Probleme de Masini Hidraulice

ANDREI-MUGUR GEORGESCU SANDA-CARMEN GEORGESCU

COSTIN IOAN COOIU NICOLAE IOAN ALBOIU DAN HLEVCA

PROBLEME DE MAINI HIDRAULICE

Andrei-Mugur GEORGESCU

Sanda-Carmen GEORGESCU

Costin Ioan COOIU

Nicolae Ioan ALBOIU

Dan HLEVCA

PROBLEME DE

MAINI HIDRAULICE

Editura Printech

2014

Editura PRINTECH

Tipar executat la:

S.C. ANDOR TIPO S.R.L. Editura PRINTECH Site: www.andortipo.ro; www.printech.ro

Adresa: str. Tunari nr.11, Sector 2, Bucureti Tel./Fax: 021.211.37.12; 021.212.49.51

E-mail: [email protected]

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei Probleme de maini hidraulice / Andrei-Mugur Georgescu,

Sanda-Carmen Georgescu, Costin Ioan Cooiu, ... Bucureti : Printech, 2014

Bibliogr.

ISBN 978-606-23-0148-4

I. Georgescu, Andrei-Mugur

II. Georgescu, Sanda-Carmen

III. Cooiu, Costin Ioan

621.22

Refereni tiinifici:

Prof. dr. ing. Mircea DEGERATU

Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti Prof. dr. ing. Liviu Valer HAEGAN Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti

Copyright 2014 Toate drepturile prezentei ediii sunt rezervate editurii i autorilor. Nicio parte din aceast lucrare nu poate fi reprodus, stocat sau transmis indiferent prin ce form, fr acordul prealabil scris al autorilor.

CUPRINS

Pagina

PREFA __________________________________________________________

1. BREVIAR TEORETIC ______________________________________________

1.1. Mrimi specifice sistemelor hidraulice _______________________________

1.1.1. Pierderi de sarcin hidraulic ___________________________________

1.1.2. Instalaia de pompare _________________________________________

1.2. Funcionarea turbopompelor n sisteme hidraulice ______________________

1.2.1. Curbele caracteristice ale turbopompelor _________________________

1.2.2. Reglarea funcionrii turbopompelor cu turaie variabil _____________

1.2.3. Cuplarea turbopompelor n serie ________________________________

1.2.4. Cuplarea turbopompelor n paralel ______________________________

2. PROBLEME SIMPLE REZOLVATE _________________________________

2.1. Punctul de funcionare energetic al turbopompei ______________________

Problema 2.1.1. Punctul de funcionare energetic al unei pompe axiale ______

Problema 2.1.2. Punctul de funcionare energetic al unei pompe centrifuge ___

Problema 2.1.3. Modificarea punctului de funcionare energetic al unei pompe

centrifuge prin nchiderea vanei de pe conducta de refulare ________________

2.2. Punctul de funcionare cavitaional al turbopompei ____________________

Problema 2.2.1. Punctul de funcionare cavitaional n cazul unei instalaii de

pompare cu contrapresiune la aspiraie ________________________________

Problema 2.2.2. Punctul de funcionare cavitaional n cazul unei instalaii de

pompare cu nlime geodezic de aspiraie pozitiv ______________________

2.3. Funcionarea unei turbopompe cu turaie variabil ______________________

Problema 2.3.1. Determinarea randamentului la care funcioneaz o pomp

centrifug acionat cu turaie diferit de turaia nominal _________________

Problema 2.3.2. Determinarea turaiei cu care trebuie acionat o pomp

centrifug, astfel nct aceasta s asigure debitul cerut (sau nlimea de

pompare cerut) __________________________________________________

2.4. Funcionarea turbopompelor cuplate n serie ___________________________

3

5

5

5

10

15

15

19

24

27

32

32

32

34

37

40

40

45

49

49

53

56

2 PROBLEME DE MAINI HIDRAULICE

Problema 2.4.1. Funcionarea pompelor centrifuge identice cuplate n serie ___

Problema 2.4.2. Funcionarea pompelor centrifuge diferite cuplate n serie ____

2.5. Funcionarea turbopompelor cuplate n paralel _________________________

Problema 2.5.1. Funcionarea pompelor centrifuge identice cuplate n paralel

(calcul grafo-analitic) ______________________________________________

Problema 2.5.2. Funcionarea pompelor centrifuge identice cuplate n paralel

(calcul analitic) ___________________________________________________

Problema 2.5.3. Funcionarea pompelor centrifuge diferite cuplate n paralel

(calcul grafo-analitic) ______________________________________________

Problema 2.5.4. Funcionarea pompelor centrifuge diferite cuplate n paralel

(calcul numeric) __________________________________________________

3. PROBLEME COMPLEXE REZOLVATE _____________________________

Problema 3.1. Funcionarea energetic i cavitaional a turbopompelor cuplate n

paralel, care aspir individual din acelai rezervor __________________________

Problema 3.2. Funcionarea cu turaie variabil a turbopompelor cuplate n paralel,

astfel nct n instalaie s fie asigurat debitul cerut, sau nlimea de pompare

cerut (calcul grafo-analitic) ___________________________________________

Problema 3.3. Funcionarea cu turaie variabil a turbopompelor cuplate n paralel,

astfel nct n instalaie s fie asigurat debitul cerut, sau nlimea de pompare

cerut (calcul numeric) _______________________________________________

Problema 3.4. Funcionarea energetic a mai multor turbopompe cuplate n paralel,

cu multiple noduri de distribuie, respectiv de colectare _____________________

4. PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE __________________________

4.1. Punctul de funcionare energetic al turbopompei ______________________

4.2. Punctul de funcionare cavitaional al turbopompei ____________________

4.3. Funcionarea unei turbopompe cu turaie variabil ______________________

4.4. Funcionarea turbopompelor cuplate n serie ___________________________

4.5. Funcionarea turbopompelor cuplate n paralel _________________________

REFERINE BIBLIOGRAFICE _______________________________________

56

60

63

63

67

71

76

82

82

89

95

101

110

110

121

135

148

162

177

PREFA

Prezenta culegere de Probleme de Maini hidraulice se adreseaz cu precdere studenilor de la

Facultatea de Inginerie a Instalaiilor i Facultatea de Hidrotehnic de la Universitatea Tehnic

de Construcii Bucureti, respectiv studenilor de la Facultatea de Energetic a Universitii

Politehnica din Bucureti. Aceast culegere de probleme poate fi ns util tuturor studenilor

care au prevzute n planurile de nvmnt discipline din domeniul Ingineriei Fluidelor, ca de

exemplu: Hidraulic; Maini hidraulice; Staii de pompare i reele hidraulice.

Culegerea de Probleme de Maini hidraulice este structurat n patru pri. Prima parte

reprezint un breviar teoretic, n care sunt reamintite pe scurt noiunile de baz legate de

calculul hidraulic al conductelor i instalaiilor de pompare. Cea de-a doua parte conine

probleme simple rezolvate, grupate pe tematici (punctul de funcionare energetic, punctul de

funcionare cavitaional, modificarea turaiei, cuplarea n serie i cuplarea n paralel a

turbopompelor). Cea de-a treia parte conine probleme complexe rezolvate, de tipul temelor de

cas pe care trebuie s le rezolve studenii de la Facultatea de Energetic, n cadrul disciplinei

Maini hidraulice (predate n anul III de studii), respectiv disciplinei Staii de pompare i reele

hidraulice (predate n anul IV de studii, la specializarea Hidroenergetic).

n funcie de caz, problemele simple i/sau complexe sunt rezolvate grafo-analitic, analitic, sau

numeric (cu ajutorul MATLAB i GNU Octave, o clon free software a MATLAB). Pentru

a familiariza cititorul cu aceste metode, au fost realizate comparaii ntre diferitele metode de

calcul utilizate pentru rezolvarea aceleiai probleme.

Cea de-a patra parte a crii conine probleme propuse spre rezolvare, n principal bazate pe

problemele pe care trebuie s le rezolve studenii de la Facultatea de Inginerie a Instalaiilor, n

cadrul disciplinei Maini hidraulice (predate n anul III de studii). Problemele propuse sunt

grupate pe tematicile abordate n cea de-a doua parte a crii i prezint o anumit

particularitate i anume, aceea c pentru o anumit tematic, rezultatul este unic, dei datele

problemelor sunt diferite. Aceast abordare poate prea stranie, dar numrul mare de lucrri

care trebuie corectate ntr-un interval de timp relativ scurt a fost motorul care a dus la apariia

acestui set de probleme. Modul de rezolvare al problemelor propuse se bazeaz pe

considerentele teoretice i soluiile prezentate n primele dou pri ale crii.

Autorii

1. BREVIAR TEORETIC

1.1. Mrimi specifice sistemelor hidraulice

1.1.1. Pierderi de sarcin hidraulic

Fie conducta circular, orizontal, de diametru constant D, lungime L i rugozitate absolut a

pereilor k, schematizat n figura 1.1. Prin conduct curge un fluid cu debitul volumic Q.

nlimea piezometric pH reprezint energia potenial medie raportat la greutate, ntr-o

seciune a conductei, normal la direcia principal de curgere a fluidului, fiind definit ca:

g

pzH p

, (1.1)

unde z este cota axei conductei n raport cu un nivel de referin ales, p este presiunea la

nivelul axei conductei, este densitatea fluidului i g este acceleraia gravitaional. Termenul

gp definete nivelul manometric n seciunea respectiv. Sarcina hidrodinamic H este

suma dintre nlimea piezometric i energia cinetic raportat la greutate gv 22 , anume:

LE

LP

vi

2/2g

hr

pi /g

pe

/g

ve

2

/2g

zi

ze

Hi

He

Q

nivel de referinta

Fig. 1.1. Reprezentarea schematic a conductei i a liniilor caracteristice curgerii


g

v

g

pz

g

vHH p

22

22

, (1.2)

unde v este viteza medie n seciunea considerat, definit ca raport ntre debitul volumic i

aria A aferent seciunii de curgere (seciune circular de diametru D):

2

4

D

Q

A

Qv

. (1.3)

innd seama de relaia (1.3), termenul cinetic gv 22 se poate scrie n funcie de modulul

cinetic definit prin relaia 40826,0 DMc (un modul fictiv de rezisten hidraulic), astfel:

22

4

2

42

2 1 0826,0

1

2

16

2QMQ

DQ

Dgg

vc

, (1.4)

Termenul 0826,0216 2 g din relaia (1.4) este introdus n formule ca o constant, fr a i

se meniona unitatea de msur: s2/m. Termenul cinetic se scrie n general: gv 22 , unde

este coeficientul lui Coriolis. Deoarece acest coeficient este aproximativ egal cu unitatea n

cazul regimului de curgere turbulent, cum este cel din sistemele hidraulice studiate n

aceast lucrare, n cele ce urmeaz, coeficientul lui Coriolis nu va mai fi inserat n formulele de

calcul.

Pentru o conduct (inclusiv pentru cea din figura 1.1), legea energiilor [8]1, [14], [16], sau

relaia lui Bernoulli generalizat, ntre seciunea de intrare i i cea de ieire e se scrie:

rei hHH , (1.5)

adic

ree

eii

i hg

v

g

pz

g

v

g

pz

22

22

, (1.6)

unde rh este pierderea de sarcin hidraulic total ntre cele dou seciuni ale conductei.

Pentru un tronson de conduct cu diametru constant, ca cel din figura 1.1, viteza este

constant, deci: ei vv . Pentru un astfel de caz, legea energiilor (1.6) se poate exprima n

funcie de nlimile piezometrice, astfel:

repiphHH . (1.7)

Linia piezometric, simbolizat LP (vezi figura 1.1) este descris de variaia nlimii

piezometrice ntre seciunea de intrare i i cea de ieire e. Linia energetic, simbolizat LE

(vezi figura 1.1) este descris de variaia sarcinii hidrodinamice ntre seciunile i i e. Diferena

1 conceptul B.2: Legea energiilor n curentul unidimensional de fluid

Capitolul 1. Breviar teoretic 7

dintre nivelul energetic la intrare i nivelul energetic la ieire este egal cu pierderea de

sarcin hidraulic, care crete ntre seciunea de intrare i cea de ieire proporional cu

ptratul debitului.

Pierderea de sarcin hidraulic total reprezint [8]2, [14], [16] raportul dintre fluxul de

energie mecanic disipat ntre cele dou seciuni ale conductei i produsul gQ . Pierderea de

sarcin hidraulic total rh se determin prin nsumarea pierderilor de sarcin hidraulic

uniform distribuite dh i pierderilor de sarcin hidraulic locale lh . Pentru o conduct

circular, de diametru D i lungime L (inclusiv pentru cea din figura 1.1), de-a lungul creia

exist un numr de n neuniformiti ce perturb curgerea (ca de exemplu: schimbri de direcie,

vane, sau alte elemente perturbatoare), pierderea de sarcin hidraulic total se scrie:

n

jjldr

hhh1

. (1.8)

Din punct de vedere fizic, mecanismul de disipare al energiei difer la cele dou tipuri de

pierderi de sarcin hidraulic. Pierderile de sarcin hidraulic uniform distribuite (numite i

pierderi de sarcin hidraulic liniare) se datoreaz vscozitii fluidului [8]3, [14], [16]. Una

dintre relaiile de definiie a pierderilor de sarcin hidraulic uniform distribuite este relaia

Darcy-Weissbach:

2

2

g

v

D

Lhd , (1.9)

unde este coeficientul de pierdere de sarcin hidraulic uniform distribuit, denumit i

coeficientul lui Darcy. n funcie de regimul de curgere, coeficientul lui Darcy depinde de

rugozitatea relativ Dk i/sau de numrul Reynolds Re, definit astfel:

D

QDvRe

4 , (1.10)

unde este vscozitatea cinematic a fluidului. n cazul micrii turbulente, coeficientul lui

Darcy se determin cu diferite relaii, explicite sau implicite [8]4, [12]5, [14], [16], n funcie de

tipul de turbulen (definit de numrul Reynolds Re) i de tipul de rugozitate aferent pereilor

conductei (definit prin rugozitatea relativ Dk ).

Dac se ine seama de relaia (1.3) de definiie a vitezei medii, relaia Darcy-Weissbach (1.9)

se poate scrie n funcie de debit sub forma: 2 conceptul B.2: Pierderi de sarcin hidraulic

3 conceptul B.2: Pierderi de sarcin hidraulic uniform distribuite

4 conceptele B.2: Regimuri de curgere n conducte; Formula Colebrook-White; Diagrama lui Moody

5 conceptul B.2: Relaii de calcul pentru coeficientul lui Darcy


22

5

2

25 0826,0

2

16QMQ

D

LQ

gD

Lh dd

, (1.11)

unde 5 0826,0 DLMd este modulul de rezisten hidraulic distribuit. Similar cu

cazul modulului cinetic, termenul 0826,0216 2 g din relaia (1.11) este introdus n formule ca o constant, fr a i se meniona unitatea de msur: s2/m.

Pierderile de sarcin hidraulic locale [8]6, [14], [16] sunt pierderi suplimentare datorate

neuniformitatilor existente pe traseul de curgere al fluidelor (schimbri de direcie, modificri

ale seciunii de curgere, ramificaii, organe de nchidere ale circuitelor hidraulice etc).

Pierderea de sarcin hidraulic local lh este definit prin relaia:

g

vhl

2

2

, (1.12)

care se poate scrie i n funcie de debit:

22

4 08260 QMQD

,h ll , (1.13)

unde este coeficientul de pierdere de sarcin hidraulic local i 4 0826,0 DMl este

modulul de rezisten hidraulic local. Valorile coeficientului de pierdere de sarcin

hidraulic local sunt date sub form de grafice, tabele sau formule, n funcie de tipul

singularitii (neuniformitii), precum i de caracteristicile geometrice ale conductei.

innd seama de relaiile pentru pierderea de sarcin hidraulic uniform distribuit (1.11) i

pentru pierderea de sarcin hidraulic local (1.13), pierderea de sarcin hidraulic total

(1.8) se poate scrie la rndul su n funcie de debit:

22

1

MQQMMhn

jjldr

, (1.14)

unde ld MMM este modulul de rezisten hidraulic al conductei. Pentru

simplificarea scrierii, n calculul conductelor, pierderea de sarcin hidraulic total se exprim

preponderent sub forma 2MQhr . n formulele de calcul ale pierderilor de sarcin hidraulic,

toate celelalte mrimi trebuie introduse cu valorile corespunztoare n uniti de msur ale

S.I., astfel nct rezultatul s fie corect din punct de vedere dimensional (pierderea de sarcin

hidraulic se msoar n metri).

Cu notaia din relaia (1.14), legea energiilor (1.5) se poate scrie:

6 conceptul B.2: Pierderi de sarcin hidraulic locale


2MQHH ei , (1.15)

iar pentru cazul tronsonului de conduct cu diametru constant, ca cel din figura 1.1, legea

energiilor (1.7) devine:

2MQHHepip . (1.16)

Admind c valoarea modulului de rezisten hidraulic M este constant, relaia (1.16)

se poate reprezenta grafic, rezultnd parabola QHHipip

din primul cadran al graficului

din figura 1.2. Exist sisteme hidraulice, de exemplu reele inelare de conducte, n care sensul

de curgere pe tronsoanele de conduct se poate schimba n funcie de regimul de

funcionare aferent sistemului. Astfel, considernd un tronson de conduct cu diametru

constant, pentru care nu se cunoate apriori sensul debitului pe tronson, legea energiilor

(1.7) ntre cele dou noduri de capt, i i e, ale tronsonului, se poate scrie:

QMQHHepip

. (1.17)

Relaia (1.17) se poate reprezenta grafic att pentru valori pozitive, ct i pentru valori negative

ale debitului, rezultnd curba QHHipip

n form de S din primele dou cadrane ale

graficului din figura 1.2.

Se subliniaz faptul c modulul de rezisten hidraulic M nu este de fapt constant pe ntreaga

plaj de variaie a debitului, deoarece n componena lui M, definit prin (1.14), intr i modulul

de rezisten hidraulic distribuit dM (1.11), care depinde de coeficientul lui Darcy . La

rndul su, coeficientul lui Darcy depinde de regimul de curgere definit de numrul Reynolds

(1.10), adic depinde de debitul Q pentru regimurile laminar, turbulent neted i turbulent mixt.

Numai pentru regimul turbulent rugos nu depinde de Re, ci doar de rugozitatea relativ,

deci pentru acest unic regim de curgere, modulul M este ntr-adevr constant. Pentru

simplificarea calculelor, se va considera n continuare c valoarea lui M rmne constant pe

ntreaga plaj de variaie a debitului.

Din punct de vedere hidraulic, sistemele hidraulice sub presiune pot fi alctuie din [8]7:

conducte lungi conducte la care pierderile de sarcin hidraulic locale lh , precum i

termenii cinetici de la intrarea i ieirea din conducte, se neglijeaz n raport cu pierderile de

sarcin hidraulic uniform distribuite: dl hh . n cazul conductelor lungi din punct de

vedere hidraulic, pierderea de sarcin hidraulic total este aproximat prin relaia:

7 conceptul B.2: Modele de calcul ale sistemelor hidraulice sub presiune


dr hh . n aceast categorie se ncadreaz conductele al cror raport ntre lungime i diametru

are valori semnificative: 200DL ;

Fig. 1.2. Reprezentarea grafic a legii energiei pentru o conduct cu diametru constant

conducte scurte conducte la care pierderile de sarcin hidraulic locale lh se iau n

considerare alturi de pierderile de sarcin hidraulic uniform distribuite dh , ambele tipuri de

pierderi de sarcin avnd acelai ordin de mrime. n aceast categorie se ncadreaz

conductele al cror raport ntre lungime i diametru are valori reduse [14], [16]8: 200DL .

1.1.2. Instalaia de pompare

Fie o turbopomp ncadrat ntr-un sistem hidraulic simplu (figura 1.3), alctuit din

urmtoatele componente: un rezervor de aspiraie Ra a crui suprafa liber este la o cot iz

mai ridicat dect cota de referin az a aspiraiei pompei, o conduct de aspiraie ntre

rezervor i pomp (la intrarea n aceast conduct exist, n general, un sorb/filtru), o pomp

centrifug P, urmat de conducta de refulare, pe care se afl montate o clapet anti-retur

(clapet de sens, care mpiedic curgerea lichidului ctre pomp) i o van, respectiv un

8 se poate admite i 400 , ,200 DL

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

Q [l/s]

Hp

[m] H

pe

Hpe

MQ|Q|

Q0

Hpi

(Q)

MQ|Q|


rezervor de refulare Rr a crui suprafa liber se afl la o cot ie zz . Se consider cazul unor

rezervoare nchise, cu nivel constant, iar la suprafaa liber a rezervoarelor, presiunea este

diferit de presiunea atmosferic. Funcionarea turbopompelor n sistemele hidraulice este

determinat de parametrii fundamentali reprezentai n figurile 1.3 i 1.4, anume [14], [16]:

Debitul pompat Q reprezint volumul de fluid care trece prin seciunea de refulare a

pompei n unitatea de timp;

nlimea de pompare H reprezint energia raportat la greutate pe care o cedeaz

pompa curentului de fluid. Aceast energie specific este definit ca diferen ntre sarcina

hidrodinamic a fluidului la refulare (punctul r) i sarcina hidrodinamic a fluidului la aspiraie

(punctul a), astfel:

g

v

g

pz

g

v

g

pzH aaa

rrr

22

22

. (1.18)

Fig. 1.3. Schema instalaiei de pompare

Dup cum se observ din figurile 1.3 i 1.4, ntre punctele a i r, linia energetic LE prezint

un salt de nlime egal cu H;

nlimea geodezic de aspiraie a pompei gaH reprezint diferena dintre cota

seciunii de referin az de la aspiraia pompei i cota seciunii de intrare n sistem iz :

iaga zzH ; (1.19)


Fig. 1.4. Linia energetic LE i parametrii fundamentali ai instalaiei de pompare

nlimea geodezic gH reprezint diferena de nlime ntre planele orizontale

determinate de cota seciunii de ieire din sistem (n aval de pomp) i cota seciunii de intrare

n sistemul hidraulic (n amonte de pomp):

ieg zzH ; (1.20)

nlimea static sH reprezint diferena dintre sarcina hidrodinamic n seciunea de

ieire eH i sarcina hidrodinamic n seciunea de intrare iH :

gieie

ies Hg

pp

g

vvHHH

2

22

. (1.21)

Pentru sisteme hidraulice care conin rezervoare, viteza lichidului n rezervor este

considerat nul, fiind neglijabil n raport cu viteza din conductele sistemului. n cazul unei

instalaii de pompare cu dou rezervoare, ca cea din figura 1.3, diferena dintre termenii

cinetici de la ieire i intrare tinde la zero, iar relaia (1.21) se reduce la diferena dintre

nlimile piezometrice din cele dou seciuni:

gie

pipes Hg

ppHHH

. (1.22)


Mai mult, dac presiunile pe suprafeele libere ale celor dou rezervoare sunt egale ei pp ,

cum este, de exemplu, cazul rezervoarelor deschise la presiunea atmosferic, atunci relaia

(1.22) se simplific i mai mult: gs HH .

Sarcina pompei la mersul n gol 0H reprezint sarcina pompei la debit nul, 0Q ,

atunci cnd vana din aval de pomp este nchis (pompele centrifuge sunt pornite n gol,

adic cu vana de pe refulare nchis, n scopul protejrii motorului electric de antrenare al

pompei);

Sarcina pozitiv net la aspiraie9 NPSH este un parametru de cavitaie (msurat n

metri) foarte important pentru pompe; reprezint energia suplimentar raportat la greutate,

necesar (cerut) la aspiraia pompei, peste nivelul piezometric dat de presiunea de

vaporizare a fluidului gpv , astfel nct n pomp s nu apar cavitaia (vezi figura 1.4).

Pentru funcionarea fr cavitaie, este necesar s fie ndeplinit condiia:

instNPSHNPSH , (1.23)

unde instNPSH este sarcina pozitiv net la aspiraie disponibil n instalaie;

Puterea hidraulic (puterea util a pompei) hP reprezint energia total cedat curentului

de fluid n unitatea de timp (puterea transmis apei). Ea se calculeaz n funcie de debitul

vehiculat Q i de nlimea de pompare H cu relaia:

gQHPh ; (1.24)

Puterea pompei (puterea absorbit) pP reprezint energia total consumat de pomp n

unitatea de timp pentru a ceda curentului de fluid puterea hP ; mai exact, este puterea

mecanic transmis la arborele pompei (puterea consumat), astfel nct la refulare s fie

obinut puterea hidraulic (puterea util) i s fie acoperite toate disipaiile de putere din

pomp (datorate pierderilor de sarcin hidraulic din rotor, pierderilor mecanice din lagre i

din sistemul de etanare a arborelui i pierderilor volumice). Puterea pompei este definit prin

relaia:

pp

hp

gQHPP

(1.25)

unde p este randamentul pompei;

9 n limba englez, NPSH reprezint abrevierea cuvintelor Net Positive Suction Head.


Puterea agregatului de pompare P reprezint puterea electric consumat pentru

pompare, adic puterea absorbit de motorul electric de antrenare al pompei, pentru a putea

furniza curentului de fluid puterea util (puterea hidraulic):

gQHPPPP h

mecp

h

mec

p

, (1.26)

unde c reprezint randamentul cuplajului dintre pomp i motorul de antrenare, me

reprezint randamentul motorului electric de antrenare al pompei, p este randamentul

pompei, iar este randamentul agregatului de pompare;

Momentul la arbore M reprezint cuplul motor care trebuie furnizat la axul pompei

pentru a putea asigura puterea absorbit:

pPM , (1.27)

unde este viteza unghiular a rotorului pompei;

Randamentul pompei p reprezint raportul dintre puterea hidraulic hP i puterea

consumat pP (transmis la arborele pompei), conform relaiei (1.25). Randamentul pompei

definete calitatea transferului de energie din interiorul pompei i se calculeaz ca produs ntre

randamentul hidraulic h , randamentul mecanic m i randamentul volumic v :

vmhp ; (1.28)

Randamentul agregatului de pompare reprezint raportul dintre puterea hidraulic

hP i puterea agregatului de pompare P (puterea electric consumat pentru pompare),

mecp ; (1.29)

Turaia n [rot/s] reprezint numrul de rotaii efectuate de rotorul pompei n unitatea de

timp. n aplicaiile industriale, turaia este exprimat frecvent n [rot/min], caz n care turaia

este definit prin numrul de rotaii ale turbopompei pe durata unui minut;

Viteza unghiular este definit n funcie de turaia n n [rot/s], prin relaia:

n 2 . (1.30)

Dac turaia este dat n [rot/min], viteza unghiular este definit astfel: 30 60 2 nn .

Pentru sistemul hidraulic din figurile 1.3 i 1.4, sistem care include i o turbopomp, legea

energiilor [8]10

, [14], [16] se scrie sub forma:

rei hHHH , (1.31)

10

conceptul B.2: Legea energiilor n curentul unidimensional de fluid


unde 2MQhr reprezint suma pierderilor de sarcin hidraulic pe traseul conductelor de

aspiraie i de refulare, al cror modul global de rezisten hidraulic M este calculat ca sum

a modulelor de rezisten hidraulic din figura 1.3: ra MMM . Din legea energiilor

(1.31), se obine nlimea de pompare H:

rie hHHH . (1.32)

Membrul drept al relaiei (1.32) reprezint nlimea de pompare necesar n instalaie,

instH , pentru a vehicula debitul Q. innd seama de relaia (1.21), caracteristica instalaiei

este exprimat ca sum ntre nlimea static sH i pierderile de sarcin hidraulic totale din

sistem:

2MQHH sinst . (1.33)

1.2. Funcionarea turbopompelor n sisteme hidraulice

1.2.1. Curbele caracteristice ale turbopompelor

Considernd debitul Q i turaia n ca variabile independente, se pot trasa suprafee de variaie

tridimensionale pentru celelalte mrimi caracteristice ale unei turbopompe, anume: nlimea

de pompare H, puterea P, randamentul i sarcina pozitiv net la aspiraie NPSH. Cele mai

uzuale reprezentri grafice 3D aferente turbopompelor sunt enumerate mai jos:

suprafaa caracteristic energetic: nQHH , ;

suprafaa caracteristic a puterii: nQPP , ;

suprafaa caracteristic de randament: nQ, ;

suprafaa caracteristic de cavitaie (sau cavitaional): nQNPSHNPSH , .

Datorit dificultilor de citire a diferitelor valori de pe astfel de suprafee caracteristice, n

mod uzual sunt trasate curbele caracteristice ale turbopompelor, care se obin prin

intersectarea suprafeelor caracteristice cu plane de turaie constant .constn . Rezult astfel

urmtoarele curbe caracteristice ale turbopompelor:

caracteristica energetic: QHH ;

caracteristica de putere: QPP ;

caracteristica de randament: Q ;

caracteristica de cavitaie (sau curba cavitaional): QNPSHNPSH .


Aceste 4 tipuri de curbe constituie mpreun curbele caracteristice de exploatare ale unei

turbopompe. n general, curbele caracteristice ale pompelor sunt puse la dispoziia

utilizatorilor de pompe de ctre fabricanii acestora, sub form grafic sau sub form

tabelar. De exemplu, n figura 1.5 sunt prezentate cele 4 curbe caracteristice ale unei pompe

centrifuge (curbele au fost trasate la aceeai turaie, 1450n rot/min).

Fig. 1.5. Curbele caracteristice ale unei turbopompe centrifuge

Caracteristica instalaiei (figura 1.6) este reprezentarea grafic a variaiei QHH instinst ,

definite de relaia (1.33). Aceast curb corespunde energiei raportate la greutate

( instH ), care ar trebui s fie furnizat instalaiei, pentru ca prin aceasta s fie vehiculat debitul

Q. Pe de alt parte, caracteristica energetic a pompei QHH corespunde energiei

raportate la greutate (H), pe care o poate furniza pompa respectiv, atunci cnd vehiculeaz

debitul Q.

Funcionarea unei turbopompe ntr-o anumit instalaie se realizeaz atunci cnd exist un

punct, n care pentru acelai debit Q, energia specific furnizat de pomp este egal cu

energia specific necesar instalaiei pentru funcionare. Adic, pompa cu caractersitica

energetic QHH funcioneaz n instalaia cu caracteristica QHH instinst , n punctul

0.05 0.1 0.15 0.215

20

25

30

35

40

(a) H = H (Q)

Q [m3/s]

H [

m]

0.05 0.1 0.15 0.25

6

7

8

9

10

(d) NPSH = NPSH (Q)

Q [m3/s]

NP

SH

[m

]

0.05 0.1 0.15 0.270

75

80

85

90

(c) = (Q)

Q [m3/s]

[

%]

0.05 0.1 0.15 0.215

20

25

30

35

40

45

50

(b) P = P (Q)

Q [m3/s]

P [

kW]


de intersecie a celor dou curbe reprezentate n planul HQ, . Acest punct este denumit

punct de funcionare energetic i este notat F n figura 1.6.

Fig. 1.6. Punctul de funcionare energetic F

n acest punct F de coordonate FF ,HQ , debitul de lichid vehiculat de ctre pomp este

egal cu debitul care tranziteaz sistemul hidraulic, iar nlimea de pompare este egal cu

energia specific necesar n instalaie. Pentru debitul corespunztor punctului de

funcionare, se citete pe caracteristica de randament Q valoarea randamentului F ,

apoi se poate calcula puterea necesar funcionrii pompei n punctul F (puterea electric

consumat pentru pompare):

F

FFF

HgQP

. (1.34)

Sarcina pozitiv net la aspiraie disponibil n instalaie instNPSH reprezint diferena

dintre energia specific absolut n seciunea de aspiraie i energia specific potenial

calculat cu presiunea de vaporizare din acea seciune (unde presiunile sunt exprimate n

scar absolut). Utiliznd notaiile din figura 1.4, din legea energiilor scris ntre seciunea de

intrare (punctul i) i seciunea de aspiraie a pompei (punctul a), rezult c instNPSH depinde

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350

10

20

30

40

50

60

70

Q [m3/s]

[

%]

H [

m]

FHF

QF

F

Hinst

(Q)

(Q)

H(Q)

H = H (Q)

= (Q)

Hinst

= Hinst

(Q)


de caracteristicile constructive ale traseului de aspiraie al instalaiei, fiind definit prin

relaia:

airgaiviabs

inst hHg

v

g

ppNPSH

2

2, (1.35)

unde 2QMh aair sunt pierderile de sarcin hidraulic totale pe conducta de aspiraie

(n figura 1.3, s-a notat cu aM modulul de rezisten hidraulic al acestei conducte). innd

seama de condiia (1.23) impus pentru funcionarea fr cavitaie ( instNPSHNPSH ),

rezult c valoarea instNPSH trebuie s fie ct mai mare. Creterea valorii instNPSH poate fi

realizat prin [14], [16]: mrirea presiunii la intrarea n sistem, alegerea unei soluii de montare

a pompei cu nlime geodezic de aspiraie ct mai mic (inclusiv negativ: contrapresiune la

aspiraie), respectiv reducerea pierderilor de sarcin hidraulic pe conducta de aspiraie.

Reprezentarea grafic a dependenei QNPSHNPSH instinst se numete curb

cavitaional a instalaiei. Punctul de intersecie dintre aceast caracteristic i curba

cavitaional a pompei QNPSHNPSH se numete punct de funcionare cavitaional,

notat C n figura 1.7.

Fig. 1.7. Punctul de funcionare cavitaional C, la dreapta punctului de funcionare

energetic F

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350

10

20

30

40

50

60

70

Q [m3/s]

[

%]

H

[m

]

NP

SH

[m

]

F

C

Qlim

QF

HF

NPSHinst

(Q)

NPSH(Q)

H(Q)

Hinst

(Q)

(Q)

cu cavitatie

= (Q)

H = H (Q)

NPSH = NPSH (Q)

Hinst

= Hinst

(Q)

NPSHinst

(Q)


n zona situat la stnga punctului C, funcionarea pompei poate fi realizat fr cavitaie,

curba cavitaional a instalaiei fiind deasupra curbei cavitaionale a pompei, condiia (1.23)

fiind astfel ndeplinit. n zona situat la dreapta punctului C, curba QNPSHinst este sub

curba QNPSH i corespunde funcionrii cu cavitaie (zona colorat n gri n figura 1.7).

Pentru ca pompa s funcioneze fr cavitaie la aspiraie, este necesar ca punctul de

funcionare energetic F s fie situat la stnga punctului de funcionare cavitaional C;

aceast condiie semnific faptul c debitul FQ trebuie s fie mai mic dect debitul limit

limQ aferent punctului C, adic:

limF QQ . (1.36)

n situaia n care se obine egalitatea valorilor acestor debite, limF QQ , sau dac FQ se afl

n apropierea debitului limit, anume: limlimF QQQ 03,1 ;97,0 , variaia fiind de %3 din

limQ , atunci pompa funcioneaz la limita apariiei cavitaiei, denumit incipien

cavitaional. Pentru valori limF QQ , pompa funcioneaz cu cavitaie dezvoltat n zona

de aspiraie.

1.2.2. Reglarea funcionrii turbopompelor cu turaie variabil

Fie instalaia de pompare schematizat n figura 1.3. Vom considera n acest paragraf c pompa

centrifug din acea instalaie funcioneaz cu turaie variabil (turaia putnd fi reglat cu un

convertizor de frecven). n figura 1.8 este exemplificat reglarea funcionrii acestei pompe

n cazul modificrii turaiei n , ntre o valoare minim minn i o valoare maxim maxn :

maxmin nnn ; .

Pentru fiecare turaie n , pompa are o anumit curb caracteristic energetic QHH , dup

cum s-a artat n paragraful 1.2.1. Caracteristica energetic a pompei, variabil n funcie de

turaia n considerat ca parametru al funciei nQHH , , intersecteaz caracteristica fix a

instalaiei QHH instinst de-a lungul unei curbe de variaie, delimitat n figura 1.8 de

punctele de funcionare maxmax HQ ,F1 i minmin HQ ,F2 ; aceast curb de variaie este locul

geometric al tuturor punctelor de funcionare ale pompei la diferite valori ale turaiei.

Fabricantul pompei pune la dispoziie exclusiv curbele caracteristice la turaia nominal 0n ,

de exemplu 000 QHH i 000 Q .


Fig. 1.8. Reglarea funcionrii pompei n cazul modificrii turaiei

Din criteriile de similitudine ale turbopompelor [14], [16], rezult c pentru aceeai pomp

care funcioneaz cu turaii diferite, de exemplu cu 0n i cu 0nn , raportul debitelor este:

00 n

n

Q

Q , (1.37)

iar raportul nlimilor de pompare este:

2

00

n

n

H

H. (1.38)

Plecnd de la un numr de m perechi de valori },{ 00 jj HQ cunoscute la turaia nominal 0n ,

unde mj 1 , cu ajutorul relaiilor (1.37) i (1.38), pot fi obinute perechile de valori

},{ jj HQ la alt turaie n, unde 0nn , perechi de valori care pot fi apoi trasate grafic sub

forma: QHH .

Punctul de funcionare energetic F al unei pompe la turaia n, unde 0nn , este situat la

interescia dintre caracteristica energetic QHH i caracteristica instalaiei

QHH instinst .

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

Q [m3/s]

H [

m]

F1

F2

Qmin Qmax

Hmax

Hmin

Hs

nmax

nmin

H = H (Q) la n = nmax

H = H (Q) la n = nmin

Hinst

= Hinst

(Q)

plaja de variatie


n cele ce urmeaz vor fi discutate dou aspecte pe care le presupune efectuarea reglrii

punctului de funcionare al pompei prin variaia turaiei [14], [16]:

Primul aspect este cel al determinrii randamentului la care funcioneaz o pomp

acionat cu motor cu turaie variabil, n momentul n care turaia este diferit de

turaia nominal 0n (pentru care sunt furnizate curbele caracteristice ale pompei).

Se consider cunoscute caracteristica energetic 000 QHH i caracteristica de randament

000 Q a pompei funcionnd la turaia nominal 0n , caracteristica (fix) a instalaiei

QHH instinst , precum i turaia n (unde 0nn ) la care se dorete determinarea

parametrilor de funcionare ai pompei n instalaia dat.

n acest caz, prin aplicarea relaiilor de similitudine (1.37) i (1.38), se poate construi

caracteristica energetic a pompei funcionnd la turaia n, plecnd de la un numr de m

perechi de valori },{ 00 jj HQ , unde mj 1 , corespunztoare turaiei nominale 0n , astfel:

jjQ

n

nQ 0

0

, (1.39)

jjH

n

nH 0

2

0

, (1.40)

unde s-au notat cu },{ jj HQ coordonatele punctului de pe caracteristica energetic QHH

corespunztoare turaiei n . Cele dou curbe caracteristice energetice 000 QHH i

QHH sunt trasate n figura 1.9.

Dup construirea caracteristicii QHH corespunztoare turaiei n , se poate determina

punctul de funcionare energetic F (figura 1.9), punct de coordonate FF ,HQ , situat la

intersecia acestei curbe cu caracteristica instalaiei QHH instinst .

Pentru determinarea randamentului F corespunztor punctului de funcionare

energetic F, trebuie determinat debitul omologFQ corespunztor punctului omolog lui F,

punct notat omologF , situat pe caracteristica energetic 000 QHH a pompei funcionnd la

turaia nominal 0n . Utiliznd relaia de similitudine pentru debite (1.37), se obine:

FomologF Qn

nQ 0 . (1.41)


Pentru valoarea debitului omologFQ calculat cu (1.41), corepunztoare punctului omologF , se

citete randamentul omologF pe caracteristica de randament 000 Q , furnizat de

fabricantul pompei pentru turaia nominal 0n .

Fig. 1.9. Determinarea randamentului F pentru un punct de funcionare F situat pe

curba energetic corespunztoare unei turaii n, diferite de turaia nominal 0n

Pentru valori ale turaiei pompei situate n intervalul 00 ;8,0 nnn , plaja de variaie a lui n

reprezentnd 20% din valoarea turaiei nominale 0n , se poate aproxima omologFF .

Pentru 08,0 nn , randamentul F se determin printr-o relaie de corecie, ca de exemplu

cea indicat de Ionescu et al. [27]11:

1,0

0 1 1

n

nomologFF . (1.42)

Al doilea aspect este cel legat de determinarea turaiei cu care ar trebui acionat o

pomp, astfel nct aceasta s asigure o anumit valoare a debitului, sau o anumit

valoare a nlimii de pompare.

11

Relaia (11.4.19) din [27]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

10

20

30

40

50

60

70

Q [m3/s]

[

%]

H [

m]

F

HF

QF

F

Fomolog

QFomolog

n0

n < n0

H = H(Q) la n0

Hinst

= Hinst

(Q)

H = H(Q) la n

= (Q) la n0


Se consider cunoscute caracteristica energetic 000 QHH i caracteristica de randament

000 Q a pompei funcionnd la turaia nominal 0n , caracteristica (fix) a instalaiei

QHH instinst , precum i parametrul care trebuie realizat la turaia n , unde 0nn , adic fie

debitul FQ , fie nlimea de pompare FH .

n acest caz, se poate determina punctul de funcionare energetic F al pompei la turaia n

necunoscut (figura 1.10), situat fie la intersecia dintre verticala dus prin FQ i caracteristica

instalaiei QHH instinst (n cazul n care se impune vehicularea prin instalaie a debitului

FQ ), fie la intersecia dintre orizontala dus prin FH i caracteristica instalaiei (n cazul n

care se impune realizarea n instalaie a nlimii de pompare FH ).

Fig. 1.10. Determinarea turaiei n (unde 0nn ), la care ar trebui s funcioneze pompa,

astfel nct prin instalaie s se realizeze un anumit parametru ( FQ sau FH )

Pentru oricare dintre cele dou variante posibile prezentate, determinarea punctului de

funcionare energetic F (vezi figura 1.10) duce la cunoaterea perechii de valori FF ,HQ ,

corespunztoare turaiei necunoscute n (unde 0nn ).

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

10

20

30

40

50

60

70

Q [m3/s]

[

%]

H

[m

]

HF

QF

F

Fomolog

QFomolog

F

H = H(Q) la n0

Hinst

= Hinst

(Q)

parabola punctelor omoloage lui F

= (Q) la n0


Pentru a putea determina turaia n , se scriu relaiile de similitudine (1.37) i (1.38) pentru

debite i nlimi de pompare:

20

0

n

n

H

H

n

n

Q

Q

F

omolog

F

omolog

. (1.43)

Acest sistem de dou ecuaii cu trei necunoscute omologomolog HQn , , nu poate fi rezolvat

direct, n schimb, prin eliminarea raportului turaiilor ntre cele dou ecuaii, se obine relaia:

22

2 omologomolog

F

Fomolog QCQ

Q

HH

, (1.44)

unde constanta 2 FF QHC este cunoscut. Parabola omologomolog QfH definit prin

(1.44) reprezint locul geometric al punctelor omoloage lui F. Se traseaz grafic, n figura

1.10, aceast parabol a punctelor omoloage lui F n planul HQ, , iar la intersecia acesteia

cu caracteristica energetic 000 QHH a pompei funcionnd la turaia nominal 0n , se

obine punctul omolog omologF , n dreptul cruia se citete pe abscis valoarea debitului

omologFQ . Pentru determinarea turaiei n , se aplic relaia de similitudine (1.37) pentru debite

ntre punctele F i omologF , astfel:

omologF

F

Q

Qnn 0 . (1.45)

n continuare, se determin randamentul F corespunztor funcionrii pompei la turaia n n

instalaia dat (figura 1.10), prin citirea valorii randamentului omologF ce corespunde

debitului omologFQ pe caracteristica de randament 000 Q , dat de fabricant pentru

turaia nominal 0n . Pentru valori ale turaiei pompei situate n intervalul 00 ;8,0 nnn , se

poate aproxima: omologFF . Pentru o modificare a turaiei n de peste 20% n raport cu 0n

este necesar corectarea valorii F fa de valoarea omologF , de exemplu cu relaia (1.42).

1.2.3. Cuplarea turbopompelor n serie

n situaia n care debitul necesar consumatorilor poate fi asigurat de ctre o turbopomp, ns

nlimea de pompare este insuficient, se recurge la cuplarea pompelor n serie. n general,


se prefer nlocuirea pompelor nseriate cu pompe multietajate. Exist ns situaii, n care

conducta de refulare este foarte lung i se utilizeaz cuplarea n serie a pompelor, amplasate la

distane mari una de cealalt, n scopul repomprii (mririi succesive a presiunii de pe

conducta de refulare).

n figura 1.11 este prezentat schema unei instalaii hidraulice alimentat de dou pompe

diferite, P1 i P2, cuplate n serie, caracteristicile energetice, respectiv de randament ale

pompelor fiind [14], [16]: QHH 11 , QHH 22 , Q11 i Q22 .

Instalaia este compus dintr-o conduct de aspiraie (amonte de aspiraia a1 a pompei P1), al

crei modul de rezisten hidraulic este 1M , un tronson de conduct ntre cele dou pompe

nseriate (ntre punctele r1 i a2), al crei modul de rezisten 2M include i coeficientul de

pierdere de sarcin hidraulic local n vana montat pe tronson, respectiv o conduct de

refulare (aval de refularea r2 a pompei P2), al crei modul de rezisten hidraulic 3M include

i coeficienii de pierdere de sarcin hidraulic local n clapeta anti-retur i vana din aval de

pompa P2.

Fig. 1.11. Instalaie hidraulic alimentat de dou pompe cuplate n serie

Legea energiilor ntre intrarea i i ieirea e din sistemul hidraulic se scrie:

rei hHHHH 21 , (1.46)

unde 1H i 2H sunt nlimile de pompare ale celor dou pompe nseriate, iar rh sunt

pierderile de sarcin hidraulic totale din sistem, exprimate cu relaia:

22321 MQQMMMhr . Explicitnd sarcinile hidrodinamice iH , respectiv eH (cu


vitezele iv i ev neglijabile) i utiliznd relaia (1.22) de definiie a nlimii statice sH , legea

energiilor ntre intrarea i ieirea din sistemul hidraulic se scrie sub forma:

rs hHHH 21 . (1.47)

Membrul drept al relaiei (1.47) reprezint caracteristica instalaiei: rsinst hHH . Cu alte

cuvinte, pentru cuplarea n serie a pompelor rezult urmtorul sistem de ecuaii:

instHHH

QQQ

21

21, (1.48)

unde instH reprezint energia raportat la greutate, necesar n instalaie pentru ca prin aceasta

s fie vehiculat debitul Q. Se urmrete obinerea unei curbe similare, care s reprezinte

energia raportat la greutate pe care o poate furniza ansamblul celor dou pompe cuplate n

serie. Pentru aceasta, pornind de la caracteristicile energetice ale pompelor, QHH 11 i

QHH 22 , la aceeai valoare a debitului ( .constQ ), se adun valorile nlimilor de

pompare pe care le realizeaz pompele. Se obine astfel curba:

QHQHQHH cscs 21 , (1.49)

care reprezint sarcina ansamblului de pompe nseriate.

Punctul de funcionare energetic al ansamblului este notat F i se obine la intersecia

dintre caracteristica instalaiei QHH instinst i caracteristica energetic a ansamblului

de pompe nseriate QHH cscs , definit prin (1.49). n punctul F (figura 1.12), debitul

pompat are valoarea FQ , iar nlimea de pompare asigurat de cuplarea n serie a

pompelor are valoarea FcsF QHH .

Debitul FQ tranziteaz fiecare pomp, deci la intersecia dintre caracteristica energetic a

fiecrei pompe QHH jj , cu 2 ;1 j i verticala FQQ , se obin punctele de

funcionare energetic ale fiecrei pompe montate n serie, anume punctul 1F pentru prima

pomp i punctul 2F pentru cea de-a doua pomp (figura 1.12). nlimile de pompare

asigurate de fiecare dintre cele dou pompe au valorile: FF QHH 11 , respectiv

FF QHH 22 .

Pe caracteristicile de randament ale pompelor, se citesc valorile randamentului

corespunztor funcionrii fiecrei pompe, anume: FF Q11 i FF Q22 .

Puterea electric consumat de fiecare pomp se calculeaz apoi cu relaia:


j

j

jF

FF

F

HgQP

, unde 2 ;1 j . (1.50)

Fig. 1.12. Cuplarea n serie a dou pompe diferite

Randamentul global al ansamblului de pompe nseriate se determin cu relaia:

2

2

1

1

F

F

F

F

FF HH

H

. (1.51)

n cazul pompelor multietajate, caracteristica energetic a pompei cu m etaje se obine grafic

prin multiplicarea de m ori pe vertical (la acelai debit) a nlimii de pompare

corespunztoare caracteristicii energetice a unui etaj.

1.2.4. Cuplarea turbopompelor n paralel

n situaia n care debitul necesar consumatorilor nu poate fi asigurat de ctre o singur pomp,

se recurge la cuplarea pompelor n paralel. n figura 1.13 este prezentat schema unei instalaii

hidraulice alimentat de dou pompe diferite, P1 i P2, cuplate n paralel, caracteristicile

energetice, respectiv de randament ale pompelor fiind [14], [16]: QHH 11 , QHH 22 ,

Q11 i Q22 .

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Q [m3/s]

[

%]

H [

m]

H1(Q)

H2(Q)

2(Q)

1(Q)

Hcs

(Q)

F

F1

F2

QF

HF

H = H (Q)

= (Q)

cuplaj serie: Hcs

= Hcs

(Q)

Hinst

= Hinst

(Q)


Fig. 1.13. Instalaie hidraulic cu dou pompe cuplate n paralel

Sistemul hidraulic este compus dintr-o conduct magistral de aspiraie (ntre rezervorul de

aspiraie i nodul A), al crei modul de rezisten hidraulic este aM , respectiv o conduct

magistral de refulare (ntre nodul B i rezervorul de refulare), al crei modul de rezisten

hidraulic este rM . ntre nodurile A i B sunt montate n paralel dou pompe, cu

caracteristici energetice diferite. Fiecare pomp are o conduct scurt de aspiraie (ntre

punctele A i aj), respectiv o conduct scurt de refulare (ntre punctele rj i B); aceste dou

conducte au mpreun un modul de rezisten notat jM , unde 2 ;1 j , care include i

coeficienii de pierdere de sarcin hidraulic local n clapet anti-retur i la van.

n cazul unui sistem hidraulic care include pompe cuplate n paralel, legea energiilor ntre

intrarea i i ieirea e din sistem se poate scrie pe oricare dintre traseele care leag cele

dou puncte. Pentru configuraia geometric din figura 1.13, legea energiilor se poate scrie pe

ambele trasee i-A-Pj-B-e (unde Pj este pompa j), cu 2 ;1 j , rezultnd:

eirejji hHQHH , cu 2 ;1 j . (1.52)

Explicitnd sarcinile hidrodinamice iH , respectiv eH (cu vitezele iv i ev neglijabile) i

utiliznd relaia (1.22) de definiie a nlimii statice sH , (1.52) devine:

eBrBArAirsjj hhhHQH j

P , cu 2 ;1 j . (1.53)

Cu notaiile din figura 1.13, pierderile de sarcin hidraulic din relaia (1.53) pot fi exprimate

astfel:


pierderile de sarcin hidraulic aferente conductelor magistrale (instalaiei), notate rh unde

22 MQQMMhhh raeBrAirr ; (1.54)

pierderile de sarcin hidraulic aferente conductelor care conecteaz pompa Pj la nodurile A

i B,

2P jjBAr QMh j

, cu 2 ;1 j . (1.55)

Cu (1.54) i (1.55), relaia (1.53) devine:

22 jjsjj QMMQHQH , cu 2 ;1 j , (1.56) iar prin rearanjarea termenilor, rezult:

22 MQHQMQH sjjjj , cu 2 ;1 j , (1.57)

Membrul stng al relaiei (1.57) reprezint caracteristica energetic redus a pompei

jjred QH :

2jjjjjjred QMQHQH , cu 2 ;1 j , (1.58)

iar membrul drept reprezint caracteristica instalaiei (instalaie care, pentru configuraia din

figura 1.13, este alctuit din conductele magistrale din amonte, respectiv aval de cuplajul

realizat ntre nodurile A i B):

2MQHQH sinst . (1.59)

Adugnd la (1.57) i ecuaia continuitii, pentru cuplarea n paralel a pompelor se poate

scrie urmtorul sistem de ecuaii:

QHQMQHQH

QHQMQHQH

QQQ

instred

instred

2222222

2111111

21

, (1.60)

unde instH reprezint energia raportat la greutate, pe care trebuie s o primeasc fluidul ntre

nodurile A i B, pentru ca ntre punctele i i e s circule debitul Q. Se urmrete obinerea unei

curbe similare, care s reprezinte energia raportat la greutate pe care o poate introduce n

instalaie ansamblul pompelor cuplate n paralel. Pentru aceasta, pornind de la caracteristicile

energetice ale pompelor, mai nti sunt construite curbe de forma: jjredjred QHH .

Reprezentarea grafic a relaiei (1.58) reprezint caracteristica energetic redus a unei

pompe montate n paralel, sau (ntr-o terminologie simplificat) caracteristica redus a

pompei (figura 1.14). Apoi, prin nsumarea grafic n paralel a caracteristicilor reduse ale


celor dou pompe, 11 QHred i 22 QHred , adic prin nsumarea debitelor 1Q i 2Q la

aceeai nlime de pompare redus pentru fiecare pomp, se obine caracteristica

energetic a ansamblului de pompe cuplate n paralel, notat QHH cpcp , trasat de

asemenea n figura 1.14.

Fig. 1.14. Cuplarea n paralel a dou pompe diferite

Pentru nlimi de pompare superioare valorii maxime corespunztoare caracteristicii reduse a

primei pompe, 11 QHred , caracteristica ansamblului QHH cpcp coincide cu caracteristica

22 QHred a celei de-a doua pompe, deoarece pompele au clapete anti-retur, montate dup

flana de refulare, acestea mpiedicnd recircularea lichidului.

Punctul de funcionare energetic al ansamblului n instalaia dat este notat F i se obine

la intersecia dintre caracteristica instalaiei QHH instinst , definit prin (1.59) i

caracteristica energetic a ansamblului de pompe cuplate n paralel QHH cpcp .

n punctul F (figura 1.14), debitul pompat are valoarea FQ , iar nlimea de pompare

asigurat de cuplarea n paralel a pompelor are valoarea FcpF QHH . La intersecia

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

10

20

30

40

50

60

70

Q [m3/s]

[

%]

H [

m]

F

2(Q)

1(Q)

H1(Q)

H2(Q)

H1red

(Q)

H2red

(Q)

Hcp

(Q)

QF

QF1

QF2

HF

F2

F1

Hinst

(Q)

H = H (Q)

Hred

= Hred

(Q)

= (Q)

cuplaj paralel: Hcp

= Hcp

(Q)

Hinst

= Hinst

(Q)


dintre orizontala FHH cu caracteristica energetic redus a fiecrei pompe jjred QH , cu

2 ;1 j , se obin valorile debitului vehiculat prin fiecare pomp: 1 F

Q i 2 F

Q .

Ecuaia continuitii poate fi verificat prin nsumarea valorilor obinute, rezultnd:

21 FFFQQQ . (1.61)

Punctele de funcionare energetic ale fiecrei pompe cuplate n paralel, anume punctul 1F

pentru prima pomp i punctul 2F pentru cea de-a doua pomp (figura 1.14) se situeaz pe

caracteristica energetic jj QH a fiecrei pompe, la intersecia fiecrei caracteristici cu

verticala jF

QQ , cu 2 ;1 j . nlimile de pompare asigurate de fiecare dintre cele

dou pompe au valorile: 11 1 FF

QHH , respectiv 22 2 FF

QHH , aceste valori fiind mai

mari dect valoarea FcpF QHH , deci:

jFF HH , cu 2 ;1 j . (1.62)

Pe caracteristicile de randament ale pompelor, se citesc valorile randamentelor

corespunztoare funcionrii fiecrei pompe, anume: 11 1 FF

Q i 22 2 FF

Q .

Puterea electric consumat de fiecare pomp se calculeaz apoi cu relaia:

j

jj

jF

FF

F

HgQP

, cu 2 ;1 j . (1.63)

2. PROBLEME SIMPLE REZOLVATE

2.1. Punctul de funcionare energetic al turbopompei

Problema 2.1.1. Punctul de funcionare energetic al unei pompe axiale

Se consider pompa axial P din figura 2.1, care funcioneaz la turaie nominal. Cele dou

rezervoare, de aspiraie i de refulare, sunt deschise la presiunea atmosferic: 0 ei pp Pa

(scar manometric). La suprafaa liber a rezervoarelor, viteza apei este nul: 0 ei vv .

nlimea geodezic este: 5,6)( ieg zzH m. Modulul de rezisten hidraulic al instalaiei

este: 5,1M s2/m5.

Fig. 2.1. Schema instalaiei hidraulice alimentate cu pomp axial

Caracteristica energetic a pompei axiale QHH se d sub form tabelar (vezi tabelul

2.1), pe perechi de valori HQ, , pentru 12 valori discrete ale debitului Q n m3/s, cuprinse n

intervalul 22,2 ; 5,0Q m3/s.

Capitolul 2. Probleme simple rezolvate 33

Se cere:

S se traseze pe acelai grafic caracteristica energetic QHH a pompei axiale i

caracteristica instalaiei QHH instinst ;

S se poziioneze pe grafic punctul de funcionare energetic F al pompei i s se determine

valorile debitului FQ [m3/s] i nlimii de pompare FH [m] n punctul F.

Tabel 2.1. Perechile de valori { HQ, } ale caracteristicii energetice a pompei axiale

Q [m3/s] 0,5 0,6 0,75 0,8 0,85 1

H [m] 13,2 12 10,95 10,8 10,7 10,7

Q [m3/s] 1,1 1,25 1,5 1,75 2 2,22

H [m] 10,65 10,2 9,05 7,3 4,8 1,8

Rezolvare

n figura 2.2 este trasat caracteristica energetic QHH a pompei, definit de perechile

de valori },{ HQ din tabelul 2.1.

Caracteristica instalaiei QHH instinst este descris de relaia (1.33), n care nlimea

static sH definit prin (1.22) are valoarea:

5,6

gg

ies HH

g

ppH m.

Rezult urmtoarea relaie de definiie a caracteristicii instalaiei pentru problema considerat:

22 5,15,6 QMQHH sinst . (2.1)

Pentru 6 valori discrete ale debitului Q n m3/s, cuprinse n intervalul 2,2 ; 0Q m3/s, n

tabelul 2.2 sunt trecute perechile de valori },{ instHQ , definite prin (2.1). Reprezentarea grafic

a caracteristicii instalaiei (2.1) este efectuat n figura 2.2.

Tabel 2.2. Perechile de valori { instHQ, } ale caracteristicii instalaiei

Q [m3/s] 0 0,5 1 1,5 2 2,2

instH [m] 6,5 6,86 8 9,88 12,5 13,76


Fig. 2.2. Punctul de funcionare energetic F al pompei axiale

n figura 2.2, punctul de funcionare energetic F este situat la intersecia dintre

caracteristica energetic a pompei QHH i caracteristica instalaiei QHH instinst ,

definit prin (2.1). Valorile debitului FQ i nlimii de pompare FH , corespunztoare

punctului F, pot fi citite direct pe axele diagramei din figura 2.2, la captul liniilor

indicatoare punctate, orizontale i verticale, care pleac din F. Rezult urmtoarele valori:

debitul 41,1FQ m3/s, respectiv nlimea de pompare 5,9FH m.

Problema 2.1.2. Punctul de funcionare energetic al unei pompe

centrifuge

Se consider pompa centrifug P din figura 2.3, care funcioneaz la turaie nominal. Pe

suprafaa liber a rezervorului de aspiraie, cota apei este 0iz m, viteza apei este 0iv , iar

presiunea este egal cu presiunea atmosferic. Pe suprafaa liber a rezervorului de refulare,

cota apei este 10ez m, viteza apei este 0ev , iar presiunea n perna de gaz este 1ep bar

(scar manometric). Densitatea apei este 1000 kg/m3, iar acceleraia gravitaional se

consider 10g m/s2. Modulul de rezisten hidraulic al conductei de aspiraie este

0 0.5 1 1.5 2 2.50

2

4

6

8

10

12

14

Q [m3/s]

H [

m]

F

H(Q)

Hinst

(Q)

QF

HF


7000aM s2/m

5, iar modulul de rezisten hidraulic al conductei de refulare este

30000rM s2/m

5.

Caracteristica energetic QHH a pompei centrifuge i caracteristica de randament

Q se dau sub form tabelar (vezi tabelul 2.3), pe perechi de valori HQ, , respectiv

},{ Q , pentru 6 valori discrete ale debitului Q n litri pe secund, cuprinse n intervalul

l/s 25 ; 0Q , adic 0250 ; 0 ,Q m3/s (calculele sunt efectuate cu unitile de msur n S.I.).

Tabel 2.3. Perechile de valori { HQ, } i { ,Q } ale curbelor caracteristice ale pompei

Q [l/s] 0 5 10 16 21 25

Q [m3/s] 0 0,005 0,01 0,016 0,021 0,025

H [m] 46 45,27 43,07 38,49 33,06 27,66

[] 0 0,267 0,457 0,585 0,609 0,573

Fig. 2.3. Schema instalaiei hidraulice alimentate cu pomp centrifug

Se cere:

S se traseze pe acelai grafic curbele caracteristice ale pompei: QHH i Q ,

precum i caracteristica instalaiei: QHH instinst ;


valorile debitului FQ [m3/s], nlimii de pompare FH [m] i randamentului F n F;

S se calculeze puterea electric consumat pentru pompare FP , n kW.


Rezolvare

Curbele caracteristice QHH i Q sunt trasate n figura 2.4. Caracteristica

instalaiei QHH instinst este descris de relaia (1.33), n care nlimea static sH definit

prin (1.22) are valoarea:

20010010

ie

ieg

ies zz

g

ppH

g

ppH m,

iar modulul de rezisten hidraulic al instalaiei M este calculat ca sum a modulelor de

rezisten aferente conductelor de aspiraie i de refulare:

37000300007000 ra MMM s2/m

5.

Cu aceste valori, caracteristica instalaiei pentru problema considerat este definit astfel:

22 3700020 QMQHH sinst . (2.2)

n tabelul 2.4 sunt trecute 6 perechi de valori },{ instHQ , definite prin (2.2). Reprezentarea

grafic a caracteristicii instalaiei (2.2) este efectuat n figura 2.4.



definit prin (2.2).

Fig. 2.4. Punctul de funcionare energetic F al pompei centrifuge

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250

10

20

30

40

50

60

Q [m3/s]

[

%]

H

[m

]

F

H(Q)

(Q)

F

QF

HF

Hs

Hinst

(Q)


Tabel 2.4. Perechile de valori { instHQ, } ale caracteristicii instalaiei

Q [m3/s] 0 0,005 0,01 0,016 0,021 0,025

instH [m] 20 20,93 23,7 29,47 36,32 43,13

Valorile debitului FQ , nlimii de pompare FH i randamentului F , corespunztoare

punctului F, pot fi citite direct pe axele diagramei din figura 2.4, la captul liniilor

indicatoare punctate, orizontale i verticale, care pleac din F. Rezult urmtoarele valori:

debitul 02,0FQ m3/s, nlimea de pompare 5,34FH m, respectiv randamentul 61,0F

(valoarea randamentului n procente, citit pe graficul din figura 2.4, fiind 61F %).

Puterea electric consumat pentru pompare FP este definit prin relaia (1.34):

1131161,0

5,3402,0101000

F

FFF

HgQP W 3,11 kW.

Problema 2.1.3. Modificarea punctului de funcionare energetic al unei

pompe centrifuge prin nchiderea vanei de pe conducta de refulare

Se consider instalaia hidraulic din figura 2.3, n care pompa centrifug P funcioneaz la

turaie nominal. Datele instalaiei sunt cele din Problema 2.1.2, deci nlimea static este

20sH m, iar modulul de rezisten hidraulic al instalaiei este 37000M s2/m

5.

Caracteristica energetic a pompei centrifuge QHH i caracteristica de randament

Q , date prin perechi de valori },{ HQ i },{ Q n tabelul 2.3, sunt aproximate aici prin

funcii polinomiale de gradul al doilea, care depind de debitul Q n m3/s, pentru o plaj de

variaie a debitului 025,00 Q m3/s, anume:

caracteristica energetic a pompei: 2 2935046 QH [m];

caracteristica de randament a pompei: 2 1520 9,60 QQ [].

Se cere:

S se traseze pe acelai grafic curbele caracteristice ale pompei: QHH i Q ,

precum i caracteristica instalaiei: QHH instinst ;


prin calcul analitic valorile debitului FQ [m3/s], nlimii de pompare FH [m] i

randamentului F n punctul F;


S se calculeze puterea electric consumat pentru pompare FP , n kW;

Cu ajutorul vanei de pe conducta de refulare a pompei se regleaz (se modific)

funcionarea pompei, anume se nchide parial vana pentru a diminua debitul, pn la atingerea

punctului de funcionare energetic 2F , n care valoarea debitului pompat este 015,02 FQ

m3/s. S se determine valoarea modulului de rezisten hidraulic 2M al instalaiei, cuprins n

relaia de definiie a caracteristicii instalaiei QHH instinst 2 2 care trece prin punctul 2F . S

se traseze grafic caracteristica QHH instinst 2 2 ;

S se determine puterea electric consumat pentru pompare 2F

P n punctul de funcionare

energetic 2F , exprimat n kW.

Rezolvare

Caracteristica energetic 2 2935046 QQHH i caracteristica de randament a

pompei 2 1520 9,60 QQQ sunt trasate n figura 2.5, pe ntreaga plaj de variaie a debitului Q, anume: 025,00 Q m3/s. Pentru aceast problem, caracteristica instalaiei este

definit prin relaia (2.2), adic: 2 3700020 QQHH instinst ; reprezentarea grafic a caracteristicii instalaiei este efectuat, de asemenea, n figura 2.5.



definit prin (2.2). Valorile debitului FQ , nlimii de pompare FH i randamentului F ,

corespunztoare punctului F, pot fi determinate analitic, deoarece dispunem de funcii

polinomiale simple care descriu aceste curbe caracteristice.

n punctul F sunt intersectate dou curbe, QHH i QHH instinst , descrise prin

polinoame de gradul al doilea, deci n F se poate scrie urmtorul sistem de ecuaii:

22 3700020 2935046 FFF QQH , (2.3)

a crui soluie este:

0,01982935037000

2046

FQ m

3/s.

Cu aceast valoare a debitului FQ , pentru oricare dintre cele dou ecuaii din (2.3), se obine

nlimea de pompare FH , de exemplu:


50,340198,02935046 2935046 22 FF QH m.

Din ecuaia care descrie caracteristica de randament, rezult valoarea randamentului

agregatului de pompare F , n punctul F:

61,0 1520 9,60 2 FFF QQ .

Fig. 2.5. Punctele de funcionare energetic F i F2 n cazul reglrii funcionrii pompei

centrifuge cu vana de pe conducta de refulare


1119861,0

5,340198,0101000

F

FFF

HgQP W 2,11 kW.

Prin nchiderea vanei de pe conducta de refulare a pompei, punctul de funcionare energetic

al pompei se mut din poziia F, n poziia 2F care se afl pe caracteristica energetic a

pompei, n dreptul debitului 015,02FQ m

3/s (vezi figura 2.5). nlimea de pompare

2FH ,

corespunztoare punctului de funcionare energetic 2F , se poate determina analitic, din

ecuaia QHH , astfel:

40,39015,02935046 2935046 2222

FF QH m.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250

10

20

30

40

50

60

Q [m3/s]

[

%]

H

[m

]

F

F2

H(Q)

(Q)

F

QF

QF2

HF

Hs

Hinst

(Q)

Hinst 2

(Q)


Relaia de definiie a caracteristicii instalaiei QHH instinst 2 2 , care trece prin punctul 2F ,

se scrie:

222 20 QMHinst , (2.4)

n care valoarea modulului de rezisten hidraulic 2M al instalaiei este necunoscut. Punctul

2F , caracterizat de valorile },{ 22 FF HQ , trebuie s se afle pe caracteristica instalaiei, deci:

40,39015,020 20 222

2 22 MQMH FF m. (2.5)

Din relaia (2.5), se obine valoarea modulului de rezisten hidraulic 2M :

86206015,0

204,3922

M s2/m5,

care inserat n (2.4), permite trasarea grafic a noii caracteristici a instalaiei (vezi figura 2.5),

definite prin relaia: 22 8620620 QHinst .

Din ecuaia Q , rezult valoarea randamentului agregatului de pompare 2F

, n noul

punct de funcionare energetic 2F :

572,0 1520 9,60 2222 FFF QQ .

Puterea electric consumat pentru pompare 2F

P , definit prin (1.34), are valoarea:

10332572,0

4,39015,0101000

2

22

2

F

FFF

HgQP W ,301 kW.

2.2. Punctul de funcionare cavitaional al turbopompei

Problema 2.2.1. Punctul de funcionare cavitaional n cazul unei

instalaii de pompare cu contrapresiune la aspiraie

Se consider pompa centrifug P din figura 2.6, care funcioneaz la turaie nominal. Pe

suprafaa liber a rezervorului de aspiraie, cota apei este 4iz m, viteza apei este 0iv , iar

nlimea dat de presiunea absolut este 10gpi m. Pe suprafaa liber a rezervorului de

refulare, cota apei este 15ez m, viteza apei este 0ev , iar nlimea dat de presiunea

absolut este 20gpe m. La aspiraia pompei, cota punctului a este: 0az m. Densitatea

apei este 1000 kg/m3, iar acceleraia gravitaional se consider 10g m/s2. Presiunea


absolut de vaporizare a apei la 15C este kPa 71,1mmHg 8,12 vp , adic 17,0gpv m.

Modulul de rezisten hidraulic al conductei de aspiraie este 15000aM s2/m

5. Modulul de

rezisten hidraulic al conductei de refulare este 18000rM s2/m

5.


Caracteristica energetic a pompei centrifuge QHH , caracteristica de randament Q

i caracteristica de cavitaie a pompei QNPSHNPSH se dau sub form tabelar (tabelul

2.5), pe perechi de valori HQ, , },{ Q , respectiv NPSHQ, , pentru 6 valori discrete ale

debitului Q n litri pe secund, cuprinse n intervalul l/s 22 ; 0Q , adic 0220 ; 0 ,Q m3/s.

Tabel 2.5. Perechile de valori { HQ, }, { ,Q } i { NPSHQ, } ale curbelor caracteristice

Q [l/s] 0 5 10 15 20 22

Q [m3/s] 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,022

H [m] 50 48,62 44,50 37,62 28,00 23,38

[] 0 0,337 0,550 0,637 0,600 0,550

NPSH [m] 2 2,25 3,20 4,85 7,20 8,34

Se cere:

S se traseze pe acelai grafic:

curbele caracteristice ale pompei: QHH , Q i QNPSHNPSH ;

caracteristica instalaiei: QHH instinst ;


curba cavitaional a instalaiei QNPSHNPSH instinst ;


valorile debitului FQ [m3/s], nlimii de pompare FH [m] i randamentului F n F;


S se poziioneze pe grafic punctul de funcionare cavitaional C al pompei i s se

determine valoarea limit a debitului limQ [m3/s] n punctul C;

Pe baza valorilor de NPSH cerut de pomp n punctul F, FQNPSH , respectiv de NPSH

disponibil n instalaie n punctul F, Finst QNPSH , sau pe baza valorilor obinute pentru

debitele FQ i limQ , s se menioneze dac pompa funcioneaz fr cavitaie, sau cu cavitaie

la aspiraie.

Rezolvare

Curbele caracteristice QHH , Q i QNPSHNPSH sunt trasate n figura 2.7.



214151020

ie

ieg

ies zz

g

ppH

g

ppH m,



330001800015000 ra MMM s2/m

5.


22 3300021 QMQHH sinst . (2.6)

n tabelul 2.6 sunt inserate valorile instH [m], calculate cu relaia (2.6), pentru 6 valori discrete

ale debitului Q.

Tabel 2.6. Valorile parametrilor calculai

Q [m3/s] 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,022

instH [m] 21 21,82 24,30 28,42 34,20 36,97

instNPSH [m] 13,93 13,45 12,33 10,45 7,83 6,57


nlimea geodezic de aspiraie a pompei gaH este definit prin (1.19) i, pentru cazul studiat

aici, are valoare negativ (contrapresiune la aspiraie):

440 iaga zzH m.

Curba cavitaional a instalaiei QNPSHNPSH instinst este descris de relaia (1.35), care n

cazul de fa se scrie:

22

22

1500083,13 150004017,010

2

QQ

QMHg

v

g

ppNPSH aga

iviabsinst

. (2.7)

n tabelul 2.6 sunt inserate valorile instNPSH [m], calculate cu relaia (2.7), pentru 6 valori

discrete ale debitului Q.

Caracteristica instalaiei QHH instinst , definit prin (2.6), respectiv curba cavitaional a

instalaiei QNPSHNPSH instinst , definit prin (2.7), sunt trasate n figura 2.7.

Fig. 2.7. Punctul de funcionare energetic F i punctul de funcionare cavitaional C

(punctul F se afl la stnga punctului C, deci pompa nu caviteaz)



0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020

10

20

30

40

50

60

Q [m3/s]

H [

m],

N

PS

H [

m],

[%

]

F

C

H(Q)

(Q)

F

HF

Hs

NPSH(Q)

NPSHinst

(Q)

QF

Qlim


definit prin (2.6). Valorile debitului FQ [m3/s], nlimii de pompare FH [m] i

randamentului F [], corespunztoare punctului F, pot fi citite direct pe axele diagramei

din figura 2.7, la captul liniilor indicatoare punctate, orizontale i verticale, care pleac din F.

Rezult urmtoarele valori: debitul 0182,0FQ m3/s, nlimea de pompare 32FH m,

respectiv randamentul 63,0F (valoarea randamentului n procente, citit pe graficul din

figura 2.7, fiind: 63F %).


4,924463,0

320182,0101000

F

FFF

HgQP W 4,9 kW.

n figura 2.7, punctul de funcionare cavitaional C este situat la intersecia dintre

caracteristica de cavitaie a pompei QNPSHNPSH i curba cavitaional a instalaiei

QNPSHNPSH instinst , definit prin (2.7). Valoarea debitului limQ [m3/s], corespunztoare

punctului C, poate fi citit direct pe axele diagramei din figura 2.7, la captul liniei

indicatoare punctate verticale, care pleac din C. Rezult: 0205,0limQ m3/s.

Pentru funcionarea pompei fr cavitaie, trebuie ndeplinit condiia (1.23), n care valorile

de NPSH sunt calculate pentru FQ :

FinstF QNPSHQNPSH . (2.8)

Din figura 2.7 se observ c pentru valoarea FQ obinut, condiia este verificat. Pentru

0,0182FQ m3/s, rezult: 27,6 14000 202 2 FFF QQQNPSH m cerut la aspiraia

pompei, fa de 86,8 1500083,13 2 FFinst QQNPSH m disponibil n instalaie. Deci,

condiia (2.8) este ndeplinit, n consecin pompa centrifug studiat funcioneaz fr

cavitaie.

O condiie similar pentru funcionarea fr cavitaie este (1.36): limF QQ (punctul de

funcionare energetic F trebuie s fie n stnga punctului de funcionare cavitaional C,

poziie care se verific n figura 2.7), cu meniunea c ntr-o marj de %3 din limQ , poate s

apar incipiena cavitaional. Deci condiia (1.36) devine:

limF QQ 97,0 . (2.9)

Pentru 0,0182FQ m3/s i 0,0205limQ m

3/s, condiia (2.9) este ndeplinit, deoarece

0199,097,0 limF QQ m3/s.


Problema 2.2.2. Punctul de funcionare cavitaional n cazul unei

instalaii de pompare cu nlime geodezic de aspiraie pozitiv

Se consider pompa centrifug P, cu ax orizontal, din figura 2.8, care funcioneaz la turaie

nominal. Pe suprafaa liber a rezervorului de aspiraie, cota apei este 0iz m, viteza apei

este 0iv , iar nlimea dat de presiunea absolut este 10gpi m. Pe suprafaa liber a

rezervorului de refulare, cota apei este 5ez m, viteza apei este 0ev , iar nlimea dat de

presiunea absolut este 30gpe m. La aspiraia pompei, cota centrului seciunii de aspiraie

a pompei (cota punctului a ) este 5,4az m. Densitatea apei este 1000 kg/m3, iar

acceleraia gravitaional se consider 10g m/s2. Presiunea absolut de vaporizare a apei la

15C este kPa 71,1mmHg 8,12 vp , adic 17,0gpv m. Modulul de rezisten hidraulic

al conductei de aspiraie este 4000aM s2/m

5, iar modulul de rezisten hidraulic al

conductei de refulare este 20000rM s2/m

5.


Se cunosc curbele caracteristicile ale pompei, definite prin funcii polinomiale de gradul al

doilea, care depind de debitul Q n m3/s, pentru o plaj de variaie a debitului 02,00 Q m3/s,

anume:


caracteristica energetic a pompei: 2 6500050 QH [m];

caracteristica de randament a pompei: 2 2750 5,82 QQ [];

caracteristica de cavitaie a pompei: 2 8000 105,2 QQNPSH [m].

Se cere:


curbele caracteristice ale pompei: QHH , Q i QNPSHNPSH ;


curba cavitaional a instalaiei QNPSHNPSH instinst ;


prin calcul analitic valorile debitului FQ [m3/s], nlimii de pompare FH [m] i

randamentului F n punctul F;


Pe baza valorilor obinute pentru NPSH cerut de pomp n F, FQNPSH , respectiv pentru

NPSH disponibil n instalaie n F, Finst QNPSH , s se menioneze dac pompa funcioneaz

fr cavitaie la aspiraie, sau n regim de cavitaie;

Pentru cazul n care pompa funcioneaz cu cavitaie la aspiraie, s se determine valoarea

maxim a cotei centrului seciunii de aspiraie a pompei (notat maxaz ), pentru care pompa

funcioneaz fr cavitaie.

Rezolvare:

Caracteristica energetic ) 6500050( 2QH , caracteristica de randament a pompei

) 2750 5,82( 2QQ i caracteristica de cavitaie a pompei ) 8000 105,2( 2QQNPSH

sunt trasate n figura 2.9, pe ntreaga plaj de variaie a debitului Q, anume: 02,00 Q m3/s.



25051030

ie

ieg

ies zz

g

ppH

g

ppH m,




24000200004000 ra MMM s2/m

5.


22 2400025 QMQHH sinst . (2.10)

Caracteristica instalaiei QHH instinst , definit prin (2.10), este trasat grafic n figura 2.9.

Fig. 2.9. Punctul de funcionare energetic F i punctul de funcionare cavitaional C

(punctul F se afl la dreapta punctului C, deci pompa caviteaz)

nlimea geodezic de aspiraie a pompei gaH este definit prin (1.19) i, pentru cazul studiat

aici, are valoare pozitiv:

5,405,4 iaga zzH m.

Curba cavitaional a instalaiei QNPSHNPSH instinst este descris de relaia (1.35), care n

cazul de fa se scrie:

22

22

400033,5 40005,4017,010

2

QQ

QMHg

v

g

ppNPSH aga

iviabsinst

. (2.11)

Curba cavitaional a instalaiei QNPSHNPSH instinst , definit cu relaia (2.11), este trasat

grafic n figura 2.9.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020

10

20

30

40

50

60

Q [m3/s]

H [

m],

N

PS

H [

m],

[%

]

F

C

H(Q)(Q)

Hinst

(Q)Hs

NPSHinst

(Q)

NPSH(Q)Q

limQ

F

HF

F




definit prin (2.10). Valorile debitului FQ [m3/s], nlimii de pompare FH [m] i

randamentului F [], corespunztoare punctului F, pot fi determinate analitic, deoarece

dispunem de funcii polinomiale simple care descriu aceste curbe caracteristice.

n punctul F sunt intersectate dou curbe, descrise prin polinoame de gradul al doilea, deci n F

se poate scrie urmtorul sistem de ecuaii:

22 2400025 6500050 FFF QQH , (2.12)

a crui soluie este:

0,01686500024000

2550

FQ m

3/s.

Cu aceast valoare a debitului FQ , pentru oricare dintre cele dou ecuaii din (2.12), se obine

nlimea de pompare FH , de exemplu:

74,310168,06500050 6500050 22 FF QH m.

Din ecuaia care descrie caracteristica de randament, rezult valoarea randamentului

agregatului de pompare F n punctul F:

61,0 2750 5,82 2 FFF QQ .


5,874161,0

74,310168,0101000

F

FFF

HgQP W 7,8 kW.

Pentru funcionarea pompei fr cavitaie, trebuie ndeplinit condiia (1.23), n care valorile

de NPSH sunt calculate pentru FQ , ca n (2.8): FinstF QNPSHQNPSH .

Pentru 0,0168FQ m3/s, rezult: 58,4 8000 105,2 2 FFF QQQNPSH m cerut la

aspiraia pompei, fa de 20,4 400033,5 2 FFinst QQNPSH m disponibil n instalaie.

Deoarece rezult FinstF QNPSHQNPSH , condiia (2.8) nu este ndeplinit, n

consecin pompa centrifug studiat funcioneaz cu cavitaie.

Din condiia (2.9), scris pentru debitul 2limQ pentru care pompa funcioneaz fr cavitaie

la aspiraie, anume:

297,0 limF QQ , (2.13)


rezult valoarea limit a debitului 0173,097,02 Flim QQ m3/s. Punctul de funcionare

cavitaional 2C al pompei montate la cota maxaz se afl pe caracteristica de cavitaie a

pompei, la valoarea NPSH egal cu:

72,4 8000 105,2 2 222 limlimlim QQQNPSH m.

Prin acelai punct 2C , trebuie s treac la limit curba cavitaional a instalaiei

QNPSHNPSH instinst 22 , definit printr-o relaie de forma (2.11), n care ns nlimea

geodezic de aspiraie a pompei )( imaxaga zzH este necunoscut. Se scrie deci egalitatea:

72,4222 liminstlim QNPSHQNPSH m:

m72,40173,040000017,010

2

2

22

2

22

maxa

limaimaxaiviabs

liminst

z

QMzzg

v

g

ppQNPSH

. (2.14)

Din relaia (2.14), rezult 91,3maxaz m. Din condiia 0173,02 limQ m3/s, rezult c pentru

evitarea cavitaiei, este necesar ca pompa s fie montat cu centrul flanei de aspiraie la

cota maxaa zz .

2.3. Funcionarea unei turbopompe cu turaie variabil

Problema 2.3.1. Determinarea randamentului la care funcioneaz o

pomp centrifug acionat cu turaie diferit de turaia nominal

Se consider pompa centrifug P, montat n instalaia hidraulic din figura 2.10. Pompa este

antrenat de un motor cu turaie variabil i funcioneaz la o turaie n , mai mic dect turaia

nominal 0n , anume: 09,0 nn . nlimea static este 20sH m. Modulul de rezisten

hidraulic total al instalaiei este 37000M s2/m5. Densitatea apei este 1000 kg/m3, iar

acceleraia gravitaional se consider 10g m/s2.

Fabricantul pompei pune la dispoziia utilizatorilor curbele caracteristice ale pompei la

turaia nominal 0n , anume: caracteristica energetic a pompei centrifuge 000 QHH i

caracteristica de randament 000 Q , date sub form tabelar (vezi tabelul 2.7), pe

perechi de valori 00,HQ , respectiv },{ 00 Q , pentru 6 valori discrete ale debitului

l/s 25 ; 00 Q , adic 0250 ; 00 ,Q m3/s.


Fig. 2.10. Schema instalaiei hidraulice cu pomp centrifug cu turaie variabil

Tabel 2.7. Perechile de valori { 00, HQ } i { 00,Q } ale curbelor caracteristice ale pompei

la turaia nominal 0n

0Q [l/s] 0 5 10 16 21 25

0Q [m3/s] 0 0,005 0,01 0,016 0,021 0,025

0H [m] 46 45,27 43,07 38,49 33,06 27,66

0 [] 0 0,267 0,457 0,585 0,609 0,573

Se cere:


curbele caracteristice ale pompei la turaia nominal 0n : 000 QHH i 000 Q ;

curba caracteristic energetic QHH a pompei la turaia 09,0 nn ;


S se poziioneze pe grafic punctul de funcionare energetic F al pompei la turaia

09,0 nn i s se determine valorile debitului FQ [m3/s] i nlimii de pompare FH [m]. S

se poziioneze pe grafic punctul omolog de funcionare omologF , adic punctul d

Probleme de Masini Hidraulice

Documents

Transcript of Probleme de Masini Hidraulice