Modelarea Matematica a Cresterii Economice

8/8/2019 Modelarea Matematica a Cresterii Economice

1/29

PARTEA A III-A

MODELAREA MATEMATIC A CRE TERII ECONOMICE


2/29

Previzionarea creterii economice, a produciei pe ansamblul economieinaionale i ramuri se ntemeiaz pe analize f cute cu ajutorul unor instrumentetiinifice: modele de cretere, metode statistico-matematice etc. O dat cu prevederea creterii produciei, se aproximeaz i necesarul resurselor i volumelor de investiii viitoare.

Studiul economiei se bazeaz pe interdependena variabilelor economice.De exemplu, producia va depinde de consum, consumul de utilizarea for ei demunc i aceasta, la rndul ei, de producie. Existena acestor relaii de feed- back, care cuprind simultan un grup de variabile, creeaz probleme particulare demodelarei conduce la perfecionarea previziunii economice.

De exemplu, un model simplu, simultan al venitului naional, esteurmtorul:1 (1)

=++=

+++=

++=++=++=

)6( (5) (4) (3) (2)(1)

1444

3

122

11

t t t

t t t

P t-t t

T t t

I t-t

t ct t

T PNBY

Gt I C PNB

,e I f yba P

,e PNBd T

,e P c a I ,e ybaC

t

t

t

unde:

C = consumul;I = investiiile;Y = venitul naional disponibil;PNB = produsul naional brut;G = cheltuieli guvernamentale de bunurii serviciiT = taxe;P = Profituri;eCt, eIt, eTt, ePt = erori de estimare.

1 Granger , C. V. J., Forecasting in Business and Economics , Academic Press, Inc., 1989.

4Modele de creteremacroeconomic


3/29

Dimensiuni contemporane ale dezvoltrii durabilei competitive

Modelul const n dou tipuri diferite de ecuaii. Primele patru suntdenumiteecua ii structurale i implic parametrii a1, b1 etc., care trebuie calculai.

Aceste ecuaii, bazate pe teoria economic, calculeaz cele patru variabile:C, I, T, P. n prima ecuaie, consumul agregat este o funcie liniar de venitulnaional, n a doua ecuaie, investiia agregat este funcie liniar de profituri, n atreia, taxele agregate se calculeaz cu o propor ie fix din produsul naional brut.a.m.d. Primele patru ecuaii conin i un reziduu, termenii de eroare.

Ultimele dou ecuaii sunt identiti, reprezentnd simple definiii careleag diferitele variabile.

Variabilele pot fi clasificate astfel:C t , I t , T t , P t sunt variabile endogene ,deoarece se determin cu ajutorul ecuaiilor structurale ale sistemului. Variabilele

P t-1 i I t-1 sunt variabile predeterminate , iar G t este ovariabil exogen , deoarecevaloarea sa la momentul t se determin n afara sistemului este de presupus c aceste cheltuieli sunt rezultate ale unor decizii guvernamentale.

n sfr it, PNB t i Y t sunt variabile care se deduc din celelalte, prinintermediul identitilor.

Dificultatea de a face o previziune cu ajutorul ecuaiilor structurale, deriv din natura simultan a sistemului.

O formulare diferit a modelului este deosebit de util pentru previziune.Este vorba de forma redus a sistemului n care fiecare variabil endogen se

exprim n funcie de variabilele exogenei de cele predeterminate, plus eroarea.S presupunem folosirea modelului de mai sus pentru previziunea

produsului naional brut.Se nsumeaz primele dou ecuaii:

C t + I t = a 1 + a 2 + b 1 yt + c 2 P t-1 + e Ct + e It (7)

Din identitatea (5) rezult:

C t + I t = PNB t G t

i folosind identitatea:

Y t = PNB t T t


4/29

Modelarea matematic a creterii economice

relaia (7) devine:

PNB t G t = (a 1 + a 2 ) + b 1(PNB t T t ) + c 2 P t-1 + (e Ct + e It ) (8)

Folosind identitatea (3) obinem: PNB t G t = (a 1 + a 2 ) + b 1(PNB t d 3 PNB t - eTt ) + c 2 P t-1 + (e Ct + e It )

Rezult:

PNB t = (a 1 + a 2 ) + G t + b 1(PNB t d 3 PNB t ) b 1eTt + c 2 P t-1 + (e Ct + e It )

PNB t b 1 PNB t + b 1d 3 PNB t = (a 1 + a 2 ) + G t + c 2 P t-1 +

+ (e Ct + e It b 1eTt ) PNB t (1 b 1 + b 1d 3 ) = (a 1 + a 2 ) + G t + c 2 P t-1 + (e Ct + e It b 1eTt )

Rezult:

311

11221

1)()(

d bbebee P cGaa

PNB Tt It Ct t t t ++++++= (9)

Notnd numitorul cu X , PNB t se calculeaz:

X ebee

X P c

X G

X aa

PNB Tt It Ct t t t )()( 11221 +++++= (10)

Calculul volumului investiiilor la anult se determin din ecuaia (2), caredeja este n form redus, implicnd numai variabila predeterminat P t-1.

Volumul taxelor la anult se determin din ecuaia (3), nlocuind cu produsul naional brut determinat n ecuaia (10).

n sfr it, pentru determinarea profiturilor la anult , P t , n ecuaia (4)nlocuim valoarea luiY t cu identitatea (6).

P t = a 4 + b 4(PNB t T t ) + f 4 I t-1 + e Pt

nlocuind peT t cu valoarea dat de expresia (3) obinem:

P t = a 4 + b 4[PNB t (d 3 PNB t + e Tt )] + f 4 I t-1 + e Pt

P t = a 4 + b 4[PNB t (1-d 3 ) e Tt ] + f 4 I t-1 + e Pt


5/29


nlocuind PNBt din expresia (10) obinem:

] Pt t Tt

Tt It CT t t t

e I f ed

X ebee

X P c

X G

X aa

ba P

++

++++++=

143

1122144

)1(

Notnd: Y X

d b = )31(4

Se obine:

P t = a 4 + (a 1 + a 2 )Y + G t Y i + c 2 P t-1Y (eCt + e It b 1cTt )Y

b 4eTt + f 4 I t-1 + e Pt

Notnd:k 1 = a 1 + (a 1 + a 2 )Y k 2 = yk 3 = e 2y k 4 = f 1 (eCt + e It b 1cTt )Y b4eTt + e Pt = e Pt

Se obine: P t = k 1 + k 2G t + k 3 P t-1 + k 4 I t-4 + e Pt (11)

Unde, deci, parametriik 1 , k 2 , k 3 , k 4 sunt funciile parametrilor ecuaiilor structurale;e Pt este o funcie liniar a erorilor din setul iniial de ecuaii.

Pentru previziunea luiGt se poate gsi un model care s coreleze cifrele privind cheltuielile guvernamentale din anii anteriori cu alte variabile economice,cum ar fi nivelurile deomaj, venitul naional, modificri de preuri. Succesul sau

eecul va depinde, bineneles, de calitatea informaiei utilizatei de capacitatea dea o folosi a previzionistului.Datorit naturii simultane a modelului econometric, setul de informaii

necesar previziunii poate deveni substanial. Problema dificil a estimrii, n cazulsetului de ecuaii structurale, se poate rezolva prin aplicarea obinuit a metodeicelor mai mici ptrate fiecrei ecuaii cu form redus n parte.

Problema cu adevrat dificil n elaborarea modelelor econometrice nuconst n aparatul matematic n primul rnd, ci n elaborarea unei teorii economicecorecte: un model bazat pe o teorie incorect sau incomplet va conduce la


6/29


obinerea unei previziuni suboptimale. Adesea, cel ce previzioneaz se confrunt cu teorii economice controversatei selecia este dificil, deoarece fie teoriaeconomic nu este corect, fie c este prea imprecis pentru a putea reprezentafundamentul unui model macroeconometric. De exemplu, foarte puine teorii prevd structura lagului variabilelor care intr n model cu suficient precizie.

O alt controvers o reprezint dimensiunea corect a modelului, numrulde ecuaii pe care trebuie s-l conin. Cu ct modelul este mai mare, cu att posibilitatea de a surprinde conexiunile n economie este mai mare, dar, n acelaitimp crete i dificultatea de estimare a parametrilor. Unii economiti prefer modele mici, de numai 20-30 ecuaii structurale; ali exper i consider necesaremodele cu peste 1000 ecuaii.

n practic, majoritatea previziunilor macroeconomice cu real importan n rile dezvoltate se bazeaz pe modele econometrice. De multe ori, ns, previziunea rezultat difer de modelul iniial produs de econometrist, n funcie de posibilitile reale de calculi interpretarea datelor. Desigur c obiectivul primordial este realizarea unui model econometric ct mai apropiat de necesitilei realitile economice; acesta s-ar regsi ntr-o previziune foarte bun i ar permite guvernului s controleze eficient economia. Dar, tot att de adevrat estefaptul c drumul de parcurs n elaborarea modelelor este nc foarte lung.

n ultimii ani s-a mai ridicati o alt problem tehnic, aceea a necesitii

folosirii formelor neliniare pentru variabilele ecuaiilor structurale. De exemplu,consumul poate fi exprimat n funcie de venit, dar i de r dcina ptrat avenitului. Aceste transformri pot conduce la mbuntirea ecuaiilor structurale,dar ele sunt mai greu de scris n forma lor redus i, deci, previziunea devine maidificil. n practic se procedeaz la liniarizarea modeluluii apoi la scriereaformei reduse (care s-ar putea s ofere o soluie suboptimal).

Dezvoltarea industriei, a agriculturii, a finanelor i a oricrui alt sector definitoriu al vieii economicei sociale nu poate fi lsat s se deruleze la voia

ntmplrii, ci este necesar s fie susinut pe baza unor analize de ordin tacticistrategic, de orientarea fundamental a aciunii agenilor economici.Analizele privind dinamicai structura proceselor la nivel macroeconomic

vor permite stabilirea datelor informaionale necesare pentru proiectarea dezvoltriiviitoare. Astfel, prin adoptarea sistemului de conturi naionale, proces ce implic elaborarea balanei interramuri, va fi nlocuit vechiul sistem al evidenei producieimarf cu un altul nou, mai complex, care d o imagine mult mai larg a activitiieconomice, deoarece utilizeaz indicatorul produs intern brut, care reflect, n

msura cuvenit, att partea material, cti partea nematerial a avuiei uneiri.


7/29


Venitul (Y)poate fi privit din dou puncte de vedere: pe de o parte, lanivel microeconomic, iar pe de alt parte la nivel macroeconomic. La nivelmicroeconomic, venitul reprezint recompensa primit de posesorii factorilor de producie i mbrac forma de salariu, profit, dobnd i rent, denumite genericvenituri fundamentale . La nivel macroeconomic, expresia agregat a veniturilor fundamentale nsuite de posesorii factorilor de producie se manifest suburmtoarele forme:venit personal , venit disponibil , venit na ional .

Venitul personal reprezint veniturile curente ale unui individ provenitedintr-o activitate la care se adaug transferurile de la stati ntreprinderi; acestvenit constituie sursa procur rii de bunuri economicei formrii economiilor dectre menaje (populaie). Venitul disponibil este parte a venitului personal din cares-au sczut impozitele pltite administraiei centralei locale. Aceast form devenit agregat exprim venitul menajelor destinate satisfacerii nevoilor de consum personal, plii dobnzilor, transferurilor de venit din str intate i economisirii.Venitul natural exprim suma veniturilor personale la care se adaug sau se scadurmtoarele elemente: a) se adaug profiturile obinute de societi anonime,cotizaiile pentru asigur rile socialei excedentele de salarii; b) mrimea rezultat se diminueaz cu transferurile efectuate de stati de ntreprinderi, cu dobnzile lamprumuturile de consumi cu dividendele; c) rezultatul obinut se conecteaz cumrimea modificrii stocurilor, obinndu-se, astfel, mrimea venitului naional.

Venitul fiecrui agent economic este destinat att cheltuielilor pentruconsumul personal, cti cheltuielilor pentru cumprarea de noi factori de producie.

Consumul (C)reprezint utilizarea de ctre fiecare agent economic a unei pr i din venit pentru cumprarea de bunurii servicii necesare satisfacerii nevoilor personalei colective. Consumul poate fi final, n cazul satisfactorilor i consumintermediar, n cel al prodfactorilor.

Consumul final reprezint folosirea unui bun care nu particip la crearea

altor bunuri. Mrimea consumului final reprezint valoarea bunurilor economiceutilizate pentru satisfacerea direct a nevoilor umane, individualei colective. ncadrul consumului final se includ consumul final al gospodriilor populaiei iconsumul final al administraiei publicei private. Consumul final de bunuri createde administraii publicei private, care nu formeaz obiectul vnzrii-cumpr rii pe pia, este comensurat valoric prin costurile acestor bunuri.

Consumul intermediar reprezint consumul de bunuri economice, cuexcepia capitalului fix, pentru a produce alte bunuri. Determinarea consumului

intermediar este important pentru calculul indicatorilor macroeconomici, n


8/29


vederea evitrii nregistr rilor repetate (Dicionar economic).Rata consumului (c)reprezint cheltuielile efectuate pentru consum din

totalul venitului; se calculeaz ca un raport ntre consumi venit:Y C

c =

La un nivel dat al venitului, cu ct rata consumului este mai mare, cu atteste mai mic partea destinat economiilor. n dinamic, pentru a putea creteconsumul f r a micora economiile este necesar ca venitul s creasc mai repededect consumul.

nclinaia marginal spre consum (c)exprim cu ct sporete consumul(C) la creterea cu o unitate a venitului (Y) sau partea din venitul suplimentar care se adaug la consum ntr-o anumit perioad i ntr-un spaiu economic

dat: Y C

c

=' .nclinaia marginal spre consum, de regul, este o mrime pozitiv i

subunitar : C= c Y, unde 0 < c < 1.Economiile (S)reprezint partea r mas din venit dup acoperirea

cheltuielilor pentru consum sau, altfel spus, diferena dintre veniti consum:Y = C + S; S= Y - C.

Economiile sunt o funcie cresctoare a venitului. Economiile sunt nuleatunci cnd consumul este egal cu venitul.

nclinaia marginal spre economii (s)exprim cu ct sporesceconomiile (S) la creterea cu o unitate a venitului (Y) sau partea din venitulsuplimentar cu care cresc economiile ntr-o anumit perioad i ntr-un anumit

spaiu economic:Y S

s =' , 0 < s %Y.


9/29


n fond, legea psihologic fundamental exprim:- cnd venitul sporete cu un anumit procent: %C %S.

Figura 4.1 Funcia consumuluii a economisirii, dup legea psihologic fundamental a lui Keynes

SG = economiile gospodriilor privateCaG = consumul autonom al gospodriilor private

CG = f(YD) = funcia consumuluiSG = f(YD) = funcia economisirii

c = rata marginal a consumuluiYDC

s = rata marginal a economisirii constant=YDS

rata marginal a consumului (c) scade o dat cu cretereaveniturilor

rata marginal spre economie (s) crete o dat cu cretereaveniturilor

rata medie a consumului (c) scade o dat cu creterea veniturilor.Investiiile (I) reprezint totalitatea cheltuielilor care se fac pentru

cumprarea bunurilor de capital. n raport cu modul de folosire a bunurilor decapital, investiiile se mpart n:

a) investi ii de nlocuire , destinate nlocuirii bunurilor de capital fix scoasedin funciune ca urmare a uzurii lor fizice. Sursa acestor cheltuieli o constituieamortizarea (R).


10/29


b) investi ii pentru dezvoltare sau investiii nete, destinate spoririivolumului capitalului tehnic real, adic formrii nete a capitalului, investiii a cror surs o reprezint venitul (FNCF). Suma investiiilor de nlocuirei a investiiilor nete formeaz investiiile brute de capital, ce contribuie la formarea brut acapitalului tehnic (FBCF).

FBCF= FNCF + R

Investiiile reprezint suportul material al creterii economice; dimensiuneainvestiiilor, ritmul lor, modul de alocare n ramurilei sectoarele activitiieconomice, eficiena utilizrii lor determin ritmul i propor iile creteriieconomice.

4.1 Modelul lui John Maynard Keynes

Keynes i elaboreaz lucrareaTeoria general a folosirii minii de lucru,dobnzii i banilor, n anul 1936, ca urmare a efectelor crizei economice din 1929 -1933, ani n careomajul n Anglia atinsese redutabila cifr de 25 milioane deomeri. Stagnrii produciei, omajului i inflaiei, Keynes le opune cretereaeconomic susinut, deplina folosire a minii de lucru, stabilitatea preurilor, iar ca

principal msur necesitatea de a stimula investiiile n economiarii.Pornind de la relaiile de baz: Venitul= valoarea produciei= consumul + investiiileEconomiile= venitul - consumulRezult:Economiile= investiiile

1SCYS1CY

====

(1)n care:

Y = venitulC = consumulI = investiiileS = economiile


11/29


Definind cY C =

drept nclinaia marginal spre consum, care reprezint

modificarea consumului ca rezultat al modificrii venitului, Keynes arat c, nconformitate cu legea psihologic normal, consumul colectivitii crete saudescrete o dat cu creterea sau descreterea venitului, dar Y >C.

nclinaia marginal spre consum are o importan deosebit, ntruct arat cum va fi mpr it sporul urmtor al produciei, ntre consumi investiii.

Y =C+I

mpr it la Y, relaia de mai sus se scrie:

Y I

Y C

Y Y

+

=

(2)

1=+

Y I

Y C (3)

undeY I

este nclinaia marginal spre economisire= 1 - c.

Keynes numete raportul m I

Y =

, multiplicatorul investiiei.

Rezult relaia Y = mI, care exprim urmtoarele: atunci cnd are loc unspor al investiiilor globale, venitul va crete cu o mrime care este dem ori maimare dect sporul investiiilor.

Relaia (3) devine:

mc

mc

11

11

=

=+

i respectiv:

cm

=1

1 de unde

I c

Y =

11


12/29


Relaia mc I

Y =

=

11 arat c valoarea multiplicatoruluim depinde de

nclinaia marginal pentru consumc. Aceast dependen este pozitiv: valoareamultiplicatorului cre te pe m sur ce cre te nclina ia marginal spre consum i invers.

S presupunem c investiia crete cu 1000 milioane ntr-o ramur aeconomiei. Aceast sum va fi distribuit agenilor economici care contribuie la producerea echipamentelor necesare ramurii luate ca exemplu. Agenii economicivor economisi o parte din veniturile primitei vor consuma cealalt parte. Aceast cheltuial determin crearea de venituri noi pentru ali ageni economici carei eivor consuma o parte din veniturile primite.a.m.d. Acest proces este conceputastfel nct la fiecare etap, partea din venit care este consumat conduce lacreterea de bunuri materialei la distribuirea veniturilor noi.

S presupunem, n exemplul dat, c partea consumat din venit, nclinaiamarginal spre consum (c) este la fiecare etap egal cu 0,3.

Efectul multiplicatorului se poate observa n tabelul de mai jos:

Tabelul 4.1Investiia

iniial 1000Venitul (Y)

1000Consumul (c)

300 Economia (E)700

Etapa 1 300 90 210Etapa 2 90 27 63Etapa 3 27 8 19Etapa 4 8 2,4 5,6Etapa 5 2,4 0,6 1,8Etapa 6 0,6 0,1 0,4

1428 428 1000


13/29


Venitul a crescut conform relaiei:1000 + 0.3 1000 + 0.32 1000 + 0.33 1000 + =1000 (1 + 0.3 + 0.32 + 0.33 +...)=1000 (l + c + c2 + c3 +...)

428.11

1

14283,01

110001

11000

=

=

=

=

=

cm

c

Y=m I 1428 = 1.428 1000

Rezult c efectul multiplicatorului depinde de nclinaia marginal spreconsum.

Dac, spre exemplu, c=0,8, atunci 58,01

1 =

=m , iar J va fi:

5000 = 51000. Invers, dac nclinaia marginal spre consum scade, atunci o parteimportant din noul venit se economisete i efectul multiplicatorului sediminueaz.

Aa cum s-a vzut anterior,multiplicatorul este cu att mai mare cu ct

rata marginal este mai mare. Aceasta ar prea s duc la concluzia paradoxal c o colectivitate srac, n care economiile reprezint o parte foarte mic din venit,va fi mai expus unor fluctuaii violente dect o colectivitate bogat, n careeconomiile reprezint o parte mai mare din veniti n care multiplicatorul este, nconsecin, mai mic. O astfel de concluzie ar trece ns cu vederea deosebireadintre efectele nclinaiei marginale spre consumi cele ale nclinaiei medii spreconsum2. Teoria lui Keynes este dominat de primatul consumuluii al cererii. Unrol important l au, n acest model,i investiiile. Ca urmare a creterii investiiilor crete venituli, consecutiv, cresci cheltuielile de consum. Creterea acestora dinurm (c) face ca venitul s creasc cu mult mai mult dect au crescut iniialcheltuielile de investiii (Y = ml). Creterea venitului reprezint un nou impuls pentru creterea consumului, iar acestea, la rndul lor, conduc la o nou cretere aveniturilor.

2 Keynes, J.M.,Teoria general a folosirii minii de lucru, dobnzii i banilor , Bucureti,Edituratiinific, 1970, p. 150-151


14/29


4.2 Modelul lui Roy F. Harrod (coeficientul capitalului)

Spre deosebire de teoria lui Keynes, n care primeaz multiplicatorul, ca parametru al cereriii consumului, Roy F. Harrod3 impune un alt parametru, al produciei i al ofertei, pe care l numete coeficientul capitalului . Punctul de plecare n teoria creterii economice post-keynesiste a devenit cunoscutul model allui Harrod. Ipotezele de baz ale acestui model sunt urmtoarele:

A. Se pornete de la ecuaia de echilibru a lui Keynes:ntruct: Y = C+ I

S = Y C

rezult: S = l (economiile= investiiile)

B. Coeficienii produciei sunt fici. Notnd cu K, capitalul,i cu L for ade munc,

atunci constant==Y L

a i constant==Y

K b .

unde: -a reprezint raportul dintre munc i venitul unei perioade,- b este, prin definiie, coeficientul capitaluluii exprim raportul dintre

capitalul n funciune i venitul unei perioade. Exprimat astfel, raportul reprezint mrimea medie a coeficientului capitalului.

Exist i mrimea marginal a acestui coeficient, adic (K = I) iincrementul de venit:

Y I

Y K

=

Harrod definete acest raportincrementul ntre capital i venit , ca fiindcapitalul suplimentar necesar pentru a obine venitul necesar satisfacerii cererii deconsum, care deriv din veniturile suplimentare ale consumatorilor.

C. Harrod introduce noiunea de progres tehnic neutru , pe care o

definete ca fiind acel tip de progres tehnic care nu modific valoareacoeficientului capitalului.D. For a de munc crete ntr-un ritm constant (n), care se determin

exogeni care poart numele derat garantat de cre tere .nt sc L Li =

3 Harrod, R. F.,Towards a Dynamic Economy , London, Mac Millan, 1963


15/29


E. Se defineteY S

s = rata investiiilor, ca raport ntre economiii venit.

Acest raport estei el constant.Cei trei parametri de baz ai modelului sunt s, bi n, cu ajutorul lor

caracterizndu-se creterea economic n stare de echilibru.Condiia de baz, pentru utilizarea deplin a stocului crescnd al

capitalului, este ca producia s creasc conform ratei garantate de cretere a luiHarrod.

Dac:1

=t

t

Y Y

g = ritmul de cretere al produciei, n = rata garantat de

cretere.Condiia de echilibru este:

g = n

dac g < n, atunci va existaomajul.S urmrim cum se ndeplinete aceast condiie de echilibru n teoriai

modelul lui Harrod.

DinY

K b = rezult K = bY (1)

Difereniem, n funcie de timp:

dt dY

bdt dK =

Creterea n timp a capitalului se realizeaz prin investiii. Rezult:

dt

dY b I = (2)

DinY S

s = rezult S = sY (3)

ntruct I = S (4), iar I = S = sY, ecuaia (2) se poate scrie:

dt

dY b sY = (4)


16/29


b s

dt dY

Y =1 (5)

Ecuaia (5) ne d rata garantat de cretere a produciei, care este egal

cu raportul ntre rata investiiilor i coeficientul capitalului. Aceast rat garantat de cretere asigur folosirea la ntreaga capacitate a stocului de capital. Aceasta se poate exprima astfel:

dt dK

K K K 1= (6)

ntruct S= l, S= sY i K = bY, ecuaia (6) se poate rescrie:

dt dK

K bY sY

K I

K K 1=== (7)

Observm c ritmul de cretere al capitalului

dt dK

K 1 este acelai cu

ritmul de cretere al produciei,b s . Integr m ambii termeni ai ecuaiei (5) n

funcie de timpi se obine:

= dt b s

dt dY

Y 1

n 21 C t b s

C Y +=+ , unde C1 i C2 sunt constante arbitrare.

Combinnd cele dou constante, avem:

C t b sC inY +=+ (8)

Ecuaia (8) poate fi transformat ntr-o expresie exponenial, dup cumurmeaz:

C t b s

C t b s

eeeY ==+

(9)


17/29


Fcnd peec = Y c , obinem:t

b s

t eY Y = 0 (10)

Pentru a garanta ocuparea deplin a for ei de munc este necesar s se scriecondiia creterii ntr-o stare de echilibru.

Coeficienii produciei fiind constani: constant==Y

K b ,

constant==Y L

a , urmeaz:

constant0

0 =

=t b

s

nt

eY

e La (11)

Rezult c nb s =

Cu alte cuvinte, rezult:

Y t = Y 0ent , K t = K 0ent , L t = L 0ent (12)

respectiv

nb s

dt dL

Ldt dK

K dt dY

Y ==== 111 (13)

care exprim vrsta de aur a creterii, condiia necesar pentru existenastrii de echilibru: ritmurile de cretere ale produciei i factorilor care o determin (capitaluli munca) trebuie s fie egale ntre ele, egale cu raportul ntre rata

investiiilor i coeficientul capitalului, care corespunde cu rata garantat decretere.Cu toate acestea, sistemul este extrem de instabil: cei trei parametri, s, bi

n, fiind independent determinai, este puin probabil c ei vor putea s satisfac ecuaia (13).

Pentru a putea asigura stabilitatea sistemului, este necesar relaxareaipotezei coeficienilor fici (constani) ai produciei. Aceasta s-a f cut de ctre profesorul Robert M. Solow, n lucrarea A Contribution to the Theory of Economic

Growth (O contribu ie la teoria cre terii economice) .


18/29


4.3 Modelul lui Robert M. Solow

Pornind de la urmtoarele premise ale modelului lui Harrod:I = S (1)i respectiv

sY I K dt dK ===

L = L 0 ent (2)

profesorul Solow introduce funcia neoclasic de producie:

Y = F (K,L) (3)

Aceasta este o funcie de producie neoclasic liniar i omogen,nmulind fiecare factor de producie cu producia crete de acel numr de ori,.

Y = F ( K, L)

Scris per capital , funcia de producie este:

=

L L

L K

F LY ,

Notnd: LY

y = i L K

k = funcia de producie pe cap de locuitor se

scrie:

y = f (k,1)

nlocuind (2)i (3) n (1), se obine:

),( 0 nt e L K sF K =

(4)

Aceast ecuaie arat care este necesarul suplimentar de capital pentru cafor a de munc s r mn pe deplin utilizat.

S notm L K

k = (5), raportul capital/for sau nzestrarea tehnic a

muncii.


19/29


Rezult K = kL (6).Substituind ecuaia (2) n aceast expresie, se obine:

K = kL 0ent (7)

Difereniind ecuaia (7), n raport cu timpul, se obine:

nt nt e Lk eknL K 00

+= (8)

Substituind ecuaia (4) n (8), se obine:

nt nt nt e Lk eknLe L K sF 000

),(

+= (9)

Apoi mpr ind ambii termeni ai ecuaiei (9) cu L0ent se obine:

+=

k nk Le K

sF nt 1, (10)

Aceast ecuaie se poate rescrie:

+= k nk k sf )1,( sau nk k sf k =

)1,( (11)

Aceasta este ecuaia fundamental a modelului lui Solowi este o ecuaiediferenial, care-l include numai pe k. Stabilitatea dinamic a echilibrului creterii poate fi statuat cu ajutorul acestei ecuaii.

Curba y= f (k,1) este funcia agregat de producie, n care variabilele suntexprimate per capital.

Curba nk reprezint investiia per capital necesar nzestr rii sporului

natural al populaiei, n condiiile meninerii nivelului actual al tehnicii.


20/29


Figura 4.1 Reprezentarea grafic a ecuaiei fundamentale

Curba sf(k,1) reprezint funcia de economisire exprimat per capita sau

fluxul total al investiiilor per capita = k + nk unde este

k este investiia per capita necesar mbuntirii nzestr rii tehnice, att pentru for a de munc existent, cti pentru sporul ei natural. Cnd sf(k,1) > nk are loc o cretere a capitaluluii

k > 0.Condiia de echilibru a creterii se realizeaz la intersecia funciei sf(k,1)

i a funciei nk. n acest punct are, deci, loc egalitatea: sf(k,1)= nk, care exprim investiia per capita necesar pentru a menine capitalul/capita constant n timp,adic k = 0 i k + k *. Starea de echilibru a lui k este deci k *, care este o valoare deechilibru stabil.

4.4 Modelul lui E. D. Domar

n lucrarea Essays in the Theory of Economic Growth (Eseuri asuprateoriei creterii economice), Domar introduce, pentru prima oar n literaturaeconomic, noiunea de productivitate a investi iilor , care este invers coeficientului lui Harrod. Dei ambele lucr ri au aprut n acelai an, 1946, celedou noiuni au fost formulate n mod independent de autori. Domar defineteproductivitatea social medie potenial a investiiilor ca fiind:

I dt dP

= (1)


21/29


unde P reprezint capacitatea de producie: de aici provinei denumirea de productivitate potenial a investiiilor.

n continuare, Domar spune: un coeficient nalt al productivitiiinvestiiilor arat c economia este capabil de a-i spori venitul relativ repede.Dac se lucreaz cu diferene finitei se folosete producia n locul capacitii de producie, productivitatea investiiilor se poate exprima:

I Y = (2)

adic chiar inversul coeficientului lui Harrod

Y I

sauY

K .

b1

=

Un alt parametru al modelului lui Domar este nclinaia marginal spre

economii =

Y I , care este, de fapt, inversul multiplicatorului lui Keynes

=

1

m .

Att productivitatea investiiilor (), ct i nclinaia marginal spreeconomii () trebuie s fie considerate stabile.

Pentru realizarea strii de echilibru n economie, trebuie s sendeplineasc condiia Y0 = Pc; pentru ca echilibrul s se pstreze n timp estenecesar ca:

dt dP

dt dY = (3)

Din relaia (1) rezult:

I dt dP = (4)


22/29


iar din teoria multiplicatorului:

I mY =

dt dI

mdt dY

= , dar 1

=m

dt dI

dt dY

1= (5)

nlocuind (4)i (5) n (3), obinem:

1

dt

di I = (6)

care este ecuaia fundamental a lui Domar.Trecnd la diferene finite, ecuaia se poate scrie:

1 I I = i =

I I (7)

Aceast relaie demonstreaz c meninerea utilizrii depline a for ei demunc cere ca investiia s creasc n ritmul mediu anual de , adic produsul

dintre nclinaia marginal spre economiii productivitatea investiiilor.Domar arat, n continuare, c, dac nclinaia marginal i nclinaia

medie spre economii sunt egalei constante, meninerea unei stri continue deutilizare deplin a for ei de munc cere cai investiiile i venitul s creasc, ntr-un ritm mediu egal cu:

==Y Y

I I (8)

Aceasta demonstreaz c ecuaia fundamental a lui Harrod este identic cu ecuaia fundamental a lui Domar.


23/29


4.5 Modelul Lewis-Fei-Ranis4

Modelul Lewis-Fei-Ranis este un model al transformrilor structurale dincadrul procesului de cretere economic, pus la punct de laureatul Premiului Nobel pentru economie, Sir Arthur Lewis, n anul 1954i formalizat apoi de ctre FeiiRanis, n anul 1964.

Modelul lui Lewis studiaz economiarilor n curs de dezvoltarei const din dou sectoare: unul tradiional, n general orientat spre activiti agricole, sector caracterizat de productivitatea marginal a muncii zero (de undei denumirea de

surplus de munc pentru for a de munc angajat n acest sector); un sector industrial modern de nalt productivitate, sector n care este transferat treptatfor a de munc din primul sector.

Punctul principali meritul de baz al modelului (fapt care i confer actualitate) este accentul pus att pe transferul de for de munc dinspre sectorultradiional spre sectorul industrial, cti pe folosirea acestuia. Viteza deexpansiune a sectorului modern al economiei naionale este determinat de ratainvestiiei industrialei acumularea de capital din sectorul modern. Astfel, presupunndu-se c ntreprinztorii reinvestesc n ntregime profitul, investiiadepinde de excedentul profiturilor peste salarii din sectorul modern. n sfr it,nivelul salariilor n sectorul urban modern este presupus a fi constanti determinat

de un supliment peste nivelul fix (de subzisten) al salariilor din domeniul agricolrural. Lewis presupune acest supliment de cel puin 30% din salariile din sectorulagricol, astfel nct s fie stimulat migrarea for ei de munc n sectorul industrial-urban. La nivelul constant al salariilor din sectorul modern, oferta de munc dinsectorul agrar-rural este considerat a fi perfect elastic. n aceste condiii,atragerea treptat a for ei de munc necesar sectorului modern are loc f r ocretere a salariului. Procesul de autosusinere a creterii sectorului moderni deexpansiune a angajrii este continuat pn ce tot surplusul de for de munc rural

este absorbit de ctre noul sector industrial. Dup aceea, lucr torii suplimentari potfi atrai din sectorul agricol numai la un cost mai mare, al pierderii de producie dehran, deoarece scderea raportului munc/pmnt nseamn c productivitateamarginal a for ei de munc rural nu mai este zero. Astfel, curba ofertei de munc devine de pant pozitiv pe msur ce salariilei angajrile din sectorul moderncontinu s creasc. Transformarea structural a economiei va fi avut loc printrecerea echilibrat de la sectorul rural agricol la cel modern industrial urban.

4 Dobrot, N., Dic ionar Economic, Bucureti, Editura Economic, 1999.


24/29


4.6 Modelul Mundell-Fleming5

Modelul Mundell-Fleming este un model dezvoltat independent de cei doieconomiti, prin care se studiaz influena regimului ratei de schimb a monedeiasupra efectelor de cretere economic pe care le au politica fiscal i politicamonetar .

Pornind de la ipoteza perfectei mobiliti a capitalului, modeluldemonstreaz c, n cazul unei rate de schimb fixe, politica monetar esteineficace, dup cum estei politica fiscal, n cazul unei rate de schimb flexibile.

Modelul Mundell-Fleming este foarte important pentru c reprezint unuldin punctele de plecare n ceea ce privete lucr rile din domeniul macroeconomieideschisei al determinrii ratelor de schimb optime.

4.7 Modelul Rostow6

Modelul Rostow este un model de cretere economic elaborat deeconomistul american W.W. Rostow care pune n eviden cinci stadii ale procesului de cretere economic:

a) Stadiul societii tradiionale, definit ca acel stadiu n care structura

social este ierarhic, economia se bazeaz pe un sector agricol predominant, iar nsocietatea respectiv aciunile umane au la baz o tiin i tehnic prenewtonian;

b) Stadiul premergtor depirii acestui nivel tradiional este marcat dedomeniul aplicrii tiinei moderne n agricultur , ce s-a produs n Europa lasfr itul secolului al XVII-lea;

c) Stadiul ieirii din perioada tradiional este caracterizat de o cretereeconomic normal i de o oarecare siguran n viaa economic. Dintre condiiilede baz ale acestui stadiu reinem pe aceea a existenei, n economie, a unui sector

prelucr tor semnificativi cu o nalt rat de cretere, iar, n plus, un cadru delucru, fie politic, fie social, care s susin expansiunea sectorului modern; aceststadiu este nceputul revoluiei industriale;

d) Stadiul ndreptrii spre maturitate, definit ca un stadiu intermediar. Estecaracterizat printr-o lung perioad de progres, cu fluxuri investiionaleconsistente. Aceasta ar reprezenta perioada ultimilor 60 de ani ai vestului european;

5 Dobrot, N., Dic ionar de economie, Bucureti, Editura Economic, 1990.6 Idem


25/29


e) Stadiul consumului de mas ridicat este un stadiu de maturitate, fiindcaracterizat de o populaie prosper i de o producie de mas pentru bunuri deconsum sofisticate. Rostow consider acest stadiu caracteristic SUA.

4.8 Legea lui Walras Leon (1834 - 1910)

Este ntemeietorul teoriei moderne a echilibrului general. Lucr rile sale de baz sunt: Elments dconomie politique pure (1874, 1877), Etudes dconomie social (1896)i Etudes dconomie politique appliquee (1848).

n cadrul modelului de echilibru general, Walras a construit patru teoriisecveniale i cumulative despre schimb, producie, formarea capitaluluii credit,moned i circulaie. Fiecare dintre acestea are patru pr i. Prima parte este

structura pie ei n care Walras identific participanii i caracteristicile lor economice, obiectivelei modalitile de atingere a acestora, tr sturilei regulile pieei, funciile relevante ale cereriii ofertei. A doua parte este un proces dinamic prin care piaa sufer ajustri atunci cnd este n dezechilibru, ceea ce reprezint pentru Walras obiectuli scopul economiei pure: f r o demonstraie a stabilitiisistemului pur competitiv, soluiile ecuaiilor sale nu pot fi privite ca valori ctrecare tind variabilele modelului su. Dinamica funcionrii pieelor depinde de

agenii economici, de instituiile economice cti de condiiile economiceidentificate n prima parte a fiecrui model. De asemenea, Walras analizeaz activitile i interaciunile ntre ageni economici n producie i comer , generareai eliminarea profiturilor i pierderilor, funcionarea pieei de capital etc. Primanecesar a fi explorat este demonstrarea atingerii echilibrului prin jocul creteriiiscderii preurilor este principalul r spuns pe care Walras l ofer criticilor si, nspecial lui Irving Fisher, care-l acuzau de o abordare static a modelului.

A treia parte a fiecruia din modelele sale se refer la condiiile de

echilibru, iar a patra const n statistici comparative.

LEGEA LUI WALRAS

Denumit astfel de Lange, n 1942, legea lui Walras este o expresie ainterdependenei dintre ecuaiile cererii excedentare ale unui sistem de echilibrugeneral, care izvor sc din constrngerile bugetului.


26/29


Fie hi x decizia gospodriei individuale h, referitoare la produsele ni ,1= ,n care prin produse se neleg, de asemenea, serviciii active financiare.

Dac 0hi x , produsul este cumprat de individ; dac 0


27/29


nsumnd pentru toate gospodriile individuale, se obine:

( ) ( ) =i i

f f ii

f

hf

h

hhii

h

k v y pd ev x p ;, .

Relaia se mai poate scrie:

( ) ( )

=

h f

f f i

f

hf

ii

hhi

ii k v yd pev x p ;, .

Dac firma f distribuie toate profiturile, atunci 1= f

hf d pentru toate f.

Relaia general a legii lui Walras devine:( ) ( )[ ] 0;; =

iiii K vY E v X p identic pentru toate v, E, K i pi.

( ) ( )=h

hhii ev x E v X ;; i

( ) ( )= f

f ii kf v yk vY ;;

reprezint funciile de cerere agregat i de ofert agregat, pentru produsul i.

E - vectorul care conine toate eh.

K - vectorul care conine toate k f .

Dac X i (v; E) - Y i (v; k) > 0 exist o ofert excedentar pe pia.

Dac X i(v; E) - Y i (v; k) < 0 exist o cerere excedentar .

X i(v;E) = Y i(v;k) reprezint condiia de echilibru pe pia.

Cea mai frecvent aplicaie n literatur a legii lui Walras a fost analizaechilibrului general la un sistem cu competiie perfect; funciile de comportamentale firmelor deriv din ipoteza c el maximizeaz profiturile n raport cu funcia lor de producie; funciile de comportament ale gospodriilor individuale deriv dinipoteza c acestea maximizeaz utilitatea n funcie de restricia de buget. Vectorulv este atunci un vector de pre (p

1... ,p

n-1) cu cel de-al n-lea produs fiind banii care


28/29


servesc drept numerar (pn = 1), astfel nct trebuie determinate numai n-1 preuri.Se ignor vectorii Ei K, considerai constani n experimentul conceptual,iatunci legea lui Walras se scrie:

( ) ( )[ ] 0,...,,..., 1111 = i ninii p pY p p X p identic n pi.

Legea lui Walras exprim c, pentru oricare pi, valoarea agregat acererilor excedentare n sistem este egal cu valoarea agregat a ofertelor excedentare.

4.9 Transferul de tehnologie

Reprezint una din cele mai importante componente ale procesului decretere economic, att pentrurile dezvoltate, cti pentru cele n curs dedezvoltare.

Extinderea transferului de tehnologiei creterea productivitii acestuiasunt factori determinani ai creterii economice n plan internaional. n perioadaanilor 1960i 1970 procesul de transfer de tehnologie internaional a fost amplumodelat n termenii conceptului de ciclu de via al produselor. Conform acestuiconcept, exist o secven clar definit n relaia dintre tehnologiei comer : Dup apari ia unei inova ii, firma p trunde pe pie ele externe prin intermediul

exportului. Pe m sur ce tehnologia se maturizeaz i pie ele str ine se dezvolt ,

firmele ncep s construiasc filiale n str in tate, iar exporturile sunt nlocuite

prin produc ia acestora. Conceptul de ciclu de via al produselor a nceput s se depreciezei

datorit faptului c tehnologia se internaionalizeaz n toate fazele: descoperire,

testare, comercializare. n vederea analizei transferului internaional de tehnologie,

econometritii au extins abordarea cu ajutorul funciilor de producie la studiulefectelor cercetrii i dezvoltrii asupra productivitii.

Funcia de producie propus de Mansfield (1984) este = 121 K L R R AQ yob

t e , n care:

Q - valoarea adugat a firmei;

R d - stocul intern de capital de cercetare, dezvoltare al firmei;


29/29


R 0 - stocul extern de capital de cercetare, dezvoltare;L - factorul munc;K - stocul de capital fizic.

Rata anual de modificare a productivitii totale a factorilor este:

Qdt dR

Qdt dR

S d // 0

21 ++= n care,

021 i R

Q RQ

d =

=

Q X

aQ X

aS d 0

21 ++=

n care:Xd reprezint cheltuielile interne ale firmei de cercetare - dezvoltare;X0 reprezint cheltuielile externe de cercetare - dezvoltare.Transferul de tehnologie se realizeaz cu un cost important.n medie, acest cost reprezint aproximativ 20% din costul total al

nfiinrii unei fabrici n str intate.Costurile depind de numrul de aplicaii anterioare ale inovaiei i de

nelegerea ei corect de ctre partenerii implicai. Pe de alt parte, ntructtehnologia se transfer unor indicatori poteniali, costurile imitrii inovaiei sunt, nmulte cazuri, inferioare costurilor inovaiei nsi.

Modelarea Matematica a Cresterii Economice

Documents

Transcript of Modelarea Matematica a Cresterii Economice