Numere “speciale”O lectie “Math + Fun!”

Ce este special cu

aceste numere?

Numerele din patratele mov?

Numerele din patratele verzi?

Numerele incercuite?

Atomii din Universul Numerelor

Doi atomi de hidrogen si unul de oxigen

H2O

2 3 4 5 6

7 8 9 10 11

12 13 14 15 16

17 18 19 20 21

22 23 24 25

13 Atom

3 5 Molecule2 7 Molecula

Urmatoarele numere sunt atomi sau molecule? Pentru molecule, scrieti atomii componenti:

12 = 22 3 Molecula13 =14 =15 =19 =27 =30 =32 =47 =50 =70 =

19 Atom33 Molecula2 3 5 Molecula25 Molecula47 Atom2 52 Molecula2 5 7 Molecula

Numar prim(atom)

Numar compus(molecula)

Exista un tipar pentru numerele prime ?

Numerele prime sunt din ce in ce mai rare, pe masura ce avansam, dar gasim mereu un alt numar prim mai mare decat unul fixat.

Se pare ca nr prime sunt distribuite aleator in aceasta lista.

Descoperirea lui Ulam73 74 75 76 77 78 79 80 81

72 43 44 45 46 47 48 49 50

71 42 21 22 23 24 25 26 51

70 41 20 7 8 9 10 27 52

69 40 19 6 1 2 11 28 53

68 39 18 5 4 3 12 29 54

67 38 17 16 15 14 13 30 55

66 37 36 35 34 33 32 31 56

65 64 63 62 61 60 59 58 57

Stanislaw Ulam aflat intr-o sedinta plicticoasa, a inceput sa scrie numerele in spirala si a descoperit ca numerele prime apar pe diagonale.

Distributia nr prime mai mici ca 60.000; se observa ca numerele prime apar pe diagonale si ca sunt din ce in ce mai rare pe masura ce ne departam de centru.

Trandafirul lui Ulam

Distributia nr prime mai mici decat 262.144.

Asa cum moleculele de apa se strang pentru a forma un fulg de nea, numere prime sunt distribuite sub forma unui trandafir (trandafirul lui Ulam) .

Sa explicam trandafirul lui Ulam!

2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

32 33 34 35 36 37

38 39 40 41 42 43

44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55

56 57 58 59 60 61

62 63 64 65 66 67

68 69 70 71 72 73

74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85

86 87 88 89 90 91

92 93 94 95 96 97

Daca asezam numerele intr-un tabel cu 6 coloane observam ca, exceptand pe 2 si pe 3, toate celelalte numere prime apar in coloanele numarul 4 si 6.

6k – 1 6k + 1distributie

Cele doua coloane ale caror numere sunt posibil prime sunt distribuite astfel daca la asezam in spirala.

Tema 1

2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

32 33 34 35 36 37

38 39 40 41 42 43

44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55

56 57 58 59 60 61

62 63 64 65 66 67

68 69 70 71 72 73

74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85

86 87 88 89 90 91

92 93 94 95 96 97

Colorati toate patratele care contin multiplii lui 5 si spuneti ce observati.

2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

32 33 34 35 36 37

38 39 40 41 42 43

44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55

56 57 58 59 60 61

62 63 64 65 66 67

68 69 70 71 72 73

74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85

86 87 88 89 90 91

92 93 94 95 96 97

Colorati toate patratele care contin multiplii lui 7 si spuneti ce observati.

Tema 273 74 75 76 77 78 79 80 81

72 43 44 45 46 47 48 49 50

71 42 21 22 23 24 25 26 51

70 41 20 7 8 9 10 27 52

69 40 19 6 1 2 11 28 53

68 39 18 5 4 3 12 29 54

67 38 17 16 15 14 13 30 55

66 37 36 35 34 33 32 31 56

65 64 63 62 61 60 59 58 57

Colorati toate numerele pare care nu sunt multiplii de 3 sau 5. De exemplu, colorati pe 4 si 14, dar nu colorati pe 10 sau 12.

Colorati multiplii lui 3. Folositi 2 culori diferite: una pentru multiplii impari (cum ar fi 9 sau 15) si alta culoare pentru cei pari (cum ar fi 6 sau 24).

73 74 75 76 77 78 79 80 81

72 43 44 45 46 47 48 49 50

71 42 21 22 23 24 25 26 51

70 41 20 7 8 9 10 27 52

69 40 19 6 1 2 11 28 53

68 39 18 5 4 3 12 29 54

67 38 17 16 15 14 13 30 55

66 37 36 35 34 33 32 31 56

65 64 63 62 61 60 59 58 57

Numere perfecteUn numar perfect este egal cu suma divizorilor sai, exceptandu-l pe el insusi. 6: 1 + 2 + 3 = 6 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28496: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Un numar abundent are suma divizorilor mai mare decat el.

36: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 = 55 > 36 60: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 10 + 15 + 20 + 30 = 96 > 60100: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25 + 50 = 117 > 100

Un numar deficient are suma divizorilor mai mica decat el.

9: 1 + 3 = 4 < 9 23: 1 < 23128: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 < 128

Tema nr.3: Abundent, Deficient sau Perfect?

Pentru fiecare din numerele de mai jos, scrieti divizorii lor, faceti suma lor si stabiliti daca sunt perfecte, deficiente sau abundente.

Intrebari “dificile”:

Numerele prime (de exemplu 2, 3, 7, 13, . . .)sunt abundente or deficiente?

Patratele nr.prime (32 = 9, 72 = 49, . . . ) sunt abundente or deficiente?

Puterile lui 2: se observa usor ca 4 (este divizibil cu 1 si 2), 8 (este divizibil cu 1, 2, 4), si 16 (este divizibil cu 1, 2, 4, 8) sunt deficiente. Sunt toate puterile lui 2 deficiente? De ce?

Numar Divizorii (exceptand numarul insusi) Suma divizorilor Tipul

12

18

28

30

45

De ce numerele perfecte sunt speciale?

Ce stim despre numerele perfecte

Orice numar perfect se termina in 6 sau 8.

10160 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Intrebari deschise privind numerele perfecte

Exista o infinitate de numere perfecte? (Cel mai mare, descoperit in 2009, are 120.000 cifre)

Exista numere perfecte impare? (Nu mai mici ca 10300)

1089: Un numar foarte specialExercitiu distractiv:

1. Luati orice numar de trei cifre in care prima si ultima cifra au diferenta mai mare sau egala cu 2; de exemplu, 335, dar nu 333 sau 332.

2. Scrieti rasturnatul numarul ales in pasul 1. (Exemplu: 533)

3. Acum aveti doua numere. Scadeti numarul mai mic din cel mai mare. (Exemplu: 533 – 335 = 198)

4. Adaugati la numarul obtinut in pasul 3 rasturnatul sau. (Exemplu: 198 + 891 = 1089)

Raspunsul va fi mereu 1089 !.

Alte numere “speciale”

De ce este 37 un numar special?

3 37 = 111 si 1 + 1 + 1 = 36 37 = 222 si 2 + 2 + 2 = 69 37 = 333 si 3 + 3 + 3 = 9

12 37 = 444 si 4 + 4 + 4 = 12

Cazuri in care nu conteaza daca adunam sau inmultim

Stim ca 2 2 = 2 + 2.Dar si:

1 1/2 3 = 1 1/

2 + 3

1 1/3 4 = 1 1/

3 + 4

1 1/4 5 = 1 1/

4 + 5

Daca ne jucam cu cifrele unui

numar:

198 = 11 + 99 + 88

153 = 13 + 53 + 33

1634 = 14 + 64 + 34 + 44

Iata o alta constructie speciala:

12 = 1112 = 121

1112 = 1232111112 = 1234321

111112 = 123454321

Tema 4: Alte numere speciale

11 + 3

1 + 3 + 51 + 3 + 5 + 7

1 + 3 + 5 + 7 + 91 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

13 + 5

7 + 9 + 1113 + 15 + 17 + 19

21 + 23 + 25 + 27 + 2931 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41

43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55

1 7 + 3 = 1014 7 + 2 = 100

142 7 + 6 = 10001428 7 + 4 = 10000

14285 7 + 5 = 100000142857 7 + 1 = 1000000

1428571 7 + 3 = 1000000014285714 7 + 2 = 100000000

142857142 7 + 6 = 10000000001428571428 7 + 4 = 10000000000

11 + 2 + 1

1 + 2 + 3 + 2 + 11 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

Continuati aceste sabloane si explicati ce le face speciale.

Tema 5: Raspunsuri speciale sau neasteptate

Puteti gasi ceva special in sectiunile urmatoare?

Ce este special in ceea ce urmeaza?

12 483 = 579627 198 = 534639 186 = 725442 138 = 5796

Calculati produsele:

4 1738 = _______4 1963 = _______18 297 = _______28 157 = _______48 159 = _______

Calculati produsele:

3 51249876 = ____________9 16583742 = ____________6 32547891 = ____________

Ce este special la 327?

327 1 = _____327 2 = _____327 3 = _____

Ce este special la 9?

1 9 + 2 = ___ 12 9 + 3 = ____

123 9 + 4 = _____

Numerele vazute drept cuvinte

0 Zero 1 One 2 Two 3 Three 4 Four 5 Five 6 Six 7 Seven 8 Eight 9 Nine10 Ten

Sa scriem numerele in cuvinte (vom prefera limba engleza). Iata cateva exemple:

12 Twelve 21 Twenty-one 80 Eighty3547 Three thousand five hundred forty-seven

EightFiveFourNineOneSevenSixTenThreeTwoZero

ThreeNineOneFiveTenSevenZeroTwoFourEightSix

OneTwoSixTenZeroFourFiveNineThreeSevenEight

EightFourSixTenTwoZeroFiveNineOneSevenThree

Tema 6: Numerele sunt cuvinte

0 Zero 1 One 2 Two 3 Three 4 Four 5 Five 6 Six 7 Seven 8 Eight 9 Nine10 Ten

Ordonare alfabetica

EightFiveFourNineOneSevenSixTenThreeTwoZero

ThreeNineOneFiveTen

SevenZeroTwoFourEight

Six

OneTwoSixTenZeroFourFiveNineThreeSevenEight

EightFourSixTenTwoZeroFiveNineOneSevenThree

Ordonare aflabetica Dupa lung.

Pare si impare (in ordonarea alfabetica)

Daca scriem in aceste liste numerele de la “zero” la “o mie,” ce numar va aparea primul/ultimul in acesta lista? De ce? Dar “un milion”?

Tema 7: Sa asezam cifrele

0 eorz 1 eno 2 otw 3 eehrt 4 foru 5 efiv 6 isx 7 eensv 8 eghit 9 einn

Scrieti (in limba engleza) in cuvinte fiecare numar si asezati literele in ordine alfabetica (ignorati cratimele si spatiile).

Veti descoperi ca 40 este un numar foarte special!

10 ent11 eeelnv1213141516171819

20 enttwy21 eennottwy2223242526272829

30 313233343536373839

40414243444546474849