PROBLEME DE CLASA PENTRU CLASA a XI a

Prof.dr. Guţescu Petre

1) Să se stabilească dacă funcţia

1

9 1

2

2

1 sin3 1 , 1

: , ,ln 1 sin 1, 1

ln 1 sin 2 1

xx x

f f x xx

x

R R este derivabilă în 0 1.x

Soluţie. 0 01 , 1x x R este punct de acumulare pentru R (adică orice interval deschis şi mărginit care îl conţine

pe 1 are puncte comune cu R, diferite de 1). Vom studia continuitatea funcţiei f în 0 1.x

1

1

9 1

1 1

sin 3 1sin 3 11 11 lim9 1

3 3 1 3sin 3 1

1

lim lim 1 sin3 1

lim 1 sin3 1 .x

x

x x

xx

xx

x

x

f x x

x e e

2

21 1

22

2

221

2

ln 1 sin 1lim lim

ln 1 sin 2 1

ln 1 sin 1 sin 1

1sin 1 1 1 1 1 1lim .

4 1 1 4 4ln 1 sin 2 1 sin 2 1

sin 2 1 2 1

x x

x

xf x

x

x x

xx

x x

x x

Cum limitele laterale în 0 1x sunt diferite, deducem că f nu este continuă în 0 1x şi, prin urmare, f nu este

derivabilă în 0 1x .

2)Dacă : ,f a b R are derivată în punctul 0 ,x a b , atunci să se calculeze 0 0

1lim .n

n f x f xn

Soluţie.Cum f are derivată în 0x , atunci există

0

0 '

0

0

lim .x x

f x f xf x

x x

Şirul

0

1,ny x n

n

N are limita

0x şi folosind „Criteriul cu şiruri” de la Limite de funcţii deducem că

0 00 '

0

00 0

' '

0 0 0 0

1

lim lim1

1lim .

n

n nn

n

f x f xf y f x n

f xy x

x xn

f x n f x f x f xn

3)Presupunem că : , 0 0f a a ,a >0, f R şi că f este derivabilă în 0.x Să se arate că

0

'

1lim ...

2 3

1 1 11 ... 0 , .

2 3

x

x x xf x f f f

x k

f kk

N

Soluţie.Cum f este derivabilă în 0x , atunci există şi este finită

'

0

0lim 0

0x

f x ff

x

'

0lim 0 .x

f xf

x R Cum

___

0, 1, ,x

i ki când 0,x deducem:

___ ___

' '

0 0

1lim 0 , 1, lim 0 , 1, .x x

x xf f

i if i k f i k

x x i

i

Scriind ultima relaţie pentru fiecare valoare a lui i şi

adunând membru cu membru se obţine relaţia cerută.

4) Să se studieze derivabilitatea funcţiei sin ,

: , ,,

x xf f x

x x

QR R

R Qîn 0.x

Soluţie. Vom studia existenţa limitei raportului 0

0

f x f f x

x x

în 0x folosind „Criteriul cu şiruri”.

Fie 1

0 , 0.n nnx x

Q Atunci:

0

sin sinlim lim lim 1.

n n

n n xn n

f x x x

x x x (1)

Fie 1

, 0.n nnx x

R Q Atunci:

lim lim 1.

n n

n nn n

f x x

x x (2)

Din (1) şi (2), folosind „Criteriul cu şiruri”, deducem că există

0

0lim 1 .

0x

f x f

x

R Deci f este derivabilă în

0x şi ' 0 1.f

5) Fie , 0a b astfel încât 2, .x xa b x R Să se arate că 1.ab

Soluţie. Fie funcţia : , 0 2.x xf f x a b f R R Relaţia din enunţ devine:

00 , 0f x f x x R R punct de minim relativ. Conform teoremei Fermat rezultă ' 0 0.f Dar

' ln ln .x xf x a a b b Deci ln ln 0 ln 0 1.a b ab ab

6) Să se arate că există 0a cu proprietatea: 1, .xa x x R

Soluţie. Inegalitatea este echivalentă cu 1 0, .xa x x R Fie : , 1.xf f x a x R R Inegalitatea este

echivalentă cu 00 , 0f x f x x R R punct de minim relativ. Conform teoremei Fermat rezultă

' 0 0.f Dar ' ln 1.xf x a a Deci ln 1 .a a e

7) Să se arate că funcţia 2: 2,3 , 5 7f R f x x x îndeplineşte condiţiile teoremei Rolle şi să se aplice

această teoremă.

Soluţie. Cum f este funcţie polinomială ea este continuă şi derivabilă pe R şi deci este continuă pe 2,3 şi

derivabilă pe 2,3 .Avem 2 3 1.f f Deci f îndeplineşte condiţiile teoremei Rolle. Prin urmare există

2,3c astfel încât ' 0f c şi cum ' 2 5f x x obţinem ecuaţia 2 5 0c , de unde 5

2,3 .2

c

8) Să se arate că ecuaţia 20 1921 40 2 2 0x x x are cel puţin o soluţie în intervalul 0,2 .

Soluţie. Considerăm funcţia 21 20 2 20: 0,2 , 2 2 2 2f R f x x x x x x x x x .Cum f este

restricţie de funcţie polinomială deducem că f este continuă pe 0,2 şi derivabilă pe 0,2 . Avem

0 2 0.f f Deci f îndeplineşte condiţiile teoremei Rolle. Atunci, există 0,2c astfel încât ' 0,f c

adică există 0,2c astfel încât 20 1921 40 2 2 0c c c , de unde cerinţa problemei.

9) Se consideră funcţia

2

2

, 1,0: 1,1 , , , , .

4 4, 0,1

x ax b xf f x a b c

cx x x

R R Să se determine a,b,c astfel

încât f să satisfacă condiţiile teoremei Rolle şi să se aplice teorema..

Soluţie. Este necesar ca f să fie continuă pe 1,1 . f este continuă pe 1,1 \ 0 ,fiind definită cu ajutorul unor

restricţii de funcţii elementare (polinomiale) . Impunem continuitatea în 0:x

0 0

lim lim 0 4.x x

f x f x f b

Deci pentru 4b funcţia este continuă pe 1,1 .

Este necesar ca f să fie derivabilă pe 1,1 . f este derivabilă pe 1,1 \ 0 ,fiind definită cu ajutorul unor

restricţii de funcţii polinomiale. Impunem derivabilitatea în

' '

0 0

2 2

0 0

0 00 0 0 lim lim

0 0

4lim lim 4.

s dx x

x x

f x f f x fx f f

x x

x ax cx xa

x x

Deci pentru 4a funcţia este derivabilă pe 1,1 .

Este necesar ca 1 1 7.f f c

Prin urmare funcţia îndeplineşte condiţiile teoremei Rolle pentru 4, 7.a b c Atunci există cel puţin un punct

1,1c astfel ca ' 0.f c

Funcţia este:

2

'

2

4 4, 1,0: ,

7 4 4, 0,1

2 4, 1,0.

14 4, 0,1

x x xf f x f x

x x x

x x

x x

R R

Se egalează fiecare formă a lui 'f cu zero şi rezultă: din 2 4 0, 2 1,0 ,x x iar din

2

14 4 0, 0,1 .7

x x Deci punctul 2

.7

c

10) Fie : , , 0f a b a R o funcţie continuă pe , ,a b derivabilă pe ,a b şi

.f a f b

a b Să se arate că există

,c a b astfel încât ' .cf c f c

Soluţie.Se caută o funcţie ajutătoare g căreia să i se poată aplica teorema Rolle pe , .a b Pentru a intui această

funcţie, se prelucrează relaţia cerută urmărind a fi aranjată ca o concluzie a teoremei Rolle. Astfel:

'

' ' '

20 0 0.

cf c f ccf c f c cf c f c g c

c

Deci intuim că

'' ' '

'

2 2

xf x f x f x x x f x f xg x

x x x

şi că

.

f xg x

x Începem rezolvarea propriu zisă.

Fie funcţia

: , , .f x

g a b g xx

R Cum f este continuă pe ,a b g continuă pe , .a b Cum f este

derivabilă pe ,a b g derivabilă pe , .a b

.f a f b

g a g ba b

Deci g îndeplineşte condiţiile teoremei

Rolle. Atunci există ,c a b astfel încât ' 0.g c Cum

' ' ' '

'

2 2, , ,

f x f x x x f x xf x f xg x x a b

x x x

obţinem: ' 0g c

'

' '

20 0 .

cf c f ccf c f c cf c f c

c

Deci există ,c a b astfel încât

' .cf c f c

11) Să se determine numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei 3 26 9 12 0.x x x

Soluţie. Vom folosi şirul lui Rolle. Parcurgem etapele:

a) Fie funcţia 3 2: , 6 9 12,f f x x x x R R funcţie derivabilă pe R.

b) Ecuaţia

' 2 20 3 12 9 0 4 3 0 3, 1 .f x x x x x x

c) lim , 3 12, 1 8, lim .x x

f x f f f x

d) Şirul lui Rolle este şirul semnelor valorilor de la etapa anterioară: - , +, +, +.

e) Alcătuim următorul tabel:

x -3 -1

'f x 0 0

f x 12 8

- + + +

Avem o singură schimbare de semn, ceea ce înseamnă că ecuaţia are o singură rădăcină reală: 1 , 3 .x

12) Să se discute după valorile parametrului real m numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei 4 3 23 8 6 24 0.x x x x m

Soluţie. Utilizăm şirul lui Rolle. Considerăm funcţia

4 3 2: , 3 8 6 24 .f f x x x x x m R R

'

1 2 30 1, 1, 2.f x x x x lim lim .x x

f x f x

Şirul lui Rolle este:

x - 1 1 2

f x 19m 13m 8m

Pentrurealizareadiscuţieiîntocmimurmătorultabel de semne:

m - 13 - 8 19

m – 19 ---------------------------------------------------0+++++++++++

m + 13 --------------------0++++++++++++++++++++++++++++++

m + 8 ------------------------------------0++++++++++++++++++++

Tabelul de discuţieesteurmătorul:

x -

1

1 2 Discuţie

f(x)

m

m - 19 m + 13 m + 8

, 13m + - - - + 1 2, 1 , 2,x x

13m + - 0 - + 1 2 3 41, , 1 , 2,x x x x

13, 8m + - + - + 1 2 3 4, 1 , 1,1 , 1,2 , 2,x x x x

8m + - + 0 + 1 2 3 4, 1 , 1,1 , 2x x x x

8,19m + - + + + 1 2, 1 , 1,1x x

19m + 0 + + + 1 2 1x x

19,m + + + + + ecuaţia nu are rădăcini reale

13) Să se aplice teorema Lagrange funcţiei 2: 0,1 , , 0.f R f x x ax a

Soluţie. Funcţia f este continuă pe 0,1 ,ea fiind compunere de funcţii continue pe 0,1 şi este derivabilă pe

0,1 , ea fiind compunere de funcţii derivabile pe 0,1 . Deci este funcţie Rolle. Prin urmare, conform teoremei

Lagrange, există 0,1c astfel încât

'1 0

1 0

f ff c

. '

2

2, 0,1 ,

2

x af x x

x ax

şi ultima egalitate

devine

2

2

2 2

21 4 1

2

2 4 4 0.

c aa a c ac

c ac

c a a c ac a

(1)

Dacă 0a , atunci orice punct 0,1c verifică egalitatea (1).

Pentru 0a , din egalitatea (1), obţinem 2

.2

a a ac

Cum 0,1c , singura soluţie rămâne

2

.2

a a ac

14) Să se determine abscisa c a unui punct în care tangenta la graficul funcţiei : ,f R R

2, 0

2 ,

1, 0

xx

f x

x x

să fie paralelă la coarda

care uneşte punctele de abscisă 1 4x şi 2 3.x

Soluţie. Ţinând seama de interpretarea geometrică a teoremei Lagrange, problema revine la a studia dacă această

teoremă este aplicabilă restricţiei funcţiei la intervalul 4,3 ,

2, 4,0

2 .

1, 0,3

xx

f x

x x

Se constată uşor că f este continuă pe 4,3 şi derivabilă pe Lagrange

4,3 4,3c ,

' '

3 4 34,3 , .

3 4 7

f ff c c f c

(1)

Pentru ' 14,0

2c f c şi (1) devine

1 3,

2 7 fals.

Pentru ' 10,3

2 1c f c

c

şi (1) devine

1 3 130,3 .

7 362 1c

c

Soluţie:

13.

36c

15) Fie funcţia : , 0, ,f a b f continuă pe ,a b , f derivabilă pe , .a b Să se arate că există , ,c a b

astfel încât:

'

.

f cb a

f cf be

f a

Soluţie. Se caută o funcţie ajutătoare g căreia să i se poată aplica teorema Lagrange. Pentru a intui această funcţie,

se prelucrează relaţia cerută urmărind a fi aranjată ca o concluzie a teoremei Lagrange. Astfel:

' '

' '

ln ln ln ln

ln ln.

f c f cb a b a

f c f cf b f be e f b f a

f a f a

f c f b f a f cb a

f c b a f c

Începem rezolvarea propriu zisă. Fie : , , ln .g a b g x f x R Cum f este funcţie Rolle pe , ,a b atunci g

este funcţie Rolle pe ,a b

Lagrange

'

'

, a.î.

ln ln, a.î.

g b g ac a b

b a

f b f a f cg c c a b

b a f c

''

, a.î. ln

, a.î. .

f cb a

f c

f bc a b

f a

f c f bb a c a b e

f c f a

16) Să se studieze, folosind Corolarul teoremei Lagrange, derivabilitatea funcţiei : ,f R R

2

3

1, 1.

2, 1

x x xf x

x x

Soluţie. feste derivabilă pe '

2

2 1, 1\ 1 , .

3 , 1

x xf x

x x

R (1)

1 1

lim lim 1 3x x

f x f x f f

continuăîn 1.x (2)

' ' ' ' '

1 1 1lim 3 1 , lim 3 1 lim 3.s dx x x

f x f f x f f x

(3)

Din (1), (2), (3) deducem, conformCorolaruluiteoremeiLagrange, căexistă ' 1 3f R ; f este derivabilăîn 1.x

Aşadar, f este derivabilă pe .R

17) Să se studieze derivabilitatea funcţiei 2

2: , 1 arcsin

1

xf f x x

x

R R în punctul 0.x

Soluţie. Utilizând definiţia '

0

00 lim

0x

f x ff

x

se ajunge la calcule complicate. Vom utiliza Corolarul

teoremei Lagrange. Funcţia este derivabilă pe R şi este continuă în 0.x

2

2 2'

2

2 2

1arcsin , 0

1 1.

1arcsin , 0

1 1

x xx

x xf x

x xx

x x

' ' ' '

0 0lim 1 0 , lim 1 0s dx x

f x f f x f f

nu este derivabilă în 0.x

15) Să se determine parametrii reali a şi b pentru care funcţia următoare este derivabilă pe domeniul maxim de

definiţie:

3

2

1, 0: , .

ln 1 , 0

x ax xf f x

b x x

R R

Soluţie. f este derivabilă pe ,R

2

'

2

3 , 0

.2, 0

1

x a x

f x xx

x

Trebuie impusă derivabilitatea în 0x pentru ca f să

fie derivabilă pe domeniul maxim de definiţie .R Folosim Corolarul teoremei Lagrange. f continuă în

0 0

0 lim lim 0 1.x x

x f x f x f b

' '

0lim 0sx

f x a f

şi ' '

0lim 0 0 .dx

f x f

f este derivabilăîn 0 0.x a Decif este derivabilă pe

a=0,b=1.R

16) Aplicândteorema Lagrange, să se demonstrezeinegalitatea:

ln , 0 .b a b b a

a bb a a

Soluţie.Funcţia : , , ln ,f a b f x x R estefuncţieRollepe , .a b Atunci, conform teoremei Lagrange, există

,c a b astfelîncâtln ln 1

.b a

b a c

(1)

Dar 1 ln

1 1 1 1 10 ln .

b

b a b b aaa c bb c a b b a a b a a

17) Să se arate că 2arcsin 1 arccos , 1,0 .x x x

Soluţie. Considerăm funcţia 2: 1,0 , arcsin 1 arccos .f R f x x x Calculăm derivata funcţiei şi obţinem:

'

2 22

2 2

1 2 1

2 1 11 1

10, 1,0

1 1

xf x

x xx

xx

x x x

deoarece , 1,0 .x x x

Deci , 1,0 .f x k x Cum 1

,2

f

deducem .k 1 0 , 1,0 .f f f x x

18) Să se demonstreze egalitatea: 2 2 2arcsin 2 1 2arcsin , , .

2 2x x x x

Soluţie. Considerăm funcţiile 22 2, : , , arcsin 2 1 , 2arcsin

2 2f g f x x x g x x

R .

2 2

'

2 2 2 2 2

'

2 2 1 2 2 1 2

1 2 1 2 1 1 1

2 2, , ,

2 2

x xf x

x x x x x

g x x f x g x k

2 2, .

2 2x

Cum 2 2

0 0 0 0 , ,2 2

f g k f x g x x

2 2 2arcsin 2 1 2arcsin , , .

2 2x x x x

19) Fie 0 a b şifuncţia : ,f a b R , funcţiecontinuăpe ,a b şiderivabilăpe , .a b Să se aratecăexistă ,c a b

astfelîncât :

'1

.a b

f c c f cf a f ba b

Soluţie.Se cautădouăfuncţiiajutătoareg,hcărorasă le aplicămteorema Cauchy. Pentruaintuiceledouăfuncţii,

prelucrămrelaţiacerută. Astfel:

'

'

1

1 1

a b af b bf af c c f c

f a f ba b a b

f b f aab

b af c c f c

abb a

' ' .1 1

f b f a

b af c c f c f c c f c

b a

Începem rezolvarea propriu-zisă.

Fie

1

, : , , , .f x

g h a b g x h xx x

R

Cum f este continuă pe , 0, ,a b g h continue pe , .a b (1)

Cum f este derivabilă pe , 0, ,a b f g derivabile pe , .a b (2)

' '

2

1, , 0, 0, , .h x x a b h x x a b

x (3)

Din (1), (2), (3), folosind teorema Cauchy,

'

2

'

2

, a.î.

', a.î.

1 1 1

g b g ac a b

h b h a

f b f a cf c f c

g c b a cc a bh c

b a c

'1, a.î. .

a bc a b f c c f c

f a f ba b

20) Fie 2

: , .xf f x x e R R Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei precum şi punctele de

extrem.

Soluţie. 2 2 2' 22 1 2 , .x x xf x e x e x x e x R Tabelul de variaţie este:

x 2

2

2

2

'f x ----------------0+++++++++++ 0----------------------

f x 0 1

2e

1

2e 0

(m) (M)

Funcţia este strict descrescătoare pe 2

,2

, strict crescătoare pe 2 2

,2 2

şi strict descrescătoare pe

2, .

2

2

2x este punct de minim,

2

2x este punct de maxim.

21) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei : , 1 .xf f x e R R

Soluţie. ' ' '1, 0 , 0

. 0 1, 0 1.1, 0 , 0

x x

d sx x

e x e xf x f x f f

e x e x

f nu este derivabilă în 0;x

0x este punct unghiular. Tabelul de variaţie este:

x 0

'f x --------------- - 1|1 +++++++++++

f x 0

(m)

22) Să se demonstreze inegalităţile:

a) 1, ;xe x x R

b) ln 1 , 1.x x x

Soluţie. Inegalitatea din enunţ este echivalentă cu: 1 0, .xe x x R

Considerăm funcţia ': , 1. 1, .x xf f x e x f x e x R R R Tabelul de variaţie este:

x 0

'f x --------------------- 0++++++++++++

f x 0

(m)

Cum 0 este minim global, avem: 0, 1 0, 1, .x xf x x e x x e x x R R R

b) Se logaritmează inegalitatea de la a).

23) Să se arate că: 3 23 6 ln 2 6 , 1.x x x x x x

Soluţie. Inecuaţia se mai scrie: 3 23 6 ln 2 6 0, 1.x x x x x x Considerăm funcţia:

3 2 '

2

: 1, , 3 6 ln 2 6 .

3 3 6ln 6 12 , 1, .

f f x x x x x x f x

x x x x

R

Rezolvarea ecuaţiei ' 0f x este dificilă. Calculăm a doua derivată:

2

''6 16

6 12 0, 1.x

f x x xx x

Din '' 0, 1,f x x se deduce că 'f este strict crescătoare pe 1, , de unde ' ' 1 , 1,f x f x adică

' 0, 1.f x x Tabelul de variaţie este:

x 1

''f x 0+++++++++++++++++++

'f x 0+++++++++++++++++++

f x 0

Din tabel: 0, 1,f x x 3 23 6 ln 2 6 0, 1x x x x x x 3 23 6 ln 2 6 , 1.x x x x x x

24) Să se arate că dacă M şi m sunt maximul respectiv minimul funcţiei

3: , , , , , 0,f f x ax px q a p q R ap R R atunci 3

2 4.

27

pMm q

a

R. ' 23 , .f x ax p x R Ecuaţia ' 0f x are două rădăcini deoarece a şi p au semne opuse: 1,2 .3

px

a

Din semnul lui 'f deducem că cele două rădăcini sunt punctele de maxim şi de minim.

Presupunem că 3

1 1 1M f x ax px q şi 3

2 2 2 .m f x ax px q Deci:

2

2 1

1

13

1 11 1

3 0 3 2.

3

3

px

ax p aM px q

pM ax px qM ax px q

a

Analog 2

2.

3m px q Din ultimele două

relaţii obţinem: 3Viète

2 2 2

1 2 1 2

4 2 4.

9 3 27

pMm p x x pq x x q q

a

25) Să se arate că:

a) ln 1 ln 1 , 0,1 ;x x x x

b) 3

arctg , 0, ;3

xx x x x

c) ln 1 1, 1;xx e x

d) sin

, 0 ;sin 2 2

a a aa b

b b b

e) 1 1 1 , 0, ; , 3;n

x nx x x n n N

f) 2 1

ln , 1.1

xx x

x

'.a) : 0,1 , ln 1

0, 0,1 0 ln 1 0,1

f f x x x f x

xx f x f x x

x

R R

0,1x şi ': 0,1 , ln 1 ; 0,1

xg g x x x g x

x

R

0,1 0 , 0,1 ln 1 0, 0,1 .x g x g x x x x

26)Să se determine intervalele de convexitate şi de concavitate, precum şi punctele de inflexiune, pentru funcţiile:

a) 3 2: , 3 ;f f x x x R R

b) 1

: \ 1 , ;1

xf f x

x

R R

c) 2: , ;xf f x x e R R

d) : 0, , ln ;f f x x x R

e) : , sin cos .f f x x x R R

Soluţie. a) '' 6 1 , .f x x x R Ecuaţia '' 0f x are soluţia 1.x Avem tabelul:

x - 1

''f x --------------------0++++++++++++

f x

f este concavă pe , 1 şi este convexă pe 1, . 1x punct de inflexiune.

b)

''

3

4, \ 1 .

1f x x

x

R Avem tabelul:

x - 1

''f x +++++++++ | ----------------

f x |

f este convexă pe , 1 şi este concavă pe 1, . Funcţia nu are puncte de inflexiune.

c) '' 2 4 2 , .xf x x x e x R Ecuaţia '' 0f x are soluţiile: 1.2 2 2.x Avem tabelul:

x 2 2 2 2

''f x +++++++++++0--------------------0++++++++++

f x

f este convexă pe intervalele , 2 2 , 2 2, şi este concavă pe 2 2, 2 2 .

2 2, 2 2x x puncte de inflexiune.

d) '' 1, 0, .f x x

x Ecuaţia '' 0f x nu are soluţii. Avem tabelul:

x 0

''f x +++++++++++++++

f x

Funcţia este convexă pe 0, şi nu are puncte de inflexiune.

e) '' ''sin cos , . 2 sin 2f x x x x f x x R

''cos 2 sin cos , 2x x x f x x T R perioadă pentru

''.f Este suficient să stabilim convexitatea şi concavitatea pe 0,2 .

'' 50 tg 0 , .

4 4f x x x

Avem tabelul:

x 0 4

5

4

2

''f x ++++++++0----------------0+++++++++

f x

f este convexă pe intervalele 5

0, , ,24 4

şi este concavă pe 5

, .4 4

5,

4 4x x

puncte de inflexiune.

27)Să se aratecăîntr-un triunghiABC au locinegalităţile:

a) 3 3

sin sin sin ;2

A B C

b) 3.a b c

b c a a c b a b c

Soluţie.

a) Fie '': 0, , sin . sin 0, 0,f f x x f x x x R

f concavăpe Jensen

0,3 3

f A f B f CA B Cf

sin sin sin 3 3sin sin sin sin .

3 3 2

A B CA B C

b) Notând 2a b c p , inegalitatea se rescrie:

3.

2 2 2

a b c

p a p b p c

Considerămfuncţia

''

2: 0, , 0, 0,

2 2

x pf p f x f x x p

p x p x

R

f convexăpe Jensen

0,3 3

f a f b f ca b cp f

2 1

3 3 2 2 2

p a b cf

p a p b p c

3 .

2 2 2

a b c

p a p b p c

28) Să se aratecă 1 21 2 1 2

...... , , ,..., 0, .nn

n n

x x xx x x x x x

n

Soluţie.

Fie ''

2

1: 0, , ln 0, 0,f f x x f x x

x R

Jensen1 21 2

......concavă ,

nnf x f x f xx x x

f fn n

1 21 2 1 2

... 1, ,..., 0, ln ln ... ,n

n n

x x xx x x x x x

n n

1 2, ,..., 0,nx x x 1 2

1 2

...... ,nn

n

x x xx x x

n

1 2, ,..., 0, .nx x x

29)Să se determine punctele de extremprecumşinaturalor, pentrufuncţiile:

a) 4 3 2: , 4 4 ;f f x x x x R R

b) 2: , .xf f x x e R R

Soluţie.a) ' 2 '4 3 2 , . 0 0,1,2 .f x x x x x f x x R

'' 24 3 6 2 , .f x x x x R '' 0 8 0 0f x punct de minim.

'' 1 4 0 1f x punct de maxim. '' 2 8 0 2f x punct de minim.

b) ' 2 '2 , . 0 2,0 .xf x x x e x f x x R

'' 2 4 2 , .xf x x x e x R '' 22 2 0 2f e x punct de maxim. '' 0 2 0 0f x punct de

minim.

30) Să se aratecădacă , 0, ,2

a b

atunci :

sin tg sin tg sin .2

a ba a b b a b

R. Se aplicăinegalitatealui Jensen funcţiei : 0, , sin tg .2

f R f x x x x

31) Fie : 1, 0,f o funcţie de douăoriderivabilă, cu proprietăţile:

(i) '' 0, 1, ;f x x

(ii) ' 0, 1, .xf x f x x

Să se aratecă: a) funcţia

: 1, , ,f x

g g xx

R esteconvexă;

b) 2 , , 1, .2

a bf af b bf a a b

R. a)

2 '' '

''

3

20, 1,

x f x xf x f xg x x g

x

convexă .

b) Se aplicăinegalitatealui Jensen funcţieig şi se ţineseamacă1 1

2.a b

32) Să se studiezevariaţiaşisă se reprezintegrafic, pedomeniul maxim de definiţie, funcţia:

2

2

1: , .

1

xf D f x

x

R

Soluţie.

I. , 1 1,1 1, .D Funcţiaestepară: , ,f x f x x D decigraficulestesimetricfaţă de .Oy

II. Graficul nu intersecteazăaxa ,Ox iarintersecţia cu Oy este punctual 0, 1 .

III. 1 1 1 1

lim , lim , lim , lim ,x x x x

f x f x f x

decidreptele 1, 1x x suntasimptoteverticale.

lim 1,x

f x

decidreapta 1y esteasimptotăorizontală la şi la . funcţiaestecontinuăpeD.

IV.

'

22

4, .

1

xf x x D

x

0 estepunct critic. Semnulderivateişiintervalele de monotoniesunttrecuteîntabelul

de variaţie. 0 estepunct de maxim.

V.

2

''

32

4 3 1, .

1

xf x x D

x

Semnulderivatei a douaşiintervalele de convexitate-concavitatesunttrecuteîntabelul

de variaţie.

VI. Tabelul de variaţie:

x 1 0 1

'f x ++++++++++|+++++++0------------- | ---------------

''f x ++++++++++|--------------------------- |+++++++++

f x 1 | - - 1 | 1

VII.Graficul

y

1

-1 O 1 x

-1

33) Să se studiezevariaţiaşisă se reprezintegrafic, pedomeniul maxim de definiţie, funcţia:

: , ln sin .f D f x x R

Soluţie.

I. |sin 0 2 , 2 1 .k

D x x k k

Z

R DeoareceD nu estemulţimesimetrică, f nuesteniciparăşiniciimpară. f

areperioada 2 :

2 ln sin 2 ln sin , ,f x x x f x x D deciestesuficientsăstudiemfuncţiapeintervalul

0,2 0, .D

II. Graficul nu intersectează .Oy Intersecţia cu axa Ox este ,0 .2

III. 0 0

lim limln sin , lim limln sin ,x x x x

f x x f x x

deci

dreptele 0,x x suntasimptoteverticale. Funcţiaestecontinuăpe 0, .

IV. ' cosctg , 0, .

sin

xf x x x

x Funcţiaeste strict crescătoarepe 0, ,

2

strict descrescătoarepe , ,2

iar

2x

estepunct de maxim.

V. ''

2

10, 0, ,

sinf x x

x decifesteconcavăpe 0, .

VI. Tabelul de variaţie:

x 0 2

'f x |+++++++++ 0 ----------------- |

''f x |----------------------------------- |

f x | 0 |

VII. Graficul

y

2 O 2 2 3 x

34) Să se studieze variaţia şi să se reprezinte grafic, pedomeniul maxim de definiţie, funcţia:

2

2: , arccos .

1

xf D f x

x

R

Soluţie.

I. 2

2| 1 1 .

1

xD x

x

R R Funcţia nu estenicipară, niciimpară.

II. Intersecţiile cu axelesunt: 0,2

cu Oy şi 1,0 cu .Ox

III. lim ,2x

f x

decidreapta

2y

esteasimptotăorizontală la şi la . Funcţia este continuă pe R.

IV. f este derivabilă pe \ 1,1R cu

2

'

2 2

2 1

1 1

xf x

x x

2

2

2, , 1 1,

1.

2, 1,1

1

xx

xx

În – 1 şi 1 funcţia nu este derivabilă şi avem:

' ' ' '1 1, 1 1, 1 1, 1 1.s d s df f f f Deci 1 şi – 1 sunt puncte unghiulare. Semitangentele la grafic în

aceste puncte au pantele 1 şi – 1, deci sunt paralele cu prima şi respectiv a doua bisectoare.Semnul derivatei şi

intervalele de monotonie sunt trecute în tabelul de variaţie. Punctul – 1 este punct de maxim, iar 1 este punct de

minim.

V.

22

''

22

4, , 1 1,

1,

4, 1,1

1

xx

xf x

xx

x

de unde obţinem că

0x este punct de inflexiune.

VI. Tabelul de variaţie:

x 1 0 1

'f x +++++++++ 1|-1 ------------------ -1|1+++++++++++

''f x ++++++++++ |----------- 0 +++++++|--------------------

f x2

2

0

2

VII. Graficul

y

2

- 1 O1 x