Preview Matematica-Exercitii Si Probleme Pentru Clasa a VI-A-Algebra-Geometrie

MATEMATIC exerciii i probleme pentru clasa a VI-a

ediie electronic

Cum putei folosi cartea

n cuprins, dnd click pe titlul temei, respectiv subtemei, v duce direct la coninutul temei sau subtemei respective.

Apoi, din interiorul crii, dup ce ai rezolvat exerciiul sau problema, un click pe titlul temei sau subtemei v duce la partea de rspunsuri i rezolvri corespunztoare.

Revenirea se face tot printr-un simplu click pe titlu.

MATEMATICexerciii i probleme pentru clasa a VI-a

Algebr

Geometrie

Seria Bun la MateIon ChecGheorghe DruganFlorentina EneaMariana Saraolu

Marinela CanuIon Ghica

Adrian CiupituConstantin Saraolu

ediie electronic

n conformitate cu programa n vigoare 5097/09.09.2009

Refereni tiinifici: prof. gr. I Constantin Apostol,

Rmnicu Srat

Culegere: Oana Georgescu

Tehnoredactare: Daniel Anastasiu, Ctlin Tu

Redactare: Sorin Cernescu, Marius Bucur

Copert: Daniel Anastasiu

Ilustraie copert: Elisabeta Ged

Seria: Bun la mate

e-Mate VI

e-00006

ISBN electronic978-973-7672-89-6

Copyright 2013, 2008, 2007 Editura CABAToate drepturile sunt rezervate. Nicio parte din aceast carte nu poate fi reprodus sau transmis n orice form sau prin orice mijloace fr acordul prealabil scris al Editurii CABA.

Format 16,5 23,5 cmPublicat: ianuarie 2013

Informaii i comenzi: Editura CABA

Telefon fix: 021/327.32.44 031/804.08.87Fax: 021/327.32.44Telefon mobil: 0723/563.570 0747/048.670

site: www.edituracaba.roe-mail: [email protected] potal: OP 39 CP D4, cod 021711 sector 2, Bucureti

5CuprIns

AlgEbr 1 MulIMEA nuMErElor nATurAlE

1.1. operaii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri ......................................10

1.1.1. nmulirea a dou puteri care au aceeai baz ............................................10

1.1.2. mprirea a dou puteri care au aceeai baz ............................................11

1.1.3. Scrierea sub form de putere a unui numr natural ....................................12

1.1.4. nmulirea i mprirea a dou puteri care au acelai exponent ..................13

1.1.5. operaii cu puteri. ordinea efecturii operaiilor ........................................14

1.1.6. ultima cifr a unei puteri a unui numr natural ...........................................16

1.2. Divizor, multiplu ........................................................................................................ 17

1.3. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9 ................................................................ 19

1.4. Proprieti ale relaiei de divizibilitate n N ............................................................ 21

1.5. numere prime. numere compuse ............................................................................ 23

1.6. Descompunerea numerelor naturale n produs de puteri de numere prime ...... 24

1.7. Divizori comuni ai dou sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c.

numere prime ntre ele ............................................................................................ 26

1.8. Multipli comuni ai dou sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c. ............... 28

EVAluArE ........................................................................................................................... 31

62 MulIMEA nuMErElor rAIonAlE PoZITIVE

2.1. Fracii echivalente; fracie ireductibil. noiunea de numr raional. Forme de scriere a unui numr raional .................................................................. 34

2.2. Adunarea numerelor raionale pozitive ................................................................... 38

2.3. Scderea numerelor raionale pozitive ................................................................... 42

2.4. nmulirea numerelor raionale pozitive .................................................................. 44

2.5. ridicarea la putere cu exponent natural a unui numr raional pozi tiv;

reguli de calcul cu puteri ......................................................................................... 47

2.6. mprirea numerelor raionale pozitive .................................................................. 48

2.7. ordinea efecturii operaiilor cu numere raionale pozitive ................................. 50

2.8. Media aritmetic ponderat a unor numere raionale pozitive ............................. 52

2.9. Ecuaii n Q+ .............................................................................................................. 53

2.10. Probleme care se rezolv cu ajutorul ecuaiilor .................................................... 57

EVAluArE ............................................................................................................................58

3 rAPoArTE I ProPorII

3.1. rapoarte ..................................................................................................................... 60

3.2. Procente. rezolvarea de probleme n care intervin procente ............................... 64

3.3. Proporii, proprietatea fundamental a proporiilor; aflarea unui

termen necunoscut dintr-o proporie. Proporii derivate ..................................... 67

3.4. Mrimi direct proporionale. regula de trei simpl .............................................. 72

3.5. Mrimi invers proporionale. regula de trei simpl .............................................. 75

3.6. Elemente de organizare a datelor i probabiliti.

reprezentarea datelor prin grafice ......................................................................... 78

EVAluArE .......................................................................................................................... 84

74 nuMErE nTrEGI

4.1. Mulimea numerelor ntregi ; opusul unui numr ntreg;

reprezentarea pe axa numerelor ............................................................................. 88

4.2. Modulul unui numr ntreg (valoarea absolut) .................................................... 89

4.3. Compararea i ordonarea numerelor ntregi ......................................................... 90

4.4. Adunarea numerelor ntregi; proprieti. Scderea numerelor ntregi ............... 92

4.5. nmulirea numerelor ntregi; proprieti. mprirea numerelor ntregi ............. 95

4.6. Divizibilitatea n . Mulimea multiplilor unui numr ntreg;

mulimea divizorilor unui numr ntreg .................................................................. 98

4.7. Puterea unui numr ntreg cu exponent numr natural.

reguli de calcul cu puteri ...................................................................................... 100

4.8. ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor ...................................... 103

4.9. Ecuaii n ............................................................................................................. 105

4.10. Inecuaii n .......................................................................................................... 107

4.11. Probleme care se rezolv cu ajutorul ecuaiilor .................................................. 109

EVAluArE ........................................................................................................................ 110

gEoMETrIE

1 DrEAPTA

1.1. Punct, dreapt, plan, poziiile unui punct fa de o dreapt, puncte

coliniare, semidreapt, segment de dreapt, semiplan ...................................... 112

1.2. lungimea unui segment, distana dintre dou puncte, segmente

congruente, mijlocul unui segment ...................................................................... 114

EVAluArE ........................................................................................................................ 117

82 unGhIurI

2.1. Definiie, notaii, elemente, interiorul unui unghi, exteriorul unui unghi,

unghi nul, unghi alungit ........................................................................................ 122

2.2. Msurarea unghiurilor, construirea cu raportorul a unui unghi de

msur dat. Clasificarea unghiurilor. unghiuri congruente. operaii cu msuri de unghiuri ............................................................................. 125

2.3. unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi ....................................................... 128

2.4. unghiuri complementare. unghiuri suplementare .............................................. 131

2.5. unghiuri opuse la vrf. unghiuri n jurul unui punct .......................................... 134

EVAluArE ........................................................................................................................ 137

3 ConGruEnA TrIunGhIurIlor

3.1. TrIunGhIul: definiie, elemente, tipuri de triunghiuri. Perimetrul i

semiperimetrul triunghiului. unghi exterior unui triunghi ................................. 142

3.2. Construcia triunghiurilor ...................................................................................... 146

3.3. Congruena triunghiurilor ..................................................................................... 148

3.4. Cazurile de congruen a triunghiurilor oarecare ............................................... 150

3.5. Metoda triunghiurilor congruente ........................................................................ 152

EVAluArE ........................................................................................................................ 156

4 PErPEnDICulArITATE4.1. Drepte perpendiculare; oblice; distana de la un punct la o dreapt ...................... 158

4.2. nlimea n triunghi. Concurena nlimilor ntr-un triunghi ............................ 162

4.3. Criteriile de congruen a triunghiurilor dreptunghice ...................................... 164

4.4. Mediatoarea unui segment; proprieti; construcia mediatoarei unui segment

cu rigla i compasul; concurena mediatoarelor laturilor unui triunghi ........... 166

4.5. Simetria fa de o dreapt (simetria axial) ......................................................... 168

94.6. Bisectoarea unui unghi; proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi;

construcia bisectoarei unui unghi cu rigla i compasul; concurena bisectoarelor unghiurilor unui triunghi ........................................... 170

EVAluArE ........................................................................................................................ 172

5 PArAlElISM

5.1. Drepte paralele (definiie, notaie); construirea dreptelor paralele prin translaie. Axioma paralelelor ................................................................................................... 174

5.2. Criterii de paralelism .............................................................................................. 175

EVAluArE ........................................................................................................................ 182

6 ProPrIETI AlE TrIunGhIurIlor6.1. Suma msurilor unghiurilor unui triunghi; unghi exterior unui triunghi .......... 186

6.2. Teorema unghiului exterior ................................................................................... 188

6.3. Mediana n triunghi; concurena medianelor unui triunghi ............................... 190

EVAluArE ........................................................................................................................ 191

6.4. Triunghiul isoscel; proprieti .............................................................................. 193

6.5. Triunghiul echilateral; proprieti ......................................................................... 196

6.6. Triunghiul dreptunghic; proprieti ...................................................................... 198

EVAluArE ........................................................................................................................ 201

rSPunSurI I rEZolVrI ............................................ 204

10 Capitolul 1. Mulimea numerelor naturale

1 mulimea numerelor naTuraleprof. Dana Radu i Eugen Radu

1.1. Operaii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri

1.1.1. nmulirea a dou puteri care au aceeai baz

not teoretic

Pentru a, m, n numere naturale (a 0), avem: am an = am+n . Deci, produsul puterilor aceluiai numr natural este o putere a acelui numr n care exponentul este suma exponenilor factorilor.

1. Care dintre urmtoarele propoziii sunt adevrate? a) 33 35 = 38; b) 59 57 = 516; c) 47 43 = 421; d) 94 96 = 924; e) 318 318 = 33; f) 74 7 = 75; g) 68 6 = 69; h) 37 32 = 99; i) 65 63 = 368; j) 124 125 = 122; k) 456 454 = 451; l) 46 44 = 1610; m) 43 48 = 44 47; n) 9 98 = 96 93; o) 55 57 = 56 56; p) 98 97 = 93 912; r) 4n 46 = 4n + 6; s) 23 2n = 23 + n; t) 6m 64 = 6m + 4; u) 3m 36 = 3m + 6; v) 78 7m = 7m + 8. 2. Scriei sub form de putere cu baza 2: a) 23 27; b) 24 23; c) 25 26 274; d) 2 28; e) 24 2 25; f) 25 2 29; g) 26 22 27.3. Scriei sub form de putere cu baza 3: a) 34 35; b) 36 34; c) 313 37; d) 3 373; e) 37 316; f) 3 33 3; g) 39 30; h) 34 380 3 33; i) 35 36 366 36.

4. tiind c 3x = a, calculai n funcie de a urmtoarele puteri: a) 3x + 1; b) 3x + 2; c) 2 3x + 2.

11Matematic pentru clasa a VI-a, Algebr

5. tiind c 2x = a, calculai n funcie de a urmtoarele puteri de numere naturale: a) 2x + 1; b) 2x + 2; c) 2x + 3; d) 2x + 4; e) 3 2x + 1.

1.1.2. mprirea a dou puteri care au aceeai baz

not teoretic

Pentru a, m, n numere naturale (m n, a 0), avem: am : an = am n.Deci, ctul puterilor aceluiai numr natural este o putere a acelui numr natural n care exponentul este diferena dintre exponentul dempritului i exponentul mpritorului.

1. Stabilii care dintre urmtoarele propoziii sunt adevrate: a) 613 : 65 = 68; b) 59 : 57 = 52; c) 417 : 413 = 414;

d) 194 : 196 = 192; e) 1318 : 1318 = 13; f) 174 : 174 = 1; g) 68 : 6 = 67; h) 317 : 312 = 315; i) 83 : 82 = 8;

j) 195 : 193 = 19; k) 65 : 63 = 36; l) 124 : 122 = 122; m) 456 : 454 = 90; n) 46 : 44 = 16; o) 48 : 44 = 42;

p) 88 : 87 = 83 : 82; r) 9a : 98 = 9a 8; s) 5m : 52 = 5m 2; t) 4n : 46 = 4n 6; u) 23 : 2n = 23 n.

2. Scriei sub form de putere cu baza 2: a) 234 : 27; b) 27 : 22; c) 24 26 : 22;

d) 248 : 218; e) 24 : 2a; f) 2a : 24; g) 212 : 2x.

3. Scriei sub form de putere cu baza 3: a) 34 35 : 32; b) 36 34 : 310 37; c) 3 36 34 : 310;

d) 3 33 : 3 39 : 37; e) 334 38 : 3 33; f) 35 37 : 36 36.

4. Scriei sub form de putere cu baza 5: a) 53 5n : 53 + n; b) 5m : 54; c) 5m : 56; d) 58 : 5m; e) 5m + 8 59 : 58.


1.1.3. Scrierea sub form de putere a unui numr natural

(puterea unei puteri)

noiuni teoretice

Pentru a, m, n numere naturale (a 0), avem: (am)n = am n. Deci, puterea unei puteri a unui numr natural este o putere a acelui numr n care exponentul este produsul exponenilor.

1. Scriei sub form de putere cu baza 2: a) (23)4; b) (25)6; c) (23)8; d) (278)0;

e) (27)11; f) 49; g) 48; h) 87; i) 83; j) 166; k) 327; l) 322; m) 422; n) (47)2; o) (43)4; p) (82)3; r) (163)3; s)

232 . 2. Scriei sub form de putere cu baza 3 urmtoarele puteri: a) (33)4; b) (35)6; c) (30)8; d) (38)2;

e) (91)2; f) 99; g) 97; h) 273; i) 276; j) 817; k) (817)2; l) (93)4; m) (92)3; n) (813)3.

3. Stabilii valoarea de adevr a urmtoarelor propoziii: a)

232 = (23)2; b) (33)2 = (32)3; c) (52)3 = 56; d) (46)2 = 224; e) (93)2 = (33)6; f) 48 = (28)2.

4. tiind c 3x = a , calculai n funcie de a urmtoarele puteri de numere naturale: a) 32x; b) 32x + 2; c) 33x + 3; d) 32x + 1; e) 9x; f) 9x + 1; g) 27x + 1.5. tiind c 5x = a, calculai n funcie de a urmtoarele puteri: a) 5x + 1; b) 52x + 2; c) 25x + 1; d) 252x + 1; e) 125x; f) 125x + 1.


1.1.4. nmulirea i mprirea a dou puteri care au acelai exponent (puterea unui produs / ct)

noiuni teoretice

Pentru a, b, n numere naturale; a, b 0, avem: (a b)n = an bn (a : b)n = an : bn Deci, puterea unui produs este egal cu produsul puterilor, respectiv puterea unui ct este egal cu ctul puterilor.

1. Stabilii valoarea de adevr a urmtoarelor propoziii: a) 610 = 210 310; b) 25 55 = 105; c) 43 53 = 203; d) 43 + 53 = 93; e) 248 = 68 48; f) 57 3 = 217. 2. Stabilii valoarea de adevr a urmtoarelor propoziii: a) 610 = 1810 : 310; b) 255 : 55 = 255; c) 403 : 53 = 83; d) 143 53 = 93; e) 48 = 168 : 4; f) 157 : 37 = 50.3. Calculai: a) (23 53) : (22 5); b) (43 53) : (22 52); c) (73 153) : (72 53); d) (24 33)2 : (22 35); e) (33 24)3 : (22 3)5; f) (73 53)4 : (356)2; g) (123 : 43)7 : (92 3)4.

4. Aflai numrul de zerouri n care se termin numrul: a) 25 55; b) 9 23 53; c) 11 223 54; d) 43 53 7; e) 23 153 42 53; f) (242 53)2 : (22 55); g) (531 24)3 : (22 5)5; h) 165 257; i) 16 18 252.


1.1.5. Operaii cu puteri. Ordinea efecturii operaiilor 1. S se calculeze: a) 63 + 32; b) 42 32 12; c) 132 : 18; d) 165 : 86; e) 87 : 49; f) 2556 5102; g) 33 + 23 52; h) 352 72 52; i) 452 : 92 52; j) 2266 : (1132)3; k) 53 + 12 : 22 52; l) 49 : 72 1 3400; m) 32 + 42 52; n) 52 + 122 132; o) 1100 + 1001 2000; p) 41 + 152 112.2. S se calculeze: a) 01 : 10 + 24 : 42; b) 39 : 33 : 93; c) 416 : 164 : 44 : 22; d) 23 + 27 : 25 2; e) 2 27 : 25 + 33; f) 210 : (3 25 + 25); g) (9 9 : 9 + 96 : 96 9) 90; h) (21 12) (32 23) (42 24) (25 52) (26 62) (27 72); i) 211 39 + 39 210 610; j) 27 54 + 104 9 104; k) 816 : (2 22 410)2; l) (25)2 : (23)3; m) (41994 5 + 41995) : (41994 + 41994); n) (105 104): (104 103); o) (22 24)2 : 46; p) 164 : 85 : 21 : 20; q) 273 : 92 : 3 950 : 8125; r) 27 113 333; s) 64 1116 : 2226; t) (23)7 (27)3 + 334 917.


3. S se arate c: a) 23 + 23 24 = 0; b) 27 + 27 = 28; c) 33 + 33 + 33 = 34; d) 45 + 45 + 45 + 45 = 46; e) 2100 + 2100 = 2101; f) 320 + 320 = 2 320; g) 510 + 510 + 510 + 510 + 510 = 511; h) 3187 + 2 3187 = 3188; i) 21000 + 21000 = 21001; j) 2n + 2n = 2n + 1; k) 3n + 3n + 3n = 3n + 1; l) 5n + 4 5n = 5n + 1; m) 5 27n + 22 3n 9n = 33n + 2, pentru orice n natural.

4. Calculai: a) (3 512 + 2 512) : 511; b) (106 105) : (105 104); c) ( 22 3 73)10 : ( 220 310 730); d) 20062006 20062005 2005 20062005; e) 19963 19962 1995 1996 1995 1996; f) 7710 779 76 778 7 6 778; g) 8681 8680 85 8679 85 8678 85 8678; h) 6 21993 2 21994 21994.

5. S se afle suma cifrelor numrului: 101997 + 2 101995 1.6. S se calculeze: a) 1 + 1 + 2 + 22 + 23 24; b) 1 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 26; c) 32 + 2 32 + 2 33 + 2 34 + 2 35 + 2 36 37; d) (1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28) : (29 1); e) (231 + 232 + 233 + 234 + + 236) : 231; f) (20 + 20 + 21 + 22 + + 299) : 2100.7. Aflai restul r al mpririi numrului natural d la numrul natural n fiecare dintre

cazurile urmtoare: a) d = 15 915; = 2 915; b) d = 17 493; = 5 493; c) d = 11 539; = 2 538.


1.1.6. Ultima cifr a unei puteri a unui numr natural1. S se afle ultima cifr a numerelor: a) 120; 67134; 55191; b) 534; 7543; 12543; 34590; 165124; c) 634; 5643; 92643; 43623.2. S se afle ultima cifr a numerelor: a) 29; b) 2586; c) 521999; d) 312312. 3. S se afle ultima cifr a numerelor: a) 35; b) 380; c)36485; d) 5631 999; e) 2344.4. S se afle ultima cifr a numerelor: a) 45; b) 460; c) 9445; d) 89499.5. S se afle ultima cifr a numerelor: a) 75; b) 7760; c) 1 557475; d) 67102.6. S se afle ultima cifr a numerelor: a) 813; b) 178120; c) 748475; d) 48994.7. S se afle ultima cifr a numerelor: a) 93; b) 2960; c) 579475; d) 499990. 8. Aflai cifra unitilor urmtoarelor numere: a) 11 989 + 21989 + 31989 + 41989; b) 123123 + 321321; c) 1 9891989 + 1 9891990; d) 21 + 22 + 23 + + 21996; e) 7 + 72 + 73 + 74 + + 72 008. 9. Cu cte zerouri se termin numerele: a) X = 24 172 53; b) Y = 45 323 511; c) Z = 163 92 2252?10. Aflai ultimele 40 de cifre ale numrului 67039.11. Fie a = 26 28 517 i b = 240 58 76. a) n cte zerouri se termin produsul a b? b) Care este ultima cifr diferit de zero a produsului a b? 12. Care sunt ultimele 2007 cifre ale numrului 99902006?


1.2. Divizor. Multiplu

noiuni teoretice

La mprirea exact dintre dou numere naturale, mpritorul l vom numi di-vizor pentru demprit, iar dempritul multiplu pentru mpritor. De asemenea, ctul poate fi la rndul su divizor pentru demprit iar acesta multiplu pentru ct.

De exemplu, pentru mprirea 14 : 2 = 7, numrul 2 este divizor al numrului 14, iar 14 este multiplu pentru 2. Acelai lucru l putem spune despre numrul 7, care este divizor al dempritului 14, iar acesta este multiplu pentru 7.

n general: a | b se citete: a divide b, a este divizorul lui b, b se divide cu a sau b este multiplul lui a i nseamn c exist numrul natural c astfel nct a c = b.Observaie: Divizor poate fi orice numr natural diferit de 0; 0 este divizor numai al lui 0.

1. Scriei mulimea divizorilor numerelor: 2; 5; 6; 8; 10; 18; 24; 32; 45; 90.2. Scriei mulimea divizorilor proprii ai numerelor: 16; 25; 49; 100.3. Scriei primii patru multipli nenuli ai numerelor: 4; 5; 10; 12; 25.4. Scriei primele cinci elemente ale mulimilor M7; M11; M12; M15; M20.5. Scriei multiplii numrului 14 cuprini ntre 10 i 75.6. Notm Dn = {x N | x | n}. Aflai:

a) D28 D35; b) D9 D15;c) D12 D86; d) D27 D36;e) D12 \ D36; f) D48 \ D27.

7. Stabilii valoarea de adevr a propoziiilor:a) 3 | 6; b) 82;c) 412; d) 79;e) 1272; f) 5 105;g) 3 | 3 612; h) 5117;i) 2073; j) 72010;k) 6 2; l) ab | abab.

8. Se d mulimea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Gsii mulimea B = {a A | 20 este multiplul lui a}.

9. Se dau mulimile: A = {x N | x M15, x < 100} i B = {x N | x M6, 15 < x 75}.

a) Enumerai elementele mulimilor.b) Calculai: A B; A B; A \ B; B \ A.

10. Scriei numrul natural mai mic dect 28, care are cel mai mare numr de divizori.


11. Determinai elementele mulimilor:A = {x N | x | 24};B = {x N | 22x};C = {x N | x | 36 i x < 15};D = {x N | x | 12 i 3x + 1 10};E = {x N | x 3 | 21};F = {x N | 27(2x + 1)}.

12. Stabilii dac media aritmetic a tuturor divizorilor naturali ai numrului 24 este o valoare natural.

13. Fie:A = {x N | x | 8}; B = {y N | y = 2x 1, x A};C = {z N | z = x2, x A}.a) Determinai elementele celor trei mulimi;b) Efectuai: A B; B C; A C; B \ A.

14. Aflai x N astfel nct:a) x | 2;b) x + 3 | 15;c) 2x 3 | 15.

15. Stabilii valoarea de adevr a urmtoarelor propoziii:a) Dac 9 este un divizor al numrului natural n, atunci n este un multiplu al lui 3.b) Dac numrul natural p este multiplu al lui 5, atunci p este divizibil cu 10.

16. a) Cte numere de trei cifre l au ca divizor pe 9?b) Cte numere de patru cifre sunt multipli ai lui 13?

17. Determinai mulimile:

A = {x N* | 3x N};

B = {x N* | 12x N};

C = {x N* \ {1}| 101x N}.


1.3. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9

noiuni teoretice

Un numr este divizibil: cu 2, dac ultima cifr este cifr par, adic 0; 2; 4; 6; 8. cu 5, dac ultima cifr este 0 sau 5. cu 10, dac ultima cifr este 0. cu 4, dac ultimele dou cifre formeaz un numr divizibil cu 4. cu 25, dac ultimele dou cifre formeaz un numr divizibil cu 25 sau sunt zerouri. cu 3, dac suma cifrelor care l formeaz este un numr divizibil cu 3. cu 9, dac suma cifrelor care l formeaz este un numr divizibil cu 9.

1. Scriei numerele naturale divizibile cu 10 cuprinse ntre 201 i 300.2. Precizai valoarea de adevr a propoziiilor:

a) 10 | 300; b) 8010;c) 10 | 101; d) 10 | 0;e) 3 | 111; f) 2163;g) 3 450; h) 3 | 223;i) 5 75; j) 855;k) 5 | 490; l) 0 /5;m) 2 | 24; n) 2 75;o) 2 | a34, a 0.

3. Gsii toate numerele de forma a32b divizibile cu 10.4. Determinai toate numerele de forma a7a7a divizibile cu 2.5. Scriei numerele cuprinse ntre 151 i 176 divizibile cu 5.6. Determinai numerele de forma 3aa divizibile cu 5. 7. Gsii cel mai mic i cel mai mare numr natural de forma:

a) a4b5; b) 3xy5;c) abc (a b c) divizibil cu 5.

8. Aflai numerele de forma:a) 40x; b) x5x;c) 4xx; d) x12divizibile cu 3, unde x este cifr.

9. Gsii toate numerele de forma 1x8 divizibile cu 9.10. Fie a = 23b un numr natural. Aflai cifra b, tiind c:

a) 2 | a; b) 3 | a;c) 5 | a; d) 10 | a.

11. S se gseasc toate numerele de forma 21x divizibile cu:a) 2; b) 3;c) 4; d) 5;e) 9; f) 10.


12. Fie mulimea:

A = {4 140; 690; 435; 7 218; 5 700; 1 032; 21 165; 205; 108}.Aflai elementele mulimilor:B = {x A | 2 | x}; C = {x A | x3};D = {x A | x5}; E = {x A | 10 | x};F = {x A | 2 | x i 3 x}; G = {x A | x5 i 2 x}.

13. S se gseasc toate numerele de forma 3xy25.

14. Aflai mulimea A = {x N | 3x < 28, x este multiplu de 2}.15. Cu ajutorul cifrelor 2, 8, 9 i 5, folosite o singur dat, scriei cel mai mic i cel mai

mare numr divizibil cu:a) 2;b) 3;c) 5.

16. Artai c:

a) 10 | 819 + 2 818; b) 2 | 910 99;

c) 5 | 611 + 610 + 3 69; d) 3 | 411 + 410 + 49;

e) 3 | 2p 5p + 1 + 28, p N.17. Artai c:

a) S = 1 + 2 + 3 + ... + 200 este divizibil cu 2.

b) S = 1 + 21 + 22 + 23 + ... + 249 este divizibil cu 5.

c) S = 31 + 32 + 33 + ... + 32006 este divizibil cu 10.

18. Aflai numerele de forma 3b2a divizibile cu 5 i care au suma cifrelor egal cu 11 (a b).

19. Cte numere de forma ab2 sunt divizibile cu 2? Dar de forma a2b? Dar de forma 2ab?

20. a) Artai c numerele a = 2n 5n + 2 7 i b = 2n + 1 5n + 7 sunt divizibile cu 9.b) Artai c 9 | 2n + 2 5n + 2n 5n + 1 2n + 1 5n + 2, pentru n N.

21. S se arate c:a) 5 | (7363 3361);b) 10 | (22003 8137);c) 100 | A, unde A = 2 3 4 5 6 ... 19 20.

22. Artai c numrul N = ab93 + 5 ab este divizibil cu 3.


1.4. Proprieti ale relaiei de divizibilitate n N

noiuni teoretice

1) 1 | a, pentru oricare a N. 2) a | 0, pentru oricare a N. Propoziia 0 | 0 este adevrat. 3) a | a, pentru oricare a N. 4) Dac a | b i b | a, oricare ar fi a, b N, atunci a = b.5) Oricare ar fi a, b, c N, a.. a | b i b | c are loc a | c sau ca; citim c se divide cu a. Exemplu: 2 | 6 i 6 | 18. Atunci 2 | 18. Observm c 18 se divide cu toi divizorii lui 6, adic 1, 2, 3 i 6.

6) Oricare ar fi d, a, b N a.. d | a i d | b are loc d | a + b i d | a b. 7) Oricare ar fi d, a N a.. d | a are loc d | m a, oricare ar fi m N. 8) Oricare ar fi d, a, b N a.. d | a i d | b are loc d | na + nb i d | na nb oricare ar fi m, n N.

Observaii: Afirmaia Dac suma mai multor numere naturale se divide cu un numr natural,

atunci i fiecare termen al sumei se divide cu acel numr natural este fals.Contraexemplu: 3 | (7 + 5) i totui 3 5 i 3 7.

Enunul Dac fiecare termen al unei sume de numere naturale nu se divide cu un acelai numr natural, atunci suma nu se divide cu acel numr natural este tot o propoziie fals.

Contraexemplu: 2 3 i 2 5 i totui 2 | (3 + 5). Vom nota cu Da = mulimea divizorilor numrului natural a, iar cu Ma = mulimea multiplilor numrului a; acetia sunt de forma a k, k N. Pentru un numr natural dat, 1 i numrul nsui se numesc divizori improprii,

restul divizorilor se numesc divizori proprii.

1. Folosind proprieti ale relaiei de divizibilitate, stabilii dac:a) 2 | 26 + 42; b) 2 | 438 256;c) 2 | 70 + 29; d) 3 | 315 + 101;e) 3 | 27 + 213; f) 2 | 113 + 237 + 44;g) 2 | 12 17.

2. Fie a, b N i x = 12a + 28b. Artai c:a) 2 | x;b) 4 | x;c) dac 3 | b, atunci 6 | x.


3. Fr a efectua calculele, stabilii valoarea de adevr a propoziiilor:a) 3 | 125 423; b) 13 | 27 39 + 39 17 392; c) 5 1013 2470; d) 10 | 141 127; e) 2 | 123 11.

4. Dac 18 | a, ce ali divizori mai are a?

5. Artai c:a) Suma a dou numere naturale impare este divizibil cu 2.b) Suma a trei numere consecutive este divizibil cu 3.c) Suma a cinci numere naturale consecutive se divide cu 5.

6. Adevrat sau fals?a) Dac 5 | m i 5 | n, atunci 5 | m + n.b) Dac m i n sunt numere naturale nenule i produsul m n se divide cu 10, atunci

unul dintre numere se divide cu 5 i unul cu 2.c) Exist un numr natural care este divizibil cu toate numerele naturale nenule.

7. Artai c orice numr, care fiind mprit la 51 i d restul 34, este divizibil cu 17.

8. Dac 5 | 7 a, a N*, artai c:a) 5 | 28 a; b) 5 | 14 a.

9. Artai c dac a = 3x i b = 3y, atunci x + y | a + b.

10. Artai c:a) Numrul 5n + 2 5n + 1 5n este multiplu de 19, oricare ar fi n N*.b) Numrul 2n + 4 2n + 2 + 2n este multiplu de 13, oricare ar fi n N*.

11. Dac 3 | 16x, x N*, artai c 3 | x37.12. Dac 9 | xyz, artai c 9 | n, unde n = x37 + 2y6 + 72z.13. Demonstrai c:

a) 384 224 se divide cu 5; b) 9100 7100 este divizibil cu 10.

14. Artai c:a) 27 | (2n + 4 + 2n + 3 + 2n + 1 + 2n); b) 31 | (52n + 1 + 25n + 1 + (5n)2);c) 24 | (11 5n 4 5n + 1 + 5n + 2).

15. Aflai numerele de forma ab, tiind c numrul x = 7n + 3 18 7n + 1 + ab este divizibil cu 31.

16. Determinai x N, astfel nct:

a) x | 2x + 5; b) x + 1 | x + 8;c) x + 5 | x + 8; d) x + 1 | 2x + 10.


17. Artai c numrul A = ab0ab0, cu a 0, este divizibil cu 7, 11 i 13.

18. Artai c:a) (x + y + z) | (xyz + yzx + zxy);b) 11 | (2 aa + 3 xx + 5 yy).

19. Artai c:a) dac 3 | 2x + y, atunci 3 | 5x + 4y;b) dac 9 | x + 5y, atunci 9 | 8x + 40y;c) dac 13 | 5x + 7y + 8z i 13 | x + y + 2z, atunci 13 | 2x + 4y + 2z.

20. Aflai numerele de forma xy tiind c numrul a = 33n + 2 + 4 27n + xy este divizibil cu 13.

1.5. Numere prime. Numere compuse

noiuni teoretice

Numim numr prim un numr natural care are exact doi divizori, pe 1 i pe el nsui.Numerele naturale care nu sunt prime se numesc numere compuse.

Observaii: Numrul 1 nu admite dect un divizor, deci nu este nici prim, nici compus. Toate numerele prime, cu excepia lui 2, sunt numere naturale impare. numrul 2 este singurul numr prim par. Pentru a stabili c un numr este prim, se fac mpriri succesive ale numrului dat la numere prime luate n ordine cresctoare i dac nicio mprire nu s-a fcut exact pn cnd ctul a devenit mai mic dect mpritorul, atunci numrul dat este prim.

1. Scriei toate numerele prime pn la 100. ncercai s le reinei! 2. Verificai dac 103, 119, 149 sunt numere prime sau compuse.3. Scriei mulimea divizorilor primi ai fiecruia dintre numerele naturale:

52; 63; 99; 377; 2006.

4. Suma a dou numere prime este 103. Gsii numerele.5. Suma dintre un numr prim i unul impar este egal cu 2007. Aflai numerele.6. Scriei ca sum de numere prime numerele naturale:

7; 18; 39; 88.7. Determinai numerele prime a i b, tiind c 5 a + 18 b = 64.8. Aflai elementele mulimii:

A = {x N | x numr natural prim i 19 x < 57}. 9. Suma a dou numere naturale prime este cel mai mare numr natural de dou cifre.

Aflai numerele.

10. Produsul dintre un numr prim i un numr impar este 334. Aflai numerele.


11. Dai cinci exemple de perechi de numere prime a cror sum este numr natural de

forma aa.12. Determinai numrul natural a, astfel nct a (10 + a) s fie numr prim.13. Determinai a, cifr, astfel nct numerele: a; 3a; 5a i 7a s fie prime.14. Artai c suma dintre un numr de dou cifre i rsturnatul su nu poate fi un numr

prim.

15. Artai c numerele urmtoare nu pot fi prime:a) p = 23n 53n + 1 + 4;b) q = 10n 1;c) r = ab + ba + 5a + 5b.

16. Determinai numerele prime a, b, c care verific relaiile:a) a + 2b + 6c = 38;b) 4a + b + 8c = 46.

17. Aflai n N, astfel nct numrul (n 3)(n + 3) s fie prim.18. Stabilii dac A = 284 + 385 + 786 este prim sau compus.19. Scriei cel mai mare, respectiv cel mai mic numr natural compus format din trei

cifre distincte.

20. Scriei numrul 108 ca produs de dou numere naturale. Cte soluii are problema?

1.6. Descompunerea numerelor naturale n produs de

puteri de numere prime

noiuni teoretice

Orice numr natural poate fi scris ca un produs de numere naturale prime.

Scrierea unui numr natural ca produs de numere naturale prime se numete descompunerea n factori primi.

Considerm numrul natural A ca avnd descompunerea de forma: A = ap br cs, unde a, b, c sunt numere prime iar p, r, s exponenii puterilor. Numrul de divizori naturali ai numrului A este (p + 1)(r + 1)(s + 1).

1. Descompunei n factori primi numerele:a) 10; 100; 15; 50; 36; 49; 600; 1 300.b) 340; 1 690; 12 012; 4 284; 288; 576; 270 000.

2. Fie numerele x = 22 3 5; y = 2 32 7; z = 3 52 7. Scriei sub form de produse de puteri de numere prime:a) x y; b) x z; c) y z; d) x y z.


3. Fie numerele: x = 24 33 55; y = 32 54; z = 23 33 55. Scriei sub form de produse de puteri de numere prime:a) x : y; b) x : z; c) z : y;d) x : z y; e) x y : z.

4. Folosind descompunerea n factori primi, aflai x, y, z i t din egalitile:a) 3x = 27; b) 2x 3y = 72; c) 2x 3y 5z = 900;d) 22x 33x 5z = 2 160; e) 2x 3y 7z 11t = 8 316.

5. Aflai numrul divizorilor naturali ai numerelor:5; 7; 6; 8; 54; 72; 216; 324; 676; 1 200; 64 000; 20 400; 34 52 7; 25 3 11 13.

6. Aflai numrul divizorilor numerelor:a = 2 3 4 5 6 7 8 10 100; b = 24 25 27 28.

7. Determinai numerele prime a i b, tiind c suma lor este 30, iar produsul lor este 221.

8. Scriei toate numerele naturale prime de dou cifre care au suma cifrelor 10.

9. Aflai numerele ab i cde, pentru care ab cde = 2 369.

10. Determinai a i b N, dac a a ab b ba

+ + +... termeni

= 1 024.

11. Descompunei n factori primi numerele:

a = 362 35 + 362; b = 442 + 552 + 332; c = (25 + 15)(25 15) + 152.12. Aflai cel mai mic numr care nmulit cu 351 ne d un ptrat perfect.

13. Aflai x N, dac a este un numr prim i a2x are 17 divizori.14. Aflai numrul ab, prim, tiind c:

a) ab ba = 1 462; b) ab cd = 437; c) ab cde = 3 441.

15. Aflai suma cifrelor numrului xyzt, dac xy zt = 247.

16. Aflai un numr de trei cifre tiind c produsul cifrelor sale este 252.

17. Comparai numerele: a = 527 526 i b = 2 341 5 340 + 339.

18. Rezolvai n N ecuaia: 7x + 7x + 1 + 7x + 2 = 19 551.

19. Fie dat numrul n = 310 25 + 37 24.a) Descompunei n factori primi numrul n.b) Aflai cel mai mic numr a, astfel nct ctul mpririi dintre n i a s fie un

ptrat perfect.

20. Demonstrai c 10 | x2005 + yn, oricare ar fi n N*, unde x = 24 i y = 36.


1.7. Divizori comuni ai dou sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c. Numere prime ntre ele

noiuni teoretice

Cel mai mare divizor comun a dou numere a i b este un numr natural d, nenul, care are proprietile: 1) d | a i d | b. 2) dac exist un alt divizor comun d1 al numerelor a i b, d1 | a i d1 | b atunci d1 | d. C.m.m.d.c. a dou numere a, b se noteaz (a; b).

Pentru aflarea c.m.m.d.c. procedm astfel: descompunem numerele n factori primi; lum toi factorii primi comuni, o singur dat, la exponentul cel mai mic i i

nmulim ntre ei.

Dac c.m.m.d.c. este egal cu 1, (a ; b) = 1, numerele a, b se numesc prime ntre ele sau relativ prime.

Observaii: Dou numere naturale consecutive sunt prime ntre ele. Dou numere impare consecutive sunt prime ntre ele. Oricare dou numere prime sunt prime ntre ele.

Avnd n vedere faptul c resturile ce se pot obine prin mprirea unui numr natural la un alt numr natural nenul n, pot fi: 0; 1; 2; ...; n 1 (deoarece restul este strict mai mic dect mpritorul), orice numr natural poate fi scris sub una dintre formele:

2n ; 2n + 1;3n ; 3n + 1 ; 3n + 2;4n ; 4n + 1 ; 4n + 2 ; 4n + 3;5n ; 5n + 1 ; 5n + 2 ; 5n + 3; 5n + 4 .a.m.d.

1. Aflai c.m.m.d.c. al numerelor:a) 20; 25; b) 75; 60;c) 18 ; 36; d) 10; 12;e) 32; 36; f) 5; 15; 20;g) 5; 8 ; 9; h) 12; 24; 36;i) 24; 40; 72; j) 128; 120; 324;k) 200; 300; 400; l) 1 200; 1 440; 360;m) 130; 260; 390; 650; n) 216; 324; 540;o) 825; 375; 1 350; p) 1 323; 2 016; 2 268;r) 25 600; 121 000; 1 690; 324 000.


2. Calculai mintal:a) (6; 9); b) (5; 15);c) (14; 21; 28); d) (4; 8; 12);e) (3; 6; 9; 12; 15); f) (15; 30; 45);g) (100; 1 000; 10); h) (16; 20; 32);i) (6; 12; 18).

3. Scriei toate produsele de numere prime ntre ele ce se pot forma cu numerele: 2; 3; 6; 9; 15.

4. Se d mulimea A = {1 617; 1 125; 1 490; 1 122}. Gsii perechile de numere prime ntre ele.

5. Aflai x N, astfel nct:a) (215x; 2) = 1;b) (2x6; 3) = 1;c) (73x; 5) = 1.

6. Scriei trei numere naturale care au cel mai mare divizor comun 27.

7. Aflai perechile de numere prime ntre ele a cror sum este 12.

8. Produsul a dou numere naturale este 108. Aflai numerele. Cte soluii are problema?

9. Aflai cifrele x i y, astfel nct:a) 12 | 3x2y ; b) 15 | 23yx ;c) 18 | 12xy ; d) 6 | 1x2y .

10. Determinai numerele naturale de forma abcc divizibile cu 15, tiind c a + b = 7.

11. Aflai cel mai mare divizor comun al numerelor x i y:a) x = 27 52 33 i y = 32 33 92;b) x = 25 + 43 i y = 43 + 124 : 12;c) x = 163 162 i y = 143 + 142.

12. S se afle perechile de numere a i b, pentru care:

a) a + b = 168 i (a; b) = 24; b) a b = 540 i (a; b) = 6;c) a + b = 165 i (a; b) = 15; d) a b = 864 i (a; b) = 12.

13. mprind pe rnd numerele 177, 613 i 300 la acelai numr natural se obin resturile 9, 13 respectiv 12. Aflai mpritorul.

14. Aflai cel mai mare, respectiv cel mai mic numr natural la care pot fi mprite numerele 427, 241 i 362, astfel nct s se obin resturile 7, 1 i 2.

15. Un dreptunghi are dimensiunile egale cu 42 cm i 72 cm. Aflai numrul minim de ptrate ce pot acoperi exact suprafaa dreptunghiului.


16. Artai c urmtoarele perechi de numere sunt prime ntre ele, oricare ar fi n N:

a) 2n + 3 i 3n + 4; b) 2n + 3 i 5n + 7;c) 5n + 3 i 3n + 2; d) n + 3 i 2n + 5;e) 3n + 2 i 4n + 3; f) n + 1 i n + 2.

17. Aflai x, y N, astfel nct x2y 5x2 = 300.18. Aflai x i y cunoscnd c au diferena 15 i c y este divizor al lui x.

19. Aflai numerele naturale a, dac:a) (a + 1; 18) = 2a 7; b) (3a + 2; 48) = a + 6.

Probleme de olimpiad1. mprind 2 301, 3 004, 3 559 la un numr natural se obine acelai rest nenul. S se afle

numrul.(Etapa local, Galai, 1994)

2. Aflai c.m.m.d.c. al numerelor:a) [(20 25200) (2100 103)] : (2100 5400 250);b) 6 + 2 [(3 52 22 18 : 32 + 3 11) : 22].

(Etapa local, Maramure, 1992)

1.8. Multipli comuni ai dou sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.

noiuni teoretice

Cel mai mic multiplu comun a dou numere a i b este un numr natural m, care are proprietile:1) a | m i b | m; 2) dac exist un alt multiplu m1 al numerelor a i b, a | m1 i b | m1, atunci m | m1.

C.m.m.m.c. a dou numere a, b se noteaz cu [a; b].Pentru a afla c.m.m.m.c. a dou sau mai multor numere naturale, procedm astfel: descompunem numerele n factori primi; lum factorii primi comuni i necomuni o singur dat, la exponentul cel mai

mare i i nmulim ntre ei. Produsul a dou numere naturale a i b este egal cu produsul dintre

(a; b) i [a; b].

1. Aflai primele cinci elemente ale mulimilor: M2; M3; M5; M7.2. Aflai cele mai mici trei elemente ale mulimilor:

a) M2 M4; b) M3 M9;c) M5 M10; d) M2 M3 M6.


3. Aflai cel mai mic multiplu comun pentru fiecare dintre grupele urmtoare de numere:a) 3; 6; 9; b) 4; 8; 12;c) 5; 10; 20; d) 2; 5; 7;e) 15; 30; 105; f) 130; 260; 390; 520;g) 1 260; 840; 700.

4. Produsul a dou numere naturale este 972, iar cel mai mic multiplu comun al lor este 108.a) Aflai c.m.m.d.c. al lor.b) Aflai numerele.

5. Aflai c.m.m.d.c. i c.m.m.m.c. ai numerelor:a) 90; 120; 240; b) 135; 45; 270;c) 372; 180; 450; d) 270; 405; 810;e) 7 200; 360; 1 800; 420.

6. Determinai numrul natural n, 200 < n < 300, care se divide cu 4, 5 i 6.

7. Calculai [x; y] (x; y) pentru:a) x = 180 i y = 54; b) x = 225 i y = 60;c) x = 630 i y = 360; d) x = 210 i y = 140.

8. Aflai numerele a i b, tiind c:

a) [a; b] = 196 i (a; b) = 7; b) [a; b] = 420 i (a; b) = 21;c) (a; b) = 8 i a b = 2 204; d) [a; b] = 384 i a b = 3 072.

9. S se afle cel mai mic numr natural care mprit la 6, respectiv 21 d acelai rest 5 i ctul diferit de zero.

10. Calculai c.m.m.m.c. al numerelor x = 812 + 348 i y = (33)15 + (39)5.11. Aflai cel mai mic numr natural care mprit la 18, 12 i 15 d restul egal cu 11, 5

respectiv 8.

12. Aflai numerele naturale mai mici dect 300, care mprite pe rnd la 4, 12 i 15 dau restul 3.

13. Aflai numerele naturale x, 150 < x < 500, care mprite la 6, 8 i 15 dau restul 4.14. La o etap a olimpiadei de matematic a participat un numr de elevi. Dac acetia

erau aezai n sli cte 18, 24 sau 30, rmneau mereu 5 elevi fr locuri, acest numr fiind minim. Ci elevi au participat la concurs?

15. S se determine cel mai mic numr natural care mprit la 8 d restul 7, mprit la 9 d restul 8, iar mprit la 10 d restul 9.

(Etapa local, Arad, 1993)16. Aflai numrul natural care are exact trei divizori i produsul lor este egal cu 343.17. Aflai numrul natural n care are exact trei divizori, iar suma celor trei divizori este 133.


18. Se d numrul A = 36 18n + 1 2n 9n + 1 3n + 2 6n + 2, unde n N. Pentru n = 0, respectiv n = 1, s se afle c.m.m.d.c. i c.m.m.m.c. al numerelor obinute.

19. Un numr natural mprit la 18 d restul 5 i mprit la 11 d restul 7.

Aflai cel mai mic numr natural care ndeplinete condiiile date.

20. S se afle cel mai mic numr natural, nenul, care mprit la numerele naturale a, a + 1, a + 2 d respectiv resturile a 2, a 1, a, unde a, a + 1, a + 2 sunt numere prime ntre ele dou cte dou (a 0), a fiind cel mai mic posibil.

(Etapa local, Vaslui, 1993)


eValuareTestul 1

1. Descompunei numrul 864 n factori primi. Ci divizori naturali are? Dar divizori proprii? Dar improprii? Menionai cinci divizori proprii. (2 p)2. Aflai numrul natural 23x, unde x este o cifr, dac:

a) este divizibil cu 2; (0,5 p) b) este divizibil cu 2; (0,5 p)c) este divizibil cu 5; (0,5 p) d) este divizibil cu 10; (0,5 p)e) este divizibil cu 2 i cu 3. (0,5 p)

3. Demonstrai c numrul 104 + 8 este divizibil cu 6. (1,5 p)

4. Determinai perechea de numere (x ; y) pentru care 2x 3y = 24. (1,5 p)5. Artai c diferena dintre un numr natural i suma cifrelor sale este un numr

natural divizibil cu 9. (1,5 p)Se acord 1 punct din oficiu. Timp de lucru efectiv: 30 minute.

Testul 21. Aflai c.m.m.d.c. i c.m.m.m.c. al numerelor 476 i 266.

Verificai proprietatea [a; b] (a; b) = a b. (1,p)2. Aflai cel mai mare numr natural format din trei cifre care

mprit la 24 d ctul 25. (2 p)

3. Artai c numrul 11n + 2 11n + 1 + 11n se divide cu 111, n N. Ce ali divizori poate avea numrul dat? (2 p)

4. Determinai y N, astfel nct y + 2 | 2y + 7. (2 p)5. Dac la un numr de trei cifre se adaug de 5 ori cifra sutelor, de 4 ori cifra zecilor i

de 6 ori cifra unitilor, artai c se obine un numr divizibil cu 7. (2 p)Se acord 1 punct din oficiu. Timp de lucru efectiv: 30 minute.


Testul 31. Fie mulimea M = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 15; 18}. Enumerai elementele mulimilor: (2 p)

A = {x | x M i x | 12};B = {y | y M i 2 | y}:C = {z | z M i z = 3 k, k N};D = {t | t M i t6}.

2. Aflai cel mai mic numr natural care mprit pe rnd la 2, 3, 5 i 7 d acelai rest. (1,5p)

3. Demonstrai c, dac 11 | bc, atunci 11 | abca. (1,5 p)4. Stabilii valoarea de adevr a propoziiei: (211 75 + 28 75)9. (2 p)5. Dac A = 25 37 57 i B = 25 54 73, calculai cte zerouri au la sfrit numerele A, B i A B. (2 p)

Se acord 1 punct din oficiu. Timp de lucru efectiv: 30 minute.

Testul 41. Stabilii care dintre urmtoarele perechi de numere sunt prime ntre ele:

a) 51 i 289; (0,5 p)b) 12 i 35; (0,5 p)c) 441 i 529. (0,5 p)

2. Determinai cel mai mic numr natural nenul, pe care dac-l mprim la 13 obinem ctul egal cu restul. (1,5 p)

3. Aflai valorile lui a astfel nct numrul a3 s aib exact 4 divizori. (2 p)4. tiind c 2 | 13x + 3y, demonstrai c 2 | 3x + y i reciproc. (2 p)5. Artai c numrul:

A = (5 + 3 38 + 256 : 226) : [5 + (72)6 : 712 39 + (215)2] + 105 105 : (3 5 7) 2 0070este divizibil cu 143. (2 p)



Testul 51. Fie mulimea: A = {x N | x divide 18} i B = {x N | 2x 7 divide 15}. Calculai: A B; A B; A \ B. (2 p)2. Artai c diferena a dou numere avnd sumele cifrelor egale

este divizibil cu 9. (1,5 p)3. Aflai cel mai mic numr natural care mprit la 13, respectiv 17 d restul

egal cu 5. (1,5 p)4. Determinai numerele de forma ab pentru care numrul

x = 52n 62n 32n + ab se divide cu 9. (2 p)

5. a) Artai c numrul P = 3n + 3n + 1 + 3n + 2 + 3n + 3 este divizibil cu 10, oricare ar fi n N. (1 p)

b) Demonstrai c 10 | 3 + 32 + 33 + ... + 3200. (1 p)Se acord 1 punct din oficiu. Timp de lucru efectiv: 45 minute.

Testul 61. Dac numerele x i y, prin mprirea la 100 dau resturile 27 i respectiv 38,

ct va fi restul mpririi lui (a + b) la 100? (1,5 p)2. Aflai toate numerele mai mici dect 150 care mprite la 4, 6 respectiv 8 dau

resturile 3, 5 respectiv 7. (1,5 p)3. Determinai numerele prime a, b, c, pentru care 2a + 3b + 4c = 30. (2 p)

4. Determinai numerele de forma 3xy divizibile cu 5 i care nu sunt divizibile cu 3. (2 p)

5. Care este cel mai mic numr de elevi care se pot aeza n coloane de 2, 3, 4 i 5 elevi? (2 p)


34 Capitolul 2. Mulimea numerelor raionale pozitive

2 MULIMEANUMERELORRAIONALEPOZITIVEprof. Ion Chec

2.1. Fraciiechivalente;fracieireductibil. Noiuneadenumrraional. Formedescriereaunuinumrraional

Notteoretic

Fraciile ordinare 2

3 i

4

6 sunt echivalente, deoarece 2 6 = 3 4.

Atunci scriem 2

3=

4

6.

1. Artai c urmtoarele fracii sunt echivalente:

a) 1

3,

3

9; b)

5

2,

10

4; c)

10

5,

4

2;

d) 1 003, 2006

2; e)

26

39,

2

3; f)

201

3, 67.

2. Sunt echivalente fraciile?

a) 21

14,

3

2; b)

0

19,

1

19; c)

9

4,

12

5;

d) 102

103,

102

103; e)

144

12,

169

13; f)

1141

7, 163.

3. Stabilii care dintre fraciile urmtoare sunt echivalente cu fracia 410

:

a) 2

7; b)

40

100; c)

12

30;

d) 222

555; e) 2

6; f)

2004

5010.

4. Artai c urmtoarele fracii reprezint acelai numr raional.

a) 2

7,

4

14,

6

21; b)

21

77,

3

11,

33

121; c) 5,

10

2,

25

5,

505

101.

Dac i-a plcut, intr pe

www.elefant.ro/ebooks

descarc volumul i citete mai departe!

ebook-01-Capitolul_1ebook-02-Capitolul_2ebook-03-Capitolul_3ebook-04-Capitolul_4ebook-05-Capitolul_6ebook-06-Capitolul_7ebook-07-Capitolul_8ebook-08-Capitolul_9ebook-09-Capitolul_10ebook-10-Capitolul_11ebook-11-raspunsuriebook-12-raspunsuriebook-14-raspunsuri 15ebook-15-raspunsuri 16Testul 2

Preview Matematica-Exercitii Si Probleme Pentru Clasa a VI-A-Algebra-Geometrie

Documents

Transcript of Preview Matematica-Exercitii Si Probleme Pentru Clasa a VI-A-Algebra-Geometrie