Notații (simboluri matematice) folosite în acest manual · 12126/II MATEMATIKA Gyakorló és...

16
Distanța de la punctul A la dreapta e: d(A; e), sau Ae Distanța dintre punctele A și B: AB sau sau d(A; B) Dreapta determinată de punctele A și B: e(A; B) Unghiul dreptelor f 1 și f 2 : sau Unghiul cu vârful în punctul C determinat de punctele A și B, care se află pe laturile ung- hiului: Unghiul cu vârful în punctul C: Unghiuri: Triunghi determinat de punctele A, B, C: Aria triunghiului ABC: T(ABC) sau T ABC Semiperimetrul triunghiului de laturi egale cu a, b, c: Unghi drept: * Dreapta e este perpendiculară pe dreapta f: Dreapta e este paralelă cu dreapta f: Congruență: ,; Raportul asemănării: m Vectorul determinat de punctele A și B (direcțio- nat de la A la B): Egal, diferit: ; Identic egal: ; Aproximativ egal: ; ; Mai mic, mai mic sau egal: <, #; 2 < 3, 5 # x Mai mare, mai mare sau egal: >, $; 6 > 4, a $ 2 Mulțimea numerelor naturale: N; {0; 1; 2; …} Mulțimea numerelor întregi: Z; {…; –2; –1; 0; 1; 2; …} Mulțimea numerelor întregi pozitive și negative: Z + , Z ; {1; 2; 3; …}, {–1; –2; –3; …} Mulțimea numerelor raționale și iraționale: Q, Q * Mulțimea numerelor raționale pozitive și negative: Q + , Q Mulțimea numerelor reale: R Mulțimea numerelor reale pozitive și negative: R + , R Element al mulțimii, nu aparține mulțimii: !, "; , Submulțime, submulțime netrivială: 3, 1; , Nu e submulţime a mulţimii: j; Reuniunea mulţimilor, intersecţia: ,, +; Diferenţa mulţimilor: \; A \ B Mulţime vidă: Q, { } Complementara mulţimii A: Numărul elementelor mulţimii A: ; Interval închis: [a; b] Interval închis la stânga, deschis la dreapta: [a; b[ Interval deschis la stânga, închis la dreapta: ]a; b] Interval deschis: ]a; b[ Valoarea absolută a numărului x: ; Partea întreagă și partea fracționară a număru- lui real x: [x], {x}; [2,3] = 2, {3,2} = 0,2 a este divizor al lui b: ; Cel mai mare divizor comun al numerelor a și b: (a, b); (4, 6) = 2 Cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b: [a, b]; [4, 6] = 12 Legea de corespondență a funcției f: ; vagy ; Valoarea funcției în punctul x 0 : ; ,, 3 012 = " , A A , A BA B , + Z Q 1 + Y (5), 5 f x ha 0 = () fx0 fx x 2 3 = + ]g fx y = ]g : 2 3 fx x 7 + : fx fx 7 ]g 28 ab , 3,1 31 = - x N Q 1 A R 3 2 Z g - + 5 N ! 8,54 8,5 . 2,3 a . . 5 a b / + / 2, 5 a b ! = , ! = AB ABC ABC 9 9 , ll l e f < e f = s a b c 2 = + + ABC9 , , , f abc CB ACBB (; ) ff 1 2 B (; ) ff 1 2 B AB CLASA A 9-A MATEMATICĂ 5 Notații (simboluri matematice) folosite în acest manual

Transcript of Notații (simboluri matematice) folosite în acest manual · 12126/II MATEMATIKA Gyakorló és...

Distanța de la punctul A la dreapta e: d(A; e),sau Ae

Distanța dintre punctele A și B: AB sau saud(A; B)

Dreapta determinată de punctele A și B: e(A; B)

Unghiul dreptelor f1 și f2: sau

Unghiul cu vârful în punctul C determinat depunctele A și B, care se află pe laturile ung-hiului:

Unghiul cu vârful în punctul C:

Unghiuri:

Triunghi determinat de punctele A, B, C:

Aria triunghiului ABC: T(ABC) sau TABC

Semiperimetrul triunghiului de laturi egale cu a,

b, c:

Unghi drept: *

Dreapta e este perpendiculară pe dreapta f:

Dreapta e este paralelă cu dreapta f:

Congruență: ,;

Raportul asemănării: m

Vectorul determinat de punctele A și B (direcțio-

nat de la A la B):

Egal, diferit: ;

Identic egal: ;

Aproximativ egal: ; ;

Mai mic, mai mic sau egal: <, #; 2 < 3, 5 # x

Mai mare, mai mare sau egal: >, $; 6 > 4, a $ 2

Mulțimea numerelor naturale: N; {0; 1; 2; …}

Mulțimea numerelor întregi: Z;{…; –2; –1; 0; 1; 2; …}

Mulțimea numerelor întregi pozitive și negative: Z+, Z–;{1; 2; 3; …}, {–1; –2; –3; …}

Mulțimea numerelor raționale și iraționale: Q, Q*

Mulțimea numerelor raționale pozitive și negative: Q+, Q–

Mulțimea numerelor reale: R

Mulțimea numerelor reale pozitive și negative: R+, R–

Element al mulțimii, nu aparține mulțimii: !, ";,

Submulțime, submulțime netrivială: 3, 1;,

Nu e submulţime a mulţimii: j;

Reuniunea mulţimilor, intersecţia: ,, +;

Diferenţa mulţimilor: \; A \ B

Mulţime vidă: Q, { }

Complementara mulţimii A:

Numărul elementelor mulţimii A: ;

Interval închis: [a; b]

Interval închis la stânga, deschis la dreapta: [a; b[

Interval deschis la stânga, închis la dreapta: ]a; b]

Interval deschis: ]a; b[

Valoarea absolută a numărului x: ;

Partea întreagă și partea fracționară a număru-lui real x: [x], {x}; [2,3] = 2, {3,2} = 0,2

a este divizor al lui b: ;

Cel mai mare divizor comun al numerelor a și b:(a, b); (4, 6) = 2

Cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b:[a, b]; [4, 6] =12

Legea de corespondență a funcției f:; vagy

;

Valoarea funcției în punctul x0: ;

, , 30 1 2 =" ,

A

A

,A B A B, +

Z Q1 +Y

(5), 5f xha 0 =( )f x0

f x x2 3= +] gf x y=] g

: 2 3f x x7 +:f x f x7 ] g

2 8a b

, 3,13 1 =-

x

N Q1A R3

2 Zg- +5 N!

8,54 8,5.2,3a ..

5a b /+/

2, 5a b !=,!=

AB

ABC A B C9 9, l l l

e f<

e f=

s a b c2= + +

ABC9

, , , fa b c

CB

ACBB

( ; )f f1 2 B( ; )f f1 2B

AB

C L A S A A 9 - A

MATEMATICĂ 5

Notații (simboluri matematice) folosite în acest manual

33364_Metematika9_r_0_cimnegyed_ 2016.02.29. 10:42 Page 5

C L A S A A 9 - A

MATEMATICĂ6

Prefață

Scopul acestui manual este sprijinirea pregătirii elevilor pentru examenul de bacalaureat de nivelmediu. Dezvoltarea concepției matematice la elevi, se realizează prin elaborarea componentelormateriei acestei discipline, legate de definiții și noțiuni.

Exemplele rezolvate contribuie la predarea noilor cunoștințe și la asimilarea materiei. Lasfârșitul fiecărui capitol se găsesc exerciții și probleme cu scopul de a ajuta pregătirea elevilorpentru examenul de bacalaureat de nivel mediu.

Pe parcursul studiilor liceale se realizează consolidarea noțiunilor introduse mai devreme pecale intuitivă, prin intermediul diferitelor activități, consolidare urmată de definirea exactă a noțiu-nilor și generalizarea acestora. Dorim să dezvoltăm deprinderile elevilor de a fi capabili să apliceîn cadrul altor arii curriculare relațiile pe care și le-au însușit în diverse domenii ale disciplinei, vomsprijini aplicarea de către elevi a matematicii în rezolvarea unor probleme cu caracter practic.Ilustrațiile și fotografiile vor stimula asimilarea cunoștințelor și a relațiilor matematice.

În text am marcat cu albastru anumite curiozități din istoria matematicii și cele legate dedisciplina noastră. (Propunem folosirea internetului pentru completarea acestor informații.)

Una dintre cele mai importante sarcini ale profesorilor de matematică este cultivarea interesu-lui pentru rezolvarea problemelor. Condiția indispensabilă a acestui deziderat este înțelegereaunor texte simple de matematică și analiza lor. Dezvoltarea deprinderilor de a discuta problemele,de a căuta, de a găsi mai multe soluții, va contribui de asemenea la dezvoltarea gândirii logice.

Gândirea logică este indispensabilă atât la rezolvarea problemelor, cât și la procedurile algo-ritmice și la aplicații. Elaborarea unor algoritmi de câțiva pași în diferite domenii ale matematiciieste necesară și la studiul informaticii.

Problemele elaborate pe parcursul celor patru ani de studii, în funcție de gradul de dificultateal acestora, vor contribui la pregătirea elevilor pentru examenul de bacalaureat. Le-am clasificatîn felul următor:

Pentru cei interesați, dornici să exerseze, mai recomandăm probleme selectate din familia cu-legerilor MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény în ediția Editurii Di-dactice.

Materia pentru examenul de bacalaureat de nivel ridicat a fost marcată cu litere minuscule de culoarea verde.

În materia prezentată vom formula anumite ipoteze care vor putea fi demonstrate sau in-firmate în câteva etape. Este foarte importantă stârnirea interesului elevilor pentru demonst-rația afirmațiilor. Vom prezenta demonstrațiile unor teoreme mai simple, câteva metode dedemonstrație, respectiv formularea exactă a unor noțiuni și reguli. (Acestea le vom marca cualbastru în manual.)

Gerőcs László–Orosz Gyula–Paróczay József–Szászné dr. Simon Judit:16125/I (+ CD-n a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladat gyűjte mény I.16125/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladat gyűj temény I., Megoldások16126/I (+ CD-n a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladat gyűjte mény II.12126/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény II., Megoldások

Czapáry Endre–Czapáry Endréné–Csete Lajos–Hegyi Györgyné–Iványiné Harró Ágota–Morvai Éva–Reiman István:16127/I (+ CD-n a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűj temény III:, Geometriai

feladatok gyűjteménye16127/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladat gyűj temény III., Megoldások,

Geometriai feladatok gyűjteménye

nivel mediu,mai simplă;

nivel mediu,mai dificilă; nivel ridicat,mai simplă; nivel ridicat,mai dificilă.

E2

E1

K2

K1

33364_Metematika9_r_0_cimnegyed_ 2016.02.29. 10:42 Page 6

MulțimiI.

Istoria matematicii relatează despre rezultatele studiilor de-a lungul amai multor milenii. Matematica a fost cultivată încă din Antichitate și aavut o dezvoltare continuă. În ultimii 300 de ani matematica a avut odezvoltare spectaculoasă, atât cantitativ cât și calitativ. Această dezvol-tare explozivă a atras după sine exigența de a demonstra că între pro-pozițiile matematice nu există nici un fel de contradicție. Această exi-gență a condus la apariția teoriei mulțimilor, cu ajutorul căreia, aplicândși metodele logicii, s-a încercat să se dea formulări și demonstrații rigu-roase pentru rezultatele existente ale matematicii, dintre care multe sebazaseră numai pe intuiția noastră.

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:49 Page 7

MATEMATICĂ I . M U L Ț I M I

1. Mulțimi, notații

Matematica folosește noțiuni și propoziții.Între aceste noțiuni există unele pe care nu le putem defini, dar ele sunt impuse de intuiția

noastră. Acestea se numesc noțiuni fundamentale (primare), ca de exemplu: punctul, dreapta.Propozițiile formulate pe baza intuiției, le numim axiome, ca de exemplu: două puncte determinăo singură dreaptă.

Majoritatea noțiunilor sunt definite, iar propozițiile (teoremele) sunt demonstrate cu ajutorulmetodelor logice.

ESTE SAU NU ESTE MULȚIME?

Mulțimea este o noțiune fundamentală. Putem concepe această noțiune, dar nu o definim. Amputea spune că este o colecție de obiecte, dar atunci se pune problema cum definim noțiunea decolecție. Sau am putea afirma că este totalitatea unor elemente, dar atunci ar trebui să definimnoțiunea de element. Atât mulțimea cât și elementul unei mulțimi sunt noțiuni fundamentale,pe care le putem concepe cu ajutorul intuiției noastre.

În schimb putem decide dacă o mulțime este determinată.

O mulțime este determinată dacă despre orice obiect putem afirma dacă aparține, sau nuaparține mulțimii respective.

Mulțime, elementul unei mulțimi

8

C L A S A A 9 - A

Mulțime, element al unei mulțimi

Raffaelo Santi: Școala din Atena

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 8

MATEMATICĂI . M U L Ț I M I

Soluțiea) Nu există o metodă cu care am putea decide dacă un om este deștept sau nu, nici nu știm

exact cum definim noțiunea de deștept. Deci aceasta nu este mulțimeb) Deoarece putem măsura înălțimea unui elev, aceasta este o mulțime.c) Despre orice persoană se poate decide dacă este cetățean maghiar sau nu este. Aceasta este

o mulțime.d) Deoarece nu există balaur viu cu șapte capete, aceasta este o mulțime, care nu are nici un ele-

ment.

Mulțimile (de obicei) sunt notate cu literele mari ale alfabetului latin. De exemplu: A, B, C, X, Y.Faptul că un element aparține unei mulțimi, îl notăm: x ! A iar dacă nu aparține: x " A.

DETERMINAREA (DESCRIEREA) MULȚIMILOR, NOTAȚII

Există mai multe moduri de determinare (definire,descriere) a unei mulțimi.

1. Numind individual elementele sale. În acest caz mulțimea se specifică scriind între aco-lade elementele sale. De ex. A = {1, 2, 3, 4, 5}. Ordinea elementelor nu are importanță, iar ele-mentele sunt distincte. Chiar dacă un element ar apărea de mai multe ori, rămâne un singurelement.

Se poate întâmpla să nu putem înșira toate elementele mulțimii, dar atunci specificămmodul în care vor urma celelalte elemente.

Ex.: B = {1, 3, 5, 7, 9, …}.

2. Specificăm o proprietate comună pe care o au elementele sale (dar nu o au alte ele-mente) Exemple: Mulțimea B a numerelor naturale impare; Mulțimea X a numerelor reale caresunt mai mari sau egale ca 1 și mai mici ca 6.

Și în cazul acestor mulțimi se poate folosi notația cu acolade.De exemplu: X = {x | x număr real și 1 # x < 6}, sauX = {x : x număr real și 1 # x < 6}

Exemplul 1 Care dintre următoarele sunt mulțimi? a) Totalitatea oamenilor deștepți. b) To-talitatea elevilor dintr-o clasă, a căror înălțimea este mai mică decât 180 cm. c) Totalitatea oa-menilor în viață, care sunt cetățeni maghiari d) Totalitatea balaurilor cu șapte capete care tră-iesc pe Pământ.

Două mulțimi sunt egale dacă și numai dacă elementele lor coincid.

Mulțimi egale

Dacă numărul elementelor unei mulțimi este un număr natural, atunci mulțimea este finită. Deexemplu: {1, 2, 3}. Dacă o mulțime nu este finită, atunci se numește infinită. De exemplu, mul-țimea numerelor naturale este o mulțime infinită.

Mulțimi finite, mulțimi infinite

9

C L A S A A 9 - A

Mulțimi finite, infinite Finită de ex.: {1, 2, 3}.Infinită de ex.: N.

x ! Ax " A

Mulțimi egale

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 9

MATEMATICĂ

Diagrama-Venn o folosim atunci când numărul elementelor este relativ mic, sau când vorbimîn general despre mulțimi.

La reprezentarea mulțimilor de puncte sau intervale folosim axa numerelor reale. Această re-prezentare va fi foarte utilă, mai ales în cazul intervalelor.

MULȚIMI DE NUMERE

Pe parcursul istoriei numărarea a început probabil pe degete și au apărut numerele 1, 2, 3,4, .... Aceste simboluri matematice au fost înregistrate prima dată prin scrierea cuneiformăpe tăblițe de lut, din care mai târziu la romani au apărut cifrele, asemănătoare celor folositeîn scrierea noastră cuneiformă.

Pentru a facilita citirea acestora, crestăturile au fost grupate câte cinci (corespunzător nu-mărului degetelor de la o mână) Cele două mâini au servit mai târziu la descoperirea nume-rației în baza 10, după care au efectuat și operații cu aceste numere.

În timpul calculelor a devenit o necesitate folosirea fracțiilor, astfel egiptenii au folosit

deja fracțiile unitare: ; ; ; ….

Cifra 0 a ajuns în Europa de la hinduși prin intermediul arabilor. Numerele negative auapărut mult mai târziu, legate de înregistrarea datoriilor.

Mulțimi de numere studiate anterior.

7.

Mulțimea numerelor întregi se compune din numerele naturale și din opusele lor. O notăm cuZ. Z = {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …} (Figurile 6,7).

Numere întregi

14

13

12

5.

0 1 2 3 4 5 6

Numerele naturale sunt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Mulțimea numerelor naturale se notează cu N.N = {0, 1, 2, 3, …} (Figurile 4, 5).

Numere naturale

3. Prin reprezentare grafică:Prin diagrame-Venn. (Figura 1).

Pe axa numerelor reale, ca mulțimi de puncte. (Figura 2).

Prin intervale. (Figura 3).

I . M U L Ț I M I10

C L A S A A 9 - A

Mulțimea numerelor na-turale se notează cu N.

Mulțimea numerelor în-tregi se notează cu Z.

intervalul [0,5; 2,5]

1.A

1 2 3 4 5

2.

0 1 2 3 4 5

3.

0

0,5

1 2

2,5

3

4.

6.

N

0, 1, 2, . . .

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 10

10.

MATEMATICĂI . M U L Ț I M I

O fracție poate fi amplificată (dacă înmulțim atât numărătorul cât și numitorul cu acelașinumăr diferit de zero) sau simplificată (dacă împărțim atât numărătorul cât și numitorul cu ace-lași număr diferit de zero), dar rămâne același număr.

Un număr rațional se poate scrie sub formă de cât. Dacă efectuăm împărțirea, obținem unnumăr întreg, sau o fracție zecimală.

În exemplul de mai sus, numerele raționale: sunt numere întregi.

Fracția zecimală obținută poate fi finită, ca de ex. sau infinită periodică,

ca de ex. care se poate scrie și sub forma

0,83333… = 0,83.. La fel și 3,141414… = = 3,1

.4.

= 3,14.1.. Dacă perioada este o singură cifră,

atunci punem un singur punct deasupra cifrei.

Și o fracție zecimală finită se poate scrie ca o fracție zecimală infinită periodică. De ex.: 3,2 = 3,20

..

Într-o fracție zecimală infinită periodică orice „secțiune” a cărei lungime este egală cu lungimeaperioadei, este tot perioadă.

Există fracție zecimală infinită periodică, la care perioada conține o singură cifră, de ex.: 2,19.,

care este egală cu fracția zecimală 2,2 ,deoarece între aceste două numere nu există alt număr.

În cazul când câtul a două numere întregi se scrie sub formă de fracție zecimală, pe parcursul ope-rației de împărțire numărul resturilor poate să fie egal cel mult cu împărțitorul, deci dacă nu vomobține un rest egal cu zero, după o etapă oarecare resturile se vor repeta. Astfel și zecimalele câ-tului se vor repeta și ajungem la o fracție zecimală infinită periodică.

Pe parcursul studiilor noastre ne-am întâlnit și cu numere pe care nu le puteam scrie sub formacâtului a două numere întregi.

SoluțieDin teorema lui Pitagora rezultă că pătratul lungimii diagonalei pătratului de latură egală cu 1 este egal cu 2.atunci lungimea diagonalei se notează cu (radical din doi). (Figura 10).

Demonstrăm că nu se poate scrie sub forma unui cât a două numere întregi, deci nu este număr rațional.

Presupunem că se poate scrie sub forma , unde numerele a și b sunt numere întregi pozitive și fracția este

ireductibilă, adică , de unde rezultă că .2ba

2

2

=ba2 =

ba

2

2

0,833333365 f=

Exemplul 2 Să se arate că lungimea diagonalei unui pătrat de latură egală cu 1, nu este număr rațional.

0,75, 0,443

52

= =

2, 1, 02

411

50

= = =-

--

9.

Numerele care se pot scrie ca raportul a două numere întregi, se numesc numere raționale. De

exemplu: , , , , , stb. Aceste numere raționale sunt scrise sub forma de fracții.

Mulțimea numerelor raționale se notează cu Q. (Figurile 8,9).5

0-1

12

4-6

552

-43

Numere raționale

11

C L A S A A 9 - A

Mulțimea numerelorraționale se notează cu Q.

8.

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 11

MATEMATICĂ I . M U L Ț I M I

Întrucât fracția este ireductibilă, a și b nu pot fi simultan numere pare. Fie de exemplu a un număr par, atuncib este impar. În acest caz a = 2d, unde d este un număr natural (d ≠ 0).

, de unde rezultă că , sau , ceea ce este o contradicție, deoarece în mem-

brul stâng al egalității avem un număr impar, iar în membrul drept un număr par. Deci nu este număr rațio-nal.

În general, dacă radicalul unui număr natural nu este întreg, atunci este un număr irațional.

Chiar și cu 300 de ani în urmă, matematicienii credeau că r este număr rațional și au încer-

cat să-l scrie sub forma unei fracții. Numerele raționale și sunt două valori aproxima-

tive pentru r.

Perimetrul cercului de rază r este egală cu 2rr. În această formulă r nu este un număr rațional.

Acele fracții zecimale care nu se pot scrie sub forma unei fracții, la care atât numărătorul, câtși numitorul sunt numere întregi, se numesc fracții zecimale infinite neperiodice. Pe acestea levom reprezenta cu ajutorul valorilor aproximative:

;

SoluțieEste vorbă despre numărul 0,1234567891011121314151617…

Dacă această fracție zecimală ar fi periodică începând de la o cifră, putem găsi o putere a lui 10, care conținemai multe zerouri decât lungimea perioadei. În acest caz perioada va conține numai zerouri, adică fracția zecimalăconține numai zerouri, începând cu această zecimală, ceea ce înseamnă că ea este finită. Deoarece există o infi-nitate de numere naturale, am ajuns la o contradicție.

Deci numărul dat este o fracție zecimală infinită neperiodică, adică este număr irațional.

Numerele reale sunt reprezentate grafic pe axa numerelor reale. Fiecare punct al axei corespundeunui număr real și reciproc.

12.

1,414213562372 f= 3,1415926535898f=r

355113

227

2

2b d2 2=2 4b d2 2=2bd

bd2 4

2

2

2

2

= =] g

Numerele raționale și cele iraționale formează împreună mulțimea numerelor reale, care se no-tează cu R. (Figurile 11 și 12).

Numere reale

Exemplul 3 Formăm o fracție zecimală în felul următor: prima cifră este 0, urmează virgula, iar apoi numerelenaturale în ordinea crescândă. Să se demonstreze că acest număr este irațional.

Numerele care nu se pot scrie ca raportul a două numere întregi, se numesc numere irațio-nale.

Numere iraționale

12

C L A S A A 9 - A

r nu este număr rațional

Mulțimea numerelorreale se notează cu R.

11.

Numere iraționale

33364_Metematika9_r_1 2016.06.28. 8:19 Page 12

MATEMATICĂ

VALOAREA ABSOLUTĂ (MODULUL) UNUI NUMĂR REAL

Valoarea absolută a unui număr real pozitiv este egală cu el însuși. Valoarea absolută a unuinumăr real negativ este egală cu opusul numărului. Valoarea absolută a lui 0 este egală cu 0. Va-loarea absolută a numărului a se notează cu .

Valoarea absolută a unui număr real reprezentat pe axa numerelor reale este egală cu dis-tanța numărului respectiv de la origine.

Cu valoarea absolută a unui număr real ne vom ocupa detaliat mai târziu.

Care sunt mulțimi dintre următoarele?a) Numerele naturale pare.b) Oamenii prietenoși.c) Numerele rotunde.d) Fracțiile mici.e) Fracțiile pozitive mai mici ca 1.

Care dintre mulțimile de mai jos sunt egale?A = {numerele pare pozitive de o singură cifră};B = {cifrele pare diferite de 0};C = {cifrele pare};D = {0, 2, 4, 6, 8};E = {2, 4, 6, 8};F = {multiplii de 2, de o singură cifră}.

a) Să se determine mulțimile de mai jos, numind individul elementele sale.A: Numerele întregi mai mari ca 3 și care nu sunt mai mari ca 10.B: Multiplii lui 0.C: Multiplii pozitivi ai lui doi, de o singură cifră.D: Divizorii pozitivi ai lui 30.E: cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 și 30.b) Să se specifice mulțimile date în două moduri.

Să se determine mulțimile de mai jos, specificând o proprietate comună a elementelorsale.A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}; B = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …};C = {3, 9, 27, 81, 243, 729, …}; D = {0, 1}.

Să se arate căa) suma; b) diferența; c) produsul; d) câtul (dacă există) a două numere raționale este tot un număr rațional.

Poate fi număr rațional sau iraționala) suma; b) diferența; c) produsul; d) câtula unui număr rațional și a unui număr irațional?

Poate fi număr rațional sau iraționala) suma; b) diferența; c) produsul; d) câtula două numere iraționale?

7. E2

a

6. E2

5. E1

4. K1

3. K1

2. K1

1. K1

Probleme

I . M U L Ț I M I 13

C L A S A A 9 - A

Valoarea absolută (modulul)

Alte probleme: Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I. 145–153.

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 13

MATEMATICĂ I . M U L Ț I M I

2. Mulțimi speciale, intervale

MULȚIMI SPECIALE

În cazul rezolvării unei probleme de obicei se specifică mulțimea, elementele căreia pot fi soluții.

Fiecărei probleme îi atașăm mulțimea fundamentală. Dacă aceasta nu se specifică, atunci con-siderăm cea mai largă mulțime posibilă, ca mulțime fundamentală.

SoluțieDacă , atunci –2 < x < 2.a) În mulțimea numerelor întregi, mulțimea soluțiilor este {–1; 0; 1}. b) În mulțimea numerelor reale pozitive, mulțimea soluțiilor este intervalul 0 ]0; 2[.c) În mulțimea numerelor reale mai mari ca 5 nu există soluții, deci mulțimea soluțiilor este mul-

țimea vidă.

Se poate constata că aceeași problemă are soluții diferite în mulțimi fundamentale diferite.

Există o singură mulțime vidă, deoarece orice mulțime vidă nu conține nici un element.

2x 1

Mulțimea B este o submulțime a mulțimii A, dacă fiecare element al lui B aparține mulțimii A.Notații: B 3 A sau A 4 B.

Submulțime

Mulțimea care nu are nici un element, se numește mulțimea vidă. Notații: Q sau { }.

Mulțimea vidă

Mulțimea care conține toate soluțiile unei probleme se numește mulțimea soluțiilor.

Mulțimea soluțiilor

Mulțimea în care căutăm soluțiile unei probleme se numește mulțime fundamentală.

Mulțimea fundamentală

14

C L A S A A 9 - A

Exemplul 1 Să se rezolve inecuația în mulțimea a) numerelor întregi;b) numerelor reale pozitive;c) numerelor reale care sunt mai mari ca 5.

2x 1

Mulțimea vidă, notația: Q sau { }.

Mulțimea fundamentală

Mulțimea soluțiilor

B 3 A sau A 4 B. Submulțime

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 14

MATEMATICĂI . M U L Ț I M I

Conform definiției în submulțimile mulțimii A nu există elemente care nu aparțin lui A. Dacăo mulțime conține un element care nu aparține lui A, atunci aceasta nu este o submulțime a mul-țimii A.

Dacă B este o submulțime a lui A, putem spune că mulțimea A conține mulțimea B. (Figurile13.a și 13,b)

SoluțieFiecare element al lui B aparține lui A, deci B este o submulțime a lui A.

Elementele lui C nu aparțin lui A, deci C nu este o submulțime a lui A.Mulțimea D conține elemente care nu aparțin lui A, deci D nu este o submulțime a lui A.Fiecare element al lui E aparține lui A, deci E este o submulțime a lui A. Cele două mulțimi sunt

egale.În mulțimea F nu există nici un element care nu aparține lui A. Deci F este o submulțime a lui

A.Mulțimea G conține elemente care nu aparțin lui A, deci G nu este o submulțime a lui A.

Se poate constata că orice mulțime este o submulțime a ei însăși, iar mulțimea vidă este o sub-mulțime a oricărei mulțimi.

SoluțieDeoarece orice număr întreg este par sau impar, această mulțime nu conține nici un element. Deci submulțimeacăutată este mulțimea vidă.

Exemplul 3 Să se determine o submulțime a mulțimii numerelor întregi care are următoarea proprietate: ele-mentele sale sunt simultan pare și impare.

Exemplul 2 Fie mulțimea A = {1; 2; 3}. Dintre mulțimile de mai jos, care sunt submulțimi alemulțimii A? B = {1; 3}, C = {4; 6}, D = {1; 3; 4; 6}, E = {1; 2; 3}, F = { }, G = {0; 1; 2; 3; 4}.

15

C L A S A A 9 - A

13.a

A

B

B este submulțimea lui A

13.b

A

B

B nu este submulțimea lui A

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 15

MATEMATICĂ I . M U L Ț I M I16

C L A S A A 9 - A

INTERVALE

Intervalele sunt mulțimi, dar le folosim atât de des încât pentru ele am introdus notații speciale.

Cu ajutorul exemplelor ce vor urma, vom prezenta diferite tipuri de intervale.

Soluțiea) Mulțimea A este intervalul care conține toate numerele reale cuprinse între –2 și 3, mai puțin

pe –2 și 3. (Spunem că intervalul este deschis). Notație: A = ]–2; 3[. Reprezentarea graficăvezi în figura 14.

b) Mulțimea B este intervalul care conține toate numerele reale cuprinse între –2 și 3, inclusiv pe–2, dar mai puțin pe 3. (Spunem că intervalul este închis la stânga, deschis la dreapta). Nota-ție: B = [–2; 3[. Reprezentarea grafică vezi în figura 15.

c) Mulțimea C este intervalul care conține toate numerele reale cuprinse între –2 și 3, inclusiv pe3, dar mai puțin pe –2. (Spunem că intervalul este deschis la stânga, închis la dreapta). Nota-ție: C = ]–2; 3]. Reprezentarea grafică vezi în figura 16.

d) Mulțimea D este intervalul care conține toate numerele reale cuprinse între –2 și 3, inclusiv pe–2 și 3. (Spunem că intervalul este închis). Notație: D = [–2; 3]. Reprezentarea grafică vezi înfigura 17.

17.

16.

15.

14.

Mulțimea tuturor numerelor reale cuprinse între două numere reale date se numește interval(finit).

Interval

Exemplul 4 Să se precizeze și să se reprezinte grafic pe axa numerelor reale intervalele date.a) A = {x | –2 < x < 3, x număr real};b) B = {x | –2 # x < 3, x număr real};c) C = {x | –2 < x # 3, x număr real};d) D = {x | –2 # x # 3, x număr real}!

Interval

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 16

MATEMATICĂI . M U L Ț I M I

Denumirea de interval finit se referă numai la „lungimea intervalului”, nu înseamnă că are unnumăr finit de elemente.

În cazul când considerăm mulțimea numerelor reale mai mici (mai mici sau egale), mai mari(mai mari sau egale) decât un număr real dat, la fel folosim denumirea de interval.

Infinitul îl notăm cu 3. Acesta nu este un număr ci un simbol, ceea ce are semnificația: este maimare ca orice număr real. Notăm cu –3 „opusul” lui 3, cu semnificația: mai mic decât oricenumăr real. Nici acesta nu este număr. 3 și –3 nu figurează pe axa numerelor reale.

Soluțiea) Mulțimea A este intervalul numerelor reale mai mici decât 3. Notație: A = ]–3; 3[. Repre-

zentarea grafică vezi în figura 18.

b) Mulțimea B este intervalul numerelor reale mai mici sau egale cu 3. Notație: B = ]–3; 3]. Re-prezentarea grafică vezi în figura 19.

c) Mulțimea C este intervalul numerelor reale mai mari ca –2. Notație: C = ]–2; 3[. Reprezenta-rea grafică vezi în figura 20.

d) Mulțimea D este intervalul numerelor reale mai mari sau egale ca –2. Notație: D = [–2; 3[. Re-prezentarea grafică vezi în figura 21.

21.

20.

19.

18.

Exemplul 5 Să se reprezinte grafic pe axa numerelor reale intervalele de mai jos.a) A = {x | x < 3, x număr real}; b) B = {x | x # 3, x număr real};c) C = {x | x > –2, x număr real}; d) D = {x | x $ –2, x număr real}.

Dacă un interval conține mulțimea numerelor reale mai mici (mai mici sau egale), mai mari (maimari sau egale) decât un număr real dat, atunci îl numim interval infinit. De exemplu: 0 < x, x < 0 sau x $ –1.

Interval infinit

17

C L A S A A 9 - A

(Infinitul) 3 nu estenumăr

Interval infinit

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 17

MATEMATICĂ I . M U L Ț I M I

Să se reprezinte grafic pe axa numerelor reale intervalele de mai jos.a) ]–10; 6]; b) ]–3; 10[; c) ]–3; –5]; d) ]4,5; 3[; e) [–2,25; 7,5]; f) ]–6; 3[.

Să se determine și să se reprezinte grafic mulțimile de soluții ale inecuațiilor date, dacă mulțimea fundamentală este A) mulțimea numerelor naturale; B) mulțimea numerelor întregi; C) mulțimea numerelor reale nenegative.a) x < 10; b) –x > 5; c) ; d) 2x < 0.

Mulțimea fundamentală a inecuațiilor de mai jos este mulțimea numerelor reale. Să se or-doneze mulțimile soluțiilor în așa fel, ca fiecare mulțime să fie o submulțime a celei care o precede.a) x2 > 5; b) x – 10 $ 15; c) –x < –10; d) 25 < x; e) .

În figurile de mai jos sunt reprezentate niște intervale. Să se specifice aceste intervale șicele ale elementelor care nu aparțin intervalului dat. (Figura 22).

a)

b)

c)

d)

e)

3. Reuniunea și intersecția mulțimilor

În școala generală am cunoscut mulțimile și operațiile mai simple cu acestea. În continuare vom îm-bogăți și adânci aceste cunoștințe. După cum ne vom convinge mai târziu, aplicarea acestor cu-noștințe ne va ajuta la studierea unor probleme de algebră, la studiul funcțiilor sau al geometriei.Prin reprezentarea mulțimilor și prin aplicarea operațiilor cu acestea, se pot rezolva o serie de pro-bleme de logică, care ni se par foarte grele.

Deci mulțimea A , B conține toate elementele care aparțin mulțimii A sau mulțimii B. (De-sigur și elementele comune).

Se numește reuniunea a două mulțimi mulțimea tuturor elementelor care aparțin cel puținuneia dintre acest mulțimi. Notație: ,. (Figura 23).

Reuniunea a două mulțimi

x

0 1

x

0 1

x

0 1

x

0 1

x

0 1

4. K2

2 5x 2-

3. E1

3x $

2. K1

1. K1

Probleme

18

C L A S A A 9 - A

Alte probleme: Matematika gyakorló

és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I.

154–157.,164–166.

Notație: U.

23.

22.

Reuniunea mulțimilor

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 18

MATEMATICĂ

Fie de exemplu A mulțimea numerelor pozitive pare, care nu sunt mai mari ca 10, iar B mulți-mea numerelor pozitive divizibile cu 3, care nu sunt mai mari ca 20, deci

A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, atunciA , B = {2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18}.Din definiția reuniunii rezultă imediat proprietățile următoare:

Este evident că pentru orice mulțime A, avem A , A = A, iar dacă B 3 A, atunci A , B = A.Deoarece mulțimea vidă este o submulțime a oricărei mulțimi, rezultă că A , Q = A.

Deci mulțimea A + B este mulțimea elementelor comune ale mulțimilor A și B.Fie de exemplu A mulțimea numerelor pozitive pare, care nu sunt mai mari ca 10, iar B mul-

țimea numerelor pozitive divizibile cu 3 care nu sunt mai mari ca 20, deciA = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, atunciA + B = {6}.

Similar cu reuniunea mulțimilor:

Pentru orice mulțime A, avem A + A = A, iar dacăB 3 A, atunci A + B = B. Și de aici rezultă căA + Q = Q.

Se pot demonstra și următoarele proprietăți.

Iată câteva exemple pentru aplicațiile acestor operații.

SoluțieA + B = {2, 4}, deci (A + B) , C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 10}.

Exemplul 1 Se consideră mulțimile A, B și C:A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10} și C = {1, 3, 6, 9, 10}.Să se determine elementele mulțimii (A + B) , C.

Intersecția este comutativă: A + B = B + A.este asociativă: A + (B + C) = (A + B) + C.

Se numește intersecție a două mulțimi A și B, mulțimea elementelor care aparțin atât lui A,cât și lui B. Notație: +. (Figura 24).

Intersecția (partea comună) a două mulțimi

Este comutativă A , B = B , A.Este asociativă A , (B , C) = (A , B) , C.

I . M U L Ț I M I 19

C L A S A A 9 - A

A , B = B , AA , (B , C) = (A , B) , C

Notația intersecției: +

A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + C

A , (B + C) = (A , B) + (A , C)

A + (B , C) = (A + B) , (A + C)

24.

25.

26.

A B

C

A B

C

Reuniunea este distributivă față de intersecție, adicăA , (B + C) = (A , B) + (A , C). (Figura 25).Intersecția este distributivă față de reuniune, adicăA + (B , C) = (A + B) , (A + C). (Figura 26).

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 19

MATEMATICĂ I . M U L Ț I M I

SoluțieReprezentăm cele trei mulțimi pe axa numerelor reale, de unde putem citi rezultatul. (Figura 27).

Din figura 27 rezultă că A + B + C = {–2 # x # –1 sau 1 # x < 3}.

Soluție(A , C ) + B = {1, 2, 4, 8}. (Figura 28).

Efectivul unei clase sportive este de 24 de elevi. Dintre elevii clasei toți fac atletism sau baschet:16 fac atletism, iar 14 baschet. Câți dintre elevii clasei fac numai baschet?

Fiecare elev al unei clase a participat la unul dintre cele trei concerte organizate în acestan școlar. La primul concert au participat 12 elevi, la cel de-al doilea la fel 12, iar la cel de-al trei-lea 13. Numai trei elevi au participat la toate cele trei concerte. Numărul elevilor care au partici-pat la un singur concert a fost de 14. Cât este efectivul clasei?

Fie A mulțimea numerelor divizibile cu 2, B mulțimea numerelor divizibile cu 3, iar C mul-țimea numerelor divizibile cu 4. Să se reprezinte mulțimile date prin diagrame și să se așeze înaceste diagrame numerele 0, 4, 6, 8, 12, 15, 18, 27, 162, 300!

Să se caute 5 mulțimi astfel încât intersecțiile oricăror patru dintre ele să nu fie vidă, darintersecția celor cinci mulțimi să fie egală cu mulțimea vidă.

56 de elevi ai unei școli de muzică studiază vioara, pianul sau violoncelul. (Fiecare cântă launul dintre aceste instrumente) Numărul elevilor care cântă la două instrumente este de patru ori,iar al acelora care cântă la un singur instrument este de nouă ori mai mare ca numărul elevilorcare cântă la trei instrumente. Care este numărul elevilor care cântă la un singur instrument?

Cei 42 de membri ai secției de turism a unei școli au participat la una dintre excursiile or-ganizate în acest an. Numărul participanților la cea de-a doua excursie a fost cu 1 mai mare cala prima, iar la cea de-a treia excursie cu 5 mai mare ca la prima. Numărul membrilor care au par-ticipat la două excursii a fost de trei ori, iar al acelora care au participat la o singură excursie afost de 10 ori mai mare decât numărul participanților la toate cele trei excursii. Câți au partici-pat la prima, la cea de-a doua și la cea de-a treia excursie?

6. E1

27.

5. K2

4. E1

3. K2

2. K1

1. K1

Probleme

Exemplul 3 Fie A mulțimea divizorilor pozitivi ai numărului 24, B mulțimea divizorilor pozi-tivi ai numărului 32, iar C mulțimea divizorilor pozitivi ai numărului 36. Să se reprezinte mul-țimile date prin diagrame și să se determine elementele mulțimii (A , C ) + B.

Exemplul 2 Fie A mulțimea numerelor reale x pentru care –2 # x # 4, B mulțimea numere-lor reale x pentru care | x | $ 1, iar C mulțimea numerelor reale x pentru care x < 3. Să se de-termine elementele mulțimii A + B + C.

20

C L A S A A 9 - A

28.

A B

C

21 43 612

24 3216

18 369

8

33364_Metematika9_r_1 2016.02.29. 10:50 Page 20