Universitatea Tehnica din Cluj-NapoacaFacultatea de Electronica, Telecomunicatii si Tehnologia Informatiei

Proiectarea unui filtru reconfigurabil cu aproximare Cauer pornind de la un FTJ

-Proiect semestrial la Filtre Analogice-

Student : Pirlea Adrian Master IE, An II

Tema lucrării:

Specificaţia DVB-H (Digital video broadcasting - hendheld) permite mai multe moduri (rate) de transmisii. În funcţie de modul utilizat banda unui canal este de:

- modul 1 : 5MHz;- modul 2 : 6MHz;- modul 3 : 7MHz;- modul 4 : 8MHz;

Canalele sunt plasate în spectru la o distanţă specificată mai jos, în funcţie de modul utilizat:- modul 1 : 5MHz;- modul 2 : 6MHz;- modul 3 : 7MHz;- modul 4 : 8MHz;

Să se proiecteze un filtru reconfigurabil, care permite utilizarea lui în receptoarele DVB-H. Atenuarea între canalele utilizate trebuie să fie cel puţin 20dB. Să utilizati aproximarea Cauer (filtru eliptic).

Filtrul Cauer (Eliptic)

Un filtru Eliptic –cunoscut şi sub numele de Cauer, în memoria lui Wilhelm Cauer – este un filtru de procesare al semnalului având ripluri egale atât în banda de trecere cât şi în cea de oprire. Numărul de ripluri în fiecare banda este ajustabil independent, şi nici un alt filtru, de acelaşi ordin, nu poate avea o tranziţie a câştigului mai rapidă între banda de trecere şi cea de oprire. În cazul în care numărul riplurilor din banda de oprire se apropie de zero, spunem că filtrul Cauer a devenit un filtu Chebyshev de tip I, iar dacă numărul de ripluri în banda de trecere tinde să devină zero, atunci spunem că avem un filtru Chebyshev de tip II; dacă, în ambele benzi, atît cea de trecere cât şi cea de oprire, numărul riplurilor tinde să devină zero, filtrul va deveni unul de tip Buttherworth.

Câştigul unui FTJ eliptic ca şi funcţie de frecventă, poate fi exprimat astfel:

(1),

, unde:- Rn, reprezintă ordinul filtrului;- ω0, frecvenţa de tiere;- ε, factorul de ripluri;- ξ, factor de selectivitate.

Proprietăţi:- în banda de trecere, funcţia raţională eliptic variază între zero şi unitatea, ceea ce duce o

variaţie a câştigului în banda de trecere între 1 şi ;

- în banda de oprire, funcţia raţional eliptică variază între şi factorul de discriminare Rn , factor ce poate fi definit ca şi: ; astfel, câştigul în banda de oprire, va varia între 0 şi

;

- la limită, când , funcţia raţional eliptică va deveni un polinom Chebyshev, prin urmare, filtrul va deveni un filtru Chebyshev de ord I, cu un factor de ripluri ;

- prin definiţie un filtru Butterworth, este un filtru Chebyshev la limită, astfel că în condiţiile în care , şi , asfel încât , filtrul va deveni unul de tip Butterworth;

- în condiţiile în care , şi , astfel încât şi , filtrul devine Chebyshev de ord II, având următorul câştig:

(2),

Fig. 1 – Răspunsul unui filtru Eliptic de ordin 4

Poli şi zerouri:Zerourile câştigului unui filtru Eliptic coincid cu polii funcţiei raţional eliptice. Polii câştigului

unui filtru eliptic, pot fi extraşi într-o manieră similară cu cea pentru extragerea polilor unui filtru Chebyshev de ord I. Pentru simplitate, să presupunem că frecvenţa de tăiere este egală cu unitatea; atunci, polii ( ) câştigului filtrului eliptic, vor fi zerourile numitorului câştigului; folosind frecvenţa

complexă , avem:

(3),

Definim , unde cd() este cosinus-ul funcţiei eliptice Jacobi, iar folosindu-ne de definiţia funcţiei raţional eliptice putem obţine:

(4),

, unde: şi .

Din ecuaţia de mai sus, extragem , şi avem:

(5);

Polii funcţiei eliptice de câştig se pot calcula astfel:

(6);

Precum în cazul polinoamelor Chebyshev, polii pot fi calculaţi sub formă complexă după formula:

(7),

, unde:

( 7.1 ),

( 7.2 ),

( 7.3 ).

este o funcţie de n, iar sunt zerourile funcţiei raţional eliptice.

Minimul factorului de putere al filtrelor eliptice:Filtrele eliptice sunt în general specificate printr-o valoare particulară a riplurilor în banda de

trecere, în banda de oprire şi prin claritatea frecvenţei de tăiere. Toate aceste cerinţe vor duce la generarea ordinului minim al filtrului ce poate fi folosit. O alt aspect ce trebuie luat în seamă, este senzitivitatea funcţiei de câştig faţă de valorile componentelor electronice folosite în construcţia filtrului. Această senzitivitate este inversă proporţional cu factorul de calitate –Q –ai polilor funcţiei de transfer.

Factorul de putere al polui poate fi devinit ca:

( 8 ),

şi este o măsur a influenţei polului asupra funcţiei de câştig. Pentru un filtru eliptic, se întâmplă ca, pentru un ordin dat, să existe o relaţie între factorul de riplu şi factorul de selectivitate, care în mod simultan micşoreaz factorul de putere a tuturor polilor în funcţia de transfer:

( 9 );

Aceasta duce la un filtru de maximă insensibilitate la variaţiile componentelor, dar pe de alta parte, abilitatea de specificare a numărului de ripluri în cele 2 benzi va fi pierdută. Pentru acest tip de filtre, odată cu creşterea ordinului filtrului, riplul în ambele benzi va descreşte, rata frecvenţei de tăiere va creşte. Dacă se decide folosirea unui filtru eliptic cu factor de putere minim în vederea atingerii unui minim particular al riplului în cele două benzi, precum şi o anumită rată a frecventei de tăiere, atunci ordinul necesar este de obicei mai mare decât cel al unui filtru în care nu este necesară o restricţie a factorului de putere.

Fig. 2 – Factorul Q normalizat pentru polli unui filtru eliptic de ordin 8

Proiectare filtru reconfigurabil:

În vederea proiectării unui filtru reconfigurabil, ce conţine patru canale independente de benzi defite, vom începe prin a proiecta câte un filtru –folosind aproximarea Cauer – pentru fiecare din cele 4 canale; astfel la sfârşit, vom avea patru filtre independente, pe care le vom comanda print+un semnal digital de comandă.

Proiectare filtru canal 1:În vederea proiectării filtrului eliptic corespunzător canalului 1, este necesară parcurgerea

următoarelor etape:1. Calculul parametrilor specifici(ordinul filtrului);2. Calculul funcţiei de transfer normate;3. Denormarea valorilor obţinute.

1. Calculul ordinului:Pentru determinarea ordinului minim al filtrului avem nevoie ca următoarele valori să fie cunoscute:

– ωpass, frecventa limita a benzii de trecere;– ωstop, frecventa limita a benzii de oprire;– apass, atenuarea in banda de trecere;– astop, atenuarea in banda de oprire;– ε, amplitudinea riplului permis in banda

de trecere si oprire;

Toate aceste valori de mai sus, se pot deduce din enunţul problemei, astfel că vom avea:- frecvenţa limită a benzii de trecere este egală cu jumătate din banda canalului, aşadar mai

departe în calcule vom lua ωp = 2.5MHz;- frecvenţa limită în banda de trecere este egală cu suma între jumătatea benzii canalalui şi

distanţa faţă de canalul vecin, deci vom avea ωs = 7.5 MHz;- pentru atenuarea în banda de trecere vom lua o valoare uzuală de 3dB, deci mai departe în

calcule vom folosi ap = 3dB;- pentru atenuarea în banda de oprire vom lua o valoare 20dB, deci mai departe în calcule vom

folosi as = 20dB;

Mai departe vom nota prin „k”, factorul de selectivitate, şi care este egal cu raportul dintre frecvenţa de tăiere în banda de trecere şi frecvenţa de tăiere în banda de oprire. Astfel vom avea:

( 10 ),

- în cazul nostru,pentru modul 1, vom avea k = 0.33 ;

Folosindu-ne de factorul de selectivitate calculat prin relaţia (10), vom defini constanta de modulare, q prin relaţia de mai jos:

( 11 ),

, unde ( 11.1 ),

În urma calculelor vom obţine o valoare pentru u = 0,007361, şi înlocuind această valoare în relaţia (11), vom obţine constanta de modulare q = 0,007421.

Mai departe, ştiind valorile pentru atenuare în cele doua benzi, avem nevoie să calculam factorul de discriminare D, astfel:

(12 ),

- se va obţine valoarea D = 99,471.

În final, folosindu-ne de valoare constantei de modulare, respectiv cea a factorului de discriminare, calculate mai sus, vom putea calcula ordinul filtrului, după formula:

( 13 ),

, unde [x] reprezintă cel mai mic întreg egal sau mai mare cu x;În urma calculelor, vom obţine n = [1, 504], de unde se obţine ordinul filtrului n = 2 .

2. Calculul funcţiei de transfer normate:

Modul de proiectare unui filtru eliptic este mult simplificat dacă se construieşte mai întâi un filtru normalizat în frecvenţă având caracteristici potrivite ale răspunsului, iar mai apoi va trebui scalat acest filtru la frecvenţa dorită. Simplificarea constă în alegerea tipului potrivit de normalizare. Astfel, în loc să se facă o normalizare la 3dB sau asupra faptului că riplul ăn bandă să fie egal cu unitatea, filtrul elipic va fi normalizat astfel ca:

( 14 ),

, unde şi sunt frecvenţele normalizate în banda de trecere, respectiv banda de oprire.

Cu “ ” vom nota factorul de scalare în frecvenţă, astfel vom avea următoarele două relaţii:

( 14.1 ) ( 14.2 )

Din relaţiile (14), (14.1) şi (14.2), se poate extrage valoare factorului de scalare :

( 15 )

Mai departe, primul pas în vederea găsirii funcţiei de transfer normalizate, este să calculăm calculam valoarea V în vederea extragerii polilor şi zerourilor, folosindu-ne de valorile ap şi n calculate în pasul 1. Vom avea:

( 16 ),

, se va obţine valoarea V = 0,442

Utilizând valorile V şi q( constanta de modulare), vom putea calcula valoarea p0 astfel:

( 17 ),

- îm urma calculelor, se obţine p0 = 0,273

Mai departe, folosindu-ne de valorile k şi p0, calculate anterior, avem:

( 18 ),

- se va obţine W = 1.255

Următorul pas este determinarea numrului de secţiuni pătratice ale filtrului, notat cu r, care poate fi calculat după formula de mai jos:

( 19 )

Deoarece, pentru filtrul în cauză ordinul filtrului este 2, deci un număr par, atunci se poate determina cu uşurinţă valoarea r = 1.

Folosindu-ne de toate valorile calculate până acum, în cele ce urmează se vor extrage valorile Xi, folosindu-ne de relaţia de mai jos:

( 20 ),

,unde ( 20.1 ),

În cazul nostru, n este par, deci vom lua (20.2); de asemenea, se vor lua valori pentru i, de la 1 la r – în cazul nostru va fi o singură valoare, i = 1 (20.3).

Ţinând cont de ultimele 2 relaţii – (20.2) şi (20.3), vom obţine:

=

= ( 21 ) ;

În urma calculelor, s-a obţinut următoarea valoarea X1 = 0.138

Următoarea etapă, este extragarea valorilor Yi , folosind formula de mai jos:

( 22 );

Şi în acest caz, i va lua valori de la 1, ... , r, astfel datorită faptului că r=1, vom avea o singură valoare, Y1. Folosindu-ne de valoare lui X1 şi înlocuind în ultima relaţie, vom obţine:

= 0.94

În continuare vom calcula coeficienţii ai, bi şi ci. Ca şi mai sus. Deoarece r=1, vom avea o singură valoare a acestora. Formulele de calcul ai celor 3 coeficienţi, sunt următoarele:

( 23 )

În urma calculelor matematice, se vor obţine următoarele valori:

( 23.1 )

Folosindu-ne de coeficienţii ai şi ci se va calcula H0 , astfel:

( 24 )

În urma calculelor, s-a obţinut o valoare pentru H0 egala cu 0.00129.

În final, după ce toate aceste valori au fost calculate, se va putea forma şi funcţia de transfer normalizată HN(s), astfel:

( 25 ).

, unde: ( 25.1 )

Astfel, vom avea următoarea formă a funcţiei de transfer normate:

( 26 )

3. Denormarea valorilor obţinute.

Dacă avem un răspuns normat pentru , putem scala în frecvenţă funcţia de transfer astfel încât

să obţinem un răspuns identic cu cel pentru , prin multiplicarea fiecărui pol şi zerou cu şi

divizând funcţia de transfer cu , unde nz este numărul de zerouri, iar np este numărul de

poli. Un filtru eliptic are o funcţie de transfer de aceaşi formă cu cea dată în relaţia ( 24 ). Pentru n-impar, va fi un pol real pentru valoare s = p0, iar în funcţie de r vom avea perechi conjugate de poli care

sunt drept rădăcini ale ecuaţiei: , unde i = 1,2, ... , r.

Utilizându-se formula pătratică, cele i perechi de poli conjugaţi pot fi determinate, astfel:

( 27 )

Zerourile funcţiei de transfer normate se găsesc la valoarea , unde i ia valori de la 1, ..., r.

Pentru un ordin par, numrul polilor este egal cu cel al zerourilor, astfel că . Pentru un

ordin impar, , astfel, funcţia de transfer va trebui divizată cu sau multiplicată cu

. Dacă multiplicăm polii şi zerourile cu , şi multiplicăm funţia de transfer cu 1 sau potrivit, vom obţine funcţia de transfer scalată în frecvenţă H(s):

( 28 )

, unde: ( 28.1 )

Deoarece, filtrul nostru este de ordin par, n=2, vom avea K = H0 ; pentru , vom avea următoarea formă a funcţiei de transfer:

( 29 )