Prezenta lucrare face parte din seria · 2010. 11. 9. · Utilizarea calculatorului în procesul de...

Prezenta lucrare face parte din seria Module de formare pentru cadrele didactice din cadrul Subcomponentei 1.1.:Dezvoltare profesionalã pe baza activitãþii proprii desfãºuratã în ºcoalã pentru cadrele didactice din mediul rural aProiectului de Învãþãmânt Rural, cofinanþat de Guvernul României, Banca Internaþionalã pentru Reconstrucþie ºiDezvoltare (Banca Mondialã) ºi de cãtre comunitãþile rurale. Ea a fost realizatã de o echipã de consultanþi ai consorþiuluicare asigurã Asistenþa Tehnicã, consorþiu format din: Centrul Educaþia 2000+ (Bucureºti), British Council (MareaBritanie), Fundaþia EuroEd (Iaºi) ºi Cambridge Education Consultants Ltd. (Marea Britanie).

Actuala formã reprezintã versiunea finalã a modulului pentru pregãtirea profesionalã a cadrelor didactice. Acesta abeneficiat de pe urma observaþiilor ºi sugestiilor unui corp de referenþi de specialitate, ale echipelor Unitãþii de Manage-ment al Proiectului (UMP) ºi de asistenþã tehnicã, ale echipelor de mentori care au activat în cadrul fazei pilot a proiec-tului ºi ale Comisiei Specializate de Acreditare a programelor de formare continuã a personalului din învãþãmântulpreuniversitar din cadrul Centrului Naþional de Formare a Personalului din Învãþãmântul Preuniversitar (CNFP).

Echipa de coordonare ºi de revizuire din partea Asistenþei Tehnice (AT):Monica Dvorski (ªeful Echipei de AT)Otilia Pãcurari (Coordonator de Activitate)Gabriel Ivan (Coordonator de Activitate)Emilia Florescu (Asistent de Program)

Autori:Mihaela SingerCristian Voica

ISBN 973-87585-7-2

Redactori:Monica DvorskiOtilia PãcurariEmilia Florescu

Coperta ºi graphic design: Techno Media

© Ministerul Educaþiei ºi Cercetãrii. Unitatea de Management a Proiectului pentru Învãþãmântul Rural,Bucureºti, 2005

Descrierea CIP a Bibliotecii Naþionale a României

SINGER, MIHAELARecuperarea rãmânerii în urmã la matematicã / Mihaela Singer,Cristian Voica ; ed.: Monica Dvorski, Otilia Pãcurari, Emilia Florescu.- Bucureºti : Educaþia 2000+, 2005

Bibliogr.IndexISBN 973-87585-7-2

I. Voica, CristianII. Dvorski, Monica (ed.)III. Pãcurari, Otilia (ed.)IV. Florescu, Emilia ( ed.)

371.3:51:373.3

Sub-componenta 1.1 – Dezvoltare profesionalå

pentru cadrele didactice din mediul rural pe

baza activitåÆii proprii desfåçurate în çcoalå

Prezentare generalå: Aceastå sub-componentå se adreseazå tuturor cadrelor didactice, calificate çinecalificate, din mediul rural, care vor beneficia de un program complex de dezvoltare profesionalå pe

baza propriei activitåÆi desfåçurate în çcoalå. Acest program va fi realizat prin intermediul unui centru deresurse mobile utilizat de cåtre doi mentori care vor petrece câte douå såptåmâni în fiecare comunå din judeÆdiscutând cu cadrele didactice çi oferind cursuri de formare pe baza unui curriculum format din 10 module.Profesorii vor primi credite de formare pentru activitatea lor. De asemenea, vor fi dotate aproximativ 1000 decentre fixe de resurse, destinate formårii continue a cadrelor didactice din mediul rural, precum çi elevilor çicomunitåÆilor.

Obiectivul sub-componentei 1.1.Obiectivul acestei sub-componente este obÆinerea de schimbåri conceptuale çi practice în procesul

didactic, de predare-învåÆare în toate çcolile din mediul rural.

Grupul ÆintåGrupul Æintå este constituit din toate cadrele didactice, toate çcolile çi toate comunitåÆile din

mediul rural. Cadrele didactice vor avea un acces mai bun la metode, materiale çi oportunitåÆi de formareprintr-un program de dezvoltare profesionalå oferit la nivelul fiecårei çcoli.

Elementele çi dinamica procesului de dezvoltare profesionalåÇcolile din fiecare comunå vor fi grupate într-un cluster, programul de dezvoltare profesionalå

fiind oferit tuturor cadrelor didactice din cadrul clusterului, inclusiv cadrelor didactice necalificate sau carenu au o calificare corespunzåtoare, de cåtre doi mentori, ajutaÆi de formatori de specialitate, acolo undeeste nevoie. Mentorii se vor deplasa în fiecare çcoalå çi, împreunå cu formatorii de specialitate, vor realizaactivitåÆile de mentorat çi formare prevåzute de programul de dezvoltare profesionalå. ActivitåÆile deformare profesionalå se vor desfåçura, de obicei, în çcoala de centru sau, dupå caz, în oricare dintre çcoliledin comunå, pe o perioadå de 10-14 zile, iar cele de mentorat în fiecare çcoalå în care predau cadreledidactice din cluster. Curriculumul activitåÆilor de formare cuprinde urmåtoarele module:

■ Predarea interactivå centratå pe elev■ Evaluarea continuå la claså.

3

Subcomponenta 1.1.

■ Så ne cunoaçtem elevii■ Adaptarea curriculum-ului la contextul rural■ Predarea simultanå■ Recuperarea råmânerii în urmå la lecturå (pentru învåÆåmântul primar)■ Recuperarea råmânerii în urmå la matematicå (pentru învåÆåmântul gimnazial)■ Limba românå ca a doua limbå■ Utilizarea calculatorului în procesul de predare-învåÆare■ Management educaÆional

Pentru implementarea programului de dezvoltare profesionalå, la nivelul fiecårui judeÆ, proiectul vaasigura Centre Mobile de Resurse (CMR), dotate cu toate mijloacele necesare unui proces eficient deformare çi mentorat., care vor fi utilizate de mentori. CMR le vor permite mentorilor så viziteze çcolile çi sårealizeze formarea çi activitatea de mentorat. Dezvoltarea profesionalå pe baza propriei activitåÆi desfåçu-rate în çcoalå va stimula cadrele didactice în direcÆia inovaÆiei çi va constitui un sprijin direct pentru ceea ceîncearcå så realizeze la claså. Aceastå activitate se va reflecta în rezultate mai bune la învåÆåturå çiexamene pentru elevii din mediul rural.

De asemenea, proiectul va asigura dotarea unor Centre Fixe de Resurse în toate çcolile în care a avutloc procesul de comasare çi care au fost dotate cu autobuze (1000 Centre de Resurse care vor fi dotate cucalculatoare, imprimante, televizoare, video, video-proiectoare, radio-casetofoane, faxuri, telefoane). Laaceste centre vor avea acces atât cadrele didactice, cât çi elevii.

Abordarea dezvoltårii profesionale va pune accentul pe activitatea de îndrumare a cadrelor didactice,care vor cåuta în mod activ soluÆii la probleme. Acest lucru le va întåri sentimentul de posesori ai unor noimetode de predare çi le va perfecÆiona aptitudinile profesionale. Activitatea se va concentra asupra nevoilorde formare, aça cum sunt acestea percepute de cadrele didactice çi va folosi lucrul în echipe çi discuÆiile întreprofesori, ori de câte ori este cazul. De asemenea, pentru parcurgerea modulelor de formare, profesorii vorprimi credite pe care le vor utiliza pentru îndeplinirea cerinÆelor de dezvoltare profesionalå stabilite prindocumentele MEC.

Prezenta lucrare face parte din seria de zece module, care se vor utiliza în procesul de mentorat alcadrelor didactice de toate specialitåÆile din cadrul Componentei 1, Proiectul pentru învåÆåmântul rural

ÎmbunåtåÆirea activitåÆilor de predare-învåÆareîn çcolile din mediul ruralSubcomponenta 1.1.:

Dezvoltare profesionalå pe baza activitåÆii proprii desfåçuratåîn çcoalå pentru cadrele didactice din mediul rural

Lucrarea se foloseçte în procesul de mentorat al cadrelor didactice çi are în vedere susÆinereaîmbunåtåÆirii calitåÆii procesului de predare-învåÆare-evaluare în çcolile din mediul rural.

Principiile metodologice utilizate sunt cele ale:■ flexibilitåÆii■ învåÆårii active■ individualizårii procesului de dezvoltare profesionalå

Premise:1. Se pleacå de la premisa cå fiecare elev poate învåÆa, iar sarcina cadrelor didactice este de a

identifica experienÆele de învåÆare care motiveazå elevii çi care contribuie la creçterea randa-mentului çcolar.

2. Cadrele didactice vor participa la programul de mentorat în çcolile în care îçi desfåçoaråactivitatea sau în centrele din vecinåtate.

4

Recuperarea råmânerii în urmå la matematicå

3. Mentorii sunt abilitaÆi så lucreze pe un model de dezvoltare profesionalå individualizatå, la nivelde scoalå çi/sau comunå.

4. Modulele se bazeazå pe instruire interactivå çi diferenÆiatå, astfel încât pe lângå obiectivelecurriculare promoveazå gândirea criticå, învåÆarea activå çi stilurile individuale de învåÆare.

Cele 10 module sunt împårÆite în douå categorii:A: Module generale: Predarea interactivå centratå pe elev, Evaluarea continuå la claså, Så ne

cunoaçtem elevii, Adaptarea curriculum-ului la contextul local.B: Module specifice: Predarea simultanå, Limba romanå ca a doua limbå, Utilizarea calculatorului in

predare-învatare, Management educaÆional, Recuperarea ramânerii în urmå la matematicå(pentru învåÆåmântul gimnazial), Recuperarea råmânerii în urmå la lecturå (pentru învåÆåmântulprimar).

Structura modulelorÎn fiecare modul veÆi gåsi o parte de:(i) Teorie: în care se explicå fapte çi principii într-un fel care poate så fie uçor de asimilat çi de accesat

pentru activarea memoriei;(ii) AbsorbÆie, discuÆie çi orientare în planificare: prin care se pune la dispoziÆia cadrelor didactice un numår

de întrebåri de ghidaj care så favorizeze reflecÆia çi discuÆiile asupra a ceea ce s-a realizat çi experimentatla claså;

(iii) Planificare individualå çi aplicaÆii la claså: DirecÆii orientative asupra modului în care temele propusese pot integra în activitatea de la claså a cadrelor didactice de diferite discipline.

Studiul acestora se face dupå nevoile individuale ale cadrelor didactice, identificate cu sprijinuluimentorului.

5

Subcomponenta 1.1.

Cuprins

Introducere ................................................................................................................9

Capitolul 1: Cum proiectãm activitãÆi didactice diferenÆiate?

Proiectarea demersului didactic.....................................................................................11

Capitolul 2: Cum dinamizãm învãÆarea?

Metode active în abordarea conceptelor matematice ......................................................22

Capitolul 3: Cum evaluãm?

Evaluarea ca diagnostic çi evaluarea ca måsurå a progresului în învåÆare..........................36

Capitolul 4: Cum optimizãm organizarea clasei?

InteracÆiuni complexe în ora de matematicå...................................................................62

Capitolul 5: Cum abordãm o problemã?

Metode alternative de rezolvare a problemelor ..............................................................68

Capitolul 6: Cum formãm atitudini?

Dezvoltarea interesului çi a motivaÆiei în învåÆarea matematicii........................................80

Index........................................................................................................................84

7

Cuprins

Introducere

De ce råmân în urmå unii elevi? Am întâlnit frecvent un mod simplist de a råspunde la aceaståîntrebare: Elevii råmân în urmå pentru cå nu învaÆå suficient. În acest fel, întreaga responsabilitate aeçecului planeazå asupra elevului. La o analizå mai atentå, alte câteva motive ies înså imediat la luminå.

O ambianÆa çcolarå neprietenoaså, un climat instituÆional rigid çi inconsecvent, fluctuaÆiile înproiectarea çi aplicarea curriculumului çcolar, spraîncårcarea generatå de tot felul de cauze contradic-torii îndepårteazå elevul de propriile sale aspiraÆii, ducându-l în confuzie çi dezinteres. În acest fel,principalul motor al progresului çcolar, çi anume motivaÆia pentru învåÆare, este compromis.

Ca obiect de studiu abstract çi complex, matematica çcolarå este perceputå de cåtre mulÆi elevi cageneratoare de eçec scolar. Mai mult, în mod paradoxal, profesorul de matematicå alimenteazå uneoriaceastå stare de lucruri prin atitudinea sa. Profesorul de matematicå se simte mândru (noi înçine amîncercat acest sentiment!) – ca deÆinåtor al unei „comori“ care îl singularizeazå, îl face membru al uneielite restrânse. Acest fapt are consecinÆe educaÆionale nebånuite: „comoara“ trebuie bine ascunså çipåzitå în continuare, astfel ca, în continuare, cât mai puÆini så aibå acces la ea. Ca urmare, matematicapracticatå în çcoalå tinde – în mod deliberat sau nu – så fie una încifratå, absconså, cu conexiuni çitransferuri care så råmânå nedezvåluite „consumatorului“ de rând care este elevul.

O ambianÆå çcolarå în care elevul se simte bine, un climat instituÆional în care elevul este implicatîn alegerea parcursului de formare, un mediu centrat pe învåÆare care valorizeazå fiecare membru alcomunitåÆii, un curriculum çcolar echilibrat çi aplicat consecvent pe termen lung, un curriculum maipuÆin aglomerat, în care se abordeazå çi se rezolvå mai puÆine probleme, dar se aleg problemesemnificative çi acestea se aprofundeazå – toate acestea pun elevul în consens cu propriile sale aspiraÆii,ducându-l spre realizare personalå çi profesionalå. În acest fel, motivaÆia pentru învåÆare antreneazådupå sine o învåÆare eficientå care inculcå atitudini çi automotivare. Mai mult, într-un asemenea climat,profesorul çi elevul îçi asumå deopotrivå responsabilitatea asupra eçecului sau succesului, într-unparteneriat cu roluri diferite.

Ghidul de faÆå propune, într-o abordare interactivå pas cu pas, modalitåÆi constructive de aorganiza învåÆarea la matematicå. El aduce soluÆii practice care pot genera îmbunåtåÆirea învåÆårii.

9

Introducere

Capitolul 1: Cum proiectåm activitåÆididactice diferenÆiate?

Proiectarea demersului didactic

De ce este necesarå proiectarea didacticå?

Cu câtva timp în urmå, am adresat unor elevi çi profesori întrebarea: Ce este çcoala? Råspunsurileprimite, deçi variate ca formulare, au conturat tendinÆa asimilårii çcolii cu locul în care profesorul predå çielevul este ascultat.

Desigur, çcoala transmite informaÆie çi verificå nivelul de reproducere a acesteia. A reduce înså rolulçcolii doar la vehicularea informaÆiei înseamnå a spune cå principalul scop al învåÆåmântului este caabsolventul så memoreze cât mai multe date.

Çi totuçi…Çcoala este o instituÆie a cunoaçterii, în care nu doar se transmite informaÆie; ea are çi rolul de a forma

la elevi capacitatea så opereze cu informaÆia. Cel puÆin douå argumente obligå la aceastå concluzie. Pe de oparte, ritmul actual de schimbare în toate domeniile vieÆii economice çi sociale, inclusiv la sate, impuneschimbåri rapide în modul fiecåruia de a utiliza informaÆia. Pe de altå parte, accesul rapid çi uçor lainformaÆie, facilitat de mijloacele electronice, face inutilå memorarea datelor; devine mult mai important caindivizii så poatå acÆiona adecvat în situaÆii diverse. De aceea, ceea ce ne intereseazå, ca educatori, esteformarea la elevi a unor competenÆe specifice fiecårui domeniu, adicå a acelor ansambluri structurate decunoçtinÆe çi deprinderi dobândite prin învåÆare, care permit identificarea çi rezolvarea în contexte diverse a unorprobleme caracteristice domeniului respectiv.

Centrarea activitåÆii didactice pe formarea de competenÆe la elevi este un proces complex, ce implicåschimbåri majore în planul didacticii fiecårei discipline: învåÆarea se realizeazå preponderent prin cooperare;profesorul çi elevul devenin parteneri în învåÆare; elevul este pus så rezolve sarcini de lucru diverse çi så aibå ocontribuÆie activå la propria formare; evaluarea pune accentul pe elemente de ordin calitativ çi vizeazå progresul înînvåÆare. În aceste condiÆii, devine absolut necesarå proiectarea în avans a activitåÆii didactice, precum çireconstrucÆia „din mers“ a proiectelor realizate, ca urmare a aprecierii realiste, „la faÆa locului“, a situaÆieiconcrete din claså.

Activitatea didacticå poate fi eficientå doar dacå se desfåçoarå pe baza unui proiect didactic.

ReflectaÆi!

ConsideraÆi cå rolul profesorului în conceperea çi realizarea activitåÆilor în claså devine mai important/ mai puÆinimportant în condiÆiile programelor çcolare centrate pe obiective? ArgumentaÆi råspunsul!

11

Cum proiectåm activitåÆi didactice diferenÆiate?

Care sunt etapele proiectårii didactice?

Documentul central pe baza cåruia se realizeazå proiectarea didacticå este programa çcolarå. Programaçcolarå stabileçte obiectivele-cadru çi obiectivele de referinÆå vizate la nivelul fiecårui an de studiu,precizeazå unitåÆile de conÆinut çi propune activitåÆi de învåÆare. Proiectarea didacticå presupune: corelareadintre obiective çi conÆinuturi, alocarea bugetului de timp pentru fiecare unitate de învåÆare, detaliereaactivitåÆilor desfåçurate de elevi çi precizarea modului în care se face evaluarea. Aceste activitåÆi serealizeazå urmând paçii prezentaÆi în continuare.

� Lectura personalizatå a programei çcolareProgramele actuale oferå profesorului o mare libertate de acÆiune. Profesorul poate decide asupra:

ordinii de parcurgere a temelor, alocårilor de timp, activitåÆilor de învåÆare ce urmeazå a fi desfåçurate,precum çi asupra parcurgerii sau ignorårii conÆinuturilor facultative din programå. De aceea, decizia asupratraseului educaÆional optim pentru situaÆia concretå din fiecare claså necesitå o interpretare personalå aprogramei çcolare.

ÎnÆelegerea çi interpretarea programei presupun corelarea obiectivelor de referinÆå (DE CE seînvaÆå) cu conÆinuturile (CE se învaÆå) çi cu activitåÆile de învåÆare (CUM se învaÆå). De aceea, nu estesuficientå o lecturå „liniarå“ a programei; este indicat ca lectura så se realizeze, pornind de laobiectivele cadru, prin treceri succesive între obiectivele de referinÆå, conÆinuturi çi sugestii de activitåÆide învåÆare.

Pentru recuperarea elevilor ale cåror abilitåÆi matematice sunt insuficient dezvoltate, alegeÆi activitåÆi adecvatede învåÆare. Este util ca aceste activitåÆi så fie cât mai diversificate, pentru a da fiecårui elev posibilitatea så semanifeste.

EvaluaÆi!În ce mod aÆi realizat lectura programei pentru semestrul curent: aÆi urmårit, în primul rând, conÆinuturile

programei, aÆi citit mai întâi obiectivele, sau aÆi urmårit succesiunea lecÆiilor din manual?

� Identificarea unitåÆilor de învåÆareUnitatea de învåÆare reprezintå în fapt activitatea didacticå desfåçuratå într-o perioadå determinatå de

timp, care are ca scop formarea la elevi a unui comportament specific generat prin integrarea unorobiective de referinÆå.

Unitatea de învåÆare este o structurå didacticå deschiså çi flexibilå, având urmåtoarele caracteristici:■ este coerentå în raport cu obiectivele de referinÆå;■ are caracter unitar tematic;■ are desfåçurare continuå pe o perioadå de timp;■ opereazå prin intermediul unor modele de învåÆare/predare;■ subordoneazå lecÆia, ca element operaÆional;■ este finalizatå prin evaluare sumativå.

ReflectaÆi!

StabiliÆi câteva criterii pentru a decide asupra momentului la care este necesar så aplicaÆi probe de evaluare sumativå.

12


Conceptul de unitate de învåÆare are rolul så stimuleze abordarea tematicå a conÆinuturilor învåÆårii,prin reconstrucÆia lor din diverse perspective (cf. I. Neacçu, 1990):

■ conceptualå, în jurul unor concepte tematice (generale, cuprinzåtoare);■ metodologicå, în jurul unor concepte metodologice (obiectul çi metoda de studiu);■ ipoteticå (pe structura unei teorii çtiinÆifice: principii teoreme consecinÆe);■ prin cupluri antitetice1.

UnitåÆile de învåÆare se diferenÆiazå prin temå. Tema unitåÆii de învåÆare poate fi enunÆatå prin titlu (întermeni de conÆinut sau în termeni de meta-conÆinut, cu accent pe abordåri interdisciplinare) sau ca scop (întermeni de obiectiv).

De exemplu, posibile teme ale unor unitåÆi de învåÆare la matematicå, pentru clasa a VI-a pot fi enunÆateastfel:

■ prin titlu (în termeni de conÆinut): Divizibilitate■ prin titlu (în termeni de context de învåÆare): „Matematica din curtea çcolii“ sau „Så construim un mozaic“■ ca scop: Culegerea, clasificarea çi interpretarea datelor

Pentru clasele cu predare simultanå recurgeÆi cât mai des la identificarea unitåÆilor de învåÆare în termeni decontext de învåÆare, cu accent pe abordåri interdisciplinare; aceasta permite antrenarea tuturor elevilor înactivitåÆi diferenÆiate, fårå a genera inegalitåÆi legate de nivelul diferit de çcolaritate.

Prin stabilirea temelor pentru unitåÆile de învåÆare urmårim så identificåm çi så stimulåm:■ unificåri tematice, sub diverse obiective de referinÆå ale programei;■ integråri tematice, în cadrul mai multor arii curriculare;■ personalizarea predårii çi a învåÆårii;■ abordåri ale conÆinuturilor sub profiluri intelectuale multiple çi contexte de învåÆare specifice;■ teme pentru proiectele elevilor.

Pentru stabilirea unitåÆilor de învåÆare:■ identificaÆi temele majore din cadrul programei, teme care necesitå verificare prin evaluare sumativå;■ grupaÆi în jurul acestor teme elementele de conÆinut çi obiectivele prevåzute în programå.

Pentru a putea conduce la un demers didactic eficient, o unitate de învåÆare nu trebuie så grupeze preamulte conÆinuturi. De regulå, un numår de 3-7 lecÆii este considerat optim pentru a depista din timp nivelulde achiziÆii al elevului çi a interveni adecvat înainte ca volumul de cunoçtinÆe ce trebuie recuperat så fie preamare. De aceea, recomandåm ca fiecare unitate de învåÆare så grupeze un numår cât mai mic de conÆinuturicare pot asigura unitate tematicå.

În cazul în care constataÆi råmâneri în urmå la majoritatea elevilor dumneavoastrå, comparativ cu obiectivelepropuse, reveniÆi asupra temelor identificate çi divizaÆi-le în subteme. În acest fel, unitåÆile de învåÆare voravea alocate mai puÆine ore çi puteÆi face mai des evaluåri sumative.

Determinarea unitåÆilor de învåÆare (deci çi schimbarea ordinii de parcurgere a conÆinuturilorprogramei) nu se poate face la întâmplare. Pentru alegerea unitåÆilor de învåÆare în concordanÆå cuprincipalele lor caracteristici (unitate tematicå çi urmårire sistematicå a unor obiective), recomandåmîntocmirea unei matrici de asociere între obiectivele çi conÆinuturile programei. În acest fel, structurarea înunitåÆi de învåÆare poate deveni coerentå.

De exemplu, pentru conÆinuturile grupate sub titlul FuncÆii, din programa clasei a VIII-a, matricea deasociere poate fi cea descriså în continuare.

13


1 Cupluri antitetice: static-dinamic, finit-infinit, microscopic-macroscopic, reversibil-ireversibil, natural-ar-tificial, fantastic-real, probabil-improbabil, teoretic-empiric, credibil-incredibil etc.

ConÆinut / Obiective 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3

NoÆiunea de funcÆie O X X X X X O O X

FuncÆii definite pemulÆimi finite

X X X X O O X X O

FuncÆii de tipulf:R�R, f(x)=ax+b;reprezentare graficã

X X X O O X O X X O O X O

FuncÆii de tipulf:A�R, f(x)=ax+bcu A interval

X X X O O X O X X O O X O

(Am notat cu „x“ legåturile evidente (explicite) çi cu „O“ legåturile mai puÆin evidente (implicite). Înacest ultim caz, realizarea obiectivelor în corelaÆie cu elementele de conÆinut implicå desfåçurarea unoractivitåÆi de învåÆare adecvate).

Din analiza acestei matrice, se observå cå putem opta pentru gruparea conÆinuturilor vizate în douåmoduri:

■ Pe de o parte, putem grupa toate conÆinuturile într-o singurå unitate de învåÆare. În acest caz, necentråm atenÆia doar asupra obiectivelor 1.5, 2.1, 2.3 çi 4.1, eventual çi 1.10, 3.1, 3.2, care pot fiexersate pe toate conÆinuturile prevåzute în programå. Varianta în care ne-am propune såacoperim toate obiectivele evidenÆiate prin matricea de corelaÆie, în cadrul unei singure unitåÆi deînvåÆare, nu este realistå.

■ Se poate înså opta pentru structurarea acestei teme în douå unitåÆi de învåÆare: una care vizeazå obiec-tivele 1.4, 1.5, 1.10, 2.1, 2.3, 4.1 (eventual çi 3.1; 3.2), çi o a doua, care vizeazå celelalte obiectivemarcate în matrice. Aceasta presupune utilizarea unor dependenÆe funcÆionale cât mai variate, pentruconturarea noÆiunii de funcÆie, urmatå de utilizarea unor reprezentåri grafice pentru funcÆii specifice.

În cazul învåÆåmântului „remedial“ este de preferat så alegeÆi a doua variantå de proiectare, aça cumeste ea prezentatå în exemplul anterior. Aceastå abordare asigurå concentrarea demersului didactic peteme mai punctuale, în care sunt vizate cu preponderenÆå doar 2-3 obiective specifice.

� Planificarea calendaristicå orientativåPlanificarea calendaristicå orientativå se întocmeçte la începutul semestrului/anului çcolar. SituaÆiile de

învåÆare ce pot så aparå la claså nu pot fi întotdeauna anticipate; de aceea, planificarea trebuie så ofere uncadru care så permitå adecvarea demersului didactic la situaÆia din claså.

În conceperea çi elaborarea planificårii, recomandåm parcurgerea urmåtoarelor etape:■ RealizaÆi corelaÆii între obiectivele de referinÆå çi conÆinuturi;■ IdentificaÆi temele majore ale programei;■ DeterminaÆi unitåÆile de învåÆare;■ StabiliÆi temele/ deprinderile „în risc“ (despre care çtiÆi din anii anteriori çi din experienÆå cå pot crea

probleme);■ StabiliÆi succesiunea de parcurgere a conÆinuturilor;■ VerificaÆi concordanÆa dintre traseul educaÆional propus çi oferta de resurse didactice de care dispuneÆi

(manuale, ghiduri, caiete, alte materiale didactice);■ AlocaÆi timpul considerat necesar pentru fiecare unitate de învåÆare, în concordanÆå cu obiectivele de

referinÆå vizate.

14


Planificarea pe unitåÆi de învåÆare poate fi întocmitå pornind de la urmåtoarea rubricaÆie:

Unitatea deînvåÆare

Obiective dereferinÆå

ConÆinuturivizate

Numår orealocate

Såpt. Obs.

Întregul cuprins al planificårii are valoare orientativå, eventualele modificåri determinate de aplicareaefectivå la claså putând fi consemnate la rubrica „ObservaÆii“.

Distribuirea timpului pe unitåÆi de învåÆare trebuie så Æinå cont de particularitåÆile de vârstå çiindividuale ale elevilor çi så asigure o parcurgere ritmicå a materiei.

Pe parcursul anului çcolar puteÆi reveni asupra alocårilor de timp, în cazul în care constataÆi cå unii dintre eleviidumneavoastrå nu pot îndeplini obiectivele propuse. Este util ca, în acest scop, så påstraÆi o rezervå de ore ladispoziÆia profesorului, ore pe care le puteÆi folosi, eventual, în scopuri remediale.

Dacå situaÆiile de råmânere în urmå persistå, puteÆi reveni asupra planificårii iniÆiale. Aceasta înseamnåreeçalonarea conceptelor fundamentale, cårora le puteÆi aloca mai mult timp çi renunÆarea la aplicaÆiicomplexe.

æineÆi cont cå, în acest caz, Mai puÆin înseamnå mai bine!

Planificare calendaristicå orientativå – un exemplu pentru clasa a VI-a, sem. I

(ConÆinuturile din programa clasei a V-a ce ar trebui reluate, în condiÆiile învåÆåmântului recupera-toriu, sunt trecute în planificare cu caractere italice)

Nr.crt.

Unitatea deînvåÆare(tema)

Obiectivede refe-rinÆå vizate

ConÆinuturi vizate Nr.ore

Såptå-mâna

Obs.

1. Figuri çicorpurigeometrice

1.6; 1.8;1.9; 2.2;2.4; 3.1;4.2

Instrumente geometriceConstruirea de figuri folosind simetria çi translaÆiaFiguri geometrice; reprezentare prin desenCorpuri geometriceDesfåçurata cubului çi paralelipipedului

4 1

2. Divizibilitate 1.2; 1.4;2.1; 2.2;2.3; 3.1;3.3

UnitåÆi de måsurå pentru lungime; multiplii çisubmultiplii metruluiÎnmulÆirea numerelor naturaleDivizor, multipluCriterii de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3ProprietåÆi ale relaÆiei de divizibilitateNumere prime, numere compuse

6 2,3

3. Divizori çimultiplicomuni

1.1; 1.4; 2.2;2.3; 3.2;3.3; 4.1

ÎmpårÆirea cu rest a numerelor naturaleDescompunerea numerelor naturale în produs denumere primeC.m.m.d.c., numere prime între eleC.m.m.m.c.

6 3,4

15


Nr.crt.

Unitatea deînvåÆare(tema)

Obiectivede refe-rinÆå vizate

ConÆinuturi vizate Nr.ore

Såptå-mâna

Obs.

4. Dreapta 1.6; 1.8;2.2; 2.4;3.3;

Desenarea figurilor geometricePunct, dreaptå, plan, semidreaptå, semiplan, seg-ment: descriere, reprezentarePoziÆiile unui punct faÆå de o dreaptå, puncte co-liniare, axioma drepteiPoziÆiile relative a doua drepteDistanÆa dintre douå puncteMåsurarea lungimilorLungimea unui segment, segmente congruente, mijlo-cul unui segmentPerimetrul triunghiului

8 5,6

5. Unghiuri 1.6; 1.8;1.9; 2.2;3.1; 3.2;4.2.

Unghiul: elemente, tipuri de unghiuriMåsurarea unghiurilor, construirea unui unghi,unghiuri congruenteCalcule cu måsuri de unghiuriUnghiuri adiacente, complementare, suplementareBisectoarea unui unghiUnghiuri opuse la vârf, unghiuri în jurul unui punct

8 7, 8

6. OperaÆii cunumereraÆionale

1.1; 1.2;1.3; 1.4;1.5; 2.1;2.3; 2.4;4.1

Reprezentarea fracÆiilor cu ajutorul unor deseneAmplificarea çi simplificarea fracÆiilorForme de scriere a unui numår raÆional; reprezentåriprin desen sau pe axåAdunarea, scåderea, înmulÆirea çi împårÆirea nume-relor raÆionale pozitive.EcuaÆii

6 9,10

7. CongruenÆatriunghiurilor

1.6; 1.7;1.8; 1.9;2.2; 2.5;3.1; 3.2

Desenarea triunghiuluiMåsurarea lungimilor çi unghiurilorTriunghiul: elemente, clasificareConstrucÆia triunghiurilorCongruenÆa triunghiurilorCriteriile de congruenÆå

6 10,11

8. Recapitularepentru tezå

Probleme recapitulative 2 12

9. Teza Lucrare scrisaDiscutarea tezelor

2 12

10. Ore la dispozi-Æia profesorului

8 13,14

ReflectaÆi!

La unitatea de învåÆare cu tema „Divizori çi multipli comuni“ din planificarea anterioarå, unul dintre obiectivele dereferinÆå vizate este obiectivul 1.1: „La sfârçitul anului çcolar, elevul va fi capabil så scrie, så citeascå çi så reprezinte peaxå numere întregi çi numere raÆionale pozitive“.

Ce activitåÆi de învåÆare credeÆi cå se pot realiza, pentru a atinge acest obiectiv în unitatea de învåÆare aleaså?

16


ComparaÆi!În cazul în care, în anul çcolar actual, predaÆi la o claså a VI-a, comparaÆi propria planificare calendaristicå cu

aceea din exemplul anterior. NotaÆi-vå deosebirile pe care le sesizaÆi între aceste opÆiuni.

DiscutaÆi!ÎntrebaÆi colegii care predau alte discipline în ce mod realizeazå planificårile calendaristice. Dacå sesizaÆi

deosebiri, discutaÆi împreunå despre avantajele çi dezavantajele fiecårei opÆiuni.

� Proiectarea unitåÆilor de învåÆareFaÆå de proiectarea didacticå centratå tradiÆional pe lecÆie, proiectarea pe unitaÆi de învåÆare are

urmåtoarele avantaje:■ creeazå pentru elevi un mediu de învåÆare coerent, în care açteptårile lor devin mai clare pe termen

mediu çi lung;■ implicå profesorul în anticipåri didactice pe termen mediu çi lung, cu rågaz pe ritmurile de învåÆare

diferite ale elevilor;■ oferå perspective lecÆiilor, printr-o relaÆie neliniarå între ele – raportându-le la secvenÆele modelului

de învåÆare/predare – limitând reducerea lor la colecÆii de strategii aleatorii, în succesiuni liniare

În contextul noului curriculum, centrat pe obiective ce vizeazå învåÆarea, este necesarå proiectareaunitåÆilor de învåÆare pe baza unei succesiuni de secvenÆe înlånÆuite logic. SecvenÆele avute în vedere înproiectarea unitåÆilor de învåÆare în învåÆåmântul obligatoriu sunt: familiarizare, structurare, aplicare.

SecvenÆe ale unitåÆii de învåÆare Exemple de sarcini de lucru (pentru unitatea de

învåÆare Volume, de la clasa a V-a)

SecvenÆa de familiarizare presupune:

■ actualizare– înseamnå amintirea noÆiunilor de bazå çi a

comportamentelor operatorii necesare pentruînÆelegerea çi prelucrarea noului conÆinut;

– se poate realiza printr-o probå de evaluare ini-Æialå sau prin antrenament mental pregåtitor.

Antrenament mental:

În câte påtrate cu latura de 1 cm se poate descom-pune:

– un påtrat cu latura de 2 cm?– un påtrat cu latura de 5 cm?– un dreptunghi cu laturile de 3 cm çi 4 cm?

În cazul în care constataÆi råmîneri în urmå ale elevilor, antre-namentul mental se înlocuieçte cu lucrul în grup; se va folosimaterial concret (påtråÆele decupate din carton), pentruaceeaçi sarcinå de lucru, iar raportarea se face pe grupe.

■ problematizare– înseamnå oferirea unui pretext-problemå mo-

tivant;– se poate realiza prin recurgerea la situaÆii-pro-

blemå din viaÆa realå.

SituaÆie- problemå:

Câte cuburi cu latura de 1cm sunt necesare pentru aumple un cub cu latura de 6 cm?

În cazul în care constataÆi råmîneri în urmå ale elevilor, sevor utiliza materiale didactice realizate din lemn sau carton,pentru a vizualiza modul în care se ajunge la råspuns.

17


SecvenÆa de structurare presupune:

■ conceptualizare– înseamnå descrierea çi/sau definirea noÆiunilor

noi;– se poate realiza prin identificarea noÆiunilor ce

apar din situaÆiile-problemå analizate çi carac-terizarea acestora prin folosirea unui limbajmatematic simplu çi clar.

Identificarea unei noi noÆiuni:

NoÆiunea nou apårutå este cea de volum; ea secaracterizeazå prin descompunerea unui corp geo-metric în cuburi cu latura unitate.

■ sistematizare– înseamnå esenÆializarea unor observaÆii, identi-

ficarea unor algoritmi;– se poate realiza prin caracterizarea noilor no-

Æiuni în relaÆie cu alte noÆiuni, definite anterior.

EsenÆializarea observaÆiilor fåcute în rezolvarea

situaÆiei- problemå:Se ajunge la identificarea formulei de calcul pentruvolumul cubului.

În cazul în care constataÆi råmîneri în urmå ale elevilor,situaÆia- problemå se particularizeazå pentru cuburi culatura de 2 cm; 3 cm; 4 cm, apoi profesorul scrie formulageneralå pe tablå çi cere elevilor så o verifice pentrucazurile particulare deja rezolvate.

SecvenÆa de aplicare presupune:

■ exersare– înseamnå realizarea unor modele în scopul

identificårii unor strategii de rezolvare;– se poate realiza prin aplicaÆii diverse, efectuate

sub supravegherea çi direcÆionarea profesorului.

AplicaÆii ale formulei:

Probleme de calcul pentru volumul unor cuburi; cal-culul lungimii muchiei unui cub, dacå se cunoaçtevolumul acestuia.În cazul în care constataÆi råmîneri în urmå ale elevilor,actualizaÆi calculul algebric çi descompunerile în factori.PropuneÆi probleme în care dimensiunile sunt numerenaturale.

■ transfer– înseamnå interpretarea unor concluzii, genera-

lizarea unor proprietåÆi çi aplicarea modelelorîn contexte noi, variate;

– se poate realiza prin identificarea legåturilor cualte domenii sau prin transferarea prin ana-logie a unor proprietåÆi cunoscute.

Utilizarea metodei (compunerea çi descompu-

nerea corpurilor):

Probleme de calcul a volumelor unor poliedre, obÆi-nute prin alipirea unor cuburi, cu laturi de lungimidiferite.

În cazul în care constataÆi råmîneri în urmå ale elevilor,folosiÆi cât mai multe materiale didactice.

Metodologia de proiectare a unei unitåÆi de învåÆare poate fi sintetizatå în parcurgerea urmåtoa-rei scheme:

18


Proiectarea unei unitåÆi de învåÆare- un exemplu pentru clasa a VIII-aUnitatea de învåÆare: Ariile çi volumele corpurilor rotunde

Detalieri deconÆinut

Ob. deref.

ActivitåÆi deînvåÆare propuse

Resurse Evaluare Obs.

– ModalitåÆi deobÆinere acorpurilor rotunde– SecÆiuni încorpurile rotunde– Aria çi volumulcilindrului, co-nului, trunchiuluide con, sferei

1.71.81.102.13.1

– Identificarea çidenumirea corpurilorobÆinute prin rotireasau înfåçurarea unorfiguri geometriceplane– ConfecÆionareaunor corpurigeometrice– Reprezentareaprin desen a corpu-rilor obÆinute

– figuri din hârtie(dreptunghi, triunghiisoscel, triunghidreptunghic, cerc,sector de cerc, trapezisoscel) din care seconstruiesc corpuriprin înfåçurare, sause genereazå corpuriprin rotireActivitate pe grupede 4 elevi.

– Încadrarea întimp çi colabo-rarea în grup– AcurateÆeadesenelorrealizate

– Reprezentareaprin desen a secÆiu-nilor (axiale sauparalele cu baza)– ExprimarearelaÆiilor întreelementele corpurilorrotunde

– corpuri rotunderealizate din lemn çisecÆionate axial (setdemonstrativ)Activitate frontalå,apoi individualå– tema pentru acaså(cu integrarea unorreprezentåri prin de-sen, ce se vor utilizaîn lecÆia urmåtoare)1 orå

– Råspunsurilela întrebårileprofesorului

1.71.81.92.23.34.2

– Identificarea legå-turilor între elementelecorpurilor rotunde(raze, generatoare) çielementele desfåçura-telor acestora (laturi,arce de cerc)– Determinarea for-mulelor pentru calcu-lul ariei cilindrului,conului çi trunchiuluide con

– corpuri geometricerealizate din cartonçi desfåçurate aleacestora.– fiçe de lucru (temapentru acaså) pe caresunt desenate cor-purile, desfåçuratelelor çi secÆiunile axialeActivitate pe grupede 4 elevi, urmatåde activitate frontalå– tema pentru acaså1 orå

– Cantitatea çicalitatea legå-turilor identi-ficate (verificareprin sondaj)– Corectitu-dinea råspun-surilor primite

19


Detalieri deconÆinut

Ob. deref.

ActivitåÆi deînvåÆare propuse

Resurse Evaluare Obs.

1.71.81.91.102.23.2

– Identificarea deanalogii între elemen-tele corpurilor rotunde(cilindru, con, trunchide con) çi elementelepoliedrelor (prismå,piramidå, trunchi depiramidå)– Determinareaformulelor pentrucalculul volumului

– fiçe de lucru, pecare sunt consem-nate analogiileidentificate (deexemplu: genera-toarea conului secorespunde cu mu-chia çi cu apotemapiramidei)– tema pentru acaså1 orå

– Numårul deanalogii corectstabilite (pentruelementele cor-purilorgeometrice)– Argumenta-rea formulelordeterminate prinanalogie (rapor-tare pe grupe)

1.92.13.1

– Verificarea experi-mentalå a formulelorde volum– Utilizarea experi-mentului pentru de-terminarea volumuluisferei

– vase cu formå decilindru, con, trunchide con, semisferå;vase gradate sau cucapacitate cunoscutåActivitate pe grupede 4 elevi, urmatå deactivitate frontalå– tema pentru acaså1 orå

– ConcordanÆaîntre rezultateleobÆinute princalcul çi celeexperimentale

1.71.92.12.43.24.2

– Utilizarea formu-lelor de arie çi devolum în aplicaÆiidiverse

– fiçe de lucru, ma-nual, culegeri deproblemeActivitate în perechi– tema pentru acaså1 orå

Evaluare Probåscriså

ReflectaÆi!

Cum se individualizeazå cele trei secvenÆe (adicå Familiarizare, Structurare, Aplicare), în exemplul de proiect al uneiunitåÆi de învåÆare prezentat mai sus?

AcÆionaÆi!ProiectaÆi çi desfåçuraÆi o unitate de învåÆare, urmårind secvenÆele anterioare. AnalizaÆi împreunå cu colegii

observaÆiile fåcute çi concluziile la care aÆi ajuns.

20


� Proiectarea unei lecÆiiCa element structural al unitåÆii de învåÆare, lecÆia reia, cu ponderi variabile, secvenÆele acesteia:

familiarizare, structurare, aplicare. DiferenÆierea dintre lecÆii în interiorul unitåÆii de învåÆare este datå deaccentuarea uneia sau a alteia dintre aceste secvenÆe.

Cu precizårile anterioare privind locul çi rolul lecÆiei în cadrul unitåÆii de învåÆare, fiecare lecÆie poate ficonstruitå pe baza urmåtoarei structuri generale:

– Captarea atenÆiei elevului – prin apel la interesele acestuia;– Comunicarea obiectivelor lecÆiei – informarea elevului cu privire la obiectivul urmårit, pentru ca el så

çtie când a realizat învåÆarea;– Actualizarea cunoçtinÆelor anterioare – stimularea reactualizårii capacitåÆilor învåÆate anterior, care

participå la învåÆarea nouå;– Prezentarea noului conÆinut çi a sarcinilor de învåÆare – a materialului-stimul implicat în performanÆa ce

va reflecta învåÆarea;– Dirijarea învåÆårii – comunicåri care sugereazå direcÆia gândirii;– ObÆinerea performanÆei – când elevul çtie cum så procedeze çi aratå acest lucru;– Asigurarea feedback-ului – cu privire la gradul de corectitudine a performaÆei elevului;– Evaluarea performanÆei – aratå dacå învåÆarea a avut loc, în raport cu obiectivele învåÆårii;– Intensificarea retenÆiei – recapitulåri çi situaÆii pentru regåsirea deprinderilor intelectuale;– Asigurarea transferului – oferirea unor sarcini noi çi variate.

În cazul în care constataÆi råmîneri în urmå ale elevilor, acordaÆi mai mult timp pentru actualizareacunoçtinÆelor anterioare. Eventual, indicaÆi din timp ce ar trebui så repete elevii. Pentru aceasta, puteÆi folosiresurse ce conÆin organizatoare grafice (de exemplu, Treaptå cu treaptå la testarea naÆionalå, Ed. Sigma, 2004).

AcÆionaÆi!ProiectaÆi çi desfåçuraÆi o lecÆie, urmårind structura generalå de mai sus. DiscutaÆi cu colegii din çcoalå despre

observaÆiile çi concluziile la care aÆi ajuns.

AnalizaÆi!Care au fost cele mai utile informaÆii ale acestui capitol? Cum credeÆi cå v-ar putea ele influenÆa activitatea

la claså?

Surse bibliografice

1. Criçan, Al.(coord.), Reforma la firul ierbii, Humanitas EducaÆional, 20032. Gardner, H., Mintea disciplinatå, Ed. Sigma, 20043. Leahu, D., Leahu, I., Singer, M., Ghid metodologic de proiectare a activitaÆii didactice la ÇtiinÆe ale

Naturii, Ed. SC Aramis Print, 20014. Neacçu, I., Instruire çi învåÆare, Ed.ÇtiinÆificå, 19905. Singer, M., Voica, C., ÎnvåÆarea matematicii. Elemente de didacticå aplicatå pentru clasa a VIII-a. Ghidul

profesorului, Ed.Sigma, 2002.6. ***, Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematicå primar-gimnaziu, Ed. SC Aramis

Print, 2001

21


Capitolul 2: Cum dinamizãm învãÆarea?

Metode active în abordarea conceptelor matematice

Ce înseamnå învåÆarea activå?

ApariÆia noilor programe, centrate pe achiziÆiile elevilor, impune anumite schimbåri în didacticafiecårei discipline.

Diversificarea metodelor de învåÆare, a modurilor çi formelor de organizare a lecÆiei, a situaÆiilor deînvåÆare, constituie cheia schimbårilor pe care le preconizeazå noul curriculum. Asigurarea unor situaÆii deînvåÆare multiple creeazå premise pentru ca elevii så poatå valorifica propriile abilitåÆi în învåÆare.

Metodele de învåÆare sunt scheme de acÆiune identificate de teoriile învåÆårii; ele sunt aplicateconÆinuturilor disciplinei studiate çi reprezintå acÆiuni interiorizate de elev.

Enumeråm în continuare câteva metode de învåÆare:

Metode de învåÆare Centrate pe activitate Centrate pe conÆinutul învåÆårii

Centrate pe elev Lucråri practiceÎnvåÆare prin descoperireÎnvåÆare prin proiecteÎnvåÆare prin experimentStudiul de cazIncidentul criticJocuri didacticeJocul de rolSimulareProblematizare

DezbatereBrainstormingObservaÆie în naturåConversaÆieDemonstraÆieDialog

Centrate pe profesor ExerciÆiulInstruirea programatåAlgoritmizarea

PrelegereaExplicaÆiaPovestirea

ReflectaÆi!

„Un elev nu este un vas pe care trebuie så îl unpli, ci o flacårå pe care trebuie så o aprinzi..."ComentaÆi maxima de mai sus.

22


În practica didacticå, este acceptat faptul cå un elev reÆine…

De aceea, învåÆarea devine eficientå doar atunci când îl punem pe elev så acÆioneze!

ReflectaÆi!

În propria dumneavoastrå activitate la claså, ce metode aÆi folosit pentru dinamizarea activitåÆii? În ce mod auinfluenÆat aceste metode performanÆele çi comportamentul elevilor?

Sensul schimbårilor în didactica actualå este orientat spre formarea de competenÆe, adicå a aceloransambluri structurate de cunoçtinÆe çi deprinderi dobândite prin învåÆare, care permit identificarea çi rezolvareaunor probleme specifice, în contexte diverse. ÎnvåÆarea nu mai poate avea ca unic scop memorarea çireproducerea de cunoçtinÆe: în societatea contemporanå, o învåÆare eficientå presupune explicarea çisusÆinerea unor puncte de vedere proprii, precum çi realizarea unui schimb de idei cu ceilalÆi.

EvaluaÆi!AmintiÆi-vå cum a decurs una dintre orele recent desfåçurate la claså. Pentru aceastå orå de curs, alegeÆi, din

lista de mai jos, verbul care descrie cel mai bine activitatea elevilor: a vedea, a fi atent, a rezolva, a råspunde, apropune, a discuta, a redacta, a greçi, a calcula, a asculta, a lua notiÆe, a se plictisi. (Eventual, propuneÆi un alt verb!)

Pasivitatea elevilor în claså, consecinÆå a modului de predare prin prelegere, nu produce învåÆaredecât în foarte micå måsurå. De fapt, prelegerea presupune cå toÆi elevii pot asimila aceleaçi informaÆii, înacelaçi ritm, ceea ce este departe de realitate. Pentru elevi, este insuficient dacå, în timpul unei ore, ascultåexplicaÆiile profesorului çi våd o demonstraÆie sau un experiment. Este mult mai eficient dacå eleviiparticipå în mod activ la procesul de învåÆare: discuÆia, argumentarea, investigaÆia, experimentul, devinmetode indispensabile pentru învåÆarea eficientå çi de duratå.

Toate situaÆiile – çi nu numai metodele active propriu-zise- în care elevii sunt puçi çi care îi scot peaceçtia din ipostaza de obiect al formårii çi-i transformå în subiecÆi activi, coparticipanÆi la propriaformare, reprezintå forme de învåÆare activå.

DiscutaÆi!ÎntrebaÆi colegii care predau alte discipline în ce mod reuçesc så dinamizeze învåÆarea la propriile ore de curs.

AdaptaÆi aceste metode pentru orele dumneavoastrå, apoi comunicaÆi colegilor rezultatele çi concluziile experi-mentului.

În cele ce urmeazå, exemplificåm câteva dintre posibilele situaÆii de învåÆare activå care se potorganiza în orele de matematicå.

23

Cum dinamizãm învãÆarea?

AtenÆie!

Dacå folosiÆi pentru prima datå o anumitå metodå, aplicarea acesteia de cåtre elevi, respectiv, gestiuneatimpului çi a rezultatelor de cåtre profesor pot cauza o concentrare mai micå asupra problemei esenÆiale lacare vrem så-i facem pe elevi så se gândeascå. Pentru a evita acest risc, este de preferat så prezentaÆi çi såfolosiÆi metoda la o temå mai simplå, înainte de a o folosi la o temå complexå.

FolosiÆi o anumitå metodå de cel puÆin trei ori într-un an çcolar. NotaÆi de fiecare datå constatårile çi recitiÆi-leînainte de a aplica din nou metoda.

De asemenea, dacå intenÆionaÆi så folosiÆi forme noi de organizare a clasei – de exemplu, lucrul în grupuri –recurgeÆi pentru prima datå la o astfel de formå de organizare în cadrul unei lecÆii de recapitulare, care nupresupune achiziÆionarea de noi cunoçtinÆe.

Ce metode generale de activizare a clasei pot fi folosite?

Unele metode de organizare a activitåÆilor la claså sunt recunoscute a avea un potenÆial activizator maipronunÆat. Avantajul major al folosirii acestor metode provine din faptul cå ele pot motiva çi elevii care auråmâneri în urmå. În cele ce urmeazå, prezentåm câteva sugestii pentru adaptarea acestor metode la orelede matematicå.

Metodele „active“ necesitå o pregåtire atentå: ele nu sunt eficiente decât în condiÆiile respectårii„regulilor jocului“.

� BrainstormingMetoda Brainstorming înseamnå formularea a cât mai multor idei – oricât de fanteziste ar putea pårea

acestea – ca råspuns la o situaÆie enunÆatå, dupå principiul cantitatea genereazå calitatea. Conform acestuiprincipiu, pentru a ajunge la idei viabile çi inedite este necesarå o productivitate creativå cât mai mare.

Etape Exemplu

1. Alegerea sarcinii de lucru. Fie ABCD un patrulater convex, în care BC çi AD nu sunt paralele, fie E�(BC)

çi F�(AD) astfel încât . Construim paralelogramele ABEGçi ECDH.DemonstraÆi cå:a) AG || DH;b) <GFA � <DFHc) Punctele G, F çi H sunt coliniared) EF este bisectoarea unghiului GEH(Problema este preluatå din Manualul de Matematicå pentru clasa aVII-a, Ed. Teora, 2000, pag. 167)

2. Solicitarea exprimårii într-un modcât mai rapid, a tuturor ideilorlegate de rezolvarea problemei.Sub nici un motiv, nu se voradmite referiri critice.

CereÆi elevilor så propunå strategii de rezolvare a problemei. Pot apårea,de exemplu, sugestii legate de realizarea unei figuri cât mai corecte, deverificare „pe desen“ a proprietåÆilor cerute în concluzia problemei, demåsurare a unor unghiuri sau segmente. LåsaÆi elevii så propunå oricemetodå le trece prin minte!

24


CDAB

FDAF

ECBE

��

Etape Exemplu

3. Înregistrarea tuturor ideilor înscris (pe tablå). AnunÆarea uneipauze pentru açezarea ideilor (dela 15 minute pânå la o zi).

NotaÆi toate propunerile elevilor. La sfârçitul orei, puneÆi elevii så transcrietoate aceste idei çi cereÆi-le ca, pe timpul pauzei, så mai reflecteze asupralor.

4. Reluarea ideilor emise pe rând çigruparea lor pe categorii, simbo-luri, cuvinte cheie, etc.

Pentru problema analizatå, cuvintele-cheie ar putea fi: måsurare, con-gruenÆå, asemånare, paralelism.

5. Analiza criticå, evaluarea, argumen-tarea, contraargumentarea ideiloremise anterior. Selectarea ideilororiginale sau a celor mai apro-piate de soluÆii fezabile pentru pro-blema supuså atenÆiei.

PuneÆi întrebåri de tipul:Am putea rezolva problema folosind måsuråtori pe o figurå cât maicorectå? Este util så studiem un caz particular al problemei? Au întrebårileproblemei legåturå între ele? Ce anume trebuie så demonstråm?

6. Afiçarea ideilor rezultate în formecât mai variate çi originale: cu-vinte, propoziÆii, colaje, imagini,desene, etc.

Ca urmare a discuÆiilor avute cu elevii, trebuie så rezulte strategia derezolvare a problemei. Aceasta poate fi sintetizatå sub forma unor indicaÆiide rezolvare, de tipul:– construim figura– aplicåm un criteriu de asemånare– folosim teorema bisectoarei

AtenÆie!ReÆineÆi cå obiectivul fundamental constå în exprimarea liberå a opiniilor prin eliberarea de orice

prejudecåÆi. De aceea, acceptaÆi toate ideile, chiar tråznite, neobiçnuite, absurde, fanteziste, aça cum vin eleîn mintea elevilor, indiferent dacå acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei.

Pentru a determina progresul în învåÆare al elevilor cu råmâneri în urmå, este necesar så îi antrenaÆi înschimbul de idei; faceÆi astfel încât toÆi elevii så îçi exprime opiniile!

AcÆionaÆi!AlegeÆi o problemå de matematicå, a cårei rezolvare nu este algoritmicå çi aplicaÆi etapele descrise mai sus,

pentru a obÆine idei de rezolvare. RepetaÆi de mai multe ori metoda, apoi formulaÆi concluzii.

� Mozaicul

Metoda Mozaicului presupune învåÆarea prin cooperare la nivelul unui grup çi predarea achiziÆiilordobândite de cåtre fiecare membru al grupului unui alt grup.

Etape Exemplu

1. ImpårÆirea clasei în grupuri eterogene de 4elevi, fiecare dintre aceçtia primind câte o fiçåde învåÆare numerotatå de la 1 la 4. Fiçele cu-prind pårÆi ale unui material, ce urmeazå a fiînÆeles çi discutat de cåtre elevi.

PropuneÆi „lecÆia“ din Manualul de matematicå pentru clasaa V-a, Ed.Sigma, 2002, de la pag. 72-74. Cele patru „fiçe“ delucru sunt paragrafele prezentate în manual cu titlurile: CândobÆinem propoziÆii adevårate folosind „çi“/ „sau“/ „nu“/„dacå…atunci…“?. Ele apar în imaginile urmåtoare.

2. Prezentarea succintå a subiectului tratat. Expli-carea sarcinii de lucru çi a modului în care seva desfåçura activitatea.

În cazul analizat, subiectul este „PropoziÆii compuse“.

25


Etape Exemplu

3. Regruparea elevilor, în funcÆie de numårulfiçei primite, în grupuri de experÆi: toÆi eleviicare au numårul 1 vor forma un grup, cei cunumårul 2 vor forma alt grup s.a.m.d.

Açadar, unul dintre grupurile de „experÆi“ va fi format dintoÆi elevii care au primit, în cadrul grupului iniÆial de 4,porÆiunea de lecÆie cu titlul: Când obÆinem propoziÆii ade-vårate folosind „çi“?

4. InvåÆarea prin cooperare a secÆiunii care arevenit fiecårui grup de experÆi. Elevii citesc,discutå, încearcå så înÆeleagå cât mai bine,hotåråsc modul în care pot preda ceea ce auînÆeles colegilor din grupul lor originar.

Elevii din fiecare grup decid cum vor „preda“. Ei pot folosidesene, exemple numerice, texte în vorbirea curentå, simbo-luri matematice.

5. Revenirea în grupul iniÆial çi predarea secÆiuniipregåtite celorlalÆi membri. Dacå sunt necla-ritåÆi, se adreseazå întrebåri expertului. DacåneclaritåÆile persistå se pot adresa întrebåri çicelorlalÆi membri din grupul expert pentru sec-Æiunea respectivå.

In fiecare grup, sunt astfel „predate“ cele patru secvenÆe alelecÆiei. În acest fel, fiecare elev devine responsabil atâtpentru propria învåÆare, cât çi pentru transmiterea corectå çicompletå a informaÆiilor. Este important så monitorizaÆiaceastå activitate, pentru ca achiziÆiile så fi corect transmise.

6. Trecerea în revistå a materialului dat prin pre-zentare oralå cu toatå clasa/ cu toÆi partici-panÆii.

Câteva întrebåri bine alese de profesor vor evidenÆia nivelulde înÆelegere a temei.

Metoda Mozaicului are avantajul cå implicå toÆi elevii în activitate çi cå fiecare dintre ei devine responsabil,atât pentru propria învåÆare, cât çi pentru învåÆarea celorlalÆi. De aceea, metoda este foarte utilå în motivareaelevilor cu råmâneri în urmå: faptul cå se transformå, pentru scurt timp, în „profesori“ le conferå un ascendentmoral asupra colegilor.

AcÆionaÆi!

AlegeÆi un subiect care se preteazå aplicårii acestei metode çi desfåçuraÆi o orå de claså folosind paçii descriçi anterior.

26


� InvestigaÆiaInvestigaÆia la matematicå implicå, pe de o parte, rezolvarea unor probleme întâlnite în cotidian sau

în alte domenii ale disciplinelor çcolare çi, pe de altå parte, explorarea unor concepte matematicenecunoscute utilizând metode, tehnici, concepte cunoscute. InvestigaÆia presupune atât rezolvarea deprobleme cât çi crearea de probleme.

Exemplu: Determinarea çi compararea distanÆelor din mediul apropiatla clasa a V-a

Materiale necesare: o hartå a zonei locale, înzestratå cu o scalå.Elevii culeg informaÆii despre distanÆele pe care le parcurg colegii lor de acaså pânå la çcoalå,

înregistreazå aceste informaÆii în tabele, comparå çi clasificå informaÆiile, cu scopul de a extrage mai uçordate relevante pentru întrebårile puse.

Activitatea începe în claså, prin explicarea sarcinilor de cåtre profesor çi se continuå extraçcolar, princulegerea datelor de cåtre elevi, organizaÆi în grupe de câte patru. Datele pot fi notate pe hårÆi, integrând înacest fel çi cunoçtinÆele de geografie localå. De asemenea, datele pot fi sistematizate într-un tabel în care seprecizeazå: numele elevului, distanÆa pe care o parcurge de acaså pânå la çcoalå, mijlocul de transportfolosit etc. Acolo unde distanÆa nu poate fi determinatå cu prea mare precizie, se utilizeazå aproximåri.Elevii sunt sfåtuiÆi så obÆinå cât mai multe date, inclusiv de la celelalte echipe, în care nu sunt membri.Prelucrarea datelor vizeazå obÆinerea de råspunsuri la urmåtoarele tipuri de întrebåri.

Cine locuieçte cel mai aproape de çcoalå? Dar cel mai departe? Cu cât este mai scurtå prima distanÆå faÆå de adoua? De câte ori? (AproximaÆi!)

CâÆi copii locuiesc la o distanÆå mai lungå de 1 km faÆå de çcoalå? ComparaÆi cu numårul copiilor care locuiescla o distanÆå mai scurtå de 1 km. EfectuaÆi çi alte comparaÆii.

Elevii sunt stimulaÆi så formuleze cât mai multe întrebåri.Timp de lucru alocat în claså: 15–20 minute pentru explicarea activitåÆii, în prima orå; 30 de minute

pentru discutarea modului de organizare çi prezentare a datelor, o såptåmânå mai târziu; 30 de minutepentru evaluarea activitåÆii desfåçurate de câÆiva elevi. Evaluarea investigaÆiei se face holistic pentru toÆimembrii unei grupe, Æinând cont de claritarea prezentårii çi a argumentårii, precum çi de gradul definalizare a sarcinii

InvestigaÆia pune toÆi elevii în situaÆia så acÆioneze. Deoarece sarcinile de lucru nu vizeazå doar sfera cognitivå,în cadrul investigaÆiei se gåseçte un rol pentru fiecare elev; de aceea, toÆi elevii conçtientizeazå propria importanÆåpentru derularea activitåÆii.

AcÆionaÆi!

AlegeÆi un subiect care se preteazå aplicårii acestei metode çi desfåçuraÆi o investigaÆie urmând procedura descrisåanterior.

� Proiectul

Metoda Proiectului înseamnå realizarea unui produs, ca urmare a colectårii çi prelucrårii unor date referitoarela o temå anterior fixatå.

Proiectul este activitatea cel mai pregnant centratå pe elevi. Este un produs al imaginaÆiei acestora,menit så permitå folosirea liberå a cunoçtinÆelor însuçite, într-un context nou çi relevant. Proiectul este oactivitate personalizatå, elevii putând decide nu numai asupra conÆinutului såu, dar çi asupra formei deprezentare. În plus, proiectul încurajeazå cel mai bine abordarea integratå a învåÆårii: elevilor li se creeazåocazia de a folosi în mod unitar cunoçtinÆe çi tehnici de lucru dobândite la mai multe discipline.

27


Fiind o activitate centratå pe elev, îi då acestuia posibilitatea de a asambla într-o viziune personalåcunoçtinÆele pe care le are, råspunzând astfel unei întrebåri esenÆiale: „Ce pot face cu ceea ce am învåÆat laçcoalå?“.

Proiectul începe în claså, prin conturarea obiectivelor, formularea sarcinii de lucru çi (dacå este cazul)precizarea echipei care îl realizeazå. În afara orelor de curs, dar sub îndrumarea profesorului, elevii stabilescmetodologiile de lucru, îçi definesc (dacå este cazul) statutul çi rolul în cadrul grupului çi fixeazå termenepentru diferite etape ale proiectului. Dupå colectarea datelor çi organizarea materialului, proiectul seîncheie în claså, prin prezentarea rezultatelor obÆinute.

Proiectul prezintå avantajul antrenårii elevilor în activitåÆi complexe, ce presupun identificare çicolectare de date, precum çi prelucrarea çi organizarea acestora într-un mod original.

Pentru buna desfåçurare a proiectului, ÆineÆi cont de sugestiile de mai jos.■ AjutaÆi elevii så stabileascå o listå de întrebåri esenÆiale legate de tematica proiectului çi så centreze

conÆinutul proiectului în jurul acestor întrebåri. PregåtiÆi-vå cu grijå activitatea!■ AcordaÆi elevilor libertate în privinÆa organizårii çi structurårii proiectului, dar conturaÆi împreunå

câteva elemente obligatorii (de exemplu: introducere, concluzii, bibliografie etc.). Nu zoriÆidesfåçurarea activitåÆilor, dar cereÆi elevilor så întocmeascå un calendar al activitåÆilor cu termenerealiste de finalizare a diferitelor etape.

■ UrmåriÆi activitatea de elaborare a proiectelor, cerând elevilor så raporteze periodic gradul derealizare. ÎnterveniÆi în activitatea unui elev sau a unui grup numai dacå este strict necesar. LåsaÆielevii så se descurce cât mai mult singuri!

■ FolosiÆi „gålågia lucrativå“, atunci când activitatea se desfåçoarå în claså. Nu renunÆaÆi uçor, chiardacå aveÆi impresia cå lucrurile nu avanseazå aça cum v-aÆi dori!

■ EvaluaÆi atât calitatea proiectului (având în vedere adecvarea la temå, completitudinea, structu-rarea, semnificaÆia datelor, creativitatea), cât çi calitatea activitåÆii elevilor (având în vedere docu-mentarea, modul de comunicare, calitatea rezultatelor).

Sugestii pentru tematica unor proiecte

Exemplul 1

Proiectul urmåtor permite abordarea unitåÆii de învåÆare „FuncÆii de forma: x�ax+b“ într-o manieråcoerentå çi atractivå.

Titlul proiectului: Consumul casnic de energie electricå: ce tip de abonament este mai eficient?Paçi în derularea proiectului:■ Familiarizare: investigarea ofertei de abonamente pentru consumul casnic de energie electricå

(abonament uzual sau abonament social).■ Structurare: obÆinerea de informaÆii cu privire la facilitåÆile oferite de fiecare tip de abonament;

înregistrarea consumului casnic pe o perioadå de timp çi extrapolarea acestuia la o lunå; modelareasituaÆiilor înregistrate prin intermediul funcÆiilor afine; compararea graficelor unor astfel de funcÆiiîn scopul alegerii contractului optim.

■ Aplicare: identificarea modalitåÆilor de încadrare în consumul preconizat prin utilizarea conceptuluide funcÆie afinå (x�ax+b).

AtenÆie!

Proiectul este ceva, nu este despre ceva. Produsul finit rezultat în urma activitåÆii de proiect creeazå elevuluisentimentul utilitåÆii a ceea ce produce, direcÆioneazå efortul acestuia cåtre cineva (publicul-Æintå cåruia i seadreseazå).

În urma derulårii unor proiecte, se pot realiza: broçuri, pliante, postere, pagini de revistå sau ziar, etc.

28


ReflectaÆi!

Ce alte produse ar mai putea fi realizate, în urma derulårii unor proiecte?

Pentru exemplele anterioare, care credeÆi cå ar putea så fie produsele obÆinute în urma desfåçurårii proiectelor?

Exemplul de mai jos reprezintå o parte a unui proiect cu titlul „Telefonia: care companie este maiavantajoaså?“, realizat de cåtre un grup de eleve din clasa a VII-a A de la Çcoala nr.12 din Bucureçti:Alexandru Alice, Bârloiu Diana çi Petrea Andra. Proiectul a avut ca obiectiv culegerea, clasificarea,reprezentarea çi interpretarea datelor. În urma realizårii proiectului, produsul obÆinut a fost un poster, pecare au fost reprezentate datele. Prezentarea çi interpretarea datelor a fost fåcutå prin intermediul unui jocde rol. Mai jos sunt prezentate unele dintre reprezentårile fåcute, precum çi o secvenÆå a jocului de rol.

Alice: Fetelor, a venit factura de telefon.Andra: Vai, ce preÆuri mari!Diana: Daca tot vå minunaÆi de factura de telefon så vedem care este compania cea mai avantajoaså.Andra:Intr-o joi doamna profesoarå de matematicå ne-a propus diverse moduri de organizare a

datelor çi de asemenea ne-a propus un proiect foarte interesant: „Telefonia – care companie este maiavantajoaså?“

Andra: Prin acest proiect ne-am propus culegerea de informaÆii referitoare la preÆurile convorbirilortelefonice din reÆelele: Romtelecom, Orange, Connex, Zapp çi prelucrarea acestora.

Alice: De asemenea çi culegerea datelor çi prezentarea lor sub diverse forme cu ajutorul progra-mului Microsoft Excel iar prezentarea a fost fåcutå cu ajutorul programului Power Point.

……………………………………………………………………………………………………………….Andra: Ca o ultimå concluzie: pentru convorbirile în afara reÆelei cel mai ieftin este Romtelecom çi

cel mai scump Zapp.Alice: Pentru internet cel mai ieftin este Connex çi cel mai scump este Romtelecom.Diana: Pentru convorbirile în reÆelele naÆionale cel mai ieftin este Romtelecom si cel mai scump este Zapp.Alice: Vå propunem så utilizaÆi concluziile proiectului nostru pentru a vå optimiza costurile convor-

birilor telefonice!

AcÆionaÆi!OrganizaÆi çi desfåçuraÆi cu elevii unei clase un proiect.Dupå realizarea proiectelor çi susÆinerea lor, discutaÆi cu elevii asupra relevanÆei acestui tip de activitate pentru

învåÆarea çcolarå.

29


Ce alte situaÆii de învåÆare activå putem organizaîn orele de matematicå?

� Utilizarea eficientå a manualuluiManualele alternative conduc la o diversificare a ofertei educaÆionale, în condiÆiile în care unul dintre

principiile pedagogice vizeazå trecerea de la învåÆåmântul pentru toÆi la învåÆåmântul pentru fiecare. Ele îçipropun så ofere variante care så structureze procesul de cunoaçtere, så formeze çi så disciplineze gândirea,så-i ajute pe elevi så parcurgå învåÆarea într-un demers personalizat.

AtenÆie!Manualele pot reprezenta mai mult decât simple culegeri de probleme!

ReflectaÆi!

Care au fost criteriile personale folosite în alegerea manualelor alternative pentru clasele la care predaÆi?

EvaluaÆi!PrecizaÆi câteva tipuri de activitåÆi de învåÆare pentru care aÆi folosit manualele în claså.ExperimentaÆi câteva ore de claså la care nu folosiÆi deloc manualele. Existå deosebiri faÆå de celelalte ore? În

ce constau acestea?

ActivitåÆile descrise în continuare pot face ca manualele så fie utilizate mai eficient la claså. În acest fel,manualul poate deveni un sprijin pentru elevii cu råmâneri în urmå la matematicå.

� Prelucrarea de cåtre elevi a informaÆiilor esenÆiale din lecÆie

În loc så „predaÆi“ o lecÆie, cereÆi elevilor så citeascå lecÆia din manual, så facå un rezumat çi så discute între eipasajele neclare. Acesta este un excelent prilej de lucru în grup, prin care se exerseazå comunicarea specificå matematicii.

EvaluaÆi!Pentru urmåtorul fragment de lecÆie (preluat din Manualul de Matematicå pentru clasa a VI-a, Ed. Radical,

1998, pag. 69), anticipaÆi dificultåÆile pe care le-ar putea avea elevii dumneavoastrå prin aplicarea metodei de maisus. GândiÆi-vå cum ar putea decurge ora de claså çi care ar putea fi rolul dumneavoastrå în organizarea activitåÆii.Ce avantaje çi ce dezavantaje ar putea avea acest mod de organizare a învåÆårii?

� Minimizarea notiÆelor elevilor

Scrierea dupå dictare poate fi mare consumatoare de timp, mai ales la clasele mici. De aceea, este utilså folosiÆi manualul pentru a citi çi comenta, împreunå cu elevii, diverse reguli, definiÆii, precizåri saurecomandåri. În acest fel, elevii se concentreazå asupra esenÆialului, dificultåÆile cauzate de necesitateascrierii rapide fiind înlåturate. Pentru fixarea noilor noÆiuni, solicitaÆi elevilor ca, dupå citirea definiÆiei, så

30


gåseascå exemple, contraexemple, legåturi cu alte noÆiuni studiate anterior. PuteÆi reveni asupra acestorpasaje din manual çi în momentul în care faceÆi sumarul lecÆiei.

EvaluaÆi!AplicaÆi aceastå metodå la una dintre clasele dumneavoastrå. VerificaÆi, dupå câteva zile, dacå elevii au reÆinut

regulile sau definiÆiile citite din carte çi comentate în claså. ComparaÆi cu situaÆia în care aÆi dictat definiÆiile sau regulile.

� Integrarea în predare a sarcinilor de lucru din manuale

Dezvoltarea gândirii critice presupune crearea cadrului în care elevii îçi pun întrebåri çi cautå råspunsuri laacestea; gândirea criticå este conectatå, în mod natural, cu noutatea. Predarea nu poate fi „liniarå“: profesorultrebuie så faciliteze îndoiala, incertitudinea, nesiguranÆa în råspunsuri, tocmai pentru a eficientiza învåÆarea.

În multe cazuri, manualele conÆin sarcini de lucru corelate cu conÆinutul lecÆiei. Organizarea unoractivitåÆi de învåÆare pornind de la aceste sarcini de lucru poate fi o soluÆie pentru dinamizarea învåÆårii.

EvaluaÆi!Pentru urmåtorul fragment de lecÆie (preluat din Manualul de Matematicå pentru clasa a VIII-a, Ed. Sigma,

2000, pag. 129), anticipaÆi dificultåÆile pe care le-ar putea avea elevii dumneavoastrå, în cadrul unei ore de claså încare ar citi lecÆia din manual çi ar råspunde la sarcinile de lucru cuprinse în lecÆie. GândiÆi-vå cum ar putea decurgeora de claså çi care ar putea fi rolul dumneavoastrå în organizarea activitåÆii.

Pentru manualele de care dispuneÆi, identificaÆi sarcini de lucru cuprinse în manual çi folosiÆi-le în cadrul orelorla claså. Ce avantaje çi ce dezavantaje are acest mod de organizare?

� Utilizarea metodelor specifice altor disciplineMonotonia unor ore care se desfåçoarå „la fel“ poate fi înlåturatå prin folosirea unor metode specifice

altor discipline. Aceste metode pot fructifica potenÆialul unor elevi care au alt profil de învåÆare decât cellogico- matematic. În acest mod, elevii cu dificultåÆi în învåÆare pot fructifica propriile abilitåÆi, specificeunor alte domenii çi îçi pot dovedi utilitatea.

Organizarea unor lecÆii centrate pe astfel de metode presupune imaginaÆie çi iniÆiativå, atât din parteaprofesorului, cât çi a elevilor.

DiscutaÆi çi acÆionaÆi!ÎntrebaÆi colegii care predau alte discipline ce metode specifice aplicå la claså. ImaginaÆi activitåÆi care aplicå

aceste metode la orele de matematicå çi desfåçuraÆi activitåÆile în claså. VerificaÆi prin chestionare de opinie modulîn care elevii percep activitatea astfel desfåçuratå. DiscutaÆi cu colegii concluziile la care aÆi ajuns.

De exemplu, puteÆi propune:

� Povestiri cu subiect datAlegeÆi un concept oarecare (de exemplu: triunghiul dreptunghic) çi cereÆi elevilor så creeze o

povestire în care personajul principal este conceptul ales, iar alte personaje sunt „rudele“ acestuia (în cazulnostru, triunghiul oarecare çi dreptunghiul). În acest fel, elevii ajung în mod natural la caracterizarea uneinoi noÆiuni, prin gen proxim çi diferenÆå specificå, adicå prin sesizarea asemånårilor çi deosebirilor dintre

31


noÆiunea nouå çi alte noÆiuni, anterior studiate. Entuziasmul çi imaginaÆia elevilor, în rezolvarea acesteisarcini de lucru, compenseazå din plin „timpul pierdut“ cu o astfel de activitate.

Fragmentele din povestirile urmåtoare au fost realizate de cåtre elevele Gheorghe Andreea çi BocaSabina, de la Scoala nr. 12 din Bucureçti.

ViaÆa unui triunghiuleÆ

Eu sunt un triunghi çi må numesc Måghiran-san. Så va spun povestea mea:M-am nåscut într-un sat din sudul Chinei. Mama mea avea catetele inegale, de 6 çi de 8 cm çi bineînÆeles, un

unghi drept. Tata avea catetele egale çi ipotenuza de 8 cm. (…) Dupå ce am mai crescut un pic, m-am dus la çcoalå,unde toÆi îçi båteau joc de mine, pentru cå ei aveau toate unghiurile ascuÆite, iar eu…

Çcoala s-a terminat çi am vrut så må înscriu la facultatea de matematicå (…), dar mai am o sarcinå: trebuie såmå desenez çi så îmi aflu perimetrul. (…) Oare, voi intra la facultate?

Vecinul meu

Salut! Sunt un triunghi çi am un prieten, mai bine zis un vecin cu care må înÆeleg foarte bine. Så vå spun cumne-am împrietenit.

Era o familie de patrulatere. Unul din ei era paralelogramul, fratele påtratului çi veriçorul dreptunghiului. (…)Într-o zi, ne-am dus så ne înscriem la un club de matematicå. Ca så intråm, trebuia så ne desenåm çi så ne aflåmperimetrul çi semiperimetrul. El a reuçit, eu nu! Aça cå vreau så må ajutaÆi voi. (…)

� Justificåri experimentalePuteÆi înlocui demonstraÆiile „pur“ matematice (care, de multe ori, depåçesc puterea de înÆelegere a

elevilor), prin experimente ce pot crea convingeri matematice. Pentru aceasta, cereÆi elevilor så imaginezeçi så desfåçoare experimente diverse, iar apoi så interpreteze concluziile. În acest mod, aplicaÆi lamatematicå metode specifice çtiinÆelor naturii.

De exemplu, le puteÆi propune elevilor urmåtoarea situaÆie-problemå: ce relaÆie existå între volumul uneiprisme çi volumul unei piramide care au baze çi înålÆimi respectiv congruente?

O posibilå argumentare este compararea (prin cântårire) a maselor a douå corpuri geometrice realizate dinlemn. RemarcaÆi cå, la nivelul claselor de gimnaziu, o demonstraÆie matematicå a relaÆiei cerute este nerealistå.

32


AcÆionaÆi!IdentificaÆi diverse situaÆii-problemå care pot fi modelate çi confirmate printr-un experiment. OrganizaÆi

situaÆii de învåÆare, în care elevii imagineazå çi desfåçoarå experimente. FolosiÆi, eventual, dotårile existente în labo-ratorul de fizicå.

� Joc de rol

Jocul de rol se realizeazå prin simularea unei situaÆii, care pune participanÆii în ipostaze care nu le suntfamiliare, pentru a-i ajuta så înÆeleagå situaÆia respectivå çi så înÆeleagå alte persoane care au puncte devedere, responsabilitåÆi, interese, preocupåri çi motivaÆii diferite.

Un joc de rol poate fi, de exemplu, organizat în jurul urmåtoarei situaÆii: bisectoarea çi înålÆimea unuitriunghi discutå: ce îçi spun?

Pentru desfåçurarea jocului, este util så decideÆi, împreunå cu elevii, împårÆirea rolurilor (inclusivrolurile de observator), så stabiliÆi modul de desfåçurare a jocului de rol, så pregåtiÆi fiçele cu descrierile derol çi så instruiÆi elevii în legåturå cu desfåçurarea propriu-ziså. Astfel, fiçele ar putea puncta câteva dintreproprietåÆile pe care „actorii“ le pot invoca (de exemplu, concurenÆå, måsuri de unghiuri, distanÆå, etc.), iarrolurile ar putea så porneascå de la deosebiri („noi, înålÆimile suntem mai importante, pentru cå…“) çi såajungå la asemånåri („de fapt, în triunghiul isoscel suntem surori gemene…“).

Dupå desfåçurarea jocului de rol, este utilå realizarea unei analize din perspectiva experienÆelor deînvåÆare avute çi evaluarea activitåÆii împreunå cu actorii çi observatorii. În acest moment, sunt utileîntrebåri de tipul:

Ce sentimente aveÆi în legåturå cu rolurile/ situaÆiile interpretate?A fost o interpretare conformå cu realitatea?A fost rezolvatå problema conÆinutå de situaÆie? Dacå da, cum? Dacå nu, de ce?Ce ar fi putut fi diferit în interpretare? Ce alt final ar fi fost posibil?Ce aÆi învåÆat din aceastå experienÆå?

AcÆionaÆi!IdentificaÆi o situaÆie ce ar putea fi simulatå printr-un joc de rol. ParcurgeÆi etapele recomandate, apoi evaluaÆi

eficienÆa acestui procedeu, din punctul de vedere al cunoaçterii çi înÆelegerii conceptelor despre care s-a discutat,comparativ cu procedeele „clasice“ de organizare a învåÆårii. ComunicaÆi colegilor concluziile la care aÆi ajuns.

Cum abordåm tratarea diferenÆiatå folosind metodede învåÆare activå?

O educaÆie pentru înÆelegere, în accepÆia lui Howard Gardner, ar trebui så se construiascå pe douåfundamente. Pe de o parte, este necesar ca educatorii så recunoascå dificultåÆile cu care se confruntå eleviiîn obÆinerea unei înÆelegeri adevårate a anumitor obiecte de studiu çi concepte importante. Pe de altåparte, este necesar ca educatorii så ia în considerare diferenÆele în plan mental dintre diferite persoane çi,pe cât posibil, så se adreseze unei varietåÆi foarte largi de elevi.

În acest caz, teoria inteligenÆelor multiple poate contribui efectiv la un proces eficient de predare. O„perspectivå bazatå pe inteligenÆe multiple“ poate potenÆa înÆelegerea în cel puÆin trei feluri:

1. Prin oferirea unor puncte de acces semnificative.2. Prin oferirea unor analogii corespunzåtoare.3. Prin oferirea unor reprezentåri multiple ale ideilor centrale sau de bazå legate de un subiect

33


1. Punctele de accesPunctele de acces pot fi organizate astfel încât så valorifice diferite tipuri de inteligenÆe. In continuare

sugeråm câteva exemple.Punctul de acces narativ. O scurtå istorioarå dinamicå poate precede introducerea unei noÆiuni. De

exemplu, povestea jocului de çah poate reliefa modul de creçtere diferit al progresiei geometrice faÆå de ceaaritmeticå çi poate sugera sugestiv ordinul de mårime al sumei câtorva termeni ai unei astfel de progresii.

Punctele de acces numerice. Unora dintre elevi le place så aibå de-a face cu numere çi relaÆii numerice.Problemele de numårare pot fi folosite ca un excelent mijloc pentru imaginarea çi analiza configuraÆiilorgeometrice. De exemplu: câte triunghiuri se pot forma cu vârfurile în vârfurile unui cub?

Punctele de acces logice. Anumite enunÆuri devin mai accesibile dacå sunt formulate sintetic în formadacå- atunci, în propoziÆii scurte. Trecerea în aceastå formå se dovedeçte utilå în multe cazuri. De exemplu,teorema: Într-un triunghi isoscel mediana corespunzåtoare bazei este çi înålÆime, este util så fie formulatå: Dacå untriunghi este isoscel, atunci mediana corespunzåtoare bazei este çi înålÆime, pentru a pune în evidenÆå relaÆia logicådintre ipotezå çi concluzie. De asemenea, raÆionamentul tip silogism trebuie scos în evidenÆå frecvent în orelede geometrie. De exemplu: Dacå orice påtrat este romb, atunci el are proprietåÆile rombului çi dacå ABCD este unpåtrat, atunci ABCD are toate proprietåÆile rombului, inclusiv aceea cå diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor.

Punctele de acces estetice. Se poate recurge la o operå de artå pentru a introduce diferite teme la geometrie.Reproduceri dupå tablouri de Mondrian, Kandinski, o discuÆie pe tema punctului çi a liniei în geometrie pornindde la analiza imaginii pot stârni interesul cåtre matematicå al copilului cu inteligenÆå vizualå.

Punctele „practice“ de acces. Copiii sunt stimulaÆi de posibilitatea de a lucra cu materiale concrete.Utilizarea materialului didactic în orå çi, mai ales, prelucrarea lui directå de cåtre elev poate contribuidecisiv la înÆelegerea unor tipuri de probleme çi, în acest mod, la apropierea de matematicå în special acopiilor înclinaÆi spre o abordare practicå manipulatorie.

Punctele de acces interpersonale. Pânå acum, punctele de acces trecute în revistå au fost cele care se re-ferå la elev ca individ. Totuçi, unii elevi vor så înveÆe în compania semenilor lor. Unora le place så colabo-reze cu colegii lor, iar altora le place så dezbatå, så argumenteze, så prezinte interese contradictorii çi såocupe diferite roluri. Proiectele sunt vehicule ideale pentru astfel de abordåri interpersonale. Prinparticiparea la proiecte atractive çi care dureazå mai multe såptåmâni, elevii pot interacÆiona între ei, potînvåÆa din cuvintele çi acÆiunile altora, pot surprinde propriile reacÆii faÆå de un subiect çi îçi pot aducepropriile contribuÆii idiosincratice la efortul de grup.

2. Analogii çi metafore sugestiveMatematica este prin definiÆie un domeniu al cogniÆiei. Multe dintre rezultatele matematice, deçi

teoretice çi abstracte, pot fi înså explicate prin analogii çi metafore sugestive.De exemplu teorema reproduså în imaginea de mai jos poate fi mult mai uçor reÆinutå dacå este

prezentatå sub denumirea „teorema acoperiçului“.

34


3. Reprezentåri multiple ale ideilor de bazå legatede un subiect

Perspectiva „reprezentårilor multiple“ o contracareazå pe cea a „analogiei çi metaforei“. Când faci oanalogie, alegi un element dintr-o sferå de referinÆå în mod deliberat îndepårtatå sau diferitå, înså în cazulreprezentårilor multiple alegi elemente din sfere de referinÆå care se aplicå imediat la subiectul în discuÆie.De exemplu se pot folosi reprezentåri multiple pentru a evidenÆia proprietåÆile operaÆiilor cu numere reale:

■ desene ale grupelor deobiecte structurate în diferitemoduri

■ reprezentåri schematiceutilizând– diagrame Venn– axa numerelor

■ reprezentåri geometrice cefructificå noÆiunile de arieçi volum

Este important ca aceste reprezentåri så fie utilizate consecvent, dezvoltând totodatå o varietate demodele pentru fiecare concept.

AnalizaÆi!Care au fost cele mai importante informaÆii ale acestui capitol? Cum credeÆi cå v-ar putea ele influenÆa

activitatea la claså?

Surse bibliografice

1. Gardner, H., Mintea disciplinatå, Ed. Sigma, 20042. Påcurari, O. (coord.), Strategii didactice inovative, Centrul educaÆia 2000+, Ed. Sigma, 20033. Singer, M., Voica, C., ÎnvåÆarea matematicii. Elemente de didacticå aplicatå pentru clasa a VIII-a. Ghidul

profesorului, Ed.Sigma, 2002.4. ***, Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematicå primar-gimnaziu, Ed. SC Aramis

Print, 2001

35


Capitolul 3: Cum evaluãm?

Evaluarea ca diagnostic çi evaluarea ca måsuråa progresului în învåÆare

Ce scopuri are evaluarea çcolarå?

În societatea contemporanå devine tot mai necesarå realizarea unei legåturi mai pronunÆate între ceeace se învaÆå în çcoalå çi viaÆa cotidianå. SituaÆiile din viaÆa de zi cu zi nu se rezolvå aproape niciodatå prinprobleme-tip, iar modele ale acestor situaÆii cotidiene copilul întâlneçte, din påcate, numai cu totulîntâmplåtor în çcoalå. În ciuda evidenÆelor, aceastå stare de fapt persistå; nici elevii, dar nici profesorii nupar dornici så (se) schimbe ceva. Cum anume s-ar putea acÆiona?

Ceea ce nu se evalueazå, nu se învaÆå.

De aceea, pentru a stimula învåÆarea, trebuie ca evaluarea så devinå eficientå (så furnizeze cât mai multeinformaÆii semnificative cu cât mai puÆine resurse) çi efectivå (så conducå la obÆinerea de soluÆii remediale).

În analiza evaluårii çcolare, pornim de la urmåtoarea premiså: rostul evaluårii nu este atât notarea elevului, însensul catalogårii lui pe un anumit nivel al performanÆei çcolare, ci måsurarea progresului în învåÆare çideterminarea (generarea) acestui progres. În aceste condiÆii, notarea ar trebui så måsoare nu atât cantitatea deinformaÆii de care dispune elevul la un moment dat ci mai ales, ceea ce poate el så facå utilizându-çi competenÆeledobândite prin învåÆare.

Atunci când acordaÆi note elevilor, gândiÆi-vå cå:Scopul major al evaluårii este generarea progresului în învåÆare.

Pentru a-çi atinge scopul, evaluarea ar trebui så se realizeze printr-o gamå cât mai largå de metode, care potevidenÆia gradul de formare/ dezvoltare a competenÆelor dezirabile. Profesorul poate evalua progresele înregistratede elevi çi calitatea activitåÆilor didactice desfåçurate de el cu elevii printr-o varietate de forme çi metode deevaluare: teme în claså, teme pentru acaså, probe orale, probe practice, probe scrise, observarea sistematicå afiecårui elev în timpul rezolvårii sarcinii, autoevaluarea produselor activitåÆii etc.

ReflectaÆi!

Care sunt criteriile pe care le folosiÆi în evaluarea rezultatelor elevilor dumneavoastrå? Råspund aceste criterii scopuluidescris anterior? În ce mod este influenÆatå activitatea dumneavoastrå de rezultatele evaluårii elevilor?

36


Ce repere jaloneazå evaluarea?

Evaluarea rezultatelor învåÆårii ar trebui så ofere elevilor repere la care aceçtia, împreunå cu pårinÆii çicadrele didactice, så poatå raporta nivelul de performanÆå atins în învåÆare indiferent de specificul unitåÆiiçcolare sau de manualul alternativ folosit. În acest sens, instrumentele de evaluare trebuie så reflecte obiectiveleprogramelor çcolare çi så derive din standardele curriculare de performanÆå prevåzute pentru finalulînvåÆåmântului obligatoriu.

Standardele curriculare de performanÆå reprezintå, pentru toÆi elevii, un sistem de referinÆå comun çiechivalent vizând sfârçitul unei trepte de çcolaritate în condiÆiile introducererii unei oferte educaÆionalediversificate.

Standardele curriculare de performanÆå sunt criterii de evaluare a calitåÆii procesului de învåÆare. Elereprezintå enunÆuri sintetice, în måsurå så indice gradul în care sunt atinse obiectivele curriculare de cåtreelevi. În termeni concreÆi, standardele constituie specificåri de performanÆå vizând cunoçtinÆele, competen-Æele çi comportamentele stabilite prin curriculum.

Standardele curriculare de performanÆå au un caracter normativ; ele constituie repere utile tuturoragenÆilor implicaÆi în procesul educaÆional. Astfel, pe baza standardelor:

■ elevii çtiu care sunt açteptårile explicite în ceea ce priveçte învåÆarea – în termeni de competenÆe çiatitudini – precum çi criteriile de evaluare a performanÆelor la sfârçitul unei trepte de çcolaritate

■ profesorii îçi pot regla demersul didactic în funcÆie de limitele stabilite prin standarde■ pårinÆii iau cunoçtinÆå de açteptårile pe care le are çcoala faÆå de elevi■ proiectanÆii de curriculum au un sistem de referinÆå coerent çi unitar cu privire la performanÆele

dezirabile la elevi■ evaluatorii au la dispoziÆie repere de la care så porneascå elaborarea nivelurilor de performanÆå, a

descriptorilor çi a itemilor de evaluare

ComparaÆi!AlegeÆi o temå din programele çcolare çi propuneÆi descriptori ai nivelurilor de performanÆå, pentru aceastå

temå. CereÆi pårerea altor colegi çi comparaÆi opÆiunile avute.

Cum putem çti ce så evaluåm?

Pentru a avea o imagine globalå asupra a ceea ce trebuie evaluat, precum çi pentru a contura în modunitar descriptori de performanÆå, se dovedeçte utilå matricea de structurare a competenÆelor (Singer, Voica,2002) formate în domeniul matematicii pânå la sfârçitul învåÆåmântului obligatoriu. Matricea grupeazåobiectivele programei pe niveluri de complexitate, în funcÆie de domeniile majore ale matematicii dinînvåÆåmântul obligatoriu.

Matricea oferå cadrul necesar pentru a standardiza nivelurile de formare a competenÆelor în condiÆiileexistenÆei unor programe çcolare centrate pe obiective. În mod concret, aceasta înseamnå cå, pe bazadetalierilor din matrice, se pot alcåtui descriptori de performanÆå care furnizeazå informaÆii relevanteasupra nivelului de cunoçtinÆe çi deprinderi ale elevilor.

37

Cum evaluãm?

Elevul Elemente de logicå

çi mulÆimi

Calcul numeric Calcul algebric Organizarea date-

lor, probabilitåÆi

A. Identificå

(în contexte

familiare)

■ ipoteza çi con-cluzia unei pro-bleme

■ elemente ale uneimulÆimi descriseimplicit

■ valoarea deadevår a uneipropoziÆii

■ numere raÆio-nale sau ira-Æionale

■ poziÆia unuinumår realpe axå

■ semnificaÆiaoperaÆiiloraritmetice

■ prioritåÆi încalcululnumeric

■ monoame ase-menea

■ prioritåÆi în calcu-lul algebric

■ valoarea numericåa unui monom

■ ecuaÆii, inecuaÆii,sisteme; tipulunei ecuaÆii

■ soluÆii ale unorecuaÆii, inecuaÆii,sisteme alesedintr-o mulÆimefinitå datå.

■ date cecorespund unorcriterii precizate

■ semnificaÆia unortabele, diagrame,reprezentårigraficeelementare

■ moduri de clasi-ficare ale unorobiecte dupåcriterii date

■ cazuri favorabileproducerii unuieveniment

B. Utilizeazå

(în aplicaÆii

imediate)

■ simbolurile■ reguli de deduc-

Æie logicå

■ aproximåriale nu-merelorraÆionale

■ regulasemnelor înoperaÆii cunumere reale

■ reguli decalcul curadicali

■ formule de calculprescurtat

■ amplificåri çi sim-plificåri de ra-poarte algebrice

■ reguli de calculcu numere expri-mate prin litere

■ reguli pentrutransformåri echi-valente în ecuaÆii,inecuaÆii, sisteme

■ algoritmi specificide rezolvarepentru ecuaÆii,inecuaÆii, sisteme

■ resurse variatepentru colectareade date

■ criterii dupå carese pot clasificaelementele uneimulÆimi

■ reprezentårigrafice sugestivepentru diferitecategorii de date

■ ordonarea eve-nimentelor pe oscalå de tipul:eveniment sigur,aproape sigur,probabil, puÆinprobabil,imposibil)

■ extrapolåri pentrua obÆineinformaÆii dindatele unuieçantion

38


Elevul Elemente de logicå

çi mulÆimi

Calcul numeric Calcul algebric Organizarea date-

lor, probabilitåÆi

C. Calculeazå

sau demons-

treazå

■ rezultatul unoroperaÆii cumulÆimi

■ elementele uneimulÆimi descriseimplicit

■ enunÆuri în careipotezele çiconcluziile suntclar precizate

■ modulul unornumere reale

■ sume,diferenÆe,produse,rapoarte denumere reale

■ forma cea maisimplå a uneiexpresii raÆionale

■ valoarea nume-ricå a unei ex-presii algebrice

■ mulÆimea soluÆiilorunor ecuaÆii,inecuaÆii, sisteme

■ probleme ce serezolvå cu ajuto-rul ecuaÆiilor,inecuaÆiilor sausistemelor prinmetode standard

■ apartenenÆa uneisoluÆii la mulÆi-mea de definiÆie

■ valori medii aleunor datenumerice

■ numårul deobiecte al unormulÆimistructurate

■ probabilitatea deproducere a unuieveniment, alcå-tuit din eveni-mente elemen-tare, egalprobabile

D. Analizeazå

sau genera-

lizeazå

■ enunÆuri com-plexe (conjecturi,paçi de raÆiona-ment inductiv,teoreme,reciproce)

■ proprietåÆialenumerelorsauoperaÆiilor cunumere realecare conÆinradicali

■ metode non-stan-dard de descom-punere în factori

■ metode grafice derezolvare pentruecuaÆii, inecuaÆii,sisteme

■ problemenon-standard carese reduc la ecuaÆii,inecuaÆii, sisteme

■ categorii de date,optimizândmodul deorganizare

■ metoda denumårare cucaracter combi-natorial

Elevul FuncÆii Geometrie

poziÆionalå

Geometrie

metricå

ProprietåÆi ale

figurilor çi corpurilor

geometrice

A. Identificå

(în contexte

familiare)

■ termeni ai unui çir,fiind daÆi suficienÆitermeni caregenereazå regula

■ dependenÆefuncÆionale

■ domeniul, codo-meniul, legea deasociere a uneifuncÆii

■ proprietåÆievidenÆiate princondiÆii dedesen çi notaÆie

■ drepte çi planeparalele sauperpendiculare

■ drepte çi planeconcurente sausecante

■ unghiuriledintre drepteçi / sau plane

■ cea maipotrivitåunitate demåsurå a uneimårimi date

■ axe sau plane desimetrie ale figu-rilor çi corpurilorgeometrice

■ descompuneri defiguri sau corpuriîn componentemai simple

■ relaÆii între figurisau corpuri geome-trice (de tipul: in-clus, determinat, în-scris, circumscris...)

■ reprezentårisugestive pentruenunÆul uneiprobleme

39

Cum evaluãm?

Elevul FuncÆii Geometrie

poziÆionalå

Geometrie

metricå

ProprietåÆi ale

figurilor çi corpurilor

geometrice

B. Utilizeazå

(în aplicaÆii

imediate)

■ reguli de formarea unor çirurinumerice

■ forma geometricåa graficului uneifuncÆii pentru agåsi proprietåÆi alefuncÆiei

■ diverse caracte-rizåri ale parale-lismului çiperpendicu-laritåÆii

■ proprietåÆi deparalelism çiper-pendicularitate

■ formulepentru calcululariilor sauvolumelor

■ teoreme decalcul pentrudiverse måsuri(teorema luiThales,teorema luiPitagora, teo-rema celor treiperpendicu-lare etc.)

■ proprietåÆi carac-teristice ale unorfiguri sau corpurigeometrice

■ criterii de con-gruenÆå sau deasemånare

■ raÆionamenteimplicite, pentru aobÆine måsurileunor elemente încadrul unorconfiguraÆii date

■ exemple saucontraexemple,pentru a verificaenunÆuri

C. Calculeazå

sau demons-

treazå

■ termeni de unanumit rang aiunui çir, recurgândeventual la calcu-latorul de buzunar

■ valori numericeale unei funcÆiidescrise în diferitemoduri

■ proprietåÆi alegraficului uneifuncÆii

■ paralelismul sauperpendicularitatea unordrepte çi plane,folosindproprietåÆi deincidenÆå

■ distanÆe, arii,volume,måsuri deunghiurifolosindmetodealternative

■ perpendicula-ritatea sauparalelismulunor drepte çiplane folosindproprietåÆimetrice

■ ariile sau volumeleunor figuri saucorpuri, prinraportare la ariilesau volumele altorfiguri sau corpuri,exprimabile prinformule

■ enunÆuri folosindmetode specificede raÆionamentgeometric (redu-cere la absurd,construcÆii aju-tåtoare, afirmaÆiiechivalente)

D. Analizeazå

sau genera-

lizeazå

■ formule de expri-mare a termenuluigeneral al unui çir

■ metode pentrudemonstrareaunor proprietåÆiale funcÆiilor

■ analogiiledintre poziÆiiledreptelor înplan çi / saupoziÆiile drep-telor çi planelorîn spaÆiu

■ situaÆii în carese atingeminimul saumaximuldistanÆei, ariei,volumului saumåsurii unuiunghi

■ proprietåÆi aleunor corpurigeometrice, prinanalogie cuproprietåÆi aleunor figurigeometrice

■ rezolvåri diferiteale aceleiaçiprobleme

■ probleme diferitecare au aceeaçiidee de rezolvare

40


Cum înregistråm progresul çcolar?

Pentru a urmåri eficient progresul çcolar al fiecårui elev, propunem întocmirea unui catalog deobservare sistematicå. În acest catalog se înscrie, pentru fiecare elev çi pentru fiecare dintre cele opt domeniiidentificate în matricea de structurare a competenÆelor, nivelul de achiziÆii (respectiv A, B, C sau D) atins decåtre elev, constatat prin diferite probe de evaluare, inclusiv observare directå.

Astfel, dacå un elev cunoaçte reguli de calcul cu radicali, dar greçeçte în efectuarea de adunåri cu astfelde numere, în catalogul de observare sistematicå va apårea, în rubrica alocatå pentru „calcul numeric“,litera B. Un semn distinctiv (de exemplu O) va marca faptul cå nu a fost atins nivelul cel mai scåzut dedificultate avut în vedere (nivelul A). Pe parcursul unui semestru apar astfel mai multe înregistråri pentrufiecare domeniu; acestea dau o imagine globalå a evoluÆiei elevului.

Evaluarea nivelului de formare a competenÆelor ce vizeazå rezolvarea de situaÆii-problemå, dezvol-tarea deprinderilor de comunicare çi dezvoltarea calitåÆilor personale presupun un grad mai mare desubiectivitate. De aceea, vom folosi pentru fiecare înregistrare o scalå în care definim nivelul maxim, iartreptele intermediare råmân la aprecierea profesorului. Caracterizåm succint nivelul maxim prin:

– pentru rezolvarea de situaÆii-problemå: elevul lucreazå, finalizeazå çi evalueazå produsul.____________________

lucreazå, finalizeazå çi evalueazå produsul– pentru dezvoltarea deprinderilor de comunicare: elevul comunicå eficient____________________

comunicå eficient– pentru dezvoltarea calitåÆilor personale: elevul este puternic motivat____________________

puternic motivat

Pe fiecare scalå, puteÆi marca printr-o liniuÆå nivelul pe care îl consideraÆi atins de elev çi data de lamomentul înregistrårii. La sfârçitul semestrului, puteÆi face o evaluare globalå a înregistrårilor fåcute pentrufiecare competenÆå.

ElevTema Sem. I Sem. II

Elemente de logicå çi mulÆimi

Calcul numeric

Calcul algebric

Organizarea datelor, probabilitåÆi

FuncÆii

Geometrie poziÆionalå

Geometrie metricå

ProprietåÆi ale figurilor çicorpurilor geometrice

Rezolvare de situaÆii-problemålucreazå, finalizeazå çi evalueazå

produsullucreazå, finalizeazå çi evalueazå

produsul

41

Cum evaluãm?

ElevTema Sem. I Sem. II

Comunicarecomunicå eficient comunicå eficient

Atitudinieste puternic motivat este puternic motivat

Cum clasificåm tipurile de evaluare?

Existå o literaturå foarte vastå în domeniul evaluårii çcolare. Dincolo de diversele accepÆii, în funcÆie derolul pe care îl are çi de momentul când se aplicå, evaluarea poate fi formativå (våzutå ca un mod de a-lajuta pe fiecare elev så înveÆe mai bine) sau normativå (våzutå ca un mod de a verifica ce çi-a însuçit fiecareelev) (Meyer, 2000).

Evaluarea formativå:■ îl ajutå pe elev så înveÆe■ este dinamicå■ are rol de direcÆionare a procesului de învåÆare■ evidenÆiazå procesele sau mijloacele cognitive ce per-

mit realizarea unor produse observabile■ se aplicå în timpul învåÆårii

Evaluarea normativå■ verificå ceea ce çi-a însuçit elevul■ este staticå■ are rol de selecÆie/ catalogare a elevilor■ evidenÆiazå produsele – rezultatele unei competenÆe

neobservabile în mod direct■ se aplicå înainte sau dupå ce s-a parcurs o etapå de

învåÆare

Intr-un context centrat pe elev, evaluarea trebuie orientatå astfel încât så furnizeze profesorului soluÆiipentru adecvarea experienÆelor de învåÆare la achiziÆiile çi posibilitåÆile elevului. Din acest punct de vedere,ne intereseazå rolurile de diagnozå çi prognozå ale evaluårii.

Evaluarea cu rol diagnostic■ vizeazå stabilirea unui diagnostic asupra achiziÆiilor dobândite de cåtre elev prin învåÆare■ se administreazå prin: probe pentru evaluarea curentå, teste de fixare pentru evaluarea nivelului de bazå

çi teste de sintezå pentru evaluarea sumativå.

Pentru evaluarea nivelului de achiziÆii ale elevului se pot folosi probe orale, probe scrise, probepractice etc. Fiecare profesor are un stil propriu de evaluare a rezultatelor çcolare. Deoarece fiecare tip deprobå evidenÆiazå anumite caracteristici ale abilitåÆilor elevului, este necesar sa fie folosit un evantai cât maidivers de tipuri de probe de-a lungul anului çcolar.

42


Ce strategii de evaluare oralå putem folosi?

În mod tradiÆional, evaluarea oralå se desfåçoarå prin propunerea unor exerciÆii/probleme pe care 1,2 sau 3 elevi le rezolvå la tablå, urmatå de notarea acestor elevi în funcÆie de gradul de îndeplinire asarcinilor de lucru. Câteva avantaje çi dezavantaje ale acestui mod de lucru sunt prezentate în continuare.

Avantaje Dezavantaje

■ oferå posibilitatea realizårii unui dialog direct pro-fesor-elev

■ se realizeazå uçor çi consumå puÆin timp■ nu presupune din partea profesorului o pregåtire

anterioarå evaluårii

■ este o modalitate subiectivå■ presupune arbitrariul în evaluare (elevul este penali-

zat sau recompensat în funcÆie de nivelul de dificul-tate al problemei primite spre rezolvare çi starea sa demoment)

■ limiteazå evaluarea la aspecte conjuncturale

Dezavantajele acestei metode pot fi diminuate prin implicarea periodicå a tuturor elevilor în acest tipde evaluare, repartizarea relativ echilibratå a sarcinilor çi notarea elevilor prin cumularea aprecierilor, înurma mai multor astfel de probe.

AplicaÆi astfel de probe cel puÆin de trei ori pe semestru fiecårui elev.■ Chiar dacå evaluaÆi rezolvarea unei singure probleme, adresaÆi câteva întrebåri de control, de tipul: „ce

s-ar întâmpla dacå ...?“■ LuaÆi în calcul nu doar rezolvarea eficientå a problemei, ci çi modul de abordare a acesteia. AcordaÆi un

bonus pentru încercårile de rezolvare, chiar dacå s-au dovedit ineficiente.

� Cum? Scenariu posibil pentru o evaluare oralå pertinentåÎnaintea începerii orei, profesorul fixeazå un grup-Æintå de 4-5 elevi care urmeazå a fi evaluaÆi.

Întrebårile se adreseazå cu precådere acestor elevi, atât în partea de predare a lecÆiei, cât çi în partea deexersare, dar ei nu sunt atenÆionaÆi asupra intenÆiei profesorului. Se propun activitåÆi independenteadresate întregii clase. Dupå un interval de timp în care elevii au avansat în rezolvarea sarcinii primite, darînainte de finalizarea acesteia, 2-3 elevi din grupul-Æintå sunt invitaÆi la tablå.

În timp ce ei lucreazå, li se solicitå celorlalÆi elevi din grupul-Æintå precizåri sau completåri. Întrebårile su-plimentare sunt adresate în egalå måsurå elevilor de la tablå çi celorlalÆi elevi din claså, vizaÆi pentru evaluare.

La sfârçitul orei, sau la sfârçitul a douå-trei ore de acest tip, profesorul finalizeazå evaluarea prin notå,explicând motivaÆia pentru acordarea acesteia.

Scenariul se adapteazå situaÆiei concrete din claså, iar grupul-Æintå poate fi lårgit sau diminuat, înfuncÆie de complexitatea problemei, participarea elevilor la lecÆie etc.

În timpul administrårii unei probe orale, toÆi elevii clasei deruleazå o activitate similarå cu elevul sau elevii alecåror competenÆe sunt evaluate.

Probele orale çi cele practice oferå modalitåÆi de a organiza simplu çi eficient evaluarea curentå, fårå ca elevulvizat så conçtientizeze faptul cå este supus unui proces de examinare.

Aceste probe pot lua forma unor jocuri interactive profesor–elev sau elev–elev. Ele vizeazå, în egalå måsurå,nivelul atingerii unor obiective de tip cognitiv din programå, dar çi formarea çi dezvoltarea capacitåÆii de acomunica utilizând limbajul matematic.

43

Cum evaluãm?

� Exemplu de probå oralåProba oralå urmåtoare vizeazå nivelul de formare a capacitåÆii de a compune çi de a rezolva

probleme la nivelul clasei a V-a.Se scrie pe tablå, sau se prezintå o plançå conÆinând textul unei probleme, ca de exemplu:

Cele 16 zile din vacanÆa de iarnå le-am petrecut astfel: jumåtate în tabårå, la bunici, iar restul acaså. Câtezile am stat acaså?

Profesorul se adreseazå clasei:a) Problema conÆine o greçealå. Cine o descoperå?b) ModificaÆi problema, astfel încât så eliminaÆi greçeala.c) ScrieÆi exerciÆiul prin care se rezolvå problema nou formulatå.d) FormulaÆi o altå problemå, modificând datele numerice ale celei de-a doua.e) TransformaÆi exerciÆiul de adunare într-unul de scådere.f) FormulaÆi o problemå care se rezolvå prin operaÆia de scådere anterioarå.g) CompletaÆi cum doriÆi enunÆul ultimei probleme çi formulaÆi în acest mod o nouå problemå.

ExerciÆiul vizeazå în primul rând formarea çi dezvoltarea capacitåÆii de a comunica utilizând limbajulmatematic çi, în al doilea rând, compunerea de exerciÆii çi probleme. De aceea, este util så se stimuleze odiscuÆie între copii, cu scopul de a observa abilitåÆile lor de comunicare.

Timp de lucru pentru aplicarea probei: 20 minute.Notarea se poate face pe baza descriptorilor de performanÆå din tabelul de mai jos.

Nota 5 Nota 7 Nota 9 Nota 10

Rezolvå corect sarcinile cçi d cu autocorectare laintervenÆia profesorului,în cazul unor greçeli.

Rezolvå corect sarcinile c,d, e, f çi råspunsuri corectela întrebårile ajutåtoare pusede cåtre profesor.

Rezolvå corect sarcinilec, d, e, f, g cu verbalizareminimå la punctul g.

Rezolvå corect çi complettoate sarcinile.

� Exemplu de probå practicåProba practicå urmåtoare vizeazå evaluarea nivelului de formare a capacitåÆii de a recunoaçte

unitåÆile de måsurå standard pentru lungime, capacitate, maså, çi de a exprima prin transformåripe baza operaÆiilor învåÆate, legåturile dintre unitåÆile de måsurå ale aceleiaçi mårimi, la nivelulclaselor a IV-a sau a V-a.

Se utilizeazå ca material didactic diferite obiecte din claså, printre care: o riglå, creioane, radiere. Des-fåçoarå activitatea la tablå doi elevi vizaÆi pentru evaluare; ceilalÆi lucreazå în bånci. Dintre elevii care lucreazåîn bånci, mai pot fi evaluaÆi încå doi–trei pe parcursul desfåçurårii probei. Sunt chemaÆi la tablå doi elevi.

Profesorul se adreseazå celor doi, apoi întregii clase:a) LucraÆi împreunå. AflaÆi lungimea tablei exprimatå în: centimetri, decimetri, metri. AproximaÆi de

fiecare datå rezultatul måsurårii prin lipså çi prin adaos.b) În timp ce colegii voçtri fac måsuråtorile la tablå, voi måsuraÆi çi exprimaÆi în aceleaçi unitåÆi de

måsurå lungimea båncii. AproximaÆi de fiecare datå rezultatul måsurårii prin lipså çi prin adaos. NotaÆi rezultatelepe caiet. Sunt numiÆi doi–trei elevi så spunå ce rezultate au obÆinut.

c) De ce numerele obÆinute ca rezultate sunt diferite atunci când se schimbå unitatea de måsurå?d) Care dintre måsuråtori are cea mai mare precizie? Cum se poate obÆine o precizie mai mare a

måsuråtorii?e) EstimaÆi lungimea, exprimatå în metri, a uçii, a peretelui etc.Timp de lucru pentru aplicarea probei: cca. 15 minute.

44


43

Notarea se face pe baza descriptorilor de performanÆå din tabelul urmåtor.


Rezolvå corect sar-cinile de la a.Acceptå colaborareacu colegul, dar ma-nifestå nesiguranÆåîn derularea acÆiu-nilor.

Rezolvå corect sarcinile asau b.Formuleazå explicaÆii su-mare privind variaÆia må-surii unei mårimi laschimbarea unitåÆii demåsurå, ca råspuns la c.Coopereazå în cadrulechipei, dar executå cuoarecare imprecizieactivitåÆile distribuite decolegul såu.

Rezolvå corect sarcinile asau b.Formuleazå explicaÆiiclare privind variaÆiamåsurii unei mårimi laschimbarea unitåÆii demåsurå, ca råspuns la c.Formuleazå råspunsuripertinente pentru e.Coopereazå în cadrulechipei, executândprompt anumite sarcini.

Formuleazå råspunsuripertinente pentru d çi e.Coopereazå în cadrulechipei, contribuind cusoluÆii practice laoptimizarea activitåÆii.

AcÆionaÆi!ProiectaÆi çi aplicaÆi la claså probe de evaluare de tipul celor de mai sus. ApreciaÆi elevii pe baza unor descrip-

tori de performanÆå anterior stabiliÆi. AÆi putut decide de fiecare datå asupra notei acordate elevului, urmårinddescriptorii de performanÆå?

Cum proiectåm evaluarea prin probe scrise?

În mod tradiÆional, proba scriså înseamnå o lucrare de mici dimensiuni, anunÆatå sau nu anterior, încare elevilor li se propune spre rezolvare o listå de probleme pe parcursul unui interval de timp determinat.Câteva avantaje çi dezavantaje ale evaluårii prin probe scrise sunt prezentate în continuare.

Avantaje Dezavantaje

Pentru elev:■ permite elaborarea în ritm propriu a råspunsurilor■ oferå posibilitatea revenirii asupra eventualelor gre-

çeli, în timpul probei, fårå a fi penalizat.

Pentru profesor:■ asigurå evaluarea unitarå a elevilor■ oferå posibilitatea de a aprecia nivelul de achiziÆii ale

clasei la un anumit moment.

■ nu se realizeazå un dialog direct profesor-elev■ poate conduce la eçec din partea elevului prin neînÆe-

legerea sarcinilor de lucru■ nu poate fi verificatå îndeplinirea unor obiective ce

Æin de investigare/explorare.

In funcÆie de scopurile urmårite, probele scrise pot avea rol diagnostic sau rol prognostic. Prezentåmîn continuare câteva aspecte legate de probele cu rol diagnostic, cele cu rol prognostic fiind prezentate încapitolul 4 al acestei cårÆi.

� Probele cu rol diagnosticProbele cu rol diagnostic vizeazå stabilirea unui diagnostic asupra achiziÆiilor dobândite de cåtre

elev prin învåÆare. Termenul, preluat din medicinå, are practic aceeaçi semnificaÆie ca çi acolo, indicândfaptul cå, pentru a îmbunåtåÆi nivelul învåÆårii, este nevoie de o cunoaçtere preciså a zonelor în care elevulîntâmpinå dificultåÆi.

45

Cum evaluãm?

Probele scrise cu rol diagnostic se structureazå în urmåtoarele categorii: probe scrise pentru evaluareacurentå, teste de fixare pentru evaluarea nivelului de bazå çi teste de sintezå pentru evaluarea sumativå.

1) Probele scrise pentru evaluarea curentå au în vedere aprecierea nivelului de realizare aobiectivelor programei çcolare. Fiecare dintre aceste probe vizeazå o singurå temå çi este cons-truitå din itemi având sarcini diferenÆiate, corespunzåtor nivelurilor de notare la nivel naÆional:■ nota 5 = competenÆå realizatå la nivelul minim al atingerii obiectivelor;■ nota 7 = competenÆå formatå, dar nestructuratå, care necesitå antrenament pentru consolidare;■ nota 9 = competenÆå formatå, care poate fi dezvoltatå;■ nota 10 = competenÆå formatå, care se poate autodezvolta.

Proba scriså de evaluare curentå este o lucrare de mici dimensiuni, ce se aplicå la un interval de 3 – 4 – 5 lecÆiiîntre care existå o legåturå structuralå çi care urmåreçte så evalueze un singur tip de competenÆå. Aceastå probåpermite profesorului så depisteze pe parcursul derulårii procesului de învåÆare (çi nu abia la sfârçitul lui), naturadificultåÆilor pe care le întâmpinå elevul în învåÆare. Administratå sistematic, proba scriså de evaluare curentåfurnizeazå profesorului informaÆii necesare pentru organizarea programului diferenÆiat de pregåtire aelevilor çi, totodatå, oferå familiei puncte de sprijin în a-l ajuta pe elev så depåçeascå dificultåÆile în învåÆare.

Exemplu

Proba urmåtoare evalueazå stadiul de formare a urmåtoarei competenÆe privind respectarea regulilorde prioritate în calcul.

a) Calculeazå, respectând ordinea efectuårii operaÆiilor:8 + 9 × 4 = 6 × 3 + 9 × 7 = 58 – 7 × 8 =5 + 2 × (3 + 12) = 100 – 3 × (2 + 4 × 5) = 3 × 9 + 2 × (50 – 3 × 9) =

b) Adunå la produsul numerelor 7 çi 4, câtul numerelor 63 çi 9.c) Calculeazå în douå moduri: 4 × (3 + 6). Utilizeazå desene.d) La o cofetårie s-au vândut într-o zi 9 cutii cu câte 20 de bomboane çi 12 cutii cu câte 30 de

bomboane. Câte bomboane s-au vândut în acea zi? Rezolvå problema printr-un exerciÆiu.

Timp de aplicare a probei: 15 minute.Calificativul se acordå pe baza descriptorilor de performanÆå de mai jos.


Rezolvå patru dintre exerciÆiilede la a, având cel mult o gre-çealå de calcul.

Transpune corect în simbolurimatematice enunÆul de la b çiefectueazå parÆial calcule co-recte.

Rezolvå corect itemul a,având cel mult douå gre-çeli care pot fi puse peseama efortului de con-centrare. Rezolvå corectitemii b çi c.

Rezolvå corect itemii a,b, c çi d, având cel multdouå greçeli care pot fipuse pe seama efortu-lui de concentrare.

Rezolvå fårå greçealåitemii a, b, c çi d.

2) Testele de fixare urmåresc confirmarea atingerii nivelului minimal al obiectivelor programeiçcolare. Acestea cuprind itemi de nivel minimal, organizaÆi într-un test care acoperå completfiecare unitate tematicå. Evaluarea rezultatelor elevului la aceste probe se face prin certificarea„admis-respins“. Aceasta înseamnå cå se considerå cå elevul a dobândit cunoçtinÆele de bazåvizate de testul respectiv dacå a rezolvat satisfåcåtor toate sarcinile testului.

46


Tabelul urmåtor oferå o listå de itemi pentru un test de fixare la tema estimåri çi aproximåri.

OBIECTIV ITEM

■ så compare numerereale, pornind de lapoziÆia lor pe axanumerelor;

1. Care dintre cele douå numere este mai aproape de 2?

a) sau

b) sau

c) 2,0(3) sau 1,97?2. Care dintre numerele urmåtoare sunt cuprinse între 2 çi 3? Dar între 2,2 çi 2,3?Dar între 2,23 çi 2,24?–2,2; 2,3; ; 2,236; 2,326; 3,2364; 1,235; ; ; .

CompletaÆi tabelul de mai jos:

Între 2 çi 3Între 2,2 çi 2,3Între 2,23 çi 2,24

3. DeterminaÆi, fårå a face calcule, semnul rezultatelor pentru:

a) ; b) 102 – 8 – 9.

■ så aproximeze nu-mere reale la nu-mere întregi sauraÆionale.

1. Care dintre aproximårile numårului este mai bunå: 0,2 sau 0,3?

2. Între ce limite variazå o mårime x, dacå x = 4,7 ± 0,3?3. CalculaÆi cu ajutorul calculatorului de buzunar çi rotunjiÆi rezultatul pânå lasutimi, prin lipså sau adaus:125,678 + 900,31 – 263,189;(13,62 + 11,016); (12,57)2; 21,765: 0,11.

■ så estimeze ordinulde mårime al unuinumår rezultatdintr-o operaÆiedatå, înainte de aefectua calculul.

1. EstimaÆi rezultatul fiecårui calcul çi uniÆi printr-o sågeatå fiecare operaÆie cunumårul cel mai apropiat de rezultatul ei din cea de-a doua coloanå.

0,5 2 � 55 5 : 1010 23 � 34500 2100010000

2. ScrieÆi câte cifre are partea întreagå a fiecåruia dintre urmåtoarele numere:

■ så foloseascåestimåri pentru ve-rificarea corectitu-dinii unor calcule;

1. Sunt adevårate egalitåÆile? RåspundeÆi, fårå a calcula, prin „da“ sau „nu“.a) 1,37 + 24,8 = 385;b) 64,9 – 600 = 4490;

c) ;

d) 75 = 8,5.

2. Suma a douå numere este 156. Dacå primul numår este 23, al doilea poate fi 53?3. Produsul numerelor 23 · 34 · 19 este mai mare sau mai mic decât 1000?4. PuneÆi virgula, astfel ca så fie adevåratå egalitatea:749,45: 2,5 = 29978

47

Cum evaluãm?

25

37

2 3

532

25

3

1

71

51

�

72

5

10757158 ,, �

555554

142554101551 92 ;;;;;

21

31

51

��

OBIECTIV ITEM

■ så estimeze diferitemåsuri în raport cuanumite unitåÆi demåsurå

1. Care dintre urmåtoarele obiecte ar putea avea masa de un gram?a) un mår; c) o boabå de strugure;b) un fir de nisip; d) un creion.

2. Cu ce unitate de måsurå este mai potrivit så måsuråm (subliniaÆi ceea ce sepotriveçte):a) volumul (capacitatea) unei cåni de lapte: ml, dl, cl, l, m3;b) lungimea unei curÆi: mm, cm, dm, m, dam;c) masa unui bulgåre de zåpadå: mg, cg, g, kg, t;d) durata perioadei de vegetaÆie a unei plante leguminoase: s, min, h, luni, ani, secole.

3) Testele de sintezå pentru evaluarea sumativå cuprind itemi cu diferite grade de dificultate çireflectå conÆinuturi parcurse într-o perioadå mai mare de timp. Un exemplu de astfel de test esteteza semestrialå. Pentru elevii cu råmâneri în urmå, este indicat så fie propuse probleme cu gradscåzut de dificultate.

Exemplul urmåtor este extras dintr-o culegere de probleme pentru clasa a VIII-a2.

Alege råspunsul corect!1. ProiecÆia segmentului B’D’ pe planul bazei cubului ABCDA’B’C’D’ este:

a) [AC]; b) dreapta BD; c) [BD]; d) [BD’].2. Dacå triunghiul isoscel ABC are latura BC în planul � ([AB] � [AC] ) çi m(� (AC, �)) = 38, atunci

m(� (AB, �)) este de:a) 52; b) 104; c)142; d) 38.

3. Pe planul påtratului ABCD se ridicå perpendiculara PA astfel încât PA = AB. Måsura unghiuluiplan al diedrului determinat de PAB çi PAD este de:

a) 45; b) 90; c) 135; d) 0.4. DistanÆa de la vârful V al piramidei regulate VABCD cu VB = AB = 6cm la dreapta BC este egalå

(în cm) cu:a) 3; b) 3 ; c) 3 ; d) 3 .

5. Triunghiul ABC, dreptunghic în B, se proiecteazå pe planul çi se obÆine triunghiul A’BC.Dacå AA’ = A’B = BC = 5 cm, atunci d(A, BC) este egalå (în cm) cu:

a) 5 ; b) 5 ; c) ; d) .

Completeazå spaÆiile punctate cu råspunsurile corecte!6. În cubul ABCDA’B’C’D’ cu muchia de 4 cm, distanÆa de la A la centrul feÆei BCC’B’ este de.........7. Diametrul unei baze a unui cilindru circular drept are lungimea de 8 cm. Lungimea proiecÆiei

diametrului pe cealaltå bazå este de...........8. VABCDEF este o piramidå hexagonalå regulatå cu vârful V. Dacå d(A, VB) = AB, atunci måsura

diedrului determinat de douå feÆe alåturate ale piramidei este de..................9. În centrul de greutate G al triunghiului echilateral ABC cu latura AB = 12 cm se ridicå

perpendiculara PG. Dacå PG = 4 cm, atunci d(P, BC) = ..........................................

48


3

2 3 6

22 6 120 100

2 Voica, C.; Voica C.; Singer, M.; Marinescu, G., Culegere de exerciÆii çi probleme. Clasa a VIII-a, EdituraSigma, 2003

Rezolvå çi redacteazå!10. Aratå cå într-un cub ABCDA’B’C’D’ planele AA’C’ çi BDD’ sunt perpendiculare.11. Calculeazå måsura unghiului dintre generatoarea conului circular drept çi planul bazei conului

çtiind cå o secÆiune axialå a conului este triunghi isoscel cu un unghi de 100.12. Trapezul dreptunghic ABCD, în care m(� A) = 90, se proiecteazå pe planul � care conÆine baza

mare CD. Çtiind cå m(�(AD, )) = 45, AD = 3, DC = 2 AB = 8, atunci:a) aratå cå proiecÆia lui ABCD este trapezul dreptunghic A’B’CD;b) aflå m(�((ABC), �));c) calculeazå sin(�(BC, �));d) calculeazå ariile trapezelor ABCD çi A’B’CD çi verificå apoi teorema despre aria proiecÆiei.

În administrarea probelor scrise:■ CorelaÆi proba scriså cu obiectivele pe care vreÆi så le verificaÆi.■ FormulaÆi cât mai clar, fårå ambiguitåÆi, cerinÆele problemelor.■ DetaliaÆi enunÆurile prin intermediul unor întrebåri ajutåtoare.■ PrecizaÆi punctajul çi cereÆi elevilor så se autoevalueze.■ AcordaÆi suficient timp pentru finalizarea lucrårii.

Cum întocmim çi notåm probele de evaluare?

În administrarea çi corectarea testelor este indicat så aveÆi în vedere câteva reguli:■ AcordaÆi pentru un test o perioadå de timp suficientå pentru ca majoritatea elevilor clasei så poatå

finaliza lucrarea înainte de expirarea timpului.■ Dacå optaÆi pentru notarea analiticå a testului (prin punctaj acordat fiecårui item), fixaÆi scala de

notare astfel încât orice notå de la 1 la 10 så poatå fi, în principiu, obÆinutå. Pentru itemii subiectivi(cu råspuns deschis), luaÆi în calcul diverse variante de råspuns la întocmirea baremului. UtilizaÆi oscalå de notare unitarå. Nu diferenÆiaÆi punctajul unor probleme dupå percepÆiile pe care le aveÆiasupra nivelului lor de dificultate; probleme diferite sunt percepute diferit de rezolvitori diferiÆi. Deexemplu, nu notaÆi mai puÆin problemele mai grele – în acest fel, dezavantajaÆi elevii performanÆi!

Un test este bine întocmit dacå:– este adaptat nivelului de achiziÆii al elevilor clasei;– råspunde obiectivelor vizate pe parcursul unitåÆii de învåÆare evaluate;– are o scalå de notare echilibratå.

PuteÆi verifica dacå testul a fost bine întocmit reprezentând frecvenÆa notelor obÆinute de întreaga claså:diagrama obÆinutå trebuie så aibå alura curbei lui Gauss, cu zona de maximå frecvenÆå în jurul notei 7.

■ Dacå optaÆi pentru notarea holisticå (globalå), nu uitaÆi cå aceasta are semnificaÆie numai princompararea lucrårilor. În urma comparårii, se structureazå în mod natural criterii de acordare anotei. De aceea, în acest caz, recomandåm urmåtoarea secvenÆialitate:– corectaÆi lucrårile fårå a le evalua prin punctaj;– comparaÆi lucrårile çi ierarhizaÆi-le în funcÆie de nivelul general al rezultatelor elevilor;– fixaÆi categoriile de notare;– comparaÆi din nou lucrårile incluse în aceeaçi categorie;– efectuaÆi eventuale modificåri de încadrare;– acordaÆi nota.

49

Cum evaluãm?

AcordaÆi punctaj chiar çi pentru încercårile nereuçite de rezolvare a unei probleme. De exemplu, identificareaipotezei çi concluziei, realizarea unui desen, enunÆarea unei reguli de calcul sau a unei teoreme care aulegåturå cu problema, trebuie så fie luate în seamå la acordarea notei.

CreaÆi tuturor elevilor sentimentul cå le apreciaÆi eforturile, indiferent de rezultatele obÆinute de ei!

Cum pregåtim elevii pentru evaluarea prin probe scrise?

În clasele terminale, activitatea de evaluare a elevului vizeazå în egalå måsurå progresul çcolar çipregåtirea pentru testårile/examenele naÆionale. Pentru aceasta, este necesar ca profesorul så aibå în vedere:

■ Proiectarea unor teste de tipul celor propuse la examenele anterioare.■ Proiectarea unor teste conÆinând variate tipuri de itemi.■ Pregåtirea cognitivå çi afectivå a elevilor pentru susÆinerea unui examen.■ Aplicarea sistematicå pe parcursul anului çcolar a tipurilor de teste menÆionate anterior.■ Analiza sistematicå a rezultatelor obÆinute.■ Folosirea unor teste de autoevaluare ca o modalitate de conçtientizare a elevului asupra progre-

selor sale çcolare.

Deçi apar frecvent în procesul didactic, o serie de situaÆii contextuale legate de evaluare nu suntabordate în mod explicit de cåtre profesor în activitatea la claså.

Prezentåm în continuare câteva sugestii menite så orienteze activitatea profesorului astfel încât acestaså-i ajute pe elevi så rezolve cu succes diferite tipuri de teste.

Dificultate întâmpinatå Sugestii de remediere

Elevii nu sunt familiarizaÆicu forma testului, cu modulde completare a råspunsu-lui, cu utilizarea unor foi deråspuns.

DaÆi elevilor så exerseze rezolvarea a diferite tipuri de teste, cu tipuri variate deitemi. Pe parcursul clasei a VIII-a este necesar ca la capåtul unei unitåÆi deînvåÆare, ca çi la sfârçit de capitol, elevii så fie verificaÆi printr-un test cuprinzânditemi standard în forme variate.

ObiçnuiÆi-i pe elevi så utilizeze tehnica excluderii la itemii cu alegere multiplå.

Evaluarea prin teste îi poateface pe unii elevi så aibåimpresia cå trebuie så facåfaÆå unor cerinÆe foarteînalte.

ÎncurajaÆi-i pe elevi så priveascå testul doar ca un mod de a aråta ceea ce auînvåÆat.

AmintiÆi-le elevilor så nu se necåjeascå dacå au întâlnit un item care nu le estefamiliar. Poate fi avantajos så sarå peste acel item, så revinå la el mai târziu, sauså încerce ghicirea soluÆiei.

Elevii nu sunt pregåtiÆimental çi/sau fizic pentru afi testaÆi.

InformaÆi pårinÆii asupra condiÆiilor testului. ÎncurajaÆi-i pe pårinÆi så creezecopiilor o atmosferå de calm çi încredere în preajma testului çi så se asigure cåaceçtia s-au odihnit suficient.

AsiguraÆi-vå cå elevii au toate materialele necesare pentru test (creion, gumå,riglå etc.)

Nu daÆi impresia cå testul este mai important decât este în realitate. În aceaståsituaÆie, elevii devin mult mai anxioçi çi stresaÆi.

50


Dificultate întâmpinatå Sugestii de remediere

Majoritatea elevilor såvâr-çesc greçelile tipice.

AnalizaÆi în mod continuu în claså greçelile elevilor. ComentaÆi aceste greçeli,atenÆionaÆi asupra condiÆiilor de apariÆie a lor çi asupra cåilor de remediere.

AtenÆie! Nu culpabilizaÆi elevii în cadrul acestor discuÆii. PropuneÆi sistematicelevilor exerciÆii-capcanå, în care trebuie identificatå greçeala.

Limbajul sau vocabularulunui test standardizat potcrea elevilor dificultåÆi.

FolosiÆi forme variate de exprimare pentru a reda o anumitå sintagmå sau unanumit concept. FormulaÆi periodic întrebårile unor teste în limbaj standard,dar çi în limbaj uzual.

Cum folosim eficient tema pentru acaså?

Tema pentru acaså reprezintå o modalitate de exersare prin activitate individualå a deprinderilordobândite în timpul activitåÆii în çcoalå. În alcåtuirea temei, sunt utile urmåtoarele repere:

■ CorelaÆi tema cu obiectivele urmårite în lecÆie. Tema trebuie så fie perceputå ca o continuare aactivitåÆii din claså.

■ AdaptaÆi tema nivelului de vârstå, posibilitåÆilor de înÆelegere çi interesului elevilor. GândiÆi-vå cåatunci când primesc tema, elevii ar trebui så exclame: „E o provocare!“ sau „E uçor!“ çi nu „Aoleu!“

■ FolosiÆi teme diferenÆiate, astfel ca orice elev al clasei så poatå aborda, la nivelul achiziÆiilor sale,sarcini de lucru cuprinse în lecÆie.

■ DiversificaÆi cerinÆele; de exemplu: propuneÆi redactarea sau explicarea în scris a unei problemerezolvate în claså; cereÆi elevilor så completeze un enunÆ dat, så formuleze ipoteze când concluziaeste datå; solicitaÆi elevilor så propunå probleme în condiÆii date, så analizeze consecinÆe caredecurg ca urmare a modificårii ipotezelor unei probleme date.

■ ÎncurajaÆi elevii så caute mai multe rezolvåri, så facå conexiuni çi generalizåri.■ CreaÆi elevilor diferite surprize în propunerea temei. De exemplu, daÆi ca temå: corectarea

rezolvårilor din tema unui coleg; evaluarea pe o scalå de notare a temei unui coleg; o activitate carepresupune decupaje çi colaje; o activitate care presupune explorarea unor proprietåÆi princonsiderarea unor cazuri particulare, eventual prin folosirea calculatorului, çi formularea unorgeneralizåri; rezolvarea de probleme pe baza unei documentåri suplimentare, dintr-o bibliografieprecizatå de cåtre profesor.

■ Temele nonstandard (de exemplu, referatele) presupun o analizå specialå, o planificare a timpuluialocat çi avertizarea elevilor asupra specificului çi obiectivelor urmårite.

■ FolosiÆi metoda „rezolv çi corectez“ (în care fiecare elev, dupå ce a rezolvat propria temå, corecteazåtema unui coleg, face comentarii asupra acesteia çi propune o notå) ca o modalitate de dinamizarea activitåÆii clasei.

■ FolosiÆi diverse resurse în conceperea temei – culegeri de probleme, caiete de învåÆare dirijatå.■ æineÆi cont de tipurile de probleme care ar necesita verificarea în ora urmåtoare. AveÆi în vedere

faptul cå verificarea temei trebuie så se facå succint, acoperind în acelaçi timp principalele obiectiveale lecÆiei parcurse.

■ æineÆi cont de principiul: „ceea ce nu se verificå, nu se face!“.■ Nu propuneÆi teme în vacanÆe; daÆi eventual, pentru perioada vacanÆei, teme de reflecÆie sau

propuneÆi un proiect.■ Periodic, verificaÆi tema pentru acaså prin corectarea efectivå a acesteia, în afara orelor de curs.

MarcaÆi cât mai vizibil în caietul elevilor zona pe care aÆi corectat-o.

51

Cum evaluãm?

■ AlternaÆi temele „pentru a doua zi“ cu teme date pe o perioadå mai lungå de timp.■ La sfârçitul fiecårei unitåÆi de învåÆare, propuneÆi ca temå pentru acaså 1-2 probleme de sintezå,

care acoperå cât mai multe dintre noÆiunile specifice unitåÆii de învåÆare parcurse. Este important såfie reunite în cadrul aceleiaçi probleme cât mai multe din noÆiunile studiate, pentru a realiza orelaÆionare imediatå a lor.

■ Înainte de penalizarea elevului pentru nerealizarea temei, analizaÆi cu obiectivitate cauzele. OferiÆielevilor o a doua çanså, dar reacÆionaÆi prompt atunci când constataÆi încercarea de a triça.

■ Pe parcursul claselor terminale (a VIII-a sau a X-a), relativ frecvent în semestrul I, dar såptåmânal însemestrul al II-lea, propuneÆi o parte a temei pentru acaså cu exerciÆii de tipul itemilor din testestandardizate. AcoperiÆi, în cadrul acestei teme, cât mai multe tipuri de itemi.

Cum verificåm rapid çi eficient tema pentru acaså?

� Teme care presupun rezultate numerice■ NotaÆi rezultatele problemelor pe tablå çi cereÆi elevilor så confirme, prin ridicarea mâinilor, dacå

rezultatul marcat este cel obÆinut pe caiet. În cazul în care un numår semnificativ de elevi a obÆinutrezultatul corect, se poate trece la exerciÆiul urmåtor. În caz contrar, analizaÆi exerciÆiul în claså çiverificaÆi rezultate parÆiale.

■ CreaÆi un astfel de climat încât raportårile pe care le face elevul despre realizarea temei så fie onesteçi så implice responsabilizarea acestuia pentru propria învåÆare.

� Teme care presupun efectuarea de raÆionamente■ SelectaÆi din temå una-douå probleme, care sunt semnificative din punctul de vedere al

metodelor folosite în demonstraÆie. FiguraÆi pe tablå cât mai clar desenul problemei (dacå ecazul), eventual cu cretå coloratå. PrecizaÆi cu ajutorul elevilor etapele demonstraÆiei, fårå a intraîn toate detaliile. Dacå aceste etape nu au fost parcurse de un numår semnificativ de elevi,propuneÆi reluarea temei pe baza punctelor de sprijin oferite. În acest caz, verificaÆi în oraurmåtoare o altå parte a temei.

� Metoda „rezolv çi corectez“Reprezintå o metodå spectaculoaså, de implicare a elevilor în aprecierea activitåÆii colegilor.Se propune elevilor o temå pe o perioadå mai mare de timp (de exemplu, o såptåmânå). Se solicitå

elevilor ca, dupå efectuarea temei, så lucreze în perechi çi så-çi corecteze reciproc tema primitå.■ Se evalueazå atât efectuarea temei cât çi corectura.■ SolicitaÆi „corectorilor“ nu doar verificarea çi evaluarea temei colegilor, ci çi judecåÆi de valoare

despre modul de redactare, metodele de rezolvare alese, claritatea explicaÆiilor, aspectul general altemei etc.

■ Este important ca elevii corectori så fi avut aceeaçi temå ca çi elevii cårora le corecteazå tema.■ PrecizaÆi de la început modalitatea de apreciere a întregii activitåÆi.

52


Ce metode complementare de evaluare putem aplica?

� Evaluarea prin intermediul investigaÆiei

Ca demers didactic, investigaÆia:■ se centreazå pe o întrebare/ problemå■ începe cu ceea ce elevii çtiu deja■ continuå cu relaÆionarea rezultatelor parÆiale cu cunoçtinÆele din domeniu■ se finalizeazå cu abordarea de noi probleme

La matematicå, investigaÆia presupune atât rezolvarea de probleme cât çi crearea de probleme.

InvestigaÆia poate implica strict domeniul matematic sau poate presupune activitåÆi cros-curriculare.Câteva exemple de investigaÆii care se pot desfåçura la nivelul clasei a V-a sunt descrise succint încontinuare. Profesorul poate organiza çi alte astfel de activitåÆi, cu scopul de a implica elevii în explorareaconceptelor matematice çi a aplicaÆiilor lor.

Ca metodå de evaluare, investigaÆia oferå informaÆii despre capacitatea elevului de:■ a identifica çi a defini o problemå;■ a construi un plan simplu de abordare a problemei;■ a colecta çi a înregistra informaÆia necesarå;■ a organiza informaÆia çi a cåuta elemente invariante;■ a continua demersurile de investigare cåutând noi informaÆii;■ a discuta, a analiza, a explica rezultatele obÆinute.

Exemplul 1: Explorarea proprietåÆilor de divizibilitate a numerelor naturale la clasa a V-a

Elevii exploreazå modul cum se descompun în factori numerele naturale, utilizând ca suport ariile unordreptunghiuri. Activitatea se poate propune în ultima lunå a semestrului al doilea çi presupune cunoaçtereafaptului cå påtratul este un caz particular de dreptunghi.

Materiale necesare: hârtia cu påtråÆele a caietului de matematicå; hârtie milimetricå.Activitatea începe în claså çi se continuå acaså, pe parcursul a douå–trei såptåmâni. Profesorul se

adreseazå elevilor:HaçuraÆi, pe hârtia cu påtråÆele, un dreptunghi de arie 1.HaçuraÆi, pe hârtia cu påtråÆele, un dreptunghi de arie 2. Se mai poate çi altfel? DesenaÆi!Pentru numårul 1, am desenat un singur dreptunghi; pentru numårul 2, am desenat douå dreptunghiuri,

care pot fi açezate unul orizontal çi unul vertical. Câte dreptunghiuri diferite putem desena pentru numårul 3?Dar pentru numårul 4?

53

Cum evaluãm?

Se fac desenele pe caiete çi pe tablå çi se discutå distribuÆia lor. (Se poate eventual prezenta o plançåpregåtitå anterior de cåtre profesor.)

1 2 3 4 5 6 � aria (nr. de påtråÆele)1 2 2 3 2 4 � nr. de dreptunghiuri

DesenaÆi toate dreptunghiurile diferite, necesare pentru a exprima în acest mod fiecare numår de la 1 la20. CompletaÆi apoi numårul care indicå aria fiecårui dreptunghi çi numårul care aratå câte dreptunghiuridiferite se pot desena în fiecare caz.

Cåror numere le corespund douå dreptunghiuri? PuteÆi da exemple de alte astfel de numere, pe care nu le-aÆireprezentat? CâÆi factori au aceste numere? FormulaÆi çi alte observaÆii în legåturå cu numerele reprezentate.Elevii vor continua activitatea acaså, cu investigarea în acelaçi mod a numerelor de la 21 la 30, apoi de

la 31 la 40 ç.a.m.d., pânå la 100.Cum putem recunoaçte numerele pare? Dar pe cele care se împart exact la 5?Li se cere elevilor çå-çi prezinte activitatea çi så formuleze în scris çi alte observaÆii interesante pe care

le-au descoperit.Procedura de apreciere: Evaluarea investigaÆiei se face holistic, Æinând cont de claritarea prezentårii çi a

argumentårii, precum çi de gradul de finalizare a sarcinii, dupå cum urmeazå:


Elevul completeazå dreptun-ghiurile corespunzåtoare nu-merelor de la 1 la 20, avândcâteva greçeli, pe care reu-çeçte så le corecteze cu ajuto-rul profesorului.

Sesizeazå, cu ezitåri, o le-gåturå simplå între numårulde dreptunghiuri çi factoriidin descompunerea numåru-lui reprezentând aria.

Elevul prezintå o in-vestigaÆie fåcutå celpuÆin pentru nume-rele de la 1 la 50.

Formuleazå în lim-baj simplu concluziileobÆinute, fårå a ex-plica toate conexiu-nile.

Elevul desfåçoarå întreagainvestigaÆie propuså.

Formuleazå în limbajsimplu concluziile obÆi-nute, explicând sumarconexiunile.

Elevul desfåçoarå întreagainvestigaÆie propuså.

Prezintå într-o formåclarå çi conciså rezultateleobservaÆiilor, recurgândla scheme çi tabele çi for-mulând cele mai multeconsecinÆe deductibile dininvestigaÆia fåcutå..

Exemplul 2: Explorarea operaÆiilor numerice cu ajutorul calculatoruluide buzunar, la oricare nivel de claså

Numeroase investigaÆii se pot desfåçura utilizând calculatorul de buzunar, ca de exemplu: Douånumere naturale consecutive au suma/produsul 20 003. Existå astfel de numere? Dacå da, care sunt numerele?Explicå modul de calcul.

ExerciÆiul se rezolvå prin încercåri. Dacå fiecare elev dispune de un minicalculator, activitatea se poatedesfåçura în claså; în caz contrar, ea se desfåçoarå extraçcolar, låsând la dispoziÆia elevului un interval mailung de timp pentru finalizare.

În evaluarea rezultatelor, se Æine cont de numårul de încercåri efectuate pentru obÆinerea rezultatului çide calitatea raÆionamentului, dupå cum urmeazå:

54



Numårul de încercåri estefoarte mare, numerelesunt alese arbitrar, fårånici o încercare de siste-matizare; dupå mai multeîncercåri dirijate, elevulreuçeçte så obÆinå rås-punsul cu ajutorul mini-calculatorului.

Numårul de încercåri esterelativ mare, numerelesunt selectate în urmaunor încercåri de sistema-tizare; elevul reuçeçte såobÆinå råspunsul, så-l ve-rifice cu ajutorul minical-culatorului çi så dea ojustificare parÆialå pentrudemersul fåcut.

Numårul de încercåri esterelativ mic, numerele suntselectate în urma unuidemers de sistematizare;elevul reuçeçte så obÆinåråspunsul, så-l verifice cuajutorul minicalculatoru-lui çi så dea unele justi-ficåri pentru demersulfåcut.

Numårul de încercåri esterelativ mic, numerele suntselectate în urma unuidemers de sistematizare;elevul reuçeçte så obÆinåråspunsul, så-l verifice cuajutorul minicalculatoru-lui çi så dea justificåri clarepentru demersul fåcut.

� Utilizarea referatelor în evaluare

Referatul este o lucrare elaboratå de unul sau mai mulÆi elevi pe o temå datå çi cu ajutorul unei bibliografiiprestabilite.

Referatul prezintå avantajul implicårii elevului în consultarea bibliografiei pentru înÆelegerea çi aprofun-darea unor noÆiuni noi sau insuficient abordate la claså.

■ PropuneÆi referate unor echipe de elevi care colaboreazå bine între ei.■ StabiliÆi împreunå cu elevii bibliografia çi etapele de lucru.■ RezervaÆi timp suficient pentru prezentarea referatelor în cadrul clasei. ComunicaÆi de la început cât timp

acordaÆi pentru fiecare prezentare.■ LåsaÆi elevii så îçi organizeze singuri prezentårile. ÎncurajaÆi prezentarea în echipå.■ EvaluaÆi: calitatea informaÆiei, claritatea expunerii, modul de cooperare în elaborarea çi prezentarea

referatului, impactul acestuia asupra celorlalÆi elevi.■ CereÆi elevilor så formuleze aprecieri sau critici asupra referatelor prezentate.

� Autoevaluarea

Autoevaluarea la matematicå permite dezvoltarea capacitåÆii de a reflecta critic asupra propriului mod degândire çi de rezolvare a problemelor çi stimuleazå capacitatea de a gândi independent. Autoevaluarea oferåprofesorului informaÆii despre maturitatea de gândire a elevului, despre atitudinea elevului privind învåÆarea ma-tematicii, despre corelarea dintre opinia elevului faÆå de propriile achiziÆii çi o raportare obiectivå, despre raportuldintre açteptårile elevului çi cele ale profesorului, dintre criteriile de evaluare ale elevului çi cele ale profesorului.

Autoevaluarea se poate desfåçura prin autoaprecierea modului de rezolvare a unei probe pe baza uneigrile date, sau poate fi fåcutå cu ajutorul unor chestionare simple referitoare la o activitate independentåsau în grup. Un exemplu de chestionar este cel care urmeazå.

ChestionarCompleteazå spaÆiile libere çi încercuieçte råspunsurile pe care le consideri potrivite.1. În realizarea proiectului/temei/investigaÆiei

a) am lucrat singur;b) am lucrat în echipå.

2. Prin participarea la aceastå activitate, am învåÆat:a) ....................................................... b) .......................................................c) ....................................................... d) ........................................................

55

Cum evaluãm?

3. Activitatea în grup:a) mi se pare interesantå; b) îmi place mai mult decât cea individualå; c) må ajutå så învåÆ mai uçor;d) nu este utilå; e) este superficialå.

4. Activitatea în grup s-a desfåçurat:a) foarte bine; b) bine; c) satisfåcåtor; d) råu; e) foarte råu.

5. DificultåÆile acestei activitåÆi au fost legate de:a) neînÆelegeri între membrii grupului; b) proasta repartizare a sarcinilor; c) lipsa de participare a unora;d) dorinÆa de a-çi impune punctul de vedere a unora; e) lipsa surselor de informare; f) lipsa de timp.

6. În cadrul grupului, am desfåçurat urmåtoarele activitåÆi:a) ....................................................... b) .......................................................c) ....................................................... d) ........................................................

7. Cred cå activitatea mea la aceastå temå poate fi apreciatå prin calificativul:a) foarte bine; b) bine; c) satisfåcåtor; d) insuficient.

� Evaluarea prin intermediul proiectului

Utilizarea proiectului în evaluare presupune parcurgerea mai multor etape çi alocarea unei perioade mai maride timp pentru realizare.Proiectul prezintå avantajul antrenårii elevilor în activitåÆi complexe, ce presupun identificare çi colectare dedate, precum çi prelucrarea çi organizarea acestora într-un mod original.

Proiectul începe în claså, prin conturarea obiectivelor, formularea sarcinii de lucru çi (dacå este cazul)precizarea echipei care îl realizeazå.

În afara orelor de curs, dar sub îndrumarea profesorului, elevii stabilesc metodologiile de lucru, îçidefinesc (dacå este cazul) statutul çi rolul în cadrul grupului çi fixeazå termene pentru diferite etape aleproiectului. Dupå colectarea datelor çi organizarea materialului, proiectul se încheie în claså, prinprezentarea rezultatelor obÆinute.

EvaluaÆi atât calitatea proiectului (având în vedere adecvarea la temå, completitudinea, structurarea,semnificaÆia datelor, creativitatea), cât çi calitatea activitåÆii elevilor (având în vedere documentarea, modulde comunicare, calitatea rezultatelor).

Un exemplu de proiect, posibil de desfåçurat în majoritatea çcolilor poate avea titlul La poçtå.Deoarece presupune aplicarea çi integrarea a numeroase cunoçtinÆe çi competenÆe dobândite pe parcursulgimnaziului, un astfel de proiect poate reprezenta forma de evaluare pentru semestrul al doilea la odisciplinå opÆionalå care integreazå una sau mai multe arii curriculare.

Materiale necesare:■ plicuri çi timbre, de preferinÆå deja folosite la poçtå;■ mulaje din carton ale monedelor çi ale bancnotelor;■ un cântar similar celui de la poçtå, folosit pentru a cântåri plicuri çi pachete (în cazul în care çcoala nu

poate achiziÆiona un astfel de cântar, se poate discuta la cea mai apropiatå poçtå din localitate ca eleviiså fie primiÆi în grupe de câte patru-cinci så asiste la desfåçurarea activitåÆii funcÆionarilor de la poçtå).

Obiective ale proiectului:■ familiarizarea elevilor cu utilizarea numerelor çi a måsurilor în situaÆii cotidiene;■ rezolvarea de probleme practice prin metode construite ad-hoc, adaptate la situaÆii concrete.

56


Repartizarea activitåÆilor pe grupeSe constituie grupe de câte patru–cinci elevi, fiecare grupå având o sarcinå preponderentå, dintre

urmåtoarele:■ înregistrarea primarå a datelor, privind:

– urmårirea activitåÆii de timbrare a plicurilor, corespodenÆa distanÆå-valoarea timbrului; platatimbrelor, restul;

– cântårirea pachetelor, corespondenÆa maså-valoare;– alte corelaÆii maså – arie – volum – valoare.

■ prelucrarea datelor, prin alcåtuirea de tabele, postere, grafuri;■ interpretarea acestor date prin: efectuarea de comparåri, reducerea la unitate a unor costuri çi

observarea pe aceastå bazå a preÆului optim, remarcarea a diferite corelaÆii;■ formularea de probleme cu o tematicå specificå poçtei;■ simularea în cadrul clasei a unor activitåÆi care se desfåçoarå la poçtå, prilej cu care se pot rezolva

probleme de schimburi monetare echivalente, probleme de estimåri, probleme simple de optimi-zare çi de luare a deciziei, aducând în claså situaÆii problematice autentice çi punând elevii în situa-Æia de a cåuta modalitåÆi pertinente de rezolvare.

Procedura de aplicareAcest tip de proiect se poate organiza în cadrul unui opÆional din aria curricularå Matematicå çi çtiinÆe

ale naturii, sau ca o temå integratoare pentru ariile curriculare Matematicå çi çtiinÆe çi Tehnologii, fiind alocatca timp în ora de opÆional repartizatå prin planul-cadru oricåreia dintre cele douå arii curriculare.

Finalizarea proiectului presupune realizarea urmåtoarelor produse: plançe, conÆinând într-o formå câtmai atractivå, materiale realizate çi selectate de elevi, rapoarte asupra activitåÆilor desfåçurate într-oanumitå perioadå de timp; referate asupra problemelor propuse çi rezolvate pe parcurs.

Timp de lucru alocat în claså: o orå pe såptåmânå pe semestrul al doilea al anului çcolar.

Procedura de apreciereEvaluarea acestui tip de proiect cuprinde douå faze: evaluarea activitåÆii desfåçurate de copii pe

parcursul derulårii proiectului çi evaluarea produsului final. Evaluarea se face, de regulå, global pentru toÆimembrii unei grupe, Æinând cont de nivelul de implicare a grupei în desfåçurarea activitåÆii, de metodele delucru utilizate, de claritarea prezentårii çi a argumentårii folosite în rapoartele parÆiale çi finale, precum çi degradul de finalizare a sarcinii, dupå cum urmeazå:


Echipa solicitå sau manifestånecesitatea så fie dirijatå în-deaproape de cåtre profesor.

Utilizeazå în rezolvarea unorprobleme numai datele ob-Æinute în cadrul grupei çirestrânge comparaÆiile laaceste date.

Sesizeazå, cu ajutorul pro-fesorului, legåturi simpleîntre date.

Echipa contribuie cu so-luÆii teoretice/ practice latoate etapele proiectului.

Formuleazå în limbajsimplu concluziile obÆi-nute, fårå a explica toateconexiunile.

Membrii echipei argu-menteazå parÆial punctelede vedere pe care le sus-Æin.

Echipa desfåçoarå o activi-tate susÆinutå pe toatå pe-rioada derulårii proiectului.Propune çi rezolvå problemevariate. Prezintå într-o for-må clarå çi conciså rezulta-tele observaÆiilor, recurgândla scheme çi tabele.

Membrii echipei susÆin çi ar-gumenteazå convingåtorpropriile puncte de vedere.

Se poate acorda pen-tru membrii echipeicare a participat ac-tiv la toate etapeleproiectului, contri-buind cu soluÆii va-riate la rezolvareaunor probleme prac-tice çi elaborând unprodus final original.

În cazul în care grupa nu se comportå omogen, se pot acorda calificative diferite membrilor uneigrupe. Produsele rezultate în urma elaborårii acestui proiect pot fi incluse în portofoliul fiecårui elev.

57

Cum evaluãm?

� Utilizarea portofoliului în evaluarePortofoliul se constituie într-un dosar al activitåÆii elevului; portofoliul oferå o imagine asupra

progresului în achiziÆia de cunoçtinÆe çi capacitåÆi a elevului, asupra nivelului lui de înÆelegere a matema-ticii, asupra atitudinilor lui faÆå de matematicå, toate acestea înregistrate într-o anumitå unitate de timp,stabilitå de profesor (câteva såptåmâni, un semestru, un an çcolar, o treaptå de învåÆåmânt).

Un portofoliu include rezultatele a diferite activitåÆi desfåçurate de elev de-a lungul etapei stabilitepentru acest tip de evaluare. Astfel de rezultate incluse în portofoliu pot fi:

■ descrierea scriså a unor investigaÆii;■ descrierea sau analiza unor situaÆii–problemå;■ råspunsuri la anumite probleme– întrebåri date ca temå într-un interval de timp mai lung;■ rezultatele unei activitåÆi desfåçurate cu ajutorul calculatorului electronic;■ lucråri elaborate de elev individual sau în grup (rapoarte, investigaÆii, proiecte, rezultatele unor

probe de evaluare curentå çi/sau sumativå) pe care profesorul sau, în unele cazuri, elevul, leconsiderå semnificative pentru a face parte din portofoliu, cu precizarea motivelor care audeterminat alegerea lor în componenÆa acestuia;

■ un scurt raport, fåcut din perspectivå proprie, asupra a ceea ce a învåÆat în perioada evaluatå;■ scurtå prezentare fåcutå de cåtre elev asupra impresiilor, pårerilor, atitudinilor proprii faÆå de

matematicå.

Portofoliul poate cuprinde: selecÆii din temele pentru acaså, redactåri ale unor rezolvåri, notiÆe declaså, comentarii ale unor probleme, enunÆuri de probleme propuse de elev pornind de la o temå datå,lucråri de control, referate, calendarul sau proiectul unor activitåÆi independente.

În måsura în care selecÆia este fåcutå de cåtre elevi, portofoliul are avantajul participårii efective a celuievaluat în procesul de evaluare.

■ ImplicaÆi elevii în decizia asupra proiectårii/conÆinutului portofoliului.■ Nu urmåriÆi doar notarea elevilor prin intermediul portofoliului ci, mai ales, antrenarea lor în autoeva-

luarea întregii activitåÆi.■ StabiliÆi criterii clare de evaluare a portofoliului, înainte de lansarea acestuia.■ ConcepeÆi portofolii centrate pe un anume tip de competenÆå – de exemplu: dezvoltarea capacitåÆii de a

comunica utilizând limbajul matematic.■ CereÆi elevilor så includå în portofoliu un blazon care îl reprezintå, exprimat printr-un desen sau o

sintagmå. În acest fel, îi stimulaÆi så îçi exprime propriile interese, preocupåri, afinitåÆi çi så se impliceafectiv în alcåtuirea portofoliului. Încå o datå, subliniem cå scopul evaluårii curente nu este catalogareaelevului prin notå, ci stimularea progresului acestuia în învåÆare.

Evaluarea prin portofoliu oferå:■ evidenÆa cronologicå çi ritmicå a rezultatelor;■ evidenÆa schimbårilor intervenite în nivelul de formare–dezvoltare a competenÆelor elevului de-a

lungul unei perioade mai mari de timp;■ posibilitatea elevului de a-çi autoevalua çi selecta rezultatele propriei activitåÆi.

Pe baza informaÆiilor cuprinse în portofoliu, profesorul poate formula concluzii privitoare la apreciereaprogresului çcolar global înregistrat în evoluÆia elevului în perioada de timp stabilitå pentru acest tip deevaluare.

58


Cum putem folosi evaluarea pentru îmbunåtåÆireaperformanÆelor elevilor?

Evaluarea trebuie så contribuie la motivarea activitåÆii elevului çi så furnizeze profesorului diagnoze çiprognoze asupra activitåÆii didactice. Recomandåm în continuare câteva modalitåÆi prin care evaluareapoate contribui la îmbunåtåÆirea performanÆelor elevilor:

■ AplicaÆi metode çi instrumente cât mai variate de evaluare. Anterior, explicaÆi elevilor acestemetode çi simulaÆi evaluarea prin câteva exemple.

■ AnalizaÆi rezultatele testelor, discutând metodele posibile de rezolvare, greçelile tipice, modalitateade acordare a notelor.

■ Dacå rezultatele unui test nu sunt conforme cu açteptårile dumneavoastrå sau ale elevilor, repetaÆitestul într-o formå echivalentå la un interval scurt de timp çi fixaÆi nota finalå prin medie ponderatå.În acest fel, puteÆi verifica fidelitatea testului çi acordaÆi elevilor posibilitatea unei a doua çanse.

■ AlternaÆi metodele de evaluare spontane (examinare oralå, lucråri neanunÆate) cu metode plani-ficate. Nu faceÆi publicå o regulå de succesiune a elevilor pentru examinarea oralå!

■ FolosiÆi metoda observårii sistematice pe o perioadå mai mare de timp pentru a impulsionaactivitatea elevilor.

■ ÎncurajaÆi elevii så vorbeascå despre activitatea pe care o desfåçoarå. ÎntrebaÆi-i de ce au luat oanumitå decizie în rezolvare. AdresaÆi-le întrebåri care så-i facå så gândeascå, så prezinte unraÆionament. In acest mod puteÆi descoperi unde s-a produs neînÆelegerea.

Cum preîntâmpinåm problemele legate de limbajçi vocabular?

Toate aspectele legate de limbaj çi de vocabular sunt esenÆiale pentru succesul elevului la teste. Înactivitatea de rezolvare a unei probleme, elevii trebuie så recunoascå simbolurile, så relaÆioneze acestesimboluri cu imagini çi cuvinte. Ei trebuie så înÆeleagå conÆinutul unui test adresat lor indiferent de forma încare este prezentat. Urmåtoarele aspecte pot fi avute în vedere.

■ Se poate întâmpla ca un elev så råspundå greçit numai din cauzå cå limbajul folosit în enunÆ îi estenefamiliar. StimulaÆi elevii så abordeze sarcini variate, chiar dacå acestea apar în contexte neobiçnuite.

■ Adesea elevii nu realizeazå cå materialul din test este similar celui întâlnit în activitatea la claså. Esteimportant så fie conçtientizatå ideea cå aceleaçi exerciÆii çi probleme pot apårea în diferite forme.

■ Terminologia utilizatå în diferite teste standard poate fi diferitå de cea utilizatå în mod curent înclaså. UtilizaÆi cât mai frecvent denumiri çi/sau definiÆii echivalente.

■ Unele confuzii pot fi generate de utilizarea unor cuvinte cu sensuri multiple sau cu sensuri diferite încotidian faÆå de sensul matematic. IdentificaÆi çi evidenÆiaÆi situaÆiile respective.

■ ApariÆia unui enunÆ formulat ambiguu poate avea consecinÆe nefaste pentru un elev aflat înemoÆiile unui examen. Pentru a preîntâmpina aceastå situaÆie:– propuneÆi enunÆuri incomplete çi cereÆi elevilor så le completeze;– propuneÆi enunÆuri discutabile çi cereÆi elevilor så le interpreteze;– conduceÆi elevii spre formarea unei strategii de abordare a unor astfel de situaÆii.

59

Cum evaluãm?

Cum putem remedia erorile frecvente?

Observarea sistematicå permite depistarea erorilor pe care elevii le fac în mod frecvent. Este util såanticipåm erorile frecvente pentru a avea deja conturate modalitåÆi de remediere. Indiferent de modul încare procedaÆi, este util ca, în analiza erorilor, så construiÆi exemple çi contraexemple çi så stimulaÆi elevii såfacå ei înçiçi astfel de propuneri. În acest fel, determinaÆi o atitudine criticå çi reticentå a elevilor faÆå depropriile afirmaÆii çi îi obiçnuiÆi så îçi corecteze singuri greçelile. În continuare, exemplificåm câteva greçelitipice çi propunem modalitåÆi de remediere a acestora.

Tema Greçeli posibile ModalitåÆi de remediere

Reguli decalcul pentruputeri çiradicali

Introducerea sau scoaterea facto-rilor de sub radical fårå a Æineseama de semnul lor

PrezentaÆi exerciÆii cu „rezolvare“ greçitå çi concluzieevident falså çi identificaÆi greçeala împreunå cu elevii.

PuneÆi elevii så propunå colegilor exerciÆii de acest tip.

Extrapolarea eronatå a unor re-guli, de exemplu: (a+b)2=a2+b2,

, a2+a3=a5.

PropuneÆi contraexemple în care ambii membri se cal-culeazå uçor. CereÆi elevilor så propunå çi ei astfel decontraexemple.

AtenÆie! Fixarea insuficientå a acestor reguli produceneînÆelegerea aplicaÆiilor ulterioare.

OperaÆii cunumere reale

Determinarea incorectå a semnu-lui sumei sau diferenÆei

PropuneÆi adunåri çi scåderi cu numere mici. TrasaÆi petablå o axå çi mimaÆi reprezentarea sumei.

InsistaÆi asupra legåturii dintre modulele numerelor çipoziÆionarea vârfului compasului în raport cu originea.Pentru diferenÆå, insistaÆi asupra faptului cå scåderease exprimå prin adunarea cu opusul

Calculul greçit al sumelor în careapar radicali diferiÆi

ReveniÆi asupra regulilor de calcul pentru puteri çiradicali.

ArgumentaÆi geometric faptul cå,în general,(De exemplu, pentru a aråta cå

putem folosi desenul alåturat.)

PropuneÆi elevilor så gåseascå alte configuraÆii careilustreazå acelaçi tip de raÆionament.

EcuaÆii reduc-tibile laformaax + b = 0

Aplicarea unei operaÆii numaiîntr-unul dintre cei doi membri aiecuaÆiei

CereÆi elevilor så verifice în ecuaÆia iniÆialå soluÆia obÆi-nutå. Este preferabil så nu interveniÆi imediat, ori decâte ori remarcaÆi o greçealå de calcul; låsaÆi elevul såfinalizeze sarcina de lucru, cereÆi-i så facå verificarea çiså-çi descopere singur greçelile.

ÎnmulÆirea în ambii membri cuun factor care se anuleazå

PropuneÆi exerciÆii cu „rezolvarea“ greçitå çi råspunsaberant.

PropuneÆi exerciÆii în care înmulÆirea cu o parantezåmodificå natura rezultatului.

60


baba ��

baba ��

1385 �

Tema Greçeli posibile ModalitåÆi de remediere

Corpurigeometrice

Reprezentåri eronate ale corpu-rilor geometrice

ConfecÆionaÆi din carton piramide çi açezaÆi-le în di-verse poziÆii. CereÆi elevilor så le observe çi så le re-prezinte prin desen.

PrezentaÆi apoi desene ale unor corpuri geometrice çicereÆi elevilor så identifice corpurile respective.

RecurgeÆi la jocul „Telefonul“.

ReflectaÆi!

Pentru fiecare tip de greçealå, dintre cele prezentate mai jos, propuneÆi modalitåÆi de abordare a activitåÆii înclaså, care så conducå la prevenirea çi/sau remedierea acestora.

PoziÆii relative ale dreptelor çi planelor în spaÆiu: extinderea prin analogie a definiÆiei paralelismului din plan(drepte paralele sunt drepte care nu se intersecteazå), la spaÆiu.

PoziÆiile relative a douå plane: considerarea unui punct nominalizat pe figurå ca fiind intersecÆia a douå plane.

FuncÆii de forma f(x)=ax+b, definite pe intervale: completarea incorectå a tabelului de valori; reprezentarea pegrafic a unor puncte care nu aparÆin domeniului funcÆiei respective, ci prelungirii ei la R.

Surse bibliografice

1. Gardner, H., Mintea disciplinatå, Ed. Sigma, 20042. Meyer, G., De ce çi cum evaluåm?, Ed. Polirom, 20003. Påcurari, O. (coord.), Strategii didactice inovative, Centrul educaÆia 2000+, Ed. Sigma, 20034. Singer, M., Voica, C., ÎnvåÆarea matematicii. Elemente de didacticå aplicatå pentru clasa a VIII-a. Ghidul

profesorului, Ed.Sigma, 2002.5. Stoica, A. (coord.), Criterii de notare pentru clasa a VIII-a, SNEE, Ed. Sigma, 20046. ***, Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematicå primar-gimnaziu, CNC, Ed. SC

Aramis Print, 2001

61

Cum evaluãm?

Capitolul 4: Cum optimizãm organizareaclasei?

InteracÆiuni complexe în ora de matematicå

Cum abordåm nuanÆat tratarea diferenÆiatå?

Pedagogia çi psihologia modernå se manifestå frecvent împotriva sistemelor de catalogare çi repar-tizare a elevilor unei clase pe grupe de abilitåÆi. Totuçi acest fapt e compensat de necesitatea de a diversificaactul didactic pânå la individualizare pentru a råspunde nevoilor fiecårei persoane.

În mod special în predarea-învåÆarea matematicii, fenomenul diferenÆierii elevilor apare pregnant, darcu fluctuaÆii mari pe parcursul çcolaritåÆii, fluctuaÆii care nu sunt definitorii çi nici predictive.

De aceea, împårÆirea clasei pe categorii de elevi are, pe de o parte, avantajul cå permite o mai marediversificare çi adaptare a sarcinilor (i.e. sarcini diferite pentru interese diferite), dar, pe de altå parte, aredezavantajul unei segregåri ce poate avea consecinÆe nefaste în evoluÆia copilului. Pentru a preîntâmpinaaceste efecte, este deosebit de important ca grupele stabilite så fie extrem de flexibile, iar elevii så fiestimulaÆi så migreze cåtre un nivel de abilitate mai înalt.

Prin împårÆirea clasei în grupuri mici responsabilitatea fiecårui elev faÆå de grup creçte foarte mult. Înloc så reprezinte a 26-a parte dintr-o claså de 26 de copii, elevul reprezintå un sfert dintr-un grup de 4. Numai trebuie så açtepte ca alÆi 26 de potenÆiali participanÆi så-çi spunå pårerea înainte ca ea sau el så poatå fiimplicat într-o activitate.

AtenÆie!Plasarea într-o anumitå categorie de abilitåÆi trebuie fåcutå numai pe baza unei înregistråri sistematice a

nivelului de achiziÆii ale fiecårui elev. În acest mod, vå verificaÆi intuiÆia çi aprecierea globalå fåcutå asupraelevului, îi puteÆi oferi elevului stimulente pentru perfecÆionare, puteÆi argumenta pårinÆilor motivele care audeterminat catalogarea çi îi puteÆi convinge mai uçor cå acest demers este în avantajul copilului.

EvaluaÆi!Pentru una dintre clasele la care lucraÆi, realizaÆi o distribuÆie a elevilor în grupe de lucru omogene din punctul

de vedere al nivelului de achiziÆii ale elevilor, apoi o distribuÆie în grupe eterogene. DesfåçuraÆi activitåÆi folosindcele douå moduri de distribuÆie çi comparaÆi interacÆiunile din cadrul grupurilor.

62


Cum organizåm çi monitorizåm clasa în situaÆii problematice?

Cadrul didactic are numeroase responsabilitåÆi atunci când se desfåçoarå activitåÆile pe grupe, variind dela cea de instructor la participant çi consultant. Uneori, el adoptå o poziÆie neutrå, determinându-i astfel pecopii så-çi asume întreaga responsabilitate pentru ceea ce fac çi spun. Una dintre primele reguli referitoare laevaluarea activitåÆii pe grupuri mici este aceea de a fructifica fiecare ocazie pentru a evalua calitatea muncii îngrup, aprofundarea înÆelegerii diferitelor aspecte abordate sau creçterea gradului de cooperare.

Managementul clasei presupune planificarea anterioarå a activitåÆilor ce urmeazå a fi desfåçurate,precum çi cunoaçterea çi aplicarea de cåtre profesor a unor tehnici specifice, necesare depåçirii situaÆiilordificile çi a îmbunåtåÆirii rezultatelor procesului de învåÆare.

În cele ce urmeazå, prezentåm câteva tehnici de organizare çi monitorizare a clasei pentru depåçireaunor situaÆii ce pot apårea în procesul didactic.

SituaÆii problematice ModalitåÆi de acÆiune

MulÆi elevi nu cunosc no-Æiunile necesare iniÆieriiactivitåÆii, cuprinse înpartea de actualizare

■ ReluaÆi aceste noÆiuni contextual, solicitând råspunsuri de la cât mai mulÆielevi.

■ AnticipaÆi aceste situaÆii çi cereÆi elevilor så recapituleze definiÆiile çi pro-prietåÆile necesare, anterior desfåçurårii lecÆiei.

Este necesarå folosireaunor materiale pe careelevii trebuie så le ma-nipuleze (de exemplu,în orele de geometrie înspaÆiu)

■ OrganizaÆi activitatea în grupe de câte doi elevi.■ Dacå mobilierul clasei permite, formaÆi grupe de câte patru. FolosiÆi câte un set

de materiale pentru fiecare grup çi desemnaÆi în cadrul acestuia un elev care seocupå cu repartizarea çi strângerea materialelor.

■ PåstraÆi materialele în cutii transparente sau cu etichete vizibile, açezate într-oordine logicå, pentru a uçura accesul elevilor la ele, fårå ca aceasta så perturbeora în vreun fel.

■ OrganizaÆi anterior confecÆionarea materialelor didactice dacå ele nu existå.

Elevii nu au materialdidactic necesar iniÆieriiactivitåÆii sau înÆelegeriisituaÆiei-problemå

■ FormaÆi grupe de câte patru-cinci elevi çi desemnaÆi în cadrul acestora câte unelev care se ocupå cu repartizarea sarcinilor, strângerea materialelor çi depo-zitarea lor într-un loc adecvat.

■ FolosiÆi pe parcursul mai multor ore acelaçi material didactic (de exemplu,cuburi realizate din carton)

Elevii au neclaritåÆi latema datå pentru acasåîn ora anterioarå çi dis-cutarea acesteia ar luaprea mult timp

■ RezolvaÆi pe larg doar una dintre problemele din temå. FormulaÆi indicaÆii derezolvare pentru restul temei çi propuneÆi-o din nou ca temå pentru acaså.

■ SolicitaÆi elevilor care au rezolvat tema så expunå într-un loc vizibil redactareaacesteia.

■ LegaÆi mai mult tema pentru acaså de aplicaÆiile fåcute în claså.■ PropuneÆi temå diferenÆiatå, astfel ca fiecare elev så poatå rezolva o parte a temei.

Conceptualizarea çi siste-matizarea necesitå maimult timp decât cel pro-iectat

■ FolosiÆi lucrul cu manualul în locul expunerii la tablå a lecÆiei.■ EchilibraÆi în orele urmåtoare distribuÆia în timp a activitåÆilor çi reveniÆi cu

scurte explicaÆii teoretice în cadrul aplicaÆiilor.■ PropuneÆi sarcini de lucru într-un interval de timp precizat de la început; dupå

expirarea timpului acordat, opriÆi activitatea, sistematizaÆi paçii parcurçi çipropuneÆi finalizarea într-un moment ulterior.

63

Cum optimizãm organizarea clasei?

SituaÆii problematice ModalitåÆi de acÆiune

CâÆiva dintre elevi çi-auînsuçit un concept caretocmai a fost predat, întimp ce alÆii întâmpinådificultåÆi.

■ PuneÆi la dispoziÆia elevilor cu ritm rapid fiçe de exerciÆii suplimentare sauculegeri de probleme cu sarcini de lucru marcate adecvat.

■ IndicaÆi o sarcinå de lucru practicå unui grup de elevi avansaÆi, de tipulpregåtirii unui material didactic necesar în ora urmåtoare.

■ LucraÆi în acest timp cu elevii care întâmpinå dificultåÆi.

În urma evaluårii se con-statå cå unele noÆiunisunt prea puÆin înÆelese.

■ PropuneÆi ore la dispoziÆia profesorului în planificarea anualå tocmai pentruastfel de situaÆii.

■ OrganizaÆi finalul fiecårei lecÆii în aça fel încât sumarul acesteia så rezulte dinintervenÆiile elevilor.

Unele dintre obiectivelelecÆiei nu se pot atingepe parcursul orei.

■ ProiectaÆi alocarea de timp a lecÆiilor urmåtoare în funcÆie de ritmul elevilor.■ VerificaÆi dacå unele dintre obiectivele propuse pe întreaga unitate de învåÆare

nu se pot realiza çi prin alte conÆinuturi.

Elevii nu manifestå in-teres, nu sunt receptivila problematica studiatå.

■ FolosiÆi materiale didactice variate.■ AdoptaÆi justificåri intuitive în locul celor riguroase.■ PropuneÆi activitåÆi cât mai variate. TrasaÆi sarcini diferenÆiate de lucru unor

elevi çi analizaÆi rezultatele obÆinute.■ OrganizaÆi activitatea în grup ca o variaÆie a activitåÆii obiçnuite.

Elevii nu pot utiliza efi-cient manualul sau altemateriale scrise.

■ ÎnvåÆaÆi-i pe elevi cum så înveÆe singuri. Nu folosiÆi manualul doar ca oculegere de probleme – cereÆi elevilor så conspecteze o lecÆie nouå, såcomenteze exemplele din manual sau så analizeze problemele rezolvate.

■ UrmåriÆi împreunå cu elevii indicaÆiile de rezolvare a problemelor din manualçi ajutaÆi-i så le dezvolte.

■ CereÆi elevilor så comenteze rezolvåri scrise ale colegilor lor.■ UtilizaÆi texte cu demonstraÆii incomplete çi cereÆi elevilor dezvoltarea în scris a

ideilor demonstraÆiei.

EvaluaÆi!IdentificaÆi situaÆii problematice apårute în activitatea elevilor dvs. Pentru unele dintre aceste situaÆii, faceÆi un

plan de acÆiune de tipul soluÆiilor gåsite mai sus çi aplicaÆi acest plan în claså. DiscutaÆi cu colegii rezultatele obÆinute.

În ce constå programul de recuperare – aprofundare?

Pentru ca evaluarea – çi totodatå învåÆarea – så devinå eficiente çi så conducå la un real progres çcolar,este necesar ca profesorul/ învåÆåtoarea så urmåreascå îmbunåtåÆirea rezultatelor fiecårui elev, punându-ila dispoziÆie, prin programul de recuperare-aprofundare, seturi de activitåÆi adaptate nivelului decompetenÆå dovedit de acesta în cadrul evaluårii curente çi sumative.

Programul de recuperare-aprofundare se poate desfåçura în timpul orelor obiçnuite de claså printr-oactivitate independentå orientatå de cåtre profesor/învåÆåtoare sau poate fi, în funcÆie de motivaÆiacopilului, o temå suplimentarå pentru acaså. EficienÆa programului poate fi sporitå dacå pårinÆii suntimplicaÆi în mod direct în supravegherea çi susÆinerea activitåÆii copiilor.

Concret, în ce constå programul de recuperare-aprofundare? Constå în atribuirea de sarcini de lucruadecvate nivelului de competenÆe dobândite de fiecare elev prin învåÆare, nivel certificat în urma evaluåriicurente çi/sau sumative.

64


Astfel, un elev care a obÆinut note sub 5 la una sau la mai multe probe vizând formarea unei anumitecompetenÆe, sau care a primit calificativul respins la un test de evaluare sumativå de tip fixare, va rezolva cupreponderenÆå, în cadrul programului de recuperare, exerciÆii axate pe formarea acelei competenÆe.Pentru a preîntâmpina eçecul çcolar, elevilor care se constatå cå nu fac faÆå cerinÆelor prin care se verificånivelul minimal de atingere a standardelor, li se poate organiza un program intensiv de recuperare, subîndrumarea profesorului/învåÆåtoarei çi a familiei, înainte de aplicarea testului de evaluare finalå.

Exemplu

■ Standard S3: Efectuarea corectå a calculelor cu numere naturale folosind cele patru operaÆiiaritmetice învåÆate

Nivel minimal de realizare Itemi de evaluare (exemple)

■ Elevul efectueazå adunåri, scåderi,înmulçiri, împårÆiri cu rest cu numeremai mici decât 1 000, utilizând ori-care dintre metodele la care poateapela pentru a finaliza sarcina (nu-måråri, încercåri, sprijin pe alte ope-raÆii etc.).

1. Calculeazå: 8 + 9; 15 + 21; 721 – 14; 7 × 6.2. Calculeazå dupå model:a) 253 + 399 = 253 + 400 – 1 = 652

327 + 199=?b) 498 – 19 = 498 – 18 – 1 = 479

327 – 18 = ?c) 600: 15 = ?

15 × 20 = 30015 × 40 = 600Deci, 600: 15 = 40900: 45 = ?

d) 104: 9 = ?9 × 10 = 909 × 11 = 999 × 12 = 108104 = 99 + 5Deci, 104: 9 = 11 rest 5.216: 12 = ?

■ Utilizeazå axa numerelor în cal-cule. 1. Calculeazå, folosind axa numerelor de mai jos:128 + 5; 136 – 8.

128 129 130 131 132 133 134 135 1362. Câte numere naturale sunt între 128 çi 136?

■ Descompune numere naturale maimici decât 20, utilizând cele patruoperaÆii învåÆate.

■ Descompune numere pânå la 1 000,punând în evidenÆå baza 10.

1. Pune semnele de operaÆie potrivite pentru ca egalitatea så fieadevåratå: 2 � 5 � 7 = 3.2. Scrie numårul 20 ca: sumå a douå numere; diferenÆå a douånumere; produs de douå numere; cât de douå numere.3. Scrie trei posibilitåÆi pentru � çi �, astfel ca

� × � = 24.4. Care dintre exerciÆiile: 5 × 1 000 + 4 × 10 + 2;

5 × 100 + 4 × 10 + 2; 5 + 4 + 2 are rezultatul 542?5. Descompune numårul 328, punând în evidenÆå unitåÆile, zecileçi sutele. Observå desenul:

65


Nivel minimal de realizare Itemi de evaluare (exemple)

■ Cunoaçte tabla înmulÆirii în concen-trul 0 – 100.

■ Efectueazå calcule bazate pe tablaînmulÆirii.

Calculeazå:a) 2 × 9; 200 × 9; 2 000 × 9;b) 63: 7; 64: 8; 6 400: 8;c) 6 × 4; 6 × 5; 28: 6.

■ Utilizeazå algoritmi de efectuare:– a adunårii cu numere având cel

mult cinci cifre;– a scåderii cu numere de cel mult

cinci cifre;

1. Calculeazå: 38 724 + 41 206; 85 192 – 13 008; 321 × 48;25 × 306; 2 680: 36.2. Calculeazå: 5 274 + 5 893 – 5 274; 287 943: 1; 98 × 7 × 2 × 0.3. Fårå a efectua operaÆiile, comparå:

a) 23 + 45 çi 45 + 23;

– a înmulÆirii cu numere mai micidecât 100 çi a împårÆirii cu rest laun numår de o cifrå.

■ Utilizeazå proprietåÆi ale operaÆiilorpentru simplificarea calculelor.

b) 32 × 15 çi 15 × 32;c) 16 + 0 çi 16;d) 98 × 0 çi 98 + 1;e) 745 + 99 çi 745 etc.

4. Calculeazå:a) 238 + 897 – 238;b) 987 654: 1.

■ Verificå rezultatele unor calcule, uti-lizând legåturile între operaÆii în con-centrul 0 – 100.

1. Calculeazå çi verificå prin operaÆia inverså:56 + 21;48 – 12;24: 9;49 × 15.

2. Care dintre exerciÆiile urmåtoare reprezintå proba împårÆiriinumårului 89 la 7?

a) 89 = 11 × 7 + 12; b) 89 = 10 × 7 + 29;c) 89 = 12 × 7 + 5; d) 89 = 13 × 7 – 2.

■ Cunoaçte ordinea efectuårii opera-Æiilor çi folosirea parantezelor çi leutilizeazå în calcule care nu conÆinmai mult de patru operaÆii.

1. Care este ordinea corectå de efectuare a calculelor pentru exerciÆiul:12 × 5 + 31: 8 – 97 = ?

� � � �

a) 1 2 3 4b) 1 3 2 4c) 2 1 4 3d) 2 4 1 32. Efectueazå exerciÆiile respectând ordinea de prioritate în calcul:a) 5 + 3 × 8;b) 25 – 3 × 4;c) 100 × 2 – 5 × 8;d) 400: 20 + 60: 3.

Programul de aprofundare vizeazå elevii care au trecut pragul „notei 5“. Pentru îmbunåtåÆireaperformanÆelor, aceçtia pot lucra, în funcÆie de nivelul abilitåÆilor dobândite, exerciÆii de antrenament sauexerciÆii de dezvoltare. De asemenea, elevii cu aptitudini çi motivaÆii deosebite pentru învåÆarea matematiciipot aborda sarcini de lucru adecvate interesului lor special, cuprinzând exerciÆii çi teme cu grad sporit dedificultate çi creativitate.

66


Are succes activitatea în grup?

Cel mai convingåtor råspuns la aceastå întrebare este dat chiar de cåtre elevi. Inseråm în continuarecâteva aprecieri fåcute de cåtre elevi asupra activitåÆii în grup.

In autoevaluarea activitåÆii în grup, elevii manifestå un spirit deopotrivå critic çi påtrunzåtor:

PuteÆi folosi activitatea în grup pentru a spori motivaÆia elevilor în studiul matematicii.

AnalizaÆi!Care sunt cele mai importante informaÆii obÆinute parcurgând acest capitol? Cum credeÆi cå v-ar putea ele

influenÆa activitatea la claså?

Surse bibliografice

1. Påcurari, O. (coord.), Strategii didactice inovative, Centrul educaÆia 2000+, Ed. Sigma, 20032. Singer, M., Probe de evaluare. Matematicå, Ed. Sigma, 20033. Singer, M., Voica, C., ÎnvåÆarea matematicii. Elemente de didacticå aplicatå pentru clasa a VIII-a. Ghidul

profesorului, Ed.Sigma, 20024. Ulrich, C., Managementul clasei – ÎnvåÆarea prin cooperare, Centrul EducaÆia 2000+, Ed. Corint, 20005. ***, Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematicå primar-gimnaziu, CNC, Ed. SC

Aramis Print, 2001

67


Capitolul 5: Cum abordãm o problemã?

Metode alternative de rezolvare a problemelor

Ce este o problemå?

La orele de matematicå, una dintre activitåÆile principale constå în rezolvarea de probleme. Cu toate cåproblemele reprezintå un „obiect“ foarte comun, este totuçi foarte greu de definit ce este o problemå.Pentru un elev oarecare, drumul de acaså la çcoalå nu constituie, de regulå, o problemå: el parcurge zilnicun acelaçi traseu, pe care îl cunoaçte, îl memoreazå, çtie ce urmeazå în fiecare moment. Cu totul alta estesituaÆia în care traseul cunoscut devine impracticabil, din diverse motive: se lucreazå la reamenajarea unordrumuri, s-a stricat un podeÆ din cauza furtunii, etc. Într-un asemenea caz, a merge de acaså la çcoalå devineo problemå.

A avea (sau a-Æi pune) o problemå înseamnå a cåuta, în mod conçtient, o acÆiune adecvatå pentru a atinge unscop clar conceput, dar nu imediat accesibil. A rezolva o problemå înseamnå a gåsi o asemenea acÆiune.

(G.Polya, 1971)

O problemå prezintå un anumit grad de dificultate. Dacå ne raportåm doar la experienÆa celui careeste pus în situaÆia så rezolve o problemå datå, o aceeaçi problemå poate fi uçoarå sau dificilå. Pentru unelev din clasa a II-a, pentru care „înmulÆirea este adunare repetatå“, a calcula un produs poate fi dificil. Nuacelaçi lucru se întâmplå cu un elev de clasa a V-a, care a învåÆat deja tabla înmulÆirii çi a exersat-o înnumeroase situaÆii.

ReacÆia fireascå a elevului pus în faÆa unei probleme este: „nu çtiu cum se poate ajunge la råspuns, trebuie så cauto cale de rezolvare“. În momentul în care elevul nu se confruntå cu îndoiala cauzatå de noutate sau inedit, elrezolvå de fapt un exerciÆiu.

ReflectaÆi!

Care dintre urmåtoarele enunÆuri ar putea constitui probleme, çi care – exerciÆii pentru elevii dumneavoastrå? Înaceastå apreciere, ÆineÆi cont de vârsta çi de experienÆa elevilor.1) Catetele unui triunghi dreptunghic au lungimile AB=6, AC=4. Så se calculeze ipotenuza BC.2) CalculaÆi 1/2+1/8.3) VerificaÆi dacå numårul 25 678 964 este divizibil cu 12.

68


De câte feluri sunt problemele?

Este dificil de clasificat problemele, astfel încât acestå clasificare så fie çi detaliatå, çi exhaustivå. Oclasificare grosierå împarte problemele în probleme „de aflat“ çi probleme „de demonstrat“.

Rezolvarea unei probleme „de aflat“ constå în gåsirea valorii necunoscutei problemei. Aceasta poate fiun numår, un „obiect“ matematic (triunghi, punct, …), sau o propoziÆie.

Problemele „de demonstrat“ presupun ajungerea, pe cale logicå, la un råspuns de tipul „da“ sau „nu“,referitor la o aserÆiune ce conÆine o ipotezå çi o concluzie.

ReflectaÆi!

DeschideÆi la întâmplare un manual çi împårÆiÆi problemele propuse pentru una dintre teme în „probleme de aflat“ çi„probleme de demonstrat“. De ce ar fi utilå o astfel de clasificare? Poate ea conduce la strategii de rezolvare a problemelor?

Pentru rezolvitor, includerea unei probleme într-o categorie oarecare poate fi de folos. Dacå elreuçeçte, de exemplu, så plaseze problema într-un anumit capitol de manual, a realizat deja un progres,deoarece se poate strådui acum så-çi aminteascå metodele învåÆate çi exersate anterior.

ComparaÆi!Så consideråm problema: „Punctele A, B çi C sunt coliniare, iar O este exterior dreptei AB. DemonstraÆi cå

simetricele punctelor A, B çi C faÆå de O sunt coliniare.“PropuneÆi aceastå problemå unor elevi çi observaÆi cum reacÆioneazå în rezolvare, în situaÆiile în care precizaÆi/

nu precizaÆi cå problema este propuså la capitolul „Paralelogramul“.

Cum organizåm clasa pentru rezolvarea de probleme?

Activitatea de rezolvare a problemelor trebuie conceputå într-un demers de explorare-investigare.Exemplele de probleme rezolvate nu determinå, doar ele, capacitatea de a rezolva independent probleme;dincolo de obÆinerea rezultatului, este mult mai important procesul, modul în care rezolvitorul ajunge lacapåt. Este de preferat un elev care încearcå, fårå succes, så abordeze o problemå, conçtietizând fiecare pasfåcut, decât un elev care aplicå o schemå sau un algoritm, pe care nu le poate explica logic în nici un fel.

ComentaÆi!„Då-i unui om un peçte: el va mânca o zi. ÎnvaÆå-l så pescuiascå: el va mânca toatå viaÆa!“(Proverb chinez)

ComentaÆi proverbul de mai sus.Pentru stimularea apariÆiei ideilor în rezolvarea de probleme, este indicatå adoptarea discuÆiei, ca

mod de organizare a activitåÆii la claså.

DiscuÆia este un schimb organizat de informaÆii çi de idei, de impresii çi de påreri, de critici çi de propuneri înjurul unei teme sau chestiuni determinate în scopul examinårii çi clarificårii în comun a unor noÆiuni çi idei, alconsolidårii çi sistematizårii datelor çi conceptelor, al explorårii unor analogii, similitudini çi diferenÆe, alsoluÆionårii unor probleme care comportå alternative.

69

Cum abordãm o problemã?

În rezolvarea de probleme, scopul discuÆiei este så aducå în atenÆia elevilor acele elemente care potconduce spre soluÆie.

AtenÆie!Cu cât elevii recÆioneazå mai spontan, cu atât discuÆia are un caracter mai constructiv. Dacå înså

observaÆiile elevilor se laså açteptate, puteÆi interveni prin câteva întrebåri bine alese.Întrebåri care faciliteazå exprimarea unor puncte de vedere diferite çi care provoacå elevii pot fi: „Ce se

då?“, „Ce se cere?“, „Cum putem reprezenta?“, „VedeÆi legåturi între ipotezå çi concluzie?“, „De ce credeÆi cå…?“, „CumaÆi proceda?“, „Ce puteÆi deduce din ipotezå?“, „Ce ar putea conduce la concluzie?“, „Care este definiÆia/ proprietatea?“,„Unde aÆi mai întâlnit…?“, „E corectå afirmaÆia…?“, „Ce s-ar întâmpla dacå… ?“, „Cum aÆi fi procedat altfel?“, etc.

EvitaÆi întrebårile cu råspuns Da/ Nu, precum çi monopolizarea discuÆiei de cåtre anumiÆi elevi.

AcÆionaÆi!OrganizaÆi mai multe ore dedicate rezolvårii problemelor, sub forma unor discuÆii. InvitaÆi unul dintre colegii

dumneavoastrå så vå asiste la aceste ore çi rugaÆi-l så noteze toate întrebårile pe care le-aÆi adresat elevilor. Care au fostîntrebårile cel mai des adresate? Ce întrebåri nu aÆi pus? La care întrebåri nu aÆi primit råspunsuri satisfåcåtoare?

Cum evolueazå rezolvarea unei probleme?

Conform lui G. Polya, gåsirea drumului cåtre rezolvarea unei probleme evolueazå pe patru stadiidiferite. Vom exemplifica aceste niveluri pentru problema urmåtoare:

Un triunghi dreptunghic are cateta AB de 4cm çi unghiul C cu måsura de 30�. Cât este aria triunghiului?

Primul stadiu este cel al imaginii. La acest stadiu, reprezentarea graficå a problemei evolueazå înmintea rezolvitorului, care se concentreazå asupra diverselor pårÆi componente sau detalii ale acesteia.Astfel, pentru exemplul considerat, imaginea evolueazå astfel:

Pentru ca acest stadiu imagistic så fie interiorizat eficient, sunt indicate:■ realizarea unor reprezentåri grafice cât mai sugestive;■ utilizarea creioanelor colorate, respectiv a cretei colorate, pentru evidenÆierea unor porÆiuni ale

reprezentårii;■ realizarea unor desene separate, care sunt porÆiuni ale reprezentårii iniÆiale.

Al doilea stadiu este cel al relaÆiilor. Pentru acest nivel, întrebårile semnificative sunt: „Ce putem deducedin ipotezå?“ (lucråm „ascendent“), „Din ce date rezultå concluzia?“ (lucråm „descendent“).

Pentru exemplul considerat, nivelul relaÆiilor evolueazå astfel:

70


Stadiul urmåtor este cel matematic. Acesta constå în aplicarea unor rezultate/ formule ce leagå între eledatele problemei. Uneori, stadiul matematic al rezolvårii problemei poate influenÆa celelalte stadii. Pentruexemplul considerat, stadiul matematic este reprezentat de formulele:

S=AB.AC/2tg(C)=AB/ACtg(30�)=v3/3

Pentru ca acest stadiu så se concretizeze, sunt indicate:■ actualizarea definiÆiilor pentru noÆiunile ce apar în enunÆ;■ determinarea formulelor de calcul ce au legåturå cu noÆiunile implicate.

Cel de-al patrulea stadiu este cel euristic. Acest stadiu se concretizeazå prin întrebårile:Ce ni se då?Ce ni se cere?Cum putem obÆine acest „obiect“, din datele problemei?Este rezolvarea completå?

Stadiul euristic poate conduce la scheme de rezolvare a problemelor. De aceea, este bine ca acest stadiuså fie evidenÆiat de fiecare datå, prin realizarea unui „rezumat“ al paçilor de rezolvare a problemei.

AcÆionaÆi!Pentru una dintre problemele pe care urmeazå så o rezolvaÆi la claså, realizaÆi scheme prin care evidenÆiaÆi cele patru

stadii descrise anterior. Pentru fiecare stadiu, scrieÆi întrebårile ce au determinat saltul calitativ între etape consecutive.

Cum învåÆåm elevii så rezolve probleme?

Pentru a determina, la elevii dumnea-voastrå, deprinderea de a aborda rezolvareaproblemelor, într-un demers conçtient çi efi-cient, este util så accentuaÆi stadiul euristic alrezolvårii. Pentru aceasta, puteÆi folosi o schemågeneralå, de tipul celei alåturate.

71


Cum putem crea un cadru favorizant rezolvårii problemelor?

Deprinderea de a rezolva probleme nu se formeazå de la sine. Avem în vedere aici acea deprindere cedeterminå la elev perseverenÆå în rezolvare, cåutarea alternativei, manifestarea unui spirit critic çi autocritic.

În rezolvarea de probleme, aplicaÆi tot timpul principiul: „Mai puÆin, dar bine!“

În activitatea la claså, este util så folosiÆi, de câte ori aveÆi ocazia, metodele pe care le descriem încontinuare.

� Recurgerea la situaÆii-problemåOamenii sunt interesaÆi de un aspect al vieÆii cotidiene atunci când acesta råspunde unei nevoi.

CorelaÆia dintre interes çi necesitate este evidentå în cazul elevilor. În afarå de factorii externi (note,examene), elevul este motivat de înÆelegerea necesitåÆii practice a ceea ce învaÆå. De aceea, este indicat ca,din când în când, så propuneÆi spre rezolvare o situaÆie-problemå. În acest fel, nu le daÆi elevilordumneavoastrå doar o problemå de rezolvat; ei fac legåtura cu viaÆa cotidianå, organizeazå datele, letranspun dintr-un limbaj în altul, realizeazå un model matematic çi evalueazå soluÆia obÆinutå. De exemplula tema „Puteri çi radicali“, puteÆi porni de la urmåtoarea situaÆie-problemå:

Despre douå terenuri de formå påtratå, în actele primåriei Sinaia sunt înscrise datele:■ primul teren are latura de 500 m;■ al doilea teren are suprafaÆa de 0,25 ha.

Care teren este mai ieftin, çtiind cå preÆul pe m2 de teren este standard?Putem compara terenurile în douå moduri: comparând laturile sau ariile lor.

DiscutaÆi!ÎntrebaÆi colegii care predau alte discipline din aria curricularå Matematicå çi ÇtiinÆe ce exemple de

situaÆii-problemå folosesc în activitatea la claså. ComparaÆi modul în care sunt acestea folosite la orele lor cu modulîn care folosiÆi situaÆiile-problemå la matematicå.

� Crearea unui contextMobilitatea gândirii unui elev de gimnaziu (înÆeleaså drept capacitate de a face „salturi“ rapide între situaÆii

total diferite), este, de obicei, reduså. Un copil cu vârsta de 11-12 ani se acomodeazå mai greu unor schimbårirapide ale mediului apropiat. De aceea, trecerea de la o problemå la alta, în cadrul unei aceleiaçi ore de claså,poate necesita un timp suplimentar de adaptare, folosit de cåtre elevi pentru conectarea la problemå. O posibilåsoluÆie ar putea fi rezolvarea succesivå, în fiecare orå, a mai multor probleme asemånåtoare. Deçi aceaståmetodå conduce la fixarea unor scheme specifice de acÆiune, ea nu determinå, decât în micå måsurå,dezvoltarea capacitåÆii de explorare – investigare, deoarece, în acest fel, transformåm problemele în exerciÆii.

Pentru activitatea din claså, sunt de preferat problemele „cu multe cerinÆe“, în care ipoteza çi concluzia nu se schimbå.

Problemele „cu multe cerinÆe“ au avantajul creårii unui context matematic, pe care elevul ajunge så îlinteriorizeze de-a lungul rezolvårii problemei. Contextualizarea economiseçte timpul necesar citirii çiînÆelegerii unei noi probleme, are avantajul utilizårii unei aceleiaçi figuri sau scheme çi determinå unraÆionament ce poate îngloba metodele de rezolvare folosite pentru întrebårile anterioare.

72


O problemå ce poate conduce la crearea unui context, este cea din exemplul de mai jos, preluatå dinManualul de matematicå pentru clasa aVIII-a, Editura Sigma, 2000.

AcÆionaÆi!În manualele sau culegerile de probleme de care dispuneÆi, identificaÆi câteva probleme ce permit crearea

unui context matematic. PropuneÆi acestå problemå la una dintre clase çi cereÆi elevilor så o rezolve. Într-o oråulterioarå, propuneÆi câteva probleme fårå legåturå între ele. ComparaÆi modul în care s-au descurcat elevii în celedouå situaÆii.

� Utilizarea schemelor de rezolvarePentru unele tipuri de probleme, este util så le indicaÆi elevilor scheme de rezolvare, mai detaliate

decât schema generalå prezentatå mai sus. Aceste scheme se pot realiza sub diverse forme: algoritm,scheme logice, organizator grafic, etc.

De exemplu, pentru Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaÆiilor, învåÆaÆi elevii så foloseascå un tabel, încare scriu, într-o parte, enunÆul problemei (în limbaj comun), iar în cealaltå parte – corespondentul înlimbaj matematic:

Pentru a participa la un concurs de matematicå, Irina are de rezolvat în vacanÆå maimulte probleme.Câte probleme are de rezolvat Irina çi în câte zile x probleme, în y zileçtiind cå: dacå rezolvå câte 2 probleme pe zi, în ziua stabilitå ar avea 5 problemenerezolvate,

2y = x-5

iar dacå ar rezolva câte 3 probleme pe zi, atunci ar termina cu o zi mai devreme. 3(y-1) = x

Pentru Rezolvarea ecuaÆiilor de gradul al doilea,puteÆi indica schema alåturatå. PuteÆi chiar så lecereÆi elevilor så întocmeascå ei înçiçi o astfel deschemå.

LåsaÆi schemele la îndemâna elevilor, pe toatå perioada rezolvårii problemelor. Dacå este posibil, realizaÆiafiçe cu aceste scheme çi puneÆi-le într-un loc vizibil, în claså.

73


� ÎnvåÆarea structuratåPentru a trece de la „Nu am nici-o idee“, la „Acum çtiu så rezolv problema!“, este indicat så folosiÆi metoda

învåÆårii structurate. Aceasta presupune parcurgerea a patru paçi de rezolvare, ce vizeazå: familiarizarea cusubiectul propus, construirea rezolvårii, aplicarea pentru un enunÆ asemånåtor, transferul în alt context almetodelor învåÆate.

De exemplu, pentru lecÆia „ÎnmulÆirea numerelor reale“, puteÆi propune, ca învåÆare structuratå,sarcinile de lucru de mai jos, preluate din ÎnvåÆarea matematicii. Caiet de exersare structuratå, EdituraSigma, 2003.

74


Pentru învåÆarea structuratå, acordaÆi atenÆie egalå fiecåruia dintre cei patru paçi. La sfârçitul activitåÆii,comentaÆi, împreunå cu elevii, modul în care s-au înlånÆuit ideile de rezolvare.

75


Ce metode alternative de rezolvare putem aplica?

� TatonareaSå pornim de la urmåtorul exemplu:

Så se gåseascå cel mai mare numår, cub perfect, care este mai mic decât 47 143 251.

Cum s-ar putea rezolva aceastå problemå la nivelul claselor a VI-a – a VII-a (în absenÆa unui algoritm deextragere a radicalului de ordinul 3)? Singura modalitate viabilå este så determinåm, prin întrebårile pecare le punem, gåsirea soluÆiei printr-un numår rezonabil de calcule.

O posibilå idee de rezolvare ar fi:

Hai så calculåm cuburile numerelor naturale consecutive, începând cu 1, pâna obÆinem un rezultat mai maredecât 47 143 251…Desigur, este o metodå complicatå, aproape imposibil de adoptat la claså pentru problema datå, dar…

…dacå o metodå de rezolvare a fost propuså de cåtre elevi, nu descurajaÆi aplicarea ei, chiar dacå sunteÆiconvinçi cå nu duce la rezultat! LåsaÆi elevii så decidå ei înçiçi cå metoda este inoperabilå!

În cazul exemplului dat, întrebårile care pot direcÆiona rezolvarea sunt:

Este oare numårul cåutat un numår de o cifrå?Câte cifre ar putea numårul cåutat så aibå?Este acest numår mai mare decât 500? Dar decât 400?Cum am putea så îl aflåm?

EvaluaÆi!CåutaÆi în programele çcolare obiective de referinÆå care au legåturå cu metoda tatonårii. AnalizaÆi în ce

måsurå aÆi atins aceste obiective, în activitatea dumneavoastrå la claså. RealizaÆi o listå de activitåÆi desfåçurate cuacest scop. Au fost ele suficiente? Dacå nu, ce alte activitåÆi mai aveÆi în vedere?

� Metoda construcÆiilor geometriceDesenarea unor figuri geometrice simple, cu ajutorul instrumentelor de geometrie, este explicit cerutå

de programele çcolare. Cu toate acestea, utilizarea desenelor în învåÆarea matematicii este, de multe ori,neglijatå. Nu ne referim aici la importanÆa figurii pentru problemele de geometrie; este vorba desprefolosirea construcÆiilor geometrice în introducerea unor concepte çi în rezolvarea de probleme.

ConstrucÆiile geometrice pot fi folosite în diverse situaÆii de învåÆare. Ele pot fi utile pentru:

� Formarea convingerilor matematicePentru matematica de gimnaziu, existå situaÆii în care diverse rezultate nu pot, sau nu este indicat så fie

demonstrate. În aceste cazuri, nu este indicat så procedåm dupå dictonul „Magister dixit!“. SoluÆia este sågåsim metode alternative prin care så convingem elevii în legåturå cu adevårul celor afirmate.

Un astfel de exemplu îl constituie Cazurile de congruenÆå. Ce putem face pentru a le creea elevilorconvingerea cå acestea sunt „adevårate“? O posibilå soluÆie o constituie folosirea construcÆiilor geometrice.

PorniÆi lecÆia, de exemplu, cu urmåtoarea sarcinå de lucru:1. Construieçte (pe o coalå de desen) un triunghi cu laturile de lungimi 5 cm, 6 cm, respectiv 8 cm.

Decupeazå triunghiul desenat.2. Comparå triunghiul tåu cu cel desenat de colegul de bancå. Sunt ele congruente? Cum poÆi argumenta?

76


În acest mod, elevii pot ajunge la convingerea cå, pentru a determina un triunghi, este suficient så îicunoaçtem lungimile laturilor.

Pentru ca metoda så fie eficientå, este necesar så daÆi exemple de situaÆii în care datele problemei nudeterminå unic figura. Altfel, la sfârçitul lecÆiei, împårÆiÆi unor grupuri de elevi perechi de triunghiuri diferite,care au câte trei elemente congruente, dar care nu sunt congruente (de tipul „cazului“ LLU). CereÆi elevilor såmåsoare toate laturile çi unghiurile, apoi så verifice prin suprapunere dacå triunghiurile sunt congruente.

AcÆionaÆi!AplicaÆi la claså exemplul descris. NotaÆi-vå reacÆiile elevilor. VerificaÆi, dupå o perioadå de timp, dacå

acumulårile de cunoçtinÆe sunt trainice.

� Depistarea greçelilor flagrante

De multe ori, elevii nu sesizeazå greçelile de calcul, deçi rezultatul este aberant. O astfel de situaÆie este, deexemplu, cazul în care, pentru un triunghi dreptunghic cu catetele de 5 cm çi 8 cm, elevul obÆine (prin calcul)înålÆimea de 35 cm.

De aceea, este util så îi obiçnuiÆi pe elevii dumneavoastrå så se verifice singuri. Una dintre modalitåÆile princare se pot verifica este realizarea unui desen cât mai corect (în care sunt respectate datele problemei), må-surarea (pe desen) a mårimilor cerute în problemå çi compararea valorilor obÆinute prin måsurare çi prin calcul.

AtrageÆi elevilor atenÆia cå, în acest fel, nu putem determina decât erorile grosiere!

ReflectaÆi!

Ce avantaje çi ce dezavantaje ar putea avea aceastå metodå, pentru clasele la care predaÆi?

� Metoda graficåEste o metodå de argumentare prin desene sau scheme a unor probleme, din domenii diverse. În locul

unor argumentåri „teoretice“, care, de multe ori, nu pot fi înÆelese de cåtre toÆi elevii clasei, este de preferatså folosiÆi reprezentåri grafice, prin care så justificaÆi proprietåÆile cerute. Chiar dacå acest tip de justificarenu este riguros çi nu este luat în considerare la examenele çcolare, are avantajul cå familiarizeazå elevii cucerinÆele problemei çi ajutå la atingerea unor obiective colaterale. Metoda poate fi folositå pentru:

� Aproximarea soluÆiilor unor ecuaÆii sau sisteme

Probabil cå nu trebuie så insiståm prea mult asupra acestui subiect: metodele grafice de rezolvare (a sis-temelor sau ecuaÆiilor) sunt cuprinse în programele çcolare. Totuçi, practica aratå cå aceste metode sunt ig-norate, deoarece nu pot conduce decât la valori aproximative ale soluÆiilor. Vå recomandåm utilizarea consecven-tå a metodelor grafice, çi datoritå exersårii unor alte competenÆe: determinarea coordonatelor unor puncte par-ticulare, reprezentarea unor puncte într-un sistem de axe, identificarea semnificaÆiei geometrice a soluÆiei etc.

� Determinarea coliniaritåÆii unor puncte

Så consideråm urmåtoarea problemå, folositå în evaluarea TIMSS în 1995:

O dreapta trece prin punctele de coordonate (3,2) si (4,4). Care dintre punctele urmatoare se afla pe aceastå dreaptå?A. (1,1); B. (2,4); C. (5,6); D. (6,3); E. (6,5).

Ea poate fi o problemå dificilå sau de dificultate medie, în acelaçi timp; deosebirea constå în metoda cucare elevii au fost obiçnuiÆi så abordeze problemele.

O posibilå metodå de rezolvare este urmåtoarea: determinåm ecuaÆia dreptei AB çi verificåm coliniarita-tea, înlocuind coordonatele punctelor în ecuaÆia obÆinutå. Aceastå metodå face ca problema så fie dificilå, nu

77


doar prin aparatul matematic invocat, ci, mai ales, prin îndepårtarea de context. Mai precis: elevii percepcoliniaritatea geometric, iar noi dåm o justificare algebricå.

Cu totul alta este situaÆia în care folosim reprezentarea graficå çi (cel puÆin într-o primå fazå!)justificarea pe desen: în acest fel, problema devine de dificultate medie.

Ce resurse sunt utile în rezolvarea de probleme?

� Material didacticMaterialul didactic este extrem de util, nu doar pentru înÆelegerea unor configuraÆii, dar çi pentru

crearea unor situaÆii-problemå çi justificarea unor proprietåÆi.

Nu este absolut necesar ca materialul didactic så fie pre-fabricat. În absenÆa unor truse speciale, puteÆi fabricamaterial didactic cu mijloace simple, aflate la îndemânå. Este util så implicaÆi çi elevii în conceperea çiproducerea de materiale.

Aproape fiecare lecÆie necesitå material didactic. Manevrarea acestuia face ca învåÆarea så devinåactivå, iar conceptele despre care vorbiÆi pot fi interiorizate mai uçor çi mai profund de cåtre elevi.

In cele ce urmeazå, dåm câteva exemple de teme, în care utilizarea unui material didactic este eficientå.

� Adunarea çi scåderea fracÆiilor

Pentru a explica necesitatea aducerii la acelaçi numitorîn adunarea sau scåderea fracÆiilor, este util så folosiÆi laclaså tabelul çi baghetele de hârtie alåturate. DecupaÆibaghetele pe muchiile marcate, apoi adresaÆi elevilor între-båri de tipul:

Câte fracÆii echivalente cu 1 apar în tabel?

De câte ori este mai mare ½ decât 1/12?

Cum folosim tabelul Æi baghetele pentru a calcula ½+¼?

� Aria påtratului (dreptunghiului)

FolosiÆi mai multe påtråÆele de carton, cu latura de 1dm. CereÆi elevilor så deseneze påtrate saudreptunghiuri, cu laturile de lungimi un numår întreg de decimetri, apoi så „paveze“ figurile desenate cupåtråÆelele-unitate. În acest fel, legaÆi noÆiunea de arie de noÆiunea de acoperire (pavare).

PuteÆi continua pe aceeaçi idee çi în alte contexte. De exemplu, cereÆi elevilor så justifice prin calcul çiså verifice folosind material didactic, urmåtoarea problemå:

Câte triunghiuri dreptunghice, de dimensiunea celui din fi-gura alåturatå, sunt necesare pentru a cuprinde exact întreagasuprafaÆå a dreptunghiului?

a)patru; b)çase; c)opt; d)zece.

78


� Formule de calcul prescurtat

Pentru a accentua stadiul imaginii în înÆelegereaçi interiorizarea formulelor de calcul prescurtat, esteutil så folosiÆi reprezentåri geometrice ale acestora.

De exemplu, pentru formulele påtratului çi cu-bului de binom avem reprezentårile:

Cum abordåm o problemå?

Så consideråm urmåtoarea problemå:Pe laturile AB çi AC ale triunghiului ABC se construiesc spre exterior triunghiurile echilaterale ABD çi ACE.DemonstraÆi cå BE=CD.

În cele ce urmeazå, sugeråm câteva sarcini de lucru çi întrebåri pe care le puteÆi adresa elevilor,precum çi tehnici utile pentru a ajuta elevii în rezolvare.

Nu gråbiÆi rezolvarea problemei contrapunând încercårilor elevilor experienÆa dumneavoastrå de adult!

– Care este ipoteza problemei? Dar concluzia? NotaÆi-le într-o formå prescurtatå.– CitiÆi din nou enunÆul. Ce înseamnå triunghi echilateral? Dar segmente congruente?– RealizaÆi o figurå a problemei, cu instrumente geometrice. AÆi obÆinut toÆi aceeaçi figurå? Sunt toate

figurile obÆinute congruente?– Eu am îndoieli cå problema este adevåratå. Cum ne putem convinge? E suficient så måsuråm segmentele,

ca så spunem cå am rezolvat problema?– Ce cazuri particulare am putea investiga? DesenaÆi figura pornind de la un triunghi isoscel. PuteÆi

demonstra problema în acest caz?– Ce alt caz particular mai putem demonstra uçor? DesenaÆi figura pornind de la un triunghi în care måsura

unghiului A este de 120°. PuteÆi demonstra problema în acest caz?– Vå dau cazurile particulare idei pentru demonstrarea problemei generale?– ColoraÆi cele douå triunghiuri. Sunt ele congruente? Care sunt cazurile de congruenÆå? Se poate aplica

unul dintre ele aici?– Ce credeÆi, problema råmâne valabilå dacå desenåm triunghiurile spre interior? FaceÆi singuri o demonstraÆie,

ca temå pentru acaså.

ReflectaÆi!

În conducerea rezolvårii problemei de mai sus, identificaÆi întrebårile-cheie. Ce alte tehnici utile au fost sugerate?

AnalizaÆi!Care au fost cele mai importante informaÆii din acest capitol? În ce mod credeÆi cå v-ar putea ele influenÆa

activitatea la claså?

Surse bibliografice

1. Pólya, G., Descoperirea în matematicå, Ed. ÇtiinÆificå, 19712. Singer, M., Voica, C., Paçi în înÆelegerea rezolvårii problemelor. Caiet de exersare structuratå, Ed. Sigma 20033. Singer, M., Voica, C., Cum demonstråm? De la intuiÆie la rigoare, Ed.Sigma, 20054. ***Manualele de matematicå pentru clasele a V-a – a VIII-a

79


Capitolul 6: Cum formãm atitudini?

Dezvoltarea interesului çi a motivaÆiei în învåÆareamatematicii

Cum motivåm elevii?

De obicei, rezultatele çcolaritåÆii sunt evaluate doar în raport cu performanÆele la examene sauconcursuri çcolare. Existå înså çi alte componente ale succesului çcolar, care nu pot fi måsurate cu precizie,dar care sunt la fel de importante. Una dintre acestea este motivaÆia pentru învåÆare.

AcÆionaÆi!CereÆi elevilor dumneavoastrå, så råspundå la întrebarea: „Ce te-ar face så înveÆi mai mult?“CentralizaÆi pe grupe de vârstå råspunsurile primite, apoi formulaÆi concluzii.

Uneori, un profesor este comparat cu un negustor: el trebuie så „vândå“ elevilor såi un pic dematematicå. Dacå un negustor are probleme cu desfacerea mårfurilor çi clienÆii såi potenÆiali refuzå såcumpere, el nu trebuie så dea toatå vina pe clienÆi. Poate cå negustorul nu çi-a prezentat destul de bine marfa,iar clienÆii nu au fost convinçi de utilitatea acesteia. Acelaçi lucru se poate întâmpla çi cu elevii dumneavoastrå.

Rezultatele modeste ale unui elev pot proveni din lipsa de motivaÆie pentru ceea ce învaÆå. În loc så îlcondamnaÆi, încercaÆi så gåsiÆi cauzele comportamentului såu!

ReflectaÆi!

Pentru vinderea cu succes a unui produs, comercianÆii adoptå diverse strategii: campanii de publicitate, prezentåri aleproduselor, ieftiniri periodice, etc.Ce strategii aÆi putea adopta pentru motivarea elevilor dumneavoastrå?

MotivaÆia cea mai bunå provine din interesul elevului pentru tematica de care se ocupå. De aceea, este utilså daÆi o mai mare atenÆie alegerii, formulårii çi prezentårii problemelor pe care le propuneÆi. Pentru adeveni interesantå, o problemå trebuie så fie relevantå, din punctul de vedere al elevului. Ea trebuie så fielegatå de activitatea cotidianå, så porneascå de la un fapt cunoscut, familiar, sau så aibå utilitate practicå.

Astfel de „probleme ale lumii reale“ incluse în orele de matematicå pot fi:■ compararea preÆurilor reale ale unor produse ambalate diferit, ca pretext pentru a discuta despre

procente sau despre metoda reducerii la unitate■ probleme referitoare la dimensiunile çi preÆurile unor terenuri, pentru a identifica metode de calcul,

comparare etc. ale lungimilor çi ariilor, sau pentru a exersa reguli de calcul cu puteri çi radicali■ studiul unor mozaicuri, pavaje, acoperiri cu gresie, parchet etc., care conduc în mod natural la

aproximåri ale numerelor iraÆionale.

80


Este important çi modul în care prezentaÆi problema: ea devine interesantå dacå este precedatå de oglumå sau de un paradox.

Dacå vrem så îl mobilizåm pe elev, så-l determinåm så depunå un efort autentic, trebuie så îl convingem cåmeritå så-çi batå capul cu tema pe care o are.

(G.Polya, Descoperirea în matematicå)

Un alt tip de motivare se poate obÆine prin implicarea elevului în rezolvarea problemelor. De exemplu,înainte ca elevii så înceapå så rezolve efectiv problema, determinaÆi-i så anticipeze rezultatul. În acest fel,puneÆi elevul în situaÆia de a se angaja, într-un anumit fel, în rezolvare: prestigiul såu depinde într-un fel derezultat çi, în acest fel, se va interesa activ de ceea ce se lucreazå în claså.

Ce probleme pot dezvolta motivaÆia?

� Probleme-jocÎn majoritatea cazurilor, copiii de vîrstå çcolarå sunt interesaÆi, cel mai mult, de joc. Nu îi

condamnaÆi – este normal så fie aça. PuteÆi înså så folosiÆi acest interes într-un spirit constructiv,pentru învåÆarea unor concepte matematice. De exemplu, puteÆi folosi jocul nasturilor, preluat dinCum demonstråm?, Editura Sigma, 2005, pentru a exersa tehnicile de calcul cu numere întregi.

Jocul nasturilor se joacå în echipe de câte doi jucåtori. AlcåtuiÆi câte o „tablå de joc“, deforma celei alåturate, pentru fiecare echipå în parte.

Regula joculuiFiecare jucåtor alege o culoare: roçu sau albastru. Pentru început, se açazå un nasture pe start. Pe

rând, fiecare spune un numår cuprins între 1 çi 4 çi mutå nasturele în sus, dacå numårul este spus dejucåtorul „albastru“ sau în jos, dacå numårul este spus de jucåtorul „roçu“, cu atâtea poziÆii cât estenumårul spus. Câçtigå jucåtorul care ajunge primul la 10 (roçu sau albastru).

Dupå ce copiii s-au jucat suficient, le puteÆi adresa întrebåri de tipul:– Cum putem ajunge prin trei mutåri la 3 roçu? Dar la 4 albastru?– Cum putem calcula, folosind tabla de joc, (+3)+(-2)? Dar (+3)+(-5)?– Ce reguli de adunare a numerelor întregi puteÆi formula?

DorinÆa oricårui om de a se simÆi important este una dintre posibilitåÆile pe care le aveÆi pentru a vå motivaelevii. AcordaÆi-le çansa de a fi apreciaÆi!

81

Cum formãm atitudini?

� Probleme „distractive“Problemele de „matematicå distractivå“ sunt acele probleme care plaseazå rezolvitorul într-un cadru

deconectant, hazliu. Ele pot fi, din punct de vedere matematic, probleme foarte „serioase“ ; ceea ce lediferenÆiazå de problemele „clasice“ este doar modul de prezentare a enunÆului.

Iatå câteva exemple:– Califul Harun al Raçid a decis ca, de ziua lui, o parte dintre deÆinuÆi så fie eliberaÆi. Temnicerul a

procedat astfel: mai întâi, a rotit în broaçtele lor toate cheile (deci, a deschis toate celulele). Apoi, arotit toate cheile din 2 în 2 (închizând celulele deschise çi deschizînd celulele închise). A repetatprocedeul, luând celulele din 3 în 3, din 4 in 4, ç.a.m.d. CondamnaÆii din celulele care, la sfârçit, auråmas deschise, au fost eliberaÆi. Care au fost aceçti norocoçi?Tematica vizatå: numårul de divizori ai unui numår natural.

– AveÆi 9 monezi, dintre care una este falså, fåcutå dintr-un material mai uçor decât monezile bune.Cum puteÆi identifica moneda falså, din cel mult douå cântåriri cu o balanÆå?Tematica vizatå: organizarea datelor.

– Folosind doar o riglå gradatå, trebuie så calculåm volumul unei sticle, umplutå parÆial cu apå.(Fundul sticlei se presupune a fi circular çi plat). Nu se admite så se verse sau så se adauge apå.Tematica vizatå: volumul cilindrului.

FolosiÆi probleme de matematicå distractivå ori de câte ori aveÆi ocazia; ele pot crea un excelent pretextpentru studiul unor tematici diverse.

AcÆionaÆi!PropuneÆi elevilor dumneavoastrå câteva probleme de matematicå „distractivå“. SolicitaÆi-le pårerea despre

acestea, aplicând un chestionar ce vizeazå motivaÆia pentru învåÆare. ComparaÆi råspunsurile primite.

� Probleme generate prin plierea hârtieiMulte dintre noÆiunile geometrice pot fi mai uçor înÆelese çi interiorizate pornind de la construcÆii

simple, realizate din hârtie. În acest fel, puteÆi determina creçterea motivaÆiei elevilor pentru învåÆareamatematicii. EnunÆåm mai jos câteva exemple.

■ Cum obÆinem un påtrat dintr-o foaie dreptunghiularå de hârtie?Probabil cå majoritatea elevilor dumneavoastrå vor çti soluÆia. Pentru a atinge obiectivele, continuaÆi

cu întrebårile: Suntem siguri cå figura obÆinutå este un påtrat? Cum aråtåm asta?În acest fel, puteÆi ajunge la exersarea, pe un cadru natural, a condiÆiilor echivalente cu definiÆia påtratului.

■ Dintr-o foaie de hârtie, tåiaÆi un triunghi. ÎndoiÆi succesiv triunghiul, astfel ca laturile sale så se suprapunå;aÆi obÆinut trei drepte. Se întâlnesc acestea într-un punct? De ce?

Ce atitudini dorim så formåm la elevi?

Çcoala nu urmåreçte doar formarea la elevi a unor abilitåÆi cognitive. Departe de a se diminua, rolulformativ al çcolii vizeazå çi dezvoltarea la elevi a unor valori çi atitudini specifice, care pot så contribuie laintegrarea socialå a acestora.

ReflectaÆi!

Programele çcolare pentru învåÆåmântul obligatoriu sunt construite în jurul a patru obiective-cadru, detaliate înobiective specifice fiecårei clase. Care dintre acestea precizeazå valorile çi atitudinile dezirabile pentru un elev?

82


Prin obiectivele specifice, programele çcolare în uz contureazå çi profilul de formare al absolventuluide învåÆåmânt obligatoriu, în planul atitudinal. Astfel, este de dorit ca, la terminarea clasei a X-a, elevul såmanifeste:

■ încredere în sine;■ curiozitate faÆå de nou;■ spirit investigativ- explorativ;■ imaginaÆie;■ obiectivitate;■ disponibilitatea de a aborda sarcini variate;■ respect de sine çi faÆå de ceilalÆi;■ flexibilitate;■ principialitate…

ReflectaÆi!

Care sunt valorile pe care le consideraÆi cele mai importante, din punctul dumneavoastrå de vedere? Cum acÆionaÆipentru a dezvolta la elevii dumneavoastrå aceste valori?

AcÆionaÆi!UrmåriÆi descoperirea çi conçtientizarea atitudinilor personale ale elevilor faÆå de învåÆare. CereÆi elevilor så îçi

formuleze çi så argumenteze poziÆiile pe care çi le-au construit faÆå de activitatea de învåÆare, completând fiça demai jos. CentralizaÆi çi comentaÆi opÆiunile elevilor.

Fiça de activitate

Completeazå frazele urmåtoare dupå cum îÆi sugereazå începutul:

Çcoala este………….Mi-e greu så învåÆ………Când învåÆ……Mi-e uçor så învåÆ……Numai dacå înveÆi……Cred cå ceea ce învåÆ în prezent……Cei care nu învaÆå……Trebuie så învåÆ……Sunt mândru cå am reuçit så învåÆ……Pentru a reuçi în viaÆå……

Surse bibliografice

1. Gardner, H., Mintea disciplinatå, Ed. Sigma, 20042. Gardner, H., Munca bine fåcutå, Ed. Sigma, 20053. Nicolau, E., Probleme de logicå pentru copii, Ed.Niculescu, 19954. Pólya, G., Descoperirea în matematicå, Ed. ÇtiinÆificå, 19715. Singer, M., Voica, C., Paçi în înÆelegerea rezolvårii problemelor. Caiet de exersare structuratå, Ed.

Sigma 20036. Singer, M., Voica, C., Cum demonstråm? De la intuiÆie la rigoare matematicå, Ed.Sigma, 20057. ***Manualele de matematicå pentru clasele a V-a – a VIII-a

83

Cum formãm atitudini?

Index

actualizare � înseamnå amintirea noÆiu-nilor de bazå çi a comportamentelor ope-ratorii necesare pentru înÆelegerea çiprelucrarea noului conÆinut · 17, 64

analogii · 20, 34, 35, 40, 59, 69

„analogii“ çi metafore sugestive · 34,35

atitudini · 9, 7, 41, 58, 79, 80, 82

autoevaluarea � la matematicå per-mite dezvoltarea capacitåÆii de a reflectacritic asupra propriului mod de gândire çide rezolvare a problemelor çi stimuleazåcapacitatea de a gândi independent · 37,50, 55, 59, 67

brainstorming � sau asaltul de idei, re-prezintå formularea a cât mai multor idei– oricât de fanteziste ar putea pårea aces-tea – ca råspuns la o situaÆie enunÆatå ·22, 24

colaborare · 19, 45

competenÆe � ansambluri structuratede cunoçtinÆe çi deprinderi dobândite prinînvåÆare, care permit identificarea çi re-zolvarea unor probleme specifice, în con-texte diverse · 11, 22, 37, 41, 56, 65, 76

conceptualizare · 18, 64

dezbaterea � metodå care propuneabordarea unei moÆiuni (o propoziÆiecare reprezintå tema dezbaterii) din douåperspective opuse · 22

educaÆie, conÆinut çi scopuri, v. çicurricula · 34

educaÆie, materiale în · 34

educatorilor, açteptårile çi responsabili-tåÆile · 34

erori frecvente · 60

evaluare � analiza informaÆiei prove-nite din eçantioane de produse ale ele-vilor · 11, 18, 20, 21, 27, 33, 36, 37, 41,42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52,53, 55, 56, 57, 58, 59

evaluare oralå � se desfåçoarå prinpropunerea unor exerciÆii sau problemepe care 1, 2 sau 3 elevi le rezolvå la tablå,urmatå de notarea acestor elevi în funcÆiede gradul de îndeplinire a sarcinilor delucru · 25, 42, 43, 59

evaluarea cu rol diagnostic � vizeazåstabilirea unui diagnostic asupra achi-ziÆiilor dobândite de cåtre elev prin învå-Æare · 37, 45

estetice, puncte de acces · 34

înÆelegere · 26, 32, 33, 34, 55

inteligenÆe multiple · 34

învåÆare interactivå, teme introduseprin · 34

item � sarcina de lucru + formatulacesteia + råspunsul açteptat · 45, 46,47, 48, 49, 50, 51, 52

justificåri experimentale � utilizareaunor experimente ce pot crea convingerimatematice · 32

lecÆie � componentå operaÆionalå petermen scurt a unitåÆii de învåÆare · 13,14, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 30, 31, 43,50, 63, 64, 74, 76, 78

limbaj çi vocabular · 59

logicå · 34

materialul didactic · 44, 63, 78, 79

matrice de asociere � instrumentpentru alegerea unitåÆilor de învåÆare înconcordanÆå cu principalele lor caracte-ristici · 14

matricea de structurare a competen-Æelor � grupeazå obiectivele programeipe niveluri de complexitate, în funcÆie dedomeniile majore ale matematicii din în-våÆåmântul obligatoriu · 37, 38, 39

metoda construcÆiilor geometrice · 76

metoda graficå � metodå de argu-mentare prin desene sau scheme a unorprobleme, din domenii diverse · 77

metode de învåÆare � scheme de ac-Æiune identificate de teoriile învåÆårii apli-cate conÆinuturilor disciplinei studiate ceconduc la acÆiuni interiorizate de elev · 22

motivaÆie � un ansamblu de forÆe ceincitå individul så adopte o conduitåparticularå · 4, 59, 80, 81, 82

mozaicul � metodå care presupune în-våÆarea prin cooperare la nivelul unuigrup çi predarea achiziÆiilor dobândite decåtre fiecare membru al grupului unui altgrup · 25

numerice, puncte de acces · 34

portofoliul � se constituie într-un dosaral activitåÆii elevului çi oferå o imagineasupra progresului în achiziÆia de cu-noçtinÆe çi capacitåÆi a elevului · 58, 59

povestire cu subiect dat · 31, 32

problemå· 10, 11, 14, 17, 18, 19, 20,22, 24, 25, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 39,42, 43, 45, 48, 50, 51, 52, 53, 56, 57,

58, 59, 64, 65, 68, 69, 70, 71, 72, 73,74, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84

problematizare � înseamnå oferireaunui pretext-problemå motivant · 17

program de recuperare-aprofundare� vizeazå îmbunåtåÆirea rezultatelor fie-cårui elev prin seturi de activitåÆi adap-tate nivelului de competenÆå dovedit deacesta în cadrul evaluårii curente çi suma-tive · 64

programa çcolarå � stabileçte obiec-tivele-cadru çi obiectivele de referinÆåvizate la nivelul fiecårui an de studiu,precizeazå unitåÆile de conÆinut çi pro-pune activitåÆi de învåÆare · 11, 12, 13,14, 45, 46, 74

proiectare didacticå · 11, 14, 17, 19, 20

proiectul � realizarea unui produs, caurmare a colectårii çi prelucrårii unor datereferitoare la o temå anterior fixatå · 11,20, 22, 27, 28, 29, 34, 52, 55, 56, 57, 58

puncte de acces � situaÆii de învåÆareorganizate astfel încât så valorifice dife-rite tipuri de inteligenÆe çi så facilitezeînvåÆarea · 34

referatul � este o lucrare elaboratå deunul sau mai mulÆi elevi pe o temå datå çicu ajutorul unei bibliografii prestabilite ·55, 57, 58

reprezentåri mentale · 35

reprezentåri multiple · 35

rezolv çi corectez � metodå de impli-care a elevilor în aprecierea activitåÆiicolegilor · 52

situaÆii de învåÆare · 14

situaÆii problematice · 57, 62, 63, 64

studiul de caz � metodå care presu-pune derularea de cåtre elevi a uneicercetåri similare experÆilor din diverseledomenii ale realitåÆii extraçcolare · 22

tatonarea � gåsirea soluÆiei printr-unnumår rezonabil de calcule · 76

tema pentru acaså � o modalitate deexersare prin activitate individualå a de-prinderilor dobândite în timpul activitåÆiiîn çcoalå · 19, 20, 51, 52, 63

test · 45, 46, 48, 49, 51, 52, 59, 64

transfer � interpretarea unor concluzii,generalizarea unor proprietåÆi çi aplicareamodelelor în contexte noi, variate · 18

84


85

Însemnåri

86


87

Însemnåri

Prezenta lucrare face parte din seria · 2010. 11. 9. · Utilizarea calculatorului în procesul de...

Documents

Transcript of Prezenta lucrare face parte din seria · 2010. 11. 9. · Utilizarea calculatorului în procesul de...