MODULE

Pe parcursul acestui capitol, daca nu se mentioneaza altfel, prin inel se va ^ntelegeinel unitar iar morsmele de inele vor unitare.

1. Introducere

Modulele apar ca o extindere reasca a notiunii de spatiu vectorial la situatia ^ncare scalarii sunt dintr-un inel.

Denitia 1.1. Fie R un inel si (M;+) un grup abelian. Spunem caM este R-modulla sta^nga daca avem o operatie algebrica externa pe M;

RM !M; (a; x) 7! ax;care satisface urmatoarele conditii:

a(x+ y) = ax+ ay; 8a 2 R; 8x; y 2M(a+ b)x = ax+ bx; 8a; b 2 R;8x 2Ma(bx) = (ab)x; 8a; b 2 R; 8x 2M

1x = x;8x 2MElementele lui R se numesc scalari iar operatia algebrica externa se numeste ^nmulti-re cu scalari.

Analog se deneste notiunea duala de R-modul la dreapta.

Notatie: RM , respectiv MR.

Daca R = K este corp, atunci un K-modul V se va numi K-spatiu vectorial iarelementele sale se numesc vectori.De acum ^nainte prin R-modul se va ^ntelege R-modul la sta^nga. Sa mentionam

ca toate notiunile care vor denite si toate rezultatele obtinute se transfera imediatla R-module la dreapta.

Remarca 1.2. Fie R un inel si (M;+) un grup abelian. Se stie ca End(M),multimea endomorsmelor lui M , formeaza un inel ^n raport cu adunarea si com-punerea functiilor.Daca ' : R ! End(M) este un morsm de inele, atunci acesta determina pe M ostructura de R-modul astfel: ax = '(a)(x);8a 2 R;8x 2M .Reciproc, daca M este un R-modul, atunci aplicatia ' : R! End(M) denita prin'(a) = 'a;8a 2 R, unde 'a(x) = ax;8x 2M , este un morsm de inele.Exemplul 1.3. (i) Orice inel R este R-modul la sta^nga si la dreapta.(ii) Orice grup abelian este Z-modul.(iii) Fie ' : R ! S un morsm de inele. Atunci S este R-modul la sta^nga si ladreapta. (^In particular, daca R este inel comutativ, atunci R[X] este R-modul si Reste R[X]-modul.)Mai general, daca M este un S-modul, atunci M este si R-modul, ^nmultirea cu

1

2 MODULE

scalari ind data prin ax = '(a)x; 8a 2 R;8x 2 M . Spunem ca aceasta structurade R-modul peM se obtine din structura de S-modul peM prin restrictia scalarilor.(iv) Fie R un inel si I o multime nevida. Atunci RI , multimea functiilor f : I ! R,formeaza un R-modul (la sta^nga si la dreapta) cu urmatoarele operatii:

(f + g)(i) = f(i) + g(i); 8i 2 I(af)(i) = af(i); 8a 2 R; 8i 2 I:

I^n particular, Rn si Mmn(R) sunt R-module.(v) Fie V un K-spatiu vectorial si ' 2 EndK(V ). Atunci V este un K[X]-modulvia ' astfel: f(X)v = f(')(v);8f 2 K[X];8v 2 V . (^In acest context 'n ^nseamna' ', compunerea lui ' cu el ^nsusi de n ori, iar '0 = idV .)Exercitiul 1.4. (i) Fie m;n 2. Atunci Z=nZ are o structura de Z=mZ-moduldaca si numai daca n j m si aratati ca ^n acest caz este unica.(ii) Fie n 2. Atunci Z=nZ are o structura de Z[i]-modul daca si numai dacaecuatia x2 + b1 = b0 are solutii ^n Z=nZ.(iii) Fie G un grup abelian nit. Aratati ca G nu are o structura de Q-spatiuvectorial.(iv) Aratati ca Z nu este Q-spatiu vectorial.

Propozitia 1.5. Fie M un R-modul.(i) a0 = 0x = 0; 8a 2 R; 8x 2M .(ii) (a)x = a(x) = ax;8a 2 R; 8x 2M .(iii) Daca R este corp si ax = 0, atunci a = 0 sau x = 0.

Remarca 1.6. (i) Orice R-modul M da nastere unui ideal bilateral AnnR(M) =fa 2 R : ax = 0;8x 2 Mg numit anulatorul lui M . Mai mult, M are o structurade R=AnnR(M)-modul astfel: bax = ax;8a 2 R;8x 2 M . (Mai general, dacaI AnnR(M) este un ideal bilateral, atunci M are o structura de R=I-modul.)Exercitiul 1.7. Fie G un grup abelian nit cu proprietatea ca exista un numar primp astfel ^nca^t px = 0 pentru orice x 2 G. Aratati ca exista n 2 N cu proprietateaca jGj = pn.

2. submodule

Denitia 2.1. Fie R un inel, M un R-modul si N M o submultime nevida.Atunci N se numeste submodul al lui M daca satisface urmatoarele conditii:

8x; y 2 N =) x y 2 N8a 2 R; 8x 2 N =) ax 2 N:

Notatie: N R MRemarca 2.2. (i) Prima conditie din denitia notiunii de submodul ne spune ca Neste subgrup al lui (M;+). Asadar 0 2 N si daca x 2 N , atunci x 2 N .(ii) Este evident ca un submodul N este la ra^ndul sau un R-modul cu operatiilealgebrice induse.(iii) Daca R = K este corp, M K-spatiu vectorial si N K M , atunci N se numestesubspatiu vectorial.

MODULE 3

Exemplul 2.3. (i) Fie M un R-modul. Atunci M si f0g sunt submodule. f0g senumeste submodulul nul.(ii) Fie R un inel. Submodulele lui RR sunt idealele la sta^nga ale lui R.(iii) Submodulele unui grup abelian (considerat ca Z-modul) sunt subgrupurile sale.

Lema 2.4. Fie M un R-modul si N R M , 2 o familie de submodule. AtunciN =

T2N este submodul.

Denitia 2.5. Fie M un R-modul si X M o submultime. Intersectia tuturorsubmodulelor lui M care contin pe X se numeste submodulul lui M generat de X.

Notatie: R hXi sau hXi.Remarca 2.6. Avem:(i) hXi R M ;(ii) X hXi;(iii) hXi este cel mai mic submodul al lui M care contine pe X.Propozitia 2.7. Fie M un R-modul si X M o submultime. Atunci

hXi = fy 2M : 9n 2 N; 9x1; : : : ; xn 2 X; 9a1; : : : ; an 2 R; y =nXi=1

aixig:

Un element de forma y =Pn

i=1 aixi spunem ca este o combinatie liniara dex1; : : : ; xn cu coecienti ^n R.

Exercitiul 2.8. Fie M un R-modul si I R ideal la sta^nga. Atunci IM = fy 2M : 9n 2 N; 9x1; : : : ; xn 2 M; 9a1; : : : ; an 2 I; y =

Pni=1 aixig este submodul al lui

M .

Denitia 2.9. Fie M un R-modul si X M o submultime.Daca hXi = M , atunci X se numeste sistem de generatori pentru M .Daca X este multime nita si hXi = M , atunci M se numeste modul nit generat.Daca X = fxg si hxi = M , atunci M se numeste modul ciclic.Sa observam ca hxi = fax : a 2 Rg. Acesta se mai noteaza cu Rx.

Exemplul 2.10. (i) Fie R un inel si n 2 N, n 1. Atunci Rn este R-modul nitgenerat, un sistem de generatori ind e1; : : : ; en, unde ei = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0) cu1 pe pozitia i.(ii) R este R-modul ciclic, R = h1i.(iii) Orice grup abelian nit generat (ciclic) este Z-modul nit generat (ciclic).(iv) Cum Q (respectiv ZZ) nu este grup nit generat (respectiv ciclic), exista decimodule care nu sunt nit generate (respectiv ciclice).

Exercitiul 2.11. Fie M un R-modul si N R M .(i) Daca M este nit generat, atunci M=N este nit generat.(ii) Dati un exemplu de modul nit generat care are submodule ce nu sunt nitgenerate.(iii) Daca N este nit generat si M=N este nit generat, atunci M este nit generat.(iv) Daca G este Z-modul (grup abelian) nit generat, atunci orice subgrup al saueste, de asemenea, nit generat.

4 MODULE

Exercitiul 2.12. Fie R un inel comutativ, M un R-modul nit generat si I R unideal cu proprietatea ca IM = M . Aratati ca exista a 2 I astfel ^nca^t (1a)M = 0.(Nakayama)

Stim de la teoria grupurilor ca reuniunea a doua subgrupuri nu este, ^n general,un subgrup. Vom depasi acest inconvenient astfel:

Denitia 2.13. Fie M un R-modul si N R M , 2 o familie de submodule.Submodulul hS2Nii se numeste suma familiei de submodule (N)2.Notatie:

P2N.

Propozitia 2.14. Fie M un R-modul si N R M , 2 o familie de submodule.Atunci

P2N = fx 2 M : 9n 2 N;91; : : : ; n 2 ;9x1 2 N1 ; : : : ; 9xn 2

Nn astfel ^nca^t x = x1 + + xng.Corolarul 2.15. Fie M un R-modul si N1; : : : ; Nn submodule ale sale. AtunciPn

i=1Ni = fx1 + + xn : xi 2 Ni; 8i = 1; : : : ; ng.Corolarul 2.16. Fie M un R-modul si x1; : : : ; xn 2 M . Atunci hx1; : : : ; xni =Rx1 + +Rxn.

3. Morfisme de module

Denitia 3.1. Fie M;M 0 R-module si o aplicatie f : M !M 0. Aceasta se numestemorsm de R-module daca

f(x+ y) = f(x) + f(y); 8x; y 2Mf(ax) = af(x); 8a 2 R; 8x 2M:

Ca^nd R = K este corp f se numeste morsm de K-spatii vectoriale sau aplicatieliniara.

Notatie: HomR(M;M0) = ff : M !M 0 j f morsm de R-moduleg

Remarca 3.2. (i) Un morsm de R-module este, ^n particular, un morsm degrupuri. Asadar f(0) = 0 si f(x) = f(x);8x 2M .(ii) Putem rescrie cele doua conditii din denitia notiunii de morsm de module^ntr-una singura: f(ax+ by) = af(x) + bf(y); 8a; b 2 R; 8x; y 2M .Exemplul 3.3. (i) Fie M;M 0 R-module si f : M !M 0, f(x) = 0;8x 2M . f estemorsm de module si se numeste morsmul nul.(ii) Fie M un R-modul si f : M ! M , f(x) = x; 8x 2 M . f este morsm demodule, se numeste morsmul identic al lui M si se noteaza idM .(iii) Fie M un R-modul si a 2 R. Atunci aplicatia 'a : M ! M denita prin'a(x) = ax;8x 2M este morsm de module si se numeste omotetie.(iv) Fie G;G0 grupuri abeliene si f : G! G0 un morsm de grupuri. Atunci f estemorsm de Z-module.(v) Fie R un inel. Aplicatia pi : R

n ! R denita prin pi(a1; : : : ; an) = ai estemorsm (surjectiv) de R-module si se numeste proiectie canonica. (Mai general,aplicatia pi : R

I ! R denita prin pi(f) = f(i) este morsm (surjectiv) de R-module.)(v) Fie f : R! S un morsm de inele. Atunci f este morsm de R-module.

MODULE 5

Propozitia 3.4. Daca M;M 0 sunt R-module, atunci (HomR(M;M 0);+) este grupabelian. Daca R este inel comutativ, atunci HomR(M;M

0) este R-modul.

Proof. Ca^nd R este inel comulativ denim pe HomR(M;M0) o structura de R-modul

astfel: (af)(x) = af(x); 8a 2 R;8f 2 HomR(M;M 0);8x 2M . Propozitia 3.5. Fie f : M ! M 0 si g : M 0 ! M 00 morsme de R-module. Atuncig f : M !M 00 este morsm de R-module.Propozitia 3.6. Fie M un R-modul si

EndR(M) = ff : M !M j f morsm de R-moduleg:Atunci (EndR(M);+; ) este inel unitar.Elementele lui EndR(M) se numesc endomorsme iar EndR(M) se numeste inelul

endomorsmelor lui M .

Exercitiul 3.7. Aratati ca EndZ(Z2) 'M2(Z).Exercitiul 3.8. Aratati ca EndR(RR) ' Rop iar EndR(RR) ' R. (Rop este ine-lul opus lui R, adica inelul care are aceleasi elemente ca si R, aceeasi operatie deadunare, dar ^nmultirea se face invers: a b = ba.)Exercitiul 3.9. Un R-modul M se numeste simplu daca singurele sale submodulesunt f0g si M . Aratati ca daca M este simplu, atunci EndR(M) este corp. (Schur)Dati un exemplu de R-modul M care nu este simplu, dar EndR(M) este corp.

Exercitiul 3.10. Fie R inel comutativ, I R un ideal,M un R-modul nit generatsi f 2 EndR(M) cu proprietatea ca f(M) IM . Atunci exista n 2 N, n 1 siai 2 I i, 1 i n, astfel ^nca^t fn + a1fn1 + + an = 0. (Cayley-Hamilton)Exercitiul 3.11. Aratati ca 2.12 (Nakayama) si 3.11 (Cayley-Hamilton) sunt echiva-lente.

Denitia 3.12. Un morsm de R-module f : M ! M 0 se numeste izomorsmdaca exista g : M 0 ! M morsm de R-module cu proprietatea ca f g = idM 0 sig f = idM .Notatie: M 'M 0.

Propozitia 3.13. Un morsm de R-module f : M ! M 0 este izomorsm daca sinumai daca functia f este bijectiva.

Exercitiul 3.14. (i) Fie M un R-modul. Atunci HomR(R;M) este R-modul siavem HomR(R;M) 'M .(ii) Fie M un R-modul si I R ideal bilateral. Atunci HomR(R=I;M) este R-modul si avem HomR(R=I;M) ' (0 :M I), unde (0 :M I) = fx 2M : Ix = 0g.(iii) Fie M un R-modul si I; J R ideale bilaterale. Atunci HomR(R=I;R=J) esteR-modul si avem HomR(R=I;R=J) ' (J : I)=J , unde (J : I) = fx 2 R : Ix Jg.Exercitiul 3.15. (i) Aratati ca Hom(Z=mZ;Z=nZ) ' Z=dZ; unde d = gcd(m;n).(ii) Determinati HomK[X](K[X]=(X

m); K[X]=(Xn)).

6 MODULE

Exercitiul 3.16. Daca R este inel comutativ siM;M 0 sunt R-module nit generaterezulta ca HomR(M;M

0) este R-modul nit generat?

Exercitiul 3.17. Fie R un inel comutativ, M un R-modul nit generat si f 2EndR(M). Aratati ca daca f este surjectiv, atunci f este izomorsm. (Vasconcelos)Dati un exemplu care sa arate ca este necesar ca M sa e nit generat.

Propozitia 3.18. Fie f : M !M 0 un morsm de R-module.(i) Daca N R M , atunci f(N) R M 0. I^n particular, f(M) R M 0.(ii) Daca N 0 R M 0, atunci f1(N 0) R N . I^n particular, f1(0) R M .f(M) se numeste imaginea lui f si se noteaza Im f iar f1(0) se numeste nucleul

lui f si se noteaza Ker f . Denim conucleul lui f ca ind Coker f = M 0= Im f .

Propozitia 3.19. Fie f : M !M 0 un morsm de R-module.(i) f este surjectiv daca si numai daca Coker f = f0g.(ii) f este injectiv daca si numai daca Ker f = f0g.Teorema 3.20. (Teorema de corespondenta pentru submodule)Fie f : M !M 0 un morsm surjectiv de R-module. Exista o corespondenta bijectiva^ntre multimea submodulelor lui M care contin Ker f si multimea submodulelor luiM 0, data prin N 7! f(N).

4. Module factor

Fie R un inel, M un R-modul si N R M . I^n particular, N este subgrup algrupului abelian (M;+) si ca atare putem considera grupul factor M=N . Sa notamca relatia de echivalenta denita de N pe M este urmatoarea:

x y mod N () x y 2 N:Daca x 2M , atunci bx, clasa de echivalenta a lui x modulo N , este x+N iar operatiaalgebrica prin care M=N devine grup abelian estebx+ by = [x+ y; 8x; y 2M:Denim acum o operatie algebrica externa pe M=N astfel:

abx = cax;8a 2 R; 8x 2M:Aceasta este bine denita: daca bx = by, atunci x y 2 N , deci a(x y) 2 N si deaici rezulta ax ay 2 N , adica cax =cay.Propozitia 4.1. M=N este R-modul ^n raport cu operatiile denite mai sus iaraplicatia p : M !M=N denita prin p(x) = bx este morsm surjectiv de R-module.Denitia 4.2. Modulul M=N se numeste modulul factor al lui M prin submodululN iar p se numeste proiectia (surjectia) canonica de la M la modulul factor M=N .

Sa observam ca Im p = M=N iar Ker p = N . Din teorema 3.20 deducem casubmodulele lui M=N sunt de forma N 0=N cu N R N 0 R M .Exemplul 4.3. (i) M=M = fb0g. Reciproc, daca M=N = fb0g, atunci N = M .(ii) M=f0g = M .(ii) Daca I este ideal la sta^nga al lui R, atunci R=I este R-modul la sta^nga.

MODULE 7

Teorema 4.4. (Proprietatea de universalitate a modulelor factor)Fie f : M ! M 0 un morsm de R-module si N R M . Daca N Ker f , atunciexista un morsm de R-module f : M=N ! M 0 unic cu proprietatea ca f p = f ,unde p : M !M=N este proiectia canonica. Mai mult,(i) f este injectiv daca si numai daca N = Ker f .(ii) f este surjectiv daca si numai daca f este surjectiv.

Proof. Sa vizualizam aceasta proprietate cu ajutorul urmatoarei diagrame

Mf

""EEE

EEEE

EEp // M=N

f

M 0

Denim f(bx) = f(x) oricare ar x 2M .f este bine denita: daca bx = by, atunci x y 2 N si cum N Ker f deducem caf(x y) = 0, deci f(x) = f(y).f este morsm de R-module: f(bx + by) = f([x+ y) = f(x + y) = f(x) + f(y) =f(bx) + f(by) si f(abx) = f(cax) = f(ax) = af(x) = af(bx).Sa vericam ca f p = f : pentru x 2M avem (f p)(x) = f(p(x)) = f(bx) = f(x).Presupunem acum ca ar mai exista un morsm g : M=N ! M 0 cu proprietatea cag p = f si vom arata ca g = f : pentru x 2M avem g(bx) = g(p(x)) = (g p)(x) =f(x) = f(bx), deci g = f .(i) Cum Ker f = (Ker f)=N si f este morsm injectiv daca si numai daca Ker f =

fb0g, rezulta concluzia.(ii) Rezulta imediat din faptul ca Im f = Im f .

5. Teoreme de izomorfism pentru module

Teorema 5.1. (Teorema fundamentala de izomorsm pentru module)Fie f : M ! M 0 un morsm de R-module. Atunci exista un izomorsm de R-module

f : M=Ker f ! Im funic cu proprietatea ca f p = f , unde p : M !M=Ker f este proiectia canonica.Exemplul 5.2. Fie M un R-modul si x 2M . Atunci AnnR(x) = fa 2 R : ax = 0geste ideal la sta^nga al lui R si avem R=AnnR(x) ' Rx. Asadar orice R-modul cicliceste de forma R=I, unde I R este ideal la sta^nga.Exercitiul 5.3. Fie M un R-modul. Aratati ca M este R-modul simplu daca sinumai daca M ' R=I, unde I este un ideal sta^ng maximal.Corolarul 5.4. Fie M un R-modul si N1; N2 R M . Exista un izomorsm deR-module

(N1 +N2)=N1 ' N2=N1 \N2:

8 MODULE

Corolarul 5.5. Fie M un R-modul si N2 R N1 R M . Atunci N1=N2 R M=N2si exista un izomorsm de R-module

M=N2N1=N2

'M=N1:

6. Sume si produse directe de module

Daca M1; : : : ;Mn sunt R-module, atunci produsul lor cartezian M1 Mn sepoate ^nzestra cu o structura de R-modul astfel:

(x1; : : : ; xn) + (y1; : : : ; yn) = (x1 + y1; : : : ; xn + yn);8xi; yi 2Mia(x1; : : : ; xn) = (ax1; : : : ; axn);8a 2 R;8xi 2Mi:

Putem generaliza constructia de mai sus la cazul ^n care avem o familie arbitrarade R-module (Mi)i2I . Fie M =

Qi2I Mi produsul cartezian al familiei (Mi)i2I .

(Reamintim caQ

i2I Mi = ff : I !Si2I Mi : f(i) 2 Mi;8i 2 Ig. Mai mult,

putem scrie elementele din produsul direct sub forma (xi)i2I cu xi 2 Mi; 8i 2 I.)Pe multimea M denim o structura de R-modul astfel:

(xi)i2I + (yi)i2I = (xi + yi)i2I ; 8xi; yi 2Mia(xi)i2I = (axi)i2I ; 8a 2 R;8xi 2Mi:

ModululQ

i2I Mi se numeste produsul direct al familiei (Mi)i2I . Aplicatiile pi :Qi2I Mi ! Mi, denite prin pi((xi)i2I) = xi, sunt morsme surjective si se numesc

proiectiile (surjectiile) canonice.

Remarca 6.1. (i) I^n cazul ^n care I = f1; : : : ; ng regasim produsul cartezian nitde module.(ii) Daca Mi = M; 8i 2 I, atunci

Qi2I Mi = M

I .

Exercitiul 6.2. Fie (Mi)i2I o familie de R-module si J R un ideal.(i) Aratati ca J(

Qi2I Mi)

Qi2I JMi.

(ii) Daca J este nit generat, atunci J(Q

i2I Mi) =Q

i2I JMi.(iii) FieK corp, R = K[X1; : : : ; Xn; : : : ] si J = (X1; : : : ; Xn; : : : ). Atunci JR

N ( JN.Propozitia 6.3. (Proprietatea de universalitate a produsului direct de module)Fie (Mi)i2I o familie de R-module. Pentru orice R-modul N si pentru orice familie(fi)i2I de morsme fi : N ! Mi exista un unic morsm f : N !

Qi2I Mi astfel

^nca^t pi f = fi;8i 2 I.Proof. Sa vizualizam aceasta proprietate cu ajutorul urmatoarei diagrame:Q

i2I Mipi // Mi

Nf

ddfi

OO

Denim f : N ! Qi2I Mi astfel: f(x) = (fi(x))i2I . Este clar ca f este morsm deR-module si pi f = fi;8i 2 I.Daca f 0 : N ! Qi2I Mi este un alt morsm cu proprietatea ca pi f 0 = fi;8i 2 I,atunci pentru x 2 N avem pi(f 0(x)) = fi(x);8i 2 I. Scriem f 0(x) = (yi)i2I siobtinem yi = pi(f

0(x)) = fi(x); 8i 2 I, deci f 0(x) = f(x).

MODULE 9

I^n teoria categoriilor se considera ca denitie a produsului direct proprietatea deuniversalitate a acestuia.

Denitia 6.4. Fie (Mi)i2I o familie de R-module. O pereche (M; (pi)i2I), unde Meste un R-modul iar pi : M ! Mi sunt morsme de R-module, se numeste produsdirect al familiei (Mi)i2I daca pentru orice R-modul N si orice familie (fi)i2I demorsme fi : N ! Mi exista un unic morsm f : N ! M astfel ^nca^t pi f =fi;8i 2 I.Din propozitia 6.3 putem concluziona ca pentru orice familie de R-module exista

un produs direct ^n sensul denitiei de mai sus. Mai mult, oricare doua produsedirecte ale unei familii de module sunt ^n mod canonic izomorfe.

Propozitia 6.5. (Unicitatea produsului direct de module)Fie (Mi)i2I o familie de R-module si (M; (pi)i2I), respectiv (M 0; (p0i)i2I) doua produsedirecte ale acesteia. Atunci exista si este unic un izomorsm f : M ! M 0 astfel^nca^t p0i f = pi;8i 2 I.Proof. Deoarece (M 0; (p0i)i2I) este produs direct al familiei (Mi)i2I va exista un unicmorsm f : M !M 0 astfel ^nca^t p0if = pi; 8i 2 I. Vom arata ca f este izomorsm.

M

pi !!BBB

BBBB

Bf // M 0

p0i}}{{{{{{{{

Mi

Cum si (M; (pi)i2I) este produs direct al familiei (Mi)i2I va exista un unic morsmg : M 0 !M astfel ^nca^t pi g = p0i; 8i 2 I.

M

pi !!BBB

BBBB

B M0goo

p0i}}{{{{{{{{

Mi

Obtinem ca pi (g f) = pi pentru orice i 2 I

M

pi !!BBB

BBBB

BgfidM

// M

pi}}||||||||

Mi

si p0i (f g) = p0i pentru orice i 2 I.

M 0

p0i !!CCC

CCCC

CfgidM0

// M 0

p0i}}{{{{{{{{

M 0i

Pe de alta parte pi idM = pi si p0i idM 0 = p0i pentru orice i 2 I si din denitiaprodusului direct rezulta ca g f = idM si f g = idM 0 , ceea ce ^nseamna ca f esteizomorsm.

10 MODULE

Remarca 6.6. Fie (Mi)i2I o familie de R-module si (M; (pi)i2I) un produs direct alacesteia. Morsmele pi sunt surjective si se numesc proiectiile (surjectiile) canonice.

Fie (Mi)i2I o familie de R-module siQ

i2I Mi produsul direct al acestei familii.Pentru un element x 2 Qi2I Mi denim suportul sau astfel: supp(x) = fi 2 I :pi(x) 6= 0g. Daca multimea supp(x) este nita spunem ca elementul x este de suportnit. Denim multimeaM

i2IMi = fx 2

Yi2I

Mi : x este de suport nitg:

Aceasta este un submodul al produsului direct si se numeste suma directa (externa)a familiei (Mi)i2I . Aplicatiile si : Mi !

Li2I Mi, denite prin si(xi) = (yi)i2I unde

yj = 0;8j 6= i si yi = xi, sunt morsme injective si se numesc injectiile canonice.Remarca 6.7. (i) I^n cazul ^n care I = f1; : : : ; ng regasim din nou produsul carteziannit de module.(ii) Daca Mi = M; 8i 2 I, atunci vom nota

Li2I Mi cu M

(I).

Exercitiul 6.8. Fie (Mi)i2I o familie de R-module si J R un ideal. Aratati caJ(L

i2I Mi) =L

i2I JMi.

Fie i :L

i2I Mi !Q

i2I Mi morsmul incluziune si i = pi i. Obtinem astfelproiectiile canonice ale sumei directe.Denim morsmele ij : Mi !Mj astfel:

ij(xi) =

xi daca j = i0 daca j 6= i

Cu alte cuvinte, ii = idMi iar ij = 0 daca j 6= i.Lema 6.9. Cu notatiile de mai sus avem:(i) j si = ij.(ii) pentru orice x 2Li2I Mi avem j supp(i(x))i2I j

MODULE 11

deci f si = fi; 8i 2 I.Daca f 0 :

Li2I Mi ! N este un alt morsm cu proprietatea ca f 0 si = fi;8i 2 I,

atunci pentru x 2Li2I Mi scriem x =Pi2I(si i)(x) (vezi lema 6.9(iii)) si avemf 0(x) =

Xi2I

(f 0 si i)(x) =Xi2I

(fi i)(x) = f(x);

deci f 0 = f . I^n teoria categoriilor se considera ca denitie a sumei directe proprietatea de

universalitate a acesteia.

Denitia 6.11. Fie (Mi)i2I o familie de R-module. O pereche (M; (si)i2I), undeM este un R-modul iar si : Mi !M sunt morsme de R-module, se numeste sumadirecta al familiei (Mi)i2I daca pentru orice R-modul N si pentru orice familie (fi)i2Ide morsme fi : Mi ! N exista un unic morsm f :

Li2I Mi ! N astfel ^nca^t

f si = fi;8i 2 I.Remarca 6.12. Sa notam ca acesta denitie se obtine din denitia produsuluidirect prin "^ntoarcerea sagetilor".

Din propozitia 6.10 putem concluziona ca pentru orice familie de R-module existao suma directa ^n sensul denitiei de mai sus. Mai mult, oricare doua sume directeale unei familii de module sunt ^n mod canonic izomorfe.

Propozitia 6.13. (Unicitatea sumei directe de module)Fie (Mi)i2I o familie de R-module si (M; (si)i2I), respectiv (M 0; (s0i)i2I) doua sumedirecte ale acesteia. Atunci exista si este unic un izomorsm f : M ! M 0 astfel^nca^t f si = s0i; 8i 2 I.Proof. Deoarece (M; (si)i2I) este suma directa a familiei (Mi)i2I va exista un unicmorsm f : M !M 0 astfel ^nca^t f si = s0i;8i 2 I. Vom arata ca f este izomorsm.

Mf // M 0

Mi

si

aaBBBBBBBB s0i

=={{{{{{{{

Cum si (M 0; (s0i)i2I) este suma directa a familiei (Mi)i2I va exista un unic morsmg : M 0 !M astfel ^nca^t g s0i = si; 8i 2 I.

M M 0goo

Mi

si

aaBBBBBBBB s0i

=={{{{{{{{

De aici se obtine ca (g f) si = si pentru orice i 2 I

MgfidM

// M

Mi

si

aaBBBBBBBB si

==||||||||

12 MODULE

si (f g) s0i = s0i pentru orice i 2 I.

M 0fgidM0

// M 0

Mi

s0i

aaCCCCCCCC s0i

=={{{{{{{{

Pe de alta parte idM si = si si idM 0 s0i = s0i pentru orice i 2 I si din denitiasumei directe rezulta ca g f = idM si f g = idM 0 , ceea ce ^nseamna ca f esteizomorsm.

Remarca 6.14. Fie (Mi)i2I o familie de R-module si (M; (si)i2I) o suma directa aacesteia. Morsmele si sunt injective si se numesc injectiile canonice.

Propozitia 6.15. Fie (Mi)i2I o familie de R-module. Avem:(i)P

i2I si(Mi) =L

i2I Mi.(ii) si(Mi) \

Pj 6=i sj(Mj) = 0; 8i 2 I.

Proof. (i) Rezulta din lema 6.9(iii).(ii) Fie x 2 si(Mi)\

Pj 6=i sj(Mj). Scriem x = si(xi) si x =

Pj 6=i sj(xj), unde xi 2Mi

si xj 2Mj;8j 6= i. Din si(xi) =P

j 6=i sj(xj) rezulta (i si)(xi) =P

j 6=i(i sj)(xj).Din lema 6.9(i) stim ca i sj = ji, deci xi = 0 si astfel x = 0. Remarca 6.16. Sa notam ca Ni = si(Mi) sunt submodule ale lui M =

Li2I Mi cu

proprietatea caP

i2I Ni = M si Ni \P

j 6=iNj = 0;8i 2 I.6.1. Sume directe interne. Fie M un R-modul si (Ni)i2I o familie de submodule.Fie i : Ni ,! M morsmele incluziune. Din proprietatea de universalitate a sumeidirecte exista un unic morsm f :

Li2I Ni ! M astfel ^nca^t f si = i; 8i 2 I,

unde si : Ni !L

i2I Ni sunt injectiile canonice. Avem f((xi)i2I) =P

i2I xi, asadarIm f =

Pi2I Ni.

Propozitia 6.17. (Caracterizari ale sumei directe interne)Fie M un R-modul, (Ni)i2I o familie de submodule si f 2 HomR(

Li2I Ni;M) mor-

smul de mai sus. Urmatoarele armatii sunt echivalente:(i) f este izomorsm.(ii) M =

Pi2I Ni si daca

Pi2I xi = 0, unde xi 2 Ni; 8i 2 I, atunci xi = 0;8i 2 I.

(iii) Orice element x 2 M se scrie ^n mod unic sub forma x = Pi2I xi, undexi 2 Ni;8i 2 I cu j supp((xi)i2I)j

MODULE 13

Denitia 6.20. FieM un R-modul, (Ni)i2I o familie de submodule si N =P

i2I Ni.Spunem ca suma

Pi2I Ni este directa daca N este suma directa interna a familiei

de submodule (Ni)i2I .

Remarca 6.21. Fie M un R-modul si (Ni)i2I o familie de submodule. SumaPi2I Ni este directa daca morsmul f 2 HomR(

Li2I Ni;M) denit prin f((xi)i2I) =P

i2I xi este injectiv sau echivalent, Ni \P

j 6=iNj = 0; 8i 2 I.Denitia 6.22. Fie M un R-modul si N R M un submodul. Spunem ca N estesumand direct al lui M daca exista un submodul N 0 R M astfel ^nca^t M = NuN 0.Exemplul 6.23. (i) Deoarece M = (0) u M rezulta ca (0) si M sunt sumanzidirecti.(ii) Daca M = _

Pi2INi si J I, atunci _

Pi2JNi este sumand direct.

(iii) Daca V este un K-spatiu vectorial, orice subspatiu este sumand direct.(iv) Daca M = Z, atunci doar (0) si M sunt sumanzi directi.

Exercitiul 6.24. (i) Fie I un ideal sta^ng al lui R. Aratati ca daca I este sumanddirect ^n R, atunci I = I2. (Mai precis, I este generat de un element idempotent.)(ii) Fie R un inel comutativ si I R un ideal nit generat cu proprietatea ca I = I2.Aratati ca I este sumand direct ^n R.

(iii) Fie R = ZN2 si I = Z(N)2 . Aratati ca I = I

2, dar I nu este sumand direct ^n R.

Denitia 6.25. Un R-modul M se numeste indecompozabil daca nu are sumanzidirecti diferiti de (0) si M . Altminteri, M se numeste decompozabil.

Exemplul 6.26. Z este Z-modul indecompozabil.

Exercitiul 6.27. Aratati ca Q este Z-modul indecompozabil.

Propozitia 6.28. Fie M un R-modul.Daca p 2 EndR(M) este element idempotent, atunci M = Ker pu Im p.Reciproc, daca M = N uN 0, atunci exista p 2 EndR(M) element idempotent astfel^nca^t N = Ker p si N 0 = Im p.

Proof. Fie x 2 M . Avem x = (x p(x)) + p(x) si p(x p(x)) = 0, deci M =Ker p + Im p. Daca x 2 Ker p + Im p, atunci p(x) = 0 si x = p(y), deci 0 = p(x) =p(p(y)) = p(y) = x.

I^n cazul ^n care M = N u N 0 denim p = N 0 N 0 , unde N 0 : N 0 ! M estemorsmul incluziune iar N 0 : M ! N 0 este proiectia canonica. Asadar p(x+ x0) =x0;8x 2 N; 8x0 2 N 0. Este clar ca p2 = p, Im p = N 0 si Ker p = N . Corolarul 6.29. Fie M un R-modul. Atunci M este indecompozabil daca si numaidaca EndR(M) are doar idempotenti triviali.

Corolarul 6.30. Fie f : M ! N un morsm de R-module inversabil la dreapta(exista g 2 HomR(N;M) astfel ^nca^t f g = idN). Atunci N este izomorf cu unsumand direct al lui M .

Proof. Fie p = g f 2 EndR(M). Avem p2 = p, deci M = Ker p u Im p. Deoarecefg = idN rezulta ca g este injectiv iar f surjectiv, deci Im p = Im g si N ' Im g.

14 MODULE

Corolarul 6.31. Fie f : M ! N un morsm de R-module inversabil la sta^nga(exista g 2 HomR(N;M) astfel ^nca^t g f = idM). Atunci M este izomorf cu unsumand direct al lui N .

Proof. Analog. Denitia 6.32. Fie e; f 2 R doua elemente idempotente. Spunem ca e si f suntortogonale daca ef = fe = 0.

Propozitia 6.28 se poate generaliza astfel:

Propozitia 6.33. Fie M un R-modul si (Ni)i2I o familie de submodule. AtunciM = _

Pi2INi daca si numai daca exista o familie unica (pi)i2I de idempotenti

ortogonali ^n EndR(M) astfel ^nca^t Ni = Im pi siP

j 6=iNj = Ker pi pentru oricei 2 I.Proof. Exercitiu. 6.2. Sume si produse directe de morsme. Fie (Mi)i2I si (M 0i)i2I doua familiide R-module si (fi)i2I o familie de morsme cu fi : Mi !M 0i ;8i 2 I.Din proprietatea de universalitate a produsului direct exista un unic morsm

f :Q

i2I Mi !Q

i2I M0i cu proprietatea ca p

0i f = fi pi;8i 2 I, adica f face

comutative diagramele Qi2I Mi

pi

f //Q

i2I M0i

p0i

Mifi

// M 0i

Denitia 6.34. Morsmul f obtinut mai sus se numeste produsul direct al familieide morsme (fi)i2I .

Notatie:Q

i2I fi.

Remarca 6.35. (i) Avem (Q

i2I fi)((xi)i2I) = (fi(xi))i2I .(ii) Daca fi sunt morsme injective (surjective), atunci

Qi2I fi este morsm injectiv

(surjectiv) si reciproc.

Exercitiul 6.36. Fie (Mi)i2I o familie de R-module siNi R Mi submodule. AtunciQi2I Ni este un submodul al lui

Qi2I Mi si (

Qi2I Mi)=(

Qi2I Ni) '

Qi2I(Mi=Ni).

Din proprietatea de universalitate a sumei directe exista un unic morsm f :Li2I Mi !

Li2I M

0i cu proprietatea ca fsi = s0ifi; 8i 2 I, adica f face comutative

diagramele

Mi

si

fi // M 0i

s0iL

i2I Mi f//L

i2I M0i

Denitia 6.37. Morsmul f obtinut mai sus se numeste suma directa a familieide morsme (fi)i2I .

MODULE 15

Notatie:L

i2I fi.

Remarca 6.38. (i) Avem (L

i2I fi)((xi)i2I) = (fi(xi))i2I .(ii) Daca fi sunt morsme injective (surjective), atunci

Qi2I fi este morsm injectiv

(surjectiv) si reciproc.

Exercitiul 6.39. Fie (Mi)i2I o familie de R-module siNi R Mi submodule. AtunciLi2I Ni este un submodul al lui

Li2I Mi si (

Li2I Mi)=(

Li2I Ni) '

Li2I(Mi=Ni).

I^n cele ce urmeaza notam cu R-Mod clasa R-modulelor la sta^nga si cu Z-Modclasa Z-modulelor (echivalent, a grupurilor abeliene).Pentru un R-modulM denim o aplicatie hM : R-Mod! Z-Mod astfel: hM(X) =

HomR(M;X) iar pentru un morsm de R-module f : X ! Y denim un morsmde grupuri abeliene hM(f) : HomR(M;X)! HomR(M;Y ) astfel: hM(f)(u) = f u.Propozitia 6.40. Daca (Mi)i2I este o familie de R-module, atunci exista un izomor-sm canonic de grupuri abeliene

HomR(M;Yi2I

Mi) 'Yi2I

HomR(M;Mi) (6.1)

Proof. Aratam ca (HomR(M;Q

i2I Mi); (hM(pi))i2I) este un produs direct al familiei

de Z-module (HomR(M;Mi))i2I . Fie N un Z-modul si fi : N ! HomR(M;Mi)morsme de Z-module. Vrem sa aratam ca exista un unic morsm de Z-modulef : N ! HomR(M;

Qi2I Mi) cu proprietatea ca h

M(pi) f = fi;8i 2 I.

HomR(M;Q

i2I Mi)hM (pi)// HomR(M;Mi)

Nf

iifi

OO

Fie x 2 N . Atunci fi(x) : M ! Mi sunt morsme de R-module si din propri-etatea de universalitate a produsului direct exista un unic morsm de R-modulefx : M !

Qi2I Mi cu proprietatea ca pi fx = fi(x);8i 2 I.

Denim f : N ! HomR(M;Q

i2I Mi) prin f(x) = fx.Sa aratam ca f este morsm de Z-module: consideram x; y 2 N si din pi fx+y =fi(x + y) = fi(x) + fi(y) = pi (fx + fy);8i 2 I obtinem fx+y = fx + fy, decif(x+ y) = f(x) + f(y).Sa aratam ca hM(pi) f = fi; 8i 2 I: pentru x 2 N avem hM(pi) f(x) =hM(pi)(fx) = pi fx = fi(x).Fie acum f 0 : N ! HomR(M;

Qi2I Mi) un morsm de Z-module cu proprietatea ca

hM(pi) f 0 = fi;8i 2 I. Pentru un x 2 N deducem ca pi f 0(x) = fi(x);8i 2 I.Cum fx este unicul morsm cu aceasta proprietate obtinem ca f

0(x) = fx, decif 0 = f . Remarca 6.41. Daca R este inel comutativ, atunci izomorsmul (6.1) este unizomorsm de R-module.

Exercitiul 6.42. (i) Dati un exemplu ^n care

HomR(M;Mi2I

Mi) 6'Mi2I

HomR(M;Mi):

16 MODULE

(ii) Aratati ca daca M este nit generat, atunci

HomR(M;Mi2I

Mi) 'Mi2I

HomR(M;Mi):

Asemanator, pentru un R-modul N denim o aplicatie hN : R-Mod ! Z-Modastfel: hN(X) = HomR(X;N) iar pentru un morsm de R-module f : X ! Ydenim un morsm de grupuri abeliene hN(f) : HomR(Y;N)! HomR(X;N) astfel:hN(f)(u) = u f .Propozitia 6.43. Daca (Mi)i2I este o familie de R-module, atunci exista un izomor-sm canonic de grupuri

HomR(Mi2I

Mi; N) 'Yi2I

HomR(Mi; N) (6.2)

Proof. Analog. Remarca 6.44. Daca R este inel comutativ, atunci izomorsmul (6.2) este unizomorsm de R-module.

Exercitiul 6.45. Dati un exemplu ^n care

HomR(Yi2I

Mi;M) 6'Yi2I

HomR(Mi;M):

7. Module libere

Denitia 7.1. Fie M un R-modul si fx1; : : : ; xng M . Spunem ca multimeafx1; : : : ; xng este liniar independenta (peste R) daca satisface urmatoarea conditie:

nXi=1

aixi = 0 =) ai = 0;8i = 1; : : : ; n;

unde a1; : : : ; an 2 R.O submultime X a lui M se numeste liniar independenta (peste R) daca orice

submultime nita a sa este liniar independenta.O submultime X a lui M care nu este liniar independenta se numeste liniar de-

pendenta (peste R).

Remarca 7.2. O familie X = (xi)i2I de elemente din M este liniar independentadaca oricare ar familia (ai)i2I de suport nit de elemente din R astfel ^nca^tP

i2I aixi = 0 rezulta ai = 0;8i 2 I.Propozitia 7.3. Daca o familie X = (xi)i2I de elemente dintr-un R-modul M esteliniar independenta, atunci suma de submodule

Pi2I Rxi este directa.

Proof. Aratam ca Rxi \P

j 6=iRxj = 0; 8i 2 I. Fie x 2 Rxi \P

j 6=iRxj. Scriemx = aixi, respectiv x =

Pj 6=i ajxj. Deoarece aixi +

Pj 6=i(aj)xj = 0 iar familia

(xi)i2I este liniar independenta obtinem ca ai = 0 si aj = 0;8j 6= i, deci x = 0. Remarca 7.4. Reciproc este fals. Fie R = Z=6Z, M = R si elementele x1 = b2,respectiv x2 = b3. Suma Rx1 + Rx2 este directa, deoarece Rx1 \ Rx2 = (b0), darx1; x2 nu sunt liniar independenti: b3x1 = b2x2 = b0.

MODULE 17

Denitia 7.5. FieM un R-modul. O submultime X a luiM se numeste baza (pesteR) a lui M daca X este sistem de generatori pentru M si liniar independenta. Unmodul se numeste modul liber daca admite o baza.

Remarca 7.6. Modulul nul se considera ca ind un modul liber a carui baza estemultimea vida.

Propozitia 7.7. Daca o familie X = (xi)i2I este baza pentru un R-modulM , atunciM = _

Pi2IRxi. Mai mult, M ' R(I).

Proof. Faptul ca M = _P

i2IRxi rezulta imediat din propozitia 7.3. De aici obtinemcaM 'Li2I Rxi. I^nsa Rxi ' R=AnnR(xi) iar ^n acest caz AnnR(xi) = (0) deoarecexi este liniar independent peste R. Rezulta ca Rxi ' R si deci M ' R(I). Asadar, pentru orice R-modul liber M exista o multime I astfel ^nca^t M ' R(I).

Este adevarat si reciproc.

Propozitia 7.8. Fie I o multime nevida. Atunci R-modulul R(I) este liber si admiteo baza canonica (ei)i2I , unde (ei)j = ij;8j 2 I.Corolarul 7.9. Fie M un R-modul. Atunci M este liber daca si numai daca existaexista o multime I astfel ^nca^t M ' R(I).Exemplul 7.10. (i) Nu orice modul admite o baza. De exemplu, Z-modulul Z=nZ,n 2 nu admite o baza deoarece nbx = b0 pentru orice bx 2 Z=nZ. Deci Z=nZ nueste Z-modul liber.(ii) Orice spatiu vectorial admite o baza, deci este modul liber.(iii) R este R-modul liber.(iv) Fie R un inel comutativ. Multimea 1; X;X2; : : : este o baza a R-modululuiR[X]. Deci R[X] este R-modul liber.

Exercitiul 7.11. (i) Fie R un inel comutativ. Un R-modul ciclic M = Rx, x 6= 0este liber daca si numai daca AnnR(x) = (0). (Cu alte cuvinte, daca I ( R este unideal, atunci R-modulul R=I este liber daca si numai daca I = (0)).*(ii) Dati un exemplu de inel necomutativ R pentru care proprietatea (i) nu mai areloc.

Exercitiul 7.12. (i) Fie R un inel comutativ si I R un ideal. Atunci I esteR-modul liber daca si numai daca I este generat de un non-divizor al lui zero.*(ii) Dati un exemplu de inel (necomutativ) R care are un ideal I cu proprietateaca I este R-modul liber, dar I nu este principal.

Exercitiul 7.13. (i) Fie R un inel comutativ. Daca orice R-modul (ciclic) esteliber, atunci R este corp comutativ.*(ii) Fie R un inel. Daca orice R-modul sta^ng este liber, atunci R este corp.

Exercitiul 7.14. (i) Fie R un inel comutativ. Daca orice submodul al unui R-modul liber este liber, atunci R este inel principal integru.*(ii) Dati un exemplu de inel (necomutativ) R care are proprietatea ca orice sub-modul al unui R-modul liber este liber, dar R nu este inel principal.

18 MODULE

Exercitiul 7.15. Aratati ca:(i) Q nu este Z-modul liber.(ii) R nu este Z-modul liber.

Propozitia 7.7 ne sugereaza ca exista o legatura ^ntre baze si sume directe.

Propozitia 7.16. Fie (Mi)i2I o familie de R-module libere. AtunciL

i2I Mi esteR-modul liber.

Proof. Fie Bi Mi o baza. Avem ca Bi = si(Bi) este baza pentru si(Mi), undesi : Mi !

Li2I Mi este injectia canonica. Fie B = [i2IBi. Din propozitia 6.15

rezulta imediat ca B este baza pentruL

i2I Mi. Proprietatea de mai sus nu se pastreaza daca ^n loc de suma directa consideram

produs direct.

Exercitiul 7.17. Aratati ca ZN nu este Z-modul liber.

Modulele libere au o proprietate de universalitate.

Teorema 7.18. (Proprietatea de universalitate a modulelor libere)Fie M un R-modul liber si X = (xi)i2I o baza a sa. Pentru orice R-modul Nsi orice functie f : X ! N exista un unic morsm f : M ! N astfel ^nca^tf(xi) = f(xi); 8i 2 I.Proof. Sa vizualizam aceasta proprietate cu ajutorul urmatoarei diagrame:

X

f BBB

BBBB

B i // M

fN

Fie x 2 M . Acesta se scrie ^n mod unic sub forma x =Pi2I aixi, unde (ai)i2I esteo familie de elemente din R de suport nit. Denim f(x) =

Pi2I aifi(xi). Este

imediat ca f este morsm de R-module si f(xi) = f(xi); 8i 2 I.Fie acum g : M ! N un morsm de R-module cu proprietatea ca g(xi) = f(xi);8i 2I si x =

Pi2I aixi un element oarecare din M . Atunci g(x) =

Pi2I aig(xi) =P

i2I aifi(xi) = f , deci f este unic. Corolarul 7.19. Fie M un R-modul liber si X = (xi)i2I o baza a sa. Fie N unR-modul si (yi)i2I o familie de elemente din N . Atunci exista un unic morsm' : M ! N astfel ^nca^t '(xi) = yi; 8i 2 I.I^n plus, avem:(i) ' este morsm injectiv daca si numai daca familia (yi)i2I este liniar indepen-denta.(ii) ' este morsm surjectiv daca si numai daca familia (yi)i2I este sistem de gen-eratori pentru N .(iii) ' este morsm bijectiv daca si numai daca familia (yi)i2I este baza pentru N .

Proof. Din proprietatea de universalitate a modulelor libere avem ca '(P

i2I aixi) =Pi2I aiyi. De aici rezulta imediat (i) si (ii), iar (iii) se obtine din primele doua.

MODULE 19

Corolarul 7.20. Fie N un R-modul. Atunci exista un R-modul liber L si un mor-sm surjectiv de R-module ' : L ! N . Daca, ^n plus, N este nit generat, atunciL poate ales nit generat.

Proof. Fie (yi)i2I un sistem de generatori pentru N si (ei)i2I baza canonica din R(I).Din corolarul 7.19 exista un unic morsm ' : R(I) ! N astfel ^nca^t '(xi) = yi;8i 2I. Mai mult, ' este surjectiv.

Remarca 7.21. Corolarul de mai sus este foarte de important ^n algebra omologica,cu ajutorul sau construindu-se rezolutii proiective.

Se stie ca ^ntr-un spatiu vectorial orice doua baze au acelasi numar de elemente.Acest fapt nu mai este general valabil ^n cazul modulelor libere.

Exemplul 7.22. Vom da un exemplu de modul liber cu baze de cardinale diferite.Fie K corp comutativ, V = K(N) un K-spatiu vectorial de dimensiune numarabila siR = EndK(V ). Notam cu (en)n2N baza canonica din V . Construim f; g 2 R astfel:

f(e2n) = en si f(e2n+1) = 0

g(e2n) = 0 si g(e2n+1) = en

pentru orice n 2 N.Sa aratam ca ff; gg formeaza o baza ^n RR.Daca u; v 2 R satisfac uf+vg = 0, atunci (uf+vg)(e2n) = 0 pentru orice n 2 Nsi de aici rezulta u(en) = 0, deci u = 0. Analog, din (u f + v g)(e2n+1) = 0 pentruorice n 2 N obtinem v(en) = 0, deci v = 0. Asadar ff; gg sunt liniar independentepeste R.Fie acum w 2 R. Sa aratam ca exista u; v 2 R astfel ^nca^t w = uf+v g. Denimu(en) = w(e2n) si v(en) = w(e2n+1).

Avem totusi un rezultat pozitiv ^n cazul ^n care modulul admite o baza innita.

Propozitia 7.23. Fie M un R-modul liber si (xi)i2I , (yj)j2J doua baze ale sale.(i) I este innita daca si numai daca J este innita.(ii) Daca I este innita, atunci jIj = jJ j.Proof. Fie i 2 I. Scriem xi =

Pj2J aijyj, unde (aij)j2J este o familie de elemente

din R de suport nit. Notam cu Ci suportul familiei (aij)j2J , adica Ci = fj 2 J :aij 6= 0g. Asadar xi =

Pj2Ci aijyj.

Sa aratam acum ca J = [i2ICi. I^n caz contrar, exista j0 2 J n [i2ICi. Atuncih(xi)i2Ii h(yj)j2Jnfj0gi si cum M = h(xi)i2Ii rezulta ca yj0 2 h(yj)j2Jnfj0gi, ceea cecontrazice liniar independenta familiei (yj)j2J .(i) Daca J este o multime innita, atunci, deoarece J = [i2ICi si Ci sunt multimi

nite rezulta ca si I este innita. Reciproca se arata ^n mod asemanator.(ii) Deoarece J = [i2ICi si Ci sunt multimi nite rezulta ca jJ j

Pi2I jCij

jIj @0 = jIj. Inegalitatea inversa se arata ^n mod asemanator. Corolarul 7.24. Daca M este un R-modul liber si nit generat, atunci orice bazaa lui M are un numar nit de elemente.

20 MODULE

Am vazut ^n exemplul 7.22 ca exista inele necomutative care admit module liberecu baze ava^nd un numar diferit de elemente. Aceasta nu se ^nta^mpla daca ineluleste comutativ.

Teorema 7.25. Fie R un inel comutativ si M un R-modul liber. Atunci orice douabaze ale lui M au acelasi cardinal.

Proof. Daca M are o baza innita, atunci, din propozitia 7.23 toate bazele sale suntinnite si au acelasi cardinal.Sa presupunem acum ca M are o baza nita. Atunci toate bazele lui M sunt

nite si vom arata ca au acelasi numar de elemente.Fie x1; : : : ; xm si y1; : : : ; yn baze ^n M . Scriem xi =

Pnj=1 aijyj, 1 i m si

yk =Pm

l=1 bklxl, 1 k n. Fie A = (aij) 2 Mmn(R) si B = (bkl) 2 Mnm(R).Deoarece x1; : : : ; xm si y1; : : : ; yn sunt baze deducem ca AB = Im si BA = In.Sa presupunem ca m < n. Completam matricea B cu nm coloane nule si obtinemo matrice B0 = (B 0) 2 Mnn(R). Similar, completam matricea A cu n m liniinule si obtinem o matrice A0 =

A0

2 Mnn(R). Avem B0A0 = In si treca^nd la

determinanti obtinem 0 = 1, contradictie.Asemanator se arata ca si n < m duce la o contradictie.I^n concluzie, m = n. Exista si alte clase de inele care au proprietatea ca orice doua baze ale unui modul

liber au acelasi cardinal.

Denitia 7.26. Fie R un inel. Spunem ca R are proprietatea IBN (Invariant BasisNumber) sau ca R este IBN-inel daca ^n orice R-modul liber orice doua baze auacelasi cardinal.

Remarca 7.27. Conform propozitiei 7.23 putem considera ^n denitia de mai susdoar module nit generate.

Denitia 7.28. Fie R un inel cu proprietatea IBN si L un R-modul liber. Daca Lare o baza innita spunem ca L este modul liber de rang innit. I^n cazul ^n care Lare o baza nita spunem ca L este modul liber de rang nit iar numarul de elementedintr-o baza (deci din orice baza) se numeste rangul lui L.

Notatie: rangR L.

Exemplul 7.29. (i) Fie R un inel comutativ si R[X]n multimea polinoamelor degrad < n cu coecienti ^n R. Atunci R[X]n este R-modul liber de rang n.(ii) Z[i] este Z-modul liber de rang 2.

Propozitia 7.30. Fie R un inel. Urmatoarele armatii sunt echivalente:(i) R este inel cu proprietatea IBN.(ii) Daca Rm ' Rn (izomorsm de R-module), atunci m = n.(iii) Daca A 2Mmn(R) si B 2Mnm(R) au proprietatea ca AB = Im si BA = In,atunci m = n.

Proof. (i)) (ii) Consideram R-modulul liber Rm. Acesta are o baza cu m elemente.Pe de alta parte, deoarece Rm ' Rn iar Rn este R-modul liber ava^nd o baza cu n

MODULE 21

elemente rezulta ca Rm are o baza cu n elemente si cum R este IBN-inel obtinemm = n.(ii)) (iii) Fie fA : Rm ! Rn un morsm de R-module determinat de matricea A =(aij) astfel: fA(ei) =

Pnj=1 aije

0j, 1 i m, unde e1; : : : ; em, respectiv e01; : : : ; e0n

sunt bazele canonice din Rm, respectiv Rn.Similar denim fB : R

n ! Rm un morsm de R-module determinat de matriceaB = (bkl) astfel: fB(e

0k) =

Pml=1 bklel, 1 k n.

T ina^nd cont de faptul ca AB = Im si BA = In deducem ca fB fA = idRm sifA fB = idRn , deci fA este un izomorsm. I^n concluzie, m = n.(iii)) (i) Consideram un R-modul liber L si doua baze ale sale, una cu m elementeiar cealalta cu n elemente. Atunci, proceda^nd ca ^n demonstratia teoremei 7.25,gasim doua matrice A 2Mmn(R) si B 2Mnm(R) cu proprietatea ca AB = Im siBA = In. De aici deducem ca m = n.

Remarca 7.31. Conditia (iii) din propozitia 7.30 ne arata ca proprietatea IBN estebilaterala, ^n sensul ca daca este adevarata pentru modulele libere la sta^nga, atunciare loc si pentru modulele libere la dreapta si reciproc.

Corolarul 7.32. Daca f : R! S este un morsm de inele si S are IBN, atunci Rare IBN.

Proof. Rezulta imediat din propozitia 7.30(iii).

Exercitiul 7.33. Daca f : R! S este un morsm (surjectiv) de inele si R are IBNrezulta ca S are IBN?

Remarca 7.34. Corolarul 7.32 ne ajuta sa regasim proprietatea IBN a inelelorcomutative din faptul ca orice corp comutativ are proprietatea IBN, lucru cunoscutde la spatii vectoriale.Fie R un inel comutativ si m R un ideal maximal. Atunci avem un morsm deinele R! R=m si R=m este corp comutativ, deci are IBN.Exercitiul 7.35. Daca R are proprietatea IBN, atunciMn(R) are proprietatea IBN.

Exercitiul 7.36. Daca R este inel noetherian la sta^nga, atunci R are proprietateaIBN.

Exercitiul 7.37. Fie K un corp (comutativ). Aratati ca Khx; yi, K-algebra liberagenerata de x si y, are proprietatea IBN.

Exercitiul 7.38. Fie R un inel comutativ.(i) Daca exista un morsm surjectiv de R-module Rm ! Rn, atunci m n.(ii) Daca exista un morsm injectiv de R-module Rm ! Rn, atunci m n.Remarca 7.39. Exercitiul 7.38 ne arata ca:(i) Numarul de elemente dintr-un sistem de generatori ai unui R-modul liber de rangnit este mai mare sau egal deca^t rangul.(ii) Numarul de elemente dintr-un sistem liniar independent al unui R-modul liberde rang nit este mai mic sau egal deca^t rangul.

22 MODULE

7.1. Inelul endomorsmelor unui modul liber. Fie L un R-modul liber careadmite o baza nita B = fx1; : : : ; xng si f 2 EndR(L). Scriem

f(xi) =nXj=1

ajixj; 1 i n: (7.1)

Notam MB(f) = (aij) 2Mn(R). Aceasta se numeste matricea asociata endomors-mului f ^n baza B.Fie g 2 EndR(M) si MB(g) = (bkl). Este imediat ca MB(f + g) = MB(f) +MB(g).Sa determinam acum MB(g f). Avem

(g f)(xi) = g(f(xi)) = g(nX

k=1

akixk) =nX

k=1

akig(xk) =nX

k=1

aki(nXl=1

blkxl) =

=nXl=1

(nX

k=1

akiblk)xl =nXl=1

(nX

k=1

blk aki)xl;

unde "" este operatia de ^nmultire din Rop, inelul opus al lui R. AsadarMB(gf) =MB(g)MB(f) ^n Mn(R

op).

Propozitia 7.40. Exista un izomorsm de inele ' : EndR(L)!Mn(Rop) dat prin'(f) = MB(f).

Proof. Am stabilit deja ca ' este morsm de inele.Daca '(f) = 0, atunci aij = 0 pentru orice i si j, deci f(xi) = 0 pentru orice i ceeace ^nseamna ca f = 0.Daca A = (aij) 2 Mn(Rop), atunci denim un endomorsm fA 2 EndR(L) ca ^n(7.1). Este evident ca '(fA) = A. Corolarul 7.41. Un endomorsm f 2 EndR(L) este inversabil daca si numai dacamatricea MB(f) este inversabila.

7.2. Schimbarea bazei. Fie R un inel comutativ sim;n 1. Fie B = fe1; : : : ; emgbaza canonica ^n Rm si B0 = fe01; : : : ; e0ng baza canonica ^n Rn. Scriem

f(ei) =nXj=1

ajie0j; 1 i m: (7.2)

Notam MB;B0(f) = (aij) 2 Mmn(R). Aceasta se numeste matricea asociata endo-morsmului f ^n bazele B si B0.

Propozitia 7.42. Exista un izomorsm de R-module

: HomR(Rm; Rn)!Mmn(R)

dat prin (f) = MB;B0(f).

Fie acum C = fx1; : : : ; xmg o (alta) baza ^n Rm si C 0 = fx01; : : : ; x0ng o baza ^n Rn.Sa vedem care este legatura dintre MB;B0(f) si MC;C0(f). Scriem xi =

Pmj=1 ujiej,

1 i m, respectiv e0k =Pn

l=1 vlkx0l, 1 k n. Notam U = (uij) 2 Mm(R),

respectiv V = (vkl) 2 Mn(R). Deoarece B si C sunt baze ^n Rm rezulta ca U estematrice inversabila. De asemenea, V este tot o matrice inversabila.

MODULE 23

Propozitia 7.43. Avem MC;C0(f) = VMB;B0(f)U .

Acest rezultat ne sugereaza urmatoarea denitie:

Denitia 7.44. Fie R un inel comutativ si A;B 2Mmn(R). Spunem ca matriceleA si B sunt echivalente daca exista o matrice inversabila V 2 Mm(R) si o matriceinversabila U 2Mn(R) astfel ^nca^t B = V AU .Remarca 7.45. DacaK este un corp comutativ, atunci orice matrice A 2Mmn(K)este echivalenta cu matrice diagonala ava^nd r = rangA de 1 pe diagonala principalasi 0 ^n rest.