PROBLEME PROPUSE PENTRU

PREGĂTIREA DE OLIMPIADĂ DE MATEMATICĂ PENTRU CLASELE A X-a

PREGĂTIREA PENTRU OLIMPIADA DE MATEMATICĂPENTRU CLASELE A X-a

1. a) Să se arate că dacă , atunci b) Fie numere reale strict pozitive. Arătaţi că dacă, , atunci .

2. Se consideră numerele complexe astfel încât , si . Să se demonstreze că .

3. Să se demonstreze că , are loc inegalitatea:

a. .

b.Se cunoaşte : dacă , atunci .

4. Fie cu şi . Ştiind că , arătaţi

că .

5. Rezolvaţi în ecuaţia: .

6. Rezolvaţi în sistemul: .

7. Determinaţi funcţiile cu proprietatea: 8. Demonstraţi că: , .

9. Dacă astfel încât , arătaţi că:

.10.Dacă şi , demonstraţi că:

.

11.Aflaţi toate valorile expresiei

E= ,unde m,n N.

12.Aflaţi x,y Z, ştiind că xy+13y+x = 2008.

13.Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale ecuaţia:

.

14.Determinati cardinalul multimii .

15.Dacă să se arate că .

16.Să se rezolve ecuaţia: Calculaţi .17. Fie astfel încât . Calculaţi:

.

18. Fie z 1 , z 2 , z 3 numere complexe ce satisfac relaţiile :

1 + z 1 z 2 z 3 = 0 , (1)

. (2)

Să se demonstreze că produsul a două numere din z 1 , z 2 , z 3 este egal cu unitatea .19.Sǎ se calculeze: .

20.Sǎ se calculeze: .21.Calculaţi : M = .

22.Dacă şirurile de numere a ,a , …, a si b , b , .., b 0 sunt monotone şi au monotonii diferite, atunci:

.

22.Dacă numerele a,b,c sunt nenule şi ab+bc+ca=3, atunci:

23.Fie funcţia , .Determinaţi valoarea minimă a lui f.

24.Determinaţi numerele naturale n pentru care .25.se arate că numerele , şi nu pot fi termenii unei progresii geometrice.

26.Fie functia definite prin

a) Sa se reprezinte grafic functia;b) Sa se studieze bijectivitatea functiei;

c) Sa se determine x astfel incat .

27.Să se rezolve inegalitatea: .28.Se dau numerele întregi , aflate în progresie aritmetică. Ştiind că suma lor este nulă

şi că suma pătratelor lor este egală cu 280, să se afle termenul al 5-lea.

29.Să se calculeze , unde desemnează partea întreagă a numărului real .

30.Aratati ca are loc relatia

31.Dacă sunt lungimile laturilor unui triunghi, demonstraţi că

32.Fie , şi a) Calculaţi b) Calculaţi

33.Să se rezolve ecuaţia unde

34.Fie astfel încât Să se arate că :

35.Fie numere reale cu proprietatea că .Demonstraţi că :

sunt în progresie aritmetică.36.Demonstraţi că funcţia , dată prin este bijectivă.37.Determinaţi toate funcţiile surjective cu proprietatea că , oricare ar fi

.38.Să se rezolve în numere întregi ecuaţia 39.Să se rezolve ecuaţia

40.21.Sǎ se arate cǎ = 9, unde [a] este partea întreagǎ a numǎrului a.

41.Să se arate că numărul (n3+5n) este divizibil cu 6, oricare ar fi n .

42.Determinati cardinalul multimii .

43.Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia:

44.a) Arătaţi că ,

b) Demonstraţi inegalitatea: + + , .

45.Fie punctele situate pe laturile , respectiv ale triunghiului iar , centrul

de greutate al acestuia. Să se arate că sunt coliniare dacă şi numai dacă .

46.Se consideră ecuaţia: , unde a este un parametru real.

a) Arătaţi că ecuaţia are rădăcini reale dacă şi numai dacă

b) Arătaţi că există o infinitate de numere naturale a , pentru care rădăcinile ecuaţiei sunt întregi.

47.Fie sistemul:

Găsiţi o soluţie reală a sistemului şi arătaţi că este unică.

48.Se consideră funcţia , neconstantă.a) Arătaţi că mulţimea este finită în ipoteza că funcţia este periodică şi perioada T este număr raţionalb) Dacă graficul funcţiei are două axe de simetrie ( şi , cu ), să se arate că este periodicăc) Desenaţi graficul unei funcţii cu proprietatea de la punctul b .

49.Se consideră funcţiile , , unde .a) Arătaţi că , b) Calculaţi .

50.a) Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia:

b) Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale ecuaţia:

51. Arătaţi că numărul de progresii aritmetice de trei termeni cu raţia strict pozitivă ce se pot

forma cu elementele din mulţimea este .

52. Se consideră triedrul OABC, cu proprietatea că semidreptele OA şi OB; OB şi OC; OC şi

OA fac între ele un unghi egal cu . Să se arate că .

53. Să se arate că nN, n 3, există n puncte în plan, , astfel încât, pentru orice

punct M din plan, dintre segmentele MA1, MA2, ..., MAn, cel puţin n2 să aibă lungimea

iraţională.

54. Se consideră . Să se determine toate funcţiile crescătoare care au proprietatea că , .

55.Arătaţi că , x,y,zR. 56. Spunem că o figură geometrică plană F, este descompusă în n figuri geometrice date, dacă

orice punct al figurii F (de pe frontieră sau din interior) este în una din cele n figuri date (pe frontieră sau în interior), oricare două dintre cele n figuri date au cel mult puncte de pe frontieră în comun, iar orice punct al celor n figuri (de pe frontieră sau din interior) este inclus în figura F (pe frontieră sau din interior) . Arătaţi că orice patrulater, poate fi descompus în n triunghiuri isoscele, unde nN, n ≥ 8.

57. a) Să se arate că dacă n,pN* şi , atunci n = p.

b) Să se arate că există rQ(0,1), cu proprietatea că nN*, .. (Am notat

prin a, partea fracţionară a numărului real a). 58. Se consideră poligonul convex , n 5. Să se arate că se pot alege trei vârfuri ale

poligonului, astfel încât suma pătratelor laturi triunghiului format să fie strict mai mare decât suma pătratelor laturilor poligonului.

59. Fie a,bZ astfel încât a+b ≠ 0. Arătaţi că următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Q; b) Z; c) a şi b sunt cuburi perfecte.

60.Fie a,bN, n ≥ 2 şi numerele reale strict pozitive a1, a2, ..., an, astfel încât a1+a2+...+an = 2003n. Determinaţi numerele reale x1, x2, ..., xn1, ştiind că

= n.

61. Fie xR, nN. Arătaţi că = = (*), unde [a] reprezintă partea întreagă a

numărului real a. 62.Fie funcţia :ℕ*ℕ* ce satisface condiţiile: 1) (1) = 1; 2) (2n) < 10(n), nℕ*; 3)

5(n)(2n+1) = (2n)(1+5(n)), nℕ*. a) Calculaţi (2003). b) Rezolvaţi ecuaţia (p)+(q) = 156, p<q.

63.Fie o funcţie :ℝℝ care verifică următoarele condiţii: 1) (1) = 1; 2) (x+y) = (x)+(y),

x,yℝ; 3) (1/x)–1/(x), x,yℝ. Arătaţi că: a) (x) , x , x 0; b) (x) =

x, xℝ.64.Fie ΔABC şi punctele C1,C2,…,C2002(AB), B1,B2,…,B4002(AC) astfel incat AC1 = C1C2 =

… = C2002B şi AB1 = B1B2 = … = B4002C. Să se determine k şi j pentru care dreapta CkBj trece prin centrul de greutate G al triunghiului ABC.

65.Spunem că o mulţime MR+ are proprietatea (P) dacă orice element din M este media geometrică a două elemente distincte ale lui M. a) Să se arate că există o infinitate de mulţimi cu proprietatea (P). b) Găsiţi toate mulţimile cu 2003 elemente având proprietatea (P).

66.În triunghiul ABC notam cu A’, B’, C’ mijloacele laturilor [BC], [CA] si respectiv [AB]. Sa se arate ca oricare ar fi punctul X in exteriorul ABC, putem alege numerele α,β,γ{1,1} astfel încât: αSXAA’+βSXBB’+γSXCC’ = 0. (Prin SMNP notam aria ΔMNP).

67.Fie z1,z2,z3C* distincte, |z1| = |z2| = |z3| = 1, astfel încât: |2z1+z2+z3|2+|z1+2z2+z3|2+|z1+z2+2z3|2

= 3. Să se arate ca z1, z2, z3 sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral.

68.Se considera multimile An , n= definite astfel: A1 = { | n=1, 2,…,10000}; ...; Ak

= (Ak1\{a,b}){a2 lg b}, unde a,bAk1, arbitrari. Să se determine A10000. 69.Fie un triunghi ABC cu AB = c < b = AC. Să se determine valorile posibile ale măsurii

unghiului A, ştiind că există punctele M(AB), N(AC) astfel încât BM = MN+NA. 70.Dacă ecuaţia x4+ax3+bx2+ax+c = 0, a.b,cR are toate rădăcinile reale, atunci

.

71.Să se determine toate funcţiile :(0,)(0,) cu proprietatea că (1+x(y)) = y(x+y), x,y(0,).

72.2. Să se rezolve în ℤ ecuaţia: , x,yℤ.73.3. Fie :ℤℤ o funcţie cu proprietatea că |(n+2)–(n)| 2, nℤ. Să se arate că dacă

există o funcţie g:ℤℤ astfel încât (x)+(y) = g(x2+y2), x,yℤ, atunci mulţimea A = {(n)|nℤ} are cel mult 6 elemente.

74.. Fie triunghiul echilateral ABC şi punctul M interior triunghiului astfel încât MA2 = MB2+MC2. Fie punctul N exterior planului (ABC), astfel încât NBMB şi NCMC. Dacă MN = 10 şi AB = 3, aflaţi distanţa de la punctul N la planul ABC.

75. Să se rezolve în N ecuaţia: .

76.Să se rezolve în Z ecuaţia: 2x+2y+2z = 2336. 77.Fie ABCD un patrulater inscriptibil şi H1, H2, H3, H4 ortocentrele triunghiurilor BCD, CDA,

DAB, ABC. Să se arate că patrulaterul ABCD este congruent cu patrulaterul H1H2H3H4

(soluţie vectorială).

78.Arătaţi că, dacă ABC A1B1C1 şi acosA1+bcosB1 = (a+b)cos , atunci triunghiurile

sunt isoscele. 79.Determinaţi funcţiile f:QQ cu proprietăţile: i) f(1) = 2; ii) f(xy) = f(x)∙f(y)f(x+y)+1,

x,yQ.80.Mulţimea A este formată din „n” numere reale pozitive, nN, n 3, cu proprietatea ca

pentru orice a,bA, avem: (ab)A sau (a+b)A. Sa se arate că numerele din A sunt în progresie aritmetică.

81.Rezolvaţi în Q ecuaţia: = .

82.Fie x1,x2,…,xn(2,) astfel încât: = 1. Demonstraţi că x1x2…xn

>(n+1)n.83. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped dreptunghic cu AB = 2a, BC = a şi A’CBC’. Dacă

EAC’ să se determine minimul pentrul BE+CE.84.Fie ABCD un tetraedru regulat de muchie a. Să se calculeze distanţa între două mediane

necoplanare ale feţelor tetraedrului.

85.Să se arate că dacă x,yR şi x+y = 2/3, atunci sin4x+sin4y ≤ . Când are loc semnul egal?

86. Fie a, b, c, d numere reale. Notăm cu z1 = x1+iy1, z2 = x2+iy2 rădăcinile ecuaţiei z2(a+ib)z+c+id = 0. Să se formeze ecuaţiile de grad doi ce admit rădăcinile: a) x1, x2; b) y1, y2; c) z1, z2.

87.Fie 1<a1<a2<a3<…<an. Demonstraţi că cel puţin dintre numerele a a a …a

sunt distincte. 88.Să se rezolve în R3 sistemul format din ecuaţiile: x+y+z = 1, x2+y2+z2+2 .

89.Fie a,b(1,+), astfel încât ab = a+b+1. Rezolvaţi în R ecuaţia: = +

.

90. Dacă x,y,z(0,1) sau x,y,z(1,), să se demonstreze că: ≥ 1. Când are loc egalitatea?

91.Fie punctele A, B, F astfel încât 4 = 3 . Pentru puncte M nesituate pe dreapta AB demonstraţi echivalenţa următoarelor două propoziţii: i) m(MAB) = 2m(MBA); ii)

MFMA = AF.

92.Aflaţi nN\0,1, pentru care , a,b,c(0,).93.Dacă xi sunt rădăcinile ecuaţiei: , atunci {xi} este:

a) ; b) ; c) ; d) .

94.Câte perechi de numere prime (x,y) verifică sistemul ?

a) 0; b) 1; c) 2; d) 3.95.Produsul rădăcinilor ecuaţiei: este:

a) 0; b) ; c) ; d) .

96.Dacă |x–1|+|x–2+…+|x–2003| = 2004(x–2003) atunci suma cifrelor soluţiei este:a) 12; b) 13; c) 14; d) 15.

97. Fie ecuaţia . Cel mai mic număr natural n pentru care

ecuaţia admite soluţii în intervalul [0,1) este:a) 10; b) 11 ; c) 12; d) 13.

98. În patrulaterul convex ABCD, E (AB) şi F (CD) astfel încât . Arătaţi că: a)

. b) Punctele M, N, P sunt coliniare, unde M(AD), N(EF) şi P(BC) astfel

încât .

99. Un număr n cu 2003 cifre are toate cifrele în afară de una singură egală cu 5. Arătaţi că ℝ\ℚ.

100. Dacă are soluţii în ℤ, atunci:a) n{1,2}; b) n{3,4}; c) n{4,5}; d) n{5,6}.

101. Dacă atunci xy este:

a) ee ; b) e2 ; c) 2e ; d) 4.

102. Dacă atunci suma rădăcinilor este:

a) 1; b) 0; c) 3; d) 4.

103. Fie ; atunci este:

a) ; b) ; c) ; d) n.

104. Fie p,qℕ prime distincte. Fie progresiile p, p+q, p+2q, p+3q, … şi q, q+p, q+2p, q+3p, … Arătaţi că termenii comuni formează .

105. Fie . a) Arătaţi că . b) Să se

arate că an nu conţine nici o progresie aritmetică.106. a) Arătaţi că a3+b3+c3–3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2–ab–bc–ca), a,b,cℝ.

b) Demonstraţi că dacă a3+b3+c3 = 3abc, atunci a+b+c = 0 sau a = b = c.

107. Fie a1, a2, a3 numere reale strict pozitive. a) Să se arate că . b) Demonstraţi că

.

108. Pe o sferă de rază R se consideră cinci puncte. Arătaţi că cel puţin două dintre aceste puncte sunt la distanţă mai mică decât .

109.Fie :ℝℝ, (x) = 2x+1. Să se afle . (Ion Chesca)

110. Fie ABC un triunghi ascuţitunghic. Să se arate că există cel puţin un punct D în interiorul triunghiului astfel încât triunghiurile ABD, ACD, BCD să fie isoscele. Spunem în acest caz că am descompus triunghiul ABC în trei triunghiuri isoscele. b) Demonstraţi că orice triunghi se poate descompune în patru triunghiuri isoscele. 111. Daţi exemplu de progresie aritmetică cu raţia număr natural strict mai marte decât 1, cu proprietatea că nℕ, n>1, conţine puterea n a unui număr natural. b) Daţi exemplu de progresie aritmetică infinită formată din numere naturale care să nu conţină nici o putere mai mare strict decât a oricărui număr natural.

112. Se consideră un pătrat de latură 1 . Ducând 4 drepte paralele cu laturile sale , îl împărţim în 9 părţi egale . Pătratul din mijloc îl eliminăm . Cele 8 pătrate rămase le împărţim în acelaşi mod în 9 pătrate egale şi din nou eliminăm pătratul din mijloc . Repetând procedeul de n ori , se cere aria pătratelor eliminate . 113. Dacă sunt în progresie geometrică şi atunci :

114. Rezolvaţi ecuaţia : ;

115. Rezolvaţi sistemul :

116. Dacă 1<a<c<b<a atunci :<8 ;

117. Dacă a , b , c atunci :

>6 .118. Să se arate că au loc relaţiile :

şi

119. Dacă satisfac relaţiile : - = - = - şi

atunci .

120. Dacă numerele a1, a2, …, an formează o progresie aritmetică cu raţia ,

atunci demonstraţi că numerele b1, b2, …, bn cu b1=a1,

formează o progresie aritmetică cu raţia .

121. Dacă numerele a1, a2, …, an formează o progresie geometrică cu raţia ,

atunci demonstraţi că numerele b1, b2, …, bn cu b1=a1, ,

formează o progresie geometrică cu raţia .122.Rezolvaţi ecuaţia : , unde este partea întreagă a numărului x şi este partea fracţionară a sa.123.Rezolvaţi ecuaţia :

124.Fie funcţia .

a) Să se arate că f este injectivă.b) Să se determine mulţimea .

125.Fie ABC un triunghi echilateral şi P un punct pe cercul circumscris triunghiului. Arătaţi că , (se consideră că cercul are raza 1). Generalizare. ***

126.Se consideră funcţia f:[1,64]R , f(x)=

Să se rezolve ecuaţia f(x)=0 şi să se determine valoarea maximă a funcţiei f.

127.Se consideră funcţia f: R R , f(x)=y , unde y este soluţia ecuaţiei ey - e-y

= x.Demonstraţi că graficul funcţiei conţine originea axelor şi studiaţi monotonia funcţiei f .

129.Într-o progresie geometrică termenii de rang m, n, p sunt respectiv x, y, z. Să se arate că xn-pyp-mzm-n=1.130.Să se rezolve ecuaţia:

3x+4x-6x=1.131.Să se rezolve sistemul:

Model Olimp .2 Să se găsească valorile lui x astfel încât:

Răspuns:

Se observă că x=0 este soluţie

=

Se consideră şi

f(x) este strict crescătoare pe Rg(x) este strict descrescătoare pe R

Model Olimp 3. Fie a R. Să se rezolve în R ecuaţia: Rezolvare:

Model Olimp 4. Să se rezolve sistemul:

Rezolvare:Condiţii de existenţă: x,y R*

+

Observăm că este soluţie a sistemuluiVerificare:

33-22=27-4=23

Cazul 1 x (0;3)

Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x (0;3) (3)

Cazul 2 x (3;+∞)

Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x (3;+∞) (4)

Din relaţiile (3) şi (4)→ecuaţia are soluţie unică

Model Olimp 5. Să se rezolve ecuaţia:4x+9x+25x=6x+10x+15x

Răspuns:Observăm că x=0 verifică ecuaţia.Verificare: 1+1+1=1+1+1→3=3 (A)Soluţia 1: Notăm 2x=a

3x=b5x=c

ecuaţia 4x+9x+25x=6x+10x+15x se poate scrie a2+b2+c2=ab+ac+bc

a2+b2≥2aba2+c2≥2bcb2+c2≥2ac +2(a2+b2+c2) ≥2(ab+bc+ac)→ a2+b2+c2 ≥ab+bc+ac

x=0 este soluţie unică a ecuaţiei

Egalitatea are loc dacă a=b=c → 3x=2x=5x→x=0

Soluţia 2

4x+9x-6x =+10x+15x-25x ⁄ :10x

Definim următoarele funcţii:

f(x)= este strict descrescătoare pe R

g(x)= este strict crescătoare pe R

O6 Să se rezolve ecuaţia:

Rezolvare:Observăm că x=2 este soluţie a ecuaţiei.Verificare:

Definim următoarele funcţii:

f(x)= , →f(x) este strict descrescătoare pe R

g(x)=(sin )x, →g(x) este strict crescătoare pe R

f(x)+g(x)= este strict descrescătoare pe R

Deci x=2 este soluţie unică.

O7 Să se rezolve ecuaţia:

Rezolvare:Observăm că x=5 este soluţie a ecuaţiei.Verificare: 30=1→1=1 (A)

Definim funcţiile: f:R→R, f(x)= este strict crescătoare pe R

g:R→R, g(x)= este strict descrescătoare pe R

f(x)=

x1<x2→x1-5<x2-5→ f(x1)<f(x2)→funcţia este strict crescătoare

g(x)=

Soluţia unică este x=0

x1<x2→ x1-4<x2-4→ g(x1)>g(x2)→funcţia este strict descrescătoare

Deci x=5 este soluţie unică.

Model Olimp 6. Să se rezolve inecuaţiile:

a)

Rezolvare:Condiţii de existenţă: x2+2x>0→x(x +2)=0Ecuaţia ataşată: x(x+2)=0→ Deci x (-∞;-2) (0;+ ∞).

Ecuaţia ataşată: x2+2x-1=0→ =4+4=8.

Deci x (-1- ;-1+ )

Deci x (-1- ;-2).

c)

Rezolvare:Condiţii de existenţă:

caz 1 x>1→

Ecuaţia ataşată: =4-4∙4∙5<0→inecuaţia nu are soluţii

caz 2 x (0;1)→

Deci inecuaţia nu are soluţii.

Model Olimp 7. Să se arate că expresia este independentă de valorile strict

mai mari ca 1 ale variabilelor x,y,z.

Rezolvare:

x -2 0x(x-2) + + +0- - - - - - 0+ + + +

x -1- -1+x2+2x-1 + 0 - - - - - - - 0 + + +

-1- - -1+ 0

→ →

Notăm

→ E este independentă de valorile x,y,z>1.Clasa a IX-a

1. Fie . Arătaţi că orice număr de forma se poate scrie ca suma pătratelor a trei

numere naturale consecutive.Gazeta Matematică nr 12/2005

2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia: ( reprezintă partea întreagă a numărului real a)

Marian Teler,

3. Fie ABC un triunghi şi M un punct pe latura (BC). Să se arate că centrele de greutate ale triunghiurilor ABC, ABM şi ACM sunt coliniare.

M Burtea şi G Burtea, Matematică, Manual pentru clasa a IX-a

4. Se consideră paralelogramul ABCD şi punctele , , , . Fie centrele de greutate ale triunghiurilor AMQ, BNM, CPN, respectiv DQP.

Să se demonstreze că MNPQ este paralelogram. Marian Teler,

Clasa a X-a1. Să se rezolve ecuaţia : 2.Se dau n numere reale distincte (n ≥ 2), (0,1) şi se considerǎ mulţimea:

A={ } Să se arate cǎ min A< 1< max A.3.Fie ecuaţia az2 + bz + c = 0, a, b, c şi │a│=│b│=│c│.

a) Sǎ se arate că , k= 1, 2, iar sunt rădăcinile ecuaţiei.

b) Ecuaţia are cel puţin o rǎdǎcinǎ de modul 1 dacă şi numai dacă b2= ac.

4. . Sǎ se rezolve această ecuaţie ştiind că *.

Bădescu Marian,

1. Arătați că funcția f:R R, dată prin:

f(x)=

este inversabilă și determinați inversa sa.

2.Rezolvați ecuațiile:

a) 5 =x+10;

b)

c) 3 ;

d) tgx+ .

3.Rezolvați ecuatia:

4. Numerele , astfel încât I I I I+I I. Demonstrati că există a

astfel încât .

Problema 1 (clasa a-IX-a )

Aratati ca exista un numar prim p , si patru numere intregi a,b,c,d {-1,1}

astfel incat :

= ( .

Solutie :Se observa ca 2010=2∙3∙5∙67

Atunci : =

In acest caz , relatia din enunt , este echivalenta cu :

1005a+670b+402c+30d=p 2≤ 1005a+670b+402c+30d ≤37 (1)

Cazul I :

Daca a=1 , avem 1005+670b+402c+30d .

Nu putem avea b=1 , altfel , indiferent de valorile lui c,d {-1,1}

inegalitatea (1) nu este indeplinita .

Daca b=-1 , avem : 2≤ 1005-670+402c+30d 2≤ 335+402c+30d

Se observa ca c nu poate fi egal , nici cu 1 , nici cu -1 , in caz contrar dubla inegalitate , nefiind indeplinita .Cazul II :

Daca a=-1 -1005+670b+402c+30d 670b+402c+30d 1042

Daca b=1 , avem 402c+30d .

In acest caz , se observa ca , daca c=1 si d=-1 , inegalitatea devine chiar egalitate.Se verifica usor , faptul ca :

) , deci numerele cautate sunt p=37 , a=-1 , b=1 , c=1

si d=-1 .

Problema 2 (clasa a-X-a)a) Aflati cel mai mare numar natural a , si cel mai mic numar natural b ,

astfel incat : .

b) Aratati ca : [ .

S-a notat cu [x] , partea intreaga a numarului real x .Solutie :

a) Se observa ca , deci a=10 .

De asemenea , observam ca : , deci b=7.

b) Din a) , avem ca [ ]=10 , deoarece si prin logaritmare in baza 2 , avem : 10<

<11 .

Deoarece , prin logaritmare in baza 3 , avem :

6< <7 , deci [ ]=6 .

Se mai observa ca =625<2010< . Deci , prin logaritmare in baza 5 ,

avem : [ ]=4 . Dar 10=6+4 , deci :

[ .

Problema 3-clasa a- X –a

a) Verificati ca :

b) Aratati ca , orice numar natural de patru cifre , de forma , care verifica relatia : -

=1 , este divizibil cu 10 .

S-a notat cu , logaritmul zecimal , al numarului real x .

Solutie :

a) Evident ∙10)= .

b) Relatia din enunt , este echivalenta cu :

=1+ =

10∙ 1000a+100b+10c+d=10(100a+10b+c)

1000a+100b+10c+d=1000a+100b+10c

Deci , numarul este divizibil cu 10 .

Problema 4-clasa a IX-a

a) Aflati un numar prim p , p 2 , astfel incat :

.

b) Aflati , sapte numere naturale a,b,c,d,e,f,g , astfel incat :

+b =2010 .

Solutie :a) Daca relatia din enunt , este indeplinita , atunci evident :

<2010 1005 . Daca p=3 , avem =2187>1005 .

Deci singura posibilitate , este p=2 .Se verifica , prin calcul direct , faptul ca:

=2010 .

b) Conform punctului a) , avem : a=2 , b=11 , c=21 , d=18 , e=9 , f=4 , g=1.

Problema 5-clasa a IX-aAflati trei numere naturale , prime consecutive , astfel incat ;

.

(Trei numere naturale , sunt prime consecutive , daca sunt prime , si consecutive in sirul numerelor prime , de exemplu : (2,3,5) , (3,5,7)…).Solutie :

Evident . Daca a=3 , atunci , este obligatoriu ca b=5 si c=7 .

Dar >2010 ( evident ) .

Atunci , singura posibilitate , este : a=2 , b=3 , c=5 .Se verifica , faptul ca :

+ =2010 .

Problema 6-clasa a -IX-a

Bunicul Stefan , are trei nepoti .Se stie ca , varstele nepotilor , sunt numere prime consecutive , iar produsul dintre varsta bunicului si varstele celor trei nepoti , este 2010. Aflati varsta bunicului si a nepotilor sai .(Trei numere naturale , sunt prime consecutive , daca sunt prime , si consecutive in sirul numerelor prime , de exemplu : (2,3,5) , (3,5,7)…).Solutie :Sa notam cu a,b,c , varstele celor trei nepoti .Observam ca 2010=2∙3∙5∙67 .Tinand cont , de unicitatea descompunerii unui numar in factori primi , obtinem ca cei trei nepoti au varstele 2,3 , respectiv 5 ani , iar bunicul are 67 ani .

Problema 7-clasa a -IX-a

Sa se afle patru numere naturale a,b,c,d cu a>b>c>d , astfel incat :

+ =2010 .

Solutie :

Evident a< 45 .

Daca a=44 =2010- =2010-1936=74.

Deci b<9 .

Daca b=8 =10 . Evident , putem lua c=3 si d=1 , deoarece

Deci a=44 , b=8 , c=3 si d=1 .

Problema 8-clasa a IX-aa) Aratati ca , ultima cifra , a unui numar natural , cub perfect , poate fi orice cifra .

b) Aflati patru numere naturale prime , a,b,c,d cu a>b>c>d , astfel incat : 2010 =

- .

Solutie :a) Daca notam cu u(x)=ultima cifra a numarului natural x , observam ca :

)=6 ,

)=3 , u( , u( . Deci , ultima cifra poate fi oricare dintre cifrele 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .

b) Observam ca .

Dar , .

Daca luam a=13 , atunci 2010=2197- -

.

b< ( dar =125 , iar ).

Evident , pentru c=3 , obtinem ca d=2 .Deci , numerele cautate sunt : a=13 , b=5 , c=3 , d=2 .

1. a)Calculaţi

b) Rezolvaţi ecuaţia

2. Dacă şi calculaţi

3. Rezolvaţi ecuaţia în C.

4. Dacă sunt soluţilor ecuaţiei să se calculeze .

5. Care este preţul de vânzare al unei mărfi care costă 445000 lei fără TVA ,când TVA este 19%.

1. Se consideră ecuaţia : cu Dacă şi sunt rădăcinile

ecuaţiei, să se arate că .

Prof.Roxana Murea, Brăila

2. Determinati functia bijectivă , care are inversa .

3. Se consideră expresia: , unde sau . Să se arate ca .

1.Fie mulţimile şi .

Determinaţi .

2. a) Demonstraţi egalitatea :

.

b) Dacă astfel încât şi , atunci

3. Rezolvaţi ecuaţia următoare în

.

I. .

.