PROIECT ECONOMETRIE Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru

Proiect realizat de ?, grupa ?, seria ?

FACULTATEA DE RELAȚII ECONOMICE INTERNAȚIONALE, ASE,

BUCUREȘTI

2015

1

CUPRINS

Înregistrați cel puțin 30 de unități valori specifice ale unor caracteristici (X1, X2, Y) între

care să existe cel puțin o legătură logică. Datele prezentate tabelar fac parte din lucrare. Se cer:

a) Prezentarea problemei;

b) Definirea modelului de regresie;

b.1. Formă, variabile, parametrii;

b.2. Aproximarea grafică a legăturii dintre variabile.

c) Estimarea parametrilor modelului;

c.1. Estimarea punctuală;

c.2. Estimarea prin intervale de încredere

d) Testarea semnificației corelației și a parametrilor modelului de regresie;

d.1. Testarea semnificației corelației;

d.2. testarea estimatorilor a și b ai modelului de regresie liniară.

e) Testarea ipotezelor clasice alemodelului de regresie;

e.1. Ipoteze clasice statistice;

e.2. Testarea liniarității modelului propus;

e.3. Testarea normalității erorilor;

e.4. Testarea ipotezei de homoscedasticitate;

e.5. Testarea ipotezei de autocorelare a erorilor.

f) Previzionarea valorii variabilei Y în ipoteza modificării variabilei factoriale.

2

a) Prezentarea problemelor

Datele culese pe 30 de țări din anul 2014 ilustrează o variabilă independentă notată cu

x1, respectiv IDU (indicele dezvoltarii umane), o variabila independenta x2, respectiv

PIB/locuitor, și o variabilă dependentă notată cu y, respectiv speranta de viata, pentru a arăta

legătura dintre acestea.

Ţara Speranţa de viaţă (%) - y IDU (%) - x1 PIB/loc (%) - x2

Albania 76.5 0.818 8.041

Anglia 79.3 0.947 35.13

Armenia 73.6 0.798 5.693

Austria 79.9 0.955 37.37

Belarus 69 0.826 10.841

Belgia 79.5 0.953 34.935

Bosnia 75.1 0.812 7.764

Bulgaria 73.1 0.84 11.222

Cehia 76.4 0.903 24.144

Cipru 79.6 0.914 24.789

Croatia 76 0.871 16.027

Danemarca 78.2 0.955 36.13

Elvetia 81.7 0.96 40.658

Estonia 72.9 0.883 20.361

Finlanda 79.5 0.959 34.526

Franta 81 0.961 33.674

Germania 79.8 0.947 34.401

Grecia 79.1 0.942 28.517

Irlanda 79.7 0.965 44.613

Islanda 81.7 0.969 35.742

Italia 81.1 0.951 30.353

Letonia 72.3 0.866 16.377

Lituania 71.8 0.87 17.575

Luxemburg 74.4 0.96 79.485

Macedonia 74.1 0.817 9.096

Malta 79.6 0.902 23.08

Muntenegru 74 0.834 11.699

Norvegia 80.5 0.971 53.433

Olanda 79.8 0.964 38.694

Polonia 75.5 0.88 15.987

Sursa: IMF - World Economic Outlook Database 2014

3

b) Definirea modelului de regresie:

b.1. formă, variabile, parametrii;

b.2. aproximarea grafică a legăturii dintre variabile;

b.1. Formă, variabile, parametrii:

𝒚 = 𝒂 + 𝒃𝒙𝒊 + 𝒖𝒊

𝒚 = 𝒃0+𝒃1𝒙1+𝒃2𝒙2

unde,

y = variabila dependentă (speranta de viata);

xi = variabila independentă (IDU; PIB/loc);

a, b = parametrii modelului (la nivel de populație statistică);

ui = variabila reziduală.

b.2. Aproximarea grafică a legăturii dintre variabile:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

68 70 72 74 76 78 80 82 84

Sp

eran

ta d

e via

ta (

%)

IDU (%)

Modelul de regresie

Speranta de viata (y) cu IDU (x1)

4

c) Estimarea parametrilor modelului:

c.1. Estimarea punctuală;

c.2. Estimarea prin intervale de încredere;

c.1. Estimarea punctuală:

Estimările parametrilor a și b ce rezultă din tabelul ANOVA au următoarele valori:

a = 73.13252321

b = −0.111261539

c.2. Estimarea prin intervale de încredere:

a − 𝑡 𝑡𝑎𝑏 ∙ 𝑆𝑎 < 𝑎 < â + 𝑡 𝑡𝑎𝑏 ∙ 𝑆𝑎 => â ϵ [48.90903874; 97.35600768]

b − 𝑡 𝑡𝑎𝑏 ∙ 𝑆𝑏 < 𝑏 < b + 𝑡 𝑡𝑎𝑏 ∙ 𝑆𝑏 => b ϵ [-0.199296186; -0.023226892]

Astfel, putem calcula abaterea medie patratică sau abaterea standard (Standard Error

din ANOVA) a variabilei reziduale u și a estimatorilor a și b.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

68 70 72 74 76 78 80 82 84

Sp

eran

ta d

e via

ta (

%)

PIB/locuitor (%)

Modelul de regresie

Speranta de viata (y) cu PIB/locuitor (x2)

5

Abaterea medie pătratică a variabilei reziduale (Stb0)S�� = 9.730510928

Abaterea medie pătratică a estimatorului (Stb1)S�� = 11.80579209

Abaterea medie pătratică a estimatorului (Stb2)S�� = 0.042905419

In urma acestor calcule, rezultă că funcția modelului de regresie liniară este:

��i= b0 + b1∙ x1 + b2 ∙ x2

Comentarii:

11.80579209>0 => x1 crește

Dacă x1 crește cu o unitate, Y se modifică cu 11.80579209 unități.

0.042905419>0 => x2 crește

Dacă x2 crește cu o unitate, Y se modifică cu 0.042905419 unități.

d) Testarea semnificației corelației și a parametrilor modelului de regresie:

d.1. Testarea semnificației corelației;

d.2. Testarea estimatorilor �� și �� ai modelului de regresie liniară.

d.1. Testarea semnificației corelației:

Prin compararea lui Significance F și a pragului de semnificație ∝ = 0.05 rezultă că:

Significance F= 7.51142E-08 > ∝ = 0.05 => modelul nu este de încredere.

Coeficientul de Corelație Multiple R = 0.838646867 ∈ (0,75 - 0,95) => o

legătură puternică.

Coeficientul de Determinare R Square = 0.703328568 ne arată faptul că

variabilele independente x1 (IDU) si x2 (PIB/loc) influențează variabila dependentă y (speranta

de viata) în proporție de 70,33%, restul de 30,77% fiind alți factori.

d.2. Testarea estimatorilor �� și �� ai modelului de regresie liniară:

Estimatorii modelului de regresie a si b sunt semnificativi diferiți de 0, cu pragul de

semnificație ∝ = 0.05 dacă sunt respectate urmatoarele relații:

6

ta = |��|

𝐒𝐚 =

73.13252321

11.80579209 = 6.194630795

tα; n-3 = t0.05; 27

tStudent = 2.052

ta > tStudent => estimatorul �� este semnificativ diferit de 0, cu pragul

semnificație ∝ = 0.05.

tb = |��|

𝐒𝐛=

−0.111261539

0.042905419= -2.593181542

tα; n-3 = t0.05; 27

tStudent = 2.052

tb < tStudent => estimatorul �� nu este semnificativ diferit de 0, cu pragul

semnificație ∝ = 0.05.

Se compara P-value pentru a si b cu pragul de semnificatie ∝ = 0.05:

P-value a = 1.26886E-06 > ∝ = 0.05 rezultă că estimatorul a nu este

semnificativ din punct de vedere statistic;

P-value b = 0.015171423 < ∝ = 0.05 rezultă că estimatorul b este semnificativ

din punct de vedere statistic.

7

e) Testarea ipotezelor clasice ale modelului de regresie;

e.2. Testarea liniarității modelului propus;

e.3. Testarea normalității erorilor;

e.4. Testarea ipotezei de homoscedasticitate;

e.5. Testarea ipotezei de autocorelare a erorilor.

e.2. Testarea liniarității modelului propus:

Coeficientul de corelație liniară (rx1, x2, y) din ANOVA = 0.849649586.

Calculăm raportul de corelație (Rx1, x2, y) = 0.849649586.

Deoarece rx1, x2, y= Rx1, x2, y = 0.849649586 se poate spune ca legatura dintre variabile este

liniara.

Se verifica semnificația raportului de corelatie Rx1, x2, y. El este semnificativ dacă:

Fcalculat ≥ Fl,r-1, n-r

Fcalculat = (n-2) * 𝑅2

1−𝑅2 = (30-2) * 0.703328568

1−0.703328568 = 32.00488708 > F0.05, 1, 28 = 9.78424,

Raportul de corelație Rx1, x2, y este semnificativ. Pentru ca Rx1, x2, y ≠ 0, ∝ = 0.05, modelul

descrie corect dependența dintre salariul mediu pe economie și PIB-ul pe cap de locuitor.

e.3. Testarea normalității erorilor:

Obs Predicted Y Residuals

1 72.83713258 3.66286742

2 79.25726424 0.042735764

3 71.63572421 1.964275789

4 79.59309857 0.306901427

5 73.11066046 -4.110660456

6 79.71775537 -0.217755375

7 72.42915689 2.670843112

8 74.09212513 -0.992125134

9 77.26175249 -0.861752485

10 77.99444655 1.605553452

11 75.82462166 0.175378343

12 79.73106288 -1.531062882

13 79.59293325 2.107066752

14 76.22000442 -3.320004425

15 80.20205648 -0.702056484

16 80.44311636 0.556883638

17 79.3383739 0.461626102

18 79.62737418 -0.527374179

19 79.51855648 0.181443524

20 80.79808768 0.901912316

21 80.0812907 1.018709298

22 75.4200175 -3.120017503

8

23 75.57925627 -3.779256271

24 75.27298146 -0.87298146

25 72.64661913 1.453380867

26 77.30700224 2.29299776

27 73.60025824 0.399741759

28 78.97602484 1.523975162

29 80.103981 -0.303981004

30 76.48726483 -0.987264828

Tabel residual output din excel

Reprezentarea grafica a reziduurilor (ei) in functie de (predicted Y):

Grafic preluat din excel

Se calculeaza intervalul [- ttab ∙ Se; ttab ∙ Se]

unde,

Se = Eroarea standard a modelului (preluat din Summary output)

ttab = tα/2; n-3 = t0.25; 27 = 0.684

Se = 1.948109

=> Intervalul este: [-1.33251; 1.332506]

Punctele de pe grafic nu se incadreaza intre cele doua limite ale intervalului (vezi benzile

rosii de pe grafic), deci nu se respecta ipoteza de normalitate a erorilor. Se poate considera ca

erorilor provin dintr-o distributie care nu este normala.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

70 72 74 76 78 80 82

RESIDUALS

9

e.4. Testarea ipotezei de homoscedasticitate:

Se reprezinta grafic patratele reziduurilor (ei²) = pe axa OY; in functie de valorile variabilei

X (pe axa OX):

ei (Residuals) x1 x2 ei²

3.66286742 0.818 8.041 13.4166

0.042735764 0.947 35.13 0.001826

1.964275789 0.798 5.693 3.858379

0.306901427 0.955 37.37 0.094188

-4.110660456 0.826 10.841 16.89753

-0.217755375 0.953 34.935 0.047417

2.670843112 0.812 7.764 7.133403

-0.992125134 0.84 11.222 0.984312

-0.861752485 0.903 24.144 0.742617

1.605553452 0.914 24.789 2.577802

0.175378343 0.871 16.027 0.030758

-1.531062882 0.955 36.13 2.344154

2.107066752 0.96 40.658 4.43973

-3.320004425 0.883 20.361 11.02243

-0.702056484 0.959 34.526 0.492883

0.556883638 0.961 33.674 0.310119

0.461626102 0.947 34.401 0.213099

-0.527374179 0.942 28.517 0.278124

0.181443524 0.965 44.613 0.032922

0.901912316 0.969 35.742 0.813446

1.018709298 0.951 30.353 1.037769

-3.120017503 0.866 16.377 9.734509

-3.779256271 0.87 17.575 14.28278

-0.87298146 0.96 79.485 0.762097

1.453380867 0.817 9.096 2.112316

2.29299776 0.902 23.08 5.257839

0.399741759 0.834 11.699 0.159793

1.523975162 0.971 53.433 2.3225

-0.303981004 0.964 38.694 0.092404

-0.987264828 0.88 15.987 0.974692

Tabel preluat din Excel

10

Grafic Excel

Grafic Excel

Daca graficul se incadreaza intr-o banda, atunci erorile sunt homoscedastice. Procedura

grafica este insa aproximativa, fiind sugestiva doar pentru esantioanele de volum mare.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x1 - IDU

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

x2 - PIB/locuitor

11

e.5. Testarea ipotezei de autocorelare a erorilor:

Din Residual Output preluam erorile estimate (residuals).

Obs Predicted Y (Y^) Residuals (ei)

1 72.83713258 3.66286742

2 79.25726424 0.042735764

3 71.63572421 1.964275789

4 79.59309857 0.306901427

5 73.11066046 -4.110660456

6 79.71775537 -0.217755375

7 72.42915689 2.670843112

8 74.09212513 -0.992125134

9 77.26175249 -0.861752485

10 77.99444655 1.605553452

11 75.82462166 0.175378343

12 79.73106288 -1.531062882

13 79.59293325 2.107066752

14 76.22000442 -3.320004425

15 80.20205648 -0.702056484

16 80.44311636 0.556883638

17 79.3383739 0.461626102

18 79.62737418 -0.527374179

19 79.51855648 0.181443524

20 80.79808768 0.901912316

21 80.0812907 1.018709298

22 75.4200175 -3.120017503

23 75.57925627 -3.779256271

24 75.27298146 -0.87298146

25 72.64661913 1.453380867

26 77.30700224 2.29299776

27 73.60025824 0.399741759

28 78.97602484 1.523975162

29 80.103981 -0.303981004

30 76.48726483 -0.987264828

Se aplica statistica Durbin Watson (DW). Testul Durbin-Watson (DW) consta in

calcularea termenului empiric:

ei e(i-1) ei - e(i-1) [ei - e(i-1)]² ei²

3.66286742 13.4166

0.042735764 3.66286742 -3.620131655 13.1053532 0.001826

1.964275789 0.042735764 1.921540025 3.692316067 3.858379

0.306901427 1.964275789 -1.657374362 2.746889777 0.094188

-

4.110660456 0.306901427 -4.417561883 19.51485299 16.89753

-

0.217755375 -4.110660456 3.892905081 15.15470997 0.047417

12

2.670843112 -0.217755375 2.888598487 8.344001221 7.133403

-

0.992125134 2.670843112 -3.662968247 13.41733638 0.984312

-

0.861752485 -0.992125134 0.130372649 0.016997028 0.742617

1.605553452 -0.861752485 2.467305938 6.087598589 2.577802

0.175378343 1.605553452 -1.43017511 2.045400844 0.030758

-

1.531062882 0.175378343 -1.706441224 2.911941652 2.344154

2.107066752 -1.531062882 3.638129634 13.23598723 4.43973

-

3.320004425 2.107066752 -5.427071177 29.45310156 11.02243

-

0.702056484 -3.320004425 2.617947941 6.85365142 0.492883

0.556883638 -0.702056484 1.258940122 1.584930231 0.310119

0.461626102 0.556883638 -0.095257536 0.009073998 0.213099

-

0.527374179 0.461626102 -0.989000281 0.978121557 0.278124

0.181443524 -0.527374179 0.708817703 0.502422537 0.032922

0.901912316 0.181443524 0.720468792 0.51907528 0.813446

1.018709298 0.901912316 0.116796982 0.013641535 1.037769

-

3.120017503 1.018709298 -4.138726801 17.12905953 9.734509

-

3.779256271 -3.120017503 -0.659238769 0.434595754 14.28278

-0.87298146 -3.779256271 2.906274811 8.44643328 0.762097

1.453380867 -0.87298146 2.326362327 5.411961675 2.112316

2.29299776 1.453380867 0.839616893 0.704956527 5.257839

0.399741759 2.29299776 -1.893256001 3.584418285 0.159793

1.523975162 0.399741759 1.124233403 1.263900744 2.3225

-

0.303981004 1.523975162 -1.827956166 3.341423744 0.092404

-

0.987264828 -0.303981004 -0.683283824 0.466876784 0.974692

TOTAL 180.9710294 89.05184

𝐷𝑊 =∑ (��𝑡 − ��𝑡−1)230

𝑡=2

∑ ��𝑡2𝑛

𝑡=1

=∑ [𝑒𝑖 − 𝑒(𝑖 − 1)]230

𝑡=2

∑ 𝑒𝑖²𝑛𝑡=2

𝐷𝑊 =180.9710294

89.05184

𝐷𝑊 = 2.032198749

13

Decizia:

Se citesc valorile d1, d2 din tabel (alfa = 0,05; n = 30; k = 2):

d1 = 1.284

d2 = 1.57

Regiunile de decizie pentru DW sunt urmatoarele:

0 - d1 – autocorelare pozitiva a erorilor

d1 - d2 – indecizie

d2 - (4 - d2) - neautocorelare a erorilor (ipoteza modelului de regresie)

(4 - d2) - (4 - d1) – indecizie

(4 - d1) – 4 – autocorelare negativa a erorilor

=>

0 - d1 = -1.284

d1 - d2 = -0.286

d2 - (4 - d2) = -0.86

(4 - d2) - (4 - d1) = -0.286

(4 - d1) – 4 = -1.284

DW = 2.032198749 > d1 si d2 si nu se incadreaza in niciunul din intervalele de decizie,

asa incat nu se poate lua nicio decizie cu privire la corelarea erorilor. Se poate trage

concluzia ca erorile nu sunt autocorelate, adica ei nu depinde de ei-1.

f) Previzionarea valorii variabilei Y în ipoteza modificării variabilei factoriale.

��i= b0 + b1∙ x1 + b2 ∙ x2

Comentarii:

10%>0 => x1 crește

Dacă x1 crește cu o unitate, Y se modifică cu 0.10 unități.

50%>0 => x2 crește

Dacă x2 crește cu o unitate, Y se modifică cu 0.50 unități.

Concluzii

Modelul de regresie multiplă estimat s-a dovedit a fi unul precis – are un coeficient de

determinare mare 𝑅2= 0.703328568, adică speranta de viata se explică în măsură de aproape

70% de către variabilele independente incluse în model. În plus, sunt perfect verificabile

14

ipotezele metodei celor mai mici pătrate (MCMMP) – erorile sunt homoscedastice, nu sunt

autocorelate, iar variabilele nu sunt coliniare. Valoarea testului F este suficient de mare pentru

a determina validitatea globală a modelului pentru un prag de semnificaţie de cel puţin

Significance F = 7.51142E-08, cu mult mai mare decât α ales.