Procesarea imaginilor in domeniul frecventei -...
Transcript of Procesarea imaginilor in domeniul frecventei -...
1
APIM5 - 1
Procesarea imaginilor in
domeniul frecventei
APIM5 - 2
In cursul de astazi…
• Transformata Fourier
• Forme de filtre
• Eliminarea zgomotului
• Proprietati ale transformatei Fourier
• Filtrarea inversa
• Transformata Fourier discreta
• Alte transformari
APIM5 - 3
Relatia dintre imagini si sinusoide
• Orice imagine digitala poate fi modelata ca o suma de sinusoide
• f(x)=x, pe domeniul
APIM5 - 4
Convergenta seriei
pt. k{1,2,4,8,16,32}
2
APIM5 - 5
Alt exemplu
k{2,4,8,16,32,64}
APIM5 - 6
Transformata Fourier
• Fie functia f(x), cum determinam cat de des se regaseste fiecare frecventa in ea?
• Care este legatura intre aceste frecvente si functia f(x)?
• Transformata Fourier a functiei f(x):
• Valoarea ei ne da informatii despre frecventa
spatiala u in functia f
APIM5 - 7
Transformata Fourier
• De obicei e important cata frecventa spatiala u se gaseste in functia f -> modulul transformatei Fourier, |F(u)|
• Puterea spectrala |F(u)|2
• Transformata Fourier inversa:
APIM5 - 8
Diferente intre transformate
• Mai multe definitii ale transformatei Fourier si inversei sale
• Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau la cea inversa
• Factorul 2π poate fi omis din exponent
• Se poate include un factor global
3
APIM5 - 9
Exemplu
APIM5 - 10
Alt exemplu
APIM5 - 11
Alt exemplu
APIM5 - 12
Transformata Fourier
• Functiile pare au transformata Fourier reala
• Functiile impare au transformata Fourier imaginara
• in practica functiile sunt rareori pare sau impare -> transformata Fourier in planul complex
4
APIM5 - 13
Transformata Fourier 2D
• Fie functia f(x,y), atunci transformata ei Fourier este
• Transformata Fourier inversa:
• F(u,0), F(0,v), F(u,v)
APIM5 - 14
Afisarea Transformatei Fourier 2D
• Pentru o functie f(x,y) se afiseaza modulul |F(u,v)|
• Se afiseaza si valorile negative ale lui u si v => originea imaginii transformatei se deplaseaza in centrul imaginii
• Se imbunatateste contrastul:
APIM5 - 15
Exemple (1)
APIM5 - 16
Exemple (2)
5
APIM5 - 17
Exemple (3)
APIM5 - 18
Exemple (4)
APIM5 - 19
Exemple (5)
APIM5 - 20
Exemple (6)
6
APIM5 - 21
Exemple (7)
APIM5 - 22
Exemple (8)
APIM5 - 23
Exemple (9)
APIM5 - 24
Procesarea imaginilor in domeniul
frecventa • Se pot folosi operatii care modifica direct caracteristicile
de frecventa ale imaginii f(x,y)
• O tehnica uzuala este eliminarea frecventelor dintr-un anumit interval:
1. Se calculeaza F(u,v) pentru f(x,y)
2. Se calculeaza noua transformata F(u,v) prin setarea unor valori specifice ale lui F(u,v) la zero
3. Se aplica transf. Fourier inversa functiei F(u,v) si se obtine f(x,y)
7
APIM5 - 25
Exemplu
original F(u,v)
F(u,v) f(x,y)
APIM5 - 26
Exemplu
• Eliminarea frecventelor inalte => elimina micile detalii => este un filtru trece jos
original f(x,y)
APIM5 - 27
Exemplu
• Eliminarea frecventelor joase=> filtru trece sus
original
f(x,y)
F(u,v)
F(u,v)
APIM5 - 28
Imaginea masca
• Functia f(x,y) se obtine astfel:
unde M(u,v) este o imagine masca.
• Inmultirea lui F cu M se numeste mascarea lui F
Functia treapta
8
APIM5 - 29
Imagini masca netede (1)
• De exemplu, imaginea masca gaussiana G(u,v)
APIM5 - 30
Imagini masca netede (2)
• Se obtine
APIM5 - 31
Imagini masca netede (2)
• Se obtine
Original masca treapta masca gaussiana
APIM5 - 32
Forma filtrelor
Fitru rectangular Filtru Gaussian Filtru Butterworth
• alte filtre frecvent utilizate: – Bartlett –forma liniara, triunghiulara – Welch – foma parabolica – Chebyshev – Blackman – Hamming forme derivate din cosinus – Hanning
9
APIM5 - 33
Filtrul Butterworth
• Cel mai simplu filtru Butterworth:
si in 2D:
unde: n este ordinul functiei u0 si v0 determina largimea filtrului
u0 = 1 n = 1;2;3
u0 = 1 n = -1;-2;-3
APIM5 - 34
Eliminarea zgomotului periodic
APIM5 - 35
Proprietati ale transformatei
• Separabilitatea
• Linearitatea
• Proprietatea convolutiei
APIM5 - 36
Exemplu
Original:
10
APIM5 - 37
Proprietati asupra derivatei
• unidimensional:
• bidimensional:
APIM5 - 38
Alte proprietati ale transformatei
APIM5 - 39
Cateva transformate Fourier
APIM5 - 40
Filtrare inversa
• Achizitia imaginii
• Transformata Fourier
• Reconstruirea imaginii ideale in acest fel = filtrare inversa
• 1/H = filtru invers
11
APIM5 - 41
Filtru pseudoinvers (1)
• De obicei valorile lui H sunt zero sau f. mici => se utilizeaza filtrul pseudoinvers
unde:
si ε este o constanta pozitiva mica adecvata
APIM5 - 42
Filtru pseudoinvers (2)
• O abordare mai sofisticata
• Daca S(u,v) este determinat optim din cantitatea de zgomot la frecventa (u,v) => filtru Wiener
• In practica S este deseori setat la o valoare constanta determinata empiric si rezultatul este acceptabil daca cantitatea de zgomot nu e prea mare
APIM5 - 43
Exemplu
• Fie o imagine fb care este neclara datorita convolutiei Gaussiene:
atunci:
si fi =
APIM5 - 44
Artefacte
• Estimarea eronata a largimii Gaussianului => artefacte
eroare in 3% 17% aprecierea lui σ
12
APIM5 - 45
Eliminarea artefactelor
• Se utilizeaza filtrul pseudoinvers
APIM5 - 46
Transformata Fourier Discreta
• Imaginea digitala = o matrice de pixeli
unde:
• Transformata Fourier Discreta inversa:
APIM5 - 47
Transformata Hartley
• Pornind de la Transf. Fourier:
definim:
• Transformata Discreta:
APIM5 - 48
Transformata cosinus
• Transformata cosinus discreta:
unde:
• Poate fi calculata mai repede decat TF
• Continutul esential al imaginii este reprezentat intr-o forma compacta => utilizata in tehnici de comprimare a imaginilor
13
APIM5 - 49
Transformata wavelet (1)
• Functiile de baza nu sunt predeterminate si sunt o combinatie particulara de sinusi si cosinusi
• Functiile de baza sunt calculate dintr-o singura mother wavelet (x) prin scalare cu a si translatie cu b:
• Transformata continuua:
APIM5 - 50
Transformata wavelet (2)
• O alegere comuna pentru mother wavelet este functia Haar φ(x) :
• Transformata discreta:
• Relativ noua, util. in analiza imag. multirezolutie