Mulţumesc domnului Conf. Dr. Vasile Dorobanţu …fiz.upt.ro/articole/1751374153carte1.pdf3...

3

Mulţumiri

Mulţumesc domnului Conf. Dr. Vasile Dorobanţu pentru atenta citire

şi corectare a scăpărilor ce au apărut la redactare.

Mulţumesc domnului Conf. Dr. Duşan Popov pentru sugestiile

privitoare la evidenţierea unor expresii semnificative şi modalitatea de editare.

4

Prefaţă

Prezenta carte poate fi considerată ca un “curs scurt” de Fizică, curs

care propune o abordare, de altfel, obişnuită a domeniului de înţelegere a

elementelor fundamentale ale unei părţi a Fizicii. Astfel, se prezintă elementele

esenţiale de Mecanică Clasică, Oscilaţii, Unde elastice, Teoria Relativităţii şi

Termodinamică, noţiuni care sunt apoi folosite în rezolvarea problemelor.

În ceea ce priveşte problemele, adică acea metodă constatativă de

înţelegere a fenomenelor fizice, unele, fiind considerate ca probleme tip, sunt

rezolvate, iar altele propuse spre rezolvare.

Sper ca demersul meu să constituie un factor educativ important în

ceea ce priveşte Fizica.

Autorul

5

CUPRINS

1. OPERAŢII CU VECTORI ......................................................... 6

2. MECANICĂ CLASICĂ .............................................................. 8

2.1 ELEMENTE DE DINAMICĂ .......................................................... 8

2.2 OSCILAŢII MECANICE .............................................................. 27

2.3 UNDE ELASTICE ....................................................................... 36

3. TEORIA RELATIVITĂŢII (RELATIVITATE

RESTRÂNSĂ) ................................................................................ 40

4. TERMODINAMICĂ ................................................................. 46

4.1 PRINCIPIUL I AL TERMODINAMICII ........................................... 47

4.2 PRINCIPIUL II AL TERMODINAMICII ......................................... 53

BIBLIOGRAFIE ........................................................................... 60

6

1. Operaţii cu vectori

Într-un sistem cartezian de coordonate în care versorii kji

,, definesc

sistemul ortogonal drept, un vector a

se scrie a

kajaia zyx

, unde

zyx aaa ,, sunt componentele vectorului a

pe axele de coordonate. Modulul

vectorului:

222

zyx aaaa

.

Exemplu: kzjyixr

; 222 zyxrr

.

Produsul scalar a doi vectori: bababa

,cos , sau folosind

componentele vectorilor pe axele de coordonate:

zzyyxx babababa

.

Observaţie: Dacă doi vectori sunt perpendiculari 0ba

; (exemplu

0 ji

, 0 ki

, 0 kj

);

Dacă doi vectori sunt paraleli baba

; (exemplu 1 ii

,

1 jj

, 1 kk

).

Exemplu: đ rdFL

- lucrul mecanic elementar.

Produsul vectorial a doi vectori bac

este vectorul normal la planul

determinat de a

şi b

, al cărui sens se determină cu regula burghiului drept.

Modulul său este: bababa

,sin . Folosind componentele vectorilor

produsul vectorial este:

7

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

.

Observaţie: Dacă doi vectori sunt paraleli 0ba

; (exemplu 0 ii

,

0 jj

, 0 kk

);

Dacă doi vectori sunt perpendiculari baba

; (exemplu

1 ji

şi kji

).

Exemplu: prJ

- momentul cinetic.

1. Fie .32 kjia

Să se determine:

a) modulul vectorului a

;

b) modulul proiecţiei vectorului a

pe planul XOY;

c) produsul scalar al vectorului a

cu vectorul kb

3 ;

d) produsul vectorial al vectorului a

cu vectorul kb

2 .

R: a) 14 ; b) 13 ; c) 3; d) ji

46 .

2. Fiind daţi vectorii kjia

432 şi kjib

53 să se calculeze:

a) modulul fiecărui vector;

b) produsul scalar ba ;

c) suma şi diferenţa vectorială;

d) produsul vectorial ba

.

R: a) 35,29 ; b) -1; c) kji

25 , kji

94 ; d) )2(11 kji

.

8

2. Mecanică clasică

2.1 Elemente de dinamică

Poziţia unei particule la orice moment de timp t este specificată de

vectorul de poziţie )(tr

a cărui expresie reprezintă legea de mişcare:

ktzjtyitxtr

)()()()( .

Prin eliminarea timpului din ecuaţiile parametrice ale traiectoriei

x=x(t), y=y(t), z=z(t) se obţin ecuaţiile traiectoriei.

Vectorul viteză momentană este derivata vectorului de poziţie în

raport cu timpul, iar prin derivarea legii de mişcare se obţine legea vitezei:

dt

rd

v , kjik

dt

tdzj

dt

tdyi

dt

tdxt zyx

vvv

)()()(v .

Vectorul acceleraţie momentană este derivata întâi a vectorului viteză

în raport cu timpul, sau derivata a doua a vectorului de poziţie în raport cu

timpul:

2

2v

dt

rd

dt

da

, kajaiakdt

dj

dt

di

dt

dta zyx

zyx

vvv

.

Impulsul este: v mp .

Principiul fundamental al mecanicii: dt

pdF

;

Pentru masă constantă, principiul fundamental al mecanicii se scrie: amF .

Legea de mişcare, legea vitezei, acceleraţia ca funcţii de timp, ecuaţiile

traiectoriei descriu, ceea ce se numeşte, mişcarea unui mobil. Aceste relaţii nu

sunt independente. Cunoscându-se condiţiile iniţiale (poziţia şi viteza la

momentul iniţial), prin calcule matematice se obţine una din aceste legi din alta,

9

adică se cunoaşte mişcarea mobilului. Operaţiile matematice ce se impun în

fiecare caz în parte pot fi sintetizate printr-o diagramă:

)(tr

- legea de mişcare )(v t

- legea vitezei )(ta

- acceleraţie

integrare )(v r

integrare )v(

a

integrare

f(x,y,z) = 0 - ec. traiectoriei )(ra

derivare

Problemele care urmează urmăresc să exemplifice modalitatea de obţinere

a relaţiei convenabile pentru descrierea mişcării unui mobil.

Cunoscând legea de mişcare a unui corp )(tr

, prin operaţia de derivare

se află legea vitezei )(v t

, iar apoi derivând legea vitezei se află acceleraţia ca

funcţie de timp )(ta

, respectiv forţa ce acţionează asupra corpului dacă acesta

are masă constantă.

integrare integrare

derivare derivare

Eli

min

area

tim

pu

lui

)(tr

-legea de mişcare derivare)(v t

-legea vitezei derivare

)(ta

-acceleraţie

10

1. Aflaţi viteza şi acceleraţia punctelor materiale descrise de următorii

vectori de poziţie:

a) kjtitr

11157 2 (m);

b) kejtitr t 4123sin5 (m);

c) ktjttittr

ln5tan6sin 21

2 (m);

d) kejtitr t 722cos5 (m).

2. Ecuaţiile mişcării unui mobil sunt următoarele:

x = r cos ωt (m), y = r sin ωt (m), z = α t (m), unde r, ω, α sunt constante

pozitive. Să se afle:

a) vectorul viteză, modulul vitezei;

b) vectorul acceleraţie, modulul acceleraţiei.

R: a) 222v r

m/s; b) 2ra

m/s2.

3. O particulă de masă m se mişcă după legea:

x = α cos ωt (m), y = β sin ωt (m), unde α, β, ω sunt constante pozitive.

a) Precizaţi unităţile de măsură ale constantelor α, β şi ω;

b) Determinaţi forţa care acţionează asupra particulei în funcţie de poziţia

particulei.

R: .2rmF

4. Mişcarea unui punct material în planul xOy este descrisă de legea:

x = α sin ωt (m), y = α (1 - cos ωt) (m), unde α şi ω sunt constante pozitive.

Determinaţi unghiul dintre vectorul viteză şi vectorul acceleraţie al punctului

material.

R: π/2.

11

Din legea de mişcare )(tr

eliminând timpul se pot scrie ecuaţiile explicite

ale traiectoriei.

5. Vectorul de poziţie al unui punct material A variază după legea:

jtitr 2 (m), unde α, β sunt constante pozitive. Determinaţi:

a) ecuaţia traiectoriei punctului; reprezentaţi grafic;

b) vectorii viteză şi acceleraţie şi modulele acestora;

c) unghiul θ între vectorii acceleraţie şi viteză în funcţie de timp.

Rezolvare:

a) 2

2xy

- ecuaţia traiectoriei;

Traiectoria este o parabolă cu vârful V(0,0), iar punctul A se mişcă pe jumătate

din această parabolă ( x 0).

b) jti

2v , vectorul viteză este tangent la traiectorie în fiecare punct al

acesteia;

ja

2 , în acest caz vectorul acceleraţie este paralel cu direcţia axei Oy

şi în sens opus acesteia în fiecare punct al traiectoriei;

c) Unghiul pe care vectorul viteză îl face cu axa Oy este (π – θ),

t

tgy

x

2v

v

ttg

2

sau dacă se calculează cu ajutorul produsului scalar dintre vectorii a

şi v

:

2

2

2

4

cos

t

t

.

)(tr

- legea de mişcare pulelimin tim ec. traiectoriei

12

6. Mişcarea unei particule în plan este descrisă de legea:

x = β t (m), y = α t (1- β t) (m), unde α, β sunt constante pozitive. Determinaţi:

a) ecuaţia traiectoriei particulei; reprezentaţi grafic;

b) vectorii viteză şi acceleraţie şi modulele acestora;

c) momentul t0 la care vectorul viteză face un unghi de π/4 cu vectorul

acceleraţie.

R: a) xxy

2 ; c)

20

t .

7. Să se scrie ecuaţia traiectoriei, precizând forma acesteia pentru particula

care se mişcă după legea:

a) problemei 5;

b) problemei 6.

8. Două particule se deplasează cu vitezele ji

32v1 m/s, respectiv

ji

2v m/s. La momentul t0=0 particulele se găsesc în poziţiile

jir

210 m, respectiv jr

320 m. Să se determine momentul la care

distanţa dintre particule este minimă.

R: t = 0,6 s.

9. Două particule se deplasează cu vitezele jit

1v m/s, respectiv

jti

2v m/s. La momentul t0 =0 particulele se găsesc în poziţiile

ir

310 m, respectiv jr

320 m. Să se determine momentul la care distanţa

dintre particule este minimă.

Rezolvare:

13

dt

rd

v

t

t

dttrtr

0

)(v)( 10

,

jtit

tr

3

2)(

2

1 , jt

ittr

3

2)(

2

2 ,

jtt

itt

r

3

23

2

22

,

3

223

22

22

tt

tt

r

;

.minr

0

dt

rd

şi 02

2

dt

rd

;

t=1 s.

Operaţia inversă derivării fiind integrarea, din legea vitezei )(v t

se obţine

prin integrare legea de mişcare )(tr

. Cunoscându-se acceleraţia (sau forţa) ca

funcţie de viteză )v(

a (de obicei forţele rezistente depind de viteză), prin

integrare se poate afla legea vitezei )(v t

şi, mai departe, printr-o nouă integrare,

se poate descrie mişcarea prin legea de mişcare )(tr

.

10. Un corp de masă m porneşte la momentul t0 = 0 de la x0 = 0 cu viteza

v0 într-un mediu vîscos de-a lungul axei Ox. Corpul întâmpină din partea

mediului o forţă de rezistenţă proporţională cu viteza (F = - α v). Să se

determine:

a) legea vitezei;

)(tr

-legea de mişcare integrare

)(v t

-legea vitezei integrare

)v(

a -acceleraţie

14

b) legea de mişcare;

c) după cât timp viteza iniţială a corpului, v0, se micşorează de n ori.

Rezolvare:

a) amF

dt

dm

vv dt

dm

v

v

t

dtd

m0

v

v0v

v tm

0v

vln

m

t

et

0v)(v ;

b) dtedx

t

m

tx

0

0

0

v

1v

)( 0 m

t

em

tx

;

c) Se înlocuieşte v cu n

0v în legea vitezei şi se obţine: n

mt ln

.

11. Un corp de masă m întâmpină, din partea mediului în care se mişcă

de-a lungul axei Ox, o forţă de rezistenţă proporţională cu pătratul vitezei;

constanta de proporţionalitate este α (F = - α v2). Presupunând că la momentul

t0 = 0 corpul se găseşte la x0 = 0 şi are viteza v0 să se determine:

a) legea vitezei;



R: a)

0v

vm

t

mt

; b) 1v

ln 0 tm

mtx

; c) 1

v0

nm

t

.

12. Un corp de masă m, care se mişcă în lungul axei Ox, întâmpină din

partea mediului în care se mişcă o forţă de rezistenţă proporţională cu cubul

15

vitezei (F = - α v3). Presupunând că la momentul t0 = 0 corpul pleacă de la x0=0

şi are viteza v0 şi neglijând restul interacţiunilor, să se determine:

a) legea vitezei;



R: a)

tm

t2

v

1

1)(v

2

0

; b) 0

2

0v

2

v

1

mt

m

mtx ; c) 1

v2

2

2

0

nm

t

.

.

13. O particulă se mişcă încetinit în sensul pozitiv al axei Ox cu acceleraţia

va , unde α constantă pozitivă. Ştiind că la momentul t0 = 0, x0 = 0, iar

viteza este v0, determinaţi:

a) legea vitezei;


c) drumul parcurs până la oprire şi intervalul de timp corespunzător.

R: a)

2

02

v)(v

tt

; b)

3

0

3

0 v2

v3

2)(

ttx

;

c)

0v2t , 2

3

0v3

2

x .

Cunoscându-se viteza ca funcţie de poziţie )(v r

, prin integrare se poate

afla legea de mişcare )(tr

şi, mai departe, se poate descrie mişcarea prin legea

dorită, folosind operaţiile matematice amintite mai sus.

trr integrarev

16

14. O particulă se deplasează în planul xOy cu viteza jxi

2v ,

unde α, β sunt constante. La momentul iniţial t0 = 0 particula se găseşte în

punctul x0 = y0 = 0. Determinaţi:

a) legea de mişcare;

b) legea vitezei;

c) ecuaţia traiectoriei;

d) acceleraţia.

R: a) jtittr 2)( .

15. O particulă de masă m se deplasează în sensul pozitiv al axei Ox cu o

viteză xv , unde α constantă pozitivă. Ştiind că la momentul t0 = 0

particula se găseşte în punctul x0 = 0 determinaţi:


b) legea vitezei;

c) acceleraţia;

d) lucrul mecanic al tuturor forţelor ce acţionează asupra particulei în

primele t secunde ale mişcării.

R: a) 22

4)( ttx

; d) 2

4

8)( tmtL

.

16. Aceeaşi problemă pentru 3v x .

R: a) 2

3

3

2)(

ttx ; d) t

mtL

3)(

3 .

17

Atunci când se cunosc ecuaţiile traiectoriei, prin derivări succesive ale

acestora, şi folosind condiţiile iniţiale se poate deduce acceleraţia ca funcţie de

poziţie ra

.

17. O particulă de masă m se mişcă pe traiectoria 12

2

2

2

yx cu o

acceleraţie paralelă cu axa Oy. La t0 = 0 particula se găseşte în punctul de

coordonate x0 = 0, y0 = şi are viteza v0. Determinaţi forţa care acţionează

asupra particulei în fiecare punct al traiectoriei.

Rezolvare:

1)()(

2

2

2

2

tytx - ecuaţia traiectoriei;

Derivând ecuaţia traiectoriei în raport cu timpul se obţine:

022

22

dt

dyy

dt

dxx

sau 0

)(v)()(v)(22

ttyttx yx (1)

Condiţiile iniţiale:

t0 = 0, x0 = 0, y0 = , v0 ,

ay 0 , ax = 0 vx = const.

se înlocuiesc în (1) şi 0v0

y

v0y = 0 şi deci v0x = v0 vx = const = v0

Derivând (1) încă o dată în raport cu timpul şi utilizând, din nou, condiţiile

iniţiale, se obţine:

0vv

22

2

2

2

0

yy ay

ec. traiectoriei raderivare

18

Înlocuind vy din (1) şi folosind ecuaţia traiectoriei se obţine:

ay =

2

2

2

4

2

0

2

2

2

2

02

1vv

y

yy ay =

3

2

0

2

4 v

y

Astfel Fy = 3

2

0

2

4 v

y

m

, iar 0xF j

y

myF

3

2

0

2

4 v)(

.

18. O particulă se deplasează pe o traiectorie plană cu viteza constantă în

modul (v). Determinaţi acceleraţia particulei în punctul x0 = 0 pentru o

traiectorie descrisă de ecuaţia:

a) 2xy ;

b) xy .

Rezolvare:

a) 2xy .deriv vy = 2α x vx (1)

Dar vx2+ vy

2 = v

2 = const. vx

2 ( 1+4 α

2x

2 ) = v

2 (2)

.)2( deriv 22

22

41

v4

x

xa x

x

222

22

41

v4

x

xax

;

.)1( deriv ay = 2 α vx2+2 α x ax

222

2

41

v2

xa y

;

Pentru x0 = 0 y0 =0

0v

vv

0

0

y

x

2

0

0

v2

0

y

x

a

a;

b) R:

0

v2

0

2

0

y

x

a

a .

)(tr


)(v t


)(ta

-acceleraţie

)(tF

-forţă

19

19. Un corp de masă m se află în repaus pe un plan orizontal. La momentul

t0 = 0 asupra lui începe să acţioneze o forţă dată de legea F = α t, unde α este o

constantă. Forţa face un unghi θ cu orizontala. Neglijînd frecarea să se

determine:

a) legea vitezei, până la părăsirea planului orizontal;

b) viteza v1 a corpului în momentul în care acesta părăseşte planul;

c) legea de mişcare, până la părăsirea planului;

d) drumul parcurs de corp din momentul iniţial până la părăsirea planului.

Rezolvare:

a) Până la părăsirea planului orizontal acceleraţia corpului este:

F cos θ = m a m

ta

cos ,

m

t

dt

d cosv egrareint 2

2

cosv t

m

;

b) În momentul desprinderii componenta verticală a forţei este egală cu

greutatea, astfel încât:

F sin θ =G α t1 sin θ = mg sin

1

mgt ,

2

2

1sin2

cosv

mg ;

c) R: 3

6

cos)( t

mtx

; d) R:

32

32

01sin6

cosgmxx .

20. Un corp de masă m se află în repaus pe un plan orizontal. La momentul

t0 = 0 asupra lui începe să acţioneze o forţă dată de legea F = α t , unde α este

o constantă. Forţa face un unghi θ cu orizontala. Neglijînd frecarea, să se

determine:

20

a) viteza v1 a corpului în momentul în care acesta părăseşte planul;

b) drumul parcurs de corp din momentul iniţial până la părăsirea planului.

R: a)

32

32

1sin3

cos2v

gm ; b)

54

54

01sin15

cos4 gmxx .

Energia

Lucrul mecanic elementar, respectiv lucrul mecanic total la trecerea

din starea 1 în starea 2 sunt:

đ rdFL

, rdFL

2

1

.

Observaţie: đL reprezintă lucrul mecanic elementar şi nu diferenţiala lucrului

mecanic.

Dacă forţa este constantă pe tot parcursul deplasării: rFL

.

dt

LdP - puterea mecanică; v

FP .

đL = dEc - teorema variaţiei energiei cinetice;

Lucrul mecanic al forţelor care derivă din potenţial este: đL= - dU, iar forţele

câmpului potenţial se exprimă:

UF

= - grad U,

unde U = U( x, y, z ) – potenţialul sau energia potenţială este funcţie de poziţie;

zk

yj

xi

- operatorul nabla.

E = Ec + U – energia totală.

21

21. Forţele constante kjiF

2321 (N) şi kjiF

532 (N)

acţionează simultan asupra unei particule în timpul deplasării acesteia din

punctul A(4, 7, 5) (m) în punctul B(9, 0, 8) (m). Care este lucrul mecanic

efectuat asupra particulei?

R: 30 J

22. O particulă se deplasează pe o traiectorie în planul xOy din punctul de

vector de poziţie jir

531 m, în punctul de vector de poziţie jir

42 m.

Ea se deplasează sub acţiunea unei forţe jiF

72 N. Calculaţi lucrul

mecanic efectuat de forţa F

.

R: - 40 J.

23. Un corp de masă m = 4 kg se mişcă după legea jtttr 33)( m. Să

se calculeze lucrul mecanic efectuat asupra corpului în intervalul de timp t0 = 0,

t1 = 2 s.

Rezolvare:

jtttr 33)( jt(t)

291v ,

jt(t)

18a , jt(t)

72F ;

v FP 29172 ttP ;

2

0

29172 dtttL 2736L J.

22

24. Un corp de masă m = 1 kg se mişcă după legea jtittr 32 2)( m. Să

se calculeze lucrul mecanic efectuat asupra corpului în intervalul de timp t0 = 0,

t1 = 1 s.

R: L = 20 J.

25. Asupra unui corp de masă m aflat pe un plan orizontal acţionează o

forţă constantă în modul F = mg/2. Pe parcursul deplasării forţa face cu

orizontala un unghi care variază după legea θ = α x, unde α este o constantă, iar

x este drumul parcurs (x0 = 0). Să se calculeze viteza v1 a corpului în momentul

în care unghiul θ = π/2.

Rezolvare:

F sin θ < G , pentru orice x pe tot parcursul deplasării corpul rămâne pe

planul orizontal;

Lucrul mecanic, al forţelor care acţionează asupra corpului, se reduce la lucrul

mecanic al componentei forţei F

de-a lungul planului orizontal :

xF

dxxFL

x

sincos0

;

Folosind teorema variaţiei energiei cinetice:

L = ∆Ec )(sin)(v xg

x

g1v .

Dacă se cunoaşte forţa, sau acceleraţia, ca funcţii de poziţie, legea vitezei

se poate obţine folosind teorema variaţiei energiei cinetice şi definiţia lucrului

mecanic, iar legea de mişcare rezultă prin integrarea legii vitezei. O altă

23

modalitate de a obţine legea de mişcare este rezolvarea ecuaţiei diferenţiale la

care conduce principiul fundamental al mecanicii.

26. Un corp de masă m se mişcă în lungul axei Ox sub acţiunea unei forţe

care variază după legea F = α x, unde α este o constantă pozitivă. Ştiind că, la

momentul t0 = 0, corpul se găseşte în x0 şi are viteza v0 = 0, să se determine:


b) legea vitezei.

R: a) m

t

extx

0)( ; b) m

t

em

xt

0)(v .

27. Un corp de masă m se mişcă în lungul axei Ox sub acţiunea unei forţe

care variază după legea F = α x, unde α este o constantă pozitivă. Ştiind că, la

momentul t0 = 0, corpul se găseşte în x0 = 0 şi are viteza v0 , să se determine:


b) legea vitezei.

Rezolvare:

a) Folosind teorema variaţiei energiei cinetice: L = ∆Ec şi definiţia lucrului

mecanic: dxxFL

x

0

,

se obţine lucrul mecanic 2

2xL

şi deci

22

0v)(v xm

x

;

Prin integrare se obţine legea de mişcare implicită:

)(tr


)(v t


)(ra

-acceleraţie

)(rF

-forţă

24

mt

mxx

m

2

02

0

v

v

1ln ,

care, prin câteva artificii matematice duce la legea de mişcare explicită.

Dacă se abordează problema rezolvând ecuaţia diferenţială ce rezultă în urma

aplicării principiului fundamental al mecanicii:

02

2

xmdt

xd ,

atunci legea de mişcare rezultă în mod explicit şi este:

t

m

mtx

sinhv)( 0 ;

b) R:

t

mt

coshv)(v 0 .

28. Un corp de masă m este ridicat de la suprafaţa Pământului cu ajutorul

unei forţe care depinde de altitudinea y după legea jymgF

12 , unde α

este o constantă pozitivă. Calculaţi lucrul mecanic al acestei forţe şi variaţia

energiei potenţiale a corpului pe porţiunea y = 0, y = 1/2α.

R: 4

3mgL ;

2

mgU .

29. Un resort special are legea forţei F = - α x3. Care este energia

potenţială în punctul x, presupunând Ep = 0 la x0 = 0.

R: Ep = α x4 / 4.

30. Ştiind că potenţialul forţei este dat de expresia r

U

, unde α este o

constantă pozitivă, să se determine expresia forţei ce derivă din acesta.

25

Rezolvare:

UF

z

Uk

y

Uj

x

UiF

;

Pentru a lucra în coordonate carteziene se foloseşte expresia potenţialului

scrisă cu aceste coordonate:

21

222

),,(

zyx

zyxU

23

222 zyx

x

x

UFx

,

23

222 zyx

y

y

UFy

,

23

222 zyx

z

z

UFz

,

23

222 zyx

kzjyixF

rr

F

3

.

31. Potenţialul unui câmp are expresia rr

U

2

, unde α şi β sunt

constante pozitive, iar r este distanţa faţă de centrul câmpului. Să se determine:

a) expresia forţei ce derivă din acest potenţial;

b) valoarea maximă a forţei de atracţie pe care acest câmp o exercită

asupra unei particule.

R: a) rrr

F

34

2 ; b)

2

3

max27

F .

26

Momentul forţei şi momentul cinetic

FrM

- momentul forţei;

prJ

- momentul cinetic;

Mdt

Jd

- teorema mometului cinetic;

Pentru forţe centrale momentul forţei este nul în raport cu centrul câmpului şi

momentul cinetic se conservă.

32. O planetă de masă m evoluează în jurul Soarelui, de masă M, pe o

elipsă. Distanţa minimă (periheliu) şi maximă (afeliu) faţă de Soare este r1,

respectiv r2. Calculaţi momentul cinetic al acestei planete în raport cu centrul

Soarelui.

Rezolvare:

Forţa de interacţiune gravitaţională între planetă şi Soare este:

rr

mMKF

3

,

iar energia potenţială a planetei în câmpul gravitaţional al Soarelui este:

r

mMKE p ;

Mişcarea planetei fiind în câmp central, energia totală şi momentul cinetic se

conservă. În punctele în care distanţa planetei faţă de Soare este minimă,

respectiv maximă, aceste legi de conservare se scriu:

2

v

2

v 2

2

2

2

1

1

m

r

mMK

m

r

mMK ,

2211 vv mrmrJ .

Rezolvând sistemul format din aceste două ecuaţii care au necunoscutele v1 şi

v2 se obţine:

27

21

212

rr

rrKMmJ

.

33. Să se exprime, în funcţie de momentul cinetic J, energia cinetică,

energia potenţială şi energia totală a unui satelit de masă m pe o orbită circulară.

R: 2

2

2mr

JEc ;

2

2

mr

JE p ;

2

2

2mr

JE .

2.2 Oscilaţii mecanice

Oscilaţii armonice:

Un corp efectuează oscilaţii armonice atunci când asupra lui acţionează o forţă

de tip elastic:

F = - k x,

k –constanta elastică; x –elongaţie; m –masa;

m

k2

0 , ω0 – pulsaţie proprie; 0

0

2

T

, T0 –perioadă proprie;

x(t) = A sin (ω0 t + φ);

Oscilaţii amortizate:

Oscilaţiile unui corp sunt amortizate atunci cănd asupra lui acţionează, pe lângă

forţa de tip elastic (- k x) şi o forţă rezistentă proporţională cu viteza (– α v):

F = - k x – α v, α –coeficient de rezistenţă;

2m

, 22

0 , ω –pulsaţia oscilaţiei amortizate;

β –factor de amortizare;

28

Observaţie: Avem de-a face cu mişcare de oscilaţie numai dacă 22

0 .

x(t) = A e - β t

sin (ω t + φ);

T - decrement logaritmic;

T – perioada mişcării oscilatorii amortizate.

Oscilaţii forţate:

Forţa care întreţine oscilaţia este sinusoidală de amplitudine F0 şi pulsaţie ω1:

F = - k x – α v + F0 sin (ω1 t);

x(t) = A1 sin (ω1 t - φ1 ) ,

2

1

22

1

2

0

0

1

2

mF

A , 2

1

2

0

11

2

tg ;

A1 (ω1) = maximă ω1= ωrez =22

0 2 .

34. O particulă efectuează oscilaţii sinusoidale de-a lungul axei Ox în jurul

poziţiei de echilibru. Pulsaţia oscilaţiilor este ω = 5 rad/s. La momentul t0=0

particula se găseşte în poziţia x0 = 12 cm şi are viteza 0v =0,6 m/s. Determinaţi

legea de mişcare şi legea vitezei.

R:

45sin212)(

ttx cm;

45cos260v

πt,(t) m/s.

35. Determinaţi pulsaţia şi amplitudinea oscilaţiilor sinusoidale efectuate

de o particulă dacă la distanţele x1 şi x2 de la poziţia de echilibru viteza

particulei are valorile v1 şi v2.

R: 2

2

2

1

2

1

2

2 vv

xx

,

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

vv

vv

xxA .

29

36. Un corp de masă m = 0,05 kg fixat de capătul unui resort de constantă

elastică k = 20 N/m execută o mişcare oscilatorie armonică de-a lungul axei Ox.

Ştiind că la momentul t0 = 0 corpul are doar energie cinetică, iar energia

cinetică maximă a corpului este de 9·10 -3

J, să se determine:


b) energia totală a corpului.

R: a) x(t) = 0,03 sin(20 t) m; b) Et = 9·10 -3

J.

37. Un corp de masă m = 0,05 kg fixat de capătul unui resort execută o

mişcare oscilatorie armonică de-a lungul axei Ox după legea:

)10(sin050 t , x(t) m. Să se determine:

a) constanta elastică a resortului şi perioada oscilaţiilor;

b) energia totală a corpului;

c) momentele de timp la care energia cinetică este egală cu energia

potenţială.

R: a) k = 5 N/m, 5

T s; b) Et = 6.25·10

-3 J; c)

4012

ntn s, unde

n=număr natural.

38. Un punct material efectuează o mişcare oscilatorie amortizată de-a

lungul axei Ox. Perioada mişcării este T=3 s, iar decrementul logaritmic δ=0,6.

Să se scrie legea de mişcare, ştiind că la momentul iniţial t0 = 0, x0 = 0, v0 = 0,5 m/s.

R:

tetx

t

3

2sin

4

3)( 5

.

39. Să se scrie expresia vitezei oscilaţiilor amortizate.

Rezolvare:

30

x(t) = A0 e - β t

sin (ω t + φ),

teteAt tt cossinv 0 ,

tteAt t sincosv 0 ;

tarctgtgteAt t sincosv 0 ,

arctgt

arctg

eAt

t

cos

cos

v 0 .

40. Un punct material execută oscilaţii amortizate cu pulsaţia ω. Să se

determine coeficientul de amortizare β dacă la momentul t0 = 0 viteza punctului

material este nulă, iar elongaţia este de n ori mai mică decât amplitudinea.

R: 12 n .

41. Un corp oscilează într-un mediu cu decrementul logaritmic δ1. Care

este decrementul logaritmic δ2 dacă coeficientul de rezistenţă al mediului creşte

de n ori?

Rezolvare:

12 n 12 n ;

2 T ,

22

0 ,

2

22

0

22

0

4

;

22

1

01

22

2

02

44

n,

31

114

2

2

2

1

12

n

n

.

42. Un corp oscilează într-un mediu cu decrementul logaritmic δ1. De câte

ori trebuie să crească rezistenţa mediului pentru ca oscilaţia amortizată să

devină mişcare amortizată aperiodică (β2 = ω0).

R: 12

2

1

n .

43. Un corp de masă m=250 g execută o mişcare de oscilaţie amortizată cu

factorul de amortizare β = π/4 s – 1

, perioada oscilaţiilor proprii fiind 320 T s.

Oscilaţiile corpului devin forţate în urma acţiunii unei forţe exterioare periodice

)2(sin1,0 tF N. Să se scrie elongaţia oscilaţiilor forţate.

R:

42sin

22,02

ttx m.

44. Amplitudinea oscilaţiilor forţate este aceeaşi pentru două frecvenţe ν1

şi ν2. Să se afle frecvenţa de rezonanţă a oscilaţiilor.

R: 2

2

2

2

1

rez .

45. Asupra unui corp, care efectuează o mişcare oscilatorie amortizată cu

perioada oscilaţiilor proprii T0, acţionează o forţă exterioară sinusoidală de

amplitudine F0. La rezonanţa vitezelor, amplitudinea oscilaţiilor este A0. Să se

afle coeficientul de rezistenţă.

Rezolvare:

32

x(t)=A1 sin (ω1 t - φ1 ) - legea de oscilaţie în cazul oscilaţiilor forţate;

2

1

22

1

2

0

0

1

2

mF

A ,

v(t)=A1 ω1 cos (ω1 t - φ1 )

Rezonanţa vitezelor se realizează atunci când :

ω1 A1= maximă

0

22

1

22

1

2

0

01

1

mF

d

d ω1 = ω0

0

0

02 m

FA ;

Dar 0

0

2

T

, iar

2

m

0

00

2 A

TF

.

46. Un corp care efectuează o mişcare oscilatorie forţată are amplitudinea

vitezei egală cu 1/3 din amplitudinea vitezei la rezonanţa vitezelor, pentru două

pulsaţii ω1 şi ω2. Să se afle:

a) pulsaţia proprie a oscilatorului ω0;

b) factorul de amortizare β.

R: a) 210 ; b) 24

12

.

Compunerea oscilaţiilor armonice paralele

a) Oscilaţii cu aceeaşi pulsaţie

x1 (t) = A1 sin (ω t + φ1),

x2 (t) = A2 sin (ω t + φ2);

Rezultatul compunerii a două oscilaţii armonice paralele de aceeaşi

pulsaţie este tot o oscilaţie armonică de aceeaşi pulsaţie pe aceeaşi direcţie.

33

x (t) = x1 (t) + x2 (t) x (t) = A sin (ω t + φ)

1221

2

2

2

1 cos2 AAAAA , 2211

2211

coscos

sinsin

AA

AAtg

.

b) Oscilaţii cu pulsaţii puţin diferite

Rezultatul compunerii a două oscilaţii armonice paralele de pulsaţii

diferite nu mai este o oscilaţie armonică.

x1 (t) = A sin (ω1 t + φ1),

x2 (t) = A sin (ω2 t + φ2),

x (t) = x1 (t) + x2 (t) ;

Dacă pulsaţiile sunt foarte apropiate între ele, iar amplitudinile

oscilaţiilor care se compun sunt egale, oscilaţia rezultantă este aproape

sinusoidală:

22sin

22cos2 12121212

ttAtx .

În cazul frecvenţelor acustice sunetul de pulsaţie 2

12 se aude succesiv,

întărindu-se şi slăbindu-se cu pulsaţia şi perioada bătăilor: 12

2

bT .

Compunerea oscilaţiilor armonice perpendiculare

a) Oscilaţii cu aceeaşi pulsaţie

x (t) = A1 sin (ω t + φ1),

y (t) = A2 sin (ω t + φ2);

34

Traiectoria unui punct material supus simultan la două oscilaţii armonice

perpendiculare de aceeaşi pulsaţie este o elipsă a cărei formă depinde de

12 :

12

2

12

21

2

2

2

2

1

2

sincos2

AA

xy

A

y

A

x .

b) Oscilaţii cu pulsaţii diferite

Un punct material supus simultan la două oscilaţii armonice

perpendiculare de pulsaţii diferite are o traiectorie complicată. Dacă raportul

pulsaţiilor este un număr raţional traiectoria este una din figurile Lissajous,

forma traiectoriei depinzând şi de diferenţa de fază 12 .

47. Un punct material este supus simultan la două mişcări oscilatorii

armonice descrise de legile:

x1 (t) = 1,2 sin

3

2 t

7

2 m, respectiv x2 (t) = 1,6 sin

6 t

7

2 m.

Să se scrie legea de mişcare rezultantă.

R: x (t) = 2 sin (7

2 t + 0,37 π) m.

48. Un punct material este supus simultan la două mişcări oscilatorii

armonice descrise de legile:

a)

35sin5

ttx m,

3

2

5sin4

tty m;

35

b)

14

9sin2

ttx m,

7sin5

tty m;

c)

63

2sin3

ttx m,

3

2

3

2sin3

tty m.

Să se determine ecuaţia traiectoriei punctului material, precizându-se forma

acesteia.

R: a) xy5

4 , traiectoria este o dreaptă; b) 1

254

22

yx

, traiectoria este o

elipsă având drept axe chiar axele de coordonate; c) 922 yx , traiectoria

este un cerc.

49. Să se determine ecuaţia traiectoriei unui punct material supus simultan

la două mişcări oscilatorii:

a) x (t) = A sin (ω t), y (t) = A sin (2ω t);

b) x (t) = A sin (ω t), y (t) = A cos (2ω t).

Rezolvare:

a) x = A sin (ω t) A

xt sin ;

y = Asin(2ωt) y = 2A sin (ω t) cos (ω t),

ttAy 2222 sin1sin4

2

222 14

A

xxy - traiectoria este una din figurile

Lissajous:

36

b) Cele două oscilaţii care se compun au acelaşi raport al pulsaţiilor ca şi la

punctul a), dar defazajul este altul şi deci forma traiectoriei este alta.

2

221

A

xAy .

2.3 Unde elastice

Mediile continue (gazele, lichidele, solidele) sunt medii de particule care

interacţionează între ele şi care, dacă una din particule oscilează, vor propaga

oscilaţia de la particulă la particulă sub formă de unde, numite unde elastice.

Mediile de acest fel se numesc medii elastice.

Atunci când oscilaţiile în fiecare punct sunt armonice de o anumită frecvenţă,

2 ( -pulsaţia), unda este o undă monocromatică ce se propagă fără

atenuare.

xktAtx sin),( 0 - elongaţia în cazul undei plane monocromatice care

se propagă (fără atenuare) pe direcţia axei Ox;

A0 – amplitudinea, care este constantă pentru unda plană; x – distanţa faţă de

sursă;

k – număr de undă, adică numărul de unde, de lungime de undă λ, care se

cuprind în 2π unităţi de lungime.

Elongaţia ψ este periodică în timp, cu perioada T, şi periodică în spaţiu (în

raport cu coordonata x), cu perioada λ:

37

2k ,

T

2 , Tu ,

u –viteza de propagare a undei sau viteza de fază;

xkt - faza undei care se propagă pe direcţia axei Ox;

Suprafeţele de undă sunt suprafeţe de fază constantă. Viteza de deplasare a fazei

se numeşte viteză de fază.

01

2

2

22

2

tux

- ecuaţia diferenţială a undelor care se propagă pe

direcţia axei Ox;

rktAtr

sin),( 0 - elongaţia în cazul undei plane monocromatice care

se propagă în spaţiu (fără atenuare) în direcţia şi sensul lui k

;

k

-vector de undă care are modulul

2k şi este orientat în direcţia şi sensul

de propagare a undei.

rktr

Atr sin),( 0

- elongaţia în cazul undei sferice monocromatice;

Observaţie: În cazul undei sferice amplitudinea de oscilaţie a punctelor

mediului depinde de distanţa faţă de sursă : r

ArA 0 , unde A0 este constantă.

01

2

2

2

tu

- ecuaţia diferenţială a undelor care se propagă în spaţiu,

2

2

2

2

2

2

zyx

- operatorul lui Laplace (laplacean).

38

50. Într-un mediu elastic se propagă, de-a lungul axei Ox, undele

longitudinale descrise de legea: xttx 2,0100sin103),( 3 m. Să se

determine:

a) frecvenţa oscilaţiilor punctelor mediului elastic;

b) viteza maximă de oscilaţie a punctelor mediului elastic;

c) viteza de propagare a undei.

R: a) ν = 50 Hz, b) t

txoscil

),(v .

, vmax.= 0,3π m/s, c) u = 500π m/s.

51. O undă plană sonoră se propagă de-a lungul axei Ox după legea:

xttx 41360sin108, 5 m. Să se determine:

a) raportul dintre amplitudinea de vibraţie a particulelor mediului şi

lungimea de undă;

b) raportul dintre amplitudinea vitezei de vibraţie a particulelor mediului

şi viteza de propagare a undei.

R: a) 51009,5

A; b) 4max 102,3

v u

.

52. O sursă de oscilaţii armonice oscilează după legea:

tty 750sin03,0 m. Pentru unda plană care se propagă în lungul axei Ox,

să se determine deplasarea faţă de poziţia de echilibru a unui punct aflat la

distanţa de x1 = 25 cm faţă de sursa de oscilaţii la t1 =0,04 s după începerea

oscilaţiei. Viteza cu care se propagă oscilaţiile este de 250 m/s.

R: 25,1, 11 tx cm.

53. Să se determine raportul amplitudinilor şi defazajul dintre oscilaţiile a

două puncte aflate la 10 m, respectiv 16 m faţă de o sursă punctiformă de

39

oscilaţii, ştiind că perioada oscilaţiilor este de 0,08 s, iar viteza de propagare a

undei sferice este de 300 m/s.

R: 6,11

2

2

1 r

r

A

A;

2

212

rr

uT.

54. Să se determine, în cazul undei plane, elongaţia unui punct aflat la

distanţa de λ/4 faţă de sursa de oscilaţii pentru momentul T/3. Amplitudinea

oscilaţiilor este de 7 cm.

R: 3,5 cm.

55. Pentru o undă plană, la momentul T/3, distanţa faţă de poziţia de

echilibru a unui punct aflat la 5 cm faţă de sursa de oscilaţii este de 23 din

amplitudine. Să se determine lungimea de undă.

R: 30 cm.

56. O undă plană descrisă de legea xktAetx x sin, , unde A,

γ, ω şi k sunt constante, se propagă într-un mediu omogen. Să se calculeze

defazajul dintre punctele în care amplitudinile diferă de n=2,5 ori, ştiind γ =0,458 m– 1

şi λ = 50 cm.

R:

8ln

2 n .

57. O sursă punctiformă produce oscilaţii sonore de frecvenţă ν=1,4 kHz.

Unda sferică propagându-se cu atenuare, la distanţa r1 =3 m de la sursă

amplitudinea de oscilaţie a particulelor mediului este A1 = 30 μm, iar la

distanţa r2 = 8 m amplitudinea este de n = 4 ori mai mică. Să se determine:

a) coeficientul γ de amortizare al undei;

40

b) viteza maximă de oscilaţie a particulelor mediului la distanţa r2.

Rezolvare:

a) rktr

Aetr

r

sin, r

AerA

r

;

21 AnA 21

21

r

en

r

err

081,0ln1

2

1

12

r

nr

rr m

– 1;

b) t

trosc

),(v

r

eA r

maxv ;

La distanţa r2 de sursa de oscilaţii n

AA 1

2 066,02v 1max

n

A m/s.

3. Teoria Relativităţii (Relativitate restrânsă)

Sistemul de referinţă S’ se mişcă cu viteza u (comparabilă cu viteza

luminii c) relativ la sistemul de referinţă S în direcţia axei comune Ox.

Observaţie: Sistemul de referinţă S’ este de obicei sistemul propriu al

particulei care se mişcă cu viteză comparabilă cu viteza luminii, iar S este

sistemul de referinţă al laboratorului.

Transformările Lorentz

Transformările lui Galilei – Newton, valabile în Mecanica Clasică, sunt

înlocuite în Teoria Relativităţii Restrânse de transformările Lorentz:

41

2

2

1

'

c

u

tuxx

, yy ' , zz ' ,

2

2

2

1

'

c

u

xc

ut

t

.

Observaţie: Se foloseşte adesea notaţia c

u , adică β este viteza măsurată în

sistemul natural de unităţi, în care c = 1.

Dilatarea timpului

Măsurând intervalul de timp cât durează un proces fizic în sistemul de referinţă

al laboratorului, cu un ceas aflat în repaus faţă de laborator, se obţine o valoare

mai mare decât atunci când măsurarea are loc în sistemul de referinţă propriu,

aflat în mişcare cu viteza u faţă de sistemul de referinţă al laboratorului.

2

2

1

'

c

u

tt

.

Contracţia lungimii

Măsurând lungimea, de-a lungul direcţiei de mişcare, a unui obiect în sistemul

de referinţă al laboratorului, se obţine o valoare mai mică decât atunci când

măsurarea lungimii, tot de-a lungul direcţiei de mişcare, se face în sistemul de

referinţă propriu aflat în mişcare cu viteza u, şi faţă de care obiectul este în

repaus.

2

2

0 1c

ull .

Compunerea vitezelor

Pentru o particulă care se mişcă în sistemul de referinţă S cu viteza v

de

componente zyx v,v,v , viteza în sistemul de referinţă S’ are componentele:

42

x

xx

c

u

u

v1

v'v

2

,

2

2

2

1

v1

v'v

c

u

c

ux

y

y

, 2

2

2

1

v1

v'v

c

u

c

ux

zz

,

componente ce rezultă din transformările Lorentz.

Observaţie: În cazul în care cu formulele relativiste de compunere a

vitezelor se reduc la formulele clasice (newtoniene).

Masa de mişcare (relativistă):

2

2

0

1c

u

mm

, 0m - masa de repaus;

Observaţie: Semnificaţie fizică are m0 – masa de repaus.

Energia totală: 2cmE ;

Energia de repaus: 2

00 cmE ;

Energia cinetică: 2

0

2 cmcmEc .

1. Cu ce viteză se mişcă o riglă, poziţionată paralel cu direcţia de mişcare,

a cărei lungime este de 2 m în sistemul de referinţă propriu, dacă lungimea

observată din sistemul laboratorului este de 1 m.

R: 8

2

0

2

106,21 l

lcu m/s.

43

2. Fie un cerc, de rază b, în mişcare cu viteza u relativistă. Să se calculeze

β (c

u ), atunci când cercul este văzut din sistemul laboratorului ca o elipsă

cu axa mică 2a, iar cea mare 2b (a < b).

Rezolvare:

Pe direcţia mişcării diametrul propriu 2b devine, în sistemul de referinţă al

laboratorului, 2a (a < b) în conformitate cu:

2

2

122c

uba

2

2

2

2

1c

u

b

a ,

2

2

1b

a

c

u .

3. Timpul de viaţă propriu al unei particule instabile este 120 ns. Să se

calculeze distanţa parcursă de particulă înainte de dezintegrare în sistemul de

referinţă al laboratorului în care durata sa de viaţă este 18 ns.

R: 412

2

0

cs m.

4. Un sistem de referinţă S’ se mişcă cu viteza u =0,8 c în raport cu un

sistem de referinţă S în direcţia xx’. În sistemul S al laboratorului o particulă se

mişcă cu viteza jcic

2

3

2

1v . Să se exprime viteza particulei în sistemul

de referinţă S’.

R: cx2

1'v , cy

2

3'v v’ = v =c, dar v

şi 'v

au direcţii diferite.

44

5. Fie două sisteme de referinţă S şi S’, unde S’ se mişcă cu viteza u = c (1 – δ)

relativ la S în direcţia xx’. Să se afle viteza unei particule în sistemul S al

laboratorului, ştiind că particula se mişcă cu viteza vx’ = c ( 1 – δ) în sistemul

S’ (δ<<1).

Rezolvare:

x

xx

c

u

u

v1

v'v

2

x

xx

c

u

u

'v1

'vv

2

,

2

1

121

v2

2

c

cx .

6. Un sistem de referinţă S’ se mişcă cu viteza u =2c/3 relativ la sistemul

de referinţă S în direcţia xx’. Să se afle viteza unei particule în sistemul S al

laboratorului, ştiind că particula se mişcă cu viteza vx’ = 2c/3 în S’, pe aceeaşi

direcţie şi în acelaşi sens cu u. Care ar fi valoarea vitezei particulei în sistemul

laboratorului dacă vitezele s-ar compune clasic şi ce contradicţie ar rezulta?

R: cx13

12v ; Clasic: ccx

3

4v , viteza ar fi mai mare decât viteza luminii,

în contradicţie cu experienţa.

7. Asupra unei particule cu masa de repaus m0 acţionează o forţă constantă

F. Considerând că particula porneşte la t0 =0 din repaus din x0 =0, să se

exprime, relativist, viteza şi coordonata în funcţie de timp.

Rezolvare:

dt

dpF

tp

Fdtdp00

tFp ;

45

Dar p = mv, iar

2

2

0

v1

c

mm

22

0

22v

cmtF

tcFt

;

dt

dxv

tp

Fdtdp00

,

cmcmtFF

ctx 0

22

0

22)( .

8. Să se exprime impulsul relativist în funcţie de energia totală a unei

particule.

R: 42

0

21cmE

cp .

9. Să se exprime impulsul relativist în funcţie de energia cinetică a unei

particule.

R: 2

0

22

1cmEE

cp cc .

10. Care este corecţia de ordinul întâi pentru energia cinetică clasică atunci

când efectele relativiste devin importante? Dar corecţia de ordinul doi?

Rezolvare:

2

0

2 cmcmEc

1

1

1

2

2

0

cmEc , unde

c

u ;

Dezvoltând în serie Taylor:

642

2 16

5

8

3

2

11

1

1

,

se obţine

46

42

0

22

0

2

0

16

5

8

3

2 umum

umEc ;

Corecţia de ordinul întâi pentru energia cinetică este: 22

08

3um ;

Corecţia de ordinul doi pentru energia cinetică este: 42

016

5um .

4. Termodinamică

Parametrii de stare sunt presiunea (p), volumul (V) şi temperatura (T),

dintre care doar doi sunt independenţi datorită ecuaţiei de stare.

f (p,V,T) = 0 – ecuaţie de stare;

Pentru gazul ideal ecuaţia de stare este: pV = νRT, unde ν este numărul de

moli de gaz ideal, iar R = 8,314 J / molK, constanta universală a gazelor.

đL = p dV - lucrul mecanic într-o transformare termodinamică infinitezimală;

Observaţie: đL reprezintă lucrul mecanic corespunzător transformării

infinitezimale şi nu diferenţiala lucrului mecanic, pentru că lucrul mecanic nu

este funcţie de stare.

B

A

pdVL - lucrul mecanic într-o transformare termodinamică între stările

A şi B.

Observaţie: Într-o transformare izocoră L=0.

Energia internă pentru un gaz ideal este funcţie de temperatură: U = ν CV T ;

Observaţie: Într-o transformare izotermă ∆U=0.

47

4.1 Principiul I al termodinamicii

Variaţia energiei interne a unui sistem termodinamic este egală cu energia pe

care sistemul o schimbă cu mediul înconjurător.

dU = đQ – đL - pentru o transformare termodinamică infinitezimală;

Observaţie: Căldura şi lucrul mecanic sunt mărimi de proces şi nu admit

diferenţiale totale exacte – din acest motiv se foloseşte đQ şi đL.

∆U = Q – L – pentru o transformare termodinamică finită;

dT

QdC

1 - căldura molară,

V

p

C

C - indice adiabatic,

Cp = CV + R – relaţia Robert Mayer.

1. Să se calculeze raportul dintre lucrul mecanic efectuat de gaz într-o

transformare izotermă şi una izobară la dilatarea unui gaz din starea p1 , V1 până

la un volum V2 de n =2,5 ori mai mare.

R: 61,01

ln

n

n

L

L

p

T .

2. De câte ori creşte energia internă a unui gaz ideal cu indicele adiabatic

, într-o transformare adiabatică în care volumul scade de n=10 ori ? Pentru

gazul ideal monoatomic 3

5 , iar pentru gazul ideal biatomic

5

7 .

R:

1

2

1

1

2

V

V

U

U; 64.4

1

2

monoU

U, 51.2

1

2

biU

U.

48

3. Să se calculeze variaţia energiei interne pentru 3 moli de gaz ideal cu

indicele adiabatic γ = 1,4 aflat la temperatura de 22 °C atunci când presiunea

creşte de β=2 ori într-o transformare:

a) izocoră;

b) izotermă;

c) adiabatică;

d) în care 2V

T

.

R: a) 4,1811

1

TRU kJ; b) 0U ;

c) 03,411

1

1

TRU kJ; d) 8,101

13

2

1

TRU kJ.

4. Doi kmoli de gaz încălziţi cu 24 ºC, la presiune constantă, absorb 1,4 MJ

de căldură. Dacă R = 8,314 J / molK , să se determine:

a) lucrul mecanic al gazului;

b) variaţia energiei interne;

c) valoarea coeficientului adiabatic.

R: a) L = 0,399 MJ ; b) ∆U = 1,001 MJ ; c) γ =1,4.

5. Un gaz ideal aflat la presiunea 15,5 kPa ocupă un volum de 4,3 m3. În

cursul unei transformări izocore, în care presiunea creşte de α=10 ori, gazul

ideal primeşte o cantitate de căldură de 1,5 MJ. Să se determine coeficientul

adiabatic al acestui gaz ideal.

R: 4,11111 Q

Vp .

49

6. Un gaz ideal cu indicele adiabatic γ suferă o transformare descrisă de

legea Vp , unde este o constantă pozitivă. Ştiind că gazul se dilată de la

volumul V0 la un volum de ori mai mare, să se determine:

a) variaţia energiei interne a gazului;

b) lucrul mecanic efectuat;

c) căldura schimbată;

d) căldura molară a gazului în această transformare.

R: a) 11

2

2

0

VU ; b) 1

2

2

2

0 V

L ; c) 12

1122

0

VQ ;

d) 12

1

RC .

Pentru o transformare termodinamică a cărei lege se cunoaşte se deduce

căldura molară prin integrare folosind primul principiu al termodinamicii.

7. Să se calculeze căldura molară a unui gaz ideal într-un proces în care:

a) 2V

T

, unde α este constantă;

b) 3VT , unde α este constantă.

Rezolvare:

a) Înlocuind în principiul I al termodinamicii: dU = đQ – đL ,

expresiile lui dU, đL şi đQ:

dU = νCV dT , đL = p dV,

dT

QdC

1 đQ = νCdT,

se obţine: νCdT = νCVdT + pdV;

legea transformării căldura molară

50

Din legea transformării termodinamice: 2V

T

,

şi ecuaţia de stare pentru gazul ideal: pV = νRT,

3V

Rp

;

3V

dVRdTCdTC V .

În continuare, fie se integrează această expresie: 2

1

2

1

2

1

3

V

V

T

T

V

T

TV

dVRdTCdTC

şi se obţine:

2

1

2

2

12122 VV

RTTCTTC V

,

dar din legea transformării termodinamice: 2V

T

2

1

2

2

12VV

TT

;

2

RCC V ;

fie se diferenţiază legea transformării termodinamice: dVV

dT3

2 ,

2

3

3

V

V

RCC V

2

RCC V ;

b) R: 3

RCC V .

Pentru o transformare termodinamică a cărei căldură molară se cunoaşte

se deduce legea transformării termodinamice prin integrare, folosind primul

principiu al termodinamicii.

căldura molară legea transformării

51

8. Căldura molară a unui gaz ideal variază, într-o transformare dată, după

legea TC , unde α este constantă. Să se determine legea transformării

termodinamice corespunzătoare.

R: .constVeT VV C

RT

C

9. Să se determine legea transformării termodinamice în care căldura

molară a sistemului rămâne constantă (transformare politropă).

Rezolvare:

đQ = ν C dT

dU = ν CV dT

đL = p dV

Conform principiului I al termodinamicii: dU = đQ - đL

V

dVR

T

dTCC V ,

Dar din ecuaţia de stare a gazului ideal: pV = νRT

T

dT

p

dp

V

dV ,

şi folosind relaţia Robert Mayer: Cp = Cv + R se obţine:

0

p

dp

V

dV

CC

CC

V

p ,

V

p

CC

CCn

- indice politropic,

Prin integare .lnln constpVn

p V n =const. – legea transformării politrope.

10. Care este indicele politropic într-o transformare în care:

a) ;Vp b) 2V

T

; c) 3VT ; d) T

p

;

52

unde α este o constantă pozitivă.

R: a) 1n ; b) 3n ; c) 2n ; d) 2

1n .

11. Într-o transformare politropă volumul unui gaz ideal biatomic

( 4,1 ) scade de 9 ori, iar presiunea creşte de 27 ori. Să se

determine:

a) indicele politropic n;

b) căldura molară a gazului.

Rezolvare:

a) Legea transformării politrope: nn VpVp 2211

1

2

2

1

p

p

V

Vn

, adică n ;

Prin logaritmare se obţine 2

3

ln

ln

n ;

b) V

p

CC

CCn

- indice politropic

1

n

CnCC

pV

V

p

C

C - indice adiabatic, Cp = CV + R – relaţia Robert Mayer

1

RCV ,

1

RC p ;

11

n

nRC

2

RC .

12. Să se determine căldura molară pentru un gaz monoatomic (γ = 5/3)

într-o transformare politropă cu indicele politropic 5,1n .

53

R: 2

RC .

4.2 Principiul II al termodinamicii

Ciclul Carnot este o transformare ciclică reversibilă formată din două

adiabate şi două izoterme la temperaturile T1 şi T2 (T1 > T2 ).

.primQ

L - randamentul unui ciclu,

L – lucrul mecanic efectuat în cursul ciclului,

Qprim – căldura absorbită pe parcursul transformării ciclice;

.

.1

prim

ced

Q

Q ;

Qced. – căldura cedată pe parcursul transformării ciclice;

1

21T

TC - randamentul ciclului Carnot care funcţionează între temperaturile

T1 şi T2 (T1 > T2 ).

Orice motor termic care funcţionează între temperaturile T1 şi T2 are un

randament mai mic decât randamentul ciclului Carnot care funcţionează între

aceleaşi temperaturi.

13. Să se calculeze randamentul unui ciclu format dintr-o izotermă (12),

o izobară (23) şi o adiabată (31) dacă agentul termic este un gaz ideal cu

coeficientul adiabatic γ. Se cunoaşte raportul β dintre presiunea maximă şi

minimă a ciclului (min

max

p

p ). Care este randamentul unui ciclu Carnot care ar

funcţiona între temperatura minimă şi maximă ale ciclului de mai sus.

Rezolvare:

54

2

1

1212

V

V

dVVpLQ , pentru că 12 este transformare izotermă ,

1

2212 ln

V

VTRQ ;

2323 TTCQ p , pentru că 23 este transformare izobară , 2

2

3

3

T

V

T

V ,

1

2

3

223V

VTCQ p ;

a) Când izoterma este la temperatura b) Când izoterma este la temperatura

minimă a ciclului: maximă a ciclului:

2max1min VpVp 2

1

V

V, 2min1max VpVp

1

2

V

V,

1min3max VpVp

1

3

1 V

V,

1max3min VpVp

1

1

3 V

V,

1

2

3

V

V,

1

2

3

V

V,

2

izoterma

V

p

pmax

pmin

3

1

V

p

pmax

pmin

1

3 2

izoterma

55

ln212 RTQQced , ln212 RTQQprim ,

11

1

223

TRQQprim , 1

1

1

223

TRQQced ,

1

ln11

1

;

ln

1

11

1

;

Randamentul ciclului Carnot care funcţionează între temperatura minimă

şi maximă ale ciclului de mai sus este:

1

1C .

14. Să se calculeze randamentul unui ciclu format dintr-o izotermă (12),

o izocoră (23) şi o adiabată (31) dacă agentul termic este un gaz ideal cu

coeficientul adiabatic γ. Se cunoaşte raportul α dintre volumul maxim şi minim

a ciclului (min

max

V

V ). Care este randamentul unui ciclu Carnot care ar

funcţiona între temperatura minimă şi maximă ale ciclului de mai sus.

R: a) Când izoterma este la temperatura minimă a ciclului:

1

ln11

1

;

b) Când izoterma este la temperatura maximă a ciclului:

izoterma

V

p

Vmax Vmin

1

3

2

56

ln1

11

1

;

Randamentul ciclului Carnot care funcţionează între temperaturile

minimă şi maximă ale ciclului de mai sus:

11C .

Principiul II al termodinamicii reflectă o tendinţă: energia „curge”

dinspre locurile unde este concentrată, spre locurile unde este dispersată cât mai

mult.

Inegalitatea lui Clausius: 0T

Qd, unde semnul egal are sens pentru

transformări reversibile, iar „<” pentru transformări ireversibile.

T

QddS , S – entropia.

Entropia este măsura energiei dispersate ca funcţie de temperatură.

Observaţie: Presiunea, volumul, temperatura sunt parametri de stare, iar

energia internă şi entropia sunt funcţii de stare, pe când căldura şi lucrul

mecanic sunt mărimi fizice care au sens numai în transformări termodinamice.

Pentru transformările reversibile:

B

AT

QdASBS )()( ;

V

p

Vmax Vmin

1

2

3

izoterma

57

Pentru transformările ireversibile:

B

AT

QdASBS )()( .

Observaţie: Într-o transformare adiabatică ∆S = 0.

15. Calculaţi creşterea entropiei pentru 5 moli de gaz ideal cu indicele

adiabatic 4,1 într-o transformare în care volumul scade de 3 ori, iar

presiunea creşte de 5 ori.

Rezolvare:

Volumul scade de α ori

1

1

2 V

V,

Presiunea creşte de β ori 1

2

p

p;

đQ = T dS,

dU = ν CV dT,

đL = p dV,

Conform principiului I al termodinamicii: dU = đQ - đL

T dS = ν CV dT + p dV.

Prin integrare se obţine: 1

2

1

2 lnlnV

VR

T

TCS V ,

Dar 2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

1

2

1

2

1

2

V

V

p

p

T

T,

1lnln

1R

RS

,

lnln

1

RS = 7,41 J/K .

58

16. Calculaţi variaţia entropiei pentru 3 moli de gaz ideal cu indicele

adiabatic 4,1 atunci când volumul creşte de 4 ori într-o transformare:

a) izobară;

b) izotermă;

c) adiabatică.

R: a) ∆S = ν Cp ln α = 121 J/K; b) ∆S = ν R ln α = 34,5 J/K; c) ∆S = 0.,

17. Calculaţi variaţia entropiei pentru 3 kmoli de gaz ideal monoatomic

(3

5 ) atunci când temperatura sa creşte de α=10 ori într-o transformare:

a) izocoră;

b) izobară.

R: a) lnVCS =86,14 kJ/K; b) lnpCS =143,57 kJ/K.

18. Un gaz ideal cu indicele adiabatic γ suferă o transformare de forma

a) VTT 0 ;

b) V

TT

0 ;

c) Vpp 0 ;

unde 0T , p0 şi sunt constante pozitive. Să se determine pentru ce valoare a

volumului entropia este maximă.

Rezolvare:

a) T dS = ν CV dT + p dV

V

dVR

T

dTRdS

1

59

Prin integrare şi înlocuirea legii de transformare se obţine entropia S ca

funcţie de volum:

cVVTRVS

lnln

1

10

, unde c este o constantă de integrare;

S=max. 0dV

dS şi 0

2

2

dV

Sd ,

01 TV

;

b) R: 12

0

TV ; c) R:

10

pV .

60

Bibliografie

[1] Ch. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Cursul de fizică Berkeley,

volumul I, Mecanică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981;

[2] I. Irodov, I. Savéliev, O. Zamcha, Recueil de problèmes de physique

générale, Ed. Mir, Moscou, 1976;

[3] I. Irodov, Problèmes de physique générale, Ed. Mir, Moscou, 1983;

[4] V. Dorobanţu, Fizica între teamă şi respect, volumul I, Mecanică

clasică, Ed. Politehnica, Timişoara, 2003;

[5] V. Dorobanţu, Fizica între teamă şi respect, volumul II, Teoria

Relativităţii, Ed. Politehnica, Timişoara, 2004;

[6] J.J. Molitoris, The Best Test Preparation for the Graduate Record

Examination (GRE) in Physics, Research & Education Association, 1993;

[7] A. Hristev, Mecanică şi acustică, Ed. Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1984;

[8] E. Fermi, Termodinamica, Ed. Ştiinţifică, 1969;

[9] L.G. Grechko, V.I. Sugakov, O.S. Tomas Evich, A.M. Fedorchenko,

Problems in Theoretical Physics, Mir Publishers, Moscow, 1977.

Mulţumesc domnului Conf. Dr. Vasile Dorobanţu …fiz.upt.ro/articole/1751374153carte1.pdf3...

Documents

Transcript of Mulţumesc domnului Conf. Dr. Vasile Dorobanţu …fiz.upt.ro/articole/1751374153carte1.pdf3...