorul.

Pentru ca toate punctele de pe harta sa aiba coordonate pozitive, meridianul axial se considera la o departare de 500 km fata de axa ox. Deoarece s-ar putea sa existe aceleasi coordonate pentru puncte situate n fuse diferite s-a convenit ca n fata ordonatei y sa se scrie numarul fusului, numaratoarea ncepand de la Greenwich.

De exemplu, n fig. 6.6, punctele M i N au coordonatele: XM = 5 250 100 m i XN = 5 210 100 m;

YM = 4 650 200 m i YN = 5 650 200 m..X reprezinta departarea punctelor M i N fata de ecuator, iar Y se interpreteaza astfel:

4 i 5 arata ca punctele respective se afla n fuse diferite, adica M n fusul 34 i N n fusul 35

650.200 m arata ca ambele puncte se gasesc la est de meridianul axial, la o departare de 150.200 m (650.200 - 500.000 = 150.200 m).

Un alt punct P, a carui ordonata y are valoarea de 4.450.000 se va gasi n fusul 4 (indicat de prima cifra), dar la vest de meridianul axial, la o departare de 50.000 m (500.000 - 450.000 = 50.000 m).

n concluzie, coordonatele rectangulare (x i y), ca i cele geografice ( i ) dau indicatii asupra pozitiei unui punct pe globul terestru.

6.9.1 Prezentare general

Proiecia Gauss-Kruger, cunoscut i sub denumirile "proiecia Gauss", "reprezentarea conform Gauss", sau "proiecia cilindric transversal Gauss" a fost adoptat n Romnia n anul 1951, odat cu adoptarea " sistemului de coordonate 1942".Caracteristicile proieciei Gauss-KrugerEste o proiecie conform (unghiurile se reprezint n planul de proiecie fr deformaii)

Pentru reprezentarea elipsoidului n proiecia Gauss, acesta se mparte n fuse de la nord la sud, delimitate de dou meridiane marginale. Orice fus are un meridian axial i longitudinea acestuia, 0 trebuie precizat fa de meridianul origine.

83

Fig. 7.0. Fus de 6 in proiecia Gauss

Fiecare fus are propriul su sistem de axe de coordonate i se reprezint separat n planul de proiecie Gauss, respectnd urmtoarele condiii de baz: reprezentarea plan este conform;

-meridianul axialal fusului se reprezint nplanprintr-olinie dreaptcare

se ia ca ax Ox, fiind n acelai timp i ax de simetrie;

-n orice punctde pe dreapta prin caresereprezintmeridianulaxial

deformaitte liniare sunt nule.

Aspectul reelei cartografice in proiecia Gauss:

Meridianele se reprezint prin curbe oarecare cu concavitatea spre meridianul axial, care se reprezint printr-o dreapt. Aceste curbe sunt simetrice fa de meridianul axial al fusului. Paralelele se reprezint prin curbe oarecare cu concavitile ndreptate spre polii respectivi. Ele sunt simetrice fa de segmentul de dreapt prin care se reprezint ecuatorul.

Fig. 7.1. Aspectul reelei de meridiane i paralele dintr-unfus in proiecia Gauss

Pentru reprezentarea ntregului glob sunt necesare 60 de fuse a cte 6 fiecare, numerotate conform unei nelegeri internaionale, cu cifre arabe de la l la 60. Numerotarea ncepe cu l meridianul de longitudine 180 i continu spre est, aa cum se vede n figura de mai jos. Meridianul Greenwich separ fusele 30 i 31.

84

Fig. 7.2. Numerotarea fuselor de 6 in proiecia Gauss

Teritoriul Romniei este situat n rusele 34 i 35, ale cror meridiane axiale sunt: 0 = 21 i 0 = 27.

n proiecia Gauss, n anumite situaii se utilizeaz i coordonate false, i anume coordonata y se modific cu +500000 m, pentru ca toate punctele unui rus s aib coordonate pozitive.

Fig. 7.3. Coordonate false in proiecia Gauss

6.9.2 Transformri de coordonate n proiecia Gauss-Kriiger

6.9.2.1. Calculul coordonatelor rectangulare plane (x,y) n funcie de coordonatele geografice (,)

Formulele de calcul pe baza crora se face transformarea coordonatelor geografice (,) n coordonate rectangulare plane (x,y) sunt urmtoarele:

85

unde:

= lungimea arcului de meridian msurat de la ecuator pn la paralelul de latitudine 9;

l = diferena de longitudine ntre meridianul punctului considerat i meridianul axial al fusului (exprimat n secunde);

N = marea normal;

Formulele de mai sus asigur o precizie de ordinul 0.001 m pentru calculul coordonatelor rectengulare plane x i y.

6.9.2.2. Transformarea coordonatelor rectangulare plane (x,y) n coordonate geografice (,)

Fie un punct D n planul proieciei Gauss de coordonate x, y cunoscute, pentru care se vor calcula coordonatele (,.) de pe elipsoid.

Fig. 7.4. Utilizarea punctului ajuttor D i (