Procesarea imaginilor in domeniul frecventei -...

13
1 APIM5 - 1 Procesarea imaginilor in domeniul frecventei APIM5 - 2 In cursul de astazi… Transformata Fourier Forme de filtre Eliminarea zgomotului Proprietati ale transformatei Fourier Filtrarea inversa Transformata Fourier discreta Alte transformari APIM5 - 3 Relatia dintre imagini si sinusoide Orice imagine digitala poate fi modelata ca o suma de sinusoide f(x)=x, pe domeniul APIM5 - 4 Convergenta seriei pt. k{1,2,4,8,16,32}

Transcript of Procesarea imaginilor in domeniul frecventei -...

Page 1: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

1

APIM5 - 1

Procesarea imaginilor in

domeniul frecventei

APIM5 - 2

In cursul de astazi…

• Transformata Fourier

• Forme de filtre

• Eliminarea zgomotului

• Proprietati ale transformatei Fourier

• Filtrarea inversa

• Transformata Fourier discreta

• Alte transformari

APIM5 - 3

Relatia dintre imagini si sinusoide

• Orice imagine digitala poate fi modelata ca o suma de sinusoide

• f(x)=x, pe domeniul

APIM5 - 4

Convergenta seriei

pt. k{1,2,4,8,16,32}

Page 2: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

2

APIM5 - 5

Alt exemplu

k{2,4,8,16,32,64}

APIM5 - 6

Transformata Fourier

• Fie functia f(x), cum determinam cat de des se regaseste fiecare frecventa in ea?

• Care este legatura intre aceste frecvente si functia f(x)?

• Transformata Fourier a functiei f(x):

• Valoarea ei ne da informatii despre frecventa

spatiala u in functia f

APIM5 - 7

Transformata Fourier

• De obicei e important cata frecventa spatiala u se gaseste in functia f -> modulul transformatei Fourier, |F(u)|

• Puterea spectrala |F(u)|2

• Transformata Fourier inversa:

APIM5 - 8

Diferente intre transformate

• Mai multe definitii ale transformatei Fourier si inversei sale

• Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau la cea inversa

• Factorul 2π poate fi omis din exponent

• Se poate include un factor global

Page 3: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

3

APIM5 - 9

Exemplu

APIM5 - 10

Alt exemplu

APIM5 - 11

Alt exemplu

APIM5 - 12

Transformata Fourier

• Functiile pare au transformata Fourier reala

• Functiile impare au transformata Fourier imaginara

• in practica functiile sunt rareori pare sau impare -> transformata Fourier in planul complex

Page 4: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

4

APIM5 - 13

Transformata Fourier 2D

• Fie functia f(x,y), atunci transformata ei Fourier este

• Transformata Fourier inversa:

• F(u,0), F(0,v), F(u,v)

APIM5 - 14

Afisarea Transformatei Fourier 2D

• Pentru o functie f(x,y) se afiseaza modulul |F(u,v)|

• Se afiseaza si valorile negative ale lui u si v => originea imaginii transformatei se deplaseaza in centrul imaginii

• Se imbunatateste contrastul:

APIM5 - 15

Exemple (1)

APIM5 - 16

Exemple (2)

Page 5: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

5

APIM5 - 17

Exemple (3)

APIM5 - 18

Exemple (4)

APIM5 - 19

Exemple (5)

APIM5 - 20

Exemple (6)

Page 6: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

6

APIM5 - 21

Exemple (7)

APIM5 - 22

Exemple (8)

APIM5 - 23

Exemple (9)

APIM5 - 24

Procesarea imaginilor in domeniul

frecventa • Se pot folosi operatii care modifica direct caracteristicile

de frecventa ale imaginii f(x,y)

• O tehnica uzuala este eliminarea frecventelor dintr-un anumit interval:

1. Se calculeaza F(u,v) pentru f(x,y)

2. Se calculeaza noua transformata F(u,v) prin setarea unor valori specifice ale lui F(u,v) la zero

3. Se aplica transf. Fourier inversa functiei F(u,v) si se obtine f(x,y)

Page 7: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

7

APIM5 - 25

Exemplu

original F(u,v)

F(u,v) f(x,y)

APIM5 - 26

Exemplu

• Eliminarea frecventelor inalte => elimina micile detalii => este un filtru trece jos

original f(x,y)

APIM5 - 27

Exemplu

• Eliminarea frecventelor joase=> filtru trece sus

original

f(x,y)

F(u,v)

F(u,v)

APIM5 - 28

Imaginea masca

• Functia f(x,y) se obtine astfel:

unde M(u,v) este o imagine masca.

• Inmultirea lui F cu M se numeste mascarea lui F

Functia treapta

Page 8: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

8

APIM5 - 29

Imagini masca netede (1)

• De exemplu, imaginea masca gaussiana G(u,v)

APIM5 - 30

Imagini masca netede (2)

• Se obtine

APIM5 - 31

Imagini masca netede (2)

• Se obtine

Original masca treapta masca gaussiana

APIM5 - 32

Forma filtrelor

Fitru rectangular Filtru Gaussian Filtru Butterworth

• alte filtre frecvent utilizate: – Bartlett –forma liniara, triunghiulara – Welch – foma parabolica – Chebyshev – Blackman – Hamming forme derivate din cosinus – Hanning

Page 9: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

9

APIM5 - 33

Filtrul Butterworth

• Cel mai simplu filtru Butterworth:

si in 2D:

unde: n este ordinul functiei u0 si v0 determina largimea filtrului

u0 = 1 n = 1;2;3

u0 = 1 n = -1;-2;-3

APIM5 - 34

Eliminarea zgomotului periodic

APIM5 - 35

Proprietati ale transformatei

• Separabilitatea

• Linearitatea

• Proprietatea convolutiei

APIM5 - 36

Exemplu

Original:

Page 10: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

10

APIM5 - 37

Proprietati asupra derivatei

• unidimensional:

• bidimensional:

APIM5 - 38

Alte proprietati ale transformatei

APIM5 - 39

Cateva transformate Fourier

APIM5 - 40

Filtrare inversa

• Achizitia imaginii

• Transformata Fourier

• Reconstruirea imaginii ideale in acest fel = filtrare inversa

• 1/H = filtru invers

Page 11: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

11

APIM5 - 41

Filtru pseudoinvers (1)

• De obicei valorile lui H sunt zero sau f. mici => se utilizeaza filtrul pseudoinvers

unde:

si ε este o constanta pozitiva mica adecvata

APIM5 - 42

Filtru pseudoinvers (2)

• O abordare mai sofisticata

• Daca S(u,v) este determinat optim din cantitatea de zgomot la frecventa (u,v) => filtru Wiener

• In practica S este deseori setat la o valoare constanta determinata empiric si rezultatul este acceptabil daca cantitatea de zgomot nu e prea mare

APIM5 - 43

Exemplu

• Fie o imagine fb care este neclara datorita convolutiei Gaussiene:

atunci:

si fi =

APIM5 - 44

Artefacte

• Estimarea eronata a largimii Gaussianului => artefacte

eroare in 3% 17% aprecierea lui σ

Page 12: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

12

APIM5 - 45

Eliminarea artefactelor

• Se utilizeaza filtrul pseudoinvers

APIM5 - 46

Transformata Fourier Discreta

• Imaginea digitala = o matrice de pixeli

unde:

• Transformata Fourier Discreta inversa:

APIM5 - 47

Transformata Hartley

• Pornind de la Transf. Fourier:

definim:

• Transformata Discreta:

APIM5 - 48

Transformata cosinus

• Transformata cosinus discreta:

unde:

• Poate fi calculata mai repede decat TF

• Continutul esential al imaginii este reprezentat intr-o forma compacta => utilizata in tehnici de comprimare a imaginilor

Page 13: Procesarea imaginilor in domeniul frecventei - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~simona/apim/apim5_4p.pdf · • Semnul minus de la exponent poate sa apara la transformata directa sau

13

APIM5 - 49

Transformata wavelet (1)

• Functiile de baza nu sunt predeterminate si sunt o combinatie particulara de sinusi si cosinusi

• Functiile de baza sunt calculate dintr-o singura mother wavelet (x) prin scalare cu a si translatie cu b:

• Transformata continuua:

APIM5 - 50

Transformata wavelet (2)

• O alegere comuna pentru mother wavelet este functia Haar φ(x) :

• Transformata discreta:

• Relativ noua, util. in analiza imag. multirezolutie