£NCOVOIEREA BARELOR DREPTE - mec.upt.romec.upt.ro/rezi/DANA_EBOOK/ ¢  dA2. £n...

download £NCOVOIEREA BARELOR DREPTE - mec.upt.romec.upt.ro/rezi/DANA_EBOOK/ ¢  dA2. £n Rezisten¥£a Materialelor

of 19

  • date post

    10-Sep-2019
  • Category

    Documents

  • view

    8
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of £NCOVOIEREA BARELOR DREPTE - mec.upt.romec.upt.ro/rezi/DANA_EBOOK/ ¢  dA2. £n...

  • CAPITOLUL 6

    ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

    6.1. Încovoierea pură. Formula lui Navier. Considerăm bara de secţiune dreptunghiulară din Fig.6.1, pentru care s-au trasat diagramele de eforturi T şi M.

    Fig.6.1

    Se observă că pe tronsonul dintre forţe (2-3) forţa tăietoare este nulă (T = 0) şi momentul încovoietor este constant (M = F⋅a). Încovoierea pură este solicitarea cu moment încovoietor constant şi forţă tăietoare nulă. Barele solicitate la încovoiere se numesc grinzi. Într-o secţiune oarecare a unei grinzi solicitate la încovoiere pură apar numai tensiuni normale, produse de momentul încovoietor. Se consideră un element de lungime dx din tronsonul solicitat la încovoiere pură, reprezentat în Fig.6.2. Se admite că planul forţelor este un plan de simetrie al barei (xOy), deci secţiunea barei este simetrică în raport cu planul forţelor. Atunci axa verticală a secţiunii Oy este axă principală de inerţie şi vectorul moment încovoietor M , perpendicular pe planul forţelor, este aplicat pe axa principală Oz : M = Mz.

  • Capitolul 6 72

    Fig.6.2

    Lungimea dx a elementului de grindă este delimitată de liniile AB şi CD perpendiculare pe axa longitudinală Ox a grinzii, acestea reprezentând două secţiuni normale ale grinzii. În urma aplicării momentului încovoietor M grinda se deformează, iar elementul de lungime dx ia forma A'B'C'D'. Se constată că secţiunile A'B' şi C'D' rămân tot plane şi perpendiculare pe axa deformată a grinzii, iar axa grinzii RS, care iniţial era linie dreaptă, se curbează. Aceasta înseamnă că este aplicabilă ipoteza secţiunilor plane a lui Bernoulli. Se observă că în urma deformaţiei segmentele BC, HK se lungesc, iar segmentul AD se scurtează. Dreptele A'B' şi C'D' din Fig.6.2.a. sunt concurente într- un punct Q, care este centrul de curbură al arcelor A'D', RS, H'K' şi B'C'. Linia RS care uneşte centrele de greutate ale tuturor secţiunilor transversale, numită fibra medie a grinzii, rămâne de lungime neschimbată, deci se poate scrie relaţia : ϕ⋅ρ= ddx (6.1) În relaţia (6.1) ρ este raza de curbură a fibrei medii deformate. Se consideră o fibră HK, paralelă cu axa grinzii, situată la distanţa y de fibra medie. În urma deformării HK se lungeşte, devenind arcul H'K', de lungime:

    ( ) ϕ+ρ=′′ dyKH ,

  • Încovoierea barelor drepte 73

    Astfel, creşterea lungimii fibrei HK este:

    ( ) ( ) ϕ=ϕρ−ϕ+ρ=−′′=Δ=Δ ydddyHKKHdxHK ,

    iar deformaţia specifică a acestei fibre va fi:

    ρ

    = ϕρ ϕ

    = Δ

    =ε y

    d yd

    dx dx

    (6.2)

    Relaţia (6.1) se poate scrie şi astfel:

    θ= ρ

    = ϕ 1

    dx d

    (6.3)

    În relaţia (6.3) raportul dx dϕ

    reprezintă unghiul cu care se rotesc una faţă de

    cealaltă două secţiuni normale, situate iniţial la distanţa dx şi se numeşte rotire specifică, notându-se cu θ. Relaţia (6.2) devine:

    yy ⋅θ= ρ

    =ε (6.4)

    Relaţia (6.4) arată că deformaţia specifică variază liniar pe secţiune, aceasta fiind o consecinţă a ipotezei lui Bernoulli. În Fig.6.3. s-a reprezentat grafic variaţia deformaţiei specifice ε pe secţiune.

    Fig.6.3 În cazul materialelor pentru care este valabilă legea lui Hooke, tensiunea va fi: σ = E⋅ε , deci legea de variaţie a tensiunii normale pe secţiune va fi de forma:

  • Capitolul 6 74

    yEyE ρ

    =θ=σ (6.5)

    Tensiunea normală variază liniar pe secţiune ca în Fig.6.3. Pentru a afla legătura dintre tensiunile normale şi momentul încovoietor se scriu pe secţiunea considerată ecuaţiile de echivalenţă din mecanică. Tensiunile normale σ (Fig.6.2.b) produc pe secţiune eforturi elementare dF=σdA paralele. Întrucât nu există forţă axială, iar momentul încovoietor este dirijat după axa Oz, ecuaţiile de echivalenţă vor fi:

    ( )

    ( )

    ( ) MydAdFyM

    0zdAdFzM

    0dAdFF

    AA z

    AA y

    AA x

    =σ=⋅=

    =σ=⋅=

    =σ==

    ∫∫∑

    ∫∫∑

    ∫∫∑

    Înlocuind în relaţiile de mai sus tensiunea σ cu expresia (6.5) şi ţinând cont de faptul că raza de curbură ρ este constantă rezultă:

    0S0SEydAEydAE zz AA

    =⇒= ρ

    = ρ

    = ρ ∫∫ (6.6)

    0I0IEyzdAEyzdAE yzyz AA

    =⇒= ρ

    = ρ

    = ρ ∫∫ (6.7)

    MEIMIEdAyEyydAE zz A

    2

    A

    = ρ

    ⇒= ρ

    = ρ

    = ρ ∫∫ (6.8)

    Relaţia (6.6) arată că axa Oz trece prin centrul de greutate G al secţiunii, deci G ≡ O, întrucât momentul static în raport cu axa Oz este nul (Sz = 0). Aceasta se numeşte axa neutră a secţiunii. Conform relaţiei (6.5), tensiunile normale sunt nule pe axa neutră, cresc liniar cu distanţa y la axa neutră, fiind maxime pe fibrele extreme ale secţiunii (unde y = ymax). Cum Oy este axă de simetrie pentru secţiune, ţinând cont de relaţia (6.7) conform căreia momentul de inerţie centrifugal Izy este nul, rezultă că Oy şi Oz sunt axe principale de inerţie ale secţiunii. Relaţia (6.8) face legătura între tensiunile normale σ şi momentul încovoietor M. Utilizând relaţia (6.5) se obţine:

  • Încovoierea barelor drepte 75

    z

    z z

    I yMMI

    y MEI ⋅=σ⇒=σ⇒=

    ρ (6.9)

    Relaţia (6.9), numită formula lui Navier, dă valoarea tensiunii normale σ în orice punct al secţiunii în funcţie de variabila y. Apariţia momentului de inerţie axial Iz în această formulă arată că momentele de inerţie axiale sunt mărimi care intră în calculele de rezistenţă la solicitarea de încovoiere. În formula lui Navier atât momentul încovoietor M, cât şi variabila y se introduc cu semn, deci tensiunea va fi pozitivă, negativă sau nulă (pe axa neutră a secţiunii). În calculele de rezistenţă interesează, în special, valoarea maximă a tensiunii normale, care se produce pe fibrele extreme ale secţiunii, de cotă ymax:

    minz

    max

    zz

    max max W

    M

    y I M

    I yM

    == ⋅

    =σ (6.10)

    În relaţia (6.10) s-a definit un alt element geometric al secţiunii, numit modul de rezistenţă la încovoiere, notat Wz:

    max

    z z y

    IW = (6.11)

    Modulul de rezistenţă minim al secţiunii, din relaţia (6.10), pentru care rezultă valoarea maximă a tensiunii normale se obţine pe fibrele extreme ale secţiunii, pentru

    ymax: max

    z minz y

    IW = .

    Ca toate formulele de rezistenţă, formula (6.10) poate fi scrisă sub una dintre următoarele forme:

    a) Formulă de dimensionare:

    a necz

    MW σ

    =

    b) Formulă de verificare:

    a minz

    ef W M

    σ≤=σ

    c) Formulă de calcul al momentului încovoietor capabil:

  • Capitolul 6 76

    aminzcap WM σ=

    6.2. Variaţia tensiunii normale pe secţiunea dreptunghiulară la solicitarea de încovoiere pură În Fig.6.4. s-a reprezentat variaţia tensiunii normale pe secţiunea dreptunghiulară a grinzii din Fig.6.1. Secţiunea dreptunghiulară are înălţimea h şi baza b. Tensiunea normală este maximă pe fibrele inferioare ale secţiunii, situate la cota ymax=y1=+h/2:

    23 zz

    1 max

    bh M6

    12 bh

    2 hM

    I 2 hM

    I yM

    ====σ

    Fig.6.4 Tensiunea normală minimă se obţine pe fibrele superioare ale secţiunii, de ordonată y2 = -h/2:

  • Încovoierea barelor drepte 77

    23 zz

    2 min

    bh M6

    12 bh

    2 hM

    I 2 hM

    I yM

    −= ⎟ ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛−

    = ⎟ ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛−

    ==σ

    Se observă că fibrele situate sub axa neutră Gz se lungesc (tensiune normală pozitivă, de întindere), iar cele superioare se scurtează (tensiune normală negativă, de compresiune). Cum axa neutră este o axă de simetrie a secţiunii, se observă că tensiunile normale extreme sunt egale în valoare