5. OPTICA ONDULATORIE

5.1. NATURA ŞI PROPAGAREA RADIAŢIEI LUMINOASEOptica este ştiinţa care se ocupă de studiul radiaţiei luminoase (atât ca undă electromagnetică cât şi de senzaţia vizuală pe care o produce) la propagarea şi interacţia sa cu un mediu oarecare. Studiul cuprinde atât fenomenele proprii radiaţiei vizibile cât şi ale celor provocate de radiaţiile infraroşii şi ultraviolete. Maxwell a arătat că lumina face parte din spectrul undelor electromagnetice şi deci, ca şi celelalte unde electromagnetice, se propagă prin aer cu viteza c. Partea de optică care descrie fenomenele în care, relevant este caracterul ondulatoriu al luminii precum: propagarea acesteia, dispersia, interferenţa, absorbţia, reflexia, refracţia şi polarizarea se numeşte Optica Ondulatorie. Spre deosebire de celelalte unde electromagnetice, lumina este singura radiaţie care poate fi sesizată cu ajutorul ochiului. În vedere diurnă, ochiul prezintă o sensibilitate spectrală relativă maximă pentru lungimea de undă de 555 nm, de culoare galben-verde, aflată în centrul spectrului vizibil, aşa după cum se poate vedea din Figura 5.1.

Figura 5.1

Se poate observa din figură că, în vedere nocturnă, curba de sensibilitate spectrală relativă este uşor deplasată spre stânga - diagrama punctată în figură.Limitele spectrului vizibil nu sunt bine definite deoarece curba de sensibilitate a ochiului se apropie asimptotic de abscisă, atât pentru lungimi de undă mari, cât şi pentru lungimi de undă mici. Dacă alegem, în mod arbitrar limitele pentru care sensibilitate ochiului să scadă la 1% din valoarea sa maximă, atunci spectrul vizibil se întinde de la 430 nm la 690 nm. Dacă este suficient de intensă, ochiul poate sesiza radiaţia din acest domeniu. Energia luminoasă este transmisă, de exemplu de la Soare către Pămant, prin intermediul acestor unde electromagnetice care se propagă prin spaţiul liber intermediar. Energia

146

146

transmisă în unitatea de timp prin unitatea de secţiune transversală, adică intensitatea radiaţiei luminoase este descrisă de vectorul Poynting:

(5.1)

unde şi sunt, respectiv, valorile instantanee ale intensităţii câmpului electric şi ale inducţiei câmpului magnetic. Mai puţin obişnuit pare faptul că lumina transportă impuls. Adică ea crează o presiune, o presiune a radiaţiei luminoase, asupra obiectelor iluminate. Această presiune este foarte mică din moment ce nu o simţim în mod obişnuit. Primele măsurători asupra presiunii de radiaţie au fost efectuate între anii 1901-1903, după aproximativ 30 de ani de la prezicerea acestui fenomen de către Maxwell, de către Nichols şi Hull în SUA şi de către Lebedev în Rusia. Dacă energia totală luminoasă absorbită de un obiect într-un timp t este W = mc 2, impulsul este p = mc = W/c. Dacă radiaţia luminoasă este în întregime reflectată de obiect (reflexia totală), atunci acest impuls este dublu. Ca şi în cazul studiului interacţiei coulombiene dintre sarcinile electrice, măsurătorile au fost efectuate în acest caz cu ajutorul balanţei de torsiune a lui Cavendish. Presiunea măsurată a fost de 7,01.10-6 N/m2, foarte apropiată de cea prezisă teoretic de către Maxwell care era 7,05.10-6 N/m2. Lumina se propagă cu o viteză atât de mare încât sunt puţine faptele experimentale care să indice faptul că viteza ei nu este infinită.

Figura 5.2Primul care şi-a pus această problemă (şi a şi analizat-o rhetoric) a fost Galilei care, în 1638, publică în Olanda o lucrare pe această temă.

147

147

Prima determinare reuşită a vitezei luminii a fost făcută pe cale astronomică de către astronomul danez Olaf în 1676 care lucra la observatorul din Paris. Metoda s-a bazat pe eclipsarea periodică a sateliţilor lui Jupiter. a observat că intervalele dintre eclipsele succesive ale unui anumit satelit sunt mai mari atunci când Pământul, în mişcarea sa, se îndepărtează de Jupiter, decât atunci când acesta se apropie. Deoarece perioada de revoluţie a satelitului planetei Jupiter este relativ mică (1,75zile), durata dintre două eclipsări succesive, chiar în poziţiile favorabile pentru Pământ şi anume B şi D (vezi Figura 5.2) nu depăşeşte 15 s. Ideea determinării vitezei luminii a venit de la necesitatea corectării acestei modificări a perioadei de revoluţie a satelitului lui Jupiter. Cunoscându-se viteza de deplasare a Pământului în jurul Soarelui de 34 km/s, el a determinat pentru viteza luminii valoarea c = 215 000 km/s.În 1849 Hippolyte Louis Fizeau (1819 - 1896), un fizician francez, a măsurat pentru prima dată viteza luminii pe o cale neastronomică, obţinându-se valoarea de 3,13.108 m/s. În Figura 5.3 este redată schema dispozitivului experimental folosit de către Fizeau.

Figura 5.3

Cu ajutorul unui sistem convergent L1, lumina provenită de la sursa S este trimisă pe oglinda semitransparentă O1, care o reflectă parţial şi care face ca în punctul F să avem imaginea sursei. Cealaltă parte a radiaţiei luminoase, transmisă prin O1, ajunge direct în ochiul observatorului prin intermediul sistemului convergent L4. Lumina reflectată de O1 este transformată într-un fascicul paralel de către sistemul convergent L2 şi trimisă foarte departe, la o distanţă = 8630m, pe un munte unde se află sistemul cunvergent L3 şi oglinda perfect reflectătoare O2. De aici lumina face drumul înapoi către ochiul observatorului, suprapunându-se peste fasciculul trimis direct de O1. Viteza luminii dus-întors pe distanţa 2 ar fi putut fi determinată dacă se cunoştea timpul. Pentru marcarea timpului s-a folosit o roată dinţată. Aceasta era rotită uniform astfel încât ochiul observatorului să nu sesizeze licăriri, ci să vadă un fascicul luminos continuu, la fel de intens. Numai atunci timpul de rotaţie dintre doi dinţi consecutivi este egal cu cel necesar luminii să străbată distanţa dus - întors. Dacă N este numărul de dinţii ai roţii, unghiul dintre doi dinţi consecutivi este = 2/N. Dacă este viteza unghiulară de rotaţie, se poate scrie:

(5.2)

148

148

Fizicianul francez Foucault (1819 - 1868) a îmbunătăţit simţitor metoda Fizeau, înlocuind roata dinţată cu o oglindă prismatică rotitoare. Pentru distanţa = 35,4 km, el a determinat pentru viteza luminii valoarea c = 299796 4 (km/s).Fizicianul american Albert A Michelson (1852-1931) a făcut măsurători prin această ultimă metodă care s-au întins pe parcursul a 15 ani. Valoarea determinată de el al fost c = 299774 2 (km/s). Actualmente, drept cea mai bună valoare a lui c, pentru vid, se consideră a fi c = 299792 0,3 (km/s).

5.2. MĂRIMI ŞI UNITĂŢI ENERGETICE ŞI FOTOMETRICE PENTRU LUMINĂAşa după cum s-a putut remarca la capitolul Unde electromagnetice, propagarea acestui tip de radiaţii implică un transport de energie cu provocarea de senzaţii vizuale în ochi. În acest sens trebuie făcute două remarci fundamentale:

- ochiul percepe diferit radiaţiile optice în funcţie de intensitatea acestora şi de lungimea de undă;

- nu toată energia radiaţiei luminoase este transformată în senzaţie vizuală.Şi mărimile caracteristice sunt, din aceste cauze, diferite, existând şi fiind folosite în paralel:

- mărimi şi unităţi de măsură energetice;- mărimi şi unităţi de măsură fotometrice.

Mărimile energetice, unele dintre ele studiate la capitolul Undele Electromagnetice, sunt mărimi caracteristice absolute, caracterizând radiaţia luminoasă din punctul de vedere al energiei transportate de lumină. Mărimile fotometrice caracterizează radiaţia luminoasă din punctul de vedere al percepţiei sale de către ochi (îndeosebi cel uman) şi al senzaţiei vizuale pe care o crează.Cele două tipuri de mărimi coexistă în paralel şi au denumiri analoge. Convenim ca cele energetice să conţină la notaţie indicele e.

5.2.1. Mărimi şi unităţi energeticeConsiderăm o sursă luminoasă punctiformă S, care emite lumină într-un mediu transparent omogen şi izotrop, adică un mediu în care lumina se propagă pe toate direcţiile cu aceeaşi viteză. În cele ce urmează, prin energie radiantă se înţelege energia transportată de unda luminoasă respectivă. Se consideră conul de energie radiantă, de un unghi solid oarecare d, şi aria bazei dS, conul care conţine în vârf sursa luminoasă. Se va considera că nu se pierde energie radiantă prin mediu.

5.2.1.1. Fluxul de energie radiantă (e)

Este energia care străbate o secţiune oarecare a conului de energie radiantă în unitatea de timp:

(5.3)

Având dimensiunea unei puteri, fluxul energetic se măsoară în Waţi (W).

5.2.1.2. Intensitatea energetică (Ie)Intensitatea energetică a unei surse punctiforme se defineşte ca fiind fluxul energetic al radiaţiei emis pe unitatea de unghi solid (vezi Figura 5.4):

(5.4)

149

149

Unitatea de măsură este Watt/steradian (W/sr).

5.2.1.3. Iluminarea energetică (Ee)Iluminarea energetică a unei suprafeţe elementare reprezintă fluxul energetic care cade pe unitatea de suprafaţă:

(5.5)

În unele manuale de specialitate în locul acestei denumiri se foloseşte cea de radianţă.Unitarea de măsură este Wattul/metru pătrat (W/m2).

Figura 5.4

Deoarece, prin definiţie unghiul solid (Figura 5.5.a şi 5.5.b) se defineşte ca fiind:

(5.6)

Relaţia care se obţine între ultimele două mărimi definite va fi:

(5.7)

şi care, pentru incidenţă normală, va fi:

(5.8)

150

150

a) b) Figura 5.5

5.2.2. Mărimi şi unităţi fotometriceMărimile fotometrice reprezintă acel sistem de mărimi în definirea cărora se ia în consideraţie senzaţia luminoasă pe care o produc radiaţiile optice pe retina ochiului uman normal. Aşa după cum s-a arătat această senzaţie depinde de intensitatea radiaţiei dar şi de culoarea acesteia. Se defineşte, de aceea, sensibilitatea spectrală relativă definită ca fiind raportul dintre fluxul energetic al radiaţiei luminoase având lungimea de undă 0 = 555 nm, care produce cea mai puternică senzaţie vizuală şi fluxul energetic al unei radiaţii de o altă lungime de undă care produce aceeaşi senzaţie luminoasă:

(5.9)

Evident, după cum se poate observa şi din Figura 5.1, această mărime are ca valoare unitatea pentru 0.Echivalentul fotometric al radiaţiei K, este raportul dintre fluxul luminos - recepţionat de ochi - al unei radiaţii de o lungime de undă oarecare - şi fluxul energetic al radiaţiei de maximă efiecienţă luminoasă care crează în ochi aceeaşi senzaţie luminoasă. Evident, mărimea este supraunitară şi se măsoară în lumeni/Watt = lm/W.Pentru lungimea de undă 0 , echivalentul fotometric are valoarea K = 683 lm/W.Fiecare dintre cele trei mărimi energetice îşi are echivalentul într-o mărime footometrică similară.

5.2.2.1. Fluxul luminos (5.10)

Unitatea sa de măsură este lumenul. Un lumen este fluxul luminos al unei surse punctiforme cu intensitatea de o candelă emis într-un unghi solid de un steradian.Fluxul luminos total emis pe toate direcţiile de o sursă punctiformă oarecare va fi:

(5.11)unde I - este intensitatea luminoasă.

151

151

5.2.2.2. Intensitatea luminoasăIntensitatea luminoasă a unei surse punctiforme reprezintă fluxul luminos emis de o sursă punctiformă pe unitatea de unghi solid:

(5.12)

Unitatea de măsură, candela, este una dintre cele şapte mărimi fundamentale. Candela (cd) este intensitatea luminoasă, într-o direcţie dată, a unei surse care emite o radiaţie monocromatică cu frecvenţa de 5,4.1014 hertzi şi a cărei intensitate energetică, pe aeastă direcţie, este de 1/683 waţi pe steradian.

5.2.2.3. IluminareaIluminarea E reprezintă fluxul luminos pe unitatea de suprafaţă transversală la direcţia de propagare a undei:

(5.13)

Unitatea de măsură este luxul (lx).Un lux este iluminarea unei suprafeţe de 1 m2 care primeşte un flux luminos de 1 lm uniform distribuit pe această suprafaţă, (1 lx = 1lm/1m2).

5.3. DISPERSIA LUMINII5.3.1. Dispersia undelor. Viteza de grup. Viteza de fază

La calcularea vitezei de propagare a undelor prin gaze s-a constatat că este necesar a fi tratate două cazuri diferite, în funcţie de frecvenţa undelor care se propagă. Procesul de propagare a undelor sonore de frecvenţă mică poate fi tratat ca un şir de comprimări izotermice prin stratul de aer, în timp ce, pentru frecvenţe mari, comprimările sunt adiabatice. Se poate trage de aici concluzia că viteza de fază a undelor depinde de frecvenţa acestora. Dependenţa, în general, a vitezei de deplasare a undei de frecvenţă defineşte fenomenul de dispersia undelor.

Se poate arăta că şi viteza de propagare a energiei undelor depinde de frecvenţa acestora.Sunt foarte rare şi, cu totul speciale, cazurile în care o undă este monomod, adică este

formată dintr-o undă de frecvenţă unică. De cele mai multe ori se află în propagare prin mediu un grup, pachet, de unde de frecvenţe apropiate şi de lungime finită. Grupul de unde de acest tip nu mai este sinusoidal, deoarece amplitudinea rezultantă nu mai este constantă în timp. Un studiu amănunţit ar necesita o analiză Fourier a semnalului.

Pentru simplitate, vom considera cazul unui semnal compus doar din două unde de aceeaşi amplitudine a, având pulsaţii foarte apropiate = 0 + d, = 0 - d, având vectorii de undă k = k0 + dk şi = k0 - dk, care se propagă pe aceeaşi direcţie, descrise de ecuaţiile:

(5.14)

Funcţia de undă rezultantă va fi:

1 212

12

0 0

2

2

A t k k x t k k x

A t d x dk t k x

cos sin

cos sin

' ' ' '

(5.15)

Ultima ecuaţie reprezintă o undă a cărei amplitudine este modulată în timp prin funcţia cosinus. Viteza de deplasare a grupului celor două unde se numeşte viteză de grup şi reprezintă viteza de deplasare pe direcţia Ox a unui punct de aceeaşi amplitudine, adică este determinată din ecuaţia: t.d - x.dk = ct. Derivând această relaţie în raport cu timpul şi, ţinând cont că d şi dk sunt constante, se obţine expresia vitezei de grup:

152

152

(5.16)

unde vg şi v sunt, respectiv, viteza de grup şi viteza de fază a undelor.În cazul în care viteza de fază a undelorcreşte odată cu lungimea de undă (dv/d 0),

dispersia în aceste zone se numeşte dispersia normală. În acest caz viteza de grup este mai mică decât viteza de fază.

În zonele din mediu în care viteza de fază scade odată cu lungimea de undă (dv/d 0) şi viteza de grup este mai mare decâ viteza de fază, dispersia se numeşte dispersie anomală.

Un mediu prin care viteza undelor nu depinde de frecvenţă se numeşte mediu nedispersiv. Prin astfel de medii cele două viteze sunt egale.

5.3.2. Dispersia luminii - noţiuni generale După cum am definit anterior, dispersia cuprinde toate fenomenele determinate de dependenţa vitezei de propagare v = c/n (deci şi a indicelui de refracţie) printr-un mediu transparent de lungimea de undă = c/ (deci şi de frecvenţă) a radiaţiei luminoase. Fenomenul de dispersie a fost descris, pentru prima dată de către Newton, ca fenomenul de descopunere a luminii naturale în radiaţiile componente la trecerea acesteia printr-o prismă optică.Dispersivitatea mediului este mărimea care exprimă cât de repede variază indicele de refracţie în raport cu variaţia lungimii de undă şi este definită prin coeficientul de dispersie:

(5.17)

unde dn este variaţia indicelui de refracţie pentru o variaţie a lungimii de undă cu d. Pentru standardizare, în tehnică, pentru caracterizarea unei substanţe este definită dispersia medie şi coeficientul de dispersie:

(5.18)

unde, nD este valoarea indicelui de refracţie al substanţei pentru radiaţia galbenă a sodiului de lungime de undă D = 589,3 nm, nF este indicele de refracţie corespunzătoare radiaţiei albastre din spectrul hidrogenului pentru care F = 486,1 nm, iar nC este indicele de refracţie corespunzător radiaţiei roşii din spectrul hidrogenului pentru care C = 656,3 nm. Inversul coeficentului de dispersie se numeşte dispersie relativă. Substanţele cu dispersia medie mică şi care au un coeficient de dispersie mare, prezintă variaţii regulate ale indicelui de refracţie în raport cu lungimea de undă. Astfel de substanţe sunt slab dispersive. 5.3.3. Teoria dispersiei luminii S-a arătat în capitolul de unde electromagnetice că indicele de refracţie al unui mediu dielectric, în cazul nostru şi transparent, depinde de proprietăţile magneto-electrice caracteristice prin valoarea permitivităţii dielectrice, respectiv permeabilităţii magnetice relative prin relaţia:

153

153

(5.19)Se defineşte lungimea de undă ca fiind distanţa străbătută de radiaţia luminoasă în timp de o perioadă, adică:

(5.20)

Această ultimă egalitate exprimă o inversă dependenţă proporţională a lungimii de undă de indicele de refracţie al mediului prin care se propagă unda luminoasă. Ne propunem să deducem expresia dependenţei indicelui de refracţie de lungimea de undă a radiaţiei. Acest lucru se stabileşte pe baza procesului de transmitere de energie luminoasă către particulele componente ale mediului prin fenomenul de polarizare produs de componenta electrică a undei. Fie un mediu dielectric transparent care conţine n0 purtători de sarcină electrică pe unitatea de volum, fiecare având masa de repaus m0 şi sarcina e. Fiecare purtător de sarcină execută oscilaţii proprii de pulsaţie 0 şi amplitudine A în jurul poziţiei cvasistatice de echilibru. Lungimea de undă asociată particulelor electrice care vibrează este 0 = h/p = h/(m0v), unde h = 6,6254.10-34 J.s - este constanta Planck. Prin mediul considerat se propagă o undă luminoasă de lungime de undă . Vectorul intensitate a câmpului electric al undei oscilează periodic, cu pulsaţia , antrenând prin forţa electrică Fe = eE, fiecare sarcină întâlnită, într-o oscilaţie forţată. Mişcarea particulei este legată, prin prezenţa forţei elastice de legătură cu poziţia de echilibru şi, deoarece viteza de vibraţie este mică, forţa de frecare în orice moment este proporţională cu viteza la puterea I - a. În aceste condiţii, dacă elongaţia oscilaţiei la un moment dat faţă de poziţia de echilibru este r, coeficientul de amortizare este , iar constanta elastică de legătură este k, se poate scrie:

(5.21)

Ecuaţia de mai sus, care defineşte mişcarea periodică a particulei electrice, admite o soluţie de forma indicată mai jos pentru care se dau şi primele două derivate:

(5.22)

unde - este pulsaţia particulei sub acţiunea undei luminoase.Înlocuind (5.22), în (5.21), ecuaţia diferenţială devine:

(5.23)Se poate deduce de aici expresia elongaţiei momentane a particulei electrice sub acţiunea luminii:

(5.24)

Existenţa unui câmp electric variabil în timp prin dielectric, prin prezenţa undei luminoase, duce, conform celor tratate la capitolul Electrodinamica, la apariţia unui curent de deplasare

154

154

care cuprinde curentul de deplasare în vid şi componenta datorată polarizaţiei dielectricului, adică:

(5.25)

Cu rezultatele obţinute, curentul de deplasare în dielectric devine:

(5.26)

Din ultima egalitate, prin comparaţie, se observă că, pentru câmpul electric variabil în timp al radiaţiei luminoase, mediul transparent prezintă o permitivitate dielectrică relativă complexă de forma:

(5.27)

Se împarte, în relaţia anterioară, atât numărătorul cât şi numitorul prin constanta elastică a legăturii particulei în mediu k = m00

2. Se obţine:

(5.28)

Dacă în expresia anterioară se exprimă cele două pulsaţii şi 0 în funcţie de lungimea de

undă: , se obţine:

(5.29)

În expresia de mai sus, considerându-se existenţa unei singure specii a purtătorilor de sarcină, care sunt electronii, se fac notaţiile:

(5.30)

După cum se poate observa aceste două constante depind de natura dielectricului prin mărimile caracteristice cum sunt: n0j, m0j - concentraţia purtătorilor de sarcină şi tipul acestora prin masa m0j şi, de asemenea, prin coeficientul de amortizare . Înlocuind aceste constante în expresia anterioară, se obţine:

155

155

Atunci când lungimea de undă a radiaţiei luminoase este foarte îndepărtată de lungimea de Aceste situaţii sunt cele corespunzătoare porţiunilor A - B şi C - D din diagramele reprezentate în Figura 5.4. Pe aceste zone, indicele de refracţie este invers proporţional culungimea de undă a radiaţiei optice şi, deoarece raportul 0/ este neglijabil în comparaţie cu raportul 0

2/2, termenul complex din expresia (5.31) dispare şi relaţia respectivă devine:

(5.32)

şi este cunoscută sub denumirea de formula lui Sellmeier. În aceste zone dispersia se numeşte dispersie normală.În zona B - C, indicele de refracţie creşte brusc odată cu creşterea lungimii de undă. Diagrama de evoluţie este cea reprezentată punctat. Aceasta este zona în care lungimea de undă a radiaţiei luminoase se apropie de lungimea de undă a oscilaţiei proprii a particulelor mediului. Aceasta este zona în care se atinge condiţia de rezonanţă, = 0. Aceasta este zona caracteristică dispersiei anomale. În această zonă există un accentuat proces de absorbţie a energiei undei de către mediul dielectric, caracterizată printr-o discontinuitate a evoluţiei indicelui de refracţie. Discontinuitatea este însă numai aparentă, deoarece în relaţia lui Sellmeier a fost neglijat termenul complex, care se datorează amortizării mişcării oscilatorii a

n2 -1 C

ULTRAVIOLET

D

A

INFRAROSU

B

Figura 5.6

156

156

purtătorilor legaţi. Dacă ar fi luat în considerare şi acest termen, discontinuitatea, ca interpretare, ar dispărea. Dacă ar fi folosit un spectru foarte larg de lungimi de undă, ar apărea mai multe zone de dispersie anomală, în raport cu nivelul la care are loc polarizarea mediului dielectric, care, în general, este funcţie de caracteristicile acestuia şi de modul cum a luat naştere, prin purtătorii de sarcină pe care îi leagă.

5.4. ABSORBŢIA LUMINII Absorbţia este fenomenul de atenuare a energiei unei radiaţii electromagnetice în timpul trecerii sale printr-un mediu transparent. Energia absorbită se transformă în mediu în alte forme de energie. Fie We energia electromagnetică a unei radiaţii luminoase care intră într-un mediu oarecare. A fost definit fluxul energetic al undei, energia care pătrunde în mediu în unitatea de timp:

(5.33)

Ca şi puterea, fluxul energetic se măsoară în Watt (W).

e0 e e-de

x dx

d

Figura 5.7

Fie e0 fluxul energetic al radiaţiei incidente pe faţa AB a unui corp dielectric transparent, de grosime totală d, (vezi Figura 5.7) Pe parcurs, o parte din energia undei este transmisă, după cum am văzut, particulelor mediului. La o distanţă x de faţa de incidenţă AB, fluxul energetic ajunge la valoarea e. Considerăm la această distanţă o grosime infinitezimală dx din material, prin care fluxul energetic al unde scade cu de. Experimental s-a constatat că această scădere este direct proporţională cu grosimea străbătută dx şi depinde de natura materialului printr-un coeficient de proporţionalitate m - numit modul de extincţie. Acesta reprezintă variaţia relativă a fluxului energetic al radiaţiei luminoase pentru o distanţă unitară parcursă de aceasta printr-un mediu transparent oarecare. Se măsoară în m-1.Se poate deci scrie:

(5.34)Ecuaţia diferenţială de mai sus este cu variabile separabile şi, prin integrare, se obţine:

(5.35)

157

157

După cum se poate observa, modulul de extincţie m, valoarea indicată prin acoladă, reprezintă extincţia pe unitatea de grosime traversată de către unda luminoasă. Este o mărime dependentă de lungimea de undă. Dacă indicele de refracţie ca mărime complexă, se scrie sub forma:

(5.36) Cercetările experimentale au arătat că între coeficientul de absorbţie al unei substanţe, lungimea de undă şi modulul de extincţie, există relaţia:

(5.37)

Dacă se trasează pentru o substanţă dată curbele de variaţie ale indicelui de refracţie n şi ale coeficientului de extincţie în funcţie de lungimea de undă, într-o zonă în care există o bandă de dispersie anomală, se observă că, în acea bandă, unde procesul de absorbţie este maxim, indicele de refracţie face acel salt, reprezentat punctat în figura anterioară, în timp ce, pe aceeaşi bandă, coeficientul de extincţie prezintă un maxim. Aceste lucruri pot fi constatate în Figura 5.8.

Pentru soluţii, modulul de extincţie este proporţional cu concentraţia c, adică: (5.38)

unde - este coeficientul de extincţie molară.În aceste condiţii, legea absorbţiei, exprimată prin ultima relaţie din (5.35), devine:

(5.39)

cunoscută sub denumirea de legea lui Beer.

5.5. INTERFERENŢA LUMINII 5.5.1. Coerenţa undelor.Termenul de interferenţă.Condiţii generale de maxim şi minim de interferenţă. Analiza distribuţiei tabloului de interferenţă Interferenţa este fenomenul de suprapunere a două sau mai multe unde coerente într-o

anumită zonă din spaţiu ducând la obţinerea unui tablou staţionar de maxime şi minime de interferenţă. Se numesc coerente undele de acelaşi fel care au aceeaşi frecvenţă şi care îşi păstrează constant defazajul în tot timpul propagării. De gradul de coerenţă al undelor care interferă depinde staţionaritatea şi contrastul tabloului de interferenţă.

Datorită caracterului liniar al ecuaţiei diferenţiale generale a undelor, principiul superpoziţiei se poate aplica şi funcţia de undă rezultantă se poate obţine prin însumarea funcţiilor de undă ale undelor care se suprapun. Din aceleaşi cauze, dacă mai multe funcţii de undă sunt soluţii ale acestei ecuaţii şi suma lor este, de asemenea, o soluţie.

Considerăm cazul a două unde sinusoidale scalare, ale căror funcţii de undă sunt, respectiv: 1 1 1 1 2 2 2 2 a t a tsin ; sin (5.40)

n

n

O Figura 5.8

158

158

Folosind compunerea fazorială a celor doi fazori, amplitudinea rezultantă va fi:

A a a a a unde t 12

22

1 2 2 1 2 12 cos , : (5.41)

Ştiind că intensitatea medie a undei are expresia: I=(1/2)v2A2, vom obţine:

(5.42)

Figura 5.9

Din prima relaţie obţinută, rezultă că, pentru a obţine interferenţă, adică variaţii periodice ale intensităţii rezultante şi nu o distribuţie uniformă a intensităţii undei rezultante (cazul în care integrala ar fi nulă), este necesar a fi îndeplinită, în primul rând condiţia: 1 = 2 = , adică undele să aibă aceeaşi frecvenţă. În acest caz, ultima relaţie devine:

I I I I I 1 2 1 2 2 12 cos (5.43)Din această ultimă relaţie rezultă că, în funcţie de valoarea defazajului din paranteză, se va

obţine, în zona de interfernţă, o intensitate maximă (mai mare decât cea rezultată prin însumarea intensităţilor undelor componente) sau minimă, valori care vor varia periodic în funcţie de defazaj.

Împreună, aceste ultime două condiţii asigură condiţia de coerenţă care este in acelaşi timp şi condiţia generală de interferenţă.

Mai rezultă de aici că fenomenul de interferenţă nu rezultă prin simpla suprapunere a două unde oarecare, acesta fiind, de fapt, un fenomen de redistribuire a energiei în tabloul de

159

159

interferenţă, cu crearea de maxime, mai intense decât cele rezultate prin simpla adunare a energiei ambelor unde, precum şi minime de interferenţă, toate dispuse periodic.

Fie două surse punctiforme, S1, S2 care emit unde sinusoidale scalare sferice, de aceeaşi amplitudine. Aceste unde vor interfera într-un punct P suficient de îndepărtat încât să putem considera că undele se propagă practic pe aceeaşi direcţie. În momentul suprapunerii, cele două unde sunt descrise de ecuaţiile:

1 21

1

1 2

2

22 2 ar

tT

r ar

tT

rsin , sin (5.44)

Pentru a simplifica calculele, putem presupune că a1/r1 = a2/r2 a, aceasta din urmă fiind amplitudinea fiecărei unde, aproximată ca o undă plană, în punctul de interferenţă pe ecran, considerat la o distanţă suficient de mare de sursele punctiforme S1, S2.

Funcţia de undă care descrie rezultatul suprapunerii va fi:

(5.45)

A este amplitudinea rezultantă, iar este faza undei rezultante. Se observă că locul geometric al punctelor de fază egala (suprafeţele echifazice) este dat de ecuaţia:

r1 + r2 = ct, care reprezintă ecuaţia unei familii de elipsoizi de rotaţie, situaţi în jurul dreptei determinate de focarele S1, S2, în care se află sursele punctiforme.

Locul geometric al punctelor pentru care amplitudinea rezultantă A este constantă este dat de ecuaţia: r2 - r1 = ct, care descrie un sistem de hiperboloizi de rotaţie, având aceleaşi focare S1, S2. Se poate constata că:

(5.46)

unde: k = 0,1,2,.. Ultima egalitate din relaţia (5.46) exprimă şi faptul că primei amplitini nule (Am = 0) îi

corespunde o diferenţă de drum de o semiundă şi un defazaj: Amplitudinea

minimă de oscilaţie a corzii prinsă la capăt, pentru un instrument cu coarde, este rezultatul suprapunerii undei directe cu unda reflectată la acest capăt. Rezultă de aici că reflexia la un capăt rigid a unei unde mecanice se face cu pierdere de o semiundă (ca şi cum unda ar parcurge în plus un drum egal cu o jumătate din lungimea sa de undă) şi, corespunzător, un defazaj de 180o.

Relaţia dedusă pentru intensitatea medie a undei rezultante la capitolul anterior: I=1/2v2A2 permite determinarea condiţiilor de maxim şi minim de intensitate pe ecran, precum şi valorile de maxim şi minim de intensitate:

160

160

I I v A v a pentru r r k

I I v A pentru r r k

M M

m m

12

2 2 2 22 1 2

12

2 22 1 2

2 2

0 2 1

,

, (5.47)

Se poate remarca faptul că maximele de intensitate se vor forma pe ecran acolo unde există un număr par de semilungimi de undă (semiunde), iar cele de minim acolo unde diferenţa de drum este un număr impar de semiunde. În figura de mai sus a fost reprezentată pe ecran şi distribuţia intensităţii undei rezultante. Maximele, respectiv, minimele de interferenţă, pe ecran corespund punctelor de intersecţie a suprafeţei plane a ecranului de observaţie cu familiile hiperboloizilor de amplitudine maximă, respectiv, minimă.

5.5.2. Principiul Huygens-FresnelO undă, indiferent de tipul acesteia, reprezintă propagarea unei perturbaţii din aproape în

aproape, în întreg spaţiul dintr-un mediu dat. Dacă este o suprafaţă de separaţie, închisă care delimitează mediul în care se află sursa de unde, de un alt mediu, evident undele care se propagă în cel de al doilea mediu străbat, punct cu punct, suprafaţa închisă . O parte din energia undei primare se întoarce, la întâlnirea suprafeţei de separaţie, în mediul din care a pornit. Studiind astfel de fenomene, Huygens şi apoi Fresnel, şi-au pus problema dacă propagarea undelor în exteriorul suprafeţei închise , care conţine sursa, nu se reduce cumva la aceea a emisiei de unde asemănătoare de către nişte surse dispuse convenabil pe această suprafaţă. Acest lucru constituie conţinutul principiului Huygens-Fresnel:

perturbaţia care se propagă în exteriorul unei suprafeţe închise care conţine sursa este identică cu cea care se obţine suprimând sursa şi înlocuind-o, la un moment dat t, prin surse de acelaşi fel, convenabil repartizate, pe acea suprafaţă.

Considerând primare undele sferice emise direct de către sursa punctiformă S, vom considera ca fiind secundare undele de acelaşi fel emise de sursele S1, S2, .., Sn distribuite uniform, în Figura 5.10. pe suprafaţa închisă , care coincide cu suprafaţa de undă la momentul t.

Contribuţia lui Fresnel la principiul enunţat este că: undele secundare emise sunt şi coerente. Aceste surse emit unde de acelaşi tip atât în mediul al doilea, cât şi în primul mediu.

Primele vor fi undele transmise, sau refractate, iar celelalte undele reflectate. Suprafaţa de undă a undei transmise la un moment ulterior, t + dt, în mediul al doilea, va fi înfăşurătoarea tangentă exterioară , (o sferă de rază r(t + dt)), iar a celor reflectate , ambele tangente la suprafaţa de undă a undelor secundare emise în timpul dt.

Expresia matematică a acestei teoreme a fost dată de către Kirchhoff. El a obţinut expresia funcţiei de undă într-un punct exterior P, aflat pe suprafaţa , pornind de la condiţiile de vibraţie existente pe suprafaţa . Chiar dacă suprafaţa închisă are o formă neregulată oarecare, pentru distanţe de la sursa primară S la punctul P mult mai mari decât lungimea de undă, (ceea ce se întâmplă de cele mai multe ori), putem considera suprafaţa de separaţie ca fiind o sferă de rază R. Expresia funcţiei de undă pe sferă va fi:

(5.48)

Împărţim suprafaţa sferei în n elemente identice de suprafaţă dS fiecare. Un element de suprafaţă emite unde sferice secundare având expresia:

161

161

(5.49) unde, este unghiul dintre

direcţia vectorului de poziţie al punctului P şi versorul la elementul de suprafaţă dS considerat.

Ţinându-se cont de expresiile finale anterioare, pentru funcţia de undă în punctul P, Kirchhoff propune următoarea expresie:

(5.50)

După cum se poate observa şi din ultima relaţie, contribuţia în P a unui element de pe suprafaţa este cu atât mai mică cu cât este mai mare, adică cu cât punctul care marchează elementul ales este mai departe de cel mai apropiat element, marcat, în figură prin N.

Figura 5.10

n Rsin M r r+dr r1 r2

R d P S N r0 r

dS

162

162

Pentru a determina contribuţia în punctul P a undelor care trec prin , se divide această suprafaţă în n zone Fresnel de lărgime /2 care au fost obţinute trasând pe sfera cercuri de raze:

r r

r r r

r r r jj j o

1 0 2

2 1 2 0 2

1 2 2

2

.

. (5.51) cu centrul

în P.În figură este haşurat elementul de suprafaţă marcat prin punctul M, prin cercurile de rază r

şi r + dr. Conform figurii, putem scrie:

dS R Rd

r R R r R R r

2

22 20

2

0

sin

cos . (5.52)

Diferenţiind ultima relaţie, se obţine:

2r.dr=2R(R+r0)sind, sau Rsind=rdr/(R+r0) (5.53)

Cu această ultimă relaţie, elementul de suprafaţă devine: dS = 2Rr.dr/(R + r0). Funcţia de undă a undei elementare emise de zona de ordinul j, are în punctul P expresia:

(5.54)

Putem presupune că pe zona Fresnel considerată, unghiul j rămâne constant deoarece lărgimea acesteia (/2) este mult mai mică decât distanţa SP şi, în aceste condiţii, ultima relaţie devine:

Pi

jA

R ri t k R r

r

r

i AR r j

i t

r

r

i AR r j

vi

i t j

j

A

R r

i t i t

j

j

jR r

v

j

j

R rv j

R rjv

R rjv v

e dr e dr

er

re e

22

2

1

2

1 1

1

0

2

0

2

0 0

2

cos cos

coscos

Deoarece:

e e e i ei i i

P

A

R r

i tv T

T

j

j

R r jv

22

2

01

1

cos sincos

Scriind: rj = r0 + j/2, se obţine:

(5.55)

163

163

Funcţia de undă în punctul P datorată contribuţiei celor n zone Fresnel va fi:

P Pj

n

P

i t

Pn

n

j

A

R r

j

R rv

j

A e unde

A A A A A

A j n

1

1 2 31

1

0

0

1

1 2

, :

... ,

, , , ...,cos

(5.56)

Se poate observa că AP este suma unei serii alternative, ai cărei termeni descresc monoton datorită termenului cosj şi datorită faptului că R şi r0 sunt mult mai mari decât . Pentru calculul lui AP trebuie considerate ambele cazuri când n poate fi par sau impar.

Pentru un număr impar de zone Fresnel, se poate scrie:

(5.57)

Deoarece seriile sunt monoton descrescătoate, sumele din paranteze se anulează.Dacă numărul de zone Fresnel este par, se obţine:

(5.58)

în ultima aproximaţie s-a ţinut cont de faptul că termenii An -1 şi An nu diferă prea mult.Cele două rezultate obţinute pot fi înglobate într-o relaţie generală de forma:

Apentru n impar

pentru n parPA An

1

2 2 (5.59)

Pentru un număr foarte mare, practic infinit, de zone Fresnel, cosn -1 şi An 0, astfel încât: AP A1/2.

După cum se poate observa, totul se petrece ca şi cum amplitudinea undei din P ar fi determinată numai de undele secundare care provin doar de la prima zonă Fresnel.

Deoarece cos1 1, se obţine: A1 2A/(R+r0) şi funcţia de undă în P devine:

(5.60)

Din rezultatul obţinut se poate trage concluzia că, în adevăr, în funcţia de undă din punctul P se regăseşte rezultatul undelor secundare emise de sursele uniform distribuite pe suprafaţa închisă care conţine sursa primară de emisie S.

Acest rezultat ar fi putut fi obţinut şi direct, aplicându-se proprietăţile undelor sferice. Împreună, cele două rezultate, întrunesc o condiţie necesară privind valabilitatea

principiului Huygens-Fresnel.

164

164

5.5.3. Interferenţa şi coerenţa luminii. Lungime de coerenţăCondiţii generale de maxim şi minim de interferenţă Se numeşte interferenţă a luminii fenomenul de suprapunere a două sau mai multe unde luminoase coerente, într-o anumită zonă din spaţiu, având ca rezultat obţinerea unui tablou staţionar cu franje de maxim şi minim, care se repetă periodic, în acea zonă. Aşa după cum s-a arătat, interferenţa nu este pur şi simplu un fenomen de “însumare” a energiei luminoase a undelor care se compun cu zone de maxim şi minim. Fenomenul este mai complex, ducând la o redistribuire a energiei luminoase a undelor, cu maxime mai intense decât cele obţinute prin simpla însumare şi minime întunecate. Sunt coerente undele care au aceeaşi lungime de undă (frecvenţă, pulsaţie, etc.) şi care îşi păstrează neschimbată diferenţa de fază existentă în urma actului de emisie. Apariţia unei unde luminoase este rezultatul unui proces de dezexcitare spontană sau stimulată a unui atom, sau a unui sistem atomic aflat, într-o stare instabilă, pe un nivel energetic superior. Durata unui astfel de proces este aproximativ 10-9s. În urma unui astfel de proces este emis un tren de unde de aceeaşi frecvenţă. Condiţia de coerenţă se reduce, în aceste condiţii, la faptul că undele care interferă trebuie să facă parte din acelaşi tren de unde emise. Dacă undele care interferă se propagă prin aer (vid), diferenţa de drum optic dintre două unde aflate la extremităţile aceluiaşi act de emisie va fi: D = c = 3.108.10-9 = 0,3 m. Această mărime se numeşte lungime de coerenţă. Dacă diferenţa de drum optic dintre două unde care interferă este mai mare decât lungimea de coerenţă, înseamnă că cele două unde nu îndeplinesc condiţia de coerenţă şi fenomenul de interferenţă nu se produce. Între cele două situaţii extreme există posibilitatea suprapunerii a două unde parţial coerente. Dacă undele provin de la surse diferite, sau ajung în domeniul de suprapunere după ce străbat drumuri optice pentru care diferenţa de drum este mai mare decât lungimea de coerenţă, fluctuaţiile sunt total necorelate şi undele sunt mutual necoerente. Când se suprapun unde necoerente, fenomenul de interferenţă nu poate fi observat, intensitatea rezultantă fiind pretutindeni egală cu suma intensităţii undelor care se suprapun. Nu se observă fenomenul de interferenţă nici atunci când undele care se suprapun, deşi coerente, sunt polarizate în planuri reciproc perpendiculare. Gradul de coerenţă al undelor care se suprapun se regăseşte în gradul de stabilitate în timp a tabloului de interferenţă precum şi în contrastul existent între maximele şi minimele obţinute. Acest lucru este exprimat matematic prin coeficientul de vizibilitate, definit prin relaţia:

(5.61)

De asemenea, locul geometric al punctelor care oscilează în fază (suprafeţe echifazice) formează familii de elipsoizi de rotaţie, de ecuaţie r2 + r1 = ct. Considerăm două surse de lumină coerentă S1, S2 care emit în spaţiu radiaţii pentru care amplitudinea vectorului intensitate a câmpului electric este E0. Într-un punct P, având faţă de cele două surse vectorii de poziţie r1, respectiv r2, intensitatea rezultantă, conform expresiei deduse în paragraful de unde electromagnetice va fi dată de expresia:

(5.62)

165

165

unde E0P , amplitudinea rezultată în punctul considerat va fi, conform celor demonstrate în capitolul fenomene comune undelor, dată de expresia:

(5.63)

Înlocuind (5.63) în (5.64), se obţine:

(5.65)

Pornind de la această ultimă relaţie, se pot deduce condiţiile generale pentru maxim, respectiv minim de intensitate:

(5.66)

unde k = 0,1,2,…, este ordinul maximului sau minimului de intensitate.

5.5.5. Interferenţă cu franje nelocalizate în spaţiu. Dispozitivul Young Din cele discutate până acum reiese că, dacă două unde de aceeaşi frecvenţă se deplasează aproximativ pe aceeaşi direcţie şi au o diferenţă de fază care rămâne constantă în timp, ele pot interfera astfel încât va lua naştere un tablou de interferenţă oriunde în regiunea de suprapunere din câmpul de interferenţă. Demonstrarea unor astfel de efecte de interferenţă de către Thomas Young încă din 1801 a pus pe o bază experimentală fermă teoria ondulatorie a luminii. Prin experienţele sale, Young a reuşit pentru prima dată să măsoare lungimea de undă a luminii. El a lăsat să cadă lumina solară pe un mic orificiu S0, efectuat în ecranul A (vezi Figura 5.11). Aceasta, după difracţie, cade pr fantele S1 şi S2 din ecranul B. Undele difractate se suprapun la dreapta ecranului B. Figura următoare, făcută după un desen din 1830 al lui Young, reprezintă regiunea cuprinsă între paravanele B şi C. Zonele înnegrite reprezintă minimele de interferenţă, iar spaţiile albe reprezintă maximele. Dacă se priveşte razant dinspre latura din partea stângă a acestei figuri, se va remarca că, de-a lungul curbelor notate cu x, se produce o anulare a undei, curbele de maxim dintre ele apărând întărite. Dacă se aşează un ecran paralel cu A şi B, în câmpul de interferenţă, în cazul în care fantele S 0, S1 şi S2 sunt fante subţiri, lungi şi paralele între ele şi orizontale, S1 şi S2 fiind plasate la o distanţă d, comparativă cu lungimea de undă a radiaţiei incidente, se vor observa, alternativ, franje liniare de maxim şi minim de interferenţă, aşa cum este reprezentat în figura care urmează.

166

166

Pentru calcule, considerăm Figura 5.11. Fie D distanţa la care la care este plasat ecranul de observaţie E faţă de planul B al fantelor. Ne propunem să studiem starea de interferenţă într-

un punct P, aflat la distanţa zk, de axa pe care este plasată sursa S0. Vectorul de poziţie al punctului P este rk în raport cu mediatoare M a segmentului celor două surse şi face unghiul k faţă de axa de referinţă Oy. Fie , respectiv, , vectorii de poziţie ai punctului P în raport cu sursele coerente S1 şi S2.

k - este diferenţa de drum optic dintre cele două unde. Deoarece d << D (altfel nu ar mai fi îndeplinită condiţia Fresnel ca cele două unde să facă provină din acelaşi front de undă) şi faptul că studiul tabloului de interferenţă se face la distanţe mici faţă de mediatoarea segmentului care desparte sursele coerente, se va putea scrie:

(5.67)

unde k = 0,1,2,..Se observă că, pentru k = 0, z0M = 0, indiferent de valoarea lungimii de undă. Deci figura de interferenţă pe ecranul E prezintă o simetrie în jurul maximului central M care, întotdeauna, are culoarea sursei.Distanţa dintre două maxime sau două minime consecutive pe ecranul de observaţie se numeşte interfranjă i şi aceasta va avea expresia:

(5.68)

În conformitate cu această ultimă relaţie, franjele ar trebui să fie paralele şi echidistante. După cum se poate observa însă din Figura 5.12, care reprezintă un tablou staţionar de interferenţă obţinut cu o sursă roşie monocromatică, în realitate lucrurile nu stau aşa din mai multe motive: - este greu de obţinut un sistem ideal de fante dreptunghiulare fine şi apropiate la o distanţă comparabilă cu lungimea de undă a radiaţiei luminoase;

- franjele sunt distribuite pe hiperboloizi de rotaţie a căror intersecţie cu planul ecranului E nu poate da franje echidistante.

A B Pk

S1 r1 rk zk

r2 k

S0 d M y S2 k

D E

Figura 5.11

167

167

Figura 5.12

Aşa după cum a procedat pentru prima dată şi Young şi, cum se procedează şi acum experimental, prin măsurarea interfranjei i, din relaţia (5.68) se poate determina lungimea de undă. Incovenientul acestui tip de dispozitiv constă în faptul că franjele sunt slab iluminate şi mult prea apropiate între ele. 5.5.6. Interferenţă cu franje localizate în spaţiu(Surse coerente obţinute prin divizarea în amplitudine prin reflexie şi refracţie) Franjele colorate observate pe baloanele de săpun, pe petele de ulei aflate pe suprafaţa apei, sau pe alte pelicule subţiri transparente sunt rezultatul interferenţei. Mai cunoscute sunt două cazuri distincte:-interferenţa cu franje de egală înclinare;-interferenţa cu franje de egală grosime.5.5.6.1. Interferenţă cu franje de egală înclinare (Interferenţa produsă pe pelicule subţiri)

S1 S P1

1 R1 L1

R2

aer i i E A C d n r r r r r F aer B G T2 L2

T1

P2

Figura 5.13

168

168

Acest tip de interferenţă se realizează prin interferenţa razelor refrectate de cele două suprafeţe plan-paralele ale peliculei sau prin interferenţa razelor transmise (refractate).Se consideră o lamă transparentă, cu feţe plan paralele, de indice de refracţie n, aflată în aer, Figura 5.13. Fie d grosimea lamei. O sursă monocromatică întinsă S, emite radiaţii luminoase de lungime de undă, în aer, 0. Considerăm din această sursă întinsă, o sursă punctuală S1, care trimite pe faţa superioară a peliculei, sub unghiul de incidenţă i, raza 1. O parte din energia acesteia se reflectă pe direcţia R1 (cu pierdere de /2) la faţa superioară a peliculei, cealaltă parte se refractă, sub unghiul de refracţie r. Din unda refractată o parte se reflectă la faţa inferioară a peliculei (din nou cu pierdere de semiundă) şi se întoarce în mediul iniţial sub forma undei R2, cealaltă se refractă sub peliculă sub forma undei T1. Prin reflexia şi, din nou, refracţia la suprafaţa superioară a peliculei, rezultă o a doua undă transmisă sub peliculă T2. Sistemele convergente L1 şi L2 focalizează fasciculele de raze R1, R2, respectiv T1, T2 apărand fenomene de interferenţă.Cu datele prezentate în figura dublă de mai sus, ne propunem să studiem starea de interferenţă obţinută în lumină reflectată.Diferenţa de drum optic între R1 şi R2, va fi:

(5.69)

Urmărind notaţiile din figură, se poate deduce:

(5.70)

Înlocuind (5.70) în (5.59), se obţine:

(5.71)

Din această ultimă relaţie se poate observa că toate razele care cad sub acelaşi unghi de incidenţă i la faţa superioară a peliculei au aceeaşi diferenţă de drum optic şi, de aceea, toate, pe un cerc centrat pe normala de incidenţă starea de interferenţă va fi aceeaşi. Pentru razele T1 şi T2, diferenţa de drum este aceeaşi, numai că nu mai are loc pierderea de semiundă, adică:

(5.72)

Deoarece sursa S este o sursă întinsă ca suprafaţă, razele incidente la faţa superioară a peliculei sub acelaşi unghi i se înscriu pe generatoare conului de acel unghi. Surse punctuale diferite de pe sursa întinsă S care trimit raze sub acelaşi unghi i faţă de normala la stratul pelicular, vor da naştere, atât în lumină reflectată, cât şi în lumină transmisă, la stări interferenţiale identice. De aceea acest tip de interferenţă se numeşte cu franje de egală înclinare. Toate acestea se înscriu pe cercuri concentrice pe normala la peliculă, de raze diferite aflate în focarul principal imagine al sistemelor convergente L1 şi L2. Ele sunt cunoscute sub denumirea de inelele lui Heidenger. Acestea vor fi de maxim sau de minim de intensitate luminoasă după cum diferenţa de drum optic este un număr par, respectiv, impar de semilungimi de undă.

169

169

Figura .14

În Figura 5.14 se pot vedea inelele lui Heidinger obţinute la interferenţa luminii emisă de o lampă cu vapori de mercur după reflexia acesteia pe plăcuţe de mică.La incidenţă normală, diferenţele de drum optic aferente celor două situaţii, devin:

(5.73)

Se observă, de asemenea, că diferenţa de drum optic depinde de indicele de refracţie, care este o funcţie de lungimea de undă. Atunci când sursa S emite concomitent lungimi de undă diferite, sau este de lumină naturală, pentru un unghi de incidenţă dat, starea de interferenţă diferă de la o culoare la alta. Sistemul se comportă în acest caz ca un sistem dispersiv, franjele de interferenţă devenind irizaţii colorate, concentrate pe normala la stratul pelicular reflectător.

5.5.6.2. Interferenţa cu franje de egală grosime 5.5.7.2.1. Pana optică Dacă cele două feţe ale stratului pelicular tratat la paragraful anterior fac un unghi foarte mic între ele, ia naştere o pană optică. Considerăm o pană optică de unghi , care cuprinde între cele două feţe un mediu de transparent de indice de refracţie n. Pana este plasată într-un mediu transparent de indice de refracţie . Fie n - indicele de refracţie al mediului care formează pana, şi - unghiul acesteia. În Figura 5.15 s-au considerat două raze incidente 1 şi 2, sub unghiurile de incidenţă i1, respectiv i2 la suprafaţa superioară a penei.Razele reflectate şi , interferă, rezultând un tablou de interferenţă plasat în planul virtual imagine OP.Conform calculelor făcute la paragraful anterior, diferenţa de drum optic şi condiţia de maxim, pentru oricare din cele două situaţii considerate în Figura 5.15, pentru ordinul k al maximului de interferenţă în planul virtual semnalat, va fi:

170

170

(5.74)

Pentru incidenţă normală planul OP, după cum se poate observa din Figura 5.16, coincide cu faţa inferioară a penei, iar condiţia de maxim, pentru ordinul k de interferenţă, devine:

(5.75)

După cum se poate observa, pentru un ordin de interferenţă dat, diferenţa de drum optic este aceeaşi pentru aceeaşi grosime dk a panei optice în zona respectivă. Din această cauză franjele de interferenţă obţinute se numesc de egală grosime.

n

O dk dk+1 Pi

Figura 5.16

Pentru maximul de ordinul k+1, condiţia de maxim va fi:

(5.76)

Urmărind figura ultimă şi, ţinându-se cont că unghiul penei este foarte mic,pentru mărimea interfranjei se obţine:

(5.77)

S

C

1 2 i2 i2

i1 i1 A n O B P1 P2

P

Figura 5.15

171

171

Figura 5.17Interferenţa pe lame subţiri se obţine în natură cu surse de lumină nepunctiforme, întinse. Deşi razele de lumină provin din puncte diferite ale sursei, interferenţa se va produce totuşi datorită grosimiii reduse a peliculelor subţiri cum ar fi petele de ulei, sau benzină pe suprafaţa apei, sau a caldarâmului după ploaie.Interferometria optică are foarte multe aplicaţii tehnice şi industriale. Principiul penei optice, de exemplu, este folosit pentru verificarea planeităţii obţinute prin şlefuire a suprafeţelor optice. În acest scop, vezi Figura 5.17, se formează o pană de aer între o suprafaţă perfect plană - suprafaţa apei liniştite dintr-un vas, sau a mercurului, de exemplu - şi suprafaţa supusă verificării. Atunci când aceasta dn urmă prezintă abateri de planeitate (asperităţi sau defecte de prelucrare a planeităţii), franjele de interferenţă de egală grosime fiind, vor modela, la o scară mai mare defectele existente, reproducând forma defectelor întâlnite.

5.6. REFLEXIA ŞI REFRACŢIA LUMINII5.6.1. Reflexia undelor plane. Legile reflexieiSe numeşte reflexie fenomenul de schimbare a direcţiei de propagare şi de întoarcere a

undei în mediul din care provine la întâlnirea unei suprafeţe de separaţie cu un mediu diferit. În Figura 5.18 s-a considerat o undă plană având frontul de undă AB, care cade sub unghiul de incidenţă i faţă de normalele N, N`, la suprafaţa de separaţie dintre două medii diferite 1 şi 2, prin care unda se propagă, respectiv, cu vitezele v1, v2. O parte din energia undei este reflectată, sub unghiul de reflexie i, cu frontul de undă A1B1, cealaltă parte este refractată, sub unghiul de refracţie r, trecând în cel de al doilea mediu, frontul de undă fiind A2B2.

172

172

În timp ce punctul A al frontului de undă incident a ajuns în punctul I, punctul B mai are de străbătut, distanţa B'1I', pe care

o va străbate în timpul t = . Conform

principiului Huygens - Fresnel, fiecare punct, începând cu A, care ajunge la suprafaţa de separaţie , devine o nouă sursă de unde secundare de acelaşi fel, adică plane. Haşururile subţiri de pe figură repezintă fronturile de undă ale undelor secundare care iau naştere în diferite poziţii intermediare. În acest timp unda reflectată străbate, prin acelaşi mediu, distanţa I . În aceste condiţii, triunghiurile dreptunghice

haşurate şi sunt asemenea. Reflexia undelor verifică următoarele 2 legi:I.Întotdeauna unda reflectată se află în planul de incidenţă. Se numeşte plan de incidenţă, planul determinat de direcţia undei incidente şi normala la

suprafaţa de separaţie în planul de incidenţă.II.Unghiul de reflexie i este egal cu unghiul de incidenţă i: i = i'.

5.6.2. Refracţia undelor plane. Legile refracţiei. Reflexia totală internăSe numeşte refracţie fenomenul de schimbare a direcţiei de propagare la trecerea unei unde

prin suprafaţa de separaţie dintre două medii diferite.În Figura 5.18, prezentată la paragraful anterior, este redată şi unda refractată cu frontul de

undă A2B2. Unda de front de undă AB, care ajunge în punctul I şi care este refractată sub unghiul de refracţie r, străbate în acelaşi timp t, distanţa I = v2t. Putem deci scrie:

sini = A I/II' = v1t/II'; sinr = IA /II' = v2t/II', de unde se determină: sini/sinr = v1/v2 =n2/n1 = n21.

n2 r1 r2 r3=/2

n1

i1 i2 i3= i4> i4

S Figura 5.19

Sunt cunoscute două legi ale refracţiei:I.Unda refractată se află întotdeauna în planul de incidenţă.II.Când undele trec dintr-un mediu uniform în altul ele se refractă. Raportul dintre sinusul

unghiului de incidenţă şi sinusul unghiului de refracţie este egal, respectiv, cu raportul

B A1

A N N' B1

A'1 B'1

i i i i 1 I r I' 2 r r A'2

B2

A2

Figura 5.18

173

173

vitezelor de propagare ale undei în cele două medii şi cu indicele de refracţie relativ al mediului al doilea faţă de primul.

În Figura 5.19 s-a considerat suprafaţa de separaţie dintre două medii având indicii de refracţie absoluţi n2 < n1 (apă - aer, de exemplu). Conform celei de a doua legi a refracţiei, refracţia are loc cu îndepărtarea razei refractate de normală. Îndepărtarea acesteia creşte pe măsură ce unghiul de incidenţă creşte. Există un unghi, numit unghiul de incidenţă limită - , pentru care raza refractată iese razant, pe direcţia suprafeţei de separaţie. Valoarea acestuia este specifică celor două medii, fiind definit prin relaţia:

(5.78).

După cum se poate observa din aceeaşi figură, pentru o incidenţă sub un unghi mai mare decât unghiul limită, raza se reflectă, întorcându-se în mediul din care a venit.

Fenomenul este cunoscut sub denumirea de reflexie totală internă şi este foarte important datorită multiplelor aplicaţii tehnice care apar deoarece, la reflexia totală internă, coeficientul de reflexie devine unitar şi întreaga energie a undei incidente este recuperată. Aceasta face ca imaginea obţinută cu ajutorul periscoapelor, sau a binoclurilor sau monoclurilor, construite cu prisme pe un astfel de principiu, să fie foarte clară şi cu un coeficient de vizibilitate ridicat.

5.7. DIFRACŢIA UNDELORSe numeşte difracţie fenomenul de ocolire aparentă şi de pătrundere a undelor în umbra

geometrică a unor discontinuităţi ale mediului pe care îl străbat dacă dimensiunile acestora sunt comparabile cu lungimea de undă. Aceste discontinuităţi pot fi mici obstacole naturale (fire de păr, de praf, etc.), dar şi paravane sau diafragme cu fante mici de diferite forme .

O definire mai generală a fenomenelor de difracţie poate fi considerată următoarea:Abaterea unei unde de la direcţia iniţială de propagare atunci când aceasta traversează

obstacole sau orificii se numeşte difracţie.

5.7.1. Refracţia, interferenţa şi difracţia - analiză calitativăTipuri de difracţieConform definiţiilor date anterior, atât refracţia cât şi difracţia sunt fenomene de schimbare

a direcţiei de propagare a undei. Trebuie specificat însă că, în timp ce prin refracţie unda trece într-un alt mediu cu caracteristici diferite, difracţia apare la propagarea undei prin acelaşi mediu.

Trebuie remarcată, de asemenea, diferenţa specifică existentă între interferenţă şi difracţie. Interferenţa este rezultatul suprapunerii a două unde coerente, de cele mai multe ori provenite de la aceeaşi sursă primară, într-o anumită regiune din spaţiu. Difracţia este rezultatul recompunerii fronturilor de undă secundare care apar, conform principiului Huygens-Fresnel, la trecerea undei prin una, două, sau mai multe fante înguste. Ce diferenţă există atunci între figura de interferenţă şi cea de difracţie? Realmente, nici una. Din motive istorice, amplitudinea sau intensitatea câmpului produs prin suprapunerea contribuţiilor unui număr finit de surse coerente, discrete, se numeşte figură (câmp) de interferenţă. Amplitudinea sau intensitatea obţinută prin suprapunerea contribuţiilor unei distribuţii continue de surse coerente se numeşte, de obicei figură de difracţie. Se vorbeşte astfel de figura de interferenţă obţinută cu două fante sau de figura de difracţie obţinută cu o fantă largă. Se vorbeşte însă şi de o figură combinată, de interferenţă şi difracţie, obţinută cu două fante largi.

În cazul difracţiei se vorbeşte de difracţie de tip Fraunhofer sau de difracţie Fresnel.

174

174

Difracţia Fraunhofer este caracteristică situaţiilor în care sursa de unde este foarte îndepărtată de planul fantei, caz în care undele care interferă pot fi considerate plane şi paralele. Aceeaşi este şi situaţia în care aceste unde sunt făcute plane şi paralele prin intermediul diferitelor accesorii suplimentare.

Dacă nu se folosesc astfel de accesorii, sursa poate fi considerată punctiformă şi este destul de apropiată de planul fantei, atunci difracţia studiată este de tip Fresnel.

Vom face un studiu detaliat asupra primului tip de difracţie.

5.7.2. Difracţia Fraunhofer printr-o fantă dreptunghiulară Considerăm o fantă dreptunghiulară de lărgime d şi înălţime h asupra căreia cade o undă

plană de amplitudine A, suprafeţele sale de undă fiind, la incidenţă, paralele cu planul fantei, Figura 5.20. Pentru a deduce rezultatul, pe un ecran din spatele fantei, al suprapunerii fronturilor de undă care trec prin suprafaţa fantei, considerăm un element infinitezimal din aceasta, aflat la o distanţă x de o extremitate a fantei, de lărgime dx pe toată înălţimea, deci de suprafaţă: dS = h dx.

Conform principiului Huygens - Fresnel, frontul de undă elementar care trece prin elementul de fantă considerat se va recompune într-un punct P. Dintre toate direcţiile posibile, considerăm doar undele care se propagă pe o direcţie oarecare şi care se recompun într-un punct P nu prea îndepărtat de punctul P0 (sin , cos 1).

P0 se află pe normala la planul fantei. Dacă R este distanţa până la punctul de recompunere a undelor de fantă, putem scrie:

(5.79)

Frontul de undă total în P va fi:

d/2 x FANTA dx R R - xsin dS=h dx P

h O x O P0

d dx

Figura 5.20

175

175

(5.80) unde AP este

amplitudinea undei rezultante în P.

Dacă facem notaţia: A A pentru si u A APAhd d

Pu

u0 0 00

, : sin sin,

se observă că amplitudinea are un minim pentru sinu = 0 (cu u 0), adică (dsin)/ = k (k = 1, 2,..). Punctele în care amplitudinea este minimă sunt date

de relaţia: sin = k/d.Amplitudinea în P va fi maximă atunci când expresia sinu/u este maximă. Această expresie

este însă o funcţie care trece alternativ printr-un maxim pozitiv şi un minim negativ. În ambele situaţii se obţin maxime ale modulului, care sunt date de condiţia:

(5.81)

Este de remarcat că u = 0 este, de asemenea, un maxim, deoarece, în acest caz sinu/u = 1, care va fi şi condiţia de maxim-maximorum a amplitudinii. Ecuaţia (5.81) este o ecuaţie

transcendentă. Soluţiile ei pot fi determinate grafic din intersecţiile dreptei y = u cu funcţia y = tgu. De pe Figura 5.21 alăturată se poate vedea că aceste puncte au aproximativ valorile:

u (2k+1)/2 (5.82)

Ţinând cont de notaţia făcută pentru u, se obţine ecuaţia:

176

176

(5.83

Figura.5.21

Intensitatea undei în punctul P, fiind proporţională cu pătratul amplitudinii rezultante, se obţine:

(5.84)

a) b) c)

Figura 5.22

Distribuţia relativă a intensităţii, pentru diferite valori ale lui u, este reprezentată în diagrama din Figura 5.23. Se poate observa că intensitatea corespunzătoare maximelor succesive descreşte foarte repede, astfel încât maximul central (maxim - maximorum) conţine aproape toată energia undei difractate.

177

177

Figura 5.23Prin urmare, tabloul de difracţie prezintă franje paralele cu marginea fantei dreptunghiulare,

maximul central (de ordinul zero) având intensitatea cea mai mare.Pentru comparaţie, în Figurile 5.22.a), 5.22.b), 5.22.c) sunt redate tablouri staţionare ale

difracţiei radiaţiei roşii a unei surse monocromatice, respectiv:a) - la marginea unui semiplan opac;b) - pe un fir de păr;c) - pe o fantă dreptunghiulară foarte îngustă.

5.7.3. Difracţia Fraunhoffer printr-o fantă circulară-studiu comparativAnalog difracţiei printr-o fantă dreptunghiulară se studiază difracţia undelor plane paralele

printr-o diafragmă circulară de diametru d.

Figura 5.24Soluţiile frontului undelor difractate vor avea forma funcţiilor Bessel. Unghiurile

corespunzătoare minimelor nule de difracţie sunt date de condiţia:

(5.85) Ca şi

în cazul fantei dreptunghiulare, există un maxim central pentru = 0, înconjurat de maxime date de relaţia:

sin , , ; , ; , ; ...' ' m unde md 5 14 8 42 11 62 (5.86)

Intensitatea acestor maxime este mult mai mică decât a maximului central, aceasta descrescând cu creşterea lui .

178

178

Primul minim se produce pentru:

sin , ,

3 83 1 22d d (5.87)

În Figura 5.24 este prezentată figura de interferenţă obţinută cu razele difractate printr-o astfel de fantă circulară de diametru foarte mic, pentru o sursă punctiformă, monocromatică care emite în roşu.

5.7.4. Difracţia Fraunhofer prin două fante dreptunghiulareConsiderăm două fante dreptunghiulare, coplanare, identice, de lărgime a fiecare, separate

între ele printr-o zonă opacă de lărgime b, Figura 5.25. Considerăm un fascicul de unde plane şi paralele care cad sub incidenţă normală la planul fantelor. Undele difractate de fiecare dintre fante se propagă practic pe oricare dintre direcţiile existente în spatele fantelor. Considerăm, pentru analiza cantitativă propusă, doar undele care se propagă pe o direcţie oarecare, care face un unghi foarte mic faţă de direcţia undelor incidente şi se suprapun într-un punct P, foarte apropiat de P0.

Conform analizei făcută în paragraful anterior, amplitudinea rezultantă în punctul P a undelor difractate prin fiecare dintre fante va fi:

(5.88)

Între undele difractate de cele două fante pe direcţia apare o diferenţă de drum = (a+b)sin şi deci, un defazaj . Defazajul, amplitudinea rezultantă şi intensitatea undei

rezultante în P vor avea, respectiv, expresiile, vezi Figura 5.26.a:

(5.89)

Faţă de cazul unei singure fante, apare în plus acum termenul în cos2, care este datorat fenomenului de interferenţă a undelor coerente care provin de la cele două fante. Putem considera deci că există un fenomen de interferenţă a celor două unde care este modulat de

P r1

r2

a+b O P0

a b a

Figura 5.25

179

179

difracţia prin fiecare fantă. De această dată, maximele de interferenţă se determină din condiţia, vezi Figura 5.26.b:

(5.90)

în timp ce minimele de difracţie sunt date de condiţia:

sin k a (5.91)

largime fanta a (m) 1,5distanta 2 fante d (m) 6Numar total trasaturi 2lambda (m) 0,5

largime fanta a (m)

1,5

distanta 2 fante d (m) 6Numar total trasaturi 4lambda (m) 0,5

180

180

Figura 5.26.a, 5.26.b.

Figura 5.27

Deoarece a + b > a, rezultă că minimele de difracţie sunt mai distanţate decât maximele de interferenţă. Aşadar, pentru două fante, franjele de maxim sunt mult mai dese şi mai înguste decât în cazul unei singure fante, după cum se poate observa şi din Figura 5.25.

În Figura 5.27 sunt prezentate imaginile a două tablouri de interferenţă pentru un sistem de două fante pentru care deschiderea fiecărei fante este mult mai mare decât lungimea de undă a radiaţiei optice (în partea de sus) şi pentru care deschiderea este comparabilă cu lungimea de

181

181

undă (figura de jos). Se poate vedea, în figura inferioară, modularea în intensitate impusă de sistemul de fante.

5.7.5. Reţeaua de difracţieConsiderăm o placă plană, opacă în care, la distanţe egale cu b sunt practicate fante

dreptunghiulare, identice de lărgime a fiecare. Aceasta este o reţea de difracţie. Dacă pe o lungime L a plăcii sunt practicate N astfel de fante, se defineşte constanta reţelei n = N/L, ca fiind numărul de zgârâieturi practicate pe unitatea de lungime a plăcii. Tot constantă a reţelei de difracţie se numeşte şi mărimea inversă = L/N = 1/n = a + b.

Pe această reţea cade un fascicul de unde plane, paralele, coerente. Pe un ecran plasat în spatele reţelei se studiază figura de interferenţă a undelor provenind de la cele N fante care au fost toate difractate pe aceeaşi direcţie , puţin înclinată faţă de direcţia de incidenţă. Pornind de la rezultatul obţinut în paragraful anterior pentru N = 2 fante, putem arăta că amplitudinea rezultată datorită interferenţei va fi:

(5.92) Pentru N = 2, se

poate observa într-adevăr că rezultatul este acelaşi cu cel determinat în paragraful anterior. Figura de interferenţă este modulată de difracţia prin fiecare fantă.

Intensitatea rezultantă va fi in acest caz:

(5.93)

Maximele de interferenţă corespund condiţiei:(a+b)sink = k sink = k , k = 0, 1,2,.. (5.94)

cunoscută în fizică sub denumirea de condiţia de maxim de interferenţă pentru incidenţa normală pe o reţea de difracţie. Intensitatea acestor maxime este modulată însă prin primul termen de difracţia prin fiecare fantă.

Intensitatea rezultantă este minimă atunci când:

(5.95)

Din relaţia de mai sus trebuie excluse valorile k` = 0,N,2N,.., deoarece atunci relaţia trece în cea de maxim pentru interferenţă. Valorile posibile, din această cauză pentru k`, vor fi:

k` = 1,2,..,N-1,N+1,..,2N-1,2N+1,..

182

182

Aşa după cum se poate observa şi din diagrama distribuţiei intensităţii, Figura .28, rezultă că, între două maxime principale de difracţie, există N-1 minime de interferenţă, adică N-2 maxime de interferenţă, de intensitate mult mai mică însă (mai ales dacă N este foarte mare) şi dificil de pus în evidenţă experimental. Maximele principale sunt însă foarte pronunţate.

Figura 5.28

Figura 5.29

În Figura 5.29 sunt prezentate ordinele din figura de interferenţă a unei reţele de linii de difracţie (pe orizontală) în funcţie de numărul total de trăsături N (pe verticală). Se poate observa din figură îngustarea maximelor principale odată cu creşterea numărului total de linii. Creşte, de fapt, puterea de rezoluţie a reţelei.

183

183

5.8. DIFRACŢIA FRESNEL5.8.1. Introducere

5.8.1.1. Primele ipoteze. Definiţie. Principiul Huygens – FresnelTipuri de difracţie

Primul care şi-a pus problema difracţiei a fost Francesco Maria Grimaldi (1618 – 1663) care a observat pătrunderea luminii în spatele ecranelor opace, acolo unde, conform principiilor opticii geometrice nu ar fi trebuit să ajungă. Sunt considerate opace ecranele care nu conţin la suprafaţa şi în interiorul lor distribuţii de câmp asemănătoare cu unda difractată.

Dacă polarizarea este fenomenul care certifică transversalitatea undei luminoase, în condiţiile obişnuite ale studiului lor în optică, în fenomenele de difracţie polarizarea nu apare. Păre, de aceea, un fenomen rupt de contextul cunoştinţelor de până atunci. Neputându-l explica, el a definit fenomenul ca pe unul de dislocaţie, de difracţie, adică de transfer a energiei luminoase a unei surse în zona de umbră geometrică.

Fenomenul de difracţie a luminii era cunoscut de către Huygens (1629 – 1695) şi de către Isaac Newton (1642 – 1727). Deşi era partizanul teoriei ondulatorii a luminii, Huygens nu era şi cel al difracţiei. El a emis principiul care-i poartă numele conform căruia «Oorice punct de pe suprafaţa de undă la un moment dat poate fi considerat ca o sursă de unde secundare de acelaşi tip. Frontul de undă la un moment ulterior va fi înfăşurătoarea tangentă exterioară a frontului undelor secundare. » El a imaginat undele secundare ca fiind efective doar în punctul de tangenţă al învelitoarei lor comune, negând astfel posibilitatea fenomenului de difracţie. Cităm din spusele sale:

« Şi astfel vedem motivele pentru care lumina… este produsă numai în linii paralele astfel încât ea nu luminează nici un obiect decât dacă acesta se află în drumul dintre sursă şi obiect pe o astfel de linie »

În schimb, deşi admite difracţia, Newton nu a văzut în fenomenul de difracţie nici o justificare pentru teoria ondulatorie a luminii. Undele luminoase erau considerate atunci drept unde mecanice care se deplasau în atotcuprinzătorul eter cosmic.

Pentru a explica difracţia, Fresnel (1788 – 1827), aplică principiul Huygens. El adaugă principiului Huygens de construcţie a undelor faptul că « undele secundare interferă între ele, adică sunt coerente. » În această accepţie principiul este cunoscut în Europa sub numele de principiul Huygens – Fresnel:

« perturbaţia care se propagă în exteriorul unei suprafeţe închise care conţine sursa este identică cu cea care se obţine suprimând sursa şi înlocuind-o, la un moment dat, prin surse de acelaşi fel, convenabil repartizate, pe acea suprafaţă. »

Kirchhoff a fost cel care în anii 1882 - 1883 a demonstrat matematic faptul că acest principiu descrie corect propagarea rectilinie a radiaţiei luminoase în mediul omogen şi izotrop. El a fost cel care, pornind de la funcţia de de undă de pe suprafaţa de undă , sferică de rază R, deduce valoarea funcţiei de undă P într-u punct P situat la o distanţă r mult mai mare decât lungimea de undă faţă de sursa S :

unde dS este un element de suprafaţă de pe . În structura complexă a integralei de difracţie optică se poate observa că la mare distanţă

de ecranul perturbator, calculul amplitudinii radiaţiei difractate şi distribuţia franjelor depind de trei factori:

184

184

1. de funcţia de poziţie r + R care caracterizează geometria problemei;2. de funcţia complexă care caracterizează transmisia undei prin factorii

perturbatori în funcţie de geometria şi caracteristicile de material ale acestora;3. de factorul de oblicitate (înclinare) definit prin unghiul .

Pornind de la aceşti factori, se poate constata că difracţia optică este de trei tipuri: I. Fenomene de difracţie manifestate în planul focal – difracţia Fraunhofer

Acest tip de difractie, cel mai studiat de altfel, pentru aplicatiile sale multiple, intitulat si difracţie în lumină paralelă poate fi observat atunci când sursa este foarte îndepărtată, iar punctul P se află în planul acesteia. În aceste condiţii studiul se face în planul focal şi : axial = 0, f = 0 .

Se vorbeşte de difracţie Fraunhofer ori de câte ori sunt folosite lentile sau orice alte instrumente optice care deplasează sursa sau punctul P de observaţie la infinit.II. Difracţie în afara focarului – numită şi difracţie în lumină divergentă, sau

difracţia FresnelEste tipul de difracţie care apare atunci când variaţiile de punere la punct a

imaginii impun concomitent contribuţia axială axial 0 şi pe cea unghiulară unghiular 0.Difracţia Fresnel constituie problema câmpului de radiaţii în vecinătatea ecranului

perturbator, aproape de factorul de discontinuitate, distanţa de la acesta la punctul de observaţie fiind mică.

A fost depistată în literatură şi o a treia categorie de difracţie sub denumirea:Fenomene de difracţie manifestate de-a lungul axei principale a sistemului

5.8.1.2. Elemente de teoria elctromagnetică a luminiiElemente simplificatoare în studiul difracţieiCel care a demonstrat faptul că lumina este o undă electromagnetică a fost Maxwell

(1831 - 1879). Funcţia de undă satisface ecuaţia diferenţială a undelor, precum şi pentru componentele

câmpului electromagnetic:

unde:

este indicele de refracţie absolut al mediului, iar

este viteza luminii în vid. Obţinerea unei soluţii riguroase în problema difracţiei necesită rezolvarea ecuaţiei

diferenţiale a undelor cu impunerea condiţiilor la limită la suprafaţa corpurilor perturbative, ţinându-se cont de proprietăţile optice ale acestora.

Problema fundamentală a teoriei difracţiei optice constă în determinarea distribuţiei câmpului electromagnetic în întreg spaţiul pornind de la distribuţia surselor de lumină şi a obstacolelor care sunt presupuse cunoscute.

185

185

De asemenea, fenomenele de difracţie sunt independente de caracteristicile de material ale obstacolelor. Aceste două fapte constatate experimental sunt extrem de importante în teoria difracţiei deoarece permit introducerea unor ipoteze simplificatoare. În primul rând se poate înlocui funcţia de undă electromagnetică vectorială complexă cu o singură mărime ondulatorie scalară cu amplitudinea complexă , iar calculele pot fi simplificate în baza unor metode aproximative în care efectele de intercepţie parţială a undei de către obstacol pot fi tratate ca o problemă de microinterferenţă locală. Aceasta poate fi înlocuită la alegere cu una dintre cele două componente rectangulare , sau .

Important pentru teoria difracţiei în optică este că intensitatea luminii

să fie corect reprezentată prin

Pornindu-se de la forma reală a obstacolului, metoda poate fi constituită pornindu-se de la teoria lui Green.

Albert Einstein (1879 – 1955) a fost cel care a întregit punctul de vedere asupra undelor luminoase, eliminând necesitatea existenţei eterului pentru ca acestea să se poată propaga.

Sub denumirea de difracţie sunt grupate acum toate fenomenele care ţin de influenţa unui obstacol, a unei discontinuităţi care apare în calea unei unde. Aceasta poate fi marginea netă a unui ecran, o fantă de o formă oarecare decupată în ecranul opac, sau un fir de păr, de exemplu. Se numeşte opac ecranul care nu conţine la suprafaţa sa energie de tipul celei din unda purtătoare. De exemplu, pentru o radiaţia luminoasă, este considerat opac ecranul la suprafaţa şi în interiorul căruia

În prezentarea de faţă a difracţiei optice vom considera tot timpul fante, discontinuităţi mult mai mari, sau comparabile cu lungimea de undă. Pentru discontinuităţi a căror dimensiune este mai mică decât lungimea de undă, calculul trece în fenomene de difuzimetrie şi devine mult mai dificil. Toate calculele vor considera radiaţia optică la o distanţă mult mai mare de sursă şi de obstacol.

De la descoperirea lui Grimaldi, fenomenul de difracţie a fost remarcat la multe alte tipuri de unde: sonore şi ultrasonore, RX, fascicule de electroni, sau alte particule elementare aflate în mişcare.

5.8.1.3. Zonele Fresnel. Teoria lui Kirchhoff privind difracţia opticăLimitele modelului analitic KirchhoffO undă, indiferent de tipul acesteia, reprezintă propagarea unei perturbaţii din aproape în

aproape, în spaţiul dintr-un mediu dat. Dacă este o suprafaţă de separaţie, închisă care delimitează mediul în care se află sursa de unde de un alt mediu evident undele care se propagă în cel de al doilea mediu străbat, punct cu punct, suprafaţa închisă , constituindu-se în surse secundare de acelaşi tip.

Împreună, cele două rezultate, întrunesc o condiţie necesară privind valabilitatea principiului Huygens-Fresnel.

Un calcul simplu arată că pentru radiaţia de lungime de undă aflată aproximativ la centrul domeniului vizibil, pentru distanţe r, r0 = 1m, suprafaţa activă a primei zone Fresnel este de aproximativ 1 mm2. Principalele limite ale modelului analitic expus sunt următoarele :

- sursa S este redusă la una punctiformă cu o distribuţie sferică a frontului de undă ;

186

186

- nu se ţine cont de geometria fantei perturbatoare ;- nu se ţine cont de principiul complementarietăţii în interacţia fantă – imaginea

energetică din P ;- nu se ţine cont de structura de material a obstacolului.

5.8.2. Difractia Fresnel printr-o fantă circulară5.8.2.1. Studiul difracţiei prin divizarea circulară a frontului de undăSpirala lui CornuDin analiza făcută anterior a rezultat ca rolul determinant îl are amplitudinea primei zone Fresnel. Se poate, de aceea, divide aceasta în mai multe subzone. Un studiu cantitativ mai comod al difracţiei undei sferice printr-o fantă circulară se poate face prin compunerea vectorială a amplitudinii subzonelor. De exemplu, prin divizarea primei zone Fresnel în 8 subzone, de raze :

Diferenţa de fază dintre doi vectorii amplitudine a două subzone succesive va fi .

Amplitudinea fiecărei subzone scade odată cu creşterea factorului de înclinare. În Figura 7.30.a. este redată compunerea fazorială a amplitudinilor. Vectorul AB este rezultatul compunerii subzonelor pentru prima zonă Fresnel. Facând acelaşi lucru pentru a doua zonă, se obţine vectorul CD. Vectorul rezultant pentru primele două zone este AD.

Dacă numărul subzonelor ar tinde spre infinit, spirala Cornu ar tinde spre un continuum, aşa

cum se poate observa în Figura 5.30.b.

a. b.

Figura 5.30

5.8.2.2. Determinarea lungimii de unda cu ajutorul difracţiei Fresnel pe o fantă circulară Este prezentată o metodă de determinare a lungimii de undă a luminii monocromatice pe baza difracţiei de tip Fresnel produsă pe un orificiu circular.Problema principală în studiul cantitativ al difracţiei constă în calculul intensităţii undei în zona de difracţie, adică în regiunea aflată dincolo de obstacol. În principiu, pentru rezolvarea riguroasă a acestei probleme se utilizează ecuaţia undelor cu condiţii la limită date de caracteristicile obstacolelor.

187

187

Datorită dificultăţilor de ordin practic în acest mod de abordare, se foloseşte o metodă mai simplă bazată pe principiul Huygens-Fresnel, conform căruia: perturbaţia produsă de sursa S într-un punct P din exteriorul unei suprafeţe închise oarecare , ce conţine sursa în interior, este aceeaşi cu perturbaţia rezultată prin suprapunerea în P a perturbaţiilor datorate unei distribuţii continue de surse secundare coerente, punctiforme, distribuite uniform pe suprafaţa . Amplitudinea şi faza iniţială a undelor emise de o sursa secundară, ce provine de la un element de arie dS al suprafeţei , depind de caracteristicile undei primare în dreptul elementului dS.

În general, suprafaţa se alege astfel încât să coincidă cu suprafaţa de undă a undei primare la un anumit moment, astfel încât toate undele secundare să aibă aceeaşi fază iniţială (egală cu faza undei care se propagă din S în dreptul elementului de arie dS). În acest caz, amplitudinea undei secundare emise de elementul de arie într-un punct P aflat la distanţa r

(fig. 3) este de forma , unde A este amplitudinea undei primare în dreptul ariei

iar este o funcţie care depinde de unghiul format de versorul normalei la suprafaţa exterioară a elementului cu direcţia determinată de şi P.

Conform ipotezei lui Fresnel, funcţia este maximă pentru şi scade odată cu

creşterea unghiului , fiind nulă când .

Figura 5.31

Dacă între sursa S şi punctul de observaţie se interpune un ecran opac prevăzut cu deschideri, se consideră că amplitudinile undelor secundare sunt nule în dreptul ecranului iar în dreptul deschiderilor sunt aceleaşi ca şi în absenţa ecranului, Figura 5.31.

188

188

Figura 5.32

Această aproximaţie este permisă în cazul în care dimensiunile deschiderilor sunt mari în raport cu lungimea de undă a undelor utilizate. Amplitudinea undei difractate în zona de difracţie se determină apoi prin interferenţa în punctul de observaţie a undelor secundare aflate în dreptul deschiderilor din ecran.

La unele probleme de difracţie cu deschideri ce posedă simetrie axială, calculul amplitudinii rezultate din interferenţa undelor secundare poate fi simplificat cu ajutorul unei metode geometrice de divizare a frontului de undă în zone inelare, numite zone Fresnel.

În lucrarea de faţă se studiază difracţia luminii pe un orificiu circular.Fie CC’ orificiul de rază practicat într-un ecran E şi aflat la distanţa R faţă de sursa

luminoasă punctiformă S (Figura 5.32).Se consideră suprafaţa de undă sferică ce atinge CC’.Amplitudinea într-un punct oarecare P aflat la distanţa r de planul deschiderii poate fi

determinată astfel: se trasează sferele cu razele . Aceste sfere

delimitează pe suprafaţa zone inelare numite zone Fresnel.Fie punctele de intersecţie ale sferelor cu . Atunci

(5.96)

Deci undele care sosesc în P de la 2 zone Fresnel vecine sunt în opoziţie de fază.Se poate arăta că în punctul P se obţine un maxim de intensitate luminoasă când

orificiul lasă descoperite un număr impar de zone Fresnel sau minim de intensitate când orificiul lasă descoperite un număr par de zone Fresnel.

În contiunare se stabileşte legatura dintre numărul de zone Fresnel şi distanţa r.

189

189

se folosesc notatiile din Figura 5.33.

Figura 5.33

Însumând relaţiile (1) membru cu membru, rezultă:

.

Notând ; obţinen deci . (5.97)

Se aplică teorema cosinusului în triunghiul SCP.

Deoarece

iar

avem: . (5.98)

Deoarece unghiul este mic iar distanţa este mult mai mică decât R şi r, putem utiliza aproximaţiile:

(5.99)

şi putem neglija mărimea în relatia (5.99).Dezvoltând relaţia (5.98), se obţine:

Înlocuind în relaţia (5.97) rezultă:

(5.100)

sau

(5.101)

190

190

Relaţia (5.99) arată că numărul n al zonelor Fresnel depinde (pentru un orificiu de rază dată şi mărimi R şi fixe) numai de distanţa de la punctul de observaţie la ecranul E.

Figura 5.34

Relaţia (5.100) arată că produsul depinde liniar de distanţa şi este utilizată în lucrarea de faţă pentru calculul lungimii de undă , cunoscându-se raza a deschiderii circulare şi determinând experimental distanţele R şi precum şi numărul al zonelor Fresnel.Pentru exemplificare, în Figura 5.34 se prezintă câteva figuri de difracţie şi numărul corespunzător de zone Fresnel.

5.8.3. Teoria lui Sommerfeld asupra difracţiei opticePrincipiul lui BabinetModificări ale integralei Helmholtz – Kirchhoff

Condiţiile impuse în teoria lui Kirchhoff ca pe suprafaţa fantei ecranului opac atât funcţia de

undă cât şi derivata sa după o direcţie să fi nule sunt incompatibile matematic deoarece orice

soluţie a ecuaţiei tridimensionale se anulează în acest caz în tot spaţiul.

Aceste dificultăţi matematice au fost înlăturate de către Sommerfeld care a luat ca soluţie

sondă în locul unei funcţii sferice restrictive, funcţia Green corespunzătoare obstacolului. El

ajunge astfel la integrala Sommerfeld :

Aceasta are avantajul de a fi stabilită printr-un procedeu liber, nerestrictiv.

Conform cu integrala de mai sus calculul amplitudinii în punctul P este făcut prin evaluarea

unei integrale pe deschiderea din ecran. Conform lui Babinet dacă se notează această

amplitudine cu şi dacă deschiderea şi ecranul se schimbă între ele, atunci se calculează

191

191

o altă amplitudine . În absenţa oricărui ecran, amplitudinea radiaţiei optice în acelaşi

punct P va fi :

Această relaţie duce la principiul lui Babinet conform căruia câmpul electromagnetic observat

cu aperturi (deschideri) complementare se adună rezultând câmpul total al suprafeţei

deschise.

5.8.5. Refracţia, interferenţa şi difracţia - analiză calitativăTipuri de difracţieConform definiţiilor date anterior, atât refracţia cât şi difracţia sunt fenomene de schimbare

a direcţiei de propagare a undei. Trebuie specificat însă că, în timp ce prin refracţie unda trece într-un alt mediu cu caracteristici diferite, difracţia apare la propagarea undei prin acelaşi mediu.

Trebuie remarcată, de asemenea, diferenţa specifică existentă între interferenţă şi difracţie. Interferenţa este rezultatul suprapunerii a două unde coerente, de cele mai multe ori provenite de la aceeaşi sursă primară, într-o anumită regiune din spaţiu. Difracţia este rezultatul recompunerii fronturilor de undă secundare care apar, conform principiului Huygens-Fresnel, la trecerea undei prin una, două, sau mai multe fante înguste. Ce diferenţă există atunci între figura de interferenţă şi cea de difracţie? Realmente, nici una. Din motive istorice, amplitudinea sau intensitatea câmpului produs prin suprapunerea contribuţiilor unui număr finit de surse coerente, discrete, se numeşte figură (câmp) de interferenţă. Amplitudinea sau intensitatea obţinută prin suprapunerea contribuţiilor unei distribuţii continue de surse coerente se numeşte, de obicei figură de difracţie. Se vorbeşte astfel de figura de interferenţă obţinută cu două fante sau de figura de difracţie obţinută cu o fantă largă. Se vorbeşte însă şi de o figură combinată, de interferenţă şi difracţie, obţinută cu două fante largi.

În cazul difracţiei se vorbeşte de difracţie de tip Fraunhoffer sau de difracţie Fresnel. Difracţia Fraunhoffer este caracteristică situaţiilor în care sursa de unde este foarte

îndepărtată de planul fantei, caz în care undele care interferă pot fi considerate plane şi paralele. Aceeaşi este şi situaţia în care aceste unde sunt făcute plane şi paralele prin intermediul diferitelor accesorii suplimentare.

Dacă sursa este destul de apropiată de planul fantei şi nu se folosesc astfel de accesorii, atunci ea poate fi considerată punctiformă şi difracţia studiată este de tip Fresnel.

5.8.6. Dezvoltări ale difracţiei Fresnel5.8.6.1. Principiul holografiei opticeMetoda holografică a fost anunţată pentru prima dată în 1948 de către Denis Gabor care,

preocupat fiind de îmbunătăţirea imaginilor obţinute cu microscopul electronic, propune formarea imaginilor în două etape :

- înregistrarea frontului de undă provenit de la obiectul studiat ;- reconstituirea ulterioară în totalitate (holos – graphos) a acestuia ca amplitudine şi fază.Odată apărută sursa LASER, în 1962 Leith şi J. Upatnieks perfecţionează metoda.

192

192

Prima imagine este cea obţinută prin suprapunerea figurii de difracţie Fresnel produsă de obiect cu fasciculul de referinţă. Holograma nu reproduce imaginea obiectului, dar conţine toate caracteristicile de amplitudine şi fază care fac posibilă reproducerea acestuia. Gradul de înnegrire a plăcii holografice ţine de distribuţia câmpului luminos reflectat sau transmis de suprafaţa obiectului, iar faza de distanţa dintre franjele obţinute (interfranja). Iluminarea hologramei cu o sursă identică duce la apariţia imaginii holografice tridimensionale a acestuia ca urmarea a difracţiei fasciculului pe suprafaţa variabil înnegrită a hologramei. Se reconstituie astfel de fapt frontul de undă venit de la obiect. Metoda holografică are la bază principiul interferenţei fasciculului obiect cu cel de referinţă. Este necesară o înaltă coerenţă şi emulsii fotografice de înaltă rezoluţie (peste 1000 trăsături/mm).

5.8.6.2. Alte dezvoltăriConcluzii- Puterea de separare a instrumentelor optice este limitată de difracţia la marginile

lentilelor, a monturilor, a diafragmelor. Aceasta duce la limitarea posibilităţii de a obţine o imagine punctuală, stigmatică.

- În difracţia pe reţele, analiza speckle a granulării studiată cu ajutorul LASER prin metoda contrastului de fază.

Prima marea obiecţie care poate fi adusă teoriei Kirchhoff este aceea de a nu fi folosit6 funcţii scalare care să descrie complet câmpul electromagnetic, sau vectorul Hertz.

A doua este este că omite efectul perturbatoriu al formei la marginile deschiderilor, lucru completat prin justa alegere pe suprafaţa de integrare Green.

5.9. OPTICA - APLICAŢII7.9.1.FotometriePentru obţinerea unei fotocopii, se iluminează negativul transparent cu ajutorul unei lămpi cu filament incandescent, presupus punctiform. Lampa este plasată la înălţimea h1 = 1m pe verticala centrului plăcii fotografice, aşezată orizontal dedesupt şi are intensitatea luminoasă I1

= 40 candele.Timpul optim de expunere determinat pentru acest caz este t1 = 2s.O celulă fotoelectrică primeşte lumina de la aceeaşi lampă printr-o deschidere circulară cu diametrul D = 2,75 cm situată pe axul orizontal al lămpii. Celula pune în funcţiune un releu electric de temporizare care se declanşează în momentul în care fluxul luminos pe care-l primeşte depăşeşte valoarea = 0,2 lumeni.Se cere să se determine:a) fluxul luminos total emis de lampă;b) cu cât la sută este mai slabă iluminarea plăcii fotografice într-un colţ al acesteia faţă de iluminarea din centru ,dacă dimensiunile plăcii fotografice sunt axb = 40x70 cm;c) la ce înălţime faţă de placa fotografică trabuie plasată sursa pentru ca iluminarea în colţurile acesteia să fie maximă;d) care este distanţa maximă faţă de sursa luminoasă la care trebuie plasată fotocelula pentru a se declanşa releul de temporizare;e) care va fi timpul de expunere necesar în cazul în care se înlocuieşte sursa cu una având intensitatea luminoasă I2 = 30 candele, plasată la înălţimea h2 = 1,5 m deasupra unei plăci fotografice identice.

193

193

Rezolvare

S F xM

h

P

O a

bFigura 5.35

Schema montajului de expunere fotografică este reprezentată în Figura 5.35.a) Din expresia de definiţie a intensităţii luminoase se obţine fluxul luminos total definit ca fluxul luminos emis de sursă pe întreg tot spaţiul din jurul acesteia:

(5.102)

b) Expresia generală a iluminării pentru un colţ oarecare P al plăcii fotografice şi centrul O al acesteia (vezi figura) devine:

(5.103)

unde d este distanţa de la piciorul perpendicularei dusă din sursă pe suprafaţa iluminată la punctul respectiv.Folosind ultimele două expresii din (5.103), variaţia relativă procentuală a iluminării între cele două puncte va fi:

(5.104)

c)Iluminarea plăcii în punctul P va atinge un extremum atunci când prima derivată a expresiei generale a iluminării din relaţia (2) în raport cu h se anulează. Se obţine:

194

194

(5.105)

d)Pornind de la relaţia de definiţie (1), folosind notaţiile de pe figură, pentru iluminarea fotocelulei F, se obţine:

(5.106)

e)Pentru ca înnegrirea plăcii fotografice să fie aceeaşi este necesar ca energia luminoasă care cade de la cea de a doua sursă să fie aceeaşi cu cea primită de la prima sursă. Se obţine:

(5.107)

5.9.2. Dispozitivul YoungO sursă optică, filiformă, monocromatică S, aşezată la distanţa a = 5cm pe mediatoarea segmentului S1, S2 care uneşte cele doua fante, iluminează un dispozitiv Young simetric, plasat în aer. Distanţa dintre cele două fante ale dispozitivului este d = 0,2mm. Tabloul de interferenţă este studiat pe un ecran E paralel cu planul fantelor aşezat în spatele acestora. Se constată că, pentru o poziţie dată a ecranului, distanţa dintre două maxime consecutive este i1 = 2,5mm, iar dacă ecranul se translatează paralel faţă de poziţia iniţială cu D = 0,5m, distanţa respectivă devine i2 = 3,75mm.a)Să se determine lungimea de undă a radiaţiei emisă de sursă.b) In spatele fantei inferioare, perpendicular pe direcţia razei luminoase, se plasează o lamă de sticlă (ns=1,5) cu feţe plan paralele, de grosime = 10m. Coeficientul de transmisie prin lamă este T = 25% din fluxul energetic incident.Se cere să se determine:b1) cu cât şi încotro se vor deplasa pe ecran franjele luminoase;b2) coeficientul de absorbţie al sticlei din care este făcută lama;b3) raportul dintre intensitatea maximelor şi a minimelor de interferenţă pe ecran;

b4) coeficientul de vizibilitate al tablolui de interferenţă definit ca , unde IM, şi Im

reprezintă intensitatea maximelor, respectiv a minimelor de interferenţă pe ecran în situaţia dată.c) În dispozitivul iniţial, de la punctul a), se deplasează sursa, paralel cu poziţia iniţială, în sus pe distanţa b = 0,1mm. În calcule se va considera b<<a.

195

195

Se cere să se determine:c1) cu cât şi încotro se va deplasa maximul de ordinul k = 6 pe ecran;c2) lărgimea maximă a sursei monocromatice pentru care tabloul de franje pe ecran mai este vizibil.d) Ce se va observa pe ecran dacă întreg dispozitivul iniţial se cufundă complet în apă (n a = 4/3)?e) Se înlocuieşte sursa monocromatică care iluminează dispozitivul iniţial cu o lampă filiformă cu vapori de Hg care emite în domeniul spectral vizibil 400nm < < 650nm.Analizaţi modificările care vor apărea în tabloul de interferenţă pe ecran.f) Ştiind că indicele de refracţie al lamei de sticlă de la punctul b) variază cu lungimea de undă

conform relaţiei , valorile indicilor de refracţie pentru limitele spectrului vizibil de la

punctul f) fiind: nM = 1,52, respectiv nm = 1,5, se cere să se determine la ce distanţă de axa de simetrie a dispozitivului va apărea maximul de ordinul zero pentru lungimea de unda determinată la punctul a) în prezenţa lamei.

Rezolvare

a)În Figura 5.36 este reprezentată o proiecţie a dispozitivului Young în planul Oyz. Va fi studiată starea de interferenţă într-un punct de observaţie P aflat foarte aproape de axa Oy de pe ecran. Această condiţie este necesar a fi impusă deoarece, practic, intensitatea luminoasă a franjelor de maxim de interferenţă scade rapid odată cu îndepărtarea de axa de simetrie a dispozitivului. Se consideră că în acest punct se formează o franjă de interferenţă de maxim sau minim de ordinul k (k=0,1,2,3.., ). Vectorul de poziţie al punctului P este rk, iar unghiul pe care acesta îl face cu axa Oy este k.

z k P

r1

S1 rk

r2 zk

S k

O N M y S2 k

a D

Figura 5.36 Datorită simetriei dispozitivului, drumul optic al celor două raze până la fantele dreptunghiulare înguste S1 şi S2 sunt egale. Fie r1, respectiv r2, drumurile optice ale celor două raze de la fante până la punctul considerat P. Diferenţa de drum optic dintre aceste raze a fost notată cu k.În triunghiul dreptunghic S1NS2 se poate scrie:

196

196

(5.108)

iar în triunghiul dreptunghic OMP:

(5.109)Punctul P fiind foarte apropiat de axa Oy, unghiul k este foarte mic şi atunci se poate considera:

(5.110)Fie o lungime de undă oarecare a radiaţiei optice emisă în aer de sursa S.Din ultima relaţie (5.110) se determină poziţia maximelor şi a minimelor de ordinul k impunându-se condiţia de maxim sau minim de interferenţă, respectiv ca diferenţa de drum optic să fie un număr par sau impar de semilungimi de undă, adică:

(5.111)Din prima relaţie se poate observa că, pentru un dispozitiv Young simetric, întotdeauna maximul de ordinul zero este şi maximul central, formându-se pe axa de simetrie Oy a sistemului în punctul M. De asemenea, se mai poate trage de aici concluzia că maximul de ordinul zero se va forma pe ecran întotdeauna acolo unde diferenţa de drum este nulă.Distanţa dintre doua maxime sau două minime consecutive de interferenţă se numeşte interfranjă şi, ţinându-se cont de relaţiile (5.111), se obţine mărimea interfranjei:

(5.112)După cum se poate observa din ultima expresie obţinută, mărimea interfranjei nu depinde de ordinul de interferenţă considerat, adică franjele sunt paralele şi echidistante pe ecran. Conform acestor rezultate, franjele de maxim şi minim de interferenţă sunt linii paralele echidistante în orice plan paralel cu planul fantelor S1S2. În realitate, aceste franje sunt rezultatul proiecţiei unor hiperboloizi de rotaţie, avand focarele în S1, si S2, cu suprafaţa plană a ecranului de observaţie.Fie 0 lungimea de undă emisă în aer de sursa monocromatică S. Deoarece, conform datelor numerice ale problemei, mărimea interfranjei creşte, se poate trage concluzia că ecranul a fost indepărtat între cele doua poziţii. Se poate scrie:

(5.113)

Făcând diferenţa între cele două expresii din (5.113), se obţine:

(5.114)

Din ultima relaţie se determină lungimea de undă:

197

197

r1

S1

S

S2

e

Figura 5.37

b) După cum se poate observa din Figura 5.37, drumul optic al undei luminoase care trece prin lama de sticlă devine:

(5.115)încât noua diferenţă de drum pentru franja de interferenţă de ordinul k va fi:

(5.116)

Fie noua pozitie pe ecran a franjei de ordinul k. Ţinându-se cont de ultima expresie din (5.108), se obţine:

(5.117)

b1) Introducerea lamei de sticlă duce la deplasarea tabloului de franje pe ecran, simetria distrugându-se. Mărimea deplasării fiecărei franje este egală cu aceea a deplasării maximului de ordinul zero. Ţinându-se cont de cele afirmate la punctul anterior, noua pozitie a maximului de ordinul zero se obţine impunând condiţia ca, pentru acesta, diferenţa de drum optic să fie zero, adică:

(5.118)

Din rezultatul obţinut se observă că deplasarea sistemului de franje are loc în sensul fantei în dreptul căreia a fost introdusă lama transparentă. Mărimea deplasării este direct proporţională cu grosimea lamei şi cu indicele de refracţie al acesteia.

b2) Dacă e este grosimea lamei, legea absorbţiei (în zonele de absorbţie normală) pentru intensitatea şi fluxul energetic al radiaţiei optice se scrie:

(5.119)

În expresiile de mai sus reprezintă coeficientul de absorbţie spectrală.

198

198

Din cea de a doua expresie, se determină:

1,38.10-5 m-1.

b3)Expresia intensităţii radiaţiei luminoase în punctul P este:

(5.120)

unde E0P este amplitudinea rezultantă a undelor care interferă.Întreaga energie luminoasă a undei care trece prin fanta S1, conform principiului Huygens - Fresnel, se recompune în spatele fantei pe ecran şi, dacă amplitudinea vactorului undei incidente este E0, iar intensitatea I0, se poate scrie:

(5.121)

Ţinându-se cont de enunţul problemei, pentru unda care trece prin fanta S2, traversând lama de sticlă, se poate scrie:

(5.122) Maximele de

interferenţă vor apare acolo unde cele două unde oscilează în fază, amplitudinea rezultantă fiind suma amplitudinilor componente, iar minimele acolo unde oscilaţiile vectorului intensitate a câmpului electric (responsabil de senzaţia vizuală) sunt în antifază, amplidudinea rezultantă fiind diferenţ amplitudinilor componente.Ţnându-se cont de rezultatele din (5.121) şi (5.122), amplitudinea rezultantă a vectorului intensitate a câmpului electric pentru maxim, respectiv, minim, de intensitate în punctul P, va fi:

(5.123)

astfel încât intensitatea maximelor, respectiv, a minimelor de interferenţă în punctul P vor fi:

(5.124)

Raportul obţinut la acest punct va fi:

(5.124)

b4)Ţinându-se cont de rezultatul obţinut la punctul anterior al problemei, coeficientul de vizibilitate, va fi:

(5.125)

199

199

O astfel de valoare numerică, mare pentru coeficientul de vizibilitate, presupune un contrast suficient de ridicat pentru ca maximile şi minimele în tabloul de interferenţă să fie perfect vizibile.

c) c1) z P

b zk

r2 S

M y

a D

Figura 5.38Conform Figurii 5.38, vectorul pentru noua poziţie a sursei S, aflată acum în S’, face unghiul cu axa Oy. Deoarece sursa S’ nu mai ocupă o poziţie simetrică în raport cu fantele S 1 şi S2, apare o diferenţă de drum optic până la planul fantelor. Analog considerentelor de la punctul a), se poate scrie:

(5.126)

În aceste condiţii, diferenţa totală de drum optic va fi:

(5.127)Introducându-se (5.125) şi (5.117) în (5.127), se obţine:

(5.128)Conform deducţiilor de la punctul anterior, deplasarea fiecărei franje pe ecran este identică cu cea a deplasării maximului central, de ordinul zero. Pentru a determina noua poziţie

a acestuia, se anuleaza în expresia (5.125) diferenţa totală de drum

optic, obţinându-se:

(5.129)Din (5.129) se poate determina noua poziţie a maximului de ordinul zero pe ecran:

(5.130)Din (5.130) se poate observa că deplasarea sistemului de franje pe ecran are loc în sens contrar deplasării sursei. De asemenea, mărimea deplasării este direct proporţională cu depărtarea ecranului de observaţie de planul fantelor şi cu mărimea deplasării sursei şi invers proporţională cu distanţa sursei S faţă de acelaşi plan.

200

200

c2) Fie bM lărgimea maximă admisă fantei filiforme S, pentru care sistemul de franje mai este încă vizibil pe ecran. Faptul că acum sursa are o anumită lărgime face ca în fiecare punct, deci şi în punctul P să ajungă raze luminoase de la fiecare punct al sursei. Aceasta face ca, acelaşi maxim de ordin k, de exemplu, în virtutea deducţiilor de la punctul anterior c1), să apară deplasat pe ecran în funcţie de locul din sursă din care provin razele care interferă. Criteriul Rayleigh-Jeans spune ca doua franje alăturate mai sunt încă vizibile dacă apropierea dintre ele este măcar o jumatate de interfranja - i/2.Considerându-se sursa largă S aşezată simetric faţă de axa Oy a dispozitivului şi, ţinându-se cont de relaţia (5.125), se poate scrie:

(5.131)

Din ultimul rezultat obţinut se pot trage mai multe concluzii: - În primul rând, lărgimea admisă pentru sursă este cu atât mai mare cu cât lungimea de undă emisă de sursa care ilumineaza dispozitivul este mai mare. Aceasta este şi cauza pentru care, la determinarea lungimii de undă cu ajutorul dispozitivului Young, de cele mau multe ori se lucreaza în roşu.- În al doilea rând, lărgimea admisă pentru sursa filiforma este cu atât mai mare cu cât sursa este mai depărtată de planul fantelor.- În al treilea rând, lărgimea admisă este cu atât mai mare cu cât distanţa dintre fante este mai mică. Din păcate, din considerente mecanice, această distanţă d, nu poate fi oricât micşorată.

d)În mod normal se va modifica tot ceea ce depinde de indicele de refracţie. Din rezultatele obţinute la punctele anterioare se poate trage concluzia că vizibilitatea franjelor depinde de distanţa dintre acestea, conform criteriului Rayleigh - Jeans, pe care l-am enunţat. Din expresia (5.126) se poate observa că interfranja depinde direct proporţional de lungimea de undă. Dacă dispozitivul se introduce în apă, mărimea interfranjei devine:

(5.132)

Din ultima expresie se poate trage concluzia că mărimea interfranjei scade. Aceasta duce la o condensare a sistemului de franje pe ecran spre franja centrală, care şi ea se îngustează. Aceeaş energie luminoasă ste distribuită astfel pe o suprafaţă mai mică a maximelor de interferenţă ceea ce face ca luminozitatea acestora să crească. Creşte astfel contrastul şi deci vizibilitatea tabloului de interferenţă pe ecran.

e) După cum se poate observa din relaţiile (5.125), cu excepţia maximului de ordin zero, poziţia maximelor şi a minimelor de interferenţă pe ecran, pentru un dispozitiv Young dat, depinde de lungimea de undă. Pentru k = 0, diferenţa de drum şi deci z0 este nulă, indiferent de lungimea de undă. Are loc astfel o resuprapunere a tuturor culorilor în maximul central care va avea întotdeauna culoarea sursei S. Pentru k > 0, dispozitivul Young devine dispersiv. Maximele de interferenţă apar astfel colorate, cel mai apropiat de maximul central fiind primul violet. Cel mai îndepărtat este, pentru un ordin de interferenţă dat, roşul. De asemenea, pentru o culoare dată, depărtarea de maximul central este cu atât mai mare cu cât ordinul de interferenţă creşte.

201

201

Există un ordin de interferenţă kM pentru care poate apărea prima suprapunere a a unei lungimi de undă mari cu maximul de ordinul imediat superior pentru o lungime de unda mai mică, adică:

(5.133)

Din această ultimă relaţie se poate determina ordinul maxim de interferenţă de la care apar primele suprapuneri:

(5.134)

În realitate, în aceeaşi zonă se suprapun mai multe lungimi de undă, dar niciodată toate în acelaşi timp. Se obţin astfel maxime colorate în gri murdar sau alb de ordin superior.

f) Din datele problemei, se poate sintetiza:

(5.135)

Din cele două ecuaţii din sistemul (5.135), se determina valoarea coeficienţilor de proprţionalitate A şi B:

(5.136)

Cu valorile determinate pentru A şi B se poate calcula valoarea indicelui de refracţie pentru lungimea de unda 0 = 500 nm, determinata la punctul a):

(5.137)

Ţinându-se cont de relaţia (5.116), deplasarea faţă de axa de simetrie a maximului de ordinul zero va fi:

(5.138)

5.9.3. Oglinzile FresnelConsiderăm un sistem de oglinzi Fresnel format din două oglinzi plane O1 şi O2 care fac între ele un unghi foarte mic = .Sistemul este iluminat de o sursă filiformă monocromatică paralelă cu axa comună a oglinzilor, aşezată la distanţa r = 50cm în interiorul oglinzilor, care emite în aer o radiaţie verde având lungimea de undă = 500 nm.Ecranul pe care se studiază interferenţa este aşezat la distanţa R = 2m de aceeaşi axă comună a oglinzilor, paralel cu planul care conţine cele două surse imaginare.Se cere să se determine :a) mărimea interfranjei pe ecranul de observaţie;b) numărul de franje de interferenţă pe ecranul de observaţie;c) deschiderea maximă admisibilă a fantei sursă pentru care se mai observa franjele de interferenţă pe ecran;d) intervalul spectral admisibil în jurul lungimii de undă dată pentru care se pot distinge pe ecran franje de ordinul maxim kM = 10.

202

202

Rezolvare

E S R O2

D O1

S2 S1 rcos d

Figura 5.39

a) În Figura 5.39 S1 şi S2 reprezintă imaginile virtuale ale sursei S în oglinzile O1, respectiv O2. Acestea sunt simetrice faţă de oglinzi. După cum se poate observa din figură S, S1 şi S2 formează un triunghi isoscel înscris în cercul de rază r care a fost trasat punctat.Deoarece unghiul este foarte mic, se poate scrie:

Ţinându-se cont de rezultatele obţinute la problema tip cu dispozitivul Young, mărimea interfranjei va fi:

b) Săgetile celor doua raze care pornesc de la sursele virtuale S1 si S2 indică extremităţile câmpului de interferenţă pe ecranul de observaţie. Urmărindu-se figura, se poate deduce această lărgimea L:

Împărţind această lărgime la mărimea interfranjei, se obţine numărul total N de franje de interferenţă pe ecran:

c) Conform rezultatelor obţinute şi a interpretărilor de la dispozitivul Young, puncte luminoase diferite ale deschiderii fantei care reprezintă sursa luminoasa S, produc tablouri de interferenţă ale căror franje de acelaşi ordin sunt deplasate pe ecran. Conform principiului Rayleigh - Jeans, franjele alaturate vor putea fi văzute distinct numai dacă distanţa dintre ele este egală cel puţin cu o jumătate de interfranjă. Ţinându-se cont de acest lucru, mărimea dedusă pentru lărgimea maximă a sursei este data de relaţia:

203

203

unde a este distanţa de la sursa S la sursele virtuale S1, S2.Ţinându-se cont de aproximaţiile făcute anterior pentru valoarea funcţiilor trigonometrice pentru unghiuri foarte mici şi, urmărindu-se figura, se va obţine:

d) Fie intervalul spectral cerut. Conform condiţiei introduse mai sus, se poate scrie:

5.9.4. Prisma optica Un fascicul îngust de lărgime ( ) intră într-o prisma optică, având secţiunea un triunghi echilateral de latura a = 10cm, sub un unghi de incidenţă egal cu unghiul Brewster. Fasciculul cuprinde radiaţii optice având lungimile de undă cuprinse în domeniul spectral îngust, , + . Lungimea de undă aflată la mijlocul intervalului spectral iese din prismă sub acelaşi unghi Brewster. Pentru această radiaţie, indicele de refracţie absolut al prismei este

. Undele emergente din prismă sunt focalizate pe un ecran aflat în planul focal imagine al unui dispozitiv acromatic convergent, de distanţă focală f = 20cm, aşezat astfel încât axa sa optică principală să coincidă cu direcţia de emergenţă a radiaţiei de lungime de undă medie m. Ştiind că, pentru această lungime de undă, unghiul deviaţiei minime este egal cu unghiul de refringenţă al prismei, se cere:a)să se deducă expresia unghiului de deviaţie a unei radiaţii oarecare prin prismă;b)să se studieze în ce condiţii deviaţia prin prismă este minimă şi să se deducă expresia deviţiei minime prin prismă;c)să se calculeze deviaţia minimă, unghiul Brewster şi unghiul de refringenţă al prismei pentru lungimea de undă medie, dacă aceasta este plasată în aer;

d)considerându-se cunoscut coeficientul de refringenţă al prismei, se cere să se deducă

expresia dispersiei unghiulare;e)să se deducă expresia dispersiei liniare pentru ansamblul optic considerat;f)expresia puterii de rezoluţie a prismei în condiţiile de iluminare indicate;g)să se determine expresiile simplificate ale celor trei mărimi anterioare în condiţiile deviaţiei minime a unui fascicul optic monocromatic;h)deduceţi expresia puterii de rezoluţie la deviaţie minimă dacă întreaga faţă de intrare a prismei ar fi iluminată;i)valoarea minimă a grosismentului unghiular al blocului acromatic convergent aşezat după prismă în condiţiile în care un fascicul electromagnetic paralel, conţinând componentele întregului domeniu spectral vizibil 2537 A 7685 A iluminează întreaga faţă de incidenţă a prismei. Se va considera raza pupilei oculare r = 0,3mm.

204

204

Rezolvare A

a) i1-r1 A i2-r2

N1 N2

i1 i2 r2

r1 A

I T

B C Figura 5.40

În Figura 5.40 s-a reprezentat mersul unei unde oarecare prin prisma. Unda luminoasă intră, faţă de normala N1 la faţa de incidenţă AB sub unghiul i1 şi este refractată la această faţă sub unghiul r1, cu respectarea legii refracţiei a lui Snellius:

În relaţia de mai sus s-a considerat ca indicele de refracţie al aerului, în care se află prisma, este unu. Raza intră pe faţa de emergenţă AC a prismei sub unghiul de incidenţă r2 şi emerge din prismă sub unghiul i2 faţă de normala N2 la aeasta faţă. Şi în acest caz este respectată a doua lege a refracţiei:

Urmărindu-se Figura 5.40, unghiul de deviaţie totală dintre direcţia razei incidente şi a celei emergente din prismă, ca unghi exterior triunghiului I1I2M, poate fi scris:

Ultima egalitate a fost scrisă deoarece unghiul dintre cele două normale N1, N2 este egal cu unghiul A de refringenţă al prismei ca unghiuri de acelaşi fel cu laturile respectiv perpendiculare şi, de asemenea, primul este unghi exterior triunghiului I1I2N, adică

b) Din ultima egalitate se poate observa că deviaţia totală prin prismă depinde de unghiul de incidenţă, de unghiul de emergenţă şi de unghiul de refringenţă. Pentru o prismă dată, deviaţia depinde numai de unghiul de incidenţă i1 deoarece unghiul de emergenţă este legat de acesta. În aceste condiţii deviaţia totală va fi maximă atunci când prima derivată este nulă:Se obţine:

Ultima egalitate exprimă faptul că o variaţie infinitezimală într-un anumit sens a unghiului de incidenţă duce la o variaţie egală a unghiului de emergenţă din prismă, dar în sens trigonometric contrar. Excluzându-se sensul, şi considerându-se constanta de integrare nulă,

205

205

prin integrarea ultimei relaţii, se obţine că deviaţia prin prismă va fi maximă atunci când unghiurile de incidenţă şi de emergenţă prin prismă sunt egale, adică:

Ţinându-se cont de ultimul rezultat, din relaţiile anterioare se determină:

c) Ţinându-se cont de enunţul problemei, se obţine:

unde iB este unghiul Brewster.Dacă scriem legea refracţiei la faţa de incidenţă şi legea pentru definirea unghiului Brewster şi ţinem cont de ultimul rezultatul din (5.109), se obţine:

d) Dispersia unghiulară se defineşte ca fiind unghiul care separă la emergenţa din

prismă a două radiaţii, componente ale aceluiaşi fascicul incident, ale căror lungimi de undă diferă cu d.Diferenţiindu-se în raport cu lungimea de undă unghiul deviaţiei totale a radiaţiei la ieşirea din prismă, se obţine:

Diferenţiindu-se în raport cu lungimea de undă se obţine:

Înlocuind, se obţine

206

206

e)

x

fFigura 5.42

Din figură se poate observa că:

Ultima aproximaţie a fost posibilă deoarece unghiul care separă cele două lungimi de undă foarte apropiate este extrem de mic.

f)În Figura 5.42 este reprezentat mersul razelor de lumină prin sistemul optic pentru întreg fasciculul incident care, la intrare, are lărgimea . Urmărindu-se Figura 5.43, se poate observa că fasciculele emergente din prismă par a proveni de la o fantă fictivă de lărgime:

Dacă este lărgimea unei fante dreptunghiulare, teoria difracţiei Fraunhoffer printr-o singură fantă dreptunghiulară arată că punctele pe ecran de amplitudine minimă îndeplinesc condiţia:

unde k - este ordinul de difracţie, iar - este lungimea de undă.

A Fantă

fictivă L1 L2 2

207

207

1

Figura 5.43

Dacă este lărgimea unei fante dreptunghiulare, teoria difracţiei Fraunhoffer printr-o singură fantă dreptunghiulară arată că punctele pe ecran de amplitudine minimă îndeplinesc condiţia:

unde k - este ordinul de difracţie, iar - este lungimea de undă.

Conform aceleiaşi teorii, pentru ca două fascicule emergente pe două direcţii care fac între ele un unghi să fie văzute distinct, este necesar ca unghiul dintre ele să fie egal cu cel puţin unghiul corepunzător primului minim de difracţie.Ţinându-se cont de ultimele două ecuaţii, această condiţie devine:

Pentru unda care trece la minimă deviaţie, ultima egalitate devine:

Pentru un dispozitiv optic oarecare, puterea de rezoluţie se defineşte ca raportul dintre o lungime de undă şi diferenţa d faţă de o altă lungime de undă foarte apropiată care, trecând prin dipozitivul respectiv, în aceleaşi condiţii de incidenţă sunt văzute separat la emergenţa din acesta:

În situaţia prezentată, ţinându-se cont de relaţiile anterioare, se poate scrie:

g) La deviaţie minimă unde , expresiile simplificate ale celor trei mărimi devin:

h) Când întreaga faţă de intrare a prismei este iluminată, se poate scrie:

i) Grosismentul unui dispozitiv optic oarecare se defineşte ca fiind raportul dintre tangenta trigonometrică a unghiului 2 - sub care se vede imaginea unui obiect prin instrumentul optic şi tangenta trigonometrică a unghiului 1 - sub care s-ar vede acelaşi obiect direct, cu ochiul

208

208

liber, plasat în punctul de observaţie pentru vedere optimă. Dacă cele două unghiuri se încadrează în aproximaţia Gauss, fiind foarte mici, se poate scrie:

În cazul obiectelor apropiate, cum este şi în cazul nostru, expresia grosismentului, numit în acest caz grosisment convenţional, devine:

unde -este distanţa finită la care este plasat obiectul, iar y1-o dimensiune liniară a acestuia, de obicei înălţimea. De obicei se consideră = 0,25m, distanţa minimă de vedere clară pentru un ochi normal neacomodat.Teoria difracţiei Fresnel printr-o fantă circulară de rază r dă pentru primul inel întunecos raza:

În condiţiile problemei enunţate este necesar ca unghiul de emergenţă a celor două unde care să fie vizibile separat de către ochi este necesar să fie mai mare cel puţin egal cu deschiderea unghiulară a ochiului. Se poate scrie deci:

209

209