1. Multimi

Definitia multimii.

Definitia 1.1. (Cantor) Prin multime ıntelegem o colectie de obiectebine determinate si distincte. Obiectele din care este constituita multimease numesc elementele multimii. Doua multimi sunt egale daca ele suntformate din exact aceleasi elemente.

Notatia 1.2. Daca x este un obiect si A este o multime, vom nota

- x ∈ A daca x este element al lui A;- x /∈ A daca x nu este element al lui A.

Observatia 1.3. Doua multimi A si B sunt egale daca si numai dacaare loc echivalenta (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Moduri de a defini o multime:

- sintetic, prin enumerarea elementelor multimii, e.g. A = {0, 1};- analitic, cu ajutorul unei proprietati ca caracterizeaza elementele

multimii:

A = {x | x are proprietatea P}

e.g. A = {x | x ∈ N, x < 2} = {x ∈ R | x2 = x}.

Multimi importante.

- Multimea numerelor naturale:

N = {0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }

N∗ = {1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }

- Multimea numerelor ıntregi

Z = {. . . ,−n− 1,−n, . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }

- Multimea numerelor rationale

Q =

{a

b| a, b ∈ Z, b 6= 0,

(a

b=

p

q⇔ aq = pb

)}- Multimea numerelor reale: R- Multimea numerelor complexe: C = {x + iy | x, y ∈ R}- Multimea vida ∅ = {x | x 6= x}.

1

2

Incluziunea multimilor.

Definitia 1.4. Daca A si B sunt multimi, spunem ca A este submultimea multimii B daca toate elementele lui A sunt si elemente ale lui B.

Notatia 1.5. Notam A ⊆ B faptul ca A este o submultime a multimiiB.

Observatia 1.6. Urmatoarele afirmatii sunt adevarate, oicare ar fi multimileA, B si C.

i) A ⊆ B ⇔ (∀x ∈ A, x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B).ii) A = B ⇔ (A ⊆ B si B ⊆ A) (antisimetria).iii) A ⊆ B si B ⊆ C ⇒ A ⊆ C.iv) A ⊆ A.v) ∅ ⊆ A.

Operatii cu multimi.

- intersectia: A ∩B = {x | x ∈ A si x ∈ B}- reuniunea: A ∪B = {x | x ∈ A sau x ∈ B}- diferenta: A \B = {x | x ∈ A si x /∈ B}- complementara: Daca A ⊆ E, atunci CE(A) = E \ A.

Propozitia 1.7. Urmatoarele afirmatii sunt adevarate pentru oricemultii A, B, C si E.

(as) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C; A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C;(asociativitatea operatiilor ∩ si ∪)

(com) A∩B = B ∩A; A∪B = B ∪A; (comutativitatea operatiilor ∩si ∪)

(dis) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);(distributivitatea operatiei ∩ fata de ∪, respectiv a operatiei ∪fata de ∩)

(abs) A ∩ (A ∪B) = A; A ∪ (A ∩B) = A; (absortia)(dM) CE(A∩B) = CEA∪CEB; CE(A∪B) = CEA∩CEB (formulele

lui de Morgan).

2. Functii

Definitia functiei.

Definitia 2.1. Fie A si B doua multimi. Prin functie (aplicatie) dedomeniu A si codomeniu B (functie definita pe A cu valori ın B)ıntelegem o coresponenta f care asociaza fiecarui element a ∈ A unsingur element din B, notat f(a), numit valoarea lui f ın punctul (ar-gumentul) a.

3

Notatia 2.2. Notam o functie de domeniu A si codomeniu B prin f :

A → B sau Af→ B. Legea de corespondenta se mai noteaza a 7→ f(a).

Notatia 2.3. Notatie BA = {f | f : A → B}.

Observatia 2.4. Fie f : A → B si g : C → D functii. Are loc

f = g ⇔ A = C, B = D, si (∀a ∈ A, f(a) = g(a)).

Example 2.5. x 7→ x2

Functiile pot fi reprezentate cu ajutorul diagramelor Euler-Ven:

Example 2.6.

Definitia 2.7. Fie A o multime, C ⊆ A.

- Functia 1A : A → A, ∀a ∈ A, 1A(a) = a senumeste functiaidentica.

- Daca f : A → B este o functie, atunci f|C : C → B, f|C(c) =f(c), ∀c ∈ C, se numeste restrictia lui f la C.

- Funtia iCA = (1A)|C s.n. aplicatia de incluziune a lui C ın A.

Imagine (inversa).

Definitia 2.8. Fie f : A → B o functie.

a) Daca X ⊆ A, multimea

f(X) = {f(x) | x ∈ X} = {y ∈ B | ∃x ∈ X a.ı. f(x) = y}se numeste imaginea (directa) lui X prin f .

b) Multimea lui Im(f)not.= f(A) se numeste imaginea functiei f .

4

c) Daca Y ⊆ B, multimea

f−1(Y ) = {a ∈ A | f(a) ∈ Y }se numeste imaginea inversa (contraimaginea) lui Y prin f .

Example 2.9.

2.10. Fie f : A → B o functie. Sa se arate ca:

a) f(X1 ∪X2) = f(X1) ∪ f(X2), oricare ar fi X1, X2 ⊆ A;b) f(X1 ∩X2) ⊆ f(X1) ∩ f(X2), oricare ar fi X1, X2 ⊆ A;c) La b) nu poate fi demonstrata egalitatea.

2.11. Fie f : A → B o functie. Sa se arate ca:

a) f(Y1 ∪ Y2) = f(Y1) ∪ f(Y2), oricare ar fi Y1, Y2 ⊆ B;b) f(Y1 ∩ Y2) = f(Y1) ∩ f(Y2), oricare ar fi Y1, Y2 ⊆ B;

Compunerea functiilor.

Definitia 2.12. Fie f : A → B si g : B → C functii. Functia g ◦ f :A → C, (g ◦ f)(a) = g(f(a)) s.n. compusa functiilor f si g.

Example 2.13. a) f ◦ 1A = f = 1B ◦ f .b) Daca C ⊆ A si f : A → B, atunci fA = f ◦ iCA.

Teorema 2.14. Compunerea functiilor este asociativa:

f : A → B, g : B → C, h : C → D ⇒ (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).

Demonstratie. �

Functii injective, surjective, bijective.

Definitia 2.15. Fie f : A → B o functie. Spunem ca functia f este

- injectiva daca are loc implicatia:

a1, a2 ∈ A, a1 6= a2 ⇒ f(a1) 6= f(a2);

5

- surjectiva daca este adevarata propozitia:

∀b ∈ B, ∃a ∈ A a.ı. f(a) = b;

- bijectiva daca f este injectiva si surjectiva.

Observatia 2.16. Fie f : A → B o functie. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

a) f este injectiva;b) a1, a2 ∈ A, f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2;c) ∀b ∈ B, ecuatia f(x) = b are cel mult o solutie.

Observatia 2.17. Fie f : A → B o functie. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

a) f este surjectiva;b) Im(f) = B;c) ∀b ∈ B, ecuatia f(x) = b are cel putin o solutie.

Observatia 2.18. Fie f : A → B o functie. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

a) f este bijectiva;b) ∀b ∈ B, ∃!a ∈ A a.ı. f(a) = b;c) ∀b ∈ B, ecuatia f(x) = b are exact o solutie.

Propozitia 2.19. Fie f : A → B si g : B → C functii. Sunt adevarateimplicatiile:

i) f si g injective ⇒ g ◦ f este injectiva;ii) g ◦ f injectiva ⇒ f este injectiva;iii) f si g surjective ⇒ g ◦ f este surjectiva;iv) g ◦ f surjectiva ⇒ f este surjectiva;v) f si g bijective ⇒ g ◦ f este bijectiva;

Demonstratie.

�

6

Functii inversabile.

Definitia 2.20. Spunem ca o functie f : A → B este inversabila dacaexista g : B → A astfel ıncat g ◦ f = 1A si f ◦ g = 1B.

Teorema 2.21. O functie f este inversabila daca si numai daca eaeste bijectiva. In aceste conditii functia g din definitia 2.20 este unica.

Demonstratie.

�

Definitia 2.22. Functia g fin definitia 2.20 se numeste inversa functieif si se noteaza cu f−1.

Propozitia 2.23. a) Daca functia f : A → B este bijectiva, atuncif−1 este bijectiva si (f−1)−1 = f .

b) Daca f : A → B si g : B → C sunt functii bijective, atuncig ◦ f : A → C este bijectiva si (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Demonstratie. TEMA �

Teorema 2.24. (Teorema alternativei) Fie A o multime finita sif : A → A o functie. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) f este bijectiva;b) f este injectiva;c) f este surjectiva.

Demonstratie.

7

�

Familii. In anumite contexte,

Definitia 2.25. Daca I si A sunt multimi, o functie ϕ : I → A senumeste familie de elemente din A. Daca elementele multimii A suntmultimi, spunem ca ϕ este o familie de multimi.

Notatia 2.26. 1) Daca ϕ : I → A este o familie de elemente din A, si∀i ∈ I, ϕ(i) = ai, atunci notam ϕ = (ai)i∈I = (ai).

2) Daca I = {1, . . . , n}, atunci notam ϕ = (a1, . . . , an) si numimaceasta famlie n-uplu.

Definitia 2.27. Fie (Ai)i∈I o familie de multimi. Atunci⋂i∈I

Ai = {x | ∀i ∈ I : x ∈ Ai}

se numeste reuniunea familiei (Ai)i∈I , iar⋃i∈I

Ai = {x | ∃i ∈ I : x ∈ Ai}

se numeste intersectia familiei (Ai)i∈I ,

Definitia 2.28. Fie (Ai)i∈I o familie de multimi. Multimea∏i∈I

Ai = {ϕ : I →⋃i∈I

Ai | ∀i ∈ I, ϕ(i) ∈ Ai}

se numeste produsul cartezian al familiei (Ai)i∈I . Daca j ∈ I, atuncifunctia pj :

∏i∈I Ai → Aj, pj)(ϕ) = ϕ(j) s.n. proiectia a j-a a pro-

dusului cartezian.

Example 2.29. 1) A1 × A2

2) A1 × · · · × An

3) cazul general:

Observatia 2.30. Daca ∀i ∈ I, Ai 6= ∅, atunci toate proiectiie canonicesunt functii surjective.

3. Relatii de echivalenta

Definitia relatiei de echivalenta.

Definitia 3.1. Fie A o multime. O submultime ρ ⊆ A × A s.n. relatieomogena pe A. Daca (a, b) ∈ ρ, atunci vom spune ca a se afla ın relatiaρ cu b.

Notatia 3.2. Nota (a, b) ∈ ρ cu aρb si cu aρ�b daca (a, b) /∈ ρ.

8

Example 3.3. 1)

2) δA

Definitia 3.4. Fie ρ o relatie de echivalenta definita pe multimea A.Spunem ca ρ este:

(r) reflexiva daca ∀a ∈ A, aρa;(t) tranzitiva daca (a, b, c ∈ A, aρb, bρc ⇒ aρc);(s) simetrica daca (a, b ∈ A, aρb ⇒ bρa);

Definitia 3.5. Spunem ca o relatie omogena este o relatie de echivalentadaca ea este reflexiva, tranzitiva si simetica.

Example 3.6.

Multime factor.

Definitia 3.7. Daca ρ este o relatie de echivalenta pe A si a ∈ A,atunci multimea ρ〈a〉 = {b ∈ A | aρb} s.n. clasa e echivalenta a lui A.Multimea

A/ρ = {ρ〈a〉 | a ∈ A}

s.n. multimea factor (cat) indusa de ρ.

Notatia 3.8. Clasele de echivalenta se noteaza de obicei cu a, a, [a] etc.

Teorema 3.9. Fie A 6= ∅ o multime si ρ o relatie de echivalenta peA. Atunci:

a) ∀a ∈ A, a ∈ ρ〈a〉;b) aρb ⇔ ρ〈a〉 = ρ〈b〉;c) aρ�b ⇔ ρ〈a〉 6= ρ〈b〉 ⇔ ρ〈a〉 ∩ ρ〈b〉 = ∅;d) A =

⋃a∈A ρ〈a〉.

Demonstratie.

9

�

Example 3.10. 1)2) Nucleul unei functii

Relatia de congruenta modulo n.

Teorema 3.11. Fie n > 1 un numar natural. Consideram relatiaomogena pe Z, definita de

x ≡ y(mod n) ⇔ n|y − x.

Sunt adevarate afirmatiile:

(a) Relatia ≡ (mod n) este o relatie de echivalenta.(b) x ≡ y(mod n) daca si numai daca x si y dau acelasi rest prin

ımpartirea la n.(c) Multimea factor indusa este:

Zn = {nZ, 1 + nZ, . . . , (n− 1) + nZ},unde r + nZ = {r + nk | k ∈ Z}.

Demonstratie. TEMA. �

Definitia 3.12. Relatia definita ın teorema 3.11 se numeste relatia decongruenta modulo n.

Functii cu domeniul multimi cat.

Observatia 3.13. Daca A este o multime si ρ este o relatie de echivalentape A. Daca definim o functie f : A/ρ → B de o lege f(ρ〈x〉) =F (x), atunci aceasta definitie trebuie sa fie independenta de alegereareprezentatilor, i.e.

ρ〈x〉 = ρ〈y〉 ⇒ F (x) = F (y).

Example 3.14.

4. Exercitii

4.1. Sa se arate ca au loc egalitatile:

a) X \ (Y ∪ Z) = (X \ Y ) \ Z;b) X \ (Y ∩ Z) = (X \ Y ) ∪ (X \ Z);c) (X ∪ Y ) \ Z = (X \ Z) ∪ (Y \ Z)d) (X ∩ Y ) \ Z = X ∩ (Y \ Z).

pentru orice multimi X, Y si Z.

4.2. Doua multimi A si B sunt egale daca si numai daca exista omultime C astfel ıncat A ∩ C = B ∩ C si A ∪ C = B ∪ C.

10

4.3. Fie A si B doua multimi. Multimea

A4B = (A�B) ∪ (B�A).

se numeste diferenta simetrica a multimilor A si B.a) Fie A, B ⊆ E. Diferenta simetrica se mai exprima si prin:

A4B = (A ∩ CE(B)) ∪ (B ∩ C(A)).

b) Oricare ar fi multimile A, B, C, avem:(i) A4A = ∅;(ii) A4B = B4A (comutativitatea diferentei simetrice);(iii) (A4B)4C = A4(B4C) (asociativitatea diferentei simet-

rice);(iv) A4∅ = A = ∅4A (∅ este element neutru ın raport cu

diferenta simetrica);(v) A ∩ (B4C) = (A ∩ B)4(A ∩ C) (distributivitatea ∩ fata

de 4).

4.4. Daca X ⊆ R, atunci notam X∗ = {a ∈ R | ∃x ∈ X, a = |x + 1|}.Sa se arate ca:

a) (X ∪ Y )∗ = X∗ ∪ Y ∗, oricare ar fi X, Y ⊆ R;b) (X ∩ Y )∗ ⊆ X∗ ∩ Y ∗, oricare ar fi X, Y ⊆ R;c) la punctul b) nu putem demonstra egalitatea;d) (X ∩ Y )∗ = X∗ ∩ Y ∗, oricare ar fi X, Y ⊆ [−1,∞).

5. Operatii binare; Monoizi; Grupuri

Operatii binare.

Definitia 5.1. Fie A o multime. O functie ϕ : A×A → A s.n. operatiebinara (lege de compozitie) pe A.

Notatia 5.2. De obicei, o operatie binara se noteaza cu ·, +, ?, ⊥ etc.In loc de ·(x, y) = x · y(= xy).

Observatia 5.3. O operatie binara pe o multime finita poate fi reprezen-tata cu ajutorul unei matrici, numita “tabla lui Cayley”.

Example 5.4. a) x ? y = xy

b) −c) (tabla)

Definitia 5.5. Fie A o multime si ? o operatie binara pe A. Spunem caopratia ?

- este asociativa daca ∀x, y, z ∈ A, (x ? y) ? z = x ? (y ? z);- este comutativa daca ∀x, y ∈ A, x ? y = y ? x;- are element neutru daca ∃e ∈ A a.ı. ∀x ∈ A, x ? e = e ? x = x.

11

Example 5.6.

Observatia 5.7. O operatie are cel mult un element neutru.

Definitia 5.8. Fie A o multime si ? o operatie binara pe A care areelementul neutru e. Spunem ca a ∈ A este inversabil daca

∃a′ ∈ A a.ı a ? a′ = a′ ? a = e.

In aceste conditii a′ s.n. inversul (simetricul) lui A

Example 5.9. a) (N, +)b) (Z, ·)c) (Q∗, :)d) tabla

Observatia 5.10. Daca A este o multime si ? este o operatie binaraasociativa pe A care admite un element neutru, atunci orice elementdin A are cel mult un invers (ın A).

5.1. Semigrupuri si monoizi.

Definitia 5.11. Fie A o multime si ? o operatie binara pe A.

(a) Perechea (A, ?) s.n. grupoid.(b) Daca ? este asociativa, spunem ca (A, ?) este un semigrup.(c) Daca ? este asociativa si are element neutru, spunem ca (A, ?)

este un monoid.

Daca, ın plus ? este comutativa, atunci avem grupoid, semigrup saumonoid comutativ.

Observatia 5.12. Un monoid este un semigrup cu element neutru.

Notatia 5.13. In general vom nota cu · operatia unui semigrup saumonoid. Aceasta notatie s.n. multiplicativa.

Daca (A, ·) este un monoid, atunci

• 1 reprezinta elementul neutru si este numit unitate;• a−1 este inversul lui a ∈ A;• a1 = a, an+1 = an · a, foralln ∈ N∗ (notatie valabila si pentru

semigrupuri);

12

• a0 = 1.

Observatia 5.14. Pentru usurarea expunerii, ne vom referi doar la multimeasuport A, atunci cand discutam despre un monoid in notatie multiplica-tiva: “monoidul A”≡“monoidul (A, ·)”.

Notatia 5.15. Pentru monoizi comutativi se foloseste de obicei notatiaaditiva (A, +). Daca (A, +) este un monoid, atunci

• 0 reprezinta elementul neutru si este numit zero;• −a este imetricul lui a ∈ A;• 1a = a, (n + 1)a = na + a, ∀n ∈ N∗ (notatie valabila si pentru

semigrupuri);• 0a = 0.

Propozitia 5.16. Daca A este un monoid, atunci

(a) Pentru orice a ∈ A si orice m, n ∈ N au loc egalitatile

aman = am+n, (am)n = amn;

(b) Daca a, b ∈ A sunt elemente inversabile, atunci ab este iversabilsi (ab)−1 = b−1a−1;

(c) Daca a, b ∈ A sunt elemente care comuta (i.e. ab = ba), atunci(ab)m = ambm pentru orice m ∈ N.

Demonstratie. a) si c) prin inductieb) verificare directa. �

Example 5.17. a) (N, +)b) (N∗, +)c) (Z, ·)d) M multime, (MM , ◦).

Grupuri.

Definitia 5.18. Spunem ca monoidul (G, ·) este un grup daca toateelementele sale sunt inversable. Daca, ın plus, · este comutativa, atunci(G, ·) este grup comutativ (abelian).

Example 5.19. 1) (N, +), (Z, ·)2) (Z, +), (Q, +), ...3) (Q, ·), ...4) (Q∗, ·), ...5) Orice multime cu un element este grup: ({1}, ?), 1 ? 1 = 1.

Propozitia 5.20. Fie (A, ·) un monoid. Nota cu U(A) multimea el-ementelor inversabile ale lui A. Atunci restrictia operatiei · la U(A)este o operatie pe U(A) si (U(A), ·) este un grup.

13

Demonstratie. Tema. �

Example 5.21. a) Daca M este o multime, si S(M) = {f : M →M | f este bijectiva}, atunci (S(M), ◦) este un grup, numit grupulpermutarilor multimii M .

b) Daca n ∈ N∗ si Mn(R) reprezinta multimea matriilor patratice detipul n × n cu coeficienti ın R, iar GLn(R) este multimea matricilorinversabile cu coeficienti ın R, atunci (Mn(R), ·) este un monoid, iar(GLn(R), ·) este un grup, numit grupul general liniar cu coeficientireali.

Teorema 5.22. Un semigrup (G, ·) este grup daca si numai daca ori-

care ar fi a, b ∈ G, ecuatiile ax = b si xa = b au solutii ın G. In acesteconditii solutiile ecuatiilor sunt unice.

Demonstratie.

�

Corolarul 5.23. Un semigrup (G, ·) este grup daca si numai dacapntru orice a ∈ A translatiile ta, t

′a : G → G, ta(x) = ax, t′a(x) = xa

sunt bijective.

Observatia 5.24. Un semigrup finit (G, ·) este grup daca si numai dacaın tabla operatiei sale, fiecare linie si fiecare coloana reprezinta o per-mutare a multimii G.

Subgrupuri.

Definitia 5.25. Fie (G, ·) un grupoid. Spunem ca H ⊆ G este o partestabila a lui G ın raport cu · daca

∀x, y ∈ H, xy ∈ H.

14

Definitia 5.26. Fie G un grup. Spunem ca o submultime H ⊆ G esteun subgrup al lui G daca este parte stabila a lui G ın raport cu · si Hımpreuna cu restrictia operatiei ·|H formeaza un grup.

Example 5.27. a) 2Z este subgrup ın (Z, +);b) N este parte stabila ın (Z, +), dar nu este subgrup.

Notatia 5.28. Notam cu H ≤ G faptul ca H este subgrup al lui G.

Teorema 5.29. Fie G un grup si H ⊆ G. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

a) H ≤ G.a) i) 1 ∈ H;

ii) ∀x, y ∈ H, xy ∈ H;iii) ∀x ∈ H, x−1 ∈ H.

b) i) 1 ∈ Hii) ∀x, y ∈ H, xy−1 ∈ H

Demonstratie.

�

Observatia 5.30. Conditia 1 ∈ H poate fi ınlocuita cu H 6= ∅.

5.31. Scrieti enuntul teoremei pentru notatia aditiva.

Teorema 5.32. Intersectia unei familii de subgrupuri este subgrup.

Demonstratie.

15

�

Definitia 5.33. Fie G un grup si X ⊆ G. Subgrupul

〈X〉 =⋂

X⊆H≤G

H

s.n. subgrupul generat de X.

Observatia 5.34. 1. Subgrupul 〈X〉 este cel mai mic subgrup carecontine multimea X.

2. 〈∅〉 = {1}.

Propozitia 5.35. Fie G un grup si ∅ 6= X ⊆ G. Atunci

〈X〉 = {x1 . . . xn | n ∈ N∗, ∀i ∈ {1, . . . , n}, xi ∈ X ∪X−1},unde X−1 = {x−1 | x ∈ X}.

Notatia 5.36. Daca X = {x1, . . . , xn}, atunci 〈X〉 = 〈x1, . . . , xn〉.

Definitia 5.37. 1. Fie G un grup si g ∈ G. Subgrupul 〈g〉 s.n. subgrupulciclic generat de G.

2. Spunem ca grupul G este ciclic daca exita g ∈ G a.ı. G = 〈g〉.

Example 5.38. ZQ

Observatia 5.39. 〈g〉 = {gk | k ∈ Z}.

Teorema 5.40. Sugrupurile unui grup ciclic sunt ciclice.

Ordinul unui element.

Notatia 5.41. Daca (G, ·) este un grup, g ∈ G si n ∈ N, atunci g−n =(gn)−1.

Propozitia 5.42. Daca G este un grup, atunci

(a) Pentru orice g ∈ G si orice m,n ∈ Z au loc egalitatile

aman = am+n, (am)n = amn;

(b) Daca g, h ∈ G sunt elemente care comuta (i.e. gh = hg), atunci(gh)m = gmhm pentru orice m ∈ N.

Definitia 5.43. Fie G un grup si g ∈ G. Spunem ca

• ordinul lui g este ∞ daca ∀n ∈ N∗, gn 6= 1;• ordinul lui g este n ∈ N∗ daca gn = 1 si n este cel mai mic

numar natural nenul cu aceasta proprietate.

Notatia 5.44. Notam cu ord(g) ordinul lui G.

16

Example 5.45. 1.2.

Propozitia 5.46. Daca G este un grup si g ∈ G, atunci ord(g) = |〈g〉|,unde |X| reprezinta cardinalul multimii X.

Demonstratie.

�

Teorema 5.47. (Teorema lui Lagrange) Fie G un grup finit siH ≤ G. Atunci |H| divide |G|.Demonstratie.

�

Corolarul 5.48. Daca G este un grup si g ∈ G, atunci ord(g) divide|G|.Morfisme.

Definitia 5.49. Fie G si G′ grupoizi si f : G → G′ o functie.

• Spunem ca f este un morfism (de grupoizi) daca f(gh) =f(g)f(h) pentru orice g, h ∈ G.

• Daca G si G′ sunt monoizi, spunem ca f este un morfism demonoizi daca este un morfism de grupoizi si f(1) = 1′, unde 1reprezinta unitatea lui G, iar 1′ este unitatea lui G′.

17

• Daca G si G′ sunt grupuri, spunem ca f este un morfism degrupuri daca f este un morfism de monoizi si ∀g ∈ G, f(g−1) =(f(g))−1.

In toate cele trei cazuri, daca ın plus f este bijectiva, spunem ca f esteun izomorfism. In aceasta situatie spunem ca G si G′ sunt izomorfe.

Notatia 5.50. Notam cu G ∼= G′ faptul ca G si G′ sunt izomorfe.

Teorema 5.51. Fie G si G′ doua grupuri si f : G → G′ o functie.Functia f este un morfism de grupuri daca si numai daca ∀x, y ∈G, f(xy) = f(x)f(y) (i.e. f este morfism de grupoizi).

Demonstratie.

�

Propozitia 5.52. a) Compusa a doua morfisme este un morfism.b) Inversa unui izomorfism este un izomofism.

Example 5.53. 1.2.

5.54. Fie f : G → G′ un morfism de monoizi (grupuri). Atunci f(xn) =(f(x))n pentru orice n ∈ N (n ∈ Z).

5.55. Fie f : G → G′ un morfism de grupuri.a) Aratati ca Ker(f) = {g ∈ G | f(g) = 1′} este un subgrup al lui G

(numit nucleul lui f).b) f este functie injectiva daca si numai daca Ker(f) = {1}.

Exemple de grupuri.

Grupul numerelor ıntregi: (Z, +)

Teorema 5.56. O submultime H ⊆ Z este subgrup ın Z daca si numaidaca H = nZ pentru n ∈ N.

Lema 5.57. Fie m, n ∈ N. mZ ⊆ nZ ⇔ n | m.

18

Corolarul 5.58. a) mZ ∩ nZ = [m, n]Z;

b) mZ + nZ def= {mk + nl | k, l ∈ Z} = (m, n)Z;

c) (m,n) = d ⇒ ∃k, l ∈ Z a.ı d = km + ln;d) (m, n) = 1 ⇔ ∃k, l ∈ Z a.ı 1 = km + ln.

Grupuri de clase de resturi. : (Zn, +).

Daca n ∈ Z, n ≥ 2, Zn = {0, . . . , n− 1}. Consideram operatia

i + j = i + j.

Atunci (Zn, +) este un grup ciclic.

5.59. 〈i〉 = Zn ⇔ (i, j) = 1.

Grupuri de permutari. Daca X este o multime, atunci XX = {f |f : X → X} este un monoid ın raport cu compunerea fuctiilor. Rezultaca (S(X), ◦), unde S(X) = {f : X → X | f este bijectiva}, este ungrup, numit grupul permutarilor multimii X.

Definitia 5.60. Spunem ca grupul G se scufunda ın grupul H dacaexista un morfism injectiv G → H.

Teorema 5.61. Orice grup se scufunda ıntr-un grup de permutari.

Demonstratie.

�

Daca X = {1, . . . , n}, atunci notam S(X) = Sn si grupul per-mutarilor multimii X s.n. grupul permutarilor de grad n.

reprezentarea permutarilor de grad n...

Definitia 5.62. Fie σ ∈ Sn. Spunem ca o pereche (i, j) cu 1 ≤ i < j ≤ ndetermina o inversiune pentru σ daca σ(i) > σ(j). Notam cu Inv(σ)numarul inversiunilor lui σ. Numarul ε(σ) = (−1)Inv(σ) s.n. signaturapermutarii σ.

19

Propozitia 5.63. a) Daca σ ∈ Sn, atunci ε(σ) =∏

1≤i<j≤nσ(j)−σ(i)

j−i.

b) ε : Sn → {1,−1} este un morfism de grupuri.

6. Inele si corpuri

Definitia 6.1. Un triplet (A, +, ·), format dintr-o multime A si douaoperatii pe A s.n. inel daca

a) (A, +) este un grup abelian,b) (A, ·) este un semigrup,c) operatia · este distributiva fata de +: x(y + z) = xy + xz si

(x + y)z = xz + yz, oricare ar fi x, y, z ∈ A.

Daca (A, ·) este un monoid, atunci spunem ca inelul este cu unitate.

Notatia 6.2. Se folosesc notatiile standard pentru scrierea aditiva, re-spectiv multiplicativa:

• 0 reprezinta elementul neutru din (A, +) si este numit zeroulinelului.

• daca x ∈ A, atunci −x este simetricul lui x (fata de operatia+)

• 1 noteaza elementul neutru fata de · (daca exista) si este numitunitatea inelului.

Observatia 6.3. In cazul general nu putem deduce 0 6= 1. Daca (A, +)este un grup abelian si ? este operatia pe A definita de

x ? y = 0, ∀x, y ∈ A,

atunci (A, +, ?) este un inel cu unitate ın care 0 = 1. Acest inel s.n.inelul nul.

6.4. Daca A este un inel, atunci x · 0 = 0 · x = 0, ∀x ∈ A.

Definitia 6.5. Un inel (K, +, ·) pentru care (K∗, ·), unde K∗ = K \ {0}este un grup s.n. corp. Daca inelul este comutativ, atunci si corpuleste corp comutativ.

6.6. Demonstrati ca orice corp este inel cu unitate.

Definitia 6.7. Fie A un inel si x, y ∈ A∗. Daca xy = 0, atunci spunemca x si y sunt divizori ai lui 0. Un inel comutativ, cu unitate astfelıncat 1 6= 0 si fara divizori ai lui 0 s.n. domeniu de integritate

6.8. Orice corp comutativ este domeniu de integritate.

Teorema 6.9. Orice domeniu de integritate finit este un corp.

20

Demonstratie.

�

Exemple de inele si corpuri.1. Inelul numerelor ıntregi: (Z, +, ·) este un domeniu de integritate

care nu este corp.2. Inelul ıntregilor lui Gauss

3. corpul numerelor rationale si corpul numerelor reale

4. corpul cuaternonilor

5. Clase de resturi

21

6. Polinoame

Subinele si subcorpuri.

Definitia 6.10. Fie R un inel (corp) si S ⊆ R. Spunem ca S este unsubinel (respectiv subcorp) al lui R daca S este stabila fata de operatiisi ımpreuna cu restrictiile acestora formeaza un inel (respectiv corp).

Example 6.11.

Teorema 6.12. (teorema de caracterizare a subinelelor) Fie Run inel si S ⊆ R. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) S este un subinel al lui R;b) (i) S 6= ∅ (0 ∈ S),

(ii) ∀x, y ∈ S x− y ∈ S,(iii) ∀x, y ∈ S xy ∈ S.

Demonstratie.

�

22

Teorema 6.13. (teorema de caracterizare a subcorpurilor) FieK un corp si S ⊆ K. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) S este un subcorp al lui K;b) (i) |S| > 1 (0, 1 ∈ S),

(ii) ∀x, y ∈ S x− y ∈ S,(iii) ∀x ∈ S, ∀y ∈ S \ {0} xy−1 ∈ S.

Demonstratie. TEMA �

Teorema 6.14. Intersectia unei familii de subinele (subcorpuri) esteun subinel (subcorp).

Demonstratie. Tema �

Observatia 6.15. Ca ın cazul grupurilor, se pot defini subinelul generatde o multime si subcorpul generat de o multime.