PROBLEME DE NUMĂRARE

• Principiul sumei• Principiul includerii şi al excluderii• Principiul produsului

Elev,Drajneanu Diana

PRINCIPIUL SUMEI

Cardinalul reuniunii a două mulţimi finite disjuncte este suma cardinalelor celor două mulţimi:

Generalizare: Cardinalul reuniunii a n mulţimi finite disjuncte două câte două este suma cardinalelor celor n mulţimi:

jiAA ji ,

nn AAAAAA 2121

BABABA

EXEMPLU

• Triunghiul echilateral de latură 4cm este împărţit în triunghiuri echilaterale cu latura de 1cm, prin paralele la laturi. Câte triunghiuri echilaterale avem acum?

Rezolvare

A=mulţime triunghiurilor cu latura de 1cm, Card(A)=16B=mulţime triunghiurilor cu latura de 2cm, Card(B)=7 C=mulţime triunghiurilor cu latura de 3cm, Card(C)=3 D=mulţime triunghiurilor cu latura de 4cm, Card(D)=1

Atunci:

2713716 DCBADCBA

PRINCIPIUL INCLUDERII ŞI AL EXCLUDERII

• Principiul includerii şi al excluderii generalizează principiulsumei, în sensul că dă formula de calcul a cardinaluluireuniunii a două sau mai multe mulţimi finite în cazulgeneral .

11 2 1 2

1 1 1

... ... 1 ...n

nn i i j i j k n

i i j n i j k n

A B A B A B

A B C A B C A B A C B C A B C

A A A A A A A A A A A A

EXEMPLU

• Câte numere naturale nenule, mai mici decât 1000, există astfel încât să fie multipli de 2 sau de 3?

Rezolvare

Avem: 5002

1000,2/1000,,2,1

AnnA

3333

1000,3/1000,,2,1

BnnB

1666

1000,6/1000,,2,1

BAnnBA

667166333500 BABABA

PRINCIPIUL PRODUSULUI• Dacă un obiect A se poate alege în mmoduri şi dacă după fiecare astfel dealegere, un obiect B se poate alege în nmoduri, atunci alegerea perechii (A, B), înaceastă ordine, poate fi realizată în mnmoduri.• Altfel spus, cardinalul produsului cartezian a n mulţimi finite este

produsul cardinalelor celor n mulţimi:

nn AAAAAA 2121

EXEMPLU 1

• În câte moduri se poate alcătui meniul la o petrecere dacă avem de ales dintre 3 tipuri de supă, 5 feluri de friptură şi 10 deserturi? Dar dacă ţinem cont şi de cele 6 salate diferite disponibile?

• Rezolvare: 1501053

90061053

Exemplul 2

Câte numere de cinci cifre se pot forma doar cu cifrele impare? Dar cu cele pare?

• Rezolvare

312555555

25006253125555555555