pag 68-102

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

68

B.II.2.1 REPREZENTAREA DREPTEI DEFINIŢIE: Dreapta este un element liniar determinat de:

• două puncte sau • un punct şi o direcţie.

DREAPTA DETERMINATĂ DE DOUĂ PUNCTE Fie M ≠ N; M şi N = puncte oarecare M + N = D

[H]

n

[V] [W]

N

n'n''

[H]

m'

[V] [W]

Mm''

mx x

zz

o o

y y

Fig.II.2.1 Fig.II.2.2


69

d'

[H]

D

d

n

m'

d''[V] [W]

M

N

n'

m''

n''

m

z

x

o

y

Fig.II.2.3 (Fig.II.2.1 + Fig.II.2.2)

d

d' d''

m'

n'

m''

n''

n

m d

d'

m'

n'

n

m

z z

y

y

y

x xo o

Fig.II.2.4a Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.2.4b Dublă proiecţie ortogonală

OBSERVAŢIE : Dacă M + N = D ⇒ M ∈ D şi N ∈ D

⇓

m ∈ d n ∈ d

m’ ∈ 'd n’ ∈ 'd

m’’∈ ''d n’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - Apartenenţa” )


70

Fie H ≠ V; H + V = D unde H ∈ [H] V ∈ [V] (vezi II.1 Puncte particulare).

[H]

[V] [W]

V=

[H]

[V] [W]

H=

z z

xx

o o

v

v'

v''

h

h'

h''

y y


d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

H=

h'

v''

h''v

V=

h

v'

x

o

y


d'

h'

v' v''

h''v

h

d''

d

d'

h'

v'

v

h

d

z z

y y

o ox xy

Fig.II.2.8a Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.2.8b Dublă proiecţie ortogonală OBSERVAŢIE : Dacă H + V = D ⇒ H ∈ D şi V ∈ D

⇓

h ∈ d v ∈ d

h’ ∈ 'd v’ ∈ 'd

h’’∈ ''d v’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - Apartenenţa” )


71

Fie H ≠ W; H + W = D unde H ∈ [H] W ∈ [W] (vezi II.1 Puncte particulare).

[H]

[V] [W]W=

[H]

[V] [W]

H=

z z

x xy

oo

w

w''

w'

h''

h

h'


d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

H=

h'

w'

w

h''

W=

h

w''

x

o

y

Fig.II.2.11(Fig.II.2.9 + Fig.II.2.10)

d''

w''

h

w'

h' h''

w

d'

d

h

w'

h'

w

d'

d

z z

x xy

y y

o o

Fig.II.2.12a Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.2.12bDublă proiecţie ortogonală OBSERVAŢIE : Dacă H + W = D ⇒ H ∈ D şi W ∈ D

⇓

h ∈ d w ∈ d

h’ ∈ 'd w’ ∈ 'd

h’’∈ ''d w’’∈ ''d (vezi capitolul „A IV Invarianţii proiecţiilor - Apartenenţa” )


72

Fie V ≠ W; V + W = D unde V ∈ [V] W ∈ [W] (vezi II.1 Puncte particulare).

x

[H]

o

z

y

[V] [W]

W=w''

w

w'

x

[H]

o

z

y

[V] [W]

v

v''

v'V=


x

d'

[H]

D

o

y

d''[V] [W]

d

W=w''

V=v'

w

v

v''

w'


v''

d''d'

d

v'

v

w''w'

w

d'

d

v'

v

w'

w

z z

x xy

yy

o o

Fig.II.2.16a Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.2.16b Dublă proiecţie ortogonală OBSERVAŢIE : Dacă V + W = D ⇒ V ∈ D şi W ∈ D

⇓

v ∈ d w ∈ d

v’ ∈ 'd w’ ∈ 'd

v’’∈ ''d w’’∈ ''d (vezi capitolul „A IV Invarianţii proiecţiilor - Apartenenţa” )


73

DREAPTA DETERMINATĂ DE UN PUNCT ŞI O DIRECŢIE

• D ⊃ M ⇒ m ∈ d , m’ ∈ 'd , m’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

• şi D || E (vezi II.2.5 Poziţia relativă a două drepte)

sau D || [P] unde [P] = [H] sau [V] sau [W] (vezi II.2.4 Drepte particulare)

sau unde [P] = oarecare (vezi Poziţia dintre dreaptă şi plan – volumul II). B.II.2.2 URMELE DREPTEI DEFINIŢIE: Numim „urmele dreptei” punctele de intersecţie ale dreptei cu planele de proiecţie.

D ∩∩∩∩ [H] = H D ∩∩∩∩ [V] = V

D ∩∩∩∩ [W] = W ⇓

[H]

[V] [W]

H=[H]

[V] [W]

[H]

[V] [W]

V=

W=

x x x

o o o

zzz

y y y

v''

v'

h''

h

h' w

w''

v

w'

H ∈ [H] V ∈ [V] W ∈ [W] Fig.II.2.17

(vezi II.1 Puncte particulare). OBSERVAŢIE: Coordonatele punctelor H, V şi W din figura de mai sus au valori pozitive.


74

URMA ORIZONTALĂ A DREPTEI D D ∩ [H] = H

d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

H=

h'

h''

h

z

o

x y

Fig.II.2.18

h ∈ d

Dacă H ∈ D ⇒⇒⇒⇒ h’ ∈ 'd

h’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓

H ∈ D ; h ∈ d şi H ≡ h (vezi Fig.II.2.17) ⇓

h ≡≡≡≡ H = D ∩∩∩∩ d h’ ∈ OX (vezi Fig.II.2.17) h’’ ∈ OY (vezi Fig.II.2.17)

h’ ∈ 'd h’’ ∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓ ⇓

h’ = 'd ∩∩∩∩ OX h’’ = ''d ∩∩∩∩ OY şi h ∈ d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

d'

h' h''

h

d''

d

d'

h'

h

d

z z

y

y y

xx o o



75

URMA VERTICALĂ A DREPTEI D D ∩ [V] = V

d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

v''

v

V=v'

z

o

x y

Fig.II.2.20

v ∈ d

Dacă V ∈ D ⇒⇒⇒⇒ v’ ∈ 'd

v’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓

V ∈ D ; v’ ∈ 'd şi V ≡ v’ (vezi Fig.II.2.17) ⇓

v’ ≡≡≡≡ V = D ∩∩∩∩ 'd v ∈ OX v’’ ∈ OZ (vezi Fig.II.2.17)

v ∈ d v’’ ∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓ ⇓

v = d ∩∩∩∩ OX v’’ = ''d ∩∩∩∩ OZ

şi v’ ∈ 'd (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

d'

v' v''

v

d''

d

d'

v'

vd

z z

o oy

y y

xx



76

URMA LATERALĂ A DREPTEI D D ∩ [W] = W

d'

[H]D

d

d''

[V]

[W]

w

W=w''

w'

o

+y

x

+z

-y

Fig.II.2.22

w ∈ d

Dacă W ∈ D ⇒⇒⇒⇒ w’ ∈ 'd

w’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓

W ∈ D ; w’’∈ ''d şi W ≡ w’’ (vezi Fig.II.2.17) ⇓

w’’ ≡≡≡≡ W = D ∩∩∩∩ ''d w ∈ OY w’ ∈ OZ (vezi Fig.II.2.17)

w ∈ d w’ ∈ 'd (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓ ⇓

w = d ∩∩∩∩ OY w’ = 'd ∩∩∩∩ OZ

şi w’’ ∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

d' d''

d

w'' w'

wd'

d

w

w'z z

o oxx y

y y Fig.II.2.23a Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.2.23b Dublă proiecţie ortogonală


77

d'

[H]D

d

d''

[V]

[W]

H=

h'

v''

h''v

V=

h

v'

w

W=w''

w'

+y

x

o

-y

z

Fig.II.2.24

d'

h'

v' v''

h''

h

d''

d

w'' w'

wd'

h'

v'

v

h

d

w

v

w'z z

y y

xx o oy



78

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D

V

T3 4T

H

W

+z

-z

+y-y ox

Fig.II.2.26 Vedere în lungul axei OX

OBSERVAŢII: 1. Lungimea unei drepte este infinită.

Dacă vom considera şi spaţiul de dincolo de planul lateral de proiecţie [W], adică –OX, afirmaţia de mai sus este valabilă. Dacă vom considera numai +OX, atunci [W] limitează toate dreptele D [W]. Dreptele devin semidrepte, limitate de punctul W = D ∩ [W].

2. O dreaptă D intersectează un plan într-un singur punct. ⇒ ∃ H (unic), H = D ∩ [H], ∃ V (unic), V = D ∩ [V], ∃ W (unic), W = D ∩ [W]. şi H = ∞ dacă D [H], V = ∞ dacă D [V], W = ∞ dacă D [W].


79

B.II.2.3 STUDIUL DREPTEI DEFINŢIE : Studiul dreptei se referă la analiza traseului dreptei, cu precizarea triedrelor şi octanţilor prin care trece dreapta. II.2.3.1 STABILIREA URMELOR DREPTEI Pentru precizarea triedrelor prin care trece dreapta se vor afla mai întâi urma orizontală (H) şi verticală (V) ale dreptei D .

d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

H=

h'

v''

h''v

V=

h

v'

z

x

o

y

Fig.II.2.27

d'

h'

v' v''

h''v

h

d''

d

d'

h'

v'

v

h

d

z z

y

y y

xx o o


Dacă d , 'd , ''d sunt deja determinate (trasate), atunci: h’ = 'd ∩∩∩∩ OX şi v = d ∩∩∩∩ OX h’’ = ''d ∩∩∩∩ OY v’’= ''d ∩∩∩∩ OZ (vezi II.2.2 Urmele Dreptei)


80

II.2.3.2 ANALIZA TRIEDRELR PARCURSE DE D

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D

V

T3 4T

H

+z

-z

+y-y ox


OBSERVAŢII: 1. H ∈ [H]. Dacă H ∈ D , atunci H este punctul unde D trece dintr-un triedru în

altul, vecin. 2. V ∈ [V]. Dacă V ∈ D , atunci V este punctul unde D trece dintr-un triedru în altul,

vecin. 3. Din observaţiile 1 şi 2 ⇒ H şi V delimitează triedrele parcurse de D . 4. Din observaţiile 1 şi 2 ⇒ între H şi V, D trece printr-un singur diedru. 5. Din observaţiile 1 şi 2 ⇒ dincolo de H şi V, D intră în triedrele alăturate celui

dintre H şi V. 6. Nu este necesar să se afle W = D ∩ [W] pentru că W nu ajută la stablirea

triedrelor parcurse de D . Concluzii: 1. O dreaptă D ( D [V] şi D [H]) trece prin TREI TRIEDRE ALĂTURATE

(vecine). 2. Dacă D ar trece prin toate cele patru triedre, D ar trebui să intersecteze de două

ori [V] (şi o singură dată [H]) sau de două ori [H] (şi o singură dată [V]), ceea ce este imposibil (vezi obs. Nr.2 „urmele dreptei”).


81

II.2.3.2a ANALIZA TRIEDRELOR PARCURSE DE D ÎN TRIPLĂ PROIECŢIE

-z

3[W ] I[V ]

[H ]P-y ox

[W ]4

A[H ] +y

+z

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D=

T3 4T

H=

V=

h=h''

v'=v''

d''d'

h'=v d


OBSERVAŢII: 1. În aşezarea axelor de mai sus, unele proiecţii sunt confundate, deşi sunt distincte

în realitate (v’ = v’’, h = v, h = h’’). 2. Analog ''d ≡ D (disticte în realitate, vezi fig.II.2.24). 3. Dacă, analizând proiecţia laterală a unui punct (m’’) putem preciza triedrul în

care se găseşte punctul M (vezi proiecţiile punctului), analog, analizând traseul

proiecţiei laterale ''d a unei drepte D , putem preciza triedrele prin care trece

dreapta D . Concluzie: În triplă proiecţie stabilirea triedrelor prin care trece D se face urmărind traseul proiecţiei laterale ''d . Triedrele se vor marca pe o linie paralelă cu ''d , fiind delimitate de linii perpendiculare pe aceasta, din proiecţiile laterale ale urmelor (h’’ şi v’’).


82

d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

H=

h'

v''

h''v

V=

h

v'

T2

1T

4T

z

x

o

y

Fig.II.2.31

d'

h'

v'v''

h''v

h

d''

d

4T

1T

2

z

o

y

yx

Fig.II.2.32


83

II.2.3.2b ANALIZA TRIEDRELOR PARCURSE DE D ÎN DUBLĂ PROIECŢIE OBSERVAŢII: 1. Numai utilizând ''d , putem preciza direct traseul dreptei D în triplă proiecţie. 2. În cazul dublei proiecţii, unde avem la dispoziţie d şi 'd se pot stabili doar

limitele triedrelor şi anume, urma orizontală H şi verticală V. 3. Pentru a afla în ce triedru se află D în intervalul (H…V) se studiază semnul + sau

– al coordonatelor b şi c ale unui punct oarecare de pe dreaptă, din acest interval. Triedrele se vor marca pe o linie paralelă la OX, fiind delimitate de linii perpendiculare pe aceasta, din proiecţiile punctelor H şi V.

d'

h'

h

p

m

m'

v'p'

n

v

b >

0N

c <

0N

c >

0M

b >

0M

c >

0P

b <

0P

1T 2T4T

d

n'

z

o

y

x

Fig.II.2.33

• Fie M ∈ D , M între H şi V.

Dacă ∀M ∈ D , M ∈ (H…V), cM > 0 şi bM > 0 ⇒ intervalul (H…V) este T1. • Fie N ∈ D , N lateral faţă de H.

Dacă ∀N ∈ D , N ∈ (∞…H), cN < 0 şi bN > 0 ⇒ intervalul (∞…H) este T4. • Fie P ∈ D , P lateral faţă de V.

Dacă ∀P ∈ D , P ∈ (V…∞), cP > 0 şi bP < 0 ⇒ intervalul (V…∞) este T2. OBSERVAŢIE: Este suficient să se stabilească în modul de mai sus numai două din cele trei triedre prin care trece dreapta, anume triedrul dintre H şi V, şi unul dintre cele laterale, avându-se în vedere ca triedrele sunt vecine.


84

II.2.3.3 STABILIREA PUNCTELOR DE INTERSECŢIE CU PLANELE BISECTOARE II.2.3.3.a B1

• Fie B1 ∈ [B1]. Pentru (∀)B1, b = c, b şi c au simultan acelaşi semn.

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

T3 4T

B , b ''1 1

B , b ''1 1

+b

+b-b

-b+

c

+c

-c-c[B

],B

11W

[B ],

B1

1W

45°

ox, o+y-y

Fig.II.2.34a

Fig.II.2.34b

[H]

[V]

[W]

[H]

bise

ctoa

rea

ungh

iulu

i -Y

O-Z

bise

ctoa

rea

ungh

iulu

i +ZO

+Y

b''1

b''1

-b

-c

-b = -c

+b

+c

+b = +c

+z

-z

+y

-yx

o

+b se măsoară pe +OY, +c se măsoară pe +OZ ⇒ b1’’ se va găsi pe bisectoarea unghiului +ZO+Y

-b se măsoară pe -OY, -c se măsoară pe -OZ ⇒ b1’’ se va găsi pe bisectoarea unghiului -ZO-Y

Dacă B1 ∈ D ⇒ b1’’ ∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

⇒ b1’’ ∈ bisectoarea unghiului ZOY, -ZO-Y. b1’’ ∈ ''d ⇓ b1’’ = ''d ∩ bisectoarea unghiului ZOY, -ZO-Y.


85

[H]

[V]

[W]

[H]

bise

ctoa

rea

ungh

iulu

i -Y

O-Z

bise

ctoa

rea

ungh

iulu

i +ZO

+Y

b''1

b''1

-b

-c

-b = -c

+b

+c

d''

d''

1

2

+b = +c

+z

-z

x

+y

-y

o

Fig.II.2.35

O

+z(-y)

+y(-z)

d''

o

+z(-y)

+y(-z)

d''

1

2sau

bise

ctoar

ea

ungh

iulu

i -YO-Z

bisec

toarea

ungh

iului

+ZO+Y

1b''

1b''

x(-y) x(-y)+y +y

Fig.II.2.36

OBSERVAŢIE: În tripla proiecţie unghiul ZOY = 900, bisectoarea unghiului este o direcţie înclinată la 450 faţă de OY (axa orizontală) şi OZ (axa verticală). (planul lateral în triplă proiecţie este determinat de axele OY orizontală şi OZ verticală)


86

DETERMINAREA PROIECŢIILOR PUNCTULUI B1 • +b = +c

[H]

[V][W]

d'D

d

B

d''

b' b''

b

11

1

1

bisecto

area

unghiului +ZO+Y

+z

o

x

Fig.II.2.37

OBSERVAŢIE: - prima proiecţie determinată este b1’’ (vezi pag. 85); - B1 = D ∩ paralela la OX din b1’’; - b1’ = 'd ∩ paralela la OY din B1; - b1 = d ∩ paralela la OZ din B1.

d' d''

d

b''1b'1

b1

+c

+b

bisec

toare

a

ungh

iului

+ZO+Y

+z(-y)

+y(-z)

yxo

Fig.II.2.38 Triplă proiecţie

OBSERVAŢIE:

- prima proiecţie determinată este b1’’ (vezi pag.85); - b1’ = 'd ∩ paralela la OX din b1’’; - b1 ∈ d .


87

• -b = -c

[H]

[V]

[W]

d'

D

d

B

d''

b'b''

b

1

1

1

1

bise

ctoa

rea

ungh

iulu

i -Y

O-Z

[W]

[W]

[H]

[V]

+z

-z

x

+y

-y

o

Fig.II.2.39

OBSERVAŢIE: - prima proiecţie determinată este b1’’ (vezi pag.85); - B1 = D ∩ paralela la OX din b1’’; - b1’ = 'd ∩ paralela la OY din B1; - b1 = d ∩ paralela la OZ din B1.

d''b''1

-b-c

d'

d

b'1

b1z(-y)

y(-z)

yo

x(-y)


OBSERVAŢIE:

- prima proiecţie determinată este b1’’ (vezi pag.85); - b1’ = 'd ∩ paralela la OX din b1’’; - b1 ∈ d .


88

DETERMINAREA PROIECŢIILOR PUNCTULUI B1 ÎN DUBLĂ PROIECŢIE Pentru determinarea proiecţiilor punctului B1 în dublă proiecţie ortogonală se trasează simetrica uneia dintre proiecţiile dreptei faţă de OX. Fie 'd proiecţia a cărei simetrică se va trasa.

d'

h'

v'

vsim

etrica proiecþiei d'

faþã de OX

b'1

b1

+c

+b

=

=

+b = +cb > 0, c > 0

z

y

ox

Fig.II.2.41

x o

+z(-y)

+y(-z)

d'

h' v

v'

simetr

ica p

roiec

þiei d

'

faþã

de O

X

b1

b'1

=

=

-b = -cb < 0, c < 0

-c-b

Fig.II.2.42


89

sau Fie d proiecţia a cărei simetrică se va trasa.

d

h' v

simetrica proiecþiei d

faþã de OX

b'1

b1

+c

+b

=

=

+b = +cb > 0, c > 0

h

+z

ox

Fig.II.2.43

-b = -cb < 0, c < 0

d

h' v

simetr

ica pr

oiec

þiei d

faþã

de O

X

b1

b'1

-b-c

h

ox

Fig.II.2.44


90

Pentru ∀B1, cu b1’ ∈ 'd şi b1 ∈ liniei simetrice a proiecţiei 'd faţă de OX, sau b1 ∈ d şi b1’

∈ liniei simetrice a proiecţiei d faţă de OX, b = c; b şi c au simultan acelaşi semn (vezi Fig.II.2.38 şi Fig.II.2.40).

Dacă B1 ∈ D ⇒ b1 ∈ d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - Apartenenţa” ) Dacă B1 ∈ [B1] ⇒ b1’ ∈ 'd şi b1 ∈ liniei simetrice a proiecţiei 'd faţă de OX (vezi pag.88) ⇓ b1 = d ∩∩∩∩ simetrica proiecţiei 'd faţă de OX

d'h'

v'

v

h

d

simetrica proiecþiei d'

faþã de OX

b'1

b1

+c

+b

=

=

+b = +cb > 0, c > 0

z

y

ox

Fig.II.2.45

x o

+z(-y)

+y(-z)

d'

h' v

v'

simetr

ica p

roiec

þiei d

'

faþã

de O

X

b1

b'1

=

=

-b = -cb < 0, c < 0

hd

-c-b

Fig.II.2.46


91

Dacă B1 ∈ D ⇒ b1’ ∈ 'd (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) Dacă B1 ∈ [B1] ⇒ b1 ∈ d şi b1’ ∈ liniei simetrice a proiecţiei d faţă de OX (vezi pag.89) ⇓ b1’ = 'd ∩∩∩∩ simetrica proiecţiei d faţă de OX

d

v


faþã de OX

b'1

b1

+c

+b

=

=

+b = +cb > 0, c > 0

h

v

h'd'

+z

+y

ox

Fig.II.2.47

-b = -cb < 0, c < 0

d

v

simet

rica p

roiec

þiei d

'

faþã

de O

X

b1

b'1

-b-c

h

v'd'

h'

+z

+y

ox

Fig.II.2.48

OBSERVAŢIE: Nu este necesar să se traseze două linii simetrice faţă de OX, una simetrica proiecţiei d iar cealaltă simetrica proiecţiei 'd , deoarece se obţine acelaşi rezultat în ambele cazuri (proiecţiile punctului B1 sunt unice pentru o dreaptă D dată). În concluzie se va

trasa fie simetrica lui d faţă de OX, fie a lui 'd faţă de OX.


92

II.3.3.b B2 • Fie B2 ∈ [B2]. Pentru ∀B2, b = c, b şi c au semne diferite.

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

T3 4T

B , b ''2 2

B , b ''2 2

-b

-b

+c

+c

-c

[B ],B2

+b

+b

-c

2W

45°

ox, o+y-y

Fig.II.2.49a

Fig.II.2.49b

x

[H]

+z

+y

[V]

[W]

o

-y

[H]

-z

bisectoareaunghiului -yoz

b''2

b''2

-b

+b

+c

=

=

=

=

-c

bisectoareaunghiului yo-z

-b = +c

+b = -c

-b se măsoară pe -OY, +c se măsoară pe +OZ ⇒ b2’’ se va găsi pe bisectoarea unghiului +ZO-Y +b se măsoară pe +OY, -c se măsoară pe -OZ ⇒ b2’’ se va găsi pe bisectoarea unghiului –ZO+Y Dacă B2 ∈ D ⇒ b2’’ ∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

⇒ b2’’ ∈ bisectoarea unghiului +ZO-Y = -ZO+Y b2’’ ∈ ''d ⇓ b2’’ = ''d ∩ bisectoarea unghiului +ZO-Y = -ZO+Y


93

x

[H]

+z

+y

[V]

[W]

o

-y

[H]

-z

bisectoareaunghiului +zo-y

b''2

b''2

-b

+b

+c

=

=

=

=

-c

d''

d''

1

2

bisectoareaunghiului -zoy

-b = +c

+b = -c

Fig.II.2.50

d''

d''

1

2

sau

bisectoarea

unghiului -YO+Z

bisectoarea

unghiului -ZO+Y

2b''

2b''

+z(-y)

+y(-z)

yox(-y) x(-y) o

+z(-y)

y

+y(-z)

Fig.II.2.51 OBSERVAŢIE: În tripla proiecţie unghiul +ZO-Y = -ZO+Y = 900, bisectoarea unghiului este o direcţie înclinată la 450 faţă de OY (axa orizontală) şi OZ (axa verticală). (planul lateral în triplă proiecţie este determinat de axele OY orizontală şi OZ verticală)


94

DETERMINAREA PROIECŢIILOR PUNCTULUI B2 • -b = +c

[H]

[V][W]

d''

Dd

B

d'

b'2

2

2

bisectoarea

unghiului +ZO-Y

[W]

[H]

[V]

b''

b

2

+z

o

-z

+y

x-y

Fig.II.2.52

OBSERVAŢIE: - prima proiecţie determinată este b2’’ (vezi pag.93); - B2 = D ∩ paralela la OX din b2’’; - b2’ = 'd ∩ paralela la OY din B2; - b2 = d ∩ paralela la OZ din B2.

x(-y) o y

y(-z)

d''b''2b' =b 2

+c=

-b

2

dd'

bisectoarea

unghiului +zo-y

+z(-y)


OBSERVAŢIE:

- prima proiecţie determinată este b2’’ (vezi pag. 93); - b2’ = 'd ∩ paralela la OX din b2’’; - b2 ∈ d .


95

• +b = -c

[H]

[V]d'

D

d

B

d''

b''b'

b

2 2

2

bisectoarea

unghiului +YO

-Z[W]

[V]

[W]

[W]

[H]

2

+z

-z

o

+y

-y

x

Fig.II.2.54

OBSERVAŢIE: - prima proiecţie determinată este b2’’ (vezi pag. 93); - B2 = D ∩ paralela la OX din b2’’; - b2’ = 'd ∩ paralela la OY din B2; - b2 = d ∩ paralela la OZ din B2.

b' =b 2 2d

-c=

+bd'

b''2bisectoarea

d''x(-y)

z(-y)

y(-z)

o y

unghiului +yo-z


OBSERVAŢIE: - prima proiecţie determinată este b2’’ (vezi pag. 93); - b2’ = 'd ∩ paralela la OX din b2’’; - b2 ∈ d .


96

DETERMINAREA PROIECŢIILOR PUNCTULUI B2 ÎN DUBLĂ PROIECŢIE Pentru ∀B2 ∈ [B2] ⇒ b2 ≡ b2’ Dacă b2 ∈ d , b2’ ∈ 'd şi b2 ≡ b2’

⇓ b2 ≡≡≡≡ b2’ ≡≡≡≡ d ∩∩∩∩ 'd

-b = +c

b' =b 2

+c=

-b

2

dd'

z

o

y

x

Fig.II.2.56

+b = -c

b' =b 2

-c=

+b

2d d'

z

o

y

x

Fig.II.2.57


97

II.2.3.4 ANALIZA OCTANŢILOR PARCURŞI DE D Vederi în lungul axei OX

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D

T3 4T

H

B

B

V

1[B ]

2[B ]

2

1

O2

O1

O8

O7

O3

+z

-z

ox-y +y

Fig.II.2.58

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D

T3 4T

H

B

B

V

1[B ]

2[B

]2

1

O3

O4

O5

O6

O2

+z

-z

ox +y-y

Fig.II.2.59


98

OBSERVAŢII:

1. B1 ∈ [B1]. Dacă B1 ∈ D , atunci B1 este punctul unde D trece dintr-un octant în altul, vecin, ambii ai aceluiaşi triedru.

2. B2 ∈ [B2]. Dacă B2 ∈ D , atunci B2 este punctul unde D trece dintr-un octant în altul, vecin, ambii ai aceluiaşi triedru.

3. Din observaţiile 1 şi 2 ⇒ B1 şi B2 delimitează octanţii prin care trece D . 4. ⇒ între H şi B1 şi respectiv V şi B1 sau

între H şi B2 şi respectiv V şi B2, D parcurge un singur octant.

5. ⇒ între H şi V, D străbate doi octanţi ai aceluiaşi triedru.

6. ⇒ în triedrele în care D nu∩ [B1] şi respectiv D nu∩ [B2], D parcurge un singur octant.

Concluzii:

1. O dreaptă D ( D ∩ [V], D ∩ [H], D ∩ [B1], D ∩ [B2]) trece prin cinci octanţi vecini (alăturaţi).

2. O dreaptă intersectează un plan o singură dată

⇒ ∃B1 = unic, B1 = D ∩ [B1], B1 ∈ T1 sau B1 ∈ T3

∃B2 = unic, B2 = D ∩ [B2], B2 ∈ T2 sau B2 ∈ T4.

3. Dacă B1 = D ∩ [B1], B1 ∈ T1 ⇒ D parcurge O1 şi O2.

Dacă B1 = D ∩ [B1], B1 ∈ T3 ⇒ D parcurge O5 şi O6.




99

II.2.3.4.a ANALIZA OCTANŢILOR PARCURŞI DE D ŞI STABILIREA TRASEULUI DREPTEI D ÎN TRIPLĂ PROIECŢIE

H=

h'h''

v

V=

h

v'

[H]

[V]

[W]

d''

D

d

d'

1

bisecto

area

unghiului +ZO+Y

b''

b

1

Bb'11

B2

b'2

[V]

[W]

[W]

b''2

b2

[H]

1Tv''

bisectoarea

unghiului -ZO+Y

4T

2T

7O

8O

1O

2O

3O

+z

-z

+y

o

x

Fig.II.2.60

1. În triplă proiecţie stabilirea octanţilor prin care trece dreapta D se face urmărind

traseul proiecţiei laterale ''d (vezi Obs.2 pag.81). 2. Analog cu triedrele, octanţii se vor marca pe o linie paralelă cu ''d , delimitată

de linii perpendiculare pe aceasta, din proiecţiile laterale ale punctelor care delimitează octanţii (H, V, B1, B2).

3. Dacă triedrele parcurse de D au fost deja stabilite, este suficient să se determine un

singur octant, în funcţie de triedrul în care se află şi de triedrul vecin (ex.: O1, vezi Fig. de mai sus). Ceilalţi 4 octanţi se vor denumi în ordine, fiind vecini cu acesta.


100

d'

h'

v' v''

h''v

h

d

b''

b''

d''

b =b'

b'

b

1

1

2 2

1

2

1T

4T

2T

2O

1O

8O

7O

3O

bisec

toare

a

ungh

iului

+ZO+Y

bisectoarea

z

o

y

yx


II.2.3.4.b ANALIZA OCTANŢILOR PARCURŞI DE D ŞI STABILIREA TRASEULUI DREPTEI D ÎN DUBLĂ PROIECŢIE

d'

h'

v'

v

h

d

b =b'

b'

b

1

1

2 2


faþã de OX

2O1O8O7O 3O

2T1T4T

z

o

y

x

Fig.II.2.62 Dublă proiecţie

• Pentru stabilirea proiecţiilor punctelor B1 şi B2 vezi pag. 88, 89, 90, 91 şi 96. • Pentru stabilirea octanţilor parcurşi de D vezi pag. 98, pct.3. • Octanţii se vor marca pe o linie paralelă la OX, delimitată de linii perpendiculare pe

aceasta, din proiecţiile punctelor care delimitează octanţii (H, V, B1, B2).


101

II.2.3.5 ETAPELE STABILIRII TRASEULUI UNEI DREPTE D . RECAPITULARE

Fie M ≠ N, M şi N = oarecare, M + N = D 1. Reprezentarea proiecţiilor punctelor

M şi N

n

n' n''

m

m' m''

y

yox

2. Reprezentarea proiecţiilor dreptei

D :

m + n = d

m’ + n’ = 'd

m’’+ n’’= ''d

d'

d

d''

n

n' n''

m

m' m''

o

y

yx

3. Determinarea urmelor H şi V ale

dreptei D .

d'

h'

v' v''

h''

h

d

d''

v

z

y

y

ox

4. Stabilirea triedrelor parcurse de

dreapta D .

d'

h'

v' v''

h''

h

d

d''1T

4T

2T

v

z

o

y

yx

5. Aflarea punctelor de intersecţie ale

dreptei D cu [B1] şi [B2].

d'

h'

v' v''

h''v

h

d

b''

b''

d''

b =b'

b'

b

1

1

2 2

1

2

z

o

y

yx

6. Stabilirea octanţilor prin care trece

dreapta D .

d'

h'

v' v''

h''v

h

d

b''

b''d''

b =b'

b'

b

1

1

2 2

1

2

1T

4T

2T

2O

1O

8O

7O

3O

bisec

toarea

ungh

iului

+ZO+Y

bisectoarea

unghiului -ZO+Y

z

o

y

yx


102

pag 68-102

Documents

Transcript of pag 68-102