CUPRINS

CUPRINS................................................................................................................................................. 1

I. INTRODUCERE.................................................................................................................................. 4

I.1. PREZENTARE GENERALĂ A MATHCAD-ULUI...................................................................................4

I.2. PREZENTAREA ECRANULUI.............................................................................................................. 5

I.3. MENIUL PRINCIPAL......................................................................................................................... 6

I.3.1. Meniul File.............................................................................................................................. 6

I.3.2. Meniul Edit............................................................................................................................. 8

I.3.3. Meniul Text.......................................................................................................................... 11

I.3.4. Meniul Math......................................................................................................................... 12

I.3.5. Meniul Graphics................................................................................................................... 15

I.3.6. Meniul Symbolic................................................................................................................... 17

I.3.7. Meniul Window.................................................................................................................... 21

I.3.8. Meniul Books....................................................................................................................... 22

I.3.9. Meniul Help......................................................................................................................... 23

I.4. PALETA MATEMATICĂ.................................................................................................................. 24

I.5. BARA CU UNELTE........................................................................................................................ 25

I.6. BARA PENTRU FONTURI................................................................................................................ 25

I.7. LINIA DE MESAJ............................................................................................................................. 26

II. ARITMETICA.................................................................................................................................. 26

MathCad 6 PLUS

II.1. OPERAŢII ARITMETICE SIMPLE...................................................................................................... 26

II.2. FUNCŢII TRIGONOMETRICE FUNDAMENTALE (ARGUMENT ÎN RADIANI).........................................27

II.3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE FUNDAMENTALE (ARGUMENT ÎN GRADE)...........................................28

II.4. LOGARITMUL NATURAL ŞI LOGARITMUL ZECIMAL.......................................................................28

II.5. LOGARITMUL ÎNTR-O BAZĂ OARECARE........................................................................................29

II.6.DESCOMPUNEREA ÎN FACTORI PRIMI............................................................................................. 30

II.7. OPERAŢII ELEMENTARE CU NUMERE COMPLEXE...........................................................................30

II.8. CALCULAREA COEFICIENŢILOR BINOMIALI...................................................................................31

III. OPERAŢII CU VECTORI ŞI MATRICE.....................................................................................32

III.1. OPERAŢII CU MATRICI PĂTRATICE............................................................................................... 32

III.2. EXTRAGEREA LINIILOR ŞI COLOANELOR DINTR-O MATRICE DATĂ...............................................33

III.3. TABELAREA VALORILOR UNEI FUNCŢII.......................................................................................33

III.4. CREAREA UNEI MATRICI A CĂREI ELEMENTE SUNT VALORILE UNEI FUNCŢII................................34

IV. REZOLVAREA ECUAŢIILOR..................................................................................................... 35

IV.1. GĂSIREA SOLUŢIILOR UNEI ECUAŢII PĂTRATICE..........................................................................36

IV.2. REZOLVAREA ECUAŢIILOR CU O SINGURĂ NECUNOSCUTĂ...........................................................36

IV.3. REZOLVAREA SISTEMULUI DE ECUAŢII LINIARE...........................................................................37

IV.4. REZOLVAREA SISTEMULUI DE ECUAŢII NELINIARE......................................................................38

V. REALIZAREA GRAFICELOR...................................................................................................... 39

V.1. TRASAREA GRAFICULUI UNEI FUNCŢII DE O SINGURĂ VARIABILĂ.................................................39

V.2. TRASAREA GRAFICULUI UNEI FUNCŢII DE O SINGURĂ VARIABILĂ ŞI A DERIVATEI DE ORDINUL

ÎNTÂI................................................................................................................................................... 39

2

MathCad 6 PLUS

V.3. REPREZENTAREA GRAFICĂ A PUNCTELOR SPECIFICATE ÎNTR-O MATRICE......................................40

V.4. TRASAREA CURBELOR PARAMETRICE........................................................................................... 41

V.5. TRASAREA CURBELOR FUNCŢIILOR DE DOUĂ VARIABILE.............................................................42

V.6. DESENAREA SUPRAFEŢEI DE ROTAŢIE..........................................................................................43

V.7. DISTRIBUIREA SPAŢIALĂ A PUNCTELOR DEFINITE DE TREI VECTORI..............................................44

V.8. REALIZAREA CÂMPULUI DE GRADIENT A UNEI FUNCŢII DE DOUĂ VARIABILE................................45

VI. PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ REZOLVATE CU MATHCAD.........................46

VI.1. CALCULAREA DERIVATEI UNEI FUNCŢII ÎNTR-UN PUNCT.............................................................46

VI.2. INTEGRALA DEFINITĂ A UNEI FUNCŢII......................................................................................... 47

VI.3. DEZVOLTAREA UNEI FUNCŢII ÎN SERIE DE PUTERI.......................................................................48

VI.4. CALCULUL LIMITEI UNEI FUNCŢII ÎNTR-UN PUNCT.......................................................................48

VI.5. REZOLVAREA ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE...................................................................................49

VII. ANALIZE DE DATE ÎN MATHCAD..........................................................................................50

VII.1. INTERPOLAREA LINARĂ............................................................................................................. 50

VII.2. FUNCŢIA DE INTERPOLARE SPLINE CUBICĂ................................................................................51

VII.3. REGRESIA LINIARĂ.................................................................................................................... 52

VII.4. REGRESIA POLINOMIALĂ........................................................................................................... 54

VII.5. FITAREA CU AJUTORUL COMBINAŢIILOR LINIARE DE FUNCŢII....................................................55

VII.6. FUNCŢII PREDEFINITE PENTRU STATISTICĂ.................................................................................56

VIII. ELEMENTE DE PROGRAMARE............................................................................................. 57

VIII.1. AVANTAJELE FOLOSIRII PROGRAMĂRII ÎN MATHCAD..............................................................57

IX. ANIMAŢIA...................................................................................................................................... 60

3

MathCad 6 PLUS

ANEXA 1. PRINCIPALELE SIMBOLURI ÎN MATHCAD..............................................................61

ANEXA 2. PRINCIPALELE VARIABILE PREDEFINITE..............................................................62

ANEXA 3. PRINCIPALELE MESAJE DE EROARE........................................................................63

4

MathCad 6 PLUS

I. INTRODUCERE

I.1. Prezentare generală a MathCad-ului

Produsul software sau sistemul de programare MathCad este un instrument

destinat proiectării asistate de calculator. Programele de tip CAD (Computer Aided

Design) sunt astăzi un instrument aproape comun pentru cele mai diverse cercetări

aplicative de toate tipurile.

Produsul MathCad este un utilitar din categoria celor avansate EUREKA [Borland],

MATLAB [MathWorks], MATHEMATICA [Wolfram Research], DERIVE [Soft

Warehouse], dedicate soluţionării problemelor matematice prevăzut cu procedee de calcul

simbolic şi cu metodele analizei numerice. Este realizat de cercetătorii de la M.I.T. şi

comercializat de Math Soft Inc., Cambridge Massachusetts. în cele ce urmează vom

prezenta pe larg versiunea MathCad 6PLUS (Professional Edition) operând sub Windows

3.1 sau versiuni mai noi. Pe de altă parte vom prezenta şi utilizarea MathCad-ului în

rezolvarea problemelor de calcul numeric, simbolic, statistic, diferenţial, matricial etc.

Pachetul de programe MathCad oferă posibilitatea de a lucra simplu cu formule,

numere, texte şi grafice. Utilitarul permite scrierea directă la tastatura şi pe ecran a

expresiilor algebrice aşa cum sunt acestea scrise uzual realizând calculul valoric sau

simbolic ale acestora. în aceste expresii se pot folosi toate operaţiile uzuale din aritmetică

5

MathCad 6 PLUS

şi funcţiile utilizate curent în analiza matematică. în timp ce expresiile se scriu la tastatură

conform convenţiilor MathCad (ce vor fi prezentate), pe ecran apar transcrise în formatul

matematic uzual. Calculele în MathCad sunt la fel de simple ca scrierea expresiilor. Prin

definirea variabilelor, calculele expresiilor se realizează automat şi astfel se poate folosi

MathCad-ul la rezolvarea problemelor concrete. El combină modul elegant de afişare a

problemei cu puterea de calcul a calculatorului. Dar, toate formulele introduse în sesiunea

de lucru cu MathCad devin componente ale documentului de lucru şi vor putea fi salvate

pentru utilizări ulterioare, adăugând după dorinţă comentarii şi grafice, aranjând ecuaţiile

în pagină, completând descrierea operaţiilor. în felul acesta se poate obţine la imprimantă

chiar textul unei lucrări de publicat. Dintre performanţele de calcul ale MathCad-ului

trebuie menţionate:

precizia de calcul până la 15 cifre zecimale în rezultat;

posibilitatea de a schimba unităţile de măsură şi dimensiunile;

posibilitatea de a lucra cu numere şi variabile complexe;

calcul de derivate, integrale, limite, produse, sume, serii şi iteraţii atât numeric cât şi

simbolic;

recunoaşte toate funcţiile trigonometrice, hiperbolice, exponenţiale etc.;

printre funcţiile statistice acceptă: regresia liniară, funcţia gamma, nenumărate funcţii de

distribuţii etc.;

permite aproximarea cu curbe spline cubice, execută interpolări etc.;

6

MathCad 6 PLUS

acceptă transformări Fourie rapide şi inversele lor atât numeric cât şi simbolic;

permite definirea de către utilizator a funcţiilor şi operatorilor;

poate fi utilizat în operaţii cu vectori, matrici şi tensori având operaţiile de înmulţire

matriceală, inversare, transpunere, calculul determinantului, calcul de vectori şi valori

proprii şi multe altele;

foarte important, este faptul că MathCad are un sistem Help bine pus la punct şi

accesibil prin meniu;

I.2. Prezentarea ecranului

Accesul în MathCad se realizează prin executarea următorilor paşi:

se apasă un click pe butonul START din ecranul Windows;

se apelează apoi MathCad din submeniul PROGRAMS;

La intrarea în MathCad va apare:

Meniul principal:

Paleta matematică:

Bara cu unelte:

7

MathCad 6 PLUS

Bara pentru fonturi:

Linia de mesaj:

Suprafaţa de lucru;

I.3. Meniul Principal

Fiecare dintre meniurile ce alcătuiesc meniul principal, precum şi submeniurile

aferente pot fi apelate, în cadrul programului MathCad fie tastând combinaţia de taste

ALT+ litera subliniată, fie apăsând un simplu click pe numele meniului respectiv. în

continuare vom descrie pe larg rolul fiecărei comenzi din componenţa unui meniu.

I.3.1. Meniul File

Acest meniu este destinat lucrului cu fişiere şi poate fi apelat fie de la tastatură prin

apăsarea combinaţiei de taste ALT+F, fie prin apăsarea unui click (butonului din dreapta

mouseului) pe acesta. în urma acestei acţiuni va apare o fereastră cu diferite opţiuni a căror

semnificaţie este prezentată în cele ce urmează:

New (se poate apela tastând F7) are drept scop deschiderea unei noi foi de calcul, fără

a afecta în vreun fel foaia de calcul precedentă;

8

MathCad 6 PLUS

Open (se poate apela tastând F5) deschide documentele anterioare, apărând pe ecranul

MathCad întreg conţinutul documentului;

Save (se poate apela tastând F6) are rolul de a salva modificările făcute într-un

document care a fost deja realizat;

Save As... salvează documentul curent, permiţând atribuirea unui nume acestuia. Un

document MathCad este salvat sub forma: nume_fişier.mcd;

Export Worksheet (worksheet = foaie de calcul) se utilizează pentru a salva

documentul sub o astfel de formă încât să poată fi citit de programe care prelucrează

texte în formatul standard RTF elaborat de Microsoft Corporation, având forma:

nume_fişier.rtf (Rich Text Format);

Insert are rolul de a introduce conţinutul unui alt document în sesiunea de lucru

curentă;

Close (se poate apela apas^and Ctrl+F4) este utilizat pentru a închide sesiunea de

lucru curentă;

Open URL... are rolul de a deschide un document MathCad care se găseşte la o

anumită adresă în reţeaua INTERNET;

Get From Notes... permite deschiderea unei baze de date ;

Save To Notes... salvează schimbările efectuate într-o bază de date;

Mail... se apelează atunci când dorim să trimitem sau să captăm conţinutul unui

document MathCad prin poşta electronică;

9

MathCad 6 PLUS

Save Configuration... permite salvarea configuraţiei MathCad-ului în fişierul de

configurare mcad.mcc în care sunt specificate: modul în care se execută o anumită

operaţie (Automatic sau Manual), formatul numeric utilizat în calcul (va fi prezentat mai

târziu), mărimile fizice a căror unităţi de măsură sunt fundamentale (masa, lungime,

timp, etc.), valoarea pentru precizia de calcul numeric (TOL), modul de numerotare a

indicilor (ORIGIN), tipurile de fonturi cu care sunt afişate variabilele, constantele, textul

din cadrul documentului MathCad etc.

Execute Configuration File... este folosit pentru încărcarea unui alt fişier de

configuraţie;

Associate Filename... se utilizează pentru a specifica programului MathCad extensia

fişierelor de date folosite. Un fişier de date poate conţine elementele unui vector (*.dat)

sau a unei matrici (*.prn) sau chiar a unei imagini (*.bmp). Fişierul este asociat cu

comenzile READ/WRITE, respectiv READPRN/WRITEPRN, utilizate pentru scrierea

sau citirea valorilor dintr-un astfel de fişier;

Page Setup... ne permite setarea valorilor pentru pagină (foarte importante în cazul în

care dorim să obţinem la imprimantă conţinutul unui document). Astfel, se setează

dimensiunile paginii, adică valorile pentru: Left (distanţa dintre marginea din stânga

paginii şi primul caracter tipărit), Right (distanţa dintre marginea din stânga paginii şi

ultimul caracter tipărit care umple rândul), Top (distanţa dintre marginea superioară a

paginii şi prima linie de caractere tipărită), Bottom (distanţa dintre marginea inferioară a

10

MathCad 6 PLUS

paginii şi ultima linie de caractere tipărite). Aici prin caractere se înţelege o înşiruire de

cifre sau litere ale oricărui tip de font. în plus se mai poate realiza şi un antet care poate

fi tipărit fie în partea superioară a paginii (Header), fie în partea inferioară (în subsolul

paginii - Footers). Acest antet poate prezenta: numele fişierului curent, pagina curentă,

data, ora, precum şi orice alt text scris cu unul din fonturile disponibile);

Print Preview... ne afişează întregul conţinut al paginii curente aşa cum arată ea

tipărită;

Print... (se poate apela tastând combinaţia de taste Ctrl+O) tipăreşte un anumit

interval de pagini, pagina curentă sau tot documentul (toate paginile acestuia), în funcţie

de opţiunea utilizatorului, într-un exemplar sau mai multe. Tot de aici se poate modifica

calitatea (rezoluţia) imprimării, adică numărul de puncte dintr-un inch liniar;

Exit (se mai obţine apăsând combinaţia de taste ALT+F4) realizează ieşirea din

programul MathCad şi revenirea în ecranul Windows;

În partea inferioară a meniului File sunt prezentate ultimele documente care au fost

rulate în programul MathCad.

I.3.2. Meniul Edit

Este utilizat pentru editarea şi formatarea documentului MathCad. Componentele

acestui meniu pot fi obţinute fie prin apăsarea combinaţiei de taste ALT+E, fie pur şi

simplu prin apăsarea unui click pe acesta. Meniul prezintă următoarele comenzi:

11

MathCad 6 PLUS

Undo Last Edit (se poate obţine şi prin apăsare combinaţiei de taste ALT+Bksp) are

rolul de a anula ultima acţiune realizată în cadrul documentului MathCad;

Cut (se poate obţine prin apăsare combinaţiei de taste Ctrl+X) decupează regiunea

marcată (cu un dreptunghi punctat) cu ajutorul mousului (pentru a fi, de exemplu

inserată în altă parte a documentului sau chiar în cadrul unui alt document, cu ajutorul

comenzii Paste). în urma acestei comenzi, regiunea decupată va fi memorata în

Clipboard (zonă temporară de stocare în memorie sau zonă tampon);

Copy (se poate obţine prin apăsarea combinaţiei de taste Ctrl+C) copiază (în

clipboard) regiunea din document marcată cu ajutorul mousului;

Clear şterge regiunea marcată cu mousul;

Paste (se poate obţine prin apăsarea combinaţiei de taste Ctrl+V) inserează regiunea

ce a fost memorată în Clipboard (cu una din comenzile Cut sau Copy) în locul în care

se găseşte cursorul MathCad;

Paste Special... poate insera regiunea salvată din Clipboard, în format Text (RTF),

MathCad, Picture sau Bitmap, de asemenea în locul în care se găseşte cursorul;

Regions conţine trei comenzi: prima, View Regions este utilizată pentru a pune în

evidenţă conţinutul documentului (regiunile din document care conţin texte, ecuaţii,

grafice etc.). Prin urmare, regiunile sunt definite de conţinutul documentului. A doua

comandă, Select All are rolul de a selecta (a marca) întregul conţinut al documentului,

pentru a fi de exemplu copiat în alt loc, iar a treia comandă, Separate (poate fi apelată

12

MathCad 6 PLUS

apăsând combinaţia de taste Ctrl+S) şi este folosită în cazul în care sunt suprapuse

total sau parţial două sau mai multe regiuni. Efectul acestei comenzi constă în separarea

celor două regiuni suprapuse;

Align Regions conţine două comenzi: prima Horizontal, aliniază orizontal regiunile

selectate, iar a doua comanda Vertical aliniază pe verticală regiunile selectate din

document;

Include... este utilizat pentru includerea în documentul curent a oricărui alt document

MathCad. în urma apelării acestei comenzi, va apare în locul specificat de utilizator, o

linie de document formată dintr-o icoană şi calea (inclusiv numele fişierului) spre

documentul care se doreşte inclus;

Link... realizează legătura dintre două documente (foi de calcul) MathCad; Această

opţiune conţine două sub-comenzi: New pentru a crea o nouă legătură cu un alt

document MathCad şi Erase pentru a abandona la o anumită legătură;

Lock Regions conţine trei comenzi: prima, Set Lock Area, permite delimitarea unei

zone din cadrul documentului MathCad în care să poată fi inserate texete, ecuaţii,

grafice etc. care să nu poată fi modificate în cadrul documentului decât de cel care a

realizat documentul. Vom spune că aceasta regiune este blocată. A doua comandă, Lock

Area... blochează zona respectivă şi ca urmare a apelării acestei comenzi, MathCad-ul

cere utilizatorului să introducă parola (pasword) care va duce la blocarea zonei şi care

va fi folosită în cadrul celei de-a treia comenzi Unlock Area... pentru deblocarea zonei

13

MathCad 6 PLUS

respective. Dacă parola a fost introdusă în acelaşi mod în care a fost definită, utilizatorul

va putea modifica conţinutul acestei zone;

Ins/Del Blank Lines... inserează sau şterge un număr de linii (blank-uri) începând cu

regiunea selectată.

Insert Pagebreak are rolul de a indica MathCad-ului locul în care dorim să începem o

pagină nouă în cadrul documentului;

Right Margin constă din două comenzi: prima comandă, Set inserează un delimitator

(o linie verticală care străbate documentul) pentru marginea din dreapta documentului.

Această opţiune se utilizează atunci când dorim editarea unui document pe regiuni de

lucru. A doua comandă, Clear şterge delimitatorul vertical, paginile documentului

revenind la dimensiunile stabilite în File Page Setup... ;

Header/Footers... deschide o fereastră în care se poate seta antetul unei pagini

MathCad, care poate fi tipărit fie în partea superioară a paginii (Header), fie în partea

inferioară (în subsolul paginii - Footers). Acest antet poate prezenta: numele fişierului

curent, pagina curentă, data, ora, precum şi orice alt text. Realizarea unui antet se poate

face şi apelând: File Page Setup..., apoi selectând după nevoie Headers... sau

Footers... ;

Find... (se poate apela şi tastând direct combinaţia de taste Ctrl+F5) ajută la căutarea

unui şir de caractere (care poate semnifica un număr, o variabilă, un cuvânt etc.) din

cadrul documentului. Modul de căutare se poate face fie pornind din locul în care se

14

MathCad 6 PLUS

găseşte cursorul MathCad spre sfârşitul documentului, prin realizarea unui click pe

butonul Next, fie spre începutul documentului prin apăsarea butonului Previous;

Replace... (se poate apela şi tastând combinaţia Shift+F5) caută şirul de caractere

introdus de la tastatură şi îl înlocuieşte cu cel dorit. înlocuirea unui şir de caractere cu un

altul se poate face fie în tot documentul, prin apăsarea butonului Change All, fie

confirmând înlocuirea de fiecare dată când este găsit şirul pe care vrem să îl înlocuim;

Go to Page... este utilizat atunci când dorim saltul de la pagina curentă la o altă pagină

din cadrul documentului. La realizarea acestei comenzi, va apare o fereastră formată din

două regiuni: regiunea de interogare, în care precizăm pagina din document la care vrem

să ajungem şi aceasta poate fi prima pagină (First Page) din document, pagina imediat

următoare după pagina curentă (Last Page) sau orice altă pagină specificată prin

numărul ei (Page number) şi regiunea în care sunt prezentate numărul total de pagini

care formează documentul (Number of Page(s): ), precum şi numărul paginii curente

(Current Page: );

I.3.3. Meniul Text

Este utilizat la crearea şi formatarea modului de editare text din cadrul unui

document MathCad. Componentele acestui meniu pot fi obţinute fie prin apăsarea

combinaţiei de taste ALT+E, fie pur şi simplu prin apăsarea unui click pe acesta.

15

MathCad 6 PLUS

Create Text Region (se mai poate apela tastând " ) defineşte regiunea de text. O astfel

de regiune este activă atunci când este încadrată de laturile unui dreptunghi. O regiune

din cadrul documentului este activă doar dacă cursorul MathCad este prezent în această

regiune;

Create Text Paragraph (se poate obţine tastând direct combinaţia de taste Ctrl+T)

creează o regiune de tip paragraf. Această regiune este activă atunci când textul inclus

în paragraf este delimitat de două linii orizontale ce străbat documentul;

Embded Math oferă posibilitatea de a insera în regiunea text ecuaţii, funcţii sau alte

simboluri ce nu pot fi realizate decât în format matematic;

Change Font... este inactiv până în cazul în care este selectat un şir de caractere din

regiunea text. Această opţiune permite modificarea culorii, mărimii şi formei fontului

care caracterizează şirul selectat;

Change Format... are rolul de a schimba în cadrul paragrafului modul de aranjare al

textului. în urma realizării acestei comenzi, va apare o fereastră în care se cere

specificată fie distanţa (în inch) de la marginea din stânga documentului şi primul

caracter (literă, cifră) scris din cadrul unei linii de text, fie specificarea directă a modului

de aliniere al textului, care poate fi: aliniere la stânga (Left), aliniere la dreapta (Right)

sau aliniere simetrică faţă de centrul documentului (Center);

Change Defaults este utilizat la schimbarea formatului predefinit de MathCad, pentru

fonturi (culoare, mărime, formă) şi paragraf (modul de aliniere al textului);

16

MathCad 6 PLUS

Check Spelling... realizează o verificare a ortografiei textului, comparând cuvintele

scrise de utilizator cu cuvintele sau expresiile (în limba engleză) pe care MathCad le

deţine într-un dicţionar realizat de firma producătore a softwarului;

I.3.4. Meniul Math

Acest meniu poate fi apelat fie prin apăsarea unui click pe numele acestuia, fie prin

apăsarea combinaţiei de taste ALT+M. Meniul pune la dispoziţia utilizatorului diverse

submeniuri utilizate în cadrul formatului matematic, pe care de asemenea le vom prezenta

în cele ce urmează.

Matrices... (poate fi apelat şi apăsând combinaţia de taste Ctrl+M) provoacă apariţia

unei ferestre cu întrebări privind numărul de linii şi cel de coloane. Fereastra rămâne

activă până când este închisă de utilizator;

Built-In Variables... permite selectarea dintr-o listă predefinită, a caracteristicii unei

variabile. în urma realizării acestei comenzi, va apare o fereastră care include

următoarele subcomenzi: TOL, care permite modificarea preciziei de calcul al unei

variabile (implicit are valoarea 0,001), ORIGIN, care este utilizat în cazul în care

variabila este un vector sau o matrice şi care permite modificarea modului de

numerotare a indicilor (implicit, ORIGIN are valoarea 0), PRNPRECISION permite

modificarea numărului de numere semnificative al unei variabile de tip matrice, a cărei

valori sunt scrise cu ajutorul funcţiei WRITEPRN într-un fişier *.prn, (implicit

17

MathCad 6 PLUS

PRNPRECISION are valoarea 4), PRNCOLWIDTH permite modificarea lărgimii

coloanelor create într-un fişier (ASCII) cu ajutorul funcţiei WRITEPRN (implicit

PRNCOLWIDTH are valoarea 8). Valorile extreme pe care le pot lua toate aceste

mărimi caracteristice unei variabile sunt specificate în dreapta fiecărei comenzi;

Units permite inserarea unei unităţi de măsură (cu comanda Insert Unit...) şi selecţia

dintr-o listă predefinită a sistemului de unităţi de măsură (M.K.S., C.G.S. sau U.S.) (prin

apelarea comenzii Change System of Units..., precum şi renumirea dimensiunii unei

mărimi fundamentale (masă, lungime, timp, sarcină electrică, temperatură) (alegând

comanda Dimensional Format...);

Choose Function... permite selectarea unei funcţii dintr-o gamă largă de funcţii

predefinite (funcţii trigonometrice, funcţii statistice, funcţii utilizate în calcul integral şi

diferenţial, etc.);

Randomize... permite specificarea valorii maxime a intervalului (0,n) în care se

generează numere aleatoare cu ajutorul funcţiei RND. Este uşor de observat că n trebuie

să fie mai mare sau egal cu 1;

Calculate (F9) se utilizează în modul Manual pentru efectuarea calculelor. în cazul în

care documentul este format din mai multe pagini, cu această comandă se va realiza

doar calculele din pagina curentă;

18

MathCad 6 PLUS

Calculate Worksheet are aceeaşi semnificaţie ca şi comanda Calculate, diferenţa

constând în faptul că în urma realizării acestei comenzi se vor efectua toate calculele din

documentul curent;

Toggle Equation această comandă este activă în cazul în care este cel puţin o ecuaţie

selectată. La aplicarea acestei comenzi, ecuaţia sau ecuaţiile selectate vor fi ignorate în

calcule;

Highlight Equation este activ doar în cazul în care una sau mai multe ecuaţii sunt

selectate şi are rolul de a evidenţia ecuaţia sau ecuaţiile selectate prin procedura de

marcare video, cu o anumită culoare;

Automatic Mode această comandă poate fi selectată sau deselectată. în cazul în care

comanda este deselectată, MathCad lucrează în modul manual, aceasta însemnând că

toate calculele vor fi efectuate doar la apelarea comenzii Calculate sau Calculate

Worksheet, iar în cazul în care este selectat, calculele vor fi efectuate automat;

Live Symbolics poate fi selectat sau deselectat. în cazul în care comanda este selectată

se realizează toate calculele simbolice din document prevăzute cu semnul de egal

simbolic ();

Optimize dacă este selectat, va acţiona procesorul de calcul simbolic al MathCad-ului,

care va putea fi utilizat în toate calculele din document. Astfel, înainte de a se evalua o

expresie mai mult sau mai puţin complicată, aceasta este simplificată cu ajutorul

procesorului simbolic şi abia apoi se efectuează calculele propriu-zise;

19

MathCad 6 PLUS

Numerical Format... permite modificarea globală (GLOBAL) sau locală (LOCAL) a

formatului numeric cu care sunt afişate rezultatele. Prin modificarea formatului numeric

se înţeleg următoarele:

- modificarea bazei de prezentare a numerelor, care poate fi zecimală

(Decimal), hexazecimală (Hex) sau octală (Octal);

- alegerea unităţii imaginare, care poate fi i sau j;

- modificarea modului de afişare al rezultatelor (Displayed

Precision);

- modificarea pragului exponenţial (Exponential Threshold). Adică,

dacă în căsuţa aferentă acestei opţiuni introducem de exemplu cifra

3, atunci numerele mai mari decât 10

3

se vor afişa în format flotant;

- modificarea toleranţei complexe (Complex Tolerance), adică a

numărului maxim de cifre semnificative care mai sunt luate în calcul

pentru partea imaginară a numerelor complexe;

- modificarea zero-ului aritmeticii (Zero Tolerance). Adică, pentru

rezultatele care depăşesc ordinul de mărime 10

-n

, unde n este

valoarea introdusă în căsuţa aferentă opţiunii, vor fi considerate

nule. Gama de numere zecimale cu care poate opera MathCad-u

este (-10

308

,+10

308

), zero-ul acestei aritmetici este 10

-n

;

20

MathCad 6 PLUS

- utilizarea afişării rezultatului cu zero-uri după ultima cifră

semnificativă nenulă din rezultat. Numărul de zero-uri ataşate

cifrelor semnificative din rezultat vor fi astfel încât rezultatul afişat

să se încadreze în precizia de afişare a rezultatului pe ecran

(Displayed Precision);

- afişarea pe ecran sub formă matricială sau sub formă de tabel a unei

matrici (Display as Matrix);

Font Tag... este utilizat pentru modificarea proprietăţilor fonturilor (tip, mărime,

culoare) cu care sunt afişate variabilele, constantele etc.;

Change to Greek Variable (se poate apela şi apăsând Ctrl+G după litera tastată) are

rolul de a transforma o literă introdusă de la tastatură în litera grecească

corespunzătoare;

I.3.5. Meniul Graphics

Este utilizat pentru crearea şi formatarea diverselor tipuri de grafice, putând fi

reprezentate grafic: funcţii, curbe plane, suprafeţe în spaţiu (prin familii de curbe figurate

în proiecţie axonometrică) etc. în plus, există şi posibilitatea de a defini o imagine color

sau alb/negru. Meniul se poate apela fie tastând combinaţia de taste ALT+G, fie apăsând

un click pe acesta.

21

MathCad 6 PLUS

Create X-Y Plot (se mai poate obţine tastând @) creează o suprafaţă de desen (un

dreptunghi), în care se va trasa un grafic 2D (bidimensional) în coordonate carteziene.

Pe latura inferioară şi pe cea din stânga acestui dreptunghi se găsesc un număr de şase

regiuni mici (dreptunghiuri pline) în care se introduc: variabila dependentă (în regiunea

din mijlocul laturii din stânga), variabila independentă (în regiunea din mijlocul laturii

inferioare a dreptunghiului), şi după caz, valorile extreme pentru care dorim să

evidenţiem graficul;

Create Polar Plot (se poate apela tastând combinaţia de taste Ctrl+F7) creează o

suprafaţă de desen (un cerc), în care se va trasa un grafic 2D în coordonate polare.

Variabila dependentă se va scrie în regiunea mică din stânga suprafeţei de desen, iar

variabila independentă în regiunea inferioară a suprafeţei. Valorile extreme se introduc

opţional;

Create Surface Plot (se poate apela tastând combinaţia de taste Ctrl+2) creează un

dreptunghi în care se va trasa graficul unei suprafeţe definită de o funcţie de forma: Mi,j

= (xi

,yj

), unde Mi,j

reprezintă elementele unei matrici cu i linii şi j coloane (i2 şi j2).

în partea inferioară a dreptunghiului se regăseşte regiunea mică în care se introduce

numele matricei (de exemplu, M);

Create Contour Plot (se poate apela tastând combinaţia de taste Ctrl+5) creează un

dreptunghi în care se va trasa graficul unui contur definit de o suprafaţă prin funcţia: Mi,j

= (xi

,yj

), unde Mi,j

reprezintă elementele unei matrici cu i linii şi j coloane (i2 şi j2);

22

MathCad 6 PLUS

Create 3D Scatter Plot creează un dreptunghi în care se vor reprezenta 3D, prin puncte

setul de valori (xi

,yj

,Mi,j

);

Create Vector Field Plot creează un câmp de vectori pe considerentul că fiecare

element dintr-o matrice este un vector bidimensional reprezentat printr-un un număr

complex. Partea reală a numărului complex este asociată cu proiecţia pe axa Ox a

vectorului, iar partea imaginară cu proiecţia pe axa Oy al aceluiaşi vector;

Create 3D Bar Chart permite realizarea unui grafic sub formă de histograme.

Regiunea în care se va trasa graficul are aceleaşi caracteristici ca în cazurile precedente;

Create Picture creează o regiune în care se poate insera o imagine. în partea inferioară

a acestei regiuni, marcată de laturile unui un dreptunghi, se introduce numele şi extensia

fişierului care conţine imaginea în forma: nume_fişier.ext;

X-Y Plot Format... permite modificarea caracteristicilor graficului selectat. Astfel, se

pot modifica: tipul şi culoarea liniei cu care este trasat un grafic (Traces), grilajul (Grid

Lines), tipul scării axelor de coordonate (axe zecimale sau axe logaritmice) (Log

Scale), modul general de prezentare al graficului (încadrat de un dreptunghi (Boxed),

prezentarea axelor de coordonate (Crossed) sau doar graficul propriu-zis (None)),

etichetarea graficului (atribuirea unui nume acestuia) (Title). Numele graficului poate fi

afişat fie în partea superioară a graficului (Below), fie în partea inferioară (Above) sau

poate să nu fie afişat pe ecran, în funcţie de modul de selectare al comenzii Show Title.

în plus mai pot fi etichetate şi axele de coordonate;

23

MathCad 6 PLUS

Polar Plot Format... are rolul de a modifica caracteristicilor graficului selectat,

permiţând modificarea aceloraşi parametrii ca în cazul precedent, deosebirea constând

în tipul sistemului de coordonate (Polar);

3D Plot Format... este utilizat pentru modificarea caracteristicilor graficului selectat,

astfel graficul poate fi rotit (Rotation) cu un anumit număr de grade sau înclinat (Tilt),

se poate încadra graficul într-o prismă dreptunghiulară (căreia i se pot modifica culorile

muchiilor sau se poate umple cu o anumită culoare), în plus graficul poate fi prezentat

fie într-o singură culoare, fie în nuanţe de culori (în funcţie de apropiere sau îndepărtare)

sau în nuanţe de gri, în final obţinând un grafic cum nu se poate mai artistic, dar în

acelaşi timp intuitiv şi corect. Este evident că rămân şi aici valabile opţiunile prezentate

în comenzile anterioare, opţiuni care se regăsesc şi în cadrul acestei comenzi;

Picture Format... permite realizarea încadrării imaginii (Show Border) create cu

comanda Create Picture şi readucerea acestei imagini la mărimea iniţială (Use original

size) (în cazul în care mărimea imaginii a fost modificată);

I.3.6. Meniul Symbolic

Acest meniu conţine un număr mare de comenzi, ce vor fi prezentate şi pe care

MathCad le utilizează în calculul simbolic (de exemplu, în rezolvarea unei integrale

nedefinite). MathCad posedă opţiunea de calcul simbolic folosind o bibliotecă Maple .

încărcarea acestei opţiuni presupune o serie de resurse hard şi funcţionează suficient de

24

MathCad 6 PLUS

rapid (aparent în regim conversaţional) doar pe sisteme cu procesor cel puţin 386. Meniul

poate fi apelat fie apăsând un click pe acesta, fie apăsând combinaţia de taste ALT+S.

Evaluate conţine trei comenzi:

1. Evaluate Symbolially (sau Shift+F9) permite evaluarea simbolică a unei

expresii;

2. Complex Evaluation se utilizează pentru evaluarea simbolică a expresiilor care

au în componenţa lor numere complexe. în urma aplicării acestei comenzi, MathCad va

încerca să aducă rezultatul la forma numărului complex (z=a+ib),

3. Floating Point Evaluation se utilizează la evaluarea simbolică a unor funcţii

predefinite, cu expresii raţionale în care intervin constantele e şi . Dacă în expresia ce se

evaluează intervin numere ce includ punctul zecimal, atunci procesorul evaluează

rezultatul numeric cu 20 de cifre zecimale;

Simplify realizează simplificarea expresiilor algebrice, utilizând identităţile uzuale din

algebră şi trigonometrie. Simplificarea operează doar asupra expresiilor sau sub-

expresiilor selectate. Pentru simplificarea unei matrici, aceasta trebuie să fie mai întâi

selectată, iar apoi să se aleagă comanda Simplify;

Expand Expression declanşează efectuarea calculelor înmulţind şi ridicând la putere

expresiile polinomiale ce apar. Această comandă se foloseşte pentru a obţine expresii

raţionale cu numărătorul polinomial ca sumă de fracţii, sau pentru a dezvolta ca

polinoame de sin(x) şi cos(x), expresiile de tipul sin(nx);

25

MathCad 6 PLUS

Factor Expression încearcă să descompună expresia selectată în produs. Comanda

converteşte un polinom în produs de polinoame de grad cel mult 2, un întreg în produsul

numerelor prime ce îl compun, respectiv o sumă de expresii raţionale într-o singură

fracţie. Factorizarea acţionează doar asupra expresiei selectate, putându-se alege numai

o sub-expresie, eventual.

Collect on Subexpression este folosită pentru a transforma o sumă de termeni într-o

expresie polinomială în raport cu variabila aleasă. Pentru a o folosi trebuie, mai întâi

precizat numele variabilei sau al funcţiei (împreună cu parametrii săi), apoi se alege

comanda Collect on Subexpression şi MathCad rescrie suma ca un polinom în raport

cu variabila, respectiv funcţia aleasă;

Polynomial Coefficients returnează un vector format din coeficienţii unui polinom,

primul element din vector fiind termenul liber. Pentru a apela la această funcţie trebuie

mai întâi selectată variabila de lucru;

Differentiate on Variable Procesorul simbolic permite calculul analitic al diferenţialei

unei expresii în raport cu variabila aleasă. Există două comenzi: Differentiate on

Variable pentru a diferenţia o expresie scrisă anterior, selectând variabila şi apoi

declanşând comanda; alta tastând semnul ?, care va crea pe ecran operatorul de derivare

- identic cu cel de la derivarea numerică, trebuind introduse în zonele marcate expresia

de derivat, respectiv variabila în raport cu care se derivează, declanşând apoi comanda

Evaluate Symbolially (sau Shift+F9). Pentru a calcula derivate de ordin superior fie se

26

MathCad 6 PLUS

repetă de ordinul dorit de ori operatorul de derivare, fie se introduce simbolul de

derivare de ordin superior apăsând combinaţia de taste Ctrl+Shift+?, după care se alege

din meniu comanda Evaluate Symbolially. Ca şi la derivarea numerică, la derivarea

simbolică în MathCad celelalte variabile din expresie (exceptând variabila în raport cu

care se face derivarea) sunt interpretate ca şi constante;

Integrate on Variable Pentru a calcula integrala nedefinită a unei expresii trebuie doar

selectată variabila de integrare şi apoi declanşată comanda Integrate on Variable.

Pentru a calcula o integrală definită trebuie creat operatorul de integrare prin tastarea

semnului &, apoi completând în zonele corespunzătoare expresia, respectiv variabila şi

limitele de integrare, după care se apelează din meniu Evaluate Symbolially. Dacă

limitele de integrare sunt nume de variabile sau numere fără punct zecimal, atunci se

încearcă găsirea expresiei simbolice sau numerice exacte - soluţia integrării. Dacă în

expresia de integrat este folosit punctul zecimal, atunci procesorul va realiza evaluarea

numerică, implicit cu 20 de cifre, a integralei. Dacă procesorul simbolic nu reuşeşte să

determine soluţia exactă a integralei nedefinite, respectiv valoarea exactă a integralei

definite, atunci apare mesajul "No closed form found integral". în cazul integralei

definite ne rămâne posibilitatea evaluării aproximative; Pentru aceasta ne plasăm pe

operatorul de integrare şi apăsăm tasta = declanşând rutina de calcul numeric

(aproximativ) al integralei;

27

MathCad 6 PLUS

Solve for Variable permite evaluarea simbolică a unei ecuaţii sau inecuaţii în raport cu

variabila specificată. Rădăcinile ecuaţiei sau inecuaţiei vor fi afişate într-un vector. Dacă

în expresia de evaluat este folosit punctul zecimal, atunci procesorul va realiza

evaluarea numerică, implicit cu 20 de cifre, a ecuaţiei;

Substitute for Variable permite substituirea unei expresii pentru o variabilă. Pentru

aceasta se copiază expresia de substituit în memoria tampon (clipboard), se tastează

variabila căreia dorim să-i substituim expresia, iar apoi se alege Substitute for

Variable. Substituirea expresiei pentru o variabilă este des utilizată în cazul în care se

lucrează cu expresii mari;

Expand to Series... dezvoltă o expresie în serie de puteri, în raport cu variabila

specificată;

Convert to Partial Fraction dezvoltă o expresie raţională într-o sumă de fracţii care au

ca numitor polinoame de gradul I sau II. Dacă această operaţie nu poate fi realizată,

expresia va fi rescrisă în forma iniţială;

Matrix Operations... conţine trei funcţii utilizate în operaţiile cu matrici:

- Transpose Matrix realizează operaţia de transpunere a unei matrici

(inversarea liniilor cu coloanele);

- Invert Matrix realizează operaţia de inversare a unei matrici pătratice

(numărul de linii egal cu numărul de coloane);

28

MathCad 6 PLUS

- Determinant of Matrix calculează (simbolic) determinantul unei matrici

pătratice;

Pentru aplicarea oricărei operaţii din cele trei, matricea căreia i se aplică operaţia

trebuie să fie marcată (printr-un dreptunghi cu laturile albastre);

Transforms conţine trei grupuri de comenzi:

- Fourier Transform evaluează transformata Fourier a unei funcţii, returnând

funcţia transformată în variabilă ;

- Inverse Fourier Transform evaluează transformata Fourier inversă a unei

funcţii. Rezultatul fiind o funcţie în variabilă t;

- Laplace Transform evaluează transformata Laplace a unei funcţii,

MathCad returnând o funcţie în variabilă s;

- Inverse Laplace Transform evaluează transformata Laplace inversă a unei funcţii,

rezultatul fiind o funcţie în variabilă t;

- Z Transform realizează transformarea z a unei funcţii, rezultatul fiind o

funcţie în variabilă z;

- Inverse Z Transform evaluează transformarea z inversă a unei funcţii,

rezultând o funcţie în variabilă n;

Derivation Format... permite alegerea formatului de prezentare a rezultatelor

simbolice, MathCad prezentând patru opţiuni posibile: Show derivations comments

care, dacă este selectat (check) prezintă un scurt comentariu privind calculul simbolic

29

MathCad 6 PLUS

efectuat; vertically, inserting lines realizează prezentarea comentariului (în cazul în

care opţiunea Show derivations comments selectată) şi a rezultatului simbolic pe

verticală, neafectând regiunile vecine, care sunt deja scrise în cadrul documentului,

practic rezultatul simbolic şi eventual comentariul aferent sunt inserate în document fără

a afecta celelalte regiuni; vertically, without inserting lines realizează afişarea pe

verticală a rezultatului simbolic a unei expresii şi eventual al comentariului aferent,

acestea putându-se suprapune peste regiunile apropiate expresiei în cauză; horizontally

afişează în dreptul expresiei de evaluat, comentariul (după caz) şi rezultatul evaluării;

Derive in Place dacă este selectat (check), înlocuieşte expresia de evaluat cu rezultatul

evaluării acestei expresii;

I.3.7. Meniul Window

Acest meniu conţine comenzi speciale pentru lucrul cu ferestre, precum şi pentru

crearea unei animaţii în MathCad. Meniul poate fi apelat prin apăsarea combinaţiei de

taste ALT+W şi se impune datorită modului de operare succesivă asupra mai multor

documente (fişiere cu extensia mcd).

Cascade realizează aranjarea în cascadă (suprapunere vizibilă) a documentelor active pe

ecran;

Tile Horizontal realizează aşezarea documentelor active pe coloană;

Tile Vertical realizează aşezarea documentelor alăturat (aliniate);

30

MathCad 6 PLUS

Arrange Icons

Zoom... permite modificarea mărimii cu care este prezentat un document;

Refresh (se poate apela tastând combinaţia de taste Ctrl+R) redesenează ecranul

MathCad, adică repetă afişarea datelor pentru a nu se atenua;

Animation este utilizat pentru crearea şi rularea animaţiei în MathCad şi conţine două

opţiuni:

- Create... permite crearea animaţiei în MathCad. Orice animaţie este realizată prin

modificarea valorilor variabilei FRAME. Aceste valori sunt specificate în dreptul opţiunilor

From (de la), respectiv To (la), specificându-se în acelaşi timp şi viteza de afişare a

cadrurilor, în dreptul opţiunii Frames/Sec. După setarea acestor mărimi se marchează

regiunea din cadrul documentului pe care dorim să o "animăm", iar apoi se apasă butonul

Animate, pe ecran derulându-se animaţia propriu-zisă. Animaţia astfel creată poate fi

salvată pentru vizualizări ulterioare. Pentru a se realiza salvarea animaţiei se apasă butonul

Save As... după care se introduce numele fişierului (acesta va avea extensia avi). în cazul

în care se doreşte părăsirea ferestrei Create Animation fără a se efectua salvarea

animaţiei create, se apasă butonul Cancel;

- Playback... este utilizat la vizualizarea unei animaţii MathCad;

Hide Palette dacă este selectat ( ) ascunde paleta matematică (adică nu o afişează pe

ecran);

Hide Tool Bar dacă este selectat ( ) ascunde bara cu unelte;

31

MathCad 6 PLUS

Hide Font Bar ascunde bara cu fonturile disponibile în MathCad;

Change Colors permite setarea culorilor pentru fundal (Background Color...), text

(Text Color...), expresii matematice (Equation Color...), pentru dreptunghiul plin care

evidenţiază o expresie (Equation Highlight Color...), precum şi pentru comentariile şi

adnotările realizate în cărţile electronice MathCad (Annotation Color...);

În partea inferioară a acestui meniu se găsesc numele documentelor deschise în

sesiunea de lucru curentă. Oricare din documentele prezentate pot fi activate prin apăsarea

unui click pe numele documentului dorit;

I.3.8. Meniul Books

Lăudabil pentru MathCad este faptul că pe lângă meniurile enumerate, la care se mai

adaugă şi meniul Help, există acest meniu, care îl detaşează de celelalte programe

utilizate pentru calculul numeric şi/sau simbolic (enumerate în introducerea acestei

lucrări) prin faptul că pune la dispoziţia utilizatorului două "cărţi electronice" care

conţin informaţii utile pentru orice utilizator, cum ar fi: formule matematice şi fizice,

tabele cu constante fizice şi chiar probleme (din diverse domenii) rezolvate cu

MathCad; şi un manual interactiv care va fi prezentat în cadrul acestui paragraf alături

de cele două cărţi electronice mai sus amintite.

32

MathCad 6 PLUS

Acest meniu poate fi apelat fie apăsând un click pe acesta, fie apăsând combinaţia de

taste ALT+B. La apelarea acestui meniu vor fi prezentate opţiunile din cadrul acestuia,

pe care le voi prezenta succint:

Oppen Book... deschide unul din fişierele (cărţile electronice) MathCad cu extensia

hbk (Deskref.hbk), Sampler.hbk, Tutorial.hbk, Qsheet.hbk);

History... prezintă acţiunile realizate cu ocazia "răsfoirii" cărţii electronice;

Search Book... ajută la căutarea rapidă a unui cuvânt din cartea electronică curentă;

Annotate Book şi Annotate Options permit realizarea unui comentariu (a unei

completări) în cartea electronică curentă. Aceste comentarii pot fi salvate;

Desktop Reference este una din cele patru cărţi electronice ataşate programului

MathCad. "Cartea" prezintă interactiv pe parcursul celor nouă capitole multe informaţii

din domeniul fizicii şi tehnicii (capitolele 1 şi 4 - 9) şi matematicii (capitolele 2 şi 3);

Book Sampler are un caracter mai general, fiind alcătuit din opt capitole mari grupate

pe domenii de interes, în care sunt rezolvate cu MathCad diverse probleme ce includ

rezolvări de ecuaţii şi sisteme de ecuaţii, calcul matriceal, calcul statistic, calcul integral

şi diferenţial etc. cu aplicaţii în inginerie, fizică, astronomie, chimie etc.

Tutorial este practic un "manual" al utilizatorului, care prezintă modul de lucru în

MathCad începând de la modul de prezentare al ecranului şi terminând cu modul de

editare şi formatare al textului, al expresiilor matematice (ecuaţii, matrici etc.), al

graficelor;

33

MathCad 6 PLUS

Cel de al patrulea manual (QuickSheets) va fi prezentat în cadrul paragrafului ce urmează.

Cu totul apreciabil este faptul că toate formulele, explicaţiile sau graficele din oricare din

aceste patru cărţi electronice pot fi inserate (introduse) în documentul utilizatorului pentru

a le experimenta sau folosi.

I.3.9. Meniul Help

Acest meniu conţine întreaga documentaţie de ajutor şi instruire în lucrul cu

MathCad. Meniul poate fi apelat fie prin apăsarea unui click pe acesta, fie prin apăsarea

combinaţiei de taste ALT+H. Comanda Help selectată va afişa fereastra de comenzi:

Index... (se poate apela tastând F1) furnizează o fereastră cu lista capitolelor MathCad

descrise în documentaţie. Putem alege capitolul dorit prin selecţia rândului respectiv din

cuprins sau putem folosi butoanele ce apar în partea de sus a ferestrei Help: Contents,

Search sau Back;

Keyboard... dă informaţiile necesare pentru a putea lucra în MathCad folosind doar

tastatura;

Using Help... cuprinde exact iniţierea din Windows Help;

QuickSheets... prezintă într-un mod cu totul deosebit lucrul cu MathCad prin

realizarea unor exemple ce scot în evidenţă marea majoritate a posibilităţilor de calcul

ale acestui program;

34

MathCad 6 PLUS

Technical Support... oferă soluţii la diversele dificultăţi ce pot apărea din motive

tehnice (la instalare, la tipărire etc.);

About Mathcad... afişează coperta de prezentare cu versiunea produsului şi numele

utilizatorului conform licenţei de cumpărare şi a declaraţiilor de la instalarea pachetului;

Tastând Shift+F1 putem trece în modul de lucru interogativ, în sistemul Help context

senzitiv. Cursorul uzual (un semn plus ceva mai mare decât cel din text - ca poziţie

rezultată prin click, respectiv săgeata ce indică deplasarea mouse-ului) este completat cu

un mare semn de întrebare. Deplasarea mouse-ului provoacă deplasarea împreună a săgeţii

şi a acestui semn de întrebare. în acest regim de lucru, comenzile nu se mai execută, ci

sunt explicate într-o fereastră specială. în acest mod se poate identifica sensul diverselor

comenzi. în particular, selecţia unuia din semnele de pe coloana din dreapta a ecranului

(simbolurile de lucru) produce apariţia unei scurte descrieri a acestui simbol şi a modului

de tastare în cadrul documentului. Ieşirea din acest mod interogativ de lucru, revenirea la

modul normal de construcţie al documentului şi de execuţie a comenzilor se realizează cu

tasta Esc, aşa cum apare menţionat pe rândul de jos al ecranului MathCad.

I.4. Paleta Matematică

Sub meniul principal se găseşte paleta pentru operatorii matematici, ce pot fi uşor

selectaţi cu ajutorul mouse-ului. Obţinerea unui operator se poate face şi de la tastatură

35

MathCad 6 PLUS

urmărind îndrumările din Help Keyboard... în continuare vom prezenta pe scurt

componentele paletei matematice:

Paleta aritmetică: conţine operatori şi simboluri aritmetice, cum ar fi: valoarea

absolută (|x|), ridicarea la putere (x

y

), inversarea (x

-1

), operatorii sinus, cosinus, tangentă,

logaritm zecimal, adunare, scădere, înmulţire, împărţire etc.;

Paleta de evaluare şi paleta booleană: conţine simboluri utilizate la evaluarea

numerică sau simbolică a expresiilor, simboluri specifice relaţiilor de echivalenţă şi a

relaţiilor de ordine;

Paleta grafică: permite alegerea unui tip de grafic din cele şapte prezentate;

Paleta pentru vectori şi matrici: conţine elementele necesare pentru crearea de

vectori şi matrici, precum şi principalii operatori ce acţionează asupra vectorilor şi

matricilor, cum ar fi de exemplu adunarea, înmulţirea, calculul determinantului,

transpusa etc.;

Paleta de calcul: este constituită din operatorii de derivare (de ordinul I sau de

ordin superior), integrare (integrala definită şi nedefinită), sumare, produs, limite;

Paleta de programare: conţine comenzi specifice modului de programare

algoritmică, cum ar fi Add Line (adaugă linie de program), If (dacă), For (pentru) etc.;

Paleta cu litere greceşti: conţine literele din alfabetul grecesc (, , , etc.);

36

MathCad 6 PLUS

Pentru a afla semnificaţia unui simbol din oricare din paletele prezentate, se aşează

săgeata mouse-ului pe simbolul dorit şi se aşteaptă 2 - 3 secunde, după care va apare o

scurtă descriere a simbolului respectiv.

I.5. Bara cu unelte

în bara cu unelte se regăsesc multe din comenzile întâlnite în cadrul meniurilor

principale, cum sunt: New, Open, Save, Print [1.3.1], Undo Last Edit, Cut, Copy, Paste,

Align Horizontal, Align Vertical [1.3.2], Create Text Region, Create Text Paragraph,

Check Spelling [1.3.3.], Automatic Mode, Live Symbolics, Calculate, Choose Function

[1.3.4.], Zoom [1.3.7.], Insert Unit [1.3.4], Qick Sheets şi Help [1.3.9] care au fost deja

prezentate în cadrul paragrafelor aferente acestor meniuri.

I.6. Bara pentru fonturi

Bara pentru fonturi este aşezata în general, sub paleta matematică şi bara cu unelte, însă

oricare dintre acestea poate fi mutată, cu ajutorul mouse-ului într-un alt loc din cadrul

ecranului MathCad. în bara pentru fonturi se găsesc toate opţiunile necesare formatării

unui font (o colecţie completă de litere, cifre, semne de punctuaţie şi caractere speciale).

Prin formatarea unui font înţelegând stilul caracterului, grosimea, dimensiunea etc.

Bara pentru fonturi poate fi utilizată atât în formatul matematic cât mai ales în

format text, obţinându-se un document cât se poate de elegant.

37

MathCad 6 PLUS

I.7. Linia de mesaj

Linia de mesaj este aşezată în partea inferioară a ecranului MathCad şi este alcătuită din

cinci regiuni, pe care le voi prezenta pe scurt începând din stânga ecranului. Prima regiune

oferă diverse comentarii şi informaţii cu privire la acţiunea curentă din cadrul

documentului, a doua regiune specifică modul în care MathCad efectuează calculele (auto

sau manual), următoarea regiune prezintă starea tastaturii; dacă tastatura este comutată pe

scrierea cu litere mari (Caps Lock este activat) atunci în această regiune va fi afişat

cuvântul CAP. A patra regiune specifică dacă este activat de la tastatură Num Lock

(permiţând folosirea tastelor din partea dreaptă a tastaturii); dacă acesta este activat în

această regiune va apare scris cuvântul NUM, iar ultima regiune prezintă pagina curentă

din cadrul documentului MathCad.

II. ARITMETICA

Ne propunem să arătăm, prin exemple modul de lucru al programului MathCad în

domeniul calculelor aritmetice, prezentând unde este posibil şi evaluarea simbolică a

rezultatelor.

II.1. Operaţii aritmetice simple

38

MathCad 6 PLUS

Vom prezenta, în continuare operaţiile elementare dintre două numere arbitrar alese:

a şi b. Pentru obţinerea semnului de atribuire se poate folosi fie simbolul : = din paleta de

evaluare, fie,, mai simplu, prin apăsrea semnului : de la tastatură

a 23.4 b 78

Suma: =a b 101.4

Diferenţa: =a b 54.6

Produsul: =.a b 1.825 103

Câtul: =a

b0.3

Rădăcina pătrată: =a 4.837 =b 8.832

Radical de ordinul n: n 3

=a

1

n2.86 =b

1

n4.273

Ridicarea la putere: =ab

6.293 10106

II.2. Funcţii trigonometrice fundamentale (argument în radiani)

Vom calcula valorile pentru funcţiile trigonometrice fundamentale pentru un

argument dat în radiani, de exemplu: x 3.34

=sin( )x 0.197 =sec( )x 1.02

=cos( )x 0.98 =csc( )x 5.073

39

MathCad 6 PLUS=tan( )x 0.201 =cot( )x 4.974

r ..,.2 .2 0.025 .2

5 0 51

0

1

Funcţia SinusFuncţia CosinusFuncţia Tangentă

Sin, Cos, şi Tan, -2 la 2

x

40

MathCad 6 PLUS

II.3. Funcţii trigonometrice fundamentale (argument în grade)

Vom calcula valorile pentru funcţiile trigonometrice fundamentale pentru un

argument dat în grade, de exemplu: x 300

x .x deg

=sin( )x 0.866 =csc( )x) 1.155

=cos( )x 0.5 =sec( )x 2

=tan( )x 1.732 =cot( )x 0.577

r ..,.360 deg .358.7 deg .360 deg

Evident, în MathCad, sunt definite şi arcele acestor funcţii trigonometrice.

200 0 200

Funcţia SinusFuncţia CosinusFuncţia Tangentă

Sin, Cos, şi Tan, -360° la 360°

Funcţia CosecsantăFuncţia SecantăFuncţia Cotangentă

Csc, Sec, şi Cot, -360° la 360°

x

deg

II.4. Logaritmul natural şi logaritmul zecimal

Calculăm logaritmul natural şi logaritmul zecimal dintr-un număr pozitiv, de exemplu:

41

MathCad 6 PLUS

x 5.67

Logaritmul natural: =ln( )x 1.735

Logaritmul zecimal: =log( )x 0.754

Dacă r ia valorile: 0.1,0.2.. 100, adică:

r ..,0.1 0.2 100

atunci se poate realiza graficul următor, realizat în scara logaritmică pe axa ordonatelor. în

plus s-au mai evidenţiat şi valorile logaritmului pentru valoarea x dată, în cele două baze.

0.1 1 10 1004

2

0

2

4

6

Log naturalLog în baza 10ln(x)log(x)

Logaritmul natural şi zecimal, 0.1-1001

x

42

MathCad 6 PLUS

II.5. Logaritmul într-o bază oarecare

Pentru calcularea logaritmului dintr-un număr real pozitiv într-o bază arbitrară se aplică

relaţiile matematice de transformare a logaritmului din baza e sau 10 pe care MathCad o

cunoaşte în baza dorită de utilizator. Astfel, dacă dorim calcularea logaritmului din

numărul x := 12.78 în baza b := 2, atunci utilizând relaţiile de transformare amintite, vom

avea:

de unde rezultă pentru valorile

noastre:

Dacă reprezentăm din nou grafic pe scara

logaritmică, logaritmul în baza b pentru valorile

lui r specificate în paragraful precedent, obţinem

graficul de mai jos.

logb( ),b xln( )x

ln( )b=logb( ),b x 3.676

0.1 1 10 100

0

5

log în baza blog în baza 10logb(x)log(x)

Logaritmul în baza b şi 10, 0.1 - 100

x

43

MathCad 6 PLUS

Din nou, sunt puse pe grafic şi cele două valori ale logaritmului din x în baza b, respectiv

10, evidenţiate pe grafic, conform legendei din subsolul graficului, cu un pătrăţel roşu

pentru valoarea logaritmului în baza b şi cu un romb albastru pentru valoarea logaritmului

zecimal din x.

II.6.Descompunerea în factori primi

Pentru găsirea factorilor primi pentru un număr întreg dat, se utilizează modul de calcul

simbolic. Astfel, pentru numărul întreg:

vom obţine tastând comanda factor:

Comanda factor transformă expresia din stânga semnului de egal simbolic () într-un

produs de factori primi, dacă expresia este un număr întreg, într-un produs de polinoame,

dacă expresia este un polinom şi într-o singură fracţie, dacă avem o sumă de expresii

raţioanle.

II.7. Operaţii elementare cu numere complexe

int 25478664365757

int ...( )3 ( )431 ( )23929 ( )823481

44

MathCad 6 PLUS

Cele mai simple operaţii, specifice numerelor complexe, sunt găsirea complex

conjugatului şi a normei unui număr complex. Aşa cum este cunoscut, un număr complex

este format dintr-o parte reală şi o parte imaginară. Considerăm, de exemplu, că partea

reală a unui număr complex este:

rl 23.4

iar partea imaginară:

im 16.67

în acest caz, numărul complex va fi:

c rl .im 1i

unde 1i reprezintă coeficientul imaginar. Pentru scrierea unităţii imaginare, se tastează 1i

sau 1j.

Prin urmare, forma numărului complex c este:

=c 23.4 + 16.67i

Conjugatul acestui număr complex, este:

=( )c 23.4 16.67i

iar norma acestuia va fi:

=c 28.731

simbolurile utilizate pentru complex conjugare şi normă au fost preluate din paleta de

vectori şi matrici.

Se poate reprezenta uşor în planul complex, atât numărul complex, cât şi conjugatul său:

45

MathCad 6 PLUS

35.1 17.55 0 17.55 35.120

0

20

Numărul complexComplex conjugatul

Numere în Planul Complex

0

0

II.8. Calcularea coeficienţilor binomiali

Pentru calcularea coeficienţilor binomiali se utilizează formula matematică:

Cn

k n knk !

!( )!

De exemplu, pentru n := 237 şi k := 130, vom avea:

C( ),n k

= 1

k

i

n i 1

i

de unde putem obţine un rezultat aproximativ:

=C( ),n k 3.757 1069

Dacă dorim un rezultat simbolic, atunci vom scrie:

C( ),n k!n

.!k !( )n k

din care obţinem rezultatul simbolic aşteptat:

C( ),n k 3756771179454002188724261167483024610261112949257976850719675590616362

II.9. Găsirea CMMDC a două numere întregi

46

MathCad 6 PLUS

Pentru găsirea celui mai mare divizor comun a două numere întregi: a := 414 şi b := 662 se

poate utiliza un program MathCad recursiv, ca cel prezentat mai jos:

GCD( ),x y ify x 0

otherwiseGCD( ),mod( ),y x x

Pentru realizarea unui astfel de program, s-au utilizat opţiunile oferite de paleta de

programare, unde if (dacă) este instrucţiunea de condiţionare, iar mod(y,x) returnează restul

împărţirii lui y la x.

Prin urmare, pentru valorile date obţinem:

=GCD( ),a b 2

III. OPERAŢII CU VECTORI ŞI MATRICE

MathCad permite efectuarea tuturor operaţiilor cu vectori şi matrice definite în algebră. în

paragrafele ce vor urma, voi în cerca prezentarea succintă a principalelor operaţii de acest

fel.

III.1. Operaţii cu matrici pătratice

Operaţiile asupra matricilor pătratice, cele mai des utilizate sunt transpunerea şi inversarea,

precum şi găsirea determinantului, a valorilor proprii şi a vectorilor proprii.

Pentru a înţelege modul de aplicare a acestor operaţii, să considerăm următoarele exemple:

47

MathCad 6 PLUS

Vom defini matricea pătratică (numărul liniilor este egal cu numărul coloanelor) a cărei

elemente sunt numere reale:

M

8

7

3

2

7

1

0

4

3

0

5

9

2

4

9

2

şi vom calcula inversa acestei matrici, astfel:

=M1

0.002

0.132

0.051

0.029

0.132

0.156

0.027

0.059

0.051

0.027

0.019

0.083

0.029

0.059

0.083

0.037

Matricea transpusă, va fi:

=T

( )M

8

7

3

2

7

1

0

4

3

0

5

9

2

4

9

2

Determinantul matricei M este:

=M 5.361 103

în plus, mai putem găsi cel mai mic şi cel mai mare element din matrice:

=max( )M 9

=min( )M 5

Vectorul propriu, este:

=eigenvecs( )M

0.495

0.838

0.142

0.181

0.385

0.026

0.576

0.721

0.766

0.536

0.047

0.352

0.144

0.098

0.804

0.569

iar valorile proprii ale matricei sunt:

48

MathCad 6 PLUS

=eigenvals( )M

3.994

8.268

13.634

11.908

III.2. Extragerea liniilor şi coloanelor dintr-o matrice dată

Să considerăm o matrice, care nu este neapărat nevoie să fie pătratică:

M

12

8

7

3

2

2

7

1

0

4

14

3

0

5

9

9

2

4

9

2

Numărul de coloane al acestei matrici se obţine cu comanda cols, iar numărul de linii cu

comanda rows, astfel vom avea pentru matricea dată:

=cols( )M 4

=rows( )M 5

Să presupunem acum, că vrem să extragem din această matrice, linia 3 şi coloana 4, dacă

primul element din matrice este de tipul M00

(adică, ORIGIN 0). Astfel, utilizând opţiunile

din paleta pentru vectori şi matrici, obţinem:

=< >

M3

9

2

4

9

2

=

T< >T

M4

2 4 9 2( )

49

MathCad 6 PLUS

şi

III.3. Tabelarea valorilor unei funcţii

Pentru a ilustra modul elegant în care MathCad realizează un tabel cu valorile unei

funcţii, să considerăm următoarea funcţie:

=< >

M3

9

2

4

9

2

şi intervalul de valori al lui x, specificat de prima valoare, ultima valoare şi evident,

numărul total de valori ale lui x.

a 5 b 5

n 20

Astfel, valorile pe care le ia variabila x, vor fi:

r ..,a ab a

n 1b

50

MathCad 6 PLUS

Aceste valori sunt: iar valorile funcţiei pe acest interval, vor

fi:

f( )r

0.0000075

0.0000902

0.000827

0.0057494

0.0303001

0.1210487

0.3665836

0.8415551

1.4644985

1.9319332

1.9319332

1.4644985

0.8415551

0.3665836

0.1210487

0.0303001

0.0057494

0.000827

0.0000902

0.0000075

MathCad nu prezintă în tabel decât maxim 50 de valori.

Pentru obţinerea rezultatelor tabelate, în cazul lui r, s-a tastat variabila r urmată apoi de

semnul =.

III.4. Crearea unei matrici a cărei elemente sunt valorile unei funcţii

Pentru a crea o astfel de matrice, să luăm următorul exemplu:

Considerăm o funcţie de două variabile:

f( ),x y sin( ).x y

r

5

4.474

3.947

3.421

2.895

2.368

1.842

1.316

0.789

0.263

0.263

0.789

1.316

1.842

2.368

2.895

3.421

3.947

4.474

5

51

MathCad 6 PLUS

Ca în cazul precedent, vom crea domeniul de valori pentru cele două variabile:

şi

şi:

i ..0 xn 1 xindi xa .ixb xa

xn 1

j ..0 yn 1 yindj ya .jyb ya

yn 1

Astfel că, elementele matricei vor fi:

M ,i j f ,xindi yindj

0 5 10 15

0

10

20

300.50

0.5

M

Pentru a evidenţia graficul 3D, se alege din paleta grafică Create 3D Scatter Plot.

xa .2 xb .2

xn 40

ya yb

yn 20

=M

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0.777 -0.928 0.124 0.807 -0.908 0.075

-0.122 -0.866 0.798 0.244 -0.988 0.526

-0.906 -0.142 0.988 -0.431 -0.739 0.859

-0.838 0.692 0.581 -0.908 -0.243 0.998

0.018 0.995 -0.178 -0.966 0.334 0.912

0.857 0.537 -0.83 -0.579 0.8 0.621

0.891 -0.333 -0.979 0.075 0.998 0.189

0.087 -0.947 -0.535 0.694 0.864 -0.285

-0.799 -0.837 0.232 0.994 0.441 -0.695

-0.933 -0.085 0.859 0.836 -0.129 -0.949

-0.191 0.731 0.966 0.292 -0.656 -0.988

0.731 0.988 0.488 -0.386 -0.964 -0.804

52

MathCad 6 PLUS

IV. REZOLVAREA ECUAŢIILOR

Printre multele avantaje ale acestui program se include şi capacitatea acestuia de rezolvare

a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii liniare sau neliniare, MathCad oferind o serie de

procedee de determinare a soluţiilor acestora.

IV.1. Găsirea soluţiilor unei ecuaţii pătratice

Pentru calcularea zerourilor unui polinom, să considerăm următorul exemplu:

Fie a, b şi c coeficienţii unei ecuaţii de gradul doi, astfel încât: ax

2

+bx+c=0, unde:

a 1 b 2 c 8

iar:

vT

( )c b a r polyroots( )v

Comanda polyroots returnează un vector, care conţine toate rădăcinile polinomului, a cărui

coeficienţi sunt definiţi prin vectorul v.

Rădăcinile acestei ecuaţii vor fi:

Aceasta poate fi verificat uşor, prin înlocuirea acestor valori în ecuaţie, astfel:

=r2

4

53

MathCad 6 PLUS

=f r0 0 =f r1 0

în acest caz, se poate realiza şi o reprezentare grafică, în planul real a funcţiei:

f( )x .a x2 .b x c

Astfel, vom nota cu mx, valoarea cea mai mare a părţii reale a soluţiilor ecuaţiei:

mx max ( )Re( )r 1

Pentru domeniul de valori al lui x:

x ..,.1.5 mx .1.5 mx.3 mx

100.1.5 mx

Graficul va fi:

5 0 550

0

50

100f(x) şi Rădăcinile Reale

0

r0 r1

IV.2. Rezolvarea ecuaţiilor cu o singură necunoscută

Pentru găsirea soluţiei unei ecuaţii date, să considerăm ca exemplu, următoarea ecuaţie:

f( )x x3

ex

Pentru rezolvarea numerică cât mai exactă, trebuie specificată o valoare a lui x pentru care

funcţia f(x) să fie aproximativ zero.

De exemplu,

Astfel,

x 3

54

MathCad 6 PLUS

soln root( ),f( )x x

Unde root returnează valoarea lui x pentru care f(x) = 0.

Pentru găsirea soluţiilor complexe, se alege ca valoare iniţială pentru x un număr complex.

Pentru exemplul nostru, vom obţine soluţia:

=soln 0.773

Pentru reprezentarea grafică, vom alege pentru x următorul domeniu de valori:

x ..,.1.5 soln .1.5 soln.3 soln

100.1.5 soln

Astfel, vom obţine următorul grafic:

1 0 12

0

2

4

6Soluţiile reale pt. f(x)

0

soln

IV.3. Rezolvarea sistemului de ecuaţii liniare

Să considerăm, pentru exemplificare următorul sistem de ecuaţii:

.0.3 w .0.2 x .6.6 y .1.1 z 1

.4.5 w .1.8 x .0.3 y .6.5 z .1

.7.3 w .9.7 x .10.9 y .4.1 z .01

.8.1 w .2.7 x .8.7 y .8.9 z .001

55

MathCad 6 PLUS

Acestui sistem îi putem asocia matricea formată din coeficienţii sistemului:

şi vectorul

Pentru ca sistemul de ecuaţii să aibă soluţie unică este necesar ca determinantul matricii

formată din coeficienţii sistemului să fie diferit de zero, adică matricea M să fie

nesingulară.

Pentru obţinerea soluţiei se apelează la funcţia MathCad lsolve care va afişa într-un vector

coloană soluţiile sistemului de ecuaţii liniare. În exemplul nostru:

şi soluţiile vor fi:

=soln

3.937

2.975

0.746

1.952

IV.4. Rezolvarea sistemului de ecuaţii neliniare

56

v

1

0.1

0.01

0.001

soln lsolve( ),M v

MathCad 6 PLUS

Pentru rezolvarea unui sistem de ecuaţii sau inecuaţii neliniare, se introduc valorile iniţiale

pentru variabilele din sistem, iar apoi în blocul de rezolvare MathCad se scriu ecuaţiile ce

compun sistemul, ca în exemplul următor:

x 1 y 1 z 0

Given

.2 x y 5 .2 z2

y3 .4 z 4

.x y z ez

vec Find( ),,x y z

Blocul de rezolvare constă în câteva ecuaţii scrise între comenzile Given şi Find sau Minerr.

Într-un bloc de rezolvare, se utilizează semnul de egal simbolic, care se obţine prin

apăsarea combinaţiei de taste ([Ctrl]=). Funcţia Find(x,y,z,...) returnează un vector care

conţine soluţiile care satisfac la sistemul de ecuaţii sau inecuaţii din blocul de rezolvare. În

cazul exemplului nostru, vom obţine:

=vec

1.422

0.975

0.768

V. REALIZAREA GRAFICELOR

57

MathCad 6 PLUS

Selectând comanda Graphics avem posibilitatea de a defini regiuni grafice. În MathCad

pot fi reprezentate grafic: funcţii, curbe plane, suprafeţe în spaţiu (prin familii de curbe

figurate în proiecţie axonometrică). În plus, există o serie de opţiuni pe care le-am

prezentat deja, care permite realizarea unui format plăcut pentru toate tipurile de grafice

oferite de acest program.

V.1. Trasarea graficului unei funcţii de o singură variabilă

Pentru realizarea unui grafic bidimensional, se selectează opţiunea Create X–Y Plot din

meniul Graphics.

Să considerăm următorul exemplu, în care urmărim să trasăm graficul funcţiei:

f( )x .2 x 3 sin( )x2

în intervalul: [-r1,r1] şi [-r2,r2], unde:

r1 20 r2 5

iar numărul de puncte pe fiecare interval este,

n 100

atunci,

x ..,r1 r1r1

nr1 x' ..,r2 r2

r2

nr2

şi cele două grafice vor fi:

58

MathCad 6 PLUS

5 0 5

5

5f(x) pe intervalul [-r2,r2]

5

r2

f( )x'

5r2 x'

V.2. Trasarea graficului unei funcţii de o singură variabilă şi a derivatei de

ordinul întâi

Vom considera, spre exemplu funcţia:

f( )x( ).sin( )x cos( )x

3

x

Ca în cazul precedent, pentru realizarea graficelor funcţiei, respectiv derivatei de ordinul

întâi în raport cu variabila x vom alege opţiunea Create X–Y Plot din meniul Graphics.

Şi în acest caz trebuie specificat intervalul în care dorim să realizăm graficul:

r .5

precum şi numărul de puncte reprezentate pe cele două grafice:

n 50

Astfel, x va lua valorile:

x ..,r rr

nr

Cele două grafice vor avea următoarea formă:

59

20 0 20

20

20f(x) pe intervalul [-r1,r1]

r1

r1

f( )x

r1r1 x

MathCad 6 PLUS

x ..,r rr

nr

0.5 0 0.5

0.5

0.5f(x) pe intervalul [-r,r]

Pentru realizarea graficului primei derivate a funcţiei f(x), s-a utilizat operatorul MathCad

de derivare (Shift+?), astfel că în pătrăţelul din stânga regiunii grafice se va scrie: d

dxf( )x

iar în pătrăţelul din subsolul graficului se va scrie variabila x.

V.3. Reprezentarea grafică a punctelor specificate într-o matrice

Pentru a pune pe un grafic bidimensional perechile de coordonate (x,y), acestea trebuiesc

specificate într-o matrice (n x 2), unde n reprezintă numărul de perechi (x,y).

Pentru realizarea unei matrici se poate folosi combinaţia de taste (Ctrl+M), în urma căreia

va apare o fereastră în care se cere introducerea numărului de linii respectiv, de coloane

ale matricei.

Vom alege în continuare ca exemplu, matricea:

unde, pe prima coloană sunt reprezentate valorile coordonatei x,

iar pe a doua coloană valorile coordonatei y aferente.

60

0.5 0 0.5

0.5

0.5f'(x) pe intervalul [-r,r]

Coords

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8

6

5

4.2

2

0

9.99

6

2

1

MathCad 6 PLUS

În acest caz, valorile lui x, respectiv y, vor fi:

y< >

Coords1

x< >

Coords0

unde operatorul de extragere a unei coloane dintr-o matrice se

obţine prin apăsarea combinaţiei de taste (Ctrl+6).

Numărul de perechi de coordonate (x,y), va fi:

n length( )x

unde funcţia length(x) furnizează numărul de elemente al vectorului x.

i ..0 n 1 r 20

unde indicele i ne permite localizarea unui element din vectorul x sau y, iar prin r este

specificat intervalul de prezentare al graficului pe care sunt evidenţiate perechile de puncte

(x,y). Astfel, graficul, apelat cu combinaţia de taste (Shift+2) va avea urătoarea formă:

Domeniul de prezentare: [-r,r]

yi

xi

V.4. Trasarea curbelor parametrice

61

MathCad 6 PLUS

Dacă avem două funcţii x şi y care depind de acelaşi parametru t, atunci se poate pune uşor

în evidenţă depndenţa y = y(x). Pentru a exemplifica acest lucru, să considerăm două

funcţii:

x( )t sin( ).2 t

y( )t sin( ).3 t

unde t ia valorile:

În acest caz, dependenţa y = y(x) va avea forma:

1 0 1

1

0

1

Curba Paramericã

y( )t

x( )t

V.5. Trasarea curbelor funcţiilor de două variabile

MathCad pune la dispoziţia utilizatorului mai multe tipuri de reprezentări grafice pentru

funcţiile de două variabile; În continuare voi încerca să le prezint evident, sub forma unor

exemple propriu-zise.

Pentru a realiza graficul unei curbe plane, să considerăm următorul exemplu:

62

t ..,0 .1 .3

MathCad 6 PLUS

f( ),x y cos( )x sin( )y

Intervalul de valori pentru x, îl vom specifica prin limita inferioară a intervalului şi limita

superioară, astfel:

xmin 0 xmax .2

iar, numărul de diviziuni din acest interval îl vom lua:

xn 20

Procedân la fel şi pentru y vom scrie:

ymin 0 ymax .2

iar,

yn 20

i ..0 xn 1 xindi xmin .ixmax xmin

xn 1

j ..0 yn 1 yindj ymin .jymax ymin

yn 1

După definirea indicilor i şi j, putem scrie şi matricea M formată din valorile funcţiei f

determinate de elementele xindi

şi yindj

.

M ,i j f ,xindi yindj

Utilizând opţiunea Create Contour Plot din meniul Graphics, vom putea realiza graficul

pe care ni l-am propus.

63

MathCad 6 PLUS

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

M

V.6. Desenarea suprafeţei de rotaţie

Pentru desenarea unei suprafeţe de rotaţie, să considerăm ca axă de rotaţie axa Ox şi să

luăm ca exemplu funcţia:

f( )x .x sin( )x2

unde x ia valori din intervalul limitat de parametrii a şi b:

a b 2

Definind indicii i şi j:

xn 40 rn 25

i ..0 xn j ..0 rn

vom avea,

ri a .b a

xni sj

..2 j

rn

iar variabilele care sunt răspunzătoare de transformarea efectuată vor fi:

X ,i j ri

64

MathCad 6 PLUS

Y ,i j.f ri cos sj

Z ,i j.f ri sin sj

Funcţia f(x) în intervalul specificat, va avea forma:

2 0 22

0

2

iar, suprafaţa de rotaţie va fi, în acest caz cea prezentată mai jos:

,,X Y Z

Pentru realizarea graficul suprafeţei de rotaţie s-a utilizat opţiunea Create Surface Plot

din meniul Graphics.

V.7. Distribuirea spaţială a punctelor definite de trei vectori

Pentru a realiza distibuţia punctelor (Xi,

Yi,

Zi,

) vom introduce numărul total de puncte pe

care dorim să le reprezentăm, de exemplu:

65

MathCad 6 PLUS

N 60

atunci,

Acum, vom putea defini vectorii X, Y, Z, care în exemplul nostru îi vom lua de următoarea

formă:

Xi cos ..i

N6 Yi sin ..i

N6 Zi

..i

N6

Pentru realizarea graficului care ne dă distribuirea punctelor (Xi,

Yi,

Zi,

) se alege opţiunea

Create 3D Scatter Plot din meniul Graphics. Graficul va avea următoarea formă:

1 0 11

01

0

5

10

15

,,X Y Z

V.8. Realizarea câmpului de gradient a unei funcţii de două variabile

Pentru punerea în evidenţă a unui astfel de grafic, să considerăm ca exemplu următoarea

funcţie:

f( ),x y .sin( )x cos( )y

unde intervalul de valori, respectiv numărul de puncte pentru variabilele x şi y sunt:

66

i ..0 N 1

MathCad 6 PLUS

xmin 2 xmax 2 xn 20

ymin 4 ymax 4 yn 20

Funcţia gradient (obţinută în urma aplicării operatorului gradient asupra funcţiei f(x,y)) va

fi:

grad( ),x y

d

dxf( ),x y

d

dyf( ),x y

i ..0 xn 1 xindi xmin .ixmax xmin

xn 1

j ..0 yn 1 yindj ymin .jymax ymin

yn 1

Reprezentarea grafică a gradientului va fi determinată de elementele matricei:

V ,i j grad ,xindi yindj

sauM ,i j V ,i j 0

N ,i j V ,i j 1

Pentru a realiza un astfel de grafic, se alege opţiunea Create vector field plot din meniul

Graphics.

67

MathCad 6 PLUS

1 0.5 0 0.5 1

1

0.5

0

0.5

1

,M N

În plus, se mai poate evidenţia uşor şi suprafaţa descrisă de o astfel de funcţie, prin

alegerea

din meniul Graphics a opţiunii Create

Surface Plot.

unde,

F ,i j f ,xindi yindj

VI. PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ REZOLVATE CU

MATHCAD

Pentru rezolvarea problemelor de analiză matematică ce implică metode de calcul al

derivatelor, integralelor, a limitelor într-un punct etc., MathCad pune la dispoziţia

utilizatorului posibilitatea rezolvării acestor probleme atât numeric, cât şi simbolic. În plus,

MathCad oferă şi o serie de metode de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale.

68

0 5 10 150

510

15

0.5

0

0.5

F

MathCad 6 PLUS

VI.1. Calcularea derivatei unei funcţii într-un punct

Pentru evaluarea numerică a derivatei une funcţii într-un punct, să considerăm ca exemplu,

următoarea funcţie:

f( )x .2 x 3 cos( )x2

la care vrem să-i determinăm valoarea derivatei de ordinul întâi în punctul:

x 6

Pentru obţinerea simbolului de derivare se poate utiliza fie paleta de calcule, de unde se

alege simbolul aferent derivatei de ordinul întâi, fie se tastează combinaţia (Shift+?).

În punctul specificat, pentru acest exemplu, se obţine:

=d

dxf( )x 1.463

Pentru determinarea valorii derivatei de ordin superior a funcţiei în acelaşi punct, se alege

din paleta de calcule prezentă pe ecranul de lucru, simbolul derivatei de ordin superior. În

acest caz, vom avea:

n 3 =d

d

n

nxf( )x 2.146

unde n reprezintă ordinul derivatei.

Observaţii:

1. funcţia de derivat poate fi reală sau complexă;

2. derivata se face în raport cu o singură variabilă;

69

MathCad 6 PLUS

3. în cazul în care în punctul fixat, funcţia nu este derivabilă, pe ecran apare mesajul: not

converging.

În cazul în care dorim obţinerea unui rezultat simbolic, se va scrie:d

dxf( )x 2 ..2 cos( )x sin( )x

unde evident, am folosit semnul de egal simbolic () din MathCad.

Determinarea în mod simbolic a derivatei de ordin superior, se face analog celei de ordinul

întâi, doar că se alege din paleta de calcule simbolul operatorului de derivare multiplă.

n 5 d

d

n

nxf( )x ..32 cos( )x sin( )x

VI.2. Integrala definită a unei funcţii

Pentru evaluarea numerică a integralei definite a unei funcţii de o singură variabilă, să

considerăm spre exemplificare următoarea funcţie:

f( )x .2 x 3 cos( )x2

pe care dorim să o integrăm pe intervalul [a,b], unde:

a 23 b 1.2

Pentru obţinerea simbolului de integrală definită, se poate apela fie la paleta de calcule, fie

se tastează combinaţia (Shift+6). Astfel, vom obţine:

=da

b

xf( )x 442.466

Evident, operatorul de integrare poate fi aplicat funcţiei f de câte ori este necesar.

70

MathCad 6 PLUS

Ca şi în cazul derivatei, se poate determina pentru integrarea unei funcţii forma simbolică

a reultatului, atât în cazul integralei definite cât şi în cazul integralei nedefinite. Pentru

exemplificare, să considerăm funcţia:

f( )x .ex

cos( )x

Pentru calcularea integralei nedefinite, se alege din paleta de calcule simbolul integralei

nedefinite şi utilizând semunl () vom obţine rezultatul simbolic al integralei:

dxf( )x ..1

2exp( )x cos( )x ..1

2exp( )x sin( )x

VI.3. Dezvoltarea unei funcţii în serie de puteri

Pentru dezvoltarea unei funcţii în serie de puteri, se utilizează cuvântul-cheie series care se

pune înaintea specificării valorii în jurul căreia se face dezvoltarea. Să considerăm, spre

exemplificare funcţia:

f( )x exp( )x

Pentru specificarea valorii în jurul căreia are loc dezvoltarea se utilizează semnul de egal

logic (=):

series ,x 0 7

Prima cifră reprezintă valorea în jurul căreia are loc dezvoltarea în serie, iar a doua valoare

este folosită pentru specificarea numărului de termeni ai dezvoltării.

Astfel, termenii seriei vor fi:

f( )x 1 x .1

2x

2 .1

6x

3 .1

24x

4 .1

120x

5 .1

720x

6

71

MathCad 6 PLUS

VI.4. Calculul limitei unei funcţii într-un punct

MathCad permite găsirea limitei unei funcţii într-un punct în mod simbolic, avân în plus

posibilitatea de a calcula această limită la dreapta sau la stânga. Pentru a exemplifica

aceste lucruri, să considerăm următoarea funcţie:

f( )xsin( )x

x

la care vrem să-i determinăm limita, limita la stânga şi limita la drepata în punctul:

p 0

Pentru a determina aceste limite se vor alege din paleta de calcule simbolurile aferente

pentru cele trei tipuri de limite.

Limita bidirecţională a funcţiei în puntul p:

limpx

f( )x 1

Limita la stânga:

lim-px

f( )x 1

Limita la dreapta:

lim+px

f( )x 1

VI.5. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

72

MathCad 6 PLUS

În funcţie de tipul de ecuaţii diferenţiale ce se rezolvă, MathCad oferă o serie de

posibilităţi de determinare numerică a soluţiilor acestor ecuaţii prin folosirea diferitelor

proceduri. Astfel, pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare se poate utliza funcţia

rkfixed(y,x1

, x2

,n,D), unde:

y este un vector ce conţine cele n valori iniţiale ale problemei;

x1

, x2

reprezintă intervalul în care se calculează soluţiile ecuaţiei;

n specifică numărul de puncte din intervalul [x1

, x2

] în care se evaluează soluţiile

ecuaţiei diferenţiale;

D este un vector de n elemente care conţine derivatele de la ordinul 1 până la ordinul n

a funcţiei necunoscute;

Pentru exemplificare, să considerăm ecuaţia:

x'' 2x' x 0

Pentru găsirea soluţiei x(t), să considerăm că la valoarea:

t 1

x( )t 2

x'( )t 3

Cu aceste valori vom putea construi vectorul X care să reflecte condiţiile iniţiale ale

ecuaţiei (problema Cauchy):

X2

3

Vectorul care conţine derivatele de ordinul întâi şi doi a funcţiei x, va avea forma:

73

MathCad 6 PLUS

D( ),t XX1

.2 X1 X0

Aplicând funcţia MathCad, rkfixed, care rezolvă pe cale numerică, prin metoda Runge-

Kutta ecuaţiile diferenţiale de acest tip, vom avea:

Z rkfixed( ),,,,X t t m n D

Pentru a da o interpretare mai intuitivă asupra soluţiei ecuaţiei, vom reprezenta grafic

funcţiile x(t), respectiv x’(t).

1 1.5 2 2.5

5

10

15

x(t)x'(t)

Reprezentare solutiilor numerice

t

x(t)

, x'(t

)

Aşa cum am mai spus, există o serie de funcţii MathCad destinate găsirii soluţiilor

ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale, printre care aş mai aminti doar: funcţia

Bulstoer, Stiffb, Stiffr, Rkadapt, bvalfit, sbval, etc. care, cu câteva excepţii se utilizează

analog exemplului prezentat.

VII. Analize de date în MathCad

VII.1. Interpolarea linară

74

MathCad 6 PLUS

Fiind dată o mulţime de puncte (xi

, yi

), prin interpolare liniară poate fi calculată valoarea

aproximativă corespunzând unei abscise date z. Dacă x şi y sunt două valori de aceeaşi

dimensiune, x fiind mulţimea absciselor, ordonate crescător, se caută două valori xi

, xi+1

care

învadrează valoarea z.

Funcţia de interpolare liniară este linterp(x,y,z), unde x,y sunt vectori, iar z este valoarea

unei abscise. Rezultatul aplicării funcţiei linterp este valoarea ordonatei punctului de

abscisă z, de pe dreapta ce trece prin punctele (xi

, yi

) şi (xi+1

, yi+1

).

Să luăm ca exemplu cazul în care într-un fişier cu numele dataex de pe discul fix avem

trecute pe două coloane valorile perechilor de puncte (xi

, yi

), astfel ca pe prima coloană să

fie valorile punctelor de pe abscisă, iar pe a doua coloană, valorile de pe ordonată. Pentru

a transporta aceste date în MathCad se utilizează comanda de citire din fişier READPRN.

Pentru aşezarea în ordine crescătoare a valorilor de pe abscisă, vom utiliza funcţia csort,

care permite ordonarea elementelor dintr-un vector oarecare.

data csort( ),data 0

După realizarea acestei ordonări, vom putea extrage din fişier cei doi vectori care

reprezintă valorile de pe abscisă, respectiv de pe ordonată utilizând simbolul aferent

acestei operaţiuni din paleta de vectori şi matrici.

X< >

data0

Y< >

data1

Aplicând funcţia de interpolare liniară, vom obţine:

75

MathCad 6 PLUS

fit( )x linterp( ),,X Y x

Astfel, putem determina pentru fiecare valoare a abscisei, valoarea ordonatei determinată

de funcţia de interpolare fit(x). Pentru două valori difrite, acestea vor fi:

=fit( )2 12.88 =fit( )7.71 28.412

i ..0 length( )X 1

0 5 10 15 200

50

100

Yi

fit Xi

Xi

VII.2. Funcţia de interpolare spline cubică

Fiind date punctele (xi

, yi

) prin interpolare spline cubică se construieşte o funcţie

continuă, care pe subintervale este un polinom de gradul trei, care în puctele xi

coincide cu

yi

, şi are în aceste puncte derivate de ordinul unu şi doi continue.

În MathCad interpolarea spline cubică se face în doi paşi:

Mai întâi cu funcţia cspline aplicată vectorilor x,y se calculează valorile derivatei s, în

punctele date;

76

MathCad 6 PLUS

Apoi, se aplică funcţia interp vectorului s, calculat în primul pas, precum şi vectorilor

x,y daţi. Pentru o abscisă fixată z, interp furnizează valoarea corespunzătoare a funcţiei

spline cubice;

Funcţia spline cubică de interpolare este o curbă netedă ce trece prin punctele date iniţial.

Fiecare segment de curbă dintre două puncte vecine corespunde unui alt polinom de gradul

trei. Vectorul s se calculează astfel încât funcţia să fie continuă şi cu derivate până la

ordinul doi continue. Pentru a afla valoarea corespunzătoare lui z, se stabileşte automat

intervalul în care se află z şi deci segmentul de curbă ce trebuie utilizat pentru aflarea

valorii fit(z).

Pentru exemplificare, să considerăm acelaşi fişier de date pe care l-am folosit şi în

paragraful precedent.

data READPRN( )dataex

După ordonarea valorilor de pe prima coloană, care sunt de fapt valorile abscisei şi

extragerea vectorilor X şi Y:

data csort( ),data 0 X< >

data0

Y< >

data1

vom putea determina valorile derivatei funcţiei spline cubice în punctele date:

s cspline( ),X Y

Astfel, vom putea obţine funcţia de interpolare:

fit( )z interp( ),,,s X Y z

77

MathCad 6 PLUS

Pentru diferite valori a lui z vom avea:

=fit( )2 13.775 =fit( )7.71 27.299

i ..0 length( )X 1 n 100

j ..0 n xj min( )X .jmax( )X min( )X

n

unde funcţia length(X) furnizează lungimea vecorului X, adică numărul de elemente din

vector, iar funcţiile min(X), respectiv max(X) determină cel mai mic, respectiv cel mai mare

element din vectorul X.

Perechile de puncteInterpolarea Spline Cubica

VII.3. Regresia liniară

În cazul dreptei de regresie, se caută o fucţie de interpolare de tipul: F(x)=ax+b, unde

coeficienţii a şi b se determină din condiţiile de minim ale funcţiei. Pentru a exemplifica

modul de realzare aunei regresii liniare voi considera acelaşi fişier de date pe care l-am

utilizat şi în paragrafele precedente

data READPRN( )dataex

din care vom extrage vectorul X, respectiv Y.

X< >

data0

Y< >

data1

78

MathCad 6 PLUS

Numărul de elemente dintr-un vector îl putem determina utilizând funcţia rows, care ne

furnizează de fapt numărul de linii din vector. În paragrafele precedente am folosit pentru

determinarea numărului de elemente al unui vector funcţia length.

Prin urmare, numărul de puncte va fi:

n rows( )data =n 13

Înainte de a calcula coeficienţii dreptei de regresie, voi prezenta câteva funcţii MathCad

foarte uzuale în analiza numerică.

a. Media aritmetică:

=mean( )X 9.923 =mean( )Y 44.248

b. Elementul mijlociu dintr-un vector:

=median( )X 11 =median( )Y 47.2

c. Deviaţia standard:

=stdev( )X 5.595 =stdev( )Y 24.498

d. Varianţa:

=stdev( )X2

31.302 =stdev( )Y2

600.161

Varianţa ne arată dispersia componentelor unui vector în jurul valorii medii.

e. Pentru regresia liniară vom avea:

Ordinata la origine: b0 intercept( ),X Y =b0 2.093

79

MathCad 6 PLUS

Panta dreptei de regresie:b1 slope( ),X Y =b1 4.248

f. Coeficientul de corelaţie:

=corr( ),X Y 0.9702

Coeficientul de corelaţie a doi vectori stabileşte dacă există o dependenţă liniară între cei

doi vectori. În cazul în care dependenţa liniară există, valoarea absolută a coeficientului de

corelaţie al vectorilor este 1.

i ..0 n 1 r( )x b0.b1 x scale .max r( )X Y 1.1

0 5 10 15 200

50

100

Datele din fisierDreapta de regresie

Regresia linara

mean( )Y

mean( )X

VII.4. Regresia polinomială

Relizarea unei regresii polinomiale, se obţine analog modului de obţinere a unei regresii

liniare, aceasta din urmă reflectându-se ca un caz particular de polinom.

Pentru exemplificare, vom citi datele aşezate pe două coloane într-un fişier ASCII:

80

MathCad 6 PLUS

data READPRN( )polyregr

din care vom extrage valorile aferente vectorilor X şi Y.

X< >

data0

Y< >

data1 n rows( )data

Să considerăm că dorim să interpolăm punctele din planul (X,Y) cu un polinom de gradul

doi:

k 2

Numărul de perechi (x,y) va fi:

=n 10

Cu funcţia regress vom genera în cele ce urmează un vector, pentru care utilzând funcţia

interp vom obţine polinomul de gradul doi care interpolează cel mai bine punctele (x,y).

z regress( ),,X Y k

fit( )x interp( ),,,z X Y x

i ..0 n 1 j ..0 49

Pentru intervalul de valori:

txj min( )X .jmax( )X min( )X

50

se obţine polinomul de interpolare de ordinul doi de forma:

81

MathCad 6 PLUS

0 5 100

5

10

15

Punctele (x,y)Polinomul de interpolare

VII.5. Fitarea cu ajutorul combinaţiilor liniare de funcţii

O metodă des înâlnită în analizarea datelor dintr-un experimet, de exemplu, constă în a

interpola valorile experimentale cu anumite funcţii analitice definite de utilizator. Modul

de lucru în acest caz este analog celor prezentate deja în cadrul altor tipuri de interpolări.

Spre exemplificare, vom lua acelaşi fişier de date folosit la exemplificarea regresiei

polinomiale.

data READPRN( )polyregr

Funcţiile cu care dorim să realizăm interpolarea se vor introduce într-un vector, astfel:

F( )x

1

1

x 1

x2

Punctele experimentale, vor fi interpolate, prin urmare cu o funcţie formată din combinaţia

liniară a celor trei funcţii care compun vectorul F(x), şi care are forma:

82

MathCad 6 PLUS

unde coeficienţii a,b,c vor fi determinaţi de funcţia MathCad linfit.

n rows( )data =n 10 i ..0 n 1

data csort( ),data 0

X< >

data0

Y< >

data1 S linfit( ),,X Y F

Prin urmare,

fit( )x .F( )x S

n 50 j ..0 n

txj min( )X .jmax( )X min( )X

n

0 5 100

5

10

15

Punctele experimentaleFunctia de interpolare

VII.6. Funcţii predefinite pentru statistică

În MathCad sunt prevăzute o serie largă de funcţii utilizate în aplicţiile de statistică şi

teoria probabilităţilor pe care le voi prezenta sumar pe câteva dintre acestea (cele mai

importante) în cele ce urmează.

Funcţia generatoare a unui şir de numere pseudoaleatoare se apelează cu: rnd(x).

Numerele genearte vor fi între 0 şi x. Ori de câte ori se reia calculul, şirul de numere

aleatoare va fi altul.

83

MathCad 6 PLUS

Funcţia normală cumulativă cnorm(x) calculează valorile funcţiei Laplace, care are

forma:

Funcţia eroare erf(x) sau funcţia lui Euler are forma:

Funcţia Gamma(x) se defineşte:

Aşa cum am spus, aici am prezntat doar câteva din funcţiile MathCad predefinite pentru

calculul statistic, însă lista acestor funcţii continuă şi deoarece, acest program are un

sistem Help, precum şi un număr foarte mare de exemple şi aplicaţii foarte bine puse la

punct, eu am să mă opresc cuprezentarea acestora aici.

VIII. ELEMENTE DE PROGRAMARE

Pe lângă funcţiile discutate deja, MathCad pune la dispoziţia utilizatorului o serie

de instrucţiuni care fac posibilă programarea în cadrul acestui utilitar. Toate elementele de

programare sunt grupate în Paleta de Programare, situată de obicei, în partea superioară a

suprafeţei de lucru. În continuare, voi prezenta, prin exemplificare instrucţiunile utile

pentru realizarea unui program.

84

MathCad 6 PLUS

VIII.1. Avantajele folosirii programării în MathCad

Unul, din multele avantaje ale utilizării elementelor de programare, îl constituie

faptul că se pot redefini temporar anumite variabile din foaia de calcul. Spre exemplu, dacă

variabila x este definită în cadrul foii de calcul curente printr-o anumită constantă (sau

printr-un parametru), atunci la evaluarea oricărei expresii din foaia de calcul în care va

apare variabila x, aceasta va fi înlocuită cu constanta pe care am atribuit-o. De multe ori

dorim, însă, testarea expresiei matematice şi pentru altă valoare a variabilei x. Acest lucru

este posibil dacă definim variabila x, respectiv expresia în care apare, în cadrul unei

structuri de program.

Să considerăm în continuare următorul exemplu, în care am definit varibaila x,

respectiv expresia pe care dorim să o evaluăm sub forma:

x 25 =x 1

x 10.212

Prin urmare, în toată foaia de calcul, în care mai apre expresii ce îl conţin pe x, acesta va

lua valoarea 25. Dacă dorim testarea expresiei de mai sus şi pentru altă valoare a lui x,

vom alege din paleta de programare opţiunea Add Line care creează o bară verticală şi

două

regiuni în care se scriu elementele de program.

85

MathCad 6 PLUS

în cadrul acestui program, x, ia valoarea 12

La ieşirea din structura de program, variabila x va recăpăta valoarea definită iniţial, iar

valoarea expresiei va fi din nou aceeaşi.

Un alt avntaj al utilizării în cadrul unui document MathCad a elementelor de

programare, îl constituie claritatea prezentării, care este bine venită în cazul folosirii unor

expresii matematice complexe, cum ar fi cea din exemplul ce următor:

f( ),x ysin x

2y

2

x2

y2

x2

y2

Care, poate fi scris:

f( ),x y r x2

y2

sin( )r

rr

Foarte des întâlnite sunt funcţiile cu mai multe braţe, care pot fi scrise în MathCad

utilizând de asemenea, elementele de programare. Astfel,

Abs( )x ifx <x 0

otherwisex

86

I( )n for

for

ifm ,i j 1 i j

otherwisem ,i j 0

j ..0 n 1

i ..0 n 1

m

F( )n f 1

for

f .f i

i ..1 n

f

=F( )6 720

MathCad 6 PLUS

unde funcţia condiţională if (dacă) aleasă din cadrul paletei de programare returnează o

anumită valoare determinată de evaluarea logică a condiţiei impuse. Astfel, dacă x < 0,

Abs(x) va lua valoarea –x, iar în caz contrar (otherwise), va lua valoarea x.

Un alt element de programare, îl constituie instrucţiunea de cilclare For (pentru),

care poate fi utilizată în diferite cazuri. În exemplul ce urmează, vom construi matricea

unitate n n, folosind instrucţiunea For. Această instrucţiune se aplică de obicei, atunci

când se cunoaşte exact numărul de cicluri ce trebuie efectuate.

=I( )3

1

0

0

0

1

0

0

0

1

O observaţie importantă trebuie făcută aici, şi anume faptul că într-o linie de program se

pot găsi mai multe astfel de linii, după nevoile utilizatorului. Simbolul este ataşat

instrucţiunii For.

Un exemplu asemănător, care foloseşte de asemenea instrucţiunea For îl constituie

găsirea factorialului unui număr natural:

87

sqrt( ),a estsqrt 1

while

estsqrt .1

2estsqrt

a

estsqrt

estsqrt2

a =sqrt( ),37 .00001 6.082762537585

F( )n if.n F( )n 1 >n 1

otherwise1=F( )6 720

MathCad 6 PLUS

În plus, se mai poate utiliza ciclul While (până când) care se termină atunci când

condiţia impusă în structura de program este violată. Pentru a prezenta modul de folosire al

acestei instrucţiuni voi exemplifica prin prezentarea unui algoritm de găsire a rădăcinii

pătrate a unui număr real pozitiv.

În cazul utilizării oricăreia dintre instrucţiunile prezentate, acestea trebuie alese din

paleta de programare prezentă pe ecran, şi nu se recomandă tastarea efectivă a acestora.

Un alt avantaj al folosirii programării în MathCad îl constituie posibilitatea definirii

funcţiilor recursive, în acest sens am apelat la exemplul determinării factorialului unui

număr natural.

Un alt exemplu de utilizare a programării în MathCad îl constituie cel prezentat în

paragraful II.9.

88

MathCad 6 PLUS

IX. ANIMAŢIA

Pentru utilizarea animaţiei în MathCad, se recomandă revizuirea modului de

realizare a unei astfel de animaţii, prezenat în cadrul subparagrafului I.3.7. (Meniul

Window).

Trasarea tangentei unei funcţii în diferite puncte.

Să considerăm funcţia:

f( )x .x sin( )x

la care urmărim trasarea graficului acesteia, precum şi a tangentei pentru diferite valori

a ale abscisei.

Ecuaţia analitică a tangentei este dată de:

y( ),a x .f'( )a ( )x a f( )a

În continuare, vom defini parametrul a sub formă de variabilă FRAME, astfel:

a FRAME

5

Pentru prezentarea graficului funcţiei f(x), vom da pentru x valorile:

x ..,0 0.1 .4

iar, pentru realizarea animaţiei propriu-zise, se alege din meniul Window, opţiunea

Animations Create..., care va deschide o fereastră ce va permite selectarea atât a

numărului de cadre ce va fi afişat căt şi a vitezei de afişare a acestor cadre, adică a

89

MathCad 6 PLUS

numărul de cadre ce se succed pe ecran într-o secundă, iar apoi se selectează, cu

ajutorul mous-ului, regiunea în care urmează să aibă loc animaţia.

0 5 10

10

10

În acest caz, graficul este prezentat în intervalul considerat, iar dreapta tangentă, este

afişată pentru cazul:

=f'( )a 1

Pentru mai multe exemple, recomand apelarea la prezentările din Help Quick

Sheets...

ANEXA 1. Principalele simboluri în MathCad

Tasta Semnificaţia Context Rezultat

: atribuire/definiţie a:5 a : = 5

; capătul intervalului a,b;c a,b .. c

‘ paranteză ‘x (x)

“ conjugatul complex z” z

90

i

xi

i

xi

MathCad 6 PLUS

^ ridicare la putere a^b a

b

\ radical \x x

| modul, determinant |x |x|

* înmulţire a*b ab

& integrală x&f(x) f(x)dx

? derivată x?f(x)dd x

f( )x

[Ctrl] 0 mai mare sau egal x[Ctrl] 0 y x y

[Ctrl] 9 mai mic sau egal x[Ctrl] 9 y x y

[Ctrl] 3 diferit x[Ctrl] 3 y x y

[Shift] ~ definiţie globală x[Shift] ~y x y

[ indice x[i xi

[Ctrl] 6 indice superior x[Ctrl] 6 i x

<i>

[Ctrl] - vectorizare v[Ctrl] - v

[Ctrl] $ sumă vectorială [Ctrl] $ x x

[Ctrl] * produs vectorial v[Ctrl]*w v w

$ sumă după un indice i$x

# produs după un indice i#x

91

MathCad 6 PLUS

ANEXA 2. Principalele variabile predefinite

Următoarele variabile sunt considerate predefinite în sensul că la pornirea MathCad

sunt iniţializate, câteva dintre ele putând fi modificate de utilizator.

Variabila VALOARE LA PORNIRE DEFINIŢIE ŞI UTILIZARE

3.14159... Primele 15 cifre ale lui

e 2.71626... Baza logaritmului natural

10

307

Cel mai mare număr acceptat

% 0,01 Procent.

TOL 10

-3

Toleranţa acceptată în algoritmii de

calcul aproxumativ.

ORIGIN 0 Originea indicilor la vectori şi matrici

PRNPRECISION 4 Numărul de cifre la scrierea în fişier

cu: WRITEPRN

PRNCOLWIDTH 0 Lăţimea coloanei la scrierea în fişier

cu: WRITEPRN

Sufixe acceptate la numere

Litera/Sufix Exemple Semnificaţie

92

MathCad 6 PLUS

i

j

4i

3.2+1.4j10

-2Unitatea imaginară folosită la

scrierea numerelor complexe

H

h

3acH

87ch

Formatul hexazecimal,

scrierea în baza 16

O

o

753O

100o

Formatul octal,

scrierea în baza 8

L

l

1L

-2.54l

Unitatea standard de lungime

M

m

1M

2.2m

Unitatea standard de masă

T

t

1T

3600t

Unitatea standard de timp

Q

q

1Q

-1000q

Unitatea standard pentru sarcina

electrică

ANEXA .3 Principalele mesaje de eroare

Prezentăm în continuare prinipalele mesaje de eroare furnizate de MathCad, în

ordine alfabetică, cu explicarea succintă a situaţiilor în care aceste mesaje pot apare.

array size mismatch

93

MathCad 6 PLUS

Apare la încercarea de a excuta operaţii cu vectori sau matrici a căror dimensiuni nu

se potrivesc. Spre exemplu, operaţiile de produs scalar, funcţiile linterp şi corr pretind

vectori de aceeaşi lungime. La fel, adunarea matricilor se poate face doar atunci când

matricile au aceleaşi dimensiuni, iar la înmulţirea matricilor numărul de coloane al primei

matrici trebuie să coincidă cu numărul de linii al celei de a doua. În toate cazurile contrare

se onţine mesajul de eraoare de mai sus.

cannot be defined

La utilizarea unor expresii ilegale în partea stângă a operatorului de definiţie sau

atribuire (:=). Sunt acceptate următoarele situaţii:

- un nume de variabilă simplă (x);

- o variabilă indexată (xi

), o variabilă indexată superior – marcând o coloană a unei matrici

(x

<i>

);

- un vector sau o matrice scrişi explicit prin [Ctrl]+M;

- un nume de funcţie cu argumentele specificate (f(x,y)).

Orice alte expresii sunt ilegale şi vor conduce la apariţia erorii. Pentru alte expresii, când

se doreşte calculul, trebuie folosit semnul = şi nu :.

cannot take subscript

La folosirea indicelui pentru altceva decât vector sau matrice.

94