Nicolae Dăneţ Dan Caragheorgheopol Daniel...

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢIIBUCUREŞTI

Departamentul de Matematică şi Informatică

Nicolae Dăneţ

Dan Caragheorgheopol Daniel Tudor

UTILIZAREA CALCULATOARELORIntroducere în Mathcad

Bucureşti 2014

Prefaţă

De ce acest titlu?Titlul cărţii, Utilizarea calculatoarelor, preia denumirea cursului existent înplanul de învăţământ al anului întâi de la facultatea "Căi Ferate, Drumuri şi Poduri"din Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti. Cum un calculator se poatefolosi în foarte multe domenii de activitate, acest titlul general impune o precizare:cartea este o introducere în utilizarea programului Mathcad™ 1. Ea reflectăexperienţa dobândită de autori în iniţierea studenţilor din anul întâi în utilizareaacestui program.

Cui se adresează această carte?Cartea nu este o prezentare completă a tot ceea ce poate face programul Mathcad.Ea se adresează studenţilor din primul an de facultate din învăţământul superiortehnic, pe care îi iniţiază în folosirea programului Mathcad pentru efectuareacalculelor numerice sau simbolice şi rezolvarea problemelor matematice pe care leîntâlnesc la celelalte discipline de studiu.

Ce conţine cartea?După o scurtă prezentare a interfeţei Mathcad făcută în capitolul 1, cititorul esteiniţiat în capitolele 2 şi 3 asupra modului în care se poate folosi programulMathcad pentru rezolvare problemelor de "Algebră liniară" sau "Analizămatematică". Capitolul 4 este consacrat graficii în Mathcad. În capitolul 5 suntprezentate posibilităţile de calcul simbolic ale acestui program. Capitolele 6 şi 7sunt dedicate rezolvării numerice sau simbolice a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţiineliniare folosind Mathcad. O scurtă introducere în posibilităţile de programare înMathcad este făcută în capitolul 8. În final, în capitolele 9 şi 10, sunt propusesubiecte pentru aplicaţiile practice şi teste de verificare.

Ce versiune de Mathcad este recomandată?Toate programele Mathcad care au stat la baza scrierii acestei cărţii au fostrealizate în Mathcad, versiunea 14. Cu mici excepţii, ele pot funcţiona şi înMathcad 11, dacă sunt scrise în această versiune. De fapt, majoritatea programelor

1 Mathcad este marcă înregistrată a firmei PTC (Parametric Technology Corporation), 140 Kendrick Street,Needham, MA 02494 USA, http://www.ptc.com/product/mathcad/.

i

au fost scrise iniţial în Mathcad 11.2a, una dintre cele mai bune şi stabile versiunide Mathcad, şi apoi transformate în versiunea 14. Diferenţele între cele douăversiuni pot să apară la programele care folosesc calculul simbolic, deoareceMathcad până la versiunea 11 a folosit procesorul de calculul simbolic de laMaple™ iar începând cu versiunea 12 a trecut la MuPad™. Pentru scriereaprogramelor în Mathcad autorii recomandă versiunile 14, mai precis 14.03, sau 15.

Bucureşti, februarie 2014 Autorii

ii

CUPRINS

Capitolul 1. Mathcad – Ghid de utilizare …….……………………………………1

Capitolul 2. Algebră liniară cu Mathcad …….…………………………………...15

Capitolul 3. Analiză matematică cu Mathcad ……………………………………78

Capitolul 4. Grafică în Mathcad ………………………………………………...109

Capitolul 5. Calcul simbolic în Mathcad ………………………………………..135

Capitolul 6. Rezolvarea ecuatiilor și inecuațiilor în Mathcad …………………..162

Capitolul 7. Rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare în Mathcad ……………181

Capitolul 8. Programare în Mathcad ……………………………………………207

Capitolul 9. Probleme pentru seminar …………………………………………..220

Capitolul 10. Teste de verificare ………………………………………………..241

Bibliografie ……………………………………………………………………..248

iii

1. MATHCAD – Ghid de utilizare

Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

Daniel Tudor

MATHCAD Ghid de utilizare

Ecranul Mathcad

Pentru a lucra comod in Mathcad se recomanda ca barele Standard,Formatting, Math, Status si Ruler sa fie afisate. Pentru aparitia acestora sedeschide meniul View si se selecteaza afisarea acestora, asa cum se vede infigura de mai jos.

Afisarea barei Math in momentele redactarii unui document Mathcad esteobligatorie.

Cu ajutorul ei se introduc cu usurinta in document operatorii si simbolurileMathcad.

Apasarea butoanelor acestei bare duce la aparitia unor submeniuri (toolbars) carecontin operatori sau simboluri grupate pe domenii de utilizare.

In continuare vom prezenta, pe scurt, aceste submeniuri ale barei Math.

2


Daniel Tudor

Bara Calculator

Apasarea butonului duce la aparitia barei Calculator

Bara Graph

Apasarea butonului duce la aparitia barei

Butoanele care apar pe aceasta bara folosesc pentru crearea graficelor 2-D sau3-D in Mathcad.

3


Daniel Tudor

Bara Matrix


Cu ajutorul acestei bare se introduc intr-o foaie de calcul Mathcad: matrice,elemente de matice, indici de elemente etc.

Pictogramele barei se folosec pentru a calcula inversa si determinantul uneimatrice, podusul scalar si vectorial a doi vectori etc.

Bara Evaluation


Evaluate numerically = Comanda de evaluare numerica

0

1

xx

d 0.5

Evaluate Simbolically CTRL + . Comanda de evaluare simbolica

xx

dx

2

2

0

1

xx

d1

2

4


Daniel Tudor

Definition : Comanda folosita pentru definirea uneifunctii, atribuirea unei valori numerice unrivariabile etc

f x( ) x2

x 1 z 3

Global Definition ~ Definitie globala valabila in intregul fisier.

De exemplu ORIGIN 1

Bara Calculus

Apasarea butonului duce la aparitia barei:

Folosind butoanele acestei bare se introduc in documentele Mathcad operatoriipentru calculul derivatelor, integralelor, sumelor, produselor, limitelor sisimbolul plus infinit.

Bara Boolean


5


Daniel Tudor

Folosind butoanele acestei bare se introduc in documentele Mathcad operatoriilogici relationali.

Bara Programming


Butoanele acestei bare se folosesc pentru a introduce in documente cuvintelecheie ale limbajului de programare de care dispune Mathcad-ul.

Bara Greek


Cu ajutorul acestei bare se introduc in documentele Mathcad literelealfabetului grec.

Pentru a simplifica introducerea literelor grecesti Mathcad-ul dispune deurmatoarea facilitate: se scrie litera latina corespunzatoare si apoi se tasteazaCRTL + G.

6


Daniel Tudor

Bara Symbolic Keyword

Apasarea butonului duce la aparitia barei:

Folosind butoanele acestei bare se introduc in documentele Mathcad cuvintelecheie pentru calculul simbolic.

Structura unui document Mathcad

Un document Mathcad este o combinatie de regiuni de:1) text2) formule 3) calcule numerice4) calcule simbolice5) grafice.

Pentru ca regiunile sa fie vizibile se deschide meniul View si se selecteazaoptiunea Regions.

7


Daniel Tudor

Exemplul 1. Combinatii de diverse tipuri de regiuni intr-undocument Mathcad

Acest exemplu ne permite sa ilustram cum se pot combina diferitele tipuri deregiuni intr-un document Mathcad.

Regiune de text Se considera functia de gradul al doilea

Regiune de formule f x( ) x2

3 x 2

Regiune de text Se cere:a) Valorile functiei date in punctele x1 = -3.5 six2 = 4.123 b) Determinati solutiile ecuatiei atasate f(x) = 0.c) Reprezentati grafic pe intervalul [-0, 3] functiadata.

Regiune de calculenumerice

f 3.5( ) 24.75

x2 4.123 f x2( ) 6.63

Regiune de formule x2

3 x 2 0=

Regiuni de calculesimbolice

has solution(s)

1

2

8


Daniel Tudor

0 1 2 3

1

1

2

f x( )

x

Regiune de reprezentare grafica

Lucrul cu regiuni de text

Regiunile de text sunt folosite pentru a introduce in documentele Mathcad texteexplicatie asupra calculelor si reprezentarilor grafice care se fac in documentulrespectiv.

Crearea unei regiuni de text

1) Se da clic intr-o zona libera a documentului in care se doreste aparitiazonei de text.2) Se deschide meniul Insert si se da comanda Text Region sau se tasteazaghilimele ("). Mathcad deschide o zona de text in care cursorul se transformain reper de inserare de culoare rosie.

3) Se scrie textul dorit. Mathcad marcheza zona de text inconjurand-o cu unchenar. Pe masura ce textul este scris, reperul de inserare se deplaseaza spredrepta si zona de text creste.

4) Pentru parasirea zonei de text se da clic in afara acesteia. Chenarul caremarca zona dispare.

Observatie. Parasirea zonei de text nu se poate face tastand Enter.Se poate parasi, totusi, o zona de text folosind tastatura in doua moduri:1) Tastand combinatia Ctrl + Shift + Enter.2) Apasand in mod repetat una dintre tastele sageti.

9


Daniel Tudor

MATHCAD - Ghid de utilizare

Folosirea unitatilor de masura

Exemplul 1

Un paralelipiped dreptunghic are urmatoarele dimensiuni:

L 20m:= l 15m:= h 80cm:=

Perimbaza 2 L l+( ):= Perimbaza 70 m=

Ariabazei L l:= Ariabazei 300 m2=

Volumul L l h:= Volumul 2.4 105 L=

Ldiagpara L2 l2+ h2+:= Ldiagpara 25.013 m=

Ldiagbaza L2 l2+:= Ldiagbaza 25 m=

Exemplul 2

Un cerc are raza egala cu 50 cm. Determinati lungimea si aria cercului siexprimati rezultatul in metri, respectiv metri patrati.

R 50cm:=

L 2 π R:= L 3.142 m=

A π R2:= A 0.785 m2=

Programul face automat transformare in m, respectiv mp, deoarece estesetat sa folosesca Sistemul International de unitati de masura.

10


Daniel Tudor

Acesta setare se face in fereastra Worksheet Options, in tab-ulUnit System.

11


Daniel Tudor

ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

Calcul matriceal

Trasformarea masurii unui unghi din radiani in grade sexazecimale

In Mathcad masura unui unghi se obtine in radiani. De multe ori avem nevoie de a exprima acesta masura in grade, minute si secunde sexazecimale. In continuarevom arata cum se poate face aceasta transformare si transformarea inversa.

Notatii folosite:mung - masura unghiului (cand unitatea de masura este specificata dupa masuraunghiului)mrad - masura unghiului in radianimdeg - numarul de grade din mausura unghiului in grade, minute si secundemmin - numarul de minute din masura unghiului in grade, minute si secundemsec - numarul secundelor din masura unghiului in grade, minute si secunde

Fie dat un unghi a carei masura este

mung 1rad

Transformarea in grade se poate face prin doua metode:a) folosind facilitatile pe care le ofera Mathcad pentru transformarea unitatilor demasura.b) direct, scriind formula de calcul pentru transformare.

a) Pentru a utiliza prima metoda se da click pe rezultatul obtinut si in loculmarcat care apare in partea dreapta a rezultatului se completeaza noua unitatede masura deg (degree = gradul sexazecimal).

mung 57.296 deg

b) Se scrie firmula de transformare din radiani in grade sexazecimale

mrad 1

mdeg mrad180

π

mdeg 57.296

Se trunchiaza numarul de grade la partea intreaga.

mdeg_int trunc mdeg( ) mdeg_int 57

In continuare partea fractionara a numarului de grade este transformata inminute.

12


Daniel Tudor

mmin mdeg mdeg_int( ) 60 mmin 17.747

Se trunchiaza numarul de minute la partea intreaga.

mmin_int trunc mmin( ) mmin_int 17

In final, partea fractionara a numarului de minute este trasformata in secunde

msec mmin mmin_int( ) 60 msec 44.806

Se rotunjeste numarul de secunde la un numar intreg prin lipsa (daca parteafractionara este strict mai mica decat 0.5) sau prin adaos (daca partea fractionaraeste mai mare sau egala cu 0.5).

msec_int round msec( ) msec_int 45

In concluzie,unghi de

mrad 1 are

mdeg_int 57 grade

mmin_int 17 minute

msec_int 45 secunde

Transformarea masurii unui unghi din grade sexazecimale in radiani

Fie un unghi care are mdeg 57 grade

mmin 17 minute

msec 45 sec

Petru a transforma masura unghiului in radiani se transforma maiintai totul in grade

msecdegmsec

60 60 msecdeg 0.013

mmindegmmin

60 mmindeg 0.283

mdeg_total mdeg msecdeg mmindeg mdeg_total 57.296

13


Daniel Tudor

Se face apoi transformarea din grade in radiani.

mrad mdeg_totalπ

180 mrad 1.000000939340584

Observatie. Valoarea obtinuta nu este exact un radian deoarece in calculele demai sus numarul de secunde a fost aproximat prin adaos.

14

2. ALGEBRĂ LINIARĂ CU MATHCAD


Daniel Tudor


Calcul matriceal

Introducerea matricelor

Mathcad are predefinite functiile uzuale pentru calculul matriceal. Matricelecare au n linii si o singura coloana se numesc vectori.

Pentru introducerea unei matrice intr-un document Mathcad se parcurg etapele:

1. Se da clic cu mouse-ul sau, cu ajutorul tastelor sageti, se face deplasareacursorului in forma de cruce in locul din document in care se doreste sa fieintrodusa matricea.

2. Se tasteaza numele matricei urmat de operatorul de definire (atribuire).

A

3. Se deschide meniul Insert si se da comanda Matrix sau se apasa butonulcorespunzator de pe bara Matrix.

16


Daniel Tudor

Deoarece operatia de introducere a unei matrice se va face foarte frecvent, serecomanda retinerea comenzii de introducere a unei matrice folosind tastatura:Ctrl+M.

Ca urmare, pe ecran apare fereastra de dialog Insert Matrix in care secompleteaza campurile care solicita numarul de linii (Rows) si de coloane(Columns) ale matricei ce urmeaza a fi introdusa. Valorile implicite ale acestorasunt 3 si 3.

Dupa complerare se tasteaza Enter sau se da clic cu mouse-ul pe unul dintrebutoanele Insert sau OK ale ferestrei Insert Matrix. In document esteinserata macheta matricei.

A

4. Se completeaza pozitiile marcate cu valori numerice. Trecerea de la o pozitie laalta se face cu ajutorul tastei Tab sau folosind mouse-ul si dand clic pe fiecarepozitie.

A

3

5

10

6

7

12

8

2

9

17

Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR

Daniel Tudor


Operatii cu matrice

Elementele unei matrice. Indici

Fie matricea

A

1

4

7

2

5

8

3

6

9

Elementele matricei sunt variabile indexate de forma Ai,j. Indicii se scriu desparti

de virgula si au valoarea initiala implicita zero.

Scrierea la nivel de indice se face tastand [ (paranteza dreapta deschisa)sau folosind butonul xn aflat pe bara Matrix. De exemplu, elementele

primei linii sunt

A0 0 1 A0 1 2 A0 2 3

iar elementele primei coloane au indicii

A0 0 1 A1 0 4 A2 0 7

Scrierea elementelor unei matrice cu litera mica corespunzatoarenumelui acesteia

Pentru ca elementele matricei A sa poata fi scrise cu litera mica a se defineste

a AAtunci avem

a0 0 1 a0 1 2 a0 2 3

Schimbarea originii indicilor

Schimbarea originii indicilor de la zero la unu se face in ferestra WorksheetOptions... Pentru aparitia acesteia se da comanda Worksheet Options din meniul Tools.

De regula, la aparitia acestei ferestre functia Built-In Variables este activa sirubrica Array Origin (ORIGIN) este vizibila. Aici se face schimbareainlocuind pe 0 cu 1.

18


Daniel Tudor

Acest mod de schimbare a indicilor se face fara ca in pagina documentului saapara o mentiune expresa despre modificarea facuta. Uneori este preferabil caaceasta modificare sa fie vizibila in document. Pentru acesta se recomanda ca lainceputul documentului sa se faca schimbarea valorii parametrului ORIGIN de la 0la 1 scriind explicit instructiunea de atribuire a valorii 1.

ORIGIN 1

Pentru ca efectul acestei instructiuni sa se manifeste in intreg documentul eatrebuie plasata ca prima instructiune in document.

O alta posibilitate este folosirea instructiunii de definire globala, care poate fiamplasata oriunde in document.

ORIGIN 1

Observatie. Locul marcat (patratul negru) de langa numarul 1 arata ca in acestcaz instructiunea nu functioneaza fiind selectata optiunea "Disable Evaluation" .Pentru a schimba acesta optiune in "Enable Evaluation" se selecteaza regiunea sise da click cu butonul drept al mouse-ului pentru aparitia meniului contextualunde apare aceasta.

19


Daniel Tudor


Calcul matriceal

Operatii cu matrice

Mathcad permite efectuarea tuturor operatiilor posibile cu matrice.Pentru exemplificare consideram matricele A, B si C definite mai jos.

A

1

6

8

3

5

9

2

4

7

B

9

6

3

8

5

2

7

4

1

C

2

4

6

1

3

5

Adunarea, scaderea si inmultirea matricelor folosescoperatorii uzuali

A B

10

12

11

11

10

11

9

8

8

A B

8

0

5

5

0

7

5

0

6

A C

26

56

94

20

41

70

La inmultirea a doua matrice A(m,n) cu B(n,p) trebuie se tina seama canumarul de coloane din prima matrice sa fie egal cu numarul de linii dinmatricea a doua. Rezultatul, matricea C, este o matricea de tipul (m,p).Simbolic scriem A(m,n)*B(n,p) = C(m,p)

La ridicarea la puterea m (m numar intreg) a unei matrice patratice A se va tinesema de urmatoarele reguli:Daca m = 0, se obtine matrice unitate.Daca m = 1, se obtine matricea A.Daca m = -1, se obtine inversa matricei A.Daca m 2 , se obtine puterea m a matricei A. Daca m 2 , se obtine puterea |m| a inversei matricei A. Pentru obtinerea operatorului de ridicare la putere a unei matrice (la fel ca lanumere) se tasteaza Shift+6. Ca efect se obtine plasarea pozitiei marcate la nivel

de indice superior: A

A0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

A1

1

6

8

3

5

9

2

4

7

A1

0.333

3.333

4.667

1

3

5

0.667

2.667

4.333

20


Daniel Tudor

A2

35

68

118

36

79

132

28

60

101

A2

6.556

23.556

38.444

6.667

25.667

41.333

5.778

21.778

35.222

Pentru calculul determinantului unei matrice patratice se apasa butonul |x| aflatpe bara Matrix (in cazul determinantului unei matrice se poate folosi si butonul|x| din meniul Calculator) sau se tasteaza Shift+\. Pe ecran apare simboluldeterminantului in Mathcad, care are in interior o pozitie marcata ce trebuiecompletata cu numele matricei.

A 3

Pentru determinarea transpusei unei matrice se scrie numele matricei si se

tasteaza Ctrl+1 sau se apasa butonul MT aflat pe bara Matrix.

C

2

4

6

1

3

5

CT 2

1

4

3

6

5

Daca elementele matricei date sunt numere compleze se poate determinamatricea conjugata, adica matricea care are toate elementele egale cuconjugatele numerelor complexe din matricea data. Matricea conjugata seobtine tastand dupa numele ei ". De exemplu, fie

D1 2 i

4

i

3 i

1 2 i

1

Atunci D 1 2i

4

i

3 i

1 2i

1

Inmultirea unei matrice cu un numar real r foloseste simbolul obisnuit deinmultire. De exemplu

3 A

3

18

24

9

15

27

6

12

21

Pentru a aduna un numar real r la toate elementele unei matrice se scrie A+ r si nu A +rU, unde U este matricea care are toate elementele egale cu 1.

21


Daniel Tudor

De exemplu

A

1

6

8

3

5

9

2

4

7

A 2

3

8

10

5

7

11

4

6

9

in loc de

U

1

1

1

1

1

1

1

1

1

A 2 U

3

8

10

5

7

11

4

6

9

22


Daniel Tudor


Calcul matriceal

Operatii cu vectori

Vectorii n dimensionali sunt matrice cu n linii si o singura coloana. Prin urmare,toate operatiile prezentate pentru matrice se pot utiliza si pentru vectori.

In plus, pentru vectori se adauga unele operatii specifice acestora:produsul scalarcalculul normei euclidieneprodusul vectorial (numai pentru vectorii cu trei componente).

Fie x si y doi vectori din R4.

ORIGIN 1x

x1

x2

x3

x4

x

y

y1

y2

y3

y4

y

Produsul scalar al celor doi vectori este definit prin formula

x y x

Pentru a calcula produsul scalar al celor doi vectori in Mathcad se dacomanda obisnuita de inmultire de la tastatura: SHIFT + *.

Nu este neaparat nevoie sa se dea acesta comanda existenta pebara Matrix.

Norma euclidiana a vectorului x este egala cu radical din produsul scalar:

x x x=

Pentru un vector x, real sau complex, norma euclidiana este egala cu radical dinsuma patratelor modulelor componentelor vectorului x. Daca vectorul x este real,atunci nu mai este nevoie de a modul elementelor deoarece patratul unui numarreal este egal cu patratul modulului sau.

x x

23


Daniel Tudor

Pentru calculul normei euclidiene Mathcad foloseste operatorul care are aceeasiforma grafica cu cel folosit pentru calculul valorii absolute a unui numar real saucomplex sau pentru calculul determinantului unei matrice patratice. Trebuieprecizat ca nu trebuie folosit operatorul din meniul Matrix (acesta fiind folositexclusiv de Mathcad pentru calculul determinantului unei matrice), ci doar celdin meniul Calculator. De la tastatura combinatia de taste SHIFT+\ estefunctionala atat pentru calculul normei euclidiene a unui vector, cat si pentrudeterminantul unei matrici.

Observatie.1. Daca pozitia marcata este completata cu o matrice patratica se calculeazadeterminantul acesteia. 2. Daca in pozitia marcata se scrie numele unui vector atunci se calculeaza normaeuclidiana a acestuia (cu conditia ca operatorul cu forma grafica anterioara sa fiedin meniul Calculator sau de la tastatura). 3. Daca pozitia marcata se completeaza cu un numar real sau complex atunci seva calcula modulul acelui numar(cu conditia ca operatorul cu forma graficaanterioara sa fie din meniul Calculator sau de la tastatura).

De exemplu

A

1

5

0

2

3

6

7

1

9

A 267 este valoarea determinantului matricei A

w

2

4

5

w 5 este valoarea normei euclidiane a vectorului x

Pentru numere reale sau complexe cu acelasi operator se calculeaza modulul,dupa cum se poate vedea mai jos:

a 21.345 a 21.345 z 4 3 i z 5

24


Daniel Tudor

Produsul vectorial se poate calcula numai pentru vectorii din R3. Rezultatul

este tot un vector din R3. Dati vectorii din R3

x

x1

x2

x3

x

y

y1

y2

y3

y

produsul lor vectorial este un vector din R3, notat

x y

care are componentelex y x

Pentru calculul produsului vectorial Mathcad are un operatorspecific

al carui buton se afla pe bara Matrix.

Acest operator se poate introduce si de la tastatura tastand Ctrl+8.

Exemplul 1.

Se dau vectorii

a

1

2

3

b

4

5

6

c

1

2

5

Calculati:1) Produsul scalar si produsul vectorial dintre vectorii a si b.2) Masura unghiului dintre vectrorii a si b.3) Aria paralelogramului si aria triunghiului determinat de vectorii a si b.4) Volumul paralelipipedului determinat de vectorii a,b si c.

Solutie.

1) Produsul scalar a b 32

25


Daniel Tudor

2) Produsul vectorial a b

3

6

3

3) Cosinusul unghiului dintre vectorii a si b

cosaba b

a b cosab 0.975

Masura unghiului dintre vectorii a si b θ acos cosab( ) θ 0.226

Masura unghiului se determina implicit in radiani.

Pentru transformarea in grade sexazecimale se foloseste posibilitateaMathcad-ului de a face transformari de unitati de masura. In acest scop, seda click pe rezultatul obtinut si in locul marcat care apare in partea dreapta arezultatului se completeaza noua unitate de masura deg (degree = gradulhexazecimal).

θ 12.933 deg

3) Aria paralelogramului determinat de vectorii a si b este egala cu normaprodusului vectorial dintre cei doi vectori. Deci

APab a b APab 7.348

Aria triunghiului determinat de vectorii a si b este jumatate din ariaparalelogramului, deci

ATaba b

2 ATab 3.674

4) Volumul paralelipiledului determinat de vectorii a, b si c este egal cu valoareaabsoluta a produsului mixt dintre cei trei vectori.

Vabc a b c( ) Vabc 30

26


Daniel Tudor

Cazul vectorilor cu componente complexe

Daca vectorii u si v au componente complexe

u

u1

u2

u3

= v

v1

v2

v3

=

atunci produsul scalar este definit prin formula

u v u1 v1 u2 v2

u3 v3

=

iar norma este data de relatia

u u u=

De exemplu, fie vectorii

u

1 2 i

3

2 i

v

i

2 3 i

1

Atunci produsul scalar este u v 2 11i

u1 v1 u2 v2

u3 v3

2 11i

Produsul scalar complex este anticomutativ. Aceasta inseamna ca daca inprodusul scalar se schimba ordinea factorilor atunci se obtine numarul complexconjugat.

v u 2 11i

v1 u1 v2 u2

v3 u3

2 11i

Norma vectorului u are valoarea

u 4.359

u1 u1 u2 u2

u3 u3

4.359

ORIGIN 1

27


Daniel Tudor


Calcul matriceal

Extragerea coloanelor, liniilor si a submatricelor dintr-o matrice

Pentru a extrage o coloana dintr-o matrice data se foloseste butonul

de pe bara Matrix.

Coloanele unei matrice sunt indexate cu indici superiori incadrati deparanteze unghiulare. Pentru a scrie un astfel de indice cu ajutorul tastaturii se tasteaza Ctrl+6. De exemplu, coloanele matricei

A

1

4

7

2

5

8

3

6

9

sunt

ORIGIN 1

A 1 1

4

7

A 2 2

5

8

A 3 3

6

9

Pentru extragerea liniilor se transpune matricea data, se extrag coloanele

matricei transpuse AT care se transpun din nou. Pentru transpunerea uneimatrice folosind tastatura se foloseste comanda CTRL+1.

AT 1 T

1 2 3( ) AT 2 T

4 5 6( ) AT 3 T

7 8 9( )

Reciproc, daca se dau mai multi vectori cu ajutorul lor se poate obtine omatrice, care are drept coloane vectorii dati. Pentru aceasta operatie se folosestefunctia din Mathcad numita augment.De exemplu, fie vectorii

a

1

2

3

b

4

5

6

c

7

8

9

d

10

11

12

28


Daniel Tudor

Cu acestia se poate forma matricea

M augment a b c d( )

M

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

M 1 1

2

3

M 2 4

5

6

M 3 7

8

9

M 4 10

11

12

O alta metoda de a obtine o matrice din mai multi vectori este aceea de a davectorilor acelasi nume si de a folosi indicii superiori.

z 1 1

2

3

z 2 4

5

6

z 3 7

8

9

z 4 10

11

12

Matricea obtinuta are numele z.

z

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Extragerea unei submatrice dintr-o matrice

Functia submatrix(M,ir,jr,ic,jc) extrage din matrice M o submatrice carecontine liniile de la ir la jr si coloanele de la ic la jc.

De exemplu, fie matricea

M

1

6

11

16

2

7

12

17

3

8

13

18

4

9

14

19

5

10

15

20

29


Daniel Tudor

Atunci

submatrix M 2 4 3 5( )

8

13

18

9

14

19

10

15

20

Daca se inverseaza indicii ir cu jr sau ic cu jr se schimba ordinea liniilor sau acoloanelor.


18

13

8

19

14

9

20

15

10


10

15

20

9

14

19

8

13

18

Exemplu

Fie matricea

ORIGIN 1 A

5

4

3

2

4

5

4

3

3

3

5

4

2

2

2

5

a A

Calculati valorile minorilor principali ai matricei A.

Δ1 a1 1Δ1 5

Δ2 submatrix A 1 2 1 2( ) Δ2 9

Δ3 submatrix A 1 3 1 3( ) Δ3 24

Δ4 A Δ4 84

30


Daniel Tudor


Calcul matriceal - Exercitii

Operatii cu matrice

1. Se dau matricele

A

1

3

6

2

4

9

5

7

8

B

2

3

4

7

2

6

5

1

9

C

8

3

1

2

5

4

D3 i

2

i

4 3 i

2 3 i

7

Determinati valorile expresiilor matriceale

3 A3 2 B

2 A B( ) C A1

B2 A C

CT

B D D T A 2 B 2

Solutie.

3 A3 2 B

2

996

1082

2369

359

409

2453

1566

1610

2335

A B( ) C

35

58

36

43

50

99

A1

B2

0.269

0.065

0.173

0.179

0.155

0.025

0.005

0.068

0.018

A C

7

29

13

32

42

25

CT

B29

5

56

20

46

51

D D T

24

5 27i

5 27i

78

A 2 B 2 202925

31


Daniel Tudor

2. Se dau vectorii din R3

x

2

3

7

y

5

3

1

z

2

1

2

Calculati:a) Produsul scalar dintre vectorii x si y.b) Produsul vectorial al vectorilor y si z (in aceasta ordine)c) Norma euclidiana a vectorului x.

Solutie.

x y 8 y z

7

12

1

x 7.874

3. Se dau vectorii din C3

v

2 i

i

3 i

w

1 i

2

2 3 i

Calcalati produsul scalar dintre vectorii v si w si normeleacestor vectori.

Solutie. v w 12 8i v 4 w 4.359

32


Daniel Tudor


Rezolvarea sistemelor liniare

Forma matriceala a unui sistem liniar

Fie sistemul de n ecuatii liniare cu n necunoscute

a1 1 x1 a1 2 x2 .... a1 n xn b1=

a2 1 x1 a2 2 x2 .... a2 n xn b2=

...............................................

............an 1 x1 an 2 x2 .... an n xn bn=

Pentru rezolvarea sistemului in Mathcad acesta trebuie scris sub forma matriceala

a1 1

a2 1

....

an 1

a1 2

a2 2

....

an 2

....

....

....

....

a1 n

a2 n

....

an n

x1

x2

....

xn

b1

b2

....

bn

=

sauA x b=

undeA este matricea sistemului;x este vectorul necunoscutelor;b este vectorul termenilor liberi.

A

a1 1

a2 1

....

an 1

a1 2

a2 2

....

an 2

....

....

....

....

a1 n

a2 n

....

an n

1

x

x1

x2

....

xn

2

b

b1

b2

....

bn

2

Rezolvarea sistemelor liniare nesingulare

1. Utilizarea functiei lsolve

Determinarea solutiei unui sistem de n ecuatii liniare cu n necunoscute

Ax = b,

33


Daniel Tudor

unde A este o matrice patratica nesingulara se poate face in Mathcad folosindfunctia lsolve(A,b)

Exemplul 1. Fie sistemul de ecuatiiliniare

5 x1 3 x2 6 x3 15=

2 x1 8 x2 7 x3 17=

4 x1 x2 9x3 19=

Pentru rezolarea sa scriem matricea sistemului A si vectorultermenilor liberi b.

A

5

2

4

3

8

1

6

7

9

b

15

17

19

Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matriceaeste nesingulara.

A 713

Deoarece determinantul matricei A este nenul, sistemul are solutie unica.

Se defineste solutia: x lsolve A b( )

Se calculeaza solutia: x

3

2

1

Verificarea solutiei: A x b

0.000000000000000

0.000000000000000

0.000000000000000

2. Utilizarea matricei inverse. Calcul numeric

Daca matricea A este nesingulara, atunci exista matricea inversa A-1 si solutiasistemului este data de formula

x A1

b=

34


Daniel Tudor

Exemplul 2. Fie sistemul de ecuatii liniare

5 x1 3 x2 6 x3 15=

2 x1 8 x2 7 x3 17=

4 x1 x2 9x3 19=

Pentru rezolarea sa scriem matricea sistemului A si vectorul termenilor liberi b.

A

5

2

4

3

8

1

6

7

9

b

15

17

19

Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matricea este inversabila.

A 713

Deoarece determinantul matricei A este nenul, matricea A este inversabila sisolutia sistemului este data de formula

x A1

bDeci

x

3

2

1

Verificare

A x b

0.000

0.000

0.000

Observatii.

10-15 inseamna "practic zero" sau "zero Mathcad". Deoarece in calculul matricei inverse se fac mai multe erorii de rotujire decatcele care se fac in metoda de rezolvare folosita de functia lsolve, se recomandaca sistemele liniare sa fie rezolvate cu lsolve si nu prin inversarea maticei.

35


Daniel Tudor

3. Utilizarea matricei inverse. Calcul simbolic

Exemplul 3. Fie sistemul de ecuatii liniare in care termenii liberi sunt variabilereale si nu numere.

5 x1 3 x2 6 x3 α=

2 x1 8 x2 7 x3 β=

4 x1 x2 9x3 γ=

Pentru rezolvare se procedeaza ca mai sus, dar in locul comenzii de calculnumeric se da comanda de calcul simbolic.

A

5

2

4

3

8

1

6

7

9

b

α

β

γ

α

Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matriceaeste inversabila.

A 713

Deoarece determinantul matricei A este nenul, matricea A este inversabila sisolutia sistemului este data de formula

s A1

b b

Pentru determinarea solutiei se da comanda de calcul simbolic (CRTL + . )

s

3 γ31

21 β713

79 α713

3 β31

γ

31

2 α31

2 γ31

17 β713

30 α713

Verificarea solutiei.

A s b

0

0

0

36


Daniel Tudor

Observatie. Deoarece procesorul numeric si cel simbolic al Mathcad-uluifolosesc methode diferite de calcul se recomanda ca in acelasi documentMathcad sa nu se amestece cele doua tipuri de calcul.

37


Daniel Tudor



Rezolvarea unui sistem patratic liniar si omogen

Orice sistem liniar si omogen de n ecuatii cu n necunoscute

a1 1 x1 a1 2 x2 .... a1 n xn 0=

a2 1 x1 a2 2 x2 .... a2 n xn 0=

...............................................

............an 1 x1 an 2 x2 .... an n xn 0=

sau, scris matriceal,

a1 1

a2 1

....

an 1

a1 2

a2 2

....

an 2

....

....

....

....

a1 n

a2 n

....

an n

x1

x2

....

xn

0

0

....

0

=

A x 0=

admite intotdeauna solutia nula x = 0.

Daca determinantul sistemului este nenul, sigura solutie a sistemului estesolutia nula.

Daca determinatul sistemului este nul, sistemul admite si solutii diferite desolutia nula. Solutia admisa va depinde de un numar de parametrii egal cu diferentadintre dimensiunea matricei sistemului si rangul ei.

Determinarea solutiilor diferite de solutia banala se poate face in Mathcadfolosind functia rref.

Exemplul 1

Fie sistemul liniar si omogen

x 2y 3z 0=2x 6y 11z 0=x 2y 7z 0=

38


Daniel Tudor

Matricea sistemului este A

1

2

1

2

6

2

3

11

7

Calculam determinntul ei A 0

Deoarece matricea este singulara (i.e., determinantul ei este egal cu zero)sistemul admite si solutii diferite de solutia nula: x = 0, y = 0, z = 0.

Pentru a vedea numarul de parametri de care depinde solutia se calculeazarangul matricei A

rank A( ) 2

si se scade din dimensiunea matricei

nr_par cols A( ) rank A( ) nr_par 1

In concluzie, solutia sistemului depinde de un parametru real. Notam cu Rforma redusa a matricei A obtinute cu ajutorul functiei rref din Mathcad.

R rref A( ) R

1

0

0

0

1

0

2

2.5

0

Forma matricei reduse arata ca primele doua coloane sunt liniar independeneteiar necunoscutele x si y sunt necunoscute principale. Notam necunoscutasecundara z cu si trecem termenii care o contin in membrul drept. Atuncisolutia sistemului este functie de parametrul si este data de formula

ORIGIN 1

S λ( ) λ R 3

0

0

λ

S λ( )

2 λ

5 λ2

λ

39


Daniel Tudor

Verificare A S λ( )

0

0

0

Exemplul 2

In acest exemplu dorim sa rezolvam sistemul liniar si omogen

x y z 0=

2 x 2 y 2 z 0=

3 x 3 y 3 z 0=

Matricea sistemului A

1

2

3

1

2

3

1

2

3

are determinantul nul A 0

Numarul de parametri de care va depinde solutia nenula a sistemului este

nr_par cols A( ) rank A( ) nr_par 2

Determinarea solutiei se face folosind rref. Forma redusa a matricei Adeterminata cu rref este:

R rref A( ) R

1

0

0

1

0

0

1

0

0

Forma matricii reduse R arata ca necunoscuta x este necunoscuta principala, iarnecunoscutele y si z sunt necunoscute secundare. Notand necunoscuta y cu λ sinecunoscuta z cu μ, se obtine solutia sistemului ca functie de λ si μ de formaurmatoare:

sol λ μ( ) λ R 2 μ R 3

0

λ

μ

40


Daniel Tudor

sol λ μ( )

μ λ

λ

μ

Verificare A sol λ μ( )

0

0

0

41


Daniel Tudor



Rezolarea sistemelor dreptunghiulare de m ecuatii cu n necunoscute

Fie sistemul de m ecuatii liniare cu n necunoscute

a1 1 x1 a1 2 x2 .... a1 n xn b1=

a2 1 x1 a2 2 x2 .... a2 n xn b2=

...............................................

............am 1 x1 am 2 x2 .... am n xn bm=

scris sub forma matriceala

a1 1

a2 1

....

am 1

a1 2

a2 2

....

am 2

....

....

....

....

a1 n

a2 n

....

am n

x1

x2

....

xn

b1

b2

....

bm

=

sauA x b=

unde

A

a1 1

a2 1

....

am 1

a1 2

a2 2

....

am 2

....

....

....

....

a1 n

a2 n

....

am n

1

b

b1

b2

....

bm

2

x

x1

x2

....

xn

2

Daca matricea sistemului este dreptunghiulara, pentru a decide daca sistemuleste compatibil sau nu folosim urmatorul rezultat:

Teorema Kronecker-Capelli. Unsistem de m ecuatii liniare cu n necunoscuteeste compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangulmatricei extinse.

Reamintim ca matricea extinsa se obtine adaugand la matricea sistemului inca ocoloana, a n+1-a, formata cu termenii liberi ai sistemului.

42


Daniel Tudor

AE

a1 1

a2 1

....

am 1

a1 2

a2 2

....

am 2

....

....

....

....

a1 n

a2 n

....

am n

b1

b1

....

bm

1

Discutie asupra naturii unui sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute

Prezentam mai jos discutia asupra naturii unui sistem de m ecuatii liniare cu nnecunoscute in functie de rangul matricei sistemului si rangul matricei extinse.

1. Daca rank(A) < rank(AE), atunci sistemul nu are solutii, deci este unsistem incompatibil.

2. Daca rank(A) = rank(AE), atunci sistemul are solutii, deci este un sistemcompatibil.

Mai precis:

2.1. Daca rank(A) = cols(A), atunci sistemul are solutie unica, decieste un sistem compatibil determinat.

2.2. Daca rank(A) <cols(A), atunci sistemul are o infinitate de solutii,deci este un sistem compatibil nedeterminat.

1. Sistem compatibil determinat

Exemplul 1. Folosirea blocului Given cu Find simbolic

Fie sistemul de 4 ecuatii liniare cu 3 necunoscute

2 x 3 y 4 z 4=

3 x 5 y 6 z 13=

4 x y 3 z 13=

x 6 y 9 z 0=

Pentru a folosi notatii distincte la fiecare exemplu notam matricea sistemului cu A1si vectorul termenilor liberi cu b1.

43


Daniel Tudor

A1

2

3

4

1

3

5

1

6

4

6

3

9

b1

4

13

13

0

Matricea extinsa a sistemului este A1E augment A1 b1( )

A1E

2

3

4

1

3

5

1

6

4

6

3

9

4

13

13

0

Calculam rank A1( ) 3 rank A1E( ) 3 cols A1( ) 3

Deoarece rank A1( ) rank A1E( )=

sistemul are solutie, iar egalitatea

rank A1( ) cols A1( )=

arata ca solutia este unica.

Pentru determinarea solutiei sistemului folosim blocul Given si functia Findin modul simbolic.

x 2 y 3 z 4

Given2 x 3 y 4 z 4=

3 x 5 y 6 z 13=

4 x y 3 z 13=

x 6 y 9 z 0=

s1 Find x y z( )

s1

3

2

1

44


Daniel Tudor

Verificare

A1 s1 b1

0

0

0

0

2. Sistem compatibil nedeterminat

Exemplul 2. Folosirea functiei rref

Fie sistemul de ecuatii liniare

x 2 y 4 z 0=

7 x 4 y 8=

3 x y 2 z 4=

Notam matricea sistemului cu A2 si vectorul termenilor liberi cu b2. Acestea sunt:

A2

1

7

3

2

4

1

4

0

2

b2

0

8

4

Matricea extinsa a acestui sistem este

A2E augment A2 b2( ) A2E

1

7

3

2

4

1

4

0

2

0

8

4

Calculam valorile necesare pentru a testa compatibilitatea sistemului.

rank A2( ) 2 rank A2E( ) 2 cols A2( ) 3

rank A2( ) rank A2E( )=

sistemul este compatibil, iar inegalitatea

rank A2( ) cols A2( )

45


Daniel Tudor

arata ca sistemul este nedeterminat (solutia sa depinde de cols(A2) - rank(A2) =1 parametru).

Notam cu R forma redusa a matricei extinse obtinute cu ajutorul functieirref din Mathcad.

R rref A2E( ) R

1

0

0

0

1

0

8

5

14

5

0

8

5

4

5

0

Forma matricei reduse arata ca primele doua coloane sunt liniar independeneteiar necunoscutele x si y sunt necunoscute principale. Notam necunoscutasecundara z cu si trecem termenii care o contin in membrul drept. Atuncisolutia sistemului este functie de parametrul si este data de formula

ORIGIN 1

S2 λ( ) R 4 λ R 3

0

0

λ

S2 λ( )

8 λ5

8

5

14 λ5

4

5

λ

Verificare A2 S2 λ( ) b2

0

0

0

Pentru orice valoare reala data parametrului se obtine o solutie a sistemului. Deexemplu, pentru = 0.5 solutia sistemului este

S2 0.5( )

0.8

0.6

0.5

46


Daniel Tudor

3. Sistem incompatibil.

Exemplul 3.

Fie sistemul de 5 ecuatii cu 3 necunoscute

x 2 y z 1=

3 x 7 y 4 z 1=

2 x 4 y 3 z 3=

4 x 11 y 9 z 9=

5 y 2 z 1=

Notam matricea sistemului cu A3 si vectorul termenilor liberi cu b3. Avem deci

A3

1

3

2

4

0

2

7

4

11

5

1

4

3

9

2

b3

1

1

3

9

1

Matricea extinsa a sistemului este:


1

3

2

4

0

2

7

4

11

5

1

4

3

9

2

1

1

3

9

1

Calculam rank A3( ) 3 si rank A3E( ) 4

Deoarece rank A3( ) rank A3E( )

conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este incompatibil.

47


Daniel Tudor


Rezolvarea sistemelor liniare - Exercitii

Stabiliti natura sistemelor de mai jos si in caz de compatibilitate determinatisolutia lor:

1. 5 x 3 y 6 z 15= 2. x y 2 z 1=

2 x 8 y 7 z 17= 2 x y 4 z 4=

4 x y 9z 19= 4x y 4 z 2=

3. 2 x 3 y 10 z 5= 4. x 5 y 4 z 13 t 3=

x 7 y 14 z 1= 3 x y 2 z 5 t 2=

3 x 8 y 9 z 3= 2 x 2 y 3 z 4 t 1=

5. 2 x y z 1= 6. x 2 y z 1=

3 x 3 y z 2= 3 x 7 y 4 z 1=

2 x 4 y 3= 2 x 4 y 3 z 3=

4 x 11 y 9 z 9=

5 y 2 z 1=

7. 2 x y 3 z 4= 8. x 2 y 4 z 0=

3 x 4 y z 5= 7 x 4 y 8=

x 5 y 4 z 9= 3 x y 2 z 4=

48


Daniel Tudor

Solutie. ORIGIN 1

1. Fie sistemul

5 x 3 y 6 z 15=

2 x 8 y 7 z 17=

4 x y 9z 19=

Notam cu A1 matricea sistemului, cu b1 vectorul termenilor liberi si cu A1Ematricea extinsa.

A1

5

2

4

3

8

1

6

7

9

b1

15

17

19


5

2

4

3

8

1

6

7

9

15

17

19

Calculam rangul matricei A1, rangul matricei extinse A1E si determinam numarulde coloane ale matricei A1.


Deoarece cele doua matrice au acelasi rang, conform teoremeiKronecker-Capelli, sistemul este compatibil. Pentru ca rangul matricei A1 esteegal cu numarul de coloane ale acestei matrice sistemul este compatibildeterminat. Pentru calcularea solutiei folosim functia lsolve.

s1 lsolve A1 b1( ) s1

3

2

1

Verificare

A1 s1

15

17

19

b1

15

17

19

49


Daniel Tudor

4. Fie sistemulx 5 y 4 z 13 t 3=

3 x y 2 z 5 t 2=

2 x 2 y 3 z 4 t 1=

Procedam ca mai sus notand folosind notatiile A4, b4, A4E.

A4

1

3

2

5

1

2

4

2

3

13

5

4

b4

3

2

1


1

3

2

5

1

2

4

2

3

13

5

4

3

2

1

rank A4( ) 2 rank A4E( ) 3

Deoerece rangul matricei sistemului este strict mai mic decat rangul matriceiextinse sistemul este incompatibil.

7. Fie sistemul2 x y 3 z 4=

3 x 4 y z 5=

x 5 y 4 z 9=

Notam

A7

2

3

1

1

4

5

3

1

4

b7

4

5

9

50


Daniel Tudor


2

3

1

1

4

5

3

1

4

4

5

9

Calculam


Deoerece rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse sistemuleste compatibil, dar nedeterminat pentru ca rangul matricei este strict mai micdecat numarul de coloane al matricei sistemului.

Numarul de parametrii de care depinde solutia sistemului este

cols A7( ) rank A7( ) 1

Determinam solutia sistemului folosind functia rref aplicata matricii extinse A7E.

R rref A7E( ) R

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

2

0

Solutia depinzand de parametrul λ este S7 λ( ) R 4 λ R 3

0

0

λ

S7 λ( )

1 λ

λ 2

λ

Verificarea solutiei A7 S7 λ( ) b7

0

0

0

51


Daniel Tudor


Baze in spatiul vectorial Rn

Scrierea unui vector intr-o baza

In spatiul vectorial R4 se considera vectorii

a 1

1

0

0

1

a 2

0

0

0

1

a 3

1

1

1

1

a 4

1

1

1

1

Demonstrati ca multimea B = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4>] este o baza a spatiului

vectrial R4 si determinati scrierea vectorului

v

1

0

1

1

in aceasta baza,

Solutie.

Multimea B = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4>] este o baza pentru R4 dacadeterminantul matricei formate cu componentele celor patru vectori estenenul. Daca notam matricea respectiva cu A, atunci

A augment a 1 a 2 a 3 a 4 A

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

are determinatul A 2

Vectorul se scrie in baza B = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4>] sub forma

ORIGIN 1 v λ1

a 1 λ2

a 2 λ3

a 3 λ4

a 4 =

52


Daniel Tudor

Notam cu λ

λ1

λ2

λ3

λ4

=

vectorul componentelor lui v in baza B = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4>]

Acest vector se determina rezolvand sistemul

A λ v=

Solutia acestuia este λ lsolve A v( ) λ

1

1

0.5

0.5

Prin urmare, vectorul v are in baza B = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4>] scrierea

v a 1 a 2 1

2a 3

1

2a 4 =

53


Daniel Tudor



Matricea de trecere de la o baza la altaSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare a bazei

In spatiul vectorial R3 se considera vectoriiORIGIN 1

x 1 1

0

1

x 2 0

1

1

x 3 1

1

1

y 1 1

1

0

y 2 1

0

0

y 3 0

0

1

1) Demonstrati ca multimile B = [x<1>, x<2>, x<3>] si B' = [y<1>, y<2>, y<3>] sunt

baze pentru R3 si determinati matricea de trecere de la baza B la baza B'.

2) Daca vectorul v din R3 are in baza B scrierea v = 3x<1> - x<2> +2x<3>, careeste scrierea lui v in baza B'?

Solutie.

1) Multimea B = [x<1>, x<2>, x<3>] este o baza pentru R3 daca determinantulmatricei formate cu componentele celor trei vectori este nenul. Daca notammatricea respectiva cu B, atunci

B augment x 1 x 2 x 3 B

1

0

1

0

1

1

1

1

1

are determinatul B 1

Analog avem

B' augment y 1 y 2 y 3 B'

1

1

0

1

0

0

0

0

1

B' 1

54


Daniel Tudor

Pentru a determina matricea de trecere de la baza B la baza B' se scriu vectoriinoi baze in raport cu veche baza.

y 1 c1 1 x 1 c2 1 x 2 c3 1 x 3 =

Aceasta scriere este echivalenta cu forma matriceala

y 1 x 1 x 2 x 3 c1 1

c2 1

c3 1

=

Daca notam

c 1 c1 1

c2 1

c3 1

=

atunci forma matriceala de mai sus se poate scrie

y 1 B c 1 =

Rezolvam acest sistem sub forma matriceala

c 1 B1

y 1 c 1 1

1

2

Analog obtinem

c 2 B1

y 2 c 2 0

1

1

c 3 B1

y 3 c 3 1

1

1

55


Daniel Tudor

Matricea de trecere de la baza B la baza B' este

C c 1 c 2 c 3 =

Conform formulelor de mai sus obtinem pentru matricea de trecere forma

C B1

B'

Prin urmare

C

1

1

2

0

1

1

1

1

1

2) Daca vectorul v se scrie in baza B sub forma v = 3x<1> - x<2> +2x<3>, atunciscrierea matriceala a lui v in baza B este

v

3

1

2

Scrierea lui v in noua baza B' este

v' C1

v v'

1

4

4

Prin urmare, v se scrie in baza B' sub forma v = y<1> - 4y<2> + 4y<3>.

56


Daniel Tudor



Matricea de trecere de la o baza la altaSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare a bazei

In spatiul vectorial R4 se considera vectorii

a 1

1

1

1

1

a 2

1

2

1

1

a 3

1

1

2

1

a 4

1

3

2

3

b 1

1

0

3

3

b 2

2

3

5

4

b 3

2

2

5

4

b 4

2

3

4

4

1) Demonstrati ca multimile B1 = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4> ] si

B2= [b<1>, b<2>, b<3>, b<4> ] sunt baze pentru R4 si determinati matricea de trecere de la baza B1 la baza B2.

2) Daca vectorul v din R4 are in baza B1 scrierea v = 4a<1> +3a<2> +2a<3>-6a<4>,care este scrierea lui v in baza B2?

Solutie.

1) Multimea B1 = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4> ] este o baza pentru R4 dacadeterminantul matricei formate cu componentele celor patru vectori este nenul.Daca notam matricea respectiva cu A, atunci

A augment a 1 a 2 a 3 a 4 A

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

3

2

3

are determinantul A 2

57


Daniel Tudor

Analog avem

B augment b 1 b 2 b 3 b 4 B

1

0

3

3

2

3

5

4

2

2

5

4

2

3

4

4

B 2

Matricea de trecere de la baza B1 la baza B2 este

C A1

B C

2

3

1

1

0

1

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

2) Daca vectorul v se scrie in baza B1 sub forma v = 4a<1> +3a<2> +2a<3>-6a<4>,atunci scrierea matriceala a lui v in baza B1 este

λ

4

3

2

6

Scrierea lui v in baza B2 este data de formula

μ C1

λ μ

15

25

33

1

Prin urmare, vectorul v se scrie in baza B2 sub forma v = -15 b<1> + 25b<2> +

33b<3> - b<4>

58


Daniel Tudor


Valori si vectori proprii

DefinitiiFie A o matrice patratica cu n linii si n coloane cu elemente reale.

A

a1 1

a2 1

....

an 1

a1 2

a2 1

....

an 2

....

....

....

....

a1 n

a2 n

....

an n

=

Se numeste vector propriu al matricei A un vector nenul x din Rn

x

x1

x2

...

xn

=

pentru care exista un numar real astfel incat are loc egalitatea

A x λ x=

Numarul real pentru care are loc egalitatea de mai sus se numestevaloarea proprie corespunzatoare vectorului propriu x.

Determinarea valorilor proprii ale unei matrice. Functia eigenvals(A)

Se considera matricea

ORIGIN 1 A

3

4

4

1

1

8

0

0

2

Pentru determinarea valorilor proprii ale matricei patratice A se folosestefunctia Mathcad

eigenvals A( )

59


Daniel Tudor

Rezultatul executiei este un vector de acelasi ordin cu matricea A care are dreptcomponente valorile proprii ale matricei.

eigenvals A( )

2

1

1

Pentru a putea folosi in calculele ulterioare aceste valori proprii, notam cu vectorul care contine valorile proprii ale matricei A.

λ eigenvals A( ) λ

2

1

1

Valorile proprii sunt λ1 2 λ2 1 λ3 1

Determinarea vectorilor proprii corespunzatori. Functia eigenvec(A,z)

Functia Mathcadeigenvec A z( )

determina vectorul propriu normalizat al matricei patratice A care corespundevalorii proprii z. In cazul nostru obtinem

x1 eigenvec A λ1 x1

0

0

1


0.218

0.436

0.873


0.218

0.436

0.873

Verificarea rezultatelor se face aratand ca Ax = x, unde x este un vectorpropriu al matricei A, iar este valoarea proprie corespunzatoare.

60


Daniel Tudor

A x1 λ1 x1

0

0

0

A x2 λ2 x2

3.057 1013

6.114 1013

1.223 1012

A x3 λ3 x3

7.423 1013

1.485 1012

2.969 1012

Determinarea vectorilor proprii ai unei matrice. Functia eigenvecs(A)

Vectorii proprii se determina cu functia Mathcad

eigenvecs A( )

Rezultatul este o matrice patrata de acelasi ordin cu matricea data ale careicoloane sunt vectorii proprii normalizati ai matricei A. Coloana n a matricei estevectorul propriu corespunzator valorii proprii n data de functia eigenvals.

eigenvecs A( )

0

0

1

0.218

0.436

0.873

0.218

0.436

0.873

Observatie.Functia eigenvals se poate folosi in calculul simbolic atat pentru matricereale cat si complexe.Functia eigenvals se poate folosi in evaluarea numerica numai pentrumatrice reale.

61


Daniel Tudor


Diagonalizarea matricelor

Definitie. O matricea patrata A se numeste diagonalizabila daca exista o alta

matrice de acelasi tip cu matricea A si nesingulara astfel incat produsul C-1AC esteo matrice de forma diagonala. Matricea C se numeste matrice diagonalizatoarepentru A.

Teorema. Matricea patratica reala (complexa) A este diagonalizabila daca si

numai daca exista o baza a spatiului Rn (Cn) formata din vectori proprii aimatricei A.

Exemplul 1. Sa se cerceteze daca matricea reala data mai jos este diagonalizabilasi in caz afirmativ sa se aduca la forma diagonala punandu-se in evidentamatricea diagonalizatoare.

A

1

3

3

3

5

3

1

1

1

Pentru a cereceta daca matricea A este diagonalizabila determinam vectoriiproprii ai maticei A si stabilim daca ei formeaza sau nu o baza a spatiului

vectorial Rn. Notam cu C matricea care are drept coloane vectorii proprii aimatricei A si calculam determinantul acesteia.

ORIGIN 1

C eigenvecs A( ) C

0.577

0.577

0.577

0.426

0.64

0.64

0.236

0.086

0.968

C 0.108

Deoarece determinatul matricei C este nenul coloanele acestei matrice, care sunt

vectorii proprii ai matricei A, formeaza o baza a spatiului vectorial Rn. Prinurmare matricea A este diagonalizabila.

Forma diagonala a matricei A este

C1

A C

1

1.554 1015

0

1.332 1015

2

0

0

0

2

62


Daniel Tudor

Se observa ca pe diagonala principala a matricei diagonale obtinute se aflavalorile proprii ale matricei A.

eigenvals A( )

1

2

2

Evident, matricea diagonalizatoare pentru matricea A este matricea C formata cuvectorii proprii ai matricei A.

Exemplul 2. Sa se cerceteze daca matricea reala data mai jos este diagonalizabilasi in caz afirmativ sa se aduca la forma diagonala punandu-se in evidentamatricea diagonalizatoare.

A

4

5

6

5

7

9

2

3

4

Procedam ca mai sus si determinam matricea vectorilor proprii ai matricei A.

C eigenvecs A( )

C

0.577

0.577

0.577

0.267 3.147i 108

0.535 3.147i 108

0.802

0.267 3.147i 108

0.535 3.147i 108

0.802

C 9.711i 109

Dupa cum se observa matricea C (in care elementele sunt afisate cu trei zecimale)

are doua coloane egale. Prin urmare, nu exista o baza a lui R3 formate cu vectoriproprii ai matricei A. Deci A nu este diagonalizabila.

63


Daniel Tudor


Valori si vectori proprii

Valori si vectori proprii - Exemplu

Fie matricea A

1

3

3

0

2

0

3

3

1

1) Determinati valorile si vectorii ai matricei A.2) Cercetati daca matricea A este diagonalizabila. In caz afirmativ aducetimatricea A la forma diagonala.

Solutie folosind calculul numeric.

1. Determinarea valorilor proprii

ORIGIN 1

Determinarea valorilor proprii ale unei matrice se face in Mathcad folosindfunctia eigenvals

λ eigenvals A( )λ

2

2

4

2. Determinarea vectorilor proprii

Pentru determinarea vectorilor proprii ai matricei A se foloseste functiaeigenvecs.

C eigenvecs A( ) C

0

1

0

0.5

0.707

0.5

0.577

0.577

0.577

In continuare determinam vectorii proprii care corespund fiecarei valori propriisi verificam acest lucru pornind de la definitie.

64


Daniel Tudor

λ1 2 C 1 0

1

0

A C 1 λ1 C 1

0

0

0

λ2 2 C 2 0.5

0.707

0.5

A C 2 λ2 C 2

0

0

0

λ3 4 C 3 0.577

0.577

0.577

A C 3 λ3 C 3

0

0

0

Observatie O eventuala evaluare simbolica a verificarii faptului ca fiecaruivector propriu aflat ii corespunde valoarea proprie respectiva poate produce eroriin Mathcad 14. De exemplu in cazul nostru:

A C 1 λ1 C 1

6

6

6

Din aceasta cauza se recomanda doar folosirea calculului numeric pentruverificarea respectiva.

3. Diagonalizarea matricei A

Teorema. Matricea A este diagonalizabila daca si numai daca exista o baza a

spatiului R3 formata din vectori proprii ai lui A. Acesata afirmatie este echivalenta cu: A este diagonalizabila daca si numia dacamatricea C are determinantul nenul.

Se calculeaza determinantul matricei C.

C 0.577

Deoarece determinantul lui C este nenul, matricea A este diagonalizabila.

65


Daniel Tudor

Forma diagonala a matricei A este

C1

A C

2

0

0

0

2

0

0

0

4

66


Daniel Tudor


Baze ortonormate in spatiul euclidian Rn

Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt

In spatiul euclidian R3 se dau vectorii

x 1 1

0

1

x 2 2

1

0

x 3 1

3

1

1) Demonstrati ca multimea B = [x<1>, x<2>, x<3>] este o baza a spatiului R3.2) Construiti o baza ortonormata B' pornind de la baza B.3) Care este scrierea vectorului

v

2

1

3

in baza B'?

Solutie.

1) Multimea B = [x<1>, x<2>, x<3>] este o baza a spatiului R3 daca determinantulmatricei formate cu componentele celor trei vectori este nenul. Daca notammatricea respectiva cu B, avem

B augment x 1 x 2 x 3 B

1

0

1

2

1

0

1

3

1

ORIGIN 1

B are determinantul B 6

2) Construim mai intai o baza ortogonala [y<1>, y<2>, y<3>] folosind procedeulde ortogonalizare Gram-Schmidt.

y 1 x 1 y 1 1

0

1

67


Daniel Tudor

y 2 x 2 x 2 y 1

y 1 y 1 y 1 y 2

1

1

1

y 3 x 3 x 3 y 1

y 1 y 1 y 1

x 3 y 2

y 2 y 2 y 2 y 3

1

2

1

Baza ortonormata B' = [z<1>, z<2>, z<3>] se obtine impartind fiecare vector y<1>,

y<2>, y<3> la norma sa.

z 1 y 1

y 1 z 1

0.707

0

0.707

z 2 y 2

y 2 z 2

0.577

0.577

0.577

z 3 y 3

y 3 z 3

0.408

0.816

0.408

3) Vectorul v are in baza B' scrierea v λ1 z 1 λ2 z 2 λ3 z 3 = unde

λ1 v z 1 λ1 3.536

λ2 v z 2 λ2 0

λ3 v z 3 λ3 1.225

68


Daniel Tudor


Forme patratice

Reducerea la expresia analitica canonica a unei forme patratice.Metoda lui Jacobi

In spatiul euclidian R3 notam

x

x1

x2

x3

=

si consideram forma patratica

Q x1 x2 x3 xT

A x=

unde A este matricea acestei forme in raport cu baza canonica a spatiului

A

5

2

2

2

6

0

2

0

4

Mai precis, forma patratica are expresia analitica generala

Q x1 x2 x3( )

x1

x2

x3

T

A

x1

x2

x3

Q x1 x2 x3( ) simplify 5 x12 4 x1 x2 4 x1 x3 6 x2

2 4 x32

Problema

1) Determinati expresia canonica a formei patratice Q folosind metoda luiJacobi.2) Precizati care este natura formei patratice: pozitiv definita, negativ definitasau nedefinita ca semn.

3) Determinati baza in raport cu care forma patratica Q are expresia analiticacanonica determinata la punctul 1).

69


Daniel Tudor

Solutie. Expresia analitica canonica

Notam a A

Minorii principali ai matricei A au valorile

Δ1 a1 1 Δ1 5

Δ2a1 1

a2 1

a1 2

a2 2

Δ2 26

Δ3 A Δ3 80

Deoarece toti minorii principali sunt nenuli, conform teoremei lui Jacobi, exista

o baza B' a spatiului R3 formata din vectorii

f1 f2 f3

astfel incat, daca vectorul x are in baza B' scrierea

x x'1 f1 x'2 f2 x'3 f3=

forma patratica Q are expresia analitica canonica data de formula

Q x'1 x'2 x'3( )1

Δ1x'1( )

2Δ1

Δ2x'2( )

2Δ2

Δ3x'3( )

2=

In noua baza B' matricea formei patratice Q este

B

1

Δ1

0

0

0

Δ1

Δ2

0

0

0

Δ2

Δ3

B

1

5

0

0

0

5

26

0

0

0

13

40

B

0.2

0

0

0

0.192

0

0

0

0.325

70


Daniel Tudor

Notam cu x'

x'1

x'2

x'3

=

scrierea unui vector oarecare in raport cu noua baza. Atunci forma patratica areexpresia analitica

Q x'1 x'2 x'3( )

x'1

x'2

x'3

T

B

x'1

x'2

x'3

Q x'1 x'2 x'3( ) simplifyx'1

2

5

5 x'22

26

13 x'32

40

Deoarece toti coeficientii expresiei analitice canonice sunt pozitivi, formapatratica Q este pozitiv definita.

2) Determinarea bazei B' in care Q are expresia analitica canonica.

Baza B' se cauta de forma

f1 c1 1 e1=

f1 c1 2 e1 c2 2 e2=

f3 c1 3 e1 c2 3 e2 c3 3 e3=

unde

e1

1

0

0

e2

0

1

0

e3

0

0

1

sunt vectorii bazei canonice a spatiului R3.

71


Daniel Tudor

Coeficientii ci,j se determina din relatiile de mai jos

c1 11

a1 1 c1 1

1

5 c1 1 0.2

c1 2

c2 2

a1 1

a2 1

a1 2

a2 2

10

1

c1 2

c2 2

1

13

5

26

c1 2

c2 2

0.077

0.192

c1 3

c2 3

c3 3

a1 1

a2 1

a3 1

a1 2

a2 2

a3 2

a1 3

a2 3

a3 3

10

0

1

c1 3

c2 3

c3 3

3

20

1

20

13

40

c1 3

c2 3

c3 3

0.15

0.05

0.325

Atunci vectorii noii baze sunt

f1 c1 1 e1

f2 c1 2 e1 c2 2 e2

f3 c1 3 e1 c2 3 e2 c3 3 e3

72


Daniel Tudor

f1

1

5

0

0

0.2

0

0

f2

1

13

5

26

0

0.077

0.192

0

f3

3

20

1

20

13

40

0.15

0.05

0.325

Matricea de trecere de la baza canonica la baza B' este matricea formata cuvectorii determinati mai sus.

C augment f1 f2 f3 C

1

5

0

0

1

13

5

26

0

3

20

1

20

13

40

C

0.2

0

0

0.077

0.192

0

0.15

0.05

0.325

Verificarea calculelor

CT

A C

1

5

0

0

0

5

26

0

0

0

13

40

B

1

5

0

0

0

5

26

0

0

0

13

40

73


Daniel Tudor


Forme patratice

Reducerea la expresia analitica canonica a unei forme patratice.Metoda valorilor proprii

In spatiul euclidian R3 notam

x

x1

x2

x3

=

si consideram forma patratica

Q x1 x2 x3 xT

A x=

unde A este matricea acestei forme in raport cu baza canonica a spatiului

A

5

2

2

2

6

0

2

0

4

Mai precis, forma patratica are expresia analitica generala

Q x1 x2 x3( )

x1

x2

x3

T

A

x1

x2

x3

Q x1 x2 x3( ) simplify 5 x12 4 x1 x2 4 x1 x3 6 x2

2 4 x32

Problema1) Determinati expresia canonica a formei patratice Q folosind metoda valorilorproprii.2) Precizati care este natura formei patratice: pozitiv definita, negativ definitasau nedefinita ca semn.3) Determinati baza ortonormata in raport cu care forma patratica Q areexpresia analitica canonica determinata la punctul 1.

74


Daniel Tudor

Solutie. Expresia analitica canonica

Expresia analitica canonica a formei patratice Q este

Q x'1 x'2 x'3( ) λ1 x'1( )2 λ2 x'2( )

2 λ3 x'3( )2=

unde 1, 2, 3 sunt valorile proprii ale matricei A.

Valorile proprii ale matricei A sunt

λ eigenvals A( )λ

8

5

2

Vectorii proprii corespunzatori sunt coloanele matricei

C eigenvecs A( ) C

1

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

1

0.5

1

0.5

1

1

2

2

1

In continuare determinam vectorii proprii care corespund fiecarei valori proprii siverificam acest lucru pornind de la definitie.

λ1 8 C 1

1

1

2

1

1

0.5

1

A C 1 λ1 C 1

0

0

0

λ2 5 C 2

1

2

1

1

0.5

1

1

A C 2 λ2 C 2

0

0

0

75


Daniel Tudor

λ3 2 C 3 2

2

1

2

2

1

A C 3 λ3 C 3

0

0

0

Matricea C este o matrice ortogonala, adica are proprietatile

C CT

1

0

0

0

1

0

0

0

1

CT

C

1

0

0

0

1

0

0

0

1

CT

C1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

In consecinta, acesti vectori proprii formeaza o baza ortonormata a spatiului

euclidian R3 in raport cu care forma patratica are matricea

diag λ( )

8

0

0

0

5

0

0

0

2

Notam cu

x'

x'1

x'2

x'3

=

scrierea unui vector oarecare in raport cu baza formata cu vectorii proprii.Atunci forma patratica are expresia analitica

Q x'1 x'2 x'3( )

x'1

x'2

x'3

T

diag λ( )

x'1

x'2

x'3

Q x'1 x'2 x'3( ) simplify 8 x'12 5 x'2

2 2 x'32

76


Daniel Tudor

Deoarece matricea A are toate valorile proprii pozitive, forma patratica Q estepozitiv definita.

Verificarea calculelor.

CT

A C

2

0

0

0

8

0

0

0

5

77

Nicolae Dăneţ Dan Caragheorgheopol Daniel...

Documents

Transcript of Nicolae Dăneţ Dan Caragheorgheopol Daniel...