PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut...

31
PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZ ˘ A MATEMATIC ˘ A Radu Gologan, Tania-Luminit ¸a Costache

Transcript of PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut...

Page 1: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

PROBLEME PENTRU EXAMENULDE ANALIZA MATEMATICA

Radu Gologan, Tania-Luminita Costache

Page 2: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

2

*

Page 3: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

Prefata

Textul de fata este construit pe scheletul subiectelor date la examenul deAnaliza Matematica ın perioada 2002-2012 la Facultatea de Automatica siCalculatoare, anul I. Problemele au un grad de dificultate moderat si con-sideram ca ın actuala forma , testele sunt utile pentru pregatirea examenelorde catre studenti si pentru alcatuirea subiectelor de examen pentru cadrele di-dactice. Multe dintre probleme au continut aplicativ si fac apel la intelegereaintutitiva a notiunilor. Culegerea este considerata de noi doar un punct deplecare pentru alcatuirea unei baze de date cu subiecte pentru verificareamatematica a studentilor.

Autorii

3

Page 4: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

Test 1

1. a) Exista o serie convergenta∑an si o serie divergenta

∑bn cu pro-

prietatea an ≥ bn,∀n?

b) Exista o serie convergenta∑an si o serie divergenta

∑bn cu pro-

prietatea |an| ≥ |bn|, ∀n?

c) Exista un sir de functii indefinit derivabile care converge uniformcatre 0 si pentru care sirul derivatelor este divergent?

2. Stabiliti convergenta absoluta a seriei∑n≥1

2 3√n+ b(−1)n

√n√

n3 + 1, b > 0.

3. Sa se calculeze limn→∞

(2 + x

2x( ex − 1)− 1

x2

), cu ajutorul dezvoltarilor lim-

itate.

4. Sa se studieze natura seriei de functii b)∞∑n=1

1

x2 + 2n, x ∈ R.

5. Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de puteri∑n≥1

(1 +

1

n

)−n2

e−nx.

Test 2

1. a) Sa se arate ca suma dintre o serie convergenta si una divergenta este oserie divergenta . Exista serii divergente a caror suma este convergenta? Daca da, dati un exemplu.

b) Se poate ca∑n≥1

xn sa fie divergenta , ın timp ce∑n≥1

x2n este conver-

genta ? Dar∑n≥1

x2n sa fie divergenta si

∑n≥1

xn convergenta ? Exemplificati.

2. Sa se studieze natura seriei∞∑n=1

n2 e−√n.

3. Sa se studieze convergenta si absolut convergenta seriei∑n≥1

(−1)n+1 (n+ 1)n+1

nn+2.

4. Folosind dezvoltari limitate, sa se calculeze limx→0

1− 1e(1 + x)

1x

x.

Page 5: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

5

5. Sa se determine multimea de convergenta a seriei de puteri∑n≥1

(−1)n+1 (2n− 1)2n

(3n− 2)2n(x− 1)n.

Test 3

1. Sa se studieze natura seriei∞∑n=1

(√

(n+ 1)(n+ a)− n)n, a ≥ 0.

2. Studiati convergenta uniforma a seriei

∞∑n=1

2nxn

3n + x2n.

3. Calculati suma seriei∑

n≥0(n+1)2

n!

4. Sa se arate ca functia definita pe R2 prin f(x, y) = xy2√x2+y4

pentru

(x, y) 6= (0, 0) si f(0, 0) = 0 este difernetiabila dar nu de clasa C1.

5. Dezvoltati ın serie Fourier pe [−π, π] functia f(x) = | sin x2|.

Test 4

1. Studiati convergenta seriei

∞∑n=1

(an2 + n+ 1

n2

)n, a > 0.

2. Studiati convergenta punctuala si uniforma a sirului de functii fn : R→R, fn(x) = x2n

1+nx2 .

3. Dezvoltati ın serie de puteri f(x) = 3xx2+5x+6

, precizand domeniul dedefinitie si domeniile de convergenta punctuala, respectiv uniforma.

4. Fie f : R2 → R data prin f(x, y) = xy3

x2+y2pentru (x, y) 6= (0, 0) si

f(0, 0) = 0. Aratati ca f ∈ C1(R2). Calculati derivatele partiale deordin 2 ın origine. Este f de clasa C2?

Page 6: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

6

5. Demonstrati ca x2+y2

4≤ ex+y−2, x ≥ 0, y ≥ 0.

Test 5

1. Sa se studieze natura seriei numerice∞∑n=1

ann!

nn, a ≥ 0.

2. Sa se calculeze limita limx→∞

[x− x2 ln

(1 +

1

x

)]cu ajutorul dezvoltarilor

limitate.

3. Daca seria∞∑n=2

|xn − xn−1|, unde xn ∈ R, este convergenta , atunci

(xn)n≥1 e convergent. Reciproca nu e adevarata . Dati un contraexem-plu.

4. Sa se studieze convergenta simpla si uniforma a sirului de functiifn : [−1, 1]→ R, fn(x) = x

1+nx2 .

5. Sa se studieze natura seriei de functii :∞∑n=1

x2

(1 + x2)n, x ∈ R, n ≥ 1.

Test 6

1. Sa se studieze natura seriei numerice

∞∑n=1

(n+ 1

n

)n2

· an, a > 0.

2. Sa se calculeze limita limx→0

e−x2

2 − cosx

x4cu ajutorul dezvoltarilor limi-

tate.

3. Sa se studieze convergenta simpla si uniforma a sirului de functiifn : R+ → R, fn(x) = e−nx sinnx.

4. Sa se studieze seria de functii∞∑n=1

(−1)nx2

1 + n3x4, x ∈ R.

5. Sa se precizeze numarabilitatea multimilor Z,Q,R.

Page 7: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

7

Test 7

1. Sa se determine multimea de convergenta si suma seriei

∞∑n=1

(−1)n−1

n(2n− 1)

(1− x1− 2x

)2n−1

.

2. Fie

f(x, y) =

{xy · x2−y2

x2+y2, daca (x, y) 6= (0, 0)

0, daca (x, y) = (0, 0)

Sa se arate ca ∂2f∂x∂y

nu este continua ın origine, ∂2f∂x∂y

(0, 0) 6= ∂2f∂y∂x

(0, 0).

3. Sa se calculeze dz si d2z ın punctul M0(2, 0, 1) pentru functiaz = f(x, y) definita implicit prin 2x2 + 2y2 + z2 − 8xz − z + 8 = 0.

4. Sa se determine infDf(x, y) si sup

Df(x, y), pentru functia f(x, y) = x2+

+y2 − 3x− 2y + 1, unde D : x2 + y2 ≤ 1.

5. Sa se arate ca M([a, b]) ={f : [a, b] → R/fmarginita

}este spatiu

metric complet.

Test 8

1. Sa se studieze convergenta seriei∑n≥2

an

n√n!, a > 0.

2. Sa se stabileasca multimea de convergenta si sa se calculeze suma seriei∑n≥1

n(x− 1)n · 5n.

3. Se considera functia

f(x, y) =

{x3√x2+y2

, daca (x, y) 6= (0, 0)

0, daca (x, y) = (0, 0)

Sa se arate ca este diferentiabila ın (0,0).

4. Sa se determine extremele functiei

f(x, y, z) = sinx+sin y+sin z−sin(x+y+z), (x, y, z) ∈ (0, π)×(0, π)×(0, π).

5. Fie f : A→ R, unde A ⊂ R2 multime deschisa , o functie diferentiabilaıntr-un punct a ∈ A. Aratati ca f este continua ın punctul a.

Page 8: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

8

Test 9

1. Sa se stabileasca natura seriei∞∑n=1

n2(a1+√n+1

n√n+2 − 1)

n+ 1, a > 0, a 6= 1.

2. Sa se calculeze limita limx→0

√1 + x2 − 1

x2cu ajutorul dezvoltarilor limi-

tate.

3. Sa se determine multimea de convergenta a seriei∞∑n=1

(1 +

1

n

)n(1− x1− 2x

)n,

x ∈ R \{

12

}.

4. Fie functia

f(x, y) =

{xy sin x2−y2

x2+y2, daca (x, y) 6= (0, 0)

0, daca (x, y) = (0, 0)

(a) Sa se arate ca f este de clasa C1 pe R2;

(b) Sa se arate ca f are derivate partiale mixte de ordinul II ın orice

punct si sa se calculeze ∂2f∂x∂y

si ∂2f∂y∂x

ın origine; este functia f de clasa

C2 pe R2?

5. Sa se arate ca functia z(x, y) definita de relatia Φ(x− az, y − bz) == 0, a, b ∈ R verifica ecuatia a ∂z

∂x+ b∂z

∂y= 1.

Test 10

1. Sa se studieze natura seriei∞∑n=1

(−1)n+1

nα+ 1n

, α ∈ R.

2. Sa se calculeze limita limx→0

e−2x + e2x − 2

x2cu ajutorul dezvoltarilor lim-

itate.

3. Exista o functie f : R → R derivabila de doua ori astfel ca f ≥ 0 sif ′′ < 0?

4. Sa se arate ca functia

f(x, y) =

{xy2+sin(x3+y5)

x2+y4, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

este continua partial ın origine, dar nu este continua ın acest punct.

Page 9: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

9

5. Sa se arate ca R este spatiu metric complet.

Test 11

1. Sa se studieze natura seriei∑n≥1

[e−

(1 +

1

n

)n]p, p ∈ R.

2. Sa se arate ca sirul de functii (fn)n,fn : (1,∞)→ R,

fn(x) =√

(n2 + 1) sin2 πn

+ nx−√nx este uniform convergent.

3. Sa se calculeze sin 32◦ cu precizia 10−3.

4. Sa se studieze continuitatea functiei

f(x, y) =

{x2+y2√

x2+y2+1−1, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

5. Sa se gaseasca extremele functiei f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 cu legatura2x+ 3y − z = 1.

Test 12

1. Sa se studieze natura seriei∞∑n=2

(n1n − 1)α, α ∈ R fixat.

2. Sa se arate ca sirul de functii (fn)n,fn : R → R, fn(x) = 1n

arctanxn

converge uniform pe R, dar [ limn→∞

fn(x)]′x=1 6= limn→∞

f ′n(1).

3. Fie I un interval din R, f : I → R derivabila de trei ori pe I cu f ′′′

continua . Sa se arate ca f ′′(x0) = limh→0

f(x0 + h) + f(x0 − h)− 2f(x0)

h2.

4. Sa se arate ca functia

f(x, y) =

{xy+x2y ln |x+y|

x2+y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

este continua partial ın origine, ınsa nu e continua ın raport cu ansam-blul variabilelor ın acest punct.

5. Sa se arate ca f : R2 → R, f(x, y) = (1 + ey) cosx−y ey are o infinitatede maxime locale si nici un minim local.

Page 10: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

10

Test 13

1. Sa se studieze natura seriei∞∑n=1

alnn, a > 0.

2. Studiati convergenta simpla si uniforma a sirului de functiifn : [0, π

2]→ R,fn(x) = n sinn x cosx.

3. Stabiliti convergenta uniforma a seriei de functii∞∑n=1

arctan2x

x2 + n4, x ∈

R.

4. Sa se determine multimea de convergenta a seriei de puteri

∞∑n=0

(−1)n1

3n2

√1 + n2

tann x, x ∈(−π

2,π

2

).

5. Sa se rezolve urmatoarea limita cu ajutorul dezvoltarilor limitate

l = limx→0

(1 + sin x)1x .

Test 14

1. Sa se studieze convergenta seriei∑n≥1

a(a+ 1) . . . (a+ n− 1)

b(b+ 1) . . . (b+ n− 1)(c− 2)n, a, b > 0, c > 2.

2. Sa se studieze convergenta punctuala si uniforma a sirului de functiifn : (−∞, 0)→ R, fn(x) = enx−1

enx+1.

3. Sa se precizeze convergenta punctuala si uniforma a seriei

∞∑n=1

n2

√n!

(xn + x−n), x ∈[

1

2, 2

].

4. Sa se determine suma seriei∞∑n=0

(−1)n

22nn!, cu ajutorul seriilor de puteri.

5. Sa se dezvolte ın serie Fourier functia f(x) = 12+cosx

pe R.

Page 11: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

11

Test 15

1. Sa se determine in coordonate polare forma operatorului diferential

xy∂f

∂x+ xy3∂f

∂y.

2. Sa se determine extremele locale ale functiei

f(x, y, z) = x+y2

4x+z2

y+

2

z, x, y, z > 0.

3. Sa se calculeze :

I(a) =

∫ π2

0

ln(a2 − sin2 θ)dθ, a > 1.

4. Sa se calculeze integrala de suprafata I =∫ ∫

Σzdσ, unde Σ este portiunea

din paraboloidul z = x2+y2

2, decupata de cilindrul x2 + y2 = 8.

5. Calculati fluxul campului vectorial v = xi + z2j + y2k prin suprafatalaterala a conului z2 = x2 + y2 marginit de planul z = 1, pentru z ≥ 0.

Test 16

1. Fie (an)n un sir de numere pozitive.

a) Aratati ca daca seria∑n

an este convergenta , atunci seria∑n

√anan+1

este convergenta .

b) Este reciproca adevarata ? Justificati.

2. Aflati punctul cu coordonata z cea mai mare din intersectia suprafeteix2 = y2 + z2 cu planul x+ y + z = 1.

3. Aflati ın coordonate cilindrice forma operatorului diferential

y∂f

∂x+ xy2z5∂f

∂y+ x3yz2∂f

∂z.

4. Calculati volumul marginit de suprafetele x2 + z2 = 2z, x2 + z2 == 3y, y = 0.

Page 12: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

12

5. Sa se determine circulatia campului de vectori

v = xi+ (x+ y)j + (x+ y + z)k

de-a lungul curbei Γ : x2 + y2 = R2, z = x+ y.

Test 17

1. Sa se arate ca daca seria∑n

a2n este convergenta , unde (an)n este un

sir de numere reale, atunci seria∑n

ann

este convergenta .

2. Studiati convergenta uniforma a sirului de functii fn : [−1, 1] → R,fn(x) = nxn+1

nxn+2.

3. a) Demonstrati formula lui Legendre Γ(p)Γ(p+ 1

2

)=

√π

22p−1 · Γ(2p).(Indicatie: Se porneste de la definitia functiei B a lui Euler, facandschimbarea de variabila 1

2− x = 1

2

√t.)

b) Folosind punctul a), calculati In =∫ 1

0xn√1−x2dx.

4. Calculati∫ π

0ln(1 − 2r cosx + r2)dx, |r| < 1 folosind o integrala cu

parametru.

5. Sa se calculeze urmatoarea integrala , cu ajutorul functiilor Γ si B:

I =∫ π

2

0sin

52 x cos

32 xdx.

Test 18

1. a) Determinati seria Fourier asociata functiei f(x) = etx.

b) Studiati convergenta acesteia.

c) Calculati valoarea seriei∞∑n=1

1

n2 + t2.

2. Daca f este o functie definita pe o vecinatate V a punctului (0, 0) siındeplineste relatia |f(x, y)| ≤ x2 + y2, atunci f este diferentiabila ınorigine.

3. a) Calculati In =∫ 1

0x2n+1√

1−x2dx.

b) Este seria∞∑n=1

In convergenta ? Justificati raspunsul.

Page 13: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

13

4. Calculati∫ 1

01−x2

3√1−x3dx.

5. Calculati∫ π

2

0ln(cos2 x + m2 sin2 x)dx,m ∈ R+, folosind o integrala cu

parametru.

Test 19

1. Determinati seria de puteri a functiei f(x) = arctanx ın jurul originiisi domeniul de convergenta . Determinati f (2n+1)(0).

2. Determinati maximul functiei (”presiune termodinamica ”) f(x, y, z) == −x lnx− y ln y− z ln z+x+ y+ 2z, unde x, y, z ∈ R∗+, x+ y+ z = 1.

3. Presupunem ca R e regiunea plana marginita de hiperbolele xy == 1, xy = 3, x2 − y2 = 1, x2 − y2 = 4. Gasiti momentul de inertieI0 =

∫ ∫D

(x2 + y2)dxdy al acestei regiuni.

4. Fie a > 0, b > 0 si fie Γ intersectia cilindrului x2 + y2 = a2 cu planulx

a+z

b= 1. Sa se calculeze, (aplicand formula lui Stokes), circulatia

campului vectorial V = x i+ (y−x) j+ (z−x− y) k de-a lungul curbeiΓ (orientarea pe Γ nu este precizata ).

5. O placa plana de forma patrata cu masa omogena exercita forta deatractie newtoniana asupra unui punct material de masa aflat pe diag-onala patratului (sau pe prelungurea acesteia). Aflati aceasta forta ınfunctie de latura patratului si distanta punctului la centrul patratului.

Test 20

1. Sa se demonstreze ca daca x2 + y2 + z2 ≤ 1, atunci

− 1√3≤ x3 + y3 + z3 ≤ 1√

3.

2. Fie an =∫ 1

0xn(1− x)ndx. Este seria

∞∑n=1

2nan convergenta ?

3. Calculati aria domeniului marginit a carui frontiera este determinatade x2 + y2 ≤ 2, x ≤ y2, x ≥ −y2.

4. Sa se calculeze circulatia campului vectorial

V = (y2 + z2)i+ (x2 + z2)j + (x2 + y2)k

pe curba Γ : x2 + y2 + z2 = R2, ax+ by + cz = 0.

Page 14: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

14

5. Sa se calculeze fluxul campului−→v = 3x2z

−→i + (y2 − 2z)

−→j + z3−→k prin

suprafata deschisa x24 + y2 + z29 = 1, z > 0. utilizand teoerma Gauss-Ostrogradski.

Test 21

1. Sa se demonstreze ca x1 + x2 + . . . + xn = 1, xi > 0, i = 1, n, atuncin∑i=1

xi lnxi ≥ ln1

n.

2. Ce devine ecuatia x2 ∂2z

∂x2− y2∂

2z

∂y2= 0 prin schimbarea de variabile

(x, y) 7→ (u, v), unde u = xy, v =x

y.

3. Sa se calculeze direct si aplicand formula Green-Riemann:∫Γ

xydx+x2

2dy,Γ = {(x, y) | x2 + y2 = 1, x ≤ 0 ≤ y}∪

∪{(x, y) | x+ y = −1, x ≤ 0, y ≤ 0}.

4. Fie a, b, c trei numere strict pozitive. Sa se calculeze fluxul campuluivectorial:

V = x(xy + az)i− y(xy − az)j + z3k

prin suprafata Σ de ecuatie:(x2

a2+y2

b2

)2

+z2

c2= 1.

5. Considerati f : D ⊂ R2 → R data de f(x, y) = 11−xy unde D este

patratul descris de |x|+ |y| ≤ 1. Calculati∫ ∫

Df(x, y)dxdy:

a) dezvoltand mai ıntai functia ın serie de puteri ın xy;

b) folosind teorema Fubini.

Deduceti de aici valoarea seriei∑∞

n=11n2 .

Test 22

1. Studiati convergenta integralei∫∞

1sinx3dx.

Page 15: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

15

2. Determinati extremele functiei z = z(x, y) definita implicit prin x2 +y2 + z2 + 2x− 4y + z + 3 = 0.

3. Considerati D ={

(x, y)/|x|, |y| ≤ 1}

si f : D ⊂ R2 → R de clasa C1 ınD. Aratati ca∣∣∣∣f(x, y)− f(1, 1) + f(−1, 1) + f(−1,−1) + f(1,−1)

4

∣∣∣∣ ≤ supD

(∣∣∣∣∂f∂x∣∣∣∣+

∣∣∣∣∂f∂y∣∣∣∣)

4. Calculati cu formula Green-Riemann integrala :

I =

∫C

√x2 + y2dx+y[xy+ln(x+

√(x2 + y2)]dy, (C) : x2+y2−4x−6y+12 = 0

5. Sa se calculeze integrale curbilinie cu ajutorul formulei lui Stokes :I =

∫C

(y − z)dx + (z − x)dy + (x− y)dz, unde C este elipsa obtinutaprin intersectia cilindrului x2 + y2 = 1 cu planul x + z = 1, parcursaastfel ıncat proiectia curbei C pe planul xOy sa fie orientata pozitiv

Test 23

1. Fie (an)n≥1 un sir de numere reale strict pozitive. Sa se studieze natura

seriei∞∑n=1

√a1 + . . .+ an√a1 + . . .+

√an

.

2. Sa se determine extremele functiei definita implicit de z = z(x, y) prinecuatia x2 + y2 + z2 − xy − yz + 2x+ 2y + 2z − 2 = 0.

3. Calculati aria figurii cuprinse ıntre curbele x = y, x = 2y, xy = 3, xy =4.

4. Fie V = (x2 + y − 4)i+ 3xyj + (2xz + z2)k si fie semisfera

Σ = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 16, z ≥ 0}.

Sa se calculeze fluxul campului rot (V ) prin Σ, orientata cu normalaexterioara (la sfera ).

5. Fie D discul centrat ın origine de raza 1 ın plan. Aratati ca

limn→∞

∫ ∫D

(x2 + y2)n

1 + x2 + y2dxdy = 0,

folosind eventual un disc de raza mai mica pe care functia data convergeuniform la 0.

Page 16: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

16

Test 24

1. Calculati fluxul campului−→F = |

−→r |−→a ×

−→r prin suprafata cilindrului

marginit de x2 + z2 = 4, y = 0, z + y = 4.

2. Calculati aria decupata din suprafata y = x2−z2 de cilindrul x2 +y2 =1.

3. Calculati volumul corpului marginit de suprafetele date prin z = 10−x2, y = x2, z = 0, x2 + y2 = z.

4. Calculati circulatia campului−→F = (x2, y2, z2) de-a lungul elipsei deter-

minata de intersectia cilindrului x2 + y2 = 9 cu planul x+ y + z = 1.

5. Segmentele variabile AB unde A(a, 0, 0) si B(0, a, 1), a ∈ [0, 1] descriuo suprafata Σ. Calculati fluxul unui camp vectorial constant constantprin Σ.

Test 25

1. Calculati ∫ ∫D

(x2 + y2 + 1)−1dxdx

unde D este regiunea din primul cadran marginita de curbele de ecuatiiy = 1

x2 , y = 2x2 , y = x2, y = 2x2 (Folositi eventual o schimbare de

variabila).

2. Calculati fluxul campului−→F = r2 ·(

−→r ×−→a ) (−→a este un vector constant)

prin suprafata laterala a tetraedrului marginit de planele axelor decoordonate si de x+ 2y + 3z = 2.

3. Calculati volumul corpului marginit de suprafetele date prin y = x2 +4z2, y = 5− z2.

4. Calculati circulatia campului−→F = (3xyz, 5xy,−2y) de-a lungul elipsei

determinata de intersectia cilindrului z2 + x2 = 9 cu planul y = z + 1.

5. Formulati si demonstrati formula Green pentru un suprafata marginitade x = 1, x = 2, y = 1, y = x2 + 2

Test 26

1. Calculati volumul corpului marginit de suprafetele date prin y = z2, z =y2, x+ y + z = 2, x = 0.

Page 17: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

17

2. Calculati integrala unde D este regiunea determinata de parabolelex = y2, x = 3y2 si dreapta x+ y = 2.

3. Calculati fluxul campului−→F = (x3, y3, z3) prin suprafata cilindrului

marginit de x2 + y2 = 9, z = −1, z = 4.

4. Calculati circulatia campului−→F = (3y,−2x, 4x) de-a lungul elipsei

determinata de intersectia cilindrului x2 + y2 = 4 cu planul z = x.

5. Formulati si demonstrati formula Gauss-Ostrogradski pentru paralelip-ipedul definit prin 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 2.

Test 27

1. Calculati volumul corpului marginit de suprafetele date prin x2 + y2 +z2 = 2, z = x2 + y2.

2. Calculati fluxul campului−→F = (2x, 2y, 3) prin suprafata marginita de

paraboloidul z = 4− x2 − y2 si planul x+ y + z = 1.

3. Calculati circulatia campului−→F = (3z, 5x,−2y) de-a lungul elipsei

determinata de intersectia cilindrului x2 + y2 = 1 cu planul z = y + 3.

4. Formulati si demonstrati formula Gauss-Ostrogradski pentru cilindruldefinit prin x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2.

5. Folositi formula Taylor cu rest de ordin 1 (teorema de medie) pen-tru a demonstra urmatoarul rezultat: Fie f : [0, 1] × [0, 1] → R+,diferentiabila cu ∂f

∂x, ∂f∂y∈ [0, 1] si f(0, 0) = 0. Atunci∫ ∫

[0,1]2f(x, y)dxdx ≤ 1.

Test 28

1. Fie z = z(x, y) functie definita implicit de ecuatia x2 + y2 + 2x− 4y +z2 + z + 3 = 0. Sa se studieze extremele acesteia.

2. Calculati ∫ ∞0

4√x

(1 + x)2dx

folosind eventual o integrala Beta.

Page 18: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

18

3. Sa se calculeze ca integrala cu parametru

I(a) =

∫ π2

0

ln

(1 + a cosx

1− a cosx

)· 1

cosxdx,

unde |a| < 1.

4. Sa se calculeze cu formula Green-Riemann∫

Γ(x+ y)2dx− (x2 + y2)dy,

unde Γ este sfertul de cerc x2 + y2 = 1, x > 0, y > 0.

5. Sa se calculeze fluxul campului−→v = (y− z)

−→i + (z − x)

−→j + (x− y)

−→k

prin suprafata deschisa

x2 + y2 = 4− z, z > 0

utilizand teoerma Gauss-Ostrogradski.

Test 29

1. Fie f, g : (0, 1]→ R functii de clasa C1 astfel ıncat g este descrescatoare

cu limita 0 ın 0 iar functia data de F (x) =∫ 1

xf(t)dt sa fie marginita.

Aratati ca integrala∫ 1

0+f(t)g(t)dt este convergenta.

2. Folosind teorema functiilor implicite determinati extremele functie z =z(x, y) definita de (x2 + y2 + z2)2 = a2− x2− z2. Suprafata descrisa deultima ecuatie este compacta?

3. Sa se calculeze fluxul campului−→F = (x+ y, y+ z, z+x) prin suprafata

sferei unitate aflata ın primul octant (x, y, z ≥ 0).

4. Calculati volumul corpului aflat ın ineriorul sferei x2 + y2 + z2 = 4 si acilindrului x2 + y2 − 2x = 0. Se cere desenul.

5. Se considera o curba de clasa C1 ce ınchide un domeniu convex D dinplan si contine originea si fie n un numar natural nenul. Din originese duc dreptele dk de pante 2kπ

n, k = 0, 1, . . . , n − 1 si fie ri lungimea

segmentului determinat de fiecare de origine si intersectia cu curba. Cereprezinta aproximativ expresia sn = π

n

∑nk=0 r

2k? Aratati ca

limn→∞

n

∣∣∣∣sn − ∫ ∫D

rdrdθ

∣∣∣∣ = π

∫ 2π

0

r(θ)|r′(θ)|drdθ

unde r = r(θ) este parametrizarea curbei ın coordonate polare.

Page 19: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

19

Test 30

1. Fie (fn)n, fn : [0, 1] → R un sir de functii de clasa C1 cu fn(1) = 1pentru orice n ∈ N astfel ıncat sirul (f ′n)n sa fie uniform convergent.Demonstrati ca (fn)n este uniform convergent si limita este de clasaC1. Se cer detaliile.

2. Sa se calculeze ca integrala cu parametru I(a) =∫ π

2

0arctg (atgx)

tg xdx, unde

a ≥ 0.

3. Sa se calculeze fluxul rotorului campului F = (x+ y, y + z, z + x) prinsuprafata x2 + 2y2 + 4z2 = 1 situata deasupra planului xOy.

4. Calculati volumul corpului marginit de suprafetele x2 + y2 = 4a2, x2 +y2 − 2ay = 0, x+ y + z = 3, x ≥ 0, z ≥ 0 si a ∈ (0, 1).

5. Se considera un domeniu convex ın plan cu frontiera de clasa C1 sidin origine fascicolul tuturor dreptelor y = mkx cu mk = 2kπ1000, k =1, ...1000. Unele dintre aceste drepte intersecteaza figura prin segmentecu lungimea totala L. Puteti determina aproximativ aria figurii ınfunctie de L? Ce rezultat din teoria integralei va inspira problema?

Test 31

1. Determinati extremele functiei y = y(x) definita implicit prin x3 +y3 =2xy.

2. Calculati fluxul campului−→F = (2x, y,−z) prin suprafata y2 + z2 =

ax, 0 ≤ x ≤ a orientata dupa normala ce face un unghi ascutit cusemiaxa negativa Ox.

3. Determinati circulatia campului −→v = yz−→i +2xz

−→j −x2

−→k prin conturul

format din intersectia elipsoidului 4x2 + y2 + 4z2 = 8 cu planul z = 1parcurs ın sens pozitiv fata de normala exterioara a elipsoidului.

4. Se considera o sfera cu raza de 100m situata ıntr-un sistem carteziancu unitatea de masura 1m. Gasiti o aproximatie pentru numarul depuncte de coordonate ıntregi din sfera. Aproximativ cat de mare esteeroarea? Justificati.

5. Fie f : [0, 1]× R → R de clasa C1. Calculati derivata functiei F (y) =∫ sin y

0f(x, y)dx. Demonstrati rezultatul.

Page 20: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

20

Test 32

1. Calculati volumul corpului margnit de sfera x2+y2+z2 = 4 si paraboloidulz = x2 + y2.

2. Calculati circulatia campului F (x, y, z) = (x, y, z) de-a lungul curbeidate de r(t) = (sin t, cos t, t), t ∈ [0, 2π].

3. Calculati fluxul campului−→F = (xy, yz, zx) prin suprafata teraedrului

marginit de planele x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 orientata dupanormala exterioara.

4. Formulati si demonstrati formula lui Green pentru curba plana descrisade r = 2+cos θ ın coordonate polare. Reprezentati ın prealabil aceastacurba..

5. Se considera un domeniu convex ın plan cu frontiera de clasa C1 si dinorigine fascicolul tuturor dreptelor y = mkx cu mk = 2π

1000. Unele dintre

aceste drepte intersecteaza figura prin segmente cu lungimea totala L.Puteti determina aproximativ aria figurii ın functie de L? Ce rezultatdin teoria integralei va inspira problema?

Test 33.

1. Determinati extremele functiei f : K → R, f(x, y, z) = x+ y + z undeK = {(x, y, z) |x2 ≤ y2 + z2 ≤ 2x2}.

2. Gasiti forma expresiei

x∂f

∂x+ y

∂f

∂y+ z

∂f

∂z

ın coordonate sferice.

3. Calculati aria suprafetei decupate de z = x2 + y2 din sfera

x2 + y2 + z2 = 2x.

4. Calculati fluxul campului−→F = (

−→r ·−→a )2−→r prin suprafata decupata de

planul x+ y + z = 1 din sfera unitate.

5. Calculati aria figurii cuprinse ıntre curbele xy = 1, xy = 2, x − y =1, x− y = 2.

Page 21: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

21

Test 34

1. Determinati extremele funtiei f : K → R, f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

unde K = {(x, y, z) |xyz ≤ 2}.

2. Gasiti forma expresiei∂2f

∂x∂y+∂2f

∂z2

ın coordonatele (u, r, t), x = ur, y = u+ t, z = u− r.

3. Sa se studieze extremele locale ale functiei f(x, y, z) = x2y+ y2z + z2xpe portiunea din planul x + y + z = 1 cu x, y, z > 1. Ce se schimbadaca regiunea din planul de mai sus este descrisa de x, y, z ≥ 0?

4. Calculati ∫ ∞0

1

1 + x6dx

folosind eventual o integrala Beta.

5. Sa se calculeze cu formula Green-Riemann∫

Γ(x + y)dx − (x − y)dy,

unde Γ este cercul x2 + y2 = x.

Test 35

1. Fie z = z(x, y) functie definita implicit de ecuatia x2 + y2 + z2 − xz −yz+ 2x+ 2y+ 2z− 2 = 0. Sa se studieze extremele acesteia. Calculati∂2f∂x2 (0, 0).

2. Calculati ∫ ∞0

1

1 + x4dx

folosind eventual o integrala Beta.

3. Sa se calculeze ca integrala cu parametru I(a) =∫ π

2

0ln 1+a sinx

1−a sinx· 1

sinxdx,

unde |a| < 1.

4. Sa se calculeze cu formula Green-Riemann∫

Γex2

a2+ y2

b2 (−ydx+xdy), undeΓ este sfertul de elipsa x2/a2 + y2/b2 = 1, x > 0, y > 0.

5. Sa se calculeze fluxul rot−→v prin Σ, unde

−→v = (x2+y−4)

−→i +(3xy)

−→j +

(2xz+z2)−→k , dupa normala exterioara, utilizand teorema Stokes, pentru

Σ : x2 + y2 + z2 = 16, z ≥ 0.

Page 22: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

22

Test 36

1. Sa se studieze extremele locale ale functiei f(x, y, z) = xyz cu conditiilex+ y + z = 5, xy + yz + zx = 8. Dati o interpretare geometrica.

2. Studiati convergenta integralei∫ ∞1

sinx2dx.

3. Sa se calculeze ca integrala cu parametru I(a) =∫ 1

−11

(x2+a2)√

1−x2 dx,

unde |a| 6= 1.

4. Determinati circulatia campului−→F =

−→r × f(r)

−→a pe cercul de centru

(1, 1, 1) si raza 2 din planul x + y + 2z = 4, unde f : R → R este declasa C1.

5. Sa se calculeze cu formula Green-Riemann∫

Γ(x + y)2dx − (x − y)dy,

unde Γ este data de x = cos t, y = 2 sin t, t ∈ [0, π].

Test 37

1. Fie (X,X , µ) un spatiu cu masura, A ∈ X si f : X → X o functiemasurabila. Demonstarati ca∫

χA ◦ fdµ = µ(f−1(A)).

2. Calculati ∫ ∫D

xydxdy

unde D = {(x, y) |x, y ≥ 0,√x+√y ≤ 1}.

3. Calculati circulatia campului−→F = (x2y2, y, z) pe cercul obtinut din

intersectia planului z = 1/2 cu sfera x2 + y2 + z2 = 1.

4. Calculati volumul corpului marginit de (x2 + y2 + z2)2 = x2y.

5. Sa se calculeze fluxul campului−→v = 3x2zi + (y2 − 2z)j + z3k prin

suprafata exterioara a semisferei unitate x2+y2+z2 = 1, z ≥ 0 utilizandteorema Gauss-Ostrogradski.

Page 23: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

23

Test 38

1. Fie f : R2 → R data de f(x, y) = x3y2

x4+y2pentru (x, y) 6= (0, 0) si

f(0, 0) = 0. Sa se studieze continuitatea si diferentiabilitatea.

2. Sa se determine extremele functiei y = y(x) definita implicit de (x2 +y2)2 = x2 − y2.

3. Calculati fluxul campului−→F = (xy, yz, zx) prin suprafata decupata din

sfera unitate de suprafata z = x2 + y2.

4. Folosind derivarea integralelor cu parametru, sa se calculeze∫ ∞0

arctg ax

x(1 + x2)dx.

5. Formulati si demonstrati formula Green-Riemann pentru un disc.

Test 39

1. Calculati aria suprafetei decupate de z2 = x2 + y2 din paraboloidulx = 1− y2 − z2.

2. Determinati circulatia campului F =−→a ×

−→r pe cercul de centru

(−1, 1, 1) si raza 1 din planul x+ y + 2z = 2.

3. Calculati fluxul campului−→F = (

−→r ·−→a )(a×

−→r ) prin suprafata decupata

de paraboloidul z = x2 + y2 din sfera unitate.

4. Calculati aria figurii cuprinse ıntre curbele y = x, y = 2x, y = x3, y =2x3

5. Formulati si demonstrati formula Gauss-Ostrogradski pentru un cubcu fetele paralele cu axele de coordonate.

Alte probleme

1. Pentru multimi de numere reale marginite A,B, sunt adevarate relatiile

sup(A+B) = supA+ supB,

inf(A+B) = inf A+ inf B,

sup(A−B) = supA− inf B?

Fie (an)n, (bn)n sirurile date de an = 1 + (−1)n, bn = an−1. Avemsup(an + bn) = 1 si sup an = sup bn = 2. Este o contradictie cuafirmatiile de mai sus?

Page 24: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

24

2. Determinati inf si sup pentru multimile

A =

{mn

2n2 +m2|m,n ∈ Z,mm2 + n2 6= 0

}siB =

{sin

πx

x2 + 3| x ∈ R

}3. a) Aratati ca f : N × N → N, f(n,m) = 2n(2m + 1) este o bijectie de

la N× N la N.

b) Explicitati o bijectie ıntre intervalele (0, 1] si [0, 1].

4. Aratati ca urmatoarele multimi sunt dense ın R:

A ={ n

2m|m,n ∈ Z,m ≥ 0

}, B = {m+nα |m,n ∈ Z} pentruα /∈ Q

C = {sinn+m | n,m ∈ Z}.

5. a) Aratati ca exista o putere a lui 2005 diferita de 1, care ıncepe cucifrele 2005. Puteti evalua cu calculatorul prima putere a lui 2 careıncepe cu 22?

b) Aratati ca daca α/β este irational multimea valorilor sirului [αn +βm] cand m,n ∈ N contine toate numerele naturale de la un anumitrang. Care este valoarea de la care toate numerele naturale sunt valoriale sirului daca α =

√5, β =

√2005? Folositi calculatorul.

6. Determinati multimea punctelor limita ale sirurilor definite de termeniigenerali:

an =n sin nπ

3+ 1

n+ 1, an =

n2 + 1

n−[n2 + 1

n

],

an = sin lnn, an = (1)nn2 + 1 +3√n6 + 1,

an = (1 +1

n)(−1)nn, an =

sinn

n, an = sinn

Determinati ın fiecare caz limsup si liminf. Folositi calculatorul spre averifica. Ce procent dintre valorile sinn, n = 1, 2, . . . 2005 se gasesc ınintervalul [1/10, 2/10]. Ce rezultat postulati?

7. Este multimea tuturor sirurilor formate cu 0 si 1 o multime numarabila?Dar multimea tuturor numerelor reale ce sunt radacini de polinoamecu coeficienti ıntregi?

Page 25: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

25

8. Fie α ∈ (0, 1) si un sir (an)n pentru care lim(an+1 − αan) = 0. Aratatica lim an = 0.

Deduceti ca un sir cu termeni pozitivi (an) pentru care exista t ∈ (0, 1)astfel ıncat an+1 ≤ tan + (1− t)an−1 pentru orice n este convergent.

9. Pentru un sir cu lim(an+1−an) = 0, multimea punctelor limita este uninterval.

10. Aratati ca sirul defnit prin a1 = 1, an+1 = ln(1 + an) satisface

limnan = 2.

Folosind calculatorul gasiti un sir bn pentru care lim bn(nan−2) exista,este finita si nenula. Demonstrati apoi rezultatul postulat.

Sa se studieze convergenta sirului dat de a1 = 1.5 si

an+1 =a2n + 3

2an

Determinati o functie exponentiala e(n). n ∈ N cu baza subunitara,pentru care

|an −√

3| ≤ e(n).

11. Construiti numeric graficul sirurilor date de

an =enn!√2πnnn

, bn = 1 +1

2+ · · ·+ 1

n, cn = lnn.

Ce observati?

12. Aratati ca sirul (xn)n definit prin

xn =sin 1

12+

sin 2

22+ · · ·+ sinn

n2,

este sir Cauchy. Sudiati numeric graficul (se poate folosi si un programtabelar).

13. Daca (an)n este un sir marginit de numere reale, studiati natura seriei∑n

an

n(n+√

3).

14. Studiati convergenta seriilor∑ 1

(ln lnn)lnn,∑ (2n− 1)!!

(2n)!!√n,∑

sinπ√n2 + 1

Page 26: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

26

15. Aratati ca seria∑

sinnxn

este convergenta pentru orice x. Folosind cal-culatorul ghiciti suma f(x) pentru x ∈ (0, 2π).

Acelasi lucru pentru

∑ (−1)n

x− nπ, x ∈ (−π, π).

16. Studiati convergenta punctuala si uniforma a sirurilor de functii fn :I → R date prin:

a) I = [0, 1], fn(x) = 2nx1+n2x2 ;

b) I = R, fn(x) = n cosx2+n| cosx| ,

c) I = [0, 1], fn(x) = 1 pentru x = 1n

si f(x) = 0 ın rest.

17. Studiati convergenta (punctuala, uniforma, absoluta punctuala) a seri-ilor:

a)∑

xn

1+xn, x 6= −1;

b)∑

sinnxn2+x2 ;

c)∑ (−1)n

n+x2 .

18. Dezvoltati ın serie Taylor urmatoarele functii:

f(x) = xarcsinx−√

1− x2;

f(x) = (1 + x2)arctg x;

f(x) = ln(1+x)1+x

; stabilind si multimile de convergenta.

19. Se cere raza de convergenta a seriilor de puteri∑ 4n

Cn2n

xn,∑

2n2

xn!∑ xn

2n + 3n

20. Calculati∞∑n=0

n2 − 1

(2n)!!xn,

∞∑n=0

x4n

(4n)!

∞∑n=1

x2n

n(2n− 1),∞∑n=1

n

n+ 1xn,

∞∑n=1

n2

2n(x− 2)n−1.

Page 27: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

27

21. Determinati punctele de extrem ale functiilor:

(a) f(x, y) = a(x+y)−1x2+y2

;

(b) f(x, y, z) = 2x2 + y2 + z4 − xy − xz;

(c) f(x1, x2, . . . , xn) = x1x22 · · ·xnn(1− x1 − 2x2 − · · · − nxn), xi > 0.

22. Daca y = ϕ(x) este functia implicita definita de ecuatiile date (se vaverifica existenta lui ϕ), sa se calculeze ϕ′(x0) ın punctele indicate:

(a) x2 + 3xy − y2 = 3, (x0, y0) = (1, 1);

(b) x3 − y − cos y = 0, (x0, y0) = (1, 0);

(c) x3 + xy2 + x = 0, x0 = 1;

23. Determinati punctele de extrem ale functiilor definite implicit prin:

a) xe−xy = 1;

b) x4 + y4 = x2 + y2.

24. Determinati punctele de extrem ale functiilor implicite z = ϕ(x, y)pentru relatiile:

(a) x4 + y4 + z4 = 2(x2 + y2 + z2);

(b) 2x2 + 6y2 + 2z2 + 8xz − 4x− 8y + 3 = 0.

25. Demonstrati existenta functiilor implicite z = ϕ(x, y) pentru relatiileurmatoare ın punctele indicate, calculand diferentiale acestora:

(a) z3 − xyz = a3, (x0, y0, z0) = (1, 0, a);

(b) sinxy + sin z + sin zx = 3, x0 = 1, y0 = π2.

26. Determinati punctele ın a caror vecinatate sistemul urmator are solutieunica

xy cos z = axz sin y = bx2 − z2 = c

27. Sistemul de ecuatii

x+ y − u− v = 2x3 + y3 + u3 = xyuv + 9

defineste functiile u = u(x, y), v = v(x, y) ıntr-o vecinatate a punctului(1, 2). Determinati derivatele partiale ale lui u, v ın aceste puncte.

Page 28: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

28

28. Scrieti ın coordonate polare formula expresiei:

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+ 2

∂2f

∂x∂y

daca f = f(x, y), iar f(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ).

29. Aceeasi problema pentru f = f(x, y, z), transformarea ın coordonatesferice.

30. Studiati diferentiabilitatea si existenta derivatelor partiale pentru functiileurmatoare:

(a) f : R2 → R, f(x, y) = x2yx2+y2

pentru (x, y) 6= (0, 0) si (f(0, 0) = 0.

(b) f : R2 → R2; f(x, y) = (|xy|, x+ y).

31. Fie f : R2 → R o functie de clasa C1. Daca f(0, 0) = 0 si(∂f

∂x

)2

+

(∂f

∂y

)2

≤ 1

pe multimea A ={

(x, y) ∈ R2| x2 + y2 ≤ 5}

, sa se arate ca

|f(1, 2)| ≤√

5.

32. Fie f : R2 → R de clasa C2 care verifica relatiile

∂2f

∂x2=∂2f

∂y2,∂f

∂x(x, 2x) = x2, f(x, 2x) = x.

Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul 2 ale functiei f pe multimeaA =

{(x, y) ∈ R2| 2x− y = 0

}.

33. Fie A ∈ M2(R). Considerand identificarea M2 ≡ R4 ca spatii vec-toriale normate, calculati diferentiala functiei f : M2(R) → M2(R)definita prin f(X) = XAX, ıntr-un punct X0 ∈M2(R).

34. Reprezentati grafic planul tangent la curba descrisa de z = xy sinx ıntr-un punctul (12, π/6, π). (In Maple plot3d({f(x, y), g(x, y)}, x=a..b,y=c..d);

pentru reprezentarea suprafetelor descrise de f si g ın acelasi sistem deaxe pe [a, b]× [c, d]).

35. Folosind notatiile vectoriale−→r = (x, y, z), r = |

−→r |, consideram

f : R3 −→ R data de f(−→r ) = r

−→r ·−→a (· produsul scalar), unde

−→a ∈ R3

este dat. Determinati gradientul lui f . Poate fi acesta nul?

Page 29: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

29

36. Folosind diferentaila calculati aproximativ√

sin 31o + tan 44o.

37. Ordonati crescator numerele:

1, 991,97; 1, 981,98; 1, 971,99; 1, 981,97.

38. Un avion este urmarit de doua radare aflate pe doua port-avioane aflatela distanta de 100 mile unul de celalalt. Locul de analiza al datelor seafla la jumatatea distantei ın linie dreapta ıntre cele doua port-avioane.La un anumit moment se determina ca avionul se afla la distanta de500 de mile si se indeparteaza cu 1000 mile/ora fata de primul radarsi se afla la distanta de 500 mile apropiindu-se cu 100 mile/ora fata decel de-al doilea radar. Care este viteza avionului fata de punctul deobservatie? Se apropie sau se ındeparteaza de acesta?

Scrieti un program care avand ca date initiale distantele la radar sivitezele fata de acesta sa produca ın fiecare moment viteza fata depunctul de observatie.

39. Fie f(x, y) = sinxy definita pe D = [0, 1]× [0, 1]. Folosind aproximarea∂f∂x

(x, y) = n(f(x+ 1

n, y)− f(x, y)

)si analoaga pentru ∂f

∂y, scrieti un

program pentru calculul aproximativ al derivatelor partiale si a diferentialeilui f pe D, cu 3 zecimale exacte (Indicatie: alegeti reteaua punctelor(k/n, p/n), 0 ≤ k, p ≤ n, cu n suficient de mare determinat cu teo-rema lui Lagrange. Folositi apoi formula de mai sus ca pe o relatie derecurenta).

40. Fie f : R2 → R cu f(0, 0) = 0, derivabila partial ın orice punct si astfel

ca∣∣∂f∂x

∣∣ , ∣∣∣∂f∂y ∣∣∣ ≤ 1. Aratati ca |f(x, y)| ≤ |x|+ |y| pentru orice x, y ∈ R.

41. Este oare adevarat ca xy + yx > 1 pentru orice x, y > 0?

42. Daca numerele pozitive a, b, c satisfac ax1+x2 + bx2 + x3 + cx3+x1 ≥ 3pentru orice x1, x2, x3 ∈ R, aratati ca a = b = c = 1.

43. Care dintre numere e mai mare 7√

8 sau 8sqrt7? Incercati sa demonstratirezultatul obtinut numeric.

Page 30: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

Bibliografie

[1] A. Angot, Complemente de matematici pentru inginerii din elec-trotehnica si din telecomunicatii , Ed.Tehnica , Bucuresti, 1966.

[2] R. Badescu, C. Maican, Integrale utilizate ın mecanica , fizica tehnicasi calculul lor , Ed.Tehnica , Bucuresti, 1968.

[3] D. M. Bressoud, A Radical Approach to Real Analysis, MathematicalAssociation of America, 1994.

[4] Gh. Bucur, E. Campu, S. Gaina, Culegre de probleme de calcul difer-ential si integral, vol II-III, Editura Tehnica , 1967.

[5] J. Cavailles, Studii asupra teoriei multimilor, Ed. Stiintifica , Bucuresti,1969.

[6] S. Chirita , Probleme de matematici superioare , Ed.Did. si Ped., Bu-curesti, 1989.

[7] I. Colojoara , R. Miculescu , C. Mortici, Analiza matematica.Teorie.Metode.Aplicatii, Ed.Art , Bucuresti, 2002.

[8] T.-L. Costache, Analiza matematica . Notiuni teoretice. Aplicatii ,Ed.Printech , Bucuresti, 2006.

[9] T.-L. Costache, M. Olteanu, Subiecte examen. Analiza matematica ,Ed.Printech, Bucuresti, 2008.

[10] T.-L. Costache, Analiza matematica . Culegere de probleme,Ed.Printech, Bucuresti, 2009.

[11] G. M. Fihtenholt , Curs de calcul diferential si integral (vol II-III),Ed.Tehnica , Bucuresti, 1964.

[12] D. Filipescu , E. Grecu , R. Medintu, Matematici generale pentru sub-ingineri.Culegere de probleme , Ed.Did. si Ped. , Bucuresti, 1975.

30

Page 31: PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZA MATEMATIC A · PDF fileMulte dintre probleme au cont˘inut aplicativ ˘si fac apel la int˘elegerea intutitiv a a not˘iunilor. Culegerea este considerat

BIBLIOGRAFIE 31

[13] P. Flondor, N. Donciu, Algebra si analiza matematica . Culegere deprobleme, Ed. Didactica si Pedagogica , Bucuresti, 1979.

[14] S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas , Exercises de mathematiques desoraux de l’Ecole polytechnique et des Ecoles normales superieures. Anal-yse 2 , Cassini, Paris, 2004.

[15] B. R. Gelbaum , J. M. H. Olmsted, Contraexemple ın analiza , Ed.Stiintifica , Bucuresti, 1973.

[16] A. Halanay, R. Gologan, D. Timotin, Elemente de analiza matematica, vol. I-II, Matrix Rom, 1998-2000.

[17] A. Nita , T. Stanasila , 1000 de probleme rezolvate si exercitii funda-mentale pentru studenti si elevi , Ed.ALL , Bucuresti, 1997.

[18] M. Olteanu, Analiza matematica . Notiuni teoretice si probleme rezolvate, Ed.Printech , Bucuresti, 2004.

[19] M. Rosculet , C. Bucur, M. Craiu, R. Trandafir, M. Toma, I. Tofan,Culegere de probleme de analiza matematica , Edd. Didactica si Peda-gogica , Bucuresti, 1968.

[20] P. N. de Souza, J.-N. Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Springer,1998.

[21] R. D. Stuart, Introducere ın analiza Fourier cu aplicatii ın tehnica ,Ed.Tehnica , Bucuresti, 1971.

[22] R. Trandafir, Probleme de matematici pentru ingineri , Ed.Tehnica ,Bucuresti, 1977.

[23] C. Udriste, E. Tanasescu, Minime si maxime ale functiilor reale de vari-abile reale , Ed.Tehnica , Bucuresti, 1980.