Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu1Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu3.9. Probleme de rezolvat pe elipsoidul de rotaie3.9.1. Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic micSeconsidertriunghiulelipsoidicmic ABC(fig.3.17),adicuntriunghiacruilaturinudepesc60km,ncareunghiurile,amplasatepeosfermedieGauss13 de raz R, se consider a fi erori.Sepotcalcula,dinfigur,suprafeelefusurilorsferice ( ) , ( ) , ( ) AA BB CC funciedesuprafaa Satriunghiului sferic considerat''' ' '( )( )( )A BCAB CABC A B CAA S SBB S SCC S S S S= += += + = +Prin adunarea celor trei relaii se obine2 2( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 AA BB CC S R S S R t t + + = + = + .(3.136)Aceleai suprafee se obin i prin intermediul relaiilor222( ) 4400( ) 4400( ) 4400ggggggAAA RBBB RCCC Rttt===prin adunare rezultnd22( ) ( ) ) ( )200g g ggRAA BB CC A B Ct+ + = + + .(3.137)Prin egalarea relaiilor (3.136) i (3.137) se obine22 ( 200 ) 400 2g g g g gR A B C S t + + = + .13 Raza sferei medii Gauss se determin cu valoarea medie a laturii celor trei puncte care formeaz triunghiulFig.3.17. Excesul sfericCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu2Dacsenoteazcu c expresiadintreparantezeicu200 00 00cccct= atunciseobine expresia de calcul a excesului sferic2cc ccSRc = .(3.138)ncelemaimultesituaiintlnitenpracticageodeziccurent,suprafaa Satriunghiuluielipsoidicmicsenlocuietecusuprafaa ' S atriunghiuluiplan,iardacsenoteazcu ' (prim)elementeletriunghiuluiplancorespondentsepotobineurmtoarelerelaii pentru determinarea excesului sferic2 2 2 2' ' ' sin ' ' ' sin ' ' ' sin '2 2 2cc cc cc cc ccS a b C ac B b c AR R R Rc = = = = .(3.139)Ceea ce trebuie reinut este faptul c ntr-un triunghi elipsoidic mic ntotdeauna sumaunghiurilor este de 200g plus excesul sferic.3.9.2. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice miciCa i n plan, i pe elipsoid se pune n discuie rezolvarea unor probleme de baz. Unadintreacesteasereferladeterminarealaturilorunuitriunghicndsecunoscunghiuriletriunghiului i cealalt latur. Pentru rezolvarea acestei probleme se cunosc dou metode14:- Metoda Soldner sau metoda aditamentelor i- Metoda Legendre sau metoda dezvoltrilor n serie.Metoda SoldnerSe consider un triunghi situat peo sfer medie Gauss n care se cunoscvalorileunghiurilor ( , , ) A B C ilungimealinieigeodezice a.Trebuiessedeterminevalorilecelorlaltedou laturi ale triunghiului, b i c.MetodapropusdeSoldnerpentrurezolvareatriunghiuluielipsoidic mic (care este aproximat cauntriunghisferic)esteceadeanlocuitriunghiulelipsoidiccuun14 Exemple de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici att prin metoda Soldner ct i prin metoda Legendre,pe elipsoidul Krasovski i pe elipsoidul WGS 84, pot fi urmrite n cadrul paragrafului 8.2.1.9.BFig. 3.18. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice miciprin metoda SoldneraRo =bR| =cR =RCA' c' b' aCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu3triunghiplanncaressepstrezeunghiuriledarncaresemodificlaturile.Trebuiedecissedeterminerelaiadecalculacorecieicaretrebuieaplicatlaturiicunoscute pentru a obine valoarea ei n triunghiul plan dupcare serezolv triunghiul plandeducndu-sevalorilecelorlaltedoulaturi.nfinal,prinintermediulrelaieideduse,urmeaz s se determine valorile celor dou laturi n triunghiul elipsoidic mic.Pesferamedie,carenlocuietepesuprafeemicielipsoidulderotaie,teoremasinusurilor este reprezentat prin relaiilesin sin sinsin sin sin A B Co | = = .Dinprimaegalitatearelaieidemaisusiprindezvoltareanserieafuncieisinus(relaia (1.8)) se obine3232sinsin sin6sin sinsin6a aaAR Rbb BbRRo|= = =.n triunghiul plan, prin aceeai teorem, se obinesin 'sin 'A aB b= .Avndnvederecs-aconsideratcunghiurilenceledoutriunghiurisuntegale,din ultimele dou relaii se deduce c32'6aa aR= i32'6bb bR= sau, n general32'6sss s s AR= = .(3.140)MrimeasA senumeteaditamentulliniarallaturii s,deunderezultadouadenumire sub care este cunoscut metoda: metoda aditamentelor.Etapelecaretrebuiesfieurmritepentrurezolvareatriunghiuluielipsoidicmicconstau n efectuarea, n ordine, a urmtoarelor calcule15:- calculul excesului sferic cu una din relaiile (3.139);15ExempluderezolvareatriunghiurilorelipsoidicemiciprinmetodaSoldnerestedatncadrulparagrafului8.2.1.9.1.Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu4- compensareaunghiurilorntriunghiulelipsoidicmicprincalculareanenchideriii repartizarea ei, n mod egal, celor trei unghiuri:* * *( ) (200 )gw A B C c = + + +*3 * *; ;3 3w wA A B B C C fw = = = ,unde cu* * *, , A B Cs-au notat valorile unghiurilor reduse pe suprafaa elipsoiduluide referin;- calculul aditamentului liniar al laturii a i apoi a valorii laturii n triunghiul plan;- cuacestevaloricalculatesedeterminaditamenteleliniarealecelorlaltedoulaturi i apoi mrimea lor n triunghiul elipsoidic mic.3.9.2.2. Metoda Legendrencadrulacesteimetode,denumiteimetodadezvoltrilornserie,sepresupunecuntriunghisfericmicsepoaterezolvacauntriunghiplandacsepstreazegalitatealaturilorcelordoutriunghiuriiarunghiuriletriunghiuluiplanseobinprinmicorarea fiecrui unghi cu cteo treime din excesul sferic.Elementelecaresecunoscicelecareurmeazasedeterminasuntaceleaicalametoda Soldner de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici.Pentrudeterminareateoremeienunatemaisus,pentrunceput,sescrieteoremacosinusului n triunghiul sferic considerat (o particularizare a relaiei (1.12))cos cos cos sin sin cos A o | | = +de unde rezultcos cos coscossin sinAo | | = .(3.141)Utiliznddezvoltareanserieafunciei cos ,relaia(1.9),ineglijndtermeniidegradul V i mai mari, pentru numrtorul relaiei de mai sus se deduce' BFig. 3.19. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice miciprin metoda LegendreaRo =bR| =cR =R' C' AcbaCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu52 4 2 4 2 4cos cos cos 1 1 12 24 2 24 2 24o o | | o | | || | = + + + | |\ \ ,iar prin efectuarea calculelor, n condiiile propuse, se obine2 2 2 4 4 4 2 26cos cos cos2 24o | o | | o | + + = + .(3.142)naceleaicondiii,prindezvoltareanserieafunciei sin ,relaia(1.8),pentrunumitorul relaiei (3.141) se obine expresia2 2sin sin 16| | | | | += |\ sau12 2 2 21 1 11 1sin sin 6 6| | | | || | | | + += ~ + ||\ \ .(3.143)Avnd n vedere relaiile (3.142) i (3.143), relaia (3.141) devine2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 22 2 2cos2 24Ao | o | o | o | | | + + + + = +iar dac se au n vedere laturile triunghiului sferic2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 222 2 2cos2 24a b c a b c a b a c b cAbc bcR + + + + = +(3.144)n triunghiul plan corespondent, din teorema cosinusului rezult2 2 2cos '2a b cAbc + += ,(3.145)iar dac se calculeaz i valoarea sinusului4 4 4 2 2 2 2 2 22 22 22 2 2sin ' 1 cos '4a b c a b a c b cA Ab c+ + = = .(3.146)Revenind la relaia (3.144) se obine221cos cos ' sin '6A A bc AR= .(3.147)Din egalitatea ' ( ') A A A A = + prin dezvoltri rezult1cos cos ' ( ') sin 'ccccA A A A A= ,ceea ce nseamn c2 2cos ' cos 1 1 '( ') sin 'sin ' 6 3cc cc cc ccA A SA A bc AA R R = = =Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu6sau( ')3ccccA Ac = .(3.148)n acest fel afirmaia din propoziia iniial a fost demonstrat.Etapele care trebuie s fie urmrite pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic prinmetoda dezvoltrilor n serie constau n efectuarea, n ordine, a urmtoarelor calcule16:- calcululexcesuluisfericcuunadinrelaiile(3.139)calculndnitevaloriprovizorii pentru laturile triunghiului plan;- compensareaunghiurilorntriunghiulelipsoidicmicprincalculareanenchideriii repartizarea ei, n mod egal, celor trei unghiuri;- calcululunghiurilorntriunghiulplanprincorectareacelordepeelipsoidcuotreime din excesul sferic;- calcululcelorlaltelaturintriunghiulplancare,conformteoremei,suntegalecucele din triunghiul sferic.3.9.3. Transport de coordonaten capitolul anterior s-a prezentat modalitatea de a rezolva unele din problemele careaparpeelipsoidulderotaieianumeaceleproblemencareelipsoidulderotaiepoatefiaproximatcuosfermedieGauss(triunghiuriacrorlaturinudepesc60km).Cainplan,pentrudiverselecalculecaresefac(nspecialprelucrrialeobservaiilor)estenevoiede coordonate. Pentru a determina aceste coordonate se pun dou probleme fundamentale:- problemageodezicdirectcndsecunosccoordonatelegeodezicealeunuipunct, lungimea liniei geodezice ctre alt punct precum i azimutul acestei direciiisedetermincoordonatelegeodezicealeceluide-aldoileapunctprecumivaloarea azimutului invers.- problemageodezicinverscndsecunosccoordonatelegeodeziceadoupuncteisecautdeterminarealungimiilinieigeodezicedintreceledoupunctei a azimutelor (direct i invers).n prezenta lucrare, din punct de vedere teoretic, sunt prezentate i demonstrate ctevadin posibilitile de rezolvare a problemelor geodezice pe elipsoidul de rotaie. n capitolul 8al lucrrii, paragraful 8.2.2., sunt prezentate exemple de calcul i relaii utilizate pentru toatecazurile posibile:16 Exemplu de rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Legendre este dat n paragraful 8.2.1.9.2.Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu7- metodaLegendresauadezvoltrilornseriepentrucazuldistanelormici(maimici de 60 km);- metodaGausssauaargumentelormediipentrudistanemedii(maimicide600km);- metodaBesselmbuntitdeHelmertpentrudistanemari(maimaride20000km).3.9.3.1. Problema geodezic directSeconsiderdoupuncte1S i2S situatepeelipsoidulderotaie.Secunosccoordonatele geodezice1 1, B Lale punctului1S , lungimea s a liniei geodezice dintre cele doupuncte precum i azimutul A1 a liniei geodezice (fig.3.20).Prin rezolvarea problemei geodezice directe se vor determina coordonatele geodezice2, 2 B Lale celui de-al doilea punct precum i azimutul invers2A .Pentrurezolvareaacesteiproblemesecunoscdoumetode:metodadezvoltrilornserie i metoda argumentelor medii.3.9.3.1.1. Metoda dezvoltrilor n serieFig.3.20. Problema geodezic directa) b)Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu8Deoarecedifereneledelatitudine,longitudineiazimutntrepunctulcucoordonatecunoscute1S iunpunctoarecare2S depinddelungimealinieigeodezice,seaccepturmtoarele dezvoltri n serie MacLaurin (particularizarea relaiei (1.7))2 2 3 32 1 2 311 12 2 3 32 1 2 311 12 2 3 32 1 2 311 12 62 62002 6gB B s B sB B ss s sL L s L sL L ss s sA A s A sA A ss s s| | | | c c c | |= + + + + |||c c c\ \ \ | | | | c c c | |= + + + + |||c c c\ \ \ | | | | c c c | |= + + + + |||c c c\ \ \ (3.149)Termenii,pnla3s inclusiv,aiacestordezvoltriaufostdeduideLegendren1806, de unde provine cea de-a doua denumire a metodei: metoda Legendre.Pentru calculul derivatelor de ordinul I din relaiile de mai sus se consider triunghiulelipsoidic mic1' '' S SS(fig.3.20.b) unde1 1 1'' cos S S ds A M dB = = , deci31 111 1coscosA V BAs M cc | | = = |c\ .(3.150)n acelai triunghi elipsoidic mic1' '' sin cos SS ds A r dL N BdL = = = ,deci1 111 1 1 1sinsincos cosA V LAs N B c Bc | | = = |c\ .(3.151)Din relaia Clairaut (3.125) se poate deducesin sinsin tancosdA dL A AB BdL ds N B N = = ,iar dac, n continuare, se noteaz tan B t =se obine1 11 1 11 1sin sint V AA t As N cc | | = = |c\ .(3.152)Urmeaz s se determine derivatele de ordinul II22 3213 cos sinB dV AV A A Vs c dB sc c | |= |c c\ .Dac se noteaz ' cos e B q =prin derivarea funciei Vi prin nlocuirea24cMNV=sededuce relaia de calcul a derivatei de ordinul IICurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu922 2 2 11 1 1 21 11(3 cos sin )t BA As M Nq| | c= + |c\ (3.153)Cu notaiile5 51 1cos 10 ; sin 10 u s A v s A = = ,n limitele aproximaiilor fcute, se obin expresiile de calcul pentru coordonatelegeodeziceale punctului2Si a azimutului invers2 22 1 10 20 022 1 012 1 01( ) ''( )"200 ( )"gB B bu bu b vL L l vA A a v= + + + += + += + + (3.154)unde35 1102 410 1 1 120 2410 1 102 25 10115 1 10110 "310 "2110 "210 "cos10 "Vbct Vbct VbcVlc BVtacq== = == (3.155)Preciziarezultatelorobinutedepindedenumrultermenilorluainconsiderareladezvoltarea n serie: mai muli termeni rezultate mai precise.3.9.3.1.2. Metoda GaussAceast metod a fost elaborat de Gauss i ea poate fi aplicat pentru distane mici imedii,adicpentrudistanemaimicide600km.Metodasemainumetemetodaargumentelormediipentrucutilizeazvalorilemediialelatitudinilor,longitudiniloriazimutului.Prin aceast metod se caut s se determine valorile argumentelor medii2 1 2 1 2 1; ; 200gb B B l L L A A A = = A= ,(3.156)ncareargumentelemediisuntfunciedevalorilemediialelatitudinii,longitudiniiiazimutului, adicCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu10123( , , )( , , )( , , )m m mm m mm m mb f B L Al f B L AA f B L A==A=Procesuldedeterminareaargumentelormediiesteunprocesiterativ,ntr-oprimiteraieeledeterminndu-secuajutorulunorvaloriaproximativepentruelementelenecunoscute nc, valori care pot fi luate i de pe hart.Sealegeunpunct Clajumtateaarcului1 2S S .Punctul M,situatlalatitudineamedieseafllasuddepunctul C pentru cpol ecuatorM M >i decipol 1 minut ecuator 1 minut( ) ( )m ms s A > A .Latitudinile,longitudinilecelordoupuncteconsiderateprecumiazimutuldirectiinverspotfiexprimatenraportdecoordonatelepunctului Ciaazimutuluidin acestpunctallinieigeodeziceprindezvoltri n serie MacLaurin de forma2 2 3 32 2 32 2 3 32 2 32 2 3 32 2 32 8 482 8 482 8 48CCC CCCC CCCC Cs B s B s BB Bs s ss L s L s LL Ls s ss A s A s AA As s s| | | | c c c | |= + + + + |||c c c\ \ \ | | | | c c c | |= + + + + |||c c c\ \ \ | | | | c c c | |= + + + + |||c c c\ \ \ sau2 3' " "'22 3' " "'22 3' " "'22 8 482 8 482 8 48C C C CC C C CC C C Cs s sB B B B Bs s sL L L L Ls s sA A A A A= + + + += + + + += + + + + (3.157)2 3' " "'12 3' " "'12 3' " "'12 8 482 8 482 8 48C C C CC C C CC C C Cs s sB B B B Bs s sL L L L Ls s sA A A A A= + + + += + + + += + + + + (3.158)Avnd aceste relaii, se pot determina argumentele mediiFig.3.21. Metoda argumentelormediiCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu113' "'2 13' "'2 13' "'2 1242420024C CC CC Csb B B sB Bsl L L sL LsA A A sA A= = + += = + +A= = + + (3.160)Dinaceleairelaii(3.157)i(3.158)sepotdeduceexpresiilenecesarecalcululuivalorilormediialecoordonatelorgeodeziceiazimutulfunciedeelementelecarecaracterizeaz punctul C2 2" " 1 22 2" " 1 22 2" " 1 22 8 82 8 82002 8 8m C C C mm C C C mgm C C C mB B s sB B B B BL L s sL L L L LA A s sA A A A A+= = + ~ ++= = + ~ + += = + ~ + (3.161)n continuare se calculeaz derivatele, pentru nceput cele de ordinul I, plecnd de larelaiile cunoscute (3.65), (3.66) i (3.125)'''cossincossin tanCCC CCCC C CC CCC CA BBs MA LLs N BA B AAs Nc | |= = |c\ c | |= = |c\ c | |= = |c\ (3.162)DinrelaiiledemaisussepoateobservacderivateledeordinulInudepinddelongitudinecinumaidelatitudineiazimut,funciicarepotfiexprimateinraportdevalorile medii ale latitudinii i azimutului. tiind c, n general0 0' '0 0 0 0( , ) ( , )x yf x hy h f x y h f k f + + = + + +,atunci, de exemplu, pentru derivata de ordinul I a latitudinii se poate scrie''( , ) '{ ( ), ( )}C C C m C m m C mB B B A B B B B A A A = = + + i deci' '' '' '' '( ) ( )' '( ) ( )' '( ) ( )C m C m C mm mC m C m C mm mC m C m C mm mB BB B B B A AB AL LL L B B A AB AA SA A B B A AB Ac c | | | |= + + + ||c c\ \ c c | | | |= + + + ||c c\ \ c c | | | |= + + + ||c c\ \ (3.162)Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu123' ' " "3' ' " "3' ' " "' '8' '8' '8C m m mm mC m m mm mC m m mm ms B BB B B AB As L LL L B AB As A AA A B AB A c c | | | |= + ` ||c c\ \ ) c c | | | |= + ` ||c c\ \ ) c c | | | |= + ` ||c c\ \ ) (3.163)LundnconsiderarenumaiderivateledeordinulI,seobinurmtoareleexpresiipentru argumentele medii3'13'23'3( , )8( , )8( , )8m m mm m mm m msb s B B Asl s L B AsA s A B A= u += u +A= u + (3.164)iardacseiaunconsiderareicelelaltederivateseobinexpresiilegeneraledecalculaargumentelor medii (exprimate n secunde sexagesimale)2 1 12 1 22 1 3" ( )" cos [1] (1 )" ( )" sin [2] sec (1 )" ( 200 )" sin [2] tan (1 )m mm m mm m mb B B s Al L L s A BA A A s A B= = + A+= = + A +A = = + A + (3.165)n care" "[1] ; [2]m mm mM N = =i1 2 3, , ,[1] ,[2]m mA AA suntfunciide , ,mb l B adicdenecunoscutelecutate.Aceastanseamn c determinarea lor este posibil printr-un proces iterativ.3.9.3.2. Problema geodezic invers3.9.3.2.1. Metoda argumentelor mediiPentrurezolvareaproblemelorgeodeziceprinmetodaargumentelormedii,seconsiderdoupuncte1S i2S situatepeelipsoidulderotaie(fig.3.20).Secunosccoordonatele geodezice1 1, B Lale punctului1Si coordonatele geodezice2 2, B Lale punctului2S .Trebuiedeterminate,prinrezolvareaproblemeigeodeziceinverse,lungimeasalinieigeodezicedintreceledoupuncteprecumiazimutuldirect1A iinvers2A alinieigeodezice.Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu13Cuelementelecunoscutesepotdeterminadirectvalorilefunciilor1 2 3, , A AA ,[1] ,[2]m m din relaia (3.165) precum i valorile argumentelor1 22 1 2 1( )"; ( )";2mB Bb B B l L L B+= = = .Rezolvareaproblemeigeodeziceinverseprinmetodaargumentelormediiconstncalculul, pentru nceput, a valorilor1211cossin (1 ) ,[2]cos (1 ) ,[1]mmmmmBs A lbs A = + A = + A (3.166)dupcaresepoatedetermina,prinmprireacelordourelaiidemaisus,valoareaazimutului mediu12[1] 1 1arctan cos[2] 1mm mmA Bb + A= `+ A ).(3.167)ncontinuare,cuunadinrelaiile(3.166)sau,pentrucontrol,cuambele,sepoatecalcula lungimea liniei geodezice.nfinal,cuultimarelaiedin(3.165)secalculeazdiferenadeazimutiapoiazimutul direct i invers.3.9.3.3. Formule diferenialeFormulele difereniale, n geodezia elipsoidal, sunt acele relaii prin care se exprimvariaiacoordonatelorgeodezicealepunctuluiiS cucantitileidB iidL ,precumiazimutuliA auneiliniigeodezice,caretreceprinpunctulconsiderat,cucantitateaidA .Aceste variaii se datoreaz unor modificri care intervin n datele iniiale, adic modificareacoordonatelor geodezice ale punctului iniial1Si a azimutului iniial1A , ale liniei geodezice1s , cu mrimile1dB ,1dL ,1Ai1ds .CoordonatelepunctuluiiS iazimutulsuntfunciededateleiniialealereeleiideelipsoidul de rotaie utilizat (elipsoidul de referin), caracterizat prin parametrii si semiaxamare i turtirea geometric1 1 1; ; 200gi i iB B B L L L A A A = + A = + A = + A .(3.169)Formulelediferenialepotfiexprimatesubformgeneralcadiferenialetotalenfuncie de variabilele specificateCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu141 1 1 11 1 11 1 1 11 1 11 1 1 11 1 1iiiB B B B BdB dB dB ds dA da dfB s A a fL L L L LdL dL dL ds dA da dfB s A a fA A A A AdA dA dB ds dA da dfB s A a fcA cA cA cA cA= + + + + +c c c c ccA cA cA cA cA= + + + + +c c c c ccA cA cA cA cA= + + + + +c c c c c (3.170)Funcie de unde apar modificri, formulele difereniale pot fi- decategoriaI cndaparmodificrindateleiniiale(lungimeaiazimutullaturii de plecare, i coordonatele geodezice ale punctului iniial);- decategoriaaII-a cndaparmodificrinparametrielipsoiduluiderotaie(trecerea de la un elipsoid la altul).3.9.3.3.1. Formule difereniale de categoria I3.9.3.3.1.1. Formule difereniale de categoria I n cazul distanelorde pn la 200 250 kmSe consider dou puncte pe elipsoidul de rotaie1 1 1( , ) S B L i2 2 2( , ) S B L situateladistanasunuldecellalt (fig.3.22), cu1 1 2A A=i2 2 1A A =notndu-seazimutuldirecti,respectiv,inverspentrudireciaconsiderat.Pentrunceput,sepresupunecexistmodificri n datele iniiale, adic latitudinea, azimutuli lungimea laturii s-au modificat cu nite cantiti mici1 1, dB dA i ds .Trebuiessedeterminecareesteinfluenaacestormodificrisurvenitencoordonatelepunctului2S iaazimutului2A .Cualtecuvinte,trebuie s se determine valorile2 2, dB dLi2dA .n condiiile date i prin particularizarea 2 i =relaiile (3.170) devin2 2 22 1 1 11 1 12 2 22 1 1 1 11 1 12 2 22 1 1 11 1 1B B BdB dB ds dAB s AL L LdL dL dL ds dAB s AA A AdA dB ds dAB s AcA cA cA= + +c c ccA cA cA= + + +c c cc c c= + +c c c (3.171)Fig.3.22. Formule diferenialeCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu15Pentrudeducereaelementelormenionate,seconsiderpunctul'1S delatitudine1 1B dB +i longitudine1L , situat pe acelai meridian ca i punctul iniial (fig.3.22). Se roteteliniageodezic2 1S S pncndtreceprinpunctul'1S .nurmaacesteirotaiipunctul1S vaocupapoziia"1S .ncontinuaresedeplaseazpunctul"1S n'1S ,pelinia'1 2S S ,pstrndu-selungimea liniei geodezice s. n acest fel punctul2Sse deplaseaz n"2S . Se rotete acum liniageodezic' "1 2S S pncndseobineovaloareaazimutuluiegalcuceliniial1A .naceastsituaie,diferenadelatitudinedintrepunctele2S i"2S vafi211BdBBccieareprezintcontribuiamodificriilatitudiniipunctuluiiniialncoreciatotalcaretrebuieaplicatpunctului.Din figura 3.22 se poate deduce c" " '2 2 1 1 1 1 1"1 1 1 1 1cossinS S S S M dB AS S M dB A= == (3.172)Diferenele de latitudine dintre punctele" '2 2S Si, respectiv,'1 1S Spot fi determinate cuajutorulrelaiilorutilizatelarezolvareaproblemelorgeodezicedirecte(3.149),(3.150),(3.151) i a relaiilor de mai sus (3.172)" '2 2'1111 1 2211 1 22cos cos ,sin cos .S SSSMB B dB A AMMB B dB A AM = = n ipotezele prezentate, se poate considera egalitatea" " '1 1 2 2S S S S = , deci2 11 1 1 2 1 21 2(cos cos sin sin )B MdB dB A A A AB Mc= +c.(3.173)Seconsider,ncontinuare,ctriunghiul1 2S PS esteuntriunghisferic.Dinteoremacosinusului, relaia (1.2), rezult1 2 1 2cos cos cos sin sin cos l A A A A o = ,unde cu oa fost notat latura1 2S S .Dacseconsider cos 1 o = atuncirelaia(3.173),careexprimcontribuiavariaieilatitudinii, devine2 11 11 2cosB MdB l dBB Mc= c.(3.174)Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu16n continuare, n mod asemntor, se poate determina care este contribuia modificriilatitudinii punctului iniial n coordonatele celui de-al II-lea punct considerat (n longitudine).Se poate observa, din aceeai figur 3.22, c2 1L L l = +i deci2 1dL dL dl = + . Prin analogiecu relaiile precedente, utiliznd relaiile (3.149) i (3.151), se poate deduce2 1 1 1 2 1 1 1 211 2 2 2 2cos sin sin coscos cosL M dB A A M dB A AdLB N B N Bc= + =c11 1 2 1 22 2(cos sin sin cos )cosMdB A A A AN B= .Din acelai triunghi sferic rezult2 2 1 2 1sin sin sin cos cos sin cos B l A A A A o = +sau2 1 2 1 2sin sin cos sin sin cos cos B l A A A A o = .ncondiiile n care se consider, ca i n cazul precedent, cos 1 o =se obine relaiade calcul a valorii contribuiei n longitudinea punctului2Sa modificrii n latitudine.2 11 2 11 2sin tanL MdL l B dBB Nc=c.(3.175)Ultimacontribuieamodificriilatitudinii punctuluiiniialcuocantitatemiccetrebuie calculat este cea a azimutului invers.Setiecazimutulinversdiferdeazimutuldirectcu200glacareseadaugovaloaredatoratconvergeneimeridianelor, notat cu t n relaiile de mai jos, adic2 1200gA A t = + .ntr-untriunghielipsoidicmic,caceldinfigur,sepoate scrie relaia2sin cot tan B l t =de unde rezult2tan tan sin t l B = .Prin diferenierea acestei relaii se obine2 2 2 2 2sin tan coscos cosdt dtB l B dBt l= + .Presupunnd2cos 1 t = , relaia de mai sus devine2 2 2sin tan cos dt dl B l B dB = + ,Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu17sau prin considerarea relaiilor (3.175) i (3.174)2 2 2 2 21 2 2 2 11 2sin[(1 cos ) sin cos ]cosA ldB e B B B dBB Bc= +c.n final, prin efectuarea calculelor din paranteze, se ajunge la expresia2 2 2 21 2 2 11 2sin(1 sin cos )cosA ldB e B B dBB Bc= c.(3.176)nceleprezentatepnacums-adeterminatinfluenapecareoaremodificarealatitudiniipunctuluiiniial1S ncoordonatelepunctului2S inazimutulinvers.ncontinuaresecautssedetermineinfluenamodificriilungimiilinieigeodezicecuocantitatemic"'2 2( ) ds ds S S = ,latitudineapunctuluiiniialiazimutuldirectrmnndneschimbate,ncoordonatelepunctului2S iazimutulinvers.nacesteipoteze,variaialatitudiniiceluide-aldoileapunctesteegalcudiferenadelatitudinedintrepunctele2S i"'2S .Azimutulliniei"'2 2S S esteegalcu2200gA iconformrezolvriiproblemeigeodezice directe, relaia (3.165) n care se consider numai primii termeni ai dezvoltrii22 2 22cos cos [1]ccBds A ds A dsds M c= = c.(3.177)Asemntor se face raionamentul i pentru determinarea influenelor n longitudine iazimutul invers, rezultnd2 222sin[2]cosL Ads dsds Bc= ,(3.178)22 2 2sin tgB [2]Ads A dsdsc= .(3.179)Ultimulpascaremaitrebuiefcutesteacelaaldeterminriinflueneimodificriiazimutului1Acu valoareadA, aceast modificare producnd deplasarea punctului"2Sn'2S .n plan, lungimea curbei" '2 2S Sse determin cu o relaie de forma" '2 2 1S S s dA = .Pentru elipsoidul de rotaie, cazul prezentat, aceast relaie de determinare a lungimiicurbei se transform n" '2 2 1S S du mdA = = ,(3.180)Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu18n care m reprezint lungimearedus a liniei geodezice, adic o valoare pentru care relaiade mai sus este adevrat.Avnd n vedere faptul c valorile coreciilor difereniale ce se calculeaz sunt mici sepoate,ncontinuare,pentruzonaaflatnstudiu,aproximafiguraPmntuluicuosferderazmedieR.naceastsituaiesepoateaplica,ntriunghiulsfericconsiderat,teoremasinusului, relaia (1.11)1sin sinsin sin100gdu sR RdA = ,iardacsearenvederefaptulcpelngcoreciadiferenial1dA ivaloareaduRareovaloare mic se deduce c1sin sdu RdAR= .(3.181)Prinegalarearelaiilor(3.180)i(3.181)seobineexpresiacucaresepoatecalculavaloarea redus a liniei geodezicesin sRRm = .(3.182)Variaialatitudiniipunctului2S datoritvariaieiazimutului1A vafiegalcudiferenadelatitudinedintrepunctele" '2 2S S iprinconsiderarearelaiei' "2 22300gSSA A = +rezult21 2 2 11sin [1]BdA m A dAAc= c (3.183)i analog2 21 2 11 2sin[2]cosL m AdA dAA Bc = c.(3.184)Valoarea211AdAAcc, adic influena azimutului invers provocat de variaia n azimutuldirect, se deduce plecnd de la constatarea c ea este alctuit din dou componente:- din corecia1dAraportat la lungimea corectat a liniei geodezice1dmdAds;(3.185)Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu19- dincoreciadatoritvariaieiconvergeneimeridianelor,variaieprovocatdedeplasarea punctului2Sca urmare a variaiei azimutului direct.Seconsiderliniageodezic1 2S S(fig.3.23). Prin variaia azimutului direct1Acucantitatea1dA punctul2S sevadeplasanpoziia' '2 2 2 1( ) S S S mdA = .n situaia n care2 1200gA A A A = A= + rezult22 2 2 2 11sin cos [2] tanLdA d A dA B m A B dAAc= A= cdeci n final calculul coreciei totale se poate efectua printr-o relaie de forma21 1 2 2 2 11cos [2] tanA dmdA dA m A B dAA dsc= c.(3.186)Avnd n vedere relaia (3.182), expresia de mai sus se mai poate scrie sub formacosdm sds R= ,i deci21 1 2 2 2 11cos sin cos [2] tanA s sdA dA R A B dAA R Rc= c.(3.187)O expresie simplificat se poate obine dac se fac urmtoarele aproximaii22cos 12sins sR RR NsR sR= ~~n acest caz, relaia (3.187) se mai poate scrie sub forma221 1 1 2 2 1 21 2[2] tan2A sdA dA dA s B dAA Nc= c.(3.188)Prinnlocuirearelaiilor(3.174),(3.175),(3.176),(3.177),(3.178),(3.179),(3.183),(3.184)i(3.187)nrelaia(3.171)seobinexpresiiledecalculadiferenialelorncoordonate geodezice ale punctului2Si a azimutului invers.Fig.3.23. Corecia datorat variaieiconvergenei meridianelorCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu201 22 1 2 12 2 21 2 22 1 2 1 12 2 2 2 22 2 2 22 2 2 1 22 222 2 22 2coscos sin sinsin cossin tan sincos cossin sin(1 sin cos ) tancos1 cos tan2cc cccc ccccM A R sdB l dB ds A dAM M M RM A A R sdL dL l B dB ds dAN N B N R BA ldA e B B dB B dsB Ns sA BN N = += + = +| |+ |\ 1dA (3.189)3.9.3.3.1.2. Formule difereniale la categoria I n cazul distanelor mici(40 50 km)n cazul distanelor mici formulele difereniale de categoria I, date de relaiile (1.189),potfisimplificateprinaproximareafiguriiPmntuluicuosferiprinconsiderareaegalitiintrelungimearedusalinieigeodeziceilungimealinieigeodezice ( ) m s = .Conform acestor aproximri, se deduc urmtoarele:- ncazuluneisfererazeledecurburaelipselormeridiane(acumcercuri)nceledou puncte considerate sunt egale1 2( ) M M = , deci relaia (3.174) devine21 11cosBdB l dBBc= c. (3.190)- Relaia (3.175) devine21 2 11sin tanLdL l B dBBc=c.(3.191)- ConsiderndcPmntulesteaproximatcuosfernseamncprimaexcentricitate numeric este zero ( 0) e =deci relaia (3.176) se va scrie astfel21 11 2sincosA ldB dBB Bc=c.(3.192)- n situaia acceptrii aproximaiilor propuse, raza de curbur a elipsei meridiane cetrece prin cel de-al doilea punct este egal cu raza sferei2( ) M R = , relaia (3.177)transformndu-se n relaia22cosccBds A dsds R c= .(3.193)- Din aceleai considerente, relaiile (3.178) i (3.179) devin2 22sincosccL Ads dsds B R c= ,(3.194)Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu2122 2sin tgccAds A B dsds R c= .(3.195)- Dacnrelaia(3.183)seconsider,nbazaaceloraiaproximaii,1M R = seobine21 2 11sinB sdA A dAA Rc= c.Seconsidertriunghiulsferic1 2S S P .Pemeridianulpunctului1S sealegepunctul Castfel nct linia geodezic ce trece prin punctele2Si C s aib n punctul C azimutul egalcu 100g (figura de mai jos).DacsenoteazsRo = ,dintriunghiul1 2S S CrezultsRo = .Din triunghiul2CPSse poate deduce c2sin cos sin c B l =sau2cos sin c B l = .Cu aceste relaii se calculeaz21 2 1 2 11 1sin sinsinB cdA A dA A dAA Aoc= =csau21 2 11sin cosBdA l B dAAc= c.(3.196)- nrelaia(3.184)dacse consider2 1sinm cN Ao = = i2sin cos c l B ,aceastadevine2 2 2 2 21 1 1 11 2 1 2 1 2cos cos sin cos coscos sin cos sin cosL A A l B A cdA dA dA dAA B A B A Boc= = = cdeci2 21 11 1cossinsinL AdA l dAA Ac= c.(3.197)900 B1 l S1 S2c900 B2CsROPCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu22- Prin aproximaiile acceptate i utilizarea notaiilor de mai sus, relaia (3.187) maipoate di scris sub forma2 2 2 21 2 2 1 11 2cos cos sin cos sin(cos sin cos tan )cosA B A BdA A B dA dAA Bo oo oc = =c.Din triunghiul1 2S S P , prin teorema cosinusului se obine1 2 2 2cos cos cos cos sin cos sin B l B A B o o = deci2 11 11 2cos coscosA B ldA dAA Bc=c.Avnd n vedere egalitile01 1 202 2 1cos sin(90 ) sincos sin(90 ) sinB B AB B A= = ,se obine relaia final2 21 11 1sincossinA AdA l dAA Ac= c.(3.198)Princonsiderareaacestorultimeexpresii,sepotdeduce,pentrucazulstudiat,formulele difereniale de ordinul I2 1 1 122 1 2 1 1122 1 12 1cos cos sincossin tan sinsinsin sincoscos sindB ldB B ldAAdL dL l B dB l dAAA ldA dB l dAB A= = + = (3.199)3.9.3.3.2. Formule difereniale de categoria a II-aAceste formule se utilizeaz atunci cnd trebuie s se treac de la coordonatele B i Lde pe un elipsoid definit de parametrii1ai1flaaceleai coordonate dar peun alt elipsoidcaracterizatdeparametrii2a i2f .CaincazulformulelordiferenialedecategoriaI,secunosc relaiile aplicabile n cazul distanelor depn la 6000 km (deduse de Krasovski), ladistane de 600 800 km (deduse de Helmert) i relaii, n care aproximaiile acceptate suntmai mari, pentru distane de 40 50 km.n cazul schimbrii elipsoidului de referin, formulele se determin prin difereniereaprimilor termeni din relaiile (3.165). Din prima expresie a acestor relaii se poate scrieCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu232 2 3/ 22 1 2cos cos (1 sin )( )" " " "(1 )m m mmA s A e BB B b sM a e = = =.Prin difereniere se obine2 2 3/ 22 22 2 2 1/ 2 2 2 2 3/ 2 22(1 sin ) 1" cos "13(1 ) (1 sin ) sin (1 sin )12(1 )mmm m me Bdb s A daa ee e B Bde e B dea e = + + +`)sau2 2 3/ 2 2 222 2 2 2cos (1 sin ) 3" sin(1 ) 2 1 sin 1m mmms A e B da de dedb Ba e a e B e = + ` ).innd cont de relaia iniial i de aproximaiile2 22 , e f de edf ~ ~rezult c22 2 23sin 2" "1 1 sinmmB dadb b dfa e e B ( = + ` ( ).Prineliminareanumitorilor21 e i2 21 sinme B ,dinrelaiademaisus,sefaceoeroare de ordinul2e b , acelai ordin ca la formulele difereniale de categoria I2" " 2 3sinmdadb b B dfa ( = + ` ).(3.200)Se procedeaz n mod asemntor cu cea de-a doua relaie din formulele (3.165)2 2 1/ 2sin (1 sin )" "cosm mms A e BlB a= ,prin difereniere obinndu-se2 2 1/ 2 22 2221(1 sin ) sinsin (1 sin )2" "cosm mm mme B Bs A e Bl da deB a a = = ` )22 2 1/ 222 21sinsin (1 sin )2"cos 1 sinmm mm mBs A e B dadea B a e B = ` ),iar n final, prin aceleai eliminri se obine relaia2" " sinmdadl l B dfa = + ` ).(3.201)Pentru diferena de azimut se pleac de la relaiaCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu24sinmA A l B = A= ,care prin difereniere devine" sinmdA dl B = ,prin intermediul expresiei (3.201) obinndu-se relaia general de calcul2" " sin sinm mdadA l B df Ba = + ` ).(3.202)Observaii1)Ceeacetrebuiesubliniatestefaptulcncazulmodificrilorparametrilorelipsoiduluiderotaie,decincazultreceriidelaunelipsoidlaaltul,trebuieaplicateattformulelediferenialedecategoriaIcticeledecategoriaaII-a,pentruc,aplicareafcndu-sesuccesiv,duptransmitereaprimuluipunctsemodificicoordonateleacestuiadeci are loc o variaie n datele iniiale.2) De asemenea, trebuie precizat c, spre deosebire de formulele de categoria I, acesteultimeformulediferenialepotfiaplicatesimultanpentrumaimultelaturialeuneireelegeodezice planimetrice.3) Precizia asigurat de aceste ultime formule difereniale este de 0.001 pn la 0,002,aceast precizie fiind suficient pentru marea majoritate a lucrrilorgeodezice, lucrri ce nuse ntind pe suprafee foarte mari.Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu254. POZIIONAREA4.1. IntroducereDeterminarea formei i dimensiunilor Pmntului, dup cum a fost precizat, constituieunadinprincipalelepreocuprialegeodeziei.CamodelgeometricalfiguriiPmntuluiseutilizeazmaimultetipuridesuprafeecaresuntalesefunciedemaimultecriterii,unrolimportant avndu-l natura problemei studiate i cerinele de precizie.Cea mai natural suprafa este suprafaa fizic a Pmntului dar, din pcate, aceastaeste o suprafa complicat pe care nu se poate lucra cu relaii matematice simple.O alt suprafa cu care se poate aproxima suprafaa terestr este geoidul dar i acestaestecomplicatdinpunctdevederematematic,pesuprafaaluineputndu-serezolvaprobleme geometrice cum ar fi poziionarea.Elipsoidul este i el o suprafa care poate aproxima figura Pmntului i pe suprafaacruia se pot rezolva multe din problemele geometrice ale geodeziei.n afara acestor corpuri se pot utiliza i altele care aproximeaz n mai mare sau maimicmsursuprafaaterestripecarepotfirezolvateunelesaualteledinproblemelegeodeziei, corpuri prezentate n capitolul 2, paragraful 2.14.Oricetipdelucraredindomeniulgeodezieipresupuneexistenaunorpunctecucoordonate cunoscute pe care s se sprijine lucrarea respectiv. Toate aceste puncte alctuiesco reea geodezic definit astfel:O reeageodezicesteformatdinmulimeapunctelorsituatepesuprafaapecare se desfoar o lucrare a cror poziie este cunoscut ntr-un sistem unitarde referin.Fiecestevorbadeo reealocal(suprafaaacoperitdepunctelereeleifiind,deregul, mai mic) fie c este vorba de o reea global, poziionarea punctelor care alctuiesc oreeageodezicnraportcuoanumitsuprafadereferin(aceeaipentrutoatepunctelereelei)rmneoproblemdebazageodeziei.Rezolvriledatedifernfunciedetipulreelei, de destinaia sa, de mrimea zonei acoperite etc.Conceptulde poziionareimplicnoiuneade poziiecareestereprezentat,deobicei,printr-unsetdecoordonate(rectangulare,sfericeetc.).Poziiilepotfideterminatendiferitemoduriiprinutilizareaunordiferiteinstrumentesausistemedeinstrumentedemsurare. Principalele modaliti prin care se poate determina poziia sunt urmtoarele:Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu26- ntr-unsistemdecoordonatebinedefinit17(deobiceigeocentric,adicunsistem a crui origine coincide18 cu centrul de mas al Pmntului). Acest mod depoziionareestecunoscutsubdenumireade poziionarepunctualsaupoziionareapunctului(pointpositioning)saude poziionareabsolut.Prinpoziionareaabsolutsenelegedeterminareacoordonatelorunuipunctdepesuprafaa terestr, ap sau din spaiu ntr-un sistem de coordonate.- nraportdeunaltpunctsaumaimultepuncte,considerndunpunctcafiindorigineasistemuluilocaldecoordonate.Aceastmodalitateestecunoscutsubdenumirea de poziionare relativ sau poziionare diferenial.Din cele prezentate se poate deducePrin poziionare se nelege determinarea poziiei obiectelor staionare sau aflaten micare (mobile) prin una din cele dou metode prezentate.De asemenea, se poate vorbi despre:- Poziionare static, utilizat n msurtorile geodezice, dac obiectul ce urmeaz afi poziionat este staionar;- Poziionarecinematic,utilizatnnavigaie,dacobiectulrespectivsedeplaseaz.Determinareapoziieirelativesefaceprinmsurtorifiedirectentreceledoupunctefieprinmsurtoriindirectedelaceledoupunctelaobiectedinspaiu.Aceastanseamnc,utilizndmetodeterestre,poziionarearelativestemultmaisimpldectpoziionareaabsolut,maialescndntreceledoupuncteexistvizibilitatereciproc.Laacest tip de poziionare poate fi utilizat, n principiu, orice sistem local de coordonate.Funciedenaturamsurtorilorefectuate,detipulacestora,despaiulluatnconsiderare, de modelul matematic utilizat n poziionare se poate vorbi despre o poziionareunidimensional(altimetric),bidimensional(planimetric)sautridimensional.Introducereacoordonateitimp(foarteimportantavndnvederefaptulcntimptoateobiectele,inclusivPmntul,sufermodificri)laoricaredinceletreitipuridepoziionaremrete cu 1 dimensiunea spaiului considerat.Un tip de poziionare relativ, n spaiul cu dou dimensiuni, a fost prezentat n cadrulparagrafului 3.9.3.1. la rezolvarea problemei geodezice directe. n cazul rezolvrii problemeigeodeziceinverse(paragraful3.9.3.2)sepoatevorbideproblemainversapoziionrii17Trebuiespecificatcacestsistemdecoordonatebinedefinitestelarndulsupoziionatiorientatnraport de Pmnt18 Acest cuvnt trebuie, n acest context, neles ca fiind foarte aproape de centrul de mas al Pmntului a cruipoziie este greu de stabilitCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu27relativecarepoatefi,ngeneral,formulatastfel:fiinddatedoupuncteseceressedetermine direcia i distana dintre cele dou puncte.4.2. Clasificarea reelelor geodeziceReelelegeodezicepotficlasificatefunciedemaimultecriterii,ncontinuarefiindprezentatenumaiclasificriledupacelecriteriicarefacobiectulacesteilucrri.Reprezentarea ntregii suprafee a Pmntului sau numai a unei pri din acestea se face, dupcumestecunoscut,prinintermediulhrilordediversetipuriiladiversescri.PentruadescriesuprafaamatematicaPmntuluitrebuiessegseascunnumrfinitdepunctereprezentative pentru teren i poziia acestora ntr-un sistem de coordonate. Reelele alctuitedin aceste puncte pot alctui o posibil reprezentare a suprafeei fizice terestre. Aceste seturide puncte ce alctuiesc reelele geodezice pot fi mprite n trei categorii funcie de cum estedefinit poziia lor.Reeledepunctedefinitenumaiprintr-osingurcoordonatianumealtitudinea(deobiceinlimeadeasupramrii).Acestereelegeodezicesuntcunoscuteca reelealtimetrice sau de nivelment sau reele verticale. Reelele altimetrice sunt materializatepe repere i mrci de nivelment pentru care, se cunoate cu precizie mai mare altitudinea(notat de regul cu H) dar i poziia planimetric cu o precizie mult mai mic.Reele de puncte pentru care se cunoate poziia orizontal, cum ar fi latitudinea (B) ilongitudinea(L),denumite reeleorizontalesau planimetrice.Acestereelesuntalctuitedinpunctepentrucaresecunoatepoziiaprinintermediulcoordonatelorgeodezicepeelipsoiduldereferin.Aceastpoziieorizontalsauplanimetricpoatefidatinaltsistembidimensionaldecoordonate ( , ) xy ,frecventutilizatnpracticageodezic, cum ar fi un sistem de proiecie, cu condiia s se cunoasc relaiile de legturntre cele dou sisteme de coordonate amintite. Aceste dou tipuri de reele geodezice aufostisuntnccelemaiutilizate,prinintermediullorputndu-seexprimaopoziienspaiulcutreidimensiuniaunuipunctdarnsistemedereferindiferite,unulpentruplanimetrie ( , sau , ) BL xyi altul pentru altimetrie ( ) H .Reeledepunctepoziionateprintreicoordonate,numite reeletridimensionale.Pentruaobinetripletadevaloricaredefinescpoziiaunuipunctpotfiutilizatefiecoordonategeodezice(latitudineailongitudinea)lacareseadaugaltitudineasaupotenialul fie tripleta de coordonate rectangulare , , XYZ .Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu28Un alt criteriu important de clasificare a reelelor geodezice este acela al numrului deelemente considerate fixe n procesul de prelucrare. Din acest punct de vedere se poate vorbidespre:- Reele geodezice constrnse: atunci cnd numrul elementelor considerate fixe nprocesuldeprelucrareestemaimaredectstrictulnecesarisuficientpentrudeterminarea geometric i poziionarea reelei;- Reele geodezice constrnse: atunci cnd numrul elementelor fixe din reea estecel necesar i suficient pentru poziionarea reelei;- Reelegeodezicelibere:cndntr-oreeageodezicnuesteconsideratniciunelement fix, deci o reea n care intervin numai msurtorile necesare determinriigeometriceareelei,aceastreeaestecunoscutnliteraturadespecialitatecareea geodezic liber.Despreoaltclasificareareeleigeodezices-avorbitdeja.Estevorbadespreoclasificare funcie de zona acoperit, din acest punct de vedere existnd:- reele locale;- reele globale.npracticageodezicprinreealocalnusenelegenumaioreeacareacoperosuprafa relativ mic ci o reea n care se dorete obinerea unor precizii superioare celei ninteriorul creiaesteconstruiticaredeobiceiseprelucreazcancazulreeleigeodezicelibere.4.3. Modelul matematic al prelucrrii observaiilor4.3.1. ModelCa i n alte domenii i n geodezie exist a anumit metodologie ce trebuie respectatn procesele care conduc la obinerea rezultatelor finale. Metodologia geodezic reprezint unsetdeproceduriadoptatenvedereaevaluriiunorparametricarecontribuiedirectsauindirectladescriereageometrieiPmntuluiiacmpuluisugravific.nvedereaevaluriiacestorparametrisefacexperimente,seculegdate,procedurilerespectiveincluzndioperaiispecificedeplanificareioptimizarepelngaceleadeevaluarecorectarezultatelor.Unelementspecificgeodezieiesteacelac,deregul,secolecteazmaimultedate dect strictul necesar pentru a determina n mod unic cantitile dorite.Pentrustabilireaunuifenomenprinmetodeexperimentaletrebuieelaboratunmodelcare s reprezinte ct mai bine, dar ntr-o form simplificat, realitatea fizic.Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu29Prinmodelsenelegeoreprezentaresimplificataunuifenomensauprocesreal.Dintretoatetipuriledemodelecepotfiutilizate,geodezialucreazcumodelesimbolice ce utilizeaz litere, numere i simboluri pentru a reprezenta mrimile, proprietilelor i relaiile dintre ele.Cel mai adesea, modelele utilizate n geodezie sunt neliniare, acest lucru presupunndutilizarea anumitor tehnici matematice pentru a ajunge la soluiile cutate.n principiu, metodologia de baz ce trebuie urmat n vederea obinerii unor rezultateconcrete const n urmtoarele:- Parametriinecunoscui,valorileceurmeazafideterminate,suntcunoscui(nsensuldeidentificai)precumipreciziacucarevrems-ideterminmnurmaprocesului de prelucrare.- n general aceti parametri necunoscui nu pot fi msurai direct ceea ce nseamnc trebuie gsite nite relaii matematice care s fac legtura ntre acetia i nitecantiti care pot fi msurate (observaii).Aceast etap de formulare a funciilorrespective,careconstituie modelulmatematic,stlabazaprocesuluidedeterminare a parametrilor necunoscui.- naintedeaefectuaobservaiiletrebuiessespecificeacurateeacucaressefac,acurateeceestedictatdepreciziacucaredorimsdeterminmparametrinecunoscui i de modelul matematic formulat. Acest proces mai este cunoscut isub numele de preanaliz.- Msurtorile efectuate care nu se ncadreaz n precizia specificat anterior trebuieeliminate.Dacprineliminareaunormsurtoriindividualenumairmnsuficienteobservaiipentruatingereascopuluipropustrebuiesseefectuezenoimsurtori.- Prelucrareapreliminarsau preprocesareaobservaiilortrebuieinclusnmodelul matematic prin care se calculeaz parametri necunoscui i precizia lor dedeterminare.- Evaluarea modelului matematic n vederea completrii lui, atunci cnd este cazul,cuviitoareevalurialeobservaiilorcorectateconstituieurmtoareaetapcetrebuie parcurs.- Ultima etap const n evaluarea parametrilor necunoscui calculai i exprimarea,dacesteposibil,acompatibilitiilorcualtedeterminriindependentealeacelorai parametri.Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu30ngeodezie,bazametodologieioreprezintmodelulmatematicconstituitdinformularearelaieifuncionaledintreparametrinecunoscuiicantitileobservate.ngeneral, relaia care reprezint, n geodezie, modelul matematic este de forma( , , ) 0 f = cXM ,(4.1)unde:- f reprezint vectorulfunciilor individuale , 1, 2, ,if i m = care leag ntre elecele n necunoscute cu observaiile efectuate;- c esteunvectoralconstantelor,ntermenistatisticicantitifrerori,careintervin n model. Acestea sunt cantiti cunoscute care intervin n calcule cum arfi: constanta gravitaional, suma unghiurilor ntr-un triunghi plan etc.- X vectorulparametrilornecunoscui , 1, 2, ,ix i n = care,deobicei,suntconsideraicantitiindependentensensulcdeterminareadirectaoricruiparametrudintreacetiaesteimposibilcuexcepiacazuluicndrezultexplicitcare sunt constrngerile impuse. Ca exemple de astfel de necunoscute n geodeziepotfidate:coordonatele planimetricealeunuipunct,altitudinea,deviaiileverticalei, ondulaiile geoidului, variaia n timp a coordonatelor.- M reprezintvectorulobservaiiloradicacantitilorfizicesaugeometricecareaufostmsuratesau,cu altecuvinte,nitecantiticroralisepotataavalori.Procesuldeataareaunuinumr(valori)uneiobservaiisenumetemsurtoare i este realizat prin intermediul unui instrument sau senzor.Deoarece,ngeneral,parametrinecunoscuinupotfimsuraidirectciindirectprinintermediul modelului matematic i al observaiilor care sunt n legturdirect cu cel puinun parametru din modelul utilizat, ei se mai numesc i soluii.4.3.2. Observaii geodezicen geodezie exist o multitudine de cantiti fizice i geometrice care pot fi clasificateca observaii:Observaii terestre:- direcii unghiulare orizontale, msurate cu teodolitul;- distaneorizontalesauspaiale,msurabilecudiverseechipamente(electronice,electro-optice, optice, direct etc.);- diferene de nivel, msurabile cu nivele, teodolite etc.;- direcii unghiulare verticale, msurabile cu teodolitul.Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu31Observaii terestre i satelitare:- distane i direcii de la Pmnt la sateliii si naturali;- distane la sateliii artificiali ai Pmntului msurabile prin timpul de propagare aundelor electromagnetice emise de o surs cum ar fi laserul;- diferenededistanedintreostaieterestridoupoziiiconsecutivealeunuisatelitutilizndmodificrialefrecveneiemise desatelitcauzatedeefectulDoppler;- direcii unghiulare verticale i orizontale ctre stele obinute prin intermediul unorteodolite speciale.Observaii care privesc cmpul gravific- gravitatea i diferene de gravitate msurabile cu pendulul sau gravimetrul;- gradientul gravitii msurabil cu balana de torsiune sau gradiometre.Obseevaiicareurmrescdeterminareamodificrilorntimp a geometriei Pmntului- variaianiveluluimriiobservabilprinintermediulinstrumentelordemsuratmareele;- msurtorialetimpuluicaresuntesenialeladeterminareaepocilorobservaiilorla obiecte extraterestre.Trebuieprecizatcnoiunile timpi spaiuauoimportandeosebitpentrucobservaiile se fac n spaiu i n timp.4.3.3. Modelul funcional - stochasticModeleleutilizatengeodeziesempartndoucategoriiprincipale,nfunciedenaturavariabilelorcareintervinnmodel,ianume modelulfuncionali modelulstochastic. La prelucrarea observaiilor efectuate n reele geodezice se pot utiliza mai multemodele funcional stochastice, dintre carecelmai cunoscut model este modelul Gauss Markov.Prelucrareaobservaiilorefectuatentr-oreeageodezicsedesfoarconformmodelului funcional stochastic adoptat, reprezentat de relaiile= + Ax l (4.2)20 m mo = C Q(4.3)Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu32Relaia (4.2) reprezint modelul funcional sau determinist. El nu conine elementealeatoareidescrieorelaiepurntremrimi,adiclaovaloaredataargumentuluicorespunde o valoare unic a funciei.Vectorul coreciilor are, ca i vectorul termenilor liberi l , dimensiunea m, egal cunumrulobservaiilorefectuatenreea,matriceacoeficienilor Aaredimensiunile ( , ) m n ,iar vectorul parametrilor dimensiunea n.Relaia(4.3)reprezint modelulstochasticsau statistic.Elconinevariabilealeatoare ce corespund efectului posibil al unor factori necontrolabili ce influeneaz procesulmodelatidescrieorelaiecomplexntremrimi,adiclaovaloaredataargumentuluicorespunde un ansamblu de valori posibile ale funciei.nrelaiacarereprezintmodelulstochasticmatriceamC ,dedimensiuni ( , ) m mreprezint matriceadevarian-covarianamsurtorilor,matriceamQ ,deaceleaidimensiuni,reprezintmatriceacofactorilormsurtoriloriar20o esteoconstantdenumitvariaia unitii de pondere sau factor de varian i este adimensional.Elementelematriceicofactorilorsenumesccofactorisaucoeficienidepondere,iarcondiia necesar i suficient ca msurile s fie independente este ca toi coeficienii depondere dreptunghiulari s fie nuli0, pentruijq i j = = .(4.4)Attmatriceadevarian-covarianctimatriceacofactorilorsuntmatricepozitivdefinite, deci admit invers.La formarea modelului funcional-stochastic trebuie s se aib n vedere c:- prelucrareariguroasamsurtorilorefectuatenreelegeodezicetrebuiesseraportezelaunsistemunitar.Dinaceastcauz,naintedeafiprelucrate,msurtorilegeodezicetrebuiereduselasistemuldereferinales(planuldeproiecie, elipsoidul de rotaie, un sistem de coordonare tridimensional etc.);- oriceprelucrareaobservaiilorefectuatentr-oreeageodezicestedirijatprinmodelul funcionalstochastic;- orice modificare n modelul funcional-stochastic modific rezultatul compensrii;- modelulfuncional-stochasticadoptatiniialpoatefimbuntitpebazaunorrezultateobinutedintr-oprimprelucrare,dinanalizaponderilorgrupelordemsurtori,dinexaminareasemnificaieistatisticeaunornecunoscuteutilizateetc.Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu334.3.4. Analiza observaiilorPrin procesul de msurare se determin, prin intermediul unor instrumente sau aparatede msur, valoarea unei mrimi fizice prin raportarea la o alt mrime de aceeai natur. ngeodezietoateacestemsurtorisuntefectuatecuscopuldeadeterminapoziiadiferitelorobiecteifenomenedinspaiulterestru.Pentruridicareapreciziei19determinrilor,ntotdeauna,asuprauneimrimisuntefectuatemaimultemsurtoridectstrictulnecesar,numrulacestormsurtorisuplimentarereprezentndgraduldelibertatealdeterminriirespective.Orice proces de msurare este afectat de erori, eroarea fiind diferena dintre valoareamsurat i valoarea adevrat.Funcie de modul n care se produc, aceste erori pot fi:- Erorigrosieresau greeli. Acesteaaparnurmaefecturiinecorespunztoareauneimsurtorisauanregistrriieiincorecte.Eroriledeacesttiptrebuienprimulrnddepistateprinadoptareaunormetodedecontrolirespectareauneianumitemetodologiidemsurareiapoi,dacestecazul,eliminarealordinprelucrrile ulterioare.- Erori ntmpltoare. Apar datorit unor factori imposibil de controlat i evaluatsaudatoritneglijriiinflueneiunorfactorinprocesuldemsurareprinneincluderea n modelul matematic.- Erorisistematice.Dupcumleindicinumeleacesteeroriseproducnmodsistematic, dup legi cunoscute, deci influena lor poate i trebuie eliminat.Laprelucrareariguroasamsurtorilorseconsidercacesteasuntafectatenumaide erorile ntmpltoare, deci greelile i erorile sistematice20 trebuie eliminate.Metodacelormaimiciptrate(asevedeaparagraful4.4)deprelucrareamsurtorilorpresupuneodistribuienormalaobservaiilor.Aceastipoteztrebuieverificatncadrulunuitestdeconcordan.Metodelecelemaiutilizatepentruverificareanormalitii sunt testele2_(hi ptrat) i Kolmogorov-Smirnov.O alt etap n analiza msurtorilor const n verificarea absenei erorilor sistematice.Eliminarea acestora poate fi realizat prin:19Trebuiefcutdistincientreprecizieiexactitatesauacuratee.Prin preciziesenelegegradulderepetabilitatealmsurtoriiiarprin exactitategraduldeapropieredintrevaloarearezultatdinmsurtoriivaloarea real a mrimii msurate.20 Pentru unele lucrri, funcie de precizia impus, unele din erorile sistematice pot fi considerate ntmpltoare,adic neglijate, pentru c eliminarea lor ar ridica nejustificat costurile lucrrii.Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu34- adoptareaunormetodeadecvatedemsurare(citirinambelepoziiialeluneteietc.);- aplicareaunorcorecii(decentrare,dereducere,derefracie,deetalonareetc.)msurtorilor,naintedeafiintrodusenprelucrare,pebazaunormsurtoricomplementare;- includerea erorilor sistematice ca necunoscute n modelul funcional (necunoscutpentru coeficientul de scar, pentru coeficientul de refracie etc.).Cutoateacestemsuriestebinecaabsenaerorilorsistematicesfietestat,testeledesutilizatebazndu-sepe criteriulAbbeconformcruiasumaptratelordiferenelorfade medie este comparat cu suma ptratelor diferenelor dintre dou observaii succesive.Oaltcategoriedeeroripotapreanprocesuldemsurareoconstituiegreelile,adic observaiile care nu reflect n mod corespunztor nici posibilitile instrumentului sauaparatului de msur nici mrimea observat. Erorile grosierecare au valori net diferite fade a celorlalte observaii pot fi depistate cu uurin i eliminate. Problema care se pune esteaceeadeaanalizaobservaiilecaresuntlalimitidesprecare nusepoatespunecucertitudinecsuntgreite.Deciziaprivindpstrareasaueliminareaacestorobservaiidincalculele ulterioare nu poate fi luat dect n urma unei analize statistice.Depistarea valorilorexterne,adicavaloriloraflatenafarauneirepartiii,esteextremdeutildarnutrebuieurmatdeeliminareaeifraseefectuaoanalizasupracauzelorcareaupututdeterminaapariiavaloriirespective,fiindposibilcaaceavaloaresinclud informaii pe care celelalte observaii nu le pot da.Depistarea acestor erori se face i in faza de preprocesare, cnd testele au un caracterlocal21ctidupefectuareaprelucrrii.Celmaiutilizattestpentrudepistareavalorilorexterne nainte de prelucrare este testul Grubss. Dup prelucrare sunt efectuate teste asupracoreciilorpentruastabilidacovaloareesteexternsaunu,dintrecelemaiutilizatefiindtestul F (aplicabil numai pentru o corecie) sau testul Tau (aplicabil unui grup de corecii).4.4. Metoda celor mai mici ptrateUnsistemliniardeecuaiialecoreciilorestesupradeterminatatuncicndnumrulecuaiilorestemaimaredectnumrulnecunoscutelor.Aceastsupradeterminareindicfaptulcnmodelaufostluatenconsideraremaimultemsurtoridectcelenecesarepentrudeterminareaparametrilornecunoscuiinconsecinsepotdeterminamaimulte21 Se utilizeaz n analiz numai observaiile din acel punctCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu35valori pentru aceeai necunoscut. De exemplu, dac se consider c sistemul este format dinm ecuaii i n necunoscute prin luarea n considerare a primelor n ecuaii rezult nite valoripentru cei n parametri necunoscui (X). Lund n considerare alte n ecuaii din cele m ( ) m n >seobinaltevaloripentruparametri X.Pentrugeodezieestenecesarssegseascnitevalori unice ale parametrilor necunoscui. Pentru aceasta trebuie ca modelul s fie reformulatnsensulc,pentruafacecasistemulsdevinconsistent,seintroduceunvectoralcoreciilor () care adugat la vectorul msurtorilor ( ) M* s rezulte vectorul valorilor celemai probabile ale observaiilor ( ) M= + M M *.(4.5)Aceastreformulareamodeluluileagntreelesoluiilesistemului,ntr-unnumrinfinit, pentru c acum att X ct i sunt vectori cu valori necunoscute.Soluia prin metoda celor mai mici ptrate se obine prin minimizarea sumei ptratelorcoreciilor. n foarte multe cazuri, valorile efective ale varianelor i covarianelor nu se poatecunoate, de aceea ele sunt nlocuite cu valori proporionale cu acestea numite coeficieni depondere,factoruldeproporionalitatefiindvarianaunitiidepondere(relaia(4.3)).nlegturcumatriceacoeficienilordepondere Qmsedefineteimatriceaponderilor(asevedea i n continuarea acestui paragraf)1m= P Q .Pentru o populaie dat, variana, media i celelalte momente ale variabilei sunt unicei, n cele mai multe cazuri, nu pot fi cunoscute valorile lor ci doar estimaii ale acestora.Prelucrareaobservaiilorefectuatenreelegeodezicesedesfoarsubcondiiaspecific metodei celor mai mici ptrate, component principal a modelului stochasticminimT P .(4.6)nrelaia(4.6),carereprezintformageneralacondiieideminim,matriceaponderilormsurtorilorimatriceacofactorilormsurtorilorsuntmatricepozitivdefinite(admitinvers).Pentruoprelucrarectmaicorect,acestematriceartrebuisfiematricepline, ns determinareaelementelor dreptunghiulare (ijpi, respectiv,ijqcui j = ) nu este,deocamdat, ntotdeauna posibil.Practic, pentru prelucrrile observaiilor efectuate n reele geodezice ce se efectueaznmodcurent,sefaceoaproximaieprinconsiderareamsurtorilorcafiindindependente.Aceastaproximarefacecamatriceaponderilorsdevinomatricediagonal( 0ijp = ,Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu36pentrui j = )ceeaceuureazfoartemultcalculele.nacestecondiii,relaia(4.6)semaipoate scrie sub forma[ ] minim pvv .(4.7)Cndcerineledeprecizienusuntridicate,semaipoatefaceoaproximaieprinconsiderareamsurtorilorindependentecafiinddepreciziiegale,cazncarecondiiademinim (4.7) se poate scrie astfel[ ] minim vv .(4.8)Metodacelormaimiciptratedeestimareaparametrilornecunoscuimaiestecunoscut i sub denumirea de compensarea prin metoda celor mai mici ptrate.Modelul funcional-stochasticGauss-Markov,utilizatlaprelucrareaobservaiilorgeodeziceestereprezentatde modelulfuncional,datderelaia(4.2)ide modelulstochastic reprezentat de relaia (4.3).Dacseconsidercmatriceacoeficienilor Aarerangul n (rang( ) ) n = A icmatriceaponderilorestepozitivdefinitatuncimodelulestedenumit modelulGauss-Markov fr defect de rang.n acest model se presupune c valorile medii ale observaiilor pot fi reprezentate de ocombinaieliniaracoeficienilordaiiparametrinecunoscui,deciavemdeafacecuunmodelliniar.Relaialiniarestecunoscutsubdenumireade regresie,iarestimaianmodelulGauss-Markovoanalizderegresie.Totuiacestmodeldiferesenialdemodelulregresiei deoarece parametri aleatori sunt estimai prin combinaii liniare ale observaiilor.Rangul unei matrice A de dimensiuni m n esterang( ) minim( , ) m n s A(4.9)iar n cazul studiat m n > . ntotdeauna se caut ca numrul observaiilor efectuate (m) s fiemaimaredectnumrulparametrilornecunoscui(n),pentruadiminuaefectulaleatoralobservaiilornestimaii,deci m n > .Modelulsenumetefrdefectderangdeoarecerang( ) n = A .Sistemul de ecuaii= M AX(4.10)nu este un sistem consistent. Se obine un sistem consistent prin adugarea unui vector aleator al erorilor lui M, adic+ = M AX * (4.11)cu mediaCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu37( ) 0 M = (4.12)i dispersia2 10( ) ( ) D D o= = M P .(4.13)AcesteultimetreirelaiireprezintoaltformulareamodeluluiGauss-Markov.Ecuaiile(4.11)suntcunoscutesubdenumireade ecuaiialeobservaiilor,laprelucrareaprinmetodacelormaimiciptrateca ecuaiialecoreciilor,iarmodelulGauss-Markovsemai numete compensarea observaiilor.Matricea de covarian a observaiilor M a fost presupus cunoscut n relaiile de maisus,exceptndfactorul20o .MatriceaponderilorPaobservaiilorMs-a presupuscestepozitiv definit, deci inversa1 Pexist i este o matrice pozitiv definit.Se consider c vectorul1[ ]mm m = M(4.14)este aleator i c matricea lui de covarian este dat de relaia (4.13). n acest caz matricea1c= P C(4.15)senumete matriceaponderilor, cfiindoconstant.Elementeledepediagonalaacesteimatrice ( )iipreprezint ponderea variabilei aleatoare , 1, ,im i m = . Dac C este o matricediagonal2 21diag( , , )mo o = C ,(4.16)pondereaijp variabilei aleatoareimeste dat de relaia2 iiicpo=(4.17)sau dac20c o =202 iiipoo=(4.18)deci dimensiunea ponderii este ptratul reciprocei dimensiunii varianei.Matriceaponderilorpoatefiacceptataproapentotdeaunacafiindomatricediagonal,componentelesaleputndfideterminatecuformuleempiricecaresegsesccuuurin n diverse manuale. Componentele matricei ponderilor pot fi determinate i printr-oestimare aposteori.ntr-o prelucrare prin metoda celor mai mici ptrate1 = P Q(4.19)Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu38deoarece20( ) D o = M Q.(4.20)Q reprezint matricea cofactorilor sau matricea coeficienilor de pondere.Dac = P I , atunci20( ) D o = m I ,(4.21)iar factorul20oeste denumit variana unitii de pondere. Modelul funcional-stochastic estedat de relaiile (4.10) i (4.21).ngeneral,ntreparametri XiobservaiileMnusuntrelaiiliniareaacums-apresupus n (4.10) i (4.20). Corespunztor relaiilor (4.11), (4.12) i (4.13) se poate scrie*1 1 2 1 1*2 1 2 2 2*1 2( , , , )( , , , )( , , , )nnm m m mF X X X mF X X X mF X X X mvvv= += += + (4.22)unde-1 2( , , , )i nF X X X reprezintfunciidifereniabilereal-evaluatealeparametrilor1 2, , ,nX X X ;-*im sunt observaiile efectuate, iar-iv sunt coreciile ce trebuie aduse observaiilor.Dac01 1 10n n nX X xX X x= += +(4.23)unde0iX suntvalorileaproximativealeparametrilor,cunoscute,iarcoreciileix suntnecunoscute.Relaiile(4.23)sepotliniarizaprindezvoltrilenserieTaylor,njurulvalorilor aproximative0 00 01 1 10 01 11( , , ) ( , , )( , , ) , 1, 2, ,i n i n ni ii n nnx xF X X F X x X xF FF X X x x i nX X= + + =c c= + + + =c c (4.24)Sistemul (4.24) se numete sistemul liniarizat al ecuaiilor de corecii i el mai poate fiscris sub forma= + AX l (4.2)Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu39unde*= l AX m(4.25)reprezintvectorultermenilor liberiiareaceleaidimensiunicaivectorulobservaiilor.Condiia sub care se efectueaz prelucrarea este dat de relaiaminimTO = P.(4.26)Valorilecelemaiprobabilealeparametrilornecunoscuiseobin,subcondiiademinim (4.26), cu relaia cunoscut1( )T T = x APA API .(4.27)Dac n modelul Gauss-Markov parametri necunoscui X sunt subiectul unor condiii,atunci modelul( ) M = M AX ,(4.28)unde M reprezint operatorul medie, cu ecuaiile de condiie dintre necunoscute= BX w ,(4.29)i2 10( ) D o= M P , (4.30)estedenumit modelulGauss-Markovcuconstrngerisau compensareamsurtorilorindirecte cu ecuaii de condiie ntre necunoscute.Condiia sub care se efectueaz compensarea este dat de relaia (4.26). Deoarece esteo problem de minim condiionat, funcia Lagrange este2 ( )T T = P k BX w ,(4.31)unde- k este vectorul multiplicator Lagrange;- B estematricea,cunoscut,acoeficienilornecunoscutelorimplicatencondiiile (4.29);- w este vectorul termenilor liberi.Soluiile se determin cu relaia1 1( ) ( )T T T T = x APA Bk APA API(4.32)unde1 1 1 1 1( ( ) ) ( ) ( ( ) )T T T T T T = k BAPA B BAPA API BAPA B w .(4.33)Rangulmatriceicoeficienilor Bsenoteazcu r (rang( ) ) r = B .Dacrangulacesteimatriceestemaimicdectnumrulnecunoscutelor ( ) r n < ,potfieliminai rparametriCurs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu40necunoscuicurelaia(4.29)dinmodelul(4.28),iardacrangulesteegalcunumrulnecunoscutelor ( ) r n =atunci parametri necunoscui sunt unic determinai prin relaia1 = x B w.(4.34)ncazulncaremodelulfuncionalGauss-Markov,reprezentatderelaia(4.10)sau(4.11), rang( ) r n = < A ,atuncimodelulsenumete modelulGauss-Markovcudefectderang i el se utilizeaz la prelucrarea observaiilor n reele libere.nlucrrilegeodezicenumrulobservaiilorefectuateestemaimaredectnumrulparametrilor necunoscui ( ) m n > , deci matricea coeficienilor sistemului de ecuaii liniare Aare un defect surjectiv care se elimin prin condiia sub care se face prelucrarea prin metodacelor mai mici ptrate (relaia (4.26)).ncazulreelelorlibererangulmatricei Aidecialmatriceisistemuluideecuaiinormale ( )T= N APA , rang( ) rang( ) r = = A N ,estemaimicdectnumrulparametrilorimplicainmodel ( ) r n < deci Ai Nsuntmatricesingulare,avndundefectinjectiv( ) d n r = .4.5. Metode de prelucrare a msurtorilor efectuate n reele geodezice liberen literatura de specialitate, se cunosc mai multe metode de rezolvare a sistemelor deecuaiiliniare,normaleisingulare.ncontinuaresuntanalizate,pescurt,nmoddeosebitacele procedee care se bazeaz pe urmtoarele dou principii:a) ntr-oprimetapaalgoritmuluidecalculseprocedeazlaalegereaarbitraraunuinumrstrictnecesarisuficientdeelementefixe,unsetminimdeconstrngeri, care s conduc la obinerea unui sistem nesingular. Acesta poate firezolvatcumetodeleuzuale.Soluiilecarerezultsuntnsdeplasatefiind,defiecare dat, dependente de modul n care au fost alese elementele fixe22;b) ncontinuareseefectueaztransformareasoluiilordeplasate,neunice,alesistemuluisingulardeecuaiinormale,nestimaiialecoordonatelorsaualecoreciilor valorilor aproximative ale coordonatelor.Modelul funcional-stochastic de compensare a observaiilor este dat de relaiile (4.2)i (4.3).Dac ntr-o reea geodezic nu este considerat nici un element fix, deci o reea ncareintervinnumaimsurtorilenecesaredeterminriigeometriceareelei,22 Coreciile msurtorilor sunt aceleai indiferent de care elemente au fost alese fixe.Curs de Geodezie matematica 2 anul 3 semestrul 1Profesor: Sef lucrri universitar doctor inginer GEODEZ Gabriel Bdescu41atunciaceastreeaestedenumitnliteraturadespecialitate reeageodezicliber.Deoarecemsurtorilepropriu-zisenupotfixareeauarespectivntr-unsistemdecoordonate,acestacaptunanumit defect,reprezentatdenumrulgradelordelibertate,specific i diferit de la o etap la alta.ncazulunorasemeneareelematriceasistemuluideecuaiinormaleestesingular,avnd un defect de rang d . Rangul acestei matrice este mai mic dect dimensiunea ei ( ) r n