Proiect Profesor Trunchi de Pramida

13
Trunchiul de piramidă arii şi volume

description

trunchi de piramida

Transcript of Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Page 1: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Trunchiul de piramidă

arii şi volume

Page 2: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Corpuri geometrice

Poliedre:

• Prisma• Piramida

• Trunchiul de piramidă

Corpuri rotunde:

• Cilindrul• Conul• Trunchiul de con• Sfera

Page 3: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Piramida regulată V

VV

A AA

B

BB

C

CC

DDE

F OO

OM M

M

hh h

abab

ab

ap ap ap

Piramidă triunghiulară regulată (tetraedru)

Piramidă patrulateră regulată

Piramidă hexagonală regulată

Un tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară regulată cu toate fețele

triunghiuri echilaterale

Page 4: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Desfăşurarea piramidei

piramida triunghiulară regulată

piramida patrulateră regulată

piramida hexagonală regulată

Page 5: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Aria şi volumul piramidei regulate

Piramidele au o singură bază, care poate fi orice poligon, şi un număr de feţe laterale egal cu numărul laturilor

poligonului de bază. În cazul piramidelor regulate, toate aceste feţe laterale sunt triunghiuri isoscele congruente,

ale căror baze sunt reprezentate de muchiile bazei piramidei, şi ale căror înălţimi sunt apoteme ale

piramidei. Prin urmare, aria unei astfel de feţe laterale este semiprodusul dintre lungimea muchiei bazei

piramidei şi cea a apotemei, iar aria laterală, sumă a ariilor tuturor feţelor laterale, este:

Al = Pb · ap / 2

Page 6: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Aria şi volumul piramidei regulate

Aria totală este suma ariei laterale cu aria bazei unice:

At = Ab + Al

Fiind poligon regulat, aria bazei se poate calcula cu formula:

Ab = Pb · ab / 2, de unde rezultă că, pentru a calcula aria totală a

unei piramide, putem utiliza şi formula:At = Pb ·( ap + ab) / 2

Page 7: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Volumul piramidei reprezintă o treime din produsul ariei bazei şi lungimea înălţimii

piramidei:

V = Ab · h / 3

Apotema bazei, apotema piramidei şi înălţimea piramidei sunt legate prin formula:

ap2 = ab

2 + h2

Page 8: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Trunchiul de piramidă regulatăV

A’

A’

A B

B’

B’

C’

C

C’

D

D’

D’

O’

O’

O

Secţionând o piramidă cu un plan paralel cu baza, obţinem două corpuri: o piramidă „mică” şi un alt

corp, numit trunchi de piramidă.

„Piramida mică” este „asemenea” piramidei

„mari”.

ab

aB

atr

h

Page 9: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Trunchiul de piramidă regulatăV

A’

A’

A B

B’

B’

C’

C

C’

D

D’

D’

O’

O’

O

Trunchiul de piramidă are două baze, una mare şi alta mică, şi un număr de feţe laterale egal cu numărul

laturilor poligonului de bază. Feţele laterale ale trunchiului

de piramidă sunt trapeze.Între apotema bazei mari aB,

apotema bazei mici ab, înălţimea trunchiului h şi apotema acestuia atr există

relaţia:

atr2 = h2 + (aB – ab)2

ab

aB

atr

h

Page 10: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată este suma ariilor feţelor laterale, care au formă de trapez. Aria unei astfel de feţe

este:A = (mB + mb) · atr / 2,

unde mB şi mb sunt lungimile muchiilor bazei mari, respective ale bazei mici. Sumând toate ariile feţelor laterale, obţinem pentru

aria laterală formula:Al = (PB + Pb) · atr / 2,

unde PB şi Pb sunt perimetrele celor două baze.

Page 11: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Aria totală este suma ariei laterale cu ariile celor două baze:

At = Al + AB + Ab = (PB + Pb) atr / 2 + PB · aB /2 + Pb ·

ab / 2Volumul se calculează cu

formula:V = h · (AB + Ab + AB · Ab) / 3

mb

mB

atr

ab

aB

h

Page 12: Proiect Profesor Trunchi de Pramida

Exmple de probleme:1.Determinaţi aria totală şi volumul tetraedrului regulat de muchie m.

2. Determinaţi volumul tetraedrului care are două muchii opuse perpendiculare, de lungime a şi respectiv b, şi ambele perpendiculare pe segmentul de lungime c

care uneşte mijloacele lor.

3. Determinaţi aria totală şi volumul conului circular drept care are raza bazei r şi trei generatoare perpendiculare două cate două.

4. Să se determine volumul corpului care rezultă după ce secţionăm o sferă cu două plane paralele, aflate fiecare la 5 cm de centrul sferei şi eliminăm cele două

calote şi cilindrul determinat de cele două plane.

5. Prisma dreaptă ABCA’B’C’ are ca bază triunghiul isoscel ABC (AB = AC). Să se determine măsura unghiului BAC, astfel încât volumul prismei să fie

maxim.

6. Calculaţi aria laterală, aria totală şi volumul unei piramide triunghiulare / patrulatere / hexagonale regulate, cunoscând măsura unghiului diedru format de muchia laterală cu planul bazei / măsura unghiului format de o muchie laterală şi

una din laturile pe care cade.

Page 13: Proiect Profesor Trunchi de Pramida