1

MODULUL 4N: (T)

STABILITATEA SISTEMELOR DINAMICE NELINIARE

ANALIZA STABILITATII CU AJUTORUL FUNCTIEI DE

DESCRIERE.

DETERMINAREA PARAMETRILOR CICLURILOR LIMITA.

TEORIA STABILITATII IN SENS LIAPUNOV 1. Stabilitatea sistemelor neliniare continuale

2. Stabilitatea sistemelor neliniare discrete

3. Analiza calitativa a sistemelor neliniare prin metoda de liniarizare

TEORIA STABILITATII IN SENS POPOV 1. Criteriul Popov pentru sisteme cu partea liniara stabila

2. Teorema Popov pentru cazul partii liniare instabile

3. Analiza stabilitatii absolute a starii de echilibru

2

ANALIZA STABILITATII CU AJUTORUL FUNCTIEI DE

DESCRIERE.

DETERMINAREA PARAMETRILOR CICLURILOR LIMITA.

In cazul sistemelor de reglare automata neliniare (in special pentru sisteme cu actiune

de tip releu) functionarea normala a sistemului poate fi o functionare autooscilanta, caz in care

apare necesitatea stabilirii (cel putin) parametrilor de autooscilatie respectiv amplitudinea si

pulsatia de autooscilatie. Pentru cazul in care oscilatiile sunt nedorite apare necesitatea

elaborarii unor proceduri de sinteza a unor corectoare care sa permita eliminarea acestor

autooscilatii.

Sistem

liniar

Sistem

neliniar

x y

-

Fig. 1

Analiza pe care o propunem in continuare se va face pe o structura standard (vezi

figura 1) cu reactie inversa, la care sistemul este decompozabil intr-un sistem liniar si un

sistem neliniar.

Consideram ca partea liniara este caracterizata prin functia de transfer

)(

)()(

sD

sNsH =

Partea neliniara a sistemului considerat o presupunem in forma ( , )y f x x= , avand

coeficientii de liniarizare armonica ),('),,( AqAq .

In aceste conditii:

xsAq

Aqxdt

dAqxAqy

+=+=

),('),(

),('),(

unde s trebui privit ca operator de derivare (dt

ds = ). Pe de alta parte din dependenta liniara

obtinem:

ysNxsD −= )()(

In final metoda liniarizarii armonice permite caracterizarea sistemului functionand in circuit

inchis prin ecuatia:

0),('

),()()( =

++ xs

AqAqsNsD

In ipoteza ca A si sunt constante (o astfel de situatie ne intereseaza) coeficientii de

liniarizare armonica sunt constanti iar ecuatia diferentiala prezentata este o ecuatie diferentiala

liniara cu coeficienti constanti. Ecuatia caracteristica asociata acestei ecuatii diferentiale este

de forma:

'( , )( ) ( ) ( ) ( , )A

q AD N q A

= + +

3

Presupunem ca se genereaza un regim autooscilant cu amplitudinea pA si pulsatia p

si prin urmare tAtx pp sin)( = . O astfel de situatie impune ca sistemul liniar echivalent sa

fie la limita de stabilitate iar 0)( =D trebuie sa aiba radacini pur imaginare pj =2,1 .

))(Re( jS

))(Im( jS

0=p=

Fig. 2

Conform criteriului Cremer-Leonhard-Mihailov sistemul este la limita de stabilitate

daca hodograful ( )A j trece prin centrul sistemului de coordonate. Pulsatia la care are loc o

astfel de intersectie este tocmai pulsatia de autooscilatie (vezi figura 2).

Daca notam ( ) ( , ) ( , )A j U A jV A = + conditia ca hodograful sa treaca prin

origine este ca:

0),(

0),(

=

=

pp

pp

AV

AU

Prin solutionarea sistemului de ecuatii algebrice putem stabili analitic amplitudinea

ciclului limita pA precum si pulsatia acestuia p .

Evaluarea parametrilor ciclurilor limita poate fi facuta si printr-o reinterpretare a

criteriului de stabilitate Nyquist.

Vom defini functia de transfer aproximativa a partii neliniare in forma:

sAq

AqAsH n +=

),('),(),,(

Daca inlocuim js = obtinem caracterizarea frecventiala echivalenta pentru partea

nelini- ara a sistemului:

),('),(),( AjqAqAjH n +=

In conformitate cu criteriul Nyquist, sistemul liniarizat se afla la limita de stabilitate

daca hodograful sistemului functionand in circuit inchis trece prin punctul de coordonate

)0,1( j− .

Prin urmare trebui indeplinita conditia:

1),()( −= ppnp AjHjH

sau

),(

1)(

ppn

pAjH

jH

−=

4

In multe cazuri concrete functia de transfer echivalenta a partii neliniare este dependenta

exclusiv de amplitudine incat conditia de autooscilatie se simplifica:

)(

1)(

pn

pAH

jH −=

)( jH

)(

1

AHn

−

→

p =

Im

Re

Fig. 3

Ultima relatie permite o interpretare grafica si totodata poate oferi o metoda de

solutionare.

Ideea este de a trasa pe o aceeasi diagrama Im)(Re, hodograful asociat functiei de

transfer ce caracterizeaza partea liniara cat si hodograful asociat termenului

−

)(

1

AH n

.

Eventuala intersectie intre cele doua curbe remarca existenta unui ciclu limita. Pulsatia

p poate fi citita pe hodograf iar amplitudinea de autooscilatie pe graficul lui

−

)(

1

AH n

(vezi figura 3).

Metoda L.C. Goldfarb

Metoda a fost elaborata de L.C.Goldfarb in 1917 si permite evaluarea aproximativa a

pulsatiei si amplitudinii de autooscilatie a unui sistem automat in configuratie clasica.

Metoda se bazeaza pe interpretarea grafica a relatiei fundamentale anterior stabilite:

( )( )Aq

jH1

−=

Metoda se aplica astfel:

• intr-un acelasi sistem de axe de coordonate se traseaza hodograful asociat partii

liniare si graficul inversei functiei de descriere cu semn schimbat asociat partii

neliniare.

5

• la intersectia celor doua curbe citim pulsatia de autooscilatie pe ( )0 iar pe

curba ce prezinta inversul functiei de descriere cu semn schimbat citim

amplitudinea A de autooscilatie.

Exemplu

Metodele anterior prezentate privind posibilitatea determinarii aproximative a parame-

trilor regimurilor autooscilante vor fi prezentate pe un exemplu de sistem automat neliniar

decompozabil intr-un sistem cu caracteristica de tip releu ideal cu amplitudinea de comutatie

1c = in serie cu un sistem dinamic liniar cu functia de transfer:

4.0,6.0,sec100,)12(

)( 1

22===

++= −

Tk

sTsTs

ksH

Fig. 4

Schema de simulare este prezentata in figura 4. Singurul lucru pe care il remarcam

alaturi de intocmirea schemei de simulare este faptul ca in locul releului bipozitional fara

histerezis este utilizat un releu bipozitional cu histerezis dar setat astfel incat comutarile sa

aiba loc la eps ,unde eps reprezinta zeroul programului de simulare.

Rezultatele obtinute prin simulare sunt prezentate in diagrama din figura 5.

Intr-un exemplu prezentat anterior am stabilit ecuatia de liniarizare armonica pentru

caracteristica de releu ideal:

xA

cy

=

4

Ecuatia partii liniare este de forma:

( ) ykxsTsTs −=++ 1222

6

Fig. 5

Daca inlocuim y in ecuatia considerata obtinem o ecuatie diferentiala pentru care

ecuatia caracteristica este de forma:

2 3 2 4( ) 2A

k cs T s T s s

A

= + + +

Impunand conditiile criteriului CLM obtinem

3 2 4( ) 2 0A p p p p

p

k cj jT T j

A

= − − + + =

sau:

0

04

2

32

2

=+−

=

+−

pp

p

p

T

A

ckT

Solutionand sistemul de ecuatii algebrice obtinem unica solutie interesanta in

contextul problemei

5414.952

,sec67.16.0

11 1 =

==== −

TckA

Tpp

Pentru solutionarea aceleasi probleme cu ajutorul criteriului Nyquist va trebui sa

trasam pe o aceeasi diagrama Im)(Re, atat hodograful sistemului cat si graficul inversului

coeficientuluide liniarizare armonica cu semn schimbat.

In figura sunt prezentate diagramele de variatie pentru

AA

cAq

=

=

44)( si

4)(

1 A

Aq

−=−

.

7

Fig. 6

Aplicarea efectiva a criteriului Nyquist este mai dificila in privinta evaluarii valorilor

parametrilor de autooscilatie deoarece valorile lor sunt parametrii pentru curbele trasate si

deci nu se pot citi direct pe grafic valorile acestora. In acest sens procedura este puternic

dependenta de utilitarul pe care se face solutionarea.

Pentru solutionare, lucrand in Matlab 6.5 se aplica urmatoarea procedura:

1. Trasam caracteristica de tip hodograf pe un interval de variatie a pulsatiei

pentru a evidentia cu claritate intersectia cu )(

1

Aq− (axa reala in acest caz ),

2. Trasam caracteristica )(

1

Aq− pe o aceeasi diagrama.

3. Evaluam intersectia dintre hodograf si dreapta )(

1

Aq− .

4. In punctul de intersectie, pe hodograf, citim direct pulsatia 67.1=p si partea

reala a caracteristicii de tip hodograf ( ) 8.74)(Re −=pjH

5. Din dependenta ( )jHAq

(Re)(

1=− se determina 6.95=pA .

8

Fig. 7

Procedura de stabilire a parametrilor de autooscilatie pentru cazul analizat este

prezentata in figura 7.

9

TEORIA STABILITATII IN SENS LIAPUNOV

Problema stabilitatii sistemelor dinamice neliniare este mult mai delicata decat analiza

in cadrul liniar. Vom prezenta in acest paragraf cateva elemente fundamentale cu caracter

definitoriu si cateva teoreme ce lanseaza tehnici de evaluare a stabilitatii sistemelor dinamice

neliniare. In sfarsit, vom justifica in ce conditii analiza stabilitatii prin metode specifice

cadrului liniar asupra unui model liniarizat este relevanta in raport cu comportarea sistemului

initial neliniar.

1. Stabilitatea sistemelor neliniare continuale.

Consideram un sistem dinamic neliniar continual caracterizat matricial in forma:

),( xtfdt

dx= (1)

cu xRn, f - functie vectoriala continua in raport cu toate argumentele si admitand derivate

partiale continue in raport cu oricare din variabilele ).....,( 21 nxxx . In aceste conditii, este

satisfacuta teorema de existenta si unicitate. Fie o initializare oricare (t0, x0) pentru care

solutia ( ) ( )x t t= satisface 0 0( )t x = si pe care o consideram prelungibila la infinit. Prin

urmare consideram solutia )0( ) ,t definita pe t .

• Definitie. Solutia ( )t este stabila in sens Liapunov pentru t → , daca pentru

( ) 0, ( ) ( ) 0 astfel ca oricare solutie ( )i ix t= cu initializarea la 0t

satisfacand 0 0( ) ( ) , 1,i it t i n − va asigura

0( ) ( )i it t pe t t − si pentru ( ) 1,i n .

Interpretarea geometrica a definitiei este imediata: oricare traiectorie initializata

intr-o - vecinatate a lui x0, evolueaza intr-un - tub in jurul traiectoriei (t).

• Definitie. Solutia ( )t este instabila, daca exista 0 astfel incat pentru

0 pot stabili un moment de timp 1t t= astfel ca pentru cel putin un i k= ,

1 1( ) ( )k kt t − cu toate ca 0 0( ) ( ) , ( ) 1,i it t i n − .

• Definitie. Solutia ( )t se numeste asimptotic stabila daca sunt indeplinite

urmatoarele conditii:

i) solutia ( )t este stabila in sens Liapunov pentru t → ;

ii) exista un numar 0H , incat oricare solutie initializata la 0t t= cu

0 0( ) ( ) , 1,i it t H i n − asigura 0 0lim ( ) ( ) 0, ( ) 1,i it

t t i n →

− =

Daca H = putem spune despre sistemul dinamic ca este global

stabil.

Cadrul definitoriu prezentat precizeaza ca in cazul sistemelor dinamice neliniare

analiza stabilitatii este orientata pe o solutie si nu asupra sistemului.

10

Fig. 1

• Se poate demonstra, ca studiul stabilitatii oricarei solutii a sistemului (1) poate

fi redusa la studiul stabilitatii solutiei triviale ( ) 0 1,ix t i n a unui sistem

echivalent asociat

Fie o solutie ( ) ( ), 1,x t t i n= a sistemului (1).

Introducem schimbarea de variabila:

(t)

xn

x1

t t0

x10

xno

a)

(t)

Ex

xn

x1

t

b)

Ey

11

( ), 1,i iy x t i n= − (2)

Derivand in ambele parti obtinem:

( ) ( )1 1 1, ( ), , ( ) , ( ), , ( ) 1,ii n n i n

dyf t y t y t f t t t i n

dt = + + − (3)

Vom introduce sistemul de functii:

( ) ( ) ( )1 1 1 1, , , , ( ), , ( ) , ( ), , ( )i n i n n i nt y y f t y t y t f t t t = + + −

incat ecuatia (5) devine:

( )1 2, , , , 1,ii n

dyt y y y i n

dt= (4)

Evident ( ), 0,0, ,0 0i t si deci sistemul (4) admite solutia triviala ( ) 0iy t .

Sistemul (6) poarta numele de sistemul de ecuatii al traiectoriei perturbate.

Consideram spatiul solutiilor Ex al sistemului (1) si Ey asociat sistemului (4) (vezi

figura 1).

Conform (2), fiecarei curbe integrale din Ex ii va corespunde unic o curba integrala in

Ey. Traiectoriei ( ) , 1,i it x i n = ii va corespunde traiectoria asociata solutiei triviale

( ) 0iy t . Daca solutia ( ) 1,i ix t i n= este stabila in Ex atunci solutia ( ) 0 1,iy t i n

este stabila in Ey si reciproc.

Din acest motiv, studiul stabilitatii solutiei ( ) 1,i ix t i n= a sistemului original (1)

poate fi facuta analizand solutia trivial ( ) 0 1,iy t i n a sistemului echivalent asociat (4).

Solutia triviala ( ) 0 1,iy t i n este stabila in sens Liapunov daca pentru

( )0, 0 dependent de si t0 incat oricare solutie ( ) ( ) 1,i iy t t i n= care pentru

0t t= asigura 0( ) 1,i t i n satisface inegalitatea )0 0( ) ,i t pentru t t .

In cazul in care sistemul dinamic neliniar este invariant in timp, deci in cazul in care

functiile ( , ) 1,if t x i n nu contin explicit variabila timp solutiile sistemului algebric

neliniar.

( )1 2, , , 0 1,i nf x x x i n= (5)

fixeaza eventualele stari de echilibru ale sistemului analizat. Daca consideram ( **

2

*

1 ,...,, nxxx ) o

solutie a sistemului (5), propunem schimbarea de coordonate: **

222

*

111 ,, nnn xxyxxyxxy −=−=−= (6)

Analiza stabilitatii solutiei triviale pentru sistemul echivalent precizeaza stabilitatea

solutiei de echilibru ( **

2

*

1 ,...,, nxxx ) a sistemului initial considerat.

Odata fixat acest cadru definitoriu, vom prezenta in continuare cateva teoreme ce

permit evaluarea stabilitatii Liapunov pentru solutia triviala.

12

Teorema de stabilitatea Liapunov

Daca pentru sistemul dinamic neliniar

( )( )txfdt

tdx=

)( (7)

putem determina functia pozitiv definita V(x) a carei derivata in virtutea sistemului analizat

(7) este negativ semidefinita, atunci solutia triviala ( ) 0x t a sistemului (7) este stabila in

sens Liapunov.

Functia V(x) functia Liapunov spunem ca este pozitiv semidefinita (negativ

semidefinita) pe multimea G Rn daca V(x) 0 (V(x) 0) pentru () x G.

Spunem ca functia V(x) este pozitiv definita (negativ definita) pe G daca pentru

x G \ {0}, V(x) > 0 (V(x) < 0) si V(0) = 0.

Derivata functiei ( )V x in virtutea sistemului (7) va fi:

( )

( ) ( ) ( )nn

n

nn

n

n

xxxfdx

dVxxxf

dx

dVxxxf

dx

dV

dt

dx

dx

dV

dt

dx

dx

dV

dt

dx

dx

dV

dt

txdV

,...,,...,...,,,...,,

...)(

21212

2

211

1

2

2

1

1

+++=

=+++=

(8)

Introducem functia gradient asociata functiei Liapunov

1 2

( ) ( ) , ,...,

T

n

dV dV dVV x grad V x

dx dx dx

= =

derivata in virtutea sistemului se obtine in forma:

( ) ( )xfxVdt

dV T = (9)

Formula (9) arata ca derivata in virtutea sistemului reprezinta produsul scalar dintre

vectorul V si vectorul viteza de variatie a lui ( )f x . Daca consideram in Rn hipersuprafata

( ) .V x const= , pentru 0dV

dt traiectoriile de stare ale sistemului intersecteaza hipersuprafata

( ) .V x const= , in sensul cresterii valorilor V(x) iar pentru dt

dV < 0 traiectoriile evolueaza

intersectand suprafetele V(x) pe sensul descresterii acestor valori.

Fig. 2

(t)

x2

x1

→

U f(x)

13

Pentru evaluarea stabilitatii asimptotice Liapunov, teorema precedenta se modifica

astfel:

Teorema Liapunov de stabilitate asimptotica

Daca pentru sistemul (11) putem determina ( )V x pozitiv definita incat derivata in

virtutea sistemului este negativ definita atunci solutia triviala ( ) 0x t este o solutie

asimptotic stabila in sens Liapunov pentru sistemul analizat.

Desi in aparenta celor doua teoreme par a rezolva problema analizei stabilitatii

sistemelor neliniare, constructia functiei Liapunov asociata unui sistem este o problema

extrem de delicata si totodata dificila.

In sfarsit, o ultima teorema privind analiza stabilitatii Liapunov a solutiei triviale,

prezinta posibilitatea fixarii conditiilor in care solutia triviala este instabila.

Teorema Liapunov de instabilitate

Daca pentru sistemul (7) exista functia ( )V x cu ( ) 0V x = , pentru care derivata in

virtutea sistemului este de semn semidefinit si pentru care in oricare vecinatatea a originii

exista puncte pentru care semnul lui ( )V x si a lui W(x) = ( )dV

W xdt

= coincid, atunci solutia

triviala este instabila in sens Liapunov.

Fie in continuare sistemul dinamic neliniar caracterizat in forma (7), si pentru care

( ) 0f x = , deci pentru care originea sistemului de coordonate constituie un punct de echilibru.

Cum am precizat anterior, studiul stabilitatii oricarei solutii de echilibru poate fi

redusa printr-o schimbare de coordonate adecvata la studiul stabilitatii solutiei triviale.

Consideram ca functiile 1 2( , ,..., ) 1,i nf x x x i n admite derivate partiale in raport cu

toate variabilele pe multimea Hx .

Dezvoltam in serie Taylor aceste functii in jurul originii:

1 2 1 2

1

( , ,..., ) ( , ,..., ) 1,n

i n ij j i n

j

f x x x a x x x x i n=

= + (10)

unde

0=

= x

j

i

ijx

fa (11)

iar functiile satisfac evident conditia:

( )0

,...,,lim

21=

→ x

xxx ni

ox

(12)

Sistemul initial (7) poate fi caracterizat in forma:

)(xAxdt

dx+= (13)

in care nxn

ijA a R = iar ( )x este o functie vector coloana pentru care

14

0)(

lim =→ x

x

ox

(14)

Sistemul dinamic liniar, neted si invariant

)(tAxdt

dx= (15)

poarta numele de sistem liniarizat in prima aproximare.

Legat de o astfel de abordare, prezentam doua rezultate extrem de utile in dezvoltari

aplicative.

Teorema Liapunov (asupra stabilitatii pentru sisteme in prima aproximare). Solutia

triviala a sistemului neliniar (13) este o solutie asimptotica in sens Liapunov, daca

( )A − .

Analiza locatiei in semiplanul stang al variabilelor complexe este o problema relativ

simpla si poate fi facuta cu tehnici specifice teoriei liniare.

Teorema Liapunov (asupra instabilitatii solutiei pentru sistemul in prima

aproximare). Consideram sistemul (13), daca ( ) ( ) Re 0i iA cu , atunci solutia

triviala a sistemului este instabila.

2. Stabilitatea sistemelor dinamice neliniare, discrete

Fie sistemul dinamic discret, caracterizat prin sistemul cu diferente neliniar:

( )1 2( 1) ( ), ( ), , ( ) , 1,i i nx k g x k x k x k i n+ = (16)

Functiile ig sunt definite si continue in raport cu toate argumentele.

In aceste conditii initializarea sistemului pentru 0k = cu setul de valori initiale

( )1 2(0), (0), , (0)nx x x permite evaluarea starii sistemului ( )1 2( ), ( ), , ( )nx m x m x m pentru oricare

m N .

Solutia obtinuta depinde continuu de conditiile de initializare.

Vom considera ca exista nR pentru care

2

1

, 0n

i

i

x b b=

(17)

astfel ca functiile ig continue in partea dreapta a sistemului (16) sa fie continue in raport cu toate argumentele si

sa nu se analizeze simultan decat in originea axelor 1 2 0nx x x= = = = pentru care

( )0,0, ,0 0 1,ig i n= (18)

In aceste conditii originea reprezinta un inveriant in raport cu transformarea indusa de sistemul de

functii 1,ig i n .

Punctul 1 2 0nx x x= = = = reprezinta solutia triviala a sistemului analizat sau conform

terminologiei introduse de Liapunov reprezinta solutia neperturbata a sistemului dinamic.

Sistemul de ecuatii (16) reprezinta ecuatiile traiectoriei perturbate iar solutia acestui sistem reprezinta

traiectoria perturbata.

Pentru cazul sistemelor discrete, definirea stabilitatii traiectoriei neperturbate (solutia triviala) in sens

Liapunov, este data de urmatoarea definitie.

15

Definitie

Daca pentru un > 0 arbitrar de mic, putem determina ( ) 0 astfel incat oricare traiectorie

perturbata ( )1 2( ), ( ), , ( )nx k x k x k care este initializata la 0k = in restrictia

( ) ( )2

1

0n

i

i

x =

(19)

satisface pentru m > 0

( )2

1

n

i

i

x k =

(20)

spunem ca traiectoria neperturbata este stabila in sens Liapunov.

In caz contrar, solutia neperturbata este instabila.

Daca in plus

lim ( ) 0 1,ik

x k i n→

= (21)

spunem ca solutia neperturbata este asimptotic stabila in sens Liapunov.

Consideram functia

( )1 2, , , : n

nV x x x R R→

astfel incat pe o vecinatate a originii

Hxn

i

i =1

2

sa fie definita, continua in raport cu toate argumentele, nenula in toate punctele vecinatatii cu exceptia originii

( )0,0, ,0 0V = .

Vom nota:

( )1 2( ), ( ), , ( )n kV x k x k x k V= (22)

si vom considera ca prima diferenta in virtutea sistemului (16) expresia 1k kV V+ − in care componentele

( )1 2( 1), ( 1), , ( 1)nx k x k x k+ + + se determina pe baza ( )1 2( ), ( ), , ( )nx k x k x k prin sistemul (16).

Teorema de stabilitate Liapunov

Daca pentru sistemul (16) al traiectoriei perturbate pot determina functia ( )1 2, , , nV x x x , xn) de

semn definit, pentru care prima diferenta in virtutea sistemului este de semn semidefinit cu semn contrar fata de

V atunci solutia triviala (solutia neperturbata) este stabila in sens Liapunov.

Cea de a doua teorema pe care o prezentam in continuare fixeaza conditiile de stabilitate asimptotica

pentru solutia neperturbata.

Teorema Liapunov de stabilitate asimptotica

Daca pentru sistemul (16) al traiectoriei perturbate pot determina functia V de semn definit astfel ca

prima variatie a acesteia in virtutea sistemului sa fie o functie de semn definit, avand semn contrar lui V atunci

traiectoria neperturbata este stabila asimptotic.

Ca si in cazul sistemelor neliniare netede, exista rezultate ce stabilesc conditiile pentru care traiectoria

neperturbata este instabila.

Teorema de instabilitate Liapunov

Daca pentru sistemul de ecuatii (16) al traiectoriei perturbate pot determina functia V care are prima

variatie in virtutea sistemului de semn definit si pentru care semnele coincid atunci solutia neperturbata a

sistemului este instabila.

16

Similar analizei sistemelor neliniare netede, putem formula o teorema de analiza a stabilitati pentru

sisteme neliniare discrete in prima aproximare.

Forma in prima aproximare pentru sistemul (16) devine:

( 1) ( ) ( )x k Ax k g x+ = + (23)

in care nxnA R si )(~ xg vectorul functie ce satisface

0)(

lim =→ x

xg

ox

Stabilitatea traiectoriei neperturbate este asigurata daca

( ) 0

1 1A U z C z =

3. Analiza calitativa a S.D.N. prin metode de liniarizare

Consideram cazul unui sistem dinamic neliniar, neted caracterizat prin sistemul de ecuatii diferentiale

ordinare: nn RRtxftx →= :))(()( (23)

unde f() reprezinta un n - vector functie a carei componente sunt functiuni continue admitand derivate partiale in

raport cu toate argumentele.

Punctele *x pentru care ( )* 0f x = poarta numele de puncte critice (puncte de echilibru sau puncte

fixe). Punctele nx R cu ( ) 0f x sunt definite ca puncte regulate.

Comportarea sistemului dinamic, in vecinatatea punctelor critice ce pot constitui eventuale puncte de

echilibru este deosebit de interesanta.

In continuare este interesant de apreciat in ce masura comportarea sistemului liniarizat in prima

aproximare poate fi concludent cu comportarea sistemului neliniar initial evident intr-o vecinatate a punctului

critic analizat.

Pentru sistemul dinamic (23) consideram *x punct critic. Daca notam

*x x = − , dezvoltam in

serie Taylor functiile ( )if x in jurul lui *x obtinem:

= A + () (24)

in care matricea A Rnxn reprezinta matricea sistemului liniarizat in prima aproximare

(t)= A(t) (25)

=

n

nnn

n

n

dx

df

dx

df

dx

df

dx

df

dx

df

dx

df

dx

df

dx

df

dx

df

A

...

......

...

...

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

si 0)(

lim =→

g

o (26)

Spunem ca punctul critic x* este punct critic simplu daca (A) {o} = , prin urmare daca det A 0.

Mai general, punctul critic x* este un punct hiperbolic daca matricea A nu are valori proprii situate pe

axa imaginara deci i(A) i1,n, Re(i) 0.

Urmatoarea teorema precizeaza conditiile in care analiza efectuata pe sistemul liniarizat este

concludenta in raport cu sistemul neliniar initial, in vecinatatea unui punct critic.

Teorema (Teorema de liniarizare)

Fie sistemul dinamic liniar ( )x f x= care admit x* punct critic hiperbolic (presupus in origine pentru

simplificarea enuntului). In aceste conditii intr-o vecinatate u Rn a punctului de echilibru x* portretul de stare

al sistemului neliniar coincide cu partea liniarizata ( )x Ax t= .

17

Pe cat de dificila este demonstrarea acestei teoreme fara a oferi elemente suplimentare legate de

obiectivele propuse de aceasta lucrare, pe atat de simpla si utila se dovedeste in aplicatii.

In esenta teorema afirma ca pentru puncte critice hiperbolice comportarea sistemului liniarizat intr-o

vecinatate a acestor puncte este identica cu cea a sistemului neliniar.

Prin urmare comportarea de nod, focar sau sa in liniar se determina cu un comportament similar in

neliniar. Punctele non hiperbolice constituie exceptia Re i=0 si in acest sens punctele hiperbolice se mai

numesc generice.

In cazul sistemelor non hiperbolice, aprecierea comportarii sistemului neliniar pe baza comportarii

sistemului liniarizat nu este posibila datorita lipsei stabilitatii structurale.

Daca in cazul punctelor hiperbolice, o perturbatie parametrica modifica locatia valorilor proprii ale

matricei A in baza continuitatii dependentei valorilor proprii de parametrii putem determina o vecinatate pentru

care conditia Re i 0 se mentine.

In cazul punctelor critice non hiperbolice, o mica variatie parametrica poate determina o modificare a

conditiei Re i = 0 in Re i > 0 (sau Re i < 0), ceea ce schimba literalmente evolutia in jurul acestei liniaritati.

Exemplu

Consideram sistemul dinamic neliniar:

+=+=

+−=

2

2

2

1

2

2

2

12

1

2

21

xxcurxrxx

xrxx

(27)

in care particularizand = +1 sau = -1 obtinem doua sisteme dinamice neliniare total diferite. Evident, originea

axelor (x1 = 0, x2 = 0) este un punct critic al sistemului (30).

Matricea ce evidentiaza partea liniarizata a sistemului

−=

++

+−+=

== 01

10

3221

212

00

2

2

2

121

21

2

2

2

1

2

1xxxxxx

xxxxA

(28)

Sistemul liniarizat este acelasi independent de valorile lui .

Valorile proprii ale matricei X sunt 1,2 = i, ceea ce in cadrul liniar indica ca originea se constituie in

centru. Reluand analiza sistemului neliniar, introducem o schimbare de coordonate in forma:

=

=

sin

cos

2

1

rx

rx (29)

pentru care evident 22

2

2

1 rxx =+

rrxxdt

d=+ 22

2

2

1 2)( (30)

si operand elementar obtinem:

1

2

x

xtg = (34)

Din (34), derivand in raport de timp in ambele parti, tinand cont de (27) obtinem:

1)( =t

Prin urmare in functie de valorile lui , obtinem doua sisteme dinamice neliniare:

=

=

1)(

0)( 2

t

rtr

si

=

−=

1)(

)( 2

t

rtr

In ambele cazuri (t) = t + 0.

Pentru cazul 02 = rdt

dr r(t) creste in timp iar pentru 02 = rdt

dr, r(t) descreste si evolueaza

asimptotic in zero.

Prin urmare in primul caz evolutia se face pe o spirala divergenta ier in cel de al doilea caz pe o spirala

convergenta. Rezultatul obtinut este conform teoremei de liniarizare, originea fiind un punct non hiperbolic.

18

In continuare vom prezenta cateva modele utilizate in caracterizarea unor procese socio - economice

pentru care teorema de liniarizare prezentata permite o analiza calitativa extrem de interesanta privind

comportarea in apropierea punctelor de echilibru.

a) Modelul Volterra pentru caracterizarea evolutiei dinamice intr-un model de tip concurential

Modelele de tip concurential au fost introduse pentru prima data in legatura cu studiul unor colectivitati

biologice, deci cu populatii de vietuitoare de diferite specii care coabiteaza intr-un acelasi mediu in conditii de

concurenta sau asociere. Modelele elaborate evidentiaza interactiunea dintre specii ce compun ecosistemul

analizat precum si interactiunea fata de mediu. Modelul Volterra de tip prada - pradator pe care il vom analiza in

continuare este considerat ca primul model matematic utilizat in biologie si totodata una dintre cele mai

frumoase lucrari legate de analiza colectiva a comportarii sistemelor dinamice neliniare.

Pentru o mai buna intelegere a modelului Volterra vom introduce cateva idei fundamentale pentru cazul

trivial ce ia in considerarea numai un singur tip de indivizi.

Vom considera N(t) numarul indivizilor din specia considerata la un moment t de timp.

In ipoteza in care rata natalitatii si a mortalitatii se mentin constante, cresterea populatiei respecta

modelul Malthus in forma:

)()(

tNdt

tdN= (34)

si pentru care, evolutia demografica se obtine imediat in forma:

N(t) = N(t0) et (35)

in care N(t0) reprezinta numarul de indivizi la momentul t0 de initializare a analizei.

Pentru o analiza mai apropiata de conditiile de evolutie, este necesar ca partea dreapta sa fie completata

cu o serie de termeni ce remarca factori suplimentari ce influenteaza cresterea demografica.

Conform modelului Malthus este normal ca coeficientul de crestere sa nu fie constant ca descrescator

in raport cu numarul indivizilor marcand prin aceasta ca resursele de hrana necesare dezvoltarii populatiei

considerate sunt limitate.

O asemenea evolutie, impune modelul Ferhűlst in forma:

)())(()(

tNtNdt

tdN−= (36)

in care , sunt constante.

In aceste conditii (-N(t)) reprezinta un coeficient de crestere iar coeficientul de autocrestere a

populatiei.

Solutia ecuatiei diferentiale este imediata:

( )0

)(tt

cetN

−−+

=

(37)

unde )(

)(

0tN

tNc

−= , N(t0) reprezentand numarul de indivizi la momentul initializarii analizei.

Evolutia temporala se face dupa o curba logistica, des intalnita in dinamica sistemelor socio -

economice.

Pentru o analiza si mai riguroasa este necesar ca partea dreapta a ecuatiei (34) sa contina termeni

suplimentari.

Astfel pe un caz complex, ecuatia de dinamica a unei populatii capata forma:

+

−−+−= )()()(sin)()(

0

tNdtfNtktNdt

tdNt

(38)

Ecuatia integro - diferentiala pune in evidenta un coeficient echivalent de crestere a populatiei format

din coeficientul de autocrestere plus inca trei termeni suplimentari: N, pune in evidenta efectul concurential

intre indivizii aceleiasi specii; un termen perioadic ce remarca o variatie sezoniera a conditiilor de dezvoltare; in

sfarsit, cel de al treilea termen pune in evidenta efectele evolutiilor anterioare (spre exemplu poluarea mediului).

19

In sfarsit, ultimul termen (considerat constant) este legat de fenomenul de imigratie. V. Volterra pune in

evidenta modele similare dar destinate analizei unei asociatii de 2, 3, … , n ecuatii diferentiale sau integro -

diferentiale.

Prezentam in continuare, un prim model ce caracterizeaza modelul de dezvoltare a populatiei pentru

doua specii ce convietuiesc intr-un habitat complet izolat. Indivizii din prima specie pe care ii vom numi "jertfe",

se dezvolta natural, hrana fiind oferita de mediu in mod nelimitat.

Indivizii din cea de a doua specie, se hranesc cu indivizi din prima specie si deci existenta lor este

conditionata de indivizii primei specii.

Din acest motiv vor fi denumiti "rapitori". Dinamica celor doua populatii, caracterizate prin numarul de

indivizi n1(t) si n2(t) va fi caracterizata de sistemul de ecuatii diferentiale neliniare:

( )

( )

11 1 2 1

22 2 1 2

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

dn tjertfa n t n tdt

dn tn t n trapitor

dt

= −

= − +

(39)

Prima ecuatie indica o crestere naturala a numarului de indivizi 1n1(t) insotita de o descrestere a

numarului de indivizi prin numarul indivizilor mancati de cea de a doua specie si care este proportional cu

numarul "intalnirilor" dintre indivizi din specii diferite (-n1(t)n2(t)). Cea de a doua ecuatie indica faptul ca cea

de a doua specie descreste constant pana la disparitie pentru cazul absentei hranei (pentru n1(t) = 0, 2

2 ndt

dn−= )

compensata de o crestere in cazul existentei hranei care normal va fi proportionala cu numarul de intalniri dintre

specii diferite (2n1(t)n2(t)).

Vom nota functiile din membrul drept al sistemului (39):

( )

( )

+−=

−=

2122212

1211211

),(

),(

nnnnf

nnnnf

(40)

Punctele singulare, ce constituie ecuatiile functie de echilibru se obtine solutionand sistemul de ecuatii

algebrice

( )

( )

=+−=

=−=

0),(

0),(

2122212

1211211

nnnnf

nnnnf

(41)

Obtinem elementar doua solutii:

( ) 2 11 2

2 1

0,0 ( , )O si A n n

= =

Matricea de analiza in prima aproximare a sistemului se obtine in forma:

+−

−−=

=12221

11211

2

2

1

2

2

1

1

1

21 ),(nn

nn

n

f

n

f

n

f

n

f

nnI

(42)

Matricele de liniarizare asociate functiilor singulare remarcate vor fi:

====

2

1

2110

0)0,0(

nnIA (43)

si

20

−

====

0

0

),(

1

1

2

2

2

1

1

12

2

212

nnIA (44)

Valorile proprii ale matricei A1 sunt 1 > 0 si -2 < 0 ceea ce indica faptul, ca in vecinatatea originii

evolutia va fi tipica pentru un punct sa.

Cea de a doua matrice, ce caracterizeaza functionarea in vecinatatea punctului critic

1

1

2

2 ,

are

valorile proprii 21j (punctul critic considerat este un punct non hiperbolic).

Singularitatea este de tip centru, remarcand in vecinatatea acestui punct in regim periodic.

Calitativ, traiectoriile de stare sunt prezentate in figura 3.

Fig. 3

Evolutia ansamblului celor doua populatii releva:

i) pentru o initializare in apropierea originii, se dezvolta exponential la =→

)(lim 1 tnt

in timp ce

0)(lim 2 =→

tnt

.

ii) in cazul unei initializari in apropierea celei de a doua initializari, evolutia este periodica cu

perioada

21

2

=T . Valoarea medie pe o perioada pentru fiecare populatie coincide cu

valoarea de echilibru ideal

2

21

=n si

1

12

=n .

Daca in cadrul exemplului analizat consideram ca speciile analizate sunt pasti ce coabiteaza in acelasi

mediu, in cazul in care pescuitul se intensifica valorile coeficientilor de autocrestere se modifica in sensul ca 1

scade iar 2 creste (se considera ca cantitatea de peste prins este proportionala cu numarul de indivizi din fiecare

specie).

In aceste conditii, valorile medii se modifica corespunzator in sensul ca n1 creste iar n2 scade. Un

asemenea rezultat a fost pus in evidenta de biologul d'Ancona printr-un studiu statistic asupra cantitatilor de

peste pescuit in perioada 1903 - 1923.

n2 =

1

1

n2 =

2

2

O (0,0) n1

n2

21

In timpul primului razboi mondial 1914 - 1918, intensitatea pescuitului s-a diminuat ca urmare a

faptului ca tinerii pescari au fost concentrati.

Inregistrarile statistice indica faptul ca numarul rapitorilor a crescut in timp ce numarul de indivizi a

scazut, rezultand conform cu analiza prezentata anterior.

Fara a intra in detalii, precizam ca evolutia de tip (34) este de tip conservativ iar evolutia de tip (36) este

de tip disipativ.

Pa de alta parte, modelul (39) pune in evidenta posibilitatea realizarii unei analogii extrem de

interesante intre asociatiile de tip concurential si sistemele mecanice.

Din (39), eliminand factorii ce pun in evidenta competitia intre cele doua ecuatii obtinem:

02121212112 =+−+ nnnn (45)

Integrand in ambele parti, pentru o initializare t0 = 0 obtinem:

constHdttndttntntntt

==+−+ 0212

01212112 )()()()( (46)

unde

( ) ( )2 1 1 10 0H n n = +

Introducem urmatoarele notatii:

==tt

dttntydttntx0

20

1 )()(,)()( (47)

denumiti cantitatea de viata pentru cele doua populatii.

In baza relatiei (46), cu notatiile (47) obtinem legea conservarii energiei demografice in forma:

T V H+ = (48)

in care

( ) ( )2 1T x t y t = +

reprezinta energia demografica cinetica iar

( ) ( )1 2 1 1x t y t V − + =

reprezinta energia potentiala demografica.

Mai mult, daca introducem functia:

( ) Vyxyxyyxx −−+

+=

2

1log

1log

1

21 (49)

se poate demonstra, ca sistemul ce caracterizeaza dinamica asociatiei considerate poate fi caracterizata de

ecuatiile Lagrange:

=

−

=

−

0

0

dyydt

d

dxxdt

d

(50)

Rezulta ca dinamica celor doua populatii n1(t) si n2(t) poate fi descrisa prin principiul variational in

forma:

=t

tdtt

0

0)( (51)

22

TEORIA STABILITATII IN SENS POPOV

Una dintre problemele de baza impuse de studiul sistemelor automate neliniare este

problema stabilitatii. Elementele teoretice fundamentale prezinta stabilitatea sistemelor

neliniare au fost fundamentate de A.M. Liapunov in lucrarea de referinta “Problema generala

a satbilitatii miscarii”. Legat de problema stabilitatii exista mai multe moduri de definire si

abordare: stabilitatea tehnica sau practica (stabilitatea pe un interval de timp finit), stabilitatea

Lagrange, hipersatbilitatea. Dintre aceste metode de abordare se impune ca problema de

interes major problema stabilitatii asimptotice in sens Liapunov, care sta la baza teoriei

stabilitatii absolute.

In anul 1959, savantul roman V.M. Popov a demonstrat posibilitatea abordarii

stabilitatii absolute a sistemelor neliniare prin tehnici frecventiale. Elementele teoretice

dezvoltate au fost sintetizate intr-un criteriu aplicativ cunoscut sub denumirea de “criteriul

Popov”.

In continuare vom prezenta sintetic cateva notiuni legate de stabilitatea absoluta

abordata prin tehnici de frecventa si vom prezenta o serie de aplicatii solutionate cu criteriul

Popov.

1. Criteriul Popov pentru sisteme cu partea liniara stabila.

Consideram cazul unui sistem neliniar de reglare automata a carui schema bloc este

prezentata in figura1.

0=refy u( )sH( )f

+

−

y

Fig. 1 - Schema bloc a sistemului neliniar.

La nivel de stare, sistemul va fi caracterizat in forma:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )tftu

ttxcty

tubtxAtx

T

=

−==

+=

(1)

in care nnRA - matrice reala constanta

1, nRcb - vectori constanti

( )f - este o functie reala, scalara, continua sau discontinua, cu variabila scalara .

Pentru inceput, se considera cazul in care A este o matrice hurwitziana sau echivalent

functia de transfer a sistemului liniar

( ) ( ) bAIscsH T −=−1

(2)

are polii situati in semiplanul stang

( ) − CsHP (3)

23

Ipoteza de baza asupra dependentei neliniare este o conditie sectoriala impusa functiei

f(x), in sensul ca in puncatele de continuitate si pentru 0,x

( )00

f xK

x (4)

( )xfy =

x

xKy = 0

Inegalitatea (4) impune ca

graficul functiei y = f(x) sa fie

cuprins in sectorul:

00y K x cu K K=

Nu se exclude cazul in care

0K = si pentru care 0

10.K =

Fig. 2 - Graficul unei functii sectoriale

Vom defini 0KA clasa functiilor cu aceasta proprietate.In aceste ipoteze putem formula

urmatorul criteriu de stabilitate.

Teorema Popov (pentru parte liniara stabila).

Sistemul neliniar (1) este absolut stabil pentru oricare neliniaritate 0KAf daca

pentru un q real dat si oricare 0 are loc inegalitatea

( ) ( ) 0

1Re 1 0j q H j

K + + (5)

Vom prezenta in continuare cateva consideratii geometrice simple legate de criteriul

prezentat si care se vor dovedi extreme de utile in aplicatii.

Vom considera functia de transfer a partii liniare

( ) ( ) ( ) ( ) VjUsHjH js +== = (6)

Introducem caracteristica de transfer modificata si notam

( ) ( ) ( ) ( ) VVUU ==~

,~

(7)

Cu notatiile introduse

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) VqUVjUqj −=++1Re (8)

iar inegalitatea (5) poate fi scrisa in forma

24

( ) ( ) 01~~

0

+−K

VqU

(9)

In planul ( )VU~

,~

construim dreapta Popov

0~~1

0

=−+ VqUK

(10)

qarctg

1=

0

1~

KU t −= U

~

V~

Fig. 3 - Graficul dreptei Popov

care are panta 1

q si abscisa la origine

0

1~

KU t −= .

Dreapta Popov (10) si caracteristica de transfer modificata (7) va avea urmatoarele

proprietati:

• Caracteristica de transfer modificata se afla in semiplanul drept delimitat de

dreapta Popov

• Abscisa punctului de intersectie 0V = cu dreapta P, tU~

, este nepozitiva

( )00 K deoarece pentru 0

0

10, 0K

K − si daca 0K = atunci .0

1

0

=K

• Valoarea lui tU~

este cu atat mai mare (in sensul apropierii fata de centrul axelor de

coordonate ) cu cat K0 este mai mare si prin urmare avem un sector mai larg. Prin

urmare este dorit ca tU~

sa fie cat mai mare.

• Panta dreptei Popov este 1

q; pentru q = 0 panta dreptei este infinita, pentru q > 0

panta este pozitiva iar pentru q<0 panta este negativa.

Dupa cum am prezentat anterior, un rol important in aprecierea stabilitatii il joaca

carcateristica de transfer modificata ;

( ) ( ) ( ) ( ),U U V V = =

unde

( ) ( ) = jHU Re si ( ) ( ) = jHV Im

25

Exemplu

Sa se construiasca hodograful modificat pentru un sistem cu functia de transfer

( )1+

=sT

KsH

( ) 2 2 2 21 1 1

K K KTH j j

j T T T

= = −

+ + + (11)

Prin urmare:

( ) ( ) ( ) ( )22

2

22 1

~;

1

~

T

KTVV

T

KUU

+−==

+== (12)

Prin calculul direct, se verifica KVTU =−~~

si prin urmare caracteristica de transfer

modificata este o dreapta ce trece prin punctele ( )0~

,~

== VKU si

−==

T

KVU~

,0~

( )V

( )U

0==

( )U~

( )V~

K

T

K=

a) b)

Fig. 4 - Hodograful si hodograful modificat pentru sistemul ( )1+

=sT

KsH

In figura (4a) este prezentata caracteristica Nyquist (semicerc cu centru

0,

2

K si raza

)2

K iar in figura (2b) caracteristica de frecventa modificata

2. Teorema Popov pentru cazul partii liniare instabile.

In continuare vom analiza cazul in care conditia de stabilitate impusa partii liniare nu

este respectata deci pentru care ( ) − CsHP .

( ) 0tyref ( )f

r

( )sH

r

( )ty+ + +

− − −

Fig. 5 - Schema de calcul modificata pentru cazul partii liniare instabile

26

Pentru a face posibila analiza in continuare se propune urmatoarea schema de calcul

modificata (vezi figura 5).

Astfel blocul liniar cu functia de transfer ( )sH este inconjurat printr-o reactie negativa

de coeficient r astfel aleasa incat partea liniara modificata ( )sH m caracterizata prin functia de

transfer ( )( )

( )sHr

sHsH m

+=

1 sa fie stabila, adica ( ) − CsHP m .

Pentru ca functionalitatea schemei sa nu fie afectata se va introduce o legatura paralel

inainte care inconjoara blocul neliniar. In acest caz furma neliniaritatii se modifica

corespunzator si devine ( ) ( ) −= rffm .

Atragem atentia ca analiza este facuta in situatia unui exogen complet absent ; in caz

contrar trebui efectuate modificari asupra semnalelor externe pentru a compatibiliza

functionarea celor doua scheme.

In aceste conditii vom continua analiza pe o schema modificata ca cea prezentata in

figura 6.

( ) 0tyref ( )mf ( )sH m

( )ty+

−

Fig. 6 - Scheme echivalenta modificata.

Neliniaritatea echivalenta astfel introdusa trebuie sa satisfaca urmatoarele conditii:

( )

( )

( )

=

=

0

0

00

dxxf

f

f

m

m

m

(13)

Astfel criteriul de stabilitate absoluta a starii de echilibru ( criteriul V.M.Popov) este:

pentru stabilitatea absoluta a starii de echilibru a sistemului de reglare automata prezentata

in figura 5 format din elementul neliniar ( )mf ce satisface conditiile (13) si sistemul liniar

modificat stabil ( )sH m este suficient ca pentru un 0k sa existe Rq incit pentru oricare

0 sa fie satisfacuta inegalitatea

( ) ( ) 01

1Re

++

kjHqj m (14)

relatie in care

( ) ( ) ( ) ( ) mmjsmm VjUsHjH~~+== = (15)

Exemplu

Consideram sistemul dinamic neliniar avand partea liniara caracterizata prin functia de

transfer ( )54

22 −−

+=

ss

ssH . Partea liniara este instabila fiind caracterizata prin polii

.1,52,1 −=s

27

Locul geometric al radacinilor pentru sistemul considerat este prezentat in figura 7.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

30.450.720.860.9250.962

0.982

0.992

0.998

0.450.720.860.9250.962

0.982

0.992

0.998

24681012

System: sys

Gain: 4.06

Pole: -0.031 + 1.76i

Damping: 0.0176

Overshoot (%): 94.6

Frequency (rad/sec): 1.76

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Fig. 7 - Locul geometric al radacinilor pentru sistemul nemodificat.

La intersectia locului radacinilor cu axa imaginara determinam factorul de amplificare

limita care asigura stabilitatea sistemului. Rezulta intervalul de apartenenta ca fiind ( ),4 .

Daca alegem ( )= ,45r functia de transfer modificata devine ( )5

22 ++

+=

ss

ssH m . Polii

functiei de transfer modificate vor fi 2

1912,1

−=

js si prin urmare sistemul modificat este

stabil.

3. Analiza stabilitatii absolute a starii de echilibru.

Analiza stabilitatii absolute a starii de echilibru consta in determinarea conditiilor in

care sunt indeplinite conditiile criteriului V.M.Popov in cazul in carea structura si parametrii

partii liniare sunt cunoscute.

In urma analizei putem stabili valorile inegalitatii sectoriale care delimiteaza

neliniaritatea sistemului.

Criteriul Popov permite solutionarea problemei privind analiza stabilitatii absolute a

starii de echilibru pentru un sistem de reglare automata . Pentru o mai buna intelegere a

modului de aplicare a criteriului Popov vom prezenta in continuare cateva exemple privind

analiza stabilitatii absolute.

Exemplu

Consideram un sistem de reglare automata avand schema bloc prezentata in figura 1.

Partea liniara a sistemului este caracterizata prin functia de transfer :

( )( ) ( ) ( )01.01.01

1

+++=

ssssH

iar partea neliniara este o functie sectoriala ( )fu = . Urmeaza ca procesul de analiza sa

permita determinarea coeficientului maxk care asigura stabilitatea absoluta a starii de echilibru

in conditia in care ( )

max0 kf

.

28

Este evident ca partea liniara a sistemului este stabila si nu apare necesitatea

introducerii unor reactii suplimentare in ideea liniarizarii. Pentru ca ulterior sa putem compara

hodograful partii liniare cu caracteristica Popov modificata in figura 8 este prezentata

caracteristica de tip hodograf a partii liniare.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Fig. 8 - Caracteristica hodograf a partii liniare.

In continuare evaluam ( ) ( )( ) jssHU == Re , ( ) ( )( ) jssHV == Im si construim

simplu caracteristica modificata prin ( ) ( ) ( ) ( ) VVUU ==~

,~

.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-3

Axa reala

Axa im

agin

ara

Fig. 9 - Caracteristica de frecventa modificata.

In figura 9 este prezentata caracteristica de transfer modificata.

29

Ducem tangenta la aceasta caracteristica perpendiculara pe axa reala (ca dreapta

Popov) si la intersectia cu axa reala obtinem 0593.01

max

=k

sau .87.16max =k

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-3

DreaptaPopov

-0.0593

Fig. 10 - Varianta de constructie a dreptei Popov.

Dreapta Popov astfel construita asigura conditiile impuse de criteriu pentru o

amplificare limita 87.16max =k .

Exista posibilitatea alegerii unei variante optime in care dreapta Popov este tangenta

caracteristicii modificate in punctul de intersectie al caracteristicii modificate cu axa reala.

Constructia este prezentata in figura 11.

-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02-2

-1

0

1

2

3

4

5

x 10-4

-0.008

DreaptaPopov

Fig. 11 - Varianta optima pentru dreapta Popov.

Intr-o astfel de alegere stabilitatea absoluta a starii de echilibru este asigurata pentru o

valoare maxima 125008.01

max

max

== kk

.

Prin urmare in acest caz obtinem un sector considerabil mai mare.

30

Desi procedura de constructie a dreptei Popov este principial simpla, necesitatea

evaluarilor prin proceduri grafice pe o curba profund neliniara complica foarte mult evaluarea

solutiei finale. In acest context au fost elaborate mai multe programe pentru evaluarea

conditiilor in care sunt satisfacute conditiile criteriului Popov.

Matlab dispune de o subrutina de acest gen : subrutina POPOV.m. In configuratia cea

mai simpla sintaxa este ),,( minmax kdennumpopovk = care intoarce valoarea maxima a unui

sector marginit inferior de mink , pentru cazul unui sistem liniar caracterizat prin numarator si

numitor.

Exemplu

Consideram un sistem de reglare automata a carui parte liniara este caracterizata prin

functia de transfer ( )13252

1234 ++++

+=

ssss

ssH . Partea neliniara este caracterizata de o

functie sectoriala ( )

max0 kf

. Se cere determinarea maxk pentru care starea de echilibru

este absolut stabila.

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

Popov criterion

Real Axis: Re(H(j))

Imagin

ary

Axis

:

I

m(H

(j ))

Fig. 12 - Constructia dreptei Popov.

Introducem de la tastatura:

>> num=[1 1];

>> den=[1 2 25 3 1];

>> roots(den)

ans =

-0.9409 + 4.8838i

-0.9409 - 4.8838i

-0.0591 + 0.1922i

-0.0591 - 0.1922i

>> sys=tf(num,den)

Transfer function:

s + 1

------------------------------

s^4 + 2 s^3 + 25 s^2 + 3 s

31

Polii sistemului liniar sunt in semiplanul stang si prin urmare sistemul liniar este

stabil; apelam subrutina popov.

>> popov(num,den,0)

Popov criterion is satisfied

maximum sector bound F_max = 8.4706

si obtinem 4706.8max =k .

Exemplu

Consideram sistemul de reglare automata neliniar caracterizat printr-o parte liniara cu

functia de transfer ( )127117

1234 −=++

+=

ssss

ssH si o parte neliniara cu o neliniaritate

statica sectoriala ( )

maxmin kf

k

. Se cere determinarea valorilor maxmin ,kk pentru

asigurarea stabilitatii absolute pentru starea de echilibru.

Introducem structura sistemului

>> num=[1 1];

>> den=conv([1 0 -1],[1 7 12])

>> sys=tf(num,den)

Transfer function:

s + 1

-------------------------------

s^4 + 7 s^3 + 11 s^2 - 7 s - 12

>> roots(den)

ans =

-4.0000

-3.0000

1.0000

-1.0000

Sistemul liniar este instabil si prin urmare este necesara introducerea unei corectii r

stabilizatoare.

Construim locul radacinilor

>> rlocus(sys)

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

System: sys

Gain: 12.2

Pole: -0.0379

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/sec): 0.0379

System: sys

Gain: 38.4

Pole: -0.038 + 2.11i

Damping: 0.018

Overshoot (%): 94.5

Frequency (rad/sec): 2.11

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Fig. 13 - Locul geometric al radacinilor pentru sistemul din exemplu

32

Sistemul liniar este conditionat stabil pentu o amplificare cuprinsa intre 2.12 si 38.4.

Apelam subrutina popov cu sintaxa

>> popov(num,den,12.3)

Rezultatul fixeaza .42max =k

Popov criterion is satisfied

maximum sector bound F_max = 42

Dreapta Popov este prezentata in figura 14.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

Popov criterion

Real Axis: Re(H(j))

Imagin

ary

Axis

:

I

m(H

(j ))

Fig. 14 - Caracteristica modificata si dreapta Popov pentru

sistemul analizat in exemplu